2019-2020年高考数学文一轮课件：第6章数列 第1讲

第六章 数 列
第1讲 数列的概念与表示
1．数列的定义 按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做 这个数列的_项__．
2．数列的分类
分类原则 类型
按项的个 有穷数列
数分类 无穷数列
按项与项 间的大小 变化趋势
递增数列 递减数列 常数列
分类 摆动数列
满足条件
项数有限
项数_无__限___
2．(必修 5 P33A 组 T5 改编)如图，根据下面的图形及相应的点 数，则数列{an}的一个通项公式为________．
解析：对应的点数分别为第一项 1 个 2 点，第二项 2 个 3 点， 第三项 3 个 4 点，第四项 4 个 5 点，故通项公式为 an＝n(n＋ 1)． 答案：an＝n(n＋1)
【对点通关】 1．已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，求 an. 解：因为 a1＝2，an＋1－an＝n＋1， 所以 an－an－1＝(n－1)＋1， an－1－an－2＝(n－2)＋1， an－2－an－3＝(n－3)＋1， … a2－a1＝1＋1， a1＝2＝1＋1，
将以上各式相加得 an＝[(n－1)＋(n－2)＋(n－3)＋…＋2＋1]
2n － 1 ， a1
不适合此等式．所以
an
＝
－1，n＝1， 2n－1，n≥2.
故
填
an＝
－1，n＝1， 2n－1，n≥2 .
(2)由 Sn＝32an＋13，得当 n≥2 时，Sn－1＝23an－1＋13，两式相减， 得 an＝23an－32an－1， 所以当 n≥2 时，an＝－2an－1. 又 n＝1 时，S1＝a1＝23a1＋13，a1＝1， 所以 an＝(－2)n－1.
(必修 5 P33A 组 T4(2)改编)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝1－ a1n(n∈N*)，则 a2 019＝________． 解析：因为 a1＝2，an＋1＝1－a1n，所以 a2＝1－12＝12，a3＝1－11
2 ＝1－2＝－1.a4＝1－－11＝2＝a1.所以数列{an}是周期为 3 的数 列，所以 a2 019＝a672×3＋3＝a3＝－1.即 a2 019＝－1.
根据所给数列的前几项求其通项时，需仔细观察分析，抓住以 下几方面的特征：(1)分式中分子、分母的各自特征；(2)相邻 项的联系特征；(3)拆项后的各部分特征；(4)符号特征．应多 进行对比、分析，从整体到局部多角度观察、归纳、联想．
【对点通关】
1．(必修 5 P33A 组 T3(1)改编)数列21，－2，92，－8，225，…的 一个通项公式为________． 解析：原数列即为122，－222，322，－422，522，…，奇数项为正， 偶数项为负，分母均为 2，分子是序号的平方，故 an＝ (－1)n＋1·n22. 答案：an＝(－1)n＋1·n22
(2)设递推公式 an＋1＝2an＋3 可以转化为 an＋1＋t＝2(an＋t)，即 an＋1＝2an＋t，解得 t＝3. 故 an＋1＋3＝2(an＋3)． 令 bn＝an＋3，则 b1＝a1＋3＝4， 且bbn＋n 1＝aan＋n＋1＋33＝2. 所以{bn}是以 4 为首项，2 为公比的等比数列． 所以 bn＝4·2n－1＝2n＋1，所以 an＝2n＋1－3.
A．17 C．25
B．22 D．28
解析：选 B.法一：由题图知，a1＝1，a2＝4，a3＝7，从第 2 图开始，每一图的点数比它的上一图多 3，则有 a8＝a7＋3＝a6＋3＋3＝a5＋3＋3＋3＝a4＋3＋3＋3＋3＝a3＋3 ＋3＋3＋3＋3＝7＋5×3＝22. 法二：由 a1＝1，a2＝4，a3＝7，…，知{an}的一个通项公式为 an＝3n－2，所以 a8＝3×8－2＝22，故选 B.
[思想方法] 由数列的前几项求数列通项，通常用观察法(对于交错数列 一般有(－1)n 或(－1)n＋1 来区分奇偶项的符号)；已知数列中的 递推关系，一般只要求写出数列的前几项，若求通项可用归纳、 猜想和转化的方法． 强调 an 与 Sn 的关系：an＝SS1n，－nS＝n－11，，n≥2.
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编后语
常常可见到这样的同学，他们在下课前几分钟就开始看表、收拾课本文具，下课铃一响，就迫不及待地“逃离”教室。实际上，每节课刚下课时的几分 钟是我们对上课内容查漏补缺的好时机。善于学习的同学往往懂得抓好课后的“黄金两分钟”。那么，课后的“黄金时间”可以用来做什么呢？
又因为 S21＝a21＝1， 所以 S22－S21＝1， 所以数列{S2n}是首项为 1，公差为 1 的等差数列， 所以 S2n＝1＋(n－1)×1＝n，即 Sn＝ n. 又 a1＝S1＝1， 所以 an＝Sn－Sn－1(n≥2) ＝ n－ n－1. 即{an }的通项公式为 an＝ n－ n－1.
B．an＝(－1)n·n1 D．an＝n1
答案：B
(必修 5 P31 例 3 改编)设数列{an}满足 an＝1＋an1－1(n>1)，若
a3＝32，则 a1 的值为(
)
A．1
B．12
C．23
D．2
解析：选 A.法一：设 a1＝x，
由 an＝1＋an1－1(n>1)知 a2＝1＋a11＝x＋x 1，a3＝1＋a12＝1＋x＋1 1＝2xx＋＋11，
＋n＋1＝（n－1）[（2n－1）＋1]＋n＋1＝（n－21）n＋n＋1 ＝n（n2＋1）＋1.
2．(必修 5 P33T4(1)改编)已知数列{an}中，a1＝2，an＝2an－1＋ 1(n≥2)，求证{an＋1}是等比数列，并求 an. 解：由 a1＝2，an＝2an－1＋1 得 an＋1＝2(an－1＋1)， 且 a1＋1＝3， 所以数列{an＋1}是首项为 3，公比为 2 的等比数列． 所以 an＋1＝3·2n－1，所以 an＝3·2n－1－1.
所以{an}是首项为 1，公比为－2 的等比数列．
数列的通项 an 与前 n 项和 Sn 的关系是 an＝SS1n，－nS＝n－11，，n≥2.当 n＝1 时，a1 若适合 Sn－Sn－1，则 n＝1 的情况可并入 n≥2 时 的通项 an；当 n＝1 时，a1 若不适合 Sn－Sn－1，则用分段函数 的形式表示．
已知递推关系求通项：对这类问题的要求不高，但试题难 度较难把握．一般有两种常见思路： (1)算出前几项，再归纳、猜想； (2)利用累加或累乘法求数列的通项公式．
[易错防范] 数列是一种特殊的函数，在利用函数观点研究数列时，一 定要注意自变量的取值，如数列 an＝f(n)和函数 y＝f(x)的单调 性是不同的． 数列的通项公式不一定唯一．
考点三 由 an 与 Sn 的关系，求 an
(1)已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝2n－3，则数列{an}的通
项公式为________．
(2)若数列{an}的前 n 项和 Sn＝32an＋13，求{an}的通项公式． 【解】 (1)当 n＝1 时，a1＝S1＝－1；
当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝(2n－3)－(2n－1－3)＝2n－2n－1＝
an＋1＞an
an＋1_＜__an
其中 n∈N*
an＋1＝an
从第 2 项起，有些项大于它的前一
项，有些项小于类型
满足条件
任一项的绝对值都小于等于某一正 有界数列
值
不存在某一正值能使任一项的绝对 无界数列
值小于等于它
3.数列的表示法 数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和_解__析__法__．数 列的图象是一群孤立的点． 4．数列的通项公式 如果数列{an}的第 n 项 an 与_序__号___n_之间的关系可以用一个式 子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
【解析】 (1)法一：由已知可知 a1＝0，a2＝32，仅有 C 满足， 故选 C. 法二：由前 n 项知，分子为偶数时，分母比分子多 1，且第 1 项为01，故选 C. (2)数列的奇数项为负，偶数项为正，则每一项前面的符号为 (－1)n，每一项的分母是序号与序号加 1 的积，而分子是序号 加 2，故 an＝(－1)n·n（nn＋＋21）. 【答案】 (1)C (2)an＝(－1)n·n（nn＋＋21）
显然当 n＝1 时，不满足上式， 故数列的通项公式为 an＝62， n－n＝ 5，1， n≥2. 答案：26，n－n＝5，1，n≥2
2．已知数列{an}的各项均为正数，其前 n 项和为 Sn 且满足 2anSn －a2n＝1，求数列{an}的通项公式． 解：因为 2anSn－a2n＝1， 所以当 n≥2 时， 2(Sn－Sn－1)Sn－(Sn－Sn－1)2＝1， 整理得 S2n－S2n－1＝1(n≥2)，
x 因为 a3＝23，所以2xx＋＋11＝23，
解得 x＝1，所以 a1＝1.故选 A. 法二：由 an＝1＋an1－1(n>1)，得 an－1＝an－1 1. 因为 a3＝23，所以 a2＝a3－1 1＝32－1 1＝2， a1＝a2－1 1＝2－1 1＝1，故选 A.
(必修 5 P33A 组 T5 改编)下列图形的点数构成数列{an}，则 a8 等于( )
5．递推公式 如果已知数列{an}的首项(或前几项)，且任一项 an 与它的前一 项 an－1(n≥2)(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么 这个公式叫做数列的递推公式．
(必修 5 P29 例 1(1)改编)数列－1，21，－13，14，－15，…，的 一个通项公式为( )
A．an＝±n1 C．an＝(－1)n＋1·n1
【对点通关】 1．(必修 5 P45 练习 T2 改编)若数列{an}的前 n 项和 Sn＝3n2－ 2n＋1，则数列{an}的通项公式 an＝________． 解析：当 n＝1 时，a1＝S1＝3×12－2×1＋1＝2； 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－2(n－1) ＋1]＝6n－5，