计算机科学导论(董荣胜)5

5.3 数学方法的作用
数学方法是指解决数学问题的策略、途径和步骤。 数学方法是指解决数学问题的策略、途径和步骤。 数学方法在现代科学技术的发展中已经成为一种必不 可少的认识手段， 可少的认识手段，它在科学技术方法论中的作用主要 表现在以下3个方面： 表现在以下3个方面： 1．为科学技术研究提供简洁精确的形式化语言 人类在日常交往中使用的语言称自然语言， 人类在日常交往中使用的语言称自然语言，它是 人与人之间进行交流和对现实世界进行描述的一般的 语言工具。而随着科学技术的迅猛发展， 语言工具。而随着科学技术的迅猛发展，对于微观和 宏观世界中存在的复杂的自然规律， 宏观世界中存在的复杂的自然规律，只有借助于数学 的形式化语言才能抽象地表达。许多自然科学定律， 的形式化语言才能抽象地表达。许多自然科学定律， 如牛顿的万有引力定律等， 如牛顿的万有引力定律等，都是用简明的数学公式表 示的。数学模型就是运用数学的形式化语言， 示的。数学模型就是运用数学的形式化语言，在观测 和实验的基础上建立起来的， 和实验的基础上建立起来的，它有助于人们认识和把 握超出感性经验之外的客观世界。 握超出感性经验之外的客观世界。
3．集合的运算 集合的基本运算有并、 补和乘积等运算。 集合的基本运算有并、差、交、补和乘积等运算。 （1）集合的并 为两个任意集合，所有属于A或属于B的元素构成的集合C 称为A 设A、B为两个任意集合，所有属于A或属于B的元素构成的集合C，称为A和 B的并集。可表示为：C＝A∪B＝｛x｜x∈A∨x∈B｝。 的并集。可表示为： ＝｛x 求并集的运算称为并（运算）。 求并集的运算称为并（运算）。 A={a， d}，B={b， e}，求集合A 的并。 例5.1 若A={a，b，c，d}，B={b，d，e}，求集合A和B的并。 ＝｛a 解：A∪B＝｛a，b，c，d，e｝ （2）集合的差 为两个任意集合，所有属于A而不属于B的一切元素构成的集合S 设A、B为两个任意集合，所有属于A而不属于B的一切元素构成的集合S，称 的差集。可表示为：S=A–B=｛ 为A和B的差集。可表示为：S=A–B=｛x｜x∈A∧x∉B｝。 求差集的运算称为差（运算）。 求差集的运算称为差（运算）。 A={a， d}，B={b， e}，求集合A 的差。 例5.2 若A={a，b，c，d}，B={b，d，e}，求集合A和B的差。 B={a， 解：A–B={a，c} （3）集合的交 为两个任意集合，由和的所有相同元素构成的集合C 称为A 设A、B为两个任意集合，由和的所有相同元素构成的集合C，称为A和B的交 可表示为： ＝｛x 集。可表示为：C＝A∩B＝｛x｜x∈A∧x∈B｝。 求交集的运算称为交（运算）。 求交集的运算称为交（运算）。
2．为科学技术研究提供数量分析和计算的方法 一门科学要从定性分析发展到定量分析， 一门科学要从定性分析发展到定量分析，数学方 法从中起了杠杆的作用。 法从中起了杠杆的作用。计算机的问世更为科学的定 量分析决的数学课题找到了解决的可能性。 解决的数学课题找到了解决的可能性。如原子能的研 究和开发、 究和开发、空间技术的发展等都是借助于精确的数值 计算和理论分析进行的。 计算和理论分析进行的。 3．为科学技术研究提供逻辑推理的工具 数学的逻辑严密性这一特点使它成为建立一种理 论体系的手段，在这方面最有意义的就是公理化方法。 论体系的手段，在这方面最有意义的就是公理化方法。 数学逻辑用数学方法研究推理过程， 数学逻辑用数学方法研究推理过程，把逻辑推理形式 加以公理化、符号化， 加以公理化、符号化，为建立和发展科学的理论体系 提供有效的工具。 提供有效的工具。
例5.3 若A={x | x >﹣5}，B={x | x < 1}，求集合和B的交。 >﹣5}， 1}，求集合和B的交。 解：A∩B＝｛x | x >﹣5｝∩｛x | x < 1｝＝｛x｜–5 < x < 1｝ ＝｛x >﹣ 1｝＝｛ ｝＝｛x 1｝ （4）集合的补 设I为全集，A为I的任意一子集，I–A则为A的补集，记为 A。可表示为 为全集， 的任意一子集， 则为A的补集， A =I–A=｛x｜x∈I，x∈A｝ =I–A=｛ 求补集的运算称为补（运算）。 求补集的运算称为补（运算）。 例5.4 若I=｛x｜–5﹤x﹤5｝，A=｛x｜0﹤x﹤1｝，求。 I=｛ ｝，A=｛ ｝，求 解：=I–A=｛x｜–5﹤x﹤0∨1﹤x﹤5｝ =I–A=｛ （5）集合的乘积 集合A 集合A1，A2，…，An的乘积一般用法国数学家笛卡尔（Rene 的乘积一般用法国数学家笛卡尔（ Descartes）的名字命名，即笛卡尔积。该乘积表示如下： Descartes）的名字命名，即笛卡尔积。该乘积表示如下： A1×A2×…An={（a1，a2，…，an）｜ai∈Ai，i＝1，2，…，n} n={（ ）｜a A1×A2×…An的结果是一个有序n元组的集合。 的结果是一个有序n元组的集合。 ={1， 3}， ={a 例5.5 若A={1，2，3}，B={a，b}，求A×B。 ={（ ），（1 ），（2 ），（2 ），（3 解：A×B={（1，a），（1，b），（2，a），（2，b），（3，a）， （ 3， b） }
5.4 计算学科中常用的数学概念和术语
5.4.1 集合
1．集合的概念 集合是数学的基本概念，它是构造性数学方法的基础。 集合是数学的基本概念，它是构造性数学方法的基础。集合就是一组 无重复的对象的全体。集合中的对象称为集合的元素。 无重复的对象的全体。集合中的对象称为集合的元素。如：计算机专业学 生全部必修课程可以组成一个集合， 生全部必修课程可以组成一个集合，其中的每门课程就是这一集合中的元 素。 2．集合的描述方法 通常用大写字母表示集合，用小写字母表示元素， 通常用大写字母表示集合，用小写字母表示元素，描述集合的方式主 要有以下3 要有以下3种： 枚举法：列出所有元素的表示方法。 （1）枚举法：列出所有元素的表示方法。 的整数集合可表示为： 如1至5的整数集合可表示为： A={1，2，3，4，5}； A={ 外延表示法：当集合中所列元素的一般形式很明显时， （2）外延表示法：当集合中所列元素的一般形式很明显时，可只列出部 分元素，其他则用省略号表示。 分元素，其他则用省略号表示。 如斐波那契数列可表示为： 如斐波那契数列可表示为： { 0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，… }； 0， 13，21，34， 谓词表示法：用谓词来概括集合中元素的属性。 （3）谓词表示法：用谓词来概括集合中元素的属性。 如斐波那契数列可表示为： 如斐波那契数列可表示为： {Fn|Fn+2=Fn+1+Fn，F0=0，F1=1， {Fn|Fn+2=Fn+1+Fn，F0=0，F1=1，n≥0}
第五章
学科中的数学方法
在计算学科中， 在计算学科中，采用的数学方法主要是离散数学方 法。本章首先简单介绍数学的基本特征及数学方法的 作用。然后，介绍计算学科中常用的数学概念和术语， 作用。然后，介绍计算学科中常用的数学概念和术语， 包括集合，函数和关系，代数系统（含群、 包括集合，函数和关系，代数系统（含群、环、格、 布尔代数，布尔代数与数字逻辑电路等），字母表、 ），字母表 布尔代数，布尔代数与数字逻辑电路等），字母表、 字符串和语言，定义、定理和证明，必要条件和充分 字符串和语言，定义、定理和证明， 条件、证明方法、递归和迭代、公理化方法等内容。 条件、证明方法、递归和迭代、公理化方法等内容。 最后，介绍计算学科中的形式化方法， 最后，介绍计算学科中的形式化方法，包括形式系统 的组成、基本特点和局限性，形式化方法的定义， 的组成、基本特点和局限性，形式化方法的定义，以 及形式规格和形式验证等内容。 及形式规格和形式验证等内容。
在对待数学的问题上，计算机科学家与数学家的 在对待数学的问题上， 侧重点不一样：数学家关心的是“是什么（ 侧重点不一样：数学家关心的是“是什么（What is it）”的问题，重点放在数学本身的性质上；计算 it） 的问题，重点放在数学本身的性质上； 机科学家则不同，他们不仅要知道“是什么”的问题， 机科学家则不同，他们不仅要知道“是什么”的问题， 更要解决“怎么做（ it） 的问题。 更要解决“怎么做（How to do it）”的问题。 由于传统数学研究的对象过于抽象， 由于传统数学研究的对象过于抽象，导致对具体 问题（ 问题（特别是有关计算的本质即字符串变换的具体过 关心不够。因此，在计算领域， 程）关心不够。因此，在计算领域，人们又创造了基 于离散数学的“具体”数学的大量概念和方法（ 于离散数学的“具体”数学的大量概念和方法（如学 科中的各种形式化方法）。 科中的各种形式化方法）。 本章主要介绍数学的基本特征、数学方法的作用， 本章主要介绍数学的基本特征、数学方法的作用， 计算学科中常用的数学概念和术语（集合， 计算学科中常用的数学概念和术语（集合，函数和关 代数系统，字母表、字符串和语言，定义、 系，代数系统，字母表、字符串和语言，定义、定理 和证明，必要条件和充分条件）、证明方法、 ）、证明方法 和证明，必要条件和充分条件）、证明方法、递归和 迭代、公理化方法、以及形式化方法等内容。 迭代、公理化方法、以及形式化方法等内容。
5.2 数学的基本特征
数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的一门科学。 数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的一门科学。它具有以下 3个基本特征： 个基本特征： 1. 高度的抽象性 抽象是任何一门科学乃至全部人类思维都具有的特性，然而， 抽象是任何一门科学乃至全部人类思维都具有的特性，然而，数学的 抽象程度大大超过自然科学中一般的抽象， 抽象程度大大超过自然科学中一般的抽象，它最大的特点在于抛开现实事 物的物理、化学和生物学等特性，而仅保留其量的关系和空间的形式。 物的物理、化学和生物学等特性，而仅保留其量的关系和空间的形式。 2．逻辑的严密性 数学高度的抽象性和逻辑的严密性是紧密相关的。 数学高度的抽象性和逻辑的严密性是紧密相关的。若数学没有逻辑的 严密性，在自身理论中矛盾重重，漏洞百出， 严密性，在自身理论中矛盾重重，漏洞百出，那么用数学方法对现实世界 进行抽象就失去了意义。正是由于数学的逻辑严密性， 进行抽象就失去了意义。正是由于数学的逻辑严密性，我们在运用数学工 具解决问题时，只有严格遵守形式逻辑的基本法则， 具解决问题时，只有严格遵守形式逻辑的基本法则，充分保证逻辑的可靠 才能保证结论的正确性。 性，才能保证结论的正确性。 3．普遍的适用性 数学的高度抽象性决定了它的普遍适用性。 数学的高度抽象性决定了它的普遍适用性。数学广泛地应用于其他科 学与技术，甚至人们的日常生活之中。 学与技术，甚至人们的日常生活之中。