直角三角形性质与判定优质课件

探 索 新 知
条件和两个角是对顶角，那么它们相等，
探 索 新 知
如果两个角相等，那么它们是对顶角；
如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧， 如果小明发烧，那么他一定患了肺炎； 三角形中相等的边所对的角相等， 三角形中相等的角所对的边相等. 上面每组中两个命题的条件和结论之间也有 类似的关系吗?
命题:两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等.
这是一个假命题,只要举一个反例即可.如图:
B B′ B′
A
●
(1)
C A′
●
(2)
C′
A′
●
(3)
C′
感悟导入
题称为另一个命题的逆命题.
定理与逆定理
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它是一个定 理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称另一个定理的逆 定理.
同学们 再见
独立练习1
分
析
书P16随2.在△ABC中，已知AB=13cm， A BC=10cm，BC边上的中线AD=12cm. 求证：AB=AC. 证明：∵BD=CD，BC=10cm(已 知)，∴ BD=CD=5cm(等式性 B C D 在△ 质). ABD中 ∵ ， AD2+BD2=122+52＝144+25=169， AB2=132=169. ∴AD2+BD2=AB2. ∴△ABD是直角三角形(如果三角形两边的平方和等于第三 边平方， 那么这个三角形是直角三角形). ∴∠ADC=90 0 ∴由勾股定理得AC2=DC2+AD2=122+52＝ 144+25=169. ∴AC=13 ∴AB=AC
N
B
M A
C
动动手 做一做
Step1:画∠MCN=90°; Step2:在射线CM上截取CA=4cm; Step3:以A为圆心，5cm为半径画弧，交射线CN于B; Step4:连结AB; △ABC即为所要画的三角形
N
B
M
A
C
动动手 做一做 比比看
把我们刚画好的直角三角形剪下来，和同桌的比比看， 这些直角三角形有怎样的关系呢？
根据ASA,AAS可测量。 根据SAS可测量其余两边与这两边的夹角。
（2）如果他只带一个卷尺，能完成这个任务吗? 工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直 角边和斜边,发现它们分别对应相等。于是，他 就肯定“两个直角三角形是全等的”。
斜边和一条直角边对应相等→ 两个直角三角形全等
你相信这个结论吗？
动动手 做一做

AB=A B BC=BC
A
C B′
∴Rt△ABC≌ Rt△ABC(HL) A ′
C′
1.2 直角三角形（2）
学习目标
1.会证明直角三角形全等的判定定理； 2.会用判定定理（HL）解决有关问题。
43
预习展示
1、三角形全等的判定方法有哪些？
2、两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等? 3、如果其中一边的所对的角是直角呢?
AB AB(等式的性质)
在ABC和ABC 中 AB AB AC AC BC BC
你 能 ABC ABC(SSS ) C C 90 (全等三角形的对应角相等) 吗？
o
ABC是直角三角形.
你 能 ABE 180 ABC EBD 180 ABC BAC 90 吗？ 1 1 S AB BE c
o o
1 1 S梯形ABDE (b a )(a b) (a b) 2 2 2 ABC BED ABC BED，BAC EBD，BE AB c
北师大版 八年级下册
复习旧知
相等 ，对 1、全等三角形的对应边 ---------, 相等 应角----------2、判定三角形全等的方法有：
SAS、ASA、AAS、SSS
3.直角三角形
A
直 角 边 斜边 直角边
C
B
探究新知
舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人 员想知道两个直角三角形是否全等，但每个三 角形都有一条直角边被花盆遮住,无法测量。 (1) 你能帮他想个办法吗？
∴B1C1=AB1/2=7.5÷2＝3.75
独立作业3
作 业 分 析
D1
B1 D B B1
5.如图，正四棱柱的底面边长为5cm，侧 A1 棱长为8cm，一只蚂蚁欲从正四棱柱的底 面上的点A沿棱柱侧面到点C1处吃食物， 那么它需要爬行的最短路径是多少？ 解：如下图，将四棱柱的侧面展开，连结AC1.A
2、在△ABC中∠A=30°, ∠B=60°,则∠A+∠B= ∠C=__, △ABC是 三角形。 3、通过1、2的练习，我们发现在△ABC中如果∠A+∠B= °，那么这个△ABC是 三角形。 A
°
°
有两个角互余的三角形是直角三角形 4、小结：
C B
你记得勾股定理的内容吗？
如果直角三角形两直角边分别为a、b，
独立作业2
作
业
分
析
2.一个直角三角形房梁如图所示，其中 BC⊥AC，∠A=300，AB=10m， CB1⊥AB， B1C1⊥AC，垂足为B1，C1， 那么BC的长是多少？B1C1呢？
解：∵BC⊥AC，∠A=300，AB=10m
∴ BC=AB/2=10÷2＝5
又∵CB1⊥AB，∠BCB1=900-600=300 ∴BB1=BC/2=5÷2＝2.5 ∴AB1=AB-BB1=10-2.5=7.5
有！
开启
智慧
命题与逆命题
在两个命题中，如果一个命题的条件和结
结 论
论分别是另一个命题的结论和条件，那么这
两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另
一个命题的逆命题.
你能写出命题“如果两个有理数相等， 那么它们的平方相等”的逆命题吗?
考 考 你
如果两个有理数的平方相等，那么它 们相等.
NO!!!
它们都是真命题吗?
巩 固 练 习
(1)四边形是多边形； (2)两直线平行，同旁内角互补； (3)如果ab=0，那么a=0，b=0.
小结 展
拓
回 味 无 穷
勾股定理：
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
勾股定理的逆定理：
如果三角形两边的平方和等于第三边平方， 那么这个三角 形是直角三角形.
命题与逆命题
在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命 题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命
勾股定理及其逆定理、
考 考 你
“两直线平行，内错角相等.”与“内错 角相等，两直线平行.”
你还能举出一些例子吗?
想一想：
考 考 你
互逆命题与互逆定理有何关系?
一个命题一定有逆命题，但一个定理
不一定有逆定理. 逆定理一定是逆命题，但逆命题不一 定是逆定理.
书P16随 3：
说出下列合理的逆命题，并判断每对 逆命题的真假：
用三角板和圆规，画一个Rt△ABC,使得∠C=90°,一 直角边CA=4cm,斜边AB=5cm.
B
5cm
A
4cm
C
动动手 做一做
Step1:画∠MCN=90°;
N
M
C
动动手 做一做
Step1:画∠MCN=90°; Step2:在射线CM上截取CA=4cm;
N
M A
C
动动手 做一做
Step1:画∠MCN=90°; Step2:在射线CM上截取CA=4cm; Step3:以A为圆心，5cm为半径画弧，交射线CN于B;
o
2 2 S梯形ACDE S ABE S ABC S BED 1 1 1 1 (a b) 2 c 2 ab ab 2 2 2 2 a2 b2 c2
ABE
2
勾股定理
直角三角形两条直角
边的平方和等于斜边的平方.
结 论
如图，在ABC中， C 90o BC AC AB (直角三
C1
C
AC 10cm，CC1 8cm AC1
2
D1
164 2 41勾股定理 .
AC 2 CC1 10 2 82
A1
C1
答：蚂蚁需要爬行的短路径是2 41 cm.
D A B C
老师提示： 对于空间图形需要动手操作，将其转化为平面图形来解决 .
第2课时 直角三角形的全等判定
想一想：
考 考 你
一个命题是真命题，它逆命题是真命
题还是假命题?
可能是真命题，也可能是假命题.
开启
智慧
定理与逆定理
一个命题是真命题，它逆命题却不一定
结 论
是真命题.
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，
那么它是一个定理，这两个定理称为互逆定
理，其中一个定理称另一个定理的逆定理.
我们已经学习了一些互逆的定理，如：
课前检测一
1、在Rt△ABC中 , ∠C=90°, ∠A=40° , 则∠B=— — 2、在Rt△ABC中 , ∠C=90°, ∠A=35°, 则∠B=— — 互余 3、你发现：在Rt△ABC中 , ∠C=90°, 则∠ A+∠B=— — 4、你总结：在直角三角形中，两个锐角——
A
C
B
课前检测二
1、在△ABC中∠A=20°, ∠B=70°,则∠A+∠B= ∠C=__ , △ABC是 三角形。
c b
a
第 一 章 证 明 （ 二）
2 直角三角形（一）
勾股定理 证明：直角三角形两条直角边的平方和等 于斜边的平方.
你 已知：如图，在ABC中，C 90 ， BC a，AC b，AB c. 能 求证：a b c . 吗？