2019-2020年高考数学大一轮复习第三章三角函数解三角形3第3讲两角和与差的正弦余弦和正切公式课件文
2019届高考数学一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 第3讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式课件
1100°°－sin
10°·cossin255°°－cossin52°5°＝2csoisn 1100°°－sin
cos 10°·1
10°
2sin 10°
＝2csoisn
1100°°－2cos
10°＝cos
10°－2sin 2sin 10°
3 .
方法感悟 两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α、 β的三角函数表示α±β的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公 式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的 目的．
【针对补偿】
1．(2018·东北三校第二次联考)已知sin
α＋cos
α＝
1 3
，则
sin2π4－α＝(
[解析]
tan α＝tanα＋π4－π4＝t1a＋ntαa＋nα4π＋－4π1＝1.
[答案] 1
题型二 三角函数式的化简(基础保分题，自主练透)
例2
(1)若tan α＝2tanπ5，则csoisnαα－－13π50π等于(
)
A．1
B．2
C．3
D．4
(2)求值：1＋2sicnos202°0°－sin
题型一 三角函数公式的应用(基础保分题，自主练透) 例1 (江苏卷)已知α∈π2，π，sin α＝ 55. (1)求sinπ4＋α的值； (2)求cos56π－2α的值．
[解] (1)因为α∈π2，π，sin α＝ 55，
所以cos α＝－
1－sin2α＝－2
5
5 .
故sinπ4＋α＝sin
π 4cos
α＝
π 2sinα±4.
3．角的变换技巧 α＝(α＋β)－β； α＝β－(β－α)； α＝12[(α＋β)＋(α－β)]； β＝12[(α＋β)－(α－β)]； π4＋α＝π2－π4－α.
2019版高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形3.5两角和与差的正弦余弦与正切公式课件理
动态演示
结合动画演示，直观地呈现三角函数的计算过 程。
总结
1 重点内容概括
回顾本章重点内容，检 查概念与公式的掌握程 度。
2 解题方法总结
总结解题技巧和常用公 式，为下一步的练习做 好准备。
3 知识点巩固提示
练习做题、做笔记，多 次温习概念与公式，通 过追溯源头的方式加深 理解。
正弦、余弦、正切公式
正弦公式
三角形任意两边的比值相等，即a/sinA=b/sinB=c/sinC。
余弦公式
根据勾股定理和余弦函数，得到c²=a²+b²-2ab*cosC。
正切公式
将正弦公式与余弦公式相除得到tanA=a/b*tanC-b/a。
解题技巧
1
使用两角和/差公式
判断题中是否存在三角形两个角之和/
合理运用公式
2
差，使用对应的公式。
根据题目中所给的信息，选择合适的
公式，并化简，变形运用。
3注意化简Fra bibliotek将多个三角函数合并为一个统一的三 角函数，然后进行化简，避免表达式 过于复杂。
练习题
求第三个角度
已知三角形内两角的度数，求第三个角的度数。
求解三角形的边长
已知部分边长与角度，求解三角形剩余边长度。
复杂问题
数学一轮复习：三角函数 解三角形
本课件旨在帮助你理解三角形的两角和与差，掌握正弦、余弦、正切公式， 并运用解题技巧快速解决问题。
三角形的两角和与差
两角和公式
两个角的和为第三个角的补角，即A+B=180°-C， 其中C为第三个角的度数。
两角差公式
两个角的差的余角等于这两个角的余角之积，即 A-B=C-》sinA*sinB=sinC*sin(A+B)。
2024届高考数学一轮总复习第三章三角函数解三角形第三讲两角和与差及二倍角的三角函数公式课件
(5)tan (α－β)＝1t＋antαan－αttaannββ(T(α－β)). (6)tan (α＋β)＝1t－antαan＋αttaannββ(T(α＋β)).
2.二倍角公式 (1)基本公式 ①sin 2α＝2sin αcos α. ②cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
答案：C 【反思感悟】 理解数学文化内容，结合题目条件进行三角变换求值是关键.
【高分训练】
(2021 年泸州市模拟)《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图
是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成
一个大的正方形，若图3-3-1中直角三角形两锐角分别
为α，β，且小正方形与大正方形面积之比为 9∶25，
答案：12
⊙三角变换与数学文化的创新问题 新高考数学考查的学科素养提炼为理性思维，数学应用，数 学探究和数学文化，其中数学文化作为素养考查的四大内涵之一， 以数学文化为背景的试题将是新高考的必考内容.
[例 4]公元前 6 世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边 形和正十边形的作图方法，发现了黄金分割，其比值约为 0.618，
考向 2 公式的变形
[例
3](1)存在角
θ，已知
(1＋sin θ∈(0，π)，则
θ＋cos θ)sin 2＋2cos θ
2θ－cos
θ 2
＝______.
解析：由 θ∈(0，π)，得 0＜2θ＜π2， ∴cos 2θ＞0，∴ 2＋2cos θ＝ 4cos22θ＝2cos2θ.
又(1＋sin θ＋cos θ)sin
解析：原式＝1－cos22α－π3＋1－cos 22α＋π3－sin2α＝1－ 12cos2α－π3＋cos 2α＋π3－sin2α＝1－cos2α·cos π3－sin2α＝1－ co2s2α－1－c2os 2α＝12.
2019届高考数学(文)大一轮：第3章 三角函数、解三角形 第3节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第三节两角和与差的正弦、余弦和正切公式1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．2．能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．3．能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．4．能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆)．知识点一 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 1．基本公式sin(α±β)＝________， cos(α±β)＝________， tan(α±β)＝________. 2．公式变形(1)tan α±tan β＝________.(2)函数f(α)＝asin α＋bcos α(a ，b 为常数)，可以化为f(α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝b a 或f(α)＝a 2＋b 2·cos(α－φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝a b .答案1．sin αcos β±cos αsin β cos αcos β∓sin αsin β tan α±tan β1∓tan αtan β2．(1)tan(α±β)(1∓tan αtan β)1．sin75°的值为________．解析：sin75°＝sin(45°＋30°)＝sin45°cos30°＋cos45°sin30°＝22×32＋22×12＝6＋24. 答案：6＋242．已知cos α＝－35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3的值是____. 解析：∵cos α＝－35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴sin α＝45，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝sin αcos π3＋cos αsin π3＝45×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×32＝4－3310.答案：4－33103．tan20°＋tan40°＋3tan20°tan40°＝________. 解析：∵tan60°＝tan(20°＋40°)＝tan20°＋tan40°1－tan20°tan40°，∴tan20°＋tan40°＝tan60°(1－tan20°tan40°) ＝3－3tan20°tan40°，∴原式＝3－3tan20°tan40°＋3tan20°tan40°＝ 3. 答案： 3知识点二 二倍角的正弦、余弦、正切公式 1．基本公式 sin2α＝________.cos2α＝________＝________＝________. tan2α＝________. 2．有关公式的逆用、变形等(1)cos 2α＝________，sin 2α＝________. (2)1＋sin2α＝(sin α＋cos α)2， 1－sin2α＝(sin α－cos α)2， sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α±π4. 答案1．2sin αcos α cos 2α－sin 2α 2cos 2α－1 1－2sin 2α 2tan α1－tan 2α 2.(1)1＋cos2α2 1－cos2α24．计算：tan7.5°1－tan 27.5°＝________. 解析：tan7.5°1－tan 27.5°＝12×2tan7.5°1－tan 27.5° ＝12tan15°＝12tan(45°－30°) ＝12×tan45°－tan30°1＋tan45°tan30°＝12×1－331＋33＝2－32. 答案：2－325．(2016·浙江卷)已知2cos 2x ＋sin2x ＝Asin(ωx ＋φ)＋b(A>0)，则A ＝________，b ＝________. 解析：由于2cos 2x ＋sin2x ＝1＋cos2x ＋sin2x ＝2sin(2x ＋π4)＋1，所以A ＝2，b ＝1.答案： 2 1热点一 三角公式的正用与逆用【例1】 (1)化简：＋sin θ＋cos θ⎝⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ22＋2cos θ(0<θ<π)；(2)求值：sin50°(1＋3tan10°)．【解】 (1)由θ∈(0，π)，得0<θ2<π2，∴cos θ2>0，∴2＋2cos θ＝4cos2θ2＝2cos θ2. 又(1＋sin θ＋cos θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ2＝⎝⎛⎭⎪⎫2sin θ2cos θ2＋2cos 2θ2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ2＝2cos θ2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2θ2－cos 2θ2＝－2cos θ2cos θ.故原式＝－2cos θ2cos θ2cosθ2＝－cos θ.(2)sin50°(1＋3tan10°) ＝sin50°(1＋tan60°·tan10°)＝sin50°·cos60°cos10°＋sin60°sin10°cos60°cos10°＝sin50°·cos 60°－10°cos60°cos10°＝2sin50°cos50°cos10°＝sin100°cos10°＝cos10°cos10°＝1.(1)求sin7°＋cos15°sin8°cos7°－sin 15°sin8°的值；(2)求tan20°＋4sin20°的值． 解：(1)原式 ＝－＋cos15°sin8°－－sin15°sin8°＝sin15°cos8°cos15°cos8°＝tan15°＝tan(45°－30°)＝tan45°－tan30°1＋tan45°tan30°＝1－331＋33＝3－13＋1＝2－ 3. (2)原式＝sin20°cos20°＋4sin20°＝sin20°＋4sin20°cos20°cos20°＝sin20°＋2sin40°cos20°＝－＋＋cos20°＝32cos10°＋32sin10°cos20°＝332cos10°＋12sin10°cos20°＝3－cos20°＝ 3.热点二 三角函数式求值 考向1 给值求值【例2】 已知α，β均为锐角，且sin α＝35，tan(α－β)＝－13.(1)求sin(α－β)的值； (2)求cos β的值．【解】 (1)∵α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，从而－π2<α－β<π2.又∵tan(α－β)＝－13<0，∴－π2<α－β<0.∴sin(α－β)＝－1010.(2)由(1)可得，cos(α－β)＝31010.∵α为锐角，且sin α＝35，∴cos α＝45.∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝45×31010＋35×(－1010)＝91050.1．在本例条件下，求sin(α－2β)的值． 解：∵sin(α－β)＝－1010，cos(α－β)＝31010，cos β＝91050，sin β＝131050.∴sin(α－2β)＝sin[(α－β)－β]＝sin(α－β)cos β－cos(α－β)sin β＝－2425.2．若本例中“sin α＝35”变为“tan α＝35”，其他条件不变，求tan(2α－β)的值．解：∵tan α＝35，tan(α－β)＝－13，∴tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝tan α＋α－β1－tan αα－β＝35－131＋35×13＝29.考向2 给值求角【例3】 已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，求2α－β的值．【解】 ∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝α－β＋tan β1－α－ββ＝12－171＋12×17＝13>0，∴0<α<π2.又∵tan2α＝2tan α1－tan 2α＝2×131－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝34>0， ∴0<2α<π2，∴tan(2α－β)＝tan2α－tan β1＋tan2αtan β＝34＋171－34×17＝1.∵tan β＝－17<0，∴π2<β<π，－π<2α－β<0，∴2α－β＝－3π4.(1)(2016·新课标全国卷Ⅱ)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，则sin2α＝( )A.725B.15C ．－15D ．－725(2)已知cos α＝－1213，cos(α＋β)＝17226，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，求β的值． 解析：(1)因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos π4cos α＋sin π4sin α＝22(sin α＋cos α)＝35，所以sin α＋cos α＝325，所以1＋sin2α＝1825，所以sin2α＝－725，故选D. (2)解：∵π<α<3π2，3π2<α＋β<2π，∴0<β<π.又cos α＝－1213，cos(α＋β)＝17226，∴sin α＝－513，sin(α＋β)＝－7226.cos β＝cos[(α＋β)－α]＝17226×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－7226×⎝ ⎛⎭⎪⎫－513＝－22，且0<β<π，所以β＝3π4.答案：(1)D热点三 三角恒等变换的综合应用 【例4】 (2016·天津卷)已知函数 f(x)＝4tanxsin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3.(Ⅰ)求f(x)的定义域与最小正周期；(Ⅱ)讨论f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的单调性． 【解】 (Ⅰ)f(x)的定义域为{x|x≠π2＋k π，k ∈Z}．f(x)＝4tanxcosxcos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3＝4sinxcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－3＝4sinx ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cosx ＋32sinx － 3＝2sinxcosx ＋23sin 2x －3＝sin2x ＋3(1－cos2x)－ 3 ＝sin2x －3cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.所以，f(x)的最小正周期T ＝2π2＝π.(Ⅱ)令z ＝2x －π3，函数y ＝2sinz 的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z. 由－π2＋2k π≤2x－π3≤π2＋2k π，得－π12＋k π≤x≤5π12＋k π，k ∈Z.设A ＝[－π4，π4]，B ＝{x|－π12＋k π≤x≤5π12＋k π，k ∈Z}，易知A∩B＝[－π12，π4]．所以，当x ∈[－π4，π4]时，f(x)在区间[－π12，π4]上单调递增，在区间[－π4，－π12]上单调递减.已知函数f(x)＝2cos 2ωx －1＋23sin ωxcos ωx(0<ω<1)，直线x ＝π3是函数f(x)的图象的一条对称轴．(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)已知函数y ＝g(x)的图象是由y ＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移2π3个单位长度得到的，若g ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝65，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，求sin α的值． 解：(1)f(x)＝cos2ωx ＋3sin2ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6，由于直线x ＝π3是函数f(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6的图象的一条对称轴，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3ω＋π6＝±1.因此2π3ω＋π6＝k π＋π2(k ∈Z)，解得ω＝32k ＋12(k ∈Z)，又0<ω<1，所以ω＝12，所以f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6.由2k π－π2≤x＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z)，得2k π－2π3≤x≤2k π＋π3(k ∈Z)，所以函数f(x)的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－2π3，2k π＋π3(k ∈Z)．(2)由题意可得g(x)＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2π3＋π6，即g(x)＝2cos x2，由g ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝65，得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35， 又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，故π6<α＋π6<2π3，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45， 所以sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6·cos π6－cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6·sin π6＝45×32－35×12＝43－310.求值、化简、证明是三角函数中最常见的题型，其解题一般思路为“五遇六想”即：遇切割，想化弦；遇多元，想消元；遇差异，想联系；遇高次，想降次；遇特角，想求值；想消元，引辅角．“五遇六想”作为解题经验的总结和概括，操作简便，十分有效．其中蕴含了一个变换思想(找差异，抓联系，促进转化)，两种数学思想(转化思想和方程思想)，三个追求目标(化为特殊角的三角函数值，使之出现相消项或相约项)，三种变换方法(切割化弦法，消元降次法，辅助元素法)．三角恒等变换中的解题策略三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点，其公式多、变法活的特点使不少同学在学习此知识点时感到困难重重，力不从心．本文介绍了几种常用的三角恒等变换中的解题策略，旨在帮助大家全面、系统地了解和掌握三角变换中的常规思路与基本技巧，促进同学们的推理能力和运算能力的提升．策略1 从角入手，寻找关系好解题解有关三角函数的题目时，要特别注意角与角之间的关系，只要明确了其中的关系，解题就完成了一半．【例1】 已知α为锐角，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，则sin α＝________. 【解析】 解法1：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝32cos α－12sin α＝35，①又sin 2α＋cos 2α＝1，② 由①可得cos 2α＝13⎝⎛⎭⎪⎫sin α＋652，代入②并整理得100sin 2α＋60sin α－39＝0， 解得sin α＝43－310，或sin α＝－43＋310(舍)．解法2：因为α为锐角，即α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以α＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2π3，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，所以sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos π6－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6sin π6＝43－310.【答案】43－310【点评】 不少同学习惯用解法1，却往往因运算量大而出现了各种问题；解法2抓住了α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－π6这一关系，减少了运算量，使求解轻松简捷． 策略2 从函数名入手，化切为弦助解题在有关三角函数的题目中，当正弦(余弦)与正切“相遇”时，可采用化切为弦的方法，即将正切转化为正弦(余弦)．【例2】 求1＋cos20°2sin20°－sin10°⎝ ⎛⎭⎪⎫1tan5°－tan5°.【解】 因为1tan5°－tan5°＝cos5°sin5°－sin5°cos5°＝cos 25°－sin 25°sin5°cos5°＝2cos10°sin10°， 所以原式＝2cos 210°4sin10°cos10°－sin10°·2co s10°sin10°＝cos10°2sin10°－sin20°sin10°＝cos10°2sin10°－－sin10° ＝cos10°2sin10°－cos10°－3sin10°2sin10°＝3sin10°2sin10°＝32. 策略3 从结构入手，存同化异探思路三角恒等变换中的公式较多，每个公式都有其固有的结构．解题时要善于从结构入手，存同化异，寻求结构形式的统一．【例3】 (1)已知3sin β＝sin(2α＋β)，α≠k π＋π2，α＋β≠k π＋π2(k ∈Z)．求证：tan(α＋β)＝2tan α；(2)已知cosxcosy ＝12，求sinxsiny 的取值范围． 【解】 (1)证明：由3sin β＝sin(2α＋β)得3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]，即3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α，整理可得sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)·sin α. 因为α≠k π＋π2，α＋β≠k π＋π2(k ∈Z)， 所以cos(α＋β)·cos α≠0，则有tan(α＋β)＝2tan α.(2)设p ＝sinxsiny ，则cos(x －y)＝cosxcosy ＋sinxsiny ＝12＋p ，cos(x ＋y)＝cosxcosy －sinxsiny ＝12－p. 因为|cos(x±y)|≤1， 所以－1≤12＋p≤1，且－1≤12－p≤1， 解得－12≤p≤12. 【点评】 题(1)由条件向结论靠拢，从统一角的结构入手，顺利完成解题；题(2)从结构的相似(部分相似)展开联想，寻找解题突破口，亦成功解题．这两个方法都是值得重视的、从结构入手解题的常用方法．策略4 “先化简后求值”与“先局部后整体”“先化简后求值”本是初中数学中的一种题型，这里将其引申为一种解题策略．这种策略能简化解题过程，有事半功倍之功效；“先局部后整体”，则与之相反，虽其方法略显笨拙，但其逐个“击破”的策略却能降低解题难度，且解题方向明确，也是一个不错的思路．【例4】 已知0<x<π4，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝513，求 cos2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x 的值． 【解】 解法1(先化简后求值)： 原式＝cos 2x －sin 2x22－＝2(cosx ＋sinx)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ， ∵0<x<π4，∴0<π4－x<π4， 则原式＝21－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝2413. 解法2(先局部后整体)：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝513. 下面从两个角度求cos2x ：角度1：cos2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ； 角度2：cos2x ＝cos 2x －sin 2x ＝(cosx －sinx)·(cosx＋sinx)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ·2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x . ∵0<x<π4，∴0<π4－x<π4， 则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝1213， 故cos2x ＝2×513×1213＝120169. 所以cos2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝120169÷513＝2413. 【点评】 采用“先化简后求值”解题简捷流畅，采用“先局部后整体”解题思路简单，条理清晰．两种方法各有千秋，都是值得我们重视的好方法.。
高考数学大一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 第3节 三角恒等变换 第1课时 两角和与差的正弦、余
解析：sin20°cos10°－cos160°sin10°＝sin20°cos10 °＋cos20°sin10°＝sin30°＝12.
答案：D
2．(2015·重庆卷)若 tanα＝13，tan(α＋β)＝12，则 tanβ
＝( )
1
1
A.7
B.6
5
5
C.7
D.6
解 析 ： tan β ＝ tan[(α ＋ β) － α] ＝ 1＋ttaann（（αα＋＋β）β－）t·anαtanα＝1＋12－12×13 13＝17，故选 A.
主干知识·整合 热点命题·突破
课时作业
主干知识·整合 01
课前热身 稳固根基
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
1．基本公式 sin(α±β)＝________， cos(α±β)＝________， tan(α±β)＝________．
2．公式变形
(1)tanα±tanβ＝________． (2)函数 f(α)＝asinα＋bcosα(a，b 为常数)，可以化为 f(α) ＝ a2＋b2 sin(α ＋ φ) 其中tanφ＝ba 或 f(α) ＝ a2＋b2·cos(α－φ)其中tanφ＝ab.
＝
ห้องสมุดไป่ตู้
22×－25 5＋
22×
55＝－
10 10 .
(2)由(1)知 sin2α＝2sinαcosα＝2× 55×－255＝－
45，cos2α＝1－2sin2α＝1－2× 552＝35， 所以 cos5π 6 －2α＝cos5π 6 cos2α＋sin5π 6 sin2α
＝－ 23×35＋12×－45＝－4＋130
答案：A
3．tan20°＋tan40°＋ 3tan20°tan40°＝________． 解析：∵tan60°＝tan(20°＋40°)＝t1a－n2t0a°n2＋0°ttaann4400°°， ∴tan20°＋tan40°＝tan60°(1－tan20°tan40°) ＝ 3－ 3tan20°tan40°， ∴原式＝ 3－ 3tan20°tan40°＋ 3tan20°tan40°＝ 3.
高考数学(理)一轮复习文档 第三章 三角函数、解三角形 第3讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 Word版
第3讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝sin_αcos__β±cos_αsin__β； cos(α∓β)＝cos_αcos__β±sin_αsin__β； tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β⎝ ⎛⎭⎪⎫α±β，α，β均不为k π＋π2，k ∈Z . 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin_αcos__α；cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； tan 2α＝2tan α1－tan 2α⎝ ⎛⎭⎪⎫α，2α均不为k π＋π2，k ∈Z . 3．三角公式关系1．两角差余弦公式的推导过程如图，在平面直角坐标系xOy 内作单位圆O ，以Ox 为始边作角α，β，它们的终边与单位圆O 的交点分别为A ，B .则OA →＝(cos α，sin α)，OB →＝(cos β，sin β)．由向量数量积的坐标表示，有OA →·OB →＝(cos α，sin α)·(cos β，sin β)＝cos αcos β＋sin αsin β.设OA →与OB →的夹角为θ，则 OA →·OB →＝|OA →|·|OB →|cos θ＝cos θ＝cos αcos β＋sin αsin β.另一方面，由图(1)可知，α＝2k π＋β＋θ； 由图(2)可知，α＝2k π＋β－θ. 于是α－β＝2k π±θ，k ∈Z . 所以cos(α－β)＝cos θ.即cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β. 2．辨明两个易误点(1)在使用两角和与差的余弦或正切公式时运算符号易错． (2)在(0，π)范围内，sin(α＋β)＝22所对应的角α＋β不是唯一的． 3．有关公式的逆用及变形用(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)； (2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2；(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α±π4. 4．角的变换技巧 α＝(α＋β)－β； α＝β－(β－α)； α＝12；β＝12；π4＋α＝π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α.1.教材习题改编已知cos α＝－35，α是第三象限角，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α为( ) A.210 B ．－210C.7210D ．－7210A 因为cos α＝－35，α是第三象限的角，所以sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝－45，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos π4cos α－sin π4sin α ＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝210. 2.教材习题改编化简cos 18°cos 42°－cos 72°·sin 42°的值为( ) A.32B.12 C ．－12D ．－32B 法一：原式＝cos 18°cos 42°－sin 18°·sin 42°＝cos(18°＋42°)＝cos 60°＝12. 法二：原式＝sin 72°cos 42°－cos 72°sin 42° ＝sin(72°－42°)＝sin 30°＝12.3．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝37，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋β＝25，则tan(α＋β)的值为( )A.2941 B.129C.141D ．1Dtan(α＋β)＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋β ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋β1－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋β＝37＋251－37×25＝1.4．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝35，则sin 2x ＝________．因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝35，所以22cos x －22sin x ＝35，所以cos x －sin x ＝325，则1－sin 2x ＝1825，所以sin 2x ＝725.7255．sin 15°＋sin 75°的值是________．sin 15°＋sin 75°＝sin 15°＋cos 15°＝2sin(15°＋45°)＝2sin 60°＝62.62三角函数公式的直接应用(1)(2017·贵阳市监测考试)已知α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝513，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( )A ．－717B.177C.717D ．－177(2)(2017·广州市综合测试(一))已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，若sin α＝35⎝ ⎛⎭⎪⎫π2<α<π，则f ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12＝( )A ．－7210B ．－210C.210D.7210【解析】 (1)因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，所以cos α＝－1213，所以tan α＝－512，所以tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋tan π41－tan αtan π4＝－512＋11＋512＝717.(2)因为sin α＝35⎝ ⎛⎭⎪⎫π2<α<π，所以cos α＝－45，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝22sin α＋22cos α＝－210.【答案】 (1)C(2)B两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α、β的三角函数表示α±β的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的．1．(2017·湖南省东部六校联考)设α为锐角，若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3的值为( )A.1225B.2425 C ．－2425D ．－1225B 因为α为锐角，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45>0，所以α＋π6为锐角，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝2425，故选B.2．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝14，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( )A ．－2B ．2C ．－4D ．4C 因为tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝tan α－11＋tan α＝14， 所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝1－tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝－4.故选C. 三角函数公式的活用(高频考点)三角函数公式的活用是高考的热点，高考多以选择题或填空题的形式出现，解答题中研究三角函数的性质和解三角形常应用三角函数公式．高考对三角函数公式的考查主要有以下两个命题角度： (1)两角和与差公式的逆用及变形应用； (2)二倍角公式的活用．(1)(2015·高考重庆卷)若tan α＝2tan π5，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4(2)求值：3tan 12°－3sin 12°（4cos 212°－2）＝________． 【解析】 (1)因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π10＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π5－π2 ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π5，所以原式＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin αcos π5＋cos αsinπ5sin αcos π5－cos αsin π5＝tan α＋tanπ5tan α－tanπ5.又因为 tan α＝2tan π5，所以原式＝2tan π5＋tanπ52tan π5－tanπ5＝3.(2)原式＝3×sin 12°cos 12°－3sin 12°（4cos 212°－2） ＝3sin 12°－3cos 12°2sin 12°cos 12°（2cos 212°－1）＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 12°－32cos 12°sin 24°cos 24°＝23sin （12°－60°）12sin 48°＝－4 3.【答案】 (1)C (2)－43三角函数公式的应用技巧运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等．公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力，只有熟悉了公式的逆用和变形应用后，才能真正掌握公式的应用．角度一 两角和与差公式的逆用及变形应用1．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin α＝435，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋7π6的值是________． 由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin α＝435，可得32cos α＋12sin α＋sin α＝435，即32sin α＋32cos α＝435，所以3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝435，sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－45. －452．若α＋β＝3π4，则(1－tan α)(1－tan β)的值是________．－1＝tan 3π4＝tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β，所以tan αtan β－1＝tan α＋tan β. 所以1－tan α－tan β＋tan αtan β＝2， 即(1－tan α)(1－tan β)＝2. 2角度二 二倍角公式的活用3．化简⎝ ⎛⎭⎪⎫tan α＋1tan α·12sin 2α－2cos 2α＝( ) A ．cos 2α B ．sin 2α C ．cos 2α D ．－cos 2αD 原式＝⎝⎛⎭⎪⎫sin αcos α＋cos αsin α·sin αcos α－2cos 2α＝(sin 2α＋cos 2α)－2cos 2α＝1－2cos 2α＝－cos 2α.角的变换(1)(2017·深圳一模)若α，β都是锐角，且cos α＝55，sin(α－β)＝1010，则cos β＝( )A.22B.210C.22或－210D.22或210(2)(2017·六盘水质检)已知cos α＝13，cos(α＋β)＝－13，且α、β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos(α－β)的值等于( )A ．－12B.12 C ．－13D.2327【解析】 (1)因为α，β都是锐角，且cos α＝55，sin(α－β)＝1010，所以sin α＝255，cos(α－β)＝31010，从而cos β＝cos ＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝22，故选A. (2)因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以2α∈(0，π)．因为cos α＝13，所以cos 2α＝2cos 2α－1＝－79，所以sin 2α＝1－cos 22α＝429，而α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以α＋β∈(0，π)，所以sin(α＋β)＝1－cos 2（α＋β）＝223，所以cos(α－β)＝cos＝cos 2αcos(α＋β)＋sin 2αsin(α＋β)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－79×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋429×223＝2327. 【答案】 (1)A (2)D若本例(2)条件不变，求cos 2β的值．因为cos α＝13，cos(α＋β)＝－13，且α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以α＋β∈(0，π)，所以sin α＝223，sin(α＋β)＝223，cos β＝cos＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝－13×13＋223×223＝79.所以cos 2β＝2cos 2β－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫792－1＝1781.角的变换技巧(1)当“已知角”有两个时，一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式； (2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．1．已知tan(α＋β)＝1，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝13，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π3的值为( ) A.23 B.12 C.34D.45Btan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π3＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤（α＋β）－⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝tan （α＋β）－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π31＋tan （α＋β）tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝1－131＋1×13＝12. 2．已知cos(α－β)＝35，sin β＝－513，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则sin α＝( )A.3365B.6365 C ．－3365D ．－6365A 因为β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，sin β＝－513， 所以cos β＝1213.又因为α－β∈(0，π)，cos(α－β)＝35，所以sin(α－β)＝45，所以sin α＝sin＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β＝3365.1．(2017·陕西西安质检)sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝( ) A ．1B.12C.32D ．－12Bsin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝sin 45°·cos 15°＋(－cos 45°)sin 15°＝sin(45°－15°)＝sin 30°＝12.2．已知sin 2α＝13，则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝( ) A.13 B ．－13C.23D ．－23Ccos 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π22＝1＋sin 2α2＝1＋132＝23，故选C.3．(2017·武汉市武昌区调研)已知cos(π－α)＝45，且α为第三象限角，则tan 2α的值等于( )A.34 B ．－34C.247D ．－247C 因为cos α＝－45，且α为第三象限角，所以sin α＝－35，tan α＝34，tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝321－916＝247，故选C. 4．(2017·兰州市实战考试)sin 2α＝2425，0<α<π2，则2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α的值为( ) A ．－15B.15 C ．－75D.75D 2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos α＋22sin α＝sin α＋cos α，又因为(sin α＋cosα)2＝1＋2sin αcos α＝1＋sin 2α＝4925，0<α<π2，所以sin α＋cos α＝75，故选D.5．(2017·东北四市联考(二))已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α，则cos 2α＝( ) A ．1 B ．－1 C.12D ．0D 因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α，所以12cos α－32sin α＝32cos α－12sin α，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32sin α＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32cos α，所以tan α＝sin αcos α＝－1，所以cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2αtan 2α＋1＝0. 6．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，则cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α的值是( ) A.79 B.13 C ．－13D ．－79D 因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α ＝1－2 sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝79，所以cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋2α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2α＝－79.7．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3，则tan α＝________．因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3， 所以cos αcos π3－sin αsin π3＝sin αcos π3－cos αsin π3，所以tan α＝1. 18．已知sin(α－45°)＝－210，0°＜α＜90°，则cos α＝________． 因为0°＜α＜90°，所以－45°＜α－45°＜45°，所以cos(α－45°)＝1－sin 2（α－45°）＝7210， 所以cos α＝cos＝cos(α－45°)cos 45°－sin(α－45°)sin 45° ＝45. 459．已知sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝35，β是第三象限角，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋5π4＝________．依题意可将已知条件变形为 sin ＝－sin β＝35，sin β＝－35.又β是第三象限角，因此有cos β＝－45.sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋5π4＝－sin(β＋π4)＝－sin βcos π4－cos βsin π4＝7210. 721010．(2017·河北衡水中学二调)若tan α＋1tan α＝103，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＋2cos π4cos 2α的值为________．因为tan α＋1tan α＝103， 所以(tan α－3)(3tan α－1)＝0，所以tan α＝3或13.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，所以tan α>1，所以tan α＝3， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＋2cos π4cos 2α＝22sin 2α＋22cos 2α＋2（1＋cos 2α）2＝22(sin 2α＋2cos 2α＋1)＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫2tan α1＋tan 2α＋21－tan 2α1＋tan 2α＋1＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫610－1610＋1＝0. 011．(2015·高考广东卷)已知tan α＝2. (1)求tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4的值； (2)求sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1的值．(1)tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋tanπ41－tan αtanπ4＝2＋11－2×1＝－3.(2)sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1＝ 2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－2cos 2α＝2tan αtan 2α＋tan α－2＝2×24＋2－2＝1. 12．已知函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，x ∈R ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＝322.(1)求A 的值；(2)若f (θ)－f (－θ)＝3，θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，求cos θ的值．(1)f ⎝⎛⎭⎪⎫5π12＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋π3＝A sin 3π4＝22A ＝322，所以A ＝3.(2)f (θ)－f (－θ)＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3－3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－θ＋π3＝3⎣⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θcos π3＋cos θsin π3－⎝ ⎛－sin θcosπ3 ⎦⎥⎤⎭⎪⎫＋cos θsin π3 ＝6sin θcos π3＝3sin θ＝3，所以sin θ＝33.又因为θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos θ＝1－sin 2θ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝63.13．(2017·山西省晋中名校高三联合测试)对于集合{a 1，a 2，…，a n }和常数a 0，定义：ω＝sin 2（a 1－a 0）＋sin 2（a 2－a 0）＋…＋sin 2（a n －a 0）n为集合{a 1，a 2，…，a n }相对a 0的“正弦方差”，则集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫π2，5π6，7π6相对a 0的“正弦方差”为( )A.12 B.13C.14D ．与a 0有关的一个值A 集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫π2，5π6，7π6相对a 0的“正弦方差”ω＝13⎣⎢⎡sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－a 0＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－a 0⎦⎥⎤＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6－a 0＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos 2a 0＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋a 0＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－a 0 ＝13⎣⎢⎡cos 2a 0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos a 0＋32sin a 02＋⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos a 0－32sin a 02＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2a 0＋12cos 2a 0＋32sin 2a 0＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤32（sin 2a 0＋cos 2a 0）＝12. 14．(2017·郑州第一次质量预测)△ABC 的三个内角为A 、B 、C ，若3cos A ＋sin A 3sin A －cos A＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π12，则tan A ＝___________________________. 3cos A ＋sin A 3sin A －cos A ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π32sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3cos ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π3＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－A －π3 ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π12，所以－A －π3＝－7π12，所以A ＝7π12－π3＝3π12＝π4，所以tan A ＝tan π4＝1.115．已知sin α＋cos α＝355，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝35，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2.(1)求sin 2α和tan 2α的值； (2)求cos(α＋2β)的值．(1)由题意得(sin α＋cos α)2＝95，即1＋sin 2α＝95，所以sin 2α＝45.又2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos 2α＝1－sin 22α＝35，所以tan 2α＝sin 2αcos 2α＝43.(2)因为β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，β－π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝35，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝45，于是sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝2425. 又sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝－cos 2β，所以cos 2β＝－2425， 又2β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以sin 2β＝725，又cos 2α＝1＋cos 2α2＝45，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，所以cos α＝255，sin α＝55.所以cos(α＋2β)＝cos αcos 2β－sin αsin 2β ＝255×⎝ ⎛⎭⎪⎫－2425－55×725＝－11525.16．已知函数f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)为奇函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0，其中a ∈R ，θ∈(0，π)．(1)求a ，θ的值．(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4＝－25，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3的值． (1)因为y ＝a ＋2cos 2x 是偶函数，所以g (x )＝cos(2x ＋θ)为奇函数，而θ∈(0，π)，故θ＝π2，所以f (x )＝－(a ＋2cos 2x )sin 2x ，代入⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0得a ＝－1.所以a ＝－1，θ＝π2.(2)f (x )＝－(－1＋2cos 2x )sin 2x ＝－cos 2x sin 2x ＝－12sin 4x ，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4＝－25，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4＝－12sin α＝－25，故sin α＝45，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以cos α＝－35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝45×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×32＝4－3310.。
2019版高考数学一轮复习第3章三角函数、解三角形3.5两角和与差的正弦、余弦与正切公式课件理
.
2cos2α－1
cos2α－sin2α ＝
2tanα 1－tan2α
π π α ≠ ± ＋ k π ，且 α ≠ k π ＋ ， k ∈ Z . 4 2
3．公式的常用变形 β)(1∓tanαtanβ)． (1)tanα± tanβ＝ tan(α±
1＋cos2α 2 (2)cos2α＝
π 3 cos 4＋x ＝ 5 ，所以 π 4 sin 4＋x ＝－ 5 ，所以
cosx ＝ 2 4 2 －5
π 2sinα± . 4
1－cos2α 2 ，sin2α＝ .
(3)1± sin2α＝(sinα± cosα)2， sinα± cosα＝
(4)asinα＋bcosα＝
a2＋b2sin(α＋φ)
，其中 cosφ
a b b ＝ 2 2，sinφ＝ 2 2，tanφ＝a(a≠0)． a ＋b a ＋b
第3章
三角函数、解三角形
3． 5 两角和与差的正弦、余弦与正切公式
基础知识过关
[知识梳理] 1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 sinαsinβ. (1)C ：cos(α∓β)＝ cosαcosβ±
(α∓β)
(2)S(α±β)：sin(α± β)＝ (3)T(α±β)：tan(α± β)＝
sinαcosβ± cosαsinβ .
3．小题热身 sin7° ＋cos15° sin8° (1) 的值为( cos7－sin15° sin8° A．2＋ 3 B．2－ 3 )
1 C．2 D.2
sin15° －8° ＋cos15° sin8° 解析 原式＝ cos15° －8° －sin15° sin8° sin15° cos8° ＝cos15° ＝tan15° cos8° tan45° －tan30° ＝tan(45° －30° )＝ 1＋tan45° tan30° 3 1－ 3 3－1 ＝ ＝ ＝2－ 3.故选 B. 3 3＋1 1＋ 3
202新数学复习第三章三角函数解三角形3.3.两角和与差的三角公式学案含解析
第三节简单的三角恒等变换课标要求考情分析1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．2．能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．3．能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式,推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.1。
利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式进行化简、求值是高考考查的热点，本部分内容常与三角函数的性质、向量、解三角形的知识相结合命题．2．命题形式多种多样，既有选择题、填空题，也有综合性的解答题.知识点一基本公式1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式C（α－β）：cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ.C(α＋β)：cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ。
S(α＋β）：sin(α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ.S（α－β）:sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ。
T(α＋β)：tan（α＋β)＝错误!(α，β，α＋β≠错误!＋kπ，k∈Z）．T(α－β）：tan（α－β）＝错误!（α,β，α－β≠错误!＋kπ，k∈Z）．2．二倍角的正弦、余弦、正切公式S2α：sin2α＝2sinαcosα.C2α：cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α。
T2α：tan2α＝2tanα1－tanα错误!知识点二三角公式的变形技巧1．降幂公式:cos2α＝错误!，sin2α＝错误!。
2．升幂公式：1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α。
3．公式变形：tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)．4．辅助角公式：a sin x＋b cos x＝a2＋b2sin（x＋φ)错误!知识点三三角恒等变换1．重视三角函数的“三变”:“三变”是指“变角、变名、变式"．(1)变角：对角的分拆要尽可能化成同角、特殊角;(2)变名:尽可能减少函数名称;(3)变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．2．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角、函数名、所求（或所证明)问题的整体形式中的差异,再选择适当的三角公式恒等变形．1．思考辨析判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×")(1)存在实数α，β，使等式sin（α＋β)＝sinα＋sinβ成立．(√)(2）在锐角△ABC中，sin A sin B和cos A cos B大小不确定．（×)(3)公式tan（α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ可以变形为tanα＋tanβ＝tan(α＋β）(1－tanαtanβ）,且对任意角α，β都成立．（×)(4)公式a sin x＋b cos x＝错误!sin(x＋φ）中φ的取值与a，b的值无关．（×)解析：根据正弦、余弦和正切的和角、差角公式知（2)(3）（4)是错误的，(1）是正确的．2．小题热身(1)（2019·全国卷Ⅰ）tan255°＝(D)A．－2－错误!B．－2＋错误!C．2－错误!D．2＋错误!（2)若sinα＝错误!，则cos2α＝（B）A.错误!B.错误!C．－错误!D．－错误!(3）sin347°cos148°＋sin77°·cos58°＝错误!.(4）已知tan(α－错误!)＝错误!，则tanα＝错误!。
2019-2020年高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形第3讲两角和与差的正弦余弦和正切公式课件文
＝－19× 35＋4 9 5×23＝7275，
所以 cos(α＋β)＝2cos2α＋2 β－1＝2×497×295－1＝－722399.
(2)因为 tan α＝tan[(α－β)＋β]＝1t－ant（anα（－αβ－）β＋）ttaannββ
＝1＋12－12×17 17＝13>0，所以
π 0<α<2.
(3)函数 f(α)＝asin α＋bcos α(a，b 为常数)，可以化为 f(α)＝
a2＋b2sin(α＋φ)其中tan φ＝ba，或 f(α)＝ a2＋b2cos(α－φ) 其中tan φ＝ab.
3 1.1－ta1n 15°－1＋ta1n 15°＝____3____．
解析：原式＝（1－tan
第三章 三角函数、解三角形
第3讲 两角和与差的正弦、余弦 和正切公式
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β；
cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β；
tan(α±β)＝t1a∓ntaαn±αttaann
β β.
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin αcos α； cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； tan 2α＝1－2tatannα2α.
(2)已知 α，β∈(0，π)，且 tan(α－β)＝12，tan β＝－17，求 2α
－β 的值．
【解】 (1)因为 0＜β＜π2＜α＜π， 所以－π4＜α2－β＜π2，π4＜α－β2＜π，
所以 cosα2－β＝ 1－sin2α2－β＝ 35， sinα－β2＝ 1－cos2α－β2＝4 9 5， 所以 cosα＋2 β＝cosα－β2－α2－β ＝cosα－β2cosα2－β＋sinα－β2sinα2－β
(新课标)高考数学大一轮复习第三章三角函数、解三角形第3节三角恒等变换第2课时简单的三角恒等变换课件
即 3sin(α＋β)cosα－3cos(α＋β)sinα＝sin(α＋β)cosα ＋cos(α＋β)sinα，
整理可得 sin(α＋β)cosα＝2cos(α＋β)·sinα. 因为 α≠kπ＋π2 ，α＋β≠kπ＋π2 (k∈Z)， 所以 cos(α＋β)·cosα≠0， 则有 tan(α＋β)＝2tanα.
第二十三页，共56页。
(2)∵α 为锐角，cosα＋π6 ＝45，∴sinα＋π6 ＝35， ∴sin2α＋π3 ＝2sinα＋π6 cosα＋π6 ＝2245， cos2α＋π3 ＝2cos2α＋π6 －1＝275， ∴sin2α＋π 12＝sin2α＋π3 －π4 ＝ 22sin2α＋π3 －cos2α＋π3 ＝1750 2.
第十二页，共56页。
考向 1 给角求值
【例 2】 sin47°－cosisn1177°°cos30°＝(
)
A．－
3 2
B．－12
C.12
D.
3 2
第十三页，共56页。
【解析】 原式＝sin（30°＋17° cos）17－°sin17°cos30° ＝sin30°cos17°＋cos3c0o°s1s7i°n17°－sin17°cos30° ＝sin3c0o°s1c7o°s17° ＝sin30°＝12. 【答案】 C
第十八页，共56页。
cos2α－π4 ＝cos2α－π4 ＋π4 ＝ 22cos2α－π4 －sin2α－π4 ＝－3510 2.
第十九页，共56页。
解法 2：由 cosπ4 －α＝35，得 22(cosα＋sinα)＝35.① 两边平方，得 1＋2cosαsinα＝1285. sin2α＝2cosαsinα＝－275， (cosα－sinα)2＝1－－275＝3225. 根据 2cosαsinα＝－275<0 及－3π 2 <α<－π2 ，
2020版高考数学一轮复习第三章三角函数、解三角形3.3两角和与差的正弦、余弦和正切公式课件理新人教版
解法 2：因为 tan(α－54π)＝15，
所以 tanα＝tan[(α－54π)＋54π]＝1t－antaαn－α5－4π5＋4πttaann5454ππ＝1－15＋15×1 1＝32.
3．tan20°＋tan40°＋ 3tan20°tan40°＝ 3
.
解析：∵tan60°＝tan(20°＋40°) ＝1t－an2ta0n°2＋0°ttaann4400°°，∴tan20°＋tan40° ＝tan60°(1－tan20°tan40°)＝ 3－ 3tan20°tan40°， ∴原式＝ 3－ 3tan20°tan40°＋ 3tan20°tan40°＝ 3.
2
.
(2)1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2，
1－sin2α＝(sinα－cosα)2，
sinα±cosα＝
π 2sinα±4.
4．(2018·全国卷Ⅲ)若 sinα＝13，则 cos2α＝( B )
8
7
A.9
B.9
C．－79
D．－89
解析：cos2α＝1－2sin2α＝1－2×(13)2＝79.
＝
1＋2sin15°cos15°＝
1＋sin30°＝
6 2.
(2)sin415°－cos415°＝(sin215°－cos215°) (sin215°＋cos215°)＝sin215°－cos215°＝－cos30° ＝－ 23.故选 D. (3)因为 sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13， 所以 sinαcosβ＋cosαsinβ＝12，sinαcosβ－cosαsinβ＝13， 所以 sinαcosβ＝152，cosαsinβ＝112， 所以ttaannαβ＝5，所以 log 5(ttaannαβ)2＝log 552＝4.故选 C.
高三数学一轮复习 第3章 第3课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式课件 文 新人教版
考点突破 题型透析
考点一 三角函数的给角求值
3．化简：[2sin 50°＋sin 10°(1＋ 3tan 10°)]· 2sin280°＝__________． 原式＝
2sin
50°＋sin
10°（cos 10°＋ cos 10°
3sin 10°）·
2sin 80°
＝2cos
10°cos
40°＋2sin cos 10°
∴sinπ2－π3＋α＝13，∴cosπ3＋α＝31，
∴cos23π＋2α＝2cos2π3＋α－1＝2×19－1＝－97.
3 C. 2
D．1
C
教材梳理 基础自测
二、二倍角的正弦、余弦、正切公式
[自测 5] 化简：sin 200°cos 140°－cos 160°sin 40°＝______．
3 2
考点突破 题型透析
考点一 三角函数的给角求值
{突破点1} 进行角的变换是给角求值的第一突破口 通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式．
10°－
3 2 sin
cos 40°
10°
＝
3（cos
30°cos
10°－sin cos 40°
30°sin
10°）＝
c3ocsos404°0°＝
3.
考点突破 题型透析
考点一 三角函数的给角求值
函数名称的变换常见有切化弦、正余弦互化、非特殊角变特殊角等；结 构特征的变形常见有：分式要通分，平方要降幂，逆用和角、差角、倍 角公式等．
教材梳理 基础自测
一、两角和与差的正弦、余弦和正切公式
sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β；
cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β ； tan α±tan β
高考数学一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 第3讲
第3讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式1．已知sin(π2＋α)＝12，－π2<α<0，则cos(α－π3)的值是________．[解析] 由已知得cos α＝12，sin α＝－32，所以cos(α－π3)＝12cos α＋32sin α＝－12.[答案] －122．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝35，则cos 2θ＝________．[解析] 因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝cos θ＝35，所以cos 2θ＝2cos 2θ－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫352－1＝－725.[答案] －7253．在△ABC 中，tan B ＝－2，tan C ＝13，则A ＝________．[解析] tan A ＝tan [π－(B ＋C )]＝－tan(B ＋C )＝－tan B ＋tan C1－tan B tan C ＝－－2＋131－（－2）×13＝1.故A ＝π4.[答案] π44．设tan(α＋β)＝25，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝14，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝________. [解析] tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤（α＋β）－⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝tan （α＋β）－tan ⎝⎛⎭⎪⎫β－π41＋tan （α＋β）·tan ⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝25－141＋25×14＝322.[答案] 3225．(2018·重庆巴蜀中学期中改编)在△ABC 中，若3(tan B ＋tan C )＝tan B tan C －1，则sin 2A ＝________．[解析] 由3(tan B ＋tan C )＝tan B tan C －1得tan(B ＋C )＝tan B ＋tan C 1－tan B tan C ＝－33，又因为B ，C 为三角形内角，所以B ＋C ＝150°，A ＝30°，2A ＝60°，所以sin 2A ＝32. [答案]326．(2018·江苏省重点中学领航高考冲刺卷(一))若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－14，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，则sin 2α＝________. [解析] cos ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos α－12sin α·⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos α＋32sin α＝－14，则34cos 2α＋14sin 2α＝－14， 可得⎩⎨⎧3cos 2α＋sin 2α＝－1，cos 22α＋sin 22α＝1，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2， 解得cos 2α＝－32，sin 2α＝12. [答案] 127.3tan 12°－3（4cos 212°－2）sin 12°＝________．[解析] 原式＝3sin 12°cos 12°－32（2cos 212°－1）sin 12° ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 12°－32cos 12°cos 12°2cos 24°sin 12°＝23sin （－48°）2cos 24°sin 12°cos 12°＝－23sin 48°sin 24°cos 24°＝－23sin 48°12sin 48°＝－4 3.[答案] －4 38．设θ为第二象限角，若tan (θ＋π4)＝12，则sin θ＋cos θ＝________．[解析] 法一：由θ在第二象限，且tan(θ＋π4)＝12，因而sin(θ＋π4)＝－55，因而sin θ＋cos θ＝2sin(θ＋π4)＝－105.法二：如果将tan(θ＋π4)＝12利用两角和的正切公式展开，则tan θ＋11－tan θ＝12，求得tanθ＝－13.又因为θ在第二象限，则sin θ＝110，cos θ＝－310，从而sin θ＋cos θ＝－210＝－105. [答案] －1059．(2018·苏锡常镇四市高三调研)已知sin α＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝________．解析：由sin α＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6得2sin α＝33sin α＋3cos α，则(2－33)sin α＝3cos α，tan α＝sin αcos α＝32－33＝－3（2＋33）23，又tan π12＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π4＝tan π3－tanπ41＋tan π3·tanπ4＝3－11＋3＝2－3，所以tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12＝tan α＋tanπ121－tan αtanπ12＝－3（2＋33）23＋2－31＋3（2＋33）（2－3）23＝23－4.答案：23－410．若0<α<π2，－π2<β<0，cos(π4＋α)＝13，cos(π4－β2)＝33，则cos(α＋β2)＝________．[解析] 因为0<α<π2，－π2<β<0，所以π4<π4＋α<3π4，π4<π4－β2<π2，所以sin(π4＋α)＝1－19＝223，sin(π4－β2)＝ 1－13＝63，所以cos(α＋β2)＝cos[(π4＋α)－(π4－β2)]＝cos(π4＋α)cos(π4－β2)＋sin(π4＋α)sin(π4－β2)＝539. [答案] 53911．已知tan α＝－13，cos β＝55，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求tan(α＋β)的值，并求出α＋β的值．[解] 由cos β＝55，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，得sin β＝255，tan β＝2.所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－13＋21＋23＝1.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以π2<α＋β<3π2，所以α＋β＝5π4.12．已知函数f (x )＝cos 2x ＋sin x cos x ，x ∈R . (1)求f (π6)的值；(2)若sin α＝35，且α∈(π2，π)，求f (α2＋π24)．[解] (1)f (π6)＝cos 2π6＋sin π6cos π6＝(32)2＋12×32＝3＋34.(2)因为f (x )＝cos 2x ＋sin x cos x ＝1＋cos 2x 2＋12sin 2x＝12＋12(sin 2x ＋cos 2x )＝12＋22sin(2x ＋π4)， 所以f (α2＋π24)＝12＋22sin(α＋π12＋π4)＝12＋22sin(α＋π3)＝12＋22(12sin α＋32cos α)． 因为sin α＝35，且α∈(π2，π)，所以cos α＝－45，所以f (α2＋π24)＝12＋22(12×35－32×45)＝10＋32－4620.1．(2018·江苏省四校联考)已知sin 2α＝13，则1tan α－1tan 2α的值为________．[解析] 因为1tan α－1tan 2α＝cos αsin α－cos 2αsin 2α＝sin 2αcos α－cos 2αsin αsin α·sin 2α＝1sin 2α＝3.[答案] 32．化简2cos 4x －2cos 2x ＋122tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝________．[解析] 原式＝－2sin 2x cos 2x ＋122sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x＝12（1－sin 22x ）2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝12cos 22x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝12cos 2x .[答案] 12cos 2x3．(2018·江苏省模拟考试)已知α，β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin αsin β，则tan α的最大值是________．[解析] 由cos(α＋β)＝sin αsin β得sin α＝sin βcos(α＋β)，即sin α＝sin βcosαcos β－sin 2βsin α，所以sin α(1＋sin 2β)＝sin βcos αcos β，可以化为sin αcos α＝sin βcos β1＋sin 2β，即tan α＝sin βcos β1＋sin 2β， 也可以化为tan α＝sin βcos β2sin 2β＋cos 2β＝12tan β＋1tan β， 因为β为锐角，所以tan β>0，所以tan α＝12tan β＋1tan β≤122tan β·1tan β＝24(当且仅当2tan β＝1tan β，即tan β＝22时取等号)，即tan α的最大值为24. [答案]244．如图所示，点B 在以PA 为直径的圆周上，点C 在线段AB 上，已知PA ＝5，PB ＝3，PC ＝1527，设∠APB ＝α，∠APC ＝β，α，β均为锐角，则角β的值为________．[解析] 因为点B 在以PA 为直径的圆周上，所以∠ABP ＝90°，所以cos α＝PB PA ＝35，sin α＝45，tan α＝43.因为cos ∠CPB ＝cos(α－β)＝PB PC ＝31527＝7210，所以sin(α－β)＝210，所以tan(α－β)＝17，tan β＝tan[α－(α－β)]＝tan α－tan （α－β）1＋tan αtan （α－β）＝1.又β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以β＝π4.[答案] π45．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且sin α2＋cos α2＝62. (1)求cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－35，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求cos β的值．解：(1)因为sin α2＋cos α2＝62，两边同时平方，得sin α＝12.又π2＜α＜π， 所以cos α＝－1－sin 2α＝－32. (2)因为π2＜α＜π，π2＜β＜π，所以－π2＜α－β＜π2.又由sin(α－β)＝－35，得cos(α－β)＝45.所以cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝－32×45＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35 ＝－43＋310.6．已知函数f (x )＝2cos 2x2－3sin x .(1)求函数f (x )的最小正周期和值域；(2)若α为第二象限角，且f ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＝13，求cos 2α1＋cos 2α－sin 2α的值． [解] (1)因为f (x )＝1＋cos x －3sin x ＝1＋2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，所以函数f (x )的最小正周期为2π，值域为[－1，3]． (2)因为f ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＝13，所以1＋2cos α＝13，即cos α＝－13.又因为α为第二象限角，所以sin α＝223.因为cos 2α1＋cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2α2cos 2α－2sin αcos α ＝（cos α＋sin α）（cos α－sin α）2cos α（cos α－sin α）＝cos α＋sin α2cos α，所以原式＝cos α＋sin α2cos α＝－13＋223－23＝1－222.。
高考数学大一轮复习第三章三角函数、解三角形3.5两角和与差的正弦、余弦和正切公式课件文
突破考点 02
给角求值
（重点得分型——师生共研）
【调研 2】 (1)化简ssiinn1155°°csoins99°°－＋csions6666°°的结果是(
)
A．tan9°
B．－tan9°
C．tan15°
D．－tan15°
【解析】
sin15°cos9°－cos66° sin15°sin9°＋sin66°
第三章
三角函数、解三角形
第五节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
考纲下载 1．会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式． 2．能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正 切公式． 3．能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余 弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解 它们的内在联系． 4．能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化 和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).
17 D.50
【解析】 因为 0<α<π2，cosα＋π6＝45，所以 sinα＋π6＝35，
sin2α＋π3＝2sinα＋π6cosα＋π6＝2245，cos2α＋π3＝2cos2α＋π6－
1 ＝ 275 ， 所 以
sin2α
请注意 本节主要题型有：①三角函数式的化简与求值；②三角 函数式的简单证明.这部分知识难度已较以前有所降低，应适 当控制其难度.
突破考点01 突破考点02 突破考点03
突破考点04 高考真题演练
课时作业
突破考点 01
三角函数公式的基本应用
（基础送分型——自主练透）
1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ； cos(α∓β)＝cosαcosβ±sinαsinβ； tan(α±β)＝1t∓antaαn±αttaannββ.
高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第3讲两角和与差的正弦余弦和正切公式知能训练轻松闯关理北师大版
第3讲两角和与差的正弦、余弦和正切公式π 1 ππ1．(2016·山西省第二次四校联考)已知sin(＋α)＝，－2<α<0，则cos(α－3)的值是2 2()1 2A. B.2 31C．－D．121 3 π 1 3 1解析：选C.由已知得cos α＝，sin α＝－2，cos (α－3)＝cos α＋sin α＝－.2 2 2 21＋cos 2α＋8sin2α2．(2016·开封模拟)已知tan α＝4，则的值为()sin 2α65A．4 3 B.42 3C．4 D.31＋cos 2α＋8sin2α2cos2α＋8sin2α2＋8tan2α2＋8 × 42 65解析：选B. ＝＝＝＝.故选B.sin 2α2sin αcos α2tan α 2 × 4 4π 1 π3．(2016·景德镇二检)已知tan(α＋β)＝1，tan(α－3)＝3，则tan(β＋3)的值为()2 1A. B.3 23 4C. D.4 5ππ解析：选B.tan(β＋3)＝tan[（α＋β）－(α－3)]π1tan（α＋β）－tan(α－3)1－3 1＝＝＝.π 1 21＋tan（α＋β）tan(α－3)1＋1 ×3π 4 3 7π4．(2016·贵阳监测)已知sin(＋α)＋sin α＝5 ，则sin(α＋6 )的值是()32 3 2 3A．－ B.5 54 4C. D．－5 5π 4 3 ππ 4 3 3解析：选D.sin (＋α)＋sin α＝⇒sin ·cosα＋cos ·sinα＋sin α＝⇒3 5 3 3 5 23 4 3 3 1 4sin α＋cos α＝⇒sin α＋cos α＝，2 5 2 2 517π 7π 7π 故 sin(α＋ 6 )＝sin αcos＋cos αsin＝6 631 4－(cos α)＝－ .sin α＋ 2 25 π 1π 5．已知 sin ( －α)＝3，则 cos [2( ＋α)]的值是( )637 1A. B. 9 3 1 7 C ．－ D ．－39π 1 解析：选 D.因为 sin( －α)＝ ，63ππ 所以 cos( －2α)＝cos [2( －α)]36π 7 ＝1－2 s in 2( －α)＝ ，6 9 π2π所以 cos [2( ＋α)]＝cos (＋2α)33π π ＝cos [π－( －2α)]＝－cos ( －2α)337 ＝－ . 9 3 1 6．(2016·河北省衡水中学高三调研) － ＝( ) cos 10° sin 170° A ．4 B ．2 C ．－2 D ．－43 1 3 1 3sin 10°－cos 10° 解 析 ： 选 D. － ＝ － ＝ ＝cos 10° sin 170° cos 10° sin 10° sin 10°cos 10° 2sin （10°－30°） －2sin 20° ＝ ＝－4，故选 D. 1 1sin 20° sin 20° 2 22 1 π 7．(2016·江苏省四市调研)已知 t an(α＋β)＝ ，tan β＝3，则 tan (α＋ 4)的值为________．5 解析：因为 tan α＝tan(α＋β－β)2 1－ tan （α＋β）－tan β 5 3 1 ＝ ＝ ＝ ， 1＋tan （α＋β）tan β 2 1 17 1＋ ×5 31 1＋ π 1＋tan α 17 9 所以 tan(α＋ 4)＝＝ ＝ . 1－tan α 1 81－179 答案： 823 5π8．已知sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝，β是第三象限角，则sin4 )＝5 (β＋________．解析：依题意可将已知条件变形为3 3sin [(α－β)－α]＝－sin β＝，sin β＝－.5 54又β是第三象限角，因此有cos β＝－.55ππππ7 2sin(β＋4 )＝－sin(β＋)＝－sin βcos －cos βsin ＝.4 4 4 107 2答案：1029．已知sin(α－45°)＝－，0°＜α＜90°，则cos α＝________．10解析：因为0°＜α＜90°，所以－45°＜α－45°＜45°，7 2所以cos(α－45°)＝1－sin2（α－45°）＝，10所以cos α＝cos[(α－45°)＋45°]＝cos(α－45°)cos 45°－sin(α－45°)sin45°4＝.54答案：5π10．(2016·商丘一模)已知α∈(0，2)，且2sin2α－sin α·cosα－3cos2α＝0，则πsin(α＋4)＝________．sin 2α＋cos 2α＋1π解析：因为α∈(0，2)，且2sin2α－sin α·cosα－3cos2α＝0，则(2sin α－3cos α)·(sinα＋cos α)＝0，所以2sin α＝3cos α，2 3又sin2α＋cos2α＝1，所以cos α＝，sin α＝，13 13πsin(α＋4)所以sin 2α＋cos 2α＋12（sin α＋cos α）2＝（sin α＋cos α）2＋（cos2α－sin2α）26＝.8答案：2683π5π 3 2 11．已知函数 f (x )＝A sin (x ＋ 3)，x ∈R ，且 f (12 )＝ .2(1)求 A 的值；π(2)若 f (θ)－f (－θ)＝ 3，θ∈(0， 2)，求 cos θ的值．5π 5π π解：(1)f(＝A sin 3)12) (＋123π 2 3 2＝A sin ＝ A ＝ ，所以 A ＝3. 4 2 2π π(2)f (θ)－f (－θ)＝3sin (θ＋ 3)－3sin (－θ＋ 3)ππ＝3[(sin θcos 3))－3＋cos θsinError!π＝6sin θcos ＝3sin θ＝ 3，3 3 π所以 sin θ＝ 3.又因为 θ∈(0， 2)，32 6所以 cos θ＝ 1－sin 2θ＝ 1－(3)＝.3π512．(2014·高考江苏卷)已知 α∈( ，π)，sin α＝.25π(1)求 sin( ＋α)的值；4 5π(2)求 cos(－2α)的值．6π5解：(1)因为 α∈( ，π)，sin α＝，252 5所以 cos α＝－ 1－sin 2α＝－ .5π π π故 sin( ＋α)＝sincos α＋cos sin α4 4 4 2 25 102 5＝ 2×(－ 5 )＋× ＝－.2 5 1052 5(2)由(1)知sin 2α＝2sin αcos α＝2×5×(－5 )4 5 2 3＝－5，cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×(5 )＝，55π5π5π 3 3 1 4所以cos (－2α)＝cos cos 2α＋sin 6 ·s in 2α＝(－2 )×＋2×(－5 )＝－6 6 54＋3 3.1041．(2016·山西省晋中名校高三联合测试)对于集合{a 1，a 2，…，a n }和常数 a 0，定义：ω＝ sin 2（a 1－a 0）＋sin 2（a 2－a 0）＋…＋sin 2（a n －a 0）为集合{a 1，a 2，…，a n }相对 a 0的“正nπ 5π 7π弦方差”，则集合{， 相对 a 0的“正弦方差”为( ) ，6}2 61 1 A. B.2 31 C. D ．与 a 0有关的一个值4π 5π 7π 解析：选 A.集合{6 }相对 a 0的“正弦方差” ， ，2 6π5π7π sin 2( －a 0)＋sin 2(－a 0)＋sin 2(－a 0)2 6 6ω＝3π πcos 2a 0＋sin 2( ＋a 0)＋sin 2( －a 0)6 6＝3 1 2cos 2a 0＋(cos a 0＋＝ 3 2 1sin a 0)＋(cos a 0－ 22332 sin a 0)2 1 3cos 2a 0＋ cos 2a 0＋ sin 2a 0 2 2＝33（sin 2a 0＋cos 2a 0） 2 1 ＝ ＝ . 3 2π4 π2．(2016·山东省德州一中月考)设 α 为锐角，若 cos (α＋ 6)＝5，则 sin (α－12)＝________． π 4解析：因为 α 为锐角，cos(α＋ 6)＝ ，5π3 所以 sin(α＋ 6)＝ ，5πππ 故 sin(α－12)＝sin [(α＋ 6)－ 4]ππππ 32 422＝sin(α＋ 6)cos4－cos (α＋ 6)sin＝ × － × ＝－ .4 5 2 5 2 102答案：－103 5 π 3 π 33．若sin(π＋α)＝13，cos(－β)＝，且0<α< <β< π，求cos(α＋β)的值．4 45 4 4π 3解：因为0<α< <β< π.4 43 3 ππ所以π< π＋α<π，－< －β<0.4 4 2 453 5 π 3又 sin (π＋α)＝13，cos ( －β)＝ ，4 4 53 12所以 cos (π＋α)＝－ ，4 13π 4sin ( －β)＝－，4 5π所以 cos(α＋β)＝sin [ ＋（α＋β）]23 π＝sin [(π＋α)－( －β)]4 43 π 3 π＝sin (π＋α)cos ( －β)－cos (π＋α)·sin ( －β)4 4 4 433＝－ .65 3 5 π π 3π π 4．已知 sin α＋cos α＝ ，α∈ ，sin ＝ ，β∈2). 5 (0， 4) (β－ 4) 5(， 4 (1)求 sin 2α和 tan 2α的值；(2)求 cos(α＋2β)的值．9 解：(1)由题意得(sin α＋cos α)2＝ ，59 4即 1＋sin 2α＝ ，所以 sin 2α＝ . 5 5π又 2α∈(0， 2).3所以 cos 2α＝ 1－sin 22α＝ ， 5sin 2α 4所以 tan 2α＝ ＝ .cos 2α 3 π π π π(2)因为 β∈( ，β－ 4∈(0， 4)，， 2)4 π 3sin (β－ 4)＝ ，5π 4所以 cos (β－ 4)＝ ，5π π π 24于是sin 2(β－4)＝2sin(β－4)·cos(β－4)＝.25π又sin 2(β－4)＝－cos 2β，24所以cos 2β＝－，25π又2β∈(，π)，27所以sin 2β＝，2561＋cos 2α 4 π又cos2α＝＝5，α∈(0，4)，22 5 5所以cos α＝，sin α＝.5 5所以cos(α＋2β)＝cos αcos 2β－sin αsin 2β2 5 24 5 7＝×－×5 (－25 )5 2511 5＝－.257。
高考数学一轮复习第三章第3讲两角和与差的三角函数二倍角公式第1课时三角函数公式的基本应用课件
(2)已知 sinα＝35，a∈(π2，π)，tan(π－β)＝12，则 tan(α－β)的值为
A．－121
B．121
C．121
D．－121
( C) ( A)
(3)(2017·山东)已知 cosx＝34，则 cos2x＝
A．－14
B．14
C．－18
D．18
(4)(2017·课标全国Ⅲ)已知 sinα－cosα＝43，则 sin2α＝
名师讲坛
辅助角公式的应用
asinα＋bcosα＝
a2＋b2(sinα·
a2a＋b2＋cosα·
b a2＋b2)
不妨记 cosφ＝ a2a＋b2，sinφ＝ a2b＋b2，
则 asinα＋bcosα＝ a2＋b2(sinαcosφ＋cosαsinφ)＝ a2＋b2sin(α＋φ).
应用 1 求值
(2)名的变换：明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导 公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．
〔变式训练 2〕
(1)(2016·全国卷Ⅱ)若 cos(π4－α)＝35，则 sin2α＝
( D)
A．275
B．15
C．－15
D．－275
(2)(2018·山西康杰中学月考)若ssiinnαα＋ －ccoossαα＝3，tan(α－β)＝2，则 tan(β－2α)
(2)(文)∵sin2α＝23，∴cos2(α＋π4)＝1＋cos22α＋π4＝1－s2in2α＝1－2 23＝16，故选 A．
(理)原式＝1－cos22α－π6＋1－cos22α＋π6－1－c2os2α ＝1－cos2α－π3＋c2os2α－cos2α＋π3 ＝1－cos2αcosπ3－sin2αsinπ3＋c2os2α－cos2αcosπ3＋sin2αsinπ3＝12.
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2cos 1.
10°－sin sin 70°
20°的值是________．
解析：原式＝2cos（30°－sin207°0°）－sin 20°
＝2（cos
30°·cos
20°＋sin 30°·sin sin 70°
20°）－sin
20°
＝ c3ocsos202°0°＝ 3.
答案： 3
2．已知函数 f(x)＝2sin13x－π6，x∈R. (1)求 f54π的值； (2)设 α，β∈0，π2，f3α＋π2＝1103，f(3β＋2π)＝65，求 cos(α＋β) 的值．
3．在△ABC 中，tan A＋tan B＋ 3＝ 3tan A·tan B，则 C＝ ________． 解析：由已知可得 tan A＋tan B＝ 3(tan A·tan B－1)，所以 tan(A＋B)＝1t－antaAn＋AttaannBB＝－ 3，又 0<A＋B<π，所以 A＋B ＝23π，所以 C＝π3. 答案：π3
φ)其中tan
φ＝ab.
1.1－ta1n 15°－1＋ta1n 15°＝________．
解析：原式＝（1－tan
2tan 15° 15°）（1＋tan
15°）＝1－2tatann1251°5°
＝tan
30°＝
3 3.
答案：
3 3
2．已知 α、β 为锐角，cos α＝17，sin(α＋β)＝5143，则 cos β＝ ________． 解析：因为 sin(α＋β)＝5143< 23，且 0<α＋β<π，所以 0<α＋β<π3 或23π<α＋β<π； 又由 cos α＝17<12且 α 为锐角得π3<α<π2， 所以23π<α＋β<π， 于是 cos(α＋β)＝－1114，sin α＝473，故 cos β＝12. 答案：12
三角函数的给值求值、给值求角(高频考点)
(2018·高考江苏卷)已知 α，β 为锐角，tan α＝43，cos(α＋
β)＝－
5 5.
(1)求 cos 2α 的值；
(2)求 tan(α－β)的值．
【解】 (1)因为 tan α＝43，tan α＝csions αα， 所以 sin α＝43cos α. 因为 sin2α＋cos2α＝1，所以 cos2α＝295， 因此，cos 2α＝2cos2 α－1＝－275. (2)因为 α，β 为锐角，所以 α＋β∈(0，π)． 又因为 cos(α＋β)＝－ 55，
所以 sin(α＋β)＝ 1－cos2（α＋β）＝255， 因此 tan(α＋β)＝－2. 因为 tan α＝43，所以 tan 2α＝1－2tatannα2 α＝－274， 因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝1t＋anta2nα－2αttaann（（αα＋＋ββ））＝ －121.
又 cosα＋π3＝255，
所以 sinα＋π3＝
1－cos2α＋π3＝
5 5.
所以 sinα＋71π2＝sinα＋π3＋π4
＝
22
2
5
5＋
55＝3 1010.
(2)由(1)知 sinα＋π3＝ 55， 所以 sin2α＋23π＝2sinα＋π3cosα＋π3＝45. cos2α＋23π＝cos2α＋π3－sin2α＋π3＝35. 所以 tan2α＋23π＝csions22αα＋＋2233ππ＝43.
3．函数 f(x)＝sin xcos x 的最小值是________． 解析：因为 f(x)＝12sin 2x，所以 f(x)min＝－12. 答案：－12
4．已知 cos 2α＝12α∈－π4，0，则 sin α 的值为________． 解析：cos 2α＝1－2sin2α＝12⇒sin α＝±12. 又 α∈－π4，0，所以 sin α＝－12.
＝cosθ2sin2θ2－θ cos2θ2 cos2
＝－cosθ2·θcos
θ .
cos2
因为 0＜θ＜π，所以 0＜θ2＜π2，
所以 cosθ2＞0，所以原式＝－cos θ.
(2)原式＝2×2si2nco1s02°10c°os
10°－sin
10°csoins
1.函数 f(x)＝ 3sin x＋cosπ3＋x的最大值为
解析：f(x)＝ 3sin x＋cos π3·cos x－sin π3·sin x
＝12cos
x＋
3 2 sin
x＝sinx＋π6.
所以 f(x)max＝1.
答案：1
2．函数 f(x)＝sin2x－π4－2 2sin2x 的最小正周期是________．
解：(1)f54π＝2sin 13×54π－π6＝2sinπ4＝ 2. (2)由 f3α＋π2＝2sin α＝1103， 得 sin α＝153， 又 α∈0，π2，所以 cos α＝1123，
由 f(3β＋2π)＝2sinβ＋π2＝2cos β＝65，得 cos β＝35， 又 β∈0，π2，所以 sin β＝45， 所以 cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝1123×35－153×45＝1665.
答案：－12
1．必明辨的 1 个易错点
忽视三角函数值对角的范围的制约致错．
2．常用的 3 个结论
(1)和差角公式变形：tan x±tan y＝tan(x±y)·(1∓tan x·tan y)．
(2) 倍 角 公 式 变 形 ： 降 幂 公 式
cos2α
＝
1＋cos 2
2α
，
sin2α
＝
1－cos 2
55°°－csoins
5° 5°
＝2csoisn1100°°－sin 10°·cossin255°°－cossin52°5°
＝2csoisn1100°°－sin 10°·12csoisn1100°°
＝2csoisn1100°°－2cos
10°＝cos
10°－in 2sin 10°
20°
第三章 三角函数、解三角形
第 3 讲 两角和与差的正弦、 余弦和正切公式
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β； tan(α±β)＝1t∓antaαn±αtatannββ.
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin αcos α； cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； tan 2α＝1－2tatannα2α.
＝cos
10°－2sin（30°－10°） 2sin 10°
cos ＝
10°－212cos 10°－ 2sin 10°
23sin
10°
＝
23ssinin1100°°＝
3 2.
(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则，一看角，二看名， 三看式子结构与特征． (2)对于给角求值问题，往往所给角都是非特殊角，解决这类问 题的基本思路有： ①化为特殊角的三角函数值； ②化为正、负相消的项，消去求值； ③化分子、分母出现公约数进行约分求值．
(2)y＝12·1＋c2os 2x＋ 23·sin22x＋1
＝14cos
2x＋
3 4 sin
2x＋54
＝12sin2x＋π6＋54.
三角函数求值或求角的大小时，不仅要注意有关角的范围，还 要结合有关角的三角函数值把角的范围缩小到尽可能小的范围 内，否则容易出错．求角度时，不要盲目地去求某三角函数值， 要根据角的范围选择求适当的三角函数值，一般的是所选择的 三角函数在给定的角的范围上单调．
1.已知 sin α＝ 55，sin(α－β)＝－ 1100，α，β 均 为锐角，求角 β.
(2)已知函数
y＝12cos2x＋
3 2 sin
xcos
x＋1(x∈R)，当函数
y
取最
大值时，求自变量 x 的集合．
【解】 (1)①因为 tanπ4＋α＝11－ ＋ttaann αα＝12，所以 tan α＝－13. ②sin1＋2αc－osc2oαs2α＝2si1n＋αc2ocsosα2－α－co1s2α＝2sin2αco－s cαos α＝tan α－12 ＝－56.
解：因为 α、β 均为锐角，所以－π2<α－β<π2.
又 sin(α－β)＝－ 1100，
所以 cos(α－β)＝31010.
又 sin α＝ 55，所以 cos α＝255，
所以 sin β＝sin[α－(α－β)]
＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)
＝
55×3
1010－2
5
三角变换公式的综合运用 已知函数 f(x)＝sinx＋74π＋cosx－34π，x∈R. (1)求 f(x)的最小正周期和最小值； (2)已知 cos(β－α)＝45，cos(β＋α)＝－45，0<α<β≤π2，求证：[f(β)]2 －2＝0.
【解】 (1)因为 f(x)＝sinx＋74π－2π＋cosx－π4－π2 ＝sinx－π4＋sinx－π4＝2sinx－π4， 所以 T＝2π，f(x)的最小值为－2. (2)证明：由已知得 cos βcos α＋sin βsin α＝45，
三角函数式的化简与给角求值 (1)化简： （1＋sin θ＋2c＋os2θc）osθsinθ2－cosθ2(0＜θ＜π)； (2)求值：1＋2sicnos202°0°－sin 10°tan15°－tan 5°.
【解】 (1)原式＝
2sinθ2cosθ2＋2cos2θ2sinθ2－cosθ2 4cos2θ2
5×－
1100＝
22.
所以 β＝π4.