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2018课标版理数一轮(3)第三章-导数及其应用(含答案)4 第四节 导数的综合应用
(1)当a为何值时,x轴为曲线y=f(x)的切线? (2)用min{m,n}表示m,n中的最小值,设函数h(x)=min{f(x),g(x)}(x>0),讨论 h(x)零点的个数.
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解析 (1)设曲线y=f(x)与x轴相切于点(x0,0),则f(x0)=0, f '(x0)=0,即
1 3 x0 ax0 0, 4 2 3 x0 a 0. 1 3 解得x0= ,a=- . 2 4 3 因此,当a=- 时,x轴为曲线y=f(x)的切线. 4
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a 3 1 5 5 3 ③若f <0,即-3<a<- ,由于f(0)= , f(1)=a+ ,所以当- <a<- 时, 3 4 4 4 4 4 5 f(x)在(0,1)内有两个零点;当-3<a≤- 时, f(x)在(0,1)内有一个零点. 4 3 5 3 5 综上,当a>- 或a<- 时,h(x)有一个零点;当a=- 或a=- 时,h(x)有两个零 4 4 4 4 5 3 点;当- <a<- 时,h(x)有三个零点. 4 4
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方程f '(x)=0的判别式Δ=(2b)2-12ac, (1)当Δ≤0,即b2≤3ac时, f '(x)≥0恒成立, f(x)在R上为增函数,又易知存 在x'、x″∈R,使f(x')f(x″)<0,故方程f(x)=0有① 一 个实根. (2)当Δ>0,即b2>3ac时,方程f '(x)=0有两个实根,设为x1,x2(x1<x2),函数在x1 处取得极大值M,在x2处取得极小值m(M>m). a.当m>0时,方程f(x)=0有② 一 个实根; b.当m=0时,方程f(x)=0有③ 两 个实根; c.当m<0,M>0时,方程f(x)=0有④ 三 个实根;
全国通用2018版高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.2.3导数与函数的综合应用课件文北师大版
当 x 变化时，f(x)与 f′(x)的变化情况如下：
x
(－∞，－2) －2 －2，－23 －23 －23，＋∞
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
c
c－3227
所以，当 c>0 且 c－3227<0，存在 x1∈(－4，－2)，x2∈－2，－23， x3∈－23，0，使得 f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝0.由 f(x)的单调性知，当且仅 当 c∈0，3227时， 函数 f(x)＝x3＋4x2＋4x＋c 有三个不同零点．
解 (1)因为 x＝5 时，y＝11，所以a2＋10＝11，a＝2. (2)由(1)可知，该商品每日的销售量为 y＝x－2 3＋10(x－6)2， 所以商场每日销售该商品所获得的利润为 f(x)＝(x－3)x－2 3＋10x－62 ＝2＋10(x－3)(x－6)2,3<x<6. 从而，f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)] ＝30(x－4)·(x－6)，
(2)因 V(r)＝5π(300r－4r3)(0<r<5 3)， 故 V′(r)＝π5(300－12r2)， 故 V′(r)＝0，解得 r＝5 或－5(因 r＝－5 不在定义域内，舍去)． 当 r∈(0,5)时，V′(r)>0，故 V(r)在(0,5)上为增函数； 当 r∈(5,5 3)时，V′(r)<0，故 V(r)在(5,5 3)上为减函数． 由此可知，V(r)在 r＝5 处取得最大值，此时 h＝8. 所以当 r＝5，h＝8 时，该蓄水池的体积最大.
于是，当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(3,4)
4
(4,6)
f′(x) ＋
2018高三新课标·数学(理)总复习课件：第三章 导数及应用3-4
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1．了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定 积分的概念． 2．了解微积分基本定理的含义．
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请注意 本节为新增内容，高考中多以选择填空题形式考查，主要借 助微积分基本定理求定积分或解决几何或物理知识．
n n
当 n→+∞时， 上述和式无限接近某个常数， 这个常数叫做函数 f(x) b-a f （ x ） dx 在区间[a，b]上定积分，记作 f(x)dx，即 ＝lim f(ξi)． n→∞ n
b a b a
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其定义体现求定积分的四个步骤： ①分割；②近似代替；③取和；④取极限．
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定积分运算律
b b kf(x)dx＝k f(x)dx； (1)
a a
b b b [f1(x)± f2(x)dx； (2) f (x)]dx ＝ f (x)dx ± 2 1
a a a
b c b f(x)dx＝ f(x)dx+ f(x)dx(a<c<b)． (3)
0
)
A．e+2 C．e
答案 C 解析
1 0
B．e+1 D．e-1
(2x+ex)dx＝(x2+ex)|01＝(1+e)-(0+e0)＝e，因此选 C.
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3．(课本习题改编)求曲线 y＝x2 与 y＝x 所围成图形的面积， 其中正确的是(
0
2018版高考数学(理)一轮复习文档第三章导数及其应用3-3Word版含解析
1．定积分的概念在ʃb a f(x)d x中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)d x叫做被积式．2．定积分的性质(1)ʃb a kf(x)d x＝kʃb a f(x)d x(k为常数)；(2)ʃb a[f1(x)±f2(x)]d x＝ʃb a f1(x)d x±ʃb a f2(x)d x；(3)ʃb a f(x)d x＝ʃc a f(x)d x＋ʃb c f(x)d x(其中a<c<b)．3．微积分基本定理一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，且F′(x)＝f(x)，那么ʃb a f(x)d x＝F(b)－F(a)，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．为了方便，常把F(b)－F(a)记作F(x)|b a，即ʃb a f(x)d x＝F(x)|b a＝F(b)－F(a)．【知识拓展】1．定积分应用的常用结论当曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值为负；当位于x轴上方的曲边梯形与位于x轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零．2．函数f(x)在闭区间[－a，a]上连续，则有(1)若f(x)为偶函数，则ʃa－a f(x)d x＝2ʃa0f(x)d x.(2)若f(x)为奇函数，则ʃa－a f(x)d x＝0.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)设函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续，则ʃb a f(x)d x＝ʃb a f(t)d t.(√)(2)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续且恒正，则ʃb a f(x)d x>0.(√)(3)若ʃb a f (x )d x <0，那么由y ＝f (x )，x ＝a ，x ＝b 以及x 轴所围成的图形一定在x 轴下方．( × ) (4)微积分基本定理中的F (x )是唯一的．( × )(5)曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积是ʃ10(x 2－x )d x .( × )1．(2017·福州质检)ʃ10(e x ＋2x )d x 等于( )A ．1B ．e －1C ．eD ．e ＋1 答案 C解析 ʃ10(e x ＋2x )d x ＝(e x ＋x 2)|10＝e ＋1－1＝e.2．直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( ) A ．2 2 B ．4 2 C ．2 D ．4 答案 D解析 如图，y ＝4x 与y ＝x 3的交点为A (2,8)，图中阴影部分即为所求图形面积．S 阴＝ʃ20(4x －x 3)d x＝(2x 2－14x 4)|20＝8－14×24＝4，故选D.3．(教材改编)汽车以v ＝(3t ＋2)m/s 作变速直线运动时，在第1 s 至第2 s 间的1 s 内经过的位移是( )A.132 m B ．6 m C.152 m D ．7 m 答案 A解析 s ＝ʃ21(3t ＋2)d t ＝(32t 2＋2t )|21＝32×4＋4－(32＋2) ＝10－72＝132(m)．4．若ʃT 0x 2d x ＝9，则常数T 的值为________．答案 3解析 ʃT 0x 2d x ＝13x 3|T 0＝13T 3＝9，∴T ＝3. 5．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，1x ，x ∈(1，e](e 为自然对数的底数)，则ʃe 0f (x )d x 的值为________．答案 43解析 ʃe 0f (x )d x ＝ʃ10x 2d x ＋ʃe 11xd x ＝13x 3|10＋ln x |e1＝13＋ln e ＝43.题型一 定积分的计算例1 (1)(2016·九江模拟)若ʃ10(2x ＋λ)d x ＝2(λ∈R )，则λ等于( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．－1(2)定积分ʃ2－2|x 2－2x |d x 等于( )A ．5B ．6C ．7D ．8 答案 (1)B (2)D解析 (1)ʃ10(2x ＋λ)d x ＝(x 2＋λx )|10＝1＋λ＝2，所以λ＝1.(2)ʃ2－2|x 2－2x |d x＝ʃ0－2(x 2－2x )d x ＋ʃ20(2x －x 2)d x＝(x 33－x 2)|0－2＋(x 2－x 33)|20 ＝83＋4＋4－83＝8. 思维升华 运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点： (1)对被积函数要先化简，再求积分；(2)求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，先分段积分再求和； (3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值号再求积分．(1)若π20(sin cos )d 2x a x x ⎰－＝，则实数a 的值为( )A ．－1B ．1C ．－ 3 D. 3(2)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，2－x ，x ∈(1，2]，则ʃ20f (x )d x 等于( )A.34B.45C.56D.67 答案 (1)A (2)C 解析 ππ220(1)(sin cos )d (cos sin )|x a x x x a x ⎰－＝－－＝0－a －(－1－0)＝1－a ＝2， ∴a ＝－1.(2)ʃ20f (x )d x ＝ʃ10x 2d x ＋ʃ21(2－x )d x＝13x 3|10＋(2x －12x 2)|21 ＝13＋(4－12×4)－(2－12) ＝56. 题型二 定积分的几何意义命题点1 利用定积分的几何意义计算定积分例2 (1)计算：ʃ313＋2x －x 2d x ＝________.(2)若ʃm －2－x 2－2x d x ＝π4，则m ＝________. 答案 (1)π (2)－1解析 (1)由定积分的几何意义知，ʃ313＋2x －x 2 d x 表示圆(x －1)2＋y 2＝4和x ＝1，x ＝3，y ＝0围成的图形的面积， ∴ʃ313＋2x －x 2d x ＝14×π×4＝π.(2)根据定积分的几何意义ʃm －2－x 2－2x d x 表示圆(x ＋1)2＋y 2＝1和直线x ＝－2，x ＝m 和y＝0围成的图形的面积， 又ʃm －2－x 2－2x d x ＝π4为四分之一圆的面积，结合图形知m＝－1.命题点2求平面图形的面积例3(2017·青岛月考)由曲线xy＝1，直线y＝x，y＝3所围成的封闭平面图形的面积为______．答案4－ln 3解析 由xy ＝1，y ＝3可得交点坐标为(13，3)．由xy ＝1，y ＝x 可得交点坐标为(1,1)， 由y ＝x ，y ＝3得交点坐标为(3,3)，由曲线xy ＝1，直线y ＝x ，y ＝3所围成图形的面积为1312311113311(3)d (3)d (3ln )|(3)|2x x x x x x x x -+-=-+-⎰⎰ ＝(3－1－ln 3)＋(9－92－3＋12)＝4－ln 3.思维升华 (1)根据定积分的几何意义可计算定积分； (2)利用定积分求平面图形面积的四个步骤①画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象； ②借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限； ③把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和； ④计算定积分，写出答案．(1)定积分ʃ309－x 2d x 的值为( )A ．9πB ．3π C.94π D.92π (2)由曲线y ＝2x 2，直线y ＝－4x －2，直线x ＝1围成的封闭图形的面积为________． 答案 (1)C (2)163解析 (1)由定积分的几何意义知ʃ309－x 2d x 是由曲线y ＝9－x 2，直线x ＝0，x ＝3，y ＝0围成的封闭图形的面积，故ʃ309－x 2d x ＝π·324＝94π，故选C.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x 2，y ＝－4x －2，解得x ＝－1，依题意可得，所求的封闭图形的面积为ʃ1－1(2x 2＋4x ＋2)d x ＝(23x 3＋2x 2＋2x )|1－1＝(23×13＋2×12＋2×1)－[23×(－1)3＋2×(－1)2＋2×(－1)]＝163. 题型三 定积分在物理中的应用例4 一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t (t的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( ) A ．1＋25ln 5 B ．8＋25ln113C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 2答案 C解析 令v (t )＝0，得t ＝4或t ＝－83(舍去)，∴汽车行驶距离s ＝ʃ40(7－3t ＋251＋t )d t ＝[7t －32t 2＋25ln(1＋t )]|40 ＝28－24＋25ln 5＝4＋25ln 5.思维升华 定积分在物理中的两个应用(1)变速直线运动的位移：如果变速直线运动物体的速度为v ＝v (t )，那么从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的路程s ＝ʃb a v (t )d t .(2)变力做功：一物体在变力F (x )的作用下，沿着与F (x )相同方向从x ＝a 移动到x ＝b 时，力F (x )所做的功是W ＝ʃb a F (x )d x .一物体在变力F (x )＝5－x 2(力单位：N ，位移单位：m)作用下，沿与F (x )成30°方向作直线运动，则由x ＝1运动到x ＝2时，F (x )做的功为( ) A. 3 J B.233 J C.433 J D ．2 3 J答案 C解析 ʃ21F (x )cos 30°d x ＝ʃ2132(5－x 2)d x ＝⎪⎪⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫5x －13x 3×3221＝433， ∴F (x )做的功为433 J.4．利用定积分求面积典例 由抛物线y ＝x 2－1，直线x ＝0，x ＝2及x 轴围成的图形面积为________． 错解展示解析 所求面积S ＝ʃ20(x 2－1)d x ＝(13x 3－x )|20＝23. 答案 23现场纠错解析 如图所示，由y ＝x 2－1＝0，得抛物线与x 轴的交点分别为(－1，0)和(1,0)．所以S ＝ʃ20|x 2－1|d x ＝ʃ10(1－x 2)d x ＋ʃ21(x 2－1)d x＝(x －x 33)|10＋(x 33－x )|21＝(1－13)＋[83－2－(13－1)]＝2.答案 2纠错心得 利用定积分求面积时要搞清楚定积分和面积的关系；定积分可正可负，而面积总为正．1．π220sin d 2xx等于( ) A ．0 B.π4－12 C.π4－14D.π2－1答案 B 解析ππ222001cos sin d d 22x x x x -=⎰⎰π2011π1(sin )|.2242x x =-=- 2．ʃ101－x 2 d x 的值为( )A.14B.π4C.12D.π2 答案 B 解析 ʃ101－x 2 d x 的几何意义为以(0,0)为圆心，以1为半径的圆位于第一象限的部分，圆的面积为π， 所以ʃ101－x 2 d x ＝π4.3．(2016·南昌模拟)若ʃa 1(2x ＋1x )d x ＝3＋ln 2(a >1)，则a 的值是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．6 答案 A解析 由题意知ʃa 1(2x ＋1x )d x ＝(x 2＋ln x )|a 1＝a 2＋ln a －1＝3＋ln 2，解得a ＝2. 4．定积分ʃ20|x －1|d x 等于( ) A ．1 B ．－1 C ．0 D ．2 答案 A解析 ʃ20|x －1|d x ＝ʃ10|x －1|d x ＋ʃ21|x －1|d x ＝ʃ10(1－x )d x ＋ʃ21(x －1)d x＝(x －x 22)|10＋(x 22－x )|21＝(1－12)＋(222－2)－(12－1)＝1.5．由曲线f (x )＝x 与y 轴及直线y ＝m (m >0)围成的图形的面积为83，则m 的值为( )A ．2B ．3C ．1D ．8 答案 A解析 22333200228(()|,333m mS m x mx x m m ==-=-=⎰解得m ＝2.6．若S 1＝ʃ21x 2d x ，S 2＝ʃ211xd x ，S 3＝ʃ21e xd x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( ) A ．S 1<S 2<S 3 B ．S 2<S 1<S 3 C ．S 2<S 3<S 1 D ．S 3<S 2<S 1答案 B解析 方法一 S 1＝13x 3|21＝83－13＝73， S 2＝ln x |21＝ln 2<ln e ＝1，S 3＝e x |21＝e 2－e ≈2.72－2.7＝4.59，所以S 2<S 1<S 3.方法二 S 1，S 2，S 3分别表示曲线y ＝x 2，y ＝1x ，y ＝e x 与直线x ＝1，x ＝2及x 轴围成的图形的面积，通过作图易知S 2<S 1<S 3.7．π)d 4x x +=________.答案 2解析 依题意得π)d 4x x +ππ220(sin cos )d (sin cos )|x x x x x =+=-⎰＝(sin π2－cos π2)－(sin 0－cos 0)＝2.8．由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为________．答案3解析 所求面积ππ33ππ33cos d sin |S x x x --==⎰＝sin π3－(－sin π3)＝ 3.*9.(2016·湖北省重点中学高三阶段性统一考试)若函数f (x )在R 上可导，f (x )＝x 3＋x 2f ′(1)，则ʃ20f (x )d x ＝________. 答案 －4解析 因为f (x )＝x 3＋x 2f ′(1)， 所以f ′(x )＝3x 2＋2xf ′(1)．所以f ′(1)＝3＋2f ′(1)，解得f ′(1)＝－3.所以f (x )＝x 3－3x 2.故ʃ20f (x )d x ＝ʃ20(x 3－3x 2)d x ＝(x 44－x 3)|20＝－4. 10．已知f (a )＝ʃ10(2ax 2－a 2x )d x ，则函数f (a )的最大值为________．答案 29解析 f (a )＝ʃ10(2ax 2－a 2x )d x ＝(23ax 3－12a 2x 2)|10＝－12a 2＋23a ， 由二次函数的性质可得f (a )max ＝－(23)24×(－12)＝29. 11．求曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积． 解 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，y ＝2－x得交点A (1,1)； 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2－x ，y ＝－13x 得交点B (3，－1)．故所求面积S ＝ʃ10⎝⎛⎭⎫x ＋13x d x ＋ʃ31⎝⎛⎭⎫2－x ＋13x d x 32123201211()|(2)|363x x x x =++- ＝23＋16＋43＝136. 12．(2016·武汉模拟)如图，矩形OABC 的四个顶点依次为O (0，0)，A (π2，0)，B (π2，1)，C (0,1)，记线段OC ，CB 以及y ＝sin x (0≤x ≤π2)的图象围成的区域(图中阴影部分)为Ω，若向矩形OABC 内任意投一点M ，求点M 落在区域Ω内的概率．解 阴影部分的面积为π20π(1sin )d 1,2x x -=-⎰ 矩形的面积是π2×1＝π2， 所以点M 落在区域Ω内的概率为π2－1π2＝1－2π. *13.已知函数y ＝F (x )的图象是折线段ABC ，其中A (0,0)，B (12，5)，C (1,0)，求函数y ＝xF (x )(0≤x ≤1)的图象与x 轴围成的图形的面积．解 由题意，F (x )＝⎩⎨⎧ 10x ，0≤x ≤12，－10x ＋10，12<x ≤1， 则xF (x )＝⎩⎨⎧ 10x 2，0≤x ≤12，－10x 2＋10x ，12<x ≤1，所以函数y ＝xF (x )(0≤x ≤1)的图象与x 轴围成的图形的面积为11122323122101022101010d (1010)d |(5)|33x x x x x x x x +-+=+-⎰⎰ ＝103×18＋(5－103)－(54－103×18)＝54.。
【数学课件】2018版高考数学(文)一轮复习：第3章-导数及其应用(人教A版4份)
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课堂总结
4.(2017· 豫北名校期末联考)曲线y＝－5ex＋3在点(0，－2) 处的切线方程为________. 解析 ∵y′＝－5ex，∴所求曲线的切线斜率k＝y′|x＝0＝
－5e0＝－5，∴切线方程为y－(－2)＝－5(x－0)，即5x
＋y＋2＝0. 答案 5x＋y＋2＝0
基础诊断
考点突破
课堂总结
5.(2015· 全国 Ⅰ 卷 ) 已知函数 f(x) ＝ ax3 ＋x ＋1 的图象在点 (1 ， f(1))处的切线过点(2，7)，则a＝________. 解析 由题意可得f′(x)＝3ax2＋1，则f′(1)＝3a＋1，
又f(1)＝a＋2，
∴切线方程为y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1). ∵切线过点(2，7)， ∴7－(a＋2)＝3a＋1，解得a＝1. 答案 1
f′（x）g（x）－f（x）g′（x） f （x ） 2 [ g （ x ） ] (3) ′＝______________________________ (g(x)≠0).
g（x）
基础诊断 考点突破 课堂总结
诊断自测 1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同.( )
(2)求f′(x0)时，应先求f′(x)，再代入求值，(2)错.
(4)f(x)＝a3＋2ax＋x2＝x2＋2ax＋a3，∴f′(x)＝2x＋2a，(4)错. 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)×
基础诊断 考点突破 课堂总结
3 2.(选修 1－1P75 例 1 改编)有一机器人的运动方程为 s(t)＝t ＋ t (t 是时间，s 是位移)，则该机器人在时刻 t＝2 时的瞬时速度为 ( ) 19 17 15 13 A. 4 B. 4 C. 4 D. 4 3 解析 由题意知，机器人的速度方程为 v(t)＝s′(t)＝2t－ 2， t 3 13 故当 t＝2 时，机器人的瞬时速度为 v(2)＝2×2－ 2＝ . 2 4 答案 D
2018课标版文数一轮(3)第三章-导数及其应用(含答案)4-第四节 导数与函数的综合问题
以当x=0时,函数g(x)取得最小值g(0)=1,根据题意将不等式转化为2m-1 ≥g(x)min=1,所以m≥1,故选C.
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命题角度二 存在性问题 a 1 2 x x 典例2 已知函数f(x)=x-(a+1)ln x- (a∈R),g(x)= x +e -xe .
x
2
(1)当x∈[1,e]时,求f(x)的最小值;
函数y=f(x)-a的零点个数即直线y=a与曲线y=f(x)的交点个数.因为1<a<2,
所以交点个数为4.故选C.
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3.若a>3,则方程x3-ax2+1=0在(0,2)上的实根个数为 ( A.0 B.1 C.2 D.3
)
答案 B 设f(x)=x3-ax2+1,则f '(x)=3x2-2ax=x(3x-2a),由于a>3,则在(0,2) 上f '(x)<0,y=f(x)为减函数,而f(0)=1>0, f(2)=9-4a<0,则方程x3-ax2+1=0在 (0,2)上恰有1个实根,故选B. 4.设函数f(x)=ax3-3x+1(x∈R),若对于任意x∈[-1,1],都有f(x)≥0成立,则
全国通用2018版高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.2.1导数与函数的单调性课件文北师大版
设函数f(x)在点x0及附近有定义，且在x0两侧的单调性相反 或导数值 异号 ，则x0为函数f(x)的极值点，f(x0)为函数的 极值．
(2)极大值点与极小值点 ①若先增后减(导数值先正后负)，则x0为 极大值 点； ②若先减后增(导数值先负后正)，则x0为 极小值 点．
(3)求可导函数极值的步骤：
【训练1】 设f(x)＝ex(ax2＋x＋1)(a＞0)，试讨论f(x)的单调 性．
解 f′(x)＝ex(ax2＋x＋1)＋ex(2ax＋1) ＝ex[ax2＋(2a＋1)x＋2] ＝ex(ax＋1)(x＋2) ＝aexx＋1a(x＋2) ①当 a＝12时，f′(x)＝12ex(x＋2)2≥0 恒成立， ∴函数 f(x)在 R 上单调递增；
(1)若函数f(x)在区间(a，b)上单调递增，那么在区间(a，b)
上一定有f′(x)>0.
()
(2)f′(x)>0是f(x)为增函数的充要条件．
()
(3)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0为极值点的充要条件． ()
(4)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一
定是极小值．
()
解 析 (1) 函 数 f(x) 在 (a ， b) 上 单 调 递 增 ， 则 在 (a ， b) 上 有 f′(x)≥0，故(1)错． (2)f′(x)＞0是f(x)为增函数的充分不必要条件，(2)错． (3)如f(x)＝x3，当x＝0时，f′(x)＝0，而函数f(x)在R上为增函 数，所以x＝0不是极值点，故(3)错． 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√
＝
()
A．－4 B．－2 C．4 D．2
解析 由题意得f′(x)＝3x2－12，令f′(x)＝0得x＝±2，当
2018版高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.1导数的概念及运算课件理
例4 如图，点A(2,1)，B(3,0)，E(x,0)(x≥0)，过点E
作OB的垂线l.记△AOB在直线l左侧部分的面积为S，
则函数S＝f(x)的图象为下图中的
答案
解析
思维升华
导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面： (1)已知切点A(x0，f(x0))求斜率k，即求该点处的导数值：k＝f′(x0). (2)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k. (3)若求过点P(x0，y0)的切线方程，可设切点为(x1，y1)，
∴直线l的方程为y＝x－1，即x－y－1＝0.故选B.
命题点2 求参数的值
例3 (1)(2016·泉州模拟)函数y＝ex的切线方程为y＝mx，则m＝ e.
答案
解析
几何画板展示
设切点坐标为P(x0，y0)，由y′＝ex，
得 y |x＝x0 ＝ex0， 从而切线方程为 y－ex0＝ex0 (x－x0 )，
A.x＋y－1＝0
B.x－y－1＝0
C.x＋y＋1＝0
D.x－y＋1＝0
∵点(0，－1)不在曲线f(x)＝xln x上，∴设切点为(x0，y0). 又∵f′(x)＝1＋ln x，∴yy00＝＋1x0＝lnx10＋，ln x0x0， 解得x0＝1，y0＝0. ∴切点为(1,0)，∴f′(1)＝1＋ln 1＝1.
3.某质点的位移函数是s(t)＝2t3－ 1gt2(g＝10 m/s2)，则当t＝2 s时，它的加
2
速度是
答案
解析
A.14 m/s2
B.4 m/s2
C.10 m/s2
D.－4 m/s2
由v(t)＝s′(t)＝6t2－gt， a(t)＝v′(t)＝12t－g， 当t＝2时，a(2)＝v′(2)＝12×2－10＝14.
2018版高考数学(文)一轮复习：第3章-导数及其应用(人教A版4份)高品质版
f′(x)＝__ex_
f′(x)＝_a_x_ln__a 1
f′(x)＝__x___
1 f′(x)＝__xl_n_a__
4.导数的运算法则
若 f′(x)，g′(x)存在，则有：
(1)[f(x)±g(x)]′＝_f_′(_x_)_±__g_′(_x_)_； (2)[f(x)·g(x)]′＝__f_′(_x_)g__(x_)_＋__f_(x_)_g_′(_x_)_；
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考点突破
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1.导数的概念
知识梳理
(1)函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数
一般地，函数
y＝f(x)在
x＝x0
处的瞬时变化率是
lim
x0
ΔΔyx＝
lim
x0
f（x0＋ΔxΔ）x－f（x0），我们称它为函数
y＝f(x)
在 x＝x0 处的导数，记作 f′(x0)或 y′|x＝x0，
f′（x）g（x）－f（x）g′（x） (3)gf（（xx））′＝____________[_g_（__x_）__]_2__________ (g(x)≠0).
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1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩PPT展示 (1)f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同.( ) (2)求f′(x0)时，可先求f(x0)，再求f′(x0).( ) (3)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点.( ) (4)若f(x)＝a3＋2ax＋x2，则f′(x)＝3a2＋2x.( ) 解析 (1)f′(x0)表示函数f(x)的导数在x0处的值，而f((x0))′表示 函数值f(x0)的导数，其意义不同，(1)错. (2)求f′(x0)时，应先求f′(x)，再代入求值，(2)错. (4)f(x)＝a3＋2ax＋x2＝x2＋2ax＋a3，∴f′(x)＝2x＋2a，(4)错.
2018版高三数学一轮复习第三章导数及其应用第二讲导数的应用课件理
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数学
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1
第三章·第二讲 考点一 函数的单调性与导数
导数的应用
函数单调性与导数符号的关系如下:
函数y=f(x)在区间(a,b)内可导, (1)若f '(x)>0,则f(x)在这个区间内是 单调递增函数; (2)若f '(x)<0,则f(x)在这个区间内是 单调递减函数;
(3)若恒有f '(x)=0,则f(x)在这个区间内是 常数函数.
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第三章·第二讲
导数的应用
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题型全突破 9
第三章·第二讲
导数的应用
x f '(x) f(x)
(-∞,0) -
0 0 极小值 + 0 极大值 -
↘
↗
↘
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知识全通关 10
第三章·第二讲
导数的应用
【突破攻略】
一般地,在闭区间[a,b]上的连续函数f(x)必有最大值与最小值,但在开区间(a,b)内的连续函 数不一定有最大值与最小值.若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上是单调递增函数,则f(a)是最小 值,f(b)是最大值;反之,则f(a)是最大值,f(b)是最小值.
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2
第三章·第二讲
导数的应用
【易错警示】 f '(x)>0是不是y=f(x)为增函数的充要条件?
f '(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件,这是因为f '(x)>0能推出f(x)为增函数, 而f(x)为增函数能推出f '(x)≥0,由上述分析还可得到f '(x)≥0是f(x)为增函数的必要 不充分条件. 同理,f '(x)≤0是f(x)为减函数的必要不充分条件.
2018高三新课标·数学(理)总复习课件：第三章 导数及应用3-1
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答案 (1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×
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2．下列函数求导运算正确的是________． ①(3 )′＝3 log3e； π π ③(sin )′＝cos ； 3 3
答案 ②
x x
1 ②(log2x)′＝ ； x· ln2 1 ④( )′＝x. lnx
f（1+Δx）-f（1） 1+Δx-1 【解析】 f′(1)＝lim ＝lim Δ x→ 0 Δ x→ 0 Δx Δx
（ 1+Δx-1）（ 1+Δx+1） 1 1 ＝lim ＝lim ＝ . Δ x→ 0 Δ x→ 0 1+Δx+1 2 Δx（ 1+Δx+1） 1 【答案】 2
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基本初等函数的导数公式 (1)C′＝0(C 为常数)； (3)(sinx)′＝cosx； (5)(ax)′＝axlna； 1 (7)(logax)′＝ ； xlna (2)(xn)′＝nxn-1(n∈Q*)； (4)(cosx)′＝-sinx； (6)(ex)′＝ex； 1 (8)(lnx)′＝ ． x
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请注意 本章中导数的概念，求导运算、函数的单调性、极值和最值 是重点知识，其基础是求导运算，而熟练记忆基本导数公式和函 数的求导法则又是正确进行导数运算的基础，复习中要引起重 视．
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导数的概念 (1)f(x)在 x＝x0 处的导数就是 f(x)在 x＝x0 处的瞬时变化率， 记作：y′|x＝x0 或 f′(x0)， f（x0+Δx）-f（x0） 即 f′(x0)＝lim Δ x→ 0 Δx .
2018卓越学案高考文科数学新课标一轮复习课件：第3章 导数及其应用 第3讲 精品
所以当 x＜－r 或 x＞r 时，f′(x)＜0； 当－r＜x＜r 时，f′(x)＞0. 因此，f(x)的单调递减区间为(－∞，－r)，(r，＋∞)；f(x)的单 调递增区间为(－r，r)． (2)由(1)可知 f′(r)＝0，f(x)在(0，r)上单调递增，在(r，＋∞) 上单调递减． 因此，x＝r 是 f(x)的极大值点，所以 f(x)在(0，＋∞)内的极大 值为 f(r)＝（2arr）2＝4ar＝4040＝100.
f′(x)与 f(x)随 x 的变化情况如下表：
x (－∞，0) (0，1) 1 (1，＋∞)
f′(x) －
－
0
＋
f(x)
极小值
故 f(x)的增区间为(1，＋∞)，减区间为(－∞，0)和(0，1)．
(2)g(x)＝ex－ax＋1，x∈(0，＋∞)， ∴g′(x)＝ex－a， ①当 a≤1 时，g′(x)＝ex－a>0，即 g(x)在(0，＋∞)上递增，此 时 g(x)在(0，＋∞)上无极值点． ②当 a>1 时，令 g′(x)＝ex－a＝0，得 x＝ln a； 令 g′(x)＝ex－a>0，得 x∈(ln a，＋∞)； 令 g′(x)＝ex－a<0，得 x∈(0，ln a)． 故 g(x)在(0，ln a)上递减，在(ln a，＋∞)上递增， ∴g(x)在(0，＋∞)有极小值无极大值，且极小值点为 x＝ln a. 故实数 a 的取值范围是 a>1.
运用导数求可导函数 y＝f(x)极值的步骤： ①先求函数的定义域，再求函数 y＝f(x)的导数 f′(x)； ②求方程 f′(x)＝0 的根； ③检查 f′(x)在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那 么 f(x)在这个根处取得极大值，如果左负右正，那么 f(x)在这 个根处取得极小值，如果左右符号相同，则此根处不是极值 点．