定比分点的向量公式及应用
定比分点坐标公式在解题中的应用
定比分点坐标公式在解题中的应用河北 陈庆新许多同窗可能已经能够熟练地应用有向线段的定比分点坐标公式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=λλλλ112121y y y x x x 及定比的坐标公式λ＝x －x 1x 2－x ，求解有向线段的定比分点坐标及定点分有向线段所成的比了．事实上用这两个公式，还可巧妙地用于解决其它一些问题．如用得好，会使解题进程显得别具一格，简捷明快，充分展现咱们思维的独创性．下面举例说明其解题中的应用． 一、在几何问题中的应用（一）关于公式的正用例1． 证明：三角形内角平分线分其对边之比等于夹那个角的两边长度之比．证明：以ΔOAB 的极点O 为原点，∠AOB 的平分线OC 因此直线为x 轴，成立平面直角坐标系如下图，设|OA|＝m ，|OB|＝n ，∠AOC ＝∠COB ＝θ，那么A(m cos θ，m sin θ)，B(n cos θ，－nsin θ)，设C 点分−→−AB 的所成的比为λ，由定比分点的坐标公式：m sin θ－λn sin θ1＋λ＝0，解之得，λ＝m n ，即|AC||CB|＝|OA||OB|．点评：本例的结论在解题中有着很多的应用。
请看下面的例子。
例2．已知△ABC 三个极点的坐标别离为A(－1，1)，B(3，1)，C(2，5)，角A 的内角平分线交对边于D ，那么向量AD −−→的坐标为 ．解析：容易计算|AB −−→|＝4，|AC −−→|＝5。
依照三角形内角平分线的性质知：ABAC＝BD DC ，于是可知点D 分有向线段BC −−→所成的比为45，从而由定比分点坐标公式可求得点D 的坐标（239，259），于是AD −−→＝（329，169）．例3．已知三点A(1，2)、B(4，1)、C(3，4)，在线段AB 上取一点P ，使过P 且平行于BC 的直线把△ABC 的面积分成4∶5两部份，求点P 的坐标．A C OBx y解析：由题意得：ABCAPQ S S ∆∆＝2⎪⎭⎫ ⎝⎛AB AP ＝49．因此AP AB ＝23，即−→−AP ＝2−→−PB ，λ＝2，设P(x ，y )，那么x ＝1＋2×41＋2＝3，y ＝2＋2×11＋2＝43．因此P 点的坐标为(3，43)．例4．已知在△ABC 中，BC ＝a ，CA ＝b ，AB ＝c ，且A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)、C(x 3，y 3)，求△ABC 的内心坐标．解析：设I 为△ABC 的内心，AD 为∠A 的平分线，那么AB AC ＝BD DC ＝cb ，∴点D 分−→−BC 所成的比为cb ，∴由定比分点的坐标公式可求得D 点的坐标：x D ＝x 2＋c b ×x 31＋c b＝bx 2＋cx 3b ＋c，y D ＝by 2＋cy 3b ＋c．又AI ID ＝AB BD ＝AC CD ，∴AI ID ＝AB ＋AC BD ＋CD＝b ＋ca ，即点I 分−→−AD 所成的比b ＋c a ． ∴xI＝acb c b cx bx a c b x ++++⋅++1321＝ax 1＋bx 2＋cx 3a ＋b ＋c ，同理yI＝ay 1＋by 2＋cy 3a ＋b ＋c ．∴△ABC 的内心坐标为(ax 1＋bx 2＋cx 3a ＋b ＋c ，ay 1＋by 2＋cy 3a ＋b ＋c)．（二）公式的逆用例5．已知一次函数y ＝－mx －2图象与线段AB 有交点，假设A(－2，3)、B(3，2)，求实数m 的取值范围．解析：设一次函数的图象直线l 交AB 于点P(x ，y )且−→−AP ＝λ−→−PB (λ≥0)，当λ＝0时，直线过A 点，那么由定比分点坐标公式知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++-=λλλλ123132y x ，又因P 在直线l 上，故m ·－2＋3λ1＋λ＋3＋2λ1＋λ＋2＝0，解得：λ＝2m －53m ＋4≥0，从而m ≥52或mACBDI＜－43．又当点P 与点B 重合时符合题意，因此将B(3，2)代入直线l 的方程，求得m ＝－43．故m 的取值范围为m ≥52或m ≤－43．本例能够推行为：已知定点P 1（x 1，y 1）、P 2(x 2，y 2)及直线l ：A x ＋B y ＋C=0，设直线l 与直线P 1P 2相交于点P ，求证：点P 分有向线段12P P −−→所成的比λ＝－A x 1+B y 1+CA x 2+B y 2+C．略解：设点P 分有向线段12P P −−→所成的比λ，由定比分点坐标公式可求得点P的坐标为：121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，将点P 的坐标代入直线l 的方程：A 121x x λλ++＋B 121y y λλ++＋C=0，整理得：（A x 1＋B y 1＋C ）＋λ(A x 2＋B y 2＋C)=0，解之得：λ＝－A x 1+B y 1+CA x 2+B y 2+C ．点评：假设利用那个结论来解答一下例5，就显得超级简捷：设点P(x ，y )分有向线段AB −−→所成的比为λ，则λ＝－A x 1+B y 1+CA x 2+B y 2+C ＝－－2m ＋3＋23m ＋2＋2＝2m －53m ＋4，因为P 为内分点，因此λ＝2m －53m ＋4≥0，解之得：m ≥52或 m ＜－43，当直线l 过点B时，有m ＝－43．综上知：m ≥52或m ≤－43． 二、在代数问题中的应用 （一）、解不等式例6．解不等式2－x1＋3x≥1．解析：令y ＝2－x 1＋3x －1≥0，那么x ＝1－y 4＋3y＝14＋3y 4×(－13)1＋3y 4，且y ≥0，于是此问题可转化为：数轴上以P 1(14)为起点，P 2(－13)为终点，定比λ＝34y ≥0时，求分点P 的坐标x 的范围问题．由λ＝34y ≥0知点P 为有向线段−→−21P P 的内分点，或与点P 1重合，故应有－13＜x ≤14．例7． 解不等式1＜x 2－2x －1x 2－2x －2＜2．解析：在数轴上取P 1，P ，P 2点依次表示1，x 2－2x －1x 2－2x －2，2，由−→−P P 1＝λ−→−2PP 得λ＝1x 2－2x －3，因为P 内分有向线段−→−21P P ，因此λ＞0，即x 2－2x －3＞0，解之即得原不等式的解集为：{x |x ＜－1或x ＞}3． （二）、求函数的值域例8． 求函数y ＝1＋3x ＋11－x ＋1的值域．解析：令λ＝－x ＋1，那么λ≤0，依题意有y ＝－1＋λ(－3)1＋λ，依照上式可知λ为点P(y )分有向线段−→−21P P 所成的比，其中P 1(1)、P 2(－3)，于是函数y 为分点P 的坐标，由定比的坐标公式：λ＝x －x 1x 2－x ＝y －1－3－y≤0，解之得y ＜－3或y ≥1．即原函数的值域为(－∞，－3)∪[1，＋)∞．例9．求函数y ＝e x －1e x ＋1的反函数的概念域．解析：问题等价于求原函数的值域．令λ＝e x ＞0，P 1(－1)，P(y )，P 2(1)，那么y ＝e x －1e x ＋1＝－1＋e x ·11＋e x ＝－1＋λ1＋λ，∵λ＞0，∴P 为有向线段−→−21P P 的内分点，∴－1＜y ＜1，故原函数的值域为(－1，1)，即其反函数的概念域为(－1，1)．例10．求函数y ＝x 2－x ＋1x 2＋x ＋1(1＜x ＜)3的值域．解析：将原函数式变形为：y ＝x 2－x ＋1x 2＋x ＋1＝－1＋(x ＋1x )·11＋(x ＋1x )，设P 1(－1，0)、P 2(1，0)，λ＝x ＋1x ，其中1＜x ＜3．由函数λ＝x ＋1x 的单调性可求得，2＜λ＜103．又当λ＝2时，y ＝13；λ＝103时，y ＝713，因此所求函数的值域为(13，713)． （三）、求函数的解析式例11．二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图像通过点(－1，0)且x ≤f (x )≤12(x 2＋1)，对一切实数x 都成立，求f (x )．解析：因为当x ∈R ，总有x ≤f (x )≤12(x 2＋1)，为此不妨设P 1(x )、P[f (x )]、P 2(x 2＋12)为数轴上三点，那么−→−P P 1＝λ−→−2PP ，其中λ≥0，于是由定比分点坐标公式得： f (x )＝ x ＋λ·x 2＋121＋λ，又因为y ＝ f (x )通过点(－1，0)，代入上式得，0＝－1＋λ1＋λ，解得λ＝1，再将λ＝1代入f (x )＝ x ＋λ·x 2＋121＋λ得，f (x )＝ 14x 2＋12x ＋14．（四）、用于处置三角问题例12． 证明：y ＝2sin x ＋12sin x －1的值不在区间(13，3)内．证明：①当sin x ＝1时，y ＝3∉(13，3)； ②当sin x ＝－1时，y ＝－1∉(13，3)；③当sin x ≠±1时，将P(y )视为数轴上的点A(13)与B(3)的分点，由定比的坐标公式：λ＝x －x 1x 2－x ，得λ＝y －133－y ＝sin x ＋13(sin x －1)＜0，即点P(y )为有向线段−→−AB 的外分点，故有y ∉(13，3)． 综上可知，y ＝2sin x ＋12sin x －1的值不在区间(13，3)内．（六）、用于解决数列问题数列是概念在正整数集上的特殊函数．而等差数列的通项公式为：a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋(a 1－d )为变量n 的一次函数(d ≠0)，其图象为直线．故而有A(m ，a m )、B(n ，a n )、C(p ，a p )三点共线(其中a m 、a n 、a p 别离为项数是m 、n 、p 的数列中的项)．为此咱们把C 视为−→−AB 的一个定比分点，那么有λ＝p －mn －p，a p＝a m ＋λa n 1＋λ．例13 ．在3与19之间插入31个数，使它们成等差数列，求通项公式． 解析：设通项为a n ，令点P(n ，a n )分A(1，a 1)，B(33，a 33)两点连成的线段所成的比为λ，那么有λ＝n －133－n ，又由题意，a 1＝3，a 33＝19，于是有a n ＝a 1＋λa 331＋λ＝3＋n －133－n ×191＋n －133－n ＝12n ＋52． 即通项a n ＝12n ＋52．命题2． 设数列{ a n }是等差数列，S n 是数列的前n 项和，其中S P 、S m 、S n 知足λ＝p －m n －p (λ≠－1)，那么S m m ＝S p p＋λS n n1＋λ．例14． 设S n 是等差数列的前n 项和，已知S 10＝100，S 100＝10，求S 110． 解析：取λ＝110－10100－110＝－10，那么S 110110＝S 1010＋λS 1001001＋λ ＝10010＋(－10)101001＋(－10) ＝－1，因此S 110＝－110．。
定比分点向量公式
定比分点向量公式定比分点向量公式是一种在几何学中使用的数学工具，用于计算两个给定向量之间的夹角和距离。
它是一种应用于平面几何的技术，能够以有效的方式测量两个向量之间的距离或角度。
定比分点向量公式已经用于许多不同的几何计算任务，如求解直线的斜率、计算所有的三角形面积、计算多边形的周长和面积以及计算多边形内部的面积等。
它也用于计算空间几何中的距离和角度，如求解一个真空间中的抛物线的斜率、求解立体几何中的椭圆的离心率等。
定比分点向量公式的定义定比分点向量公式的定义为：给定两个向量a=(a1,a2)和b=(b1,b2)，则它们的定比分点向量公式为：Vec(a,b)= (a1/b1, a2/b2)这里的“Vec”表示向量，a1和b1表示向量a的第一个分量，a2和b2表示向量b的第二个分量。
定比分点向量公式的作用定比分点向量公式的作用是根据两个给定向量确定它们之间的夹角和距离。
因此，该公式能够有效地求解平面几何中的距离和角度，也可以用于空间几何中的计算。
定比分点向量公式的用法要使用定比分点向量公式，首先要给定两个向量a和b，然后将它们表示为a=(a1,a2)和b=(b1,b2)的形式。
接下来，就可以将它们代入定比分点向量公式中：Vec(a,b)= (a1/b1, a2/b2)这样就可以得到两个向量之间的夹角和距离。
定比分点向量公式的应用定比分点向量公式可以用于许多不同的几何计算任务。
它可以帮助我们计算直线的斜率、三角形的面积、多边形的周长和面积以及多边形内部的面积。
此外，它还可以用于计算空间几何中的距离和角度，如求解一个真空间中的抛物线的斜率、求解立体几何中的椭圆的离心率等。
定比分点向量公式的优点定比分点向量公式的优点在于，它可以帮助我们有效地计算几何中的距离和角度，而无需考虑具体的坐标系。
此外，它还可以节省大量时间，因为它可以在非常短的时间内完成计算任务。
最后，它还可以帮助我们更好地理解几何中的各种概念，因为它可以清楚地描述几何中的距离和角度。
定比分点的向量公式及应用
定比分点的向量公式及应用向量是在数学中广泛应用的一种重要概念。
在向量中，可以定义加法、减法和数量乘法等运算，这些运算规则以及向量的模、方向等性质，使得向量在数学、物理和工程等领域的应用中具有重要的意义。
在计算机科学和计算机图形学中，向量被广泛用于表示三维空间中的点、方向和位移等概念。
这些向量通常表示为[x,y,z]，其中x、y和z分别表示在三个坐标轴上的分量。
定比分点的向量公式可以用于计算两个点之间的中点、分点以及线段的长度。
假设有两个点A和B，它们的坐标分别为A(x1,y1,z1)和B(x2,y2,z2)，我们可以使用如下的公式来计算两个点之间的中点：M=(A+B)/2其中M是点A和点B之间的中点，"+"表示向量的加法运算，"/"表示向量与标量的除法运算。
通过这个公式，我们可以计算出两个点之间的中点的坐标。
在计算两个点之间的分点时，可以使用类似的方法。
假设有一个分点P，它位于点A和点B之间的t比例处，我们可以使用如下的公式来计算分点的坐标：P=A+t*(B-A)其中t是一个介于0和1之间的比例值。
当t等于0时，分点P的坐标就是点A的坐标；当t等于1时，分点P的坐标就是点B的坐标。
通过改变t的值，我们可以在点A和点B之间找到任意位置的分点。
除了计算中点和分点之外，向量的长度也是一个重要的概念。
在三维空间中，向量的长度可以通过计算其模来获得。
一个向量的模定义为其各个分量的平方和的平方根。
对于一个三维向量V=[x,y,z]，其模的计算公式如下：V， = sqrt(x^2 + y^2 + z^2)通过计算向量的模，我们可以获得向量的长度信息。
定比分点的向量公式在计算机图形学中有许多应用。
例如，在三维建模中，我们经常需要计算物体的表面上的点的位置和属性。
通过定比分点的向量公式，我们可以在物体的两个顶点之间找到任意位置的点，从而进行物体的细分或者其他形变操作。
此外，向量的线性插值也是一个重要的应用。
定比分点的向量公式及应用_慕泽刚
１ ｂ＝ ４ ａ＋ ５ ｂ． ３９９
解 析 二 由 已 知 条 件 得 Ｄ 分 ＡＢ 所 成 的 λ＝
５ ， 则Ｏ!"Ｄ ＝ １ Ｏ!"Ａ ＋ λ !Ｏ"Ｂ ＝ ４ ａ＋ ５ ｂ．
４
１＋λ １＋λ ９ ９
评注 用已知向量表示其他向量也是一个热
点， 常规的解法是利用三角形法则或平行四边形法
则， 而本题利用定比分点的向量公式， 过程相对较
Ｂ!"Ｐ ＝ １ Ｐ!"Ａ ＝ １ !Ｂ"Ａ ＝ １ ａ，
ｍ
１＋ｍ
１＋ｍ
因为 Ｑ 分!Ａ"Ｄ 的比为 ｎ， 则
人 教 大 纲
专 业Ｓ
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!Ｂ"Ｑ ＝ １ !Ｂ"Ａ ＋ ｎ !Ｂ"Ｄ ＝ １ ａ＋ ｎ （ ａ＋ｂ） ＝
１＋ｎ
１＋ｎ
１＋ｎ １＋ｎ
高
ａ＋ ｎ ｂ，
一
１＋ｎ
Ｂ!"Ｒ ＝ １ Ｂ!"Ｐ ＋ λ Ｂ!"Ｃ ＝
在线段
ＡＢ 上 ，
且 ＡＰ ＰＢ
＝ｍ， Ｑ 在 线 段
ＡＤ 上 ，
且
ＡＱ ＱＤ
＝ｎ， ＢＱ 与 ＣＰ 相交于 Ｒ， 求 ＰＲ 的值． ＲＣ
Ａ
Ｑ
Ｄ
ＰＲ
Ｂ
Ｃ
解析 设!Ｂ"Ａ ＝ａ， Ｂ!"Ｃ ＝ｂ， Ｐ!"Ｒ ＝λＲ!"Ｃ ，
所以
ＰＲ ＲＣ
＝λ，
由题意有!Ａ"Ｐ ＝ｍＰ!"Ｂ ， Ａ!"Ｑ ＝ｎＱ!"Ｄ ， 则
１＋λ １＋ｎ
（
ｎ １＋ｍ）（
１＋ｎ）
， 即 ＰＲ ＲＣ
高三数学线段的定比分点
高三备课组
一、基础知识
1、 线段的定比分点
（1）定义
设P1,P2是直线L上的两点，点P是L上不同 于P1,P2的任意一点，则存在一个实数 ， P 使p1 p pp ， 所 2 叫做点P分有向线段 1P 2 成的比。
0 ；当点P在线 当点P在线段 P 上时， 1P 2 <0 段 P1 P2 或 P2 P1 的延长线上时，
（2）定比分点的向量表达式：
点P分有向线段 P 所成的比是 ，则 1P 2 1 OP OP1 OP2 1 1 （O为平面内任意点）
（3）定比分点的坐标形式
x1 x 2 x 1 y y 2 y 1 1
,
（4）中点坐标公式
当 =1时，分点P为线段的中点，即有
练习：
若直线x+2y+m=0，按向量a 1,2平移后与圆C：
x 2 y 2 2x 4 y 0
相切
则实数m的值等于
例5．是否存在这样的平移，使抛物线： y x 2 平移后 过原点，且平移后的抛物线的顶点和它与 x 轴的两个 交点构成的三角形面积为 1 ，若不存在，说明理由；若 存在，求出函数的解析式。 例4．设函数
x1 x y y 1 x2 2 y2 2
ABC 的重心坐标公式： （5）
x A x B xC x 3 y A y B yC y 3
2、平移
（1）图形平移的定义
设F是坐标平面内的一个图形，将图上的所有 点按照同一方向移动同样长度，得到图形 F’ ， 我们把这一过程叫做图形的平移。
A(4,1), B(3,4), C (1,2) ， BD 是角 ABC 的平分 线，求点D的坐标及BD的长。
高三数学线段的定比分点
《我爱这土地》中写“为什么我的眼里常含泪水”，上文结尾也写到了“流泪”，简要分析“眼泪”背后两位作者思想感情的异同。 3、文中的语言富有表现力，请结合句中加点的词语作简要分析。 一阵沙尘扑面而来，豆大的雨点砸了下来，劈头劈脸，欢笑的人群直往外冲。 ? 4、文
章第④段的“对我来说，去圆明园是一种凭吊，一种拜谒，甚至是一种提醒。”简要说说作者要“凭吊、拜谒”什么？ “提醒”什么呢？ 5、简要分析第⑤段中划线句在文中有什么作用？ ? 6、请你为圆明园遗址准备一条宣传语，要能揭示遗址给人的警示。（不超过20字，至少用一种
修辞手法） ? 参考答案： 1、A 理由：用拟人手法，容易引起读者的注意；更能表达作者对造成这种现象的悲痛心情（主题）。 2、相同点：都有对祖国的深切的爱。 不同点：艾青是目睹山河破碎、人民涂炭的现实，心中的痛苦。 本文作者是因为部分国人不知铭记历史而十分伤心、
难过。 3、“扑”表现风来得猛，“砸”表现雨下得大，这样写更能突出作者对人们不理解废墟价值的一种愤怒与悲哀。（言之有理，可酌情给分） 4、凭吊、拜谒无数在此长眠的死难者（中华民族屈辱的历史） 提醒自己不忘历史的耻辱，不能让悲剧重演。（意同即可） 5、一方面突
（5）ABC 的重心坐标公式：
x
y
xA yA
xB
3 yB
xC yC
3
2、平移
（1）图形平移的定义
设F是坐标平面内的一个图形，将图上的所有 点按照同一方向移动同样长度，得到图形F’， 我们把这一过程叫做图形的平移。
（2）平移公式
设P(x,y)是图形F上任意一点，它在平移后图形上的
起来，用极低的声音问：“老师，我可以带馒头吗？”一阵其实并没有恶意的笑声刺激着女孩，她的脸通红通红的，低着头默默地坐下，眼泪沿着脸颊流了下来。李老师走过去，抚摸着她的头说：“你放心，可以带馒头的。” ③出发的前一天，女孩子拿着饭票在学校食堂买了六个馒头，
用定比分点向量公式的特点解高考题_高召
图６
λ ３ λ 由于 Ｂ， 所以得１ Ｐ， Ｎ 三点共线， ＝ ＋ ， ２ ４
解得λ＝ ４ ． ５ ４ → ， → → → ， 因此Ａ 从而Ａ Ｐ＝ ＡＭ Ｐ＝ ４ＰＭ ５ 所以 Ａ Ｐ∶ＰＭ ＝ ４ ∶ １ ． 综上可以看出 ， 定比分 点 向 量 公 式 及 其 特 点在解决共线问题时具 有 很 大 的 简 捷 性 ， 而用 好这一公 式 的 关 键 是 如 何 借 助 向 量 运 算 和 已 知条件建 立 共 起 点 且 终 点 共 线 的 三 个 向 量 之 间的关系式 ．
→ → → → －Ｏ Ａ， Ｐ Ｂ＝Ｏ Ｂ－Ｏ Ｐ， → → Ｐ → －Ｏ → → → （ ， 由Ａ Ｐ＝ Ｂ得 Ｏ Ａ＝ Ｏ Ｂ－Ｏ Ｐ） λＰ λ → → → ） 于是 （ １ ＋ Ｏ Ｐ＝Ｏ Ａ＋ Ｏ Ｂ， λ λ → → Ｏ Ａ ＋ Ｏ Ｂ １ → λ λ → 所 以Ｏ Ｐ＝ ＝ Ｏ Ａ＋
例 ５ （ ２ ０ ０ ７年陕 ， 如图６ 平 西省 高 考 题 ）
λ → ３ λ→ Ａ Ｂ＋ ＡＮ ． ２ ４
→ 面 内 有 三 个 向 量Ｏ Ａ、 → → → 其 中 与Ｏ Ｏ Ｂ、 Ｏ Ｃ， Ａ与 → → ， Ｏ Ｂ的 夹 角 为 １ ２ ０ ° Ｏ Ａ → ， 与 且 Ｏ Ｃ的 夹 角 为 ３ ０ ° → → → → Ａ → ， 若Ｏ Ｏ Ａ ＝ Ｏ Ｂ Ｏ Ｃ Ｃ＝ ３， ｜ ｜ ｜ ｜＝１ ｜ ｜＝２ 槡 λＯ → ， 则λ＋ ＋ Ｂ（ ． λ， μＯ μ∈Ｒ） μ 的值为 ， ， 分析 连结 Ａ 与 交 于 利 用 已 知 Ｂ Ｏ Ｃ Ｄ → Ａ → →、 条件可建立Ｏ 从而 Ｄ与Ｏ Ｏ Ｂ之 间 的 关 系 式 ，
向量专题整理
1向量专题一、定比分点的向量形式及运用定理：（定比分点公式的向量形式）设点P 分21P P 的比为l （即21PP P P l =，1-¹l ），Q 为平面上的任意一点，则.11121QP QP QP ll l +++=证明：,21PP P P l = (),21QP QP QP QP -=-\l即(),121QP QP QP l l +=+即.11121QP QP QP l l l+++=推论1：设点P 为OAB D 的边AB 上的点，且,,n PB m AP ==则.OB nm m OA nm n OP +++=推论2：设点P 为OAB D 的边AB 的中点，则().21OB OA OP +=推论3：OAB D 中，点P 在直线AB 上的充要条件是：存在实数t ，使()OB t OA t OP -+=1成立。
推论4： （定比分点公式）在直角坐标平面中，设()()(),,,,,,222111y x P y x P y x P 且点P 分21P P 的比为l （其中1-¹l ），则.1,11121ll l l ++=++=y y y xx x例1 如图，在ABC D 中，E D ,是BC 边的三等分点，D 在B 和E 之间，F 是AC 的中点，G 是AB 的中点，设H 是线段DF 与EG 的交点，求比值.:HG EH例2 如图所示，已知ABC D 的面积为E D cm ,,142分别是边BC AB ，上的点，且，1:2::==EC BE DB AD 求PAC D 的面积。
例3 已知G 是ABC D 的重心，过点G 任作一条直线l ，分别交边AC AB ，于点，，E D 若.,AC y AE AB x AD ==求证：yx 11+为定值。
二、奔驰定理与三角形五心的向量表达 【奔驰定理】设P 是ABC D 内一点，记三角形PBA PCA PBC ,,面积分别为，C B A S S S ,,则.0=++PC S PB S PA S C B A延长AP 至点D ，则BCPCD ACD PBD ABD PCD PBD ACD ABD S S S S S S S S S S CD BD =--===D D D D D D D D 用同样方法可得ACB S S S PD PA+=由以上两式结合定比分点坐标公式分别可得PB S S S PB S S S PD C B C C B B+++=(1)PA S S S PD CB A+-= (2)()()21-化简即得.0=++PC S PB S PA S C B A奔驰定理：点O 为ABC D 内任意一点，求证：.00=+×+×D D D OC SOB SOA S BA AOCBOC证明：考虑到存在R Îg m l 、、， 使得0=×+×+×OC OB OA g m l (1)如图：设，OC OF OB OE OA OD ×=×=×=g m l ,, 0=++\DF DEOD\点O 为DEF D 的重心。
空间向量定比分点坐标公式及应用
《空间向量定比分点坐标公式及应用》教学设计量P P 1、2PP 有何位置关系?结合定理1.4.1和定理1.4.6,引入空间向量定比分点的定义...定义 P 为向量→21P P 所在的直线上任意一点,点P 把向量→21P P 分成了两个共线向量→P P 1、→2PP ,如果→→≠02PP ,设→→=21PP P P λ,称P 为分向量→21P P 定比为λ的分点. 引入定义后,让学生理解两点: (1)P 位于向量→21P P 所在的直线上,但P 的位置是相当自由的;(2)向量→P P 1是→2PP 的λ倍,这里的λ也是相当自由的.与此同时,引导学生紧紧使用向量的方法来理解这个定义,还应该关注两个向量→P P 1、→2PP 的方向问题,于是提出问题4. 问题4. 点P 的位置与λ的取值有什么关系?三、向量定比分点的坐标公式 法国数学家笛卡尔为把几何与代数有机结合,发明了标架.有了标架后,空间中的任何向量就可以进行坐标化, 也就是代数化.既然我们用点P 把向量→21P P 分成了两个向量→P P 1、→2PP 我们就特别关心分点P 的坐标.下面是从向量(几何)与坐标(代数)两个方面同时研究这个问题.从而提出问题5 问题 5 取定标架⎭⎬⎫⎩⎨⎧→→→321,,;e e e O ,()i i i i z y x P ,,.点P 的坐标是什么?在老师的提示下,引导学生分析解决问题的办法.教学过程中,根据实际情况,可以让学生只使用两种方法之一解决即可. 具体过程:由于→→=21PP P P λ所以→→+=211PP P P λλ,代向量坐标公式入此式,即有 {}{}121212111,,1,,z z y y x x z z y y x x ---+==---λλ,即()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+=--+=--+=-121121121111z z z z y y y y x x x x λλλλλλ 化简即得定比侵占的坐标公式是⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++λλλλλλ1,1,1212121z z y y x x ..是只需直接代定比分点公式就可以直接得到任意空间三角形的重心的必须得先确定对边中点坐标.为了突出向量的教学中可以补充介绍三角形重心的向量表示法。
定比分点公式的向量形式及应用
定比分点公式的向量形式及应用马洪炎 吴文尧(宁波市北仑中学,浙江 315800) 众所周知,向量法是解决平面几何问题的重要方法,而定比分点公式是解析几何中应用非常广泛的重要公式.本文介绍定比分点公式的向量形式及其在解决平面几何问题中的应用,供大家参考.1 定理及其推论定理 (定比分点公式的向量形式)设点P 分P 1P 2的比为λ(即P 1P =λPP 2,λ≠-1),Q 为平面上的任意一点,则QP =11+λQP 1+λ1+λQP 2.证明 ∵P 1P =λP P 2,∴QP -QP 1=λ(QP 2-QP ),即(1+λ)QP =QP 1+λQP 2,即QP =11+λQP 1+λ1+λQP 2.推论1 设点P 为■O AB 的边AB 上的点,且AP =m ,P B =n ,则OP =n m +n OA +mm +nOB .推论2 设点P 为■O AB 的边AB 的中点,则OP =12(OA +OB ).推论3 ■OAB 中,点P 在直线AB 上的充要条件是:存在实数t ,使OP =t OA +(1-t )OB 成立.推论4 (定比分点公式)在直角坐标平面中,设P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2),P (x ,y ),且点P 分P 1P 2的比为λ(其中λ≠-1),则x =x 1+λx 21+λ,y =y 1+λy 21+λ.2 应用举例2.1证明比例线段关系例1 如图1,在■ABC 中,D ,E 是BC 边的三等分点,D 在B 和E 之间,F 是AC的中点,G 是AB 的中点,设H 是线段D F与EG 的交点,求比值E H ∶HG .分析 要求比值E H ∶HG 的大小,只须得到向量E H 与向量EG 之间的线性关系,由平面向量基本定理可知,可选择一组合适的基底使向量E H 、向量EG 都可用这组基底的线性组合表示,一旦表示成功,则结论也唾手可得了.图1 例1图解 设CB =a ,CA =b ,连结CG ,EF ,由于BE =2EC ,由推论1可知:GE =23GC +13GB=23GC +13(CB -CG )=13CB -CG =13CB -12(CB +CA )=-16a -12b ,即EG =16a +12b ;∵D ,H ,F 三点共线,∴E H =t ED +(1-t )EF=t ED +(1-t )(CF -CE )=t 3a +(1-t )(12b -13a )=2t -13a +1-t 2b .∵EG 与E H 是共线向量,∴16·1-t 2-12·2t -13=0,即t =35,40数学通讯 2007年第24期故E H =25(16a +12b )=25E G ,∴E H ∶H G =2∶3.评注 ①由于本题的相关点均“生长”在■ABC 的三边上,所以选择以向量CB =a ,CA =b 作为基底比较合理.②在向量运算过程中,通过合理的运用上述定理的推论,可简化运算过程,甚至可直奔结论.例2 (第23届IMO 试题)已知AC ,CE 是正六边形ABCD EF 的两条对角线,点M ,N 分别内分AC ,CE ,使得AM ∶AC =CN ∶CE =r ,如果B ,M ,N 三点共线,求r 的值.分析 ①要求出r 的值,只须得到关于r 的一个方程,故解决问题的关键是如何结合其它已知条件,把条件“B ,M ,N 三点共线”翻译成关于r 的一个方程.②由于B ,M ,N 三点所在直线过顶点B ,因此选择向量B A 、BC 作为基底比较合理,再把向量B M ,B N 用基底表示之,则不难得到关于r 的方程.图2 例2图解 ∵AM ∶AC =CN ∶CE =r ,∴AM ∶MC =CN ∶N E =r ∶(1-r ).由推论1可知BM =r BC +(1-r )B A ,B N =r BE +(1-r )BC .∵ABCDEF 是正六边形,∴B E =2(B A +BC ),∴B N =2r (B A +B C )+(1-r )BC=(1+r )B C +2r B A .∵B ,M ,N 共线,∴r ·2r -(1-r )(1+r )=0,解得r =33.评注 由于本题的“情景”与推论1的使用条件非常吻合,因此上述解法通过推论1的应用使运算过程显得非常简捷,极大地缩短了解题的长度.2.2 证明三角形的面积关系例3 如图3所示,已知■AB C 的面积为14cm 2,D ,E 分别是边AB ,BC 上的点,且AD ∶DB =B E ∶EC =2∶1,求■P AC 的面积.分析 由于已知■AB C 的面积,因此要计算■P AC 的面积,只须求这两个三角形的面积比,注意到■ABC 与■P AC 是同底三角形,设直线BP 与AC 交于点Q ,则只须求出点P 分BQ 的比,若选择以向量B A =a ,BC =c 为基底,再把向量BQ ,B P 用基底表示之,则就大功告成了.图3 例3图解 连结BP 并延长交AC 于Q ,设B A=a ,BC =c .∵C ,P ,D 三点共线,∴B P =t BD +(1-t )BC ,又∵BD =13B A =13a ,∴B P =t 3a +(1-t )c .∵A ,P ,E 三点共线,∴B P =λB A +(1-λ)B E ,即B P =λa +2(1-λ)3c .由平面向量基本定理可知t3=λ且1-t =2(1-λ)3,解得λ=17,∴B P =17a +47c .设BQ =μBP =μ7a +4μ7c ,因为A ,Q ,C三点共线,所以μ7+4μ7=1,即μ=75,∴B P =57BQ ,PQ =27BQ ,S ■PAC =27S ■BAC =4cm 2.评注 在用向量方法解决平面几何问题时,除注意基底的合理选择外,还需注意方程412007年第24期 数学通讯思想的应用,虽然上述解法操作过程有一定的技巧性,但若在操作过程中始终以方程思想为指导,则思路还是比较自然.2.3证明三点共线问题例4 (2004年斯洛文尼亚数学奥林匹克试题)设O,P是平面上的两个不同的点,四边形AB CD是平行四边形,两条对角线相交于点O,点P不在直线AB关于直线CD 对称的图形上,M,N分别是线段P A,PB的中点,Q是直线MC与直线ND的交点.证明:P,Q,O三点共线,且点Q的位置与平行四边形ABCD的选择无关.分析 要证明P,Q,O三点共线,只须证明PO=λPQ,注意到O是AC的中点,即有PO=12(P A+P C)成立,故可选择向量P A,PC为基底,再设法把向量PQ也用基底表示之即可.图4 例4图证明 ∵M,N分别是线段PA,PB的中点,∴MN瓛12AB.∵ABCD是平行四边形,∴AB瓛C D,即MN瓛12CD,∴Q C=2MQ,由推论1可知PQ=23PM+13PC=13P A+13P C.又因为O是线段AC的中点,由推论2可知PO=12(P A+PC),所以PQ=23PO,即PQ,PO共线,且PQ=23PO,即P,Q,O三点共线,且点Q的位置与平行四边形ABCD 的选择无关.评注 证明三点共线是平面几何中的难点之一,利用平面向量方法证明之的思路自然且易于操作.2.4证明平面几何中的定值问题例5 已知G是■ABC的重心,过点G 任作一条直线l,分别交边AB,AC于点D, E,若AD=x AB,AE=y AC.求证:1x+1y为定值.分析 当点D与点B重合,即x=1时,且E为AC之中点,即y=12,此时1x+1y=3,因此只须证明1x+1y=3即可.所以只须得到关于x,y应满足的方程即可,注意到D,G,E三点共线及G是■ABC的重心,因此可选择以向量AB,AC为基底,由向量AG 的两种不同的表示方法得到此方程.图5 例5图证明 ∵D,G,E三点共线,∴AG=λAD+(1-λ)AE=λx AB+(1-λ)y AC,又∵G是■ABC的重心,所以AG=23AF=13AB+13AC,由平面向量基本定理可知λx=13,且(1-λ)y=13,∴1x+1y=3λ+3(1-λ)=3(定值).通过以上各例的解法不难发现,用定比分点公式的向量形式及其推论解决平面几何问题的解题程序如下:1)把平面几何问题转化为平面向量问题;2)合理选择一组基底;3)把问题涉及的向量用基底表示之;4)得到需要的结论并回归到平面几何问题.(收稿日期:2007-09-04)42数学通讯 2007年第24期。
向量的定比分点公式运用
向量的定比分点公式运用设有向量AB表示一条线段，点C为分割点，将AB分成的两个线段分别为AC和CB。
那么根据向量的定比分点公式，我们可以得到以下关系式：AC=λABCB=(1-λ)AB其中，λ是一个标量，表示分割点C到点A的距离与线段AB的长度之比。
下面我们将介绍向量的定比分点公式的几种具体运用。
1.证明三点共线：给定三个点A、B、C，要证明它们共线，可以使用向量的定比分点公式。
假设分割点C在点A和点B之间，那么根据向量的定比分点公式，可以得到AC=λAB，CB=(1-λ)AB。
若AC与CB的坐标相同，则说明三点共线。
2.点的坐标求解：已知线段AB的坐标，要求分割点C的坐标。
根据向量的定比分点公式，我们可以得到AC=λAB，即(x_C-x_A,y_C-y_A)=λ(x_B-x_A,y_B-y_A)。
令点C的坐标为(x_C,y_C)，代入这个关系式可以求解出点C的坐标。
3. 矢量平均值：给定一组n维向量，要求它们的平均值。
可以使用向量的定比分点公式求解。
假设向量集合为{v_1, v_2, ..., v_n}，则平均向量v_avg可以表示为v_avg = λ_1*v_1 + λ_2*v_2 + ... +λ_n*v_n。
其中，λ_1 + λ_2 + ... + λ_n = 1，且λ_i >= 0。
这样可以求得平均向量v_avg的坐标。
4.线段的等分点：已知线段AB的长度，要求线段上的一个点C，使得AC与AB的长度比为m:n。
根据向量的定比分点公式，我们可以得到AC=λAB，其中λ=(m/(m+n))。
将AB的长度乘以λ，得到AC的长度，即可得到分割点C的坐标。
5.找出一些点到线段的最近点：假设有线段AB和点P，要求点P到线段AB上的最近点Q的坐标。
根据向量的定比分点公式，可以得到向量AQ=λAB，其中λ表示AQ与AB的长度之比。
我们可以通过遍历0≤λ≤1的所有值，计算出对应的点Q的坐标，再选择距离最近的点作为最近点Q的坐标。
线段的定比分点
1 2
3
y
y3
2
y1
2
y2
y1
y2
y3
1 2
3
yD G
O
即点G的坐标为
(
x1
x2 3
x3
,
y1
y2 3
y3
)
A
C x
2．已知两点 A(x,5) ， B(2, y) ，点 P(1,1) 在直线 AB 上，且| AP | 2 | BP | ，求点 A 和点 B 的坐标
【解题回顾】要搞清楚起点,分点,终点的顺序,不可搞错P Pຫໍສະໝຸດ P1P1O
x
O
x
(2)
5.5 线段的定比分点
直线l上两点 P1 、P2 ，在l上取不同于 P1 、P2的任一点P，则 P点与 P1P2 的位置有哪几种情形？
P在之间 P1P2，P在 P1P2 的延长线上， P在P2 P1的延长线上.
P1
P
P2
P1 P2
P
0
1
P
P1 P2
1 0
存在一个实数λ，使 P1P PP2，λ叫做点P分有向线
PP2 ( x2 x, y2 y)
P1P PP2
( x x1, y y1 ) ( x2 x, y2 y)
xy
x1 y1
( (
x2 y2
x) y)
x
y
x1 x2 1
y1 y2 1
5.5 线段的定比分点
有向线段 P1 P2的定比分点坐标公式
x
x1 x2 1
4 向量坐标.
若A(x1 , y1) , B(x2 , y2)
则 AB=(x2 - x1 , y2 – y1 )
向量定理七个公式
向量定理七个公式平面向量是在二维平面内既有方向(direction)又有大小(magnitude)的量，物理学中也称作矢量，与之相对的是只有大小、没有方向的数量(标量)。
平面向量用a,b,c 上面加一个小箭头表示，也可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示。
输入分数，查看能上的大学测一测能上的大学1向量的加法1、向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则.AB+BC=AC.a+b=(x+x',y+y').a+0=0+a=a.2、向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a;结合律：(a+b)+c=a+(b+c).2向量的减法如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.0的反向量为0AB-AC=CB.即“共同起点,指向被减”a=(x,y) b=(x',y') 则a-b=(x-x',y-y').3向量的的数量积1、定义：已知两个非零向量a,b.作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角,记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π定义：两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量,记作a•b.若a、b不共线,则a•b=|a|•|b|•cos〈a,b〉;若a、b共线,则a•b=+-∣a∣∣b∣.2、向量的数量积的坐标表示：a•b=x•x'+y•y'.3、向量的数量积的运算律a•b=b•a(交换律);(λa)•b=λ(a•b)(关于数乘法的结合律);(a+b)•c=a•c+b•c(分配律);4、向量的数量积的性质a•a=|a|的平方.a⊥b 〈=〉a•b=0.|a•b|≤|a|•|b|.5、向量的数量积与实数运算的主要不同点（1）向量的数量积不满足结合律,即：(a•b)•c≠a•(b•c);例如：(a•b)^2≠a^2•b^2.（2）向量的数量积不满足消去律,即：由a•b=a•c (a≠0),推不出b=c.（3）|a•b|≠|a|•|b|（4）由|a|=|b| ,推不出a=b或a=-b.4数乘向量1、实数λ和向量a的乘积是一个向量,记作λa,且∣λa∣=∣λ∣•∣a∣.当λ>0时,λa与a同方向;当λ<0时,λa与a反方向;当λ=0时,λa=0,方向任意.当a=0时,对于任意实数λ,都有λa=0.注：按定义知,如果λa=0,那么λ=0或a=0.实数λ叫做向量a的系数,乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩.当∣λ∣>1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸长为原来的∣λ∣倍;当∣λ∣<1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上缩短为原来的∣λ∣倍.2、数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：(λa)•b=λ(a•b)=(a•λb).向量对于数的分配律(第一分配律)：(λ+μ)a=λa+μa.数对于向量的分配律(第二分配律)：λ(a+b)=λa+λb.数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb,那么a=b.② 如果a≠0且λa=μa,那么λ=μ.5向量的向量积1、定义：两个向量a和b的向量积(外积、叉积)是一个向量,记作a×b.若a、b不共线,则a×b的模是：∣a×b∣=|a|•|b|•sin〈a,b〉;a×b的方向是：垂直于a和b,且a、b和a×b按这个次序构成右手系.若a、b共线,则a×b=0.2、向量的向量积性质：∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积.a×a=0.a‖b〈=〉a×b=0.3、向量的向量积运算律a×b=-b×a;(λa)×b=λ(a×b)=a×(λb);(a+b)×c=a×c+b×c.注：向量没有除法,“向量AB/向量CD”是没有意义的.6向量的三角形不等式1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣;① 当且仅当a、b反向时,左边取等号;② 当且仅当a、b同向时,右边取等号.2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣.① 当且仅当a、b同向时,左边取等号;② 当且仅当a、b反向时,右边取等号.7定比分点定比分点公式(向量P1P=λ•向量PP2)设P1、P2是直线上的两点,P是l上不同于P1、P2的任意一点.则存在一个实数λ,使向量P1P=λ•向量PP2,λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比.若P1(x1,y1),P2(x2,y2),P(x,y),则有OP=(OP1+λOP2)(1+λ);(定比分点向量公式)x=(x1+λx2)/(1+λ),y=(y1+λy2)/(1+λ).(定比分点坐标公式)我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式8其他公式1、三点共线定理若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 ,则A、B、C三点共线2、三角形重心判断式在△ABC中,若GA +GB +GC=O,则G为△ABC的重心3、向量共线的重要条件若b≠0,则a//b的重要条件是存在唯一实数λ,使a=λb. a//b的重要条件是xy'-x'y=0.4、零向量0平行于任何向量.5、向量垂直的充要条件a⊥b的充要条件是a•b=0.a⊥b的充要条件是xx'+yy'=0.6、零向量0垂直于任何向量.。
定比分点的向量公式
定比分点的向量公式定比分点的向量公式，这可是高中数学里一个相当重要的知识点呢！咱们先来聊聊啥是定比分点。
想象一下，在一条直线上有两个点 A 和 B，然后又有一个点 P 把线段 AB 按照一定的比例分成了两段。
这个点 P 就叫做线段 AB 的定比分点。
那定比分点的向量公式是啥呢？假设点 A 的坐标是 (x₁, y₁) ，点B 的坐标是 (x₂, y₂) ，点 P 的坐标是 (x, y) ，并且点 P 分线段 AB 的比是λ ，那么定比分点的向量公式就是：x = (x₁ + λx₂) / (1 + λ) ，y = (y₁ + λy₂) / (1 + λ) 。
听起来是不是有点晕乎？别担心，我给您举个例子哈。
有一次我在课堂上讲这个知识点，有个学生一脸迷茫地看着我，我就知道他没听懂。
于是我走到他身边，问他：“你是不是觉得有点迷糊呀？”他使劲儿点头。
我就拿了一支笔在纸上画了一条直线，标上 A 点和 B 点，然后跟他说：“咱们就把这当成是一条路，A 点是你家，B 点是学校，你每天上学走到某个地方，这个地方就是点 P 。
现在假设你走的路程和剩下的路程有个比例，那这个点 P 的位置是不是就能算出来啦？”这孩子听了，眼睛一下子亮了，好像突然就明白了。
咱们继续说这个公式啊。
定比分点的向量公式在解决很多几何问题的时候特别有用。
比如说，已知两个点的坐标和分点的比例，就能轻松算出定比分点的坐标。
在实际生活中，这个公式也能派上用场呢。
比如说，在规划物流路线的时候，要确定货物在某个路段的分配点，就可以用到这个公式。
还有在建筑设计中，计算一些结构的位置也能用到。
再比如，咱们想象一个场景，有一辆送快递的车，要在一条路线上的几个站点送货，每个站点的需求比例不同。
这时候，就可以用定比分点的向量公式来计算最佳的送货停留点，这样就能提高送货效率啦。
总之，定比分点的向量公式虽然看起来有点复杂，但只要咱们多做几道题，多联系实际，就能很好地掌握它，让它成为咱们解决问题的有力工具。
(完整版)向量公式大全
向量公式设a=（x，y），b=(x'，y')。
1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
AB+BC=AC。
a+b=(x+x'，y+y')。
a+0=0+a=a。
向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0 AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减”a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y').4、数乘向量实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣•∣a∣。
当λ＞0时，λa与a同方向；当λ＜0时，λa与a反方向；当λ=0时，λa=0，方向任意。
当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。
注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。
实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。
当∣λ∣＞1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍；当∣λ∣＜1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍。
数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：(λa)•b=λ(a•b)=(a•λb)。
向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.数乘向量的消去律：①如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。
②如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。
3、向量的的数量积定义：已知两个非零向量a,b。
作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作a•b。
若a、b不共线，则a•b=|a|•|b|•cos〈a，b〉；若a、b共线，则a•b=+-∣a∣∣b∣。
2.3.3线段的定比分点
(
x1
2
x2
,
y1
2
y2
)
C
CG 2 CG 2GD
O
x
GD
由定比分点坐标公式可得G点坐标为：
5.5 线段的定比分点
解：∵D是AB的中点
∴点D的坐标为
(
x1
2
x2
,
y1
2
y2
)
CG 2 CG 2GD
B
GD
由定比分点坐标公式可得G点坐标为：
x
x3
2
x1
2
x2
x1Βιβλιοθήκη x2x32
2
y P2
P P1
所以，点P的坐标为
(
x1
2
x2
,
y1
2
y2
)
O
x
(1)
例3.设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别是
(x1, y1), (x2 , y2 ) 。
（1）当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；
（2）当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标。
y P2
y P2
段P1P2 所成的比．
能根据P点的三种不同的位置和实数与向量的积的向量 方向确定λ的取值范围吗？
思考： 可以为-1与0吗？
5.5 线段的定比分点
设 P1( x1, y1 )，P2( x2 , y2 ) ，P分P1P2 所成的比为 ，如何
求P点的坐标呢？
P1P ( x x1, y y1 )
y
y1 y2 1
有向线段 P1 P2的中点坐标公式
x x1 x2 x y y1
y2 y
x
x1
高中数学专题复习 提优点3 爪形结构与分角定理、张角定理
知识拓展
即t＋1－q＋t 1B→A＋nt＋＋11A→C＋mm－1C→B＝0. 注意到B→A＋A→C＋C→B＝0，且B→A，A→C，C→B两两方向不同， 故有 t＋1－q＋t 1＝nt＋＋11＝mm－1. 由nt＋＋11＝mm－1可知 t＝m（mn－＋11）－1， 将其代入 t＋1－q＋t 1＝mm－1，整理可得 qmn＝1，即||FABF||·||BDDC||·||ECAE||＝1.]
(2)延长 OP 与 AB 交于点 D，用 a、b 表示向量P→D.
由塞瓦定理得OMMA·ADDB·NBNO＝1，即21·ADDB·31＝1， ∴ADDB＝23，下面只要求出 P 分 OD 的比即可. △OAD 被直线 MPB 所截，由梅涅劳斯定理，得OMMA·BADB·DPOP＝1， 即12×35·DPOP＝1，∴DPOP＝65. ∴P→D＝161O→D＝16135O→A＋25O→B＝1585O→A＋1525O→B.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
训练1
(1)如图，在△ABC 中，点 O 是 BC 的中点，过点 O 的直线 分别交直线 AB，AC 于不同的两点 M，N，若A→B＝mA→M，A→C
＝nA→N，则 m＋n 的值为___2_____.
因为 2A→O＝A→B＋A→C＝mA→M＋nA→N， 由于 M，O，N 三点共线，所以 m＋n＝2.
知识拓展
则有A→E＝n＋1 1A→C，B→F＝q＋1 1B→A，B→D＝mm－1B→C，① 因为 D、E、F 三点共线， 所以(t＋1)B→E＝tB→F＋B→D. 又因为B→E＝B→A＋A→E， 从而(t＋1)B→A＋(t＋1)A→E＝tB→F＋B→D，② 当①代入②，可得(t＋1)B→A＋nt＋＋11A→C＝q＋t 1B→A＋mm－1B→C，
高中数学解题方法系列：解析几何中的定比分点
解析几何是我们高中阶段的重要内容，很多同学怕解析几何，说到底是怕解析几何中的
计算，特别是方法用得好不好会直接影响到计算的繁简，而定比分点是我们解析几何中十分
重要的一块内容，无论是课本还是平时的练习题，定比分点内容都占一定的比重，定比分点
用得好会简化较多的计算。
N 在动点 P 的轨迹上，且 DM DN ，求实数 的取值范围。
解：（1）点 P 的轨迹方程为 x2 y2 1 94
（2） 解法一： 设 M (x1, y1) ， N (x2 , y2 )
OM (x1, y1) ， DN (x2, y2 3)
(x1, y1) (x2, y2 3)
（2）不妨设
l1
：
y
b a
x
l1
：
y
a b
(x
c)
y
a b
即 P( a2 , ab )
ybx a
y
ab c
cc
设 A 分 FP 的比为
c a2
，则 A(
c
1
ab
,
1
c
)
代入，并整理
2
(2
e2 )
2 2 e2
3
而 e (0,1) 所以 2 2 2 3 ( 2 1)2
三、求某些值或者某些最值时，可转化为定比分点，从而使问题清晰化。
例、已知椭圆 E 的方程为
x2 a2
y2 b2
1（ a
b 0 ），双曲线 H：
x2 a2
y2 b2
1的两条
渐近线为 l1 ， l2 ，过椭圆 E 的右焦点 F 的直线 l l1 ，又 l 与 l2 交于点 P,设与椭圆 E 的两个
定比分点、正余弦定理知识讲解
定比分点、正余弦定理知识讲解1．若→→=21PP P P λ，则称点P 分有向线段→21P P 所成的比为λ。
注意：“定比”不是“比”，点分有向线段所成的比，是用数乘向量定义的，而不是两个向量的比。
当P 为外分点时λ为负，内分点时λ为正，P 为中点时λ=1，若起点1P (x 1,y 1)，终点2P (x 2,y 2)，则分点P (x 0,y 0)的坐标为：x 0=λλ++121x x ,y 0=λλ++121y y 。
由此推出：中点公式及三角形的重心公式:在⊿ABC中，若A （x 1,y 1）、B （x 2,y 2）、C （x 3,y 3），则⊿ABC 的重心G （1233x x x ++，1233y y y ++）。
[举例1]设O （0，0），A （1，0），B （0，1），点P 是线段AB 上的一个动点，λ=，若⋅≥⋅，则λ的去值范围是： A ．21≤λ≤1 B ．1-22≤λ≤1 C ．21≤λ≤1+22 D ．1-22≤λ≤1+22解析：思路一：λ=⇒)(+=λ⇒→→-=PB AP λλ1，即P 分有向线段所成的比为λλ-1，由定比分点坐标公式得：P （1-λ，λ）,于是有OP =（1-λ，λ），=(-1,1),=（λ，-λ），=（λ-1，1-λ），∴λ-1+λ≥λ(λ-1)- λ(1-λ)⇒ 2λ2-4λ+1≤0⇒1-22≤λ≤1+22。
思路二：记P(x,y)，由λ=得： (x-1,y)=(-λ, λ)⇒x=1-λ,y=λ即P （1-λ，λ），以下同“思路一”。
思路三：=(-1,1)，=（-λ，λ），=（λ，-λ），=+=（1-λ，λ）， PB =AB PA +=（λ-1，1-λ），以下同“思路一”。
[举例2]已知⊿ABC 中，点B （-3，-1），C （2，1）是定点，顶点A 在圆（x+2）2+(y-4)2=4上运动，求⊿ABC 的重心G 的轨迹方程。
解析：记G （x,y ）,A(x 0,y 0),由重心公式得：x=310-x ,y=30y,于是有：x 0=3x+1,y 0=3y ，而A 点在圆（x+2）2+(y-4)2=4上运动，∴（3x+1+2）2+(3y-4)2=4,化简得：94)34()1(22=-++y x 。
平面向量广义定比分点公式_袁微维
○袁微维平面向量广义定比分点公式 在学习平面向量知识时,自然会接触到定比分点的概念及其计算公式,推广线段的定比分点,更有助于使用向量工具处理数学问题.定理:若在■ＡＢＣ中,点Ｅ、Ｆ分别分向量ＡＢ、ＡＣ所成的比为λ、μ,且ＢＦ交ＣＥ于点Ｍ,则Ａ=λ1+λ+μＡ+μ1+λ+μＡ证明:如图1,因为点Ｂ、Ｍ、Ｆ共线,所以Ａ=(1-ｔ)Ａ+ｔＡ.同理Ａ=(1-ｔ′)Ａ+ｔ′Ａ(这是因为Ｃ、Ｍ、Ｅ三点共线).所以(1-ｔ)Ａ+ｔＡ=(1-ｔ′)Ａ+ｔ′Ａ①因为Ｅ分Ａ所成的比为λ,即Ａ=λＥ,所以ＡＥ=λ1+λＡＢ.②同理Ａ=μ1+μＡ.③(这是因为Ｆ分ＡＣ所成的比为μ)将②、③代入①得(1-ｔ)ＡＢ+ｔμ1+μＡ=(1-ｔ′)Ａ+ｔ′λ1+λＡ因为向量Ａ、Ａ不共线所以1-ｔ=ｔ′λ1+λｔμ1+μ=1-ｔ′消去ｔ′可得ｔ=1+μ1+λ+μ.所以ＡＭ=(1-ｔ)ＡＢ+ｔμ1+μＡＣ=(1-1+μ1+λ+μ)ＡＢ+1+μ1+λ+μ·μ1+μＡ=λ1+λ+μＡ+μ1+λ+μＡ.例1 如图2,已知■ＡＢＣ中,点Ｐ在■ＡＢＣ内,且3ＡＰ+4ＢＰ+5ＣＰ=Ｏ,延长ＡＰ交ＢＣ于点Ｄ,设Ａ=,Ａ=,试用、表示ＡＤ.解:由3Ａ+4Ｂ+5Ｃ= 3(Ａ+ＢＰ)+4ＢＰ+5(ＣＢ+ＢＰ)=Ｏ ＢＰ=312ＢＡ+512ＢＣ.设ＣＰ交ＡＢ于点Ｅ,ＢＥ=λＥＡ,ＢＤ=μＤ,根据广义定比分点公式,得λ1+λ+μ=312μ1+λ+μ=512λ=34μ=54从而ＢＤ=54ＤＣ ＡＤ-ＡＢ=54(ＡＣ-Ａ) Ａ=49+59(已知Ａ=,Ａ=),例2 已知■ＡＢＣ的三边ａ、ｂ、ｃ成等差数列,且ａ<ｂ<ｃ,Ｇ为■ＡＢＣ的重心,1为■ＡＢＣ的内心,Ｏ是平面上任一点.·17·数理化学习(高中版)求证:(1)=ａＯＡ+ｂＯＢ+ｃＯＣａ+ｂ+ｃ;(2)ＧＩ∥ＡＣ.证明:(1)如图3,设角Ｂ、Ｃ的平分线ＢＥ、ＣＦ分别交ＡＣ、ＡＢ于点Ｅ、Ｆ,由内角平分线定理知λ=ＡＦＦＢ=ｂａ,μ=ＡＥＥＣ=ｃａ,从而1+λ+μ=ａ+ｂ+ｃａ.根据广义定比分点公式=λ1+λ+μＡ+μ1+λ+μＡ =ｂａ+ｂ+ｃＡ+ｃａ+ｂ+ｃＡ Ｏ-Ｏ=ｂａ+ｂ+ｃ(ＯＢ-ＯＡ)+ｃａ+ｂ+ｃ(ＯＣ-ＯＡ)Ｏ=ａＯ+ｂＯ+ｃＯａ+ｂ+ｃ(＊)(2)如图4,设■ＡＢＣ的中线ＢＭ、ＣＮ,则ＢＭ交ＣＮ于点Ｇ,从而λ′=ＡＮＮＢ=1,μ′=ＡＭＭＣ=1.1+λ′+μ′=3.根据广义定比分点公式Ａ=λ′1+λ′+μ′Ａ+μ′1+λ′+μ′Ａ=13Ａ+13Ａ.所以Ｏ-Ｏ=13(ＯＢ-ＯＡ)+13(ＯＣ-Ｏ),所以Ｏ=13Ｏ+13Ｏ+13Ｏ(＊＊)将式(＊)与(＊＊)相减,得ＯＩ-ＯＧ=(ａａ+ｂ+ｃ-13)ＯＡ+(ｂａ+ｂ+ｃ-13)ＯＢ+(ｃａ+ｂ+ｃ-13)ＯＣ.因为ａ<ｂ<ｃ且ａ、ｂ、ｃ成等差数列,所以不妨设公差为ｄ,则ｄ=ｃ-ｂ=ｂ-ａ>0,所以Ｏ-Ｏ=ｄ3ｂ(ＯＣ-ＯＡ),所以ＧＩ=ｄ3ｂＡＣ.显然,内心Ｉ不在ＡＣ上,所以ＧＩ∥ＡＣ,(注:式(＊＊)也可以从重心方程ＧＡ+ＧＢ+ＧＣ=0得到)例3 设Ｄ、Ｅ■ＡＢＣ的边ＡＢ、ＡＣ上,ＤＣ与ＥＢ交于Ｆ,且ＡＤ=ＡＥ,ＦＢ=ＦＣ,求证:ＡＢ=ＡＣ.证明:如图5,设■ＡＢＣ的角Ａ、Ｂ、Ｃ所对边分别为ａ、ｂ、ｃ,令Ａ=λＤ,Ａ=μＥ,则ＡＤ=λ1+λＡＢ,ＡＥ=μ1+μＡＣ.又已知 Ａ = Ａ ,所以λｃ-μｂ=λμ(ｂ-ｃ).①根据广义定比分点公式得Ａ=λ1+λ+μＡ+μ1+λ+μＡ,从而Ｂ=ＢＡ+μＢＣ1+λ+μ,Ｃ=ＣＡ+λＣＢ1+λ+μ.因为已知Ｂ2=ＣＦ2·18·数理化学习(高中版)所以(Ｂ+μＢ)2=(ＣＡ+λＣＢ)2所以ｃ2+μ2ａ2+2μＢ·Ｂ=ｂ2+λ2ａ2+2λＣ·Ｃ.在■ＡＢＣ中,运用余弦定理可得2Ｂ·Ｂ=ａ2+ｃ2-ｂ2,2Ｃ·Ｃ=ａ2+ｂ2-ｃ2,所以ｃ2+μ2ａ2+μ(ａ2+ｃ2-ｂ2)=ｂ2+λ2ａ2+λ(ａ2+ｂ2-ｃ2),所以(1+λ+μ)[(μ-λ)ａ2+(ｃ2-ｂ2)]=0.所以(μ-λ)ａ2=ｂ2-ｃ2②若ｂ>ｃ,则由②知μ>λ,所以μｂ>λｃ.由①可得 λμ(ｂ-ｃ)<0,所以ｂ<ｃ,矛盾.所以ｂ≤ｃ.同理ｃ≤ｂ于是ｂ=ｃ,即ＡＣ=ＡＢ.以上几例充分说明广义定比分点公式是平面向量内容中较重要的向量方程,掌握定比分点推广式有利于提高解题能力.贵州省安顺市双阳中学(561018)○梁克强以正方体为载体研究空间角 正方体的六个面都是正方形,有众多相等的线段和角,还有很多平行和垂直以及对称的条件,这些都为研究空间角提供了有效的依据,只要很好的运用,空间角的问题是不难解决的.一、垂连求角正方体有很多垂直关系,只要善于利用,就能将空间角转化为平面角.例1 正方体ＡＢＣＤ-Ａ1Ｂ1Ｃ1Ｄ1的棱长是1,Ｐ是ＡＤ的中点,求二面角Ａ-ＢＤ1-Ｐ的大小.解:如图1,过Ｐ作ＢＤ1及ＡＤ1的垂线,垂足分别是Ｅ、Ｆ,连结ＥＦ.由ＡＢ⊥平面ＡＤ1,得ＡＢ⊥ＰＦ,又ＰＦ⊥ＡＤ1,所以ＰＦ⊥平面ＡＢＤ1,而ＰＥ⊥ＢＤ1,故ＥＦ⊥ＢＤ1,∠ＰＥＦ为所求二面角平面角.Ｒｔ■ＡＤＤ1∽■ＡＦＰ,利用相似比得ＰＦ=24.在■ＰＢＤ1中,ＰＤ1=ＰＢ=52,因为ＰＥ⊥ＢＤ1,所以ＢＥ=32.在Ｒｔ■ＰＥＢ中,ＰＥ=ＰＢ2-ＢＥ2=22.在Ｒｔ■ＰＦＥ中,ｓｉｎ∠ＰＥＦ=ＰＦＰＥ=12,所以∠ＰＥＦ=π6.例2 如图2,在棱长为1的正方体ＡＢＣＤ-Ａ1Ｂ1Ｃ1Ｄ1中,Ｐ是侧棱ＣＣ1上的一点,ＣＰ=ｍ,试确定ｍ,使得直线ＡＰ与平面ＢＤＤ1Ｂ1所成角的正切值为32.解:连ＡＣ,设ＡＣ∩ＢＤ=0.ＡＰ与平面ＢＤＤ1Ｂ1交于Ｇ,连ＯＧ,由ＰＣ∥面ＢＤＤ1Ｂ1,得ＯＧ∥ＰＣ,故ＯＧ=12ＰＣ=ｍ2.又ＡＯ⊥ＤＢ,ＡＯ⊥ＢＢ1,从而ＡＯ⊥面ＢＤＤ1Ｂ1,故∠ＡＧＯ为直线ＡＰ与平面ＢＤＤ1Ｂ1所成角.在Ｒｔ■ＡＯＧ中,ｔａｎ∠ＡＧＯ=2ｍ=32,所以ｍ=13.故当ｍ=13时,ＡＰ与平面ＢＤＤ1Ｂ1所成角正切值为32.二、射影法正方体的六个面都是正方形,有很多对称·19·数理化学习(高中版)。
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定比分点的向量公式及应用浙江省永康市古山中学(321307) 吴汝龙定比分点的向量公式:在平面上任取一点O,设=1,OP =2,若21PP P λ=,则b a OP λλλ+++=111。
特别地,当1=λ时,即P 为线段21P P 的中点,则有b a OP 2121+=。
用定比分点的向量公式,可使有些问题的解决更简洁。
下面举几例说明。
一、求定比λ的值:例1:已知A(1,2),B(1,3-)及直线l :54-=x y ,直线AB 与l 相交于P 点,求P 点分的比λ。
解:设),(y x P ,则由PB AP λ=,得)11,131()1,3(1)1,2(11),(λλλλλλλ+-++=-+++=y x , 又∵P 点在直线l 上, ∴51)31(411-++=+-λλλλ, ∴31=λ。
例2:如图所示,在ABC ∆中,D 为边BC 上的点,且DC k BD =,E 为AD 上的一点,且l =,延长BE 交AC 于F,求F 分有向线段所成的比λ。
解:∵λ=,∴BA BC BF λλλ+++=111, 又l =,∴l ll +++=111,而kkk +==1,∴llk l k ++++=1)1)(1(,∵B 、E 、F 共线,∴设t =,而tt t λλλ+++=11 ∴tt l l k l k λλλ+++=++++111)1)(1(FEDCBA∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+++=+llt k l k t11)1)(1(1λλλ,解得k k l )1(+=λ。
二、求直线上点的坐标例3:已知点)1,1(--A ,)5,2(B ,点C 为直线AB 上一点,且5-=,求C 点的坐标。
分析:先求出C 点分AB 的λ的值,再利用定比分点的向量公式求出点C 的坐标。
解:∵5-=,∴5==λ,利用定比分点的坐标公式有)4,23()5,2(65)1,1(616561=+--=+=。
∴C 点的坐标为)4,23(。
例4:已知)3,2(A ,)5,1(-B ,且31=,3=,求点C,D 的坐标。
分析:由题设,运用定比分点的向量公式,可以求得点C,D 的坐标。
解:设),(11y x C ,),(22y x D , ∵31=,∴211==λ, ∴根据定比分点的向量公式有211111λλλ+++=, ∴)311,1()5,1(31)3,2(32)5,1(21121)3,2(2111),(11=-⨯+⨯=-⨯++⨯+=y x同理由3=得232-==λ,∴根据定比分点的向量公式有211111λλλ+++=, ∴)9,7()5,1(3)3,2(2)5,1(23123)3,2(2311),(22-=-⨯+⨯-=-⨯+-+⨯-=y x∴点C 的坐标为)311,1(,D 点的坐标为)9,7(-。
三、证明三点共线例5:已知点),(c b a A +,),(a c b B +,),(b a c C +,求证:A 、B 、C 三点共线。
证明:设),(/y c C 在上,/C 分的比为λ,则),(1),(11111/a c b c b a OB OA OC +++++=+++=λλλλλλ)1,1(λλλλλ++++++=c c b a b a∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++++=++=λλλλλ11c c b a y b a c ,解得⎪⎩⎪⎨⎧+=--=b a y b c c a λ∴),(/y c C 与),(b a c C +重合, 由题设知C 在AB 上, ∴A 、B 、C 三点共线。
四、求字母系数范围例6:已知点)3,3(A ,)5,1(-B ,一次函数1+=kx y 的图象与线段AB 有公共点,求实数k 的取值范围。
解:设),(y x P 为一次函数图象与线段AB 的交点,把P 瞧作AB 的定比分点,其定比为λ,则有0≥λ,由定比分点公式有)153,13()5,1(1)3,3(11111λλλλλλλλλλ+++-=-+++=+++=, 而P 点在函数1+=kx y 图象上,∴113153++-⋅=++λλλλk , 解得423+-=k k λ,∴0423≥+-k k ,即32≥k 或4-<k , 而当P 点与B 重合时,4-=k 也适合。
∴4-≤k 或32≥k 。
例7:若直线2--=ax y 与连接)1,2(-P ,)2,3(Q 两点的线段有公共点,求实数a 的取值范围。
解:当直线过P 点时,23=a ,直线过Q 点时,34-=a , 当直线与线段PQ 的交点在P 、Q 之间时,设这个交点),(y x M 分的比为λ, 由定比分点公式有)121,132()2,3(1)1,2(11111λλλλλλλλλλ++++-=++-+=+++=OQ OP OM , ∴M 点的坐标为)121,132(λλλλ++++-,又∵直线过点M,∴2132121-++-⨯-=++λλλλa , ∴4332+-=a a λ,又∵点M 在线段PQ 上知0>λ, ∴04332>+-a a ,解得34-<a 或23>a , ∴34-≤a 或23≥a 。
五、解决平面几何问题:例8:如图所示,在平行四边形ABCD 中,P 点在线段AB 上,且m PBAP=,Q 在线段AD 上,且n QD AQ =,BQ 与CP 相交于R,求RCPR的值。
分析:取两基底,由定比分点的向量公式将有关向量用基底表示出来,再求解。
解:设a BA =,b BC =,RC PR λ=,∴λ=RCPR , 由题意有m =,n =,则a m BA m PA m BP 11111+=+==, nnn n n n n n ++=++++=+++=1)(111111,m λλλλλλ++++=+++=1)1)(1(1111, 又B 、R 、Q 三点共线,∴存在实数t 使t =, ∴nnt m t ++=++++11)1)(1(λλλ,RQ PDCB A∴1)1)(1(=++m t λ,且nnt +=+11λλ。
∴)1)(1(n m n ++=λ,即)1)(1(n m nRC PR ++=。
例9:设直角三角形AOB斜边的三等分点为D 、E 。
求证2222||32||||||AB DE OE OD =++。
分析:以O 为原点,为x 轴正向建立直角坐标系,设)0,(a OA =,),0(b OB =,用a ,b 表示相关线段的长度,从而证明命题。
证明:以直角顶点O 为原点,直角边OA 、OB 所在直线为x 轴,y 轴建立直角坐标系,如图设点)0,(a A ,点),0(b B ,),(y x D 则D 分的比为21=λ, ∴由定比分点的向量公式得)31,32(),0(21121)0,(2111111b a b a =+++=+++=λλλ∴点D 坐标为)31,32(b a同理点E 坐标为)32,31(b a ,由两点间距离公式,得994||222b a OD +=,949||222b a OE +=, 99||222b a DE +=,∴)(323232||||||2222222b a b a DE OE OD +=+=++, 而222||AB b a =+,∴2222||32||||||AB DE OE OD =++。
例10:如图,已知ABC ∆,求证:ABC ∆的三条中线AD 、BE 、CF 相交于一点G,且32===CF CG BE BG AD AG 。
分析:几何问题应用向量来解决,关键就是将有关线段设为Y XE DBAOG FEDCBA向量,可以在平面内任取一点O 为向量的始点,将、、设出。
证明:如图,在平面内任取一点O,设a OA =,b OB =,c OC =,又设1G 为AD 上一点,且G AG 112=,则OG 2122111+++=32313231+=+= ∵D 为BC 中点,∴)(21c b OD +=,∴)(31)(2132311c b a c b a OG ++=+⨯+=,同样,若设G BG 222=,G CG 332=,则可证得)(312OG ++=,)(313OG ++=∴321OG OG OG == ∴1G 、2G 、3G 三点重合。
设交点为G ,则有32===CF CG BE BG AD AG 。
O G FEDCB A。