九年级数学下册24.2圆的基本性质24.2.4圆的基本性质同步检测新版沪科版
201x版九年级数学下册 24.2 圆的基本性质 24.2.2 圆的基本性质教案 沪科版
2019版九年级数学下册 24.2 圆的基本性质 24.2.2 圆的基本性质教案（新版）沪科版教学过程（一）、复习提问：1.你还记得我们学过图形中轴对称图形有哪些吗？分别有几条对称轴？（等腰三角形，等边三角形，矩形，菱形，正方形，等腰三角形。
）2.圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？3.你是用什么方法解决上述问题的？与同伴进行交流．（可以利用折叠的方法，解决上述问题．把一个圆对折以后，圆的两半部分重合，折痕是一条过圆心的直线，由于过圆心可以作无数条直线，这样便可知圆有无数条对称轴．）教师板书：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线．（二）、探究新知问题1：作⊙O的直径CD，然后沿着CD对折⊙O，会出现什么现象，说明了什么？（说明圆是轴对称图形，它的对称轴是任意一条过圆心的直线.）问题2：在⊙O上取一点A，作AB⊥CD，垂足为E，在图中，你猜想一下会有那些等量关系。
（AE=BE，=，=．）这些等量关系如果用语言来叙述的话，我们可以说成什么？垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
首先我们分析一下这个定理的题设和结论。
题设：垂直于弦的直径。
结论：平分弦和弦所对的弧。
（学生完成）根据题设和结论，结合图形，我们找出已知、求证，并进行证明。
已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为E。
求证：AE=BE，=，=分析：我们知道等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是底边垂线所在的直线，那么我们如何把等腰三角形和圆联系起来呢？连结OA，OB后我们可以得到一个等腰三角形，CD所在的直线既是等腰三角形的对称轴又是⊙O的对称轴，那么当把圆沿直径CD折叠时，会发现哪些部分重合（连结OA，OB, 并且有OA=OB。
两个半圆重合；A点、B点重合；弧AC、弧BC重合；弧AD、弧BD重合）既然AE，BE重合，我们就可以得到AE=BE；弧AC、弧BC重合，我们就可以得到=；弧AD、弧BD重合，我们就可以得到=。
沪科版数学九年级下册24.2《圆的基本性质》教学设计1
沪科版数学九年级下册24.2《圆的基本性质》教学设计1一. 教材分析《圆的基本性质》是沪科版数学九年级下册第24章第2节的内容。
本节课主要学习了圆的性质，包括圆的直径、半径、圆心角、弧、弦等。
这些性质对于学生理解和掌握圆的相关知识至关重要，也为后续学习圆的方程和应用打下了基础。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了平面几何的基本知识，对图形的性质有一定的了解。
但是，对于圆的特殊性质和特点，学生可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过观察、思考、实践等方式，逐步理解和掌握圆的基本性质。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解和掌握圆的直径、半径、圆心角、弧、弦等基本性质，并能够运用这些性质解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、思考、实践等方式，培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和自主学习能力。
四. 教学重难点1.重点：圆的直径、半径、圆心角、弧、弦等基本性质。
2.难点：圆的性质在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.引导发现法：通过提问、引导等方式，激发学生的思考，引导学生发现圆的基本性质。
2.实践操作法：通过观察、测量、画图等方式，让学生亲身体验和实践圆的性质。
3.案例分析法：通过分析实际问题，让学生学会运用圆的性质解决问题。
六. 教学准备1.教具：圆规、直尺、多媒体设备等。
2.学具：学生用书、练习本、铅笔、橡皮等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过向学生展示一些与圆相关的实际问题，引导学生思考圆的性质，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）教师通过讲解和展示，向学生介绍圆的直径、半径、圆心角、弧、弦等基本性质，并解释这些性质的含义和作用。
3.操练（10分钟）教师提出一些关于圆的性质的问题，让学生用圆规和直尺进行测量和画图，亲身实践和体验圆的性质。
4.巩固（10分钟）教师给出一些练习题，让学生独立完成，巩固对圆的性质的理解和掌握。
2017年春九年级数学下册24.2圆的基本性质第4课时同步课件新版沪科版
第四课时
复习引课
〉 〉
类比确定直线的条件: 经过一点可以作无数条直线；
● A
● A
●B
经过两点只能作一条直线.
〉
思考
3.确定圆 的条件
●
●
O
●
●
O A O
O ●O
●
O
●
B
●
O
1.作圆,使它过已知点A.你能作出几个这样的圆? 2.作圆,使它过已知点A,B.你能作出几个这样的圆?有何特点？
过如下三点能不能作圆? 为什么?
A
B
C
过什么样的三点能作圆呢? 为什么?
过如下三点能不能作圆?
为什么?
假设过同一直线上三点A、B、C 能作圆则AB的垂直平分线与BC的垂直 平分线交于一点E这与过一点只有一条
E
直线与已知直线垂直相矛盾，所以过
同一直线上三点能不能作圆.
A
B
C
不在同一直线上的三点确定一个圆
●O ┏
●C D
老师期望: 将这个结论及其证明作为一种模型对待.
G
〉
分别作出锐角三角形,直角三角形,钝角三角形的外接圆,并说 明与它们外心的位置情况 A A ●O ●O A ●O C B C ┐
B
C
B
锐角三角形的外心位于三角形内,直角三角形的外心位于直角三角 形斜边中点,钝角三角形的外心位于三角形外. 老师期望: 作三角形的外接圆是必备基本技能,定要熟练掌握.
∴OA=OB. 同理,OB=OC. ∴OA=OB=OC.
●O ┏
●C D
∴点A,B,C在以O为圆心的圆上. ∴⊙O就是所求作的圆, 这样的圆可以 作出几个?为什 么?.
2024春九年级数学下册第24章圆24.2圆的基本性质1圆的认识作业课件新版沪科版 (1)
(2)若以点A为圆心作圆，B，C，D，E，F这5个点中至 少有1个点在圆内，且至少有2个点在圆外，求⊙A的 半径r的取值范围．
【解】易得 AF<AB<AE<AD<AC，∴若以点 A 为圆心 作圆，B，C，D，E，F 这 5 个点中至少有 1 个点在圆 内，且至少有 2 个点在圆外，即点 F 在圆内，点 D，C 在圆外，∴⊙A 的半径 r 的取值范围为152<r<4.
【点拨】 在 Rt△ ABC 中，由勾股定理得 AC＝ AB2－BC2＝3，
∵点 C 在⊙A 内且点 B 在⊙A 外，∴3＜r＜5.故选 C.
【答案】C
6 若⊙O所在平面内的一点P到⊙O上的点的最大距离为 9，最小距离为4，则此圆的半径是( ) A．5 B．2.5或6.5 C．6.5 D．5或13
【点拨】 由直径是圆中最长的弦，得AB≤2r.
【答案】D
4 若⊙O的半径为5 cm，点A到圆心O的距离为4 cm，则 点A与⊙O的位置关系是( C ) A．点A在圆外 B．点A在圆上 C．点A在圆内 D．不能确定
5 [2022·吉林]如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝ 5，BC＝4.以点A为圆心，r为半径作圆，当点C在⊙A 内且点B在⊙A外时，r的值可能是( ) A．2 B．3 C．4 D．5
【点方法】 利用B，C，D，E，F到点A的距离即可判断出
⊙A的半径r的取值范围．
12 某公园计划建一个喷水池，其形状如图①所示，2个 圆的半径相同．
(1)有人建议将形状改为如图②的形状，且大圆的直径不 变，请你比较两种方案，说一说哪种需要的材料多．
【解】设大圆的半径为R，则题图①中2个大圆的周长 之和为2×2πR＝4πR. 设题图②中3个小圆的半径分别为r1，r2，r3，则3个小 圆的周长之和为2πr1＋2πr2＋2πr3＝2π(r1＋r2＋r3)． ∵r1＋r2＋r3＝R，∴3个小圆的周长之和为2πR. ∴题图②中所有圆的周长之和为2πR＋2πR＝4πR. 故这两种方案需要的材料一样多．
2020-2021沪科版九年级数学24.2圆的基本性质-知识点+习题同步练习提升 (2)
圆的基本性质记忆导图 ()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧对称、旋转对称对称性：轴对称、中心角形顶点的距离相等定理：三角形外心到三、圆的内接三角形三角形的外接圆、外心圆的作法圆的确定几者之间的关系圆心角的概念距间的关系圆心角、弧、弦、弦心弦心距垂径定理的推论垂径定理垂径分弦点在圆外点在圆内点在圆上点与圆的位置关系半圆、等圆弓形特殊弦：直径普通弦：小于直径的弦弦等弧优弧劣弧或弧圆弧圆、圆心、半径圆的相关概念圆的基本性质 考点1 圆的相关概念1、圆的定义（1）线段OA 绕着它的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 所形成的封闭曲线，叫做圆。
（2）圆是到定点的距离等于定长的点的集合。
（3）固定的端点O 叫做圆心。
（4）线段OA 的长为r 叫做半径。
2、圆弧（1）圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
（2）大于半圆的弧叫做优弧，一般用三个字母表示。
（3）小于半圆的弧叫做劣弧。
（4）在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
3、弦（1）连接圆上任意两点的线段叫做弦。
（2）经过圆心的弦叫做直径。
4、弓形由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形。
5、半圆、等圆（1）圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
（2）能够重合的两个圆叫做等圆，等圆的半径相等。
考点2 点与圆的位置关系平面上一点P 与⊙O （半径为r ）的位置关系有以下三种情况：（1）点P在⊙O上⇔OP=r；（2）点P在⊙O内⇔OP<r；（3）点P在⊙O外⇔OP>r。
考点3垂径分弦1、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。
2、推论：①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
②弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧。
③平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦。
④平行弦夹的弧相等。
2024春九年级数学下册第24章圆24.2圆的基本性质4圆的确定作业课件新版沪科版 (1)
【点拨】 由 题 意 可 知 ， ∠ BCN ＝ 60° ， ∠ ACN ＝ 30° ，
∴∠ACB＝∠ACN＋∠BCN＝90°，∴△ABC是直 角三角形，∴△ABC的外心是斜边AB的中点．由题 意知点Q是AB的中点，∴△ABC的外心是点Q.故选B.
【答案】B
6 下列说法正确的个数是( ) ①任何三角形有且只有一个外接圆； ②任何圆有且只有一个内接三角形； ③三角形的外心不一定在三角形内； ④三角形的外心到三角形三边的距离相等． A．1 B．2 C．3 D．4
【点拨】 若点C为△ABP的外心，则点C位于斜边中点，
又已知BC⊥l，故点C与点O重合，如图所示． ∵∠APB＝90°，PA＝PB， ∴△APB为等腰直角三角形． ∴∠A＝∠B＝45°. ∵AO⊥l，∴△AOP为等腰直角三角形． ∴OP＝AO.∵AO＝3，∴OP＝3.
15 某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为 了更换管道，需确定管道圆形截面的半径，如图所示 是水平放置的破裂管道有水部分的截面．
(1)当l∥AB时，可作几个这样的圆？ 【解】如图①所示， 当l∥AB时，可作 一个这样的圆．
(2)当l与AB斜交时，可作几个这样的圆？ 【解】如图②所示， 当l与AB斜交时，可 作一个这样的圆．
(3)当l垂直于AB且不过AB的中点时，可作几个这样的圆？ 【解】如图③所示， 当l垂直于AB且不过 AB 的 中 点 时 ， 不 能 作圆．
(4)当l是线段AB的垂直平分线时，可作几个这样的圆？ 【解】如图④所示， 当l是线段AB的垂直 平分线时，可作无 数个这样的圆．
12 证明：在同一个圆中，如果两条弦不相等，那么它们 的弦心距(圆心到弦的距离)也不相等． 【证明】假设结论不成立，即在同 一个圆中，如果两条弦不相等，那 么它们的弦心距可能相等． 如图，设圆心为O，AB≠CD， OM⊥AB，ON⊥CD，连接OA，OC.
2024-2025学年沪科版初中数学九年级(下)教案第24章圆24.2圆的基本性质(第1课时)
第24章圆24.2 圆的基本性质第1课时圆的定义及与圆有关的概念教学目标教学反思1.认识圆，理解圆的本质属性.2.理解弦、弧、直径、半圆、优弧、劣弧、同心圆、等圆、等弧等与圆有关的概念，并了解它们之间的区别和联系.3.会判断点与圆的位置关系，并应用这一关系进行解题.教学重难点重点：认识圆，理解圆的本质属性.难点：理解弦、弧、半圆、优弧、劣弧、同心圆、等圆、等弧等与圆有关的概念，并了解它们之间的区别和联系.教学过程导入新课问题情境：观察下列图片，从图片中找出共同的图形.教师追问：你还能举出生活中的圆形吗？师生活动：学生列举生活中的圆形，教师适当引导.思考：车轮为什么做成圆形? 做成三角形、正方形可以吗？师生活动：如果把车轮做成圆形，车轴安装在圆心上，当车轮在地面滚动的时候，车轴离开地面的距离总是等于车轮半径长.因此车厢里坐的人都将平稳地被车子拉着走.假设车轮是个破的，已经不成圆形了，轮缘上高一块低一块的，也就是说从轮缘到轮子圆心的距离不相等，那么这种车子行驶起来一定很颠簸.同样道理，如果车轮设计成三角形或是正方形，因为其中心点到周边各点的距离不等长，所以行驶起来也一定会很颠簸！探究新知1.圆的定义教师提问：同学们，你们知道怎样画一个圆吗？你有哪些方法？师生活动：学生畅所欲言，教师圆规演示画圆的过程，总结圆的定义.1.定好半径长（即圆规两脚间的距离）；2.固定圆心（即把有针尖的脚固定在一点）；教学反思3.旋转一圈（使铅笔在纸上画出封闭曲线）；4.用字母表示圆心、半径、直径.【归纳总结】圆的旋转定义：在一个平面内，线段OP绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点P所形成的图形叫做圆.以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”.问题情境：1.以1 cm为半径能画几个圆，以点O为圆心能画几个圆？2.如何画一个确定的圆？师生活动：学生独立思考并回答，教师引导.教师追问：从画圆的过程可以看出什么呢？【归纳总结】①圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于半径.②平面内到定点的距离等于定长的所有点都在同一个圆上.【归纳总结】圆的集合定义：平面内到定点（圆心O ）的距离等于定长（半径r）的所有点组成的图形.探究：确定一个圆的要素.教师提问：当圆的圆心确定时，这个圆唯一确定吗？当圆的半径确定时，这个圆唯一确定吗？师生活动：学生小组讨论，举出反例，思考确定圆的要素，教师引导.①②【解】如图①，圆心相同，半径不同，能画出无数个同心圆；如图②，半径相同，圆心不同，能画出无数个等圆.【归纳总结】确定一个圆的要素一是圆心，圆心确定其位置；二是半径，半径确定其大小.圆的基本性质：同圆的半径相等.【新知应用】例1 如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O .求证：A ，B ，C ，D 四个点在以点O 为圆心的同一个圆上.师生活动：（学生思考，教师引导）要使A ，B ，C ，D 四个点在以点O 为圆心的同一圆上，结合圆的集合性定义，点A ，B ，C ，D 与点O 的距离有什么关系？【证明】∵ 四边形ABCD 为矩形， ∴ OA ＝OC ＝12AC ，OB ＝OD ＝12BD ，AC ＝BD ，∴ OA ＝OB ＝OC ＝OD ，∴ A ，B ，C ，D 四个点在以点O 为圆心，OA 为半径的圆上.【归纳总结】（学生总结，老师点评）由圆的集合性定义可知，圆上各点到定点（圆心O ）的距离都等于定长（半径r ）. 2.点与圆的位置关系圆心为O ，半径为r 的圆可以看成是所有到定点O 的距离等于定长r 的点的集合.请你用集合的语言描述下面的两个概念：（1）圆的内部是到圆心的距离小于圆的半径r 的所有点的集合； （2）圆的外部是到圆心的距离大于圆的半径r 的所有点的集合. 【新知讲解】点与圆的位置关系： 1.点P 在圆上⇔OP ＝r （如图①）. 2.点P 在圆内⇔OP <r （如图②）. 3.点③练一练：1.正方形ABCD 的边长为3 cm ，以A 为圆心，３cm 长为半径作⊙A ，则点A 在⊙A ，点B 在⊙A ，点C 在⊙A ，点D 在⊙A .2.一点和⊙O 上的最近点距离为4 cm ，最远距离为10 cm ，则这个圆的半径是 cm.3.与圆有关的概念 （1）弦连接圆上任意两点的线段（如图中的AB ）叫做弦.图中的弦还有 .经过圆心的弦（如图中的AC ）叫做直径.注意：①弦和直径都是线段.②直径是弦，是经过圆心的特殊弦，是圆中最长的弦，但弦不一定是直径. （2）弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A ，B 为端点的弧记作AB ，读作“圆弧AB ”或“弧AB ”. （3）半圆圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆.教学反思（4）劣弧与优弧小于半圆的弧叫做劣弧，如图中的AC .大于半圆的弧叫做优弧，如图中的ABC .（5）等圆能够重合的两个圆叫做等圆.等圆是两个半径相等的圆. （6）等弧在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧. 3.概念辨析（1）长度相等的弧是等弧吗？师生活动：学生思考并回答，说明理由，教师引导归纳总结.【归纳总结】（学生总结，老师点评）长度相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，长度相等的弧才是等弧.（2）直径是弦吗？弦是直径吗？师生活动：学生思考并回答，说明理由，教师引导归纳总结.【归纳总结】（学生总结，老师点评）直径是弦，但弦不一定是直径，只有在弦经过圆心时，这条弦才叫直径，因此直径是圆中最长的弦.（3）半圆是弧吗？弧是半圆吗？师生活动：学生思考并回答，说明理由，教师引导归纳总结.【归纳总结】（学生总结，老师点评）半圆是弧，但弧不一定是半圆，只有直径的两个端点把圆分成的两条弧才是半圆.【新知应用】例2 下列说法：①弧分为优弧和劣弧；②半径相等的圆是等圆；③过圆心的线段是直径；④长度相等的弧是等弧；⑤半径是弦.其中正确的是________.（填序号）师生活动：（引发学生思考）优弧、劣弧、等圆、直径、等弧的定义分别是什么？圆上的弧可以分为哪几类？【答案】②【归纳总结】（学生总结，老师点评）由圆的有关概念可知，连接圆上任意两点的线段是弦；过圆心的弦是直径；在同圆或等圆中，能够互相重合的弧是等弧；圆上的弧分为优弧、半圆、劣弧.例3 如图.（1）请写出以点B 为端点的劣弧及优弧； （2）请写出以点B 为端点的弦及直径； （3）请任选一条弦，写出这条弦所对的弧.师生活动：发对优弧、劣弧概念的思考.【解】（1）劣弧：BD ，BF ，BC ，BE .优弧：BFE ，BFC ，BCD ，BCF .（2）弦BD ， AB ， BE .其中弦AB 又是直径.（3）答案不唯一.如：弦DF ，它所对的弧是DF 和DEF . 【归纳总结】大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧.要按照一定的顺序书写，不要遗漏.【拓展延伸】 例4 下列说法：①经过点P 的圆有无数个；②以点P 为圆心的圆有无数个；③半径为3 cm ，且经过点P 的圆有无数个；④以点P 为圆心，以3 cm 为半径的圆有无数个.其中错误的有（ ）A .1个 B.2个 C.3个 D.4个师生活动：（引发学生思考）结合圆的定义分析怎样确定一个圆？确定一个圆的条件有哪些？【答案】A教学反思【归纳总结】（学生总结，老师点评）确定一个圆需要两个要素：一是圆心，确定圆的位置；二是半径，确定圆的大小.两者缺一不可.例5A，B是半径为5的⊙O上两个不同的点，则弦AB的取值范围是（）A.AB＞0B.0＜AB＜5C.0＜AB＜10D.0＜AB≤10师生活动：（引发学生思考）连接圆上任意两点的线段是弦，求弦AB的取值范围，就要知道连接圆上任意两点构成的最长线段和最短线段分别是什么.【答案】D【归纳总结】（学生总结，老师点评）圆上最长的弦是直径，则圆上不同两点构成的弦长大于0且小于等于直径长.课堂练习1.填空：（1）______是圆中最长的弦，它是______的2倍.（2）如图所示，图中有条直径，条非直径的弦.2.一点和⊙O上的点最近距离为6 cm，最远距离为12 cm，则这个圆的半径是 .3.判断下列说法的正误.（1）弦是直径. （）（2）过圆心的线段是直径. （）（3）半圆是弧. （）（4）过圆心的直线是直径. （）（5）直径是最长的弦. （）（6）半圆是最长的弧. （）（7）长度相等的弧是等弧. （）（8）同心圆也是等圆. （）4.给出下列说法：①直径是弦；②优弧是半圆；③半径是圆的组成部分；④两个半径不相等的圆中，大的半圆的弧长小于小的半圆的周长.其中正确的是.（填序号）5.如图，点A，B，C，E在⊙O上，点A，O，D与点B，O，C分别在同一直线上，图中有几条弦？分别是哪些？第5题图6.如图，点A，N在半圆O上，四边形ABOC和四边形DNMO均为矩形，求证：BC＝MD.参考答案1.（1）直径半径（2）两三2.9 cm或3 cm3.（1）×（2）×（3）√（4）×（5）√（6）×（7）×（8）×4.①5.解：图中有3条弦，分别是弦AB，BC，CE.6.证明：如图，连接ON，OA.∵点A，N在半圆O上，∴ON＝OA.∵四边形ABOC和四边形DNMO均为矩形，∴ON＝MD，OA＝BC，∴BC＝MD. 教学反思第6题答图课堂小结学生独立思考，进行总结，教师补充概括. ⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩圆的旋转定义圆的定义圆的集合定义弦—直径劣弧圆弧半圆圆的有关概念优弧等圆等弧 布置作业教材第14页练习板书设计24.2 圆的基本性质第1课时 圆的定义及与圆有关的概念1.圆的定义（1）圆的旋转定义 （2）圆的集合定义2.与圆有关的概念：弦；直径；弧；半圆；等圆；等弧.3.点与圆的位置关系： 点P 在圆上⇔OP ＝r ； 点P 在圆内⇔OP <r ； 点P 在圆外⇔OP >r. 教学反思。
九年级数学下册 24.2 圆的基本性质 24.2.4 圆的基本性质教案 (新版)沪科版
24.2.4 圆的基本性质课
法。
了解三角形的外接圆，三角形的外心等概念。
设情境
．定点即为圆心，定长即为半径，根据定义大家觉得作圆的关键是什么
作圆，只要圆心确定下来，半径
等，则圆心应在线段的垂直平分线上任意取一点，都能满足到
径．圆就确定下来了．由于线段
三点，就是要确定一个点作为圆心，使它到三点的距离相因为两条直线的交点只有一个，所以只有一个圆心，即只能作出一个满足条件的圆．1．连结AB、BC
为圆心
符合要求．
作的垂直平
此这样的画法满足条件．
由上可知，过已知一点可作无数个圆，过已知两点也可作无数个
作出它们的外接圆．它们外心的位
锐角三角形直角三角形钝角三角形
接圆的圆心，即外心．
锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心在斜边上，钝角三角形的外心在
点作圆的方法．。
九年级数学下册 第24章 圆 24.2 圆的基本性质 第4课时
综合能力提升练
9.如图,已知平面直角坐标系内三点A( 3,0 ),B( 5,0 ),C( 0,4 ),☉P经过点A,B,C,则点P 的坐标( C )
A.( 6,8 )
B.( 4,5 ) C.( 4,381 )
D.( 4,383 )
综合能力提升练
10.如图,等边△ABC的外接圆的半径为2,则图中阴影部分的面积是 4π-3 3 .( 结果 用含π的式子表示 )
第4课时 圆的确定
知识点1
知识点2
知识要点基础练
知识点3
确定圆的条件 1.过两点画圆,可以画( D ) A.0个 B.1个 C.2个 D.无数个 2.下列条件,可以画出圆的是( C ) A.已知圆心 B.已知半径 C.已知不在同一直线上的三点 D.已知直径
知识要点基础练
知识点1 知识点2 知识点3
解:错误.有两种情况,①当△ABC 为锐角三角形时,如文中解题过程,得 r= 521-1.②当
△ABC 为钝角三角形时,圆心 O 不在△ABC 内,
则有 BD2+(
r-1
)2=52,BD2+12=r2,得
r=1+2 51,故☉O 的半径为
51-1 或
2
512+1.
∴假设不成立. ∴ 三角形三内角中至少有一个内角小于或等于60° .
综合能力提升练
12.如图,为丰富A,B,C三个小区的文化生活,现准备新建一个影剧院M,使它到三个小区 的距离相等,试确定M的位置.( 用尺规作图,不写作法,但要保留痕,AD为△ABC外接圆的直径,AD⊥BC,垂足为F,∠ABC的平分线交AD于点E,连接 BD,CD. ( 1 )求证:BD=CD; ( 2 )请判断B,E,C三点是否在以D为圆心,以DB为半径的圆上?并说明理由.
九年级数学下册第24章圆24.2圆的基本性质第4课时圆的确定同步练习含解析沪科版
第 4 课时圆的确定 ]一、选择题1．用反证法证明“a＞ b”时应假设()A．a＞b B ．a＜bC．＝b D ．≤ba a2．以下条件中能确立一个圆的是 ()A．已知圆心B．已知半径C．过三个已知点D．过一个三角形的三个极点3．三角形的外心是 ()A．三边中线的交点B．三边垂直均分线的交点C．三条高的交点D．三条内角均分线的交点4．若△的外接圆的圆心在△的内部，则△是链接听课例 2归纳总结() ABC ABC ABCA．锐角三角形 B ．直角三角形C．钝角三角形 D ．没法确立5．2018·烟台如图K－ 6－ 1，方格纸上每个小正方形的边长均为 1 个单位长度，点O，，，C在格点 ( 两条网格线的交点叫格点) 上，以点O为原点建立直角坐标系，则过，，A B A B C三点的圆的圆心坐标为()图 K－ 6－1A．( －1，－ 2) B ．( －1，－ 3)C．( －2，－ 2) D ．( －3，－ 1)6．2017·山西公元前 5 世纪，毕达哥拉斯学派中的一名成员希伯索斯发现了无理数2，以致了第一次数学危机 . 2 是无理数的证明以下：q q 22假设 2是有理数，那么它可以表示成p( p与q是互质的两个正整数 ) ．于是 ( p)＝( 2)＝2，因此q2＝ 2p2. 于是q2是偶数，从而q 是偶数．从而可设q＝2m，因此(2 m)2＝2p2， p2＝2 2，于是可得p 也是偶数．这与“p与q是互质的两个正整数”矛盾，从而可知“2是有m理数”的假设不可以立，因此，2是无理数．这类证明“2是无理数”的方法是()A．综合法 B ．反证法C．举反例法 D ．数学归纳法二、填空题7．平面直角坐标系内的三个点(1 ， 0) ， (0 ，－ 3) ， (2 ，－ 3)__________ 确立一个A B C圆( 填“能”或“不可以”) ．8．用反证法证明命题“在一个三角形中，不可以有两个内角为钝角”时，第一步应假设________________________ ．9．小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，此中四块碎片如图K－ 6－ 2 所示，为配到与原来大小相同的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应当是第________块. 链接听课例 1归纳总结图 K－ 6－210．2017·宁夏如图K－6－ 3，点A，B，C均在 6× 6 的正方形网格的格点上，过A，B，C三点的圆除经过A， B， C三点外还经过的格点有________个．图 K－ 6－311．2017·巢湖月考若点O是等腰三角形ABC的外心，且∠ BOC＝60°，底边BC＝2，则△ ABC的面积为________________．三、解答题12．在平面直角坐标系中，若作一个⊙M，使⊙ M经过点 A(－4，0)， B(0，－2)，O(0，0)，求点 M的坐标．13.求证：假如两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也相互平行. 链接听课例 3归纳总结14．如图 K－6－ 4 所示，BD，CE是△ABC的高．求证：E，B，C，D四点在同一个圆上．图 K－ 6－415．如图 K－ 6－ 5，小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树A， B， C，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．(1)请你帮小明把花坛的地点画出来 ( 尺规作图，不写作法，保留作图印迹) ；(2)若在△ ABC中， AB＝8米， AC＝6米，∠ BAC＝90°，试求小明家圆形花坛的面积．图 K－ 6－516．如图 K－ 6－6，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD于点O，AC＝ 24，BD＝ 10，E，F，G分别为 AB， BC， CD的中点．试求以 E， F， G三点所确立的圆的周长．(结果保留π)图 K－ 6－6如图 K－ 6－ 7，D 是△ABC的边BC的中点，过延长线上的点E作的垂线，AD AD EF E F，点 O在 AD 上， AO＝ CO， BC∥(1)求证： AB＝ AC；(2)求证：点 O是△ ABC的外接圆的圆心；(3)当 AB＝5， BC＝6时，连接 BE，若∠ ABE＝90°，求 AE的长．图 K－ 6－7详解详析[ 课堂达标 ]1． [ 解析 ] D反证法的第一步是反设，即假设命题的结论不可以立，故证明“a＞b”时应假设“ a≤ b”．2．[ 解析 ] D确立一个圆的条件是圆心和半径；不在同一条直线的三个点确立一个圆；过一个三角形的三个极点即可确立一个圆．综上所述，选项 D 正确．3．[ 答案]B4．[ 解析 ]A△ABC的外接圆的圆心在△ ABC的内部，则△ ABC是锐角三角形．应选 A.5．[ 解析 ]A依据垂径定理，借助网格，找到两条弦BC， AB的垂直均分线的交点，即为圆心，其坐标为(－1，－ 2) ．6．[ 解析]B阅读资猜中的证明方法切合反证法的步骤．7．[ 答案 ]能[ 解析 ] ∵ B(0 ，－ 3) ， C(2，－ 3) ，∴ BC∥x 轴，而点 A(1 ， 0) 在 x 轴上，∴点 A， B， C 不共线，∴三个点 A(1 ，0) ， B(0 ，－ 3) ， C(2，－ 3) 能确立一个圆．8．[ 答案 ]在一个三角形中有两个内角为钝角9．[ 答案 ]②10．[ 答案 ] 5[ 解析 ] 如图，分别作 AB， BC的中垂线，两直线的交点为O，以点 O为圆心， OA为半径作圆，则⊙ O即为过 A， B，C 三点的圆，由图可知，⊙ O还经过点 D， E， F， G， H 这 5 个格点．故答案为 5.11．[答案 ] 2 －3或 2＋3[ 解析 ]如图，当△ ABC是钝角三角形时，△BOC是等边三角形，且∠ AOB＝∠ AOC＝30°，BD＝ CD＝ 1，∴OD＝3BD＝ 3，则 AD＝ OA－ OD＝ 2－ 3，∴ S ＝2BC× AD＝2×2×(2 － 3)△ ABC1111＝2－ 3；当△ ABC是锐角三角形时， AD＝ OA＋ OD＝ 2＋3，∴ S△ABC＝2BC×AD＝2× 2× (2 ＋3)＝2＋ 3.12．解：以以以下图：∵△ AOB是直角三角形，∴△ AOB的外心 M是斜边 AB 的中点．过点 M作 MC⊥ x 轴于点 C，作 MD⊥ y 轴于点 D，则 MD∥ OA， MC∥ OB，∴ C 是 OA的中点， D 是 OB的中点，11∴OC＝ OA＝ 2， OD＝ OB＝ 1，22∴点 M的坐标为 ( － 2，－ 1) ．13．解：已知：以以以下图，直线AB∥ EF， CD∥ EF.求证： AB∥ CD.证明：假设AB与 CD不平行，则直线AB 与 CD订交，设它们的交点为 P，于是经过点 P 就有两条直线 (AB，CD)都和直线 EF 平行，这就与“经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾，因此假设不可以立，故AB∥CD.14．证明：以以以下图，取BC的中点 F，连接 DF， EF.∵BD，CE是△ ABC的高，∴△ BCD和△ BCE都是直角三角形，∴DF，EF 分别为 Rt △ BCD和 Rt △BCE斜边上的中线，∴ DF＝ EF＝ BF＝ CF，∴ E， B， C， D四点在以点 F 为圆心，1BC为半径的圆上．215．解： (1) 用尺规作出两边 ( 如 AB，AC)的垂直均分线，交点即为圆心O，以 OA为半径作出⊙ O，⊙ O即为所求 ( 图略 ) ．(2)∵∠ BAC＝90°， AB＝8 米， AC＝6 米，∴ BC＝10 米．∵直角三角形的外心为斜边的中点，∴△ ABC外接圆的半径为 5 米，∴小明家圆形花坛的面积为 25π平方米．16．解：如图，连接EF，FG， EG.∵E，F 分别是AB，BC的中点，∴ EF是△ ABC的中位线，1∴EF∥AC，且 EF＝2AC＝ 12.1同理可得 FG∥ BD，且 FG＝2BD＝ 5.∵AC⊥BD，∴ EF⊥ FG.∴EG＝13.∵直角三角形外接圆的直径等于斜边的长，∴以 E， F， G三点所确立的圆的周长为13π.[ 涵养提高 ]解： (1) 证明：∵ AE⊥ EF， EF∥ BC，∴ AD⊥BC.又∵ D是 BC的中点，∴AD是 BC的垂直均分线，∴AB＝AC.(2)证明：连接 BO，由 (1) 知 AD是 BC的垂直均分线，∴ BO＝ CO.又∵ AO＝ CO，∴ AO＝ BO＝CO，∴点 O是△ ABC的外接圆的圆心．(3)解法 1：∵∠ ABE＝∠ ADB＝90°，∠ BAD＝∠ EAB，AB AD∴△ ABD∽△ AEB，∴＝.AE AB1在 Rt△ ABD中，∵ AB＝ 5， BD＝2BC＝ 3，5 4∴AD＝4，∴ ＝，AE 525∴AE＝4.解法 2：由 (2) 得 AO＝ BO，∴∠ ABO＝∠ BAO.∵∠ ABE＝90°，∴∠ ABO＋∠ OBE＝∠ BAO＋∠ AEB＝90°，∴∠ OBE＝∠ OEB，∴ OB＝OE.1在 Rt△ ABD中，∵ AB＝ 5， BD＝2BC＝ 3，∴AD＝4. 设 OB＝ x，则 OD＝ 4－ x，在 Rt△ OBD中，有 32＋ (4 －x) 2＝ x2，25解得 x＝8，25∴AE＝2OB＝ .4。
九年级数学下册第24章圆24.2圆的基本性质(第四课时)课件(新版)沪科版
命题：经过同一直线的三点不能作出一个圆．
假设：经过同一直线的三点能作出一个圆． 矛盾：过一点有两条直线垂直于已知直线．
定理：过一点有且只有一条直线垂直于已知直线
用反证法完成下题.
例 已知：两条直线AB、CD分别于直线EF平 行，即AB∥EF,CD∥EF.
求证：AB∥CD.
A
B
C
D
E
F
1.已知△ABC，用直尺和圆规作出过点A、B、C的圆.
A
N
（1）圆心O到A、B、C三点距离
相等 （填“相等”或”
EO
不相等”）.
B
F
C M
（2）连接AB、AC，因为OA=OB,所以点O在边 AB的 垂直平分线 上；因为OA=OC,所以点O 在边AC的 垂直平分线 上.
（3）AB、AC的垂直平分线的交点O就是该圆的 圆心 .
已知：不在同一直线上的三点A、B、C. 求作：⊙O使它经过点A、B、C.
●A
●
●
A
B
经过两点只能作一条直线.
经过一个已知点A能确定一 个圆吗?
A
经过一个已知点能 作无数个圆.
经过两点A、B能确定一个圆吗?
经过两点A、B能作无 数个圆
经过两点A、B 所作的圆的圆心在 怎样的一条直线上?
A
B
它们的圆心都在线段AB的 垂直平分线上
过已知点A,B作圆,可以作无数个圆.
你准备如何(确定圆心,半径)作圆？
A B
C O
经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，
外接圆的圆一心个叫三做角三形角的形外的接外圆心，这个三角形叫 做圆的内接有三几角个形？.
A
如图：⊙O是△ABC的外接圆，
九年级数学下册24.2圆的基本性质24.2.4圆的基本性质导学案沪科版(2021年整理)
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24.2.4 圆的基本性质【学习目标】1．经历不在同一条直线上的三点确定一个圆的探索过程。
2．了解不在同一条直线上的三点确定一个圆,以及过不在同一条直线上的三个点作圆的方法。
了解三角形的外接圆,三角形的外心等概念.3.进一步体会解决数学问题的策略。
【学习重难点】重点:（1）不在同一条直线上的三个点确定一个圆.（2）三角形的外接圆、外心。
难点：形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神。
【课前预习】1、圆的定义：_______________________________________________________.2、圆的位置由________决定，圆的大小由__________决定。
思考:要作一个圆的关键是什么?怎样确定圆心和半径？要确定一个圆需几个条件?过几点可以确定一个圆呢？【课堂探究】1.如图,已知点A，经过点A画圆,能画多少个？结论:经过一点能作__________个圆。
2.如图，经过两个点A、B是否可以作圆？如果能作，可以作几个？分析：经过两个已知点A、B所作的圆的圆心在怎样的直线上? 因为这两点A、B在要作的圆上,所以它们到这个圆的圆心的距离要，并且都等于这个圆的，因此要作过这两点的圆A．．B就是要找到这两点的距离相等的点作为圆心，而这样的点应在这两点连线的上，而半径即为这条直线上的到点A或点B的距离。
2022年最新沪科版九年级数学下册第24章圆同步测评试题(含详细解析)
沪科版九年级数学下册第24章圆同步测评考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、在△ABC 中，CA CB =，点O 为AB 中点．以点C 为圆心，CO 长为半径作⊙C ，则⊙C 与AB 的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定2、如图，点A 、B 、C 在O 上，50∠=°ACB ，则OAB ∠的度数是（ ）A ．100°B ．50°C ．40°D ．25°3、已知圆锥的底面半径为2cm ，母线长为3cm ，则其侧面积为（ ）cm ．A ．3πB ．6πC ．12πD ．18π4、如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，将ABC 绕点C 逆时针旋转90°得到DEC ，则AED ∠的度数为（ ）A ．105°B ．120°C ．135°D ．150°5、如图，PA ，PB 是⊙O 的切线，A ，B 是切点，点C 为⊙O 上一点，若∠ACB ＝70°，则∠P 的度数为（ ）A ．70°B ．50°C ．20°D ．40°6、下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．7、往直径为78cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽72cmAB=，则水的最大深度为（）A．36 cm B．27 cm C．24 cm D．15 cm8、ABC的边BC经过圆心O，AC与圆相切于点A，若20∠=︒，则CB∠的大小等于（）A．50︒B．25︒C．40︒D．20︒9、若120︒的圆心角所对的弧长是2π，则此弧所在圆的半径为（）A．1 B．2 C．3 D．410、下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，AB是半圆O的弦，DE是直径，过点B的切线BC与⊙O相切于点B，与DE的延长线交于点C，连接BD，若四边形OABC为平行四边形，则∠BDC的度数为______．2、如图，在矩形ABCD 中，2AB =，4BC =，F 为BC 中点，P 是线段BC 上一点，设(04)BP m m =<≤，连结AP 并将它绕点P 顺时针旋转90°得到线段PE ，连结CE 、EF ，则在点P 从点B 向点C 的运动过程中，有下面四个结论：①当2m ≠时，135EFP ∠=︒；②点E 到边BC 的距离为m；③直线EF 一定经过点D ；④CE ．其中结论正确的是______．（填序号即可）3、如图，ODC △是由OAB 绕点O 顺时针旋转30°后得到的图形，若点D 恰好落在AB 上，且AOC ∠的度数为100°，则B 的度数是______．4、如图，已知ABC ，外心为O ，18BC =，60BAC ∠=︒，分别以AB ，AC 为腰向形外作等腰直角三角形ABD △与ACE ，连接BE ，CD 交于点P ，则OP 的最小值是______．5、如图，在⊙O 中，AB ＝AC ，AB ＝10，BC ＝12，D 是BC 上一点，CD ＝5，则AD 的长为______．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、在正方形ABCD 中，过点B 作直线l ，点E 在直线l 上，连接CE ，DE ，其中CE BC =，过点C 作CF DE ⊥于点F ，交直线l 于点H ．（1）当直线l 在如图①的位置时①请直接写出ECH ∠与HCD ∠之间的数量关系______．②请直接写出线段BH ，EH ，CH 之间的数量关系______．（2）当直线l 在如图②的位置时，请写出线段BH ，EH ，CH 之间的数量关系并证明；（3）已知2AB =，在直线l 旋转过程中当15EBC ∠=︒时，请直接写出EH 的长．2、如图，AC 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的弦，点P 是⊙O 外一点，连接PB 、AB ，∠PBA ＝∠C ．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）连接OP，若OP∥BC，且OP＝8，⊙O的半径为3，求BC的长．3、如图，正方形ABCD的顶点A、B在x轴的负半轴上，顶点CD在第二象限．将正方形ABCD绕点A 按顺时针方向旋转，B、C、D的对应点分别为B1、C1、D1，且D1、C1、O三点在一条直线上．记点D1的坐标是（m，n），C1的坐标是（p，q）．（1）设∠DAD1＝30°，n＝2，求证：OD1的长度；（2）若∠DAD1＜90°，m，n满足m+n＝﹣4，p2+q2＝25，求p+q的值．4、如图，已知等边ABC内接于⊙O，D为BC的中点，连接DB，DC，过点C作AB的平行线，交BD 的延长线于点E．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若AB的长为6，求CE的长．5、在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：若点P在图形M上，点Q在图形N上，称线段PQ长度的最小值为图形M，N的“近距离”，记为d(M，N)，特别地，若图形M，N有公共点，规定d(M，N)＝0．已知：如图，点A(2 ，0)，B(0，．（1）如果⊙O的半径为2，那么d(A，⊙O)＝，d(B，⊙O)＝．（2）如果⊙O的半径为r，且d（⊙O，线段AB）=0，求r的取值范围；（3）如果C(m，0)是x轴上的动点，⊙C的半径为1，使d（⊙C，线段AB）<1，直接写出m的取值范围．-参考答案-一、单选题1、B【分析】根据等腰三角形的性质，三线合一即可得CO AB⊥，根据三角形切线的判定即可判断AB是C的切线，进而可得⊙C与AB的位置关系【详解】解：连接CO,=，点O为AB中点．CA CB∴⊥CO ABCO为⊙C的半径，∴是C的切线，AB∴⊙C与AB的位置关系是相切故选B【点睛】本题考查了三线合一，切线的判定，直线与圆的位置关系，掌握切线判定定理是解题的关键．2、C【分析】先根据圆周角定理求出∠AOB 的度数，再由等腰三角形的性质即可得出结论．【详解】∵∠ACB =50°，∴∠AOB =100°，∵OA =OB ，∴∠OAB =∠OBA = 40°，故选：C ．【点睛】本题考查的是圆周角定理，即在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．3、B【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算．【详解】 解：它的侧面展开图的面积＝12×2π×2×3＝6π（cm 2）．故选：B ．【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．4、B【分析】由题意易得30,90A D ACB DCE ∠=∠=︒∠=∠=︒，然后根据三角形外角的性质可求解．【详解】解：由旋转的性质可得：30,90A D ACB DCE ∠=∠=︒∠=∠=︒，∴120AED D DCE ∠=∠+∠=︒；故选B ．【点睛】本题主要考查旋转的性质及三角形外角的性质，熟练掌握旋转的性质及三角形外角的性质是解题的关键．5、D【分析】首先连接OA ，OB ，由PA ，PB 为⊙O 的切线，根据切线的性质，即可得∠OAP =∠OBP =90°，又由圆周角定理，可求得∠AOB 的度数，继而可求得答案．【详解】解：连接OA ，OB ，∵PA ，PB 为⊙O 的切线，∴∠OAP =∠OBP =90°，∵∠ACB =70°，∴∠AOB =2∠P =140°，∴∠P =360°-∠OAP -∠OBP -∠AOB =40°．故选：D ．【点睛】此题考查了切线的性质与圆周角定理，注意掌握辅助线的作法和数形结合思想的应用．6、B【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意；C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意；D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．7、C【分析】⊥于点D，交O于点C，先由垂径定理求出BD的长，再根据勾股定理求连接OB，过点O作OC AB出OD的长，进而得出CD的长即可．【详解】⊥于点D，交O于点C，如图所示：解：连接OB，过点O作OC AB则136()2BD AB cm ==， O 的直径为78cm ，39()OB OC cm ∴==，在Rt OBD △中，15()OD cm ，391524()CD OC OD cm ∴=-=-=，即水的最大深度为24cm ，故选：C ．【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．8、A【分析】连接OA ，根据圆周角定理求出AOC ∠，根据切线的性质得到90OAC ∠=︒，根据直角三角形的性质计算，得到答案．【详解】解：连接OA ，20B ︒∠=，240AOC B ∴∠=∠=︒， AC 与圆相切于点A ，90OAC∴∠=︒，904050C∴∠=︒-︒=︒，故选：A．【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．9、C【分析】先设半径为r，再根据弧长公式建立方程，解出r即可【详解】设半径为r，则周长为2πr，120°所对应的弧长为120222π3603rrππ︒⨯==︒解得r=3故选C【点睛】本题考查弧长计算，牢记弧长公式是本题关键．10、D【详解】解：A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，解题的关键是掌握轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．二、填空题1、22.5【分析】先由切线的性质得到∠OBC=90°，再由平行四边形的性质得到BO=BC，则∠BOC=∠BCO=45°，由OD=OB，得到∠ODB=∠OBD，由∠ODB+∠OBD=∠BOC，即可得到∠ODB=∠OBD=22.5°，即∠BDC=22.5°．【详解】解：∵BC是圆O的切线，∴∠OBC=90°，∵四边形ABCO是平行四边形，∴AO=BC，又∵AO=BO，∴BO=BC，∴∠BOC=∠BCO=45°，∵OD=OB，∴∠ODB=∠OBD，∵∠ODB+∠OBD=∠BOC，∴∠ODB=∠OBD=22.5°，即∠BDC=22.5°，故答案为：22.5°．本题主要考查了平行四边形的性质，切线的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形外角的性质，熟知切线的性质是解题的关键．2、②③④【分析】①当P 在F 点的右边时，得出45EFP CFD ∠=∠=︒即可判断；②证明出()Rt ABP Rt PGE AAS ≌即可判断；③根据Rt CDF 为等腰直角三角形，得出Rt GEF 都是等腰直角三角形，得到45EFG ∠=︒即可判断； ④当CE DF ⊥时，CE 有最小值，计算即可．【详解】 解：12,22CD AB CF BC ====， Rt CDF ∴为等腰直角三角形，45CFD ∴∠=︒，当P 在F 点的左边时，180135EFP CFD ∴∠=︒-∠=︒，当P 在F 点的右边时，45EFP CFD ∴∠=∠=︒，故①错误；过点E 作EG BC ⊥，在Rt ABP和Rt PGE△中，根据旋转的性质得：AP PE=，APB BAP APB EPG∠+∠=∠+∠=︒，90∴∠=∠，BAP EPG∴≌，Rt ABP Rt PGE AAS()∴==，EG BP m故②正确；由①中得知Rt CDF为等腰直角三角形，EG DC，//∴也是等腰直角三角形，Rt GEF∴过点D，EF不管P在BC上怎么运动，得到Rt GEF都是等腰直角三角形，∴∠=︒，EFG45即直线EF一定经过点D，故③正确；Rt CDF是等腰直角三角形，⊥时，CE有最小值，当CE DF∴∠=∠=︒，45DCE ECF∴为等腰直角三角形，Rt CEF∴=，CE EFCF=，2由勾股定理：222+=，CE EF CF∴=CE故④正确；故答案是：②③④．【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，等腰直角三角形，解题的关键是灵活运用这些性质进行推理．3、35°【分析】根据旋转的性质可得∠AOD＝∠BOC＝30°，AO＝DO，再求出∠BOD，∠ADO，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．【详解】解：∵△COD是△AOB绕点O顺时针旋转30°后得到的图形，∴∠AOD ＝∠BOC ＝30°，AO ＝DO ，∵∠AOC ＝100°，∴∠BOD ＝100°−30°×2＝40°，∠ADO ＝∠A ＝12（180°−∠AOD ）＝12（180°−30°）＝75°，由三角形的外角性质得，∠B ＝∠ADO −∠BOD ＝75°−40°＝35°．故答案为：35°．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．4、9-【分析】由ABD △与ACE 是等腰直角三角形，得到90BAD CAE ∠=∠=︒，DAC BAE ∠=∠，根据全等三角形的性质得到ADC ABE ∠=∠，求得在以BC 为直径的圆上，由ABC 的外心为O ，60BAC ∠=︒，得到120BOC ∠=︒，如图，当PO BC ⊥时，OP 的值最小，解直角三角形即可得到结论． 【详解】 解：ABD 与ACE 是等腰直角三角形，90BAD CAE ∴∠=∠=︒，DAC BAE ∴∠=∠，在DAC △与BAE 中，AD AB DAC BAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， DAC ∴≌()BAE SAS ，ADC ABE∴∠=∠，90PDB PBD∴∠+∠=︒，90DPB∴∠=︒，P∴在以BC为直径的圆上，ABC的外心为O，60BAC∠=︒，120BOC∴∠=︒，如图，当PO BC⊥时，OP的值最小，18BC=，9 BH CH∴==，12 OH OB=BH∴==OH∴=9PH=，9OP∴=-则OP的最小值是9-故答案为：9-【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．5、3【分析】过A作AE⊥BC于E，过C作CF⊥AD于F，根据圆周角定理可得∠ACB=∠B=∠D，AB=AC=10，再由等腰三角形的性质可知BE=CE=6，根据相似三角形的判定证明△ABE∽△CDF，由相似三角形的性质和勾股定理分别求得AE、DF、CF， AF即可求解．【详解】解：过A作AE⊥BC于E，过C作CF⊥AD于F，则∠AEB=∠CFD=90°，∵AB＝AC， AB＝10，∴∠ACB=∠B=∠D，AB=AC=10，∵AE⊥BC，BC=12，∴BE=CE=6，∴8AE===，∵∠B=∠D，∠AEB=∠CFD=90°，∴△ABE∽△CDF，∴AB BE AE CD DF CF==，∵AB=10，CD=5，BE=6，AE=8，∴10685DF CF==，解得：DF=3，CF=4，在Rt△AFC中，∠AFC=90°，AC=10，CF=4，则AF=∴AD=DF+AF=3＋故答案为：3＋【点睛】本题考查圆周角定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握圆周角定理和相似三角形的判定与性质是解答的关键．三、解答题1、（1）① ECH HCD ∠=∠；②BH EH +；（2）BH EH -=；证明见解析；（3）EH【分析】（1）①ECH HCD ∠=∠，根据CE =BC ，四边形ABCD 为正方形，可得BC =CD =CE ，根据CF ⊥DE ，得出CF 平分∠ECD 即可；②BH EH +=，过点C 作CG ⊥BE 于G ，根据BC =EC ，得出∠ECG =∠BCG =12BCE ∠，根据∠ECH =∠HCD =12DCE ∠，可得CG =HG ，根据勾股定理在Rt△GHC 中，2222+2CG GH HC GH ==，根据GE =()1122BE BH EH =-，得出()222HC BH EH =+即可；（2）BH EH -，过点C 作CM CH ⊥交BE 于点M ，得出90MCH BCD ∠=∠=︒，先证()ECH BCM ASA ∆∆≌得出EH BM =，CM CH =可证MCH △是等腰直角三角形，可得MH 即可；（3）EH =15EBC ∠=︒，分两种情况，当∠ABE =90°-15°=75°时，BC =CE ，先证△CDE 为等边三角形，可求∠FEH =∠DEC =∠CEB =60°-15°=45°，根据CF ⊥DE ，得出DF =EF =1，∠FHE=180°-∠HFE-∠FEH=45°，根据勾股定理HE==∠ABE=90°+15°=105°，可得BC=CE得出∠CBE=∠CEB=15°，可求∠FCE=1602DCE∠=︒，∠FEC=180°-∠CFE-∠FCE=30°，根据30°直角三角形先证得出CF=112122CE=⨯=，根据勾股定理FH=FE，得出EH 【详解】解：（1）①ECH HCD∠=∠∵CE=BC，四边形ABCD为正方形，∴BC=CD=CE，∵CF⊥DE，∴CF平分∠ECD，∴∠ECH=∠HCD，故答案为：∠ECH=∠HCD；②BH EH+=，过点C作CG⊥BE于G，∵BC=EC，∴∠ECG=∠BCG=12BCE ∠，∵∠ECH=∠HCD=12DCE ∠，∴∠GCH =∠ECG +∠ECF =12BCE ∠+()1119045222DCE BCE DCE ∠=∠+∠=⨯︒=︒， ∴∠GHC =180°-∠HGC +∠GCH =180°-90°-45°=45°，∴CG =HG ，在Rt △GHC 中，∴2222+2CG GH HC GH ==，∵GE =()1122BE BH EH =-， ∴GH =GE +EH =()()1122BH EH EH BH EH -+=+， ∴()2221222HC GH BH EH ⎡⎤==+⎢⎥⎣⎦， ∴()222HC BH EH =+，∴BH EH +=，故答案是：BH EH +=；（2）BH EH -，证明：过点C 作CM CH ⊥交BE 于点M ，则90MCH BCD ∠=∠=︒，∴90MCH HCD MCH BCM ∠+∠=∠+∠=︒⁰，∴HCD BCM ∠=∠，∵CE BC CD ==，CF DE ⊥，∴HCD ECH ∠=∠，HEC MBC ∠=∠，∴ECH BCM ∠=∠，∴()ECH BCM ASA ∆∆≌，∴EH BM =，CM CH =，∴MCH △是等腰直角三角形，∴MH =，∵BH BM MH -=，∴BH EH -=，（3）EH =∵15EBC ∠=︒，分两种情况，当∠ABE =90°-15°=75°时，∵BC=CE，∴∠CBE=∠CEB=15°，∴∠BCE=180°-∠CBE-∠CEB==180°-15°-15°=150°，∴∠DCE=∠BCE-∠BCD=150°=90°=60°，∵CE=CD，∴△CDE为等边三角形，∴DE=CD=AB=2，∠DEC=60°，∴∠FEH=∠DEC=∠CEB=60°-15°=45°，∵CF⊥DE，∴DF=EF=1，∠FHE=180°-∠HFE-∠FEH=45°，∴EF=HF=1，∴HE==当∠ABE=90°+15°=105°，∵BC=CE，∠CBE=∠CEB=15°，∴∠BCE=180°-∠CBE-∠CEB=150°，∴∠DCE=360°-∠DCB-∠BCE=120°，∵CE=BC=CD，CH⊥DE，∴∠FCE=1602DCE∠=︒，∴∠FEC=180°-∠CFE-∠FCE=30°，∴CF=1121 22CE=⨯=，∴EF=∵∠HEF=∠CEB+∠CEF=15°+30°=45°，∴∠FHE=180°-∠HFE-∠FEH=45°=∠FEH，∴FH=FE，∴EH=∴EH=．【点睛】本题考查正方形性质，图形旋转性质，勾股定理，等边三角形，等腰直角三角形性质，角平分线，线段和差，掌握正方形性质，图形旋转性质，勾股定理，等边三角形，等腰直角三角形性质，角平分线，线段和差是解题关键．2、（1）见解析（2）94【分析】（1）连接OB ，由圆周角定理得出90ABC ∠=︒，得出90C BAC ∠+∠=︒，再由OA OB =，得出BAC OBA ∠=∠，证出90PBA OBA ∠+∠=︒，即可得出结论； （2）证明ABC PBO ∆∆∽，得出对应边成比例，即可求出BC 的长．（1）证明：连接OB ，如图所示：AC 是O 的直径，90ABC ∴∠=︒，90C BAC ∴∠+∠=︒，OA OB =，BAC OBA ∴∠=∠，PBA C ∠=∠，90PBA OBA ∴∠+∠=︒，即PB OB ⊥，PB ∴是O 的切线；（2）解：O 的半径为3，3OB ∴=，6AC =，//OP BC ，CBO BOP ∴∠=∠，OC OB =，C CBO ∴∠=∠，C BOP ∴∠=∠，又90ABC PBO ∠=∠=︒，ABC PBO ∴∆∆∽， ∴BC AC OB OP=， 即863BC =， 94BC ∴=． 【点睛】本题考查了切线的判定、圆周角定理、平行线的性质、相似三角形的判定与性质；解题的关键是熟练掌握圆周角定理、切线的判定．3、（1）4；（2）-1或-7【分析】（1）如图，130DAD ∠=︒且11D C O 、、三点在一条直线上的情况，连接1D O ，过点D 向x 作垂线交点为E ，在直角三角形1D EO 中，1130AD E AOD ∠=︒=∠，11sin30D E OD =︒，可求1D O 的长； （2）如图，过点1D 向x 作垂线交点为N ，过点1C 作x 轴垂线交于点G ，作11D M C G ⊥交点为M ；由111111111AND C MD AD N C D M AD C D ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，知111AND C MD ≌，11D N D M =，点G 坐标为()4,0G -，得4p =-，由2225p q +=知q 的值，从而得到p q +的值．【详解】解：（1）∵∠DAD 1＝30°且D 1、C 1、O 三点在一条直线上 ∴如图所示，连接1OD ，过点1D 向x 作垂线交点为E∴1130AD E AOD ∠=︒=∠∵12n D E ==111sin302D E OD ∴=︒= 14OD ∴=．（2）如图过点1D 向x 作垂线交点为N ，过点1C 作x 轴垂线交于点G ，作11D M C G ⊥交点为M11190AND D MC ∠=∠=︒，111111190AD N ND C ND C C D M ∠+∠=∠+∠=︒ 111AD N C D M ∴∠=∠在1AND 和11C MD 中111111111AND C MD AD N C D M AD C D ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()111AND C MD AAS ∴≌11D N D M ∴=G 点横坐标可表示为14m NG m D M m n +=+=+=- ()4,0G ∴-4p ∴=-2225p q +=3q ∴=±∴p +q =-7或-1．【点睛】本题考查了锐角三角函数值，三角形全等,图形旋转的性质等知识．解题的关键与难点是找出线段之间的关系．4、（1）见解析；（2）3【分析】（1）由题意连接OC，OB，由等边三角形的性质可得∠ABC=∠BCE=60°，求出∠OCB=30°，则∠OCE=90°，结论得证；BC＝3．（2）根据题意由条件可得∠DBC=30°，∠BEC=90°，进而即可求出CE=12【详解】解：（1）证明：如图连接OC、OB．∵ABC∆是等边三角形∴ 60∠=∠=A ABCAB CE∵//∴ 60∠=∠=BCE ABC︒=又∵OB OC∴30∠=∠=OBC OCB︒∴90∠=∠+∠=OCE OCB BCE︒⊥∴OC CE∴CE与⊙O相切；（2）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴180∠+∠=A BCD︒∴120∠=BDC︒∵D 为BC 的中点，∴30DBC BCD ∠=∠=︒∴90ABE ABC DBC ∠=∠+∠=︒∵//AB CE∴90E ∠=︒ ∴11322CE BC AB === 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质、圆周角定理、圆内接四边形的性质、切线的判定以及直角三角形的性质等知识．解题的关键是正确作出辅助线，利用圆的性质进行求解．5、（1）0，2；（2r ≤（3）42m -<<【分析】（1）根据新定义，即可求解；（2）过点O 作OD ⊥AB 于点D ，根据三角形的面积，可得DO =d （⊙O ，线段AB ）=0，可得当⊙O 的半径等于OD 时最小，当⊙O 的半径等于OB 时最大，即可求解；（3）过点C 作CN ⊥AB 于点N ，利用锐角三角函数，可得∠OAB =60°，然后分三种情况：当点C 在点A 的右侧时，当点C 与点A 重合时，当点C 在点A 的左侧时，即可求解．【详解】解：（1）∵⊙O 的半径为2，A (2-，0)，B (0，．∴2,OA OB ==∴点A 在⊙O 上，点B 在⊙O 外，∴d （A ，⊙O ）＝0，∴d（B，⊙O）＝2；（2）过点O作OD⊥AB于点D，∵点A(2-，0)，B(0，．∴2,OA OB==，∴4AB=，∵1122OA OB AB OD⋅=⋅，∴112422OD ⨯⨯=⨯⨯∴DO∵d（⊙O，线段AB）=0，∴当⊙O的半径等于OD时最小，当⊙O的半径等于OB时最大，∴r r≤（3）如图，过点C作CN⊥AB于点N，∵点A (2-，0)，B (0，．∴2,OA OB ==，∴tan OB OAB OA ∠=， ∴∠OAB =60°，∵C (m ，0)，当点C 在点A 的右侧时，2m >- ，∴()22AC m m =--=+ ，∴)sin 2CN AC OAB m =⋅∠=+ ， ∵d （⊙C ，线段AB ）<1，⊙C 的半径为1，∴)0211m <+<+ ，解得：22m -< ， 当点C 与点A 重合时，2m =- ，此时d （⊙C ，线段AB ）=0，当点C 在点A 的左侧时，2m <- ，∴2AC m =--11AC -< ，∴211m ---< ，解得：4m >- ，∴42m -<<-． 【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系，点与直线的位置关系，理解新定义，熟练掌握点与圆的位置关系，点与直线的位置关系是解题的关键．。
2022年沪科版九年级数学下册第24章圆同步测试试题(含详细解析)
沪科版九年级数学下册第24章圆同步测试考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图所示四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2、图2是由图1经过某一种图形的运动得到的，这种图形的运动是（）A．平移B．翻折C．旋转D．以上三种都不对3、如图，A，B，C是正方形网格中的三个格点，则ABC是（）A．优弧B．劣弧C．半圆D．无法判断4、下列叙述正确的有( )个.（1）y y=随着x的增大而增大；（2）如果直角三角形斜边的长是斜边上的高的4倍，那么这个三角形两个锐角的度数分别是75和15；（3）斜边为BC的直角三角形顶点A的轨迹是以BC中点为圆心，BC长为直径的圆；（4）三角形三边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等；（5）以2211(1)22m mm m-+>、、为三边长度的三角形，不是直角三角形．A．0 B．1 C．2 D．35、从图形运动的角度研究抛物线, 有利于我们认识新的拋物线的特征. 如果将拋物线22y x =+绕着原点旋转180°，那么关于旋转后所得新抛物线与原抛物线之间的关系，下列法正确的是（ ）A ．它们的开口方向相同B ．它们的对称轴相同C ．它们的变化情況相同D ．它们的顶点坐标相同6、下列四个图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．7、如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上一点，若∠BAC ＝30°，BC ＝2，则AB 的长为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．108、如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，10cm AB =，若以点C 为圆心，CB 的长为半径的圆恰好经过AB 的中点D ，则AC 的长等于（ ）A ．5cmB ．6cmC ．D ．9、计算半径为1，圆心角为60︒的扇形面积为（ ）A ．3πB ．6πC ．2πD ．π10、下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，⊙O 的半径为5cm ，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，则图中阴影部分的面积为 ___．2、两直角边分别为6、8，那么Rt ABC 的内接圆的半径为____________．3、如图，在⊙O 中，弦AB ⊥OC 于E 点，C 在圆上，AB ＝8，CE ＝2，则⊙O 的半径AO ＝___________．4、如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，四边形OABC 是平行四边形，若对角线AC ＝AC 的长为 _____．5、如图，半圆O 中，直径AB ＝30，弦CD ∥AB ，CD 长为6π，则由CD 与AC ，AD 围成的阴影部分面积为_______．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，以四边形ABCD 的对角线BD 为直径作圆，圆心为O ，点A 、C 在O 上，过点A 作AE CD ⊥的延长线于点E ，已知DA 平分BDE ∠．（1）求证：AE 是O 切线；（2）若4AE =，6CD =，求O 的半径和AD 的长．2、元元同学在数学课上遇到这样一个问题：如图1，在平面直角坐标系xOy 中，OA 经过坐标原点O ，并与两坐标轴分别交于B 、C 两点，点B 的坐标为()2,0，点D 在A 上，且30ODB ∠=︒，求OA 的半径和圆心A 的坐标．元元的做法如下，请你帮忙补全解题过程：解：如图2，连接BC ．作AELOB 于E 、AF ⊥OC 于F ． ∴12OE OB =、12OF OC =（依据是 ① ）∵30ODB ∠=︒，∴30OCB ODB ∠=∠=︒（依据是 ② ）．∵90BOC ∠=°，．∴BC 是A 的直径（依据是 ③ ）． ∴12OB BC = ∵2OB =，∴A 的坐标为（ ④ ）A 的半径为 ⑤3、如图，四边形ABCD 是正方形．△ABE 是等边三角形，M 为对角线 BD (不含B ，D 点)上任意一点，将线段BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接 EN ，AM 、CM ．请判断线段 AM 和线段 EN 的数量关系，并说明理由．4、问题：如图，AB是O的直径，点C在O内，请仅用无刻度的直尺，作出ABC中AB边上的高.小芸解决这个问题时，结合圆以及三角形高线的相关知识，设计了如下作图过程．作法：如图，①延长AC交O于点D，延长BC交O于点E；②分别连接AE，BD并延长相交于点F；③连接FC并延长交AB于点H．所以线段CH即为ABC中AB边上的高．（1）根据小芸的作法，补全图形；（2）完成下面的证明．证明：∵AB是O的直径，点D，E在O上，∴ADB AEB∠=∠=________°．（______）（填推理的依据）∴AE BE⊥，BD AD⊥．∴AE，________是ABC的两条高线．∵AE，BD所在直线交于点F，∴直线FC也是ABC的高所在直线．∴CH是ABC中AB边上的高．5、请阅读下列材料，并完成相应的任务：阿基米德是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．阿拉伯Al-Binmi （973-1050 年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al-Binmi 详本出版了俄文版《阿基米德全集》．第一题就是阿基米德折弦定理．阿基米德折弦定理：如图1，AB 和BC 是O 的两条弦（即折线ABC 是圆的一条折弦），BC AB >， M 是ABC 的中点，则从M 向BC 所作垂线的垂足D 是折弦ABC 的中点，即CD AB BD =+．下面是运用“截长法”证明CD AB BD =+的部分证明过程．证明：如图2，在CB 上截取CG AB =，连接,,MA MB MC 和MG ．M 是ABC 的中点，MA MC ∴=…任务：（1）请按照上面的证明思路，写出该证明部分；（2）填空：如图3，已知等边ABC 内接于O ，2AB =，D 为AC 上一点，45ABD ︒∠=，AE BD ⊥于点E ，则BDC 的周长是_________．-参考答案-一、单选题1、D【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．【详解】解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；B．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2、C【详解】解：根据图形可知，这种图形的运动是旋转而得到的，故选：C．【点睛】本题考查了图形的旋转，熟记图形的旋转的定义（把一个平面图形绕平面内某一点转动一个角度，叫做图形的旋转）是解题关键．3、B【分析】根据三点确定一个圆，圆心的确定方法：任意两点中垂线的交点为圆心即可判断．【详解】解；如图，分别连接AB 、AC 、BC ，取任意两条线段的中垂线相交，交点就是圆心．故选：B ．【点睛】本题考查已知圆上三点求圆心，取任意两条线段中垂线交点确定圆心是解题关键．4、D【分析】根据反比例函数的性质，得当0x <或者0x >时，y 随着x 的增大而增大；根据直径所对圆周角为直角的性质，得斜边为BC 的直角三角形顶点A 的轨迹是以BC 中点为圆心，BC 长为直径的圆；根据垂直平分线的性质，得三角形三边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等；根据勾股定理逆定理、完全平方公式的性质计算，可判断直角三角形，即可完成求解．【详解】y =当0x <或者0x >时，y 随着x 的增大而增大，故（1）不正确； 如果直角三角形斜边的长是斜边上的高的4倍，那么这个三角形两个锐角的度数分别是75和15；，故（2）正确；∵圆的直径所对的圆周角为直角∴斜边为BC 的直角三角形顶点A 的轨迹是以BC 中点为圆心，BC 长为直径的圆，故（3）正确； 三角形三边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，故（4）正确； ∵224212124m m m ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭ ∴242422221211442m m m m m m ⎛⎫-+++++== ⎪⎝⎭∴以2211(1)22m m m m -+>、、为三边长度的三角形，是直角三角形，故（5）错误； 故选：D ．【点睛】本题考查了三角形、垂直平分线、反比例函数、圆、勾股定理逆定理的知识；解题的关键是熟练掌握反比例函数、垂直平分线、圆周角、勾股定理逆定理的性质，从而完成求解．5、B【分析】根据旋转的性质及抛物线的性质即可确定答案．【详解】抛物线22y x =+的开口向上，对称轴为y 轴，顶点坐标为(0，2)，将此抛物线绕原点旋转180°后所得新抛物线的开口向下，对称轴仍为y 轴，顶点坐标为(0，－2)，所以在四个选项中，只有B 选项符合题意．故选：B【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，旋转的性质等知识，掌握这两方面的知识是关键．6、D【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】解：A 、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；C 、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；D 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；故选：D ．【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．7、A【分析】根据直径所对的圆角为直角，可得90C ∠=︒ ，再由直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，即可求解．【详解】解：∵AB 是⊙O 的直径，∴90C ∠=︒ ，∵∠BAC ＝30°，BC ＝2，∴24AB BC ==．故选：A【点睛】本题主要考查了直径所对的圆角，直角三角形的性质，熟练掌握直径所对的圆角为直角；直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．8、D【分析】连接CD ，由直角三角形斜边中线定理可得CD =BD ，然后可得△CDB 是等边三角形，则有BD =BC =5cm ，进而根据勾股定理可求解．【详解】解：连接CD ，如图所示：∵点D 是AB 的中点，90C ∠=︒，10cm AB =， ∴15cm 2CD BD AB ===， ∵CD BC =，∴5cm CD BD BC ===，在Rt△ACB 中，由勾股定理可得AC =；故选D ．【点睛】本题主要考查圆的基本性质、直角三角形斜边中线定理及勾股定理，熟练掌握圆的基本性质、直角三角形斜边中线定理及勾股定理是解题的关键．9、B直接根据扇形的面积公式计算即可．【详解】2260113603606n r S πππ︒⨯⨯===︒︒扇形 故选：B ．【点睛】 本题考查了扇形的面积的计算，熟记扇形的面积公式2360n r S π=︒扇形是解题的关键． 10、B【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解．【详解】A ．不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B ．是中心对称图形，故本选项符合题意；C ．不是中心对称图形，故本选项不符合题意；D ．不是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选：B ．【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．二、填空题1、256π根据图形分析可得求阴影部分面积实为求扇形面积，将原图阴影部分面积转化为扇形面积求解即可．【详解】如图，连接BO ，OC ，OA ，由题意得：△BOC ，△AOB 都是等边三角形，∴∠AOB ＝∠OBC ＝60°，∴OA∥BC，∴OBC ABC S S =，2605253606BOC S S ππ⨯⨯∴===阴扇． 故答案为：256π． 【点睛】 本题考查正多边形与圆、扇形的面积公式、平行线的性质等知识，解题的关键是得出BOC S S =阴扇． 2、5【分析】直角三角形外接圆的直径是斜边的长．【详解】解：由勾股定理得：AB ，∵∠ACB=90°，∴AB是⊙O的直径，∴这个三角形的外接圆直径是10，∴这个三角形的外接圆半径长为5，故答案为：5．【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，知道直角三角形外接圆的直径是斜边的长是关键；外心是三边垂直平分线的交点，外心到三个顶点的距离相等．3、5【分析】设⊙O的半径为r，则OA=r，OD=r-2，先由垂径定理得到AD=BD=12AB=4，再由勾股定理得到42+（r-2）2=r2，然后解方程即可．【详解】解：设⊙O的半径为r，则OC=OA=r，OE=OC-CE=r-2，∵OC⊥AB，AB=8，∴AE=BE=12AB=4，在Rt△OAE中，由勾股定理得：42+（r-2）2=r2，解得：r=5，即⊙O的半径长为5，故答案为：5．【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理． 4、4π3【分析】连接OB ，交AC 于点D ，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得四边形OABC 为菱形，根据菱形的性质可得：OB AC ⊥，OA AB =，AD DC =，根据等边三角形的判定得出OAB 为等边三角形，由此得出120AOC ∠=︒，在直角三角形中利用勾股定理即可确定圆的半径，然后代入弧长公式求解即可．【详解】解：如图所示，连接OB ，交AC 于点D ，∵四边形OABC 为平行四边形，OA OC =，∴四边形OABC 为菱形，∴OB AC ⊥，OA AB =，12AD DC AC === ∵OA OB AB ==，∴OAB 为等边三角形，∴60AOB ∠=︒，∴120AOC ∠=︒，在Rt OAD 中，设AO r =，则12OD r =， ∴222AD OD AO +=，即22212r r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 解得：2r =或2r =-（舍去），∴AC 的长为：120241803ππ⨯⨯=， 故答案为：43π． 【点睛】题目主要考查菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，弧长公式等，熟练掌握各个定理和公式是解题关键．5、45π【分析】连接OC ，OD ，根据同底等高可知S △ACD =S △OCD ，把阴影部分的面积转化为扇形OCD 的面积，利用扇形的面积公式S =12lr 来求解． 【详解】解：连接OC ，OD ，∵直径AB =30，∴OC =OD =130152⨯=，∴CD∥AB，∴S△ACD=S△OCD，∵CD长为6π，∴阴影部分的面积为S阴影=S扇形OCD=1615452ππ⨯⨯=，故答案为：45π．【点睛】本题主要考查了扇形的面积公式，正确理解阴影部分的面积=扇形COD的面积是解题的关键．三、解答题1、（1）证明见解析（2）【分析】（1）连接OA，根据已知条件证明OA⊥AE即可解决问题；（2）取CD中点F，连接OF，根据垂径定理可得OF⊥CD，所以四边形AEFO是矩形，利用勾股定理即可求出结果．（1）证明：如图，连接OA，∵AE⊥CD，∴∠DAE+∠ADE=90°．∵DA平分∠BDE，∴∠ADE=∠ADO，又∵OA=OD，∴∠OAD=∠ADO，∴∠DAE+∠OAD=90°，∴OA⊥AE，∴AE是⊙O切线；（2）解：如图，取CD中点F，连接OF，∴OF⊥CD于点F．∴四边形AEFO是矩形，∵CD=6，∴DF=FC=3．在Rt△OFD中，OF=AE=4，∴5OD=，在Rt△AED中，AE=4，ED=EF-DF=OA-DF=OD-DF=5-3=2，∴AD=∴AD的长是【点睛】本题考查了切线的判定与性质，垂径定理，圆周角定理，勾股定理，解决本题的关键是掌握切线的判定与性质．2、垂径定理，圆周角定理，圆周角定理，（1，2【分析】根据垂径定理，圆周角定理依次分析解答．【详解】解：如图2，连接BC ．作AE ⊥OB 于E 、AF ⊥OC 于F ． ∴12OE OB =、12OF OC =（依据是垂径定理）∵30ODB ∠=︒，∴30OCB ODB ∠=∠=︒（依据是圆周角定理）．∵90BOC ∠=°，．∴BC 是A 的直径（依据是圆周角定理）． ∴12OB BC =， ∵2OB =，∴A 的坐标为（1，A 的半径为2，故答案为：垂径定理，圆周角定理，圆周角定理，（1，2．【点睛】此题考查了圆的知识，垂径定理、圆周角定理，熟记各定理知识并综合应用是解题的关键．3、AM=EN ，理由见解析【分析】根据旋转性质和等边三角形的性质可证得∠ABM =∠EBN ，BM=BN ，AB=BE ，根据全等三角形的判定证明△A BM ≌△EBN 即可得出结论．【详解】解：AM=EN ，理由为：∵△ABE 是等边三角形，∴AB=BE ，∠ABE =60°，即∠EBN =∠ABN =60°，∵线段BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，∴BM=BN ，∠MBN =60°，即∠ABM +∠ABN =60°，∴∠ABM =∠EBN ，在△A BM 和△EBN 中，AB BE ABM EBN BM BN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△A BM ≌△EBN （SAS ），∴AM=EN ．【点睛】本题考查等边三角形的性质、旋转性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握用全等三角形证明线段相等是解答的关键．4、（1）见详解；（2）90，直径所对的圆周角是直角，BD ．【分析】（1）根据作图步骤作出图形即可；（2）根据题意填空，即可求解．【详解】解：（1）如图，CH 为△ABC 中AB 边上的高；（2）证明：∵AB是O的直径，点D，E在O上，∴ADB AEB∠=∠=___90_°．（__直径所对的圆周角是直角_）（填推理的依据）∴AE BE⊥，BD AD⊥．∴AE，_BD__是ABC的两条高线．∵AE，BD所在直线交于点F，∴直线FC也是ABC的高所在直线．∴CH是ABC中AB边上的高．故答案为：90，直径所对的圆周角是直角，BD．【点睛】本题考查了圆周角定理的推理，三角形的三条高线相交于一点等知识，熟知两个定理，并根据题意灵活应用是解题关键．5、（1）证明见解析；（2）2+【分析】（1）首先证明()MBA MGC SAS ≅，进而得出MB MG =，再利用等腰三角形的性质得出BD GD =，即可得出答案；（2）首先证明()ABF ACD SAS ≅，进而得出AF AD =，以及CD DE BE +=，进而求出DE 的长即可得出答案．（1）证明：如图2，在CB 上截取CG AB =，连接MA ，MB ，MC 和MG ．M 是ABC 的中点，MA MC ∴=．在MBA △和MGC 中BA GC A C MA MC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()MBA MGC SAS ∴≅，MB MG ∴=，又MD BC ⊥，BD GD ∴=，DC GC GD AB BD ∴=+=+；（2）解：如图3，截取BF CD =，连接AF ，AD ，CD ，由题意可得：AB AC=，∵AD AD=∴ABF ACD∠=∠，在ABF和ACD△中AB ACABF ACDBF DC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABF ACD SAS∴≅，AF AD∴=，AE BD⊥，FE DE∴=，则CD DE BE+=，45ABD∠=︒，AB∴=，∵2AB BC∴==，∴BE则22BDCl BC CD BD BC BE=++=+=+故答案为：2+【点睛】此题主要考查了圆与三角形综合，涉及了圆周角定理、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形以及等边三角形的性质，正确作出辅助线利用全等三角形的判定与性质解题是解题关键．。
2020年春九年级数学下册24.2圆的基本性质第4课时同步课件新版沪科版
第四课时
复习引课
〉 类比确定直线的条件: 〉 经过一点可以作无数条直线；
●
A
●
●B
A
经过两点只能作一条直线.
〉 思考
3.确定圆 的条件
●
O ● ●A
●O
●O O
●
O
●O ●O
●A
●O ●B
●O
1.作圆,使它过已知点A.你能作出几个这样的圆? 2.作圆,使它过已知点A,B.你能作出几个这样的圆?有何特点？ 3.经过A,B,C.能不能作圆?
•2、 已知△ABC，能用直尺和 圆规作出过点A、B、C的圆
A
C B
已知△ABC，用直尺和圆规作出过点A、B、C的圆
解答提示：
1、作AB的垂直平分
Hale Waihona Puke A线EF2、作BC的垂直平分 线MN交EF于O
3、以O为圆心OA为
半径作圆，则过A、
B
B、C
O C
如图，AB是⊙O的径，
⌒
BC
=
⌒
CD
=
⌒
DE
，
∠COD=35°，求∠AOE的度数．
〉 请你作圆,使它过已知点A,B,C(A,B,C三点不在同一条直线上).
〉 以O为圆心,OA(或OB,或OC)为半径,作⊙O即可.
请你证明你做得圆符合要求. 证明:∵点O在AB的垂直平分线上，
F
●
E
A
∴OA=OB. 同理,OB=OC. ∴OA=OB=OC.
●B ┏●O ●C D
∴点A,B,C在以O为圆心的圆上. ∴⊙O就是所求作的圆,
〉 2. 过已知点A,B作圆,可以作无数个圆. 你准备如何(确定圆心,半径)作圆？
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24.2.4圆的基本性质同步检测
一、选择题：
1.下列条件,可以画出圆的是( ).
A.已知圆心
B.已知半径
C.已知不在同一直线上的三点
D.已知直径
2.三角形的外心是( ).
A.三条中线的交点
B.三条边的中垂线的交点
C.三条高的交点
D.三条角平分线的交点 1
3.和l，那么它的外接圆的直径是（ ).
A.1
B.2
C.3
D.4
4.平面上不共线的四点,可以确定圆的个数为( ).
A.1个或3个
B.3个或4个
C.1个或3个或4个
D.1个或2个或3个或4个
5.用反证法证明“垂直于同一条直线的两条直线平行”这一命题时,假设后得到的结论和下面结果矛盾的是( ).
A.同位角相等,两直线平行
B.经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C.内错角相等,两直线平行
D.经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
6.下列说法中正确的个数有( ).
①直径不是弦；
②三点确定一个圆；
③圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴；
④相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
7.⊙O是等边三角形ABC的外接圆，⊙O的半径为2，则等边三角形ABC的边长为（）
C. D.
二、填空题：
8.边长为1cm的正三角形被一个半径为r的圆完全覆盖,则r的最小值是_______cm.
9. 图24-2-41,MN所在的直线垂直平分线段AB,利用这样的工具,最少使用________ 次就可以找到圆形工件的圆心.
10.用反证法证明∠A ︒<90时应先假设 ，即 或 .
11.△ABC 的三边为
,则其外接圆的直径为_____.
12.一个三角形的外心在三角形的外部,这个三角形是_____三角形.
三、解答题：
13.要将如图24-2-42所示的破圆轮残片复制完成,怎样确定这个圆轮残片的圆心和半径?(写出找圆心和半径的步骤).
14.设线段AB=4cm,作图说明:到点A 的距离大于3cm,且到点B 的距离小于2cm 的所有点组成的图形.
15.计算机把数据存储在磁盘上，磁盘上有一些同心圆转道．如图24-2-43，现有一张半径为45毫米的磁盘，磁盘的最内磁道半径为r 毫米，磁盘的最外圆周不是磁道，磁道上各磁道之间的宽度必须不小于0.3毫米，这张磁盘最多有 ______条磁道．
参考答案:
1.C.
2.B.提示:由于三角形的外心到三个顶点的距离相等,这点是中垂线的交点.
3.B.提示:直角三角形的外接圆的圆心是斜边的中点.
4.D.提示:最少可以确定一个圆,四个点三个点一组,可以分成四组,最多确定四个圆.
5.B.提示:假设两直线相交,则经过一点有两条直线与已知直线垂直,与垂线的性质矛盾
. 图24-2-41
图24-2-43 图24-2-42 B
A
6.A.提示:③正确.
7.A.提示:边长为2·cos30°
.
.提示:求出正三角形的外接圆的半径即可.
9.两.提示:利用不在同一直线上的三点确定一个圆解决.
10.∠A≥90°,∠A＞90°,∠A=90°.
.由题意,△ABC为直角三角形,外接圆的直径等于斜边.
12.钝角.
13.(1)在残圆上任取三点A、B、C; (2)分别作弦AB、AC的垂直平分线, 则这两垂直平分线的交点即是所求的圆心;(3)连接OA,则OA的长即是残圆的半径.
14.如右图.
15.
10
150
3
r
.提示:半径为45毫米,宽度为0.3毫米时共可以刻45÷0.3=150,再减去内部不是最
内磁道以内的部分.。