二次函数零点分布
二次函数的零点分布问题
二次函数作为一种基本的数学工具，在物理学、工程学、经济学等多个领域都有广泛的应用。未来，我 们将探索如何将二次函数零点分布的研究成果应用于这些领域，推动相关学科的发展。
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二次函数的零点分布问
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目录
• 引言 • 二次函数零点存在性定理 • 二次函数零点个数判断方法 • 二次函数零点分布规律探讨 • 典型案例分析与应用举例 • 总结与展望
01 引言
二次函数定义与性质
二次函数的一般形式：$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中 $a, b,
c$ 为常数，$a neq 0$。
零点的意义
零点是函数图像与 $x$ 轴交点的横坐 标，决定了函数图像在 $x$ 轴上的位 置。
研究目的和意义
研究目的
通过探讨二次函数的零点分布问题，可以深入理解二次函数的性质及其与一元二次方程 的关系，为解决实际问题提供理论支持。
研究意义
二次函数作为一种基本的数学模型，在物理学、工程学、经济学等领域有着广泛的应用。研究二次函数的零 点分布问题，不仅有助于完善数学理论体系，还能为解决实际问题提供有效的数学工具。例如，在控制论中， 通过分析二次函数的零点分布可以判断系统的稳定性；在经济学中，可以利用二次函数模型分析市场供需关
迭代法收敛性
牛顿迭代法具有平方收敛速度，即每一步迭代后误差减少为上一步误差 的平方。但在某些情况下，如初始值选取不当或函数性质不满足要求时， 迭代法可能不收敛。
03 二次函数零点个数判断方 法
图像法
01
观察二次函数图像与x轴的交点个 数，交点个数即为零点个数。
02
二次函数零点分布情况
二次函数零点分布情况二次函数是一种常见的数学函数形式，可以用来描述很多自然现象和数学问题。
在二次函数中，零点即为方程 $ax^2+bx+c=0$ 的解，其中 $a, b, c$ 是常数，$a\neq0$。
在本文中，我们将探讨二次函数的零点分布情况，包括有两个实根、有一个实根和无实根的情况。
首先，我们来讨论二次函数有两个实根的情况。
对于这种情况，方程$ax^2+bx+c=0$ 的判别式 $D=b^2-4ac$ 必须大于零，才能有两个不相等的实根。
当 $D>0$ 时，方程有两个实根，且它们的值可以通过求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}$ 来求得。
此时，我们可以绘制二次函数的图像，发现它与 $x$ 轴交于两个不同的点，这两个点就是函数的零点。
其次，我们来讨论二次函数有一个实根的情况。
对于这种情况，方程$ax^2+bx+c=0$ 的判别式 $D=b^2-4ac$ 必须等于零，才能有一个实根。
当 $D=0$ 时，方程有一个实根，它的值可以通过求根公式 $x=\frac{-b}{2a}$ 来求得。
此时，我们可以绘制二次函数的图像，发现它与$x$ 轴相切于一个点，这个点就是函数的零点。
最后，我们来讨论二次函数无实根的情况。
对于这种情况，方程$ax^2+bx+c=0$ 的判别式 $D=b^2-4ac$ 必须小于零，才能无实根。
当$D<0$ 时，方程无实根，此时我们无法在实数范围内找到满足方程的解。
对于这种情况，二次函数的图像也不会与 $x$ 轴相交，即没有零点。
通过以上讨论，我们可以得出以下结论：对于二次函数 $ax^2+bx+c$，它的零点分布情况依赖于方程的判别式 $D=b^2-4ac$ 的值。
如果 $D>0$，则函数有两个实根，若 $D=0$，则函数有一个实根，若 $D<0$，则函数无实根。
需要注意的是，判别式的正负性实际上也与二次函数的开口方向有关。
当 $a>0$ 时，二次函数开口向上，有两个零点的情况会出现在开口向上的抛物线中；当 $a<0$ 时，二次函数开口向下，有两个零点的情况会出现在开口向下的抛物线中。
二次函数的零点与像分析
二次函数的零点与像分析二次函数是数学中一种重要的函数形式，其表达式可写为f(x) =ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。
本文将重点探讨二次函数的零点与像，分析其在数学和实际问题中的应用。
一、二次函数的零点分析二次函数的零点指的是该函数的图象与x轴交点的横坐标，也即f(x) = 0的解。
为了求得二次函数的零点，我们可以使用求根公式或配方法。
1.1 求根公式求根公式即二次函数的根公式，由韦达定理得到，其表达式为：x = (-b ± √(b^2-4ac))/(2a)其中，±表示两个解，即正负两个值，√表示开平方。
通过求根公式，我们可以直接求得二次函数的零点。
1.2 配方法配方法是一种常用的求解二次函数零点的方法，其基本思想是将二次函数转化为完全平方的形式。
具体步骤如下：Step 1: 如果a ≠ 1，可以通过提取公因数将二次函数标准形式化简，令a为1。
Step 2: 将二次项和一次项的系数加倍，然后加上一个常数项，使得二次项能够转化为完全平方。
Step 3: 将完全平方式进行因式分解，并利用因式分解的结果求得函数的零点。
通过配方法，我们可以将二次函数转化为完全平方的形式，从而更容易求得其零点。
二、二次函数的像分析二次函数的像即函数图象在y轴上的截距，也即f(x)的值。
通过分析二次函数的象，我们可以了解函数的最值、奇偶性等重要特性。
2.1 最值分析对于标准形式的二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，其中a>0，如果a>0，则抛物线开口向上，函数的最小值发生在顶点处；如果a<0，则抛物线开口向下，函数的最大值发生在顶点处。
因此，通过分析二次函数的a 值，可以得出其最值情况。
2.2 奇偶性分析对于标准形式的二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，其中a ≠ 0，若满足f(-x) = f(x)，则函数是偶函数，对称于y轴；若满足f(-x) = -f(x)，则函数是奇函数，关于原点对称。
二次函数零点分布
一元二次函数零点分布教学过程一、探究二次函数零点分布的要素 1、 回想：方程0)3(2=+-+a x a x 有两个正根，两个负根，一个正根一个负根。
2、 思考：函数2)3()(2+-+=x a x x f 有两个零点，21,x x ，且()+∞∈,0,21x x 。
若将条件改成()+∞∈,1-,21x x ，又该满足什么条件。
3.探究：二次函数零点分布的要素二、例题讲解例1 函数a x a x x f +-+=)3()(2有两个零点21,x x ，且()+∞∈,0,21x x ，求a 范围【练习1】例1中条件改成()0,,21∞-∈x x例2函数a x a x x f +-+=)3()(2有两个零点21,x x ，且()+∞∈,1-,21x x ，求a 范围【总结】一元二次函数两个零点均在一个区间，如()()),(,,,,-b a m m +∞∞ 。
这类问题要考虑哪些因素。
【练习2】12)(2++-=ax x x f 有两个零点21,x x ，且()+∞∈,1-,21x x ，求a 范围【变式1】练习2中条件改成()1,1-,21∈x x【变式2】12)(2++=ax ax x f 的两个零点()1,1-,21∈x x ，求a 范围例3函数a x a x x f +-+=)3()(2有两个零点21,x x ，且0,021><x x ，求a 范围【总结】一元二次函数两个零点在不同区间，这一类问题需要考虑哪些因素，为什么？【练习3】例3中条件改成1,121><x x【变式1】12-)(2++=ax x x f 的两个零点有1,121><x x ，求a 范围。
【变式2】a x a x x f +-+=)3()(2两个零点有()()4,0,0,121∈-∈x x ，求a 范围。
例 4 方程0122=--ax x 在()1,0恰有一解，求a 范围。
【总结】一元二次函数有且仅有一个零点在在区间()n m ,内，这一类问题要考虑哪些因素。
二次函数零点分布情况
二次函数零点分布情况二次函数是代数学中重要的一种函数类型。
它的一般形式为y=ax^2+bx+c，其中a、b和c是实数常数，且a不为零。
二次函数的图像为开口向上或向下的抛物线，而与二次函数相关联的一个重要概念就是零点。
零点，也称为根或解，指的是使得函数取值为零的x值。
对于二次函数来说，求解零点的方法比较简单，有一条通用的公式可以使用。
给定一般形式的二次函数y=ax^2+bx+c，其零点可以通过解以下的二次方程得到：ax^2 + bx + c = 0二次方程的解可以通过求解下面的一元二次方程公式得到：x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)根据这个公式，我们可以得到一些关于二次函数零点分布情况的结论。
1.零点的数量：根据一元二次方程的解的公式，零点的数量取决于判别式的值，即(b^2-4ac)的正负性。
如果判别式大于零，方程有两个不同的实数根；如果判别式等于零，方程有两个相等的实数根；如果判别式小于零，方程没有实数根，但可能有两个复数根。
2.对称性：二次函数的零点也与其图像的对称性有关。
由于二次函数是关于抛物线的对称轴对称的，所以如果一个根为x，则对称轴上的距离为2x的点也是零点。
换句话说，如果(x1,0)是函数图像上的一个零点，那么对称轴上的点(-x1,0)也是零点。
3.零点位置与抛物线开口方向的关系：二次函数的开口方向由系数a的正负性决定。
如果a大于零，抛物线开口向上，此时函数图像的最低点就是零点的位置；如果a小于零，抛物线开口向下，此时函数图像的最高点就是零点的位置。
4.零点的分布情况：二次函数的零点的分布情况也与判别式的值有关。
如果判别式大于零，说明方程有两个不同的实数根，这意味着抛物线与x轴相交于两个不同的点；如果判别式等于零，说明方程有两个相等的实数根，这意味着抛物线与x轴相切于一个点；如果判别式小于零，说明方程没有实数根，这意味着抛物线与x轴没有交点。
在解析几何中，二次函数的零点也被称为方程与坐标轴的交点。
初中数学 什么是二次函数的零点定理
初中数学什么是二次函数的零点定理二次函数的零点定理是指一个二次函数在坐标系上与x轴相交的点，也就是使得函数值等于零的x值。
在数学中，这些点也被称为函数的根或零点。
二次函数的零点定理可以通过解二次方程来得到根的具体值。
二次函数的一般形式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b和c分别是二次函数的系数。
为了找到二次函数的零点，我们需要将函数值y等于零，即解方程ax^2 + bx + c = 0。
求解这个二次方程可以使用多种方法，其中包括因式分解、配方法和求根公式等。
下面将详细介绍二次函数的零点定理及其求解方法：1. 因式分解法：当二次函数的系数适合因式分解的形式时，我们可以使用因式分解法来求解零点。
具体步骤如下：-将二次函数写成因式分解的形式，例如(x - a)(x - b) = 0。
-令每个因子等于零，解出x的值，即得到零点。
2. 配方法：当二次函数的系数不方便进行因式分解时，我们可以使用配方法来求解零点。
具体步骤如下：-将二次函数写成完全平方的形式，例如a(x - b)^2 + c = 0。
-通过平方根运算，解出x的值，即得到零点。
3. 求根公式：当二次函数的系数较复杂，无法通过因式分解或配方法求解时，我们可以使用求根公式来求解零点。
求根公式是通过判别式Δ来计算根的值，具体公式如下：- x = (-b ± √Δ) / (2a)，其中±表示取正负号，Δ = b^2 - 4ac是判别式。
根据二次函数的零点定理，我们可以得到以下结论：-如果二次函数有两个不相等的实根，那么函数与x轴有两个交点。
-如果二次函数有一个实根，那么函数与x轴有一个交点。
-如果二次函数没有实根，那么函数与x轴没有交点。
需要注意的是，判别式Δ的值可以提供关于根的更多信息：-当Δ > 0时，二次函数有两个不相等的实根。
-当Δ = 0时，二次函数有一个实根。
-当Δ < 0时，二次函数没有实根，根为虚数。
二次函数零点位置的确定方法
二次函数零点位置的确定方法要确定一个二次函数的零点位置，需要通过以下几个步骤进行推导和计算。
首先，我们来回顾一下什么是二次函数。
二次函数是一个形如f(x) = ax^2 + bx + c 的函数，其中a、b、c是实数常数，且a不等于0。
二次函数的图像为一条抛物线，它的形状由参数a的正负和大小决定。
对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c来说，零点是函数图像与x轴相交的点，也就是函数f(x)等于0的点。
为了确定二次函数的零点位置，我们可以采用以下三种方法。
方法一：二次函数的求解公式对于任意一个二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，我们可以利用求根公式来确定其零点位置。
求根公式就是人们所熟悉的“一元二次方程的解法”。
根据一元二次方程的解法，我们可以得到二次函数f(x) = ax^2 + bx + c的零点位置公式为：x = (-b±√(b^2-4ac))/(2a)其中，±表示两个解，根据b^2-4ac的符号来决定解的类型。
如果b^2-4ac大于0，则有两个不相等的实数解；如果b^2-4ac等于0，则有两个相等的实数解；如果b^2-4ac小于0，则无实数解，也就是二次函数在实数域中没有零点。
因此，我们可以通过带入a、b、c的值计算上述公式，来得到二次函数的零点位置。
方法二：特殊二次函数的零点位置对于特殊的二次函数，我们可以直接通过观察其形式或者性质，确定其零点位置。
1. 当二次函数为f(x) = a(x-h)^2 + k形式时，其中h和k为常数。
这种形式的二次函数称为顶点形式。
它的图像是一个抛物线，并且顶点坐标为(h, k)。
由于抛物线在顶点处与x轴相切，所以顶点即为零点。
因此，这种形式的二次函数的零点位置为x=h。
2. 当二次函数为f(x) = a(x-p)(x-q)形式时，其中p和q为常数。
这种形式的二次函数称为因式分解形式。
它的图像是一个抛物线，相对于原点对称，并且与x 轴交于点(p,0)和(q,0)。
二次函数零点问题梳理
二次函数零点问题梳理二次函数是高中数学中的重要内容之一，其中零点问题是常见的考点之一。
为了更好地理解和掌握二次函数零点问题，本文将对二次函数、零点以及相关的概念、性质和解题方法进行梳理和总结。
1. 二次函数的定义和性质：二次函数是指形如f(x) = ax² + bx + c的函数，其中a、b、c是实数且a ≠ 0。
二次函数的图象是抛物线，其开口方向由a的正负决定。
若a > 0，则抛物线开口向上；若a < 0，则抛物线开口向下。
2. 二次函数的零点：二次函数的零点就是函数的解，即满足f(x) = 0的x值。
零点也可以称为函数的根或者方程的解。
3. 二次函数的零点的性质：（1）判别式：二次函数的判别式Δ = b² - 4ac。
判别式的值可以判断二次函数的零点情况：a. 当Δ > 0时，二次函数有两个不相等的实根；b. 当Δ = 0时，二次函数有两个相等的实根，也即有一个重根；c. 当Δ < 0时，二次函数无实根，但有两个共轭复根。
（2）零点与二次函数图象的关系：a. 若零点为x1和x2，且x1 < x2，则函数图象与x轴相交于x1和x2两点；b. 若零点为x1 = x2，则函数图象与x轴相切于x1点；c. 若无实根，则函数图象与x轴不相交。
4. 求解二次函数零点的方法：（1）因式分解法：将二次函数进行因式分解，然后令各个因式等于零，解出x的值。
（2）配方法：对于一元二次方程ax² + bx + c = 0，若a ≠ 0，可将其变形为完全平方式(ax + b/2a)² + (c - b²/4a) = 0，然后移项并配方得到(x + m)² = n，再通过开平方将方程解出。
（3）求根公式：对于一元二次方程ax² + bx + c = 0，其根的公式为： x = [-b ± √(b² - 4ac)] / 2a。
二次函数的零点公式
二次函数的零点公式二次函数是高中数学中的一个重要概念，它在数学和其他科学领域中有着广泛的应用。
零点公式是求解二次函数零点的一种方法，也是解二次方程的基本工具。
本文将介绍二次函数的零点公式及其应用。
二次函数是一个一般形式为y = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为实数，且a不等于0。
根据一元二次方程的定义，我们可以将二次函数表示成方程ax^2 + bx + c = 0的形式。
为了求出二次方程的解，我们可以使用零点公式，也称为一元二次方程的求根公式。
零点公式表达为x = (-b ±√(b^2 - 4ac)) / 2a。
其中，±表示正负两个解，√表示求平方根。
这个公式是通过配方法和求解一元二次方程得到的。
通过将二次函数设置为0并运用零点公式，我们可以有效地求出二次函数的零点。
在使用零点公式时，我们需要注意以下几点：1. 判别式：方程的判别式是针对二次方程的(b^2 - 4ac)部分的值进行判断。
当判别式大于0时，方程有两个不相等的实根；当判别式等于0时，方程有两个相等的实根；当判别式小于0时，方程没有实根，但存在两个共轭复数根。
2. 实根和虚根：根据判别式的值，我们可以确定方程的解的性质。
如果判别式大于0，方程有两个不相等的实根；如果判别式等于0，方程有两个相等的实根；如果判别式小于0，方程没有实根，但存在两个共轭复数根。
通过以上的阐述，我们了解了二次函数的零点公式及其相关概念。
接下来，我们将介绍一些示例问题，以展示零点公式的实际应用。
示例一：解方程2x^2 + 5x - 3 = 0。
根据零点公式，我们有x = (-5 ± √(5^2 - 4*2*(-3))) / (2*2)。
计算得到x = (-5 ± √(25 + 24)) / 4。
化简得到x = (-5 ± √49) / 4。
进一步计算可得到x = (-5 ± 7) / 4。
二次函数零点分布
二次函数零点分布 SANY GROUP system office room 【SANYUA16H-一元二次函数零点分布（二次方程根的分布） 教学目标学会如何通过研究函数的图像，确定二次函数在给定区间上的零点分布。
教学重点根据函数的图像确定二次函数在给定区间上的零点分布。
教学难点体会影响二次函数在给定区间上的零点分布的要素。
教学过程一、 探究二次函数零点分布的要素1、回想：方程0)3(2=+-+a x a x 有两个正根，两个负根，一个正根一个负根。
2、思考：函数2)3()(2+-+=x a x x f 有两个零点，21,x x ，且()+∞∈,0,21x x 。
若将条件改成()+∞∈,1-,21x x ，又该满足什么条件。
3.探究：二次函数零点分布的要素二、例题讲解例1函数a x a x x f +-+=)3()(2有两个零点21,x x ，且()+∞∈,0,21x x ，求a范围 【练习1】例1中条件改成()0,,21∞-∈x x例2函数a x a x x f +-+=)3()(2有两个零点21,x x ，且()+∞∈,1-,21x x ，求a 范围【总结】一元二次函数两个零点均在一个区间，如()()),(,,,,-b a m m +∞∞ 。
这类问题要考虑哪些因素。
【练习2】12)(2++-=ax x x f 有两个零点21,x x ，且()+∞∈,1-,21x x ，求a范围【变式1】练习2中条件改成()1,1-,21∈x x 【变式2】12)(2++=ax ax x f 的两个零点()1,1-,21∈x x ，求a 范围例3函数a x a x x f +-+=)3()(2有两个零点21,x x ，且0,021><x x ，求a范围【总结】一元二次函数两个零点在不同区间，这一类问题需要考虑哪些因素，为什么？【练习3】例3中条件改成1,121><x x【变式1】12-)(2++=ax x x f 的两个零点有1,121><x x ，求a 范围。
二次函数的零点分布
二次函数的零点分布一、基础知识1．零点存在性定理：函数()y f x =的图像连续不断，且满足f(a)f(b）＜0；则函数()y f x =在区间（a,b ）存在零点；当c 在（a,b ）内且f(c)=0存在唯一零点。
2．函数265y x x =-+的零点为1,53．二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的零点个数与方程20ax bx c ++=根的关系：若0∆>，则方程20ax bx c ++=有2根，函数2y ax bx c =++有2个零点若0∆=，则方程20ax bx c ++=有2根，函数2y ax bx c =++有1个零点若0∆<，则方程20ax bx c ++=有0根，函数2y ax bx c =++有0个零点二、例题讲解例1：函数29y x mx =++有两个零点均大于2，求实数m 的范围变式1：函数29y x mx =++有两个零点在区间（2，4）内，求实数m 的范围变式2：函数29y x mx =++有两个零点在区间（2，4）两侧，求实数m 的范围变式3：函数29y x mx =++有一个零点在区间（2，4）内，求实数m 的范围变式4：函数29y x mx =++的两个零点，一个在（2，3）内，一个在（4，5）内，求实数m 的范围变式5：函数29y x mx =++有两个零点一个比2大，一个比2小，求实数m 的范围变式6：函数29y x mx =++的零点都比2大，求实数m 的范围例2：若不等式(a －2)x 2+2(a －2)x －4<0对一切x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是()A (－∞,2]B [－2,2]C (－2,2]D (－∞,－2)例3：已知函数2()3f x x ax a =++-若[2,2]x ∈-时，()f x ≥0恒成立，则a 的取值范围为解：设()f x 的最小值为()g a （1）当22a -<-即a ＞4时，()g a ＝(2)f -＝7－3a ≥0，得73a ≤故此时a 不存在；(2)当[2,2]2a -∈-即－4≤a ≤4时，()g a ＝3－a －24a ≥0，得－6≤a ≤2又－4≤a ≤4，故－4≤a ≤2；（3）22a ->即a ＜－4时，()g a ＝(2)f ＝7＋a ≥0，得a ≥－7，又a ＜－4故－7≤a ＜－4综上，得－7≤a ≤2例4：是否存在这样的实数k，使得关于x 的方程x 2+（2k－3）x －（3k－1）＝0有两个实数根，且两根都在0与2之间？如果有，试确定k 的取值范围；如果没有，试说明理由.解：令2()(23)(31)f x x k x k =+---那么由条件得到2(23)4(31)0(0)130(2)42(23)(31)023022k k f k f k k k ⎧∆=-+-≥⎪=->⎪⎪⎨=+--->⎪-⎪<<⎪⎩即24501313722k k k k ⎧+≥⎪⎪<⎪⎨>⎪⎪<<⎪⎩即此不等式无解即不存在满足条件的k 值.例5：已知函数()213f x ax x a =+-+()a ∈R 在区间[]1,1-上有零点，求实数a 的取值范围．解：当0a =时，()1f x x =-，令()0f x =，得1x =，是区间[]1,1-上的零点．当0a ≠时，函数()f x 在区间[]1,1-上有零点分为三种情况：①方程()0f x =在区间[]1,1-上有重根，令()14130a a ∆=--+=，解得16a =-或12a =．当16a =-时，令()0f x =，得3x =，不是区间[]1,1-上的零点．当12a =时，令()0f x =，得1x =-，是区间[]1,1-上的零点．②若函数()y f x =在区间[]1,1-上只有一个零点，但不是()0f x =的重根，令()()()114420f f a a -=-≤，解得102a <≤．③若函数()y f x =在区间[]1,1-上有两个零点，则()()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥≥<-<->++-=∆>.01-,01,1211,01412,02f f a a a a 或()()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≤≤<-<->++-=∆<.01-,01,1211,01412,02f f a a a a 解得a ∈∅．综上可知，实数a 的取值范围为10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦．例6：已知二次函数2()163f x x x q =-++：⑴若函数在区间[]1,1-上存在零点，求实数q 的取值范围；⑵问：是否存在常数(0)t t ≥，当[],10x t ∈时，()f x 的值域为区间D ，且D 的长度为12t -。
二次函数零点分布问题.docx
二次函数零点分布问题二次函数零点分布问题二次函数作为数学中重要的函数之一，其零点分布问题一直是数学研究的热点之一。
通过探究二次函数的零点分布情况，我们可以进一步了解函数图像特征和函数解析式的关系，为解决实际问题提供了有力的数学工具。
本文将从二次函数零点分布的定义、特性及应用等方面进行探讨。
一、二次函数零点分布的定义二次函数可用一般式表示为：f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c分别代表常数，且a≠0。
二次函数的零点，即函数f(x)在x 轴上的交点，是指使得f(x) = 0的x值。
零点分布问题旨在研究二次函数的零点在数轴上的位置及个数。
二、二次函数零点分布的特性1. 零点个数：根据二次函数的解析式，在a≠0的前提下，二次函数的零点个数最多为2个。
当函数的判别式Δ=b^2-4ac＞0时，二次函数有两个不相等实数根；当Δ=0时，二次函数有两个相等的实数根；当Δ＜0时，二次函数没有实数根。
2. 零点位置：根据二次函数的对称性可知，二次函数的零点位于其对称轴上，即x = -b/2a。
3. 零点分布规律：当a＞0时，即二次函数开口向上时，如果函数有两个零点，那么这两个零点将分别位于对称轴的两侧；当a＜0时，即二次函数开口向下时，如果函数有两个零点，那么这两个零点将分别位于对称轴的同一侧。
三、二次函数零点分布的应用1. 几何应用：通过对二次函数零点分布规律的研究，我们能够更好地理解抛物线的特性。
在绘制抛物线图形时，我们可以准确地确定抛物线在坐标系中的位置，从而更好地进行几何推导和计算。
2. 物理应用：二次函数的零点分布问题在物理学中也有广泛的应用。
例如，对于运动学中的抛体运动问题，通过研究抛体的轨迹方程，我们可以通过零点分布来确定抛体的高度、时间、速度等物理量。
3. 经济应用：二次函数零点分布问题在经济学领域中也有一定的应用。
例如，通过对二次函数零点的研究，可以确定成本、收益、利润等经济指标在不同条件下的变化趋势，为经济决策提供数学支持。
研究二次函数的零点与极值
研究二次函数的零点与极值二次函数是一类形式为$f(x) = ax^2 + bx + c$的函数，其中$a, b,c$为实数且$a\neq0$，而且$a$的正负与$a$所对应的二次函数的开口方向有关。
在研究二次函数时，我们常常关注它的零点与极值，这些信息对于描绘二次函数的图像以及分析其性质都具有重要作用。
本文将详细讨论二次函数的零点与极值，并介绍求解零点和极值的方法。
一、二次函数的零点二次函数的零点即为函数在横轴上的交点，也就是满足$f(x) = 0$的$x$值。
下面介绍求解二次函数零点的一般步骤和方法。
步骤一：将二次函数$f(x)$置零，得到方程$ax^2 + bx + c = 0$。
步骤二：根据一元二次方程的特性，可通过求根公式$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$求解方程，其中$\pm$表示两个不同的根。
特别地，当$b^2 - 4ac = 0$时，方程有且仅有一个实根；当$b^2 -4ac < 0$时，方程没有实根，但有两个虚根；当$b^2 - 4ac > 0$时，方程有两个不同的实根。
步骤三：使用求根公式求得根的数值，并作为二次函数的零点。
除了求根公式，我们还可以通过图像法来求解二次函数的零点。
通过绘制二次函数的图像，我们可以观察函数与横轴的交点位置，从而得到零点的近似值。
二、二次函数的极值二次函数的极值即为在定义域上的最大值或最小值。
对于二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$，其极值与开口方向有关。
当$a > 0$时，二次函数开口向上，在抛物线的顶点处取得最小值；当$a < 0$时，二次函数开口向下，在抛物线的顶点处取得最大值。
求解二次函数的极值可通过下面的步骤和方法。
步骤一：通过配方或其他方法将二次函数转化为顶点形式：$f(x) = a(x-h)^2 + k$。
步骤二：根据定义域的不同，分情况讨论极值位置。
二次函数零点分布
一元二次函数零点分布（二次方程根的分布）教学目标学会如何通过研究函数的图像，确定二次函数在给定区间上的零点分布。
教学重点根据函数的图像确定二次函数在给定区间上的零点分布。
教学难点体会影响二次函数在给定区间上的零点分布的要素。
教学过程一、探究二次函数零点分布的要素1、 回想：方程0)3(2=+-+a x a x 有两个正根，两个负根，一个正根一个负根。
2、 思考：函数2)3()(2+-+=x a x x f 有两个零点，21,x x ，且()+∞∈,0,21x x 。
若将条件改成()+∞∈,1-,21x x ，又该满足什么条件。
3.探究：二次函数零点分布的要素二、例题讲解例1 函数a x a x x f +-+=)3()(2有两个零点21,x x ，且()+∞∈,0,21x x ，求a 范围【练习1】例1中条件改成()0,,21∞-∈x x例2函数a x a x x f +-+=)3()(2有两个零点21,x x ，且()+∞∈,1-,21x x ，求a 范围【总结】一元二次函数两个零点均在一个区间，如()()),(,,,,-b a m m +∞∞ 。
这类问题要考虑哪些因素。
【练习2】12)(2++-=ax x x f 有两个零点21,x x ，且()+∞∈,1-,21x x ，求a 范围【变式1】练习2中条件改成()1,1-,21∈x x【变式2】12)(2++=ax ax x f 的两个零点()1,1-,21∈x x ，求a 范围例3函数a x a x x f +-+=)3()(2有两个零点21,x x ，且0,021><x x ，求a 范围【总结】一元二次函数两个零点在不同区间，这一类问题需要考虑哪些因素，为什么？【练习3】例3中条件改成1,121><x x【变式1】12-)(2++=ax x x f 的两个零点有1,121><x x ，求a 范围。
高中数学课件-二次函数零点分布
已知f (x)是R上的偶，且当x 0时，f (x) x2 6x 4, 则y [ f (x)]2 f (x) 30的零点个数为_________.
2、f
(x)
log 5 (1 x) ,
(x
2) 2
x 2, x
1
, 1
则f
(
f
(x))
1的实根个数为_______.
f
(
x)
e
x1
x2
,
2x
1,
x 0，方程f 2 (x) bf (x) 2 0有8个相异的实根， x0
Hale Waihona Puke 则b的取值范围_________.
解得-
19 13
m
0
跟踪训练：1已知二次函数f x＝x2 2ax 4， 一个零点在 0,1内，另一个零点在 6, 8 内，
求实数a的取值范围．
2若函数f x＝－x＋b的零点在区间1, 2内，
求b的取值范围。
• 分别求实数m的范围，使关于x的方程x2＋2x＋m＋1＝0， • (1)有两个负根； • (2)有两个实根，且一根比2大，另一根比2小； • (3)有两个实根，且都比1大．
二次函数零点分布 与二次方程根的分布
例4.关于x的方程mx2 +2(m 3)x 2m 14=0有两 实根，且一个大于4，一个小于4，求m的取值范围．
解：令f x mx2 2m 3 x 2m 14
依题意有mf 40
或 0
m 0
f
4
0
即2m6m0
38
或 0
m 0 26m
38
0
解：(1)方法一 (方程思想)
设方程的两个根为 x1，x2，则有两个负根的
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∆ ≥ 0 b x1 + x2 = − < 0 a c x1 x2 = a > 0
3、一正一负 、
f ( x) = ax + bx + c = 0
2
∆ > 0 c x1x 2 = < 0 a
4、有一个根为零
f ( x) = ax + bx + c = 0
应用举例 例2 2 已知的 x + (m − 3) x + 7 − m = 0 两根都比3大 的范围。 两根都比 大，求m的范围。 的范围
应用举例 例3 一个三角形的两边是方程的
x + px + 1 = 0
2
两根，第三边是 ， 两根，第三边是2，求P的 的 取值范围。 取值范围。
例4.若方程 ax − x − 1 = 0 若方程
f ( x) = ax + bx + c
2
(a > 0)
∆ > 0 f (k ) > 0 1 f (k2 ) < 0 f ( k3 ) > 0
7、方程有两个根
x1 < x 2 < k
2
f ( x) = ax + bx + c (a > 0)
∆ > 0 b <k − 2a f (k ) > 0
8、方程有两个根
x1 < k < x 2
f ( x) = ax + bx + c (a > 0)
2
∆ > 0 f (k ) < 0
9、方程有两个根
k1 < x1 < x 2 < k 2
f ( x) = ax + bx + c (a > 0)
2
∆ > 0 f (k ) > 0 1 f (k2 ) > 0 k1 < − b < k2 2a
2
在（0，2）上是否有实根？ ， ）上是否有实根？
1、函数的零点（零点定理，注意零点的条件） 、函数的零点（零点定理，注意零点的条件） 2、变换后的函数的交点的横坐标（数形结合） 、变换后的函数的交点的横坐标（数形结合）
f ( x) = ax + bx + c (a ≠ 0)
2
二次函数零点分布
（二次方程根的分布） 二次方程根的分布） 数形结合思想应用
2
在区间（ ）内有解， 在区间（0,1）内有解，求实数 a 的取值范围。 的取值范围。
课后练习 若关于x的方程的 例5.若关于 的方程的 若关于
lg(ax) lg(ax ) = 4
2
所有解都大于1，求实数a的取值 所有解都大于 ，求实数 的取值 范围。 范围。
应用举例 例6. 关于x的方程 的方程lg(kx)=2lg(x+1) 关于 的方程 有且仅有一个实数解， 有且仅有一个实数解，求实数 k的取值范围 。 的取值范围
复习回顾
给定精确度， 给定精确度，用二分法求函 数零点的近似值的步骤如下： 数零点的近似值的步骤如下：
• 1、确定区间； 、确定区间； • 2、判断区间中点的函数值和符号； 、判断区间中点的函数值和符号； • 3、判断是否达到精确度； 、判断是否达到精确度；
3 =0 1、方程 x − 2 − 、 x −1
2
则 f (0) = c = 0
5、一正、一负且负的绝对值大
f ( x) = ax + bx + c = 0
2
∆ > 0 b x 1 + x 2 = − < 0 a c x 1 x 2 = a < 0
6、方程有两个根
x 1 < x 2 且k 1 < x 1 < k 2 < x 2 < k 3
10、函数 f பைடு நூலகம் x ) = ax + bx + c ( a
2
≠ 0)
∆＝0， b f (k1 ) f (k 2 ) < 0或 k1 < − < k2 2a
再加上考虑k1或 是函数零点的情况 再加上考虑 或k2是函数零点的情况
在（k1,k2）上只有一个零点。
应用举例
例1 2 若关于x的方程 若关于 的方程 3x − 5 x + a = 0 一个根大于－ 而小于 而小于0， 一个根大于－2而小于 ，另一个 根大于1而小于 而小于3， 根大于 而小于 ，求实数 a 的范围。 的范围。
1、方程有两个正根 、
f ( x) = ax + bx + c = 0
2
• 方程有两 个大于0的 个大于 的 根？
∆ ≥ 0 b x 1 + x 2 = − > 0 a c x1x 2 = > 0 a
2、两个负根 、
f ( x) = ax + bx + c = 0