数学-高中2年级-教案-2.1.4两条直线的交点教案 苏教版必修2
高中数学新苏教版精品教案《2.1.4 两条直线的交点》
两条直线的交点教学目标1．学生通过本节课学习，掌握两直线方程联立方程组解的情况与两直线间不同位置的 对应关系，并且会通过直线方程系数判定解的情况．2．学生通过一般形式直线方程解的讨论，加深对解析法的理解，培养转化能力．3．从“特殊”到“一般”，培养学生探索事物本质属性的精神，以及运动变化和相互联系的观点． 教学重点两条直线的位置关系与它们所对应的方程组的解的个数的对应关系，本节是从交点个数为特征对两直线位置关系的进一步讨论．教学难点对方程组系数中含有未知数的两直线的位置关系的讨论．教学过程【问题情境】问题1：平面上两直线的位置关系？问题2：判断两直线y ＝x ＋1和y ＝3x －2 的位置关系问题3：如何判断1l :0111=++C y B x A ,2l :0222=++C y B x A 的位置关系？【建构数学】设两条直线的方程分别是1l :0111=++C y B x A ,2l :0222=++C y B x A ．研究两条直线21,l l 的位置关系（相交、重合、平行）可以转化为两条直线方程所得的方程组⎩⎨⎧=++=++00222111C y B x A C y B x A 的解的个数问题【数学运用】例1．分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点：（1）1l :72=-y x ，2l :0723=-+y x ；（2）1l :0462=+-y x ，2l :08124=+-y x ；（3）1l :0424=++y x ，2l :32+-=x y ．解：（1）因为方程组⎩⎨⎧=-+=--0723072y x y x 的解为⎩⎨⎧-==13y x 因此直线1l 和2l 相交，交点坐标为()13-，．（2）方程组⎩⎨⎧=+-=+-081240462y x y x 有无数组解，这表明直线12,l l 重合． （3）方程组⎩⎨⎧=-+=++0320424y x y x 无解，这表明直线12l l ,没有公共点，故1l ∥2l ． 总结：判断两直线相交的方法例2：已知两条直线1:60l x my ++=，2:(2)320l m x y m -++=，当m 为何值时，直线1l 与2l ：(1)平行；(2)重合；(3)相交．解：(1)若21//l l ，则)2(31-⨯=⨯m m ，解得31或-=m .代入两直线方程检验得当3=m 时两直线重合. 所以1-=m 时两直线平行.(2) 由(1)知3=m 时两直线重合.(3) 由(1，(2)知31≠-≠m m 且时两直线相交.【变式】已知直线1l :310x my +-=，2l :3250x y --=，3l :650x y +-=，(1)若这三条直线交于一点，求m 的值； (2) 若三条直线能构成三角形，求m 的值．解：(1),11,0560523⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧=-+=--y x y x y x 解得联立代入,013=-+my x 得2=m .(2)当三条直线相交于一点或其中两直线平行时三条直线不能构成三角形.由(1)知当2=m 时三条直线相交于一点.当 21//l l 时，则3)2(3⨯=-⨯m ，解得2-=m .当 31//l l 时，则613⨯=⨯m ，解得21=m . 综上所述：当212≠±≠m m 且时，三条直线能构成三角形. 例3．直线l 经过原点，且经过另外两条直线0832=++y x ，01=--y x 的交点，求直线l 的方程．分析：法一、由两直线方程组成方程组⎩⎨⎧=--=++010832y x y x ，求出交点()2,1--，再过原点()0,0，由两点求直线方程． 【变式】求证：无论λ取什么实数，直线08)3()2(:=-+-++λλλy x l 都过定点，并求出这个定点的坐标.证明:即直线l 0)1(832=--+++y x y x λ⎩⎨⎧=++=--083201y x y x 所以,解得⎩⎨⎧-=-=21y x ，定点为)2,1(--.思考：当λ变化时，方程(238)(1)0x y x y λ+++--=表示什么图形？图形有何特点？结论：已知直线1l :0111=++C y B x A ，2l :0222=++C y B x A 相交，那么过两直线的交点的直线方程（不含2l ）可设为()()0222111=+++++C y B x A C y B x A λ ()R ∈λ例三 解法二、设经过两条直线0832=++y x ，01=--y x 交点的直线方程为()()01832=--+++y x y x λ，又过原点，由()0,0代入可求λ的值．【巩固练习】：1.根据下列条件，求直线方程（1）斜率为－2，且过两条直线3x -y +4=0和x +y -4=0的交点；（2）过两条直线x -2y +3=0和x +2y -9=0的交点和原点；（3）过两条直线2x -2y +10=0和3x +4y -2=0的交点，且垂直于直线3x -2y +4=0；（4）过两条直线2x +y -8=0和x -2y +1=0的交点，且平行于直线4x -3y-7=0。
高中数学苏教版必修二学案：2.1.4 两条直线的交点
2.1.4两条直线的交点学习目标1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.2.会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系.3.会求过两直线交点的直线方程，并能解决一些简单的直线过定点问题.知识点直线的交点与直线的方程组解的关系思考1直线上的点与其方程Ax＋By＋C＝0的解有什么样的关系？思考2已知两条直线l1与l2相交，如何用代数方法求它们的交点的坐标？思考3由两直线方程组成的方程组解的情况与两条直线的位置关系有何对应关系？梳理(1)两直线的交点(2)类型一两直线的交点问题命题角度1代数法判断两直线的位置关系例1分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点.(1)l1：2x－y＝7和l2：3x＋2y－7＝0；(2)l1：2x－6y＋4＝0和l2：4x－12y＋8＝0；(3)l1：4x＋2y＋4＝0和l2：y＝－2x＋3.反思与感悟两条直线相交的判定方法跟踪训练1命题角度2根据交点求参数的值或其范围引申探究若本例中直线的方程不变，其交点改为位于第三象限，则a的取值范围又如何？例2已知直线5x＋4y＝2a＋1与直线2x＋3y＝a的交点位于第四象限，则a的取值范围是________.反思与感悟求解此类问题关键是先利用方程组的思想，联立两方程，求出交点坐标；再由点在某个象限时坐标的符号特征，列出不等式组而求得参数的取值范围.跟踪训练2若直线l1：y＝kx＋k＋2与l2：y＝－2x＋4的交点在第一象限，则实数k的取值范围是__________.类型二求过两条直线交点的直线方程例3求过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线方程.引申探究本例中若将“平行”改为“垂直”，又如何求解.反思与感悟求过两条直线交点的直线方程，一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.也可用过两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(不包括l 2的方程)，再根据其他条件求出待定系数，写出直线方程.跟踪训练3直线l 经过原点，且经过另外两条直线2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0的交点，则直线l 的方程为______________. 类型三直线恒过定点问题例4求证：不论m 取什么实数，直线(2m －1)x ＋(m ＋3)y －(m －11)＝0都经过一定点，并求出这个定点坐标.反思与感悟解含有参数的直线恒过定点的问题(1)任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解.(2)含有一个参数的二元一次方程若能整理为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0解得.若整理成y －y 0＝k (x －x 0)的形式，则表示所有直线必过定点(x 0，y 0).跟踪训练4不论m 为何实数，直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5恒过的定点坐标是_____.1.已知直线l 1：3x ＋4y －5＝0与l 2：3x ＋5y －6＝0相交，则它们的交点是__________.2.已知直线y ＝2x ＋10，y ＝x ＋1，y ＝ax －2交于一点，则a 的值为________.3.不论m 取什么实数，直线mx ＋y －m ＝0都过定点的坐标为________.4.下列各组直线中，两直线相交的为________.(填序号) ①y ＝x ＋2和y ＝1； ②x －y ＋1＝0和y ＝x ＋5；③x ＋my －1＝0(m ≠2)和x ＋2y －1＝0； ④2x ＋3y ＋1＝0和4x ＋6y －1＝0.5.直线l 过直线2x －y ＋4＝0与x －3y ＋5＝0的交点，且垂直于直线x －2y ＝0，则直线l 的方程是________.1.方程组{ A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0有惟一解的等价条件是A 1B 2－A 2B 1≠0.亦即两条直线相交的等价条件是A 1B 2－A 2B 1≠0.2.直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R )是过直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线.答案精析问题导学 知识点思考1直线上每一个点的坐标都满足直线方程，也就是说直线上的点的坐标是其方程的解．反之直线的方程的每一个解都表示直线上的点的坐标． 思考2只需写出这两条直线的方程，然后联立求解． 思考3(1)若方程组无解，则l 1∥l 2；(2)若方程组有且只有一个解，则l 1与l 2相交； (3)若方程组有无数解，则l 1与l 2重合． 梳理(1)A 1a ＋B 1b ＋C 1＝0⎩⎪⎨⎪⎧A 1a ＋B 1b ＋C 1＝0，A 2a ＋B 2b ＋C 2＝0 (2)无解无数个相交平行 题型探究例1解(1)方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y －7＝0，3x ＋2y －7＝0的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1.因此直线l 1和l 2相交，交点坐标为(3，－1)．(2)方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －6y ＋4＝0，4x －12y ＋8＝0有无数个解，这表明直线l 1和l 2重合．(3)方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋2y ＋4＝0，2x ＋y －3＝0无解，这表明直线l 1和l 2没有公共点，故l 1∥l 2. 跟踪训练1(1,2) 例2(－32，2)引申探究解由例2得交点坐标为(2a ＋37，a －27)，则由⎩⎨⎧2a ＋37<0，a －27<0，得a <－32.跟踪训练2⎝⎛⎭⎫－23，2 例3解解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y －3＝0，x ＋y ＋2＝0，得⎩⎨⎧x ＝－35，y ＝－75，所以两直线的交点坐标为(－35，－75)．又所求直线与直线3x ＋y －1＝0平行， 所以所求直线的斜率为－3. 故所求直线方程为 y ＋75＝－3(x ＋35)， 即15x ＋5y ＋16＝0. 引申探究解设所求直线方程为(2x －3y －3)＋λ(x ＋y ＋2)＝0， 即(2＋λ)x ＋(λ－3)y ＋(2λ－3)＝0， 由于所求直线与直线3x ＋y －1＝0垂直， 所以3(2＋λ)＋(λ－3)×1＝0， 解得λ＝－34，所以所求直线方程为5x －15y －18＝0. 跟踪训练32x －y ＝0例4证明对于方程(2m －1)x ＋(m ＋3)y －(m －11)＝0，令m ＝0， 得x －3y －11＝0； 令m ＝1，得x ＋4y ＋10＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y －11＝0，x ＋4y ＋10＝0，得两条直线的交点坐标为(2，－3)．将点(2，－3)代入方程组左边，得(2m －1)×2＋(m ＋3)×(－3)－(m －11)＝0. 这表明不论m 取什么实数， 所给直线均经过定点(2，－3)． 跟踪训练4(9，－4) 当堂训练1．(13，1)2.233.(1,0)4．①③5.10x ＋5y ＋8＝0。
苏教版数学高一必修2学案 两直线的交点
2.1.4 两条直线的交点学习目标1.会求直线和直线的交点以及它与二元一次方程组的解之间的关系;2.学习两直线交点坐标的求法,以及判断两直线位置的方法;3.通过两直线交点和二元一次方程组的联系,从而认识事物之间的联系.能够用辩证的观点看问题.学习重点 判断两直线是否相交,求交点坐标.学习难点 两直线相交与二元一次方程的关系.学习过程 自主学习指导问题1.平面上两直线的位置关系?能否通过方程去研究直线的相交问题?问题2.由直线方程的概念,我们知道直线上的一点与二元一次方程的解的关系,那么如果两直线相交于一点,这一点与两条直线的方程有何关系?问题3.如果两条直线相交,交点坐标与二元一次方程组有什么关系?问题4.若二元一次方程组有唯一解,两直线 ,若二元一次方程组无解,两直线 ,若二元一次方程组有无数解,两直线 .问题5.直线和直线的交点以及它与二元一次方程组的解之间的关系问题6.直线1111:A 0l x B y C ++=和直线2222:0l A x B y C ++=是否有交点的一般性结论:若 ,则直线1l 和直线2l 相交;若 ,则直线1l 和直线2l 重合;若 ,则直线1l 和直线2l 平行. ☞课前自主练习1. 分别判断下列直线1l 和直线2l 是否相交,若相交,求出它们的交点.(1) 12:27,:3270l x y l x y -=+-=;(2) 12:2640,:41280l x y l x y -+=-+=;(3) 12:4240,:23l x y l y x ++==-+.2.直线l 经过原点,且经过另两条直线 2380,10x y x y ++=--=的交点,求直线l 的方程.3.若3条直线2380,10x y x y ++=--=和0x ky +=相交于一点,则k 的值等于 .☞课堂检测训练1. 已知两条直线12:(3)453,:2(5)8l m x y m l x m y ++=-++=.当m 为何值时, 1l 与2l :(1)相交? (2)平行? (3)垂直?2. 已知直线l 经过两条直线2330,20x y x y --=++=的交点,且与直线310x y +-=平行,求直线l 的方程.课后巩固训练1.两直线320x y -+=与320x y +-=的位置关系是 .2.已知直线210x y +-=与直线(1)30m x y --+=相交,则实数m 的取值范围是 .3.已知点(0,1)M -,点N 在直线10x y -+=上,若直线MN 垂直于直线230x y +-=,则点N 的坐标是 .4.求经过两条直线78380x y +-=和320x y -=的交点,且在两坐标轴上截距相等的直线l 的方程.。
2019-2020学年高中数学 2.1.4 两条直线的交点学案 苏教版必修2 .doc
2019-2020学年高中数学 2.1.4 两条直线的交点学案 苏教版必修2一 学生活动问题： 两条直线0022221111=++=++C y B x A l C y B x A l ：，：是否有交点？若有交点如何来求解？二 建构知识 设两条直线的方程分别是0022221111=++=++C y B x A l C y B x A l ：，：： 方程组⎩⎨⎧=++=++00222111C y B x A C y B x A 一组 无数组 无解 直线211,l 的公共点个数直线211,l 的位置关系例3 某商品的市场需求量1y （万件），市场供应量2y （万件）与市场价格x （元/件）分别近似地满足下列关系：701+-=x y ，2022-=x y ．当21y y =时的市场价格称为市场平衡价格，此时的需求量称为平衡需求量．（1）求平衡价格和平衡需求量；（2）若要使平衡需求量增加4万件，政府对每件商品应给予多少元补贴？巩固练习2．若三条直线010832=--=++y x y x ，和021=+++k ky x 相交于一点， 则k 的值为_______________．3．（1）两条直线0=-y x 和02=++y x 的交点，且与直线013=-+y x 平行的直线方程为_______________．（2）过直线042=+-y x 与直线05=++y x 的交点，且与直线02=-y x 垂直的直线方程是_______________．四 回顾小结会求两直线的交点，以及两直线方程联立方程组的解的个数与直线位置关系的联系五 学习评价8.若三条直线440,10,10x y mx y x y ++=++=-+=不能围成三角形，求实数m 的值.9.(1)当λ变化时，方程21(239)0x y x y λ-++++=表示什么图形？图形有何特点？（2）求经过直线210x y -+=和2390x y ++=的交点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程.。
2.1.4 两条直线的交点 教案2 高中数学 必修二 苏教版 Word版
2．1.4 两条直线的交点从容说课两条直线交点位置的确定体现了坐标法的思想，两条直线的交点坐标就是由这两条直线的方程组成的方程组的解，因此，确定两条直线交点的位置就是解方程组找出它的解.如果这个方程组只有一个解，说明这两条直线只有一个交点;如果这个方程组没有解，说明这两条直线没有公共点，是两条平行线.课本对方程组⎩⎨⎧=++=++0,0222111C y B x A C y B x A 并没有进行一般性的讨论，直接给出了方程组的解的个数与两条直线位置的关系，这样设置的目的在于适当降低要求，如果学生的基础较好，可以对一般情形进行讨论.教学重点两条直线的位置关系与它们所对应的方程组的解的个数的对应关系. 教学难点对方程组系数中含有未知数的两直线的位置关系的讨论. 教具准备多媒体. 课时安排1课时 三维目标一、知识与技能1.知道两条直线的相交、平行和重合三种位置关系，对应于相应的二元一次方程组有唯一解、无解和无穷多组解.2.会应用这种对应关系通过方程判断两直线的位置关系，以及由已知两直线的位置关系求它们方程的系数所应满足的条件.二、过程与方法1.通过研究两直线的位置关系与它们对应方程组的解，培养学生的数形结合能力.2.通过对方程组解的讨论培养学生的分类思想；求出x 后直接分析出y 的表达式，培养学生的抽象思维能力与类比思维能力．3.分析、启发、诱导、讲练结合． 三、情感态度与价值观通过学习两直线的位置关系与它们所对应的方程组的解的对应关系，培养学生的转化思想．教学过程 导入新课师平面几何里，我们研究两条直线的关系通常是判断其是否垂直、是否平行，有时研究其所成的角.引入平面直角坐标系后，用方程表示直线，直线的方程就是直线上的每一点坐标满足的关系式，即二元一次方程.这样，我们可以通过方程研究直线上的点，用代数方法研究直线上的点.今天我们研究在直角坐标系下，如果给出两条直线的方程，该如何求其交点的问题.（板书：两条直线的交点） 推进新课师设两条直线的方程分别是（板书） l 1：A 1x +B 1y +C 1=0，l 2:A 2x +B 2y +C 2=0.如果这两条直线相交，设交点P 0(x 0,y 0)，由于交点同时在这两条直线上，交点的坐标一定是这两个方程的解，所以A 1x 0+B 1y 0+C 1=0，A 2x 0+B 2y 0+C 2=0，所以⎩⎨⎧==00,y y x x 是方程组⎩⎨⎧=++=++0,0222111C y B x A C y B x A 的解；反之，如果这两个二元一次方程只有一个公共解⎩⎨⎧==00,y y x x ，那么A 1x 0+B 1y 0+C 1=0，A 2x 0+B 2y 0+C 2=0，以这个解为坐标的点P 0(x 0,y 0)同时在l 1和l 2上，即为直线l 1和l 2的交点.这样我们就得到l 1和l 2的交点坐标与联立两条直线方程得到的二元一次方程组解之间的关系，于是研究两条直线的交点问题就转化为研究其对应方程解的问题，下面请大家思考一下（投影）.方程组⎩⎨⎧=++=++0,0222111C y B x A C y B x A 的解一组 无数组 无解两条直线l 1、l 2的公共点 直线l 1、l 2的位置关系师当方程组⎩⎨⎧=++=++0,0222111C y B x A C y B x A 的解仅有一组时，两条直线l 1、l 2的公共点仅有一个，那么有无数组解时就意味着两条直线有多少个交点？生无数个.师直线l 1、l 2的位置关系如何？ 生重合.师对！两条直线有无数个公共点，则这两条直线重合.如果方程组⎩⎨⎧=++=++0,0222111C y B x A C y B x A 无解，那么两条直线l 1、l 2的公共点有多少个？生0个.师也就是没有交点.此时直线l 1、l 2的位置关系如何？ 生平行.师于是我们就可以把表格填完.方程组⎩⎨⎧=++=++0,0222111C y B x A C y B x A 的解一组 无数组 无解两条直线l 1、l 2的公共点一个无数个零个 直线l 1、l 2的位置关系相交重合平行这样研究两条直线的位置关系（相交、重合、平行）可以转化为联立两条直线方程所得方程组⎩⎨⎧=++=++0,0222111C y B x A C y B x A 的解的个数问题.【例1】分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点： （1）l 1：2x -y =7，l 2:3x +2y -7=0; （2）l 1：2x -6y +4=0，l 2:4x -12y +8=0; （3）l 1：4x +2y +4=0，l 2:y =-2x +3. 解：（1）因为方程组⎩⎨⎧=-+=--0723,072y x y x 的解为⎩⎨⎧-==,1,3y x 因此直线l 1和l 2相交，交点坐标为（3，－1）.（2）方程组⎩⎨⎧=+-=+-08124,0462y x y x 有无数组解，这表明l 1和l 2重合.（3）方程组⎩⎨⎧=-+=++032,0424y x y x 无解，这表明l 1和l 2没有公共点，故l 1∥l 2.【例2】直线l 经过原点，且经过另两条直线2x +3y +8=0，x -y -1=0的交点，求直线l 的方程.解：解方程组⎩⎨⎧=--=++,01,0832y x y x 得⎩⎨⎧-=-=.2,1y x所以两条直线2x +3y +8=0，x -y -1=0的交点坐标为（－1，－2）.又直线l 经过原点，所以直线l 的方程为10020---=---x y ，即2x -y =0.【例3】如下图，以Rt △ABC 的两条直角边AB 、BC 向形外分别作正方形ABDE 和正方形BCFG ，连结EC 、AF ，两直线交于点M .求证：BM ⊥AC .(1) (2)师这是一道平面几何问题，如果不添加辅助线要想证明是困难的.我们可以用刚刚学过的坐标法来处理，面临的首要问题是如何建立直角坐标系.生只要找出两条互相垂直的直线即可，比如以EA 所在直线为x 轴,ED 所在直线为y 轴，建立坐标系.师应该说是可以的，不过图中互相垂直的直线很多，建立直角坐标系的形式很多，我们通常以建立坐标系后以对应的点的坐标或直线方程很简洁为标准.这里选择以DC 、AG 所在直线分别作为x 轴、y 轴，则对应的点的坐标则大部分简洁.下面我们一起来写出本题的分析和证明过程.分析：建立适当的直角坐标系，将证明BM ⊥AC 转化为k BM ²k AC =-1，也就是将几何问题转化为代数问题计算.证明：如图（2）以两条直角边所在直线为坐标轴，建立直角坐标系，设正方形ABDE 和正方形BCFG 的边长分别为a 、b ，则A(0,a ),C(b ，0)，B （0，0），E(-a ，a )，F(b ，－b ).直线AF 的方程是b b x b a b y --=++0，即(a +b )x +by -ab =0.直线EC 的方程是ba bx a y ---=--00,即ax +(a +b )y -ab =0.解方程组⎩⎨⎧=-++=-++0)(,0)(ab y b a ax ab by x b a 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=,,222222b ab a ab y b ab a b a x即M 点的坐标为（222222,bab a ab b ab a b a ++++），故k BM =a b ，k AC =00--b a ＝－b a . 所以k BM ²k AC =-1.因此BM ⊥AC.【例4】某商场的市场需求量y 1（万件）、市场供应量y 2（万件）与市场价格x （元/件）分别近似地满足下列关系：y 1＝－x +70,y 2=2x -20.当y 1=y 2时的市场价格称为市场平衡价格，此时的需求量称为市场平衡需求量. (1)求平衡价格和平衡需求量；(2)若要使平衡需求量增加4万件，政府对每件商品应给予多少元补贴？师这是一道实际应用题，平衡价格和平衡需求量是指什么？ 生y 1=y 2的x 值和y 值.师对！我们一起来分析一下.分析：市场平衡价格和平衡需求量实际上就是直线y =-x +70与y =2x -20交点的横坐标和纵坐标，即为方程组⎩⎨⎧-=+-=202,70x y x y 的解.解：（1）解方程组⎩⎨⎧-=+-=202,70x y x y 得⎩⎨⎧==40,30y x 故平衡价格为30元/件，平衡需求量为40万件.（2）设政府给予t 元/件补贴，此时的市场平衡价格（即消费者支付价格）为x 元/件，则供货者实际每件得到（x ＋t ）元，依题意得方程组⎩⎨⎧=-+=+-,4420)(2,4470t x x ,得x =26,t=6,依次，政府对每件商品应给予6元的补贴.延展拓宽：已知三条直线l 1：4x +y -4=0，l 2：x m+y =0，l 3：2x -3m y -4=0，求分别满足下列条件的m 的值：（1）使这三条直线交于同一点； （2）使这三条直线不能构成三角形．分析：三条直线交于同一点的条件是两直线交点在第三条直线上；三条直线不能构成三角形的条件是三条直线交于一点或其中有两条直线平行．解：(1)要使三直线交于一点，则l 1与l 2不平行，∴m ≠4.∴由⎩⎨⎧=+=-+0,044y xm y x 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=-=m my mx 44,44,即l 1与l 2的交点为(m m m ---44,44). 代入l 3方程得m -48-3m ²mm --44-4=0,解得m=-1或32．（2）若l 1、l 2、l 3交于一点，则m=-1或32；若l 1∥l 2，则m=4；若l 1∥l 3，则m=-61；若l 2∥l 3，则m 无解. 综上可得m=-1或32或4或-61． 课堂小结今天我们通过解两条直线对应的方程构成的方程组来研究两条直线的位置关系，当对应方程组仅有一解时则两条直线仅有一个交点，当对应方程组有无数解时则两条直线有无数个交点即重合，当对应方程组无解时则两条直线没有交点即两条直线平行.布置作业P 87练习2、3、4. 板书设计2.1.4 两条直线的交点方程组⎩⎨⎧=++=++0,0222111C y B x A C y B x A 的解与直线l 1、l 2的位置关系……例1 例2 例3 例4课堂小结 布置作业 活动与探究【例题】求证：不论m 为何实数，直线l ：(m-1)x +(2m-1)y =m-5恒过一定点，并求出此定点的坐标．分析：证明直线过定点即证定点坐标始终满足直线方程． 解法一：将直线l 的方程(m-1)x +(2m-1)y =m-5,整理为(x +2y -1)m-x -y +5=0，该方程表示过直线x +2y -1=0和-x -y +5=0交点的直线，由⎩⎨⎧=+--=-+,05,012y x y x 得交点(9,-4).∴直线l 过定点(9,-4)． 解法二：令m=1得y =-4，m=21得x =9，两直线y =-4和x =9交点为(9,-4)，将(9,-4)代入直线方程得9m-9-8m+4=m-5恒成立，所以，直线l 过定点(9,-4)．习题详解课本第87页习题2．1（2）解答： 1．（1）4x +y -14=0；（2）x -2y -3=0；（3）7x -2y -20=0. 2.因为k AB =274607＝--,所以AB 边上的高所在直线的方程为y -3=-72x ,即2x +7y -21=0. 3.(1)由方程组⎩⎨⎧=-+=+-,04,043y x y x 可得交点坐标为(0,4),故所求直线的方程为y -4=-2x ,即2x +y -4=0.(2)由方程组⎩⎨⎧=-+=+-,092,032y x y x 可得交点坐标为(3,3),故所求直线的方程为30030--=--x y ,即x -y =0. (3)由方程组⎩⎨⎧=-+=+-,0243,01022y x y x 可得交点坐标为(-717,718),故所求直线的方程为y -717=-)718(32+x ,即14x +21y -15=0. (4)由方程组⎩⎨⎧=+-=-+,012,082y x y x 可得交点坐标为(3,2),故所求直线的方程为y -2=34(x -3),即4x -3y -6=0.4.由方程组⎩⎨⎧=-=+102,1034y x y x 可得交点坐标为P (4,-2).依题意知,点P (4,-2)在直线ax +2y +8=0上.将点P 的坐标代入直线方程,可解得a =-1.5.k AB =451332-=+--,k BC =313621=-+-,k CD =456214-=-+,k DA =311234=+-. 6.显然a ≠0.直线ax +2ay +1=0的斜率为-21,从而直线(a -1)x -(a +1)y -1=0的斜率为2,即11+-a a ,∴a =-3.所以两条直线的方程分别是-3x -6y +1=0和-4x +2y -1=0.联立这两个方程可解得交点坐标为(-307,152).7.当m ≠－1且m ≠－7时,l 1与l 2相交;当m ＝－7时,l 1与l 2平行；当m=-313时，l 1与l 2垂直.8．由⎩⎨⎧=+-=++082,01y x y x 可得交点的坐标为（-3，2）.依题意，实数a 满足⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≠--≠-≠-⨯+-,23,13,0523)3(·a aa 即a ≠31，且a ≠3，且a ≠－6. 9.证法一:仿教材第82页的证明可得.证法二:若k 1k 2=-1,如图,不妨设k 1>0,k 2<0.过l 1与l 2的交点P 作x 轴的垂线,垂足为Q (若P 在x 轴上,则过P 作一与x 轴平行的直线的垂线).则k 1=QA PQ ,k 2=QBPQ. ∵k 1k 2=-1,∴QA PQ =PQQB. 又∵∠A QP ＝∠PQ B ＝90°, ∴△A QP ∽△PQ B. ∴∠A PQ ＝∠P B Q .∴∠A P B ＝90°,即l 1⊥l 2.10.(1)①当B ＝0时,必有A ≠0,直线l 的方程为A x +C ＝0,此时,直线l 垂直于x 轴.由l ∥l 1,知直线l 1也垂直于x 轴,故其方程可以表示为A x +C 1＝0(C 1≠C).反之,方程A x +C 1＝0(C 1≠C)表示的是一条垂直于x 轴的直线,且与直线l:A x +C ＝0平行.②当B ≠0时,直线l 的斜率为-B A .由l ∥l 1,知直线l 1的斜率也为-BA,故其方程可以表示为y =-BAx +C 0,即A x +B y -BC 0=0.令-BC 0=C 1,可得直线l 1的方程为A x +B y +C 1=0.反之,方程A x +B y +C 1=0(C 1≠C)表示的是一条斜率为-BA的直线,且与直线l 1:A x +B y +C=0平行.(2)①当B ＝0时,必有A ≠0,直线l 的方程为A x +C ＝0,此时,直线l 垂直于x 轴.由l 2⊥l,知直线平行于x 轴,故其方程可以表示为A y +C 2＝0.反之,方程A y +C 2＝0表示的是一条平行于x 轴的直线,且与直线l:A x +C ＝0垂直.②当B ≠0时,直线l 的斜率为-B A .由l 2⊥l,知直线l 2的斜率也为AB,故其方程可以表示为y =ABx +C 3,即B x -A y +AC 3=0.令AC 3=C 2,可得直线l 2的方程为B x -A y +C 2=0.反之,方程B x -A y +C 2=0表示的是一条斜率为AB的直线,且与直线l:A x +B y +C=0垂直.11.略（此题已在前面作为例题解答过）.备课资料一、备选例题 【例1】求经过两条直线2x -3y -3=0和x +y +2=0的交点，且与直线3x +y -1=0垂直的直线l 的方程．分析：可先求两直线交点坐标，然后求直线l 的斜率，再根据点斜式写出直线l 的方程．解法一：由⎩⎨⎧=++=--,02,0332y x y x 得交点坐标(57,53--).又∵直线l 与直线3x +y -1=0垂直，∴直线l 的斜率为31. ∴直线l 的方程为y +57=)53(31+x ，即5x -15y -18=0．解法二：设直线l 的方程为2x -3y -3+λ(x +y +2)=0，即(λ+2)x +(λ-3)y +2λ-3=0.又∵直线l 与直线3x +y -1=0垂直， ∴-32-+λλ²(-3)=-1，解得λ=-43. ∴直线l 的方程为5x -15y -18=0． 点评：经过直线l 1：A 1x +B 1y +C 1=0和直线l 2：A 2x +B 2y +C 2=0的交点的直线方程为A 1x +B 1y +C 1+λ(A 2x +B 2y +C 2)=0．二、备选习题1.若三条直线2x +3y +8=0,x -y -1=0,x +k y =0相交于一点，则k 的值等于（）A.-2B.-21C.2D.21 2.已知直线y =k x +3与直线y =x +1的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是（） A.1<k<3 B.k<1 C.k>3 D.k>13.已知两直线a 1x +b 1y +3=0和a 2x +b 2y +3=0的交点是(2,3)，则过两点P (a 1,b 1)、Q (a 2,b 2)的直线方程是（）A.3x +2y =0B.2x +3y +3=0C.3x +2y +3=0D.2x -3y -5=04.若一条直线过点(2,1)，且与另一条直线y =k x +b 相交于点(1,2),则该直线的方程为__________．5.三条直线x +y +1=0，2x -y +8=0，ax +3y -5=0有且只有两个交点，则a =__________．6.设m+n=k （k 为非零常数），则直线m x +n y +1=0恒过点__________．7.直线l 平行于直线4x -3y +5=0，且被直线3x +4y =0与11x -2y =0截得的线段长为10，求直线l 的方程．8.求证：不论m 为何实数，直线l ：(2m-1)x -(m+3)y -(m-11)=0恒过一定点，并求出此定点的坐标．参考答案：1.B2.B3.C4.x +y -3=05.3或-66.(-k 1,-k1) 7.4x -3y ±25=0. 8.定点坐标为(2,3).。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修2 2.1.4 两条直线的交点》
§两条直线的交点教学设计江苏省徐州市侯集高级中学马芹艳学习目标：1．会求两条直线的交点；2．理解两条直线的位置关系与相应的直线方程所组成的二元一次方程组的解的对应关系；3．加深对解析法的理解，进一步渗透数形结合、转化的思想．学习重点：两条直线相交求交点；用方程组的解研究两直线的位置关系．学习难点：两条直线的位置关系与相应二元一次方程组解的对应关系．1 问题情境分别在同一平面直角坐标系中，作出以下两条直线:1： 2 ： 3 ：：：：设计意图：〔1〕通过三个同学的板演展示，观察图“形〞可以直观地看出两条直线公共点的个数1个、0个、无数个；也就可以看出两条直线的位置关系，培养学生的动手能力，让学生体会从形到数的思想〔2〕如果两条直线相交，公共点就是两条直线的交点，如何求交点坐标呢？引出本节课的课题。
〔3〕学生都会说联立方程组，但是为什么呢？让学生思考这个问题，如果两条直线相交，由于交点同时在这两条直线上，交点坐标就是这两个方程的公共解，反之，如果这两个二元一次方程只有一个公共解，那么以这个解为坐标的点必是直线的交点，这就是方程的解和解的方程，把纯粹性和完备性讲清楚，学生自会明白其中道理。
〔4〕学生理解了解方程组法，即可把三个问题的方程组解好，同时解的个数对应着图象的交点个数，让学生体会了从数到形的思想。
〔5〕从问题情境还可以让学生深深体会，两条直线位置关系的判断可以转化为解方程组，通过方程组解的个数来判断，用代数的方法解决几何问题，渗透解析法。
2 数学建构设两条直线的方程分别是：设计意图：〔1〕由问题情境的三个例子得到一般性的结论，渗透有特殊到一般的归纳推理方法。
让学生口答即可，但是必须要让学生记忆并理解。
〔2〕从问题情境和数学建构两方面可以得出：①判断两条直线位置关系的方法：解方程组〔易操作〕、图象〔更直观〕，数形都表达出来。
②如何求两条直线的交点坐标？解方程组法。
③小问题，大发现，让学生在平常的学习中学会善于观察、归纳。
2.1.4两条直线的交点教案 高中数学 必修二 苏教版 Word版
，化简得直线方程为 ，又因为该直线与x+3y－5=0垂直，，可知有 ，解得
所以直线方程为
五、回顾反思：
1、两条直线交点的求法
2、两条直线的公共点个数与相对应的二元一次方程组解的个数的关系
3、过两条直线交点的直线系方程
教学反思
二次备课
1、书P82例1：
分析：只需根据相应结论代入即可。
2、例2：求经过原点，且经过两条直线
交点的直线.
分析：联立两个直线的方程组，求解出交点，再使用两点式即可.
变：求经过两条直线 交点,且与直线 垂直的直线.
分析：两直线交点是（2，2）,因为待求直线与 垂直，可设其方程为 ，将交点坐标代入，可知方程为
3、例3：求直线3x+2y－1=0和2x－3y－5=0的交点M的坐标，并证明方程3x+2y－1+λ（2x－3y－5）=0（λ为任意常数）表示过M点的所有直线（不包括直线2x－3y－5=0）.
2.1.4两条直线的交点
教学目标
1、知识技能目标：1、会求两直线的交点
2、理解两条直线的三种位置关系（平行、相交、重合）与相应的直线方程所组成的二元一次方程组的解（无解、有唯一解、有无数个解）的对应关系
2、过程方法目标：通过对直线的方程所表示的几何意义的深刻挖掘，引导学生自发发现求两条直线交点的方法，并组织其讨论得出两条直线的三种位置关系（平行、相交、重合）与相应的直线方程所组成的二元一次方程组的解（无解、有唯一解、有无数个解）的对应关系。
分析：先求出M的坐标，再代入方程中，满足方程即可.
证明：联立方程 ，解之得M点的坐标为（1，-1）
代入：x+2y－1+λ（2x－3y－5）= 0
2.1.4 两条直线的交点 学案1 高中数学 必修二 苏教版 Word版
2.1.4 两条直线的交点时直线的交点坐标.1．两直线的位置关系与二元一次方程组解的关系设两条直线的方程分别是l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0.如果这两条直线相交，由于交点同时在这两条直线上，交点的坐标一定是这两个方程的公共解；反之，如果这两个二元一次方程只有一个公共解，那么以这个解为坐标的点必是直线l 1和l 2的交点．据此，我们有若两个二元一次方程组成的方程组有解，则一定能说明这两条直线相交吗？答案：不一定．若该方程组有且只有一个解，可说明两直线相交，若该方程组至少有两个解，则说明两直线重合．2．两直线的位置关系与方程系数的关系设两条直线的方程分别是l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0.若A 2，B 2，C 2不为0，则l 1，l 2相交⇔A 1A 2≠B 1B 2，l 1∥l 2⇔A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2，l 1与l 2重合⇔A 1A 2＝B 1B 2＝C 1C 2.预习交流2求直线l 1：x ＋y －2＝0与直线l 2：x －2y ＝0的斜率，并分析直线l 1与l 2的位置关系．答案：直线l 1的斜率k 1＝－1，直线l 2的斜率k 2＝12，∵k 1≠k 2，∴直线l 1与l 2相交． 3．经过两条直线交点的直线系方程经过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程为m (A 1x ＋B 1y ＋C 1)＋n (A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(其中m ，n 为参数，m ，n 不同时为0)．当m ＝1，n ＝0时，方程即为l 1的方程；当m ＝0，n ＝1时，方程即为l 2的方程．上面的直线系方程可写成(A 1x ＋B 1y ＋1λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(其中λ为参数)l 2.预习交流(1)求直线l 1：2x ＋y －3＝0和l 2：x －y ＋2＝0的交点坐标．解：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －3＝0，x －y ＋2＝0，解得⎩⎨⎧x ＝13，y ＝73.所以交点坐标为⎝⎛⎭⎫13，73. (2)如果两直线2x ＋3y －k ＝0和x －ky ＋12＝0的交点在y 轴上，试求k 的值．解：方法一：在2x ＋3y －k ＝0中，令x ＝0，得y ＝k3，则⎝⎛⎭⎫0，k 3应满足方程x －ky ＋12＝0.即－k 23＋12＝0，k 2＝36，∴k ＝±6.方法二：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －k ＝0，x －ky ＋12＝0，解得x ＝k 2－362k ＋3.令其为0，得k ＝±6.一、两条直线的交点问题判断下列各对直线的位置关系，若相交，求出交点坐标． (1)l 1：2x ＋y ＋3＝0，l 2：x －2y －1＝0； (2)l 1：x ＋y ＋2＝0，l 2：2x ＋2y ＋3＝0； (3)l 1：2x －3y ＋5＝0，l 2：4x －6y ＋10＝0.思路分析：题中给出了两条直线的方程，要判断它们的位置关系，只需看它们组成的方程组的解的个数．解：(1)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋3＝0，x －2y －1＝0，得x ＝y ＝－1，方程组只有一组解，所以两条直线相交，交点坐标为(－1，－1)；(2)由于方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋2＝0，2x ＋2y ＋3＝0无解，所以两条直线没有公共点，即两条直线平行；(3)由于两直线的方程可以化为同一个方程，即它们表示同一条直线． 所以两条直线重合．1．两条直线y ＝kx ＋2k ＋1和x ＋2y －4＝0的交点在第四象限，则k 的取值范围是__________．解析：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4＝0，y ＝kx ＋2k ＋1，得交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k －22k ＋1，6k ＋12k ＋1，∵此点在第四象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧－4k －22k ＋1>0，6k ＋12k ＋1<0，即⎩⎨⎧－12<k <12，－12<k <－16.∴－12＜k ＜－16.答案：⎝⎛⎭⎫－12，－16 2．已知直线l 过两直线l 1：3x ＋4y －2＝0和l 2：2x ＋y ＋2＝0的交点，且与直线l 3：4x ＋3y －2＝0平行，求直线l 的方程．解：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2，所以直线l 1与l 2的交点坐标为(－2,2)．由l ∥l 3，可设l 的方程为4x ＋3y ＋b ＝0，将(－2,2)代入上式，解得b ＝2， 所以直线l 的方程为4x ＋3y ＋2＝0.二、过交点的直线系已知直线l 1：3x －y －1＝0，l 2：x ＋y －3＝0，求： (1)直线l 1与l 2的交点P 的坐标； (2)过点P 且与l 1垂直的直线方程．思路分析：由于本题l 1，l 2的方程已知，可利用解方程组的方法求出交点P ，进而再求出所求的直线方程．解：(1)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －y －1＝0，x ＋y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，所以直线l 1与l 2的交点P 的坐标为(1,2)．(2)直线l 1的斜率为3，故过点P 且与l 1垂直的直线方程为y －2＝－13(x －1)，即为x ＋3y －7＝0.求经过直线l 1：x －2y ＋2＝0与l 2：2x －y －2＝0的交点，且分别满足下列条件的直线方程：(1)经过原点的直线；(2)与直线l 1垂直的直线；(3)在两坐标轴上的截距相等的直线．解：(1)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋2＝0，2x －y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2， ∴l 1与l 2的交点是(2,2)．设经过原点的直线方程为y ＝kx ，把点(2,2)代入，得k ＝1， ∴所求的直线方程为y ＝x .(2)由(1)可知l 1与l 2的交点是(2,2)． ∵所求直线与直线l 1垂直，∴直线的方程可设为2x ＋y ＋m ＝0，把(2,2)代入直线方程可得m ＝－6，故直线的方程为2x ＋y －6＝0.(3)直线l 1与l 2的交点是(2,2)， ∵直线在两坐标轴上的截距相等，∴设直线的方程为x ＋y ＝m (m ≠0)，把(2,2)代入直线的方程可得m ＝4. 当直线过原点时，直线方程为y ＝kx ，把点(2,2)代入，得k ＝1， ∴直线的方程为x ＋y －4＝0或y ＝x .1．与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线的方程可设为Bx －Ay ＋m ＝0，其中m 待定．2．与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线的方程可设为Ax ＋By ＋m ＝0，其中m 待定，且m ≠C .方程y －y 0＝k (x －x 0)，由点斜式知，它恒过定点(x 0，y 0)，也可以化为(y －y 0)－k (x －x 0)＝0，过定点⎩⎪⎨⎪⎧y －y 0＝0，x －x 0＝0，即(x 0，y 0)．三、有关直线的对称问题求直线l 1：2x ＋y －4＝0关于直线l ：3x ＋4y －1＝0对称的直线l 2的方程． 思路分析：直线关于直线的对称问题是轴对称问题，关键是把直线关于直线的对称转化为点关于直线的对称问题解决．解：在l 1上任取一点A (2,0)，并设A 点关于直线l 的对称点为A ′(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0－0x 0－2·⎝⎛⎭⎫－34＝－1，3·x 0＋22＋4·y2－1＝0，解得⎩⎨⎧x 0＝45，y 0＝－85，即A ′⎝⎛⎭⎫45，－85.由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －4＝0，3x ＋4y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－2，即l 1与l 的交点B 的坐标为(3，－2)．∵l 2过点A ′，B ，由两点式得l 2的方程为2x ＋11y ＋16＝0.1．已知直线l 1：y ＝2x ＋3，直线l 2与l 1关于直线y ＝－x 对称，则直线l 2的斜率为__________．解析：方法一：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋3，y ＝－x ，得交点(－1,1)，在直线l 1上取一点(0,3)，它关于y ＝－x 的对称点为(x 0，y 0)，则⎩⎨⎧y 0－3x0·(－1)＝－1，y 0＋32＝－x2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－3，y 0＝0.直线l 2的斜率＝1－0－1－(－3)＝12.方法二：设P (x ，y )为l 2上任一点，则点P 关于直线y ＝－x 的对称点为P ′(－y ，－x )必在直线l 1上，∴－x ＝2(－y )＋3，即x ＝2y －3为l 2的方程，∴斜率为12.答案：122．在△ABC 中，点A (5,4)，AH ⊥BC 于H ，H (6,2)，AC 边上的中线BM 所在直线的方程为3x －2y －1＝0，求三角形三边所在的直线方程．解：在△ABC 中，由A (5,4)，H (6,2)，得k AH ＝－2，又BC ⊥AH ，∴k BC ＝12.∴BC 的方程为y －2＝12(x －6)，即x －2y －2＝0.又BM 的方程为3x －2y －1＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －2＝0，3x －2y －1＝0，得B ⎝⎛⎭⎫－12，－54， ∴AB 边所在直线方程为21x －22y －17＝0.设C 为(x 0，y 0)，则AC 的中点M ⎝⎛⎭⎫x 0＋52，y 0＋42在BM 上，∴3×x 0＋52－2×y 0＋42－1＝0.①又C (x 0，y 0)在BC 上， ∴x 0－2y 0－2＝0.②由①②，得C ⎝⎛⎭⎫－72，－114. ∴AC 边所在直线方程为27x －34y ＋1＝0.综上所述，BC 边所在的直线方程是x －2y －2＝0，AB 边所在的直线方程是21x －22y －17＝0，AC 边所在的直线方程是27x －34y ＋1＝0.直线关于直线的对称问题通常在直线上取点，转化为点关于直线的对称问题．关键是利用对称的特点：两点的中点在对称轴上，两点的连线与对称轴垂直，点P (x 0，y 0)关于直线x ＋y ＋m ＝0的对称点为(－y 0－m ，－x 0－m )，关于直线x －y ＋n ＝0的对称点为(y 0－n ，x 0＋n )．这是一种特殊的对称，在解题时应用很方便．1．直线l 1：mx ＋4y －2＝0与l 2：2x －5y ＋n ＝0垂直，且垂足为(1，p )，则m －p ＋n 的值为__________．解析：由已知得－m 4＝－52，即m ＝10.将(1，p )代入两直线方程得p ＝－2，n ＝－12.所以m －p ＋n ＝0.答案：0 2．过两直线l 1：x －3y ＋4＝0和l 2：2x ＋y ＋5＝0的交点和原点的直线方程为__________． 解析：设过l 1，l 2交点的直线方程为(x －3y ＋4)＋λ(2x ＋y ＋5)＝0.又所求直线过原点，∴4＋5λ＝0，∴λ＝－45，即所求直线方程为x －3y ＋4＋⎝⎛⎭⎫－45(2x ＋y ＋5)＝0， 整理得3x ＋19y ＝0. 答案：3x ＋19y ＝03．若直线l 1：x ＋a 2y ＋6＝0和直线l 2：(a －2)x ＋3ay ＋2a ＝0没有公共点，则a 的值是__________．解析：当a ≠0时，由条件得1a －2＝a 23a ≠62a，解得a ＝－1；当a ＝0时，l 1：x ＋6＝0，l 2：－2x ＝0，即x ＝0，满足条件．所以a 的值为0或－1. 答案：0或－14．已知直线y ＝kx ＋3k －2与直线y ＝－14x ＋1的交点在x 轴上，则k 的值为__________．解析：直线y ＝－14x ＋1交x 轴于点(4,0)，∵直线y ＝kx ＋3k －2与直线y ＝－14x ＋1的交点在x 轴上，∴直线y ＝kx ＋3k －2过点(4,0)．∴0＝4k ＋3k －2，k ＝27.答案：275．某糖果公司的一条流水线不论生产与否，每天都要支付3 000元的固定费用(管理费、房租、还贷款、维修费)．已知生产1千克的糖果成本是10元，而销售价是每千克15元，试写出该公司每天的生产成本函数及每天的销售额函数，并求出该公司收支平衡时的产量及销售额．解：设每天生产x 千克，则每天的生产成本函数为y ＝3 000＋10x (x ≥0)，每天的销售额函数为y ＝15x (x ≥0)．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝3 000＋10x ，y ＝15x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝600，y ＝9 000，所以，该公司收支平衡时的产量为600 kg ，销售额为9 000元．。
苏教版高中数学必修二导学案两条直线的交点(1)
2.1.4 两条直线的交点学习目标1. 会求两直线的交点；2. 理解两条直线的三种位置关系与相应的直线方程所组成的二元一次方程组的解的对应关系.学习过程一 学生活动 问题： 两条直线0022221111=++=++C y B x A l C y B x A l ：，：是否有交点？若有交点如何来求解？ 二 建构知识设两条直线的方程分别是0022221111=++=++C y B x A l C y B x A l ：，：：方程组⎩⎨⎧=++=++00222111C y B x A C y B x A 一组 无数组 无解 直线211,l 的公共点个数直线211,l 的位置关系三 知识运用 例题直线l 经过原点，且经过另两条直线010832=--=++y x y x ，的交点，求直线l 的方程．（1）已知直线l 经过两条直线020332=++=--y x y x ，的交点，且与直线013=-+y x 平行，求直线l 的方程．（2）已知直线l 经过两条直线024301022=-+ =+-y x y x ，的交点，且垂直于直线0423=+-y x ，求直线l 的方程．例1 例2例3 某商品的市场需求量1y （万件），市场供应量2y （万件）与市场价格x （元/件）分别近似地满足下列关系：701+-=x y ，2022-=x y ．当21y y =时的市场价格称为市场平衡价格，此时的需求量称为平衡需求量． （1）求平衡价格和平衡需求量；（2）若要使平衡需求量增加4万件，政府对每件商品应给予多少元补贴？巩固练习1．与直线032=--y x 相交的直线的方程是（ ） A ．0624=--y x B ．x y 2=C ．52+=x yD ．32+-=x y 2．若三条直线010832=--=++y x y x ，和021=+++k ky x 相交于一点， 则k 的值为_______________．3．（1）两条直线0=-y x 和02=++y x 的交点，且与直线013=-+y x 平行的直线 方程为_______________．（2）过直线042=+-y x 与直线05=++y x 的交点，且与直线02=-y x 垂直的 直线方程是_______________．4．已知直线1l 的方程为03=++C y Ax ，直线2l 的方程为0432=+-y x ，若1l ，2l 的交点在y 轴上，则C 的值为（ ）A ．4B ．4-C ．4±D ．与A 有关四 回顾小结会求两直线的交点，以及两直线方程联立方程组的解的个数与直线位置关系的联系 五 学习评价 双基训练x市场需求量1y107070 10O 平衡需求量平衡价格市场供应量2yy1.直线1:2312l x y +=与2:240l x y --=的交点坐标为2.如果两条直线230x y m +-=和120x my -+=的交点在y 轴上，则m 的值为3.若三条直线2380,10,0x y x y x ky ++=--=+=相交于一点，则实数k 的值等于4.若直线l 经过两条直线210,2390x y x y -+=++=的交点，且与直线3420x y +-=垂直，则直线l 的方程为5.直线420ax y +-=与直线250x y c -+=垂直并且相交于点（1，m ），则a = ，c = ，m =6.若直线21y kx k =++与直线122y x =-+的交点在第一象限，则实数k 的取值范围为 .7.已知P 是直线l 上的一点，将直线l 绕P 点逆时针方向旋转角(0)2παα<<所得直线的1l 的方程为3x-y-4=0.若继续绕P 点逆时针旋转2πα-，则得直线2l 的方程为210x y ++=.求直线l 的方程.拓展延伸8.若三条直线440,10,10x y mx y x y ++=++=-+=不能围成三角形，求实数m 的值.9.(1)当λ变化时，方程21(239)0x y x y λ-++++=表示什么图形？图形有何特点？（2）求经过直线210x y -+=和2390x y ++=的交点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程.。
高中数学：1.2《两条直线的交点》教案(苏教版必修2)
高中数学：1.2《两条直线的交点》教案（苏教版必修2）
总课题
两条直线的交点总课时第25 课时
分课题
两条直线的交点分课时第1 课时
教学目标
会求两直线的交点，理解两条直线的三种位置关系与相应的直线方程所组成
的二元一次方程组的解的对应关系.
重点难点
已知两直线相交求交点，用方程组的解研究两直线的位置关系.
?引入新课
1．若直线经过点，且与经过点且斜率为的直线
垂直，则实数的值是__________________．
2．顺次连结四点所组成的图形的形状是____________．
3．设两条直线的方程分别是：方程组一组无数组无解
直线的公共点个数
直线的位置关系
4．练习：
判断下列两条直线是否相交，若相交，求出他们的交点：
（1）；
（2）；
（3）．。
苏教版高中数学必修2- 2.1.4两条直线的交点教案
2.1.4 两条直线的交点1．掌握两直线交点的求法；2．理解二元一次方程组的解与两条直线的位置之间的关系．教材分析及教材内容的定位：本节内容研究相交情形下两直线交点的求解，以及用方程组的解，判定两条直线的位置关系，充分体现数形结合思想，内容比较基础，但所体现的思想比较重要．教学重点：判定两条直线是否相交，求交点坐标．教学难点：两条直线的位置与二元一次方程组的解的关系．教学过程：一、问题情境1．复习回顾：如何判定两条直线的平行或垂直？2．情境问题：直线x＋y－2＝0与直线x－y＝0的位置关系是什么？——垂直——垂足的坐标能否求出？如何求？二、学生活动1．思考并回答：（1）已知一条直线的方程如何判断一个点是否在直线上？（2）已知l1：2x＋3y－7＝0，l2：5x－y－9＝0，在同一坐标系中画出两直线，并判断下列各点分别在哪条直线上？A(1，－ 4)，B(2，1)，C(5，－1)（3）由题(2)可以看出点B与直线l1，l2有什么关系？（4）请试着总结求两条直线交点的一般方法.2．总结归纳：求两条直线的交点就是求解联立的方程组；3．讨论总结：两条直线的位置与二元一次方程组的解的关系（若有一组，则两条直线相交；若无解，则两条直线平行；若有无数多组，则两条直线重合）．也可以直接通过两条直线的斜率来判断位置关系：若斜率不等，则两条直线相交，若斜率相等，且直线不重合，则两条直线平行讨论如何判断两条直线的关系；三、建构数学1．两条直线的交点坐标即为两条直线的方程所联立的方程组的解；2．指导讨论总结两条直线的位置与二元一次方程组的解的关系；3．归纳总结解题过程中的运用的思想方法（数形结合）．四、数学运用1．例题．例1 分别在同一坐标系中画出每一方程组中的两条直线，判断它们的位置关系．如相交，求出它们的交点：（1）l1：2x－y＝7，l2：3x＋2y－7＝0；（2）l1：2x－6y＋4＝0，l2：4x－12y＋8＝0；（3）l1：4x＋2y＋4＝0，l2：y＝－2x＋3例2 已知三条直线l1：3x－y＋2＝0，l2：2x＋y＋3＝0，l3：mx＋y＝0不能构成三角形，求实数m的取值范围．例3．直线l经过原点，且经过另两条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0的交点，求直线l的方程．例4．某商品的市场需求量y1(万件)、市场供应量y2(万件)与市场价格x(元/件)分别近似地满足下列关系：y1＝－x＋70，y2＝2x－20．当y1＝y2时的市场价格称为市场平衡价格，此时的需求量称为平衡需求量．（1）求平衡价格和平衡需求量．（2）若要使平衡需求量增加4万件，政府对每件商品应给予多少元补贴？2．练习．（1）经过两直线3x＋y－5＝0与2x－3y＋4＝0的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为_____________（2）已知两条直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，求m为何值时，两条直线:(1)相交；(2)平行；(3)重合．（3）求证：不论m取什么实数，直线(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0都经过一个定点，并求出这个定点的坐标．（4）在例4中，若每件商品需纳税3元，求新的平衡价格．五、要点归纳与方法小结本节课学习了以下内容：1．两直线交点的求法；2．二元一次方程组的解与两条直线的位置之间的关系；3．交点系方程的应用；4．数形结合思想的应用．。
高中数学第二章平面解析几何初步2-1-4两条直线的交点学案苏教版必修2
高中数学第二章平面解析几何初步2-1-4两条直线的交点学案苏教版必修21．了解方程组的解的个数与两直线平行、相交或重合的对应关系．(重点、难点)2．会用解方程组的方法求两条相交直线交点的坐标．(重点)3．会利用直线系方程解决相关问题．(难点)[基础·初探]教材整理1 两直线交点个数阅读教材P93，完成下列问题．二元一次方程组解的个数与两直线交点个数的关系1________.【导学号：41292086】【解析】联立方程组解得所以交点坐标为(9，－4)．【答案】(9，－4)2．已知直线3x＋5y＋m＝0与直线x－y＋1＝0交点在x轴上，则m＝________.【解析】直线x－y＋1＝0与x轴的交点为(－1,0)，则(－1,0)在直线3x＋5y＋m＝0上，∴3×(－1)＋5×0＋m＝0，∴m＝3.【答案】3教材整理2 直线系方程阅读教材P94～P95，完成下列问题．1．平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线：Ax＋By＋m＝0(m≠C)．2．垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线：Bx－Ay＋m＝0(m为参数)．3．过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0.(注意：该直线不包括直线l2)1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任意一条直线都可以用一个二元一次方程来表示．(√)(2)直线上点的坐标都是直线所对应的二元一次方程的解，反之，以二元一次方程的解为坐标的点都在直线上．(√)(3)直线系方程A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0表示经过直线A1x＋B1y＋C1＝0和直线A2x＋B2y＋C2＝0交点的所有直线．(×)(4)直线A1x＋B1y＋C1＝0与直线A2x＋B2y＋C2＝0有交点的等价条件是A1B2－A2B1≠0.(√)2．过点(1,1)与直线2x＋y＝4平行的直线方程为________．【解析】设所求直线方程为2x＋y＝m，将点(1,1)代入方程得m＝3，∴所求直线方程为2x＋y－3＝0.【答案】2x＋y－3＝0[小组合作型]。
苏教版高中数学必修二2.1.4 两条直线的交点.docx
2.1.4 两条直线的交点【课时目标】 1．掌握求两条直线交点的方法．2．掌握通过求方程组解的个数，判定两直线位置关系的方法．3．通过本节的学习初步体会用代数方法研究几何问题的解析思想．1．两条直线的交点已知两直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0；l 1：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0．若两直线方程组成的方程组⎩⎪⎨⎪⎧ A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0有唯一解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0y ＝y 0，则两直线________，交点坐标为____________．2．方程组的解的组数与两直线的位置关系方程组的解 交点 两直线位置关系无解 两直线____交点 平行有唯一解两条直线 有____个交点相交有无数个解 两条直线有______个交点重合一、填空题1．直线l 1：(2－1)x ＋y ＝2与直线l 2：x ＋(2＋1)y ＝3的位置关系是__________． 2．经过直线2x －y ＋4＝0与x －y ＋5＝0的交点，且垂直于直线x －2y ＝0的直线的方程是____________．3．直线ax ＋2y ＋8＝0,4x ＋3y ＝10和2x －y ＝10相交于一点，则a 的值为________． 4．两条直线l 1：2x ＋3y －m ＝0与l 2：x －my ＋12＝0的交点在y 轴上，那么m 的值为__________．5．已知直线l 1：x ＋m 2y ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3my ＋2m ＝0，l 1∥l 2，则m 的值是__________． 6．两直线ax ＋y －4＝0与x －y －2＝0相交于第一象限，则a 的取值范围是____________． 7．若集合{(x ，y )|x ＋y －2＝0且x －2y ＋4＝x ，y )|y ＝3x ＋b }，则b ＝________． 8．已知直线l 过直线l 1：3x －5y －10＝0和l 2：x ＋y ＋1＝0的交点，且平行于l 3：x ＋2y －5＝0，则直线l 的方程是______________．9．当a取不同实数时，直线(2＋a)x＋(a－1)y＋3a＝0恒过一个定点，这个定点的坐标为________．二、解答题10．求经过两直线2x＋y－8＝0与x－2y＋1＝0的交点，且在y轴上的截距为x轴上截距的两倍的直线l的方程．11．已知△ABC的三边BC，CA，AB的中点分别是D(－2，－3)，E(3,1)，F(－1,2)．先画出这个三角形，再求出三个顶点的坐标．能力提升12．在△ABC中，BC边上的高所在直线的方程为x－2y＋1＝0，∠A的角平分线所在直线的方程为y＝0，若点B的坐标为(1,2)，求点A和点C的坐标．13．已知三条直线l1：4x＋y＝4，l2：mx＋y＝0，l3：2x－3my＝4，不能构成三角形，求实数m的值．1．过定点(x 0，y 0)的直线系方程y －y 0＝k (x －x 0)是过定点(x 0，y 0)的直线系方程，但不含直线x ＝x 0；A (x －x 0)＋B (y －y 0)＝0是过定点(x 0，y 0)的一切直线方程．2．与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程为Ax ＋By ＋D ＝0(D ≠C )．与y ＝kx ＋b 平行的直线系方程为y ＝kx ＋m (m ≠b )．3．过两条直线交点的直线系方程：过两条直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线系方程是A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R )，但此方程中不含l 2；一般形式是m (A 1x ＋B 1y ＋C 1)＋n (A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(m 2＋n 2≠0)，是过l 1与l 2交点的所有直线方程．2．1．4 两条直线的交点 答案知识梳理1．相交 (x 0，y 0) 2．方程组的解交点 两直线位置关系无解两直线无交点 平行有唯一解 两条直线 有1个交点 相交 有无数个解两条直线有 无数个交点重合作业设计 1．平行解析 化成斜截式方程，斜率相等，截距不等． 2．2x ＋y －8＝0解析 首先解得交点坐标为(1,6)，再根据垂直关系得斜率为－2，可得方程y －6＝－2(x －1)，即2x ＋y －8＝0．3．－1解析 首先联立⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y ＝102x －y ＝10，解得交点坐标为(4，－2)，代入方程ax ＋2y ＋8＝0得a ＝－1． 4．±6解析 2x ＋3y －m ＝0在y 轴上的截距为m 3，直线x －my ＋12＝0在y 轴上的截距为12m，由12m ＝m3得m ＝±6． 5．0或－1解析 l 1∥l 2，则1·3m ＝(m －2)·m 2， 解得m ＝0或m ＝－1或m ＝3． 又当m ＝3时，l 1与l 2重合， 故m ＝0或m ＝－1． 6．－1<a <2 解析已知ax ＋y －4＝0恒过定点 A (0,4)．直线x －y －2＝0与x 轴交点为B (2,0)，与y 轴交点为C (0，－2)．k AB ＝4－00－2＝－2，直线ax ＋y －4＝0的斜率k ＝－a ，如图知－2<k <1，即－2<－a <1，∴－1<a <2． 7．2解析 首先解得方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0x －2y ＋4＝0的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝2， 代入直线y ＝3x ＋b 得b ＝2． 8．8x ＋16y ＋21＝0 9．(－1，－2)解析 直线方程可写成a (x ＋y ＋3)＋2x －y ＝0，则该直线系必过直线x ＋y ＋3＝0与直线2x －y ＝0的交点，即(－1，－2)．10．解 (1)2x ＋y －8＝0在x 轴、y 轴上的截距分别是4和8，符合题意． (2)当l 的方程不是2x ＋y －8＝0时， 设l ：(x －2y ＋1)＋λ(2x ＋y －8)＝0， 即(1＋2λ)x ＋(λ－2)y ＋(1－8λ)＝0． 据题意，1＋2λ≠0，λ－2≠0．令x ＝0，得y ＝－1－8λλ－2；令y ＝0，得x ＝－1－8λ1＋2λ．∴－1－8λλ－2＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－8λ1＋2λ解之得λ＝18，此时y ＝23x ．∴所求直线方程为2x ＋y －8＝0或y ＝23x ．11．解如图，过D ，E ，F 分别作EF ，FD ，DE 的平行线，作出这些平行线的交点，就是△ABC 的三个顶点A ，B ，C ．由已知得，直线DE 的斜率k DE ＝1＋33＋2＝45，所以k AB ＝45．因为直线AB 过点F ，所以直线AB 的方程为y －2＝45(x ＋1)，即4x －5y ＋14＝0． ① 由于直线AC 经过点E (3,1)，且平行于DF ， 同理可得直线AC 的方程5x －y －14＝0． ② 联立①，②，解得点A 的坐标是(4,6)．同样，可以求得点B ，C 的坐标分别是(－6，－2)，(2，－4)． 因此，△ABC 的三个顶点是A (4,6)，B (－6，－2)，C (2，－4)． 12．解如图所示，由已知，A 应是BC 边上的高线所在直线与∠A 的角平分线所在直线的交点． 由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋1＝0y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0x ＝－1， 故A (－1,0)．又∠A 的角平分线为x 轴，故k AC ＝－k AB ＝－1，(也可得B 关于y ＝0的对称点(1，－2)． ∴AC 方程为y ＝－(x ＋1)，又k BC ＝－2， ∴BC 的方程为y －2＝－2(x －1)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－(x ＋1)y －2＝－2(x －1)， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5y ＝－6， 故C 点坐标为(5，－6)．13．解 (1)当l 1、l 2、l 3相交于同一点时， 由⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋y ＝4mx ＋y ＝0解得l 1、l 2的交点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫44－m ，－4m 4－m ， 又点A 在l 3上，∴2·44－m －3m ·－4m 4－m＝4，解得m ＝23或m ＝－1．(2)若l 1∥l 2，则m 4＝11，得m ＝4．若l 1∥l 3，则24＝－3m 1，得m ＝－16．若l 2∥l 3，则m 2＝1－3m ，得m 2＝－23，无解．综上可知，使l 1、l 2、l 3不能构成三角形的m 的值为－1、－16、23、4．。
江苏省镇江市丹徒高级中学高中数学必修二苏教版学案：2.1.4两条直线的交点
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4两条直线的交点【教学目标】理解两直线的三种位置关系与相应的直线方程所组成的二元一次方程组解对应关系．【教学重点】已知两直线相交求交点，用方程组的解研究两直线的位置关系．【教学难点】通过一般式的直线方程解的讨论，加深对解析法的理解，培养转化能力．【教学过程】一、引入：1．两条直线平行与斜率的关系：(1）对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1、k2,有l1∥l2⇔____________．（2）如果直线l1、l2的斜率都不存在，并且l1与l2不重合,那么它们都与______垂直，故l1_____l2．2．两条直线垂直与斜率的关系：(1）如果直线l1、l2的斜率都存在,并且分别为k1、k2,那么l1⊥l2⇔__________．(2）如果两条直线l1、l2中的一条斜率不存在，另一个斜率是零，那么l1与l2位置关系是_______．3．设两条直线的方程分别是0022221111=++=++C y B x A l Cy B x A l ：，：：二、新授内容：例1．判断下列两条直线是否相交,若相交,求出他们的交点：（1）07237221=-+ =- y x l y x l ：，：； （2）08124046221=+- =+- y x l y x l ：，：；（3)32042421+-==++ x y l y x l ：，：．【变式拓展】若三条直线010832=--=++y x y x ，和021=+++k ky x 相交于一点，求k 的值例2．直线l 经过原点，且经过另两条直线010832=--=++y x y x ，的交点,求直线l 的方程．【变式拓展】1.已知直线l 经过两条直线020332=++=--y x y x ，的交点,且与直线013=-+y x 平行,求直线l 的方程．2。
已知三条直线1l ：440x y +-=，2l ：0xm y +=,3l ：2340x my --=，求分别满足下列条件的m 的值：(1)使这三条直线交于同一点; （2）使这三条直线不能构成三角形．例3．某商品的市场需求量1y (万件），市场供应量2y （万件）与市场价格x （元/件）分别近似地满足下列关系:701+-=x y ,2022-=x y ．当21y y=时的市场价格称为市场平衡价格，此时的需求量称为平衡需求量．(1）求平衡价格和平衡需求量；（2）若要使平衡需求量增加4少元补贴？三、课堂反馈：1．与直线032=--y x 相交的直线的方程是 ． ①0624=--y x ； ②xy 2=； ③52+=x y ；④32+-=x y ．2。
高中数学 2.1.4两条直线的交心学案 苏教版必修2
2．1.4 两条直线的交点如下图，在平面方格纸上有4个村庄A 、B 、C 、D .现在要在相对的村庄所在直线的交线上建造一水厂M 向四个村庄供水，则水厂应当建在什么地方？1．已知直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，点A (a ，b )，若点A 在直线l 上，则a 、b 的关系为Aa ＋Bb ＋C ＝0．2．在同一个平面内，两条直线有三种位置关系：相交、平行、重合．相应的由直线方程组成的二元一次方程组的解也有三种情况：有唯一解、无解、有无穷多解．设两条直线的方程l 1：Ax 1＋By 1＋C ＝0，l 2：Ax 2＋By 2＋C ＝0，则这两条直线的方程所组成的方程组为⎩⎪⎨⎪⎧Ax 1＋By 1＋C ＝0，Ax 2＋By 2＋C ＝0， ① 若方程组①无解，则两直线l 1，l 2平行，反之也成立；若方程组①有无穷多解，则直线l 1，l 2重合，反之也成立；若方程组①有唯一解，则两直线相交，该解组成的有序实数对就是两条直线的交点坐标．3．用代数法求两条直线的交点坐标的基本思路就是：首先写出由两条直线的方程所组成的方程组，然后解方程组求出方程组的解，最后写出两条直线的交点坐标．一、两直线的交点已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0；l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，两条直线有交点(即l 1与l 2相交)⇔A 1B 2－A 2B 1≠0或A 1A 2≠B 1B 2(A 2B 2≠0)，由方程所组成的方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解组成的有序实数对就是两条直线的交点坐标．该判断方法充分体现了直线交点的个数与相应二元一次方程组解的个数之间的一一对应关系，求两直线交点的一般步骤是：①写出由两条直线的方程所组成的联立方程组；②解方程组求出方程组的解；③写出两条直线的交点坐标．两条直线的交点即“形”的关系，可化归为方程组的解，即以“数”解“形”，这就是我们常说的数形结合思想．基础巩固 知识点一 直线的交点1．直线3x ＋5y －1＝0与直线4x ＋3y －5＝0的交点是________． 解析：联立两直线方程解得交点坐标为(2，－1)． 答案：(2，－1)2．若三条直线2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0，x ＋ky ＝0相交于一点，则k 的值为________． 解析：易求直线2x ＋3y ＋8＝0与x －y －1＝0的交点为(－1，－2)，代入x ＋ky ＝0得k ＝－12.答案：－123．已知直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，求直线l 倾斜角的取值范围．解析：由⎩⎨⎧y ＝kx －3，2x ＋3y －6＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6＋333k ＋2，y ＝6k －233k ＋2.于是有⎩⎨⎧3k ＋2＞0，6k －23>0.∴k >33. 故直线l 的倾斜角的取值范围是(30°，90°)．知识点二 直线公共点的判定与求解4．当a 取不同实数时，直线(a －1)x －y ＋2a ＋1＝0恒过一个定点，这个定点是________． 解析：将直线方程化为a (x ＋2)＋(－x －y ＋1)＝0，当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝0，－x －y ＋1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3时等式成立，即直线过定点(－2，3)． 答案：(－2，3)5．若直线x ＋my ＋1＝0和直线(m －2)x ＋3y ＋m ＝0相交，则m 的取值范围是________． 解析：两条直线相交，即两直线不重合也不平行， ∴m (m －2)－1×3≠0.∴m 2－2m －3≠0. ∴m ≠－1且m ≠3.答案：(－∞，－1)∪(－1，3)∪(3，＋∞)6．已知直线x ＋a 2y ＋6＝0和直线(a －2)x ＋3ay ＋2a ＝0没有公共点，求a 的值． 解析：由3a －a 2(a －2)＝0得：a (a ＋1)(a －3)＝0.∴a ＝0或a ＝－1或a ＝3.其中当a ＝3时，两直线重合；当a ＝0或－1时，两直线平行，没有公共点．故a ＝0或－1.知识点三 利用交点求字母参数的范围7．已知直线y ＝kx ＋2k ＋1与直线y ＝－12x ＋2的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是________．解析：两直线联立，求出交点坐标为(－4k ＋22k ＋1，6k ＋12k ＋1)，又交点在第一象限，得－4k ＋22k ＋1＞0且6k ＋12k ＋1＞0，解得－16＜k ＜12.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－16，128．当实数m 为何值时，三条直线l 1：3x ＋my －1＝0，l 2：3x －2y －5＝0，l 3：6x ＋y －5＝0不能围成三角形．解析：当三条直线交于一点或其中有两条直线互相平行时，它们不能围成三角形．由⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y －5＝0，6x ＋y －5＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1，将x ＝1，y ＝－1代入l 1的方程中，得m ＝2.即m ＝2时，三条直线共点．由－6－3m ＝0，即m ＝－2时，l 1∥l 2； 由3－6m ＝0，即m ＝12时，l 1∥l 3.∴当m ＝±2或m ＝12时，l 1、l 2、l 3不能围成三角形．能力升级综合点一 求过直线交点的直线方程9．求过直线2x －y ＋4＝0与x －y ＋5＝0的交点，且过点(4，0)的直线方程为________． 解析：设所求直线方程为2x －y ＋4＋λ(x －y ＋5)＝0(λ∈R)，则2×4－0＋4＋λ(4－0＋5)＝0，即λ＝－43.∴所求直线方程为2x －y ＋4－43(x －y ＋5)＝0，即2x ＋y －8＝0. 答案：2x ＋y －8＝010．求经过两直线7x ＋7y －24＝0和x －y ＝0的交点，并且与直线7x －14y －3＝0平行的直线方程．解析：方法一 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋7y －24＝0，x －y ＝0，解得两直线的交点为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫127，127.设与直线7x －14y －3＝0平行的直线方程为7x －14y ＋C ＝0，将点A ⎝⎛⎭⎪⎫127，127的坐标代入，求得C ＝12，故所求的直线方程为7x －14y ＋12＝0.方法二 设过已知两直线交点的直线系方程为7x ＋7y －24＋λ(x －y )＝0，即(7＋λ)x ＋(7－λ)y －24＝0. 又所求直线与直线7x －14y －3＝0平行， ∴7＋λ7＝7－λ－14≠－24－3，解得λ＝－21. 故所求的直线方程为7x －14y ＋12＝0.综合点二 对称的应用11．直线x －2y ＋1＝0关于直线y ＝x 对称的直线方程是________．解析：设M (x ，y )为所求直线上的任意一点，则M (x ，y )关于直线y ＝x 的对称点M ′(y ，x )在已知直线x －2y ＋1＝0上，故y －2x ＋1＝0.即：2x －y －1＝0.答案：2x －y －1＝012．在直线l ：3x －y －1＝0上求一点P ，使得： (1)P 到A (4，1)和B (0，4)的距离之差最大； (2)P 到A (4，1)和C (3，4)的距离之和最小．解析：(1)如下图所示，设点B 关于l 的对称点B ′的坐标为(a ，b )，则kBB ′·kl ＝－1，即3·b －4a＝－1.∴a ＋3b －12＝0.①又由于BB ′的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，b ＋42，且在直线l 上，∴3×a 2－b ＋42－1＝0，即3a －b －6＝0.② 解①②得a ＝3，b ＝3. ∴B ′(3，3)．于是直线AB ′的方程为：y －13－1＝x －43－4，即2x ＋y －9＝0.∵|PA －PB |＝|PA －PB ′|≤AB ′，∴当且仅当A ，B ′，P 三点共线时|PA －PB |最大．由l 与AB ′的方程组解得l 与AB ′的交点坐标为(2，5)，所以点P 坐标为(2，5)．(2)如右图所示，设C 关于l 的对称点为C ′，求出C ′的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，245. ∴AC ′所在直线的方程为： 19x ＋17y －93＝0，∵PA ＋PC ＝PA ＋PC ′≥AC ′，∴当且仅当P ，A ，C ′三点共线时，PA ＋PC 最小．∵AC ′和l 交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫117，267， 故点P 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫117，267.。
高中数学两条直线的交点教师用苏教版必修2
课题：两条直线的交点一．教课目的：（一）知识与技术：1．知道两条直线的订交、平行和重合三种地点关系，对应于相应的二元一次方程组有独一解、无解和无量多组解 2．当两条直线订交时，会求交点坐标3．学生经过一般形式的直线方程解的议论，加深对分析法的理解，培育转变能力（二）过程与方法：1.经过研究直线的地点关系与它们对应方程组的解 ,培育学生的数形联合能力 .2.经过对方程组解的议论培育学生的分类思想 .（三）感情态度与价值观： . 经过学习两直线的地点关系与它们所对应的方程组的解的对应关系 ,培育学生的转变思想 . 二．教课要点难点：要点：依据直线的方程判断两直线的地点关系和已知两直线订交求交点难点：对方程组系数的分类议论与两直线地点关系对应状况的理解 三．教课过程： （一）问题情形 :问题：随意一条直线都能够用一个二元一次方程来表示， 那么两条直线能否有交点与它们的方程所构成的方程组能否有解有何联系？（二）建构数学 : 1．两条直线的交点设两条直线的方程分别是l 1 : A 1 x B 1 y C 10 , l 2 : A 2 x B 2 y C 20 ．方程组 A 1x B 1 y C 1的解一组无数组无解A 2xB 2 yC 2 0两条直线 l 1 , l 2 的公共点一个 无数个 零个 直线 l 1 , l 2 的地点关系订交重合平行研究两条直线 l 1, l 2 的地点关系 (订交、重合、平行 )能够转变为两条直线方程Ax B y C所得的方程组111的解的个数问题．A 2 xB 2yC 2 0（三）数学运用 :例 1．分别判断以下直线能否订交，若订交，求出它们的交点：(1) l 1 : 2x y 7 ， l 2 : 3x 2 y 7 0 ；(2) l 1 : 2x 6 y 4 0 ， l 2 : 4x 12 y 8 0 ； (3) l 1 : 4x 2 y4 0 ， l 2 : y2x 3 ．解： (1)2x y 7 0x 33x 2 y7 0的解为，直线 l 1 与 l 2 订交，交点坐标为y13，1 ．2 x 6 y 4 0有无数组解，这表示直线 l 1 和 l 2 重合．(2)12y 8 04 x4x 2y 4 0l 1 和 l 2 没有公共点，故 l 1 l 2 ．(3)y 3 0 无解，这表示直线2x例 2．直线 l 经过原点， 且经过此外两条直线2x 3y 8 0 ， x y 1 0的交点，求直线 l 的方程．2x 3y 8 0 1,2，剖析：法一：由两直线方程构成方程组 x y 1 0 ，求出交点再过原点 0,0 ，由两点求直线方程．法二：设经过两条直线 2x 3 y8 0 ， xy 1 0 交点的直线方程为 2x 3y 8x y 1 0，又过原点，由 0,0 代入可求 的值．( 直线系 )结论：已知直线 l 1 : A 1x B 1 y C 1 0 ， l 2 : A 2 x B 2 y C 2 0 相交 ， 那 么 过 两 直 线 的 交 点 的 直 线 ( 不 含 l 2)方程可设为A 1xB 1 yC 1 A 2 x B 2 y C 2R ．例 3． (教科书 P 86 例 3)某商品的市场需求 y 1 (万件 )、市场供求量y 2 (万件 )、市场价钱 x (元/ 件 )分别近似地知足以下关系： yx 70, y 2x 20 ．当y 1 y 2 时的市场价钱称为市场均衡价钱，此时的需求量称为均衡需求量．(1) 求市场均衡价钱和均衡需求量；(2) 若要使均衡需求量增添 4 万件，政府对每件商品应赐予多少元补助？y x 70x 30 ， 故均衡价钱为 30 元 /件，均衡解： (1)解方程组2x20得40y y需求量为 40 元 /件．(2) 设政府赐予 t 元 /件补助，此时的市场均衡价钱 (即花费者支付价钱 ) x 元 /件 ， 则 供 货 者 实 际 每 件 得 到 (xt ) 元 ． 依 题 意 得 方 程 组x 70 44 ，解得 x 26,t6 ．2(x t ) 20 44所以，政府对每件商品应赐予 6 元补助．例 4．已知直线 l 1 : 3xmy 1 0 ，l 2 : 3x2 y 5 0 ，l3 : 6x y 50 ，(1) 若这三条直线交于一点，求 m 的值； (2) 若三条直线能构成三角形，求 m 的值．3x 2 y 5 0x 1 2 ；解： (1)y，代入 l 1 得， m6x y 5 01(2) 剖析：当三直线交于一点或此中两条相互平行时，它们不可以构成三角形．○1 由(1) 得，当 m2 时，三线共点，不可以构成三角形，2 当 l1l 时， m2 ，当 l1l 时， m1 ，此时它们不可以构成三角形，○2321综上所述：当 m2 时，三条直线能构成三角形．且 m2（四）稳固练习 :1.求证：不论m为什么实数，l：( m 1) x (2m 1) y m 5恒过必定点，求出此定点坐标．2. 求经过两条直线2x3y 3 0 和 x y 20 的交点，且与直线3x y 10 垂直的直线的方程．3.已知直线x+y-3m=0 和 2x-y+2m-1=0 的交点在第四象限,求 m 的取值范围 .（五）讲堂小结:经过对两直线方程联立方程组来研究两直线的地点关系，得出了方程组的解的个数与直线地点关系的联系．培育同学们的数形联合、分类议论和转变的数学思想方法．（六）课外作业：课课练四．板书设计：五．教后感：。
精致获奖教案 2.1.4两条直线的交点课件 苏教版必修2
青 春 风 采
高考总分：
692分(含20分加分) 语文131分 数学145分 英语141分 文综255分
毕业学校：北京二中 报考高校： 北京大学光华管理学 院 北京市文科状元 阳光女孩--何旋
来自北京二中，高考成绩672分，还有20 分加分。“何旋给人最深的印象就是她 的笑声，远远的就能听见她的笑声。” 班主任吴京梅说，何旋是个阳光女孩。 “她是学校的摄影记者，非常外向，如 果加上20分的加分，她的成绩应该是 692。”吴老师说，何旋考出好成绩的秘 诀是心态好。“她很自信，也很有爱心。 考试结束后，她还问我怎么给边远地区 的学校捐书”。
数学应用
(1)经过两直线3x＋y－5＝0与2x－3y＋4＝0的交点，且在两坐标轴上的截 距相等的直线方程为_____________
(2)已知两条直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，求m为何值 时，两条直线:(1)相交；(2)平行；(3)重合．
数学应用
某商品的市场需求量y1(万件)、市场供应量y2(万件)与市场价格x(元/件)分 别近似地满足下列关系: y1＝－x＋70, y2＝2x－20. 当y1＝y2时的市场价格称为市场平衡价格，此时的需求量称为平衡需求量. (1)求平衡价格和平衡需求量. (2)若要使平衡需求量增加4万件，政府对每件商品应给予多少元补贴? (3)若每件商品需纳税3元，求新的平衡价格. y 平衡需求量 O 平衡价格 y1 P x y2
(3)由题(2)可以看出点B与直线l1，l2有什么关系？ (4)请试着总结求两条直线交点的一般方法.
数学建构
两条直线的交点 A1x＋B1y＋C1＝0
y
． P(x0，y0) O x
P(x0，y0)
A2x＋B2y＋C2＝0 方程组的解就是两条直线的交点的坐标.
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2.1.4 两条直线的交点
1．掌握两直线交点的求法；
2．理解二元一次方程组的解与两条直线的位置之间的关系．
教材分析及教材内容的定位：
本节内容研究相交情形下两直线交点的求解，以及用方程组的解，判定两条直线的位置关系，充分体现数形结合思想，内容比较基础，但所体现的思想比较重要．
教学重点：
判定两条直线是否相交，求交点坐标．
教学难点：
两条直线的位置与二元一次方程组的解的关系．
教学过程：
一、问题情境
1．复习回顾：如何判定两条直线的平行或垂直？
2．情境问题：直线x＋y－2＝0与直线x－y＝0的位置关系是什么？——垂直——垂足的坐标能否求出？如何求？
二、学生活动
1．思考并回答：
（1）已知一条直线的方程如何判断一个点是否在直线上？
（2）已知l1：2x＋3y－7＝0，l2：5x－y－9＝0，在同一坐标系中画出两直线，并判断下列各点分别在哪条直线上？
A(1，－ 4)，B(2，1)，C(5，－1)
（3）由题(2)可以看出点B与直线l1，l2有什么关系？
（4）请试着总结求两条直线交点的一般方法.
2．总结归纳：求两条直线的交点就是求解联立的方程组；
3．讨论总结：两条直线的位置与二元一次方程组的解的关系（若有一组，则两条直线相交；若无解，则两条直线平行；若有无数多组，则两条直线重合）．也可以直接通过两条直线的斜率来判断位置关系：若斜率不等，则两条直线相交，若斜率相等，且直线不重合，则两条直线平行讨论如何判断两条直线的关系；
三、建构数学
1．两条直线的交点坐标即为两条直线的方程所联立的方程组的解；
2．指导讨论总结两条直线的位置与二元一次方程组的解的关系；
3．归纳总结解题过程中的运用的思想方法（数形结合）．
四、数学运用
1．例题．
例1 分别在同一坐标系中画出每一方程组中的两条直线，判断它们的位置关系．如相交，求出它们的交点：
（1）l1：2x－y＝7，l2：3x＋2y－7＝0；
（2）l1：2x－6y＋4＝0，l2：4x－12y＋8＝0；
（3）l1：4x＋2y＋4＝0，l2：y＝－2x＋3
例2 已知三条直线l1：3x－y＋2＝0，l2：2x＋y＋3＝0，l3：mx＋y＝0不能构成三角形，求实数m的取值范围．
例3．直线l经过原点，且经过另两条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0的交点，求直线l的方程．
例4．某商品的市场需求量y1(万件)、市场供应量y2(万件)与市场价格x(元/件)分别近似地满足下列关系：y1＝－x＋70，y2＝2x－20．
当y1＝y2时的市场价格称为市场平衡价格，此时的需求量称为平衡需求量．
（1）求平衡价格和平衡需求量．
（2）若要使平衡需求量增加4万件，政府对每件商品应给予多少元补贴？
2．练习．
（1）经过两直线3x＋y－5＝0与2x－3y＋4＝0的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为_____________
（2）已知两条直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，求m为何值时，两条直线:(1)相交；(2)平行；(3)重合．
（3）求证：不论m取什么实数，直线(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0都经过一个定点，并求出这个定点的坐标．
（4）在例4中，若每件商品需纳税3元，求新的平衡价格．
五、要点归纳与方法小结
本节课学习了以下内容：
1．两直线交点的求法；
2．二元一次方程组的解与两条直线的位置之间的关系；
3．交点系方程的应用；
4．数形结合思想的应用．。