用样本的数字特征估计总体的数字特征

用样本的数字特征估计总体的数字特征作者：汪继波来源：《中学数学杂志(高中版)》2013年第01期统计思想和方法“螺旋”式地从小学渗透到中学，这有助于人们在生活、生产实践中通过分析统计数据做出决策.教会学生分析处理统计数据就成了高中数学课程标准的重要内容，但在教学实践中，笔者屡见不少老师（特别是“老教师”）对此极不重视，认为高中教材中的这点统计内容比较简单，高考中也不会出现难题，在教学中就一带而过，甚至临近考试才随便讲一讲或提醒学生看一看.本文试图为纠正这一不良现象尽绵薄之力（限于篇幅，本文将内容解析、教学问题诊断分析、教学支持条件分析等次要内容略去）.1 教学指导思想统计的目的在于了解总体的状况，主要是了解总体的分布和数字特征，因此统计教学应注重教给学生统计方法，体现统计思想．统计的方法有普查和抽样，而抽样的基本原则是具有代表性，故应采取随机抽样得到随机样本，再利用所得的随机样本的分布和数字特征估计总体的分布和数字特征，因此，本节的教学应注重这一教学过程和思想，而不应停留在绘制样本的频率分布直方图或计算样本的数字特征．统计教学是培养学生自学能力、研究式学习的好机会.笔者经常听到一个数学老师问另一个数学老师“这节课你讲到哪里了？”、“你讲完了吗？”，其实，这样的话就反应了课堂上老师讲、学生听已成一种教学习惯.常有老师抱怨学生不愿读数学书，阅读理解能力低、自学习惯差，….实际上，这不能完全归咎于学生，毫不夸张地说，应是老师（含教育领导）在我们这种社会特有的考试文化环境和教育体制下“教”出来的.我们一线教师就应该用好一切可能的机会培养学生的自学、研究式学习的能力．2 教学目标、重点和难点（1）通过样本的众数、中位数、平均数估计总体的众数、中位数、平均数，了解总体数据的集中程度（趋势）．（2）通过样本的标准差（方差）估计总体的标准差（方差），了解总体数据（相对于平均数）的离散程度．（3）引导学生通过样本的数字特征估计总体的数字特征体会统计思想．重点：通过样本（数据或由数据绘制的频率分布直方图、茎叶图、条形图）的数字特征估计总体的数字特征，培养学生的统计意识．难点：用样本的频率分布直方图、茎叶图或条形图的几何直观估计总体的数字特征．3 导学过程3.1 引导阅读，培养自学习惯要求学生在导学提纲（由教师精心研制并印发给学生）的引导下通读教科书（人教社A 版普通高中课程标准实验教科书2007年2月第3版《数学3（必修）》，以下所涉及的教科书均指该版）第71—78页，并思考其中的问题，但由于课堂的时间太短，因此，可安排学生课前阅读．3.2 学生置疑，训练思辨能力学生在自学阅读的过程中难免会遇到问题，老师要是了解这些问题，课堂教学就会“有的放矢”，这种有针对性的教学，对学生的学习理解就有更大的促进作用.问题的搜集方式灵活多样，比如：上交导学提纲、数学科代表负责搜集、教师亲自口头问询，等等.在笔者的教学实践中，学生的问题主要有：①如何理解数字特征；②由样本的频率分布直方图估计样本的中位数、平均数的方法存在疑虑；③为什么s=1n［（x1-）2+（x2-）2+…+（xn-）2］就是标准差公式；④怎样由条形图估计（比较）样本的平均数、标准差（方差）；⑤由样本估计总体的统计意识欠缺．3.3 指导评析，培养研究式学习能力问题1 同学，你好，本节要求你学会什么？设问分析此问的用意是让学生阅读后从总体上把握本节的学习目标，培养学生自学和宏观概括的能力，防止出现“不识庐山真面目，只缘身在此山中”．问题2 你理解数字特征的意义吗？怎样确定一组数据的众数、中位数、平均数？两组数据5 43 5 21 5 56 31与12 31 7 35 12 30 23 7的众数、中位数、平均数分别等于多少？设问分析虽然孩子们在小学、初中都已学过这三个统计概念，但是可能忘了，故此问意在要求学生复习众数、中位数、平均数的含义，并从新的高度（数字特征）认识它们，分析样本数据．问题3 有甲、乙两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数为：甲：7 8 7 9 5 4 9 10 7 4，乙：7 9 5 8 7 6 8 6 7 7，你能评价他们的射击情况吗？如果这是一次选拔性考核，你应挑选谁？设问分析两组数据的众数、中位数、平均数都是7，仅根据这几个数字特征，显然无法作出选择，必须选取别的评判标准，让学生阅读教科书第74—75页上的分析后，就知道这个标准是极差或标准差，但是，极差仅涉及两个极端数据，显然不利于描述样本数据的离散程度，因此，就会选择标准差了．问题4 你理解标准差（或方差）的意义和计算方法了吗？设问分析教科书指出：标准差是样本数据到平均数的一种平均距离.根据这一定义，若样本数据x1 ，x2 ，…，xn的平均数记为，则标准差S=1n（|x1-|+|x2-|+…+|xn-|），接着又说此公式含有绝对值，运算不方便，所以，改用s=1n［（x1-）2+（x2-）2+…+（xn-）2］.依这样的理由选择后者作为标准差公式，学生难以接受.其实，前者比后者简洁，用具体数据运算更方便，但是，这两个公式在描述样本数据到平均数的平均距离方面应具有等价性，若涉及字母或某些问题（在今后的学习中会遇到）时，用后者解答就简便得多；也有学生问：为什么要加上根号？这好回答：不加根号就叫方差了，但数值一般比标准差大，故常用标准差描述数据的离散程度.（笔者请问编者：能否不象教科书那样“绕圈子”，想办法直接用后者定义标准差？）问题5 你能研究用标准差公式描述样本数据的离散程度（或稳定性）采取相对于平均数的合理性吗？设问分析在教学中，有学生问：为什么标准差要选择到平均数的平均距离，而不选别的量？开始我想了一些理由回避了，但重复教授这个内容时，又有学生提同样的问题，后来，我就在课堂上“主动追问”，并这样提示：先令f（x）=（x1-x）2+（x2-x）2+…+（xn-x）2，再求x为何值时，此函数f（x）取得最小值.但在具体实施时，还是要看学生的水平，是否适合“追问”．问题6 标准差的取值范围是什么？标准差为0的样本数据有什么特点？设问分析学生只要分析一下标准差公式的特点，易知标准差s≥0，标准差为0的样本数据是一个常数.此问意在培养学生用数学模型分析统计数据的能力．问题7 通过你的学习，你对一组数据的众数、中位数、平均数、极差、标准差有何认识？哪些概念可以描述一组样本数据的集中程度（相当于这组数据的“中心点”）？哪些概念可以描述样本数据的离散程度（或稳定性）？设问分析这可指导学生结合教科书第73—74页的“探究”、“练习”进行理解，加深对数字特征的认识．问题8 获得样本数据的众数、中位数、平均数、极差、标准差的目的何在？可以通过哪些方式获得样本数据的众数、中位数、平均数、极差、标准差？设问分析由标题就知道本节的主要目的是利用样本的数字特征估计总体的数字特征，其中的关键在于如何得到样本数据的数字特征.一旦获得了一个样本数据，就可直接计算出这个样本的众数、中位数、平均数、极差、标准差，不过，样本数据往往较多，人工计算显得麻烦、效率低，故常常采用计算器或计算机软件（如Microsoft Office Excel 2003），从而估计总体的数字特征.但是，我们的统计教学不仅仅是教学生计算，更重要的应在于教学生领会统计思想和统计方法，通过频率分布直方图、条形图、茎叶图估计（或比较）样本的数字特征正体现了这一点，因此，应让学生明白获得样本数字特征的方式通常有准确计算和估算．（1）准确计算这种方式主要就是指我们利用概念或公式直接计算样本的数字特征、或者用计算器按键便得（如教科书第75页的例子）、或者在电子表格Excel的工具栏“插入函数”中分别选择“MODE”、“VARPA”、“AVERAGE”、“MEDIAN”、“STDEVP”就可得到样本数据的众数，方差、平均数、中位数、标准差.比如，教科书第77页“例2”就是用计算器算得的，但此题的根本不在计算，而是将两个样本的平均数、标准差作比较，选择更符合要求的样本．（2）估算在这里，估算主要是指通过频率分布直方图、条形图或茎叶图估计（或比较）样本的数字特征．（2.1）用频率分布直方图估计样本的众数、中位数、平均数，比较标准差．问题8.1 教科书第72—73页，利用上一节月均用水量样本数据（容量为100）的频率分布直方图（图1）怎样估计样本的众数、中位数、平均数？你对此有何疑问？设问分析显然，众数就是图中面积最大的矩形在分类轴上的边的中点值，但学生估计中位数、平均数并不都那么简单，此问意在让每个学生都掌握其估计的方法.①中位数的估计方法：中位数两侧直方图的面积应均为0.5，观察频率分布直方图，估计中位数可能介于2与2.5之间，先试算前四组的直方图的面积（即频率）之和0.04+0.08+0.15+0.22=0.49＜0.5，后四组的直方图的面积之和0.14+0.06+0.04+0.02=0.26＜0.5，于是，可断定中位数x一定在区间（2，2.5）内，根据中位数的概念，显然有0.49+x-20.5×0.25=0.26+2.5-x0.5×0.25，解得x=2.02，即此样本中位数的估计值为2.02.但是，直接由中位数的概念，将样本数据从小到大（或从大到小）排列，此样本的中位数是2.0，两个值为何不等呢？先让学生思考后，老师可点拨道：前者是根据直方图得到的估计值，而直方图仅仅是样本数据的近似反应，与真实值当然会有差距；②教科书已指出平均数的估计方法，但大部分学生问：为什么平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和呢？可举这样的例子来说明：一位同学在某个学期数学的十次测试成绩为120、118、132、125、112、125、132、132、112、120，则平均成绩为110（2×112+118+2×120+2×125+3×132）=210×112+110×118+210×120+210×125+310×132，即为112、118、120、125、132分别乘以其出现的频率之和，在频率分布直方图中，由于每个小矩形的面积等于频率、小矩形底边中点的横坐标近似等于各组的均值，因此，平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．问题8.2 你发现了样本众数、中位数、平均数的估计值比较接近，甚至相等吗？这是为什么？设问分析此问意在让学生明白这三个数字特征的估计值比较接近甚至相等并非巧合，而是必然的，因为它们都是描述样本数据集中程度（相当于这组数据的“中心点”）的，而这种集中程度又是唯一的．问题8.3 （2010高考辽宁文数第18题改编）为了比较注射A、B两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选200只家兔做实验，将这200只家兔随机地分成两组.每组100只，分别注射药物A、B，下面是注射药物后皮肤疱疹面积（单位： mm2）的频率分布直方图，试比较它们标准差的大小.设问分析利用频率直方图比较标准差的大小，前提条件是学生应充分理解标准差的意义和较强的几何直观能力，也为选修理科的学生学习正态分布作准备．（2.2）通过茎叶图估计样本的众数、中位数、平均数、标准差图4问题8.4 从甲、乙两个商场分别随机抽取16名皮鞋推销员，统计他们的销售额，统计数据用茎叶图（图4）表示，设它们的平均数分别为甲，乙，中位数分别为m甲，m乙，标准差分别为s甲，s乙，则A. 甲m乙，s甲>s乙B. 甲s乙C. 甲>乙，m甲>m乙，s甲D. 甲>乙，m甲设问分析虽然茎叶图给出了具体数据，但是回答这个问题，可不用计算，直接由数据排列的特点，即能做出直观判断，这可培养学生的直觉思维能力．（2.3）通过条形图估计样本的众数、中位数、平均数、标准差问题8.5 （教科书第76页例1改编）已知下列四组数据：①5，5，5，5，5，5，5，5，5②4，4，4，5，5，5，6，6，6③3，3，4，4，5，6，6，7，7④2，2，2，2，5，8，8，8，8求出它们的平均数、标准差，画出它们的条形图，每组数据的标准差与其条形图之间有何特点？问题8.6 （2011年深圳市高三第二次调研考试·理）a，b，c三名运动员在某次测试中各射击20次，三人测试成绩的频率分布条形图分别如图5、图6和图7，若sa，sb，sc分别表示他们测试成绩的标准差，则A.saC.sb设问分析指导学生阅读或亲自操作后，画出它们的条形图，观察、比较、总结出样本数据的标准差与其条形图之间关系的特点，并能对类似问题做出正确判断，从而培养学生数学建模和几何直观的能力．3.4 引导小结，内化反思模式（1）获得样本数据的数字特征的目的何在？（2）有哪些数字特征？（3）怎样才能获得样本的数字特征？4 达标检测，培养应用能力图8（1）某地卫生局要对三千多名餐饮服务员的年龄进行调查，从中随机抽出100名，已知抽到的服务员年龄都在区间［20，45）内. 现根据调查数据绘出了一个残缺的频率分布直方图（图8），但可估计这个样本的中位数大约是A.31.6岁B.32.6岁C.33.6岁D.36.6岁（2）（2012安徽卷·理）甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如下图所示，则甲乙A. 甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B. 甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C. 甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D. 甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差（3）（2008海南、宁夏卷改编）从甲、乙两种棉花中各随机抽测了25根棉花的纤维长度（单位： mm），并绘制成茎叶图，试选择较优的品种，并说明原因．5 教学后记任何一堂课总会有些遗憾，任何一种教学模式总是有些不足，“导学评析教学模式”及其具体的实施效果也会存在问题，同样应在不断地摸索、实验中发展，直至完善.因此，课后应根据当时的教学情况写出“成败得失”，主要包括学生的学与思、教师的指导评析、师生的配合、引导学生研究问题的方式方法是否恰当、学生的创新思维是否得到了激励、是否让学生感受到了数学建模的意识或文化氛围，等等．。