位移转角推导公式
结构力学 位移计算
1
1
MK
θ
∆
已知K点发生剪切位移，求B端位移 B
K
∆i =
∑ ∫ [N
i
δε
+ Q i δγ
+ M i δθ
] ds
----适用于各种杆件体系 线性 非线性 适用于各种杆件体系(线性 非线性). 适用于各种杆件体系 线性,非线性 对于由线弹性直杆组成的结构，有： 对于由线弹性直杆组成的结构， 线弹性直杆组成的结构 适用于线弹性 直杆体系, 直杆体系
所加单位广义力与所求广义位移相对应,该单位 所加单位广义力与所求广义位移相对应 该单位 广义力在所求广义位移上做功. 广义力在所求广义位移上做功 B A P 例: 1)求A点水平位移 求 点水平位移 2)求A截面转角 求 截面转角 3)求AB两点相对水平位移 求 两点相对水平位移 4)求AB两截面相对转角 求 两截面相对转角
P=1
C
P=1
(f)
ϕC
左右
=？
试确定指定广义位移对应的单位广义力。 试确定指定广义位移对应的单位广义力。
P=1 A
(g)
ϕA = ?
A B P=1 P=1
(h)
ϕ AB = ?
§3.4 图乘法及其应用
(Graphic Multiplication Method and its Applications)
解：构造虚设单位力状态. 构造虚设单位力状态
q A
h b
N i ( x) = 0, N P ( x) = 0
Qi ( x) = 1, QP ( x) = q(l − x)
M i ( x) = x − l , M P ( x) = −q (l − x) 2 / 2
结构力学 结构的位移计算
k
F Ndu
Md
F Q 0ds
F RC
只有荷载作用
无支座移动
k F Ndu Md FQ 0ds
由材料力学知
du
FNP d s EA
d
M Pds EI
d s
k FQP d s GA
10
1.2
9
k--为截面形状系数
A A1 [Al为腹板截面积]
FP
X
待分析平衡的力状态
(c)
直线
几点说明：
X C (1) 对静定结构，这里实际用的是刚体
虚设协调的位移状态
虚位移原理，实质上是实际受力状态 的平衡方程，即
由外力虚功总和为零，即：
X F 0
X
P
C
M 0 B
(2) 虚位移与实际力状态无关，故可设
1 x
X P b 0 (3) 求解时关键一步是找出虚位移状态的
计算结构的位移，就必须明确广义力与广义位移的对应关系。常见的对应有
以下几种情况：
基本原则
求哪个方向的位移就在要求位移的方向上施加相应的单位力。
A
B
位移方向未知
时无法直接虚
拟单位荷载！
求A点的 水平位移
P=1
m=1 求A截面 的转角
m=1
m=1
求AB两截面 的相对转角
P=1
P=1
求AB两点 的相对位移
位移与约束协调:位移函数在约束处的数值等于约束位移。
§4-2 虚功原理
一、虚功原理的三种形式
1、质点系的虚位移原理
具有理想约束的质点系，其平衡的必要和充分条件是：作用于质点系的主
转角位移方程
转角位移方程
其中，x表示物体所在的位置。
v0表示物体的初始速度；t表示时间；a表示加速度。
由于加速度是恒定的，可以将时间划分为固定的区间，通过计算每个时间段的位移，可以得到物体实际运动轨迹。
例如，假设方程中加速度为10m/s^2，初始速度为2m/s，则在
t=1s时，物体的位移为2*1+1/2*10*1^2 = 12m。
转角位移方程也可以用于研究物体的加速度。
可以将时间划分为若干等分，通过记录每个时间点物体的位移，可以得到物体的加速度。
例如，如果位移x1 = 12m，x2 = 18m，t1 = 1s，t2 = 2s，则物体的加速度为(18-12)/(2-1) = 6m/s^2。
除此之外，转角位移方程还可以用于计算物体的动能和势能。
物体的动能与物体的速度和质量有关，而势能则与物体的位置有关。
可以将时间划分为若干等分，通过计算每个时间点物体的位移和速度，可以得到物体的动能和势能。
转角位移方程是一种重要的物理模型，它可以用来计算物体的位移、速度、加速度、动能和势能等，为物理研究提供了重要的理论依据。
它的应用涉及到机械、电子、航空等许多领域，是工程技术人员必须要掌握的基本知识之一。
只有深入理解转角位移方程，才能在实际工程中正确应用它，为工程技术人员提供有效的理论指导。
- 1 -。
0507转角位移方程(力学)
4i
M AB 4i M BA 2i
A B
1
6i/l
FQ 6i / l
6i/l
A
B A
12i/l2
B
6i/l
M AB 6i / l M BA 6i / l
FQ 12i / l 2
载常数
q A
ql2/12
ql2/12 B
ql/2 A
B
A
B
ql/2
F M AB ql 2 / 12 F M BA ql 2 / 12
1
A
B
B
A
i
M AB i
i
M BA i
A
B
FQ 0
载常数
q A l B ql2/3 A ql2/6
F M AB ql 2 / 3 F M BA ql 2 / 6
ql
B A B
F FQ AB ql F FQ BA 0
载常数
A
FP B l/2
l/2
3FPl/8 A FP l/8
第五章 力 法 5.7 转角位移方程
Slope-Deflection Equations
1. 基本概念
基本构件
形常数 三类基本构件由于杆端单位位移所引起的杆端弯矩和剪力。 载常数 三类基本构件在荷载作用下的杆端弯矩和剪力。
2. 等截面直杆转角位移方程
MAB FP A EI l
B
B MBA FQBA
A
B
A
B
A
B
F M AB EI t1 t 2 / h F M BA EI t1 t 2 / h
F FQ 0
《结构力学教学课件》§8-2等截面直杆的转角位移方程
转角位移方程在工程设计和分析中的应 用案例
桥梁设计
根据转角位移方程，设计桥 梁的梁柱结构，确保其稳定 性和承载能力。
建筑结构分析
使用转角位移方程评估建筑 物的结构变形情况，确保其 满足安全标准。
机械设计
在机械设计中应用转角位移 方程，考虑构件的变形情况， 以确保其工作正常。
矩形截面直杆的转角位移方程 示例。
圆形杆
圆形截面直杆的转角位移方程 示例。
I型梁
I型截面直杆的转角位移方程示 例。
转角位移方程的应用和意义
1 分析结构变形
转角位移方程可用于分 析结构的变形情况，了 解结构强度和稳定性。
2 设计工程
通过转角位移方程，可 以计算结构在设计工程 中所需的尺寸和材料要 求。
等截面直杆的转角位移方程
在这个教学课件中，我们将介绍等截面直杆的转角位移方程，包括定义、特 点和导出过程，并给出一些示例和应用案例。让我们开始学习吧！
直杆转角位移方程的定义
直杆转角位移方程是用来描述等截面直杆受力情况下的转角位移的数学表达 式。
等截面直杆的特点和假设条件
特点
等截面直杆的截面在整个杆体上保持不变。
假设条件
假设直杆材料是均匀的，受力是轴向拉压。
转角位移方程的导出过程
1
步骤 1
根据力平衡条件，推导出直杆所受的轴向拉力表达式。
2
步骤 2
基于杆体截面的几何特性，建立直杆的截面旋转角度和长度的关系。
3
步骤 3
结合步骤 1 和步骤 2 的结果，得到直杆转角位移方程。
各种常见等截面的转角位移方程示例
矩形梁
总结和要点
• 等截面直杆的转角位移方程描述直杆受力情况下的转角位移。 • 转角位移方程的导出过程基于力平衡和杆体几何特性。 • 转角位移方程可应用于工程设计、分析和优化。
位移计算
(c)
X = −bP / a
∆X = 1 = δ x
单位位移法(Unit-Displacement Method) 单位位移法
2）虚功原理用于虚设的平衡力状态与实际的协 ）虚功原理用于虚设的平衡力状态与实际的协 虚设的平衡力状态 调位移状态之间 之间。 调位移状态之间。
时引起C点的竖向位移 例. 求 A 端支座发生竖向位移 c 时引起 点的竖向位移 ∆. A′ 1 c B A B C C ∆ A b C′ a Y
⑤几种常见图形的面积和形心的位置： 几种常见图形的面积和形心的位置： a b h l/2
顶点
19
h
(a+l)/3
(b+l)/3
l/2
l ω=hl/2
二次抛物线ω=2hl/3 二次抛物线
顶点
h
顶点
3l/4
l/4
5l/8
3l/8
二次抛物线ω=hl/3 二次抛物线
二次抛物线ω=2hl/3 二次抛物线
h
点转角位移。 例：求梁B点转角位移。 求梁 点转角位移 P
m A ϕA ∆
T = mϕ A + mϕ B = m(ϕ A + ϕ B ) = m∆
这里∆是与广义力相应的广义位移。 这里 是与广义力相应的广义位移。 是与广义力相应的广义位移 表示AB两截面的相对转角。 表示 两截面的相对转角。 两截面的相对转角
ϕB
6
试确定指定广义位移对应的单位广义力。 试确定指定广义位移对应的单位广义力。 单位广义力 A P=1
+ to
∇
4
绝对位移与相对位移
c c′
t1
t 2 > t1
以上都是绝对位移
第七章-梁的位移-转角、挠度
第七章 梁的弯曲变形
例 7-4 试用叠加原理求图示弯曲刚度为EIz的简支梁的跨
中截面挠度ωc和梁端截面的转角θA，θB.
Fq
B 解 yc yqcyFc
A
C EI z
l2
l2
yqc
5qL4 384EI z
yFc
FL3 48EI z
q
B
yc
5qL4 384EIz
FL3 48EIz
A
C EI z
l2
axL
L
AC段
E EzIyzI''11 M 2F1 Lbxx2CF 1Lb x
CB段
E E zy'I z'2 I 2 M 2 F 2 L x x b 2 1 2 F F L x xb a F 2 x C a 2
E zy 2 I 6 F L x 3 b 1 6F x a 3 C 2 x D 2
A
AA A A A
A
~
~
~
~~
A
AA
~
~
yA 0
yA 0
A 0
yALyAR
ALAR
10
第七章 梁的弯曲变形
例7-1 求图所示悬臂梁A端的挠度与转角。
F
x
A
yA
A
l
M xFx
B
x
d d EE Ix zy zId dFx y 2x 2M E (CF IZ x1)x dd x C x C11
i 1
由于梁的边界条件不变，因此
n
y y i
i1
重要结论：
n
i ,
i1
梁在若干个载荷共同作用时的挠度或转角，等
于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代数和。 这就是计算弯曲变形的叠加原理。
第七章 梁的位移-转角、挠度解读
第七章 梁的位移-转角、挠度
7.1 工程中梁的变形 转角 挠度 7.2 梁挠曲线的近似微分方程 7.3 利用积分法求梁的位移 7.4 利用叠加法求梁的位移 7.5 梁的刚度条件与校核 7.6 简单超静定梁的计算 7.7 提高抗弯刚度的措施
1
第七章 梁的弯曲变形
2
第七章 梁的弯曲变形
A
AA A A A
A
~
~
~
~~
A
AA
~
~
yA 0
yA 0
A 0
yAL yAR
AL AR
10
第七章 梁的弯曲变形
例7-1 求图所示悬臂梁A端的挠度与转角。
F
x
A
yA
A
l
M x Fx
B
x
ddEExyIzIzddFxyx22MEI(CFZx1x)ddxxCC11
Fb L
x
F b
C
l
y
x
最大转角 y'' 0 M x 0
A
Fb L2 b2 6EIz L
Fab L b 6EIz L
最大挠度 y' 0 令x=a
B
x
EI z1
Fb 2L
x2
Fb
L2 6L
b2
EIz
y1
Fb 6L
x3
Fb
EIz
y2
Fb 6L
x3
1 6
F x
a3
Fb
L2 6L
b2
转角位移方程
转角位移方程转角位移方程是一种建模和分析运动轨迹的有效方式。
它可以帮助我们更好地了解物体在运动中的位置及其变化。
转角位移方程可以将物体的运动抽象为位置坐标系中的几何变换，允许我们突出显示和提取物体的轨迹特征。
本文将介绍转角位移方程，和它在工程中的应用。
首先，转角位移方程是由英国数学家赫尔佐格在1880年发明的，它是一个具有三参量的二阶运动偏微分方程组。
计算机科学家在20世纪初期发现了它的价值，他们利用它来模拟物体运动的轨迹。
转角位移方程的基本形式如下：X = (1/m)*a + (1/n)*b其中，X表示物体的转角位移；m和n分别表示物体的质量和惯性；a和b分别表示物体的受力矩和受力角。
转角位移方程可以用来模拟多种运动，如旋转、振动、跃迁等。
它可以用来精确地计算物体运动的位置、速度和加速度，从而帮助我们更好地控制物体的运动轨迹。
在工程上，转角位移方程可以用来模拟机器人的运动轨迹，以帮助更好地操纵机器人。
此外，采用转角位移方程也可以用于有效地追踪航空飞行器的运动轨迹，以更好地实现它们的任务。
转角位移方程的应用广泛，可以用来控制物体的运动轨迹，从而实现机器人的智能操纵，为人们提供更多的便利。
同时，它也可以用于追踪复杂运动的位置和状态，以更好地控制运动轨迹上的物体。
然而，由于转角位移方程的复杂性，它在使用过程中也存在一定的技术难题，比如求解变分方程所需要的资源。
总之，转角位移方程是一种有效的运动建模方法，它可以用来精确模拟物体运动的位置和加速度，从而控制物体的运动轨迹。
它的应用也很广泛，既可以用于智能操纵机器人，又可以用于追踪飞行器的运动轨迹。
然而，一些技术难题仍然存在，因此，如何有效解决这些技术难题仍然是一个值得深入研究的课题。
结构力学 静定结构的位移计算1
P
A
3．位移计算的一般公式
设：结构受荷载的作用， 及支座移动，求A点的竖 向位移。
W外=W变
外力所作的虚功总和W外，等于 各微段截面上的内力在其虚变 形上所作的虚功的总和W变 。
1）位移状态的设定 q
P A
dx
a) 若求结构上C点的竖向位移，
2) 若求结构上截面A的角位移，可在截面处加一单位力矩。
若求桁架中AB杆的角位移，应 加一单位力偶，构成这一力 偶的两个集中力的值取 1/d。 作用于杆端且垂直于杆(d等 于杆长)。
3) 若要求结构上两点(A、B)沿其连线 的相对位移，可在该两点沿其连线 加上两个方向相反的单位力。
A
2）作 M 图 P=1
A C
1.5 M1 图
B 2m
6
B
B
D
66
A
BB
D
9
1
CV
1 1 61.5 3
EI 2
2 2 3 9 5 1.5
EI 3
8
189
=
（向下）
4EI
2）作 M 图
A
BD
6 6
M2 图
A
BB
D
9
1
D
1 EI
一、概述
1．位移的种类
1) 角位移：杆件横截面产生的转角 2) 线位移：结构上各点产生的移动 3) 相对位移（相对角位移，相对线位移）
Aθ
Δ A
θ
（A截面的转角θ ）
（A结点的水平线 位移Δ，转角θ）
ΔA A
静定结构的位移计算
2）欲求一处的角位移，加一个单位集中力偶
3）欲求两点的相对线位移，在两点的连线上加 一对指向相反的单位集中力
4）欲求两处的相对角位移，加一对指向相反 的单位集中力偶
5）欲求桁架某杆的角位移在杆的两端加一对 平行、反向的集中力，两力形成单位力偶。力 偶臂为d ，每一力的大小为1/d
在小变形条件下， 12由图示的原始形状、尺
寸计算，并称此状态为虚功计算的位移状态。与 之相应， FP1单独作用的状态 为虚功计算的力状 态。
当力状态的外力在位移状态的位移上作外力虚功 时，力状态的内力也在位移状态各微段的变形上 作内力虚功。
根据功和能的原理可得变形体的虚功原理： 任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任 意一个虚位移时，变形体所受外力在虚位移 上所作虚功的总和，等于变形体的内力在虚 位移的相应变形上所作虚功的总和。
定的施工措施，因而也需要进行位移计算。
1.2 结构位移计算的一般公式
一、变形体的虚功原理 功：力对物体在一段路程上累积效应的量度，
也是传递和转换能量的量度 实功 ：力在自身引起的位移上所作的功
当静力加载时，即： FP1由0增加至FP1
11 由0增加至 11
力Fp1在位移
11
上作的实功
W11=
1 2
虚功原理也可以简述为： “外力的虚功等于内力的虚变形功”。
二、 单位荷载法
1、定义：应用虚功原理，通过加单位荷 载求实际位移的方法。
2、计算结构位移的一般公式
F
K+
FRiCi= M
d +
F
N
du
+
F
Q
dv
式中， F =1 则
16-7桩顶位移、转角计算
得，即:
xH
Hl03 3EI
xm
Ml02 2EI
将各项代入x1 = x00l0+xH+xm ，整理得：
x1＝
H 3 EI
Ax1
M
2EI
Bx1
Ax1、Bx1为h及l0的函数， h4时，查表4－12。
有缘学习＋Ｖ星ｙｇｄ３０７６或关注桃报：奉献教育（店铺）
桩顶转角
1＝0+H+m
0
H 2 EI
A
M Hl0
EI
B
H、m由下端嵌固、跨度为l0的悬臂梁计算而得，即:
H
Hl02 2EI
m
Ml0 EI
整理得：
1＝－
H 2 EI
A1
M
EI
B1
A1、B1为h及l0的函数，查表4－12。注意到 Bx1 ＝A1
H
x1
1
0
H
m
Hale Waihona Puke lololo
=
0 +
+
h
h
h
H H+M0
M
h
桩顶水平位移
x1 = x0+xH+xm 0l0
x0、0(逆时针为正)可按计算所得的M0＝Hl0+M及H0＝H求得：
x0
H
3EI
Ax
M Hl0
2EI
Bx
0
H 2 EI
A
M Hl0
EI
B
xH、xm是把露出段作为下端嵌固、跨度为l0的悬臂梁计算而
桩顶位移最大位移已知桩露出地面长l若桩顶点为自由端其上作用了h及m顶端的水平位移可应用叠加原理计算
2. 桩顶位移（最大位移）
结构力学课件转角位移方程
3i A
3i l
A
3i l
3i l2
M
F AB
FQFAB
FQBA
3i lABiblioteka 3i l2FQFBA
形常数
1
A
BA
B
A
B
3i
3i/l
M AB 3i
FQ 3i / l
A
B
3i/l
1
3i/l2
A
B
A
B
M AB 3i / l
FQ 3i / l 2
载常数
q A
ql2/8
B
A
5ql/8
B
6i
l
M
F AB
M
BA
2i
A
4i B
6i
l
M
F AB
B
B
MBA
FQBA
FQAB FQBA
6i l
A
6i l
A
6i l
B
6i l
B
12i
l2 12i
l2
FQFAB
FQFBA
形常数
1
A
B
A
B
1
2i
A
B
4i
M AB 4i MBA 2i
6i/l
A
B
6i/l
M AB 6i / l MBA 6i / l
F AB
FP l
/8
M
F BA
FP l
/8
FP/2
A
B
FP/2
FF Q AB
FP
/
2
FF Q BA
FP
/
2
载常数
A
7.2等截面直杆的转角位移方程
（二）几种常见情况
q
A
B
EI
l
P
A
B
EI
l2
l2
7.2 等截面直杆的转角位移方程
三、荷载作用下单跨超静定梁的杆端内力：
（二）几种常见情况
——又称为载常数
q
A
B
EI
l
P
A
B
EI
l2
l2
1. 左边的固端弯矩为负，右边的固端弯矩非负。 2. 固定端可以在左，也可以在右。
7.2 等截面直杆的转角位移方程
θB
A
EI
B
l
M AB 2iθB
M BA 4 i θB
θA
A
B
EI
l
M AB 3 i θA
θA
A
B
EI
l
M AB i θA M BA i θA
7.2 等截面直杆的转角位移方程
四、杆端位移所引起的杆端内力（续）：—形常数
A
EI
l
B
AB
M AB
3
i l
AB
A
EI
l
说明：
B
AB
M AB
6
二、杆端内力、杆端位移： （一）杆端内力
1.表示方法：采用双脚标。
A
B
2.正负号规定：
轴力N，剪力Q：同前；
弯矩M：杆端弯矩：顺时针为正；
支座或结点的弯矩：逆时针为正。
支座
M AB
AA
P1 BMBA B
支座
7.2 等截面直杆的转角位移方程
二、杆端内力、杆端位移：
（二）杆端位移： 假设：在变形过程中，直杆两端之间距离保持不变。
结构力学 位移计算
n1
h
C
(n 1)l n2
l n2
例:求图示梁(EI=常数,跨长为l)B截面转角 B
1
q
A
B
2
1
MP 图
解:
1 ql2
M图
8
B
1 EI
[(2 3
l
1 8
ql2 )
1] 2
1 ql3 （ ）
24 EI
三、图形分解
求 B
20
40
A
B
MP
EI
20kN m10m40kN m
1
Mi
1/3 2/3
1
1 [(P)(1)a (P)(1)a EA
2P k
2P 2 2a] 2(1 2) Pa () a
2
Ni
1
EA
练习:求图示桁架(各杆EA相同)k点竖向位移.
P
2P
0 a NP
P
1
0a k
2 0
Ni
kx
NP Nil EA
1 1 [P 1 a ( 2P)( 2) 2a]
EA
1
(1 2
对于由线弹性直杆组成的结构，有：
P
NP EA
,
P
kQP GA
,
P
MP EI
适用于线弹性 直杆体系,
ip
[
NP N EA
i
kQP Qi GA
M P M i ]ds EI
例 1：已知图示粱的E 、G,
q
求A点的竖向位移。
解：构造虚设单位力状态.
Ah
Ni (x) 0, NP (x) 0
l
b
Qi (x) 1,QP (x) q(l x)
结构力学——位移法
15
75 105 180
45 180
135 45
165
135
M(kN m)
第四节 用位移法求解某些特殊问题
４支座变位问题
Z1
Z2
i3
i1
i2
如左图刚架体系所示，发生支座变位
1 ，2 ， ，求该体系在支座变位
情况下所产生的弯矩图
Z3
在 Z1 1 作用下所产生的弯矩图
1
2i3
3i1 4i3
2
M1
1 L
１、两端固支
M AB
4iA
2iB
6i
AB L
M
f A
6i
AB L
M
f BA
q B
EI
B AB
M BA
Q BA
QAB
MAB
MBA L
QfAB
6iA L
6iB L
12
i L2
AB
QfAB
QBA
MAB
MBA L
QfBA
6iA L
6iB L
12
i L2
AB
QfBA
结构力学
第三章 位移法
一、等直杆的转角位移方程 二、按基本结构建立典型方程 三、按节点和截面平衡条件建立位移法方程 四、用位移法求解某些特殊问题
第一节 等直杆的转角位移方程
P
一．等直杆的转角位移方程
A MAB
已知AB杆，杆端位移为
A
A B AB
下面根据杆端约束情况来确定等
QAB
直杆的转角位移方程
qL
L 2
MEB 0
M BE
Q BE
qL
QBE qL
0401位移计算的一般公式(力学)
对于由线弹性直杆组成的结构，有：
NP kQ P MP , , EA GA EI
NP N kQP Q M PM GA EI EA
适用于线弹性 直杆体系,
dx
ip
利用公式法计算位移的步骤：
1、取虚状态：取一个与实际状态结构完全相 同的结构，在欲求位移的点的相应位置加上 单位力（P60）
第四章 静定结构的位移计算
4.3 单位荷载法
Unit Load Method
1. 位移计算的一般公式
iP
k
P 1
变形协调的 位移状态(P) 平衡的力 状态(i)
1 iP Ndu Qdv Md ( N Q M )ds
l l l l i 0 i 0 i 0 i 0
W（外力虚功） V（内力虚功）
对于杆件结构，虚功原理可以表示为：
W
0 N1du2 0 Q1dv2 0 M1d2
l l l i i i
上式称为杆件结构的虚功方程。
原理的说明
1. 虚功原理存在两个状态： 力状态必须满足平衡条件；位移状态必须满足协调 条件。因此原理仅是必要性命题。 2. 原理的证明（参考相关教材）表明: 虚功原理适用于任何 (线性和非线性)的变形体，适用于 任何结构。 3. 原理可有两种应用： 虚位移原理：实际待分析的力状态，虚设的位移状态， 将平衡问题化为几何问题来求解。 虚力原理：实际待分析的位移状态，虚设的力状态， 将位移分析化为平衡问题来求解。
MP QP
q
Mi
Qi
P 1
lx
AV
qkl2 ql 4 () 2GA 8EI
ql 4 qkl2 设 : M , Q 8EI 2GA
山东建筑大学《结构力学》——互等定理
2
FN 2 EA
2
M2 EI
F N1 N2 M 1 M 2 kF Q1 Q2 F F + + ds W12 P1 2 EI GA EA
F Ｎ２N1 M 2 M 1 kF Q2 Q1 F F + + W21 F2 1 ds EI GA EA
（4-11） 位移互等定理：（P74） 在任一线性变形体系中，由荷载P1所引起的与荷载P2相应 的位移影响系数δ21 等于由荷载P2所引起的与荷载P1相应的位移影 响系数δ12 。或者说,由单位荷载P1=1所引起的与荷载P2相应的位移 δ21等于由单位荷载P2=1所引起的与荷载P1相应的位移δ12 。
4、图示结构桁架中，腹杆 截面的大小对C点的竖向位 14 移有影响。（ ） 题 5、虚位移原理等价于变形 图 协调条件，可用于求体系 的位移。（ ） 6、在荷载作用下，刚架和梁的位移主要由于各个杆的弯曲 变形引起。（ ）
7、图示桁架C点的水平位移不等于零。 7 （ ） 题 8、应用虚力原理求体系的位移时，虚 图 设力状态可在需求位移处添加相应的非 单位力，亦可求的该位移。（ ） 9、图示结构L>a>0 B点的水平位移是 （ ） A、向右 B、向左 C、等于零 D、不一定
四、互等定理 •适用条件 •内容 W12= W21
ql2/8
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
MP
d12d 21
r12=r21 l
ql
B
EI
l
求B点竖向位移
M
1
BV
1 1 3 ql 2 l 2 l ql l 11 ql l EI 2 2 3 3 8 2 24 EI
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已知 y θ = TT TR
RT RR f m , (1) θ=T*y; (2)
T 为转换矩阵
因为H=1/（-ω2*M+j*ω*C+K ）,其中M,C,K 都为是对称矩阵，所以H 为对称矩阵，即
H=
TT TR RT RR =H T TR=RT T (3)
将（2）代入（1）得
RT*f+RR*m=T*(TT*f+TR*m) (4)
由分配律可得
RT=T*TT (5)
RR=T*TR (6)
在一个多自由度系统中
TT= TT 11…TT 1n ⋮
⋱⋮TT n1
…TT nn (7) TR= TR 11…TR 1n ⋮
⋱⋮TR n1
…TR nn (8) RT= RT 11…RT 1n ⋮
⋱⋮RT n1…RT nn
(9) RR= RR 11…RR 1n ⋮⋱⋮RR n1…
RR nn (10) 且TT=TT T , RR=RR T (11)
由（7）得
TT ij =E i *TT*E j T (12)
E i , E j 分别表示第i 或j 个元素为1，其他元素为0的一维行向量,且1≤i,j ≤n ,以下相同 由(3),（5）,(9)，（11）得
TR ij =RT ji = TT 1i …TT ji …TT ni ∗T j T = TT i1…TT ij …TT in *T j T = E i *TT*T j T （13） T i , T j ——第i,j 点的转换矩阵
E i , E j ——第i 或j 个元素为1，其他元素为0的一维行向量,
且1≤i,j ≤n ,以下相同
由（5），（7）得
RT ij = RT i1…RT ij …RT in *E j T =T i *TT*E j T (14)
由(3),（6），（11）得
RR ij =RR ji = TR 1i …TR ji …TR ni *T j T = RT i1…RT i2…RT in *T j T
=T i *TT*T j T （15）
由（12），（14）得 [TT ij RT ij ]= [E i T i
] *TT*E j T (16)
由（13）（15）得 [TR ij RR ij ]= [E i T i
] *TT*T j T （17） 将（16），（17）联立得
H ij = TT ij TR ij RT ij RR ij =[E i T i ] *TT*[E j T T j T ]= [E i T i ] *TT* E j T j T。