解三角形应用题的解题思路分析

解三角形应用题的解题思路分析

正弦、余弦定理在实际生活中有着极其广泛的应用，对经过抽象、概括最终转化为三角形中的边角问题的实际问题的求解十分有效，本文略谈一下解三角形问题的解题思路，以供参考。

思路一：解三角函数应用题要通过审题领会其中的数的本质，将问题中的边角关系与三角形联系起来，确定以什么样的三角形为模型，需要哪些定理或边角关系列出等量或不等量关系的解题思路,然后寻求变量之间的关系，也即抽象出数学问题。

例1 如图，为了计算北江岸边两景点B 与C 的距离，由于地形的限，

制需要在岸上选取A 和D 两个测量点，现测得AD CD ⊥，10AD km =，

14AB km =，60BDA ︒∠= ，135BCD ︒∠=，求两景点B 与C 的距离

（假设,,,A B C D 在同一平面内，测量结果保留整数；参考数据：

2 1.414,

3 1.732,5 2.236===）

分析：把“两景点B 与C 的距离”确定为以三角形BCD 为模型即在三角形BCD 内求解。 解：在△ABD 中，设BD=x ，则BDA AD BD AD BD BA ∠⋅⋅-+=cos 2222， 即 60cos 1021014222⋅⋅-+=x x 整理得：096102=--x x

解之：161=x ，62-=x （舍去），由正弦定理，得：BCD

BD CDB BC ∠=∠sin sin , ∴2830sin 135

sin 16=⋅= BC ≈11(km). 答：两景点B 与C 的距离约为11.km.

思路二：解三角函数应用题要要充分运用数形结合的思想、图形语言和符号语言等方式来思考解决问题；再次，讨论对数学模型的性质对照讨论变量的性质，从而得到的是数学参数值；最后，按题目要求作出相应的部分问题的结论.

例2 用同样高度的两个测角仪AB 和CD 同时望见气球E 在它们的正西方向的上空，分别测得气球的仰角是α和β,已知B 、D 间的距离为a ，测角仪的高度是b ，求气球的高度.

分析：在Rt△EGA 中求解EG ，只有角α一个条件，需要再有一边长被确定，而△EAC 中有较多已知条件，故可在△EAC 中考虑EA 边长的求解，而在△EAC 中有角β，∠EAC ＝180°－α两角与BD ＝a 一边，故可以利用正弦定理求解EA.

解：在△ACE 中，AC ＝BD ＝a ，∠ACE ＝β，∠AEC ＝α－β，

根据正弦定理，得AE ＝ a sin βsin （α－β）

在Rt△AEG 中，EG ＝AEsin α＝a sin αsin βsin （α－β）

∴EF ＝EG ＋b ＝a sin αsin βsin （α－β）

＋b 。 答：气球的高度是a sin αsin βsin （α－β）

＋b. 思路三：解三角形时，通常会遇到两种情况：①已知量与未知量全部集中在一个三角形

中，此时应直接利用正弦定理或余弦定理;②已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解.

（1）已知量与未知量全部集中在一个三角形中的情况

例3 在奥运会垒球比赛前，C 国教练布置战术时，要求击球手以与连结本垒及游击手的直线成15°的方向把球击出，根据经验及测速仪的显示，通常情况下球速为游击手最大跑速的4倍，问按这样的布置，游击手能不能接着球？（如图所示）

分析：在三角形△AOB 中运用正弦定理求解问题。

解：设游击手能接着球，接球点为B ，而游击手从点A 跑出，本垒为O 点（如图所示）.设从击出球到接着球的时间为t ，球速为v ，则∠AOB＝15°，OB ＝vt ，4v AB t ≤

⋅。 在△AOB 中，由正弦定理得sin sin15

OB AB OAB =∠， 62sin sin1562/44

OB vt OAB AB vt -∠=≥⋅=- 而2(62)84384 1.741-=->-⨯>，即sin∠OAB>1,

∴这样的∠OAB 不存在，因此游击手不能接着球.

（2）已知量与未知量涉及两个或几个三角形的情况

例4 在海岛A 上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P ，上午11时，测得一轮船在岛北30°东，俯角为30°的B 处，到11时10分又测得该船在岛北60°西、俯角为60°的C 处。

(1)求船的航行速度是每小时多少千米； (2)又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的D 处，问此时船距岛A 有多远？ 分析：解答该题要涉及三角形Rt △P AC 、△ACB 、△ACD 。 解析 (1)在Rt △P AB 中，∠APB =60° P A =1，∴AB =3 (千米) 在Rt △P AC 中，∠APC =30°，∴AC =3

3 (千米)。 西

D C B 北A

P 东

在△ACB 中，∠CAB =30°+60°=90° ∴()3

303332222=+

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=AB AC BC ，30261330=÷（千米／时）。 (2)∠DAC =90°－60°=30°

sin DCA =sin(180°－∠ACB )=sin ACB =1010

3330

3==BC AB sin CDA =sin(∠ACB －30°)=sin ACB ·cos30°－cos ACB ·sin30°10103= 20

10)133()10103(121232-=-⋅- 在△ACD 中，据正弦定理得CDA

AC DCA AD sin sin =， ∴133920

10

)133(1010333sin sin +=-⋅=⋅=CDA DCA AC AD 答 此时船距岛A 为1339+千米