2019年相阳教育“黉门云”高考数学全国Ⅲ卷(文)预测卷和答案详细解析

2019年相阳教育“黉门云”高考等值试卷★预测卷文科数学（全国Ⅲ卷）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合A ={x |x 2≤x }，B ={x ||x |≥1}，则A ∩B = A ．∅ B ．[01]，C ．{1}D ．()-∞+∞， 2．已知i 为虚数单位，复数z 满足z (1+i)=2i ，则z =A ．2B ．1+iC ．-1+iD ．1-i3．改革开放40年来，我国综合国力显著提升，人民生活水平有了极大提高，也在不断追求美好生活．有研究所统计了近些年来空气净化器的销量情况，绘制了如图的统计图．观察统计图，下列说法中不正确的是A ．2012年——2018年空气净化器的销售量逐年在增加B ．2016年销售量的同比增长率最低C ．与2017年相比，2018年空气净化器的销售量几乎没有增长D ．有连续三年的销售增长率超过30% 4．下列函数是奇函数且在R 上是增函数的是A ．()sin f x x x =B ．2()f x x x =+C ．()e x f x x =D ．()e e x x f x -=- 5．“0<x <1”是“sin x 2<sin x ”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件0%♦ 空气净化器销售量（万台）同比增长率（%）6．已知椭圆E ：22221x y a b+=(a >b >0)，A 、B 分别为E 的左顶点和上顶点，若AB 的中点的纵坐标为12，则E 的方程为A ．2214x y +=B ． 22132x y+= C ．22143x y += D ．2213x y += 7．我国古代木匠精于钻研，技艺精湛，常常设计出巧夺天工的建筑．在一座宫殿中，有一件特别的“柱脚”的三视图如右图所示，则其体积为A ．83+4πB ．83+8πC ．8+4πD ．8+8π8．将函数()sin 22f x x x =的图象向右平移ϕ(ϕ>0)个单位，再向上平移1个单位，所得图象经过点(8π，1)，则ϕ的最小值为 A ．512πB ．712πC ．524πD ．724π9．已知双曲线22221x y a b-=(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作x 2+y 2=a 2的切线，交双曲线右支于点M ，若∠F 1MF 2=45º，则双曲线的离心率为A ．2B ．3 CD10．有一个长方体木块，三个侧面积分别为8，12，24，现将其削成一个正四面体模型，则该正四面体模型棱长的最大值为 A ．2B．．4 D．11．已知在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，A (0，2)，|OB |2+|OA |2=20，若平面内点P 满足3PB PA =u u u r u u u r，则|PO |的最大值为A ．7B ．6C ．5D ．4 12．已知函数2()2ln f x x x m x =--(m ∈R )存在两个极值点x 1，x 2(x 1<x 2)，1()()e 2x g x x =-， 则12()g x x -的最小值为A ．21e -B．．21e D二、填空题：本大题共4小题 每小题5分，共20分。

13．已知函数2log 1()(3)1x x f x f x x >⎧=⎨+≤⎩，，，，则(2)f -=________．14．已知向量a ，b 的夹角为45º，若a =(1，1)，|b |=2，则|2a +b |=________．15．设x ，y 满足约束条件1x y a x y +≥⎧⎨-≥-⎩，，且z =x +ay 的最大值为7，则a =________．俯视图主视图左视图16．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且a cos C -c cos A =35b ，则tan(A -C )的最大值为________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：（共60分） 17．（本小题满分12分）设等比数列{a n }的公比为q ，S n 是{a n }的前n 项和，已知a 1+2，2a 2，a 3+1成等差数列，且S 3=4a 2-1，q >1．（1）求{a n }的通项公式； （2）记数列{nna }的前n 项和为T n ，若4-T n =(n +2)S n 成立，求n ． 18．（本小题满分12分）第十三届全国人大第二次会议于2019年3月5日在北京开幕．为广泛了解民意，某人大代表利用网站进行民意调查．数据调查显示，民生问题是百姓最为关心的热点，参与调查者中关注此问题的约占80%．现从参与调查者中随机选出200人，并将这200人按年龄分组，第1组[1525)，，第2组[2535)，，第3组[3545)，，第4组[4555)，，第5组[5565)，，得到的频率分布直方图如上图所示．（1）求a ；（2）现在要从年龄较小的第1组和第2组中用分层抽样的方法抽取5人，并再从这5人中随机抽取2人接受现场访谈，求这两人恰好属于不同组别的概率；（3）把年龄在第1，2，3组的居民称为青少年组，年龄在第4，5组的居民称为中老年组，若选出的200人中不关注民生问题的中老年人有10人，问是否有99%的把握认为是否关注民生与年龄有关？附：2()()()()K a b c d a c b d =++++，n =a +b +c +d ． 19．（本小题满分12分）如图，在三棱柱ADE -BCF 中，侧面ABCD 是为菱形， E 在平面ABCD 内的射影O 恰为线段BD 的中点．（1）求证：AC ⊥CF ；（2）若∠BAD =60º，AE =AB =2，求四面体B -CEF 的体积．20．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知动圆M 经过定点F (0，1)且与直线y +1=0相切，记动圆ABCDEFO)M 的圆心M 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于M 、N 两点，O 为坐标原点，OM 、ON 的斜率分别为k OM ，k ON ，且满足k OM ·k ON =12-，△OMN 的面积为8，求直线l 的方程．21．（本小题满分12分）已知函数()(1)2ln f x a x x =-+(a ∈R )在定义域上满足()f x ≤0恒成立． （1）求实数a 的值； （2）令()()f x axg x x x a+=⋅-在()a +∞，上的最小值为m ，求证：11()10f m -<<-．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题做答。

如果多做，则按所做的第一题记分。

22． [选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系xOy 中，P (2，0)．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为2ρ=，点Q (ρ，θ)(0≤θ≤π)为C 上的动点，M 为PQ 的中点．（1）请求出M 点轨迹C 1的直角坐标方程；（2）设点A 的极坐标为A (1，π)，若直线l 经过点A 且与曲线C 1交于点E ，F ，弦EF 的中点为D ，求ADAE AF⋅的取值范围．23． [选修4—5：不等式选讲]（10分）已知a >0，b >0．（1）若关于x 的不等式|x +3|-|x -1|≤a 2-3a 对任意实数x 都成立，求实数a 的最小值；（2． 2019年相阳教育“黉门云”高考等值试卷★预测卷文科数学（全国Ⅲ卷）参考答案及评分标准一、选择题：每小题5分，共60分．1．C 2．B 3．C 4．D 5．A 6．A 7．C 8．D 9．D 10．B 11．C 12．B 二、填空题：每小题5分，共20分．13．2 14．15．-5 16．34三、解答题：共70分．17．解：（1）∵ a 1+2，2a 2，a 3+1成等差数列，∴ 4a 2=a 1+2+a 3+1= a 1+a 3+3，即 4a 1q =a 1+a 1q 2+3，①…………………………………………………………………2分由S 3=4a 2-1可得a 1+a 1q +a 1q 2=4a 1q -1，即a 1-3a 1q +a 1q 2+1=0，②…………………3分 联立①②及q >1解得a 1=1，q =2，∴ 12n n a -=．……………………………………………………………………………5分 （2）T n =01211232222n n-+++⋅⋅⋅+， 12T n =1231123122222n n n n--+++⋅⋅⋅++，两式作差得12T n =0121111122222n n n -+++⋅⋅⋅+-=1122212212n n n n n -+-=--， 于是1242n n n T -+=-．……………………………………………………………………8分 又∵ S n = 122112nn -=--，……………………………………………………………10分∴ 4-T n =(n +2)S n 可化为11212nn -=-，即12(21)1n n -⋅-=， 可变形为2(2)220n n --=，整理得(22)(21)0n n -+=，解得n =1．………………………………………………………………………………12分 18．解：（1）∵ 0.010×10+0.015×10+0.030×10+a ×10+0.010×10=1，∴ a =0.035．…………………………………………………………………………… 3分 （2）由题意可知从第1A 1，A 2，从第2B 1，B 2，B 3．……………………5分从这5人中随机抽取2人的所有情况有：(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，B 3)，共10种．这两人恰好属于不同组别有(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，共6种．∴ 所求的概率为P8分 （3）选出的200人中，各组的人数分别为：第1组：200×0.010×10=20人，第2组：200×0.015×10=30人， 第3组：200×0.035×10=70人，第4组：200×0.030×10=60人， 第5组：2000.010×10=20人，∴ 青少年组有20+30+70=120人，中老年组有200-120=80人，∵ 参与调查者中关注此问题的约占80%，即有200×(1-80%)=40人不关心民生问题， ∴ 选出的200人中不关注民生问题的青少年有30人． 于是得2×2列联表：10分 ∴ 22200(90107030) 4.68751604080120K ⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯<6.635，∴ 没有99%的把握认为是否关注民生与年龄有关．…………………………………12分 19．（1）证明：如图，连接AC ，易知AC ∩BD =O ．∵ 侧面ABCD 是菱形， ∴ AC ⊥BD ．又由题知EO ⊥面ABCD ，AC ⊂面ABCD ， ∴ EO ⊥AC ，而EO ∩BD =O ，且EO ，BD ⊂面BED ， ∴ AC ⊥面BED ． ∴ AC ⊥ED ． ∵ CF //ED ，∴ AC ⊥CF ．……………………………………………………………………………6分 （2）在菱形ABCD中，∠BAD =60º，AB =2， 可得BD =2，OA =OC 在Rt △OAE 中，AE =2，得OE =1． ∴ V E -BCD =13×S △BCD ×OE =13×12×BD ×OC ×OE=13×12×21=3．又∵ V E -BCD = V B -CDE ，且在平行四边形CDEF 中，S △CDE =S △CEF ， ∴ V B -CEF = V B -CDE ． ∴ V E -BCF = V B -CEF ． 即四面体E -BCF ． ……………………………………………………12分 20．解：（1）由题意知，M 到定点F (0，1)的距离与到定直线y =-1的距离相等， ∴ M 的轨迹C 为抛物线，其中焦点F (0，1)，准线为l ：y =-1．ABCDEFO设其方程为x 2=2py (p >0)，于是12p=，即p =2， ∴ C 的方程为x 2=4y ．…………………………………………………………………4分 （2）由题意知，l 的斜率必然存在． 设l ：y =kx +b (b ≠0)，联立24y kx b x y =+⎧⎨=⎩，，消去y 得x 2-4kx -4b =0．Δ=(4k )2+16b >0． 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，于是x 1+x 2=4k ，x 1x 2=-4b ， ……………………………………………………………7分 ∴ y 1y 2=(kx 1+b )(kx 2+b )=k 2x 1x 2+kb (x 1+x 2)+b 2=b 2．∵ k OM ·k ON =212121442y y b b x x b ==-=--， 解得b =2．………………………………………………………………………………9分 故直线l 的方程为y =kx +2， ∴ 直线l 恒过定点R (0，2)． 则△OMN 的面积为S △OMN =12|OR |·|x 1-x 2|=8， ∴ |x 1-x 2|=8，……………………………………………………………………………10分即|MN |=21212()464x x x x +-=， ∴ k 2+b =4，即k 2+2=4，解得k 2=2，即k=∴ 直线lx -y +2=0x +y -2=0．……………………………………12分 21．解：（1）()f x 的定义域为(0)+∞，，且22()axf x a x x-'=-=， …………………1分 当a ≤0时，()f x '>0，故()f x 在(0)+∞，上单调递增，由于(1)=0f ，所以当1x >时，()(1)0f x f >=，不合题意．………………………2分当0a >时，2()()a x a f x x--'=， ∴ 当20x a <<时，()0f x '>；当2x a>时，()0f x '<， 所以()f x 在2(0)a，上单调递增，()f x 在2()a +∞，上单调递减，即max 2()()f x f a=22ln22ln a a =-+-．所以要使()f x ≤0在(0)+∞，时恒成立，则只需max ()f x ≤0，亦即22ln22ln a a -+-≤0．…………………………………………………………3分 令()22ln 22ln a a a ϕ=-+-，则22()1a a a aϕ-'=-=， ∴ 当02a <<时，()0a ϕ'<；当2a >时，()0a ϕ'>， 即()a ϕ在(02)，上单调递减，在(2)+∞，上单调递增．又(2)0ϕ=，所以满足条件的a 只有2，即2a =．…………………………………5分 （2）由（1）知a =2，()222ln f x x x =-+， ∴ ()()f x ax g x x x a +=⋅-22ln (2)2x x xx x +=>-，于是22(2ln 4)()(2)x x g x x --'=-．…………………………………………………………6分令()2ln 4s x x x =--，则22()1x s x x x-'=-=， 由于2x >，所以()0s x '>，即()s x 在(2)+∞，上单调递增； 又(8)0s <，(9)0s >，∴ 0(89)x ∃∈，，使得0()0s x =，即002ln 4x x =-， 且当02x x <<时，()0s x <；当0x x >时，()0s x >， 即()g x 在0(2)x ，上单调递减；在0()x +∞，上单调递增． ∴ min0()()g x g x =000022ln 2x x x x +=-2000022x x x x -==-．……………………………10 分 即0m x =，∴ 0()()f m f x =000222ln 2(1110)x x x =-+=--∈--，，即11()10f m -<<-．…………………………………………………………………12分 22．解：（1）∵ C 的直角坐标方程为x 2+y 2=4，…………………………………………1分∴ 点Q (x 0，y 0)满足x 2+y 2=4(y ≥0)． …………………………………………………2分 设M (x ，y )，则00222x yx y +==，，即x 0=2x -2，y 0=2y ， ∴ (2x -2)2+(2y )2=4(y ≥0)，整理得C 1的轨迹方程为(x -1)2+y 2=1(y ≥0)．…………………………………………5分 （2）直线l 过点A (-1，0)，所以直线l 的参数方程为1cos sin x t y t θθ=-+⎧⎨=⎩，，(θ为参数，θ为倾斜角，[0)6πθ∈，)代入C 1：24cos 30t t θ-+=，则12124cos 3t t t t θ+=⎧⎨=⎩，，∴ 1212||2cos 22]||||33t t AD AE AF t t θ+==∈⋅⋅，． ……………………………………10 分 23．解：（1）∵ |x +3|-|x -1|=|x +3|-|1-x |≤|(x +3)+(1-x )|=4， ……………………………3分∴ a 2-3a ≥4，解得a ≥4，或a ≤-1（舍去）．∴ a 的最小值为4．……………………………………………………………………5分 （2）∵∴)．…………………………………………………………10分。