北京市石景山区2011届高三统一测试试题(word版)：数学理

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石景山区2011-2012学年第一学期期末考试试卷

石景山区2011—2012学年第一学期期末考试试卷高三数学（理科）第Ⅰ卷选择题一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}4,3,2,1=U ，{}2,1=A ,{}4,2=B ,则=⋃)(B A C U （）A ． }3{B ． }2{C ．}4,2,1{D ．}4,1{2．已知复数i1i1z -+=，则复数z 的模为（） A ． 2B ．2C ．1D ． 03．在极坐标系中，圆θρcos 2-=的圆心的极坐标是（）A ． )2,1(π B ． )2,1(π-C ．)0,1(D ．),1(π4．如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为2，那么这个几何体的体积为（）A ．38 B ．34 C ．4D ．25．执行右面的框图，若输出结果为21，则输入的实数x 的值是（）A ．23 B ．41 正视图侧视图俯视图C ．22 D ．26.设抛物线x y 82=上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线准线的距离为（）A ．4B ．6C ．8D ．127.以下四个命题中，真命题的个数是（） ①命题“若0232=+-x x ，则1=x ”的逆否命题为“若1≠x ，则0232≠+-x x ”； ②若q p ∨为假命题，则p 、q 均为假命题；③命题p ：存在R x ∈,使得012<++x x ，则p ⌝：任意R x ∈,都有012≥++x x ；④在ABC∆中,B A <是B A sin sin <的充分不必要条件. A ．1 B ．2 C ．3 D ．48.对于使M x x ≤+-22成立的所有常数M 中，我们把M 的最小值1叫做22x x -+的上确界,若+∈R b a 、，且1=+b a ，则122a b--的上确界为（） A ．92B ．92-C ．41 D ．-4第Ⅱ卷非选择题二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分． 9．在ABC ∆中，若32,120,2=︒=∠=a A c ，则=∠B ． 10．如图，从圆O 外一点P 引圆O 的切线PA 和割线PBC，已知PA =4PC =，圆心O 到BC 的距O 的半径为．PABCO•11．已知向量)1,3(=a ，)1,0(=b ，)3,(k c =，若b a 2+与c 垂直，则=k ．12．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4518a a =-，则8S = ． 13．若把英语单词“good ”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有种． 14.已知函数)1,0(log )(≠>+-=a a b x x x f a 且，当2131<<a 且43<<b 时，函数)(x f 的零点*0),1,(N n n n x ∈+∈，则=n ．三、解答题：本大题共6个小题，共80分．应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数x x x f 2sin 21cos 3)(2+=．（Ⅰ）求)(x f 的最小正周期；（Ⅱ）求)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-46ππ，上的最大值和最小值．16．（本小题满分13分）甲、乙两名篮球运动员在四场比赛中的得分数据以茎叶图记录如下：甲乙 1 8 6 0 02 4 4 23（Ⅰ）求乙球员得分的平均数和方差；（Ⅱ）分别从两人得分中随机选取一场的得分，求得分和Y 的分布列和数学期望．（注：方差[]222212)()()(1x x x x x x ns n -++-+-=其中x 为1x ，2x ，⋯n x 的平均数）FCBA17．（本小题满分14分）如图，矩形ADEF 与梯形ABCD 所在的平面互相垂直，AD CD ⊥，AB ∥CD ，2AB AD ==，4CD =，M 为CE 的中点．（Ⅰ）求证：BM ∥平面ADEF ；（Ⅱ）求证：平面BDE ⊥平面BEC ；（Ⅲ）若3=DE ，求平面BEC 与平面DEC 所成锐二面角的余弦值．18．（本小题满分14分）已知.,ln )(R a x ax x f ∈-=（Ⅰ）当2=a 时，求曲线)(x f 在点))1(,1(f 处的切线方程；（Ⅱ）若)(x f 在1=x 处有极值，求)(x f 的单调递增区间；（Ⅲ）是否存在实数a ，使()f x 在区间(]e ,0的最小值是3，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由.19．（本小题满分13分）已知椭圆12222=+by a x （0>>b a ）过点M （0，2），离心率36=e .（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设过定点N （2，0）的直线l 与椭圆相交于B A 、两点，且AOB ∠为锐角（其中O 为坐标原点),求直线l 倾斜角的取值范围.20．（本小题满分13分）对于给定数列{}n c ，如果存在实常数q p 、,使得1n n c pc q+=+对于任意*n N ∈都成立，我们称数列{}n c 是 “κ类数列”．（Ⅰ）若n a n 2=，32n n b =⋅，*n N ∈，数列{}n a 、{}n b 是否为“κ类数列”？若是，指出它对应的实常数q p 、，若不是，请说明理由；（Ⅱ）证明：若数列{}n a 是“κ类数列”，则数列}{1++n n a a 也是“κ类数列”；（Ⅲ）若数列{}n a 满足12a =，)(23*1N n t a a n n n ∈⋅=++，t 为常数．求数列{}n a 前2012项的和．并判断{}n a 是否为“κ类数列”，说明理由．石景山区2011—2012学年第一学期期末考试试卷高三数学（理科）参考答案二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．三、解答题：本大题共6个小题，共80分． 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）x x x f 2sin 2122cos 13)(++=232sin 212cos 23++=x x 23)32sin(++=πx ……………5分π=T ……………7分（Ⅱ）因为46ππ≤≤-x ，所以ππ65320≤+≤x …………9分当232ππ=+x 时，即12π=x 时，)(x f 的最大值为231+,………11分当032=+πx 时，即6π-=x 时，)(x f 的最小值为23. ………13分16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由茎叶图可知，乙球员四场比赛得分为18,24,24,30，所以平均数24430242418=+++=x ； ……………………2分[]18)2430()2424()2424()2418(4122222=-+-+-+-=s ……5分（Ⅱ）甲球员四场比赛得分为20,20,26,32，分别从两人得分中随机选取一场的得分，共有16种情况：（18，20）（18，20）（18，26）（18，32）（24，20）（24，20）（24，26）（24，32）（24，20）（24，20）（24，26）（24，32）（30，20）（30，20）（30，26）（30，32） …………8分得分和可能的结果有：38,44,50,56,62 …………9分得分和Y 的分布列为：…………11分数学期望161621635616550165448138⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=EY 5.48= ………………13分17．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）证明：取DE 中点N ，连结,MN AN ．在△EDC 中，,M N 分别为,EC ED 的中点，所以MN ∥CD ，且12MN CD =．由已知AB ∥CD ，12AB CD =，所以MN ∥AB ，且MN AB =．所以四边形ABMN 为平行四边形． ………2分所以BM ∥AN ．又因为AN ⊂平面ADEF ，且BM ⊄平面ADEF ，所以BM ∥平面ADEF ． ………………………………4分（Ⅱ）证明：在矩形ADEF 中，ED AD ⊥．又因为平面ADEF ⊥平面ABCD ，且平面ADEF平面ABCD AD =，所以ED ⊥平面ABCD ．所以ED BC ⊥． ………………………………5分在直角梯形ABCD 中，2AB AD ==，4CD =，可得BC =在△BCD 中，4BD BC CD ===，因为222BD BC CD +=，所以BC BD ⊥．因为BD DE D ⋂=,所以BC ⊥平面BDE ．………………………7分又因为BC ⊂平面BCE ，所以平面BDE ⊥平面BEC ．…………………………………………8分（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知ED ⊥平面ABCD ，且AD CD ⊥．以D 为原点，,,DA DC DE 所在直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系．(2,2,0),(0,4,0),(0,0,3)B C E ． …………………………………9分易知平面DEC 的一个法向量为m )0,0,1(=．…………………………10分设(,,)x y z =n 为平面BEC 的一个法向量，因为(2,2,0),BC =-(0,4,3)CE =- 所以220430x y y z -+=⎧⎨-+=⎩，令1x =，得41,3y z ==．所以4(1,1,)3=n 为平面BEC 的一个法向量． …………………………12分设平面BEC 与平面DEC 所成锐二面角为θ．则cos ||||||θ⋅===⋅m n m n ．所以平面BEC 与平面DEC14分3．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知得)(x f 的定义域为(0)+∞，，因为()ln f x ax x =-，所以'1()f x a x =-当2a =时，()2ln f x x x =-，所以(1)2f =因为'1 ()2f x x =-，所以'1 (1)211f =-=……………………2分所以曲线)(x f 在点))1(,1(f 处的切线方程为2(1)(1)y f x '-=-，即10x y -+= …………………………4分（Ⅱ）因为)(x f 在1=x 处有极值，所以(1)0f '=，由（Ⅰ）知(1)1f a '=-，所以1a =经检验，1a =时)(x f 在1=x 处有极值． …………………………6分所以()ln f x x x =-，令'1()10f x x=->解得10x x ><或；因为)(x f 的定义域为(0)+∞，，所以'()0f x >的解集为(1)+∞，，即)(x f 的单调递增区间为(1)+∞，. …………………………………………8分（Ⅲ）假设存在实数a ，使x ax x f ln )(-=（],0(e x ∈）有最小值3， ① 当0≤a 时，因为(]e x ,0∈，所以0)('<x f ，所以)(x f 在],0(e 上单调递减，31)()(min =-==ae e f x f ，ea 4=，舍去. …………………………10分 ②当e a <<10时，)(x f 在)1,0(a 上单调递减，在],1(e a上单调递增，3ln 1)1()(min =+==a a f x f ，2e a =，满足条件. ………………………12分③ 当e a≥1时，因为(]e x ,0∈，所以0)('<x f ，所以)(x f 在],0(e 上单调递减，31)()(min =-==ae e f x f ，ea 4=，舍去. 综上，存在实数2e a =，使得当],0(e x ∈时()f x 有最小值3. ……………14分19．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题意得36,2==a c b 结合222c b a +=，解得122=a所以，椭圆的方程为141222=+y x . ………………4分（Ⅱ）设),(),,(2211y x B y x A ，则),(),,(2211y x y x ==. ①当221==x x 时，不妨令)362,2(OB ),362,2(OA -== 034384>=-=⋅，当斜率不存在时，AOB ∠为锐角成立 ………………6分②当21x x ≠时，设直线l 的方程为：)2(-=x k y由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==+)2(141222x k y y x 得12)2(3222=-+x k x 即0121212)31(2222=-+-+k x k x k .所以22212221311212,3112kk x x k k x x +-=⋅+=+， ………………8分 ]4)(2[()2)(2(2121221221++-=--=⋅x x x x k x x k y y22424224314123124311212kk k k k k k k ++++-+-= 22318k k +-= ………………10分2121y y x x +=⋅03112422>+-=kk 解得33-<>k k 或. ……………………12分综上，直线l 倾斜角的取值范围是)32,3(ππ . …………………13分20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为2,n a n =则有12,n n a a +=+*n N ∈故数列{}n a 是“κ类数列”，对应的实常数分别为1,2 …………… 1分因为32n n b =⋅，则有12n n b b +=，*n N ∈.故数列{}n b 是“κ类数列”，对应的实常数分别为2,0. …………… 3分（Ⅱ）证明：若数列{}n a 是“κ类数列”，则存在实常数q p 、，使得1n n a pa q +=+对于任意*n N ∈都成立，且有21n n a pa q ++=+对于任意*n N ∈都成立，因此()()1212n n n n a a p a a q ++++=++对于任意*n N ∈都成立，故数列{}1n n a a ++也是“κ类数列”．对应的实常数分别为,2p q ． ……………6分（Ⅲ）因为 *132()n n n a a t n N ++=⋅∈ 则有1232a a t +=⋅，33432a a t +=⋅，20092009201032a a t +=⋅20112011201232a a t +=⋅故数列{}n a 前2012项的和2012S =()12a a ++()34a a +++()20092010a a ++()20112012a a + ()320092011201232323232221t t t t t =⋅+⋅++⋅+⋅=- ……………9分若数列{}n a 是“κ类数列”，则存在实常数q p 、使得1n n a pa q +=+对于任意*n N ∈都成立，且有21n n a pa q ++=+对于任意*n N ∈都成立，因此()()1212n n n n a a p a a q ++++=++对于任意*n N ∈都成立，而*132()n n n a a t n N ++=⋅∈，且)(23*121N n t a a n n n ∈⋅=++++，则有132322n n t t p q +⋅=⋅+对于任意*n N ∈都成立，可以得到(2)0,0t p q -==，当2,0p q ==时，12n n a a +=，2n n a =，1t =，经检验满足条件. 当0,0t q == 时，1n n a a +=-，12(1)n n a -=-，1p =-经检验满足条件. 因此当且仅当1t =或0t =时，数列{}n a 是“κ类数列”.对应的实常数分别为2,0或1,0-． ………………… 13分注：若有其它解法，请酌情给分．。

年石景山区高三统一测试数学理

年石景山区高三统一测试数学理TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】2007年石景山区高三统一测试数学（理科）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

共150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后括号内。

1．设全集U ={1，3，5，7，9}，集合A ={1，9，|a －5|}， ={5，7}，则a 的值为（）A ．2B ．8C ．－2或8D ．2或82．若复数2121·1,3z z i z i z ，则-=+=在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．把函数)24sin(x y -=π的图象向右平移8π个单位，所得图象对应函数的最小正周期是（）A ．πB ．2 πC ．4 πD ．2π4．光线沿直线y=2x +1射到直线y=x 上，被直线y=x 反射后的光线所在的直线方程为（）A ．121-=x yB ．2121-=x y C ．2121+=x yD ．121+=x y5．从4台A 型笔记本电脑与5台B 型笔记本电脑中任选3台，其中至少要有A 型和B 型笔记本电脑各一台，则不同的选取方法共有（）A ．140种B ．84种C ．70种D ．35种6．对于不重合的两条直线m ，n 和平面α，下列命题中的真命题是（）A ．如果αα⊄⊂n m ,，m ，n 是异面直线，那么α//nB ．如果αα//,n m ⊂，m ，n 是共面，那么n m //C ．如果αα⊄⊂n m ,，m ，n 是异面直线，那么α与n 相交D ．如果αα//,//n m ，m ，n 共面，那么n m //7．已知数列}{n a 的前n 项和S n 满足131-=n n a S ，那么)(lim 242n n a a a +++∞→ 的值为（）A ．21B ．32 C ．1 D ．－28．已知函数))((R x x f ∈的图象如图所示，则函数)11()(-+=x x f x g 的单调递减区间是（） A ．),1(],0,(+∞-∞ B ．),3[],0,(+∞-∞C ．),1(),1,(+∞-∞D ．)1,1[-第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

2011年北京市高考理科数学试题及标准答案

2０11年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）(北京卷）本试卷共5页，1５0分。

考试时长１20分钟。

考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。

考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分(选择题共4０分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

(1）已知集合2{|1}P x x =≤，{}M a =．若PM P =,则a 的取值范围是（A)(,1]-∞-(Ｂ)[1,)+∞（C ）[1,1]-(D)(,1][1,)-∞-+∞ (２)复数212i i-=+ （A ）i (B)i - （C)4355i -- （D)4355i -+ （3）在极坐标系中，圆2sin ρθ=-的圆心的极坐标是（A ）(1,)2π (B ）(1,)2π- (C ）(1,0) (D)(1,)π(4)执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（A)3-（Ｂ)12- (C)13(D)2(5)如图，,,AD AE BC 分别与圆O 切于点,,D E F ，延长AF 与圆O 交于另一点G 。

给出下列三个结论：① AD AE AB BC CA +=++；② AF AG AD AE ⋅=⋅；③ AFB ADG ∆∆其中，正确结论的序号是（Ａ）① ② （B ）② ③（C ）① ③ (D ）① ② ③(6）根据统计,一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为()x A f x x A <=≥（,A c 为常数)。

已知工人组装第4件产品用时30分钟,组装第A 件产品用时１5分钟, 那么c 和A 的值分别是（A ）75,25 （B ）75,16 （C ）60,25 （Ｄ）60,16 (7)某四面体的三视图如图所示,该四面体四个面的面积中最大的是（A ）８(B）（C) 10(Ｄ)(８）设(0,0)A ,(4,0)B ,(4,4)C t +,(,4)D t （t R ∈），记()N t 为平行四边形内部(不含边界）的整点的个数,其中整点是指横、纵坐标都是整数的点,则函数()N t 的值域为(A ）{9,10,11} （Ｂ){9,10,12} (C){9,11,12} （D ）{10,11,12}A G俯视图。

【高三】(试题全)北京市石景山区届高三上学期期末考试数学理试题(WORD

【高三】（试题全）北京市石景山区届高三上学期期末考试数学理试题（WORD试卷说明：石景山区―学年第一学期期末考试试卷高三数学（理科）本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟.请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后上交答题卡.第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知集合，，那么（）A．B．C．D．2．复数（）A．B．C．D．3．已知向量，，则“”是“∥”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．已知数列为等差数列，，那么数列通项公式为（）A．B．C．D．5．执行如图所示的程序框图，若输入的的值为，则输出的的值为（）A．B．C．D． 6．在边长为的正方形中任取一点，则点恰好落在正方形与曲线围成的区域内(阴影部分)的概率为（）A．B．C．D．7．用到这个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（）A．B． C．D．8．已知函数满足，当时，，若在区间上方程有两个不同的实根，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．的参数方程为为参数，则圆的直角坐标方程为_______________，圆心到直线的距离为______． 1．中，角的对边分别为，若，，，则______．11．，满足约束条件则．12．中，，是上一点，以为圆心，为半径的圆与交于点，与切于点，，，则的长为，的长为． 13．的焦点为，准线为直线，过抛物线上一点作于，若直线的倾斜角为，则______． 14．是边长为的正方形，且平面，为上动点，过且垂直于的平面交于，那么异面直线与所成的角的度数为，当三棱锥的体积取得最大值时，四棱锥的长为．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本小题满分13分）已知函数．在上的最小值，并写出取最小值时相应的值．13分）北京市各级各类中小学每年都要测试，测试总成绩满分为分测试成绩在之间为体质优秀；在之间为体质良好；在之间为体质合格；在之间为体质不合格．现从某校高年级的名学生中随机抽取名学生体质测试成绩如下：1356801122333445667797056679645856（Ⅰ）试估计该校高年级体质为优秀的学生人数；名学生体质测试成绩名学生，再从这名学生中选出人．名学生中至少有名体质为优秀的概率；（?）记为名学生中体质为良好的人数，求的分布列及数学期望．如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，，∥，且，，为的中点．（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）在线段上是否存在一点（不与两点重合），使得∥平面?若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．18．（本小题满分13分）已知函数（为自然对数的底数）.（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求函数的单调区间；（Ⅲ）已知函数在处取得极小值，不等式的解集为，若，且，求实数的取值范围.19．（本小题满分14分）已知椭圆：（）过点，且椭圆的离心率为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若动点在直线上，过作直线交椭圆于两点，且，再过作直线.证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标.20．（本小题满分13分）已知集合，对于数列中.（Ⅰ）若项数列满足，，则数列中有多少项取值为零？()（Ⅱ）若各项非零数列和新数列满足（）．（?）若首项，末项，求证数列是等差数列；（?）若首项，末项，记数列的前项和为，求的最大值和最小值．石景山区―学年第一学期期末考试高三数学（理科）参考答案一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．题号12345678答案DCAACBBD二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．题号91011121314答案，，，(两空的题目第一空2分，第二空3分)三、解答题共6小题，共80分．15．（本小题共13分）解：（Ⅰ）............2分， (4)分，，，，...............6分所以函数的单调递增区间为．，， (9)分，，……………11分所以当，即时，函数取得最小值．13分）解：（Ⅰ）根据抽样，估计该校高三学生中体质为优秀的学生人数有人．（Ⅱ）依题意，体质为良好和优秀的学生人数之比为．，从体质为优秀的学生中抽取的人数为．……………6分（?）设“在选出的名学生中至少有名体质为优秀”为事件，则．名学生中至少有名体质为优秀的概率为．的所有取值为．，，．的分布列为: ．因为平面，平面，所以. ……………1分取因为底面为直角梯形，∥，，且，所以四边形为正方形，所以，且，所以，即. ……………3分又，所以平面. ……………4分（Ⅱ）解：如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系．……………5分则，，，，所以，，．因为平面，所以为平面的一个法向量．……………6分设平面的法向量为，由，得令，则，，所以是平面的一个法向量．……………8分所以因为二面角为锐角，所以二面角的余弦值为．……………9分（Ⅲ）解：假设在线段上存在点（不与两点重合），使得∥平面．设，则，．设平面的法向量为，由，得令，则，，所以是平面的一个法向量．因为∥平面，所以，即，……………13分解得，所以在线段上存在一点（不与两点重合），使得∥平面，且．8.（本小题共13分）解：（Ⅰ）当时，，，，得，……………2分所以曲线在点处的切线方程为. ……………3分（Ⅱ）.当时，恒成立，此时的单调递增区间为，无单调递减区间；……………5分当时，时，，时，，此时的单调递增区间为，单调递减区间为.……………7分（Ⅲ）由题意知得，经检验此时在处取得极小值. ...............8分因为，所以在上有解，即使成立，...............9分即使成立，............10分所以.令，，所以在上单调递减，在上单调递增，则， (12)分所以. ……………13分19．（本小题共14分）解：（Ⅰ）因为点在椭圆上，所以，所以，……………1分因为椭圆的离心率为，所以，即，……………2分解得，……………4分所以椭圆的方程为. ……………5分（Ⅱ）设，，①当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，由得，……………7分所以，……………8分因为，即为中点，所以，即. 所以，……………9分因为直线，所以，所以直线的方程为，即，显然直线恒过定点. ……………11分②当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时直线为轴，也过点. ……………13分综上所述直线恒过定点. ……………14分20．（本小题共13分）解：（Ⅰ）设数列中项为分别有项．由题意知解得．所以数列中有项取值为零．……………3分（Ⅱ）（?）且，得到，若，则满足．此时，数列是等差数列；若中有个，则不满足题意；所以数列是等差数列．……………7分（?）因为数列满足，所以，根据题意有末项，所以．而，于是为正奇数，且中有个和个．要求的最大值，则只需前项取，后项取，所以（为正奇数）．要求的最小值，则只需前项取，后项取，则（为正奇数）．…………13分【注：若有其它解法，请酌情给分．】每天发布最有价值的高考资源每天发布最有价值的高考资源 1 12 每天发布最有价值的是输入输出开始结束否．（试题全）北京市石景山区届高三上学期期末考试数学理试题（WORD版，含答案）感谢您的阅读，祝您生活愉快。

2011石景山数学一模理纯word版

北京石景山区2011年高三统一测试数学试题（理科）2011.3一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设2{|4},{|4}M x x N x x =<=<，则（）A ．MN B ．N MC ．R M C N ⊆D ．R N C M ⊆2．若17(,),2i a bi a b R i i+=+∈-是虚数单位，则乘积a b 的值是（）A ．-15B ．3C ．-3D ．53．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若45818,a a S =-=则（）A ．72B ．68C ．54D ．904．一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示（单位：cm ），则这个几何体的体积是（） A ．33cm B ．352cmC ．23cmD ．332cm5．已知O 是A B C ∆所在平面内一点，D 为BC 边中点，且20OA OB OC ++=，那么（） A ．AO OD = B ．2AO OD =C ．3AO OD =D ．2AO OD =6．某单位有7个连在一起的车位，现有3辆不同型号的车需停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，则不同的停放方法的种数为（）A ．16B ．18C ．24D ．327．已知椭圆2214xy +=的焦点为12,F F ，在长轴A 1A 2上任取一点M ，过M 作垂直于A 1A 2的直线交椭圆于点P ，则使得120PF PF ⋅<的点M 的概率为（）A．3B．3C3D ．12正视图侧视图俯视图8．定义在R 上的函数()f x 满足(4)1,()()f f x f x '=为的导函数，已知()y f x '=的图象如图所示，若两个正数,a b 满足1(2)1,1b f a b a ++<+则的取值范围是（）A ．11(,)53B ．1(,)(5,)3-∞⋃+∞C ．1(,5)3D ．(,3)-∞二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．9．在A B C ∆中，角A ，B ，C 所对应的边分别为222,,,a b c b c bc a +=+且，则角A 的大小为．10．阅读如图所示的程序框图，运行该程序后输出的k 的值是． 11．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆5cos 1:5sin 2x C y θθ=-⎧⎨=+⎩（θ为参数）和直46:32x t l y t =+⎧⎨=--⎩（t 为参数），则圆C 的普通方程为，直线l 与圆C 的位置关系是。

石景山数学理

高三统一测试数学（理）试题本试卷共150分，考试时长120分钟，请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后上交答题卡．第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合M= {x|x2≤4），N={x|log2x≥1}，则M N等于（）A．[-2，2] B．{2} C．[2，+∞）D．[-2,+∞）2．若复数（a－i）2在复平面内对应的点在y轴负半轴上，则实数a的值是（）A． 1 B．-1 C．2D．-23．将一颗骰子掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为m，第二次出现的点数为n，向量p=（m，n），q=（3，6），则向量p与q共线的概率为（）A．13B．14C．16D．1124．执行右面的框图，输出的结果s的值为（）A．-3 B．2C．12-D．135．如图，直线AM与圆相切于点M, ABC与ADE是圆的两条割线，且BD⊥AD，连接MD、EC。

则下面结论中，错误．．的结论是( ) A．∠ECA = 90oB．∠CEM=∠DMA+∠DBAC．AM2 = AD·AED．AD·DE = AB·BC6．在（2x2－1x）5的二项展开式中，x的系数为（）A．-10 B．10C．-40D．407．对于直线l：y=k (x+1)与抛物线C：y2= 4x，k=±1是直线l与抛物线C有唯一交点的( )条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要条件D．既不充分也不必要8．若直角坐标平面内的两点p 、Q 满足条件：①p 、Q 都在函数y=f （x ）的图像上；②p 、Q 关于原点对称，则称点对[P ，Q]是函数y=f （x ）的一对“友好点对”（注：点对[P ，Q]与[Q ，P]看作同一对“友好点对”）．已知函数f （x ）=221(0)4(0)og x x x x x >⎧⎨--≤⎩，则此函数的“友好点对”有（）对． A ． 0 B ． 1 C ．2D ． 3 第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．直线2p sin θ=1与圆ρ=2 cos θ相交弦的长度为。

2011北京高考数学真题(理科)及答案

2011北京高考数学真题（理科）一．选择题1．已知集合2{|1}P x x =≤，{}M a =．若PM P =，则a 的取值范围是（）A ．(,1]-∞-B ．[1,)+∞C ．[1,1]-D ．(,1][1,)-∞-+∞2．复数212i i-=+ （） A ．i B ．i - C ．4355i -- D ． 4355i -+3．在极坐标系中，圆的圆心的极坐标是（）A ．(1,)2π B ．(1,)2π- C ．(1,0) D ．(1,)π4．执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（）A ．3-B ．12- C ．13 D ．25．如图，AD ，AE ，BC 分别与圆O 切于点D ，E ，F ，延长AF 与圆O 交于另一点G ．给出下列三个结论： ①AD AE AB BC CA +=++； ②AF AG AD AE ⋅=⋅； ③AFB ADG △△∽．其中正确结论的序号是（）A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③6．根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间（单位：分钟）为,,(),cx A xf x cx A x⎧<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩（A ，c 为常数），已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么c 和A 的值分别是（）A ．75, 25B ．75, 16C ．60, 25D ．60,16 7．某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是（） A ．8 B ．62 C ．10 D ．8211s s s -=+0,2i s ==4i <1i i =+s输出开始结束第4题CB F AODEG第5题俯视图侧（左）视图正（主）视图3448．设(0,0)A ，(4,0)B ，(4,4)C t +，(,4)D t （t R ∈）．记()N t 为平行四边形ABCD 内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数()N t 的值域为（） A ．{9,10,11} B ．{9,10,12} C ．{9,11,12} D ．{10,11,12}二．填空题9．在ABC △中，若5b =，4B π∠=，tan 2A =，则sin A =_________；a =________．10．已知向量(3,1)a =，(0,1)b =-，(,3)c k =．若2a b -与c 共线，则k =______． 11．在等比数列{}n a 中，若112a =，44a =-，则公比q = ；12||||||n a a a +++= ．12．用数字2，3组成四位数，且数字2,3 至少都出现一次，这样的四位数共有个（用数字作答）．13．已知函数32, 2,()(1), 2.x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩若关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是．14．曲线C 是平面内与两个定点1(1,0)F -和2(1,0)F 的距离的积等于常数2a （1a >）的点的轨迹，给出下列三个结论：①曲线C 过坐标原点；②曲线C 关于坐标原点对称；③若点P 在曲线C 上，则12F PF △的面积不大于212a ．其中，所有正确结论的序号是．三．解答题15．（13分）已知函数()4cos sin()16f x x x π=+-．（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在区间[,]64ππ-上的最大值和最小值．16．（14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，2AB =，60BAD ∠=．（1）求证BD ⊥平面PAC ；（2）若PA AB =，求PB 与AC 所成角的余弦值；（3）当平面PBC 与平面PDC 垂直时，求PA 的长．17．（13分）以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X 表示．（1）如果8X =，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；（2）如果9X =，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数Y 的分布列和数学期望．999X 008111甲组乙组 C A B D P18．（13分）已知函数2()()x kf x x k e =-．（1）求()f x 的单调区间；（2）若对于任意的(0,)x ∈+∞，都有1()f x e≤，求k 的取值范围．19．（14分）已知椭圆22:14x G y +=，过点(,0)m 作圆221x y +=的切线l 交椭圆G 于A ，B 两点．（1）求椭圆G 的焦点坐标和离心率；（2）将||AB 表示为m 的函数，并求||AB 的最大值．20．（13分）若数列n A ：12,,,n a a a （2n ≥）满足1||1k k a a +-=（1,2,,1k n =-），则称n A 为E 数列．记12()n n S A a a a =+++．（1）写出一个满足150a a ==，且5()0S A >的E 数列5A ；（2）若112a =，2000n =．证明：E 数列n A 是递增数列的充要条件是2011n a =；（3）对任意给定的整数n （2n ≥），是否存在首项为0的E 数列n A ，使得()0n S A =?若果存在，写出一个满足条件的E 数列n A ；如果不存在，说明理由．参考答案及试题解析。

北京市石景山区—度第一学期高三期末统一测试——数学(理)

石景山区2007—2008学年第一学期期末考试试卷高三数学（理科）一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后括号内． 1．设集合{}|12A x x =-≤≤，{}|04B x x =≤≤，则AB =（）A ．]2,0[B ．]2,1[C ．]4,0[ D ．]4,1[2．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若5418a a =-，则8S 等于（）A ．144B ．72C ．54D ．363．现有3名男生和2名女生站成一排，要求其中2名女生恰好站在两端的不同的排法种数为（）A ． 120B ．24C ．12D ．484．已知53)2sin(=-απ，则)2cos(απ-=（） A ．257 B ．2524 C ．257-D ．2524-5．若|a |＝2，|b |＝2，且a b a ⊥-)(，则a 与b 的夹角是（）A ．6π B ．4π C ．3π D ．125π 6．nxx )1(+的展开式中常数项等于20，则n 等于（） A ．4B ．6C ．8D ．107．关于直线m ，n 与平面α，β，有以下四个命题： ①若//,//m n αβ且//αβ，则//m n ； ②若,m n αβ⊥⊥且αβ⊥，则m n ⊥； ③若,//m n αβ⊥且//αβ，则m n ⊥； ④若//,m n αβ⊥且αβ⊥，则//m n ．其中真命题的序号是（） A ．①②B ．③④C ．①④D ．②③8．如图，点P 在边长为1的正方形的边上运动，设M 是CD 的中点，则当P 沿着路径--B A M C -运动时，点P 经过的路程x 与△APM 的面积y 的函数)(x f y =的图象的形状大致是图中的（）二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上． 9．计算：=+-∞→3423limn n n ．10．复数ii+-12（i 是虚数单位）的实部为． 11．不等式01|25|>--x 的解集是_______________________． 12．函数)2(log 221x x y -=的单调递减区间是__________________．13．某校对文明班的评选设计了e d c b a ,,,,五个方面的多元评价指标，并通过经验公式ed c b a S 1++=来计算各班的综合得分，S 的值越高则评价效果越好．若某班在自测过程中各项指标显示出a b e d c <<<<<0，则下阶段要把其中一个指标的值增加1个单位，而使得S 的值增加最多，那么该指标应为．（填入e d c b a ,,,,中的某个字母） 14．一种计算装置，有一个数据入口A 和一个运算出口B ，执行某种运算程序．（1）当从A 口输入自然数1时，从B 口得到实数31，记为=)1(f 31；（2）当从A 口输入自然数)2(≥n n 时，在B 口得到的结果)(n f 是前一结果3)1(21)1(2)1(+----n n n f 的倍．当从A 口输入3时，从B 口得到；要想从B 口得到23031，则应从A 口输入自然数 .三、解答题：本大题共6个小题，共80分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分）已知：02<<-x π，51cos sin =+x x ．（Ⅰ）求x 2sin 和x x sin cos -的值；（Ⅱ）求xxx tan 1sin 22sin 2-+的值．16．（本题满分12分）在某电视节目的一次有奖竞猜活动中，主持人准备了A 、B 两个相互独立的问题，并且宣布：幸运观众答对问题A 可获奖金1000元，答对问题B 可获奖金2000元，先答哪个题由观众自由选择，但只有第一个问题答对，才能再答第二题，否则终止答题．若你被选为幸运观众，且假设你答对问题A 、B 的概率分别为12、14．（Ⅰ）记先回答问题A 获得的奖金数为随机变量ξ，则ξ的取值分别是多少？（Ⅱ）你觉得应先回答哪个问题才能使你获得更多的奖金？请说明理由．17．（本题满分14分）正项数列{a n }的前n 项和为n S ，且12+=n n a S ．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设11+⋅=n n n a a b ，数列{n b }的前n 项和为n T ，求证：21<n T ．18．（本题满分14分）已知：如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形，⊥PA 平面ABCD ，1==AB PA ，2=BC ．（Ⅰ）求证：平面PDC ⊥平面PAD ；（Ⅱ）若E 是PD 的中点，求异面直线AE 与PC 所成角的余弦值；（Ⅲ）在BC 边上是否存在一点G ，使得D 点到平面PAG 的距离为1？若存在，求出BG 的值；若不存在，请说明理由．19．（本题满分14分）已知：在函数x mx x f -=3)(的图象上，以),1(n N 为切点的切线的倾斜角为4π．（Ⅰ）求m ，n 的值；（Ⅱ）是否存在最小的正整数k ，使得不等式1993)(-≤k x f 对于]3,1[-∈x 恒成立？如果存在，PA BCDE请求出最小的正整数k ；如果不存在，请说明理由；（Ⅲ）求证：)21(2|)(cos )(sin |tt f x f x f +≤+（R x ∈，0>t ）． 20．（本题满分12分）对于定义域为D 的函数)(x f y =，若同时满足：①)(x f 在D 内单调递增或单调递减；②存在区间[b a ,]D ⊆，使)(x f 在],[b a 上的值域为],[b a ；那么把函数)(x f y =（D x ∈）叫做闭函数．（Ⅰ）求闭函数3x y -=符合条件②的区间],[b a ；（Ⅱ）判断函数)0(143)(>+=x xx x f 是否为闭函数？并说明理由；（Ⅲ）若2++=x k y 是闭函数，求实数k 的取值范围．石景山区2007—2008学年第一学期期末考试试卷高三数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．注：第14题第1个空3分，第2个空2分.三、解答题：本大题共6个小题，共80分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分）解：（Ⅰ）∵ 51cos sin =+x x ，∴ 251)cos (sin 2=+x x . ∴ 2524cos sin 2-=x x ，即25242sin -=x . ………………………………4分∵ 02<<-x π，∴ x x sin cos >. ………………………………5分∴ 5725241cos sin 21)sin (cos sin cos 2=+=-=-=-x x x x x x . ………………………………8分（Ⅱ）xx x x x x x x x x x x x x cos sin cos )sin (cos sin 2cos sin 1sin 2cos sin 2tan 1sin 22sin 22-+=-+=-+x x x x x x x x x x x sin cos )cos (sin 2sin sin cos )sin (cos cos sin 2-+=-+=…………………12分=⨯-=5751)2524(17524-. ………………………………14分16．（本题满分12分）解：（Ⅰ）随机变量ξ的可能取值为0，1000，3000. …………………………3分（Ⅱ）设先答问题A 获得的奖金为ξ元，先答问题B 获得的奖金为η元.则有21211)0(=-==ξP ，83)411(21)1000(=-⨯==ξP ，814121)3000(=⨯==ξP ，∴ 75086000813000831000210==⨯+⨯+⨯=ξE . ………………………7分同理：43)0(==ηP ，81)2000(==ηP ，81)3000(==ηP ，∴ 62585000813000812000430==⨯+⨯+⨯=ηE . ……………………11分故知先答问题A ，所获得的奖金期望较多. ………………………………12分17．（本题满分14分）解：（Ⅰ）∵ 1211+=a S ，∴ 11=a . ………………………………2分 ∵ 0>n a ，12+=n n a S ，∴ 2)1(4+=n n a S . ① ∴ 211)1(4+=--n n a S （2≥n ）. ② ①-②，得 1212224----+=n n n n n a a a a a ，即0)2)((11=--+--n n n na a a a ，而0>n a ，∴)2(21≥=--n a a n n . ………………………………6分故数列}{n a 是首项为1，公差为2的等差数列.∴ 12-=n a n . ………………………………8分（Ⅱ）)121121(21)12)(12(1+--=+-=n n n n b n . ………………………………10分n n b b b T +++= 21)121121(21)5131(21)311(21+--++-+-=n n 21)1211(21<+-=n . ………………………………14分18．（本题满分14分）解法一：（Ⅰ）证明： ∵ ⊥PA 平面ABCD ， ∴ CD PA ⊥. …………1分∵ 四边形ABCD 是矩形，∴ CD AD ⊥. 又 A AD PA =⋂ ∴⊥CD 平面PAD . …………3分又 ∵ ⊂CD 平面PDC ，∴ 平面⊥PDC 平面PAD . ……5分（Ⅱ）解：设CD 的中点为F ，连结EF 、AF .∵ E 是PD 中点， ∴ EF ∥PC .∴ AEF ∠是异面直线AE 与PC 所成角或其补角. ……………………7分由1==AB PA ，2=BC ，计算得G D2521==PD AE ，2621==PC EF ，217=AF ， 10302625241746452cos 222-=⋅⋅-+=⋅-+=∠EF AE AF EF AE AEF ，…………………9分 ∴ 异面直线AE 与PC 所成角的余弦值为1030. ……………………10分（Ⅲ）解：假设在BC 边上存在点G ，使得点D 到平面PAG 的距离为1. 设x BG =，过点D 作AG DM ⊥于M .∵ ⊥PA 平面ABCD ，∴ DM PA ⊥,A AG PA =⋂. ∴ ⊥DM 平面PAG .∴ 线段DM 的长是点D 到平面PAG 的距离，即1=DM . ……………12分又1121212=+=⋅=∆x DM AG S AGD ，解得 23<=x .所以，存在点G 且当3=BG 时，使得点D 到平面PAG 的距离为1. ……………………14分解法二：以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，AP 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，则A （0，0，0），B （1，0，0），C （1，2，0），D （0，2，0），E （0，1，12），P （0，0，1）．∴ ＝（－1，0，0），＝（0，2，0），＝（0，0，1），＝（0，1，12），＝（1，2，－1）. …………2分（Ⅰ）∵ 0=⋅， ∴ AD CD ⊥.∵ 0=⋅，∴ AP CD ⊥.又 A AD AP = ，∴ ⊥CD 平面PAD . …………………………5分∵ ⊂CD 平面PAD ，∴ 平面PDC ⊥平面PAD ． ……………………7分（Ⅱ）∵ ||||,cos PC AE ⋅>=<10306411212=⋅+-=，yx…………………………9分 ∴ 异面直线AE 与PC 所成角的余弦值为1030． ………………10分（Ⅲ）假设BC 边上存在一点G 满足题设条件，令x BG =，则)0,,1(x G .作AG DQ ⊥于Q ，∵ ⊥PA 平面ABCD ，∴ DQ PA ⊥.又 A AG PA =⋂，∴ ⊥DQ 面PAG .∴ 线段DQ 的长是点D 到平面PAG 的距离，即1=DQ . …………12分 ∵ ADG S ∆2=S矩形ABCD，∴ 2||||||||=⋅=⋅AD AB DQ AG . ∴ 2||=AG . 又 12+=x AG ，∴ 23<=x .故存在点G ，当BG ＝3时，使点D 到平面PAG 的距离为1． …………14分 19．（本题满分14分）解：（Ⅰ）13)(2-='mx x f ，依题意，得=')1(f 4tanπ，即113=-m ，32=m . ………………………………2分 ∵ n f =)1(， ∴ 31-=n . ………………………………3分（Ⅱ）令012)(2=-='x x f ，得22±=x . ………………………………4分当221-<<-x 时，012)(2>-='x x f ；当2222<<-x 时，012)(2<-='x x f ；当322<<x 时，012)(2>-='x x f .又31)1(=-f ，32)22(=-f ，32)22(-=f ，15)3(=f . 因此，当]3,1[-∈x 时，15)(32≤≤-x f . ………………………………7分要使得不等式1993)(-≤k x f 对于]3,1[-∈x 恒成立，则2008199315=+≥k . 所以，存在最小的正整数2008=k ，使得不等式1993)(-≤k x f 对于 ]3,1[-∈x 恒成立. ………………………………9分（Ⅲ）方法一：|)(cos )(sin |x f x f +|)cos cos 32()sin sin 32(|33x x x x -+-= |)cos (sin )cos (sin 32|33x x x x +-+= |]1)cos cos sin (sin 32)[cos (sin |22-+-+=x x x x x x|31cos sin 32||cos sin |--⋅+=x x x x3|cos sin |31x x +=3|)4sin(2|31π+=x 322≤. …………………11分又∵ 0>t ，∴ 221≥+t t ，14122≥+tt .∴ )21(2t t f +)]21()21(32[23tt t t +-+=]31)41(32)[21(222-++=t t t t 322)3132(22=-≥. …………………13分综上可得，)21(2|)(cos )(sin |tt f x f x f +≤+（R x ∈，0>t ）. …………………………14分方法二：由（Ⅱ）知，函数)(x f 在 [-1，22-]上是增函数；在[22-,22]上是减函数；在[22，1]上是增函数. 又31)1(=-f ，32)22(=-f ，32)22(-=f ，31)1(-=f .所以，当x ∈[-1，1]时，32)(32≤≤-x f ，即32|)(|≤x f . ∵ x sin ，x cos ∈[-1，1]，∴ 32|)(sin |≤x f ，32|)(cos |≤x f .∴ 3223232|)(cos ||)(sin ||)(cos )(sin |=+≤+≤+x f x f x f x f . ………………………………11分又∵0>t ，∴ 1221>≥+tt ，且函数)(x f 在),1[+∞上是增函数. ∴ 322]2)2(32[2)2(2)21(23=-=≥+f t t f . …………………13分综上可得，)21(2|)(cos )(sin |t t f x f x f +≤+（R x ∈，0>t ）.……………14分20．（本题满分12分）解：（Ⅰ）由题意，3x y -=在[b a ,]上递减，则⎪⎩⎪⎨⎧>-=-=a b b a a b 33，解得⎩⎨⎧=-=11b a . 所以，所求的区间为[-1，1] . ………………………3分（Ⅱ）取11=x ，102=x ，则)(107647)(21x f x f =<=，即)(x f 不是),0(+∞上的减函数. 取,1001,10121==x x )(100400310403)(21x f x f =+<+=，即)(x f 不是),0(+∞上的增函数.所以，函数在定义域内既不单调递增也不单调递减，从而该函数不是闭函数.………………………6分（Ⅲ）若2++=x k y 是闭函数，则存在区间[b a ,]，在区间[b a ,]上，函数)(x f y =的值域为[b a ,].容易证明函数2++=x k y 在定义域内单调递增，∴ ⎪⎩⎪⎨⎧++=++=22b k b a k a . ∴ b a ,为方程2++=x k x 的两个实数根. 即方程22(21)20(2,)x k x k x x k -++-=≥-≥有两个不相等的实根.………………………8分当2-≤k 时，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧->+≥->∆22120)2(0k f ，解得249-≤<-k .当2->k 时，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+≥>∆kk k f 2120)(0，无解.综上所述，]2,49(--∈k .………………………12分注：若有其它解法，请酌情给分．。

2011年北京市高考数学试卷(理科)(含解析版)

；|a1|+|a2|+…+|an|=
．
12．（5 分）用数字 2，3 组成四位数，且数字 2，3 至少都出现一次，这样的四位数共有数字作答）
个．（用
13．（5 分）已知函数
若关于 x 的方程 f（x）=k 有两个不同的实根，则数 k
16．（14 分）如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，PA⊥平面 ABCD，底面 ABCD 是菱形，AB=2，∠BAD=60°．（Ⅰ）求证：BD⊥平面 PAC；（Ⅱ）若 PA=AB，求 PB 与 AC 所成角的余弦值；（Ⅲ）当平面 PBC 与平面 PDC 垂直时，求 PA 的长．
20．（13 分）若数列 An=a1，a2，…，an（n≥2）满足|ak+1﹣ak|=1（k=1，2，…，n﹣1），数列 An 为 E 数列，记 S（An）=a1+a2+…+an．
（Ⅰ）写出一个满足 a1=as=0，且 S（As）＞0 的 E 数列 An；（Ⅱ）若 a1=12，n=2000，证明：E 数列 An 是递增数列的充要条件是 an=2011；（Ⅲ）对任意给定的整数 n（n≥2），是否存在首项为 0 的 E 数列 An，使得 S（An）=0？如果存在，
．
三、解答题（共 6 小题，满分 80 分） 15．（13 分）已知 f（x）=4cosxsin（x+ ）﹣1．（Ⅰ）求 f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求 f（x）在区间[﹣ ， ]上的最大值和最小值．
17．（13 分）以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以 X 表示．
绝密★启用前
2011 年普通高等学校招生全国统一考试
①AD+AE=AB+BC+CA；②AF•AG=AD•AE③△AFB～△ADG 其中正确结论的序号是（）

北京市石景山区2011—2012学年高三第一学期期末考试

实用文档北京市石景山区2011—2012学年高三第一学期期末考试一、选择题 1、已知复数i1i1z -+=，则复数z 的模为（） A ． 2B ．2 C ．1 D ．02、设)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≤x 时，x x x f -=22)(，则=)1(f （）3、如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为2，那么这个几何体的体积为（）A ．38 B ．34 C ．4D ．2A ．-3B ．-1C ．1D ．3正视侧视俯视4、执行右面的框图，若输入实数2=x，则输出结果为（）A．22B．41C．12-D．215、以下四个命题中，真命题的个数是（）①命题“若0232=+-xx，则1=x”的逆否命题为“若1≠x，则0232≠+-xx”；②若qp∨为假命题，则p、q均为假命题；③命题p：存在Rx∈,使得012<++xx，则p⌝：任意Rx∈,都有012≥++xx；④在ABC∆中,BA<是BA sinsin<的充分不必要条件.实用文档实用文档A ．1B ．2C ．3D ．46、对于使M x x ≤+-22成立的所有常数M 中，我们把M 的最小值1叫做22x x -+的上确界,若+∈R b a 、，且1=+b a ，则122a b--的上确界为（） A ．92B ．92-C ．41 D ．-47、设集合{}4,3,2,1=U ，{}2,1=A ,{}4,2=B ,则=⋃)(B A C U （） A ． }3{B ． }2{C ．}4,2,1{D ．}4,1{二、填空题8、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4518a a =-，则8S = ．9、在ABC ∆中，若32,120,2=︒=∠=a A c ，则=∠B ．10、已知向量)1,3(=a ，)1,0(=b ，)3,(k c =，若b a 2+与c 垂直，则=k ．实用文档11、若实数,x y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-.1,2,01x y x y x 则2x y +的最大值为．12、已知函数)1,0(log )(≠>+-=a a b x x x f a 且，当2131<<a 且43<<b 时，函数)(x f 的零点*0),1,(N n n n x ∈+∈，则=n ．13、统计某校1000名学生的数学会考成绩，得到样本频率分布直方图如下图，规定不低于60分为及格，不低于80分为优秀．则及格人数是；优秀率为．三、解答题 14、对于给定数列{}n c ，如果存在实常数,p q 使得1n n c pc q +=+对于任意*n N ∈都成立，我们称数实用文档列{}n c 是 “κ类数列”．（Ⅰ）若n a n 2=，32n n b =⋅，*n N ∈，数列{}n a 、{}n b 是否为“κ类数列”？若是，指出它对应的实常数,p q ，若不是，请说明理由；（Ⅱ）证明：若数列{}n a 是“κ类数列”，则数列}{1++n n a a 也是“κ类数列”；（Ⅲ）若数列{}n a 满足12a =，)(23*1N n t a a n n n ∈⋅=++，t 为常数．求数列{}n a 前2012项的和．并判断{}n a 是否为“κ类数列”，说明理由．15、已知函数x x x f 2sin 21cos 3)(2+=．（Ⅰ）求)(x f 的最小正周期；（Ⅱ）求)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-46ππ，上的最大值和最小值．16、实用文档甲、乙两名篮球运动员在四场比赛中的得分数据以茎叶图记录如下：甲乙1 8 6 0 0 24 423 0（Ⅰ）求乙球员得分的平均数和方差；（Ⅱ）分别从两人得分中随机选取一场的得分，求得分和超过55分的概率．（注：方差[]222212)()()(1x x x x x x ns n -++-+-=其中x 为1x ，2x ，⋯n x 的平均数）17、如图，矩形ADEF 与梯形ABCD 所在的平面互相垂直，AD CD ⊥，AB ∥CD ，2AB AD ==，4CD =，M 为CE 的中点．（Ⅰ）求证：BM ∥平面ADEF ；（Ⅱ）求证：BC ⊥平面BDE ．实用文档FCA18、已知椭圆12222=+by a x （0>>b a ）过点M （0，2），离心率36=e .（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线1+=x y 与椭圆相交于B A 、两点，求AMB S ∆.19、已知.,ln )(R a x ax x f ∈-=（Ⅰ）当2=a 时，求曲线)(x f 在点))1(,1(f 处的切线方程；实用文档（Ⅱ）若)(x f 在1=x 处有极值，求)(x f 的单调递增区间；（Ⅲ）是否存在实数a ，使()f x 在区间(]e ,0的最小值是3，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由.以下是答案一、选择题 1、C2、A3、B4、D5、C6、B7、A二、填空题实用文档8、729、6π10、3-11、412、213、800, 20%三、解答题 14、解：（Ⅰ）因为2,n a n =则有12,n n a a +=+*n N ∈故数列{}n a 是“κ类数列”，对应的实常数分别为1,2；因为32n n b =⋅，则有12n n b b +=，*n N ∈.故数列{}n b 是“κ类数列”，对应的实常数分别为2,0. （Ⅱ）证明：若数列{}n a 是“κ类数列”，则存在实常数q p 、，使得1n n a pa q +=+对于任意*n N ∈都成立，实用文档且有21n n a pa q ++=+对于任意*n N ∈都成立，因此()()1212n n n n a a p a a q ++++=++对于任意*n N ∈都成立，故数列{}1n n a a ++也是“κ类数列”．对应的实常数分别为,2p q ．（Ⅲ）因为 *132()n n n a a t n N ++=⋅∈ 则有1232a a t +=⋅，33432a a t +=⋅，20092009201032a a t +=⋅20112011201232a a t +=⋅故数列{}n a 前2012项的和2012S =()12a a ++()34a a +++()20092010a a ++()20112012a a +()320092011201232323232221t t t t t =⋅+⋅++⋅+⋅=-若数列{}n a 是“κ类数列”，则存在实常数q p 、使得1n n a pa q +=+对于任意*n N ∈都成立，且有21n n a pa q ++=+对于任意*n N ∈都成立，因此()()1212n n n n a a p a a q ++++=++对于任意*n N ∈都成立，而*132()n n n a a t n N ++=⋅∈，且)(23*121N n t a a n n n ∈⋅=++++，则有132322n n t t p q +⋅=⋅+对于任意*n N ∈都成立，可以得到 (2)0,0t p q -==，当2,0p q ==时，12n n a a +=，2n n a =，1t =，经检验满足条件. 当0,0t q == 时，1n n a a +=-，12(1)n n a -=-，1p =-经检验满足条件. 因此当且仅当1t =或0t =时，数列{}n a 是“κ类数列”.实用文档对应的实常数分别为2,0或1,0-．15、解：（Ⅰ）x x x f 2sin 2122cos 13)(++•= 232sin 212cos 23++=x x 23)32sin(++=πx π=T（Ⅱ）因为46ππ≤≤-x ，所以ππ65320≤+≤x 当232ππ=+x 时，即12π=x 时，)(x f 的最大值为231+；当032=+πx 时，即6π-=x 时，)(x f 的最小值为23.实用文档 16、解：（Ⅰ）由茎叶图可知，乙球员四场比赛得分为18,24,24,30，所以平均数24430242418=+++=x ；[]18)2430()2424()2424()2418(4122222=-+-+-+-=s .（Ⅱ）甲球员四场比赛得分为20,20,26,32，分别从两人得分中随机选取一场的得分，共有16种情况：（18，20）（18，20）（18，26）（18，32）（24，20）（24，20）（24，26）（24，32）（24，20）（24，20）（24，26）（24，32）（30，20）（30，20）（30，26）（30，32）得分和超过55分的结果有：（24，32）（24，32）(30，26)（30，32）求得分和超过55分的概率为41.17、解：（Ⅰ）证明：取DE 中点N ，连结,MN AN ．在△EDC 中，,M N 分别为,EC ED 的中点，实用文档所以MN ∥CD ，且12MN CD =．由已知AB ∥CD ，12AB CD =，所以MN ∥AB ，且MN AB =．所以四边形ABMN 为平行四边形．所以BM ∥AN ．又因为AN ⊂平面ADEF ，且BM ⊄平面ADEF ，所以BM ∥平面ADEF ．（Ⅱ）证明：在矩形ADEF 中，ED AD ⊥．又因为平面ADEF ⊥平面ABCD ，且平面ADEF 平面ABCD AD =，所以ED ⊥平面ABCD ．实用文档所以ED BC ⊥．在直角梯形ABCD 中，2AB AD ==，4CD =，可得BC =在△BCD中，4BD BC CD ===，因为222BD BC CD +=，所以BC BD ⊥．因为BD DE D ⋂=,所以BC ⊥平面BDE18、解：（Ⅰ）由题意得36,2==a c b 结合222c b a +=，解得122=a所以，椭圆的方程为141222=+y x . （Ⅱ）由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==+1141222x y y x 得12)1(322=++x x即09642=-+x x ，经验证0>∆.设),(),,(2211y x B y x A .所以49,232121-=⋅-=+x x x x ， 221221221)2)()AB x x y y x x -=-+-=（（，2103]4)[2AB 21221=-+=x x x x （实用文档因为点M 到直线AB 的距离222120=+-=d ，所以4532221032121=⨯⨯=⨯⨯=∆d AB S AMB .19、解：（Ⅰ）由已知得)(x f 的定义域为(0)+∞，，因为()ln f x ax x =-，所以'1 ()f x a x =-当2a =时，()2ln f x x x =-，所以(1)2f =，因为'1 ()2f x x =-，所以'1 (1)211f =-=所以曲线)(x f 在点))1(,1(f 处的切线方程为2(1)(1)y f x '-=-，即10x y -+=.（Ⅱ）因为)(x f 在1=x 处有极值，所以(1)0f '=，由（Ⅰ）知(1)1f a '=-，所以1a =经检验，1a =时)(x f 在1=x 处有极值．所以()ln f x x x =-，令'1 ()10f x x=->解得10x x ><或；因为)(x f 的定义域为(0)+∞，，所以' ()0f x >的解集为(1)+∞，，即)(x f 的单调递增区间为(1)+∞，.（Ⅲ）假设存在实数a ，使x ax x f ln )(-=（],0(e x ∈）有最小值3，实用文档 ① 当0≤a 时，因为(]e x ,0∈，所以0)('<x f ，所以)(x f 在],0(e 上单调递减，31)()(min =-==ae e f x f ，解得ea 4=，舍去. ②当e a <<10时，)(x f 在)1,0(a 上单调递减，在],1(e a 上单调递增，3ln 1)1()(min =+==a a f x f ，解得2e a =，满足条件. ③ 当e a ≥1时，因为(]e x ,0∈，所以0)('<xf ，所以)(x f 在],0(e 上单调递减，31)()(min =-==ae e f x f ，解得ea 4=，舍去. 综上，存在实数2e a =，使得当],0(e x ∈时()f x 有最小值3.。

2011石景山区高三期末考试(数学理)有答案

石景山区2010—2011学年第一学期期末考试试卷高三数学（理科）第Ⅰ卷选择题一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合{}21M x x =∈≤Z ，{}12N x x =∈-<<R ，则MN =（）A ． {}1,0,1-B ．{}0,1C ．{}1,0-D ．{}12．已知复数1iz i=＋，则复数z 的模为（）A ．2B C ．12D ．12+12i 3．一个几何体的三视图如右图所示（单位长度：cm ），则此几何体的体积是（） A ．1123cm B ．32243cm C ．963cmD ．2243cm4．从4名男同学和3名女同学中，任选3名同学参加体能测试，则选出的3名同学中，既有男同学又有女同学的概率为（） A ．3512 B ．3518 C ．76 D ．875．下列说法中，正确的是（） A ．命题“若22am bm <，则a b <”的逆命题是真命题B ．命题“x R ∃∈，02>-x x ”的否定是：“x R ∀∈，02≤-x x ”1M BA图1 图2 图3C．命题“p或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题D．已知Rx∈，则“1x>”是“2x>”的充分不必要条件6．已知函数32()f x x bx cx=++的图象如图所示，则22xA．32B．34C．38D．3167．已知O为坐标原点，点A),(yx与点B关于x轴对称，(0,1)j=，则满足不等式2OA j AB+⋅≤的点A的集合用阴影表示为（）8．下图展示了一个由区间(0,1)到实数集R的映射过程：区间(0,1)中的实数m对应数轴上的点M（如图1）；将线段AB围成一个圆，使两端点A、B恰好重合（从A到B是逆时针，如图2）；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y轴上，点A的坐标为(0,1)（如图3），图3中直线AM与x轴交于点(),0N n，则m的象就是n，记作()f m n=．则下列命题中正确的是（）A．114f⎛⎫=⎪⎝⎭B．()f x是奇函数C．()f x在其定义域上单调递增D．()f x的图象关于y轴对称第Ⅱ卷非选择题二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．9．已知(,0)2πα∈-，3sin5α=-，则cos()πα-＝．10．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，如果输入100，则输出的结果为，如果输入2-，则输出的结果为．11．已知直线220x y -+=经过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点和一个焦点，那么这个椭圆的方程为，离心率为_______．12．已知△ABC 的三边长分别为7AB =，5BC =， 6CA =，则AB BC ⋅的值为________．13．120)x dx =⎰．14．已知函数399)(+=x xx f ，则(0)(1)f f += ，若112()()k S f f k k -=+31()()(2,k f f k k kk-+++≥∈Z)，则1k S -= （用含有k 的代数式表示）．三、解答题：本大题共6个小题，共80分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数23cos sin sin 3)(2-+=x x x x f ()R x ∈．（Ⅰ）求)4(πf 的值；（Ⅱ）若)2,0(π∈x ，求)(x f 的最大值；（Ⅲ）在ABC ∆中，若B A <，21)()(==B f A f ，求ABBC 的值．16．（本小题满分13分）某地区举办科技创新大赛，有50件科技作品参赛，大赛组委会对这50件作品分别从“创新性”和“实用性”两项进行评分，每项评分均按等级采用5分制，若设“创新性”得分为x ，“实用性”得分为y ，统计结果如下表：（Ⅰ）求“创新性为4分且实用性为3分”的概率；（Ⅱ）若“实用性”得分的数学期望为16750，求a 、b 的值． 17．（本小题满分14分）已知直四棱柱ABCD A B C D ''''-，四边形ABCD 为正方形，'AA 22==AB ，E 为棱C C '的中点．（Ⅰ）求证：A E '⊥平面BDE ；（Ⅱ）设F 为AD 中点，G 为棱'BB 上一点，且14BG BB '=，求证：FG ∥平面BDE ；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下求二面角G DE B --的余弦值．18．（本小题满分13分）已知椭圆C 中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为2，短轴长为（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线l ：()0y kx m k =+≠与椭圆交于不同的两点M N 、（M N 、不是椭圆的左、右顶点），且以MN 为直径的圆经过椭圆的右顶点A ．求证：直线l 过定点，并求出定点的坐标．19．（本小题满分13分）已知函数ln ()()a xf x a R x+=∈．（Ⅰ）若4=a ，求曲线)(x f 在点))(,(e f e 处的切线方程；（Ⅱ）求)(x f 的极值；（Ⅲ）若函数)(x f 的图象与函数1)(=x g 的图象在区间],0(2e 上有公共点，求实数a 的取值范围．20．（本小题满分14分）如图111(,)P x y ，222(,)P x y ，，(,)n n n P x y ，12(0,)n y y y n N *<<<<∈ 是曲线2:3(0)C y x y =≥上的n 个点，点(,0)(1,2,3,,)i i A a i n =在x 轴的正半轴上，1i i i A A P -∆是正三角形(0A 是坐标原点) .（Ⅰ）求123,,a a a ；（Ⅱ）求出点n A (,0)(*)n a n N ∈的横坐标n a 关于n 的表达式；（Ⅲ）设12321111n n n n nb a a a a +++=++++，若对任意正整数n ，当[]1,1m ∈-时，不等式2126n t mt b -+>恒成立，求实数t 的取值范围.石景山区2010—2011学年第一学期期末考试试卷高三数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．注：两空的题第1个空3分，第2个空2分.三、解答题：本大题共6个小题，共80分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）234cos4sin4sin 3)4(2-+=ππππf 21=． ……………4分（Ⅱ）2)2cos 1(3)(x x f -=+232sin 21-x x x 2cos 232sin 21-=)32sin(π-=x ． ……………6分20π<<x ， 32323πππ<-<-∴x ． ∴当232x ππ-=时，即125π=x 时，)(x f 的最大值为1． …………8分（Ⅲ） )32sin()(π-=x x f ，若x 是三角形的内角，则π<<x 0，∴35323π<π-<π-x ．令21)(=x f ，得21)32sin(=π-x ，∴632π=π-x 或6532π=π-x ，12解得4π=x 或127π=x ． ……………10分由已知，B A ,是△ABC 的内角，B A <且21)()(==B f A f ，∴4π=A ，127π=B ，∴6π=--π=B A C ． ……………11分又由正弦定理，得221226sin 4sinsin sin ==ππ==C A AB BC ． ……………13分16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）从表中可以看出，“创新性为4分且实用性为3分”的作品数量为6件，∴“创新性为4分且实用性为3分”的概率为60.1250=． …………4分（Ⅱ）由表可知“实用性”得分y 有1分、2分、3分、4分、5分五个等级，且每个等级分别有5件，4b +件，15件，15件，8a +件． …………5分 ∴“实用性”得分y 的分布列为：又∵“实用性”得分的数学期望为50，∴541515816712345505050505050b a ++⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． ……………10分 ∵作品数量共有50件，∴3a b +=解得1a =，2b =． ……………………13分17．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）∵四棱柱''''D C B A ABCD -为直四棱柱，∴ AC BD ⊥，A A BD '⊥，A A A AC =' ，∴ A ACE '⊥面BD . ∵ A ACE '⊂'面E A ， ∴ E A BD '⊥.∵ 51222=+='B A ，21122=+=BE ，3111222=++='E A ，∴ 222E A BE B A '+='. ∴ BE E A ⊥'.又∵ B BE BD = ，∴ BDE 面⊥'E A . ……………………4分（Ⅱ）以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，D D '为z 轴，建立空间直角坐标系.∴ )2,0,1(A '，)1,1,0(E ，)0,0,21(F ，)21,1,1(G . ∵ 由（Ⅰ）知：)11,1(--='E A 为面BDE 的法向量，)21,1,21(=FG ， ……………………6分 ∵ 021)1(11211=⨯-+⨯+⨯-='⋅E A FG . ∴ E A FG '⊥. 又∵FG ⊄面BDE ，∴ FG ∥面BDE . ……………………8分（Ⅲ）设平面DEG 的法向量为),,(z y x n =，则 )1,1,0(=，)21,1,1(=.∵ 0110=⨯+⨯+⨯=⋅z y x DE n ,即0=+z y . 02111=⨯+⨯+⨯=⋅z y x DG n ,即02=++zy x .令1=x ，解得：2-=y ，2=z ，∴ )2,2,1(-=n . ……………………12分 ∴935332)1()2(11)1(,cos -=⋅⨯-+-⨯+⨯-='>='<E A n . ∴ 二面角B DE G --的余弦值为935. ……………………14分 18．（本小题满分13分）解: （Ⅰ）设椭圆的长半轴为a ，短半轴长为b ，半焦距为c ，则22222,2,c b a b c =⎧⎪=⎨⎪=+⎩解得2,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩ ∴ 椭圆C 的标准方程为 22143x y +=． ………………… 4分（Ⅱ）由方程组22143x y y kx m⎧⎪+=⎨⎪=+⎩ 消去y ，得()2223484120k x kmx m +++-=． ………………… 6分由题意△()()()22284344120km km=-+->，整理得：22340k m +-> ① ………………7分设()()1122,,M x y N x y 、，则122834km x x k +=-+， 212241234m x x k-=+ ． ………………… 8分由已知，AM AN ⊥，且椭圆的右顶点为A (2,0)， ∴()()1212220x x y y --+=．………………… 10分即 ()()()2212121240k x x km x x m ++-+++=，也即 ()()22222412812403434m kmk km m k k--+⋅+-⋅++=++，整理得2271640m mk k ++=．解得2m k =- 或 27km =-，均满足① ……………………… 11分当2m k =-时，直线l 的方程为 2y kx k =-，过定点(2,0)，不符合题意舍去；当27k m =-时，直线l 的方程为 27y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，过定点2(,0)7，故直线l 过定点，且定点的坐标为2(,0)7． ……………………… 13分19．（本小题满分13分）解：（Ⅰ） ∵4=a ， ∴x x x f 4ln )(+=且ee f 5)(=． ……………………… 1分又∵22ln 3)4(ln )4(ln )(x xx x x x x x f --='+-'+='，∴223ln 4()e f e e e--'==-． ……………………… 3分∴)(x f 在点))(,(e f e 处的切线方程为：)(452e x ee y --=-，即0942=-+e y e x ． ……………………… 4分（Ⅱ）)(x f 的定义域为),0(+∞，2)(ln 1)(x a x x f +-='，……………………… 5分令0)(='x f 得aex -=1．当),0(1a e x -∈时，0)(>'x f ，)(x f 是增函数；当),(1+∞∈-a e x 时，0)(<'x f ，)(x f 是减函数； …………………… 7分 ∴)(x f 在ae x -=1处取得极大值，即11)()(--==a ae ef x f 极大值．……… 8分（Ⅲ）（i ）当21e ea<-，即1->a 时，由（Ⅱ）知)(x f 在),0(1a e -上是增函数，在],(21e e a -上是减函数， ∴当aex -=1时，)(x f 取得最大值，即1max )(-=a e x f ．又当aex -=时，0)(=x f ，当],0(a e x -∈时，0)(<x f ，当],(2e e x a-∈时，],0()(1-∈a ex f ，所以，)(x f 的图像与1)(=x g 的图像在],0(2e 上有公共点，等价于11≥-a e，解得1≥a ，又因为1->a ，所以1≥a ． ……………… 11分（ii ）当21e ea≥-，即1-≤a 时，)(x f 在],0(2e 上是增函数，∴)(x f 在],0(2e 上的最大值为222)(e ae f +=， ∴原问题等价于122≥+ea，解得22-≥e a ，又∵1-≤a ∴无解综上，a 的取值范围是1≥a ． ……………… 13分20．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）1232,6,12a a a ===. …………………………… 3分（Ⅱ）依题意11(,0),(,0)n n n n A a A a --，则12n n n a a x -+=，n y =在正三角形1n n n P A A -中，有11||)n n n n n y A A a a --==-.1)n n a a -=-. ………………………… 5分1n n a a -∴-=2211122()(2,*)n n n n n n a a a a a a n n N ---∴-+=+≥∈ ①，同理可得2211122()(*)n n n n n n a a a a a a n N +++-+=+∈ ②.②-①并变形得1111()(22)0(2,*)n n n n n a a a a a n n N +-+--+--=≥∈ 11n n a a +->，11220n n n a a a +-∴+--=11()()2(2,*)n n n n a a a a n n N +-∴---=≥∈ .∴数列{}1n n a a +-是以214a a -=为首项，公差为2的等差数列.12(1),(*)n n a a n n N +∴-=+∈ ，n a ∴12132431()()()()n n a a a a a a a a a -=+-+-+-++-，2(123)n =++++2n n =+.(1)(*)n a n n n N ∴=+∈…………… 8分（Ⅲ）∵12321111(*)n n n n n b n N a a a a +++=++++∈， ∴1234221111(*)n n n n n b n N a a a a +++++=++++∈.121221111n n n n n b b a a a ++++∴-=+-111(21)(22)(22)(23)(1)(2)n n n n n n =+-++++++22(221)(21)(22)(23)(2)n n n n n n -+-=++++. ∴当*n N ∈时，上式恒为负值，∴当*n N ∈时，1n n b b +<，∴数列{}n b 是递减数列. n b ∴的最大值为12116b a ==. ……………… 12分若对任意正整数n ，当[]1,1m ∈-时，不等式2126n t mt b -+>恒成立，则不等式211266t mt -+>在[]1,1m ∈-时恒成立，即不等式220t mt ->在[]1,1m ∈-时恒成立.设2()2f m t mt =-，则(1)0f >且(1)0f ->，∴222020t t t t ⎧->⎪⎨+>⎪⎩ 解之，得 2t <-或2t >，即t 的取值范围是(,2)(2,)-∞-⋃+∞. …………………… 14分注：若有其它解法，请酌情给分．。

2011年北京高考数学(理)试题及答案word版

2011年北京高考数学（理）试题及答案word 版本试卷共5页，150分。

考试时间长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合P=｛x ︱x 2≤1｝,M=｛a ｝.若P ∪M=P,则a 的取值范围是（A ）(-∞, -1] （B ）[1, +∞）（C ）[-1，1] （D ）（-∞，-1] ∪[1，+∞）【答案】C【解析】：2{|1}{|11}P x x x x =≤=-≤≤，[1,1]PM P a =⇒∈-，选C 。

（2）复数212i i-=+ （A ）i （B ）-i （C ）4355i -- （D ）4355i -+【答案】A【解析】：22i 2(i 2)(12i)2242(1)2412i (12i)(12i)1414(1)i i i i ii i ---------+====++----，选A 。

（3）在极坐标系中，圆ρ=-2sin θ的圆心的极坐标系是(A) (1,)2π (B) (1,)2π- (C) (1,0) (D)(1，π)【答案】B【解析】：222sin (1)1x y ρθ=-⇒++=，圆心直角坐标为（0,-1），极坐标为(1,)2π-，选B 。

（4）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（A ）-3 （B ）-12（C ）13（D ）2【答案】D【解析】：循环操作4次时S 的值分别为11,,3,232--，选D 。

（5）如图，AD ，AE ，BC 分别与圆O 切于点D ，E ，F ，延长AF 与圆O 交于另一点G 。

给出下列三个结论：○1AD+AE=AB+BC+CA ； ○2AF ·AG=AD ·AE③△AFB ～△ADG 其中正确结论的序号是（A ）①② （B ）②③ （C ）①③ （D ）①②③【答案】A.【解析】：①正确。

北京市各区2011届高三一模考试试题汇总

北京市各区2011届高三一模考试试题汇总试题精粹05-18 0802：北京市各区2011届高三一模考试试题汇总北京市海淀区2011届高三第二学期期中练习--语文（扫描版）北京市海淀区2011年高三年级第二学期期中练习数学文北京市海淀区2011年高三年级第二学期期中练习数学理北京市海淀区2011届高三第二学期期中练习--英语（扫描版）北京市海淀区2011届高三一模考试（理综）北京市海淀区2011届高三第二学期期中练习--文综（扫描版）北京市海淀区2011届高三第二学期期中练习（全科6套）扫描版北京市海淀区2011高三第二学期期中练习（文科全套）扫描版北京市海淀区2011高三第二学期期中练习（理科全套）扫描版北京市西城区2011届高三一模试题（语文）Word版北京市西城区2011届高三一模试题（数学文）Word版北京市西城区2011届高三一模试题（数学理）Word版北京市西城区2011届高三一模试题（英语）Word版北京市西城区2011届高三一模试题（文综）Word版北京市西城区2011届高三下学期4月模拟考试（理综）扫描版北京市西城区2011届高三4月一模试题（文科全套）北京市西城区2011届高三4月一模试题（理科全套）北京市西城区2011届高三4月一模试题（全科）北京市东城区2011年高三第二学期综合练习（一）：语文北京市东城区2011学年度综合练习（一）数学文北京市东城区2011学年度综合练习（一）数学理北京市东城区2011年高三第二学期综合练习（一）：英语北京市东城区2011年高三第二学期综合练习（一）：文综北京市东城区2011年高三第二学期综合练习（一）：理综北京市东城区2011届高三下学期综合练习（一）（文科全套）北京市东城区2011届高三下学期综合练习（一）（理科全套）北京市东城区2011届高三下学期综合练习（一）（全科）北京市丰台区2011高三下学期统一练习（一）语文（无答案）北京市丰台区2011年高三下学期统一练习（一）：数学文北京市丰台区2011年高三下学期统一练习（一）（数学理）北京市丰台区2011年高三下学期统一练习（一）（英语）北京市丰台区2011年高三下学期统一练习（一）：理综北京市丰台区2011年高三下学期统一练习（一）：文综北京市丰台区2011年高三下学期统一练习（一）（文科全套）北京市丰台区2011年高三下学期统一练习（一）（理科4套）北京市丰台区2011年高三下学期统一练习（一）（文理科6套）北京市石景山区2011届高三统一测试扫描版（语文）北京市石景山区2011届高三统一测试扫描版（数学文）北京市石景山区2011届高三统一测试试题（word版）：数学理北京市石景山区2011届高三统一测试扫描版（英语）北京市石景山区2011届高三统一测试试题（word版）：文综北京市石景山区2011届高三统一测试扫描版（理综）北京市石景山区2011届高三3月统一测试（文科4套）word版北京市石景山区2011届高三3月统一测试（理科4套）word版北京市石景山区2011届高三3月统一测试（全科6套）word版北京市朝阳区2011届高三第一次综合练习（语文）北京市朝阳区高三第一次综合练习试卷（word版）：数学文北京市朝阳区高三第一次综合练习试卷（word版）：数学理北京市朝阳区高三4月第一次综合练习试卷（英语）扫描版北京市朝阳区高三第一次综合练习试卷（word版）：文综北京市朝阳区届高三第一次综合练习试卷（word版）：理综北京市朝阳区2011高三4月第一次综合练习（文科全套）北京市朝阳区2011高三4月第一次综合练习（理科全套）北京市朝阳区2011高三4月第一次综合练习（全科）。

北京市石景山区高三上学期期末考试数学(理)试题 Word版含答案

石景山区2013—2014学年第一学期期末考试试卷高三数学（理科）本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟.请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后上交答题卡.第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{}2230M x x x =∈+-≤R ，{}10N x x =∈+<R ，那么MN =（）A ．{101}-，，B ．{321}---，，C ．{11}x x -≤≤D ．{31}x x -≤<-2．复数1ii =-（） A ．122i + B ．122i -C ．122i-+ D ．122i -- 3．已知向量(1)x =，a ，(4)x =，b ，则“2x =”是“a ∥b ”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知数列为等差数列，，那么数列通项公式为（）A ．B ．C ．D ．5．执行如图所示的程序框图，若输入的x 的值为2，则输出的x 的值为（） A ．3 B ．126 C ．127D ．1286．在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P恰好落在正方形与曲线y =的区域内(阴影部分)的概率为（）A ．12B ．23Cy =BC ．34D ．457．用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（）A ．324B ．328C ．360D ．6488．已知函数满足，当时，，若在区间上方程有两个不同的实根，则实数的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9．已知圆C 的参数方程为12cos 2sin x y θθ+⎧⎨=⎩，，=(θ为参数)，则圆C 的直角坐标方程为_______________，圆心C 到直线:10l x y ++=的距离为______．10．在ABC ∆中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，若=6a ，4c =，1cos =3B ，则b =______．11．若x ，y 满足约束条件1020x y x y ≤⎧⎪≥⎨⎪-+≥⎩，，，则z x y =+的最大值为．12．如图，已知在ABC ∆中，o 90B ∠=，O 是AB 上一点，以O 为圆心，OB 为半径的圆与AB 交于点E ，与AC 切于点D ，2AD =，1AE =，则AB 的长为，CD 的长为．13．已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为直线l ，过抛物线上一点P 作PE l ⊥于E ，若直线EF 的倾斜角为o150，则||PF =______．14．已知四边形是边长为的正方形，且平面，为上动点，过且垂直于的平面交于，那么异面直线PC 与BD 所成的角的度数为，当三棱锥的体积取得最大值时，四棱锥P ABCD -的高PA 的长为．A DCBE．O1APE三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）已知函数()cos cos 21f x x x x =++．（Ⅰ）求函数的单调递增区间；（Ⅱ）求函数在上的最小值，并写出取最小值时相应的值．16．（本小题满分13分）北京市各级各类中小学每年都要进行“学生体质健康测试”，测试总成绩满分为100分，规定测试成绩在[85100]，之间为体质优秀；在[7585)，之间为体质良好；在[6075)，之间为体质合格；在[060)，之间为体质不合格．现从某校高三年级的300名学生中随机抽取30名学生体质健康测试成绩，其茎叶图如下：9 1 3 5 68 0 1 1 2 2 3 3 3 4 4 5 6 6 7 7 9 7 0 5 6 6 7 9 6 4 5 8 5 6（Ⅰ）试估计该校高三年级体质为优秀的学生人数；（Ⅱ）根据以上30名学生体质健康测试成绩，现采用分层抽样的方法，从体质为优秀和良好的学生中抽取5名学生，再从这5名学生中选出3人．（ⅰ）求在选出的3名学生中至少有1名体质为优秀的概率；（ⅱ）记X 为在选出的3名学生中体质为良好的人数，求X 的分布列及数学期望．17.（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，o 90ABC ∠=，AD ∥BC ，且2PA AD ==，1AB BC ==，E 为PD 的中点．（Ⅰ）求证：CD ⊥平面PAC ；（Ⅱ）求二面角E AC D --的余弦值；（Ⅲ）在线段AB 上是否存在一点F （不与A B ，两点重合），使得AE ∥平面PCF ?若存在，求出AF 的长；若不存在，请说明理由．P18．（本小题满分13分）已知函数()xf x e ax =-（e 为自然对数的底数）.（Ⅰ）当2a =时，求曲线()f x 在点(0(0))f ，处的切线方程；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）已知函数()f x 在0x =处取得极小值，不等式()f x mx <的解集为P ，若1{|2}2M x x =≤≤，且M P ≠∅，求实数m 的取值范围.19．（本小题满分14分）已知椭圆：（）过点(20)，，且椭圆的离心率为. （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若动点在直线上，过作直线交椭圆于两点，且MP PN =，再过作直线.证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标.20．（本小题满分13分）已知集合，对于数列中. （Ⅰ）若50项数列{}n a 满足5019ii a==-∑，5021(1)107i i a =-=∑，则数列{}n a 中有多少项取值为零？(121nin i aa a a n *==+++∈∑N ，)（Ⅱ）若各项非零数列{}n a 和新数列{}n b 满足11i i i b b a ---=（）．（ⅰ）若首项10b =，末项1n b n =-，求证数列{}n b 是等差数列；（ⅱ）若首项10b =，末项0n b =，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，求n S 的最大值和最小值．石景山区2013—2014学年第一学期期末考试高三数学（理科）参考答案二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．(两空的题目第一空2分，第二空3分)三、解答题共6小题，共80分． 15．（本小题共13分）解：（Ⅰ）()f x 2cos 2+1x x =+ …………2分2sin2+16x π=+（）， ……………4分222262k x k πππππ-≤+≤+，k ∈Z ， 36k x k ππππ-≤≤+，k ∈Z ， ………6分所以函数)(x f 的单调递增区间为[]36k k ππππ-+，()k ∈Z ． ……………7分（Ⅱ）因为44x ππ-≤≤，22363x πππ-≤+≤， ……………9分sin(2)16x π≤+≤，12sin 2+136x π≤+≤（）， ……………11分所以当2=63x ππ+-，即=4x π-时，函数)(x f取得最小值1． (13)分则 3335C 9()1C 10P A =-=．故在选出的3名学生中至少有名体质为优秀的概率为910．……9分（ⅱ）解：随机变量X 的所有取值为123，，．123235C C 3(1)C 10P X ⋅===， 213235C C 6(2)C 10P X ⋅===，3335C 1(3)C 10P X ===． …………12分所以，随机变量X 的分布列为:36191231010105EX =⨯+⨯+⨯=． ……………13分17．（本小题共14分）（Ⅰ）证明：因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA CD ⊥. ……………1分取AD 的中点G ，连结GC ，因为底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，o90ABC ∠=，且1AB BC ==，所以四边形ABCG 为正方形，所以CG AD ⊥，且1=2CG AD ，所以o=90ACD ∠，即AC CD ⊥. ...............3分又PA AC A =，所以CD ⊥平面PAC . (4)分（Ⅱ）解：如图，以A 为坐标原点，AB AD AP ，，所在直线分别为x y z ，，轴建立空间直角坐标系xyz A -．………5分则(000)A ，，，(110)C ，，，(011)E ，，，(002)P ，，，所以(002)AP =，，，(110)AC =，，，(011)AE =，，．因为PA ⊥平面ABCD ，所以(002)AP =，，为平面ACD 的一个法向量． ……6分设平面EAC 的法向量为1()n x y z =，，，由10n AC ⋅=，10n AE ⋅=得00x y y z +=⎧⎨+=⎩，，令1x =，则1y =-，1z =，所以1(111)n =-，，是平面EAC 的一个法向量． ………8分所以1cos n AP <>==0，因为二面角E AC D --为锐角，所以二面角E AC D --的余弦值为3． ………9分 APEBDCG（Ⅲ）解：假设在线段AB 上存在点F （不与A B ，两点重合），使得AE ∥平面PCF ．设(00)F a ，，，则(110)CF a =--，，，(112)CP =--，，．设平面PCF 的法向量为2()n x y z =，，，由20n CF ⋅=，20n CP ⋅=得(1)020a x y x y z --=⎧⎨--+=⎩，，令1x =，则1y a =-，2az =，所以2(11)2a n a =-，，是平面PCF 的一个法向量．…12分因为AE ∥平面PCF ，所以20AE n ⋅=，即(1)02aa -+=， ……………13分解得23a =，所以在线段AB 上存在一点F （不与A B ，两点重合），使得AE ∥平面PCF ，且2=3AF ．……14分18.（本小题共13分）解：（Ⅰ）当2a =时，()2x f x e x =-，(0)1f =，()2xf x e '=-，得(0)1f '=-，………2分所以曲线()f x 在点(0(0))f ，处的切线方程为1y x =-+. ……………3分（Ⅱ）()xf x e a '=-.当0a ≤时，()0f x '>恒成立，此时()f x 的单调递增区间为()-∞+∞，，无单调递减区间；………5分当0a >时，(ln )x a ∈-∞，时，()0f x '<，(ln )x a ∈+∞，时，()0f x '>，此时()f x 的单调递增区间为(ln )a +∞，，单调递减区间为(ln )a -∞，.……7分（Ⅲ）由题意知(0)0f '=得1a =，经检验此时()f x 在0x =处取得极小值. ………8分因为M P ≠∅，所以()f x mx <在1[2]2，上有解，即1[2]2x ∃∈，使()f x mx <成立，…9分即1[2]2x ∃∈，使x e x m x ->成立， …………10分所以min ()x e xm x->. 令()1x e g x x =-，2(1)()x x e g x x -'=，所以()g x 在1[1]2，上单调递减，在[12]，上单调递增，则min ()(1)1g x g e ==-， ……………12分所以(1)m e ∈-∞，+. ……………13分 19．（本小题共14分）解：（Ⅰ）因为点(20)，在椭圆C 上，所以22401a b+=，所以24a =， …………1分因为椭圆C 的离心率为12，所以12c a =，即22214a b a -= ， …………2分解得23b =， ……………4分所以椭圆C 的方程为22143x y +=. ……………5分（Ⅱ）设0(1)P y -，，033()22y ∈-，， ①当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为0(1)y y k x -=+，11()M x y ，，22()N x y ，，由2203412(1)x y y y k x ⎧+=⎨-=+⎩，，得22222000(34)(88)(48412)0k x ky k x y ky k ++++++-=， ………7分所以2012288+34ky k x x k +=-+， ……………8分因为MP PN =，即P 为MN 中点，所以12=12x x +-，即20288=234ky k k +--+.所以003(0)4MN k y y =≠， ……………9分因为直线l MN ⊥，所以043l y k =-，所以直线l 的方程为004(1)3y y y x -=-+，即041()34y y x =-+ ，显然直线l 恒过定点1(0)4-，. ……………11分②当直线MN 的斜率不存在时，直线MN 的方程为1x =-，此时直线l 为x 轴，也过点1(0)4-，. ……………13分综上所述直线l 恒过定点1(0)4-，. ……………14分 20．（本小题共13分）解：（Ⅰ）设数列{}n a 中项为110-，，分别有x y z ，，项．由题意知5094107x y z x y z y ++=⎧⎪-=-⎨⎪+=⎩，，，解得11z =．所以数列{}n a 中有11项取值为零． ……3分（Ⅱ）（ⅰ）{11}i a ∈-，且11i i i b b a ---=，得到121(23)i i b a a a i n -=+++=，，，，若1(121)i a i n ==-，，，，则满足1n b n =-．此时11i i b b --=，数列{}n b 是等差数列；若121n a a a -，，，中有*(0)p p p >∈，N 个1-，则121n b n p n =--≠-不满足题意；所以数列{}n b 是等差数列． ……………7分（ⅱ）因为数列{}n b 满足11i i i b b a ---=，所以121(23)i i b a a a i n -=+++=，，，，根据题意有末项0n b =，所以1210n a a a -+++=．而{11}i a ∈-，，于是n 为正奇数，且121n a a a -，，，中有12n -个1和12n -个1-． 12112121()()n n n S b b b a a a a a a -=+++=+++++++121(1)(2)n n a n a a -=-+-++要求n S 的最大值，则只需121n a a a -，，，前12n -项取1，后12n -项取1-，11 所以2max (1)()(2)(4)14n n S n n -=-+-++=（n 为正奇数）．要求n S 的最小值，则只需121n a a a -，，，前12n -项取1-，后12n -项取1，则2min (1)()(2)(4)14n n S n n -=------=-（n 为正奇数）． …………13分【注：若有其它解法，请酌情给分．】。

北京市石景山区2011届高三统一测试(理综生物)1

北京市石景山区2011届高三统一测试理科综合生物本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。

满分300分，考试用时150分钟。

第Ⅰ卷（选择题共20题每题6分共120分）可能用到的相对原子质量：H-l C-12 O-16 Na-23 Cl-35．5 Ca--40在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

请把答案涂在机读卡上。

1．下列关于转化的叙述中，正确的是（）A．光合作用中ATP与ADP、NADP+与NADPH之间的相互转化，发生在光反应阶段B．有氧呼吸把有机物转化成无机物，无氧呼吸把有机物转化成小分子有机物C．血糖和肝糖元、肌糖元之间可以相互转化，保证人体内血糖浓度的相对稳定D．R型肺炎双球菌转化成S型菌，必须将其与活的S型菌混合2．右图表示植物细胞有丝分裂时细胞核裂解和重建过程，下列相关说法正确的是（）A．①→②→③→④为一个完整的细胞周期B．①中完成DNA的复制及相关蛋白的合成C．②和③分别处于有丝分裂的后期和末期D．若此图表示减数第一次分裂，①中会发生联会3．某种开花植物细胞中，基因P（p）和基因R（r）分别位于两对同源染色体上，将纯合的紫花植珠（基因型为PPrr）与纯合的红花植株（基因型为ppRR）杂交，F1全开紫花，自交后代F2中紫花：红花：白花=12:3：1。

则F2中表现型为紫花的植株基因型有（）A．9种B． 12种C．6种D．4种4．右图表示某人工设计的生态系统，下列叙述不正确是（）A．该生态系统经过能量多级利用，提高了系统总能量利用效率B．该生态系统的分解者是蝇蛆和蚯蚓，促进了系统中物质循环和能量流动的进行C．合理使用农家肥可提高流经该生态系统的总能量D．该生态系统遵循了“物质循环再生”的原理，但各营养级之间的能量传递效率并未提高5．下列有关生物技术的说法，正确的是（）A．NDA粗提取时，用体积分数为95%的冷却酒精进一步纯化DNAB．制作果醋时应避免通入空气以保证有关菌种正常代谢C．制作果酒时应反复冲洗葡萄以避免杂菌的影响D．测定土壤中能分解尿素的细菌数目，应采用平板划线法第II卷（非选择题共1l小题共180分）29．（12分）在秦岭某区域的一片锐齿栎林中选取锐齿栎（乔木）、木姜子（灌木）、披针叶苔草（草本）等3种有代表性的植物为研究对象，测定光合速率的日变化，得到如图1所示曲线，同时测定森林不同高度的光照强度日变化如图2所示。

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北京石景山区2011年高三统一测试
数学试题（理科）
考生须知： 1．本试卷为闭卷考试，满分为150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷共6页，各题答案均答在答题卡上．
第Ⅰ卷选择题
一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的． 1．设2{|4},{|4}M x x N x x =<=<，则
（）
A ．M
N
B ．N
M
C ．R M C N ⊆
D ．R N C M ⊆ 2．若17(,),2i
a bi a
b R i i
+=+∈-是虚数单位，则乘积ab 的值是（）
A ．-15
B ．3
C ．-3
D ．5 3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若45818,a a S =-=则（） A ．72 B ．68 C ．54 D ．90
4．一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示（单位：
cm ），则这个几何体的体积是（） A ．3
3cm B ．
3
52cm
C ．23cm
D ．3
32
cm
5．已知O 是ABC ∆所在平面内一点，D 为BC 边中点，且
20OA OB OC ++=
，那么
（）
A ．AO OD =
B ．2AO OD =
C ．3AO O
D =
D ．2AO OD =
6．某单位有7个连在一起的车位，现有3辆不同型号的车需停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，
则不同的停放方法的种数为（） A ．16 B ．18 C ．24 D ．32
7．已知椭圆2
214
x y +=的焦点为12,F F ，在长轴A 1A 2上任取一点M ，过M 作垂直于A 1A 2的直线交椭圆于点P ，则使得120PF PF ⋅<
的点M 的概率为
（）
A ．
2
3
B ．
63
C ．
26
3
D ．
12
8．定义在R 上的函数()f x 满足(4)1,()()f f x f x '=为的导函数，已知()y f x '=的图象如图所示，若两
个正数,a b 满足1
(2)1,1
b f a b a ++<+则的取值范围是（）
A ．11(,)53
B ．1(,)(5,)3
-∞⋃+∞ C ．1(,5)3
D ．(,3)-∞
第Ⅱ卷非选择题
二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．
9．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对应的边分别为222,,,a b c b c bc a +=+且，则角A 的大小为．
10．阅读如图所示的程序框图，运行该程序后输出的k 的值是． 11．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆5cos 1
:5sin 2
x C y θθ=-⎧⎨
=+⎩（θ为参数）和直
线46:32x t l y t =+⎧⎨=--⎩
（t 为参数），则圆C 的普通方程为，直线l 与
圆C 的位置关系是。

12．如图，圆O 的直径AB=8，C 为圆周上一点，BC=4，过C 作圆的切线l ，
过A 作直线l 的垂线AD ，D 为垂足，AD 与圆O 交于点E ，则线段AE 的长为。

13．已知两定点(1,0),(1,0)M N -，若直线上存在点P ，使得||||4PM PN +=，则
该直线为“A 型直线”。

给出下列直线，其中是“A 型直线”的是。

①1y x =+
②2y = ③3y x =-+
④23y x =-+
14．函数2
(0)y x x =>的图象在点2
(,)n n a a 处的切线与x 轴交点的横坐标为1n a +，
*135,16,n N a a a ∈=+=若则，数列{}n a 的通项公式为．
三、解答题：本磊题共6小题，共80分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）
在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对应的边分别为2
7
,,,4sin
cos 2.22
A B a b c C +-=且（Ⅰ）求角C 的大小；
（Ⅱ）求sin sin A B +的最大值． 16．（本小题满分13分）为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者，从符合条件的500名志愿者中随机
抽样100名志原者的年龄情况如下表所示。

（Ⅰ）频率分布表中的①、②位置应填什么数据？并在答题卡中补全频率分布直方图（如图），再根据
频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[30,35)岁的人数；
（Ⅱ）在抽出的100名志原者中按年龄再采用分层抽样法抽取20人参加中心广场的宣传活动，从这20
人中选取2名志愿者担任主要负责人，记这2名志愿者中“年龄低于30岁”的人数为X ，求X 的分布列及数学期望。

17．（本小题满分14分）
在棱长为2的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为A 1D 1和CC 1
的中点．
（Ⅰ）求证：EF//平面ACD 1；
（Ⅱ）求异面直线EF 与AB 所成的角的余弦值；
（Ⅲ）在棱BB 1上是否存在一点P ，使得二面角P —AC —B 的大小为
30°？若存在，求出BP 的长；若不存在，请说明理由．
18．（本小题满分13分）
已知函数2
1
()()ln ,().2
f x a x x a R =-+∈
（Ⅰ）当1,()a f x =时求在区间[1,]e 上的最大值和最小值；
（Ⅱ）若在区间(1,)+∞上，函数()f x 的图象恒在直线2y ax =下方，求a 的取值范围． 19．（本小题满分13分）
已知椭圆)0(12222>>=+b a b
y a x 经过点61(,)22P ，离心率为
2
2，动点(2,)(0).M t t > （Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）求以OM 为直径且被直线3450x y --=截得的弦长为2的圆的方程；
（Ⅲ）设F 是椭圆的右焦点，过点F 作OM 的垂线与以OM 为直径的圆交于点N ，证明线段ON 的长
为定值，并求出这个定值．
20．（本小题满分14分）
已知定义在R 上的函数()f x 和数列121
{},,n a a a a a =
≠
，当*
2n N
n ∈≥且时，111(),()()()n n n n n n a f a f a f a k a a ---=-=-且，其中,a k 均为非零常数．
（Ⅰ）若数列{}n a 是等差数列，求k 的值；
（Ⅱ）令*11(),1n n n b a a n N b +=-∈=若，求数列{}n b 的通项公式；（Ⅲ）若数列{}n a 为等比数列，求函数()f x 的解析式．。