高二上学期期末模拟考试数学试题2
2023-2024学年辽宁省丹东市高二上学期期末数学质量检测模拟试题(含解析)
2023-2024学年辽宁省丹东市高二上册期末数学模拟试题一、单选题1．抛物线28x y =的准线方程为（）A ．1y =-B ．=2y -C ．=1x -D ．2x =-【正确答案】B【分析】由抛物线定义即可求.【详解】由定义可知，抛物线28x y =的准线方程为422y =-=-.故选：B.2．学校组织社团活动，要求每名同学必须且只能参加一个社团，现仅剩的3个社团供4名同学选择，则不同的选择方法有（）A ．34A 种B ．34C 种C ．34种D ．43种【正确答案】D【分析】由分步计数乘法原理即可求解【详解】由题意可得，每名同学共有3种选择，故不同的选择方法有43种故选：D3．已知椭圆过点()0,2，焦点分别为()10,1-F ，()20,1F ，则椭圆的离心率为（）A ．12BC．2D【正确答案】A【分析】由题可得椭圆方程，后可得椭圆离心率.【详解】设椭圆方程为22221y x a b +=，右焦点为(),0c ，由题有.2222411aa b c ⎧=⎪⎨⎪-==⎩则2a =，故离心率为12c e a ==.故选：A4．已知空间向量()2,1,4a =-- ，()1,1,2b =- ，()7,5,c m =-- 若，a ，b，c 共面，则实数m 的值为（）A ．14-B ．6C ．10-D ．12【正确答案】A【分析】根据向量共面，建立方程组，解得答案.【详解】由a ，b ，c 共面，可设a xb yc =+ ，则271542x yx yx my -=-⎧⎪=--⎨⎪-=+⎩，由2715x y x y -=-⎧⎨=--⎩，解得1712112x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入第三个方程可得：174612m -=-+，解得14m =-.故选：A.5．在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是1DD 的中点，则二面角11E B C C --的平面角的正切值为（）A ．1B ．5C ．2D．【正确答案】C【分析】由题可得1EC C ∠为二面角11E B C C --的平面角，后结合题目条件可得答案.【详解】如图，因几何体为正方体，则11B C ⊥面11C CDD ，1C C ⊂面11C CDD ，则111B C C C ⊥，又1C E ⊂平面11C CDD ，则111B C C E ⊥，故1EC C ∠即为二面角11E B C C --的平面角.过E 做直线1C C 垂线，交1C C 于F ，则F 为1C C 中点.故112tan EFEC F C F∠==.故选：C6．双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的焦点到渐近线的距离等于a ，则双曲线C 的渐近线方程为（）A0y ±=B．0x =C ．0x y ±=Dy ±=【正确答案】C【分析】由点到直线距离公式可得a b ，间关系，据此可得答案.【详解】由题，双曲线的一条渐近线的方程为by x a =，右焦点为(),0c ，a b a =⇒=，故渐近线方程为0x y ±=.故选：C7．如图所示为某公园景观的一隅，是由ABCDE 五处区域构成，现为了美观要将五处区域用鲜花装饰，要求相邻区域种植不同色的鲜花，有4种颜色鲜花可供选用，则不同的装饰方案数为（）A ．216B ．144C ．128D ．96【正确答案】B【分析】依次确定区域B 、A 、D 、C 、E 的选法种数，结合分步乘法计数原理可得结果.【详解】区域B 有4种颜色鲜花可供选择，区域A 有3种颜色鲜花可供选择，区域D 有3种颜色鲜花可供选择，区域C 、E 各有2种颜色鲜花可供选择，由分步乘法计数原理可知，不同的装饰方案数为43322144⨯⨯⨯⨯=种.故选：B.8．已知圆22:16O x y +=与圆22:86160C x y x y ++++=交于A ，B 两点，则四边形OACB 的面积为（）A ．12B ．6C ．24D ．245【正确答案】A【分析】由两圆标准方程得圆心坐标和半径，由()4,0A -和()4,3C --可知OA AC ⊥，则四边形OACB 的面积1222OAC S S OA AC ==⨯⋅⋅ ，计算即可.【详解】圆22:16O x y +=，圆心坐标为()0,0O ，半径14r =，圆22:86160C x y x y ++++=化成标准方程为()()22439x y +++=，圆心坐标为()4,3C --，半径23r =，圆O 与圆C 都过点()4,0-，则()4,0A -，如图所示，又()4,3C --，∴OA AC ⊥，由对称性可知，OB BC ⊥，4OA OB ==，3AC BC ==，则四边形OACB 的面积12243122OAC S S OA AC ==⨯⋅⋅=⨯= .故选：A 二、多选题9．20件产品中有18件合格品，2件次品，从这20件产品中任意抽取3件，则抽出的3件产品中至少有1件次品的抽法表述正确的是（）A ．12219C C ⋅B ．1221218218C C C C ⋅+⋅C ．332018C C -D ．1221219218C C C C ⋅-⋅【正确答案】BCD【分析】直接法：抽出的3件产品中至少有1件次品有两种可能：恰有1件次品和恰有2件次品，运即可算求解；间接法：法一：20件产品中任意抽取3件的抽法减去没有次品（全为合格品）的抽法；法二：先抽取1件次品，再从剩余的19件中任取2件，减去重复一次的情况（2个次品）.【详解】直接法：抽出的3件产品中至少有1件次品有如下可能：抽出的3件产品中恰有1件次品的抽法12219C C ⋅；抽出的3件产品中恰有2件次品的抽法21218C C ⋅；故抽出的3件产品中至少有1件次品的抽法为1221218218C C C C ⋅+⋅，A 错误，B 正确；间接法：法一：这20件产品中任意抽取3件的抽法为320C ，抽出的3件产品中没有次品（全为合格品）的抽法为318C ，故抽出的3件产品中至少有1件次品的抽法为332018C C -，C 正确；法二：先抽取1件次品，再从剩余的19件中任取2件，抽法为12219C C ⋅，但2个次品的情况重复一次，抽出2个次品的抽法为21218C C ⋅，故抽出的3件产品中至少有1件次品的抽法为1221219218C C C C ⋅-⋅，D 正确；故选：BCD.10．若2022220220122022(1)x a a x a x a x -=++++ ，则（）A ．01a =B ．12022a =C ．1220221a a a +++=- D ．012320221a a a a a -+-++= 【正确答案】AC【分析】对ACD ，由赋值法可判断；对B ，由二项式展开项通项公式可求.【详解】对A ，令0x =得01a =，A 对；对B ，由二项式展开项通项公式可得第2项为()1120212202211C 120222022T x x a x a =-=-=⇒=-，B 错对C ，令1x =得0122022122022001a a a a a a a a +++=++=-+⇒=-+，C 对；对D ，令=1x -得0123220222022a a a a a -+-++=，D 错.故选：AC.11．已知直线:2410l kx y k --+=，则下列表述正确的是（）A ．当2k =时，直线的倾斜角为45B ．当实数k 变化时，直线l 恒过点14,2⎛⎫⎪⎝⎭C ．当直线l 与直线240x y +-=平行时，则两条直线的距离为1D ．直线l 与两坐标轴正半轴围成的三角形面积的最小值为4【正确答案】ABD【分析】A 选项，可求出直线斜率，即可判断选项正误；B 选项，将直线方程整理为()4120k x y -+-=，由此可得直线所过定点；C 选项，由题可得1k =-，后由平行直线距离公式可判断选项；D 选项，分别令0x y =，，可得直线与y 轴，x 轴交点为1402,k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，140,k ⎛⎫- ⎪⎝⎭.则围成三角形面积为1141422k k ⎛⎫-⋅⋅- ⎪⎝⎭，后由基本不等式可判断选项.【详解】A 选项，当2k =时，直线方程为2270x y --=，可得直线斜率为1，则倾斜角为45 ，故A 正确；B 选项，由题可得()4120k x y -+-=，则直线过定点14,2⎛⎫⎪⎝⎭，故B 正确；C 选项，因直线l 与直线240x y +-=平行，则221828k k k =-⎧⇒=-⎨-+≠⎩，则直线方程为：250x y --+=，即250x y +-=.则l 与直线240x y +-=之间的距离为5=，故C 错误；D 选项，分别令0x y =，，可得直线与y 轴，x 轴交点为1402,k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，140,k ⎛⎫- ⎪⎝⎭.又交点在两坐标轴正半轴，则14020140kk k-⎧>⎪⎪⇒<⎨⎪->⎪⎩.故围成三角形面积为()1141142424224k k k k ⎛⎫-⋅⋅-=+-+≥+= ⎪-⎝⎭，当且仅当144k k-=-，即14k =-时取等号.即面积最小值为4，故D 正确.故选：ABD.12．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是AB ，BC 边上的动点，且满足BE BA λ=，[]0,1λ∈，BF BC μ=，[]0,1μ∈．则（）A ．当1λμ==时，正方体各棱与平面1D EF 夹角相等B ．当12λ=时，存在μ使得直线1B D 与平面1D EF 垂直C ．当12μ=时，满足12ED EF =的点E 有且只有两个D ．当12λμ==时，异面直线EF 与1B D 的距离为2【正确答案】AD【分析】建立空间直角坐标系，利用向量解决夹角、距离、平行等问题.【详解】以D 为原点，1,,DA DC DD的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则有()0,0,0D ，()10,0,2D ，()12,2,2B ，()2,0,0A ，()0,2,0C ，当1λμ==时，()2,0,0E ，()0,2,0F ,()12,0,2D E =- ，()10,2,2D F =-，设平面1D EF 的一个法向量为(),,n x y z =r ，则11220220n D E x z n D F y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令1z =，则()1,1,1n = ，()10,0,2DD = ，()2,0,0DA = ，()0,2,0DC = ，故1113cos ,23DD n DD n DD n ⋅==⨯⋅，同理3cos ,cos ,3DA n DC n == 由此可得正方体各棱与平面1D EF 夹角相等，A 正确；当12λ=时，()2,1,0E ，()12,1,2D E =- ，()12,2,2B D =--- ，则114240B D D E ⋅=--+≠ ，即1D E 与1B D不垂直，所以直线1B D 与平面1D EF 不垂直，B 错误；当12μ=时，()1,2,0F ，设()()2,,002E b b ≤≤，由12ED EF =()2222222212b b ++=+-，化简得2316120b b -+=，21643120∆=-⨯⨯>，121643b b +=>，所以这样点E 不可能有两个，C 错误；当12λμ==时，()2,1,0E ，()1,2,0F ，EF 的中点为33,,022G ⎛⎫⎪⎝⎭，1DB 的中点为()1,1,1H ，11,,122HG ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()1,1,0EF =-，()12,2,2DB = ，则11022HG EF ⋅=-+= ，11120HG DB ⋅=+-= ，所以HG 是异面直线EF 与1B D 的公垂线段，且()2221161222HG ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以异面直线EF 与1B D 的距离为62，D 正确.故选：AD三、填空题13．已知异面直线AB 和CD 的方向向量分别为()1,1,1AB = ，()2,0,4CD =-则异面直线AB 和CD 所成角的余弦值为______．【正确答案】15【分析】根据异面直线夹角求余弦值的坐标公式，可得答案.【详解】设异面直线AB 和CD 所成角为θ，则cos 15AB CD AB CD θ⋅===⋅ .故答案为.1514．“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早在1261年中国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中出现，欧洲数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律，比杨辉要晩近四百年．如图所示的杨辉三角中，从第2行开始，每一行除1外，其他每一个数字都是其上一行的左右两个数字之和，若在杨辉三角中存在某一行，满足该行中有三个相邻的数字之比为3:5:5，则这一行是第______行．【正确答案】7【分析】设这一行为第()21n n *+∈N 行，且这三个数分别为121C n n -+、21C nn +、121C n n ++，利用组合数公式可得出关于n 的等式，解出n 的值，即可得解.【详解】由题意可知，这一行为第()21n n *+∈N 行，且这三个数分别为121C n n -+、21C nn +、121C n n ++，由题意可得()()()()()1212121!!1!C 3C 1!2!21!25n n n n n n n n n n n n -+++⋅+=⋅==-⋅+++，解得3n =，因此，这一行是第2317⨯+=行.故答案为.715．平行六面体1111ABCD A B C D -的底面是菱形，2AB =，14AA =，1160A AB A AD ∠=∠=︒，线段1AC的长度为cos DAB ∠=______．【正确答案】12##0.5【分析】利用空间向量基本定理得到11AC AB AD AA =++，平方后，利用数量积公式列出方程，求出cos DAB ∠.【详解】因为11AC AB AD AA =++，所以()2222211111222AC AB AD AA AB AD AA AB AD AB AA AD AA =++=+++⋅+⋅+⋅因为2AB AD ==，14AA =，1160A AB A AD ∠=∠=︒，1211AC =，所以444168cos 16cos 16co 0s 6064BAD +++∠++︒︒=，解得.1cos 2BAD ∠=故12四、双空题16．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，直线l 与C 在第一象限交于A ，B 两点，直线l 与x 轴和y 轴分别交于M ，N 两点，且MA NB =，点E 为AB 的中点，直线OE 倾斜角的正切值为22，3OE =，则直线l 的方程为______；椭圆C 的离心率为______．【正确答案】2232y =+22【分析】利用几何知识求出直线l 的斜率，利用中点E 坐标求出点M 坐标，即可得出直线l 的方程.设出点,A B 坐标，利用点差法，即可得出椭圆C 的离心率.【详解】由题意，在2222:1(0)x y C a b a b+=>>中，MA NB =，BA BE =，由几何知识得，直线l 与直线OE 关于点E 所在x 轴对称，∵直线OE 22，3OE =∴直线l 的斜率为22-，设(),E E E x y ，则32E E Ey y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩E E x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩∴E，(0,M∴:2l y =-+设()11,A x y ，()22,B x y ，则2211221x y a b +=，2222221x y a b+=，122E x x x +==，122E y y y +==∴22221212220x x y y a b --+=，∴()()()()2121221212y y y y b x x x x a +-=-+-，∴22122b a ⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭，∴222a b =，即a =，∴c b ===，∴离心率.2c e a ==故2y =-+2.五、解答题17．已知圆C 的圆心在直线260x y +-=上，且与直线y x =相切于原点．(1)求原点()0,0关于直线260x y +-=对称点的坐标；(2)求圆C 的方程．【正确答案】(1)2412 ,55⎛⎫⎪⎝⎭(2)22(6)(6)72x y -++=【分析】（1）若两点关于直线对称，则两点连线中点在直线上，且两点连线与直线垂直，据此可得答案；（2）因圆C 与直线y x =相切于原点，则圆C 过原点，且圆心在直线y x =-上，又圆心在直线260x y +-=上，可求得圆心坐标与圆的半径.【详解】（1）设原点()0,0关于直线260x y +-=对称点坐标为()00,x y ，则两个点的中点坐标为00,22x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭.∵中点在直线260x y +-=上，得到：002120x y +-=①.又过两个对称点的直线与已知直线垂直，∴021y x -⨯=-，得002y x =②.联立①②解得对称点坐标为2412,55⎛⎫⎪⎝⎭；（2）过原点且与直线y x =垂直的直线方程为y x =-，由题圆心在y x =-上.又圆心在直线260x y +-=上，联立直线：62606y x y x y x =-=-⎧⎧⇒⎨⎨+-==⎩⎩，即圆心为()6,6-.由题原点在圆C上，则半径r =.22(6)(6)72x y -++=18．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，12AC BC CC ===．(1)求点1B 到平面1ABC 的距离；(2)若点M 是棱BC 的中点，求直线1B M 与平面1ABC 所成角的正弦值．【正确答案】(2)5【分析】如图，建立以C 为原点的空间直角坐标系.（1）求出平面1ABC 的法向量n，设点1B 到面1ABC 的距离为d ，则1n BB d n ⋅= ；（2）设直线1B M 与平面1ABC 成角正弦值为sin θ，则111sin cos ,n B M n B M n B M θ⋅==∣.【详解】（1）因为直三棱柱111ABC A B C -底面三角形ABC 满足：AC BC ⊥，且12AC BC CC ===，则以C 为坐标原点，CA的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -.则B （0，2，0），A （2，0，0），C （0，0，2），1B （0，2，2），()0,1,0M ，()2,2,0AB =- ，()12,0,2C A =- .设面1ABC 的法向量为(),,n x y z =r，则1220220n AB x y n C A x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，取()1,1,1n = .又()10,0,2BB = ，设点1B 到面1ABC 的距离为d，则13n BB d n ⋅==.（2）由题可得()10,1,2B M =--，设1B M 与面1ABC 的夹角为θ，则111sin cos ,∣n B M n B M n B M ⋅==θ19．双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线方程为y =，且经过点(A ．(1)求C 的方程；(2)O 为坐标原点，过双曲线C 上一动点M （M 在第一象限）分别作C 的两条渐近线的平行线为1l ，2l 且1l ，2l 与x 轴分别交于P ，Q ，求证：OP OQ ⋅为定值．【正确答案】(1)22139x y -=(2)证明见解析【分析】（1）根据双曲线渐近线方程以及已知点，联立方程，可得答案；（2）由题意，设出动点，利用点斜式方程，结合直线位置关系，写出直线12,l l 的直线方程，求出,Q P 的坐标，整理OP OQ ⋅的表达式，利用整体思想，可得答案.【详解】（1）∵渐近线为y =，则b a =b =，∴222213x y a a-=，A 在双曲线C 上，得224313a a -=解得23a =，∴曲线C 的标准方程为22139x y -=.（2）设点M 坐标为()00,x y则)100:l y y x x -=-，得P ⎛⎫⎪⎪⎭，则OP =同理：)200:l y y x x -=-，得Q ⎫⎪⎪⎭，则OQ =则220033x y OP OQ -⋅=又∵点M 在曲线C 上，∴2200 139x y -=，∴220039x y -=则2200333x y OP OQ -⋅==，∴得证OP OQ ⋅为定值3．20．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过F 的动直线与C 交于A ，B 两点．(1)若直线AB 的倾斜角为45 ，求弦AB 的长度；(2)设A ，B 两点到x 轴的距离分别为1d ，2d ，求12d d +的最小值．【正确答案】(1)8(2)4【分析】（1）先利用点斜式得到直线方程，接着与抛物线进行联立可得121244y y y y +=⎧⎨=-⎩，然后用弦长公式即可求解；（2）设直线AB 的方程为1x my =+，与抛物线联立可得343444y y my y +=⎧⎨=-⎩，所以12344d d y y ⋅==，然后用基本不等式进行求解即可【详解】（1）由抛物线2:4C y x =可得焦点()1,0F ，当直线倾斜角为45 时，直线AB 的方程为1y x =-，联立214y x y x =-⎧⎨=⎩化简得：2440y y --=，经验证Δ0>成立，设()11,A x y ，()22,B x y ，此时121244y y y y +=⎧⎨=-⎩，∴128AB y y =-=（2）由题可知，直线AB 的斜率不为0，又焦点()1,0F ，所以设直线AB 的方程为1x my =+，联立214x my y x =+⎧⎨=⎩化简得：2440y my --=，经验证Δ0>成立，设()33,A x y ，()44,B x y ，此时343444y y my y +=⎧⎨=-⎩，由题可得：13d y =，24d y =，则12344d d y y ⋅==，又12d d +≥124d d +≥，当且仅当122d d ==，直线AB 与x 轴垂直，即弦AB 为通径时等号成立，所以12d d +的最小值是4．21．如图，PO 是三棱锥-P ABC 的高，PA PB =，AB AC⊥，E 是PB 上的动点．(1)若OE ∥平面PAC ，请确定点E 的位置，并说明理由；(2)若30ABO CBO ∠∠== ，4BO =，当E 是PB 中点，且二面角P AB C --的正切值为32时．求二面角C AE B --的正弦值．【正确答案】(1)E 是BP 中点，理由见解析(2)1113【分析】（1）通过证明POA POB ≅△△，得到OA OB =，再通过线面平行的性质，即可确定点E 的位置.（2）建立空间直角坐标系，求出各点坐标，求出平面AEB 和面AEC 的法向量，即可求出二面角C AE B --的正弦值.【详解】（1）由题意，E 是BP 中点，理由如下：延长BO 交AC 于点D ，连接PD 、OA ，取AB 中点M ，连接OM .∵PO ⊥面ABC ，∴90∠=∠= POA POB .又∵PA PB =，∴POA POB ≅△△，∴OA OB =.∵M 是AB 中点，∴OM AB ⊥.∵AC AB ⊥，∴OM AC ∥，∴O 是BD 中点.又∵OE ⊂面BPD ，面BPD 面PAC PD =，若OE ∥面PAC ，则由线面平行性质定理得OE PD ∥.∵O 是BD 中点，∴E 是BP 中点.（2）由题意，以A 为坐标原点，AB的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，由（1），可知z 轴在平面AOP 内．∵4BO =，30OBA OBC ∠∠== ，∴28BD OA ==，∴4=AD ，AB =12AC =，∴()2,0O ，()B ，()0,12,0C ，由（1），可得PO ⊥平面ABC ，OM AB ⊥，∴PM AB ⊥，∴PMO ∠为二面角P AB C --的平面角，∴3tan 2PO PMO OM ∠==.又2OM =，∴3PO =，∴()2,3P .∵E 是PB中点，∴32E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴32AE ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()0,0AB =，()0,12,0AC = .设平面AEB 的法向量为(),,n x y z =r，则3020n AE y z n AB ⎧⋅=++=⎪⎨⎪⋅==⎩，取()0,3,2n =- ．设平面AEC 的法向量为(),,m a b c=，则302120m AE b c m AC b ⎧⋅=++=⎪⎨⎪⋅==⎩，取)6m =- ．设二面角C AE B --的平面角为θ，则sin θ==1113=.22．已知动点P 到点()1,0F 的距离与到直线:4l x =的距离之比为12，记点P 的轨迹为曲线E ．(1)求曲线E 的方程；(2)曲线E 与x 轴正半轴交于点M ，过F 的直线交曲线E 于A ，B 两点（异于点M ），连接AM ，BM 并延长分别交l 于D ，C ，试问：以CD 为直径的圆是否恒过定点，若是，求出定点，若不是，说明理由．【正确答案】(1)22:143x y E +=(2)圆恒过定点()1,0和()7,0【分析】（1）设动点(),P x y12=，化简后可得E 方程；（2）由（1）设:1AB l x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，可得1124,2y D x ⎛⎫⎪-⎝⎭，2224,2y C x ⎛⎫ ⎪-⎝⎭，后设以CD 为直径的圆上一点为Q ，由0QC QD ⋅= 可得圆方程，即可得圆所过定点.【详解】（1）设动点(),P x y12=，化简得22:143x y E +=；（2）设:1AB l x my =+，与22143x y +=联立可得：()2234690m y my ++-=，由题Δ0>.设()11,A x y ，()22,B x y ，则122634m y y m +=-+，122934y y m =-+.又由（1）可得()2,0M ，则()11:22AM y l y x x =--，令4x =，得1124,2y D x ⎛⎫⎪-⎝⎭.同理可得2224,2y C x ⎛⎫ ⎪-⎝⎭.令以CD 为直径的圆上动点为(),Q x y ，则0QC QD ⋅=.又2121224422,，,y y QC x y QB x y x x ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ ，则()()2212121212224(4)02222y y y y x y y x x x x ⎛⎫-+-++= ⎪----⎝⎭.注意到()()()()()212121212242211134xx my my m y y m y y m --=--=-++=+，()()()1221121222422224234my x y x my y y y m --+-=-+=+.则可得()()2222243640469044m x y y x y my ---+-+=⇒-++-=.因所过定点与参数m 无关，则0y =，则()24901x x --=⇒=或7x =.故圆恒过定点()1,0和()7,0.关键点点睛：本题涉及求轨迹方程，及探究圆是否过定点.对于直线或圆过定点问题，都是先求得直线或圆的表达式，后令含参数的项为0，即可求得所过定点.。
高二上期末模拟卷答案
成都七中嘉祥外国语学校数学期末复习试卷(二)考试时间：120分钟总分：150分一、 单选题CBBCC CBBBC BA二、填空题13．[−4,0].14．-115．616．5 2+517．【解析】（1）框图中①、②、③处应填充的式子分别为：（2）若输出的y 值为6，则，解得，当时，此时点P 在正方形的边BC 上；当时，此时点P 在正方形的边DA 上.18．【解析】(1)设事件A 为“方程x 2−2bx +a 2=0有实数根”则Δ= −2b 2−4a 2≥0，即b ≥a ,基本事件共12个：, 1,1 , 1,2 , 1,3 , 2,1 , 2,2 , 2,3 3,1 , 3,2 , 3,3 , 4,1 , 4,2 , 4,3 其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．事件A 中含有6个基本事件，∴事件A 发生的概率为P A =612=12．（2）设王小一到达的时间为x ，王小二到达的时间为y . x ,y 可以看成平面中的点试验的全部结果所构成的区域Ω={(x ,y )|5≤x ≤6,5≤y ≤6} 两人能碰面记为事件A ，由右图可知所以两人相遇的概率x y y x y 224,8,2-===622462=-=x x 或92==x x 或2=x 9=x19．【解析】若p 为真命题，则f (x )＝(2a －6)x 在R 上单调递减，∴ 0＜2a －6＜1，解得 3＜a ＜.若q 为真命题，令f (x )＝x 2－3ax ＋2a 2＋1，则有整理得解得a >.773,322p q a p q a a <<≥≤若且为真，则则且为假，或者 20．【解析】（1）设分数在[)70,80内的频率为x ，根据频率分布直方图，则有()0.010.01520.0250.005101x +⨯++⨯+=，可得0.3x =，所以频率分布直方图为：（2）以中位数准做一条垂直于横轴的直线，这条直线把频率分布直方图分成面积相等的两个部分，由频率分布直方图知中位数要把最高的小长方形三等分， 所以中位数是1170107333+⨯=，所以估计本次考试成绩的中位数为1733。
2022-2023学年浙江省金华十校高二上学期期末联考数学模拟试题2(含解析)
金华十校2022-2023学年高二上期末联考数学模拟试题2解析考试范围：向量与立体几何、直线与圆、解析几何、数列； 考试时间：120分钟； 总分：150分；班级：__________姓名：___________考号：___________一、单选题1．若{},,a b c 构成空间的一个基底，则下列向量可以构成空间另一个基底的是（ ） A ．a b +，a b -，b B ．a b -，a b c --， C ．a b +，a b -， D ．-a c ，b ，c a b --【答案】：C【分析】：根据空间向量共面定理可知ABD 选项中的向量共面，无法作为一组基底；假设C 中向量共面，可知不存在满足条件的实数,λμ，由此知假设错误，则C 中向量可以作为基底.【详解】：对于A ，()2a b a b b +=-+，,,a b a b b ∴+-共面，不能作为空间一组基底，A 错误；对于B ，()a b c a b c --=--，,,a b a b c c ∴---共面，不能作为空间一组基底，B 错误； 对于C ，假设,,a b a b c +-共面，则可设()(),a b a b c λμλμ+=-+∈R110λλμ=⎧⎪∴=-⎨⎪=⎩，方程组无解，,,a b a b c ∴+-不共面，可以作为空间一组基底，C 正确； 对于D ，()c a b a c b --=---，,,a c b c a b ∴---共面，不能作为空间一组基底，D 错误. 故选：C.2．如图，已知A ，B 两地相距600m ，在A 地听到炮弹爆炸声比在B 地早1s ，且声速为340m/s..以线段AB 的中点为坐标原点，AB 的方向为轴的正方向建立平面直角坐标系xOy ，则炮弹爆炸点的轨迹方程为（ ）A ．()22102890061000x y x -=<B ．()22102890061100x y x -=<C ．()22102890061000x y x -=>D ．()22102890061100x y x -=>【答案】：B【分析】：设炮弹爆炸点P ，可得340600PB PA -=<，利用双曲线的定义即得.【详解】：设炮弹爆炸点P 的坐标为(),x y ，则3401340600PB PA -=⨯=<， 所以P 的轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为340的双曲线的左支. 因为2340a =，所以170a =，又6002AB c ==， 所以300c =，222900002890061100b c a =-=-=，故炮弹爆炸点的轨迹方程为()22102890061100x y x -=<.故选：B.3．若数列{}n a 满足112,02121,12n n n n n a a a a a +⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩，135a =，则数列{}n a 中项的值不可能为（ ）A ．15B ．25C ．45D ．65【答案】：D【分析】：利用数列{}n a 满足的递推关系及135a =，依次取1,2,3,4n =代入计算2345,,,a a a a ，能得到数列{}n a 是周期为4的周期数列，得项的所有可能值，判断选项即得结果. 【详解】：{}n a 满足112,02121,12n n n n n a a a a a +⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩，135a =，依次取1,2,3,4,...n =代计算得，211215a a =-=，32225a a ==，43425a a ==，5413215a a a =-==，因此继续下去会循环，数列{}n a 是周期为4的周期数列，所有可能取值为：1234,,,5555.故选：D.4．如图，在三棱柱111ABC A B C 中，M 为11A C 的中点，若→→=AB a ，BC b →→=，1AA c →→=，则BM→可表示为（ ）A ．1122a b c →→→-++B ．1122a b c →→→++C ．1122a b c →→→--+D ．1122a b c →→→-+【答案】：A【分析】：结合已知条件，利用空间向量的线性运算即可求解.【详解】：由题意可知，1111111122BM BC CC C M BC AA C A BC AA CA →→→→→→→→→→=++=++=++，因为CA AB BC →→→=--，→→=AB a ，BC b →→=，1AA c →→=，所以111()222BM b c a b a b c →→→→→→→→=++--=-++.故选：A.5．数列{}n a 中，12a =，21n n a a +=，则下列结论中正确的是（ ）A ．数列{}n a 的通项公式为2n n a =B ．数列{}n a 为等比数列C ．数列{}ln n a 为等比数列D ．数列{}ln n a 为等差数列 【答案】：C【分析】：求出数列{}n a 的前3项，利用等比数列定义判断A ，B ；给定等式两边取对数可得1ln 2ln n n a a +=，判断C ，D 作答.【详解】：数列{}n a 中，12a =，21n n a a +=，则22212a a ==，222432(2)2a a ===，显然123,,a a a 不成等比数列，A ，B 都不正确；依题意，1ln ln 20a =>，由21n n a a +=两边取对数得：1ln 2ln n n a a +=， 因此，数列{}ln n a 是首项为ln 2，公比为2的等比数列，C 正确，D 不正确. 故选：C6．“圆材埋壁”是《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，学会一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知道大小，用锯取锯它，锯口深一寸，锯道长一尺，问这块圆柱形木材的直径是多少？现有圆柱形木材一部分埋在墙壁中，截面如图所示，已知弦1AB =尺，弓形高1CD =寸，则阴影部分面积约为（注： 3.14π≈，5sin 22.513︒≈，1尺=10寸）A ．6.33平方寸B ．6.35平方寸C ．6.37平方寸D ．6.39平方寸 【答案】：A【解析】：连接OC ，设半径为r ，则1OD r =-，在直角三角形OAD 中应用勾股定理即可求得r ，进而求得扇形OAB 的面积，减去三角形OAB 即可得阴影部分的面积． 【详解】：连接OC ，设半径为r ，5AD =寸，则1OD r =-在直角三角形OAD 中，222OA AD OD =+即()22251r r =+-，解得13r = 则5sin 13AOC ∠=，所以22.5AOC ∠= 则222.545AOB ∠=⨯=所以扇形OAB 的面积21451316966.333608S ππ⨯⨯===三角形OAB 的面积211012602S =⨯⨯=所以阴影部分面积为1266.3360 6.33S S -=-=所以选A【点睛】：本题考查了直线与圆的位置关系在实际问题中的应用，三角形函数的概念及扇形面积公式的应用，属于基础题．7．定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，直线AC 与1BC 之间的距离是（ ）A ．2B C ．12D ．13【答案】：B【分析】在AC 上任取点M ，作1MN BC ⊥，设AM AC λ=， 1BN BC μ=，根据1MN BC ⊥得出λ和μ的关系，从而可得||MN 关于μ(或)λ的函数关系，再求出此函数的最小值即可.【详解】：设M 为直线AC 上任意一点， 过M 作1MN BC ⊥，垂足为N ，可知此时M 到直线1BC 距离最短设AM AC AB AD λλλ==+，11BN BC AD AA μμμ==+，则1(1)()MN AN AM AB BN AM AB AD AA λμλμ=-=+-=-+-+，11BC AA AD =+，1MN BC ⊥，∴1·0MN BC =，即11[(1)()]()0AB AD AA AD AA λμλμ-+-+⋅+=，221()0AD AA μλμ∴-+=，即0μλμ-+=，2λμ∴=，∴1(12)MN AB AD AA μμμ=--+，()()2111212MN AB AD AA AB AD AAμμμμμμ⎡⎤∴=--+=--+⎣⎦=∴当13μ=时，||MN=故直线AC与1BC故选：B.8．已知中心在坐标原点的椭圆C1与双曲线C2有公共焦点，且左，右焦点分别为F1，F2，C1与C2在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，若|PF1|＝10，C1与C2的离心率分别为e1，e2，则122e e+的取值范围是（）A．⎫+∞⎪⎪⎝⎭B．5,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭C．()1,+∞D．5,6⎛⎫+∞⎪⎝⎭【答案】：B【分析】：设椭圆和双曲线的半焦距为c，|PF1|＝m，|PF2|＝n，()m n>，由条件可得m＝10，n＝2c，再由椭圆和双曲线的定义可得()125,55a c a c c=+=-<，运用三角形的三边关系求得c的范围，再由离心率公式，计算即可得到所求范围．【详解】：设椭圆和双曲线的半焦距为c，|PF1|＝m，|PF2|＝n，()m n>，由于△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若|PF1|＝10，则有m＝10，n＝2c，由椭圆的定义可得12m n a+=，由双曲线的定义可得22m n a-=，即有()125,55a c a c c=+=-<，再由三角形的两边之和大于第三边，可得2210c c+>，可得52c>，即有552c<<，由离心率公式可得()12122510225525555cc c c c ce ea a c c c c+--++=+=+=-+-+-105211155555c c c c⎛⎫=--=-+⎪+-+-⎝⎭，因为552c<<，所以155102c<+<，5502c-<-<，则11210515c<<+，1255c<--，故2125515c c+<-+-，2125553c c⎛⎫-+>⎪+-⎝⎭，则21515553c c⎛⎫-+>⎪+-⎝⎭，即12325e e+>，故122e e+的取值范围是5,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭.故选：B．二、多选题9．等差数列{}n a 的前项和为n S ，10a <，613S S =，则（ ） A ．数列{}n a 是递减数列B ．100a =C ．9S 是n S 中最小项D ．216S S < 【答案】：BC【分析】：根据等差数列的性质和前n 项求和公式可得19a d =-、0d >，结合通项公式和前n 项求和公式计算，依次判断选项即可. 【详解】：设等差数列{}n a 的公差为d ， 由613S S =，得1165131261322a d a d ⨯⨯+=+， 解得19a d =-，因为10a <，所以0d >.A ：由0d >，得等差数列{}n a 为递增数列，故A 错误；B ：1019990a a a d d =+=-+=，故B 正确；C ：221(1)9(19)2222n n n n n dS na d nd d d n n -=+=-+-=-，因为00d n >>，，由二次函数的性质可知当9n =或10n =时，n S 取到最小值，即9S 为n S 中最小项，故C 正确； D ：2122(9)17S a d d d d =+=⨯-+=-，161161516242S a d d ⨯=+=-， 由0d >，得216S S >，故D 错误.故选：BC10．一个平面α斜截一个足够高的圆柱，与圆柱侧面相交的图形为椭圆E .若圆柱底面圆半径为r ，平面α与圆柱底面所成的锐二面角大小为θ02πθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，则下列对椭圆E 的描述中，正确的是（ ）A ．短轴为2r ，且与θ大小无关B ．离心率为cos θ，且与r 大小无关C ．焦距为2r tan θD ．面积为2cos r πθ【答案】：ACD【分析】：由题设可得短轴长22b r =，长轴长22cos ra θ=，进而求出焦距、离心率，根据椭圆与底面圆的投影关系确定椭圆面积.【详解】：由题意，椭圆短轴长22b r =，而长轴长随变大为变长且22cos ra θ=，所以tan c r θ=，故sin ce aθ==，焦距为22tan c r θ=， 由椭圆在底面投影即为底面圆，则cos θ等于圆的面积与椭圆面积的比值，所以椭圆面积为2cos r S πθ=. 综上，A 、C 、D 正确，B 错误.故选：ACD11．已知椭圆C ：2212x y a +=（2a >P （1，1）的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，且满足AP PB λ=.动点Q 满足AQ QB λ=-，则下列结论正确的是（ ） A ．3a =B ．动点Q 的轨迹方程为2360x y +-=C ．线段OQ （OD ．线段OQ （O【答案】：ABD【分析】：对于A ：利用离心率直接求出3a =；对于B ：设()()()1122,,,,,,A x y B x y Q m n 进行向量坐标化，整理化简得到132m n+=，即可判断出动点Q 的轨迹方程为直线2360x y +-=，故B 正确；对于C 、D ：求出线段OQ 长度的最小值即为原点到直线的距离，利用点到直线的距离公式即可求解.【详解】：对于A ：由椭圆22:1(2)2x y C a a +=>=，所以3a =，故A 正确；对于B ：设()()()()()11221122,,,,,,1,1,1,1,A x y B x y Q m n AP x y PB x y ∴=--=--1122(,),(,)AQ m x n y QB x m y n =--=--，由,AP PB AQ QB λλ==-，得()()()121212121,11,1,,x x x x x x m m x x m λλλλλλ⎧+=+-=-⎧⎪∴⎨⎨-=--=--⎪⎩⎩两式相乘得()2222121x x m λλ-=-，同理可得()()22222222221122121,1323232x y x y m n y y n λλλλ⎛⎫⎛⎫-=-∴+-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由题意知0λ>且1λ≠，否则与AQ QB λ=-矛盾，1,32m n ∴+=∴动点Q 的轨迹方程为132yx +=，即直线2360x y +-=，故B 正确；对于C 、D ：所以线段OQ 长度的最小值即为原点到直线的距离，OQ ∴min= 故C 错误，D 正确.故选：ABD.12．如图所示，已知几何体由两个棱长为1的正方体堆叠而成，G 为22A D 的中点，则下述选项正确的是（ ）A ．平面11B GD ⊥平面21AAC B ．三棱锥11D B CG -的体积为124C ．平面2BCD 与平面11B GD 夹角的正弦值为79D ．若P 为空间一动点，且1B P P 点运动轨迹与该几何体表面相交的长度为3π 【答案】：AD【分析】：对于A ，由面面垂直的判定定理判断，对于B ，根据题意由1111211121D B CG G B CD G A B D B A GD V V V V ----===求解，对于C ，如图建立空间直角坐标系求解，对于D ，如图可知轨迹与几何体表面所交部分为6个半径为1的14圆.【详解】：对于A ，连接11B D ，因为2AA ⊥平面1111A B C D ，11B D ⊂平面1111A B C D ，所以112B D AA ⊥，因为1111B D A C ⊥，AC ∥11A C ，所以11B D AC ⊥，因为2AA AC A =，2,AA AC ⊂平面21AA C ，所以11B D ⊥平面21AA C ，则A 正确；对于B ，11112111211111132212D B CG G B CD G A B D B A GD V V V V ----====⨯⨯⨯=，所以B 错误；对于C ，如图以A 为原点，以2,,AB AD AA 所在的直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则2111(1,0,0),(0,1,0),(1,1,2),(1,0,1),(0,1,1),0,,22B D C B D G ⎛⎫⎪⎝⎭，所以21111(1,1,0),(0,1,2),(1,1,0),1,,12BD BC B D B G ⎛⎫=-==-=- ⎪⎝⎭,设平面2BC D 的法向量为(,,)m x y z =，则2=+=0=+2=0m BD x y m BC y z ⋅-⋅⎧⎪⎨⎪⎩，令=2x ，则(2,2,1)m =-设平面11B GD 的法向量为(,,)n a b c =，则111=+=01=++=02n B D a b n B G a b c ⋅-⋅-⎧⎪⎨⎪⎩，令=2a ，则(2,2,1)n =， 设平面2BC D 与平面11B GD 夹角为，由图可知为锐角， 所以7cos 94m n mnθ⋅===+⋅，所以sinθ===所以平面2BC D 与平面11B GD ，所以C 错误；对于D ，由如图可知轨迹与几何体表面所交部分为6个半径为1的14圆，则长度为162π3π4⨯⨯=，所以D 正确. 故选：AD.三、填空题13．如图，在三棱锥-P ABC 中，AB BC ⊥，PA ⊥平面ABC ，AE PB ⊥于点E ，M 是AC 的中点，1PB =，则EP EM ⋅的最小值为______．【答案】：18-【分析】：根据给定条件，证明BC ⊥平面P AB ，将EM 用,,EA EB BC 表示出，再结合空间向量数量积的运算律求解作答. 【详解】：连接EC ，如图，因PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，则PA BC ⊥，而AB BC ⊥，PA AB A =，,PA AB ⊂平面P AB ，则BC ⊥平面P AB ，又PB ⊂平面P AB ，即有BC PB ⊥，因M 是AC 的中点，则111()()222EM EA EC EA EB BC =+=++，又AE PB ⊥，11111()][22222EP EM EP EP EP EA EB BC EA E B P B E C ⋅=⋅⋅=⋅+++⋅+2111||1||||||()22282EB EB E EP EP E B P +⋅==-≥-=-，当且仅当|1||2|E P B E ==取“=”，所以EP EM ⋅的最小值为18-.故答案为：18-14．已知圆()()22:121C x y ++-=，点()10A -，，()10.B ，设P 是圆C 上的动点，令22d PA PB =+，则d 的最小值为________．【答案】：14-【分析】：设动点P 的坐标，利用两点间距离公式，整理d 的表达式，则可得当OP 取得最小值时，22PA PB +取得最小值，由定点到圆上一点的距离最值，可得答案.【详解】：设()00,P x y ，()222001PA x y =++，()222001PB x y =-+，()()222222000011PA PB x y x y +=-++++22220000002121x x y x x y =-++++++2200222x y =++()220022x y =++，当OP 取得最小值时，22PA PB +取得最小值，由圆()()22:121C x y ++-=，则圆心()1,2C -，半径1r =，易知min 11OP OC r =-=，则)2min 212d =+14=-故答案为：14-15．一件家用电器，现价2000元，实行分期付款，一年后还清，购买后一个月第一次付款，以后每月付款一次，每次付款数相同，共付12次，月利率为0.8%，并按复利计息，那么每期应付款______元．（参考数据：111.008 1.092≈，121.008 1.100≈，111.08 2.332≈，121.08 2.518≈） 【答案】：176【分析】：设每期应付款x 元，第n 期付款后欠款n A 元，则由题意得()121110122000 1.008 1.008 1.00810A x =⨯-++⋅⋅⋅+=，解方程可求得答案【详解】：设每期应付款x 元，第n 期付款后欠款n A 元， 则()1200010.0082000 1.008A x x =+-=⨯-，()222000 1.008 1.0082000 1.008 1.008A x x x x =⨯-⨯-=⨯--，…()121110122000 1.008 1.008 1.0081A x =⨯-++⋅⋅⋅+．因为120A =，所以()1211102000 1.008 1.008 1.00810x ⨯-++⋅⋅⋅+=，解得121212112000 1.0082000 1.0081761.00811 1.008 1.008 1.0081x ⨯⨯==≈-++⋅⋅⋅+-， 即每期应付款176元．故答案为：17616．已知棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是棱AB 的中点，12CN NC =，动点P 在正方形11AA DD (包括边界)内运动，且1//PB 平面DMN ，则PC 取值范围______. 【答案】：⎣ 【分析】：以D 为原点，DA 为轴，DC 为y 轴，1DD 为轴，建立空间直角坐标系，面DMN 截正方体1111ABCD A B C D -的截面为梯形DMEN ，其中//ME DN ，1BE =，取11C D 中点F ，在1DD 上取点H ，使2DH =，在1AA 取点G ，使1AG =，则平面//DMEN 平面1B FHG ，推导出P 点的轨迹是线段GH ，利用向量法能求出PC 的长度范围．【详解】：以D 为原点，DA 为轴，DC 为y 轴，1DD 为轴，建立空间直角坐标系，面DMN 截正方体1111ABCD A B C D -的截面为梯形DMEN ，其中//ME DN ，1BE =， 取11C D 中点F ，在1DD 上取点H ，使2DH =，在1AA 取点G ，使1AG =， 则平面//DMEN 平面1B FHG ，动点P 在正方形11AA DD （包括边界）内运动，且1//PB 面DMN ，P ∴点的轨迹是线段GH ，(3G ，0，1)，(0H ，0，2)，(0C ，3，0)，(3GH =-，0，1)，(3GC =-，3，1)-，∴点C 到线段GH的距离2||1[cos ,]d GC GC GH =⋅-<>， PC ∴，又19GC =13HC =PC ∴PC ∴的长度范围为⎣．故答案为：⎣． 四、解答题17．设数列{}n a 的前项和为n S ，且满足()*322N n n a S n -=∈，{}n b 是公差不为的等差数列，1=1b ，4b 是2b 与8b 的等比中项．(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)对任意的正整数，设+2=n n n a n c b n ⎧⎨⎩，为偶数，为奇数，求数列{}n c 的前2n 项和2n T ．【答案】：(1)123n n a -=⋅，=n b n (2)212233244n n T n n +=++- 【分析】：（1）令=1n 可得1a 的值，当2n ≥时，11322n n a S ---=与已知条件两式相减可得13n n a a -=，由等比数列的定义可知数列{}n a 是首项为，公比为的等比数列，进而求出数列{}n a 的通项公式，设{}n b 的公差为d，将2428bb b =⋅整理成关于d 的方程，解出d 的值，即可得到{}n b 的通项公式；（2）由（1）可得数列{}n c 的通项公式，再利用分组求和法即可求出结果．【详解】：（1）解：在()*322N n n a S n -=∈中，令=1n 得11322a a -=，12a ∴=，当2n ≥时，11322n n a S ---=，1133222n n n n n a a S S a --∴-=-=，即13n n a a -=，13nn a a -∴=， ∴数列{}n a 是首项为，公比为的等比数列，123n n a -∴=⋅，设{}n b 的公差为d ，由题意可得2428b b b =⋅，即()()2(13)117d d d +=++，整理得20d d -=，解得=1d 或0(舍去，()111n b n n ∴=+-⨯=． （2）解：由题意可得1**23=2N =+2=21N n n n k k c n n k k -⋅∈-∈⎧⎨⎩，，，，， ()()135212=3+5+?+2+1+23+3+3+?+3n n T n -∴()()223133212213n n n -++=+⨯-()()232314n n n =++-21233244n n n +=++-．18．已知圆()()22225C x a y a a ++-=：．(1)若圆C 被直线340x y +=截得的弦长为8，求圆C 的直径；(2)已知圆C 过定点P ，且直线20x y a -+=与圆C 交于A ，B 两点，若4PA PB ⋅>-，求a 的取值范围．【答案】：(1)(2)()(⋃.【分析】：（1）根据弦长为8，利用弦心距、半径、半弦长之间关系列出方程求解即可； （2）求出动圆所过定点，再联立直线与圆的方程，求出交点坐标，由数量积的坐标运算列出不等式即可求解.【详解】：（1）依题意可知圆C 的圆心为(),2C a a -，(),2C a a -到直线340x y +=的距离d a ==，因为圆C 被直线340x y +=截得的弦长为8，所以222852a a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得24a =，故圆C的直径为（2）圆C 的一般方程为()22220x y a x y ++-=，令20x y -=，220x y +=，解得0x y ==，所以定点P 的坐标为()0,0. 联立()()22220,25,x y a x a y a a -+=⎧⎪⎨++-=⎪⎩解得,3x a y a =⎧⎨=⎩或2,0,x a y =-⎧⎨=⎩ 所以2(,3)(2,0)2PA PB a a a a ⋅=⋅-=-，因为4PA PB ⋅>-，所以22a <.又方程()()22225x a y a a ++-=表示一个圆，所以0a ≠，所以的取值范围是()(⋃.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是梯形，//AD BC ，2AD BC =，PA PD ⊥，1AB PB ==.（1）证明：PA ⊥平面PCD ；（2）若1BC CD ==，当四棱锥P ABCD -的体积最大时，求直线PB 与平面PAD 所成角的正弦值.【答案】：（1）证明见解析；（2【分析】：（1）取AD ，AP 中点E ，F ，连接BE ，BF ，EF ，得到面//PCD 面BEF ，故可先将要证PA ⊥平面PCD 转化为求证PA ⊥面BEF 即可求证； （2）可以通过建立空间直角坐标系，利用空间向量进行求解． 【详解】：（1）取AD ，AP 中点E ，F ，连接BE ，BF ，EF .由AB PB =，PA PD ⊥得PA BF ⊥，PA EF ⊥，又⋂=BF EF F ， 所以PA ⊥平面BEF .由//AD BC ，2AD BC =知四边形BCDE 是平行四边形，则//BE CD ，BE ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，所以//BE 平面PCD ，同理//EF 平面PCD ，且⋂=BF EF F ， 所以平面//BEF 平面PCD ， 所以PA ⊥平面PCD .（2）由1AB PB BC CD ====，2AD =知四边形ABCD 是以60A ∠=︒的等腰梯形. 连接AC ，则AC CD ⊥，又PA ⊥平面PCD ，所以PA CD ⊥，所以CD ⊥平面PAC ，又CD ⊂平面ABCD ，所以平面PAC ⊥平面ABCD ， 于是点P 在底面ABCD 内的射影在AC 上.（在平面PAC 中，PA PC ⊥，点P 在以AC 为直径的圆上运动） 取AC 中点G，则PG 于是当PG ⊥底面ABCD 时，四棱锥P ABCD -的体积最大.如图，以G 为原点，分别以射线GB ，GC ，GP 为，y ，轴的正半轴， 建立空间直角坐标系G xyz -.由题意得()0,0,0G，0,A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，1,0,02B ⎛⎫⎪⎝⎭，D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.所以0,PA ⎛= ⎝⎭，1,0,2PB ⎛= ⎝⎭，()AD =-. 设平面PAD 的法向量(),,n x y z =，由00n PA n AD ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得00y x ⎧=⎪⎨⎪-=⎩，取()3,1,1n =-，则15sin cos ,5PB n PB n PB nθ⋅===⋅. 因此，直线PB 与平面PAD 20．已知点()11,0F -，圆()222116F x y -+=：，点Q 在圆2F 上运动，1QF 的垂直平分线交2QF 于点P .(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)直线与曲线C 交于M N 、两点，且MN 中点为()1,1，求直线的方程.【答案】：(1)22143x y +=(2)3470x y +-=【分析】：（1）由椭圆的定义求解， （2）由点差法得直线斜率后求解， 【详解】：（1）由题可知，1PF PQ =则122212422PF PF PQ PF QF F F +=+==>=由椭圆定义知P 的轨迹是以1F 、2F 为焦点，且长轴长为的椭圆， ∴21a c ==，，∴2223b a c =-=∴P 的轨迹方程为C ：22143x y +=（2）设1122,,()()M x y N x y ，,∵ M N ， 都在椭圆22+143x y =上， ∴ 2211+143x y =，2222+143x y =，相减可得12121212()()()()+043x x x x y y y y -+-+=，又MN 中点为()1,1，∴ 12122,2x x y y +=+=， ∴121234y y x x -=--，即直线的斜率为34-，∴直线的方程为31(1)4y x -=--，即3470x y +-=,因为点()1,1在椭圆内，所以直线3470x y +-=与椭圆相交于两点，满足条件. 故直线的方程为3470x y +-=.24．已知各项均为正数的数列{}n a 、{}n b 满足14a =，12b =，且n b ，n a ，1n b +成等差数列，n a ，1n b +，1n a +成等比数列.(1)证明：数列为等差数列； (2)记111n n n c b b +=+，且数列{}n c 的前项和为n S ，求证：32n S <. 【答案】：(1)证明见解析；(2)证明见解析.【分析】：（1）根据等差中项及等比中项的性质化简后，由等差中项可判断数列为等差数列；（2）由数列为等差数列求出2(1)n a n =+，代入条件可求出(1)n b n n =+，利用裂项相消法求和即可得证.（1）由条件可得12n n n a b b +=+，且211n n n b a a ++=，又0n a >，0n b >，故1n b +12n n n a b b +=+中，得2,n n N *≥∈时，有2n a=以数列为等差数列.（2）由（1）知数列2，由1122a b b =+，可得26b =，由2212b a a =，所以29a =3.数列()211n n +-=+，即2(1)n a n =+， 故()222111)2n n n b a a n n ++==++（，即()()112n b n n +=++，所以2,n n N *≥∈时，(1)n b n n =+，且12b =也符合上式，故(1)n b n n =+ 则()()()111111111111121122n n n c b b n n n n n n n n n n +=+=+=-+-=-+++++++，所以1111131113242212n S n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-- ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，而11012n n --<++，所以32n S <. 22．已知动圆P 过点()22,0F ，并且与圆1F ：()2224x y ++=相外切，设动圆的圆心P 的轨迹为C .（1）求曲线C 的方程；（2）过动点P 作直线与曲线2230x y -=交于,A B 两点，当P 为AB 的中点时，求OA OB ⋅的值；（3）过点2F 的直线与曲线C 交于,E F 两点，设直线：12x =，点()1,0D -，直线ED 交于点M ，求证：直线FM 经过定点，并求出该定点的坐标.【答案】：（1）221(0)3y x x -=>；（2）4；（3）证明见解析，定点的坐标为(1,0). 【解析】：（1）利用动圆经过的点及外切关系可求；（2）设出直线方程，联立方程组，结合中点公式，得到OA OB ⋅，进而可求OA OB ⋅； （3）设出直线方程，联立方程组，结合韦达定理，证明直线FM 经过定点.【详解】：（1）设动圆的圆心(,)P x y ，半径为，则由题意可得212PF rPF r ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，即122PF PF -=，因为1242F F =>，所以点P 的轨迹是以12,F F 为焦点的双曲线的右支，且1,2a c ==，所以曲线C 的方程为221(0)3y x x -=>.（2）当直线的斜率不存在时，(1,0),(1,P A B ，此时4OA OB ⋅=； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为y kx m =+，1122(,),(,)A x y B x y ，联立2230y kx m x y =+⎧⎨-=⎩得222(3)20k x kmx m ---=， 230k -≠，21212222,33km m x x x x k k+==---， ()()222121212121222632,33m m y y k x x m y y k x x km x x m k k +=++==+++=--. 因为P 为AB 的中点，所以223(,)33km m P k k --，代入曲线方程得()()22222223133k m m k k -=--； 整理可得223m k =-；2221212222322333m m m OA OB x x y y k k k-⋅=+=+==----，因为2230x y -=恰为双曲线的渐近线，且其中一条渐近线y =的倾斜角为60︒，所以1cos12022OA OB OA OB OA OB ⋅=︒=-=-，所以4OA OB =. 综上可得4OA OB =.（3）证明：当直线的斜率不存在时，(2,3),(2,3)E F -,13(,)22M ，直线:330FM x y +-=经过点(1,0).当直线的斜率存在时，设直线1:(2)l y k x =-，1122(,),(,)E x y F x y ， 直线11:(1)1y ED y x x =++，当12x =时，()11321M y y x =+，()1131(,)221y M x +，联立()22233y k x x y ⎧=-⎨-=⎩得2222(3)4(34)0k x k x k -+-+=， 230k -≠，22121222434,33k k x x x x k k ++=-=---， 下面证明直线FM 经过点()1,0Q ，即证FQ MQ k k =，1212311y yx x -=+-， 把()112y k x =-，()222y k x =-代入整理得()12124540x x x x -++=， 即22222223441216204544440333k k k k k k k ⎛⎫⎛⎫++-⨯--⨯-+=+=-+= ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭， 所以直线FM 经过点()1,0.【点睛】：本题主要考查双曲线的方程及直线与双曲线的位置关系，联立方程结合韦达定理是主要的考虑方向，侧重考查数学运算的核心素养.。
高二数学上学期期末模拟考试(共7页)
高二上学期(xuéqī)期末模拟考试数学范围：直线和圆、圆锥曲线满分是：160分时间是：120分钟一、填空题：〔本大题一一共14小题，每一小题5分，一共70分．请把答案填写上在答题纸．．．相应位置上〕1．假设直线的倾斜角为，那么 = ▲．2. 两条直线和互相垂直，那么等于▲ . 3．假设抛物线的焦点坐标为，那么抛物线的HY方程是▲．4. 点到直线的间隔等于，且在不等式表示的平面区域内，那么点的坐标是▲．5. 过点M且被圆截得弦长为的直线的方程为▲．6．假设实数满足的最大值是▲．7．圆上一点到直线的间隔的最小值为▲．C yxOAB〔第148．方程(fāngchéng) 的曲线是焦点在轴上的双曲线，那么的取值范围是 ▲ ． 9．经过点，渐近线方程为的双曲线的方程为 ▲ ．10．椭圆的离心率为，那么双曲线的离心率为▲． 11. 设是椭圆上一点，为焦点，，那么▲ ．12. 椭圆的中心为，右焦点为、右顶点为，右准线与轴的交点为，那么的最大值为 ▲ ．13. ：圆M ： ，直线的倾斜角为，与圆M 交于两点，假设(O 为原点)，那么l 在x 轴上的截距为 ▲ ．14.如图，在平面直角坐标系中，点A 为椭圆：〔〕的左顶点(dǐngdiǎn)，在椭圆E上，假设四边形为平行四边形，且，那么椭圆E的离心率等于▲．中学2021-2021年度第一学期期末模拟考试范围：直线和圆、圆锥曲线满分是：160分时间是：120分钟一．填空题〔本大题一一共14小题，每一小题5分，一共70分.请将答案填在相应的横线上〕1、________________________________2、______________________________3、________________________________4、______________________________5、________________________________6、______________________________7、________________________________ 8、______________________________9、 10、11、 12、13、 14、二、解答(jiědá)题〔本大题一一共6小题，一共计90分．解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤．〕15．〔此题满分是14分〕〔1〕直线过直线和的交点，且与直线垂直，求直线l的方程．〔2〕求经过点，和直线相切，且圆心在直线上的圆方程．16．〔此题满分是14分〕三点(sān diǎn).(1)求以为焦点且过点P的椭圆的HY方程；(2)设点关于直线的对称点分别为求以为焦点且过点的双曲线的HY方程.17．〔此题满分是15分〕某企业消费A、B两种产品，消费每一吨产品所需的劳动力、煤和电耗如下表：产品品种劳动力〔个〕煤〔吨〕电〔千瓦〕A产品 3 9 4B产品10 4 5 消费每吨A产品的利润是7万元，消费每吨B产品的利润是12万元，现因条件限制，该企业仅有劳动力300个，煤360吨，并且供电局只能供电200千瓦，试问该企业消费A、B两种产品各多少吨，才能获得最大利润？18．〔此题满分(mǎn fēn)是15分〕如图，直角三角形的顶点坐标，直角顶点，顶点在x轴上，点P为线段的中点〔1〕求边所在直线方程；〔2〕M为直角三角形ABC外接圆的圆心，求圆M的方程；〔3〕假设动圆过点P且与圆M内切，求动圆N的圆心N的轨迹方程．19．〔本小题满分是16分〕点，圆C：过点，F点为抛物线的焦点，直线与圆相切. 〔1〕求m的值与抛物线的方程；〔2〕设点，点为抛物线上的一个动点，求的取值范围．20. 〔此题满分(mǎn fēn)是16分〕椭圆E：的左焦点为F，左准线l与x轴的交点是圆C的圆心，圆C恰好经过坐标原点O，设是圆C上任意一点．〔1〕求圆C的方程；〔2〕假设直线与直线l交于点，且G为线段的中点，求直线FG被圆C 所截弦长；〔3〕在平面上是否存在一点P，使得恒成立？假设存在，求出点P坐标；假设不存在，请说明理由．内容总结。
高二数学上学期期末模拟试题 2(共12页)
富阳区新登中学2021-2021学年高二数学上学期期末(qī mò)模拟试题一．选择题〔一共10小题，每一小题4分，一共40分〕1．双曲线=1的渐近线方程为〔〕A．y=±B．y=±x C．y=±x D．y=±x2．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，BB1的中点，那么直线BC1与EF所成角的余弦值是〔〕A．B．C．D．3．a、b、c为三条不重合的直线，下面有三个结论：①假设a⊥b，a⊥c那么b∥c；②假设a⊥b，a⊥c那么b⊥c；③假设a∥b，b⊥c那么a⊥c．其中正确的个数为〔〕A．0个B．1个C．2个D．3个4．设点P为椭圆上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，且∠F1PF2=60°，那么△PF1F2的面积为〔〕A．B．C．D．5.对于曲线：上的任意一点P，假如存在非负实数M和m，使不等式恒成立为坐标原点，M的最小值为，m的最大值为，那么的值是A. 3B. 4C. 5D. 136．直线 l1：ax+〔a+2〕y+1=0，l2：x+ay+2=0，那么“l1∥l2〞是“a=﹣1〞的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7．点F为抛物线y 2=﹣8x的焦点，O为原点，点P是抛物线准线上一动点，点A在抛物线上，且|AF|=4，那么|PA|+|PO|的最小值为〔〕A．B．C．6 D．4+28．圆O为Rt△ABC的外接圆，AB=AC，BC=4，过圆心O的直线(zhíxiàn)l交圆O于P，Q两点，那么的取值范围是〔〕A．[﹣8，﹣1] B．[﹣8，0] C．[﹣16，﹣1] D．[﹣16，0]9．三棱锥D﹣ABC，记二面角C﹣AB﹣D的平面角为α，直线DA与平面ABC所成的角为β，直线DA与BC所成的角为γ，那么〔〕A．α≥β B．α≤β C．α≥γ D．α≤γ10．如图，斜线段AB与平面α所成的角为60°，B为斜足，平面α上的动点P满足∠PAB＝30°，那么点P的轨迹是〔〕A、直线B、抛物线C、椭圆D、双曲线的一支二．填空题〔一共6小题,双空每空3分，单空每空4分，一共30分〕11.直线的斜率为；倾斜角大小为______．12.圆：, 那么圆在点处的切线的方程是___________；过点〔2，2〕的切线方程是 .13．某几何体的三视图如下图〔单位：cm〕，那么该几何体的体积为cm3，该几何体的外表积为cm214．m，n，s，t∈R+，m+n=2，，其中m、n是常数，当s+t取最小值时，m、n对应的点〔m，n〕是双曲线一条弦的中点，那么此弦所在的直线方程为．15．在平面(píngmiàn)直角坐标系xoy中，双曲线的左支与焦点为F的抛物线x2=2py〔p＞0〕交于M，N两点．假设|MF|+|NF|=4|OF|，那么该双曲线的离心率为．16．在三棱锥T﹣ABC中，TA，TB，TC两两垂直，T在底面ABC内的正投影为D，以下命题：①D一定是△ABC的垂心；②D一定是△ABC的外心；③△ABC是锐角三角形其中正确的选项是〔写出所有正确的命题的序号〕三、解答题〔一共4题，50分〕17．〔满分是12分〕抛物线C：y2=2px的焦点坐标为F〔1，0〕，过F的直线l交抛物线C 于A，B两点，直线AO，BO分别与直线m：x=﹣2相交于M，N两点．〔Ⅰ〕求抛物线C的方程；〔Ⅱ〕证明△ABO与△MNO的面积之比为定值．18.〔满分(mǎn fēn)是12分〕如下图，四棱锥S﹣ABCD中，SA⊥底面ABCD，∠ABC=90°SA=2,，BC=1，，∠ACD=60°，E为CD的中点．〔1〕求证：BC∥平面SAE；〔2〕求直线SD与平面SBC所成角的正弦值．19．〔满分是12分〕如图，在四棱锥P﹣ABCD中，点E是AD的中点，点F在棱PB上，AD ∥BC，AB⊥AD，PA=PD=2，BC=AD=1，AB=，PC=．〔1〕证明：平面CEF⊥平面PAD；〔2〕设=k〔0＜k＜1〕，且二面角P﹣CE﹣F的大小为30°，务实数k的值．20．〔满分(mǎn fēn)是14分〕对于曲线C上一点T，假设在曲线C上存在异于T的两点，满足|TM|=|TN|，且TM⊥TN，那么称点T为曲线C的“T点〞，△TMN是点T的一个“特征三角形〞．椭圆的一个顶点为B〔0，1〕，A1，A2分别为椭圆G 的左、右顶点．〔 I〕证明：△BA1A2不是点B的“特征三角形〞；〔 II〕当a=2时，点A2是椭圆G的“T点〞，且△A2MN是点A2的“特征三角形〞，求出点M，N的一组坐标；〔 III〕试判断点B是否为椭圆G的“T点〞，假设是，求出其“特征三角形〞的个数；假设不是，请说明理由．高二数学(shùxué)期末复习卷答案一．选择题〔一共10小题，每一小题4分，一共40分〕题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 C B B A C B A D A C二．填空题〔一共6小题,双空每空3分，单空每空4分，一共30分〕11.； 12.；x=2或者y=213． , 14．x﹣2y+1=015．．16．①③④三、解答题〔一共4题，50分〕17．〔满分是12分〕抛物线C：y2=2px的焦点坐标为F〔1，0〕，过F的直线l交抛物线C 于A，B两点，直线AO，BO分别与直线m：x=﹣2相交于M，N两点．〔Ⅰ〕求抛物线C的方程；〔Ⅱ〕证明△ABO与△MNO的面积之比为定值．【解答】解：〔Ⅰ〕由焦点坐标为〔1，0〕可知，p=2∴抛物线C的方程为y2=4x〔Ⅱ〕当直线l垂直于x轴时，△ABO与△MNO相似，∴．当直线l与x轴不垂直时，设直线AB方程为y=k〔x﹣1〕，设M〔﹣2，y M〕，N〔﹣2，y N〕，A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，由整理(zhěnglǐ)得 k2x2﹣〔4+2k2〕x+k2=0，∵∠AOB=∠MON，∴x1•x2=1．∴．综上18.〔满分是12分〕如下图，四棱锥S﹣ABCD中，SA⊥底面ABCD，∠ABC=90°，，BC=1，，∠ACD=60°，E为CD的中点．〔1〕求证：BC∥平面SAE；〔2〕求直线SD与平面SBC所成角的正弦值．【解答】证明：〔1〕因为，BC=1，∠ABC=90°，所以AC=2，∠BCA=60°，在△ACD中，，AC=2，∠ACD=60°，由余弦定理可得：AD2=AC2+CD2﹣2AC•CDcos∠ACD解得：CD=4所以AC2+AD2=CD2，所以△ACD是直角三角形，又E为CD的中点(zhōnɡ diǎn)，所以又∠ACD=60°，所以△ACE为等边三角形，所以∠CAE=60°=∠BCA，所以BC∥AE，又AE⊂平面SAE，BC⊄平面SAE，所以BC∥平面SAE．〔2〕由〔1〕可知∠BAE=90°，以点A为原点，以AB，AE，AS所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，那么S〔0，0，2〕，，，．所以，，．设为平面SBC的法向量，那么，即设x=1，那么y=0，，即平面SBC的一个法向量为，所以所以直线SD与平面SBC所成角的正弦值为．19．〔满分(mǎn fēn)是12分〕如图，在四棱锥P﹣ABCD中，点E是AD的中点，点F在棱PB上，AD∥BC，AB⊥AD，PA=PD=2，BC=AD=1，AB=，PC=．〔1〕证明：平面CEF⊥平面PAD；〔2〕设=k〔0＜k＜1〕，且二面角P﹣CE﹣F的大小为30°，务实数k的值．【解答】〔1〕证明：由PA=PD=2，点E是AD的中点，∴PA⊥AD，ABCE是矩形，∴EC⊥AD，∵平面PAD∩平面ABCD=AD，PE⊂平面PAD，EC∴PA⊥平面ABCDEC⊂平面ABCD∴PA⊥EC．∵BC=AD=1，AD∥BC，AB⊥AD，∴EC⊥AD，AD⊂平面PAD，∴平面CEF⊥平面PAD．〔2〕由〔1〕可得PA⊥AD，EC⊥AD，PA⊥EC，以E为坐标原点，向量，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方形建立如下图的空间直角坐标系A﹣xyz．E〔0，0，0〕，P〔0，0，〕，C〔0，，0〕，B〔﹣1，，0〕，设F〔x，y，z〕，那么(nà me)=〔x，y，z﹣〕，=〔﹣1，，﹣〕，∵，∴，可得：x=﹣k，y=，z=，即F〔﹣k，，〕，设平面CEF的法向量为〔p，q，r〕，=〔﹣k，，〕，=〔﹣k，，〕∴，即，令r=，那么q=0，p=，即〔，0，〕，PCE的法向量为=〔﹣1，0，0〕，二面角P﹣CE﹣F的大小为30°，即cos30°=||=||=，解得：k=，故得实数k的值是．20．〔满分(mǎn fēn)是14分〕对于曲线C上一点T，假设在曲线C上存在异于T的两点，满足|TM|=|TN|，且TM⊥TN，那么称点T为曲线C的“T点〞，△TMN是点T的一个“特征三角形〞．椭圆的一个顶点为B〔0，1〕，A1，A2分别为椭圆G 的左、右顶点．〔 I〕证明：△BA1A2不是点B的“特征三角形〞；〔 II〕当a=2时，点A2是椭圆G的“T点〞，且△A2MN是点A2的“特征三角形〞，求出点M，N的一组坐标；〔 III〕试判断点B是否为椭圆G的“T点〞，假设是，求出其“特征三角形〞的个数；假设不是，请说明理由．【解答】〔本小题满分是14分〕解：〔I〕证明：，，因为a＞1，所以，即A1B与A2B不垂直．所以△BA1A2不是点B的“特征三角形〞．…〔4分〕〔 II〕当a=2时，椭圆．因为点A2是椭圆G的“T点〞，且△A2MN是点A2的一个“特征三角形〞，不妨设M〔m，n〕，N〔m，﹣n〕〔﹣2＜m＜2〕．由题意得：解得或者〔舍〕所以〔或者〕…．〔8分〕〔III〕点B是椭圆G的“T点〞．不妨设点B的“特征三角形〞为△BPQ．设直线(zhíxiàn)BP的方程为y=kx+1〔k＞0〕，那么直线BQ的方程为，由得〔1+a2k2〕x2+2a2kx=0．因为B〔0，1〕，所以．所以=．同理可得．因为|BP|=|BQ|，所以，即〔k﹣1〕[k2+〔1﹣a2〕k+1]=0．〔1〕所以k=1或者k2+〔1﹣a2〕k+1=0〔2〕．由〔2〕式可得△=〔1﹣a2〕2﹣4=〔a2+1〕〔a2﹣3〕．当时，〔2〕式有两个相等的正根1，所以〔1〕式有三个相等的正根为k=1；当时，〔2〕式有两个不等于1 的正根，所以〔1〕式有三个不相等的正根；当时，〔2〕式无实根，所以〔1〕式只有一个正根为k=1．综上：当时，满足条件的“特征三角形〞有1个．当时，满足条件的“特征三角形〞有3个．…．〔14分〕内容总结（1）②假设a⊥b，a⊥c那么b⊥c。
河南高二上学期期末数学试题(解析版) (2)
一、单选题1．若的展开式中的常数项为－20，则a =（ ） 6a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭A ．2B ．－2C ．1D ．－1 【答案】D【分析】由题意利用二项展开式的通项公式，求的展开式的常数项. 【详解】已知的展开式中的通项公式为：，令，求得：，6a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭6621r r r r T C a x -+=⋅⋅620r -=3r =可得展开式的常数项为：，解得：. 63320C a ⋅-=1a =-故选：D.2．设某医院仓库中有10盒同样规格的X 光片，已知其中有5 盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的.且甲、乙、丙三厂生产该种X 光片的次品率依次为，现从这10盒中任取一111,,101520盒，再从这盒中任取一张X 光片，则取得的X 光片是次品的概率为（ ）A ．0.08B ．0.1C ．0.15D ．0.2 【答案】A【分析】利用条件概率公式即可求解.【详解】以A 1，A 2，A 3分别表示取得的这盒X 光片是由甲厂、乙厂、丙厂生产的，B 表示取得的X 光片为次品，P =，P =，P =， ()1A 510()2A 310()3A 210P =，P =，P =； ()1|B A 110()2|B A 115()3|B A 120则由全概率公式，所求概率为P =P +P +P()B ()()11|A P B A ()()22|A P B A ()()33|A P B A =×+×+×=0.08. 510110310115210120故选：A3．的值等于0121834521C C C C ++⋯++A ．7351B ．7355C ．7513D ．7315【答案】D 【详解】原式等于，故选D.433344452122......7315C C C C C ++++==4．已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量为（ ）()2a =12b ⎛= ⎝ a b A ． B ． C ． D ．)()(14⎛ ⎝【答案】A【分析】根据投影向量的公式求解即可【详解】在上投影向量 a b)212a b a b b b⋅=⋅===r r r r r r 故选：A5．曲率半径可用来描述曲线上某点处的弯曲变化程度，曲率半径越大则曲线在该点处的弯曲程度越小.已知椭圆：（）上点处的曲率半径公式为C 22221x y a b+=0a b >>()00,P x y ．若椭圆上所有点相应的曲率半径的最大值是最小值的8倍，则椭圆的离3222220044x y R a b a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C C 心率为（ ）A ．BCD12【答案】C【分析】根据曲率半径的定义可判断何时曲率半径最大，合适曲率半径最小，再由题设可得基本量的关系，从而可求离心率.【详解】因为曲率半径越大则曲线在该点处的弯曲程度越小，故椭圆在处曲率半径最小，则，而椭圆在处曲率半径最大， (),0a ±2minb R a =()0,b ±则，因为，所以，所以，2max a R b =max min 8R R =228a b b a =⨯2a b =e =故选：C.6．已知抛物线的焦点为， 点为抛物线上一点，点，则的最小2:4C y x =F PC ()2,2A PA PF +值为 （ ）A B ．2 C D ．3【答案】D【分析】求出抛物线C 的准线l 的方程，过A 作l 的垂线段，结合几何意义及抛物线定义即可得解.【详解】抛物线的准线l ：，显然点A 在抛物线C 内，过A 作AM ⊥l 于M ，交抛2:4C y x ==1x -物线C 于P ，如图，在抛物线C 上任取不同于点P 的点，过作于点N ，连PF ，AN ，， P 'P 'P N l '⊥,P A P F ''由抛物线定义知，，||||||||||||||||||||PA PF PA PM AM AN P A P N P A P F ''''+=+=<<+=+于是得，即点P 是过A 作准线l 的垂线与抛物线C 的交点时，min (||||)||2(1)3PA PF AM +==--=取最小值，PA PF +所以的最小值为3.PA PF +故选：D7．中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱，假设空间站要安排甲，乙，丙，丁4名航天员开展实验，其中天和核心舱安排2人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人，则甲乙两人安排在同一个舱内的概率为（ ）A ．B ．C ．D ． 16141312【答案】A 【分析】分别求出所有的安排情况，再求甲乙两人安排在同一个舱内的情况，最后用古典概率公式可求解.【详解】从甲，乙，丙，丁4名航天员中任选两人去天和核心舱，剩下两人去剩下两个舱位，则有种可能，2242=62=12C A ⋅⨯要使得甲乙在同一个舱内，由题意，甲乙只能同时在天和核心舱，在这种安排下，剩下两人去剩下两个舱位，则有种可能. 22=2A所以甲乙两人安排在同一个舱内的概率. 21126P ==故选：A 8．现要安排六名志愿者去四个不同的场馆参加活动，每名志愿者只能去一个场馆.且每个场馆最少安排一名志愿者，则不同的分配方法有（ ）A ．种B ．种 10201280C ．种D ．种15601680【答案】C【分析】先对志愿者进行分组，然后安排到四个场馆，由此计算出正确答案.【详解】根据题意，若名志愿者以形式分为四个服务小组，6"2,2,1,1"共有种分配方法； 22464422C C A 1080A ⨯=若名志愿者以形式分为四个服务小组，6"3,1,1,1"共有种分配方法.3464C A 480⨯=故共有种分配方法.10804801560+=故选：C9．已知圆，圆，，分别为圆和圆上的动221:2440C x y x y ++++=222:4210C x y x y +-++=M N 1C 2C 点，为直线上的动点，则的最小值为（ ）P :2l y x =+MP NP+A ．B ． CD333-3【答案】A【解析】分析圆与圆的圆心和半径，求出与圆关于直线对称的圆，再设圆上的点1C 2C 1C l C 'C '与圆上点对称，分析可得原问题可以转化为到圆和圆上的动点距离之和最小值问M '1C M P C '2C 题，据此分析可得答案．【详解】圆，即，圆心为，半径， 221:2440C x y x y ++++=()()22121x y +++=()1,2--1R =圆，即，圆心为，半径， 222:4210C x y x y +-++=()()22214x y -++=()2,1-2r =设点关于直线对称的点为()1,2--:2l y x =+(),a b 则 ，解得：， 21121222b a b a +⎧=-⎪⎪+⎨--⎪=+⎪⎩41a b =-⎧⎨=⎩圆关于直线对称的圆为圆，其圆心为，半径，则其方程为1C :2l y x =+C '()4,1-1R '=， ()()22411x y ++-=设圆上的点与圆上点对称，则有，C 'M '1C M PM PM '=原问题可以转化为到圆和圆上的动点距离之和最小值问题，P C '2C连接，与直线交于点，此时点是满足最小的点，2C C 'l P P PN PM '+此时，即的最小值为，233PN PM C C ''+=-=MP NP +3故选：A ．【点睛】关键点点睛：本题考查直线与圆的位置关系，涉及圆与圆关于直线的对称问题，解答本题的关键是求出圆直线对称的圆的方程，原问题可以转化为到圆1C :2l y x =+()()22411x y ++-=P 和圆上的动点距离之和最小值问题.C '2C 10．为排查新型冠状病毒肺炎患者，需要进行核酸检测.现有两种检测方式：（1）逐份检测；（2）混合检测：将其中k 份核酸分别取样混合在一起检测，若检测结果为阴性，则这k 份核酸全为阴性，因而这k 份核酸只要检一次就够了，如果检测结果为阳性，为了明确这k 份核酸样本究竟哪几份为阳性，就需要对这k 份核酸再逐份检测，此时，这k 份核酸的检测次数总共为次.假1k +设在接受检测的核酸样本中，每份样本的检测结果是阴性还是阳性都是独立的，并且每份样本是阳性的概率都为，若，运用概率统计的知识判断下面哪个p 值能使得混合检测方式()01p p <<10k =优于逐份检测方式.（参考数据：）（ ）lg 0.7940.1≈-A ．0.1B ．0.3C ．0.4D ．0.5【答案】A【分析】计算混合检测方式，样本需要检测的总次数的期望，又逐份检测方式，样本需要Y ()E Y 检测的总次数，知，利用求解可得p 的范围，即可得出选项. X ()10E X =()()E Y E X <【详解】设混合检测方式，样本需要检测的总次数Y 可能取值为1，11.，， ()()1011P Y p ==-()()101111P Y p ==--故Y 的分布列为： Y1 11 P()101p -()1011p --()()()()10101011111111101E Y p p p ∴=⨯-+⨯--=-⨯⎦-⎡⎤⎣设逐份检测方式，样本需要检测的总次数X ，则()10E X =要使得混合检测方式优于逐份检测方式，需()()E Y E X <即，即，即 ()101110110p -⨯-<()101110p ->0.1011p -->又，lg 0.7940.1≈-，lg0.7941010.794p >=∴-，.0.79.140206p ∴=<-00.206p <<∴故选：A.二、多选题11．已知在直三棱柱中，底面是一个等腰直角三角形，且，E 、F 、G 、111ABC A B C -1AB BC BB ==M 分别为的中点．则（ ）1111B C A B AB BC ，，，A ．与平面B ．与所成角为 1GB 11ACC A 1AB 1BC 3πC ．平面EFBD ．平面⊥平面 1//A M 1AB C 1A MC 【答案】BCD【分析】建系，利用坐标法，根据线面角，线线角的向量求法可判断AB ，根据线面平行的判定定理可判断C ，利用线面垂直的判定定理先证平面，可得，再证平面BC ⊥11ABB A 1BC AB ⊥1AB ⊥，然后根据面面垂直的判定定理即得．1A BC 【详解】如图1，建立空间之间坐标系，设，则有：2AB =，()()()()()()110,2,00,0,02,0,00,1,02,0,20,0,2A B C G C B ，，，，， ∴，，，，，()10,1,2GB =- ()2,2,0AC =- ()10,0,2CC = ()12,0,2BC = ()10,2,2AB =- 设平面ACC 1A 1的法向量为(),,n x y z = 则有，令x ＝1，则， 122020n AC x y n CC z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅==⎪⎩ ()1,1,0n =r 则，111cos ,n GB n GB n GB ⋅=== ∴与平面，A 错误； 1GB 11ACC A∵， 1111111cos ,2BC AB BC AB BC AB ⋅=== ∴AB 1与BC 1所成角的余弦值为，则夹角为，B 正确； 12π3如图2：连接，设，连接OF ，1EF BE B M ，，1BE B M O =E 、M 分别为的中点，则且，11B C BC ，1//B E BM 1B E BM =∴为平行四边形，则O 为的中点，1EMBB 1MB 又∵F 为的中点，则，11A B 1//OF A M平面EFB ，平面EFB ，OF ⊂1A M Ë∴平面EFB ，C 正确；1//A M 由题可知平面即为平面，1A MC 1A BC 由题意可得：，1BC AB BC BB ⊥⊥，又，平面， 1AB BB B Ç=AB ，1BB ⊂11ABB A ∴平面，BC ⊥11ABB A 平面，则，1AB ⊂11ABB A 1BC AB ⊥又∵为正方形，则，11ABB A 11A B AB ⊥又，平面，1BC A B B ⋂=,BC 1A B ⊂1A BC 所以平面，平面，1AB ⊥1A BC 1AB ⊂1AB C ∴平面⊥平面，即平面⊥平面，D 正确.1AB C 1A BC 1AB C 1A MC 故选：BCD ．12．月光石不能频繁遇水，因为其主要成分是钾钠硅酸盐.一块斯里兰卡月光石的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐标系，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的右焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合.若直线与半圆交于点A ，与半椭圆()3,0F ()0y t t =>交于点B ，则下列结论正确的是（ ）A B ．点关于直线的对称点在半圆上 F 12y x =C ．面积的最大值是 ABF △)914D ．线段AB 长度的取值范围是(0,3+【答案】ACD【分析】由题意可求出半圆和椭圆的方程，即可求得椭圆离心率，判断A ；求出关于直线F的对称点即可判断B ；设坐标，表示出面积，利用基本不等式求得其最大值，12y x =,A B ABF △判断C ；结合半圆的半径以及椭圆的长半轴长，可确定线段AB 长度的取值范围，判断D ；【详解】由题意得半圆的方程为，()22+90x y x =≤设椭圆的方程为， ()222210,0x y a b x a b+=>>≥所以 ，所以， 33b c =⎧⎨=⎩218a =a =所以椭圆的方程为． ()2210189x y x +=≥A ．椭圆的离心率是，故A 正确； c e a ===B ．设关于直线的对称点为， ()3,0F 12y x =(),m n 可得且， 23n m =--113222m n +=⨯解得，即对称点为， 912,55m n ==912,55⎛⎫ ⎪⎝⎭因为半圆的方程为，()22+90x y x =≤所以对称点为不在半圆上，故B 错误； 912,55⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．由题得面积， ABF △1||2S AB t =⨯设，())22111,,9,03A x t x t x t ∴+=∴=<<设 ()22222,,1,189x t B x t x ∴+=∴所以，||AB =所以12S t t =⨯=，当且仅当时等号成立，故C 正确； )914≤=t =D ．当时，时，，0t →||3AB →+3t →||0AB →所以线段AB 长度的取值范围是，故D 正确；(0,3+故选：ACD.三、填空题13．已知双曲线的一条渐近线方程为，且其右焦点为，则双()2222:10,0x y C a b a b-=>>43y x =()5,0曲线的标准方程为__________.C 【答案】 221916x y -=【分析】依题意可得，，即可求出、的值，从而得解. 43b a =5c =a b 【详解】双曲线的渐近线方程为， ()2222:10,0x y C a b a b-=>>43y x =可得，其右焦点为，可得，又， 43b a =()5,05c =222c a b =+解得，，3a =4b =则双曲线的方程为：． C 221916x y -=故答案为：． 221916x y -=14．如图，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱.若侧面AA 1B 1B 水平放置时，液面恰好过112AA =AC ，BC ，A 1C 1，B 1C 1的中点.当底面ABC 水平放置时，液面高为__________.【答案】9【分析】先根据条件将水的实际体积算出，再根据棱柱的体积公式即可算出当底面ABC 水平放置时，液面高度.【详解】设的面积为x ，底面ABC 水平放置时，液面高为hABC A 则水的体积为 1121294V x x x =-⨯=当底面ABC 水平放置时，水的体积为，解得9V x h x =⋅=9h =故答案为:9 15．有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任取两瓶，若取的两瓶中有一瓶是蓝色，则另一瓶是红色或黑色的概率为____________.【答案】 67【分析】设事件为“一瓶是蓝色”，事件为“另一瓶是红色”，事件为“另一瓶是黑色”，事件A B C D为“另一瓶是红色或黑色”，可得，利用条件概率公式可求得所求事件的概率.D B C =⋃【详解】设事件为“一瓶是蓝色”，事件为“另一瓶是红色”，事件为“另一瓶是黑色”，事件A B C D 为“另一瓶是红色或黑色”，则，且与互斥，D B C =⋃B C 又，，， ()11223225710C C C P A C +==()122515C P AB C ==()11222525C C P AC C ==故. ()()()()()()()()()67P AB P AC P D A P B C A P B A P C A P A P A =⋃=+=+=故答案为：. 67【点睛】方法点睛：求条件概率的常用方法： （1）；()()()P AB P B A P A =（2）；()()()n AB P B A n A =（3）转化为古典概型求解.四、双空题16．已知的展开式中前三项的二项式系数之和为46，_____；展开式中系数()2nn x *⎫+∈⎪⎭N n =最大的项________． 【答案】 9925376x -【分析】由题意得：，得，又二项式的展开式通项为：()0121C C C 1462n n n n n n -++=++=9n =，得即可解决. 9192C rrrr T x -+⎛⎫=⋅⋅ ⎪⎝⎭11991199C 2C 2C 2C 2r r r r r r r r --++⎧⋅≥⋅⎨⋅≥⋅⎩【详解】由题意得：，解得：或，()0121C C C 1462n n n n n n -++=++=9n=10-因为，n *∈N 所以（舍去），从而， 10n =-9n =因为二项式的展开式通项为：， 9192C rrrr T x -+⎛⎫=⋅⋅ ⎪⎝⎭所以系数为，要求其最大值，9C 2rr⋅所以只要满足，即， 11991199C 2C 2C 2C 2r r r r r r r r --++⎧⋅≥⋅⎨⋅≥⋅⎩()()()()()()119!9!22!9!1!10!9!9!22!9!1!8!r r r r r r r r r r r r -+⎧⋅≥⋅⎪---⎪⎨⎪⋅≥⋅⎪-+-⎩解得：， 172033r ≤≤因为， r ∈N 所以，6r =所以系数最大项为69362792C 5376T x x -⎛⎫== ⎪⎝⎭故答案为：9；925376x -五、解答题17．在平面直角坐标系中，已知圆：．xOy C 22(1)(2)9x y ++-=(1)若直线：恒过圆内一定点，求过点的最短弦所在直线的方程； l 10kx y k -+-=C M M (2)从圆外一点向圆引一条切线，切点为，且有，求的最小值． C ()11,P x y C Q PQ PO=PQ 【答案】(1)； 210x y --=【分析】（1）首先求出直线所过定点，然后分析出最短弦与垂直，求出斜率，写出直l ()1,1M CM 线即可；（2）根据题意得到，即，即，化简22||9PQ PC =-22||9PO PC =-22221111(1)(2)9x y x y +=++--得到的轨迹方程为，求出点到上述直线的距离即为 最小值. P 220x y --=O PO 【详解】（1）直线的方程变形为，l ()()110k x y -+-=令，解得，1010x y -=⎧⎨-=⎩11x y =⎧⎨=⎩所以无论取何值，直线过定点， k l ()1,1M 又因为圆的圆心，C ()1,2C -因为过点的最短弦与垂直，且直线CM 的斜率， M CM 211112CM k -==---所以最短弦所在直线的斜率为，2故最短弦的直线方程为，即；()121y x -=-210x y --=（2）由于，2222||||9PC PQ r PQ =+=+所以，22||9PQ PC =-又，PQ PO =所以，22||9PO PC =-所以，化简得，22221111(1)(2)9x y x y +=++--11220x y --=所以点的轨迹方程为， P 220x y --=因为，PQ PO =所以取得最小值，即取得最小值， PQ PO点到直线的距离 O 220x y --=d即的最小值为．PQ 18．甲，乙，丙三名同学相约一起打乒乓球，已知丙与甲，乙比赛，丙每局获胜的概率分别为，23，每局比赛的结果互不影响，若乙，丙采用“三局两胜制”进行比赛，丙获胜的概率为()01p p <<. 295p (1)求的值；p (2)在甲，乙两名同学中用抽签法随机选择一名同学与丙进行一局比赛，求丙获胜的概率.【答案】(1)35(2) 1930【分析】（1）分情况，丙获胜有两种可能：丙前两局连胜，或者前两局乙，丙各胜一局且第三局丙胜，再根据独立事件的概率公式及互斥事件的概率公式计算可得； （2）根据全概率公式计算可得.【详解】（1）由题知，乙，丙进行比赛，丙每局获胜的概率为，若乙，丙采用“三局两()01p p <<胜制”进行比赛，丙获胜有两种可能：丙前两局连胜，概率为；或者前两局乙，丙各胜一局21=p p 且第三局丙胜，概率为，所以丙获胜的概率为，计算得1222(1)p p p =-C 2122C (1)p p p +-=295p p =. 35（2）设事件为：甲与丙进行比赛，事件为：乙与丙进行比赛，事件为：丙比赛获胜，则1A 2A B ，，，，所以()112P A =()212P A =()123P A B =()235P A B =.()()()()()1122121319==232530P B P A P B A P A P B A =+⨯+⨯19．甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相同，所得次品数分别为，，且X Y 和的分布列如下表：X YX 0 1 2P 35 110 310Y 012P1231015试对这两名工人的技术水平进行比较． 【答案】乙的技术更稳定．【分析】根据分布列分别求甲和乙的期望和方差，再进行比较. 【详解】【解】工人甲生产出次品数的均值和方差分别为 X ，()3130120.751010E X =⨯+⨯+⨯=．()()()()22231300.710.720.70.8151010D X =-⨯+-⨯+-⨯=工人乙生产出次品数的均值和方差分别为 Y ，()1310120.72105E Y =⨯+⨯+⨯=．()()()()22213100.710.720.70.612105D Y =-⨯+-⨯+-⨯=由知，两人生产出次品的平均数相同，技术水平相当，但，可见乙的技()()E X E Y =()()D X Y D >术更稳定．20．如图，在四棱锥中，平面平面，是P ABCD -PAD ⊥,2,4,ABCD PA AD BD AB ====BD的平分线，且.ADC ∠BD BC ⊥(1)若点为棱的中点，证明：平面；E PC BE A PAD (2)已知二面角的大小为，求平面和平面的夹角的余弦值. P AB D --60 PBD PCD 【答案】(1)证明见解析.(2). 35【分析】(1)延长交于点，连接,证明即可；,CB DA F PF BE PF ∥(2)以的中点为为原点 ，建立空间直角坐标系，用向量法解决问题.AD O 【详解】（1）延长交于点，连接， ,CB DA F PF 在中，CDF A 是的平分线，且， BD Q ADC ∠BD BC ⊥是等腰三角形，点是的中点，∴CDF A B CF 又是的中点，E PC ，BE PF ∴∥又平面平面，PF ⊂,PAD BE ⊄PAD 直线平面.∴BE A PAD（2）在中，， ABD △2,4,AD BD AB ===则，即，90BAD ∠=BA AD ⊥由已知得， 60,8BDC BDA CD ∠∠=== 又平面平面平面 PAD ⊥,ABCD BA ⊂ABCD 所以平面，即，BA ⊥PAD BA PA ⊥所以以为二面角的平面角，PAD ∠P AB D --所以，60PAD ∠= 又，所以为正三角形，2PA AD ==PAD A 取的中点为，连，则平面 AD O OP ,OP AD OP ⊥⊥,ABCD 如图建立空间直角坐标系，则，()()()()(1,0,0,1,,5,,1,0,0,A B C D P --所以，(()(),2,,4,DP BD DC ==--=- 设分别为平面和平面的法向量，则()()111222,,,,,m x y z n x y z ==PBD PCD ，即，取，则，00m DP m BD ⎧⋅=⎨⋅=⎩1111020x x ⎧+=⎪⎨--=⎪⎩11y =-)1,1m =-- ，即，取，则，00n DP n DC ⎧⋅=⎨⋅=⎩2222040x x ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩21y=)1n =- 所以.3cos ,5m n m n m n ⋅==⋅则平面和平面所成夹角的余弦值为.PBD PCD 3521．甲､乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司的底薪80元，每单抽成4元；乙公司无底薪，40单以内(含40单)的部分每单抽成6元，超出40单的部分每单抽成7元，假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其50天的送餐单数，得到如下频数表： 甲公司送餐员送餐单数频数表： 送餐单数 38 39 40 41 42 天数 101510105乙公司送餐员送餐单数频数表：送餐单数 38 39 40 41 42 天数 51010205若将频率视为概率，回答下列两个问题：（1）记乙公司送餐员日工资为(单位：元)，求的分布列和数学期望；X X （2）小王打算到甲､乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由.【答案】（1）详见解析；（2）推荐小王去乙公司应聘，理由见解析.【解析】（1）本题首先可以设乙公司送餐员送餐单数为，然后依次求出、、a 38a =39a =40a =、、时的工资以及概率，即可列出的分布列并求出数学期望；41a =42a =X p X （2）本题可求出甲公司送餐员日平均工资，然后与乙公司送餐员日平均工资进行对比，即可得出结果.【详解】（1）设乙公司送餐员送餐单数为， a 当时，，； 38a =386228X =⨯=515010p ==当时，，； 39a =396234X =⨯=101505p ==当时，，； 40a =406240X =⨯=101505p ==当时，，； 41a =40617247X =⨯+⨯=202505p ==当时，，， 42a =40627254X =⨯+⨯=515010p ==故的所有可能取值为、、、、， X 228234240247254故的分布列为：XX 228 234 240 247 254P 110 15 1525110故. 11121()228234240247254241.81055510E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（2）甲公司送餐员日平均送餐单数为：，380.2390.3400.2410.2420.139.7⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=则甲公司送餐员日平均工资为元，80439.7238.8+⨯=因为乙公司送餐员日平均工资为元，， 241.8238.8241.8<所以推荐小王去乙公司应聘. 【点睛】关键点点睛：（1）求分布列的关键是根据题意确定随机变量的所有可能取值和取每一个值时的概率，然后列成表格的形式后即可，（2）根据统计数据做出决策时，可根据实际情况从平均数、方差等的大小关系作出比较后得到结论.22．已知点，点M 是圆A ：上任意一点，线段MB 的垂直平分线交半径MA()10B ,()22116x y ++=于点P ，当点M 在圆A 上运动时，记P 点的轨迹为E . (1)求轨迹E 的方程；(2)作轴，交轨迹E 于点Q （Q 点在x 轴的上方），直线与轨迹E 交于BQ x ⊥():,l x my n m n =+∈R C 、D （l 不过Q 点）两点，若CQ 和DQ 关于直线BQ 对称，试求m 的值.【答案】(1)22143x y +=(2) 2m =【分析】（1）利用椭圆定义即可求得轨迹E 的方程；（2）先将直线的方程与轨迹E 的方程联立，再利用设而不求的方法表示，进而得到l 0CQ DQ k k +=的关系式，从而求得m 的值.m n 、【详解】（1）圆的圆心，半径，()22:116A x y ++=()1,0A -4r =点为线段的垂直平分线与半径的交点，，P MB MA PM PB ∴=，42PA PB PA PM AM AB ∴+=+==>=点的轨迹是以､为焦点的椭圆，设其方程为，P ∴E A B ()222210x y a b a b +=>>则，，所以，，24a =22c =2a =1c =b =因此，轨迹的方程为.E 22143x y +=（2）设、，轴，点在轴的上方，()11,C x y ()22,D x y BQ x ⊥ Q x 将代入方程，可得，则， 1x =22143x y +=32y =±31,2Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭联立可得， 223412x my n x y =+⎧⎨+=⎩()2223463120m y mny n +++-=，可得，()()222236123440m n m n ∆=-+->2234n m <+由韦达定可得，. 122634mn y y m +=-+212231234n y y m -=+因为、关于直线对称，则，CQ DQ BQ 0CQ DQ k k +=则，()()1212211233332201101122y y x y x y x x --⎛⎫⎛⎫+=⇒--+--= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭又，，11x my n =+22x my n =+则，()12123213302my y n m y y n ⎛⎫+--+-+= ⎪⎝⎭即， 222312362133034234n mn m n m n m m -⎛⎫⎛⎫⋅+--⋅--+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭化简得： ，即()2328440m n m n +--+=()()23220m m n -+-=则或，2m =3220m n +-=当时，，3220m n +-=312n m =-此时，直线的方程为，l 331122x my m m y ⎛⎫=+-=-+ ⎪⎝⎭直线过点，不合题意.l 31,2Q ⎛⎫⎪⎝⎭综上所述，.2m =。
高二上期期末检测数学模拟试题(参考答案)
高二上期期末检测模拟试题数学 试题 参考答案一、单选题（本大题共8小题，共40分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1、【答案】B2、【答案】D解析：由题意，得存在实数x ，y ，使得AD x AB y AC =+成立，即(5,6,)(2,1,3)(1,4,2)x y λ−=−+−−，所以52,64,32,x y x y x y λ=− −=−+ =− 解得2,1,8,x y λ==− = 故选D. 3、【答案】C解析：由535S S =，且21(21)n n S n a −=−，得()312355a a a a =++，所以120a a +=，设等差数列{}n a 的公差为d ，则()()341248a a a a d +−+==，所以121d a ==−，，所以5147a a d =+=. 4、【答案】A 5、【答案】D解析：()57134a a a a +=+，则4q = ，∴4624a q a ==故选：D 6、【答案】D 7、【答案】C小题，共9、【答案】ACD解析：因为数列是一类特殊的函数，其自变量n +∈N ，故数列的图象是一群孤立的点，A 正确；数列1，0，1，0，…与数列0，1，0，1，…的对应项不一样，故不是同一数列，B 错误； ，…前四项的规律，可知一个通项公式可以是()1nna n n +=∈+N ，C 正确； 10、【答案】ABD解析：当倾斜角为90°时，斜率不存在，故A 选项正确；设(0,2)关于直线1y x =+的对称点为(),m n ，则满足212122n mn m − =−+ =+ ，解得：11m n = = ，故点(0,2)关于直线1y x =+的对称点为(1,1)，B 正确；当在x 轴和y 轴上截距都等于0时，此时直线为y x =，故C 错误；直线20x y −−=与两坐标轴的交点坐标为()2,0与()0,2−，故与两坐标轴围成的三角形的面积为12222××=，D 正确. 故选：ABD. 11、【答案】BC解析：因为双曲线22:1169x y C −=，所以5c =，又因为12112102022P P F P F S c y y =⋅=⋅⋅= ，所以4P y =，所以选项A 错误；将其代入22:1169x y C −=得2241169x −=，即20||3x =，由对称性，不妨取P 的坐标为20,43，可知2133PF =， 由双曲线定义可知1213372833PF PF ++ 所以121337|||350|33PF PF +=+=，所以选项B 正确； 由对称性，对于上面点P ， 在12PF F 中，12371321033PF c PF =>=>=， 且24012020553PF k −==>−，所以12PF F 为钝角三角形，选项C 正确； 因为122920tan tan 22PF F b S θθ===，所以9πtan tan 2206θ=<=， 即π26θ<，所以12π3F PF θ∠=<，所以选项D 错误（余弦定理也可以解决）； 12、【答案】ABD 解析：作出如图所示图形:对A,由抛物线定义及题意得222sin 302M M py py +==− , 即2212MM py p y+= =−,解得3p =,故A 正确; 对B,3p =,则30,2F,当直线l 的斜率不存在时,显然不合题意,设()11,M x y ,()22,N x y ,设直线l 的方程为y kx =22py =得2690x kx −−=,则12126,9x x k x x +==−, 121322MON S x x =×−=△当且仅当0k =时等号成立,故B 正确;对C,121212123322OM ON x x y y x x kx kx ⋅=+=+++ ()()()221212393919162424k x x k x x k k k =++++=−++⋅+故MON ∠钝角,则不存在直线l ,使得90OMF ONF ∠+∠>°,故C 错误; 对D,26x y =,即216y x =,故13y x ′=,1x ,在点N 2x ,为121x x =−,故相切的两条直线互相垂直,故D 正确.故选:ABD.三、填空题（本大题共4小题，共20分） 13、【答案】解析：将2220x y x ++=化为标准式得()2211x y ++=，故半径为1； 圆心()1,0−到直线y kx =，由弦长为1可得1=，解得k =.故答案为：.14、【答案】33,84解析：设00(,)P x y ,则有2200143x y +=,即2200443x y −=.①由题意知12(2,0),(2,0)A A −,设直线1PA 的斜率为1k ,直线2PA 的斜率为2k ,则001200,22y y k k x x ==+−, 所以212204y k k x ⋅=−.② 由①②得1234k k ⋅=−.因为2[2,1]k ∈−−,所以1k 的取值范围为33,84,故选B.15、【答案】21nn + 解析：由题意，11a =，当(,1]x n n ∈+时，{}1x n =+，(22{},21x x n n n n ⋅∈+++ ，{{}}x x ⋅的取值依次为2221,2,,21n n n n n n ++++++ ，…，221n n ++，共1n +个，即11n n a a n +=++，由此可得(1)1211123,22(1)1n n n n a n a n n n n + =++++===− ++， 所以1211121n n a a a n +++=+ . 四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 16、【答案】解析：本题考查抛物线、双曲线的几何性质，直线与抛物线的位置关系.由题意得,02p F，设直线l 的方程为2p x my =+，()11,A x y ，()22,B x y .由22,,2y px p x my = =+消去x 得2220y mpy p −−=，0∆>， 122y y mp ∴+=①，212y y p ⋅=−②.又||(3||AF FB =+，即(3AF FB =+，1122,(3,22p p x y x y∴−−=+−,12(3y y ∴=−+③.将③代入①得21)y mp +=−④，将③代入②得222(3y p +=⑤，再由④⑤解得21m =，故直线l 的斜率1k =±.又抛物线22(0)y px p =>的焦点F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b −=>>的右焦点，2p c ∴=.∴直线l 的方程即为()y k x c =−. 由双曲线的左焦点(,0)c −到直线l的距离2d b =>，解得c >，即222c b >.又222b c a =−,()2222c c a ∴>−,即ce a=<, 又1e >，∴双曲线的离心率e ∈. 17、【答案】(1).依题意得()()12111410,28,a d a d a a d +=+=+因为0d ≠，解得12,2.a d ==所以()2122n a n n =+−×=.(2).由(1)得()2222n n n S n n +==+， 所以211111nS n n n n ==−++. 所以11111111223111n n T nn n n =−+−++−=−=+++…. 解析：18、【答案】（解析:（1）1BB ⊥ 平面ABC ,BC ⊂平面ABC , 1BB BC ∴⊥,平面111//A B C 平面ABC , 1BB ∴⊥平面111A B C , 11B C ⊂ 平面111A B C , 111BB B C ∴⊥11111tan B C C BB BB∴∠==1tan B CB ∠==111C BB B CB ∴∠=∠, 1190CBC B CB ∴∠+∠=°, 即11BC B C ⊥,又111A B BB ⊥,1111A B B C ⊥,1111BB B C B = ,1BB ⊂平面11BCC B ,11C B ⊂平面11BCC B , 11A B ∴⊥平面11BCC B , 111A B BC ∴⊥,1111A B B C B = ,1B C ⊂平面11A B C ,11A B ⊂平面11A B C , 1BC ∴⊥平面11A B C , 1A C ⊂ 平面11A B C ,11BC A C ∴⊥.（2）如图,作1A H AC ⊥于H ,在直角梯形11ABB A 中,得1AA =同理可得1CC =在等腰梯形11ACC A 中,()1112AH AC AC =−=则1A H ==1112A AC S AC A H ∴=⋅=△设B 到平面1A AC 的距离为d , 由11A ABC B A AC V V −−=,1113ABC A AC S BB S d ⋅=⋅△△, 则11ABC A AC S BB dS ⋅=△△又1A B =所以直线1A B 与平面1ACC A =.19、【答案】(1)圆C 的方程为22(3)(1)9x y −+−=或22(3)(1)9x y +++= (2)反射光线所在直线的方程为29150x y +−= 解析：(1)设圆222:()()(0)C x a y b r r −+−=>.由题意，得30a b −=①，||r a =②，227r +=③. 由①得3a b =，则3||r b =，代入③得21b =.当1b =时，3a =，3r =，∴圆22:(3)(1)9C x y −+−=；当1b =−时，3a =−，3r =，∴圆22:(3)(1)9C x y +++=.综上所述，圆C 的方程为22(3)(1)9x y −+−=或22(3)(1)9x y +++=. (2) 圆C 与y 轴正半轴相切， ∴圆22:(3)(1)9C x y −+−=. 设(1,2)M −−关于直线4y x =+的对称点为(,)M x y ′， 则21,1214,22y x y x + =− + −− =+ 解得6,3,x y =− = (6,3)M ′∴−，∴反射光线所在直线的斜率1336k −==+∴反射光线所在直线的方程为23(6)9y x −=−+，即29150x y +−=.20、【答案】 解析：解法一：取CD 的中点T ，连接AT ，可得AT CD ⊥， 所以AB AT ⊥，因为PA ⊥平面ABCD ，故以P A ，AB ，AT 所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图.可得(,0,0)B a ，1,02C a ，1,02D a −，(0,0,)P b . (1)设平面PBD 的法向量为()111,,x y z =m ，因为(,0,)PB a b =− ，3,02BD a a =−， 所以11110,30,2ax bz ax ay −=−=令1x b =，则(,)b a =m ；设平面P AC 的法向量为()222,,x y z =n ，因为(0,0,)AP b =，1,02AC a =，所以2220,10,2bz ax = = 令21y =，则(n .所以0⋅=m n ，从而平面PBD ⊥平面P AC .(2)易得1,04O a，3,08M a， 设平面OPM 的法向量为()1333,,x y z =n ，因为1,,4OP a b =−，1,08OM a =，所以333331410,8ax ay bz ax −+= 31y =，则1(n ；设平面PMD 的法向量为()2444,,x y z =n ，因为1,2PD a b =−−，7,08MD a =−，所以4444410,270,8ax bz ax −−=−=令47y b =，则2,7)b =n .设二面角O PM D −−的平面角为θ，由tan θ=θ=所以1cos cos ,θ=n =解法二：过点O 作//OT PA ，因为PA ⊥平面ABCD ，所以OT ⊥平面ABCD .因为四边形ABCD 为菱形，所以OC OD ⊥，如图，以OC ，OD ，OT 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，(1,0,0)A −，(1,0,0)C ，(0,B ，D ，(1,0,)P b −.(1)设平面PBD 的法向量为()111,,x y z =m ，因为(1,)PB b =− ，(0,BD =，所以11110,0,x bz −−= = 令11z =，则(,0,1)b =m ；设平面P AC 的法向量为()222,,x y z =n ，因为平面P AC 即为xOz 平面，所以(0,1,0)=n .所以0⋅=m n ，从而平面PBD ⊥平面P AC . (2)易得1,0,02M.设平面OPM 的法向量为()1333,,x y z =n ，因为(1,0,)OP b − ，1,0,02OM=，所以3330,10,2x bz x −+== 可取1(0,1,0)=n ；设平面PMD 的法向量为()2444,,x y z =n ，因为)PD b =− ，12MD=−，所以444440,10,2x bz x +−= −=令4y b =，则2,b =n .设二面角O PM D −−的平面角为θ，则tan θ=θ=所以1cos cos ,θ=n解得b =CD ==12112111222111111113333333222242n n n n n T b b b −−−=−+−++−=−+++++=+++++22、【答案】(1)标准方程为. (2)存在，点(0,0)M .2212x y +=解析：(1)因为椭圆E，所以c a =，所以直线1l 的斜率为-1.如图，设E 的右焦点为F ，右顶点为P ，上顶点为Q ，过点P 作于点D ，则π||14PD PFD ∠=，所以，即1a c c −=−=，解得，则1,b a ==.故椭圆E 的标准方程为.(2)由题意可得点O 是线段AB 的中点. 又||||AC BC =，所以OA OC ⊥.①当直线AC 的斜率存在时，设直线AC 的方程为()()1122,,,,y kx m A x y C x y =+， 由2212x y y kx m+==+ ，得()222214220k x kmx m +++−=， 则()()222(4)421220km k m ∆=−+−>，即22210k m −+>. 由根与系数的关系可得2121222422,2121km m x x x x k k −+=−=++， 由OA OC ⊥可得12120x x y y +=，即()()12120x x kx m kx m +++=， 即()()22121210k x x km x x m++++=，所以()()2222222122402121k m k m m k k +−−+=++， 故22312k m =−. 假设存在点()0,0M x 满足条件，设点M 到直线AC 的距离为d ，则()()2200222213kx m kx m d k m++==+，,a b c 1PD l ⊥|||PF PD =1c =2212x y +=当00x =时，2d 为定值23，即d ②当直线AC 的斜率不存在时，根据椭圆的对称性可得11x y =，所以221112x x +=，故2123x =，点(0,0)到直线AC综上可得，存在点(0,0)M ，使得点M 到直线AC。
2019-2020年高二上学期期末考试模拟测试卷(数学)(二)
2019-2020年高二上学期期末考试模拟测试卷（数学）（二）一．填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．将正确答案填入答题纸的相应横．．．．．．．线上．．） 1．已知两条直线和互相垂直，则等于 .2．圆上一点到直线的距离的最小值为 3．已知椭圆，长轴在轴上. 若焦距为，则等于 .4．已知圆心在x 轴上，半径为的圆O 位于y 轴左侧，且与直线x+y=0相切，则圆O 的方程是 5．已知、是椭圆+=1的左右焦点，弦过F 1，若的周长为，则椭圆的离心率为 ． 6．抛物线y 2=4mx(m ＞0)的焦点到双曲线x 216－y 29=l 的一条渐近线的距离为3，则此抛物线的方程为 ___ ___7．若椭圆的离心率为，一个焦点恰好是抛物线的焦点， 则椭圆的标准方程为8．已知是不重合的直线，是不重合的平面，有下列命题： （1）若，则； （2）若，则；（3）若，则； （4）若，则其中所有真命题的序号是 ．9．以抛物线y 2＝4x 的焦点为圆心、2为半径的圆，与过点A (－1，3)的直线l 相切，则直 线l 的方程是_______ ______________10．抛物线上有一点P ，P 到椭圆的左顶点的距离的最小值为 11．已知命题p:“”，命题q:“”若命题“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值范围是 12．关于x13．如图，点A 是椭圆 x 2a 2 ＋ y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)的一个顶点．过A 作斜率为1的直线交椭圆于另一点P ，点B 在y轴上，且BP ∥x 轴，AB →·AP →＝9，若B 点坐标为（0，1）， 则椭圆方程是 ．__________ ．14．已知双曲线，、是左、右焦点，l 是右．准线，若双曲线左．支．上存在点P ，使是P 到直线l 的距离的2倍，则双曲线离心率的取值范围是_ 二．解答题 15．（本题14分）已知P ：对任意的实数x ，恒成立q: 在上是单调增函数。
高二数学上学期期末模拟考试试题 2(共22页)
江北中学(zhōngxué)2021-2021学年高二数学上学期期末模拟考试试题(时间是：120分钟分值：150分)一、选择题(本大题一一共12个小题，每一小题5分，一共60分)1.偶函数在区间单调递增，那么满足的x取值范围是A. B. C. D.2.函数在的图象大致为A. B.C. D.3.假设将函数的图象向左平移个单位长度，那么平移后的图象的对称轴为A. B.C. D.4.函数的单调递增区间是A. B. C. D.5.假设函数单调递增，那么实数a的取值范围是A. B. C. D.6.等差数列的前n项和为，且，，那么使得取最小值时的n为A. 1B. 6C. 7D. 6或者(huòzhě)77.是奇函数，当时，当时，等于A. B. C. D.8.函数的最小正周期为，假设其图象向左平移个单位后得到的函数为奇函数，那么函数的图象A. 关于点对称B. 关于点对称C. 关于直线对称D. 关于直线对称9.定义在R上的奇函数满足，且在上，那么A. B. C. D.10.不等式成立的一个必要不充分条件是A. B. 或者C. D. 或者11.假设函数在区间内存在单调递增区间，那么实数a的取值范围是A. B. C. D.12.一动圆P过定点，且与圆N：相切，那么动圆圆心P的轨迹方程是A. B.C. D.二、填空题(本大题一一共4个小题，每一小题5分，一共20分)13.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，假设，，，那么________．14.设等比数列(děnɡ bǐ shù liè)满足，，那么的最大值为______．15.设向量，，且，那么______．16.三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且，，，那么此三棱锥外接球的外表积为______．三、解答题(本大题一一共6个小题，一共70分)17.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，．〔1〕求角C的大小；〔2〕假设c=，的面积为，求的周长．．〔1〕当a=-2时，求函数的单调区间和极值；〔2〕假设g(x)=f(x)+在上是单调增函数，务实数a的取值范围．，x∈R．〔1〕求函数f(x)的单调区间；〔2〕假设把f(x)向右平移个单位得到函数g(x)，求在区间上的最小值和最大值．20.数列{an}是公比为2的等比数列，且a2，a3+1，a4成等差数列．〔 I〕求数列{an}的通项公式；〔 II〕记bn=an+log2an+1，求数列{bn}的前n项和Tn．是奇函数．〔Ⅰ〕求a，b的值；〔Ⅱ〕假设对任意的t∈R，不等式f〔t 2 ﹣2t〕+f〔2t 2 ﹣k〕＜0恒成立，求k的取值范围．22.如图，四棱锥(léngzhuī)P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M 为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．〔Ⅰ〕证明MN∥平面PAB；〔Ⅱ〕求四面体N-BCM的体积．江北中学高2022级高二〔上〕期末模拟考试高二数学(shùxué) 答案1.【答案】A【解析】【分析】此题考察函数的奇偶性及单调性，同时考察不等式的求解，属于简单题．根据函数奇偶性和单调性的性质，将不等式进展转化求解即可．【解答】解：是偶函数，，不等式等价为，在区间单调递增，，解得．应选A．2.【答案】D【解析】【分析】此题考察的知识点是函数的图象，属于根底题．根据函数的解析式，分析函数的奇偶性，最大值及单调性，利用排除法，可得答案．【解答】解：，，故函数为偶函数，当时，，故排除A，B；当时，，那么有解为，当时，时， 0,'/>故函数在不是单调的，故排除C，应选D3.【答案】B【解析】【分析】此题考察(kǎochá)函数图象的变换规律的应用及正弦函数的图象性质，属于根底题．由函数图象变换法那么得出平移后的函数的解析式，然后利用正弦函数的性质求解即可．【解答】解：将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象，令，得：，即平移后的图象的对称轴方程为．应选B．4.【答案】D【解析】【分析】此题主要考察复合函数的单调性及对数函数的图象和性质，同时考察二次函数的图象和性质及二次不等式的求解，属于简单题．由得：或者，令，结合复合函数单调性“同增异减〞的原那么，可得答案．【解答】解：由得：或者，即的定义域为或者，令，在内单调递增，而时，为减函数，时，为增函数，故函数的单调递增区间是．应选D．5.【答案】B【解析】【分析】此题考察分段函数的单调性，指数函数的性质，考察学生的计算才能，属于中档题．利用函数的单调性，判断指数函数以及一次函数的单调性，列出不等式求解即可，注意(zhùyì)两段函数在衔接点处的函数值大小的比拟．【解答】解：函数单调递增，所以指数函数、一次函数均单调递增，由指数函数以及一次函数的单调性的性质，可得且，但应当注意两段函数在衔接点处的函数值大小的比拟，即，解得，综上，实数a的取值范围是．应选B．6.【答案】B【解析(jiě xī)】【分析】此题考察等差数列的前n项和，研究等差数列的前n项和的最小值，常用的方法是找出所有的负项，即可得到前n项和的最小值，属于中档题．由题意，可根据，，解出数列的首项和公差，从而求得数列的通项公式，求出所有负数项的个数，即可得出取最小值时n所取的值．【解答】解：设等差数列的公差是d，，，，即，，即，联立得到：，，故有，令，可解得，由此知，数列的前6项为负项，第7项为正项，故取最小值时，n等于6．应选B．7.【答案】A【解析】【分析】此题考察函数解析式的求解及奇函数的性质，属较易题．当时，，由表达式可求得，由奇函数的性质可得与的关系，从而可求出．【解答】解：当时，，那么，又是奇函数，所以当时，．应选A．8.【答案(dáàn)】C【解析】【分析】此题主要考察函数的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于中档题．利用函数的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，得出结论．【解答】解：函数的最小正周期为，解得，其图象向左平移个单位后得到的函数为，再根据为奇函数，，，即，又因为，可取，故，当时，，且不是最值，故的图象不关于点对称，也不关于直线对称，故排除A、D，当时，，是函数的最小值点，故的图象不关于点对称，但关于直线对称．应选C．9.【答案】C【解析】【分析】此题考察函数值的求法，指数函数、对数函数的运算与性质，函数的周期性及奇函数性质的综合应用，利用条件求出函数的周期以及利用函数的性质逐步转化自变量是解题的关键(guānjiàn)．由条件和函数周期性的定义求出函数的周期，利用函数的周期性、奇函数的性质和函数的解析式，逐步转化由运算性质求出的值．【解答】解：由得，，所以函数的周期是4，因为是定义在R上的奇函数，且，那么，且在上，，所以．应选C．10.【答案】B【解析(jiě xī)】【分析】此题主要考察充分必要条件，考察不等式解法，属于根底题．解题时，先求出不等式的解集，再根据集合的包含关系判断即可．【解答】解：解不等式得：或者，不等式成立的一个必要不充分条件可以是：或者，应选B．11.【答案】D【解析】【分析】此题考察了函数的单调性、最值问题，考察导数的应用，属于中档题．求出函数的导数，问题转化为 0'/>在有解，转化为，而在单调递增，求出的范围，从而求出a的范围即可．【解答】解：根据题意得，，在区间内存在单调递增区间，那么 0'/>在内有解，故，令，那么在单调递增，所以，那么，故．应选D．12.【答案】C【解析】【分析】此题考察圆与圆的位置(wèi zhi)关系，考察双曲线的定义，属于中档题．动圆圆心为P，半径为r，圆圆心为N，半径为4，由题意知，动点P到两定点的间隔之差的绝对值为常数4，P在以M、N为焦点的双曲线上，且，，从而可得动圆圆心P 的轨迹方程．【解答】解：动圆圆心为P，半径为r，圆圆心为N，半径为4，由题意知：当动圆与圆N外切时，，，所以当动圆与圆N内切时，，，所以即动点P到两定点的间隔之差的绝对值为常数4，故P在以M、N为焦点的双曲线上，且，，．动圆圆心P的轨迹方程为．应选C．13.【答案】【解析】【分析】此题考察正弦定理的运用，同时考察两角和的正弦公式，以及同角的平方关系的运用，考察运算才能，属于中档题．运用同角的平方关系可得sin A，sin C，再由两角和的正弦公式，可得sin B，运用正弦定理可得，代入计算即可得到所求值．【解答】解：由，，且A，B，，可得：，，，由正弦(zhèngxián)定理可得．故答案为．14.【答案】64【解析】【分析】此题考察数列的通项，数列与函数相结合，属于中档题．求出数列的公比与首项，化简，然后求解最值．【解答】解：等比数列满足，，设公比为q，可得，解得，，解得，那么，当或者时，获得最大值：，故答案为64．15.【答案】【解析】【分析】此题考察向量的数量积的应用，向量的垂直条件的应用，考察计算才能．利用条件，通过数量积判断(pànduàn)两个向量垂直，然后列出方程求解即可．【解答】解：，可得．向量，，可得，解得．故答案为．16.【答案】【解析】【分析】此题考察三棱锥的外接球的外表积的求法，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用，属于中档题．以PA，PB，PC为棱构造一个长方体，这个长方体的外接球就是三棱锥的外接球，由此能求出三棱锥的外接球的外表积．【解答】解：如图，PA，PB，PC两两垂直，设，那么，，，，解得，三棱锥，PA，PB，PC两两垂直，且，，，以PA，PB，PC为棱构造一个长方体，那么这个长方体的外接球就是三棱锥的外接球，由题意可知，这个长方体的中心是三棱锥的外接球的球心，三棱锥的外接球的半径为，所以外接球的外表积为．故答案为．17.【答案】解：等式利用正弦定理化简得：，整理得：，，，，又，；由余弦定理得，，，，，，的周长为．【解析】此题考察了正弦(zhèngxián)、余弦定理，三角形的面积公式，以及三角函数的恒等变形，纯熟掌握定理及公式是解此题的关键．等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sin C不为0求出cos C的值，即可确定出C的度数；利用余弦定理列出关系式，利用三角形面积公式列出关系式，求出的值，即可求的周长．18.【答案】解：Ⅰ函数，函数的定义域为，当时，，，当x变化时，和的值的变化情况如下表：x 1递减极小值递增由上表可知(kě zhī)，函数的单调递减区间是，单调递增区间是，极小值是．Ⅱ由，得，因为函数为上的单调增函数，那么在上恒成立，即不等式在上恒成立，也即在上恒成立．令，那么，当时，，在上单调递减，．．的取值范围为．【解析】此题考察函数的单调区间和极值的求法，考察导数中的恒成立问题，属于中档题．Ⅰ函数的定义域为，当时，，由此利用导数性质能求出函数的单调区间和极值；Ⅱ由，得，函数为上的单调增函数，那么在上恒成立，即在上恒成立，令，那么，由此利用导数性质即可求出a的取值范围．19.【答案】解：，，令，，得，，可得函数的单调增区间为，；令，，得，，可得函数的单调减区间为，；假设把函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像，，，．故在区间上的最小值为，最大值为1．【解析】此题主要(zhǔyào)考察三角函数的化简及函数的图象性质和最值，考察了学生的计算才能，培养了学生分析问题与解决问题的才能，属于中档题．利用二倍角公式和辅助角公式，化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得函数的单调区间；利用函数的图象变换规律求得的解析式，由x的范围求出的范围，即可利用正弦函数的性质求出的范围．20.【答案】解：由题意可得，即，解得：，数列的通项公式为；，．【解析】此题考察等差数列(děnɡ chā shù liè)的性质和等比数列的通项公式，考察了等比数列的前n项和，属于较易题．由题意可得，由公比为2，把、、用表示，求得，可得数列的通项公式；利用条件转化求出数列的通项公式，然后用分组求和法求解数列的和即可．21.【答案】解：Ⅰ因为是奇函数，所以，即，，又由知，所以，，经检验，时，是奇函数．Ⅱ由Ⅰ知，易知在上为减函数，又因为是奇函数，所以等价于，因为为减函数，由上式可得：，即对一切有：，从而判别式，所以k的取值范围是．【解析】此题主要考察函数奇偶性与单调性的综合应用(yìngyòng)，同时考察一元二次不等式恒成立问题的解决策略，属于中档题．Ⅰ利用奇函数的定义，在中运用特殊值求a，b的值．Ⅱ首先确定函数的单调性，然后结合奇函数的性质把不等式转化为关于t的一元二次不等式，最后由一元二次不等式知识求出k的取值范围．22.【答案】证明：法一，如图，取PB中点G，连接AG，NG，为PC的中点，，且，又，，且，，且，那么，且，四边形AMNG为平行四边形，那么，平面PAB，平面PAB，平面PAB；法二，在中，过N作，垂足为E，连接ME，在中，由，，得，，，那么，在中，，，由余弦定理得：，，而在中，，，即，，那么平面PAB．由底面ABCD，得，又，，那么平面PAB．，平面平面PAB，那么平面PAB；解：在中，由，，，得．，那么，底面ABCD，平面PAD，平面平面PAD，且平面平面，平面PAD，那么平面平面PAD．在平面PAD内，过A作，交PM于F，连接NF，那么为直线AN与平面PMN所成角．在中，由N是PC的中点，得，在中，由，得，．直线AN与平面PMN所成角的正弦值为．【解析】此题考察直线(zhíxiàn)与平面平行的断定，考察直线与平面所成角的求法，考察数学转化思想方法，考察了空间想象才能和计算才能，是中档题．法一，取PB中点G，连接AG，NG，由三角形的中位线定理可得，且，再由得，且，得到，且，说明四边形AMNG为平行四边形，可得，由线面平行的断定得到平面PAB；法二，证明平面PAB，转化为证明平面平面PAB，在中，过N作，垂足为E，连接ME，由底面ABCD，可得，通过求解直角三角形得到，由面面平行的断定可得平面平面PAB，那么结论得证；由勾股定理得，进一步得到平面平面PAD，在平面PAD内，过A作，交PM于F，连接NF，那么为直线AN与平面PMN所成角．然后求解直角三角形可得直线AN与平面PMN所成角的正弦值．内容总结。
高二数学上期末考试模拟试题2
高二上期末考试模拟试题二数 学（测试时间：120分钟 满分150分）一． 选择题（12×5分=60分；每小题给出的四个选项中；只有一项是符合题目要求的；1． 若n m ≠；且mn m p -=2；2n mn q -=；则有A ． p>q B. p<q C. p=q D. 由m 、n 的取值决定 2． 请看下列推理过程；共有三个推理步骤⎭⎬⎫>>d c b a bd bc bc ac >>⇒ c bd a bd ac >⇒>⇒其中错误步骤的个数有 A ． 0 B. 1 C. 2 D. 33. 直线kx-y+1-3k=0； 当k 变动时；所有直线都通过定点A. (0；0) B (0；1) C. (3；1) D. (2；1) 4. 若a 、b 、c ∈R ；且|a-b|<|c| ； 则A ． |a|<|b|+|c| B. |a|>|b|+|c| C. a<b+c D. a>b-c 5. 直线320cot +︒-=x y 的倾斜角是A. ︒20B. ︒70C. ︒110D. ︒1606．若直线04)3()52(=++++y a x a 与直线01)3()2(=-++-y a x a 互相垂直；则 A a=2 B. a=-2 C. a=2或-2 D. a=2或0或-2 7. 若直线2=-y x 被圆4)(22=+-y a x 所截得的弦长为22；则a 为 A .3 B. 1或3 C. –2或6 D. 0或48不等式组 ⎩⎨⎧<+-≥++02063y x y x 表示的平面区域是A. B. C. D.9. 若方程14922=-+-my m x 表示双曲线；则m 的取值范围是 A. m<4 B. m>9 C. –4<m<9 D. m<4或m>910. 从椭圆短轴的一个端点看长轴两个端点的视角为︒120；那么此椭圆的离心率为 A.22 B. 33 C. 21 D. 3611. 如果椭圆1258122=+y x 上一点M 到此椭圆一个焦点1F 的距离为2； N 是1MF 的中点；O 是坐标原点；则ON 的长为A. 2B. 4C. 8D.23 12. 抛物线y x =2上的点到直线y=2x+b 的最短距离为5；则b 的值为 A. –6 B.4 C. 8 D. –4或6 二.填空题(4×4分=16分) 13. 设250<<x ； 则函数)25(x x y -=的最大值是 14. 若不等式02<--b ax x 的解集为{}32<<x x ； 则不等式012>--ax bx 的解集为15. 光线从点A(-3；4)出发射到X 轴上；被X 轴反射到Y 轴上；又被Y 轴反射后到点B(-1；6)；则光线所经过的路途长 16. 随着人类物质文明进程的加快；各种形态、各种功能的空中缆线也日益增多。
高二数学上学期期末模拟试题二试题(共21页)
凉山州2021-2021学年高二数学上学期期末模拟(mónǐ)试题〔二〕一、选择题〔本大题一一共12小题，一共分〕1.以点为圆心，且与y轴相切的圆的HY方程为A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】此题主要考察求圆的HY方程的方法，直线和圆相切的性质，求出圆的半径，是解题的关键，属于根底题．由条件求得圆的半径，即可求得圆的HY方程．【解答】解：以点为圆心且与y轴相切的圆的半径为3，故圆的HY方程是，应选C．2.直线和直线的间隔是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】此题考察了两平行直线间的间隔，属于根底题．直线和直线，代入两平行线间的间隔公式，即可得到答案．先把两平行直线的对应变量的系数化为一样的，再利用两平行线间的间隔公式求出两平行线间的间隔．【解答】解：由题意可得：和直线，即直线和直线，结合两平行线间的间隔公式得：两条直线的间隔是，应选：B．3.命题(mìng tí)p：，；命题q：，，以下选项真命题的是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】此题考察命题的真假的判断与复合命题的真假，是根底题．判断命题p，q的真假，然后求解结果即可．【解答】解：因为时不成立，故命题p：，是假命题；命题q：，，当时，命题成立，所以是真命题．所以是真命题；是假命题；是假命题；是假命题；应选A．4.有两个(liǎnɡ ɡè)问题：有1000个乒乓球分别装在3个箱子内，其中红色箱子内有500个，蓝色箱子内有200个，黄色箱子内有300个，现从中抽取一个容量为100的样本；从20名学生中选出3人参加座谈会．那么以下说法中正确的选项是A. 随机抽样法系统抽样法B. 分层抽样法随机抽样法C. 系统抽样法分层抽样法D. 分层抽样法系统抽样法【答案】B【解析】解：1000个乒乓球分别装在3个箱子内，其中红色箱子内有500个，蓝色箱子内有200个，黄色箱子内有300个，总体的个体差异较大，可采用分层抽样；从20名学生中选出3名参加座谈会，总体个数较少，可采用抽签法．应选B．简单随机抽样是从总体中逐个抽取；系统抽样是事先按照一定规那么分成几局部；分层抽样是将总体分成几层，再抽取．抽样选用哪一种抽样形式，要根据题目所给的总体情况来决定，假设总体个数较少，可采用抽签法，假设总体个数较多且个体各局部差异不大，可采用系统抽样，假设总体的个体差异较大，可采用分层抽样．5.“假设或者，那么〞的否命题为A. 假设或者，那么B. 假设，那么或者C. 假设或者，那么D. 假设且，那么【答案】D【解析】【分析】此题考察否命题(mìng tí)与原命题的关系，是根底题．利用原命题与否命题的定义写出结果即可．【解答】解：“假设或者，那么〞的否命题为：假设且，那么．应选D．6.以下说法中正确的选项是A. 表示过点，且斜率为k的直线方程B. 直线与y轴交于一点，其中截距C. 在x轴和y轴上的截距分别为a与b的直线方程是D. 方程表示过点，的直线【答案】D【解析】【分析】此题考察命题的真假判断与应用，考察了直线方程的几种形式，关键是对直线方程形式的理解，属于根底题．分别由直线的点斜式方程、直线在y轴上的截距、直线的截距式方程、两点式方程的变形式逐一核对四个选项进展分析判断，即可得答案．【解答】解：对于A，点不在直线上，故A不正确；对于B，截距不是间隔，是B点的纵坐标，其值可正可负．故B不正确；对于C，经过原点的直线在两坐标轴上的截距都是0，不能表示为，故C不正确；对于D，此方程即直线的两点式方程变形，即，故D正确．应选：D．7.命题(mìng tí)p：假设为钝角三角形，那么；命题q：，，假设，那么或者，那么以下命题为真命题的是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】此题考察命题的逆否命题，及复合命题的真假判断，考察三角形内角的函数值大小比拟、考察了推理才能与计算才能，属于中档题．命题p：由为钝角三角形，当B为钝角时，可得，，即可判断出真假；命题q：判断其逆否命题的真假即可得出结论．【解答】解：命题p：假设为钝角三角形，当B为钝角时，可得，，，可知命题p是假命题；命题q的逆否命题为：假设且，那么，是真命题，因此命题q是真命题，那么选项里面命题为真命题的是．应选B．某城为理解游客人数的变化规律，进步旅游效劳质量，搜集并整理了2021年1月至2021年12月期间月接待游客量单位：万人的数据，绘制了下面的折线图．8.9.根据该折线图，以下(yǐxià)结论错误的选项是A. 月接待游客逐月增加B. 年接待游客量逐年增加C. 各年的月接待游客量顶峰期大致在7，8月D. 各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比拟平稳【答案】A【解析】【分析】此题考察的知识点是数据的分析，难度不大，属于根底题．根据中2021年1月至2021年12月期间月接待游客量的数据，逐一分析给定四个结论的正误，可得答案．【解答】解：由中2021年1月至2021年12月期间月接待游客量单位：万人的数据可得：月接待游客量逐月有增有减，故A错误；年接待游客量逐年增加，故B正确；各年的月接待游客量顶峰期大致在7，8月，故C正确；各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比拟平稳，故D正确；应选A．10.过双曲线的右顶点(dǐngdiǎn)A作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B、假设，那么双曲线的离心率是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】此题主要考察了直线与圆锥曲线的综合问题．要求学生有较高地转化数学思想的运用才能，能将条件转化到根本知识的运用．分别表示出直线l和两个渐近线的交点，进而表示出和，进而根据求得a和b 的关系，进而根据，求得a和c的关系，那么离心率可得．【解答】解：直线l：与渐近线：交于，l与渐近线：交于，又，，，，，，，，，应选：C．11.执行(zhíxíng)如下图的程序框图，输出的S值为12.A. 1B.C.D.【答案】D【解析】解：由于，那么，；，；，；，；，，此时不再循环，那么输出．应选：D．分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算S值并输出，模拟程序的运行过程，即可得到答案．此题考察的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，模拟程序的运行过程是解答此类问题最常用的方法．13.点A，B是抛物线上的两点，点是线段AB的中点，那么的值是A. 4B.C. 8D.【答案(dá àn)】C【解析】【分析】此题考察直线与抛物线的位置关系，考察韦达定理，弦长公式，中点坐标公式，考察计算才能，属于中档题．利用中点坐标公式及作差法，求得直线AB的斜率公式，求得直线直线AB的方程，代入抛物线方程，利用弦长公式及韦达定理，即可求得的值．【解答】解：设，，那么，，由中点坐标公式可知：，两式相减可得，，那么直线AB的斜率k，，直线AB的方程为即，联立方程消去y，得，，，，．应选C．14.假设x、y满足，那么的最小值是A. B. C. D. 无法确定【答案(dá àn)】C【解析】【分析】此题考察圆的一般方程与圆的HY方程，考察了数形结合的数学思想，属于中档题．把圆的方程化为HY方程后，找出圆心坐标和圆的半径r，设圆上一点的坐标为，原点坐标为，那么表示圆上一点和原点之间的间隔的平方，根据图象可知此间隔的最小值为圆的半径r减去圆心到原点的间隔，利用两点间的间隔公式求出圆心到原点的间隔，利用半径减去求出的间隔，然后平方即为的最小值．【解答】解：把圆的方程化为HY方程得：，设圆心为点A，那么圆心坐标为，圆的半径，设圆上一点的坐标为，原点O坐标为，如下图：那么(nà me)，，所以，那么的最小值为，应选C．二、填空题〔本大题一一共4小题，一共分〕15.双曲线的渐近线方程为，且过点，那么此双曲线的方程为______．【答案】【解析】【分析】此题考察双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，设出双曲线的方程是解题的关键，属于中档题．设出双曲线方程，利用双曲线经过的点，求解即可．【解答】解：双曲线的渐近线方程为，可设双曲线方程为：，双曲线经过点，可得：，解得，所求双曲线方程为：．故答案为．16.98与63的最大公约数为a，二进制数110011化为十进制数为b，那么(nàme)____________．【答案】58【解析】【分析】利用辗转相除法，用较大的数字除以较小的数字，得到商和余数，然后再用上一式中的除数和得到的余数中较大的除以较小的，以此类推，当整除时，就得到要求的最大公约数，可求a；根据二进制转化为十进制的方法，我们分别用每位数字乘以权重，累加后即可得到b的值，求和即可得解．【解答】解：由题意，，，，，与63的最大公约数为7，可得：；又，可得：，．故答案为58．17.某班有学生52人，现将所有学生随机编号，用系统抽样方法，抽取一个容量为4的样本，5号、31号、44号学生在样本中，那么样本中还有一个学生的编号是______．【答案】18【解析(jiě xī)】解：某班有学生52人，现将所有学生随机编号，用系统抽样方法，抽取一个容量为4的样本，那么抽样间隔为，号、31号、44号学生在样本中，样本中还有一个学生的编号是：．故答案为：18．用系统抽样方法，抽取一个容量为4的样本，那么抽样间隔为，由此能求出样本中还有一个学生的编号．此题考察样本编号的求法，考察系统抽样的性质等根底知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能．18.椭圆的左、右焦点分别为，，过且与x轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，直线与椭圆的另一个交点为C，假设，那么椭圆的离心率为______．【答案】【解析】【分析】此题考察直线和椭圆的位置关系，离心率的求法，属于中档题．由题意画出图形，求出A的坐标，结合向量加法的坐标运算，求得C的坐标，代入椭圆方程可解e的值．【解答】解：不妨设点A在x轴下方，如图，由题意，，，，，，，，，代入椭圆，得，由，整理得：，解得，椭圆的离心率．故答案为．三、解答(jiědá)题〔本大题一一共6小题，一共分〕19.p：，q：．20.假设p是q的充分条件，务实数m的取值范围；21.假设“〞是“〞的充分条件，务实数m的取值范围．【答案】解：：，q：．故p：，q：，假设p是q的充分条件，那么，故解得：；假设“〞是“〞的充分条件，即q是p的充分条件，那么，，解得：．【解析】此题主要考察了一元(yī yuán)二次不等式的解法，以及充分而不必要条件的应用，同时考察了运算求解的才能，属于根底题．解出关于p，q的不等式，根据假设p是q的充分条件，得到，求出m 的范围即可；根据q是p的充分条件，得到，求出m的范围即可．22.圆C经过，两点，且圆心C在直线上求圆C的方程；动直线l：过定点M，斜率为1的直线m过点M，直线m 和圆C相交于P，Q两点，求PQ的长度．【答案】解：设圆C的方程为，那么，解得，，，圆C的方程：，即为：动直线l的方程为．那么，得，动直线l过定点，直线(zhíxiàn)m：，圆心到m的间隔为，的长为．【解析】此题考察圆的方程、线段长的求法，考察直线、圆、弦长公式等根底知识，考察推理论证才能、运算求解才能，考察化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．设圆C的方程为，利用待定系数法能求出圆C的方程；动直线l的方程为，列出方程组求出动直线l过定点，从而求出直线m：，由此能求出圆心到m的间隔．23.随着我国经济的开展，居民的储蓄存款逐年增长．设某地区城乡居民人民币储蓄存款年底余额如下表：年份2021 2021 2021 2021 2021时间是代号t 1 2 3 4 5 储蓄存款千亿元567810Ⅰ求y 关于t 的回归方程．Ⅱ用所求回归方程预测该地区2021年的人民币储蓄存款． 附：回归方程中：．【答案(dá àn)】解：Ⅰ由题中数据可计算得到下表：i1 2 3 4 51 2 3 4 55 6 7 8 10 1 4 9 16 255 12 21 32 5015 36 55 120 ，，，，，， 关于t 的回归方程．Ⅱ时，千亿元，所以该地区2021年的人民币储蓄存款为千亿元．【解析】此题考察线性回归方程，考察学生的计算才能，属于中档题．Ⅰ利用公式求出，，即得到y关于t的回归方程；Ⅱ，代入回归方程，即可预测该地区2021年的人民币储蓄存款．24.对甲、乙两名自行车赛手在一样条件下进展了6次测试，测得他们的最大速度单位：的数据如下表：甲27 38 30 37 35 31乙33 29 38 34 28 36画出茎叶图；分别求出甲、乙两名自行车赛手最大速度单位：数据的平均数、方差，并判断选谁参加比赛更适宜？【答案(dá àn)】解：画茎叶图如下图，中间数为数据的十位数．由茎叶图把甲、乙两名选手的6次成绩按从小到大的顺序依次排列为甲：27，30，31，35，37，38；乙：28，29，33，34，36，38．所以甲组数据的平均值为：乙组数据的平均值为：甲组数据的方差为：乙组数据的方差为：因为平均值相等，乙的方差更小，所以乙的成绩更稳定，故乙参加比赛更适宜．【解析】以十位数为茎，个位数为叶，能画出茎叶图．由茎叶图把甲、乙两名选手的6次成绩按从小到大的顺序依次排列，能求出甲、乙两名自行车赛手最大速度单位：数据的平均数、方差，因为平均值相等，乙的方差更小，所以乙的成绩更稳定，故乙参加比赛更适宜此题考察茎叶图、平均数、方差等根底知识，考察数据处理才能、运算求解才能，是根底题．25.椭圆的左焦点为，且椭圆上的点到点F的间隔最小值为1．26.求椭圆的方程；27.经过点F的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且，求直线l的方程．【答案(dá àn)】解：由题意可得，椭圆上的点到点F的间隔最小值为1，即为，解得，，即有椭圆方程为；当直线的斜率不存在时，可得方程为，代入椭圆方程，解得，那么不成立；设直线AB的方程为，代入椭圆方程，可得，，设，，即有，，那么，即为，解得，带入验证可得都有成立．那么直线l的方程为．【解析】此题考察椭圆方程的求法，注意运用椭圆上的点与焦点的间隔的最值，考察直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，考察化简整理的运算才能，属于中档题．由题意可得，，由a，c，b的关系，可得b，进而得到椭圆方程；讨论直线l的斜率不存在和存在，设直线的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，解方程可得斜率k，进而得到直线l的方程．28.椭圆(tuǒyuán)，斜率为的动直线l与椭圆C交于不同的两点A、B．设M为弦AB的中点，求动点M的轨迹方程；设、为椭圆C在左、右焦点，P是椭圆在第一象限上一点，满足，求面积的最大值．【答案】解：设，，，那么，；得：，即，即．又由中点在椭圆内部得，所以M点的轨迹方程为，．由，得P点坐标为，设直线l的方程为，代入椭圆方程中整理得：，由得，那么(nà me)，，，，所以．，当时，．即面积的最大值为1．【解析】此题考察了椭圆的性质及几何意义，曲线的轨迹方程及最值问题，属于中档题．设，，，代入椭圆方程作差，利用点差法求得轨迹方程又由中点在椭圆内部得，从而可得M点的轨迹方程．由，得P点坐标为，设直线l的方程为，与椭圆方程联立，利用韦达定理结合弦长公式将三角形的面积表示出，再利用根本不等式求面积的最大值．内容总结（1）分别求出甲、乙两名自行车赛手最大速度单位：数据的平均数、方差，并判断选谁参加比赛更适宜。
高二数学上学期期末模拟考试试题二 理 试题(共11页)
祁县中学2021-2021学年高二数学上学期(xuéqī)期末模拟考试试题二理一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的〕1.直线的倾斜角为〔〕A. B. C. D.2.命题“对任意，都有〞的否认为〔〕A. 存在，都有B. 对任意，使得C. 存在，使得D. 不存在，使得3.圆柱的底面半径为1，母线长为2，那么它的侧面积为〔〕A. B. C. D.4.设l，m，n表示三条不同的直线，，，表示三个不同的平面，给出以下四个命题：假设，，，那么；假设，n是l在内的射影，，那么；假设，，那么其中真命题的个数为〔〕A. 2B. 1C. 0D. 35.直线：与直线：垂直，那么直线在x 轴上的截距是〔〕A. B. 2 C. D. 46.平面及平面同一侧外的不一共线三点A，B，C，那么“A，B，C三点到平面的间隔都相等〞是“平面平面〞的〔〕A. 充分(chōngfèn)不必要条件B. 充要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分又不必要件7.在空间四边形OABC中，，，，点M在线段OA上，且，N 为BC的中点，那么等于〔〕A. B.C. D.8.圆上到直线的间隔等于1的点有〔〕A. 1个B. 3个C. 2个D. 4个9.椭圆和点、，假设椭圆的某弦的中点在线段AB上，且此弦所在直线的斜率为k，那么k的取值范围为〔〕A. B. C. D.10.椭圆内有一点，，是其左、右焦点，M为椭圆上的动点，那么的最小值为〔〕A. 4B.C.D. 6是抛物线：的焦点，点为抛物线C的对称轴与其准线的交点，过2F作抛物线C的切线，切点为，假设点A恰好在以1F，2F为焦点的双曲线上，那么双曲线的离心率为〔〕A．B．C．D．12．在底面是边长为6的正方形的四棱锥P--ABCD中，点P在底面的射影H为正方形ABCD 的中心，异面直线PB与AD所成角的正切值为，那么四棱锥P--ABCD的内切球与外接球的半径之比为〔〕A．B． C． D．二、填空题〔本大题一一共4小题(xiǎo tí)，每一小题5分〕13.假设向量1，，且，那么______．14.如图，三棱锥中，，，点M，N分别是AD，BC的中点，那么异面直线AN，CM所成的角的余弦值是______．15.方程表示的曲线方程是__ ____．16. 直线l与抛物线交于A,B两点，且|AB|=2,设线段AB的中点为M，当直线l运动时，那么点M的轨迹方程为_________.三、解答题〔本大题一一共6小题，一共70分，解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤〕17.〔本小题满分是10分〕，设命题p：指数函数，且在R上单调递增．命题q：函数的定义域为假设“p且q〞为假，“p或者q〞为真，求a的取值范围．18. 〔本小题满分(mǎn fēn)是12分〕直线l过坐标原点O，圆C的方程为．(1)当直线l的斜率为时，求l与圆C相交所得的弦长；(2)设直线l与圆C交于两点A， B，且A为OB的中点，求直线l的方程.19. 〔本小题满分是12分〕边长为2的正三角形ABC中，点D，E，G分别是边AB，AC，BC的中点，连接DE，连接AG 交DE于点现将沿DE折叠至的位置，使得平面平面BCED，连接A1G，EG．证明：DE∥平面A1BC求点B到平面A1EG的间隔．20. 〔本小题满分(mǎn fēn)是12分〕是抛物线为上的一点，以S为圆心，r为半径做圆，分别交x轴于A，B两点，连结并延长SA、SB，分别交抛物线于C、D两点．求抛物线的方程．求证：直线CD的斜率为定值．21. 〔本小题满分是12分〕如图，四棱锥中，底面ABCD为梯形，底面ABCD，，，，．1求证：平面平面PBC；2设H为CD上一点，满足，假设直线PC与平面PBD所成的角的正切值为，求二面角的余弦值．22. 〔本小题满分(mǎn fēn)是12分〕圆O：〔其中O为圆心〕上的每一点横坐标不变，纵坐标变为原来的一半，得到曲线C求曲线C的离心率；假设点P为曲线C上一点，过点P作曲线C的切线交圆O于不同的两点A，其中A在B的右侧，点，，求四边形面积的最大值．祁县中学2021年高二年级1月模拟试题(2)数学(shùxué)〔理〕答案一、选择题DCDACB ABBCDD二、填空题13．或者 14． 15．16．三、解答题17. 解：由命题p，得，对于命题q，即使得，恒成立假设，，即假设，恒成立，满足题意，所以由题意知p与q一真一假，当p真q假时，所以．当p假q真时，即．综上可知，a的取值范围为．18.解：〔1〕由，直线l的方程为，圆C圆心为，半径为，圆心到直线l的间隔为．所求弦长为；〔2〕，为OB的中点，那么又A，B在圆C上，，．解得，，即或者．直线l的方程为或者．19. 证明(zhèngmíng)：边长为2的正三角形ABC中，点D，E，G分别是边AB，AC，BC的中点，连接DE，连接AG交DE于点F．，平面，平面，平面．解法1：将沿DE折叠至的位置，使得平面平面BCED，连接，EG．以F为原点，FG为x轴，FE为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，1，，0，，，0，，，，，设平面的法向量y，，那么，取，得，点B到平面的间隔．解法2：由VB-A1EG=VA-BGE可得，S△A1EG×d= S△BGE×AF，解得.20. 解：将点代入，得，解得．抛物线方程(fāngchéng)为：．证明：设直线SA的方程为：，联立，联立得：，，，，由题意有，直线SB的斜率为，设直线SB的方程为：，联立，联立得：，，，，．21.Ⅰ证明：，，，，，又，，，即，底面ABCD，，又，平面PBD，平面平面PBC；Ⅱ解：由可知为PC与平面PBD所成的角，，，，由及，可得，，以D为原点，DA、DC、DP分别为x、y、z轴建立坐标系，那么1，，0，，2，，，设平面HPB的法向量为，那么，即，取，那么，同理可得平面PBC的法向量为1，，又，二面角的余弦值为．22. 解：设圆O上点，曲线C上点M的坐标为由题意(tí yì)可知，，又，，即．点M的轨迹C的方程为，那么，，，离心率；易知直线AB的斜率k存在，设AB：，，，那么，，那么，整理得：，即，由四边形面积S，，设点O到直线AB：的间隔为d，，那么丨AB丨，，，，由，整理得：，由韦达定理可知：，，，丨丨丨丨丨丨丨丨丨丨，而，，易知，，丨m丨，四边形面积S，，当且仅当丨m丨时，即，四边形面积的最大值4．内容总结。
高二数学上学期期末模拟试题二 试题(共17页)
萧山区第八高级中学(gāojízhōngxué)2021-2021学年高二数学上学期期末模拟试题〔二〕考试时间是是：100分钟满分是:120分考前须知：1．在答题之前填写上好本人的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写上在答题卡上一、单项选择题〔本大题一一共10小题，每一小题4分，一共40分，在每一小题给出的四个选项里面只有一个符合题目要求〕1．双曲线的渐近线方程是〔〕A． B． C． D．2．一个平行四边形的直观图是一个边长为的正方形，那么此平行四边形的面积为〔〕A． B． C． D．3．正方体，那么与所成的角为A． B． C． D．4．直线l：在轴和轴上的截距相等，那么的值是〔〕A． 1 B．－1 C． 2或者1 D．－2或者15．设P是圆上的动点，那么点P到直线的间隔的最大值为A． B． C． D．6．表示(biǎoshì)两条不同的直线，表示两个不同的平面，，，那么有下面四个命题：①假设，那么；②假设，那么；③假设，那么；④假设，那么.其中所有正确的命题是〔〕A．①③ B．①④ C．②③ D．①②③④7．三棱锥的四个顶点都在球的外表上，平面，且，那么球O的外表积为〔〕A． B． C． D．8．动点在椭圆上,假设点坐标为,,且那么的最小值是〔〕A． B． C． D．9．如图，抛物线的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，且过点(2，4)，圆，过圆心的直线l与抛物线和圆分别交于P，Q，M，N，那么的最小值为〔〕A． 36 B． 42 C． 49 D． 5010．是由具有公一共直角边的两块直角三角板〔与〕组成的三角形，如下图.其中，.现将沿斜边进展翻折成〔不在平面上〕.假设分别为和的中点，那么在翻折过程中，以下命题不正确的选项是〔〕A．在线段(xiànduàn)上存在一定点，使得的长度是定值B．点在某个球面上运动C．存在某个位置，使得直线与所成角为D．对于任意位置，二面角始终大于二面角二、填空题〔此题有6小题，多空题每一小题6分，单空题每一小题4分，一共28分〕11．抛物线的准线方程为12．直线，那么直线过定点_____，当变动时，原点到直线的间隔的最大值为_____.13．假设直线与曲线有公一共点，那么b的取值范围是__________.14．某几何体的三视图如下图，假设俯视图是边长为2的等边三角形，那么这个几何体的体积等于_____；外表积等于_____．15．是圆上一点，且不在坐标轴上，，，直线与轴交于点，直线与轴交于点，那么的最小值为__________．16．双曲线的左、右焦点分别为，，点，分别在双曲线的左右两支上，且，，线段交双曲线于点，，那么该双曲线的离心率是 ____．三、解答(jiědá)题〔此题一共有4小题，一共52分〕17．〔此题满分是12分〕如图，在四棱锥中，底面是正方形，,,分别为的中点.〔Ⅰ〕证明：直线；〔Ⅱ〕求三棱锥的体积.18．〔此题满分是12分〕一动圆与圆相外切，与圆相内切.(1〕求动圆圆心的轨迹曲线E的方程，并说明它是什么曲线。
河南省数学高二上学期理数期末考试试卷(II)卷(模拟)
（2） 点P在直线x﹣2y=0上的投影为A，求事件“在圆P内随机地投入一点，使这一点恰好在△POA内”的概率的最大值．
17. （5分） (2018高二上·贺州月考) 如图，在三棱锥 中， 分别为 的中点.
（Ⅰ）求证：EF∥平面 ;
（Ⅱ）若平面 平面 ，且 ， º，
求证： 平面 .
A . 2
B . 3
C . 4
D . 5
8. （2分） (2016高二上·嘉兴期中) 在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为棱AA1、BB1的中点，G为棱A1B1上的一点，且A1G=λ（0≤λ≤1），则点G到平面D1EF的距离为（ ）
A .
B .
C .
D .
二、 填空题 (共6题；共7分)
18. （10分） (2018高二上·牡丹江期中) 如图，已知直三棱柱 中， ， 为 的中点， ，求证：
（1） ；
（2） ∥平面 。
19. （10分） (2018高二下·衡阳期末) 如图，正三棱柱 中 ， 为 的中点.
（1） 求证： ；
（2） 若点 为四边形 内部及其边界上的点，且三棱锥 的体积为三棱柱 体积的 ，试在图中画出 点的轨迹，并说明理由.
A . CC1与B1E是异面直线
B . AC⊥平面A1B1BA
C . AE，B1C1为异面直线，且AE⊥B1C1
D . A1C1∥平面AB1E
5. （2分） 若P是以F1 ， F2为焦点的椭圆 =1（a＞b＞0）上的一点，且 =0，tan∠PF1F2= ， 则此椭圆的离心率为（ ）
A .
B .
C .
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
广东省深圳市普通高中上学期高二数学期末模拟试题 02
上学期高二数学期末模拟试题02一、选择题（每小题5分，共60分）1. 若命题“q p ∧”为假，且“p ⌝”为假，则( )A ．p 或q 为假B ．q 假C ．q 真D ．不能判断q 的真假2．抛物线x y 82-=的焦点坐标是（ ）A ．（2，0） B. （- 2，0） C. （4，0） D. （- 4，0）3. 已知双曲线12222=-by a x 的一条渐近线方程为x y 34=，则双曲线的离心率为（ ）A.35 B. 34 C. 45 D. 234．曲线xy e =在点(0,1)A 处的切线斜率为( )A. 1B. 2C. eD.1e5. 方程222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是 （ ）A ．),0(+∞B ．（0，2）C ．（1，+∞）D ．（0，1）6：“0m n >>”是“方程221mx ny +=表示焦点在y 轴上的椭圆”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．双曲线221412x y -=的焦点到渐近线的距离为（ ）8．下列四个命题中的真命题为（ ）.A ．210x x ∀∈-=R ， B ． 310x x ∃∈-=Z ， C ．210x x ∀∈+>R ， D ． 143x x ∃∈<<Z ，9．命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是（ ）.A. 所有不能被2整除的整数都是偶数B. 所有能被2整除的整数都不是偶数C. 存在一个不能被2整除的整数是偶数D. 存在一个能被2整除的整数不是偶数 10．22-x (x )23+=x f 在区间[0,3]上的最大值为（ ）A ．0B ．11C ．2D ． 311．设F 1，F 2分别是椭圆1222=+y x 的左、右焦点，P 该椭圆上的一点，且︒=∠9021PF F ，则21PF F ∆的面积是（ ） A ．2 B ．23 C ．1 D ．21 12. 若双曲线的顶点为椭圆1222=+y x 长轴的端点，且双曲线的离心率与该椭圆的离心率的积为1，则双曲线的方程是A ．122=-y xB ．222=-x y C ．222=-y x D ．122=-x y二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．已知()22sin f x x x π=+-，则()'0f =14．抛物线的焦点为椭圆14922=+y x 的左焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为 15．已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ，处的切线方程是122y x =+，则(1)(1)f f '+= ．16．已知双曲线221169x y -=的左、右焦点分别为1F 、2F ,过右焦点2F 的直线l 交双曲线的右支于A 、B 两点,若||5AB =,则1ABF ∆的周长为________.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤）17．(本题满分10分)已知椭圆两焦点坐标分别是1(0,2)F -，2(0,2)F ，并且经过点M(-1,3-)，求椭圆的标准方程。
吉林省2020-2021学年高二数学上学期期末模拟试卷2套(含答案)
吉林省高二数学上册期末模拟试卷（含答案）第I 卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分） 1．抛物线y x 22-=的准线方程是A ．81=y B ．81-=y C ．21-=y D ．21=y 2．下列选项叙述错误的是A.命题“若1x ≠，则2320x x -+≠”的逆否命题是“若2320x x -+=，则1x =”B.若p q ∨为真命题，则p 、q 均为真命题C.若命题:p x R ∀∈，210x x ++≠，则:p x R ⌝∃∈，210x x ++= D ．“2x >”是“2320x x -+>”的充分不必要条件3.椭圆1 m162522＝++-y m x 的焦点在y 轴上，则m 的取值范围是 A. )25,16(- B. )25,29( C. )29,16(- D. ),29(+∞4.设2)(,ln )(0='=x f x x x f ，则0x =A. 2e B. e C. 22ln D. 2ln5.曲线3231y x x =-+在点(1,1)P -处的切线方程为A. y ＝3x －4B. y ＝－3x ＋2C. y ＝－4x ＋3D. y ＝4x －5 6．某质点的运动方程是2)12(-=t S ，则在t =1时的瞬时速度为A ．－1B ．－3C ．4D ．137.下列函数在区间),0(+∞上是增函数的是A ．x y sin =B ．xxe y = C ．x x y -=3D ．x x y -=ln8.已知椭圆的长轴长、短轴长和焦距依次成等差数列，则该椭圆的离心率是A ．51B ．52 C ．53 D ．549.等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于B A ,两点，34=AB ，则C 的实轴长为A ．2B ．22C ．4D ．810．过点A （4，－3）作直线，斜率为k ，如果直线与双曲线1 91622＝－y x 只有一个公共点，则k 的值为 A. 0＜k ＜43 B. k ＝43 C. k ＝－43 D. k ＞4311．对任意的R x ∈，函数ax ax x x f 7)(23++=有三个单调区间，则A ．210≤≤aB ．0=a 或 21=aC ．0<a 或 21>aD ．0=a 或 7=a 12.设)(),(x g x f 在R 上可导，且)()(x g x f '>'，则当b x a <<时，有 A ．)()(x g x f >B ． )()(x g x f <C ．)()()()(a f x g a g x f +>+D ．)()()()(b f x g b g x f +>+第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）13．函数)(x f 的定义域为),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点 个 .14．若P 为抛物线x y 22=任意一点，F 为焦点，点)2,3(A ，则PF PA +的最小值为 .15．如果圆柱的轴截面周长为定值4，则圆柱体积的最大值为 .16.已知函数[]2,2,)(23-∈+++=x c bx ax x x f 表示过原点的曲线，且在1±=x 处的切线的倾斜角均为43π，有以下命题：①)(x f 的解析式为[]2,2,4)(3-∈-=x x x x f ； ②)(x f 的极值点有且只有一个；③)(x f 的最大值与最小值之和等于零；其中正确的序号是 .三、解答题（本大题共6小题，共70分） 17. （本小题满分10分）x ?abxy)(f y =O已知双曲线的中心在坐标原点，焦点21,F F 在x 轴上，离心率为2，且过点)10,4(- （1）求此双曲线的方程；（2）若点),3(m M 在双曲线上，求21MF F ∆的面积.18． （本小题满分12分）设命题p ：实数x 满足03422<+-a ax x ，其中0<a ；命题q ：实数x 满足2280,x x +->且p q ⌝⌝是的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.19．（本小题满分12分）若函数x x ax x f ln 342)(2-+=在1=x 处取得极值 （1）求a 的值；（2）求函数)(x f 的极值.20.（本小题满分12分）已知函数d ax bx x x f +++=23)(的图象过点P （0，2），且在点M （－1，f （－1））处的切线方程为076=+-y x .（1）求函数)(x f y =的解析式； （2）求函数)(x f y =的单调区间.21．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，一个顶点为)1,0(-B ，且其右焦点到直线022=+-y x 的距离为3．（1） 求椭圆的方程；（2） 是否存在斜率为)0(≠k k ，且过定点)23,0(Q 的直线l ，使l 与椭圆交于两个不同的 点M 、N ，且||||BN BM =？若存在，求出直线l 的方程;若不存在,请说明理由．22. （本小题满分12分）已知函数2()(23)xf x x ax a e =+--，（1）若2x =是函数()f x 的一个极值点，求实数a 的值；（2）设0a <，当[1,2]x ∈时，函数()f x 的图象恒不在直线2y e =上方，求实数a 的取值范围。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高二上学期期末模拟考试数学试题
一、选择题：每小题5分，共60分。
1．已知△ABC ，内角A 、B 、C 的对边分别是︒===
60,3,2,,,B b a c b a ，则A 等于（ ）
A ．45°
B ．30°
C ．45°或135°
D ．30°或150°
2．已知等差数列}{n a 的前n 项和为10532,20,5,a S a a S n 则-=-=+等于 （ ）
A ．－90
B ．－27
C ．－25
D ．0
3．已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有()0f x ≥，则(
1)'
(0)f f 的最小值为（ ）
A ．3
B ．
52 C ．2 D ．3
2
4．已知p q x x q x p 是则,02:;2|:|2<--<的
（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
5．若焦点在x 轴上的椭圆2
11222的离心率为=+m y x ，则m =
（ ）
A ．2
B ．
2
3 C ．
38 D ．3
2
6．（理）设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可
能正确的是（ ）
（文）曲线x
e y =在点（2，e 2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）
A ．2
2
9e
B ．2
2e
C ．2
e
D ．2
2e
7．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则点A 1到平面ABC 1D 1的距离为 （ ）
A ．
2
1 B ．
4
2 C ．
2
2 D ．
2
3 8．已知数列{a n }满足63421,02),(2a a a a N n a a n n 则且=--⋅∈=++等于 （ ）
A ．16
B ．－16
C ．16或－8
D ．－16或8
9．若抛物线C 以坐标原点为顶点，以双曲线19
16
2
2=-x y 的顶点为焦点且过第二象限，则抛物线C 的准线
方程是（）
A ．x =3
B ．y =－4
C ．x =3或y =－4
D ．x =4或y =－
3
A ．
B ．
C ．
D ．
10．（理）如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1=AB=2，
AD=1，点E 、F 、G 分别是DD 1、AB 、CC 1的中点，
则异面直线A 1E 与GF 所成的角的余弦是 （ ）
A
．
5 B
．
2
C
D ．0
（文）已知命题：∈∀x p :R ，1sin ≤x ，则
（ ）
A ．∈∃⌝x p : R ，1sin ≥x
B ．∈∀⌝x p : R ，1sin ≥x
C ．∈∃⌝x p : R ，1sin >x
D ．∈∀⌝x p : R ，1sin >x
11．（理）若0)1(3)1()1(2<-+--+m x m x m 对任何实数x 恒成立，则实数m 的取值范围（ ）A ．m
＞1
B ．m ＜－1
C ．11
13
-
<m D ．m ＞1或11
13-
<m （文）函数)1[)0(3∞+>-=，在区间a ax x y 上是单调函数，则a 应满足 （ ）
A ．a ＞3
B ．a ≥3
C ．0＜a ≤3
D ．0＜a ＜3
12．设等比数列{a n }的前n 项为S n ，若,62,622006200720052006+=+=S a S a 则数列{ a n }的公比为q 为
（ ） A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分；共20分。
13．给出下列命题：①命题“032,2>--∈∃x x R x ”的否定命题是“032,2<--∈∀x x R x ”②若命题
“p ⌝”为真，命题“q p ∨”为真，则命题q 为真；③若q 是q 的必要不充分条件，则命题“若p 则q ”的否命题是真命题，逆否命题是假命题.其中正确命题是 （把你认为正确的命题序号都填上）
14．(理)已知y x ,满足y x z y x x y y x +=⎪⎩
⎪
⎨⎧≤-+≤≤-2,421
1535则的最大值是 . 15．（理）函数f(x)=xlnx(x>0)的单调递增区间是 ． （文）函数2
cos 2
π
=
=x x x y 在指定点的导数是 .
16．已知点P 是抛物线x y 42
=上的动点，点P 在y 轴上的射影是点Q ，抛物线外一点A （4，5）则|PA|+|PQ|的最小值是 .
三、解答题：本大题共6个小题.共56分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，73tan =C . （1）求cos C ；（2）若..9,2
5
c b a 求且=+=
⋅
已知公比q ＞1的等比数列{a n }满足4234322,28a a a a a a 和是且+=++的等差中项.求：{a n }的通项公式及{a n }的前n 项和公式. 19．（本小题满分12分）
（理）如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，CB ⊥平面AEB ，AE=EB ，F 为CE 上的点，且BF
⊥平面ACE.
（1）求证AE ⊥平面BCE ；
（2）求二面角B —AC —E 的大小.
（文）已知函数13)(23±=-+=x x bx ax x f 在处取得极值.
讨论)()1()1(x f f f 是函数和-的极大值还是极小值.
已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1.
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）若直线l ：m kx y +=与椭圆C 相交于A ，B 两点（A ，B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过
椭圆C 的右顶点。
求证: 直线l 过定点，并求出该定点的坐标.
21．（本小题满分12分）
已知等差数列{a n }的公差d ≠0，对任意0,≠∈+n a N n 都有
（1）求证：对任意02,212=++∈+++n n n a x a x a N n 所有方程均有一个相同的实根； （2）若a 1=d ，方程02212=++++n n n a x a x a 的另一不同根为n
n n a b a +=11
,，求数列{b n }
的通项公式；
（3）在（2）的条件下，设n n n n S b b b b b b S 求,1 (111)
3221++++= 22．（本小题满分12分）
文科做（2009·江西卷·文·22）如图，已知圆:G 2
2
2
(2)x y r -+=是椭圆
2
21
x y +=的内接△ABC 的内切圆, 其中A 为椭圆的左顶点. （1）求圆G 的半径r ;
（2）过点(0,1)M 作圆G 的两条切线交椭圆于 E F ，两点，证明：直线EF 与圆G 相切．
理科做(本小题满分12分)已知函数c bx x ax x f -+=4
4
ln )((x>0)在x = 1处取得极值--3--c ，其中a,b,c 为常数。
（1）试确定a,b 的值；
（2）讨论函数f(x)的单调区间；
（3）若对任意x>0，不等式2
2)(c x f -≥恒成立，求c 的取值范围。