1高考湘教考苑数学一轮复习教材研读：第二章第六节对数与对数函数含解析

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高三数学一轮复习第2章函数、导数及其应用第6课时对数与对数函数精品理

心尺引州丑巴孔市中潭学校第2章第6课时(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题1．函数y ＝2－xlg x 的定义域是( )A ．{x |0＜x ＜2}B ．{x |0＜x ＜1或1＜x ＜2}C ．{x |0＜x ≤2}D ．{x |0＜x ＜1或1＜x ≤2}解析：要使函数有意义只需要⎩⎪⎨⎪⎧ 2－x ≥0x ＞0lg x ≠0解得0＜x ＜1或1＜x ≤2，∴定义域为{x |0＜x ＜1或1＜x ≤2}．答案： D2．设a ＝lg e ，b ＝(lg e)2，c ＝lg e ，那么( )A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．c ＞a ＞bD ．c ＞b ＞a解析： ∵0＜lg e ＜1，∴lg e ＞12lg e ＞(lg e)2.∴a ＞c ＞b .答案： B3．假设函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的反函数，其图象经过点(a ，a )，那么f (x )＝()A ．log 2x B.12xC ．log 12x D ．x 2解析：由题意f (x )＝log a x ，∴a ＝log a a 12＝12，∴f (x )＝log 12x .答案： C4．0＜log a 2＜log b 2，那么a 、b 的关系是( )A ．0＜a ＜b ＜1B ．0＜b ＜a ＜1C ．b ＞a ＞1D ．a ＞b ＞1解析：由得，0＜1log 2a ＜1log 2b⇒log 2a ＞log 2b ＞0.∴a ＞b ＞1.答案： D5．函数y ＝log 22－x2＋x 的图象( )A ．关于原点对称B ．关于直线y ＝－x 对称C ．关于y 轴对称D ．关于直线y ＝x 对称解析： ∵f (x )＝log 22－x2＋x ，∴f (－x )＝log 22＋x 2－x ＝－log 22－x2＋x .∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．应选A.答案： A6．(2021·卷)设函数f (x )＝假设f (a )＞f (－a )，那么实数a 的取值范围是()A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1)解析：假设a ＞0，那么由f (a )＞f (－a )得log 2a ＞log 12a ＝－log 2a ，即log 2a ＞0，∴a ＞1.假设a ＜0，那么由f (a )＞f (－a )得log 12(－a )＞log 2(－a )，即－log 2(－a )＞log 2(－a )，∴log 2(－a )＜0，∴0＜－a ＜1，即－1＜a ＜0.综上可知，－1＜a ＜0或a ＞1.答案： C二、填空题7．设g (x )＝⎩⎨⎧ e x，x ≤0，ln x ，x ＞0，那么g ⎣⎡⎦⎤g ⎝⎛⎭⎫12＝________.解析： g ⎝⎛⎭⎫12＝ln 12＜0，∴g ⎣⎡⎦⎤g ⎝⎛⎭⎫12＝g ⎝⎛⎭⎫ln 12＝e ln 12＝12. 答案： 128．函数y ＝log 3(x 2－2x )的单调减区间是________．解析：令u ＝x 2－2x ，那么y ＝log 3u . ∵y ＝log 3u 是增函数，u ＝x 2－2x ＞0的减区间是(－∞，0)， ∴y ＝log 3(x 2－2x )的减区间是(－∞，0)．答案： (－∞，0)9．函数f (x )＝⎩⎨⎧ 3x ＋1 x ≤0log 2x x ＞0，那么使函数f (x )的图象位于直线y ＝1上方的x 的取值范围是________．解析：当x ≤0时，由3x ＋1＞1，得x ＋1＞0，即x ＞－1.∴－1＜x ≤0.当x ＞0时，由log 2x ＞1，得x ＞2.∴x 的取值范围是{x |－1＜x ≤0或x ＞2}．答案： {x |－1＜x ≤0或x ＞2}三、解答题10．f (x )＝log a (a x －1)(a ＞0，且a ≠1)． (1)求f (x )的定义域；(2)讨论函数f (x )的单调性．【解析方法代码108001018】解析： (1)由a x －1＞0，得a x＞1.当a ＞1时，x ＞0；当0＜a ＜1时，x ＜0.∴当a ＞1时，f (x )的定义域为(0，＋∞)；当0＜a ＜1时，f (x )的定义域为(－∞，0)．(2)当a ＞1时，设0＜x 1＜x 2，那么1＜a x 1＜a x 2，故0＜a x 1－1＜a x 2－1， ∴log a (a x 1－1)＜log a (a x 2－1)，∴f (x 1)＜f (x 2)，故当a ＞1时，f (x )在(0，＋∞)上是增函数．类似地，当0＜a ＜1时，f (x )在(－∞，0)上为增函数．11．f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)，如果对于任意的x ∈⎣⎡⎦⎤13，2都有|f (x )|≤1成立，试求a 的取值范围．【解析方法代码108001019】解析： ∵f (x )＝log a x ，那么y ＝|f (x )|的图象如右图．由图示，要使x ∈⎣⎡⎦⎤13，2时恒有|f (x )|≤1，只需⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫13≤1，即－1≤log a 13≤1，即log a a －1≤log a 13≤log a a ，亦当a ＞1时，得a －1≤13≤a ，即a ≥3；当0＜a ＜1时，得a －1≥13≥a ，得0＜a ≤13. 综上所述，a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，13∪[3，＋∞)． 12．函数f (x )＝log 4(ax 2＋2x ＋3)． (1)假设f (1)＝1，求f (x )的单调区间；(2)是否存在实数a ，使f (x )的最小值为0？假设存在，求出a 的值；假设不存在，说明理由．解析： (1)∵f (1)＝1，∴log 4(a ＋5)＝1，因此a ＋5＝4，a ＝－1，这时f (x )＝log 4(－x 2＋2x ＋3)．由－x 2＋2x ＋3＞0得－1＜x ＜3，函数定义域为(－1,3)．令g (x )＝－x 2＋2x ＋3. 那么g (x )在(－∞，1)上递增，在(1，＋∞)上递减，又y ＝log 4x 在(0，＋∞)上递增，所以f (x )的单调递增区间是(－1,1)，递减区间是(1,3)．(2)假设存在实数a 使f (x )的最小值为0，那么h (x )＝ax 2＋2x ＋3应有最小值1，因此应有⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，12a －44a ＝1，解得a ＝12. 故存在实数a ＝12使f (x )的最小值等于0.。

2020版高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第6节对数与对数函数教学案含解析理

第六节对数与对数函数[考纲传真] 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,10，12的对数函数的图象.3.体会对数函数是一类重要的函数模型.4.了解指数函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数．1．对数指数函数y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称．[常用结论]1．换底公式的两个重要结论 (1)log a b ＝1log b a； (2)log am b n＝n mlog a b.其中a ＞0且a ≠1，b ＞0且b ≠1，m ，n ∈R . 2．对数函数的图象与底数大小的关系如图，作直线y ＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0＜c ＜d ＜1＜a ＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)log 2x 2＝2log 2x . ( ) (2)当x ＞1时，log a x ＞0.( )(3)函数y ＝lg(x ＋3)＋lg(x －3)与y ＝lg[(x ＋3)(x －3)]的定义域相同．( )(4)对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，－1，函数图象不在第二、三象限．( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2．已知a ＝2-13，b ＝log 213，c ＝log 1213，则( )A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞bD [∵0＜a ＝2-13＜20＝1，b ＝log 213＜log 21＝0，c ＝log 1213＞log 1212＝1，∴c ＞a ＞b.]3．已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a ＞0，a ≠1)的图象如图所示，则下列结论成立的是( )A ．a ＞1，c ＞1B ．a ＞1,0＜c ＜1C ．0＜a ＜1，c ＞1D ．0＜a ＜1,0＜c ＜1D [由图象可知y ＝log a (x ＋c )的图象是由y ＝log a x 的图象向左平移c 个单位得到的，其中0＜c ＜1.再根据单调性可知0＜a ＜1.]4．(教材改编)若log a 34＜1(a ＞0，且a ≠1)，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34 B ．(1，＋∞)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34∪(1，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1 C [当0＜a ＜1时，log a 34＜log a a ＝1，∴0＜a ＜34；当a ＞1时，log a 34＜log a a ＝1，∴a ＞1.即实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34∪(1，＋∞)．] 5．计算：2log 510＋log 514＝________，2log 43＝________.2 3 [2log 510＋log 514＝log 5⎝⎛⎭⎪⎫102×14＝2，因为log 43＝12log 23＝log 23，所以2log 43＝2log 23＝3.]1．(lg 2)22 [原式＝lg 2(lg 2＋lg 50)＋lg 25＝2lg 2＋2lg 5＝2.]2．2log 23＋log 43＝________. 33 [原式＝2log 23·2log 43＝3·2log 23＝3 3.]3．log 23·log 38＋(3)log 34＝________. 5 [原式＝3log 23·log 32＋3log 32＝3＋2＝5.]4．设2a ＝5b＝m ，且1a ＋1b＝2，则m ＝________.10 [∵ 2a ＝5b＝m ，∴a ＝log 2m ，b ＝log 5m ， ∴1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2， ∴m ＝10.]将真数化为底数的指数幂的形式进行化简；将同底对数的和、差、倍合并；利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，用及变形应用；利用常用对数中的【例1】 (1)(2019·大连模拟)函数y ＝lg|x －1|的图象是( )AB CD(2)(2019·厦门模拟)当0＜x ≤12时，4x＜log a x ，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 B.⎝⎛⎭⎪⎫22，1 C ．(1，2) D ．(2，2)(3)函数y ＝log a (x －2)＋2恒过定点P ，则点P 的坐标为________．(1)A (2)B (3)(3,2) [(1)函数y ＝lg|x －1|的图象可由函数y ＝lg|x |的图象向右平移1个单位得到，故选A.(2)构造函数f (x )＝4x 和g (x )＝log a x ，要使0＜x ≤12时，4x＜log a x ，只需f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上的图象在g (x )的图象下方即可．当a ＞1时不满足条件；当0＜a ＜1时，画出两个函数在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上的图象，可知只需f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，即2＜log a 12，则a ＞22，所以a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1.(3)由x －2＝1得x ＝3，当x ＝3时，y ＝2，则点P 的坐标为(3,2)．] 在识别函数图象时，与坐标轴的交点、最高点、最低点等排除不符合要求的选项一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解 (1)(x )＝aA BC D(2)函数y ＝log 2(x ＋1)的图象恒过定点P ，则点P 的坐标为________．(3)若不等式(x －1)2＜log a x 在x ∈(1,2)内恒成立，则实数a 的取值范围为________． (1)A (2)(0,0) (3)(1,2] [(1)由函数f (x )的解析式可确定该函数为偶函数，图象关于y 轴对称．设g (x )＝log a |x |，先画出x ＞0时，g (x )的图象，然后根据g (x )的图象关于y 轴对称画出x ＜0时g (x )的图象，最后由函数g (x )的图象向上整体平移一个单位即得f (x )的图象，结合图象知选A.(2)由x ＋1＝1得x ＝0，当x ＝0时，y ＝0，则点P 的坐标为(0,0)．(3)设f 1(x )＝(x －1)2，f 2(x )＝log a x ，要使当x ∈(1,2)时，不等式(x －1)2＜log a x 恒成立，只需f 1(x )＝(x －1)2在(1,2)上的图象在f 2(x )＝log a x 图象的下方即可．当0＜a ＜1时，显然不成立；当a ＞1时，如图所示，要使x ∈(1,2)时，f 1(x )＝(x －1)2的图象在f 2(x )＝log a x 的图象下方，只需f 1(2)≤f 2(2)，即(2－1)2≤log a 2，log a 2≥1，所以1＜a ≤2，即实数a 的取值范围是(1,2]．]►考法1 【例2】 (1)已知a ＝log 29－log 23，b ＝1＋log 27，c ＝12＋log 213，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．c ＞a ＞bD ．c ＞b ＞a(2)设a ＝log 3π，b ＝log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞b C ．b ＞a ＞cD ．b ＞c ＞a(1)B (2)A [(1)a ＝log 29－log 23＝log 233，b ＝1＋log 27＝log 227，c ＝12＋log 213＝log 226，因为函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数，且27＞33＞26，所以b ＞a ＞c ，故选B.(2)b ＝log 23＝12log 23＞12，c ＝log 32＝12log 32＜12，则b ＞c ，又a ＝log 3π＞log 33＝1，b ＝log 23＜log 22＝1，因此a ＞b ＞c ，故选A.►考法2 解对数不等式【例3】 (1)(2018·江苏高考)函数f (x )＝log 2x －1的定义域为________．(2)设函数f (x )＝若f (a )＞f (－a )，则实数a 的取值范围是________．(1)[2，＋∞) (2)(－1,0)∪(1，＋∞) [(1)由题意知，log 2x －1≥0，即log 2x ≥log 22. 解得x ≥2，即函数f (x )的定义域为[2，＋∞)．(2)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，log 2a ＞－log 2a 或即⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，log 2a ＞0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，log 2－a ＜0，解得a ＞1或－1＜a ＜0.]►考法3 复合函数的单调性、值域或最值【例4】函数f (x )＝log 12 (－x 2＋4x ＋5)的单调递增区间为________，值域为________．(2,5) [2log 123，＋∞) [由－x 2＋4x ＋5＞0，解得－1＜x ＜5.二次函数y ＝－x 2＋4x ＋5的对称轴为x ＝2.由复合函数单调性可得函数f (x )＝log 12(－x 2＋4x ＋5)的单调递增区间为(2,5)．又－x 2＋4x ＋5＝－(x －2)2＋9≤9，所以f (x )≥log 129＝2log 123，即函数f (x )的值域为[2log 123，＋∞)．](1)(2018·天津高考)已知a ＝log 372，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1413，c ＝log 1315，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞b(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x，x ≤1，1－log 2x ，x ＞1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是( ) A ．[－1,2] B ．[0,2] C ．[1，＋∞)D ．[0，＋∞)(3)若f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上递减，则a 的取值范围为( ) A ．[1,2) B ．[1,2] C ．[1，＋∞)D ．[2，＋∞)(1)D (2)D (3)A [(1)c ＝log 1315＝log 35，则log 35＞log 372＞log 33＝1，又⎝ ⎛⎭⎪⎫1413＜⎝ ⎛⎭⎪⎫140＝1，因此c ＞a ＞b ，故选D.(2)当x ≤1时，21－x≤2，解得x ≥0，所以0≤x ≤1；当x ＞1时，1－log 2x ≤2，解得x ≥12，所以x ＞1.综上可知x ≥0.(3)令函数g (x )＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a )2＋1＋a －a 2，对称轴为x ＝a ，要使函数在(－∞，1]上递减，则有⎩⎪⎨⎪⎧g＞0，a ≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧2－a ＞0，a ≥1，解得1≤a ＜2，即a ∈[1,2)．]1．(2016·全国卷Ⅰ)若a ＞b ＞0,0＜c ＜1，则( ) A ．log a c ＜log b c B ．log c a ＜log c b C ．a c＜b cD ．c a＞c bB [∵0＜c ＜1，∴当a ＞b ＞1时，log a c ＞log b c ，A 项错误； ∵0＜c ＜1，∴y ＝log c x 在(0，＋∞)上单调递减，又a ＞b ＞0， ∴log c a ＜log c b ，B 项正确；∵0＜c ＜1，∴函数y ＝x c在(0，＋∞)上单调递增，又∵a ＞b ＞0，∴a c ＞b c，C 项错误；∵0＜c ＜1，∴y ＝c x在(0，＋∞)上单调递减，又∵a ＞b ＞0，∴c a ＜c b，D 项错误．]2．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝log 2(x 2＋a )．若f (3)＝1，则a ＝________. －7 [由f (3)＝1得log 2(32＋a )＝1，所以9＋a ＝2，解得a ＝－7.] 自我感悟：______________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________。

高考文科数学一轮复习经典教案(带详解)第二章第6节：对数与对数函数

第6节对数与对数函数【最新考纲】 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用；2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，10，12的对数函数的图象；3.体会对数函数是一类重要的函数模型；4.了解指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数.【高考会这样考】 1.考查对数函数的图像、性质；2.考查对数方程或不等式的求解；3.考查和对数函数有关的复合函数问题．要点梳理1.对数的概念如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数. 2.对数的性质、换底公式与运算性质(1)对数的性质：①a log a N ＝N ；②log a a b ＝b (a >0，且a ≠1). (2)对数的运算法则如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a MN ＝log a M －log a N ； ③log a M n ＝n log a M (n ∈R )；④log a m M n ＝nm log a M (m ，n ∈R ，且m ≠0).(3)换底公式：log b N ＝log a Nlog ab (a ，b 均大于零且不等于1).3.对数函数及其性质(1)概念：函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞). (2)对数函数的图象与性质4.反函数指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称.[友情提示]1．对数值取正、负值的规律当a>1且b>1或0<a<1且0<b<1时，log a b>0；当a>1且0<b<1或0<a<1且b>1时，log a b<0.2．对数函数的定义域及单调性对数函数y＝log a x的定义域应为{x|x>0}．对数函数的单调性和a的值有关，因而，在研究对数函数的单调性时，要按0<a<1和a>1进行分类讨论．3．关于对数值的大小比较(1)化同底后利用函数的单调性；(2)作差或作商法；(3)利用中间量(0或1)；(4)化同真数后利用图像比较．基础自测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)log2x2＝2log2x.()(2)函数y＝log2(x＋1)是对数函数.()(3)函数y ＝ln1＋x1－x与y ＝ln(1＋x )－ln(1－x )的定义域相同.( ) (4)当x >1时，若log a x >log b x ，则a b >cB.a >c >bC.c >b >aD.c >a >b解析 ∵0<a <1，b <0，c ＝log 1213＝log 23>1.∴c >a >b . 答案 D3.已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a >0，且a ≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( )A.a >1，c >1B.a >1，0<c <1C.0<a <1，c >1D.0<a <1，0<c <1解析由题图可知，函数在定义域内为减函数，所以0<a <1.又当x ＝0时，y >0，即log a c >0，所以0<c <1. 答案 D4.已知函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )，则( ) A.f (x )在(0，2)上单调递增 B.f (x )在(0，2)上单调递减C.y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称D.y ＝f (x )的图象关于点(1，0)对称解析由题意知，f (x )＝ln x ＋ln(2－x )的定义域为(0，2)，f (x )＝ln[x (2－x )]＝ln[－(x －1)2＋1]，由复合函数的单调性知，函数f (x )在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，所以排除A ，B ；又f (2－x )＝ln(2－x )＋ln x ＝f (x )，所以f (x )的图象关于直线x ＝1对称，C 正确，D 错误. 答案 C5.计算：log 222＝________；2log 23＋log 43＝________.解析 log 222＝log 22－log 22＝12－1＝－12； 2log 23＋log43＝2log 23·2log 43＝3×2log 43＝3×2log 23＝3 3.答案－1233错误!题型分类错误!考点突破考点一对数的运算【例1】 (1)计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 14－lg 25÷100－12＝________.(2)设x ，y ，z 为正数，且2x ＝3y ＝5z ，则( ) A.2x <3y <5zB.5z <2x <3yC.3y <5z <2xD.3y <2x <5z解析 (1)原式＝(lg 2－2－lg 52)×10012＝lg ⎝⎛⎭⎫122×52×10＝lg 10－2×10＝－2×10＝－20.(2)令t ＝2x ＝3y ＝5z ，∵x ，y ，z 为正数，∴t >1. 则x ＝log 2t ＝lg t lg 2，同理，y ＝lg t lg 3，z ＝lg tlg 5.∴2x －3y ＝2lg t lg 2－3lg t lg 3＝lg t （2lg 3－3lg 2）lg 2×lg 3＝lg t （lg 9－lg 8）lg 2×lg 3>0，∴2x >3y .又∵2x －5z ＝2lg t lg 2－5lg t lg 5＝lg t （2lg 5－5lg 2）lg 2×lg 5＝lg t （lg 25－lg 32）lg 2×lg 5<0，∴2x <5z ，∴3y <2x <5z . 答案 (1)－20 (2)D规律方法 1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并.2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.3.a b ＝N ⇔b ＝log a N (a >0，且a ≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.【变式练习1】 (1)已知a >b >1.若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a ，则a ＝________，b ＝________.(2)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x，x ≥4，f （x ＋1），x <4，则f (2＋log 23)的值为( )A.24B.16C.12D.8解析 (1)设log b a ＝t ，则t >1，因为t ＋1t ＝52，所以t ＝2，则a ＝b 2.又a b ＝b a ，所以b 2b ＝b b 2，即2b ＝b 2，解得b ＝2，a ＝4.(2)因为3<2＋log 23<4，所以f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)＝23＋log23＝8×2log 23＝24.答案 (1)4 2 (2)A考点二对数函数的图象及应用【例2】 (1)若函数y ＝a |x |(a >0，且a ≠1)的值域为{y |y ≥1}，则函数y ＝log a |x |的图象大致是( )(2)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，x >0，3x ，x ≤0，且关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________.解析 (1)由于y ＝a |x |的值域为{y |y ≥1}， ∴a >1，则y ＝log a x 在(0，＋∞)上是增函数，又函数y ＝log a |x |的图象关于y 轴对称. 因此y ＝log a |x |的图象应大致为选项B.(2)如图，在同一坐标系中分别作出y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图象，其中a表示直线在y轴上截距.由图可知，当a>1时，直线y＝－x＋a与y＝log2x只有一个交点.答案(1)B(2)(1，＋∞)规律方法 1.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.【变式练习2】(1)已知函数f(x)＝log a(2x＋b－1)(a>0，a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是()A.0<a－1<b<1B.0<b<a－1<1C.0<b－1<a<1D.0<a－1<b－1<1(2)函数f(x)＝2ln x的图象与函数g(x)＝x2－4x＋5的图象的交点个数为()A.3B.2C.1D.0解析(1)由函数图象可知，f(x)在R上单调递增，又y＝2x＋b－1在R上单调递增，故a>1.函数图象与y轴的交点坐标为(0，log a b)，由函数图象可知－1<log a b<0，即log a a－1<log a b<log a1，所以，a－1<b<1.综上有0<a－1<b<1.(2)在同一直角坐标系下画出函数f(x)＝2ln x与函数g(x)＝x2－4x＋5＝(x－2)2＋1的图象，如图所示.∵f(2)＝2ln 2>g(2)＝1，∴f(x)与g(x)的图象的交点个数为2.答案(1)A(2)B考点三对数函数的性质及应用(多维探究)命题角度1比较对数值的大小【例3－1】若a>b>0，0<c<1，则()A.log a c <log b cB.log c a <log c bC.a c c b解析由y ＝x c 与y ＝c x 的单调性知，C ，D 不正确； ∵y ＝log c x 是减函数，得log c a <log c b ，B 正确；log a c ＝lg c lg a ，log b c ＝lg clg b ，∵0＜c ＜1，∴lg c ＜0.又a ＞b ＞0，∴lg a ＞lg b ，但不能确定lg a ，lg b 的正负，∴log a c 与log b c 的大小不能确定. 答案 B命题角度2 解对数不等式【例3－2】若log a (a 2＋1)<log a 2a <0，则a 的取值范围是( ) A.(0，1)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 D.(0，1)∪(1，＋∞) 解析由题意得a >0且a ≠1，故必有a 2＋1>2a ，又log a (a 2＋1)<log a 2a <0，所以0<a <1，同时2a >1，∴a >12.综上，a ∈⎝⎛⎭⎫12，1. 答案 C命题角度3 对数型函数性质的综合应用【例3－3】已知函数f (x )＝log a (3－ax ).(1)当x ∈[0，2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由.解 (1)∵a >0且a ≠1，设t (x )＝3－ax ，则t (x )＝3－ax 为减函数，x ∈[0，2]时，t (x )的最小值为3－2a ，当x ∈[0，2]时，f (x )恒有意义，即x ∈[0，2]时，3－ax >0恒成立. ∴3－2a >0.∴a <32.又a >0且a ≠1，∴a ∈(0，1)∪⎝⎛⎭⎫1，32. (2)t (x )＝3－ax ，∵a >0，∴函数t (x )为减函数.∵f (x )在区间[1，2]上为减函数，∴y ＝log a t 为增函数，∴a >1，x ∈[1，2]时，t (x )最小值为3－2a ，f (x )最大值为f (1)＝log a (3－a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2a >0，log a （3－a ）＝1，即⎩⎨⎧a <32，a ＝32.故不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1. 规律方法 1.确定函数的定义域，研究或利用函数的性质，都要在其定义域上进行. 2.如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误.3.在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解.在利用单调性时，一定要明确底数a 的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件.【变式练习3】 (1)设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，则( ) A.a >c >b B.b >c >a C.c >b >aD.c >a >b(2)若函数f (x )＝log a (x 2－26x ＋a )有最小值12，则实数a 的值等于________.解析 (1)a ＝log 32<log 33＝1，b ＝log 52<log 55＝1，又c ＝log 23>log 22＝1，所以c 最大. 由1<log 23<log 25，得1log 23>1log 25，即a >b ，所以c >a >b .(2)令g (x )＝x 2－26x ＋a ，则f (x )＝log a [g (x )]. ①若a >1，由于函数f (x )有最小值12，则g (x )应有最小值a ，而g (x )＝x 2－26x ＋a ＝(x －6)2＋a －6，当x ＝6时，取最小值a －6，因此有⎩⎨⎧a >1，a ＝a －6，解得a ＝9.②若0<a <1，由于函数f (x )有最小值12，则g (x )应有最大值a ，而g (x )不存在最大值，不符合题意，综上，实数a ＝9. 答案 (1)D (2)9错误!课后练习A 组 (时间：40分钟)一、选择题1.“log 2(2x －3)<1”是“4x >8”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析 log 2(2x －3)<1⇔32<x <52.又4x >8⇔x >32，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫32，52⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞，故“log 2(2x －3)<1”是“4x >8”的充分不必要条件. 答案 A2.设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m 等于( ) A.10B.10C.20D.100解析由已知，得a ＝log 2m ，b ＝log 5m ，则1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2.解得m ＝10. 答案 A3.函数f (x )＝x a 满足f (2)＝4，那么函数g (x )＝|log a (x ＋1)|的图象大致为( )解析由f (2)＝2a ＝4，得a ＝2.所以g (x )＝|log 2(x ＋1)|，则g (x )的图象由y ＝|log 2x |的图象向左平移一个单位得到，C 满足. 答案 C4.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，x >0，3－x ＋1，x ≤0，则f (f (1))＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312的值是( )A.5B.3C.－1D.72解析由题意可知f (1)＝log 21＝0， f (f (1))＝f (0)＝30＋1＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312＝3－log 312＋1＝3log 32＋1＝2＋1＝3，所以f (f (1))＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312＝5.答案 A5.已知a ，b >0且a ≠1，b ≠1，若log a b >1，则( ) A.(a －1)(b －1)<0 B.(a －1)(a －b )>0 C.(b －1)(b －a )<0D.(b －1)(b －a )>0解析 ∵a >0，b >0且a ≠1，b ≠1. 由log a b >1得log a ba >0.∴a >1，且b a >1或0<a <1且0<ba <1，则b >a >1或00. 答案 D 二、填空题6.lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝________.解析 lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝lg 52＋lg 22－2＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫52×4－2＝1－2＝－1.答案－17.设f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x ＋a 是奇函数，则使f (x )<0的x 的取值范围是________.解析由f (x )是奇函数可得a ＝－1， ∴f (x )＝lg1＋x1－x，定义域为(－1，1). 由f (x )<0，可得0<1＋x1－x<1，∴－1<x <0.答案 (－1，0)8.若函数f (x )＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋32x (a >0，a ≠1)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞内恒有f (x )>0，则f (x )的单调递增区间为________.解析令M ＝x 2＋32x ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞时，M ∈(1，＋∞)，f (x )>0，所以a >1，所以函数y ＝log a M 为增函数，又M ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋342－916，因此M 的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，＋∞. 又x 2＋32x >0，所以x >0或x <－32，所以函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞).答案 (0，＋∞)三、解答题9.设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0，a ≠1)，且f (1)＝2.(1)求a 的值及f (x )的定义域；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值. 解 (1)∵f (1)＝2，∴log a 4＝2(a >0，a ≠1)，∴a ＝2.由⎩⎨⎧1＋x >0，3－x >0，得－1＜x ＜3， ∴函数f (x )的定义域为(－1，3).(2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2[(1＋x )(3－x )]＝log 2[－(x －1)2＋4]，∴当x ∈(－1，1]时，f (x )是增函数；当x ∈(1，3)时，f (x )是减函数，故函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值是f (1)＝log 24＝2. 10.已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝log 12x . (1)求函数f (x )的解析式；(2)解不等式f (x 2－1)>－2.解 (1)当x <0时，－x >0，则f (－x )＝log 12(－x ).因为函数f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )＝log 12(－x )，所以函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x >0，0，x ＝0，log 12（－x ），x <0.(2)因为f (4)＝log 124＝－2，f (x )是偶函数，所以不等式f (x 2－1)>－2转化为f (|x 2－1|)>f (4).又因为函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数，所以|x 2－1|<4，解得－5<x <5，即不等式的解集为(－5，5).B 组 (时间：20分钟)11.已知函数f (x )＝ln(a x ＋b )(a >0且a ≠1)是R 上的奇函数，则不等式f (x )>a ln a 的解集是( )A.(a ，＋∞)B.(－∞，a )C.当a >1时，解集是(a ，＋∞)，当0<a <1时，解集是(－∞，a )D.当a >1时，解集是(－∞，a )，当0<a <1时，解集是(a ，＋∞)解析依题意，f (0)＝ln(1＋b )＝0，解得b ＝0，于是f (x )＝ln a x ＝x ln a .∴f (x )>a ln a ⇔x ln a >a ln a .当a >1时，x >a ；当0<a <1时，x <a .答案 C12.若函数f (x )＝log 2(x 2－ax －3a )在区间(－∞，－2]上是减函数，则实数a 的取值范围是________.解析由题意得x 2－ax －3a >0在区间(－∞，－2]上恒成立且函数y ＝x 2－ax －3a在(－∞，－2]上递减，则a 2≥－2且(－2)2－(－2)a －3a >0，解得实数a 的取值范围是[－4，4).答案[－4，4)13.已知函数f(x)＝ln x＋1 x－1.(1)求函数f(x)的定义域，并判断函数f(x)的奇偶性；(2)对于x∈[2，6]，f(x)＝ln x＋1x－1>lnm（x－1）（7－x）恒成立，求实数m的取值范围.解(1)由x＋1x－1>0，解得x<－1或x>1，∴函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，当x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，f(－x)＝ln －x＋1－x－1＝lnx－1x＋1＝ln⎝⎛⎭⎪⎫x＋1x－1－1＝－ln x＋1x－1＝－f(x).∴f(x)＝ln x＋1x－1是奇函数.(2)由于x∈[2，6]时，f(x)＝ln x＋1x－1>lnm（x－1）（7－x）恒成立，∴x＋1x－1>m（x－1）（7－x）>0，∵x∈[2，6]，∴0<m<(x＋1)(7－x)在x∈[2，6]上恒成立.令g(x)＝(x＋1)(7－x)＝－(x－3)2＋16，x∈[2，6]，由二次函数的性质可知，x∈[2，3]时函数g(x)单调递增，x∈[3，6]时函数g(x)单调递减，即x∈[2，6]时，g(x)min＝g(6)＝7，∴0<m<7.故实数m的取值范围为(0，7).。

高考数学一轮总复习第2章函数第6节对数与对数函数教师用书

第六节　对数与对数函数考试要求：1．理解对数的概念和运算性质，能用换底公式将一般对数转化为自然对数或常用对数．2．了解对数函数的概念及其单调性．3．知道同底的对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)与指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)互为反函数．一、教材概念·结论·性质重现1．对数的概念一般地，如果a x＝ N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．2．对数的性质与运算法则(1)对数的运算法则如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么①log a(MN)＝log a M＋log a N．②log a＝log a M－log a N．③log a M n＝n log a M (n∈R)．(2)对数的性质①log a1＝0．②log a a＝1．③a log aN＝N．④log a a N＝N(a>0，且a≠1)．(3)对数的换底公式log a b＝(a>0且a≠1，b>0，c>0且c≠1)．3．对数函数(1)一般地，函数y＝log a x(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞)．(2)对数函数的图象与性质值域R性质过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0减函数增函数，且a≠1)的图象过定点(1,0)轴正半轴上的(1,0)．4．反函数一般地，同底的指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的定义域与值域正好互换，图象关于直线y＝ x对称．5．常用结论换底公式的三个重要结论(1)log a b＝．(2)log am b n＝log a b．(3)log a b·log b c·log c d＝log a d．其中a>0且a≠1，b>0且b≠1，c>0且c≠1，m，n∈R．二、基本技能·思想·活动经验1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．(1)log a(MN)＝log a M＋log a N．(　×　)(2)log a x·log a y＝log a(x＋y)．(　×　)(3)对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．(　×　)(4)函数y＝ln与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同．(　√　) 2．已知x·log32＝1，则4x＝( )A．4B．6C．4D．9D　解析：因为x·log32＝1，所以x＝log23，所以4x＝4＝4＝9．故选D．3．若函数y＝f(x)是函数y＝a x(a>0，且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝( )A．log2x B．C．log0.5x D．2x－2A　解析：由题意知f(x)＝log a x(a>0，且a≠1)．因为f(2)＝1，所以log a2＝1．所以a＝2．所以f(x)＝log2x．4．函数y＝lg|x|( )A．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增B．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减C．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减D．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增B　解析：y＝lg|x|是偶函数，由图象知(图略)，函数在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．5．已知函数f(x)＝log2(x2＋a)．若f(3)＝1，则a＝________．－7　解析：因为f(x)＝log2(x2＋a)，且f(3)＝1，所以f(3)＝log2(9＋a)＝1，所以a＋9＝2，所以a＝－7．考点1　对数的运算——基础性1．计算：log29×log34＋2log510＋log50.25＝( )A．0 B．2 C．4 D．6D　解析：原式＝2log23×(2log32)＋log5(102×0.25)＝4＋log525＝4＋2＝6．2．(2021·全国甲卷)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V满足L＝5＋lg V．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为(≈1.259)( )A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6C　解析：由L＝5＋lg V，当L＝4.9时，lg V＝－0.1，则V＝10－0.1＝10＝≈≈0.8．3．(2021·天津卷)若2a＝5b＝10，则＋＝( )A．－1 B．lg 7 C．1 D．log710C　解析：因为2a＝5b＝10，所以a＝log210，b＝log510，所以＋＝＋＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1．1．解决这类问题首先了解代数式的结构，判断是利用对数运算法则，还是换底公式考点2　对数函数的图象及应用——综合性(1)在同一直角坐标系中，f(x)＝kx＋b与g(x)＝log b x的图象如图，则下列关系正确的是( )A．k＜0,0＜b＜1B．k＞0，b＞1C．f g(1)＞0(x＞0)D．x＞1时，f(x)－g(x)＞0D　解析：由直线方程可知，k＞0,0＜b＜1，故选项A，B不正确；又g(1)＝0，故选项C不正确；当x＞1时，g(x)＜0，f(x)＞0，所以f(x)－g(x)＞0，故选项D正确．(2)当0＜x≤时，4x＜log a x，则实数a的取值范围是( )A． B． C．(1，) D．(，2)B　解析：易知0＜a＜1，函数y＝4x与y＝log a x的大致图象如图．由题意可知只需满足log a＞4，解得a＞，所以＜a＜1．故选B．1．将本例(2)中“4x＜log a x”变为“4x＝log a x有解”，则实数a的取值范围为____________．　解析：若方程4x＝log a x在上有解，则函数y＝4x与函数y＝log a x的图象在上有交点．由图象可知解得0＜a≤，即a的取值范围为．2．若本例(2)变为：已知不等式x2－log a x<0对x∈恒成立，则实数a的取值范围为_ _______．　解析：由x2－log a x<0得x2<log a x．设f1(x)＝x2，f2(x)＝log a x，要使x∈时，不等式x2<log a x恒成立，只需f1(x)＝x2在上的图象在f2(x)＝log a x图象的下方即可．当a>1时，显然不成立；当0<a<1时，如图所示．要使x2<log a x在x∈上恒成立，需f1≤f2，所以有≤log a，解得a≥，所以≤a<1．即实数a的取值范围是．1．在同一平面直角坐标系中，函数f(x)＝x a(x>0)，g(x)＝log a x的图象可能是( )A BC DD　解析：由于本题中函数为y＝x a(x>0)与y＝log a x，对于选项A，没有幂函数图象，故错误；对于选项B，由y＝x a(x>0)的图象知a>1，而由y＝log a x的图象知0<a<1，故B 错误；对于选项C，由y＝x a(x>0)的图象知0<a<1，而由y＝log a x的图象知a>1，故C 错误；对于选项D，由y＝x a(x>0)的图象知0<a<1，而由y＝log a x的图象知0<a<1．故选D．2．已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________．(1，＋∞)　解析：问题等价于函数y＝f(x)与y＝－x＋a的图象有且只有一个交点，结合图象可知a>1．考点3　对数函数的性质及应用——应用性考向1　比较大小(1)(2021·新高考全国Ⅱ卷)已知a＝log52，b＝log83，c＝，则下列判断正确的是( )A．c<b<a B．b<a<cC．a<c<b D．a<b<cC　解析：a＝log52<log5＝＝log82<log83＝b，即a<c<b．(2)已知函数f(x)＝log a|x|在(0，＋∞)上单调递增，则( )A．f(3)<f(－2)<f(1)B．f(1)<f(－2)<f(3)C．f(－2)<f(1)<f(3)D．f(3)<f(1)<f(－2)B　解析：因为f(－x)＝log a|－x|＝log a|x|＝f(x)，所以f(x)为偶函数，所以f(－2)＝f(2)．又函数f(x)＝log a|x|在(0，＋∞)上单调递增，所以f(1)<f(2)<f(3)，即f(1)<f(－2)<f(3)．比较对数值大小的常见类型及解题方法常见类型解题方法底数为同一常数可由对数函数的单调性直接进行判断底数为同一字母需对底数进行分类讨论底数不同，真数相同可以先用换底公式化为同底后，再进行比较底数与真数都不同常借助1,0等中间量进行比较考向2　解对数不等式(1)函数y＝的定义域是( )A．[1,2]B．[1,2)C．D．D　解析：由log (2x－1)≥0，得0<2x－1≤1．所以<x≤1．(2)已知不等式log x(2x2＋1)＜log x(3x)＜0成立，则实数x的取值范围是________．　解析：原不等式⇔①或②，解不等式组①得＜x＜，不等式组②无解，所以实数x的取值范围是．1．(2020·全国Ⅰ卷)若2a＋log2a＝4b＋2log4b，则( )A．a＞2b B．a＜2bC．a＞b2D．a＜b2B　解析：2a＋log2a＝4b＋2log4b＝22b＋log2b．令f(x)＝2x＋log2x，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增．又因为22b＋log2b＜22b＋log2b＋1＝22b＋log22b，所以2a＋log2a＜22b＋log22b，即f(a)＜f(2b)，所以a＜2b．2．若log2x＝log3y＝log5z＜－1，则( )A．2x＜3y＜5z B．5z＜3y＜2xC．3y＜2x＜5z D．5z＜2x＜3yB　解析：设log2x＝log3y＝log5z＝t，则t＜－1，x＝2t，y＝3t，z＝5t，因此2x ＝2t＋1,3y＝3t＋1,5z＝5t＋1．又t＜－1，所以t＋1＜0，由幂函数y＝x t＋1的单调性可知5z＜3y＜2x．3．设函数f(x)＝若f(x)≤2，则实数x的取值范围是( )A．[－1，＋∞)B．(0,4]C．[－1,4]D．(－∞，4]C　解析：∵函数f(x)＝∴当x>1时，f(x)≤2即log2x≤2，解得1<x≤4，当x≤1时，f(x)≤2即≤2，解得－1≤x≤1．综上所述，不等式的解集为[－1,4]．故选C．。

2021新高考一轮复习专题2.6 对数及对数函数(解析版)

第六讲对数及对数函数一．对数的概念 (1)对数的定义①一般地，如果a (a >0，a ≠1)的b 次幂等于N ，即a b＝N ，那么称b 是以a 为底N 的对数，记作b ＝log a N ，其中，a 叫做对数的底数，N 叫做真数．②底数的对数是1，即log a a ＝1,1的对数是0，即log a 1＝0. (2)几种常见对数4.对数的性质与运算法则 (1)对数的性质 ①log a Na＝N (a >0且a ≠1，N >0)；②log a a N＝N (a >0且a ≠1)． (2)对数的重要公式①换底公式：log b N ＝log a Nlog a b (a ，b 均大于零且不等于1，N >0)；②log a b ＝1log b a (a ，b 均大于零且不等于1)．(3)对数的运算法则如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a M N＝log a M －log a N ； ③log a M n＝n log a M (n ∈R )； ④log m na M ＝n mlog a M .二．对数函数的定义1.形如y ＝log a x (a >0，a ≠1)的函数叫作对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)． 2．对数函数的图象与性质定义域：(0，＋∞)3.反函数指数函数y ＝a x(a >0且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称．考向一对数的运算【例1】（1）lg 22·lg 250＋lg 25·lg 40＝ . （2）若3a=5b=225，则1a +1b= 。

（4）若log a 2=m ，log a 5=n ，则a 3m+n =( 。

【答案】（1）1 （2）12 （3）40【解析】（1）lg 22·lg 250＋lg 25·lg 40＝lg 22·⎝ ⎛⎭⎪⎫lg1 0004＋(1－lg 2)2·(2lg 2＋1) ＝lg 22·(3－2lg 2)＋(lg 22－2lg 2＋1)·(2lg 2＋1)＝1.（2）∵3a =5b =225∴a =log 3225, b =log 5225则1a+1b=log 2253+log 2255=log 22515=12（3）∵log a 2=m ，log a 5=n ，∴a m =2，a n =5 ∴a 3m+n =a 3m ⋅a n =23⋅5=40【举一反三】1．已知a ＝log 32，那么log 38－2log 36用a 表示为．【答案】 a －2【解析】 log 38－2log 36＝log 323－2(log 32＋log 33) ＝3log 32－2(log 32＋1)＝3a －2(a ＋1)＝a －2. 2．若3x ＝4y＝36，则2x ＋1y＝ .【答案】 1【解析】 3x＝4y＝36，两边取以6为底的对数，得x log 63＝y log 64＝2， ∴2x ＝log 63，2y ＝log 64，即1y ＝log 62，故2x ＋1y＝log 63＋log 62＝1.3．设2a ＝5b＝m ，且1a ＋1b＝2，则m ＝ .【答案】 10【解析】由已知，得a ＝log 2m ，b ＝log 5m ，则1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2.解得m ＝10.4．计算：(1－log 63)2＋log 62·log 618log 64＝ .【答案】 1【解析】原式＝1－2log 63＋(log 63)2＋log 663·log 6(6×3)log 64＝1－2log 63＋(log 63)2＋1－(log 63)2log 64＝2(1－log 63)2log 62＝log 66－log 63log 62＝log 62log 62＝1.5.已知均不为1的正数a ，b ，c 满足a x ＝b y ＝c z，且1x ＋1y ＋1z＝0，求abc 的值．【答案】1【解析】令a x ＝b y ＝c z＝k .由已知k >0且k ≠1，于是x lg a ＝y lg b ＝z lg c ＝lg k ，故1x ＝lg a lg k ，1y ＝lg b lg k ，1z ＝lg c lg k .因为1x ＋1y ＋1z ＝0，所以lg a ＋lg b ＋lg c lg k ＝0，即lg (abc )lg k ＝0.故lg(abc )＝0，得abc ＝1.6.设log a C ，log b C 是方程x 2－3x ＋1＝0的两根，求log a bC 的值．【答案】±55. 【解析】由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧log a C ＋log b C ＝3，log a C ·log b C ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧1log Ca ＋1log Cb ＝3，1log Ca ·log Cb ＝1，于是有⎩⎪⎨⎪⎧log C a ＋log C b ＝3，log C a ·log C b ＝1，(log C a －log C b )2＝(log C a ＋log C b )2－4log C a ·log C b ＝32－4＝5，故log C a －log C b ＝± 5.于是log a bC ＝⎝⎛⎭⎪⎫log C a b －1＝1log C a －log C b ＝±55.7.方程33x －56＝3x －1的实数解为．【答案】 x ＝log 32【解析】原方程可化为2(3x )2＋5·3x－18＝0，即(3x－2)(2·3x＋9)＝0,3x＝2(2·3x＝－9舍去)，得x ＝log 32.考向二对数函数的判断【例2】函数f(x)=(a 2+a −5)log a x 为对数函数，则f(18)等于( )A ．3B ．−3C ．−log 36D ．−log 38 【答案】B【解析】因为函数f(x) 为对数函数，所以函数f(x)系数为1，即a 2+a −5=1，即a =2或−3，因为对数函数底数大于0，所以a =2，f(x)=log 2x ，所以f (18)=−3。

高考数学一轮复习第2章函数、导数及其应用2.6对数与对

(3)作直线y＝1与所给图象相交，交点的横坐标为该对数函数的底数，由此可判断多个对数函数底数的大小关系．
[诊断自测] 1．概念思辨 (1)若logaM2＝logaN2，则M＝N；若M＝N，则logaM2＝ logaN2.( × ) (2)当x>1时，若logax>logbx，则a<b.( × ) x－2 (3)函数f(x)＝lg 与g(x)＝lg (x－2)－lg (x＋2)是同 x＋2 一个函数．( × ) (4)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象过定点(1,0)，
5 4 2．(log32＋log92)· (log43＋log83)＝________.
解析
1 1 1 3 5 原式＝log32＋2log32· log23＋ log23＝ log32· 3 2 6 2
1 (2)(必修A1P75T11)(lg 5)2＋lg 2· lg 50＝________.
解析原式＝(lg 5)2＋lg 2· [lg (2×52)] ＝(lg 5)2＋2lg 5· lg 2＋(lg 2)2 ＝(lg 5＋lg 2)2＝1.
3．小题热身
1 x x≤0， 3 (1)(2017· 衡阳八中一模)f(x)＝ log3xx>0，
(2)(2018· 郑州模拟)已知lg a＋lg b＝0(a>0且a≠1，b>0 且b≠1)，则f(x)＝ax与g(x)＝－logbx的图象可能是( )
1 解析 ∵lg a＋lg b＝0，∴a＝b，又 g(x)＝－logbx＝ log1 x＝logax(x>0)，∴函数 f(x)与 g(x)的单调性相同，故选 B.
b
经典题型冲关
题型 1 对数的运算典例1 (2017· 郑州二检)若正数 a，b 满足 2＋log2a＝3 )

2023年新高考数学一轮复习3-6 对数与对数函数(知识点讲解)含详解

专题3.6 对数与对数函数（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1.对数的运算性质与对数的换底公式相结合考查对数的运算，凸显数学运算的核心素养．2．与不等式等问题相结合考查对数函数的图象及其应用，凸显直观想象、数学运算的核心素养．3．与不等式等问题相结合考查对数函数的单调性、值域等性质，凸显直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养．【知识点展示】1．对数2.对数函数：函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)叫做对数函数 3.对数函数的图象与性质定义域为(0，＋∞)4.常用结论（1）换底公式的三个重要结论 ①log a b ＝1log b a ；②log am b n＝n mlog a b ；③log a b ·log b c ·log c d ＝log a d .（2）底数的大小决定了图象相对位置的高低不论是a ＞1还是0＜a ＜1，在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，如图，0<c <d <1<a 0且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称．【常考题型剖析】题型一对数的概念与性质例1.（2022·浙江·高考真题）已知825,log 3ab ==，则34a b -=（）A ．25B ．5C ．259 D ．53例2．（2021·天津·高考真题）若2510a b ==，则11a b+=（）A ．1-B ．lg 7C ．1D ．7log 10【总结提升】1. 对数式log a N ＝b 是由指数式a b ＝N 变化得来的，两式底数相同，对数式中的真数N 就是指数式中的幂的值，而对数值b 是指数式中的幂指数，对数式与指数式的关系如图：并非所有指数式都可以直接化为对数式．如(－3)2＝9就不能直接写成log (－3)9＝2，只有a ＞0且a ≠1，N ＞0时，才有a x ＝N ⇔x ＝log a N . 2. 对数性质在计算中的应用(1)对数运算时的常用性质：log a a ＝1，log a 1＝0.(2)使用对数的性质时，有时需要将底数或真数进行变形后才能运用；对于多重对数符号的，可以先把内层视为整体，逐层使用对数的性质． 3. 运用对数恒等式时注意事项(1)对于对数恒等式a log a N ＝N 要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为对数的真数．(2)对于指数中含有对数值的式子进行化简，应充分考虑对数恒等式的应用．题型二：对数的化简与求值例3．（2014·四川·高考真题（文））已知0b >，5log b a =，lg b c =，510d =，则下列等式一定成立的是 A ．d ac = B ．a cd = C ．c ad = D ．d a c =+例4.（2014·安徽·高考真题（文））34331654+log log 8145-⎛⎫+= ⎪⎝⎭________. 【规律方法】 1.对数运算的一般思路(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并．(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．2.应用换底公式应注意的事项(1)注意换底公式的正用、逆用以及变形应用．(2)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统一成一种形式，注意转化与化归思想的运用． 3．对数式的条件求值问题要注意观察所给数字特征，分析找到实现转化的共同点进行转化． 4．利用换底公式计算、化简、求值的一般思路：思路一：用对数的运算法则及性质进行部分运算→换成同一底数．思路二：一次性统一换为常用对数(或自然对数)→化简、通分、求值．题型三：对数函数的概念例5．（2010·浙江·高考真题（文））已知函数2()log (1)=+f x x ，若()1f α=，则α=（） A ．0B ．1C ．2D ．3例6．（2010·山东·高考真题（文））函数2()log 31()x f x =+的值域为（）A ．(0,)+∞B ．[0,)+∞C ．(1,)+∞D ．[1,)+∞例7．（2020·北京·高考真题）函数1()ln 1f x x x =++的定义域是____________．题型四：对数函数的图象及应用例8.（2007·湖南·高考真题（文））函数244 1(){431x x f x x x x -≤=-+>，，的图象和函数2()log g x x =的图象的交点个数是 A ．1B ．2C ．3D ．4例9．（2008·山东·高考真题（文））已知函数()log (21)(01)xa f xb a a =+->≠，的图象如图所示，则a b ，满足的关系是（）A ．101a b -<<<B ．101b a -<<<C ．101b a -<<<D ．1101a b --<<<例10．（2012·湖南·高考真题（理））已知两条直线1l ：y =m 和2l ： y=821m +(m ＞0)，1l 与函数2log y x =的图像从左至右相交于点A ，B ，2l 与函数2log y x =的图像从左至右相交于C,D .记线段AC 和BD 在X 轴上的投影长度分别为a ,b ,当m 变化时，ba的最小值为A ．B ．C ．D ．例11.（2022·北京·高三专题练习）已知函数()log (0)1)a f x x a a =>≠且，作出|()|y f x =的大致图像并写出它的单调性；【总结提升】log a y x =的底数变化，其图象具有如下变化规律：（1）上下比较：在直线1x =的右侧，1a >时，底大图低（靠近x 轴）；01a <<时，底大图高（靠近x 轴）．（2）左右比较（比较图象与1y =的交点）：交点横坐标越大，对应的对数函数的底数越大.【特别提醒】对于对数概念要注意以下两点： (1)在函数的定义中，a >0且a ≠1.(2)在解析式y ＝log a x 中，log a x 的系数必须为1，真数必须为x ，底数a 必须是大于0且不等于1的常数．题型五：对数函数的性质及应用例12.（2007·山西·高考真题（理））设，函数在区间上的最大值与最小值之差为，则a =( )A ．B ．2C ．2D ．4例13.（2020·海南·高考真题）已知函数2()lg(45)f x x x =--在(,)a +∞上单调递增，则a 的取值范围是（）A ．(2,)+∞B ．[2,)+∞C ．(5,)+∞D ．[5,)+∞例14.（2020·全国·高考真题（理））已知55<84，134<85．设a =log 53，b =log 85，c =log 138，则（） A ．a >B ．0a b >>C ．0b a >>D ．0b a >>例16．（2011·辽宁·高考真题（理））设函数122,1()1log ,1x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩则满足()2f x ≤的x 取值范围是（）A ．[-1,2]B ．[0,2]C ．[1,+∞）D ．[0,+∞）【总结提升】1.对数值log a x 的符号(x >0，a >0且a ≠1)规律：“同正异负”．(1)当0<x <1,0<a <1或x >1，a >1时，log a x >0，即当真数x 和底数a 同大于(或小于)1时，对数log a x >0，即对数值为正数，简称为“同正”；(2)当0<x <1，a >1或x >1,0<a <1时，log a x <0，即当真数x 和底数a 中一个大于1，而另一个小于1时，也就是说真数x 和底数a 的取值范围“相异”时，对数log a x <0，即对数值为负数，简称为“异负”．因此对数的符号简称为“同正异负”．2.比较对数式大小的类型及相应的方法(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论．(2)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较． (3)若底数与真数都不同，则常借助1,0,-1等中间量进行比较． 3. 解对数不等式的类型及方法（1）形如log a x ＞log a b 的不等式，借助y ＝log a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a ＞1与0＜a ＜1两种情况讨论．（2）形如log a x ＞b 的不等式，需先将b 化为以a 为底的对数式的形式．题型六：对数函数、指数函数图象和性质的综合运用例17.（2013·天津·高考真题（理））0.5()21xf x log x =-的零点个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4例18．（2021·全国·高考真题（文））下列函数中最小值为4的是（） A ．224y x x =++ B ．4sin sin y x x=+ C ．222x x y -=+D ．4ln ln y x x=+例19．（2020·全国·高考真题（理））若2233x y x y ---<-，则（） A ．ln(1)0y x -+>B ．ln(1)0y x -+<C ．ln ||0x y ->D ．ln ||0x y -<例20．（2015·山东·高考真题）已知函数()x f x a =（0a >且1a ≠）在区间[]2,4-上的最大值是16，（1）求实数a 的值；（2）假设函数()()22log 32g x x x a =-+的定义域是R ，求不等式()log 121a t -≤的实数t 的取值范围．【总结提升】1.复合函数y ＝f [g (x )]及其里层函数μ＝g (x )与外层函数y ＝f (μ)的单调性之间的关系(见下表).2.①由f (－x )＝f (x )或f (－x )＝－f (x )直接列关于参数的方程(组)，解之得结果．②由f (－a )＝f (a )或f (－a )＝－f (a )(其中a 是某具体数)得关于参数的方程(组)，解之得结果，但此时需检验． 3.用定义证明形如y ＝log a f (x )函数的单调性时，应先比较与x 1，x 2对应的两真数间的大小关系，再利用对数函数的单调性，比较出两函数值之间的大小关系．专题3.6 对数与对数函数（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1.对数的运算性质与对数的换底公式相结合考查对数的运算，凸显数学运算的核心素养．2．与不等式等问题相结合考查对数函数的图象及其应用，凸显直观想象、数学运算的核心素养．3．与不等式等问题相结合考查对数函数的单调性、值域等性质，凸显直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养．【知识点展示】1．对数2.对数函数：函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)叫做对数函数 3.对数函数的图象与性质定义域为(0，＋∞)4.常用结论（1）换底公式的三个重要结论 ①log a b ＝1log b a ；②log am b n＝n mlog a b ；③log a b ·log b c ·log c d ＝log a d .（2）底数的大小决定了图象相对位置的高低不论是a ＞1还是0＜a ＜1，在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，如图，0<c <d <1<a 0且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称．【常考题型剖析】题型一对数的概念与性质例1.（2022·浙江·高考真题）已知825,log 3ab ==，则34a b -=（）A ．25B ．5C ．259 D ．53【答案】C 【解析】【分析】根据指数式与对数式的互化，幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出．【详解】因为25a=，821log 3log 33b ==，即323b =，所以()()22323232452544392a aa b b b -====．故选：C.例2．（2021·天津·高考真题）若2510a b ==，则11a b+=（）A ．1-B ．lg 7C ．1D ．7log 10【答案】C 【解析】【分析】由已知表示出,a b ，再由换底公式可求. 【详解】2510a b ==，25log 10,log 10a b ∴==，251111lg 2lg 5lg101log 10log 10a b ∴+=+=+==. 故选：C.【总结提升】1. 对数式log a N ＝b 是由指数式a b ＝N 变化得来的，两式底数相同，对数式中的真数N 就是指数式中的幂的值，而对数值b 是指数式中的幂指数，对数式与指数式的关系如图：并非所有指数式都可以直接化为对数式．如(－3)2＝9就不能直接写成log (－3)9＝2，只有a ＞0且a ≠1，N ＞0时，才有a x ＝N ⇔x ＝log a N . 2. 对数性质在计算中的应用(1)对数运算时的常用性质：log a a ＝1，log a 1＝0.(2)使用对数的性质时，有时需要将底数或真数进行变形后才能运用；对于多重对数符号的，可以先把内层视为整体，逐层使用对数的性质． 3. 运用对数恒等式时注意事项(1)对于对数恒等式a log a N ＝N 要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为对数的真数．(2)对于指数中含有对数值的式子进行化简，应充分考虑对数恒等式的应用．题型二：对数的化简与求值例3．（2014·四川·高考真题（文））已知0b >，5log b a =，lg b c =，510d =，则下列等式一定成立的是 A ．d ac = B ．a cd = C ．c ad = D ．d a c =+【答案】B 【解析】【详解】试题分析：5log ,lg b a b c ==相除得55log ,log 10lg b a a b c c ==，又5510,log 10d d =∴=，所以ad cd a c=⇒=.选B.例4. （2014·安徽·高考真题（文））34331654+log log 8145-⎛⎫+= ⎪⎝⎭________. 【答案】278【解析】【详解】试题分析：原式=344332542727log log 134588-⎡⎤⎛⎫+⨯=+=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦【规律方法】1.对数运算的一般思路(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并．(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．2.应用换底公式应注意的事项(1)注意换底公式的正用、逆用以及变形应用．(2)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统一成一种形式，注意转化与化归思想的运用． 3．对数式的条件求值问题要注意观察所给数字特征，分析找到实现转化的共同点进行转化． 4．利用换底公式计算、化简、求值的一般思路：思路一：用对数的运算法则及性质进行部分运算→换成同一底数．思路二：一次性统一换为常用对数(或自然对数)→化简、通分、求值．题型三：对数函数的概念例5．（2010·浙江·高考真题（文））已知函数2()log (1)=+f x x ，若()1f α=，则α=（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】B 【解析】【分析】代入函数式，由对数的定义求解．【详解】由题意2()log (1)1f αα=+=，12α+=，1α=．故选：B ．例6．（2010·山东·高考真题（文））函数2()log 31()x f x =+的值域为（）A ．(0,)+∞B ．[0,)+∞C ．(1,)+∞D ．[1,)+∞【答案】A 【解析】【分析】利用指数函数的性质求得311x +>，再由对数函数的性质可得结果.【详解】 30x >， 311x ∴+>，()2log 310x ∴+>，∴函数()f x 的值域为(0,)+∞. 故选：A例7．（2020·北京·高考真题）函数1()ln 1f x x x =++的定义域是____________．【答案】(0,)+∞ 【解析】【分析】根据分母不为零、真数大于零列不等式组，解得结果. 【详解】由题意得010x x >⎧⎨+≠⎩，0x ∴>故答案为：(0,)+∞题型四：对数函数的图象及应用例8.（2007·湖南·高考真题（文））函数244 1(){431x x f x x x x -≤=-+>，，的图象和函数2()log g x x =的图象的交点个数是 A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】【详解】试题分析：解：在同一坐标系中画出函数的图象和函数g （x ）=log 2x 的图象，如下图所示：由函数图象得，两个函数图象共有3个交点，故选C.例9．（2008·山东·高考真题（文））已知函数()log (21)(01)xa f xb a a =+->≠，的图象如图所示，则a b ，满足的关系是（）A ．101a b -<<，101a -∴<<；取特殊点01log 0a x y b =⇒-<=<， 11log log log 10aa ab a⇒-=<<=，101a b -∴<<<．选A ．例10．（2012·湖南·高考真题（理））已知两条直线1l ：y =m 和2l ： y=821m +(m ＞0)，1l 与函数2log y x =的图像从左至右相交于点A ，B ，2l 与函数2log y x =的图像从左至右相交于C,D .记线段AC 和BD 在X 轴上的投影长度分别为a ,b ,当m 变化时，ba的最小值为A．B．C．D．【答案】B 【解析】【详解】【分析】在同一坐标系中作出y=m ，y=821m +(m ＞0)， 2log y x =图像如下图，由2log x = m ，得122,2mmx x -==， 2log x = 821m +，得 821821342,2m m x x +-+==.依照题意得8218218218212222,22,22m m mmm m m m b a b a++--+--+-=-=-=-821821222m m mm +++==.8141114312122222m m m m +=++-≥-=++， min ()b a∴=【点评】在同一坐标系中作出y=m ，y=821m +(m ＞0)，2log y x =图像，结合图像可解得.例11.（2022·北京·高三专题练习）已知函数()log (0)1)a f x x a a =>≠且，作出|()|y f x =的大致图像并写出它的单调性；【答案】详见解析. 【解析】【分析】分1a >和01a <<，先作出函数()log a f x x =的图象，再得到|()|y f x =的图象求解.【详解】当1a >时，函数()log a f x x =的图象，如图所示：则|()|y f x =的图象，如图所示：由图象知：|()|y f x =在()0,1上递减，在()1,+∞上递增；当01a <<时，函数()log a f x x =的图象，如图所示：则|()|y f x =的图象，如图所示：由图象知：|()|y f x =在()0,1上递减，在()1,+∞上递增；【总结提升】log a y x =的底数变化，其图象具有如下变化规律：（1）上下比较：在直线1x =的右侧，1a >时，底大图低（靠近x 轴）；01a <<时，底大图高（靠近x 轴）．（2）左右比较（比较图象与1y =的交点）：交点横坐标越大，对应的对数函数的底数越大.【特别提醒】对于对数概念要注意以下两点： (1)在函数的定义中，a >0且a ≠1.(2)在解析式y ＝log a x 中，log a x 的系数必须为1，真数必须为x ，底数a 必须是大于0且不等于1的常数．题型五：对数函数的性质及应用例12.（2007·山西·高考真题（理））设，函数在区间上的最大值与最小值之差为，则a =( )A ．B ．2C ．2D ．4【答案】D 【解析】【详解】试题分析：设，函数为上的增函数，则在区间上的最小值为，最大值为，则，即为，解得，故选D ．例13.（2020·海南·高考真题）已知函数2()lg(45)f x x x =--在(,)a +∞上单调递增，则a 的取值范围是（） A ．(2,)+∞ B ．[2,)+∞C ．(5,)+∞D ．[5,)+∞【答案】D 【解析】【分析】首先求出()f x 的定义域，然后求出2()lg(45)f x x x =--的单调递增区间即可.【详解】由2450x x -->得5x >或1x <- 所以()f x 的定义域为(),1(5,)-∞-⋃+∞ 因为245y x x =--在(5,)+∞上单调递增所以2()lg(45)f x x x =--在(5,)+∞上单调递增所以5a ≥ 故选：D例14.（2020·全国·高考真题（理））已知55<84，134<85．设a =log 53，b =log 85，c =log 138，则（） A ．a ，综合可得出a 、b 、c 的大小关系. 【详解】由题意可知a 、b 、()0,1c ∈，()222528log 3lg 3lg81lg 3lg8lg 3lg8lg 241log 5lg 5lg 522lg 5lg 25lg 5a b ⎛⎫⎛⎫++⎛⎫==⋅<⋅==<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，a b ∴<；由8log 5b =，得85b =，由5458<，得5488b <，54b ∴<，可得45b <；由13log 8c =，得138c =，由45138<，得451313c <，54c ∴>，可得45c >.综上所述，a b c <<. 故选：A.例15.（2022·全国·高考真题（文））已知910,1011,89m m m a b ==-=-，则（） A ．0a b >> B ．0a b >>C ．0b a >>D ．0b a >>【答案】A 【解析】【分析】根据指对互化以及对数函数的单调性即可知9log 101m =>，再利用基本不等式，换底公式可得lg11m >，8log 9m >，然后由指数函数的单调性即可解出．【详解】由910m=可得9lg10log 101lg 9m ==>，而()222lg9lg11lg99lg9lg111lg1022+⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以lg10lg11lg 9lg10>，即lg11m >，所以lg11101110110m a =->-=．又()222lg8lg10lg80lg8lg10lg922+⎛⎫⎛⎫<=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以lg9lg10lg8lg9>，即8log 9m >，所以8log 989890m b =-<-=．综上，0a b >>．故选：A.例16．（2011·辽宁·高考真题（理））设函数122,1()1log ,1x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩则满足()2f x ≤的x 取值范围是（）A ．[-1,2]B ．[0,2]C ．[1,+∞）D ．[0,+∞）【答案】D 【解析】【分析】根据函数解析式，结合指对数函数的单调性，讨论不同区间对应()2f x ≤的x 范围，然后取并. 【详解】由1122x x -≤⎧⎨≤⎩，可得01x ≤≤；或211log 2x x >⎧⎨-≤⎩，可得1x >；综上，()2f x ≤的x 取值范围是[0,)+∞. 故选：D 【总结提升】1.对数值log a x 的符号(x >0，a >0且a ≠1)规律：“同正异负”．(1)当0<x <1,0<a <1或x >1，a >1时，log a x >0，即当真数x 和底数a 同大于(或小于)1时，对数log a x >0，即对数值为正数，简称为“同正”；(2)当0<x <1，a >1或x >1,0<a <1时，log a x <0，即当真数x 和底数a 中一个大于1，而另一个小于1时，也就是说真数x 和底数a 的取值范围“相异”时，对数log a x <0，即对数值为负数，简称为“异负”．因此对数的符号简称为“同正异负”．2.比较对数式大小的类型及相应的方法(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论．(2)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较．(3)若底数与真数都不同，则常借助1,0,-1等中间量进行比较． 3. 解对数不等式的类型及方法（1）形如log a x ＞log a b 的不等式，借助y ＝log a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a ＞1与0＜a ＜1两种情况讨论．（2）形如log a x ＞b 的不等式，需先将b 化为以a 为底的对数式的形式．题型六：对数函数、指数函数图象和性质的综合运用例17.（2013·天津·高考真题（理））0.5()21xf x log x =-的零点个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】【分析】由题得0.50.5x log x =，在同一坐标系下，作出函数0,5|log |,0.5xy x y ==的图象，即得解.【详解】令0.50.5()210,0.5x xf x log x log x ==∴=-，在同一坐标系下，作出函数0,5|log |,(0.5)xy x y ==的图象，如图所示，由于0,5|log |,(0.5)xy x y ==的图象有两个交点，所以0.5()21xf x log x =-的零点个数为2,故选：B 例18．（2021·全国·高考真题（文））下列函数中最小值为4的是（） A ．224y x x =++ B ．4sin sin y x x=+ C ．222x x y -=+D ．4ln ln y x x=+【解析】【分析】根据二次函数的性质可判断A 选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出,B D 不符合题意，C 符合题意．【详解】对于A ，()2224133y x x x =++=++≥，当且仅当1x =-时取等号，所以其最小值为3，A 不符合题意；对于B ，因为0sin 1x <≤，4sin 4sin y x x =+≥，当且仅当sin 2x =时取等号，等号取不到，所以其最小值不为4，B 不符合题意；对于C ，因为函数定义域为R ，而20x >，2422242x x x x y -=+=+≥，当且仅当22x =，即1x =时取等号，所以其最小值为4，C 符合题意；对于D ，4ln ln y x x =+，函数定义域为()()0,11,+∞，而ln x R ∈且ln 0x ≠，如当ln 1x =-，5y =-，D 不符合题意．故选：C ．例19．（2020·全国·高考真题（理））若2233x y x y ---<-，则（）A ．ln(1)0y x -+>B ．ln(1)0y x -+<C ．ln ||0x y ->D ．ln ||0x y -<【答案】A【解析】【分析】将不等式变为2323x x y y ---<-，根据()23t t f t -=-的单调性知x y <，以此去判断各个选项中真数与1的大小关系，进而得到结果.【详解】由2233x y x y ---<-得：2323x x y y ---<-，令()23t t f t -=-，2x y =为R 上的增函数，3x y -=为R 上的减函数，()f t ∴为R 上的增函数，x y ∴<，0y x ->，11y x ∴-+>，()ln 10y x ∴-+>，则A 正确，B 错误； x y -与1的大小不确定，故CD 无法确定.【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到,x y 的大小关系，考查了转化与化归的数学思想.例20．（2015·山东·高考真题）已知函数()x f x a =（0a >且1a ≠）在区间[]2,4-上的最大值是16，（1）求实数a 的值；（2）假设函数()()22log 32g x x x a =-+的定义域是R ，求不等式()log 121a t -≤的实数t 的取值范围．【答案】（1）2a =或14；（2）11,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭．【解析】【分析】（1）当01a <<时，由函数()f x 在区间[]2,4-上是减函数求解；，当1a >时，函数()f x 在区间[]2,4-上是增函数求解；（2）根据()()22log 32g x x x a =-+的定义域是R ，由2320x x a -+>恒成立求解．【详解】（1）当01a <<时，函数()f x 在区间[]2,4-上是减函数，因此当2x =-时，函数()f x 取得最大值16，即216a -=，因此14a =．当1a >时，函数()f x 在区间[]2,4-上是增函数，当4x =时，函数()f x 取得最大值16，即416a =，因此2a =．（2）因为()()22log 32g x x x a =-+的定义域是R ，即2320x x a -+>恒成立．则方程2320x x a -+=的判别式∆<0，即()23420a --⨯<，解得98a >，又因为14a =或2a =，因此2a =．代入不等式得()2log 121t -≤，即0122t <-≤，解得11 22t-≤<，因此实数t的取值范围是11,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭．【总结提升】1.复合函数y＝f[g(x)]及其里层函数μ＝g(x)与外层函数y＝f(μ)的单调性之间的关系(见下表).2.①由f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)直接列关于参数的方程(组)，解之得结果．②由f(－a)＝f(a)或f(－a)＝－f(a)(其中a是某具体数)得关于参数的方程(组)，解之得结果，但此时需检验．3.用定义证明形如y＝log a f(x)函数的单调性时，应先比较与x1，x2对应的两真数间的大小关系，再利用对数函数的单调性，比较出两函数值之间的大小关系．。

优化探究2017届高考数学一轮复习第二章第六节对数与对解读

演练冲关
时，常利用数形结合思想． (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
考点二
1 ．已知函数
典题悟法
试题
f(x ) ＝
作出 f()的大致图
解析
象，不妨设 a＜b＜ |lg x|，0＜x≤10， 1 若 a，b， c，因为 a，b，c － x ＋ 6 ， x ＞ 10 ， 2 互不相等，且 f(a)
C
)
B．b＞a＞c D．c＞a＞b
0.2 0.2
的大小即可，可以利用中间值或数形结合进行比较； (3) 先判断函数 φ(x) ＝ xf(x) 的单调性，再根据 20.2，logπ3，log39 的大小关系求解．
(3)已知函数y＝f(x)的图象关于y轴对称，且当x∈(－∞，0)时， f(x)＋xf′(x)＜0成立，a＝(2 )· f(2 )，b＝(logπ3)· f(logπ3)，c＝ (log39)· f(log39)，则a，b，c的大小关系是( A ) A．b＞a＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．a＞c＞b
知识点一
必记结论
知识点一
1．指数式与对数式互化：ax＝N⇔x＝logaN. 2．对数运算的一些结论： n ①logambn＝mlogab.②logab· logba＝1.③logab· logbc· logcd＝logad. 易误提醒在运算性质logaMn＝nlogaM中，易忽视M＞0.
知识点二
lgx－1，x＞1， lg1－x，x＜1.
演练冲关
当 x＝1 时，函数无意义，故排除 B、D. 又当 x＝2 或 0 时，y＝0，所以 A 项符合题意．
考点二
试题

【高考讲坛】高考数学一轮复习第2章第6节对数与对数函数课件理苏教版

【变式训练 1】
(1)(2013· 陕西高考)设 a，b，c 均为不等于 1
的正实数，则下列等式中恒成立的是________． ① logab· logcb ＝ logca ； ② logab· logca ＝ logcb ； ③ loga(bc) ＝ logab· logac；④loga(b＋c)＝logab＋logac. (2)(log32＋log92)· (log43＋log83)＝________. (3)已知 logax＝1，logbx＝2，logcx＝3，则 logabcx＝________.
y＜0
.
在(0，＋∞)上为减函数
4.反函数指数函数 y＝ax(a>0 且 a≠1)与对数函数 y＝logax (a>0 且 a≠1) 互为反函数，它们的图象关于直线 y＝x 对称．
1．(夯基释疑)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)log2x2＝2log2x.( ) )
固基础 · 自主落实
第六节
对数与对数函数
启智慧 · 高考研析
提知能 · 典例探究
课后限时自测
内容考纲传真对数对数函数的图象与性质
要 A B
求 C √ √
1．对数的概念如果 ab＝N(a＞0 且 a≠1)，那么 b 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 b＝logaN .
对数运算
16 3 5 4 (1)(2014· 安徽高考 ) 81 － 4 ＋ log3 4 ＋ log3 5 ＝
1 1＋2lg 9－lg 240 (2) 2 36＝________. 1－3lg 27＋lg 5 (3)已知 log2 3＝m，log3 7＝n，则 log4256＝________.

高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第6节对数与对数函数教师用书文北师大版

高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第6节对数与对数函数教师用书文北师大版[考纲传真] 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.2.理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图像通过的特殊点.3.知道对数函数是一类重要的函数模型.4.了解指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数(a>0，且a≠1)．1．对数的概念如果ab＝N(a＞0且a≠1)，那么b叫作以a为底N的对数，记作logaN＝b，其中a叫作对数的底数，N叫作真数．2．对数的性质、换底公式与运算性质(1)对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a＞0，且a≠1)．(2)换底公式：logab＝(a，c均大于0且不等于1，b＞0)．(3)对数的运算性质：如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：①loga(M·N)＝logaM＋logaN；②logaMn＝nlogaM(n∈R)；③loga＝logaM－logaN.3．对数函数的定义、图像与性质4.反函数指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)互为反函数，它们的图像关于直线y＝x对称．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)log2x2＝2log2x.( )(2)当x＞1时，logax＞0.( )(3)函数y＝lg(x＋3)＋lg(x－3)与y＝lg[(x＋3)(x－3)]的定义域相同．( )(4)对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)的图像过定点(1,0)，且过点(a,1)，，函数图像不在第二、三象限．( )[答案] (1)×(2)×(3)×(4)√2．已知a＝2－，b＝log2，c＝log，则( )A．a＞b＞c B．a＞c＞bC．c＞b＞a D．c＞a＞bD [∵0＜A＝2－＜20＝1，B＝LOG2＜LOG21＝0，C＝LOG＞LOG ＝1，∴c＞a＞b.]图2613．已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a＞0，a≠1)的图像如图261，则下列结论成立的是( )A．a＞1，c＞1B．a＞1,0＜c＜1C．0＜a＜1，c＞1D．0＜a＜1,0＜c＜1D [由图像可知Y＝LOGA(X＋C)的图像是由Y＝LOGAX的图像向左平移C个单位得到的，其中0＜C＜1.再根据单调性可知0＜A＜1.] 4．(教材改编)若loga＜1(a＞0，且a≠1)，则实数a的取值范围是( )【导学号：66482059】。

高考数学大一轮复习第二章第六节对数与对数函数教师用书理19.doc

第六节对数与对数函数☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆自|主|排|查1．对数的概念(1)对数的定义如果a x＝N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。

(2)几种常见对数(1)对数的性质 ①a log a N ＝N ；②log a a N＝N (a ＞0，且a ≠1)。

(2)对数的重要公式①换底公式：log b N ＝log a Nlog a b (a ，b 均大于零，且不等于1)；②log a b ＝1log b a ，推广log a b·log b c ·log c d ＝log a d 。

(3)对数的运算法则如果a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a M N＝log a M －log a N ； ③log a M n＝n log a M (n ∈R )； ④log am M n ＝n mlog a M 。

3．对数函数的图象与性质4．y ＝a x与y ＝log a x (a ＞0，a ≠1)的关系指数函数y ＝a x与对数函数y ＝log a x 互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称。

微点提醒1．换底公式的两个重要结论 ①log a b ＝1log b a ；②log am b n＝n m log a b 。

其中a >0，且a ≠1，b >0，且b ≠1，m ，n ∈R 。

2．对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线y ＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数。

故0<c <d <1<a <b 。

由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大。

小|题|快|练一、走进教材1．(必修1P 75A 组T 11改编)(log 29)·(log 34)＝( ) A.14 B.12 C ．2D ．4【解析】 (log 29)·(log 34)＝lg9lg2×lg4lg3＝2lg3lg2×2lg2lg3＝4。

高考数学一轮复习第2章第6讲对数与对数函数课件理

答案
解析
经典题型冲关
题型一对数式的化简与求值 1．已知函数 f(x)＝l3o－gx2＋x，1，x>x0≤，0，则 f[f(1)]＋flog312的值是________．答案 5
答案
解析因为 f(1)＝log21＝0，所以 f[f(1)]＝f(0)＝2.
因为 log321<0，所以 flog312＝3－log3
答案
解析 (1)原式＝lg 2(lg 2＋lg 50)＋lg 52 ＝lg 2×lg 100＋2lg 5 ＝2(lg 2＋lg 5)＝2lg 10＝2. (2)由已知得 lg (xy)＝lg (2x－3y)2，所以 xy＝(2x－3y)2，整理得 4x2－13xy＋9y2＝0，即 4xy2－13×xy＋9＝0，解得xy＝1 或xy＝94.
所以 a
1 2
>14，
解得116<a<1.
即实数 a 的取值范围是116，1.
答案
1．对数函数图象的特征
(1)底数与 1 的大小关系决定了图象的升降，即 a>1 时，图象上升；0<a<1 时，图象下降．
(2)对数函数在同一直角坐标系中的图象如图，其中图象的相对位置与底数大小有关，图中 0<c<d<1<a<b.
2．小题热身 (1)已知 a>0，a≠1，函数 y＝ax 与 y＝loga(－x)的图象可能是( )
答案 B
答案
解析 y＝loga(－x)的定义域是(－∞，0)，所以排除 A，C；对于选项 D，由 y＝ax 的图象知 0<a<1，由 y＝loga(－x)的图象知 a>1，矛盾，故排除 D.故选 B.

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第六节对数与对数函数命题导航考试要点命题预测(1)理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数;了解对数在化简运算中的作用.(2)理解对数函数的概念,理解对数函数的单调性,掌握对数函数图象通过的特殊点.(3)知道对数函数是一类重要的函数模型.(3)了解指数函数y=a x与对数函数y=log a x 互为反函数(a>0,且a ≠1).1.考向预测:①利用对数函数的单调性比较大小;②求对数型函数的定义域、值域及最值;③对数函数性质的应用.2.学科素养:主要考查直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养.1.对数的概念(1)对数的定义:一般地,如果① a x =N(a>0,且a ≠1) ,那么数x 叫做以a 为底N 的对数,记作② x=log a N ,其中③ a 叫做对数的底数,④ N 叫做真数.(2)几种常见的对数: 对数形式特点记法一般对数底数为a(a>0且a ≠1) ⑤ log a N 常用对数底数为10 ⑥ lg N 自然对数底数为e⑦ ln N2.对数的性质与运算法则(1)对数的性质:a log a N =⑧ N ;log a a N =⑨ N .(a>0且a ≠1) (2)对数的重要公式:换底公式:⑩ log b N =log a Nlog ab (a,b 均大于0且不等于1);相关结论:log a b=1log ba ,log ab ·log b c ·log c d= log a d (a,b,c 均大于0且不等于1,d 大于0).(3)对数的运算法则:如果a>0且a ≠1,M>0,N>0,那么 log a (MN)= log a M+log a N ; log a MN = log a M-log a N ; log a M n = nlog a M (n ∈R); lo g a m M n =nm log a M(m,n ∈R,且m ≠0). 3.对数函数的图象与性质a>10<a<1图象性质定义域:(0,+∞)值域:R图象恒过点(1,0),即x=1时,y=0当x>1时,y>0; 当0<x<1时,y<0 当x>1时,y<0; 当0<x<1时,y>0 是(0,+∞)上的增函数是(0,+∞)上的减函数▶提醒当对数函数的底数a 的大小不确定时,需分a>1和0<a<1两种情况进行讨论. 4.反函数指数函数y=a x (a>0,且a ≠1)与对数函数 y=log a x (a>0,且a ≠1)互为反函数,它们的图象关于直线 y=x 对称.知识拓展对数函数的图象与底数大小的比较如图,作直线y=1,则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数,故0<c<d<1<a<b.由此我们可得到以下规律:在第一象限内,从左到右底数逐渐增大.1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”).(1)log a(MN)=log a M+log a N.(✕)(2)log a x·log a y=log a(x+y).(✕)(3)log2x2=2log2x.(✕)(4)若log a m<log a n,则m<n.(✕)(5)函数y=ln1+x与y=ln(1+x)-ln(1-x)的定义域相同.(√)1-x,-1),函数图象经过第一、(6)对数函数y=log a x(a>0,且a≠1)的图象过定点(1,0),且过点(a,1),(1a四象限.(√)π,c=π-2,则a,b,c的大小关系是()2.设a=log2π,b=lo g12A.a>b>cB.b>a>cC.a>c>bD.c>b>a答案C3.计算:log23·log34+(√3)log34=.答案44.函数f(x)=log2x,x≥4的值域为.答案[2,+∞)5.函数y=√log0.5(4x-3)的定义域为.,1]答案(346.(教材习题改编)函数y=log a(4-x)+1(a>0,且a≠1)的图象恒过点.答案 (3,1)对数的概念、性质与运算命题方向一对数的概念与性质典例1 (1)若log a 2=m,log a 5=n,则a 3m+n ( ) A.11B.13C.30D.40(2)已知2a =5b =10,则a+bab = . (3)设52log 5(2x -1)=9,则x= . 答案 (1)D (2)1 (3)2命题方向二对数的运算典例2 计算:(1)(lg 2)2+lg 2·lg 50+lg 25; (2)log 3√2743+lg 5+7log 72+log 23·log 94+lg 2; (3)(log 32+log 92)·(log 43+log 83).解析 (1)原式=(lg 2)2+(1+lg 5)·lg 2+lg 52=(lg 2+lg 5+1)lg 2+2lg 5=(1+1)lg 2+2lg 5=2(lg 2+lg 5)=2. (2)原式=log 3334-1+lg 5+2+lg3lg2·2lg22lg3+lg 2=34-1+(lg 5+lg 2)+2+1=-14+1+3=154.(3)原式=log 32·log 43+log 32·log 83+log 92·log 43+log 92·log 83 =lg2lg3·lg32lg2+lg2lg3·lg33lg2+lg22lg3·lg32lg2+lg22lg3·lg33lg2 =12+13+14+16=1512=54.规律方法对数运算的求解思路(1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后利用对数的运算性质求解.(2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算性质,将其转化为同底数对数真数的积、商、幂的运算.1-1 (1)(lg 5)2+lg 2·lg 5+lg 20-log 23·log 38+2(1+log 25)= .(2)如果45x =3,45y =5,那么2x+y= . 答案 (1)9 (2)1解析 (1)原式=lg 5(lg 5+lg 2)+lg 2+lg 10-log 23·log 28log 23+2·2log 25=1+1-3+10=9.(2)∵45x =3,45y =5,∴x=log 453,y=log 455,∴2x+y=2log 453+log 455=log 459+log 455=log 45(9×5)=1.对数函数的图象及应用典例3 (1)函数f(x)=ln|x-1|的大致图象是( )(2)当0<x ≤12时,4x <log a x(a>0且a ≠1),则a 的取值范围是( ) A.(0,√22) B.(√22,1)C.(1,√2)D.(√2,2)(3)已知函数f(x)=4+log a (x-1)的图象恒过定点P,则点P 的坐标是 . 答案 (1)B (2)B (3)(2,4)解析 (1)当x>1时, f(x)=ln(x-1),又f(x)的图象关于直线x=1对称,故选B.(2)易知0<a<1,函数y=4x与y=log a x 的大致图象如图,则由题意可知只需满足log a 12>412,解得a>√22,∴√22<a<1,故选B.方法技巧对数函数图象的应用方法一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数的图象问题,利用数形结合法求解.2-1函数y=log a x与y=-x+a在同一平面直角坐标系中的图象可能是()答案A对数函数的性质及应用命题方向一比较对数值的大小典例4(1)(2018天津,5,5分)已知a=log2e,b=ln2,c=lo g1213,则a,b,c的大小关系为()A.a>b>cB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b1<1a <1b,则下列结论中正确的是()A.log a b>log b aB.|log a b+log b a|>2C.(log b a)2<1D.|log a b|+|log b a|>|log a b+log b a|答案(1)D(2)AB解析(1)由已知得c=log 23,∵log23>log2e>1,b=ln2<1,∴c>a>b,故选D.(2)∵1<1a <1b ,∴0<b<a<1,则log a b>1,0<log b a<1, ∴log a b>log b a,故A 正确. 由基本不等式得log a b+log b a ≥2√a b ·log b a =2, 当且仅当log a b=log b a 时,等号成立, 又易知其不相等,故B 正确. 0<(log b a)2<1,故C 错误.|log a b|+|log b a|=|log a b+log b a|,故D 错误.命题方向二解简单对数不等式典例5 (1)函数f(x)=√(log 2x)2-1的定义域为( )A.(0,12)B.(2,+∞)C.(0,12)∪(2,+∞)D.(0,12]∪[2,+∞)(2)函数y=√3(2x -1)+1的定义域是( ) A.[1,2] B.[1,2) C.[23,+∞) D.(23,+∞) 答案 (1)C (2)C命题方向三对数函数性质的综合应用典例6 已知函数f(x)=log a (ax 2-x+1)(a>0,且a ≠1). (1)若a=12,求函数f(x)的值域;(2)当f(x)在区间[14,32]上为增函数时,求a 的取值范围. 解析 (1)当a=12时,ax 2-x+1=12x 2-x+1=12[(x-1)2+1]>0恒成立, 故函数f(x)的定义域为R,∵12x 2-x+1=12[(x-1)2+1]≥12,且函数y=lo g 12x 在(0,+∞)上单调递减,∴lo g 12(12x 2-x +1)≤lo g 1212=1,即函数f(x)的值域为(-∞,1].(2)依题意可知,①当a>1时,由复合函数的单调性可知,必有y=ax 2-x+1在[14,32]上单调递增,且ax 2-x+1>0对任意x ∈[14,32]恒成立.故有{x =12a ≤14,a ·(14)2-14+1>0,解得a ≥2; ②当0<a<1时,同理必有y=ax 2-x+1在[14,32]上单调递减,且ax 2-x+1>0对任意x ∈[14,32]恒成立,故有{x =12a ≥32,a ·(32)2-32+1>0,解得29<a ≤13. 综上,实数a 的取值范围是(29,13]∪[2,+∞). 规律方法1.比较对数值的大小的方法(1)若底数为同一常数,则可由对数函数的单调性直接进行判断;若底数为同一字母,则需对底数进行分类讨论.(2)若底数不同,真数相同,则可以先用换底公式化为同底后,再进行比较. (3)若底数与真数都不同,则常借助1,0等中间量进行比较. 2.对数不等式的类型及解法(1)形如log a x>log a b(a>0且a ≠1)的不等式,需借助y=log a x 的单调性求解,如果a 的取值不确定,那么需分a>1与0<a<1两种情况讨论.(2)形如log a x>b 的不等式,需先将b 化为以a 为底的对数式的形式,再求解. 3-1 设a=log 36,b=log 510,c=log 714,则( )A.c>b>aB.b>c>aC.a>c>bD.a>b>c答案 D ∵a=log 36=1+log 32=1+1log 23, b=log 510=1+log 52=1+1log 25,c=log 714=1+log 72=1+1log 27,且log 27>log 25>log 23>0, ∴a>b>c.3-2 已知函数f(x)=ln(2求f(lg 2)+f (lg 12)的值. 解析由√1+9x 2-3x>0恒成立知,函数f(x)的定义域为R, 又f(-x)+f(x)=[ln(√1+9x 2+3x)+1]+[ln(√1+9x 2-3x)+1] =ln[(√1+9x 2+3x)(√1+9x 2-3x)]+2 =ln 1+2=2, 所以f(lg 2)+f (lg 12) =f(lg 2)+f(-lg 2)=2.1.根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361,而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080,则下列各数中与MN 最接近的是(参考数据:lg 3≈0.48)( ) A.1033 B.1053 C.1073 D.1093答案 D 设MN =x=33611080,两边取对数,得lg x=lg 33611080=lg 3361-lg 1080=361×lg 3-80≈93.28, 所以x=1093.28,即MN 最接近1093.2.在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m 2-m 1=52lg E1E 2,其中星等为m k 的星的亮度为E k (k=1,2).已知太阳的星等是-26.7,天狼星的星等是-1.45,则太阳与天狼星的亮度的比值为( ) A.1010.1 B.10.1 C.lg 10.1 D.10-10.1 答案 A 依题意,m 1=-26.7,m 2=-1.45, 所以52·lg E1E 2=-1.45-(-26.7)=25.25,所以 lg E 1E 2=25.25×25=10.1,所以E1E 2=1010.1.故选A.A 组基础题组1.函数y=√log 23(2x -1)的定义域是( )A.[1,2]B.[1,2)C.[12,1] D.(12,1] 答案 D2.log 6[log 4(log 381)]的值为( ) A.-1B.1C.0D.2答案 C3.已知函数y=log a (x+c)(a,c 为常数,其中a>0,且a ≠1)的图象如图,则下列结论成立的是( )A.a>1,c>1B.a>1,0<c<1C.0<a<1,c>1D.0<a<1,0<c<1 答案 D4.(2019河南郑州模拟)设a=log 50.5,b=log 20.3,c=log 0.32,则 ( ) A.b<a<c B .b<c<a C.c<b<a D .a<b<c答案 B a=log 50.5>log 50.2=-1,b=log 20.3<log 20.5=-1,c=log 0.32>log 0.3103=-1,log 0.32=lg2lg0.3, log 50.5=lg0.5lg5=lg2-lg5=lg2lg0.2. ∵-1<lg 0.2<lg 0.3<0, ∴lg2lg0.3<lg2lg0.2,即c<a,故b<c<a.故选B.5.若lg 2=a,lg 3=b,则log 418=( ) A.a+3b a B.a+3b 2a C.a+2ba 2 D.a+2b2a答案 D log 418=lg18lg4=lg2+2lg32lg2.因为lg 2=a,lg 3=b,所以log 418=a+2b2a .故选D.6.已知函数f(x)=log 2(x 2-2x+a)的最小值为2,则a=( )A.4B.5C.6D.7答案 B7.已知函数f(x)=lg 1-x 1+x ,若f(a)=12,则f(-a)=( )A.2B.-2C.12D.-12答案 D ∵f(x)=lg 1-x 1+x 的定义域为{x|-1<x<1},且f(-x)=lg 1+x 1-x =-lg 1-x 1+x =-f(x),∴f(x)为奇函数,∴f(-a)=-f(a)=-12.8.若y=log 13(3x 2-ax+5)在[-1,+∞)上单调递减,则a 的取值范围是( ) A.(-∞,-6) B.(-6,0)C.(-8,-6]D.[-8,-6]答案 C 由题意得a6≤-1,且3x 2-ax+5>0 在[-1,+∞)上恒成立,所以3+a+5>0⇒a>-8, 即-8<a ≤-6,选C.9.设f(x)=lg(10x +1)+ax 是偶函数,那么a 的值为( )A.1B.-1C.12D.-12 答案 D 函数f(x)=lg(10x +1)+ax 的定义域为R,因为f(x)为偶函数,所以f(x)-f(-x)=0,即lg(10x +1)+ax-[lg(10-x +1)+a(-x)]=(2a+1)x=0.从而2a+1=0,a=-12.10.若函数f(x)=log a x(0<a<1)在区间[a,2a]上的最大值是最小值的3倍,则a 的值为 . 答案 √24 11.若log a (a 2+1)<log a (2a)<0,则a 的取值范围是 .答案 (12,1)解析由题意得a>0且a ≠1,故必有a 2+1>2a,又log a (a 2+1)<log a (2a)<0,所以0<a<1, 同时2a>1,所以a>12.综上,a ∈(12,1).12.已知2x ≤16且log 2x ≥12,求函数f(x)=log 2x 2·lo g √2√x 2的值域.解析由2x ≤16,解得x ≤4,∴log 2x ≤2,又log 2x ≥12,∴12≤log 2x ≤2,f(x)=log 2x 2·lo g √2√x 2 =(log 2x-1)(log 2x-2)=(log 2x)2-3log 2x+2=(log 2x -32)2-14,∴当log 2x=32时, f(x)min =-14.又当log 2x=12时, f(x)=34;当log 2x=2时, f(x)=0,∴当log 2x=12时, f(x)max =34.故f(x)的取值范围是[-14,34]. B 组提升题组1.已知f(x)=lo g 12x,则不等式(f(x))2>f(x 2)的解集为( ) A.(0,14) B.(1,+∞)C.(14,1)D.(0,14)∪(1,+∞)答案 D 由(f(x))2>f(x 2)得,(lo g 12x)2>lo g 12x 2⇒lo g 12x(lo g 12x-2)>0,即lo g 12x>2或lo g 12x<0,解得x ∈(0,14)∪(1,+∞).2.设方程10x =|lg(-x)|的两个根分别为x 1,x 2,则( )A.x 1x 2<0B.x 1x 2=0C.x 1x 2>1D.0<x 1x 2<1 答案 D 作出y=10x 与y=|lg(-x)|的大致图象,如图.显然x1<0,x2<0.不妨令x1<x2,则x1<-1<x2<0,所以10x1=lg(-x1),10x2=-lg(-x2),此时10x1<10x2,即lg(-x1)<-lg(-x2),由此得lg(x1x2)<0,所以0<x1x2<1,故选D.3.设x、y、z为正数,且2x=3y=5z,则()A.2x<3y<5zB.5z<2x<3yC.3y<5z<2xD.3y<2x<5z答案D令2x=3y=5z=k(k>1),则x=log 2k,y=log3k,z=log5k,∴2x3y =2lgklg2·lg33lgk=lg9lg8>1,则2x>3y,2x 5z =2lgklg2·lg55lgk=lg25lg32<1,则2x<5z,故选D.4.已知函数f(x)=|log3x|,实数m,n满足0<m<n,且f(m)=f(n),若f(x)在[m2,n]上的最大值为2,则nm=.答案9解析∵f(x)=|log 3x|,实数m,n满足0<m<n,且f(m)=f(n),∴m<1<n,-log3m=log3n,∴mn=1.∵f(x)在区间[m2,n]上的最大值为2,函数f(x)在[m2,1)上是减函数,在(1,n]上是增函数,∴-log3m2=2或log3n=2.若-log3m2=2,则m=13,从而n=3,此时log3n=1=-log3m,符合题意,则nm =3÷13=9;若log 3n=2,则n=9,从而m=19,此时-log 3m 2=4>2,不符合题意.故n m =9.5.已知函数f(x)=3-2log 2x,g(x)=log 2x.(1)当x ∈[1,4]时,求函数h(x)=[f(x)+1]·g(x)的值域;(2)如果对任意的x ∈[1,4],不等式f(x 2)·f(√x )>k ·g(x)恒成立,求实数k 的取值范围. 解析 (1)h(x)=(4-2log 2x)·log 2x=-2(log 2x-1)2+2. 因为x ∈[1,4],所以log 2x ∈[0,2],故函数h(x)的值域为[0,2].(2)由f(x 2)·f(√x )>k ·g(x)得(3-4log 2x)(3-log 2x)>k ·log 2x.令t=log 2x,因为x ∈[1,4],所以t=log 2x ∈[0,2],所以(3-4t)(3-t)>k ·t 对一切t ∈[0,2]恒成立. 当t=0时,k ∈R;当t ∈(0,2]时,k<(3-4t)(3-t)t 恒成立, 即k<4t+9t -15恒成立.因为4t+9t ≥12,当且仅当4t=9t ,即t=32时取等号,所以(4t +9t -15)min =-3,则k<-3.综上,k ∈(-∞,-3).。