高中数学北师大版选修1-2练习：第四章 数系的扩充与复数的引入1.1-1.2 Word版含解析
北师大版数学高二-数学北师大版选修1-2练习 第四章 数系的扩充与复数的引入 (2)
习题课 复 数 明目标、知重点 1.巩固复数的概念和几何意义.2.理解并能进行复数的四则运算并认识复数加减法的几何意义．1．复数的四则运算若两个复数z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i(a 1，b 1，a 2，b 2∈R )(1)加法：z 1＋z 2＝(a 1＋a 2)＋(b 1＋b 2)i ；(2)减法：z 1－z 2＝(a 1－a 2)＋(b 1－b 2)i ；(3)乘法：z 1·z 2＝(a 1a 2－b 1b 2)＋(a 1b 2＋a 2b 1)i ；(4)除法：z 1z 2＝a 1a 2＋b 1b 2a 22＋b 22＋a 2b 1－a 1b 2a 22＋b 22i(z 2≠0)； (5)实数四则运算的交换律、结合律、分配律都适合于复数的情况；(6)特殊复数的运算：i n (n 为正整数)的周期性运算；(1±i)2＝±2i ；若ω＝－12±32i ，则ω3＝1,1＋ω＋ω2＝0. 2．共轭复数与复数的模(1)若z ＝a ＋b i ，则z ＝a －b i ，z ＋z 为实数，z －z 为纯虚数(b ≠0)．(2)复数z ＝a ＋b i 的模|z |＝a 2＋b 2，且z ·z ＝|z |2＝a 2＋b 2.3．复数加、减法的几何意义(1)复数加法的几何意义若复数z 1、z 2对应的向量OZ 1→、OZ 2→不共线，则复数z 1＋z 2是以OZ 1→、OZ 2→为两邻边的平行四边形的对角线OZ →所对应的复数．(2)复数减法的几何意义复数z 1－z 2是连接向量OZ 1→、OZ 2→的终点，并指向Z 1的向量所对应的复数．题型一 复数的四则运算例 1 (1)计算：－23＋i 1＋23i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2 012＋(4－8i )2－(－4＋8i )211－7i； (2)已知z ＝1＋i ，求z 2－3z ＋6z ＋1的模． 解 (1)原式＝i (1＋23i )1＋23i ＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2 1 006＋ (4－8i ＋8i －4)(4－8i ＋4－8i )11－7i＝i ＋(－i)1 006＋0＝－1＋i.(2)z 2－3z ＋6z ＋1＝(1＋i )2－3(1＋i )＋62＋i ＝3－i 2＋i＝1－i ， ∴z 2－3z ＋6z ＋1的模为 2. 反思与感悟 复数的除法运算是复数运算中的难点，如果遇到(a ＋b i)÷(c ＋d i)的形式，首先应该写成分式的形式，然后再分母实数化．跟踪训练1 (1)已知z1＋i ＝2＋i ，则复数z 等于( ) A ．－1＋3i B ．1－3iC ．3＋iD ．3－i答案 B解析 方法一 ∵z1＋i ＝2＋i ，∴z ＝(1＋i)(2＋i)＝2＋3i －1＝1＋3i ，∴z ＝1－3i. 方法二 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，∴z ＝a －b i ，∴a －b i 1＋i ＝2＋i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1b ＝－3，z ＝1－3i. (2)i 为虚数单位，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 011等于( ) A ．－i B ．－1 C ．i D ．1答案 A 解析 因为1＋i 1－i ＝(1＋i )21－i 2＝i ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 011＝i 2 011＝i 4×502＋3＝i 3＝－i ，故选A. 题型二 复数的几何意义的应用例2 已知点集D ＝{z ||z ＋1＋3i|＝1，z ∈C }，试求|z |的最小值和最大值．解 点集D 的图像为以点C (－1， －3)为圆心，1为半径的圆，圆上任一点P 对应的复数为z ，则|OP →|＝|z |.由图知，当OP 过圆心C (－1，－3)时，与圆交于点A 、B ，则|z |的最小值是|OA |＝|OC |－1＝(－1)2＋(－3)2－1＝2－1＝1，即|z |min ＝1；|z |的最大值是|OB |＝|OC |＋1＝2＋1＝3，即|z |max ＝3. 反思与感悟 复数和复平面内的点，以原点为起点的向量一一对应；复数加减法符合向量运算的平行四边形法则和三角形法则：|z 1－z 2|表示复数z 1，z 2对应的两点Z 1，Z 2之间的距离． 跟踪训练 2 已知复数z 1，z 2满足|z 1|＝3，|z 2|＝5，|z 1－z 2|＝10，求|z 1＋z 2|的值．解 如图所示，设z 1，z 2对应点分别为A ，B ，以OA →，OB →为邻边作▱OACB ，则OC →对应的复数为z 1＋z 2.这里|OA →|＝3，|OB →|＝5，|BA →|＝10.∴cos ∠AOB ＝|OA →|2＋|OB →|2－|BA →|22|OA →||OB →|＝32＋52－102×3×5＝45. ∴cos ∠OBC ＝－45.又|BC →|＝|OA →|＝3， ∴|z 1＋z 2|＝|OC →|＝|OB →|2＋|BC →|2－2|OB →||BC →|cos ∠OBC ＝58.题型三 有关两个复数相等的问题例 3 设复数z 和它的共轭复数z 满足4z ＋2z ＝33＋i ，求复数z .解 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )．因为4z ＋2z ＝33＋i ，所以2z ＋(2z ＋2z )＝33＋i.2z ＋2z ＝2(a ＋b i)＋2(a －b i)＝4a ，整体代入上式，得2z ＋4a ＝33＋i.所以z ＝33－4a 2＋i 2. 根据复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝33－4a 2，b ＝12.解得⎩⎨⎧ a ＝32，b ＝12.所以z ＝32＋i 2. 反思与感悟 两个复数相等是解决复数问题的重要工具．“复数相等”可以得到两个实数等式，为应用方程思想提供了条件，常用于确定系数，解复数方程等问题．跟踪训练3 关于x 的方程x 2＋(3＋2i)x ＋3a i ＝0有非零实根，求实数a 的值及方程的实数根．解 设方程的实数根为b (b ≠0)，代入方程x 2＋(3＋2i)x ＋3a i ＝0，化为b 2＋3b ＋(2b ＋3a )i ＝0.所以⎩⎪⎨⎪⎧b 2＋3b ＝0，2b ＋3a ＝0.已知b ≠0，解得b ＝－3，a ＝2. 故实数a 的值及方程的实数根分别为2和－3.1．若z ∈C ，且|z ＋2－2i|＝1，则|z －2－2i|的最小值是( )A ．2B ．3C ．4D ．5答案 B2．已知复数z ＝1＋2i 1－i，则1＋z ＋z 2＋…＋z 2 014为( ) A ．1＋i B ．1－iC ．iD ．1答案 C3．设复数z 满足关系：z ＋|z |＝2＋i ，那么z 等于( )A ．－34＋i B.34＋i C ．－34－i D.34－i 答案 B解析 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由已知a ＋b i ＋a 2＋b 2＝2＋i由复数相等可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋a 2＋b 2＝2b ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝34b ＝1， 故z ＝34＋i. 4．已知z 1＝1＋2i ，z 2＝m ＋(m －1)i ，且两复数的乘积z 1z 2的实部和虚部为相等的正数，则实数m 的值为________．答案 34 解析 z 1z 2＝(1＋2i)[m ＋(m －1)i]＝[m －2(m －1)]＋[2m ＋(m －1)]i ＝(2－m )＋(3m －1)i ，所以2－m ＝3m －1，即m ＝34，且能使2－m ＝3m －1>0，满足题意． 5．设复数z ＝1＋i ，且z 2＋az ＋b z 2－z ＋1＝1－i ，求实数a ，b 的值． 解 因为z ＝1＋i ，所以z 2＋az ＋b ＝(a ＋2)i ＋a ＋b ，z 2－z ＋1＝i ，所以z 2＋az ＋b z 2－z ＋1＝a ＋b ＋(a ＋2)i i ＝(a ＋2)－(a ＋b )i. 又z 2＋az ＋b z 2－z ＋1＝1－i. 所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋2＝1，－(a ＋b )＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2.[呈重点、现规律]1．复数的四则运算按照运算法则和运算律进行运算，其中除法运算的关键是将分母实数化；2．复数的几何意义是数形结合思想在复数中的一大体现；3．利用两个复数相等可以解决求参数值(或范围)和复数方程等问题．一、基础过关1．复数1－2＋i ＋11－2i的虚部是( ) A.15i B.15C ．－15iD ．－15答案 B解析 1－2＋i ＋11－2i＝－2－i 5＋1＋2i 5＝－15＋15i.故选B. 2．复数2＋i 1－2i的共轭复数是( ) A ．－35i B.35i C ．－i D ．i答案 C3．若(m 2－5m ＋4)＋(m 2－2m )i>0，则实数m 的值为( )A ．1B ．0或2C ．2D ．0答案 D解析 由⎩⎪⎨⎪⎧m 2－5m ＋4>0m 2－2m ＝0，得m ＝0. 4．设a ，b ∈R 且b ≠0，若复数(a ＋b i)3是实数，则( )A ．b 2＝3a 2B ．a 2＝3b 2C ．b 2＝9a 2D ．a 2＝9b 2答案 A解析 若(a ＋b i)3＝(a 3－3ab 2)＋(3a 2b －b 3)i 是实数，则3a 2b －b 3＝0.由b ≠0，得b 2＝3a 2.故选A.5．设i 是虚数单位，复数1＋a i 2－i为纯虚数，则实数a ＝______. 答案 2解析 设1＋a i 2－i＝b i(b ∈R 且b ≠0)，则1＋a i ＝b i(2－i)＝b ＋2b i ，所以b ＝1，a ＝2. 6．复平面内点A 、B 、C 对应的复数分别为i 、1、4＋2i ，由A →B →C →D 按逆时针顺序作平行四边形ABCD ，则|BD →|＝________.答案 13解析 设D 点对应复数为z ，∵AB →＝DC →，∴1－i ＝－z ＋(4＋2i)，∴z ＝3＋3i ，∴BD →对应的复数为2＋3i ，∴|BD →|＝13.7．已知a ∈R ，则z ＝(a 2－2a ＋4)－(a 2－2a ＋2)i 所对应的点在第几象限？复数z 对应的点的轨迹是什么？解 ∵a 2－2a ＋4＝(a －1)2＋3≥3，－(a 2－2a ＋2)＝－(a －1)2－1≤－1，∴复数z 的实部为正数，虚部为负数，∴复数z 的对应点在第四象限．设z ＝x ＋y i(x 、y ∈R )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a 2－2a ＋4，y ＝－(a 2－2a ＋2)消去a 2－2a 得：y ＝－x ＋2(x ≥3)． ∴复数z 的对应点的轨迹是一条射线，方程为y ＝－x ＋2(x ≥3)．二、能力提升8．在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 D解析 (2－i)2＝4－4i ＋i 2＝3－4i ，∴对应点坐标(3，－4)，位于第四象限．9.设i 是虚数单位.z 是复数z 的共轭复数．若z ·z i ＋2＝2z ，则z 等于( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i答案 A解析 设z ＝a ＋b i ，a ，b ∈R代入z ·z i ＋2＝2z ，整理得：(a 2＋b 2)i ＋2＝2a ＋2b i则⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝2a 2＋b 2＝2b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝1，因此z ＝1＋i. 10．已知复数z ＝5i 1＋2i(i 是虚数单位)，则|z |＝________. 答案 5 解析 |z |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪5i 1＋2i ＝|5i||1＋2i|＝55＝ 5. 11．设复数z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i，若z 2＋a ·z ＋b ＝1＋i ，求实数a ，b 的值． 解 z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i ＝2i ＋3－3i 2＋i ＝3－i 2＋i＝(3－i )(2－i )5＝1－i. 因为z 2＋a ·z ＋b ＝1＋i ，所以(1－i)2＋a (1－i)＋b ＝1＋i.所以(a ＋b )－(a ＋2)i ＝1＋i.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，－(a ＋2)＝1，解得a ＝－3，b ＝4. 即实数a ，b 的值分别是－3,4.12.在复平面内，O 是原点，向量OA →对应的复数是2＋i.(1)如果点A 关于实轴的对称点为B ，求向量OB →对应的复数；(2)如果(1)中点B 关于虚轴的对称点为C ，求点C 对应的复数．解 (1)设所求向量OB →对应的复数为z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则点B 的坐标为(a ，b )．已知A (2,1)，由对称性可知a ＝2，b ＝－1.所以OB →对应的复数为z 1＝2－i.(2)设所求点C 对应的复数为z 2＝c ＋d i(c ，d ∈R )，则C (c ，d )．由(1)，得B (2，－1)．由对称性可知，c ＝－2，d ＝－1.故点C 对应的复数为z 2＝－2－i.三、探究与拓展13.是否存在复数z ，使其满足z ·z ＋2i z ＝3＋a i ？如果存在，求实数a 的取值范围；如果不存在，请说明理由．解 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则原条件等式可化为x 2＋y 2＋2i(x －y i)＝3＋a i.由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＋2y ＝3，2x ＝a .消去x ，得y 2＋2y ＋a 24－3＝0. 所以当Δ＝4－4⎝⎛⎭⎫a 24－3＝16－a 2≥0，即－4≤a ≤4时，复数z 存在．故存在满足条件的复数z ，且实数a 的取值范围为－4≤a ≤4.。
北师大版数学选修1-2练习(第4章)数系的扩充与复数的引入(2)(含答案)
第四章 数系的扩充与复数的引入 同步练习(二)说明:本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答.共100分，考试时间90分钟.第Ⅰ卷(选择题 共40分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)1、设,,,a b c R ∈则复数()()a bi c di ++为实数的充要条件是（ ）A 、0ad bc -=B 、0ac bd -=C 、0ac bd +=D 、0ad bc +=2 ）A 、iB 、i -C iD i3、若复数z 满足方程022=+z ，则3z 的值为（ ）A 、22±B 、22-C 、i 22-D 、i 22±4、对于任意的两个实数对（a,b ）和(c,d),规定（a,b ）＝(c,d)当且仅当a ＝c,b ＝d;运算“⊗”为：),(),(),(ad bc bd ac d c b a +-=⊗，运算“⊕”为：),(),(),(d b c a d c b a ++=⊕，设R q p ∈,，若)0,5(),()2,1(=⊗q p 则=⊕),()2,1(q p （ ）A 、)0,4(B 、)0,2(C 、)2,0(D 、)4,0(-5、适合方程02=--i z z 的复数z 是（ ）A 、i 2163+ B 、i 2163- C 、i 2163-- D 、i 2163+±6、2)1(3i -＝ ( ) A 、32i B 、－32i C 、i D 、－i7、i 是虚数单位，=+ii 1（ ） A 、i 2121+ B 、i 2121+- C 、i 2121- D 、i 2121--8、如果复数2()(1)m i mi ++是实数，则实数m =（ ）A 、1B 、1-C 、9、已知复数z 满足3i ）z ＝3i ，则z ＝（ ）A 、322－B 、344iC 、322D 、344＋10、在复平面内，复数1i i +对应的点位于 ( ) A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限第Ⅱ卷(非选择题 共60分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11、已知11m ni i =-+，m n i 其中，是实数，是虚数单位，m ni +=则__________12、在复平面内，若复数z 满足|1|||z z i +=-，则z 所对应的点的集合构成的图形是 。
(常考题)北师大版高中数学选修1-2第四章《数系的扩充与复数的引入》测试(包含答案解析)
一、选择题1．1z 2z 是复数，则下列结论中正确的是（ ）A ．若22120z z +>，则2212z z >-B ．12||z z -=C ．22121200z z z z +=⇔==D ．2211||||z z = 2．复数1cos isin z x x =-，2sin icos z x x =-，则12z z ⋅=（ ）A ．4B ．3C ．2D ．13．设复数z 满足()12z i i ⋅-=+，则z 的虚部是（ ）A ．32B ．32iC ．32-D ．32i - 4．设z 是复数，从z ，z ，z ，2||z ，2||z ，2||z ，z z ⋅中选取若干对象组成集合，则这样的集合最多有（ ）A ．3个元素B ．4个元素C ．5个元素D ．6个元素5．若1+是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，则（ ） A ．2,3b c == B ．2,1b c ==-C ．2,1b c =-=-D ．2,3b c =-= 6．设m R ∈，复数()23521z m m i m =-++-，则z 在复平面内的对应点一定不在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 7．若复数z 满足2z i z i ++-=，则复数z 在复平面上所对应的图形是（ ） A ．椭圆B ．双曲线C ．直线D ．线段 8．已知21z i i=++，则复数z =（ ）A B ．2 C ．13i - D ．13i + 9．已知i 为虚数单位，若复数1()1ai z a R i -=∈+的实部为-2，则z =（ ）A ．5BCD ．1310．设i 为虚数单位，则复数1i z =-的模z =（ ）．A ．1BC ．2D ．11．i 为虚数单位，复数512i +的共轭复数是（ ） A ．12i -B ．12i +C ．2i -D ．2i + 12．若34sin cos 55i z θθ⎛⎫-+- =⎪⎝⎭是纯虚数，则tan 4πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A ．17- B ．-1 C ．73- D ．-7二、填空题13．已知复数z 满足|1|1z i -+=，则|2 3 |z i +-的最小值为___________．14．若复数z 满足1z =，则1z i -+的最大值是______．15．设m R ∈，若z 是关于x 的方程2210x mx m ++-=的一个虚根，则z 的取值范围是____.16．设()f z z =，且115z i =+，232z i =-+，则12()f z z -的值是__________． 17．设复数()21z i =-（i 是虚数单位），则z 的模为__________．18．若复数12i z =+，则3i z +=__________．19．已知复数1223,z i z t i =+=-，且12·z z 是实数，则实数t =__________.20．i 为虚数单位，则22(1)i =+______. 三、解答题21．设复数n n n z x i y =+⋅，其中n x n y ∈R ，*n ∈N ，i 为虚数单位，1(1)n n z i z +=+⋅，134z i =+，复数n z 在复平面上对应的点为n Z .（1）求复数2z ，3z ，4z 的值；（2）是否存在正整数n 使得n OZ ∥1OZ ？若存在，求出所有满足条件的n ；若不存在，请说明理由；（3）求数列{}n n x y ⋅的前102项之和.22．已知2z i =+，a ，b 为实数.（1）若2312z z ω=+-，求ω；（2）若522az bz i z+=--，求实数a ，b 的值. 23．已知复数Z 满足23z i z i -=++（其中i 为虚数单位）（1）求z ；（2）若2a i z+为纯虚数，求实数a 的值． 24．已知z C ∈，且满足()252z z z i i ++=+.（1）求z ；（2）若m R ∈，w zi m =+，求w 的取值范围.25．设1z 是虚数，2112z z z =+是实数，且212z -≤≤. （1）求1z 的值以及1z 的实部的取值范围；（2）若ω=ω为纯虚数.26．（1）对于复数12,z z ，若()121z i z -⋅=，则称1z 是2z 的“错位共轭”复数，求复数12i -的“错位共轭”复数； （2）设复数[]()cos sin 0,2z i θθθπ=+∈，其中i 为虚数单位，若212z <，求θ.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】举反例12z i =+，22z i =-可判断选项A 、B ，举反例11z =，2z i =可判断选项C ，设1z a bi =+，(),a b R ∈，分别计算21||z 、21||z 即可判断选项D ，进而可得正确选项.【详解】对于选项A ：取12z i =+，22z i =-，()221232z i i =+=+，()222232z i i =-=-， 满足221260z z +=>，但21z 与22z 是两个复数，不能比较大小，故选项A 不正确； 对于选项B ：取12z i =+，22z i =-，12||22z z i -==，==B 不正确；对于选项C ：取11z =，2z i =，则22120z z +=，但是10z ≠，20z ≠，故选项C 不正确； 对于选项D ：设1z a bi =+，(),a b R ∈，则()222212z a bi a b abi =+=-+2221z a b ===+， 1z a bi =-，1z =，所以2221z a b =+，所以2211||||z z =，故选项D 正确.故选：D. 2．D解析：D【解析】复数12cos sin ,sin cos z x i x z x i x =-=-，则()2212cos sin cos sin cos sin z z x x x x i x x ⋅=-+--=i - ，则121z z ⋅=，故选D.3．C解析：C【分析】 化简得到1322z i =+，故1322z i =-，得到答案. 【详解】 ()12z i i ⋅-=+，则()()()()2121313111222i i i i z i i i i ++++====+--+，故1322z i =-，虚部为32-. 故选：C.【点睛】 本题考查了复数的运算，共轭复数，复数的虚部，意在考查学生的计算能力和转化能力. 4．A解析：A【分析】设复数z a bi =+(),a b R ∈分别计算出以上式子，根据集合的元素互异性，可判断答案.【详解】解：设复数z a bi =+(),a b R ∈z a bi ∴=-(),a b R ∈，z a bi z =+=(),a b R ∈，||222z a b =+，222||z a b =+，()()22z z a bi a bi a b ⋅=+-=+()22222z a bi a b abi =+=-+222222z a b abi a b ∴=-+===+ 故由以上的数组成的集合最多有a bi +，a bi -，22a b +这3个元素，故选：A【点睛】本题考查复数的运算及相关概念，属于中档题.5．D解析：D【分析】由题意，将根代入实系数方程x 2+bx +c ＝0整理后根据得数相等的充要条件得到关于实数a ，b的方程组100b c -++=⎧⎪⎨=⎪⎩，解方程得出a ，b 的值即可选出正确选项 【详解】由题意1是关于x 的实系数方程x 2+bx +c ＝0∴﹣2+b bi +c ＝0，即()10b c i -+++=∴100b c -++=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得b ＝﹣2，c ＝3 故选：D ．【点睛】本题考查复数相等的充要条件，解题的关键是熟练掌握复数相等的充要条件，能根据它得到关于实数的方程，本题考查了转化的思想，属于基本计算题6．C解析：C【分析】z 在复平面内的对应点考查点()2352,1m m m -+-横纵坐标的正负,分情况讨论即可.【详解】 由题得, z 在复平面内的对应点为()2352,1m m m -+-.当10m ->,即1m <时,二次函数2352(32)(1)y m m m m =-+=--取值范围有正有负,故z 在复平面内的对应点可以在一二象限.当10m -<,即1m 时,二次函数2352(32)(1)0y m m m m =-+=-->,故z 在复平面内的对应点可以在第四象限.故z 在复平面内的对应点一定不在第三象限.故选：C【点睛】本题主要考查了复平面的基本定义与根据参数范围求解函数范围的问题,属于基础题型. 7．D解析：D【分析】根据复数的几何意义知，复数z 对应的动点P 到,i i -对应的定点12(0,1),(0,1)F F -的距离之和为定值2，且12||2F F ，可知动点的轨迹为线段.【详解】设复数z ，,i i -对应的点分别为12,,P F F , 则由2z i z i ++-=知：12||||2PF PF +=,又12||2F F ，所以动点P 的轨迹为线段1F F .故选D【点睛】本题主要考查了复数的几何意义，动点的轨迹，属于中档题.8．A解析：A【分析】由题意结合复数的运算法则和复数的性质整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意可得：()()21=1+3i z i i =++，则z ==本题选择A 选项.【点睛】本题主要考查复数的运算法则，复数的模的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9．C解析：C【解析】分析：利用复数的除法运算得到z ，进的得到z . 详解：由题复数()11ai z a R i-=∈+的实部为-2，()()()()()11111,1112ai i a a i ai z i i i -⋅---+-===++⋅- 12,5,2a a -∴=-= 则()1123,2a a i z i z --+==--∴= 故选C.点睛：本题考查复数的除法运算及复数的模，属基础题.10．B解析：B【解析】分析：根据复数模的定义求解.详解：1i z =-，z ==B ．点睛：对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭为.-a bi11．B解析：B【分析】分析：直接利用复数的除法的运算法则化简求解即可． 详解：()()()51251 2.121212i i i i i ⋅-==-++- 则复数512i +的共轭复数是12i +. 故选B.点睛：本题考查复数的除法的运算法则的应用，复数的基本概念，是基础题．12．D解析：D【分析】根据复数为纯虚数得到3sin 5θ=，4cos 5θ=-，故3tan 4θ=-，展开计算得到答案. 【详解】 34sin cos 55z i θθ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭是纯虚数，则3sin 5θ=且4cos 5θ≠，故4cos 5θ=- 3tan 4θ=-，tan 1tan 741tan πθθθ-⎛⎫-==- ⎪+⎝⎭ 故选：D【点睛】本题考查了复数的概念，和差公式，意在考查学生的综合应用能力和计算能力.二、填空题13．4【分析】根据复数模的几何意义将条件转化为距离问题即可得到答案【详解】设由得所以即点是圆心为半径为1的圆上的动点表示的是点与点的距离所以其最小值为点到圆心的距离减去半径即故答案为：4【点睛】本题考查 解析：4【分析】根据复数模的几何意义，将条件转化为距离问题即可得到答案【详解】设(,)z x yi x y R =+∈，由|1|1z i -+=得1(1)1x y i -++=所以()()22111x y -++=即点(),x y 是圆心为()1,1-，半径为1的圆上的动点|2 3 |z i +-=，表示的是点(),x y 与点()2,3-的距离所以其最小值为点()2,3-到圆心()1,1-的距离减去半径14=故答案为：4【点睛】本题考查的是复数模的几何意义，圆当中的最值问题一般向圆心进行转化.14．【分析】利用复数模的三角不等式可得出可得出的最大值【详解】由复数模的三角不等式可得因此的最大值是故答案为【点睛】本题考查复数模的最值的计算可将问题转化为复平面内复数对应的点的轨迹利用数形结合思想求解解析：1【分析】 利用复数模的三角不等式可得出()111z i z i z i -+=--≤+-可得出1z i -+的最大值. 【详解】由复数模的三角不等式可得()11111z i z i z i -+=--≤+-==+因此，1z i -+的最大值是1故答案为1【点睛】本题考查复数模的最值的计算，可将问题转化为复平面内复数对应的点的轨迹，利用数形结合思想求解，同时也可以利用复数模的三角不等式进行计算，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 15．【解析】【分析】设z=a+bi(ab ∈R)则也是此方程的一个虚根由方程有虚根可知判别式为负数据此可求出m 的范围再利用根与系数的关系可得从而求出结果【详解】设z=a+bi(ab ∈R)则也是此方程的一个解析：⎫∞⎪⎪⎝⎭【解析】【分析】设z =a +bi ，(a ,b ∈R )，则z a bi =-也是此方程的一个虚根，由方程有虚根可知，判别式为负数，据此可求出m 的范围，再利用根与系数的关系可得||z =.【详解】设z =a +bi ，(a ,b ∈R )，则z a bi =-也是此方程的一个虚根，z 是关于x 的方程x 2+mx +m 2−1=0的一个虚根，可得()22410m m ∆=--<，即243m >，则由根与系数的关系，2221z z a b m ⋅=+=-，则||z =>，所以z 的取值范围是：⎫∞⎪⎪⎝⎭.故答案为3⎛⎫∞ ⎪ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查实系数多项式虚根成对定理，以及复数的模的求解，属中档题.16．4＋3i 【解析】分析：由题意可得再结合即可得到答案详解：又点睛：本题主要考查的是复数的加减法以及共轭复数掌握复数的运算法则以及共轭复数的概念是解题的关键解析：4＋3i【解析】分析：由题意可得1243z z i -=+，再结合()f z z =，即可得到答案详解：115z i =+，232z i =-+，1243z z i ∴-=+1243z z i ∴-=-又()f z z =，()1243f z z i ∴-=+点睛：本题主要考查的是复数的加减法以及共轭复数，掌握复数的运算法则以及共轭复数的概念是解题的关键。
(常考题)北师大版高中数学选修1-2第四章《数系的扩充与复数的引入》测试(答案解析)(4)
一、选择题1．已知集合{|()()20,,,}A z a bi z a bi z a b R z C =++-+=∈∈，{|||1,}B z z z C ==∈，若A B =∅，则a ，b 之间的关系是（ ）A ．1a b +>B ．1a b +<C ．221a b +<D ．221a b +> 2．已知i 是虚数单位，则21i i =-（ ） A ．1i -+B ．1i +C ．1i -D ．1i -- 3．若复数1a i z i +=+(i 为虚数单位)为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．1 B ．0 C ．12- D ．1- 4．设复数()0,0z a bi a b =+>≠是实系数方程20x px q ++=的根，又3z 为实数，则点(),p q 的轨迹在一条曲线上，这条曲线是（ ）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线5．已知复数1cos 2()z x f x i =+，)2cos z x x i =++，x ∈R .在复平面上，设复数1z ，2z 对应的点分别为1Z ，2Z ，若1290Z OZ ∠=︒，其中O 是坐标原点，则函数()f x 的最大值为（）A ．14-B ．14C ．12-D ．126．已知()2155 2i z i -=+，则z 的虚部是（ ） A ．1 B ．-1 C ．3 D ．-37．下面是关于复数21iz =-的四个命题，其中的真命题为（ ） 1:2p z =;22:2i p z =;3:p z 的共轭复数为1i -；4:p z 的虚部为i.A ．2p ,3pB ．13,p pC ．24,p pD ．34,p p 8．已知i 为虚数单位，若复数1()1ai z a R i -=∈+的实部为-2，则z =（ ）A ．5B C D ．13 9．设复数3422i i z +-=, 则复数z 的共轭复数是（ ） A ．5-2i B ．52i + C ．5-2i + D ．5--2i 10．已知i 是虚数单位，复数z 满足|12|z i i -=+，则z 的共轭复数z 在复平面上对应点所在的象限为（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 11．设()1x yi i i +=+，其中x ，y 是实数，则2x yi +=（ ）A ．1 BC D 12．若复数z 是方程2250x x -+=的一个根，则z =（ ） A ．2i ±B ．2i -±C ．12i -±D ．12i ± 二、填空题13．已知复数z 满足|1|1z i -+=，则|2 3 |z i +-的最小值为___________．14．已知i 是虚数单位，则12i -________.15．复数(12)(3),z i i =+-其中i 为虚数单位，则z 的实部是________________. 16．在复平面上，一个正方形的三个项点对应的复数分别是0、12i +、2i -+，则该正方形的第四个顶点对应的复数是__________．17．若复数12i z =+，则3i z +=__________．18．已知复数112z i =-+，21z i =-，334z i =-，它们在复平面上对应的点分别为,,A B C ，若OC OA OB λμ=+，(,R λμ∈)，则λμ+的值是__________．19．设复数3i 1i m z m +=+（0m >，i 为虚数单位），若z z =，则m 的值为_______． 20．复数i 1iz =+，则z =______. 三、解答题21．已知复数()221132z x x x i =-+-+，()232,z x x i x R =+-∈ （1）若1z 为纯虚数，求实数x 的值；（2）在复平面内，若1z 对应的点在第四象限，2z 对应的点在第一象限，求实数x 的取值范围.22．已知复数()()21312i i z i-++=-，z ai ω=-(其中i 是虚数单位).(1)当ω为实数时，求实数a 的值； (2)当03a ≤≤时，求ω的取值范围.23．已知复数1z 满足1(2)(1)1z i i -+=- (i 为虚数单位)，复数2z 的虚部为2，且12·z z 是实数.(1)求1z 及1z ；(2)求2z 及12z z +.24．已知复数z 满足()125z i i +=（i 为虚数单位）．（1）求复数z ，以及复数z 的实部与虚部；（2）求复数5z z+的模． 25．复数()2132z i a a i =--++（a R ∈），（Ⅰ）若z z =，求z ；（Ⅱ）若在复平面内复数z 对应的点在第一象限，求a 的范围．26．已知复数1z i =，22z =，212z z ⨯是虚部为正数的纯虚数.（1）求212z z ⨯的模；（2）求复数2z .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】先设出复数z ，利用复数相等的定义得到集合A 看成复平面上直线上的点，集合B 可看成复平面上圆的点集，若A ∩B ＝∅即直线与圆没有交点，借助直线与圆相离的定义建立不等关系即可．【详解】设z ＝x +yi ，,x y R ∈,则（a +bi ）（x ﹣yi ）+（a ﹣bi ）（x +yi ）+2＝0化简整理得，ax +by +1＝0即，集合A 可看成复平面上直线上的点，集合B 可看成复平面上圆x 2+y 2=1的点集，若A ∩B ＝∅，即直线ax +by +1＝0与圆x 2+y 2=1没有交点，1d =，即a 2+b 2＜1故选C ．【点睛】本题考查了复数相等的定义及几何意义，考查了直线与圆的位置关系，考查了转化思想，属于中档题．2．A解析：A【解析】 因22(1)112i i i i i +==-+-，故应选答案A ． 3．D解析：D【分析】直接利用复数的除法运算结合复数定义得到答案.【详解】()()()()()1+1+11112a i i a a i a i z i i i +--+===++-为纯虚数，故1010a a +=⎧⎨-≠⎩，故1a =-. 故选：D.【点睛】本题考查了复数的除法，根据复数类型求参数，意在考查学生的计算能力和应用能力. 4．D解析：D【分析】由3z 为实数，求出,a b 关系，实系数方程有虚数根，∆<0，且两根互为共轭，由韦达定理，求出,p q 与,a b 关系，结合,a b 关系，即可得出,p q 的关系式，得出结论.【详解】()3220,0,(2)()z a bi a b z a b abi a bi =+>≠=-++，其虚部为22222()2(3)a b b a b b a b -+=-，又3z 为实数，所以2222(3)0,0,30b a b b b a -=≠=≠，复数()0,0z a bi a b =+>≠是实系数方程20x px q ++=的根， ()0,0z a bi a b =->≠也是实系数方程20x px q ++=的根， 所以222240,2,40p q z z a p zz a b a q ∆=-<+==-=+==>，所以2,0p q p =<，此时30q ∆=-<， 即点(),p q 的轨迹在抛物线2y x 上.故选：D.【点睛】 本题考查实系数一元二次方程根的关系、复数的基本概念，韦达定理的应用是解题的关键，考查计算求解能力，属于中档题.5．B解析：B【分析】根据向量垂直关系的坐标运算和三角函数的最值求解.【详解】据条件，()1cos ,2()Z x f x ，)2cos ,1Z x x +，且12OZ OZ ⊥，所以，)cos cos 2()0x x x f x ⋅++=，化简得，11()sin 2264f x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，当sin 216x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，11()sin 2264f x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭取得最大值为14. 【点睛】 本题考查向量的数量积运算和三角函数的最值，属于基础题.6．D解析：D【分析】根据复数的运算，求得13z i =-，进而取得复数的虚部，得到答案．【详解】由题意，复数()()()()()215534155155 133434342i i i i z i i i i i ----====-++-+，所以复数z 的虚部为3-，故选D ．【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的基本概念，其中解答中熟记复数的基本运算法则，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．7．A解析：A【解析】【分析】利用复数的乘除运算化简复数z ，再根据共轭复数、复数的虚部、复数模的计算公式求解即可得答案．【详解】∵z ()()()212111i i i i +===--+1+i ， ∴1p ：|z |=2p ：z 2＝2i ，3p ：z 的共轭复数为1-i ，4p ：z 的虚部为1，∴真命题为p 2，p 3．故选A ．【点睛】本题考查命题的真假的判断与应用，考查复数运算及复数的模、复数的虚部、共轭复数的概念，是基础题．8．C解析：C【解析】分析：利用复数的除法运算得到z ，进的得到z . 详解：由题复数()11ai z a R i-=∈+的实部为-2，()()()()()11111,1112ai i a a i ai z i i i -⋅---+-===++⋅- 12,5,2a a -∴=-= 则()1123,2a a i z i z --+==--∴= 故选C.点睛：本题考查复数的除法运算及复数的模，属基础题.9．B解析：B【解析】分析：由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果. 详解：由题意可得：342525222i i i z i +--===-， 则其共轭复数为：52z i =+. 本题选择B 选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 10．D解析：D【解析】分析：先根据复数的模求出z ，再求z 的共轭复数，最后确定对应点所在象限.详解：因为12z i i -=+，所以z i =,所以z i =,因此对应点为1-），在第四象限， 选D.点睛：.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭为.-a bi11．D解析：D【解析】分析：首先应用复数代数形式的乘法运算法则，将()x yi i +求出来，之后应用复数相等的条件，得到,x y 所满足的等量关系式，求得,x y 的值，接着利用复数的模的计算公式求得结果.详解：因为()1,,x yi i i x y +=+是实数，所以21xi yi i +=+，即1y xi i -+=+，所以1,1x y ==-，则212x yi i +=-==，故选D.点睛：该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的乘法运算法则、复数相等的条件以及复数模的计算公式，属于简单题目. 12．D解析：D【分析】设出复数，代入方程进行求解即可.【详解】令(,)z a bi a b R =+∈，有2()2()50a bi a bi +-++=，整理为()2225(22)0a b a ab b i --++-=， 有22250220a b a ab b ⎧--+=⎨-=⎩， 解得：12a b =⎧⎨=±⎩， 则12z i =±.故选：D.【点睛】本题综合考查复数的运算，涉及复数为实数的转化关系，属复数基础题.二、填空题13．4【分析】根据复数模的几何意义将条件转化为距离问题即可得到答案【详解】设由得所以即点是圆心为半径为1的圆上的动点表示的是点与点的距离所以其最小值为点到圆心的距离减去半径即故答案为：4【点睛】本题考查 解析：4【分析】根据复数模的几何意义，将条件转化为距离问题即可得到答案【详解】设(,)z x yi x y R =+∈，由|1|1z i -+=得1(1)1x y i -++=所以()()22111x y -++=即点(),x y 是圆心为()1,1-，半径为1的圆上的动点|2 3 |z i +-=，表示的是点(),x y 与点()2,3-的距离 所以其最小值为点()2,3-到圆心()1,1-的距离减去半径14=故答案为：4【点睛】本题考查的是复数模的几何意义，圆当中的最值问题一般向圆心进行转化.14．【解析】分析：首先根据题中所给的条件可以断定其为求复数的模利用公式求得结果详解：根据复数模的公式可知故答案是点睛：该题考查的是有关复数模的求解问题根据公式运算即可属于简单题目【解析】 分析：首先根据题中所给的条件，可以断定其为求复数12i -的模，利用公式求得结果.详解：根据复数模的公式，可知12i -==点睛：该题考查的是有关复数模的求解问题，根据公式运算即可，属于简单题目. 15．5【解析】试题分析：故答案应填：5【考点】复数概念【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念属于基本题首先对于复数的四则运算要切实掌握其运算技巧和常规思路如其次要熟悉复数的相关概念如复数的实 解析：5【解析】试题分析：(12i)(3i)55i z =+-=+．故答案应填：5【考点】复数概念【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),,,,a bi c di ac bd ad bc i a b c d R ++=-++∈，其次要熟悉复数的相关概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a ，虚部为b a bi -16．【分析】设第个顶点为利用向量相等列方程求解即可【详解】因为正方形的三个项点对应的复数分别是所以正方形三个顶点对应的坐标为设第个顶点为则∴即第个顶点为所以第4个顶点对应的复数为【点睛】本题主要考查复数 解析：13i -+【分析】设第4个顶点为(),a b ，利用向量相等列方程求解即可.【详解】因为正方形的三个项点对应的复数分别是0、12i +、2i -+，所以正方形三个顶点对应的坐标为()0,0，()1,2，()2,1-，设第4个顶点为(),a b ，则()()()1,220,102,1a b --=---=-，∴1a =-，3b =，即第4个顶点为()1,3-．所以第4个顶点对应的复数为13i -+【点睛】本题主要考查复数的几何意义，向量相等，属于基础题..17．【解析】18．1【详解】由题设得三点的坐标分别为将三向量的坐标代入得因此即所以故答案为1点睛：本题考查复数与向量的对应以及向量相等的条件复数与向量的对应要注意向量的起点必须在原点上向量相等则两向量的横纵坐标相等； 解析：1【详解】由题设得三点的坐标分别为()()()12,11,34A B C ---，，，，将三向量的坐标代入OC OA OB λμ=+得341211λμ-=-+-（，）（，）（，），因此3 24λμλμ-+=⎧⎨-=-⎩，即1 2λμ=-⎧⎨=⎩，所以λμ1+=，故答案为1.点睛：本题考查复数与向量的对应，以及向量相等的条件，复数与向量的对应要注意向量的起点必须在原点上，向量相等则两向量的横纵坐标相等；由题设求出三点A B C ，，的坐标，既得三个向量的坐标将三个向量的坐标代入向量方程，利用向量的相等建立起参数,λμ的方程，求出,λμ的值.19．【解析】试题分析：由得：为实数而所以又所以的值为考点：复数概念【解析】 试题分析：由z z =得：3i 1i m z m +=+为实数，而2224311m m z i m m -=+++，所以2230,1m m -=+又0m >，所以m 考点：复数概念20．【解析】试题分析：考点：解析：2【解析】试题分析： ()()()i 1i i 1i ,1i 1i 1i 22z z -+====++-. 考点： 三、解答题21．(1) 1x =-;(2) 实数x 的取值范围为:312x <<. 【解析】分析：（1）由题意得到关于x 的方程组，求解方程组可得1x =-.（2）1z 对应的点在第四象限，则12x <<，2z 对应的点在第一象限，则302x <<，据此可得x 的取值范围为：312x <<. 详解：（1）∵1z 为纯虚数，∴2210320x x x ⎧-=⎨-+≠⎩，解得1x =-； （2）∵1z 对应的点在第四象限，∴2210320x x x ⎧->⎨-+<⎩，解得：12x <<， ∵2z 对应的点在第一象限，∴0320x x >⎧⎨->⎩，解得：302x <<， 综上，实数x 的取值范围为：312x <<. 点睛：这个题目考查了复数问题，复数分为虚数和实数，虚数又分为纯虚数和非纯虚数，需要注意的是已知数的性质求参时，会出增根，比如纯虚数，既要求实部为0，也要求虚部不为0.22．(1)1；(2)1ω≤≤. 【解析】试题分析：(1)整理计算()11a i ω=+-，满足题意时，10a -=，即1a =.(2)由题意结合复数的模的定义和二次函数的性质可得ω的取值范围是1ω≤. 试题 (1)()()()()32233312222i i i i i z i i i i i ++-+++====+---+， 所以()111z ai i ai a i ω=-=+-=+-，当ω为实数时，10a -=，即1a =.(2)因为()11a i ω=+-，所以ω=又因为03a ≤≤，所以当1a =时，min 1ω=，当3a =时，max ω所以1ω≤≤.23．（1）112i,2i z z =-=+；（2）242i z =+，126z z i +=+=【解析】试题分析：（1）把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简和共轭复数的概念得答案；(2)根据题意可设22z a i ＝＋，根据虚部为0可得a 的值，故而可求得结果. 试题（1） (z 1－2)(1＋i)＝1－i ⇒z 1＝2－i ， 12z i =+ （2）设z 2＝a ＋2i ，a ∈R ， 则z 1·z 2＝(2－i)(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a )i.∵z 1·z 2∈R ，∴a ＝4.∴z 2＝4＋2i ， 126z z i +=+=24．（1）2z i =+，实部为2，虚部为1；（2）．【解析】 试题分析：由复数的运算法则知512i z i=+，再由除法法则可得结论；（2）可先计算出542z i z+=-，然后由模的定义得结论． 试题 （1）55(12)(12)212(12)(12)i i i z i i i i i i -===-=+++-，实部为2，虚部为1；（2）552422z i i z i +=-+=-+，∴5||z z+==． 考点：复数的运算，复数的概念．25．（Ⅰ）0z =或6z =;（Ⅱ）11a -<<．【详解】试题分析：将复数化简得()22321z a a ai =-++-（1）中z z =，所以虚部为0，（2）中复数对应点为 ()2232,1a a a -+-，在第一象限得到不等式，求得a 范围试题()22321z a a a i =-++-，（1）由z z =知，210a -=，故1a =±．当1a =时，0z =；当1a =-时，6z =． （2）由已知得，复数的实部和虚部皆大于0，即22320{10a a a -+>->，即21{11a a a 或><-<<， 所以11a -<<．26．（1）8；（2）2)z i =±.【分析】（1）由复数的模的性质，知|221212z z z z ⨯=⋅ ，由此利用题设条件能够求出212z z ⨯的模；（2）由212z z ⨯是虚部为正数的纯虚数，212z z ⨯的模是8，知2128z z i ⨯=，设复数()2,z a bi a b R =+∈，利用复数相等的性质能求出复数z 2．【详解】（1）2221212128z z z z z z ⨯===； （2）212z z ⨯是虚部为正数的纯虚数2128z z i ∴⨯=,)22824i i z ==+，设复数()2,z a bi a b R =+∈，2222a b abi -+=+，2222a b ab ⎧-=⎪⎨=⎪⎩1a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩1a b ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，∴2)z i =±.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查乘除法运算，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.。
新北师大版高中数学选修1-2第四章《数系的扩充与复数的引入》测试(有答案解析)
一、选择题1．复数(),z a bi a b R =+∈，()m z z b =+，n z z =⋅，2p z =，则（ ）A ．m 、n 、p 三数都不能比较大小B ．m 、n 、p 三数的大小关系不能确定C ．m n p ≤=D ．m n p ≥=2．复数1cos isin z x x =-，2sin icos z x x =-，则12z z ⋅=（ ） A ．4B ．3C ．2D ．13．已知i 是虚数单位，则21ii=-（ ） A ．1i -+B ．1i +C ．1i -D ．1i --4．定义运算,,a b ad bc c d =-，则符合条件,10 ,?2z ii i+=-的复数 z 对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 5．复数z 满足(2)36z i i +=-（i 为虚数单位），则复数z 的虚部为（ ）A ．3B ．3i -C ．3iD ．3-6．若m 为实数，则复数22()()26m m m m i ---＋＋在复平面内所对应的点不可能位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．若(1)()5(,)ai b i i a b R ++=∈，则+a b 的值为（ ）A ．±B ．C ．4±D ．48．i 为虚数单位，则232018232018i i i i +++⋅⋅⋅+=（ ）A ．20182017i -+B ．10081008i -C ．10101009i -+D ．10101009i -9．复数()23z i i =-+（i 是虚数单位）的虚部是( ) A ．2-B ．2i -C ．3D ．3i10．已知i 为虚数单位，若复数1()1aiz a R i-=∈+的实部为-2，则z =（ ）A ．5B CD ．1311．复数z 11ii-=+，则|z |=( )A ．1B ．2C D ．12．若34sin cos 55i z θθ⎛⎫-+- =⎪⎝⎭是纯虚数，则tan 4πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为（ ） A ．﹣7B ．17-C ．7D ．﹣7或17-二、填空题13．设复数z 满足()()213z i i +=-，则z 的虚部为__________．14．已知0,0a b >>，复数()()23a i bi +-的虚部为4，则2a b +的最小值为__________． 15．若复数i2ia +-为纯虚数，那么实数a 的值为__________． 16．复数()1i i +的实部为_________．17．已知复数z 满足1z =，且负实数a 满足2220z az a a -+-=，则a 的值为___________.18．已知复数1223,z i z t i =+=-，且12·z z 是实数，则实数t =__________. 19．若2+1()imi m R i=+∈,则m =________． 20．已知虚数z 满足等式，则z=________三、解答题21．已知复数13z i =，21322z =-+. （1）求1z 及2z 并比较大小；（2）设z C ∈，满足条件21z z z ≤≤的点Z 的轨迹是什么图形？ 22．已知2z i =+，a ，b 为实数. （1）若2312z z ω=+-，求ω； （2）若522az bzi z+=--，求实数a ，b 的值. 23．已知复数12z a i =+，234z i =-(a R ∈，i 为虚数单位). (1)若12z z 是纯虚数，求实数a 的值.(2)若复数12z z 在复平面上对应的点在第二象限，且14z ≤，求实数a 的取值范围. 24．解答下面两个问题： （Ⅰ）已知复数132z =-+，其共轭复数为z，求21()z z +； （Ⅱ）复数z 1＝2a ＋1＋（1＋a 2）i ，z 2＝1－a ＋（3－a ）i ，a ∈R ，若12z z +是实数，求a 的值．25．关于复数z 的方程()()()230z a i z i a R -+-+=∈.（1）若此方程有实数解，求a 的值；（2）证明：对任意的实数a ，原方程不可能有纯虚数根. 26．已知i 为虚数单位，复数z 在复平面内对应的点为(2,1)（1）设复数z 的共轭复数为z ，求||z +的值；（2）已知,a b ∈R ，(3()a bi i z i -=，求ab 的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】根据复数的四则运算，结合基本不等式，即可得出结论. 【详解】z a bi =-，()2m a bi a bi b ab =++-=，22()()n a bi a bi a b =+-=+，22p a b =+222a b ab +，当且仅当a b =时，取等号m n p ∴≤=故选：C 【点睛】本题主要考查了复数的四则运算，涉及了基本不等式的应用，属于中档题.2．D解析：D 【解析】复数12cos sin ,sin cos z x i x z x i x =-=-，则()2212cos sin cos sin cos sin z z x x x x i x x ⋅=-+--=i - ，则121z z ⋅=，故选D.3．A解析：A 【解析】 因22(1)112i i i i i +==-+-，故应选答案A ． 4．B解析：B 【解析】由题意可得：()()(),1210,2z iz i i i i i +=--+=-，即()()()121221222422i i i i i z i i i -----====---，∴1 22iz =-+，则复数z 对应的点的坐标为11,22⎛⎫-⎪⎝⎭在第二象限，故选B. 5．D解析：D 【分析】首先化简复数z ，然后结合复数的定义确定其虚部即可. 【详解】由题意可得：()()()()362361151322255i i i i z i i i i -----====--++-， 据此可知，复数z 的虚部为3-. 本题选择D 选项. 【点睛】复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根．除法实际上是分母实数化的过程．6．C解析：C 【分析】实部虚部相加为4，不可能都为负. 【详解】若m 为实数，复数22()()26m m m m i ---＋＋实部虚部相加为：222640m m m m ---=>＋＋，不可能都为负 所对应的点不可能位于第三象限 故答案选C 【点睛】本题考查了复数对应的象限，是常考题型.7．C解析：C 【分析】结合复数运算性质,化简,利用待定系数法,计算a,b 值，即可． 【详解】()()()115ai b i b a ab i i ++=-++=,所以015b a ab -=⎧⎨+=⎩,解得22a b =⎧⎨=⎩或22a b =-⎧⎨=-⎩所以4a b +=±,故选C. 【点睛】本道题考查了复数四则运算和待定系数法，难度中等．8．C解析：C【详解】分析：由复数的基本运算性质,可得44142431,,1,n n n n i i i i i i +++===-=-，其中n 为自然数，进而即可求解答案.详解：由复数的基本运算性质,可得44142431,,1,n n n n i i i i i i +++===-=-，其中n 为自然数，设232018232018S i i i i =+++⋅⋅⋅+，两边同乘i 可得：2342019232018iS i i i i =+++⋅⋅⋅+ 两式相减可得()()20182320182019201911201820181i i q S i i i i i ii--=++++-=--()112018120191i i i i+=+=-+-所以()()()()1201911201910101009111i i i S i i i i -++-+===-+--+，故选C. 点睛：本题主要考查了虚数的运算性质的应用，其中熟记虚数的运算性质，利用乘公比错误相减法求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力.9．A解析：A 【解析】分析：直接利用复数代数形式的乘法运算化简后得到答案.详解：因为2(23)2332z i i i i i =-+=-+=--，所以其虚部为2-， 故选A.点睛：该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的乘法运算，复数的虚部的概念，一定要注意复数的虚部是i 的系数.10．C解析：C 【解析】分析：利用复数的除法运算得到z ，进的得到z . 详解：由题复数()11aiz a R i-=∈+的实部为-2，()()()()()11111,1112ai i a a iai z i i i -⋅---+-===++⋅- 12,5,2aa -∴=-= 则()1123,2a a i z i z --+==--∴= 故选C.点睛：本题考查复数的除法运算及复数的模，属基础题.11．A解析：A 【解析】 【分析】运用复数的除法运算法则,先计算出z 的表达式,然后再计算出z . 【详解】由题意复数z 11i i -=+得221(1)12=1(1)(1)2i i i i i i i i ---+===-++-,所以=1z . 故选A 【点睛】本题考查了运用复数的除法运算求出复数的表达式,并能求出复数的模,需要掌握其计算法则,较为基础.12．A解析：A 【分析】根据纯虚数得到3sin 5θ=，4cos 5θ=-，即3tan 4θ=-，再利用和差公式展开计算得到答案. 【详解】34sin cos 55z i θθ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭是纯虚数，故4cos 5θ≠，3sin 5θ=所以4cos 5θ=-，3tan 4θ=-∴tan tan4tan 741tan tan 4πθπθπθ-⎛⎫-==- ⎪⎝⎭+⋅， 故选：A 【点睛】本题考查了纯虚数定义，和差公式，意在考查学生的综合应用能力.二、填空题13．-7【解析】分析：先求出复数z 再求z 的虚部详解：由题得所以z 的虚部为-7故答案为-7点睛：（1）本题主要考查复数的运算和复数的虚部概念意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本的运算能力(2)复数的实部解析：-7 【解析】分析：先求出复数z,再求z 的虚部. 详解：由题得86(86)(1)214171(1)(1)2i i i iz i i i i ----====-++-，所以z 的虚部为-7，故答案为-7.点睛：（1）本题主要考查复数的运算和复数的虚部概念，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本的运算能力.(2) 复数(,)z a bi a b R =+∈的实部是a,虚部为b ，不是bi.14．4【解析】分析：化简根据其虚部为可得利用基本不等式可得结果详解：复数的虚部为即当且仅当时等号成立的最小值为故答案为点睛：本题主要考查复数的运算与基本概念利用基本不等式求最值属于中档题利用基本不等式求解析：4 【解析】分析：化简()()23a i bi +-，根据其虚部为4，可得2ab =，利用基本不等式可得结果. 详解：()()22i 3i 3i 6i 2i a b a ab b +-=-+-()326i a b ab =++-，复数()()2i 3i a b +-的虚部为4，64ab ∴-=，即2ab =， 0,0a b >>，24a b ∴+≥=，当且仅当1,2a b ==时等号成立，2a b ∴+的最小值为4，故答案为4.点睛：本题主要考查复数的运算与基本概念、利用基本不等式求最值，属于中档题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.15．【解析】分析：直接由复数代数形式的乘除运算化简复数又已知复数为纯虚数列出方程组求解即可得答案详解：又∵为纯虚数∴解得故答案为点睛：本题考查了复数代数形式的乘除运算考查了复数的基本概念以及学生的运算能解析：12【解析】分析：直接由复数代数形式的乘除运算化简复数 2a i i +-，又已知复数 2a ii+-为纯虚数，列出方程组，求解即可得答案.详解：()()()()()2212212222555a i i a a i a i a ai i i i ++-+++-+===+--+，又∵ 2a i i +-为纯虚数，∴2105205a a -⎧=⎪⎪⎨+⎪≠⎪⎩，解得12a =，故答案为12．点睛：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念以及学生的运算能力，是基础题．16．【解析】复数其实部为考点：复数的乘法运算实部 解析：1-【解析】复数(1)11i i i i +=-=-+，其实部为1-. 考点：复数的乘法运算、实部.17．【分析】由设代入后利用复数相等的定义求解【详解】因为故可设则即所以或若则时不是负数舍去时无实解则（舍去）故答案为：【点睛】关键点点睛：与复数有关的方程常常设代入方程后利用复数相等的定义转化为实数方程解析：12【分析】由1z =，设cos sin ()z i R ααα=+∈，代入后利用复数相等的定义求解． 【详解】因为1z =，故可设cos sin ()z i R ααα=+∈，则22222(cos sin )2(cos sin )0z az a a i a i a a αααα-+-=+-++-=， 即222(cos sin 2cos )2sin (cos )0a a a a i ααααα--+-+-=， 所以2222sin (cos )0cos sin 2cos 0a a a a ααααα-=⎧⎨--+-=⎩， 2sin (cos )0sin 0a ααα-=⇒=或cos a α=，若sin 0α=，则cos 1α=±，cos 1α=时，222cos sin 2cos a a a ααα--+-2310a a =-+=，32a ±=，不是负数，舍去．cos 1α=-时，222cos sin 2cos a a a ααα--+-210a a =++=，a =解．cos a α=，则22222222cos sin 2cos (1)210a a a a a a a a a a ααα--+-=---+-=--=，152a （12a +=舍去）．故答案为：15-． 【点睛】关键点点睛：与复数有关的方程，常常设(,)z m ni m n R =+∈，代入方程后利用复数相等的定义转化为实数方程求解．18．【解析】复数z1=2+3iz2=t−i ∴=t+i ∴=(2+3i)(t+i)=(2t−3)+(3t+2)i 由是实数得3t+2=0即 解析：23-【解析】复数z 1=2+3i ,z 2=t −i ， ∴2z =t +i ，∴12·z z =(2+3i )(t +i )=(2t −3)+(3t +2)i ， 由12·z z 是实数,得3t +2=0,即23t =-. 19．-2【解析】则考点：复数的运算解析：-2 【解析】，则.考点：复数的运算.20．【解析】试题分析：设则所以即考点：复数的相等 解析：12i +【解析】试题分析：设(,)z a bi a b R =+∈，则22()()316z z a bi a bi a bi i -=+--=+=+，所以1{36a b ==，12a b =⎧⎨=⎩，即12z i =+．考点：复数的相等．三、解答题21．(1) 1z =2, 2z =1, 12z z > (2) 以O 为圆心，以1和2为半径的两圆之间的圆环（包含圆周） 【分析】（1）利用复数的模的计算公式求出1z 、2z 即可解答.（2）根据z 的几何意义及（1）中所求的模1z 、2z 可知z 的轨迹. 【详解】解：（1）()2213312z i =+=+=，22213122z ⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴12z z >.（2）由21z z z ≤≤及（1）知12z ≤≤.因为z 的几何意义就是复数z 对应的点到原点的距离，所以1z ≥表示1z =所表示的圆外部所有点组成的集合，2z ≤表示2z =所表示的圆内部所有点组成的集合，故符合题设条件点的集合是以O 为圆心，以1和2为半径的两圆之间的圆环（包含圆周），如图所示．【点睛】本题考查复数的模及其几何意义，属于基础题. 22．（110；（2）-3，2 【解析】分析：（1）利用复数乘法的运算法则以及共轭复数的定义化简3i ω=-+，利用复数模的公式求解即可；（2）利用复数除法的运算法则将522az bzi z+=--，化为()252b a a b i i -++=-，由复数相等的性质可得51b a a b -=⎧⎨+=-⎩，从而可得结果.详解：（1）∵2z i =+，∴2z i =-.∴2312z z ω=+- ()()2232123i i i =++--=-+， ∴()223110ω=-+=（2）∵2z i =+， ∴()()()22222a i b i az bz z i ++-+=--+ ()()()()222i a b a b i a b a b iii⎡⎤++-++-⎣⎦==--()252b a a b i i =-++=-.∴51b a a b -=⎧⎨+=-⎩， 解得32a b =-⎧⎨=⎩， ∴a ，b 的值为：-3，2.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分23．（1）8=3a -；（2）8|233a a ⎧⎫-≤<-⎨⎬⎩⎭。
(常考题)北师大版高中数学选修1-2第四章《数系的扩充与复数的引入》测试(含答案解析)(3)
一、选择题1．已知复数(1)(31)i i z i--=（i 为虚数单位），则下列说法正确的是（ ） A ．复数i 在复平面内对应的点落在第二象限 B ．42z i =--C ．24z z --的虚部为1 D ．||z = 2．若复数2i z =-，i 为虚数单位，则(1)(1)z z +-= A ．24i + B ．24i -+ C ．24i --D ．4- 3．复数(),z a bi a b R =+∈，()m z z b =+，n z z =⋅，2p z =，则（ ）A ．m 、n 、p 三数都不能比较大小B ．m 、n 、p 三数的大小关系不能确定C ．m n p ≤=D ．m n p ≥= 4．若i 是虚数单位，则复数11i i +=-（ ） A ．-1B ．1C ．i -D ．i 5．定义运算,,a b ad bc c d =-，则符合条件,10 ,?2z i i i +=-的复数 z 对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 6．若复数2320211z i i i i =++++⋯+，则复数z 对应的点在第（ ）象限 A ．一B ．二C ．三D ．四 7．i 是虚数单位，20191i ()(1i +=- ) A ．iB ．i -C ．1D ．1- 8．已知i 为虚数单位，若(1)2z i i ⋅+=，则复数z 的模等于（ ）．A ．1i +B ．1i -C ．2D 9．已知复数z 满足(1i)2z ⋅+=，则z =（ ）A ．1 BC ．2D ．3 10．“0x =”是“复数()()21z x x x i x R =-+-∈为纯虚数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件11．已知复数()()211i a bi i -+=+（i 是虚数单位，,a b ∈R ），则a b +=（ ） A ．2-B ．-1C ．0D ．2 12．若复数z 是方程2250x x -+=的一个根，则z =（ ）A ．2i ±B ．2i -±C ．12i -±D ．12i ± 二、填空题13．已知复数z 满足方程||2z i +=，则|2|z -的最小值为____________．14．已知关于x 的实系数方程20x ax b ++=有一个模为1的虚根，则a 的取值范围是______．15．已知复数()34i z +=，那么复数z 的模为______.16．若复数z 满足112z i i i=-+-，则z 等于__________. 17．已知i 是虚数单位，则复数117i 2i+=-_________. 18．若复数()()1i a i -+在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围为_____． 19．关于x 的方程240x x m ++=（m R ∈）的两虚根为α、β，且||2αβ-=，则实数m的值是________.20．已知12ω=-（i 是虚数单位），2015()x ωω+的展开式中系数为实数的项有_______项三、解答题21．已知复数z=1+i,求实数a ,b 使22(2)az bz a z +=+.22．已知复数1z mi =+（i 是虚数单位，m R ∈），且()·3z i +为纯虚数（z 是z 的共轭复数）.（1）设复数121m i z i+=-，求1z ； （2）设复数20172a i z z-=，且复数2z 所对应的点在第四象限，求实数a 的取值范围. 23．已知复数1z bi =+（b 为正实数），且2(2)z -为纯虚数．（Ⅰ）求复数z ；（Ⅱ）若2iz ω=+，求复数ω的模||ω． 24．设1z 是虚数，2111z z z =+是实数，且211z -≤≤. （1）求1||z 的值以及1z 的实部的取值范围；（2）若1111z z ω-=+，求证ω为纯虚数； （3）在（2）的条件下，求22z ω-的最小值.25．设1z 是虚数，2112z z z =+是实数，且212z -≤≤.（1）求1z 的值以及1z 的实部的取值范围；（2）若ω=ω为纯虚数.26．关于复数z 的方程()()()230z a i z i a R -+-+=∈.（1）若此方程有实数解，求a 的值；（2）证明：对任意的实数a ，原方程不可能有纯虚数根.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】根据复数乘除运算化简得42z i =-，结合复数相关概念判定A ，B ，D 错误，化简24z z --判定正确.【详解】 解：(1)(31)(1)(3)42i i z i i i i--==-+=-， 其对应的复平面点为(4,2)-位于第四象限，故A 错误；42z i =+，故B 错误；24222214422221z i i i i z i i i-+-++====-----，虚部为1，故C 正确；||z ==D 错误.故选：C.【点睛】复数乘除法运算技巧：（1）复数的乘法：复数乘法类似于多项式的乘法运算．（2）复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数．2．B解析：B【解析】()()11z z +-=2211(2)1(34)24z i i i -=--=--=-+ ,选B.,3．C解析：C根据复数的四则运算，结合基本不等式，即可得出结论.【详解】z a bi =-，()2m a bi a bi b ab =++-=，22()()n a bi a bi a b =+-=+，22p a b =+ 222a b ab +，当且仅当a b =时，取等号m n p ∴≤=故选：C【点睛】本题主要考查了复数的四则运算，涉及了基本不等式的应用，属于中档题.4．D解析：D【解析】()()()21121112i i i i i i i ++===--+， 本题选择D 选项. 5．B解析：B【解析】 由题意可得：()()(),1210,2z i z i i i i i +=--+=-，即()()()121221222422i i i i i z i i i -----====---，∴1 22i z =-+，则复数z 对应的点的坐标为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭在第二象限，故选B. 6．A解析：A【分析】根据周期性得到1z i =+,得到答案.【详解】2320211(11)(11)11z i i i i i i i i i i =++++⋯+=+--+⋯++--++=+，故复数z 对应的点在第一象限.故选：A.【点睛】本题考查了复数对应象限，意在考查学生的计算能力和转化能力.7．B解析：B【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由虚数单位i 的性质计算．【详解】 ()()21i (1i)i 1i 1i 1i ++==--+， 20192019450431i ()i (i )i i 1i+∴==⋅=--． 故选B ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查虚数单位i 的运算性质，是基础题．8．D解析：D【分析】结合复数的四则运算,计算复数z ，计算模长，即可．【详解】()()()2122211112ii i i z i i i i -+====+++-，z =，故选D. 【点睛】本道题考查了复数的乘除运算法则，复数的模的求法，难度中等． 9．B解析：B【解析】分析：利用复数的除法求出z ，进而得到z .详解：由题()()()2121,111i z i z i i i ⋅-===-∴=++⋅- 故选B.点睛：本题考查复数逇除法运算及复数的模，属基础题. 10．C解析：C【解析】分析：首先求得复数z 为纯虚数时x 是值，然后确定充分性和必要性即可.详解：复数()()21z x x x i x R =-+-∈为纯虚数，则： 2010x x x ⎧-=⎨-≠⎩，即：011x x x ==⎧⎨≠⎩或，据此可知0x =， 则“0x =”是“复数()()21z x x x i x R =-+-∈为纯虚数”的充要条件 本题选择C 选项.点睛：本题主要考查充分必要条件的判断，已知复数类型求参数的方法，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11．A解析：A【解析】分析：由题意首先求得等式右侧的复数，然后结合复数相等的充分必要条件整理计算即可求得最终结果.详解：由复数的运算法则可得：()()()()2121222111112i i i i i i ii i i ------====--+++-， 结合题意可得：1a bi i +=--，即：1,1a b =--=-，据此可得：2a b +=-.本题选择A 选项. 点睛：本题主要考查复数的综合运算，复数相等的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12．D解析：D【分析】设出复数，代入方程进行求解即可.【详解】令(,)z a bi a b R =+∈，有2()2()50a bi a bi +-++=，整理为()2225(22)0a b a ab b i --++-=， 有22250220a b a ab b ⎧--+=⎨-=⎩， 解得：12a b =⎧⎨=±⎩， 则12z i =±.故选：D.【点睛】本题综合考查复数的运算，涉及复数为实数的转化关系，属复数基础题.二、填空题13．【分析】设复数根据复数的几何意义可知的轨迹为圆；再根据点和圆的位置关系及的几何意义即可求得点到圆上距离的最小值即为的最小值【详解】复数满足方程设（）则在复平面内轨迹是以为圆心以2为半径的圆；意义为圆2设复数,z a bi =+根据复数的几何意义可知(),a b 的轨迹为圆；再根据点和圆的位置关系，及|2|z -的几何意义即可求得点到圆上距离的最小值，即为|2|z -的最小值.【详解】复数z 满足方程||2z i +=，设,z a bi =+（,a b ∈R ），则|||(1)|2z i a b i +=++=，(),a b 在复平面内轨迹是以()0,1-为圆心，以2为半径的圆；()|2||2|z a bi -=-+=()2,0的距离，由点与圆的几何性质可知，|2|z -22=，2.【点睛】 本题考查了复数几何意义的综合应用，点和圆的位置关系及距离最值的求法，属于中档题. 14．【分析】根据系数方程有虚根则可得设方程的虚根为:则另一个虚根为:其模为1可得即可求得的取值范围【详解】设方程的虚根为:另一个虚根为:由韦达定理可得:故:实系数方程有一个模为1的虚根故若方程有虚根则可解析：22a -<<【分析】根据系数方程20x ax b ++=有虚根,则可得240a b ∆=-<.设方程的虚根为:=+x m ni ,则另一个虚根为:x m ni =-,其模为1,可得221+=m n ,即可求得a 的取值范围.【详解】设方程的虚根为:=+x m ni , 另一个虚根为:x m ni =-由韦达定理可得:x x a x x b +=-⎧⎨⋅=⎩ 故:222m a m n b =-⎧⎨+=⎩实系数方程20x ax b ++=有一个模为1的虚根∴ 221+=m n 故=1b若方程有虚根,则240a b ∆=-< 可得240a -<∴ 22a -<<故答案为: 22a -<<.【点睛】本题考查复数代数形式乘除运算,韦达定理的使用,实系数方程有虚数根的条件,共轭复数的性质、共轭复数的模,意在考查基础知识的掌握与综合应用.15．【分析】由模长性质求解即可【详解】因为故故答案为：【点睛】本题主要考查模长的性质若则若则属于基础题型由模长性质求解即可.【详解】因为()34i z +=,故z ===. 【点睛】本题主要考查模长的性质,若12z z z =,则12z z z =.若12z z z =⋅,则12z z z =⋅.属于基础题型. 16．【分析】利用行列式展开法则和复数的性质进行求解【详解】∵∴∴故答案为【点睛】本题主要考查行列式运算法则解题时要注意复数运算性质的合理运用属于基础题解析：1i +【分析】利用行列式展开法则a c ad bcb d =-和复数的性质进行求解．【详解】∵1z iz i i i =+-，∴12iz i i +=-+， ∴1z i =+，故答案为1i +．【点睛】本题主要考查行列式运算法则，解题时要注意复数运算性质的合理运用，属于基础题. 17．【分析】根据复数除法法则进行计算【详解】【点睛】对于复数的四则运算要切实掌握其运算技巧和常规思路如解析：35i.+ 【分析】根据复数除法法则进行计算.【详解】()117i)(2+i 117i 1525i 35i.2i 55+++===+- 【点睛】对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()()(),,,a bi c di ac bd ad bc i a b c d R ++=-++∈，.18．【解析】故复数对应的点的坐标为由对应的点在第二象限可得解得故答案为解析：1a <-【解析】()()()111i a i a a i -+=++-，故复数对应的点的坐标为()1,1a a +-，由对应的点在第二象限可得1010a a +<⎧⎨->⎩解得1a <-，故答案为1a <-. 19．5【分析】关于方程两数根为与由根与系数的关系得：由及与互为共轭复数可得答案【详解】解：与是方程的两根由根与系数的关系得：由与为虚数根得：则解得经验证符合要求故答案为：【点睛】本题考查根与系数的关系的 解析：5【分析】关于x 方程240x x m ++=两数根为α与β，由根与系数的关系得：4αβ+=-，m ，由||2αβ-=及α与β互为共轭复数可得答案．【详解】解：α与β是方程240x x m ++=的两根由根与系数的关系得：4αβ+=-，m ，由α与β为虚数根得： α，β=，则|||2αβ-==，解得5m =，经验证∆<0，符合要求，故答案为：5．【点睛】本题考查根与系数的关系的应用．求解是要注意α与β为虚数根情形，否则漏解，属于基础题．20．672【分析】由二项式定理得出通项的系数再利用复数的运算得出哪些系数是实数【详解】系数为（）只要考虑是实数即可则（）是3的整数倍即可由于这样的有共672个∴展开式中系数为实数的项的672项故答案为：解析：672【分析】由二项式定理得出通项的系数，再利用复数的运算得出哪些系数是实数．【详解】20152015120152015()()()r r r r r r r r T C x C x ωωωω--+==，系数为20152015()r r r C ωω-，（02015,r r N ≤≤∈） 只要考虑20151()r r r a ωω-+=是实数即可，12ω=-+，则331,()11ωωωω===，，20152015211()r r r r a ωωω--+==，201522013323r r r k -=-++=（k Z ∈），2r +是3的整数倍即可，由于02015,r r N ≤≤∈，这样的r 有1,4,7,,2014共672个，∴展开式中系数为实数的项的672项．故答案为：672．【点睛】本题考查二项式定理，考查复数的运算．解题关键是由二项展开式通项公式得出项的系数，然后利用ω的性质分析系数为实数的项有哪些．三、解答题21．-2,-4,-1 2.a a b b ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩或. 【解析】分析：将z=1+i ,z 1i =-代入条件式整理,根据两个复数相等的条件求a,b.详解：∵z=1+i,∴az+2()()bz a 2b a 2b i,=++-(a+2z)2=(a+2)2-4+4(a+2)i=(a 2+4a)+4(a+2)i.∵a,b ∈R,∴由复数相等,22a 4,-24(2).a b a a b a ⎧+=+⎨=+⎩得 ∴两式相加整理,-2,-4,-1 2.a a b b ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩得或 ∴所求实数-2,-4,-1 2.a a b b ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩为或 点睛：（1）本题主要考查复数相等的概念，意在考查学生对该知识的掌握水平和基本的计算能力.(2) 复数相等:(,,,)a bi c di a b c d R a c b d +=+∈⇔==且.22．（I ）262；（Ⅱ）133a -<<. 【详解】分析：根据复数的概念及其分类，求解13z i =-．（1）求得15122z i =--，再根据复数的模的计算公式，即可求解1z ； （2）由（1）可求得2(3)(31)10a a i z ++-=，根据复数2z 对应的点位于第一象限，列出方程组，即可求解实数a 的取值范围．详解：∵z=1+mi ，∴． ∴*(3)(1)(3)(3)(13)z i mi i m m i +=-+=++-又∵为纯虚数， ∴，解得m=﹣3．∴z=1﹣3i ．（Ⅰ）， ∴；（Ⅱ）∵z=1﹣3i ， ∴． 又∵复数z 2所对应的点在第1象限， ∴，．30310a a +>⎧⎨->⎩∴．13a > 点睛：复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据,加减运算类似于多项式的合并同类项,乘法法则类似于多项式乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式,再将分母实数化，其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi ab R +∈的实部为a 、虚部为b 22a b +(,)a b 、共轭为a bi -．23．（Ⅰ）1z i =+;（Ⅱ）10ω=． 【解析】试题分析：（Ⅰ）由22(2)12z b bi -=--，又由纯虚数，得210b -=，且20b -≠，即可得到结论；（Ⅱ）由复数的运算可知3155i ω=+，即可求解||ω． 试题（Ⅰ）()()222z 21bi 1b 2bi -=-+=--，∵其为纯虚数，∴21b 0-=，且2b 0-≠，得b 1=或b 1=-（舍），所以z 1i =+．（Ⅱ）()()121312555i i i i i ω+-+===++，所以10ω=． 24．（1）11z =， 11[,]22-；（2）证明见解析；（3）1.【分析】（1）设出复数1z ，写出2z 的表示式，进行复数的运算，把2z 整理成最简形式，再根据所给2z 的范围，得到2z 的虚部为0，实部属于这个范围，得到1z 的实部的范围；（2）根据设出的1z ，整理ω的代数形式，进行复数的除法的运算，整理成最简形式，根据上一问做出的复数的模长为1，得到ω是一个纯虚数；（3）2222221112222[(1)]3(1)(1)11b a a a a a a a a z a a ω--=+=+=+=++-++++-，再利用基本不等式即可求得结果【详解】解：（1）由1z 是虚数，设1(,,0)z a bi a b R b =+∈≠，则21222222111()a bi a b z z a bi a bi a b i z a bi a b a b a b -=+=++=++=++-++++， 因为2z 为实数，所以220b b a b-=+且0b ≠，所以221a b += 所以11z =，此时22z a =， 因为211z -≤≤，所以121a -≤≤，得1122a -≤≤ （2）因为122111()[(1)][(1)]11()(1)z a bi a bi a bi z a bi a b ω--+--+-===+++++，且221a b +=， 所以1b i aω=-+， 因为0b ≠，1122a -≤≤，所以ω为纯虚数 （3）2222221112222[(1)]3(1)(1)11b a a a a a a a a z a a ω--=+=+=+=++-++++-， 由1122a -≤≤，得1(1)21a a ++≥+， 故当且仅当111a a +=+，即0a =时，22z ω-有最小值1 【点睛】此题考查复数的代数形式的运算，运算量比较大，考查了运算能力，属于中档题. 25．（1）1z =1z 的实部的取值范围为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）证明见解析 【分析】（1）待定系数法设出1z a bi =+，代入到上式，利用共轭复数进行化简，由2z 是实数可求得222a b +=，且22z a =，故而1z =212z -≤≤，求得实部a 的范围；（2）直接将（1）中1z a bi =+代入，化简得ω=，由a ，b 范围可知≠，故结论得证.【详解】（1）设1z a bi=+(,a b∈R，且0b≠)则22222222a bz a bi a b ia bi ab a b⎛⎫⎛⎫=++=++-⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭.∵2z是实数，0b≠，∴222a b+=，即1z=22z a=.又∵212z-≤≤，∴122a-≤≤，即112a-≤≤，∴1z的实部的取值范围为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.（2）)22222a ba bω---====++.∵1,12a⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，0b≠，∴0≠，故ω为纯虚数.【点睛】本题考查了复数的四则运算，利用复数除法，求解相关参量的范围，要求学生会利用待定系数法，处理相关证明需要学生了解复数相关基础概念，为中等难度题目.26．（1）2；（2）证明见解析【分析】（1）设z m R=∈，由题意可得23010m amm⎧--=⎨--=⎩，即可得解；（2）假设z ni=（n R∈，且0n≠）时方程的解，转化条件得23010n nan⎧-+-=⎨--=⎩，由于230n n-+-=无实数根，可得假设错误，即可得证.【详解】（1）设z m R=∈，带入原方程得()()230m a i m i-+-+=，即()2310m am m i--+--=，则23010m amm⎧--=⎨--=⎩，故12ma=-⎧⎨=⎩.（2）证明:假设原方程有纯虚数根，设z ni=（n R∈，且0n≠），则有()()()230ni a i ni i-+-+=，整理可得()2310n n an i-+-+--=，则23010n n an ⎧-+-=⎨--=⎩，对于230n n -+-=，判别式112110∆=-=-<， 则方程230n n -+-=无实数解，故方程组无实数解，即假设不成立，从而原方程不可能有纯虚数根.【点睛】本题考查了复数的综合应用，考查了复数相等的条件和反证法的应用，属于中档题.。
(常考题)北师大版高中数学选修1-2第四章《数系的扩充与复数的引入》测试(含答案解析)(1)
一、选择题1．已知i 是虚数单位，121zi z-=+，则||z 等于（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．5 2．复数z 满足(2)36z i i +=-（i 为虚数单位），则复数z 的虚部为（ ）A ．3B ．3i -C ．3iD ．3-3．设复数()0,0z a bi a b =+>≠是实系数方程20x px q ++=的根，又3z 为实数，则点(),p q 的轨迹在一条曲线上，这条曲线是（ ）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线4．“20>z ”是“z 是非零实数”的（ ）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要5．i 是虚数单位，20191i ()(1i+=- ) A ．iB ．i -C ．1D ．1- 6．若复数2(2)m i -所表示的点在第一象限，则实数m 的取值范围是( ) A ．()(),22,-∞-⋃+∞ B ．()2,2-C ．(),2-∞- D ．()2,0-7．若2131aii i+=--+，a R ∈，则a =（ ） A ．4-B ．3-C ．3D ．48．已知复数z 满足(1i)2z ⋅+=，则z =（ ） A ．1B ．2C ．2D ．39．在复平面内，复数（为虚数单位）对应的点位于（ ）．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10．复数1323ii+的共轭复数为（ ） A ．32i +B ．32i -C ．23i +D ．23i -11．已知i 为虚数单位，若复数1()1aiz a R i-=∈+的实部为-2，则z =（ ） A ．5B 5C 13D ．1312．已知i 是虚数单位，复数z 满足|12|z i i -=+，则z 的共轭复数z 在复平面上对应点所在的象限为（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限二、填空题13．复数z 满足43zi i =+（i 是虚数单位），则｜z ｜＝__.14．若复数()()1i a i -+在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围为_____． 15．i 是虚数单位，若复数()()12i i a -+ 是纯虚数，则实数a 的值为____________. 16．关于x 的方程240x x k ++=有一个根为23i -+（i 为虚数单位），则实数k =______.17．已知虚数αβ、满足221010p p ααββ++=++=、（其中p ∈R ），若1αβ-=，则p =_________.18．设m R ∈，若z 是关于x 的方程2210x mx m ++-=的一个虚根，则z 的取值范围是____.19．若复数z 满足11z -=，则z 的最大值为________． 20．若复数12i z =+，则3i z +=__________．三、解答题21．已知m 是实数，关于x 的方程E ：x 2﹣mx +（2m +1）＝0． （1）若m ＝2，求方程E 在复数范围内的解；（2）若方程E 有两个虚数根x 1，x 2，且满足|x 1﹣x 2|＝2，求m 的值．22．已知复数21i 22z ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭是一元二次方程21(,)0m n x nx m ++=∈R 的一个根. （1）求m 和n 的值；（2）若1(2i)z a z =-，a ∈R ，1z 为纯虚数，求|2i |a +的值. 23．已知复数12215523,(2)iz i z i -=-=+，求下列各式的值：(Ⅰ)12z z (Ⅱ)12z z24．已知z 为复数，i 为虚数单位，且3z i +-和1zi+均为实数. （1）求复数z ；（2）若复数z ，z ，2z 在复平面上对应的点分别是A ，B ，C ，求ABC ∆的面积. 25．已知z C ∈，0Imz >，且2||()i 52i z z z ++⋅=+． （1）求z ；（2）若,i m z m ω∈=⋅+R ，求证：1ω≥． 26．已知z C ∈，且满足2()52z z z i i ++=+. （1）求 z ；（2）若m R ∈，w zi m =+，求证：1w ≥.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】 因为121zi z-=+，所以12(1)22z i z i iz -=+=+，212(12)343412(12)(12)555i i i z i i i i ----====--++-，1z ==，故选A ． 2．D解析：D 【分析】首先化简复数z ，然后结合复数的定义确定其虚部即可. 【详解】 由题意可得：()()()()362361151322255i i i i z i i i i -----====--++-， 据此可知，复数z 的虚部为3-. 本题选择D 选项. 【点睛】复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根．除法实际上是分母实数化的过程．3．D解析：D 【分析】由3z 为实数，求出,a b 关系，实系数方程有虚数根，∆<0，且两根互为共轭，由韦达定理，求出,p q 与,a b 关系，结合,a b 关系，即可得出,p q 的关系式，得出结论. 【详解】()3220,0,(2)()z a bi a b z a b abi a bi =+>≠=-++，其虚部为22222()2(3)a b b a b b a b -+=-，又3z 为实数，所以2222(3)0,0,30b a b b b a -=≠=≠， 复数()0,0z a bi a b =+>≠是实系数方程20x px q ++=的根，()0,0z a bi a b =->≠也是实系数方程20x px q ++=的根，所以222240,2,40p q z z a p zz a b a q ∆=-<+==-=+==>， 所以2,0p q p =<，此时30q ∆=-<， 即点(),p q 的轨迹在抛物线2y x 上.故选：D. 【点睛】本题考查实系数一元二次方程根的关系、复数的基本概念，韦达定理的应用是解题的关键，考查计算求解能力，属于中档题.4．C解析：C 【分析】设(),,z a bi a b R =+∈，由题意结合复数的运算及性质可得0a =或0b =，分类讨论即可得0a ≠、0b =；当z 是非零实数，则20>z ；由充分条件和必要条件的概念即可得解. 【详解】设(),,z a bi a b R =+∈，则2222z a b abi =-+， 若20>z ，则0a =或0b =， 当0a =时，220z b =->不存在， 当0b =时，220z a =>即0a ≠， 所以若20>z ，则z 是非零实数； 若z 是非零实数，则20>z ；所以“20>z ”是“z 是非零实数”的充要条件. 故选：C. 【点睛】本题考查了复数的运算及复数性质的应用，考查了充分条件、必要条件的判断，属于中档题.5．B解析：B 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由虚数单位i 的性质计算． 【详解】()()21i (1i)i 1i 1i 1i ++==--+， 20192019450431i ()i (i )i i 1i +∴==⋅=--． 故选B ． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查虚数单位i 的运算性质，是基础题．6．C解析：C 【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简复数2(2)m i -，再由实部与虚部均大于0联立不等式组求解即可. 【详解】()22(2)44m i m mi -=--表示的点在第一象限，24040m m ->⎧∴->⎨⎩，解得2m <-． ∴实数m 的取值范围是(),2-∞-．故选C ．【点睛】本题主要考查的是复数的乘法、乘方运算，属于中档题．解题时一定要注意21i =-和()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++以及()()()()a bi c di a bi c di c di c di +-+=++- 运算的准确性，否则很容易出现错误．7．A解析：A 【解析】分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数21aii++，然后利用复数相等的性质列方程求解即可. 详解：因为()()()()2i 1i 2i 1i 1i 1i a a +-+=++- ()()22i2a a ++-=13i =--，所以212232aa +⎧=-⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩，解得4a =-，故选A.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.8．B解析：B【解析】分析：利用复数的除法求出z ，进而得到z . 详解：由题()()()2121, 2.111i z i z i i i ⋅-===-∴=++⋅- 故选B.点睛：本题考查复数逇除法运算及复数的模，属基础题.9．D解析：D 【解析】分析：先化复数为代数形式，再根据几何意义得对应点，即得点所在象限. 详解：复数，其对应的点是，位于第四象限．故选．点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为10．B解析：B 【解析】分析：由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果. 详解：由复数的运算法则可知：()()()23231323322323i i i i i i i i i+-==-=+++， 则复数1323ii +的共轭复数为32i -. 本题选择B 选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11．C解析：C 【解析】分析：利用复数的除法运算得到z ，进的得到z . 详解：由题复数()11aiz a R i-=∈+的实部为-2，()()()()()11111,1112ai i a a iai z i i i -⋅---+-===++⋅-12,5,2aa -∴=-= 则()1123,2a a i z i z --+==--∴= 故选C.点睛：本题考查复数的除法运算及复数的模，属基础题.12．D解析：D 【解析】分析：先根据复数的模求出z ，再求z 的共轭复数，最后确定对应点所在象限.详解：因为12z i i -=+，所以z i =,所以z i =,因此对应点为1-），在第四象限， 选D.点睛：.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭为.-a bi 二、填空题13．5【分析】首先根据复数的运算法则得到之后利用复数模的公式求得结果【详解】因为所以所以故答案是：5【点睛】该题考查的是有关复数的问题涉及到的知识点有复数的除法运算复数的模属于简单题目解析：5 【分析】首先根据复数的运算法则，得到4334iz i i+==-，之后利用复数模的公式求得结果. 【详解】因为43zi i =+，所以4334iz i i+==-，所以5z =， 故答案是：5. 【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的除法运算，复数的模，属于简单题目.14．【解析】故复数对应的点的坐标为由对应的点在第二象限可得解得故答案为解析：1a <-【解析】()()()111i a i a a i -+=++-，故复数对应的点的坐标为()1,1a a +-，由对应的点在第二象限可得1010a a +<⎧⎨->⎩解得1a <-，故答案为1a <-.15．【解析】试题分析：由复数的运算可知是纯虚数则其实部必为零即所以考点：复数的运算 解析：2-【解析】试题分析：由复数的运算可知，()()12i a i -+是纯虚数，则其实部必为零，即，所以.考点：复数的运算.16．13【分析】根据复数方程的性质可得也是方程的根结合韦达定理即可求解【详解】由题意方程有一个根为则是方程的另一个根由韦达定理可得又由所以故答案为13【点睛】本题主要考查了复数的性质以及一元二次方程的根解析：13 【分析】根据复数方程的性质，可得23i --也是方程的根，结合韦达定理，即可求解. 【详解】由题意，方程240x x k ++=有一个根为123x i =-+，则223x i =--是方程的另一个根，由韦达定理，可得12x x k =，又由(23)(23)13i i ---+=，所以13k =. 故答案为13. 【点睛】本题主要考查了复数的性质，以及一元二次方程的根与系数的关系的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.17．【分析】根据题意得到虚数满足方程利用求根公式求得两根结合列方程解方程求得的值【详解】依题意可知虚数满足的方程为且所以两根为故所以故填：【点睛】本小题主要考查一元二次方程的虚数根属于基础题 解析：3【分析】根据题意得到虚数αβ、满足方程210x px ++=，利用求根公式求得两根，结合1αβ-=列方程，解方程求得p 的值.【详解】依题意可知， 虚数αβ、满足的方程为210x px ++=，且240p -<.所以两根为，故1αβ-===，23p =，所以p =故填： 【点睛】本小题主要考查一元二次方程的虚数根，属于基础题.18．【解析】【分析】设z=a+bi(ab ∈R)则也是此方程的一个虚根由方程有虚根可知判别式为负数据此可求出m 的范围再利用根与系数的关系可得从而求出结果【详解】设z=a+bi(ab ∈R)则也是此方程的一个解析：3⎛⎫∞ ⎪ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】设z =a +bi ，(a ,b ∈R )，则z a bi =-也是此方程的一个虚根，由方程有虚根可知，判别式为负数，据此可求出m 的范围，再利用根与系数的关系可得||z =. 【详解】设z =a +bi ，(a ,b ∈R )，则z a bi =-也是此方程的一个虚根，z 是关于x 的方程x 2+mx +m 2−1=0的一个虚根，可得()22410m m ∆=--<，即243m >，则由根与系数的关系，2221z z a b m ⋅=+=-，则||z =>，所以z 的取值范围是：⎫∞⎪⎪⎝⎭.故答案为⎫∞⎪⎪⎝⎭.【点睛】本题考查实系数多项式虚根成对定理，以及复数的模的求解，属中档题.19．2【解析】分析：首先根据题中的条件结合复数的几何意义可以明确复数对应点的轨迹是以为圆心以1为半径的圆取最大值时就是圆上的点到原点的距离的最大值结合原的性质其为圆心到原点的距离加半径求得结果详解：依题解析：2 【解析】分析：首先根据题中的条件，结合复数的几何意义，可以明确复数z 对应点的轨迹是以(1,0)为圆心，以1为半径的圆，z 取最大值时，就是圆上的点到原点的距离的最大值，结合原的性质，其为圆心到原点的距离加半径求得结果. 详解：依题意，设复数,(,)z x yi x R y R =+∈∈，因为11z -=，所以有22(1)1x y -+=，由复数的几何意义，可知z 对应的点的轨迹为以(1,0)为圆心，以1为半径的圆，因为z =所以z 的最大值为112+=，所以答案为2.点睛：该题考查的是有关复数z 的模的问题，利用复数的几何意义，结合题中的条件，最后将其转化为圆上的点到某个点的距离的最值问题，等于圆心到对应点的距离加半径，从而求得结果.20．【解析】 三、解答题21．（1）x ＝1+2i ，或x ＝1﹣2i （2）m ＝0，或m ＝8 【分析】（1）根据求根公式可求得结果；（2）根据实系数多项式虚根成对定理，不妨设x 1＝a +bi ，则x 2＝a ﹣bi ，根据韦达定理以及|x 1﹣x 2|＝2，可解得结果. 【详解】（1）当m ＝2时，x 2﹣mx +（2m +1）＝x 2﹣2x +5＝0，∴x =∴x ＝1+2i ，或x ＝1﹣2i ． ∴方程E 在复数范围内的解为x ＝1+2i ，或x ＝1﹣2i ； （2）方程E 有两个虚数根x 1，x 2，根据实系数多项式虚根成对定理，不妨设x 1＝a +bi ，则x 2＝a ﹣bi ，∴x 1+x 2＝2a ＝m ，221221x x a b m =+=+，∴221214b m m =-++ ∵|x 1﹣x 2|＝|2bi |＝2，∴b 2＝1，∴212114m m -++=， ∴m ＝0，或m ＝8． 【点睛】本题考查了求根公式，考查了实系数多项式虚根成对定理，考查了韦达定理，属于中档题. 22．（1）1m n ==；（2）4. 【分析】（1）利用复数代数形式的乘除运算化简z ，再由实系数一元二次方程虚根成共轭复数这一性质，结合韦达定理求解；（2）化简()12z a i z =-，由实部为0且虚部不为0求出a 的值，然后利用复数模的计算公式求解. 【详解】（1）213144212z =--=-⎛⎫=-⎪⎪⎝ ⎭是一元二次方程210mx nx ++=的一个虚根，则122-+是一元二次方程210mx nx ++=的另一个虚根， 111122m ⎛⎫⎛⎫∴=--+= ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭，得1m =， 1112222n i m ⎛⎫⎛⎫-=--+-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得1n =， 因此，1mn ==；（2）()()1112212222z a i z a i a a i ⎛⎫⎛⎫⎛=-=---=-+-⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎝⎭⎝⎭是纯虚数， 则10210a ⎧-=⎪⎪⎨⎪≠⎪⎩，即a =-224a i i +=-==.【点睛】本题考查虚根与实系数一元二次方程之间的关系，同时也考查了复数相关的概念以及复数模的计算，解题时要利用复数的四则运算法则将复数化为一般形式，针对实部和虚部进行求解，考查计算能力，属于中等题.23．(1)1279z z i =--;(2)121131010z i z =+. 【解析】【分析】 由复数的平方，复数的除法，复数的乘法运算求得下面各式值．【详解】(Ⅰ)因为()221552iz i -==+155(155)(34)3425i i i i ---==+=13i - 所以()()12231379z z i i i =--=--；(Ⅱ)122313z i z i -==-(23)(13)(13)(13)i i i i -+-+=1131010i +. 【点睛】复数代数形式的四则运算设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R.z 1±z 2＝(a ＋b i)±(c ＋d i)＝(a ±c )＋(b ±d )i.z 1·z 2＝(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(bc ＋ad )i.122222(0)z a bi ac bd bc ad i c di z c di c d c d ++-==++≠+++ 24．（1）1z i =+（2）1.【解析】分析：（1）设复数z a bi =+，(),a b R ∈，由3z i +-和1z i+均为实数可得1002b b a -=⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得1a b ==，从而可得结果；（2）由（1）知1z i =+，可得1z i =-，()2212z i i =+=，则复数z ，z ，2z 在复平面上对应的点分别是()1,1A ，()1,1B -，()0,2C ，利用三角形面积公式可得结果.详解：（1）设复数z a bi =+，(),a b R ∈，则 ()33z i a b i i +-=++-，()112a b b a i z a bi i i ++-+==++， ∵3z i +-和1z i+均为实数， ∴1002b b a -=⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得：1a b ==， 则所求复数1z i =+.（2）由（1）知1z i =+， 所以1z i =-，()2212z i i =+=，则复数z ，z ，2z 在复平面上对应的点分别是()1,1A ，()1,1B -，()0,2C ， 所以12112ABC S ∆=⨯⨯=，即ABC ∆的面积为1. 点睛：本题主要考查的基本概念、复数的运算以及复数的几何意义，属于中档题.复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.25．(1) 12z i =+.(2)证明见解析.【详解】分析：（1）利用复数模的定义、互为共轭复数的意义及复数相等的定义即可解出； （2）利用复数模的计算公式即可证明．详解：（1）解：设i z a b =+，a 、b R ∈，且0b >．由已知得222i 52i a b a ++=+，所以 22522a b a ⎧+=⎨=⎩，解得 12a b =⎧⎨=⎩． 因此12z i =+．（2）证明：由（1）得 ()(12i)i 2i m m ω=+⋅+=-+．则1ω=≥，当2m =时，等号成立．所以 1ω≥．点睛：熟练掌握复数模的定义、互为共轭复数的意义及复数相等的定义是解题的关键． 26．(1)12z i =+或12z i =-;(2)见解析.【解析】分析：设,,z a bi a b R =+∈，找到复数()2z z z i ++的实部和虚部，列出关于,a b 的方程组即可. 详解：（1）设z a bi =+（a b R ∈，），则222z a b =+，()2z z i ai +=. 由22252a b ai i ++=+得22522a b a ⎧+=⎨=⎩， 解得12a b =⎧⎨=⎩或12a b =⎧⎨=-⎩， ∴12z i =+或12z i =-.（2）当12z i =+时，w zi m =+(12)i i m =++2i m =-++1.当12z i =-时，w zi m =+(12)i i m =-+21i m =++=，∴1w ≥.点睛：对于复数问题，常见的方法就是复数问题实数化，也就是设出复数的实部和虚部，再根据复数运算规则把题设中的关系式转化为实数的关系式即可.。
(常考题)北师大版高中数学选修1-2第四章《数系的扩充与复数的引入》测试(有答案解析)(2)
一、选择题1．1z 2z 是复数，则下列结论中正确的是（ ）A ．若22120z z +>，则2212z z >- B ．2121212||()4z z z z z z -=+-⋅C ．22121200z z z z +=⇔==D ．2211||||z z =2．若i 是虚数单位，则复数11ii+=-（ ） A ．-1B ．1C ．i -D ．i3．已知i 是虚数单位，复数13i1i+=+（ ） A ．2i +B ．2i -C ．1i -+D ．1i --4．在复数范围内，有下列命题：（1）若12,z z 是两个复数，则1212z z z z +一定是实数 （2）“||1z =”是“1z R z+∈”的充分非必要条件 （3）方程20(0)x t t +=>的根是ti ±（4）22z z =则其中假命题的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．45．i 是虚数单位，若复数()2421iz i +=-在复平面内对应的点在直线20x y a --=上，则a的值等于（ ） A ．5B ．3C ．-5D ．-36．i 是虚数单位，20191i ()(1i+=- ) A ．iB ．i -C ．1D ．1-7．复数()34z i i =--在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8．已知21zi i=++，则复数z =（ ） A ．10B ．2C ．13i -D ．13i +9．在复平面内，复数（为虚数单位）对应的点位于（ ）．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10．设i 为虚数单位，则复数1i z =-的模z =（ ）． A ．1B 2C ．2D ．2211．在复平面内满足11z -=的动点z 的轨迹为（ ） A ．直线B ．线段C ．两个点D ．圆12．已知复数(,,0)z x yi x y R x =+∈≠且|2|z -=，则yx的范围为（ ）A ．⎡⎢⎣⎦B ．,⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎦⎣⎭C ．⎡⎣D ．(,)-∞⋃+∞二、填空题13．已知|z |=1，则|1|z -+的取值范围是__． 14．若复数z 满足112z i i i=-+-，则z 等于__________. 15．设复数z 满足12iz i =+，则复数z 的共轭复数为______________． 16．已知方程240x px ++=()p R ∈有两个虚根,αβ，则22αβ+的取值范围是________17．已知纯虚数z 满足122zi z+=-+(其中i 是虚数单位)，则z =__________. 18．若复数z 满足22zii i=-+（i 为虚数单位），则复数z =__________.19．已知复数z x yi =+，且2z -=yx的最大值为__________． 20．复数i1iz =+，则z =______. 三、解答题21．设z 是虚数，1w z z=+是实数，且12w -<<. （1）求z 的值及Rez 的取值范围；（2）若2z zz z++为纯虚数，求z .22．设复数n n n z x i y =+⋅，其中n x n y ∈R ，*n ∈N ，i 为虚数单位，1(1)n n z i z +=+⋅，134z i =+，复数n z 在复平面上对应的点为n Z .（1）求复数2z ，3z ，4z 的值；（2）是否存在正整数n 使得n OZ ∥1OZ ？若存在，求出所有满足条件的n ；若不存在，请说明理由；（3）求数列{}n n x y ⋅的前102项之和.23．在复平面上，点(),P x y 所对应的复数p x yi =+（i 为虚数单位），(),z a bi a b R =+∈是某给定复数，复数q p z =⋅所对应的点为(),Q x y ，我们称点P 经过变化成为了点Q ，记作()Q z P =.（1）给出12z i =+，且()()8,1z P Q =，求点P 的坐标；（2）给出34z i =+，若点P 在椭圆22194x y +=上，()Q z P =，求OQ 的取值范围；（3）已知点P 在双曲线221x y -=上运动，试问是否存在z ，使得()Q z P =在双曲线1y x=上运动？若存在，求出z ；若不存在，说明理由. 24．已知z 为复数，i 为虚数单位，且3z i +-和1zi+均为实数. （1）求复数z ；（2）若复数z ，z ，2z 在复平面上对应的点分别是A ，B ，C ，求ABC ∆的面积.25．已知复数()()22431233a a z a a i a R a --=++-∈+.(1)若z z =，求a ； (2)a 取什么值时，z 是纯虚数.26．已知复数z 满足()125z i i +=（i 为虚数单位）． （1）求复数z ，以及复数z 的实部与虚部； （2）求复数5z z+的模．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】举反例12z i =+，22z i =-可判断选项A 、B ，举反例11z =，2z i =可判断选项C ，设1z a bi =+，(),a b R ∈，分别计算21||z 、21||z 即可判断选项D ，进而可得正确选项.【详解】对于选项A ：取12z i =+，22z i =-，()221232z i i =+=+，()222232z i i =-=-，满足221260z z +=>，但21z 与22z 是两个复数，不能比较大小，故选项A 不正确；对于选项B ：取12z i =+，22z i =-，12||22z z i -==，==B 不正确；对于选项C ：取11z =，2z i =，则22120z z +=，但是10z ≠，20z ≠，故选项C 不正确； 对于选项D ：设1z a bi =+，(),a b R ∈，则()222212z a bi a b abi =+=-+2221z a b ===+，1z a bi =-，1z =，所以2221z a b =+，所以2211||||z z =，故选项D 正确.故选：D.2．D解析：D 【解析】()()()21121112i ii i i i i ++===--+， 本题选择D 选项.3．A解析：A 【详解】 因为13i (1+3)(1)4221i (1)(1)2i i ii i i +-+===+++-， 故选：A ．点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数，共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化，转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分．4．B解析：B 【分析】利用复数的概念及运算法则对各个命题依次进行判定． 【详解】设12,z a bi z c di =+=+（,,,a b c d R ∈），则1212z z z z +()()()()a bi c di a bi c di =+-+-+()()ac adi bci bd ac adi bci bd =-++++-+22ac bd R =+∈，①正确；设i(,0)z a b a b b =+∈≠R,，若1z ==，则11z a bi z a bi +=+++222a bi a bi a bi a bi a R a b-=++=++-=∈+，反之，若11z a bi z a bi +=+++22a bi a bi R a b -=++∈+，则220b b a b-=+，221a b +=，∴1z =．应是充要条件，②错误；方程20(0)x t t +=>的根是，③正确；z 是复数，2z 可能是虚数，但2z 是复数的模，一定是实数，④错误，∴错误命题有2个． 故选B ． 【点睛】本题考查复数的概念与运算，解题时可设(,)z a bi a b R =+∈，然后代入进去进行检验证明．5．C解析：C 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z 的值，然后找到其在复平面对应的点，代入到直线20x y a --=，即可求出a 的值． 【详解】()24242(42)(2)1 2.241ii i i z i i i +++⋅====-+--复数z 在复平面内对应的点的坐标为(-1,2),将其代入直线20x y a --=得， 5.a =- 【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，以及复数的几何意义．6．B解析：B 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由虚数单位i 的性质计算． 【详解】()()21i (1i)i 1i 1i 1i ++==--+， 20192019450431i ()i (i )i i 1i +∴==⋅=--． 故选B ． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查虚数单位i 的运算性质，是基础题．7．D解析：D 【分析】直接由复数的乘法运算化简，求出z 对应点的坐标，则答案可求． 【详解】复数()3443z i i i =--=-.对应的点为()4,3-，位于第四象限.故选D. 【点睛】本题考查复数代数形式的乘法运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．8．A解析：A 【分析】由题意结合复数的运算法则和复数的性质整理计算即可求得最终结果. 【详解】由题意可得：()()21=1+3i z i i =++， 则1+910z ==. 本题选择A 选项. 【点睛】本题主要考查复数的运算法则，复数的模的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9．D解析：D 【解析】分析：先化复数为代数形式，再根据几何意义得对应点，即得点所在象限. 详解：复数，其对应的点是，位于第四象限．故选．点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为10．B解析：B 【解析】分析：根据复数模的定义求解. 详解：1i z =-，221(1)2z =+-=B ．点睛：对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 22a b +(,)a b 、共轭为.-a bi 11．D解析：D 【分析】由题意把|1|2||z z -=平方可得关于x 、y 的方程，化简方程可判其对应的图形． 【详解】解：设z x yi =+，|1|1z -=，2|1|1z ∴-=， 2|1|1x yi ∴-+=，22(1)1x y ∴-+=，故该方程表示的图形为圆， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查复数的代数形式及其几何意义，考查圆的方程，涉及复数的模长公式，属于中档题．12．C解析：C 【分析】转化|2|z -=为22(2)3x y -+=，设,yk y kx x==，即直线和圆有公共点，联立2164(1)0k ∆=-+≥，即得解.【详解】由于|2||2z x yi -=-+22(2)3x y -+=∴设yk y kx x=∴= 联立：2222(2)3,(1+)410x y y kx k x x -+==∴-+=由于直线和圆有公共点，2164(1)0k k ∴∆=-+≥≤≤故yx 的范围为[ 故选：C 【点睛】本题考查了直线和圆，复数综合，考查了学生转化划归，数学运算的能力，属于中档题.二、填空题13．【分析】满足的复数在以原点为圆心为半径的圆上而表示复数在复平面内对应点到点的距离利用点与圆的位置关系求出取值范围【详解】解：满足的复数在以原点为圆心为半径的圆上而表示复数在复平面内对应点到点的距离故解析：[]1,3【分析】满足||1z =的复数z ，在以原点为圆心，1为半径的圆上，而|1|z -表示复数z 在复平面内对应点到点(1,A 的距离，利用点与圆的位置关系求出取值范围. 【详解】解：满足||1z =的复数z ，在以原点为圆心，1为半径的圆上，而1z -表示复数z 在复平面内对应点到点(1,A 的距离，12AO ==min111z AO ∴-=-=，max113z AO -=+=，故113z ≤-≤ 故答案为：[]1,3 【点睛】本题考查两复数差的模的几何意义，转化为点与圆的位置关系，属于基础题．14．【分析】利用行列式展开法则和复数的性质进行求解【详解】∵∴∴故答案为【点睛】本题主要考查行列式运算法则解题时要注意复数运算性质的合理运用属于基础题 解析：1i +【分析】利用行列式展开法则a c ad bc b d=-和复数的性质进行求解．【详解】 ∵1z iz i i i=+-，∴12iz i i +=-+， ∴1z i =+， 故答案为1i +． 【点睛】本题主要考查行列式运算法则，解题时要注意复数运算性质的合理运用，属于基础题.15．2+i 【分析】由得然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数z 则复数z 的共轭复数可求【详解】由得则复数的共轭复数故答案是【点睛】该题考查的是有关共轭复数的问题涉及到的知识点有复数的除法运算共轭复数的概念解析：2+i 【分析】由12iz i =+，得12iz i+=，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数z ，则复数z 的共轭复数z 可求. 【详解】由12iz i =+，得212(12)2i i i z i i i +-+===--， 则复数z 的共轭复数2z i =+， 故答案是2i +. 【点睛】该题考查的是有关共轭复数的问题，涉及到的知识点有复数的除法运算，共轭复数的概念，属于简单题目.16．【解析】因为为方程两个根所以方程有虚根所以故故填 解析：[0,8)【解析】因为,αβ为方程两个根，所以p αβ+=-，4αβ⋅=，方程有虚根，所以2160,44p p ∆=-<-<<，故2222()28[0,8)p αβαβαβ+=+-⋅=-∈，故填[0,8).17．【解析】设整理得 解析：z i =-【解析】设,z a bi z a bi =+∴=-，1212()2,2z a bi i i z a bi++-=-+∴=-++，整理得42224155a b a b a bi i ++-++=--，42205,,24115a b a a z i a b b b ++⎧=-⎪=⎧⎪∴∴∴=-⎨⎨-+=-⎩⎪=-⎪⎩18．【解析】由题意得考点：复数的运算 解析：5i -【解析】 由题意，得.考点：复数的运算.19．【分析】根据复数z 的几何意义以及的几何意义由图象得出最大值【详解】复数且复数z 的几何意义是复平面内以点为圆心为半径的圆的几何意义是圆上的点与坐标原点连线的斜率由图可知：即的最大值为故答案为：【点睛】 解析：【分析】根据复数z的几何意义以及yx的几何意义，由图象得出最大值.【详解】复数z x yi=+且23z-=，复数z的几何意义是复平面内以点(2,0)为圆心，3为半径的圆22(2)3x y-+=.yx的几何意义是圆上的点与坐标原点连线的斜率由图可知：max331yx⎛⎫==⎪⎝⎭即yx33【点睛】本题主要考查了复数的几何意义的应用，属于中档题.20．【解析】试题分析：考点：解析：22【解析】试题分析：()()()i1ii1i2,1i1i1i22z z-+====++-.考点：三、解答题21．（1）1,z=Rez的取值范围为1(,1)2-；（2）132z=+或132z=-.【分析】（1）先设出复数，结合1w z z=+是实数可求出z 的值及Rez 的取值范围； （2）先设出复数，结合2z z z z++为纯虚数可求. 【详解】（1）设z x yi =+，其中,x y R ∈且0y ≠，222211i ()i i x y w z x y x y z x y x y x y =+=++=++-+++， 因为1w z z =+是实数，所以220y y x y -=+，解得221x y +=，所以1z ==；因为12w -<<，所以222(1,2)x x x x y +=∈-+，即1(,1)2x ∈-； 所以Rez 的取值范围为1(,1)2-. （2）由（1）知221x y +=，()2222i i (2)i i i 2x y x y z z x y x xy y x y x y x z z++++-+++==++-+， 因为2z z z z ++为纯虚数，所以220x y x -+=且20xy y +≠，0x ≠， 联立222201x y x x y ⎧-+=⎨+=⎩可得122x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或122x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以12z =+或12z =-. 【点睛】本题主要考查复数的运算及相关概念，待定系数法是求解复数的常用方法，侧重考查数学运算的核心素养.22．（1）217z i =-+，386z i =-+，4142z i =--.（2）存在，41n k =+，k ∈N .（3）10212+【分析】（1）根据()11n n z i z +=+⋅，依次代入1,2,3n =计算即可得到结果；（2）根据平行关系可知1n z z λ=⋅，从而得到()11n i λ-+=为实数，根据复数乘方运算可知1n -为4的倍数，进而得到结果；（3）由44n n z z +=-可知4416n n n n x y x y ++=，利用此特点化简所求式子，结合等比数列求和公式可求得结果.【详解】（1）()()213417z i i i =++=-+；()()311786z i i i =+-+=-+；()()4186142z i i i =+-+=--.（2）若1//n O Z Z O ，则存在实数λ，使得1n OZ OZ λ=，故1n z z λ=⋅即()()11,,n n x y x y λ=又()11n n z i z +=+，故()111n n z i z -=+，即()11n i λ-+=为实数故1n -为4的倍数，即14n k -= 41n k ∴=+，k ∈N（3）()4414n n n z i z z +=+=-，故44n n x x +=-，44n n y y +=- 4416n n n n x y x y ++∴= 又1112x y =，227x y =-，3348x y =-，4428x y =()()1122331001001122334455667788x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y ∴+++⋅⋅⋅+=+++++++()979798989999100100x y x y x y x y +⋅⋅⋅++++()25100116127482812116-=--+⨯=-- 又251001011011116122x y x y ==⨯，25100102102221672x y x y ==-⨯所以数列{}n n x y 的前102项之和为：100100100102121227212-+⨯-⨯=+【点睛】本题考查复数知识的综合应用问题，涉及到复数的乘法和乘方运算、复数运算的周期性、等比数列求和的问题；关键是能够灵活运用复数乘方运算的特点，将所求式子转化为类似周期运算的形式，从而将所求式子化简，利用等比数列求和的方法求得结果.23．（1）(2,3)-；（2）[]10,15；（3）存在，复数1z i =+和1i z =--.【分析】（1）根据题意得到()812i i p +=+⋅，求出82312i p i i+==-+，从而可得出结果； （2）先由点P 在椭圆22194x y +=上，得到[]2,3p OP =∈，再由5z =，即可求出结果；（3）假设存在，先设(,)P x y ，求出经过变换后的点为(),Q ax by bx ay -+，再由曲线方程，即可求出结果.【详解】（1）根据题意，有()812i i p +=+⋅， 所以8(8)(12)10152312(12)(12)5i i i i p i i i i ++--====-++-， 所以点P 的坐标为(2,3)-；（2）因为点P 在椭圆22194x y +=上， 所以[]2,3p OP =∈， 又345z i =+=，所以[]10,15OQ q p z ==⋅∈；（3）假设存在z a bi =+，(),a b ∈R ，使得()Q z P =在双曲线1y x=上运动， 设(,)P x y ，所以()()q ax by bx ay i =-++，对应的点为(),Q ax by bx ay -+，因为(),Q ax by bx ay -+在双曲线1y x =上运动， 所以1bx ay ax by+=-，所以22221abx a xy b xy aby +--=， 即P 在曲线22221abx a xy b xy aby +--=上运动，所以有2210ab a b =⎧⎨-=⎩，解得：11a b =⎧⎨=⎩或11a b =-⎧⎨=-⎩， 所以，存在复数z 满足题意，分别为1z i =+和1i z =--.【点睛】本题主要考查复数的运算与复数的几何意义，熟记复数的四则运算，以及复数的几何意义与复数的运算法则即可，属于常考题型.24．（1）1z i =+（2）1.【解析】分析：（1）设复数z a bi =+，(),a b R ∈，由3z i +-和1z i+均为实数可得1002b b a -=⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得1a b ==，从而可得结果；（2）由（1）知1z i =+，可得1z i =-，()2212z i i =+=，则复数z ，z ，2z 在复平面上对应的点分别是()1,1A ，()1,1B -，()0,2C ，利用三角形面积公式可得结果.详解：（1）设复数z a bi =+，(),a b R ∈，则 ()33z i a b i i +-=++-，()112a b b a i z a bi i i ++-+==++， ∵3z i +-和1z i+均为实数， ∴1002b b a -=⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得：1a b ==，则所求复数1z i =+.（2）由（1）知1z i =+， 所以1z i =-，()2212z i i =+=，则复数z ，z ，2z 在复平面上对应的点分别是()1,1A ，()1,1B -，()0,2C ， 所以12112ABC S ∆=⨯⨯=，即ABC ∆的面积为1. 点睛：本题主要考查的基本概念、复数的运算以及复数的几何意义，属于中档题.复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.25．(1) 1a =;(2) 14a =-. 【解析】试题分析：(1)由题意得到关于实数a 的方程组，求解方程组可得1a =;(2)z 为纯虚数，则实部为0，虚部不为零，据此可得14a =-. 试题(1)230230a a a +≠⎧⎨+-=⎩， 解得331a a a ≠-⎧⎨=-=⎩或，所以1a =. (2)22304310230a a a a a +≠⎧⎪--=⎨⎪+-≠⎩， 解得311413a a a a a ≠-⎧⎪⎪==-⎨⎪≠≠-⎪⎩或且， 所以14a =-. 26．（1）2z i =+，实部为2，虚部为1；（2）．【解析】 试题分析：由复数的运算法则知512i z i=+，再由除法法则可得结论；（2）可先计算出542z iz+=-，然后由模的定义得结论．试题（1）55(12)(12)212(12)(12)i i iz i i ii i i-===-=+++-，实部为2，虚部为1；（2）552422z i iz i+=-+=-+，∴5||zz+==．考点：复数的运算，复数的概念．。
(常考题)北师大版高中数学选修1-2第四章《数系的扩充与复数的引入》测试题(包含答案解析)(2)
一、选择题1．若i 是虚数单位，则复数11i i +=-（ ） A ．-1 B ．1 C ．i - D ．i2．已知集合{|()()20,,,}A z a bi z a bi z a b R z C =++-+=∈∈，{|||1,}B z z z C ==∈，若A B =∅，则a ，b 之间的关系是（ ）A ．1a b +>B ．1a b +<C ．221a b +<D ．221a b +> 3．设复数z 满足()12z i i ⋅-=+，则z 的虚部是（ ）A ．32B ．32i C ．32- D ．32i - 4．设m R ∈，复数()23521z m m i m =-++-，则z 在复平面内的对应点一定不在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 5．若(1)()5(,)ai b i i a b R ++=∈，则+a b 的值为（ ）A ．±B ．C ．4±D ．46．下列3个命题：①若12,z z C ∈，22120z z +=，则120z z ==； ②若z 是纯虚数，则20z <；③若12,z z C ∈，且120z z ->，则12z z >.其中真命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 7．复数(1)(2)z i i =--（i 为虚数单位），则z 的共轭复数z 的虚部是（ ） A ．3i B ．3i -C ．3D ．3- 8．若复数z 满足()211z i i -=+，其中i 为虚数单位，则z 在复平面内所对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 9．i 为虚数单位，复数512i +的共轭复数是（ ） A ．12i - B ．12i +C ．2i -D ．2i + 10．在复平面内满足11z -=的动点z 的轨迹为（ ）A ．直线B ．线段C ．两个点D ．圆11．已知复数(,,0)z x yi x y R x =+∈≠且|2|z -=，则y x的范围为（ ）A ．⎡⎢⎣⎦ B ．,⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎦⎣⎭C ．⎡⎣D ．(,)-∞⋃+∞12．已知i 是虚数单位，且1zi =+，下列命题错误的是（ ） A ．z 对应复平面内的点在第四象限 B ．||2z = C ．z 的共轭复数为z i = D ．22z z =二、填空题13．已知复数z 的模为1，则2z +的最大值为__________.14．若复数z 满足112z i i i =-+-，则z 等于__________. 15．已知i 是虚数单位，则复数117i 2i +=-_________. 16．复数212i z i-=+的虚部为__________． 17．设复数z 满足345i i z +=，则||z =__________． 18．()()12i a i ++（i 是虚数单位）的实部与虚部相等，则实数a =__________. 19．若2+1()i mi m R i=+∈,则m =________． 20．若z C ∈,且221z i +-=,则22z i --的最小值为______________．三、解答题21．已知复数212z ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭是一元二次方程21(,)0m n x nx m ++=∈R 的一个根. （1）求m 和n 的值；（2）若1(2i)z a z =-，a ∈R ，1z 为纯虚数，求|2i |a +的值. 22．已知复数23(68)(1)41m m m i z m i--++=+--（i 为虚数单位，m R ∈）. （1）若z 是实数，求m 的值；（2）若复数z 在复平面内对应的点位于第四象限，求m 的取值范围.23．已知复数1z i =-.（1）设(1)13w z i i =+--，求w ；（2）如果21z az b i i++=+，求实数a ，b 的值.24．设1z 是虚数，2111z z z =+是实数，且211z -≤≤. （1）求1||z 的值以及1z 的实部的取值范围；（2）若1111z z ω-=+，求证ω为纯虚数； （3）在（2）的条件下，求22z ω-的最小值.25．设1z 是虚数，2112z z z =+是实数，且212z -≤≤. （1）求1z 的值以及1z 的实部的取值范围；（2）若1122z z ω-=+，求证：ω为纯虚数.26．已知i 为虚数单位，执行下面的程序框图.（1）若图中空白框中填入s s i =⨯，求输出的结果；（2）若图中空白框中填入n s s n i =+⨯，求输出的结果.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】()()()21121112i i i i i i i ++===--+， 本题选择D 选项. 2．C解析：C【分析】先设出复数z ，利用复数相等的定义得到集合A 看成复平面上直线上的点，集合B 可看成复平面上圆的点集，若A∩B＝∅即直线与圆没有交点，借助直线与圆相离的定义建立不等关系即可．【详解】设z＝x+yi，,x y R∈,则（a+bi）（x﹣yi）+（a﹣bi）（x+yi）+2＝0化简整理得，ax+by+1＝0即，集合A可看成复平面上直线上的点，集合B可看成复平面上圆x2+y2=1的点集，若A∩B＝∅，即直线ax+by+1＝0与圆x2+y2=1没有交点，1d=，即a2+b2＜1故选C．【点睛】本题考查了复数相等的定义及几何意义，考查了直线与圆的位置关系，考查了转化思想，属于中档题．3．C解析：C【分析】化简得到1322z i=+，故1322z i=-，得到答案.【详解】()12z i i⋅-=+，则()()()()2121313111222i ii iz ii i i++++====+--+，故1322z i=-，虚部为32-.故选：C.【点睛】本题考查了复数的运算，共轭复数，复数的虚部，意在考查学生的计算能力和转化能力. 4．C解析：C【分析】z在复平面内的对应点考查点()2352,1m m m-+-横纵坐标的正负,分情况讨论即可.【详解】由题得, z在复平面内的对应点为()2352,1m m m-+-.当10m->,即1m<时,二次函数2352(32)(1)y m m m m=-+=--取值范围有正有负,故z在复平面内的对应点可以在一二象限.当10m-<,即1m时,二次函数2352(32)(1)0y m m m m=-+=-->,故z在复平面内的对应点可以在第四象限.故z在复平面内的对应点一定不在第三象限.故选：C【点睛】本题主要考查了复平面的基本定义与根据参数范围求解函数范围的问题,属于基础题型. 5．C解析：C【分析】结合复数运算性质,化简,利用待定系数法,计算a,b 值，即可．【详解】()()()115ai b i b a ab i i ++=-++=,所以015b a ab -=⎧⎨+=⎩,解得22a b =⎧⎨=⎩或22a b =-⎧⎨=-⎩所以4a b +=±,故选C.【点睛】本道题考查了复数四则运算和待定系数法，难度中等．6．B解析：B【解析】分析：通过举反例可判断①错误，由复数的乘法法则判断②正确，由复数的概念可判断③错误.详解：令1z i =，21z =，满足22120z z +=，故①错误.z 是纯虚数,即(0)z bi b =≠，则220z b =-<，故②正确.只有当12,z z R ∈时，才可以比较大小，故③错误.综上,真命题有1个.故选B.点睛：本题以命题的真假判断为载体考查了复数的基本概念和性质，特殊值排除法常可用于此类问题的求解.7．C解析：C【解析】分析：求出复数z ，得到z ，即可得到答案.详解：()()1213,13,z i i i z i =--=-∴=+故z 的共轭复数z 的虚部是3.故选C.点睛：本题考查复数的乘法运算，复数的共轭复数等，属基础题.8．B解析：B【解析】分析：把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z 的坐标即可得到结论.详解：()211z i i -=+， ()()()221i i 1i1i 2i 2i 1i z +++∴===---1i 11i 222-+==-+， z ∴在复平面内所对应的点坐标为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，位于第二象限，故选B. 点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.9．B解析：B【分析】分析：直接利用复数的除法的运算法则化简求解即可． 详解：()()()51251 2.121212i i i i i ⋅-==-++- 则复数512i+的共轭复数是12i +. 故选B.点睛：本题考查复数的除法的运算法则的应用，复数的基本概念，是基础题．10．D解析：D【分析】由题意把|1|2||z z -=平方可得关于x 、y 的方程，化简方程可判其对应的图形．【详解】解：设z x yi =+，|1|1z -=，2|1|1z ∴-=，2|1|1x yi ∴-+=，22(1)1x y ∴-+=，故该方程表示的图形为圆， 故选：D ．【点睛】本题主要考查复数的代数形式及其几何意义，考查圆的方程，涉及复数的模长公式，属于中档题．11．C解析：C【分析】转化|2|z -=为22(2)3x y -+=，设,y k y kx x==，即直线和圆有公共点，联立2164(1)0k ∆=-+≥，即得解.【详解】由于|2||2z x yi -=-+22(2)3x y -+=∴ 设y k y kx x=∴= 联立：2222(2)3,(1+)410x y y kx k x x -+==∴-+=由于直线和圆有公共点，2164(1)0k k ∴∆=-+≥≤≤故y x 的范围为[ 故选：C【点睛】 本题考查了直线和圆，复数综合，考查了学生转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 12．D解析：D【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，然后逐一核对四个选项得答案.【详解】 ∵1zi =+，∴1z i i+==，∴z 对应复平面内的点为)1-在第四象限，故A 正确；2z ==，故B 正确；z 的共轭复数为z i =，故C 正确；222z z =-≠，故D 错误；故选：D .【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，属于基础题.二、填空题13．3【分析】设复数复数的模为1表示以原点为原点1为半径的圆而表示的是圆上的点到点的距离因此其最大值求出即可【详解】设复数复数的模为1表示以原点为原点1为半径的圆∴即表示的是圆上的点到点的距离因此的最大 解析：3设(),z x y =，复数复数z 的模为1，表示以原点O 为原点，1为半径的圆，而()22z x yi +=++表示的是圆上的点(),x y 到点()2,0P -的距离，因此其最大值OP R =+，求出即可．【详解】设(),z x y =，复数复数z 的模为1，表示以原点O 为原点，1为半径的圆，∴()22z x yi +=++=即表示的是圆上的点(),x y 到点()2,0P -的距离， 因此2z +的最大值为213OP R +=+=，故答案为3.【点睛】本题考查了复数形式的圆的方程及两点间的距离公式、点与圆上的点的距离的最大值问题，考查了推理能力，属于中档题．14．【分析】利用行列式展开法则和复数的性质进行求解【详解】∵∴∴故答案为【点睛】本题主要考查行列式运算法则解题时要注意复数运算性质的合理运用属于基础题解析：1i +【分析】利用行列式展开法则a c ad bcb d =-和复数的性质进行求解．【详解】∵1z iz i i i =+-，∴12iz i i +=-+， ∴1z i =+，故答案为1i +．【点睛】本题主要考查行列式运算法则，解题时要注意复数运算性质的合理运用，属于基础题. 15．【分析】根据复数除法法则进行计算【详解】【点睛】对于复数的四则运算要切实掌握其运算技巧和常规思路如解析：35i.+【分析】根据复数除法法则进行计算. 【详解】()117i)(2+i 117i 1525i 35i.2i 55+++===+-对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()()(),,,a bi c di ac bd ad bc i a b c d R ++=-++∈，.16．【解析】分析：利用复数除法的运算法则化简复数为的形式即可得到复数虚部详解：则复数的虚部故答案为点睛：本题主要考查的是复数的乘法除法运算属于中档题解题时一定要注意和以及运算的准确性否则很容易出现错误 解析：1-【解析】 分析：利用复数除法的运算法则化简复数212i z i -=+为a bi +的形式，即可得到复数虚部. 详解：()()()()212251212125i i i i z i i i i ----====-++-，则复数z 的虚部1-，故答案为1-. 点睛：本题主要考查的是复数的乘法、除法运算，属于中档题．解题时一定要注意21i =-和()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++以及()()()()a bi c di a bi c di c di c di +-+=++- 运算的准确性，否则很容易出现错误.17．1【解析】∵∴∴故答案为1解析：1【解析】∵345i i z+= ∴3434555i i z i +==-+ ∴2234155z ⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为1 18．【解析】的实部与虚部相等解得故答案为解析：3-【解析】()()12i a i ++()212a a i =-++的实部与虚部相等，212a a ∴-=+，解得3a =-，故答案为3-.19．-2【解析】则考点：复数的运算解析：-2【解析】，则.考点：复数的运算.20．3【详解】∵|z+2-2i|=|z-(-2+2i)|=1∴复数z 在复平面内对应点的轨迹是以（-22）为圆心1为半径的圆∵|z-2-2i|=|z-(2+2i)|表示复数z 在复平面内的对应点到点（22）解析：3【详解】∵|z+2-2i|=|z-(-2+2i)|=1，∴复数z 在复平面内对应点的轨迹是以（-2，2）为圆心，1为半径的圆.∵|z-2-2i|=|z-(2+2i)|表示复数z 在复平面内的对应点到点（2，2）的距离，即圆上的点到点（2，2）的距离，∴最小值为圆心与点（2，2）的距离减去半径，∴|z-2-2i|的最小值为4-1=3.三、解答题21．（1）1m n ==；（2）4.【分析】（1）利用复数代数形式的乘除运算化简z ，再由实系数一元二次方程虚根成共轭复数这一性质，结合韦达定理求解；（2）化简()12z a i z =-，由实部为0且虚部不为0求出a 的值，然后利用复数模的计算公式求解.【详解】（1）213313442132z =--=-⎛⎫=- ⎪⎪⎝ ⎭是一元二次方程210mx nx ++=的一个虚根，则1322-+是一元二次方程210mx nx ++=的另一个虚根， 11313122m ⎛⎫⎛⎫∴=--+= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，得1m =， 1313122n m ⎛⎫⎛⎫-=-+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得1n =， 因此，1m n ==；（2）()()11122122z a i z a i a i ⎛⎫⎛⎫⎛=-=--=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎝⎭是纯虚数，则10210a ⎧-=⎪⎪⎨⎪≠⎪⎩，即a =-224a i i +=-==.【点睛】本题考查虚根与实系数一元二次方程之间的关系，同时也考查了复数相关的概念以及复数模的计算，解题时要利用复数的四则运算法则将复数化为一般形式，针对实部和虚部进行求解，考查计算能力，属于中等题.22．(1) 2m = (2) 34m <<【解析】分析：（1）由复数的运算法则可得()23684m z m m i m -=+-+-.据此得到关于实数m 的方程组，解得2m =.（2）结合(1)中的结果得到关于m 的不等式组，求解不等式组可知34m <<. 详解：（1）()()2681341m m i m z m i -++-=+-- ()()()()226813411m m i m mi i -++-=+--+ ()23684m m m i m -=+-+-. 因为z 是实数，所以240680m m m -≠⎧⎨-+=⎩，解得2m =.（2）因为复数z 在复平面内对应的点位于第四象限， 所以2304680m m m m -⎧>⎪-⎨⎪-+<⎩，解得34m <<.点睛：本题主要考查复数的运算法则，已知复数的类型求参数的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.23．(1) w =32a b =-⎧⎨=⎩ 【解析】分析：（1）根据复数的除法运算得到13w i =-，进而得到模长；（2）根据复数相等的概念得到()121a b a +=-⎧⎨-+=⎩，进而求得参数. 详解：（1）因为1z i =-，所以()()111313w i i i i =-+--=-.∴w =（2）由题意得：()()2211z az b i a i b ++=-+-+ ()2a b a i =+-+； ()11i i i +=-+，所以()121a b a +=-⎧⎨-+=⎩， 解得32a b =-⎧⎨=⎩. 点睛：本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题,复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.24．（1）11z =， 11[,]22-；（2）证明见解析；（3）1.【分析】（1）设出复数1z ，写出2z 的表示式，进行复数的运算，把2z 整理成最简形式，再根据所给2z 的范围，得到2z 的虚部为0，实部属于这个范围，得到1z 的实部的范围； （2）根据设出的1z ，整理ω的代数形式，进行复数的除法的运算，整理成最简形式，根据上一问做出的复数的模长为1，得到ω是一个纯虚数； （3）2222221112222[(1)]3(1)(1)11b a a a a a a a a z a a ω--=+=+=+=++-++++-，再利用基本不等式即可求得结果【详解】解：（1）由1z 是虚数，设1(,,0)z a bi a b R b =+∈≠，则21222222111()a bi a b z z a bi a bi a b i z a bi a b a b a b -=+=++=++=++-++++， 因为2z 为实数，所以220b b a b-=+且0b ≠，所以221a b += 所以11z =，此时22z a =， 因为211z -≤≤，所以121a -≤≤，得1122a -≤≤ （2）因为122111()[(1)][(1)]11()(1)z a bi a bi a bi z a bi a bω--+--+-===+++++，且221a b +=，所以1b i aω=-+， 因为0b ≠，1122a -≤≤，所以ω为纯虚数 （3）2222221112222[(1)]3(1)(1)11b a a a a a a a a z a a ω--=+=+=+=++-++++-， 由1122a -≤≤，得1(1)21a a ++≥+， 故当且仅当111a a +=+，即0a =时，22z ω-有最小值1 【点睛】此题考查复数的代数形式的运算，运算量比较大，考查了运算能力，属于中档题.25．（1）1z =1z 的实部的取值范围为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）证明见解析 【分析】（1）待定系数法设出1z a bi =+，代入到上式，利用共轭复数进行化简，由2z 是实数可求得222a b +=，且22z a =，故而1z =212z -≤≤，求得实部a 的范围；（2）直接将（1）中1z a bi =+代入，化简得ω=，由a ，b范围可知0≠，故结论得证.【详解】（1）设1z a bi =+(,a b ∈R ，且0b ≠) 则22222222a b z a bi a b i a bi a b a b ⎛⎫⎛⎫=++=++- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭. ∵2z 是实数，0b ≠，∴222a b +=，即1z =22z a =. 又∵212z -≤≤，∴122a -≤≤，即112a -≤≤， ∴1z 的实部的取值范围为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. （2）()22222a b a b ω---====++. ∵1,12a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，0b ≠，∴0≠，故ω为纯虚数.【点睛】本题考查了复数的四则运算，利用复数除法，求解相关参量的范围，要求学生会利用待定系数法，处理相关证明需要学生了解复数相关基础概念，为中等难度题目.26．（1）i -；（2）10091010i --【分析】（1）由程序框图得2019S i =，计算即可得解；（2）由程序框图可知232019123...2019S i i i i =+++++，设23201923...2019T i i i i =++++，利用错位相减法求得T 后即可得解.【详解】（1）由程序框图得2019S i =，∵41n i =，41n i i +=，42i 1n +=-，43i i n +=-，∴201945043S i i i ⨯+===-，所以输出的结果S 为i -.（2）由程序框图得232019123...2019S i i i i =+++++，设23201923...2019T i i i i =++++，①则234202023...2019iT i i i i =++++，②②－①得()23201920201...2019i T i i i i i -=++++-，20202020120192019202011i i i i i i--=-=-=---， 所以2020101010101T i i-==---， 故输出的结果S 为10091010i --.【点睛】 本题综合考查了程序框图和复数的运算，考查了错位相减法的应用，属于中档题.。
(常考题)北师大版高中数学选修1-2第四章《数系的扩充与复数的引入》测试题(含答案解析)(2)
一、选择题1．已知i 是虚数单位，复数13i 1i +=+（ ） A ．2i +B ．2i -C ．1i -+D ．1i -- 2．复数z 满足(2)36z i i +=-（i 为虚数单位），则复数z 的虚部为（ ） A ．3B ．3i -C ．3iD ．3- 3．若复数2320211z i i i i =++++⋯+，则复数z 对应的点在第（ ）象限A ．一B ．二C ．三D ．四 4．已知z C ∈，2z i z i ++-=，则z 对应的点Z 的轨迹为（ ）A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．线段5．已知复数1i z =-+，则22z z z +=+（ ） A ．1- B ．1 C ．i - D ．i6．已知i 为虚数单位，若复数1()1ai z a R i -=∈+的实部为-2，则z =（ ）A ．5B C D ．13 7．设复数3422i i z +-=, 则复数z 的共轭复数是（ ） A ．5-2i B ．52i + C ．5-2i + D ．5--2i8．已知复数z 满足|12||2|z i z i ---++=i 是虚数单位），若在复平面内复数z 对应的点为Z ，则点Z 的轨迹为（ ）A ．双曲线的一支B ．双曲线C ．一条射线D ．两条射线 9．已知i 为虚数单位，则复数21i i -+对应复平面上的点在第（ ）象限． A ．一 B ．二 C ．三 D ．四10．已知i 是虚数单位，且1zi =+，下列命题错误的是（ ）A ．z 对应复平面内的点在第四象限B ．||2z =C ．z 的共轭复数为z i = D ．22z z =11．已知复数z 满足(1)||i z i +=，其中i 为虚数单位，则复数z 在复平面内对应点所在的象限为（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 12．若34sin cos 55i z θθ⎛⎫-+- =⎪⎝⎭是纯虚数，则tan 4πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．17-B ．-1C ．73-D ．-7二、填空题13．已知复数z 满足方程||2z i +=，则|2|z -的最小值为____________．14．若复数z 满足210z z -+=，则z =__________．15．若复数(),z x yi x y R =+∈复平面上对应的点在直线34150x y +-=上，则z 的最小值是_________.16．若复数i 2ia +-为纯虚数，那么实数a 的值为__________． 17．已知i 是虚数单位，则复数11i i +-的实部为______. 18．复数()1i i +的实部为_________．19．若复数z 满足(1)1z i i i -=-+，则z 的虚部为__________．20．已知复数1223,z i z t i =+=-，且12·z z 是实数，则实数t =__________.三、解答题21．已知复数z a bi =+（a ，b 为正实数，i 是虚数单位）是方程2450x x -+=的一个根.（1）求此方程的另一个根1z 及1z 的值；（2）复数3w u i =+()u R ∈满足w z -<u 的取值范围.22．（1）已知121,2z i z i =+=-，且12111z z z =+，求z ； （2）已知32i --是关于x 的方程220x px q ++=的一个根，求实数,p q 的值.23．已知z 是复数，且z i +，2z 1+i均为实数(i 为虚数单位). （Ⅰ）求复数z ； （Ⅱ）若z i a +=a 的值.24．已知z 是复数，2z i +与2z i-均为实数． （1）求复数z ；（2）复数()2z ai +在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．25．已知复数21(56)z m m m i =++++（1）当实数m 为何值时，z 为实数；（2）当实数m 为何值时，z 为纯虚数.26．已知复数12z =-，i 为虚数单位.（1）求3z 的值；（2）类比数列的有关知识，求220191z z z ++++的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【详解】 因为13i (1+3)(1)4221i (1)(1)2i i i i i i +-+===+++-， 故选：A ．点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数，共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化，转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分．2．D解析：D【分析】首先化简复数z ，然后结合复数的定义确定其虚部即可.【详解】 由题意可得：()()()()362361151322255i i i i z i i i i -----====--++-， 据此可知，复数z 的虚部为3-.本题选择D 选项.【点睛】复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根．除法实际上是分母实数化的过程．3．A解析：A【分析】根据周期性得到1z i =+,得到答案.【详解】2320211(11)(11)11z i i i i i i i i i i =++++⋯+=+--+⋯++--++=+，故复数z 对应的点在第一象限.故选：A.【点睛】本题考查了复数对应象限，意在考查学生的计算能力和转化能力.4．D解析：D【分析】由复数模的几何意义，结合三角不等式可得出点Z 的轨迹.【详解】2z i z i ++-=的几何意义为复数z 对应的点Z 到点()0,1A -和点()0,1B 的距离之和为2，即ZA ZB AB +=，另一方面，由三角不等式得ZA ZB AB +≥.当且仅当点Z 在线段AB 上时，等号成立.因此，点Z 的轨迹为线段.故选D.【点睛】本题考查复数模的几何意义，将问题转化为距离之和并结合三角不等式求解是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.5．A解析：A【解析】分析：先代入，再根据复数乘法与除法法则求解.详解：因为1i z =-+，所以2221211(1)11z i i z z i i i+-+++===-+-+-+--, 选A.点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭为.-a bi6．C解析：C【解析】分析：利用复数的除法运算得到z ，进的得到z . 详解：由题复数()11ai z a R i-=∈+的实部为-2，()()()()()11111,1112ai i a a i ai z i i i -⋅---+-===++⋅- 12,5,2a a -∴=-= 则()1123,2a a i z i z --+==--∴= 故选C.点睛：本题考查复数的除法运算及复数的模，属基础题.7．B解析：B【解析】分析：由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果. 详解：由题意可得：342525222i i i z i +--===-， 则其共轭复数为：52z i =+. 本题选择B 选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 8．C解析：C【解析】分析：利用两个复数的差的绝对值表示两个复数对应点之间的距离，来分析已知等式的意义．详解：∵复数z 满足|122|z i z i ---++=i 是虚数单位），在复平面内复数z 对应的点为Z ，则点Z 到点（1，2）的距离减去到点（﹣2，﹣1）的距离之差等于，而点（1，2）与点（﹣2，﹣1）之间的距离为，故点Z 的轨迹是以点（1，2）为端点的经过点（﹣2，﹣1）的一条射线．故选 C ．点睛：本题考查两个复数的差的绝对值的意义，两个复数的差的绝对值表示两个复数对应点之间的距离．9．D解析：D【解析】分析：首先化简所给的复数，然后确定复数所在的象限即可.详解：由题意可得：()()()()2121313111222i i i i i i i i ----===-++-， 则复数对应的点为13,22⎛⎫-⎪⎝⎭，该点位于第四象限， 即复数21i i-+对应复平面上的点在第四象限. 本题选择D 选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10．D解析：D【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，然后逐一核对四个选项得答案.【详解】 ∵1zi =+，∴1z i i+==，∴z 对应复平面内的点为)1-在第四象限，故A 正确；2z ==，故B 正确；z 的共轭复数为z i =，故C 正确；222z z =-≠，故D 错误；故选：D .【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，属于基础题.11．D解析：D【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】解：因为(1)|i z i +=||2(1)11(1)(1)i i z i i i i -∴===-++-， ∴复数z 在复平面内对应的点的坐标为()1,1-在第四象限，故选：D .【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题． 12．D解析：D【分析】 根据复数为纯虚数得到3sin 5θ=，4cos 5θ=-，故3tan 4θ=-，展开计算得到答案. 【详解】34sin cos 55z i θθ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭是纯虚数，则3sin 5θ=且4cos 5θ≠，故4cos 5θ=- 3tan 4θ=-，tan 1tan 741tan πθθθ-⎛⎫-==- ⎪+⎝⎭ 故选：D【点睛】本题考查了复数的概念，和差公式，意在考查学生的综合应用能力和计算能力.二、填空题13．【分析】设复数根据复数的几何意义可知的轨迹为圆；再根据点和圆的位置关系及的几何意义即可求得点到圆上距离的最小值即为的最小值【详解】复数满足方程设（）则在复平面内轨迹是以为圆心以2为半径的圆；意义为圆2【分析】设复数,z a bi =+根据复数的几何意义可知(),a b 的轨迹为圆；再根据点和圆的位置关系，及|2|z -的几何意义即可求得点到圆上距离的最小值，即为|2|z -的最小值.【详解】复数z 满足方程||2z i +=，设,z a bi =+（,a b ∈R ），则|||(1)|2z i a b i +=++=，(),a b 在复平面内轨迹是以()0,1-为圆心，以2为半径的圆；()|2||2|z a bi -=-+=()2,0的距离，由点与圆的几何性质可知，|2|z -22=，2.【点睛】 本题考查了复数几何意义的综合应用，点和圆的位置关系及距离最值的求法，属于中档题. 14．1【分析】设代入方程利用复数相等即可求解求模即可【详解】设则整理得：解得所以故答案为1【点睛】本题主要考查了复数的概念复数的模复数方程属于中档题解析：1【分析】设z a bi =+，,a b ∈R ,代入方程利用复数相等即可求解z ，求模即可.【详解】设z a bi =+，,a b ∈R ,则2()()10a bi a bi +-++=，整理得：22(1)(2)0a b a ab b i --++-= 解得213,24a b ==，所以||1z ===， 故答案为1【点睛】本题主要考查了复数的概念，复数的模，复数方程，属于中档题.15．【分析】复数对应的点为则其表示点到原点的距离再利用点到直线的距离公式即可求解的最小值【详解】因为复数对应的点为所以其表示点到原点的距离；当有最小值时原点到直线上的点距离最小即为原点到直线的距离所以故 解析：3【分析】复数(),z x yi x y R =+∈对应的点为(),x y ，则z =(),x y 到原点的距离，再利用点到直线的距离公式即可求解z 的最小值.【详解】因为复数(),z x yi x y R =+∈对应的点为(),x y ，所以z =(),x y 到原点()0,0的距离； 当z 有最小值时，原点到直线上的点距离最小，即为原点到直线34150x y +-=的距离d ，3d ==，所以min 3z =.故答案为3.【点睛】本题考查复数模的几何意义和点到直线的距离公式的应用，难度一般.复数模的几何意义就是复数(),z a bi a b R =+∈所对应的点(),Z a b 到坐标原点的距离.16．【解析】分析：直接由复数代数形式的乘除运算化简复数又已知复数为纯虚数列出方程组求解即可得答案详解：又∵为纯虚数∴解得故答案为点睛：本题考查了复数代数形式的乘除运算考查了复数的基本概念以及学生的运算能 解析：12【解析】 分析：直接由复数代数形式的乘除运算化简复数 2a i i +-，又已知复数 2a i i+-为纯虚数，列出方程组，求解即可得答案. 详解：()()()()()2212212 222555a i i a a i a i a a i i i i ++-+++-+===+--+， 又∵ 2a i i +-为纯虚数，∴2105 205a a -⎧=⎪⎪⎨+⎪≠⎪⎩，解得12a =，故答案为12． 点睛：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念以及学生的运算能力，是基础题．17．0【解析】实部为0点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念属于基本题首先对于复数的四则运算要切实掌握其运算技巧和常规思路如其次要熟悉复数相关基本概念如复数的实部为虚部为模为对应点为共轭为解析：0【解析】 1i i 1i+=∴- 实部为0 点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭为.-a bi18．【解析】复数其实部为考点：复数的乘法运算实部解析：1-【解析】复数(1)11i i i i +=-=-+，其实部为1-.考点：复数的乘法运算、实部.19．【解析】分析：利用复数的运算法则虚部的定义即可得出详解：复数满足则故的虚部为点睛：题考查了复数的运算法则虚部的定义考查了推理能力与计算能力属于基础题解析：12【解析】分析：利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．详解：复数z 满足()11z i i i-=-+，则)()()()1.11i i z i i ⋅+===+-⋅+故z的虚部为12. 点睛：题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．20．【解析】复数z1=2+3iz2=t−i ∴=t+i ∴=(2+3i)(t+i)=(2t−3)+(3t+2)i 由是实数得3t+2=0即 解析：23- 【解析】复数z 1=2+3i ,z 2=t −i ， ∴2z =t +i ， ∴12·z z =(2+3i )(t +i )=(2t −3)+(3t +2)i ， 由12·z z 是实数,得3t +2=0,即23t =-. 三、解答题21．(1) 12z i =-,1z =;(2) 26u -<< 【分析】(1)先求得2450x x -+=的根,再根据题意求另一根1z 即可.(2)根据复数模长的计算表达w z -<.【详解】(1)22450(2)12x x x x i -+=⇒-=-⇒=±,故2z i =+,12z i =-,1z =(2)由w z -<(3)(2)u i i +-+<,<. 所以26u -<<.【点睛】本题主要考查了复数的基本运算以及模长的用法等,属于基础题型.22．（1）z =;（2）12,26p q ==. 【解析】试题分析：（1）把12,z z 代入12111z z z =+，利用复数除法化简，可得113z i =+，所以z =（2）由于32i --是方程的一个根，所以把32i --代入方程，整体成复数的一般形式，根据复数等于0，实部虚部都为0，可得()()3102420p q p i -+++-=，即31002420p q p -++=⎧⎨-=⎩可解得,p q .试题（1）由12111z z z =+，得()()()()123111233i i i z i i i +-+===+++-，所以3z =. （2）由于32i --是方程220x px q ++=一根，则()()2232320i p i q --+--+=即：()()3102420p q p i -+++-=，所以，31002420p q p -++=⎧⎨-=⎩， 解得，12,26p q ==.【点睛】 对于复数方程根的问题，已知一复数根时，一般把复数代入方程，整体成复数的一般形式，根据复数等于0，实部虚部都为0，可得两个等式，可解参数。
(常考题)北师大版高中数学选修1-2第四章《数系的扩充与复数的引入》测试(含答案解析)
一、选择题1．在复数范围内，有下列命题：（1）若12,z z 是两个复数，则1212z z z z +一定是实数 （2）“||1z =”是“1z R z+∈”的充分非必要条件 （3）方程20(0)x t t +=>的根是ti ±（4）22z z =则其中假命题的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．42．在复数范围内，下列命题中，假命题的是（ ） A ．若z 为实数，则z z = B ．若z z =，则z 为实数 C ．若z z ⋅为实数，则z 为实数D ．若z 为实数，则z z ⋅为实数3．已知()2155 2i z i -=+，则z 的虚部是（ ）A ．1B ．-1C ．3D ．-34．在复平面内，复数12z i ＝－对应的向量为OA ，复数2z 对应的向量为OB ，则向量AB 所对应的复数为( ) A ． 42i ＋ B ． 42i -C ． 42i --D ． 42i -+5．i 是虚数单位，20191i ()(1i+=- ) A ．iB ．i -C ．1D ．1-6．下面是关于复数21iz =-的四个命题，其中的真命题为（ ） 1:2p z =;22:2i p z =;3:p z 的共轭复数为1i -；4:p z 的虚部为i.A ．2p ,3pB ．13,p pC ．24,p pD ．34,p p7．在复平面内，若复数z 满足|z ＋1|＝|1＋i z |，则z 在复平面内对应点的轨迹是( )A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．抛物线8．已知i 是虚数单位，复数212iz i+=-，则复数z =（ ） A ．1 B ．1- C ．i - D ．i 9．已知复数z 满足(i−1)(z −3i )=2i(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数为A ．i−1B ．1+2iC ．1−iD ．1−2i10．在复平面内，复数（为虚数单位）对应的点位于（ ）．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限11．已知实数[1,1]a ∈-，实数[1,2]b ∈-，则复数2a biz i+=-在复平面内对应的点位于第一象限的概率为（ ） A ．524B ．14C ．724D ．1312．若34sin cos 55i z θθ⎛⎫-+- =⎪⎝⎭是纯虚数，则tan 4πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．17-B ．-1C ．73-D ．-7二、填空题13．若复数z 满足034z z z i -+-=，且复数z 对应的点的轨迹是椭圆，则复数0z 的模的取值范围是__________． 14．若复数z 满足i 12i01z+=，其中i 是虚数单位，则z 的虚部为________15．设复数z 满足12iz i =+，则复数z 的共轭复数为______________． 16．复数z=（其中i 为虚数单位）的虚部为________．17．i 是虚数单位，若复数()()12i i a -+ 是纯虚数，则实数a 的值为____________. 18．已知复数z x yi =+，且23z -=，则yx的最大值为__________． 19．若复数z 满足1z =，则1z i -+的最大值是______． 20．已知复数z 和满足，且，则复数______．三、解答题21．已知方程21000x kx -+=，k C ∈. （1）若1i +是它的一个根，求k 的值； （2）若*k N ∈，求满足方程的所有虚数的和. 22．（1）在复数范围内解方程22||0x x +=；（2）已知复数z 满足4z R z+∈，且|2|2z -=，求z 的值.23．已知z C ∈，且满足()252z z z i i ++=+. （1）求z ；（2）若m R ∈，w zi m =+，求w 的取值范围. 24．已知复数1212,34,z i z i i =-=+为虚数单位.（1）若复数21z az + 对应的点在第四象限，求实数a 的取值范围；（2）若()1212z z z z z +=-，求z 的共轭复数. 25．设z 1是虚数，z 2＝z 111z +是实数，且﹣1≤z 2≤1． （1）求|z 1|的值以及z 1的实部的取值范围； （2）若ω1111z z -=+，求证ω为纯虚数； （3）求z 2﹣ω2的最小值．26．已知()1243i z i +=+，求复数z .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】利用复数的概念及运算法则对各个命题依次进行判定． 【详解】设12,z a bi z c di =+=+（,,,a b c d R ∈），则1212z z z z +()()()()a bi c di a bi c di =+-+-+()()ac adi bci bd ac adi bci bd =-++++-+22ac bd R =+∈，①正确；设i(,0)z a b a b b =+∈≠R,，若1z ==，则11z a bi z a bi +=+++222a bi a bi a bi a bi a R a b-=++=++-=∈+， 反之，若11z a bi z a bi +=+++22a bi a bi R a b -=++∈+，则220bb a b-=+，221a b +=，∴1z =．应是充要条件，②错误；方程20(0)x t t +=>的根是，③正确；z 是复数，2z 可能是虚数，但2z 是复数的模，一定是实数，④错误，∴错误命题有2个． 故选B ． 【点睛】本题考查复数的概念与运算，解题时可设(,)z a bi a b R =+∈，然后代入进去进行检验证明．2．C解析：C 【分析】根据实数的共轭复数仍旧是实数可判断AD 的对错；一个数的共轭复数等于本身，这个数必定是实数，可判断B 的对错；一个复数与其共轭复数相乘结果一定是实数，因为z 可以是实数也可以是虚数，由此可判断C 的对错. 【详解】设z a bi =+，则z a bi =-，A ．因为z R ∈，所以0b =，所以z R =且z z a ==，正确；B ．因为z z =，所以0b =，所以z R ∈，正确；C ．z z ⋅为实数对z C ∀∈（复数集）均满足，所以z 可以是实数，也可是虚数，错误.D ．因为z 为实数，所以0b =，所以z 也是实数，所以z z ⋅为实数，正确. 故选C. 【点睛】复数判断的常用结论：（1）一个复数与其共轭复数相乘的结果一定是实数； （2）实数的共轭复数仍是实数；（3）一个复数与其共轭复数相等则此复数是实数.3．D解析：D 【分析】根据复数的运算，求得13z i =-，进而取得复数的虚部，得到答案． 【详解】由题意，复数()()()()()2155******** 133434342i i i i z i i i i i ----====-++-+，所以复数z 的虚部为3-，故选D ． 【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的基本概念，其中解答中熟记复数的基本运算法则，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．4．C解析：C 【分析】先计算A 点坐标和B 点坐标，再计算向量AB ，最后得到对应的复数. 【详解】复数12z i ＝－对应的向量为(1,2)OA A ⇒-22()3412i z i ==--－复数2z 对应的向量为(3,4)OB B ⇒--(4,2)AB =--对应的复数为：42i -- 故答案选C 【点睛】本题考查了复数的计算，对应向量，意在考查学生综合应用能力.5．B解析：B 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由虚数单位i 的性质计算． 【详解】()()21i (1i)i 1i 1i 1i ++==--+， 20192019450431i ()i (i )i i 1i +∴==⋅=--． 故选B ． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查虚数单位i 的运算性质，是基础题．6．A解析：A 【解析】 【分析】利用复数的乘除运算化简复数z ，再根据共轭复数、复数的虚部、复数模的计算公式求解即可得答案． 【详解】 ∵z ()()()212111i i i i +===--+1+i ， ∴1p ：|z |=2p ：z 2＝2i ，3p ：z 的共轭复数为1-i ， 4p ：z 的虚部为1，∴真命题为p 2，p 3． 故选A ． 【点睛】本题考查命题的真假的判断与应用，考查复数运算及复数的模、复数的虚部、共轭复数的概念，是基础题．7．A解析：A【解析】 【分析】设()z x yi x y R =+∈、，代入11z iz +=+，求模后整理得z 在复平面内对应点的轨迹是直线． 【详解】设()z x yi x y R =+∈、，1x yi ++=，()11iz i x yi +=++=y x =-，所以复数z x yi =+对应点的轨迹为直线，故选A. 【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，动点的轨迹问题，是基础题．8．D解析：D 【解析】分析：利用复数的运算法则，分子和分母同乘以分母的共轭复数，将分母实数化，化简求得结果.详解：()222(2)(12)252512(12)12145i i i i i iz i i i i i +++++=====--+-, 故选D.点睛：该题考查的是有关复数的运算，涉及到的知识点有复数的除法运算以及复数的乘法运算，熟练掌握其运算法则是解题的关键，属于简单题目.9．B解析：B 【解析】分析：把已知等式变形，再利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 详解：由(i−1)(z −3i )=2i(， 得()22(1)1211(1)i i i z i i i i i i ----=--+-+--＝＝， 则z 的共轭复数为12i + ． 故选：B ．点睛：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．10．D解析：D 【解析】分析：先化复数为代数形式，再根据几何意义得对应点，即得点所在象限.详解：复数，其对应的点是，位于第四象限．故选．点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为11．A解析：A 【解析】分析：化简复数z ，得()()225a b a b i z -++=，复数z 在复平面内对应的点位于第一象限，则2020a b a b ->+>，结合[]1,1a ∈-，[]1,2b ∈-，画出可行域，利用几何概型即可求出答案.详解：化简复数z ，得()()225a b a b i z -++=，复数z 在复平面内对应的点位于第一象限，则2020a b a b ->+>，又[] 1,1a ∈-，[]1,2b ∈-，故在平面直角坐标系上画出可行域，如图所示：∴复数z 在复平面内对应的点位于第一象限的概率1515222324P ⨯⨯==⨯. 故选：A.点睛：应用几何概型求概率的方法建立相应的几何概型，将试验构成的总区域和所求事件构成的区域转化为几何图形，并加以度量．(1)一般地，一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，只需把这个变量放在数轴上即可；(2)若一个随机事件需要用两个变量来描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型；(3)若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件，利用空间直角坐标系即可建立与体积有关的几何概型．12．D解析：D 【分析】根据复数为纯虚数得到3sin 5θ=，4cos 5θ=-，故3tan 4θ=-，展开计算得到答案.【详解】34sin cos 55z i θθ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭是纯虚数，则3sin 5θ=且4cos 5θ≠，故4cos 5θ=-3tan 4θ=-，tan 1tan 741tan πθθθ-⎛⎫-==- ⎪+⎝⎭ 故选：D 【点睛】本题考查了复数的概念，和差公式，意在考查学生的综合应用能力和计算能力.二、填空题13．【分析】根据椭圆的定义可知从而可得复数的模的取值范围【详解】因为复数满足且复数对应的点的轨迹是椭圆所以根据复数差的几何意义知表示复数在以为圆心4为半径的圆的内部数形结合可得故答案为：【点睛】本题主要 解析：[0,7)【分析】根据椭圆的定义可知03i 4z -<，从而可得复数0z 的模的取值范围. 【详解】因为复数z 满足034z z z i -+-=，且复数z 对应的点的轨迹是椭圆， 所以03i 4z -<，根据复数差的几何意义知03i 4z -<表示复数0z 在以(0,3)为圆心，4为半径的圆的内部，数形结合可得07z <. 故答案为：[0,7) 【点睛】本题主要考查椭圆的定义应用，明确椭圆定义中2a 与2c 的大小关系是求解的关键，侧重考查直观想象的核心素养.14．【分析】根据行列式得到化简得到复数的虚部【详解】即的虚部为故答案为【点睛】本题考查了行列式的计算复数的虚部意在考查学生的计算能力 解析：1-【分析】根据行列式得到(12)0iz i -+=，化简得到复数的虚部. 【详解】i 12i 01z +=即12(12)0,2iiz i z i i+-+===-，z 的虚部为1-故答案为1- 【点睛】本题考查了行列式的计算，复数的虚部，意在考查学生的计算能力.15．2+i 【分析】由得然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数z 则复数z 的共轭复数可求【详解】由得则复数的共轭复数故答案是【点睛】该题考查的是有关共轭复数的问题涉及到的知识点有复数的除法运算共轭复数的概念解析：2+i 【分析】由12iz i =+，得12iz i+=，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数z ，则复数z 的共轭复数z 可求. 【详解】由12iz i =+，得212(12)2i i i z i i i+-+===--， 则复数z 的共轭复数2z i =+， 故答案是2i +. 【点睛】该题考查的是有关共轭复数的问题，涉及到的知识点有复数的除法运算，共轭复数的概念，属于简单题目.16．﹣【解析】试题分析：利用复数除法运算化简可得虚部解：==则复数z 的虚部为﹣故答案为﹣考点：复数代数形式的乘除运算解析：﹣． 【解析】试题分析：利用复数除法运算化简，可得虚部． 解：==，则复数z 的虚部为﹣，故答案为﹣．考点：复数代数形式的乘除运算．17．【解析】试题分析：由复数的运算可知是纯虚数则其实部必为零即所以考点：复数的运算 解析：2-【解析】试题分析：由复数的运算可知，()()12i a i -+是纯虚数，则其实部必为零，即，所以.考点：复数的运算.18．【分析】根据复数z 的几何意义以及的几何意义由图象得出最大值【详解】复数且复数z 的几何意义是复平面内以点为圆心为半径的圆的几何意义是圆上的点与坐标原点连线的斜率由图可知：即的最大值为故答案为：【点睛】 解析：【分析】根据复数z 的几何意义以及yx的几何意义，由图象得出最大值.【详解】复数z x yi =+且23z -=，复数z 的几何意义是复平面内以点(2,0)为圆心，3为半径的圆22(2)3x y -+=.yx的几何意义是圆上的点与坐标原点连线的斜率由图可知：max331y x ⎛⎫== ⎪⎝⎭ 即yx3 3【点睛】本题主要考查了复数的几何意义的应用，属于中档题.19．【分析】利用复数模的三角不等式可得出可得出的最大值【详解】由复数模的三角不等式可得因此的最大值是故答案为【点睛】本题考查复数模的最值的计算可将问题转化为复平面内复数对应的点的轨迹利用数形结合思想求解 解析：12+【分析】利用复数模的三角不等式可得出()111z i z i z i -+=--≤+-可得出1z i -+的最大值. 【详解】由复数模的三角不等式可得()()2211111112z i z i z i -+=--≤+-=++-=+， 因此，1z i -+的最大值是12+. 故答案为12+. 【点睛】本题考查复数模的最值的计算，可将问题转化为复平面内复数对应的点的轨迹，利用数形结合思想求解，同时也可以利用复数模的三角不等式进行计算，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.20．1+i 或-1-i 【解析】【分析】本题首先可以设z=a+bi(ab ∈R)由|z|-z=41-i 可得a=0b=22则z=2i 令ω=m+ni(mn ∈R)代入ω2=z 再由复数相等的条件求解【详解】设z=a+解析：或【解析】 【分析】 本题首先可以设，由，可得，则，令，代入，再由复数相等的条件求解。
(常考题)北师大版高中数学选修1-2第四章《数系的扩充与复数的引入》测试卷(有答案解析)
一、选择题1．若复数1z ，2z 满足1134z z i +=-，212z i ++=，则12z z -的最小值为（ ）．A ．110B ．1110C ．2110D ．21210- 2．已知复数13aiz i+=+为纯虚数（其中i 为虚数单位），则实数a =（ ） A ．3- B ．3C ．13-D ．133．已知()2155 2i z i -=+，则z 的虚部是（ ）A ．1B ．-1C ．3D ．-34．若m 为实数，则复数22()()26m m m m i ---＋＋在复平面内所对应的点不可能位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．i 为虚数单位，则232018232018i i i i +++⋅⋅⋅+=（ ）A ．20182017i -+B ．10081008i -C ．10101009i -+D ．10101009i -6．在复平面内，复数（为虚数单位）对应的点位于（ ）．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 7．在复平面内，复数21iz i=+ (i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限8．设i 为虚数单位，则复数1i z =-的模z =（ ）． A ．1B 2C ．2D ．229．i 为虚数单位，复数512i+的共轭复数是（ ） A ．12i -B ．12i +C ．2i -D ．2i +10．设()1x yi i i +=+，其中x ，y 是实数，则2x yi +=（ ） A ．1B 2C 3D 511．已知复数(,,0)z x yi x y R x =+∈≠且|2|3z -=，则yx的范围为（ ）A．⎡⎢⎣⎦B．,⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎦⎣⎭C．⎡⎣D．(,)-∞⋃+∞12．若复数z 满足1(120)z i -=,则复数z 在复平面内对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限二、填空题13．设复数z 满足12iz i =+，则复数z 的共轭复数为______________． 14．已知0,0a b >>，复数()()23a i bi +-的虚部为4，则2a b +的最小值为__________．15．已知i 是虚数单位，则12i -________. 16．若复数i2ia +-为纯虚数，那么实数a 的值为__________． 17．复数212iz i-=+的虚部为__________． 18．设复数211z z iz =-(其中表示复数1z 的共轭复数),若2z 的实部是-1,则2z 的虚部是__________.19．已知复数z 的实部为1-，虚部为2，则5iz= . 20．设复数()21z i =-（i 是虚数单位），则z 的模为__________．三、解答题21．在复平面上，点(),P x y 所对应的复数p x yi =+（i 为虚数单位），(),z a bi a b R =+∈是某给定复数，复数q p z =⋅所对应的点为(),Q x y ，我们称点P 经过变化成为了点Q ，记作()Q z P =.（1）给出12z i =+，且()()8,1z P Q =，求点P 的坐标；（2）给出34z i =+，若点P 在椭圆22194x y +=上，()Q z P =，求OQ 的取值范围；（3）已知点P 在双曲线221x y -=上运动，试问是否存在z ，使得()Q z P =在双曲线1y x=上运动？若存在，求出z ；若不存在，说明理由. 22．已知复数12215523,(2)iz i z i -=-=+，求下列各式的值：(Ⅰ)12z z (Ⅱ)12z z 23．已知复数23(68)(1)41m m m i z m i--++=+--（i 为虚数单位，m R ∈）.（1）若z 是实数，求m 的值；（2）若复数z 在复平面内对应的点位于第四象限，求m 的取值范围. 24．已知复数1z i =-.（1）设(1)13w z i i =+--，求w ；（2）如果21z az bi i++=+，求实数a ，b 的值.25．已知z 是复数，2iz+为实数（i 为虚数单位），且4i z z -=． （1）求复数z ；（2）若i 5z m -<，求实数m 的取值范围.26．已知复数12,34z x yi z i =+=-（,x y R ∈，i 为虚数单位）. （1）若2y =且12z z 是纯虚数，求实数x 的值； （2）若复数12=1z z -，求1z 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】由复数模的定义求出1z 对应的点在一条直线上，2z 对应的点在圆上，利用圆的性质可求得直线上的点到圆上点的距离的最小值． 【详解】复数1z 对应的点为1(,)Z x y ，因为1134z z i +=-，所以=6870x y +-=，所以点1Z 的轨迹是一条直线．复数2z 对应的点为2(,)Z x y ，因为212z i ++=表示点(),x y 到定点()1,1--的距离为2，所以点2Z 的轨迹表示以()1,1--为圆心、半径为2的圆，12z z -211221010-=-=． 故选：A ． 【点睛】本题考查复数的模的运算，考查模的几何意义，利用几何意义把复数问题转化为直线上的点到圆上点的距离的最小值这个几何问题，利用几何性质得出求解方法．2．A解析：A 【分析】化简复数z 的代数形式，根据复数为纯虚数，列出方程组，即可求解. 【详解】 由题意，复数()()()()1313313331010ai i ai a a z i i i i +-++-===+++-， 因为复数z 为纯虚数，可得30310a a +=⎧⎨-≠⎩，解得3a =-.故选：A. 【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，以及复数的分类及其应用，着重考查计算能力，属于基础题.3．D解析：D 【分析】根据复数的运算，求得13z i =-，进而取得复数的虚部，得到答案． 【详解】由题意，复数()()()()()2155******** 133434342i i i i z i i i i i ----====-++-+，所以复数z 的虚部为3-，故选D ． 【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的基本概念，其中解答中熟记复数的基本运算法则，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．4．C解析：C 【分析】实部虚部相加为4，不可能都为负. 【详解】若m 为实数，复数22()()26m m m m i ---＋＋实部虚部相加为：222640m m m m ---=>＋＋，不可能都为负 所对应的点不可能位于第三象限 故答案选C 【点睛】本题考查了复数对应的象限，是常考题型.5．C解析：C 【详解】分析：由复数的基本运算性质,可得44142431,,1,n n n n i i i i i i +++===-=-，其中n 为自然数，进而即可求解答案.详解：由复数的基本运算性质,可得44142431,,1,nn n n i i i i i i +++===-=-，其中n 为自然数，设232018232018S i i i i =+++⋅⋅⋅+，两边同乘i 可得：2342019232018iS i i i i =+++⋅⋅⋅+ 两式相减可得()()20182320182019201911201820181i i q S i i i iiii--=++++-=--()112018120191i i i i+=+=-+-所以()()()()1201911201910101009111i i i S i i i i -++-+===-+--+，故选C. 点睛：本题主要考查了虚数的运算性质的应用，其中熟记虚数的运算性质，利用乘公比错误相减法求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力.6．D解析：D 【解析】分析：先化复数为代数形式，再根据几何意义得对应点，即得点所在象限. 详解：复数，其对应的点是，位于第四象限．故选．点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为7．D解析：D 【解析】分析：首先求得复数z ，然后求解其共轭复数即可. 详解：由复数的运算法则有：()()()()2121211112i i i i iz i i i i --====+++-， 则1z i =-，其对应的点()1,1-位于第四象限. 本题选择D 选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8．B解析：B 【解析】分析：根据复数模的定义求解.详解：1i z =-，z ==B ．点睛：对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭为.-a bi 9．B解析：B 【分析】分析：直接利用复数的除法的运算法则化简求解即可．详解：()()()51251 2.121212i i i i i ⋅-==-++- 则复数512i+的共轭复数是12i +. 故选B.点睛：本题考查复数的除法的运算法则的应用，复数的基本概念，是基础题．10．D解析：D 【解析】分析：首先应用复数代数形式的乘法运算法则，将()x yi i +求出来，之后应用复数相等的条件，得到,x y 所满足的等量关系式，求得,x y 的值，接着利用复数的模的计算公式求得结果.详解：因为()1,,x yi i i x y +=+是实数，所以21xi yi i +=+，即1y xi i -+=+，所以1,1x y ==-，则212x yi i +=-==，故选D.点睛：该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的乘法运算法则、复数相等的条件以及复数模的计算公式，属于简单题目.11．C解析：C 【分析】转化|2|z -=为22(2)3x y -+=，设,yk y kx x==，即直线和圆有公共点，联立2164(1)0k ∆=-+≥，即得解.【详解】由于|2||2z x yi -=-+22(2)3x y -+=∴设yk y kx x=∴= 联立：2222(2)3,(1+)410x y y kx k x x -+==∴-+=由于直线和圆有公共点，2164(1)0k k ∴∆=-+≥≤≤故yx 的范围为[ 故选：C 【点睛】本题考查了直线和圆，复数综合，考查了学生转化划归，数学运算的能力，属于中档题.12．A解析：A 【分析】化简复数，求得24z i =+，得到复数在复平面对应点的坐标，即可求解. 【详解】由题意，复数z 满足1(120)z i -=，可得()()()10121024121212i z i i i i +===+--+， 所以复数z 在复平面内对应点的坐标为(2,4)位于第一象限 故选：A. 【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的几何表示方法，其中解答中熟记复数的运算法则，结合复数的表示方法求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.二、填空题13．2+i 【分析】由得然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数z 则复数z 的共轭复数可求【详解】由得则复数的共轭复数故答案是【点睛】该题考查的是有关共轭复数的问题涉及到的知识点有复数的除法运算共轭复数的概念解析：2+i 【分析】由12iz i =+，得12iz i+=，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数z ，则复数z 的共轭复数z 可求. 【详解】由12iz i =+，得212(12)2i i i z i i i +-+===--， 则复数z 的共轭复数2z i =+，故答案是2i +. 【点睛】该题考查的是有关共轭复数的问题，涉及到的知识点有复数的除法运算，共轭复数的概念，属于简单题目.14．4【解析】分析：化简根据其虚部为可得利用基本不等式可得结果详解：复数的虚部为即当且仅当时等号成立的最小值为故答案为点睛：本题主要考查复数的运算与基本概念利用基本不等式求最值属于中档题利用基本不等式求解析：4 【解析】分析：化简()()23a i bi +-，根据其虚部为4，可得2ab =，利用基本不等式可得结果. 详解：()()22i 3i 3i 6i 2i a b a ab b +-=-+-()326i a b ab =++-，复数()()2i 3i a b +-的虚部为4，64ab ∴-=，即2ab =， 0,0a b >>，24a b ∴+≥=，当且仅当1,2a b ==时等号成立，2a b ∴+的最小值为4，故答案为4.点睛：本题主要考查复数的运算与基本概念、利用基本不等式求最值，属于中档题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.15．【解析】分析：首先根据题中所给的条件可以断定其为求复数的模利用公式求得结果详解：根据复数模的公式可知故答案是点睛：该题考查的是有关复数模的求解问题根据公式运算即可属于简单题目【解析】分析：首先根据题中所给的条件，可以断定其为求复数12i -的模，利用公式求得结果.详解：根据复数模的公式，可知12i -== 点睛：该题考查的是有关复数模的求解问题，根据公式运算即可，属于简单题目.16．【解析】分析：直接由复数代数形式的乘除运算化简复数又已知复数为纯虚数列出方程组求解即可得答案详解：又∵为纯虚数∴解得故答案为点睛：本题考查了复数代数形式的乘除运算考查了复数的基本概念以及学生的运算能解析：12【解析】分析：直接由复数代数形式的乘除运算化简复数 2a i i +-，又已知复数 2a ii+-为纯虚数，列出方程组，求解即可得答案.详解：()()()()()2212212 222555a i i a a i a i a ai i i i ++-+++-+===+--+， 又∵ 2a i i +-为纯虚数，∴2105 205a a -⎧=⎪⎪⎨+⎪≠⎪⎩，解得12a =，故答案为12．点睛：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念以及学生的运算能力，是基础题．17．【解析】分析：利用复数除法的运算法则化简复数为的形式即可得到复数虚部详解：则复数的虚部故答案为点睛：本题主要考查的是复数的乘法除法运算属于中档题解题时一定要注意和以及运算的准确性否则很容易出现错误 解析：1-【解析】分析：利用复数除法的运算法则化简复数212iz i-=+为a bi +的形式，即可得到复数虚部. 详解：()()()()212251212125i i i iz i i i i ----====-++-，则复数z 的虚部1-，故答案为1-. 点睛：本题主要考查的是复数的乘法、除法运算，属于中档题．解题时一定要注意21i =-和()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++以及()()()()a bi c di a bi c di c di c di +-+=++- 运算的准确性，否则很容易出现错误.18．1【解析】设则∴∵的实部是∴的虚部是故答案为解析：1 【解析】设()1,z a bi a b R =+∈，则1z a bi =-.∴()()()211z z iz a bi i a bi a bi b ai a b a b i =-=+--=+--=--- ∵2z 的实部是1- ∴2z 的虚部是1 故答案为1.19．【分析】求出复数利用复数的除法运算法则：分子分母同乘以分母的共轭复数化简复数从而可得结论【详解】∵复数z 的实部为-1虚部为2∴ ∴= 故答案为【点睛】复数是高考中的必考知识主要考查复数的概念及复数的 解析：2i -【分析】求出复数12z i =-+．利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数5iz，从而可得结论. 【详解】∵复数z 的实部为-1，虚部为2，∴12z i =-+，∴5512i iz i -+=5(12)(1)(12)w i i i ---+-- 2i =-，故答案为2i -． 【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.20．2【解析】分析：计算可得进而得到的模详解：即答案为2点睛：本题考查复数的运算及复数的模属基础题解析：2 【解析】分析：计算可得z ，进而得到z 的模 详解：()212,2z i i z =-=-∴=.即答案为2.点睛：本题考查复数的运算及复数的模，属基础题.三、解答题21．（1）(2,3)-；（2）[]10,15；（3）存在，复数1z i =+和1i z =--. 【分析】（1）根据题意得到()812i i p +=+⋅，求出82312ip i i+==-+，从而可得出结果； （2）先由点P 在椭圆22194x y +=上，得到[]2,3p OP =∈，再由5z =，即可求出结果；（3）假设存在，先设(,)P x y ，求出经过变换后的点为(),Q ax by bx ay -+，再由曲线方程，即可求出结果.【详解】（1）根据题意，有()812i i p +=+⋅， 所以8(8)(12)10152312(12)(12)5i i i i p i i i i ++--====-++-， 所以点P 的坐标为(2,3)-；（2）因为点P 在椭圆22194x y +=上， 所以[]2,3p OP =∈， 又345z i =+=，所以[]10,15OQ q p z ==⋅∈；（3）假设存在z a bi =+，(),a b ∈R ，使得()Q z P =在双曲线1y x=上运动， 设(,)P x y ，所以()()q ax by bx ay i =-++，对应的点为(),Q ax by bx ay -+，因为(),Q ax by bx ay -+在双曲线1y x =上运动， 所以1bx ay ax by+=-，所以22221abx a xy b xy aby +--=， 即P 在曲线22221abx a xy b xy aby +--=上运动，所以有2210ab a b =⎧⎨-=⎩，解得：11a b =⎧⎨=⎩或11a b =-⎧⎨=-⎩， 所以，存在复数z 满足题意，分别为1z i =+和1i z =--.【点睛】本题主要考查复数的运算与复数的几何意义，熟记复数的四则运算，以及复数的几何意义与复数的运算法则即可，属于常考题型.22．(1)1279z z i =--;(2)121131010z i z =+. 【解析】【分析】由复数的平方，复数的除法，复数的乘法运算求得下面各式值．【详解】(Ⅰ)因为()221552iz i -==+155(155)(34)3425i i i i ---==+=13i - 所以()()12231379z z i i i =--=--；(Ⅱ)122313z i z i -==-(23)(13)(13)(13)i i i i -+-+=1131010i +.【点睛】复数代数形式的四则运算设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R.z 1±z 2＝(a ＋b i)±(c ＋d i)＝(a ±c )＋(b ±d )i.z 1·z 2＝(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(bc ＋ad )i.122222(0)z a bi ac bd bc ad i c di z c di c d c d ++-==++≠+++ 23．(1) 2m = (2) 34m <<【解析】分析：（1）由复数的运算法则可得()23684m z m m i m -=+-+-.据此得到关于实数m 的方程组，解得2m =.（2）结合(1)中的结果得到关于m 的不等式组，求解不等式组可知34m <<. 详解：（1）()()2681341m m i m z m i -++-=+-- ()()()()226813411m m i m m i i -++-=+--+ ()23684m m m i m -=+-+-. 因为z 是实数，所以240680m m m -≠⎧⎨-+=⎩，解得2m =.（2）因为复数z 在复平面内对应的点位于第四象限， 所以2304680m m m m -⎧>⎪-⎨⎪-+<⎩，解得34m <<.点睛：本题主要考查复数的运算法则，已知复数的类型求参数的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.24．(1) w =32a b =-⎧⎨=⎩【解析】分析：（1）根据复数的除法运算得到13w i =-，进而得到模长；（2）根据复数相等的概念得到()121a b a +=-⎧⎨-+=⎩，进而求得参数. 详解：（1）因为1z i =-，所以()()111313w i i i i =-+--=-.∴w =（2）由题意得：()()2211z az b i a i b ++=-+-+ ()2a b a i =+-+； ()11i i i +=-+，所以()121a b a +=-⎧⎨-+=⎩， 解得32a b =-⎧⎨=⎩. 点睛：本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题,复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.25．（1）42i z =+;（2） ()1,5-．【分析】（1）设2iz += a ,可得2i z a a =+，则2i z z a -=，结合4i z z -=，从而可得2a =，从而可得结果;（2）结合（1），利用复数模的公式列不等式求解即可.【详解】 （1）由2i z +是实数，可设2iz +=a ，R a ∈， 故()2i 2i z a a a =+=+， 所以2i z z a -=，又4i z z -=，可得24a =，即2a =，所以42i z =+．（2）由i 5z m -<，可得()42i 5m +-<，又R m ∈，∴5< 即()216225m +-<，解得15m -<<，所以实数m 的取值范围是()1,5-．【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.26．（1）83x =（2）1||[4,6]z ∈ 【分析】（1）首先根据复数的代数形式的除法法则求出12z z ，再根据复数的类型求出参数的值；（2）根据复数的几何意义得到复数1z 的轨迹，即可得到复数1z 的取值范围；【详解】解：（1）12238(64)38(64)34252525z x i x x i x x i z i +-++-+===+- 由12z z 是纯虚数，得3864002525x x -+=≠，，解得83x = （2）由12=1z z -，得|(3)(4)|1x y i -++=，所以22(3)(4)1x y -++=，即1z 的轨迹是以(3,4)-为圆心，半径为1的圆，可得1||1][4,6]z ∈= 即1||[4,6]z ∈【点睛】本题考查复数代数形式的除法运算，复数的几何意义，属于中档题.。
(常考题)北师大版高中数学选修1-2第四章《数系的扩充与复数的引入》检测题(有答案解析)(1)
一、选择题1．若复数1a i z i +=+(i 为虚数单位)为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．1 B ．0 C ．12- D ．1- 2．设复数()0,0z a bi a b =+>≠是实系数方程20x px q ++=的根，又3z 为实数，则点(),p q 的轨迹在一条曲线上，这条曲线是（ ）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线 3．已知复数13ai z i +=+为纯虚数（其中i 为虚数单位），则实数a =（ ） A ．3-B ．3C ．13-D ．13 4．设m R ∈，复数()23521z m m i m =-++-，则z 在复平面内的对应点一定不在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 5．若复数z 满足2z i z i ++-=，则复数z 在复平面上所对应的图形是（ ） A ．椭圆 B ．双曲线 C ．直线 D ．线段6．已知z C ∈，2z i z i ++-=，则z 对应的点Z 的轨迹为（ ）A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．线段7．已知复数1cos 2()z x f x i =+，()23sin cos z x x i =++，x ∈R .在复平面上，设复数1z ，2z 对应的点分别为1Z ，2Z ，若1290Z OZ ∠=︒，其中O 是坐标原点，则函数()f x 的最大值为（）A ．14-B ．14C ．12-D ．128．在复平面内，若复数z 满足|z ＋1|＝|1＋i z |，则z 在复平面内对应点的轨迹是( ) A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．抛物线 9．在复平面内，复数（为虚数单位）对应的点位于（ ）． A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 10．“0x =”是“复数()()21z x x x i x R =-+-∈为纯虚数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件11．在复平面内，复数21i z i =+ (i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限12．在复平面内满足11z -=的动点z 的轨迹为（ ） A ．直线 B ．线段C ．两个点D ．圆 二、填空题13．已知复数z a bi =+(),a b ∈R ，且满足9iz i =+（其中i 为虚数单位），则a b +=____.14．若复数z 满足210z z -+=，则z =__________．15．已知复数z 的模为1，则2z +的最大值为__________.16．若复数 1sin i z cos i θθ-=（i 为虚数单位），则z 的模的最大值为__________.17．已知方程240x px ++=()p R ∈有两个虚根,αβ，则22αβ+的取值范围是________18．若复数()()1i a i -+在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围为_____． 19．已知纯虚数z 满足122z i z +=-+(其中i 是虚数单位)，则z =__________. 20．设复数满足，则____________.三、解答题21．已知复数z 满足|z |2=z 的实部大于0，z 2的虚部为2.（1）求复数z ；（2）设复数z ，z 2，z ﹣z 2之在复平面上对应的点分别为A ，B ，C ，求（OA OB +）⋅OC 的值.22．（1）在复数范围内解方程22||0x x +=； （2）已知复数z 满足4z R z+∈，且|2|2z -=，求z 的值. 23．已知z C ∈，且满足()252z z z i i ++=+.（1）求z ；（2）若m R ∈，w zi m =+，求w 的取值范围.24．设实部为正数的复数z ，满足51+3i ）z 在复平面内对应的点在第一、三象限的角平分线上.(I)求复数z(II)若复数z + m 2(1 +i)-2i 十2m -5为纯虚数，求实数m 的值.25．已知复数1()2ia z a =+∈+R . （I ）若z ∈R ，求复数z ； （II ）若复数z 在复平面内对应的点位于第一象限，求a 的取值范围.26．已知m 为实数，设复数22(56)(253)z m m m m i =++++-.（1）当复数z 为纯虚数时，求m 的值；（2）当复数z 对应的点在直线70x y -+=的上方，求m 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】直接利用复数的除法运算结合复数定义得到答案.【详解】()()()()()1+1+11112a i i a a i a i z i i i +--+===++-为纯虚数，故1010a a +=⎧⎨-≠⎩，故1a =-. 故选：D.【点睛】本题考查了复数的除法，根据复数类型求参数，意在考查学生的计算能力和应用能力. 2．D解析：D【分析】由3z 为实数，求出,a b 关系，实系数方程有虚数根，∆<0，且两根互为共轭，由韦达定理，求出,p q 与,a b 关系，结合,a b 关系，即可得出,p q 的关系式，得出结论.【详解】()3220,0,(2)()z a bi a b z a b abi a bi =+>≠=-++，其虚部为22222()2(3)a b b a b b a b -+=-，又3z 为实数，所以2222(3)0,0,30b a b b b a -=≠=≠，复数()0,0z a bi a b =+>≠是实系数方程20x px q ++=的根， ()0,0z a bi a b =->≠也是实系数方程20x px q ++=的根， 所以222240,2,40p q z z a p zz a b a q ∆=-<+==-=+==>，所以2,0p q p =<，此时30q ∆=-<，即点(),p q 的轨迹在抛物线2y x 上.故选：D.【点睛】 本题考查实系数一元二次方程根的关系、复数的基本概念，韦达定理的应用是解题的关键，考查计算求解能力，属于中档题.3．A解析：A【分析】化简复数z 的代数形式，根据复数为纯虚数，列出方程组，即可求解.【详解】 由题意，复数()()()()131********10ai i ai a a z i i i i +-++-===+++-， 因为复数z 为纯虚数，可得30310a a +=⎧⎨-≠⎩，解得3a =-. 故选：A.【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，以及复数的分类及其应用，着重考查计算能力，属于基础题.4．C解析：C【分析】z 在复平面内的对应点考查点()2352,1m m m -+-横纵坐标的正负,分情况讨论即可.【详解】 由题得, z 在复平面内的对应点为()2352,1m m m -+-.当10m ->,即1m <时,二次函数2352(32)(1)y m m m m =-+=--取值范围有正有负,故z 在复平面内的对应点可以在一二象限.当10m -<,即1m 时,二次函数2352(32)(1)0y m m m m =-+=-->,故z 在复平面内的对应点可以在第四象限.故z 在复平面内的对应点一定不在第三象限.故选：C【点睛】本题主要考查了复平面的基本定义与根据参数范围求解函数范围的问题,属于基础题型. 5．D解析：D【分析】根据复数的几何意义知，复数z 对应的动点P 到,i i -对应的定点12(0,1),(0,1)F F -的距离之和为定值2，且12||2F F ，可知动点的轨迹为线段.【详解】设复数z ，,i i -对应的点分别为12,,P F F , 则由2z i z i ++-=知：12||||2PF PF +=,又12||2F F ，所以动点P 的轨迹为线段1F F .故选D【点睛】本题主要考查了复数的几何意义，动点的轨迹，属于中档题.6．D解析：D【分析】由复数模的几何意义，结合三角不等式可得出点Z 的轨迹.【详解】2z i z i ++-=的几何意义为复数z 对应的点Z 到点()0,1A -和点()0,1B 的距离之和为2，即ZA ZB AB +=，另一方面，由三角不等式得ZA ZB AB +≥.当且仅当点Z 在线段AB 上时，等号成立.因此，点Z 的轨迹为线段.故选D.【点睛】本题考查复数模的几何意义，将问题转化为距离之和并结合三角不等式求解是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.7．B解析：B【分析】根据向量垂直关系的坐标运算和三角函数的最值求解.【详解】据条件，()1cos ,2()Z x f x ，)2cos ,1Z x x +，且12OZ OZ ⊥，所以，)cos cos 2()0x x x f x ⋅++=，化简得，11()sin 2264f x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭， 当sin 216x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，11()sin 2264f x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭取得最大值为14. 【点睛】本题考查向量的数量积运算和三角函数的最值，属于基础题.8．A解析：A【解析】【分析】设()z x yi x y R =+∈、，代入11z iz +=+，求模后整理得z 在复平面内对应点的轨迹是直线． 【详解】设()z x yi x y R =+∈、， ()2211x yi x y ++=++，()()22111iz i x yi y x +=++=-+， 则()()222211x y y x ++-+＝，得y x =-，所以复数z x yi =+对应点的轨迹为直线，故选A.【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，动点的轨迹问题，是基础题．9．D解析：D【解析】分析：先化复数为代数形式，再根据几何意义得对应点，即得点所在象限.详解：复数，其对应的点是，位于第四象限． 故选．点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为 10．C解析：C【解析】分析：首先求得复数z 为纯虚数时x 是值，然后确定充分性和必要性即可.详解：复数()()21z x x x i x R =-+-∈为纯虚数，则： 2010x x x ⎧-=⎨-≠⎩，即：011x x x ==⎧⎨≠⎩或，据此可知0x =， 则“0x =”是“复数()()21z x x x i x R =-+-∈为纯虚数”的充要条件 本题选择C 选项.点睛：本题主要考查充分必要条件的判断，已知复数类型求参数的方法，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11．D解析：D【解析】分析：首先求得复数z ，然后求解其共轭复数即可.详解：由复数的运算法则有：()()()()2121211112i i i i i z i i i i --====+++-， 则1z i =-，其对应的点()1,1-位于第四象限.本题选择D 选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12．D解析：D【分析】由题意把|1|2||z z -=平方可得关于x 、y 的方程，化简方程可判其对应的图形．【详解】解：设z x yi =+，|1|1z -=，2|1|1z ∴-=，2|1|1x yi ∴-+=，22(1)1x y ∴-+=，故该方程表示的图形为圆，故选：D ．【点睛】本题主要考查复数的代数形式及其几何意义，考查圆的方程，涉及复数的模长公式，属于中档题．二、填空题13．【分析】计算出两个复数相等实部与实部相等虚部与虚部相等列方程组求解【详解】所以所以故答案为：-8【点睛】此题考查复数的基本运算和概念辨析需要熟练掌握复数的运算法则解析：8-【分析】计算出2iz ai bi b ai =+=-+，两个复数相等，实部与实部相等，虚部与虚部相等，列方程组求解.【详解】2iz ai bi b ai =+=-+，所以1,9a b ==-，所以8a b +=-.故答案为：-8【点睛】此题考查复数的基本运算和概念辨析，需要熟练掌握复数的运算法则.14．1【分析】设代入方程利用复数相等即可求解求模即可【详解】设则整理得：解得所以故答案为1【点睛】本题主要考查了复数的概念复数的模复数方程属于中档题解析：1【分析】设z a bi =+，,a b ∈R ,代入方程利用复数相等即可求解z ，求模即可.【详解】设z a bi =+，,a b ∈R ,则2()()10a bi a bi +-++=，整理得：22(1)(2)0a b a ab b i --++-= 解得213,24a b ==，所以||1z ===， 故答案为1【点睛】本题主要考查了复数的概念，复数的模，复数方程，属于中档题.15．3【分析】设复数复数的模为1表示以原点为原点1为半径的圆而表示的是圆上的点到点的距离因此其最大值求出即可【详解】设复数复数的模为1表示以原点为原点1为半径的圆∴即表示的是圆上的点到点的距离因此的最大 解析：3【分析】设(),z x y =，复数复数z 的模为1，表示以原点O 为原点，1为半径的圆，而()22z x yi +=++表示的是圆上的点(),x y 到点()2,0P -的距离，因此其最大值OP R =+，求出即可．【详解】设(),z x y =，复数复数z 的模为1，表示以原点O 为原点，1为半径的圆，∴()22z x yi +=++=即表示的是圆上的点(),x y 到点()2,0P -的距离， 因此2z +的最大值为213OP R +=+=，故答案为3.【点睛】本题考查了复数形式的圆的方程及两点间的距离公式、点与圆上的点的距离的最大值问题，考查了推理能力，属于中档题．16．【分析】用行列式的公式化简复数代入复数模的公式利用降次公式和辅助角公式合并后利用三角函数的性质求得模的最大值【详解】故填【点睛】本小题考查行列式的计算考查复数模的运算公式考查三角函数降次公式以及辅助【分析】用行列式的公式化简复数z ，代入复数模的公式，利用降次公式和辅助角公式合并后，利用三角函数的性质求得z 模的最大值.【详解】 ()sin cos 1z i i θθ=⋅-⋅- ()cos sin cos i θθθ=+-⋅，z ∴==== =12≤=,故填1.2 【点睛】 本小题考查行列式的计算，考查复数模的运算公式，考查三角函数降次公式以及辅助角公式，还考查了三角函数的最大值.属于中档题.三角函数的降次公式包括21cos2cos 2x x +=，21cos2sin 2x x -=，这两个公式有点类似，记忆的时候不要记忆错误了. 17．【解析】因为为方程两个根所以方程有虚根所以故故填解析：[0,8)【解析】因为,αβ为方程两个根，所以p αβ+=-，4αβ⋅=，方程有虚根，所以2160,44p p ∆=-<-<<，故2222()28[0,8)p αβαβαβ+=+-⋅=-∈，故填[0,8).18．【解析】故复数对应的点的坐标为由对应的点在第二象限可得解得故答案为解析：1a <-【解析】()()()111i a i a a i -+=++-，故复数对应的点的坐标为()1,1a a +-，由对应的点在第二象限可得1010a a +<⎧⎨->⎩解得1a <-，故答案为1a <-. 19．【解析】设整理得解析：z i =-【解析】设,z a bi z a bi =+∴=-，1212()2,2z a bi i i z a bi++-=-+∴=-++，整理得42224155a b a b a bi i ++-++=--，42205,,24115a b a a z i a b b b ++⎧=-⎪=⎧⎪∴∴∴=-⎨⎨-+=-⎩⎪=-⎪⎩20．【解析】试题分析：由题：得：考点：复数的概念和运算解析：2【解析】试题分析：由题：，得：11i z i i-==-+，221112z +=+=考点：复数的概念和运算．三、解答题21．（1）1+i ；（2）﹣2.【分析】（1）先设出复数z 的表达式,结合已知条件中2z =,实部大于0,和2z 的虚部为2,列出方程求解出复数z 的表达式.（2）由（1）求出复数z 的表达式,即可得到z ,2z ,2z z -在复平面上对应的点坐标,进而求出结果.【详解】（1）设复数z =x +yi ,x 、y ∈R;由|z |2=得x 2+y 2=2;又z 的实部大于0即x >0,z 2=x 2﹣y 2+2xyi 的虚部为2xy =2,所以xy =1;解得x=1,y=1;所以复数z=1+i ;（2）复数1z i =+,则22(1)2z i i =+=,2121z z i i i -=+-=-;则A （1,1）,B （0,2）,C （1,﹣1）;所以()(1,3)(1,1)113(1)2OC OA OB ⋅=⋅-=⨯+⨯-=+-.【点睛】本题考查了求复数的表达式及复数的几何意义,解题时的方法是设出复数的表达式,按照题意得到方程组进行求解,本题较为基础.22．（1）0或2i 或2i -；（2）z =4或13i ±.【分析】（1）设(,)=+∈x a bi a b R 代入方程利用复数相等的定义求解。
(常考题)北师大版高中数学选修1-2第四章《数系的扩充与复数的引入》检测(有答案解析)(2)
一、选择题1．已知复数(1)(31)i i z i--=（i 为虚数单位），则下列说法正确的是（ ） A ．复数i 在复平面内对应的点落在第二象限 B ．42z i =--C ．24z z --的虚部为1 D ．||z = 2．已知i 是虚数单位，复数13i 1i +=+（ ） A ．2i + B ．2i - C ．1i -+ D ．1i -- 3．若复数1z ，2z 满足1134z z i +=-，212z i ++=，则12z z -的最小值为（ ）．A ．110B ．1110C ．2110D ．2110-4．已知复平面内的圆M ：21z -=，若11p p -+为纯虚数，则与复数p 对应的点P （ ） A ．必在圆M 外B ．必在M 上C ．必在圆M 内D ．不能确定 5．若(1)()5(,)ai b i i a b R ++=∈，则+a b 的值为（ ）A ．±B ．C ．4±D ．46．已知i 为虚数单位，a 为实数，复数(2)(1)z a i i =-+在复平面内对应的点为M ，则“1a =”是“点M 在第四象限”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 7．在复平面内，若复数z 满足|z ＋1|＝|1＋i z |，则z 在复平面内对应点的轨迹是( ) A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．抛物线 8．已知21z i i=++，则复数z =（ ）A B ．2 C ．13i - D ．13i + 9．设12i 1i z -=+，则z = A ．1322i - B ．1322i + C ．1322i -- D ．1322i -+ 10．已知i 为虚数单位，若复数1()1ai z a R i -=∈+的实部为-2，则z =（ ）A ．5BCD ．13 11．已知复数()()211i a bi i -+=+（i 是虚数单位，,a b ∈R ），则a b +=（ ）A ．2-B ．-1C ．0D ．2 12．复数z 11i i -=+，则|z |=( ) A ．1 B ．2 C ．2 D ．22二、填空题13．已知复数z 满足|1|1z i -+=，则|2 3 |z i +-的最小值为___________．14．设α和β是关于x 的方程220x x m ++=的两个虚数根，若α、β、0在复平面上对应的点构成直角三角形，那么实数m =_______________.15．若复数 1 sin i z cos iθθ-=（i 为虚数单位），则z 的模的最大值为__________. 16．i 为虚数单位，若复数22(23)()m m m m i +-+-是纯虚数，则实数m =_______. 17．设复数211z z iz =-(其中表示复数1z 的共轭复数),若2z 的实部是-1,则2z 的虚部是__________.18．已知i 是虚数单位，则复数11i i+-的实部为______. 19．已知z a bi =+(a b R i ∈，，是虚数单位),12z z C ∈，，定义:()()1212D z z a b D z z z z ==+=-，，，给出下列命题:(1)对任意z C ∈，都有()0D z ＞；(2)若z 是z 的共轭复数,则()()D z D z =恒成立；(3)若()()()1212D z D z z z C =∈，，则12z z =；(4)对任意123z z z C ∈，，，结论()()()131223+D z z D z z D z z ≤，，，恒成立.则其中所有的真命题的序号是_____________.20．如果复数z =421i i-+（其中i 为虚数单位），那么Im z （即的虚部）为__________． 三、解答题21．在复平面内，复数222(34)z a a a a i =--+-- （其中a R ∈）.（1）若复数z 为实数，求a 的值；（2）若复数z 为纯虚数，求a 的值；（3）对应的点在第四象限，求实数a 的取值范围．22．已知复数z 满足|z |2=z 的实部大于0，z 2的虚部为2.（1）求复数z ；（2）设复数z ，z 2，z ﹣z 2之在复平面上对应的点分别为A ，B ，C ，求（OA OB +）⋅OC 的值.23．已知1z i =-.(1)若2z az b 1i,a,b R ++=+∈,求,a b .(2)设复数1(,)z x yi x y R =+∈满足11z z -=，试求复数1z 平面内对应的点(,)x y 到原点距离的最大值.24．已知复数||z =z 是z 的共轭复数，且2()z 为纯虚数，z 在复平面内所对应的点Z 在第二象限，求2018. 25．已知复数1z i =-.（1）设(1)13w z i i =+--，求w ；（2）如果21z az b i i++=+，求实数a ，b 的值. 26．关于复数z 的方程()()()230z a i z i a R -+-+=∈. （1）若此方程有实数解，求a 的值；（2）证明：对任意的实数a ，原方程不可能有纯虚数根.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】根据复数乘除运算化简得42z i =-，结合复数相关概念判定A ，B ，D 错误，化简24z z --判定正确.【详解】 解：(1)(31)(1)(3)42i i z i i i i--==-+=-， 其对应的复平面点为(4,2)-位于第四象限，故A 错误； 42z i =+，故B 错误；24222214422221z i i i i z i i i -+-++====-----，虚部为1，故C 正确；||z ==D 错误.故选：C.【点睛】复数乘除法运算技巧：（1）复数的乘法：复数乘法类似于多项式的乘法运算．（2）复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数．2．A解析：A【详解】 因为13i (1+3)(1)4221i (1)(1)2i i i i i i +-+===+++-， 故选：A ．点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数，共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化，转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分．3．A解析：A【分析】由复数模的定义求出1z 对应的点在一条直线上，2z 对应的点在圆上，利用圆的性质可求得直线上的点到圆上点的距离的最小值．【详解】复数1z 对应的点为1(,)Z x y ，因为1134z z i +=-，所以=6870x y +-=，所以点1Z 的轨迹是一条直线． 复数2z 对应的点为2(,)Z x y ，因为212z i ++=表示点(),x y 到定点()1,1--的距离为2，所以点2Z 的轨迹表示以()1,1--为圆心、半径为2的圆，12z z -211221010-=-=． 故选：A ．【点睛】 本题考查复数的模的运算，考查模的几何意义，利用几何意义把复数问题转化为直线上的点到圆上点的距离的最小值这个几何问题，利用几何性质得出求解方法．4．A解析：A【分析】设复数,(,)p x yi x y R =+∈,再利用11p p -+为纯虚数求出p 对应的点的轨迹方程,再与圆M ：21z -=比较即可.【详解】由题,复平面内圆M ：21z -=对应的圆是以(2,0)为圆心,1为半径的圆. 若11p p -+为纯虚数,则设,(,)p x yi x y R =+∈,则因为11p p -+为纯虚数,可设11p ai p -=+,(,0)a R a ∈≠.故()()11111ai x yi x y ai x ai i x yi x y ay i -=⇒-+++=++-++= 故()11x ay y x a -=-⎧⎨=+⎩,因为0a ≠,故1x ≠.当0y =有1x =-.当0y ≠时,两式相除有 ()111x a y x x ay y++==---,化简得221x y +=. 故复数p 对应的点P 的轨迹是221,(1)x y x +=≠-. 则221,(1)x y x +=≠所有的点都在(2,0)为圆心,1为半径的圆M 外.故选：A【点睛】本题主要考查复数的轨迹问题,根据复数在复平面内的对应的点的关系求解轨迹方程即可.属于中等题型. 5．C解析：C【分析】结合复数运算性质,化简,利用待定系数法,计算a,b 值，即可．【详解】()()()115ai b i b a ab i i ++=-++=,所以015b a ab -=⎧⎨+=⎩,解得22a b =⎧⎨=⎩或22a b =-⎧⎨=-⎩所以4a b +=±,故选C.【点睛】本道题考查了复数四则运算和待定系数法，难度中等．6．A解析：A【解析】因为(2i)(1+i)=a+2+(a-2)i z a =-，则点M 在第四象限时，满足2>a>-2,因此可知“1a =”是“点M 在第四象限”的充分而不必要条件，选A7．A解析：A【解析】【分析】设()z x yi x y R =+∈、，代入11z iz +=+，求模后整理得z 在复平面内对应点的轨迹是直线．【详解】设()z x yi x y R =+∈、，1x yi ++=，()11iz i x yi +=++=y x =-，所以复数z x yi =+对应点的轨迹为直线，故选A.【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，动点的轨迹问题，是基础题．8．A解析：A【分析】由题意结合复数的运算法则和复数的性质整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意可得：()()21=1+3i z i i =++，则z ==本题选择A 选项.【点睛】本题主要考查复数的运算法则，复数的模的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9．D解析：D【解析】分析：利用复数的除法运算计算z ，进而得到z .详解：()()()()12i 1i 12i 1313.1i 1i 1i 222i i z -⋅----====--++⋅- 13 .22z i ∴=-+ 故选D.点睛：本题考查复数的除法运算及共轭复数，属基础题.10．C解析：C【解析】分析：利用复数的除法运算得到z ，进的得到z .详解：由题复数()11ai z a R i -=∈+的实部为-2，()()()()()11111,1112ai i a a i ai z i i i -⋅---+-===++⋅- 12,5,2a a -∴=-= 则()1123,2a a i z i z --+==--∴=故选C.点睛：本题考查复数的除法运算及复数的模，属基础题.11．A解析：A【解析】分析：由题意首先求得等式右侧的复数，然后结合复数相等的充分必要条件整理计算即可求得最终结果.详解：由复数的运算法则可得：()()()()2121222111112i i i i i i ii i i ------====--+++-， 结合题意可得：1a bi i +=--，即：1,1a b =--=-，据此可得：2a b +=-.本题选择A 选项. 点睛：本题主要考查复数的综合运算，复数相等的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12．A解析：A【解析】【分析】运用复数的除法运算法则,先计算出z 的表达式,然后再计算出z .【详解】由题意复数z 11i i-=+得221(1)12=1(1)(1)2i i i i i i i i ---+===-++-,所以=1z . 故选A【点睛】本题考查了运用复数的除法运算求出复数的表达式,并能求出复数的模,需要掌握其计算法则,较为基础.二、填空题13．4【分析】根据复数模的几何意义将条件转化为距离问题即可得到答案【详解】设由得所以即点是圆心为半径为1的圆上的动点表示的是点与点的距离所以其最小值为点到圆心的距离减去半径即故答案为：4【点睛】本题考查 解析：4【分析】根据复数模的几何意义，将条件转化为距离问题即可得到答案【详解】设(,)z x yi x y R =+∈，由|1|1z i -+=得1(1)1x y i -++=所以()()22111x y -++=即点(),x y 是圆心为()1,1-，半径为1的圆上的动点|2 3 |z i +-=，表示的是点(),x y 与点()2,3-的距离 所以其最小值为点()2,3-到圆心()1,1-的距离减去半径14=故答案为：4【点睛】本题考查的是复数模的几何意义，圆当中的最值问题一般向圆心进行转化.14．【分析】由题意可设α＝a+bi 则由实系数一元二次方程虚根成对定理可得β＝a ﹣bi 且m 与n 为实数b≠0由根与系数的关系得到ab 的关系由αβ0对应点构成直角三角形求得到实数m 的值【详解】设α＝a+bi 则解析：2【分析】由题意，可设α＝a +bi ，(),a b ∈R 则由实系数一元二次方程虚根成对定理可得β＝a ﹣bi ，且m 与n 为实数，b ≠0．由根与系数的关系得到a ，b 的关系，由α，β，0对应点构成直角三角形，求得到实数m 的值【详解】设α＝a +bi ，(),a b ∈R 则由实系数一元二次方程虚根成对定理可得β＝a ﹣bi ，且m 与n 为实数，n ≠0．由根与系数的关系可得α+β＝2a ＝﹣2，α•β＝a 2+b 2＝m ．∴m ＞0．∴a ＝﹣1，m ＝b 2+1，∵复平面上α，β，0对应点构成直角三角形，∴α，β在复平面对应的点分别为A ，B ，则OA ⊥OB ，所以b 2＝1，所以m ＝1+1＝2；， 故答案为：2【点睛】本题主要考查实系数一元二次方程虚根成对定理、根与系数的关系，三角形是直角三角形是解题的关键，属于基础题．15．【分析】用行列式的公式化简复数代入复数模的公式利用降次公式和辅助角公式合并后利用三角函数的性质求得模的最大值【详解】故填【点睛】本小题考查行列式的计算考查复数模的运算公式考查三角函数降次公式以及辅助解析：12【分析】用行列式的公式化简复数z ，代入复数模的公式，利用降次公式和辅助角公式合并后，利用三角函数的性质求得z 模的最大值.【详解】()sin cos 1z i i θθ=⋅-⋅- ()cos sin cos i θθθ=+-⋅，z ∴=====12≤=, 【点睛】 本小题考查行列式的计算，考查复数模的运算公式，考查三角函数降次公式以及辅助角公式，还考查了三角函数的最大值.属于中档题.三角函数的降次公式包括21cos2cos 2x x +=，21cos2sin 2x x -=，这两个公式有点类似，记忆的时候不要记忆错误了. 16．-3【解析】分析：利用纯虚数的定义直接求解详解：∵复数是纯虚数解得故答案为-3点睛：本题考实数值的求法是基础题解题时要认真审题注意纯虚数的定义的合理运用解析：-3【解析】分析：利用纯虚数的定义直接求解．详解：∵复数()()2223m m m m i +-+-是纯虚数，222300m m m m ⎧+-∴⎨-≠⎩＝ ，解得3m =- ．故答案为-3． 点睛：本题考实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意纯虚数的定义的合理运用．17．1【解析】设则∴∵的实部是∴的虚部是故答案为解析：1【解析】设()1,z a bi a b R =+∈，则1z a bi =-.∴()()()211z z iz a bi i a bi a bi b ai a b a b i =-=+--=+--=---∵2z 的实部是1-∴2z 的虚部是1故答案为1.18．0【解析】实部为0点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念属于基本题首先对于复数的四则运算要切实掌握其运算技巧和常规思路如其次要熟悉复数相关基本概念如复数的实部为虚部为模为对应点为共轭为解析：0【解析】 1i i 1i+=∴- 实部为0 点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭为.-a bi19．（2）（4）【分析】由新定义逐一核对四个命题得答案【详解】解：对于（1）当时命题（1）错误；对于（2）设则则命题（2）正确；对于（3）若则错误如满足但；对于（4）设则由得恒成立（4）正确∴正确的命题解析：（2），（4）【分析】由新定义逐一核对四个命题得答案．【详解】解：对于（1），当0z =时，()|0||0||0|0D z ==+=，命题（1）错误； 对于（2），设z a bi =+，则z a bi =-，则()||||D z z a ==||||||||()b a b z D z +-=+==，命题（2）正确；对于（3），若()()()1212,z z z D D z C =∈，则1z =2z 错误，如121,1z i z i =+=-，满足()()12D z D z = ()12,z z C ∈，但12z z ≠；对于（4），设123,,z a bi z c di z e fi =+=+=+， 则()1212,()()||||D z z a c b d i c b z a d z =-=-+-=-+-， ()2323,()()||||D z z c e d f i e d z c f z =-=-+-=-+-， ()1313,()()||||D z z a e b f i e b z a f z =-=-+-=-+-，由|||()()|||||,|||()()|||||a e a c c e a c c e b f b d d f b d d f -=-+-≤-+--=-+-≤-+-，得()()()131223+D z z D z z D z z ≤，，，恒成立，（4）正确．∴正确的命题是（2）（4）．故答案为（2），（4）．【点睛】本题是新定义题，考查了命题的真假判断与应用，考查了绝对值的不等式，是中档题．20．－3【分析】对复数进行化简得到的虚部即为答案【详解】所以其虚部为【点睛】本题考查复数的运算虚部的概念属于简单题解析：－3【分析】对复数z 进行化简，得到z 的虚部，即为答案.【详解】z =421i i -+()()421132i i i --==- 所以其虚部为3-【点睛】本题考查复数的运算，虚部的概念，属于简单题.三、解答题21．（1）1a =-或4；（2）2a =；（3）()2,4【分析】（1）根据复数为实数条件列方程解得结果，（2）根据纯虚数定义列式求解，（3）根据复数几何意义列不等式解得结果【详解】（1）因为复数z 为实数，所以2340a a --=，所以1a =-或4；（2）因为复数z 为纯虚数，所以2220340a a a a ⎧--=⎨--≠⎩， 所以2a =（3）因为z 对应的点在第四象限，所以2220340a a a a ⎧-->⎨--<⎩解不等式组得，24a <<，即a 的取值范围是()2,4.【点睛】本题考查复数相关概念以及复数几何意义，考查基本分析求解能力，属基础题. 22．（1）1+i ；（2）﹣2.【分析】（1）先设出复数z 的表达式,结合已知条件中z =,实部大于0,和2z 的虚部为2,列出方程求解出复数z 的表达式.（2）由（1）求出复数z 的表达式,即可得到z ,2z ,2z z -在复平面上对应的点坐标,进而求出结果.【详解】（1）设复数z =x +yi ,x 、y ∈R;由|z |=得x 2+y 2=2;又z 的实部大于0即x >0,z 2=x 2﹣y 2+2xyi 的虚部为2xy =2,所以xy =1;解得x=1,y=1;所以复数z=1+i ;（2）复数1z i =+,则22(1)2z i i =+=,2121z z i i i -=+-=-;则A （1,1）,B （0,2）,C （1,﹣1）;所以()(1,3)(1,1)113(1)2OC OA OB ⋅=⋅-=⨯+⨯-=+-.【点睛】本题考查了求复数的表达式及复数的几何意义,解题时的方法是设出复数的表达式,按照题意得到方程组进行求解,本题较为基础.23．（1）34a b =-⎧⎨=⎩（21 【分析】（1）复数相等时，实部分别相等，虚部分别相等；（2）由11z z -=判断出1z 对应的轨迹，然后分析轨迹上的点到原点距离最大值.【详解】解：（1）21z az b i ++=+，21i a ai b i ∴-+-+=+，(2)1a b a i i ∴+-+=+1(2)1a b a +=⎧∴⎨-+=⎩， 34a b =-⎧∴⎨=⎩； (2)设1,(,)z x yi x y =+∈R ，|()(1)|1x yi i ∴+--=即|(1)(1)|1x y i -++=，22(1)(1)1x y ∴-++=即1z 在平面对应点的轨迹为以(1,1)-为圆心，以1为半径的圆，max 11d ∴==【点睛】本题考查复数相等以及复数方程对应的轨迹问题，难度一般.以复数0z 对应的点为圆心，以r 为半径的圆的复数方程是：0z z r -=.24．i -【解析】【分析】设z a bi =+，根据题意列出关于a b 、的方程组求解，再结合所对应的点Z 在第二象限，即可求出z【详解】设(),z a bi a b R =+∈，则z ==，∴222a b += 又z a bi =-，()()22222z a bi a b abi =-=--.∴22020a b ab ⎧-=⎨-≠⎩，联立22222a b a b⎧+=⎨=⎩，解得11a b =±⎧⎨=±⎩ 又Z 在第二象限，∴11a b =-⎧⎨=⎩，即1z i =-+ ∴2018()10092018210091009i i ⎛⎫===-=- ⎪ ⎪⎝⎭ ()252252414i i i i ⨯+=-=-⨯=-故答案为i -【点睛】 本题考查了复数的相关定义，设出复数z 的表示形式，根据题意列出方程组即可，本题较为基础，注意计算。
(常考题)北师大版高中数学选修1-2第四章《数系的扩充与复数的引入》检测卷(答案解析)(3)
一、选择题1．复数(),z a bi a b R =+∈，()m z z b =+，n z z =⋅，2p z =，则（ ）A ．m 、n 、p 三数都不能比较大小B ．m 、n 、p 三数的大小关系不能确定C ．m n p ≤=D ．m n p ≥=2．若复数1a iz i+=+(i 为虚数单位)为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．1B ．0C ．12- D ．1-3．若复数1z ，2z 满足1134z z i +=-，212z i ++=，则12z z -的最小值为（ ）．A ．110B ．1110C ．2110D ．2110-4．已知复数13aiz i+=+为纯虚数（其中i 为虚数单位），则实数a =（ ） A ．3- B ．3C ．13-D ．135．设m R ∈，复数()23521z m m i m =-++-，则z 在复平面内的对应点一定不在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．已知i 为虚数单位，a 为实数，复数(2)(1)z a i i =-+在复平面内对应的点为M ，则“1a =”是“点M 在第四象限”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 7．若复数2(2)m i -所表示的点在第一象限，则实数m 的取值范围是( ) A ．()(),22,-∞-⋃+∞ B ．()2,2-C ．(),2-∞-D ．()2,0-8．已知复数z 满足(i−1)(z −3i )=2i(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数为 A ．i−1B ．1+2iC ．1−iD ．1−2i9．已知复数z 满足：32z z =-，且z 的实部为2，则|1|z -=A ．3BC ．D ．10．若复数z 满足(12)1i z i +=-，则复数z 为（ ） A ．1355i + B ．1355i -+ C ．1355i - D ．1355i --11．已知i 是虚数单位，则复数242iz i-=+的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限12．已知i 是虚数单位，且1zi =+，下列命题错误的是（ ） A ．z 对应复平面内的点在第四象限B ．||2z =C ．z 的共轭复数为z i = D ．22z z =二、填空题13．已知复数z 满足|1|1z i -+=，则|2 3 |z i +-的最小值为___________． 14．已知复数z 的实部为1-，虚部为2，则5iz= . 15．已知z a bi =+(a b R i ∈，，是虚数单位),12z z C ∈，，定义:()()1212D z z a b D z z z z ==+=-，，，给出下列命题: (1)对任意z C ∈，都有()0D z ＞；(2)若z 是z 的共轭复数,则()()D z D z =恒成立； (3)若()()()1212D z D z z z C =∈，，则12z z =；(4)对任意123z z z C ∈，，，结论()()()131223+D z z D z z D z z ≤，，，恒成立. 则其中所有的真命题的序号是_____________.16．设复数z 满足(2)1z i i i +=-，其中i 为虚数单位，则z =__________． 17．关于x 的方程()210x px p R -+=∈的两个根12,x x ，若121x x -=，则实数p =__________．18．复数i1iz =+，则z =______. 19．若2+1()imi m R i=+∈,则m =________． 20．若z C ∈,且221z i +-=,则22z i --的最小值为______________．三、解答题21．已知i 是虚数单位．（1）若复数12z =-，求z z +的值； （2）若复数()2262i m m z m m m+-=+-是纯虚数，求实数m 的值．22．（1）在复数范围内解方程22||0x x +=；（2）已知复数z 满足4z R z+∈，且|2|2z -=，求z 的值.23．已知复数212z ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭是一元二次方程21(,)0m n x nx m ++=∈R 的一个根. （1）求m 和n 的值；（2）若1(2i)z a z =-，a ∈R ，1z 为纯虚数，求|2i |a +的值.24．已知z 为虚数,z+9z 2-为实数. (1)若z-2为纯虚数,求虚数z. (2)求|z-4|的取值范围.25．已知复数()()31221iz i i i+=+-+-+. （1）计算复数z ；（2）若()()2211160z a z i b +----=，求实数,a b 的值.26．设z 1是虚数，z 2＝z 111z +是实数，且﹣1≤z 2≤1． （1）求|z 1|的值以及z 1的实部的取值范围； （2）若ω1111z z -=+，求证ω为纯虚数； （3）求z 2﹣ω2的最小值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】根据复数的四则运算，结合基本不等式，即可得出结论. 【详解】z a bi =-，()2m a bi a bi b ab =++-=，22()()n a bi a bi a b =+-=+，22p a b =+222a b ab +，当且仅当a b =时，取等号m n p ∴≤=故选：C 【点睛】本题主要考查了复数的四则运算，涉及了基本不等式的应用，属于中档题.2．D解析：D【分析】直接利用复数的除法运算结合复数定义得到答案. 【详解】()()()()()1+1+11112a i i a a i a i z i i i +--+===++-为纯虚数，故1010a a +=⎧⎨-≠⎩，故1a =-. 故选：D. 【点睛】本题考查了复数的除法，根据复数类型求参数，意在考查学生的计算能力和应用能力.3．A解析：A 【分析】由复数模的定义求出1z 对应的点在一条直线上，2z 对应的点在圆上，利用圆的性质可求得直线上的点到圆上点的距离的最小值． 【详解】复数1z 对应的点为1(,)Z x y ，因为1134z z i +=-，所以=6870x y +-=，所以点1Z 的轨迹是一条直线．复数2z 对应的点为2(,)Z x y ，因为212z i ++=表示点(),x y 到定点()1,1--的距离为2，所以点2Z 的轨迹表示以()1,1--为圆心、半径为2的圆，12z z -211221010-=-=． 故选：A ． 【点睛】本题考查复数的模的运算，考查模的几何意义，利用几何意义把复数问题转化为直线上的点到圆上点的距离的最小值这个几何问题，利用几何性质得出求解方法．4．A解析：A 【分析】化简复数z 的代数形式，根据复数为纯虚数，列出方程组，即可求解. 【详解】 由题意，复数()()()()1313313331010ai i ai a a z i i i i +-++-===+++-， 因为复数z 为纯虚数，可得30310a a +=⎧⎨-≠⎩，解得3a =-.故选：A. 【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，以及复数的分类及其应用，着重考查计算能力，属于基础题.5．C解析：C 【分析】z 在复平面内的对应点考查点()2352,1mm m -+-横纵坐标的正负,分情况讨论即可.【详解】由题得, z 在复平面内的对应点为()2352,1m m m -+-.当10m ->,即1m <时,二次函数2352(32)(1)y m m m m =-+=--取值范围有正有负,故z 在复平面内的对应点可以在一二象限.当10m -<,即1m 时,二次函数2352(32)(1)0y m m m m =-+=-->,故z 在复平面内的对应点可以在第四象限.故z 在复平面内的对应点一定不在第三象限. 故选：C 【点睛】本题主要考查了复平面的基本定义与根据参数范围求解函数范围的问题,属于基础题型.6．A解析：A 【解析】因为(2i)(1+i)=a+2+(a-2)i z a =-，则点M 在第四象限时，满足2>a>-2,因此可知“1a =”是“点M 在第四象限”的充分而不必要条件，选A7．C解析：C 【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简复数2(2)m i -，再由实部与虚部均大于0联立不等式组求解即可. 【详解】()22(2)44m i m mi -=--表示的点在第一象限，24040m m ->⎧∴->⎨⎩，解得2m <-． ∴实数m 的取值范围是(),2-∞-．故选C ．【点睛】本题主要考查的是复数的乘法、乘方运算，属于中档题．解题时一定要注意21i =-和()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++以及()()()()a bi c di a bi c di c di c di +-+=++- 运算的准确性，否则很容易出现错误．8．B解析：B 【解析】分析：把已知等式变形，再利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 详解：由(i−1)(z −3i )=2i(， 得()22(1)1211(1)i i i z i i i i i i ----=--+-+--＝＝， 则z 的共轭复数为12i + ． 故选：B ．点睛：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．9．B解析：B 【解析】分析：根据题意设2,z bi =+根据题意得到224+1412b b b z i =+⇒=±∴=±，从而根据复数的模的概念得到结果.详解：设2,z bi =+根据题意得到224+1412b b b z i =+⇒=±∴=±则1z -. 故答案为B.点睛：本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题,复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.10．D解析：D 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】由()121i z i +=-，得()()()()11211312121255i i i z i i i i ---===--++-． 故选D ． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．11．A解析：A 【分析】先将复数化为代数形式，再根据共轭复数的概念确定对应点，最后根据对应点坐标确定象限.解：∵()()()()242232424242105i i i z i i i i ---===-++-， ∴32105z i =+， ∴复数z 的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为（32105，），所在的象限为第一象限． 故选：A ．点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭为.-a bi12．D解析：D 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，然后逐一核对四个选项得答案. 【详解】 ∵1zi =+，∴z i ==，∴z 对应复平面内的点为)1-在第四象限，故A 正确；2z ==，故B 正确；z 的共轭复数为z i =，故C 正确；222z z =-≠，故D 错误；故选：D . 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，属于基础题.二、填空题13．4【分析】根据复数模的几何意义将条件转化为距离问题即可得到答案【详解】设由得所以即点是圆心为半径为1的圆上的动点表示的是点与点的距离所以其最小值为点到圆心的距离减去半径即故答案为：4【点睛】本题考查解析：4 【分析】根据复数模的几何意义，将条件转化为距离问题即可得到答案设(,)z x yi x y R =+∈，由|1|1z i -+=得1(1)1x y i -++= 所以()()22111x y -++=即点(),x y 是圆心为()1,1-，半径为1的圆上的动点|2 3 |z i +-=，表示的是点(),x y 与点()2,3-的距离所以其最小值为点()2,3-到圆心()1,1-的距离减去半径14=故答案为：4 【点睛】本题考查的是复数模的几何意义，圆当中的最值问题一般向圆心进行转化.14．【分析】求出复数利用复数的除法运算法则：分子分母同乘以分母的共轭复数化简复数从而可得结论【详解】∵复数z 的实部为-1虚部为2∴ ∴= 故答案为【点睛】复数是高考中的必考知识主要考查复数的概念及复数的 解析：2i -【分析】求出复数12z i =-+．利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数5iz，从而可得结论. 【详解】∵复数z 的实部为-1，虚部为2，∴12z i =-+，∴5512i iz i -+=5(12)(1)(12)w i i i ---+-- 2i =-，故答案为2i -． 【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.15．（2）（4）【分析】由新定义逐一核对四个命题得答案【详解】解：对于（1）当时命题（1）错误；对于（2）设则则命题（2）正确；对于（3）若则错误如满足但；对于（4）设则由得恒成立（4）正确∴正确的命题解析：（2），（4） 【分析】由新定义逐一核对四个命题得答案． 【详解】解：对于（1），当0z =时，()|0||0||0|0D z ==+=，命题（1）错误； 对于（2），设z a bi =+，则z a bi =-，则()||||D z z a ==||||||||()b a b z D z +-=+==，命题（2）正确； 对于（3），若()()()1212,z z z D D z C =∈，则1z =2z 错误，如121,1z i z i =+=-，满足()()12D z D z = ()12,z z C ∈，但12z z ≠；对于（4），设123,,z a bi z c di z e fi =+=+=+，则()1212,()()||||D z z a c b d i c b z a d z =-=-+-=-+-，()2323,()()||||D z z c e d f i e d z c f z =-=-+-=-+-， ()1313,()()||||D z z a e b f i e b z a f z =-=-+-=-+-，由|||()()|||||,|||()()|||||a e a c c e a c c e b f b d d f b d d f -=-+-≤-+--=-+-≤-+-，得()()()131223+D z z D z z D z z ≤，，，恒成立，（4）正确． ∴正确的命题是（2）（4）． 故答案为（2），（4）． 【点睛】本题是新定义题，考查了命题的真假判断与应用，考查了绝对值的不等式，是中档题．16．【解析】分析：由题意首先求得复数z 然后求解其模即可详解：由复数的运算法则有：则故答案为点睛：本题主要考查复数的运算法则复数的模的计算等知识意在考查学生的转化能力和计算求解能力【解析】分析：由题意首先求得复数z ，然后求解其模即可. 详解：由复数的运算法则有：121iz i i i-+==--，则13z i =--，z ==．点睛：本题主要考查复数的运算法则，复数的模的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.17．【解析】分析：根据所给的方程当判别式不小于0时和小于0时用求根公式表示出两个根的差根据差的绝对值的值做出字母p 的值详解：当即或由求根公式得得当即由求根公式得|得综上所述或故答案为点睛：本题考查一元二 解析：5,3±±【解析】分析：根据所给的方程，当判别式不小于0时和小于0时，用求根公式表示出两个根的差，根据差的绝对值的值做出字母p 的值．详解：当240p =-≥ ，即2p ≥或2p ≤- ，由求根公式得21241x x p -=-= ，得5p =±，当240p =-＜ ，即22p ＜＜- ，由求根公式得|212|41x x p -=-=，得3p =±．综上所述，5p =±，或3p =±．． 故答案为5,3±±．点睛：本题考查一元二次方程根与系数的关系，本题解题的关键是对于判别式与0的关系的讨论，方程有实根和没有实根时，两个根的表示形式不同，本题是一个易错题．18．【解析】试题分析：考点： 解析：22【解析】试题分析： ()()()i 1i i 1i 2,1i 1i 1i 22z z -+====++-. 考点：19．-2【解析】则考点：复数的运算解析：-2 【解析】，则.考点：复数的运算.20．3【详解】∵|z+2-2i|=|z-(-2+2i)|=1∴复数z 在复平面内对应点的轨迹是以（-22）为圆心1为半径的圆∵|z-2-2i|=|z-(2+2i)|表示复数z 在复平面内的对应点到点（22）解析：3 【详解】∵|z+2-2i|=|z-(-2+2i)|=1，∴复数z 在复平面内对应点的轨迹是以（-2，2）为圆心，1为半径的圆.∵|z-2-2i|=|z-(2+2i)|表示复数z 在复平面内的对应点到点（2，2）的距离，即圆上的点到点（2，2）的距离，∴最小值为圆心与点（2，2）的距离减去半径，∴|z-2-2i|的最小值为4-1=3.三、解答题21．（1）1322-（2）-3 【分析】 （1）直接求出,||z z 即得解；（2）由题得260m m m+-=且220-≠m m ，解不等式组得解.【详解】（1）由题得13i 22z =--，13122z z z =∴+=-． （2）由题得260m m m+-=且220-≠m m ， 3m ∴=-【点睛】本题主要考查复数模的计算和共轭复数，考查纯虚数的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.22．（1）0或2i 或2i -；（2）z =4或13i ±.【分析】（1）设(,)=+∈x a bi a b R 代入方程利用复数相等的定义求解。
(常考题)北师大版高中数学选修1-2第四章《数系的扩充与复数的引入》检测题(答案解析)(2)
一、选择题1．1z 2z 是复数，则下列结论中正确的是（ ）A ．若22120z z +>，则2212z z >-B ．12||z z -=C ．22121200z z z z +=⇔==D ．2211||||z z = 2．复数1cos isin z x x =-，2sin icos z x x =-，则12z z ⋅=（ ）A ．4B ．3C ．2D ．13．已知i 是虚数单位，则21i i =-（ ） A ．1i -+B ．1i +C ．1i -D ．1i -- 4．若复数1a i z i +=+(i 为虚数单位)为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．1 B ．0 C ．12- D ．1- 5．设复数()0,0z a bi a b =+>≠是实系数方程20x px q ++=的根，又3z 为实数，则点(),p q 的轨迹在一条曲线上，这条曲线是（ ）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线 6．已知复数13ai z i +=+为纯虚数（其中i 为虚数单位），则实数a =（ ） A ．3-B ．3C ．13- D ．137．下列关于复数z 的四个命题中，正确的个数是（ ）（1）若|1||1|2z z -++=，则复数z 对应的动点的轨迹是椭圆；（2）若|2||2|2z z --+=，则复数z 对应的动点的轨迹是双曲线；（3）若|1||Re 1|z z -=+，则复数z 对应的动点的轨迹是抛物线；（4）若|2|3z -≤，则||z 的取值范围是[1,5]A ．4B ．1C ．2D ．3 8．已知21z i i=++，则复数z =（ ）A B ．2 C ．13i - D ．13i + 9．若复数z 满足(12)1i z i +=-，则复数z 为（ ）A ．1355i + B ．1355i -+ C ．1355i - D ．1355i -- 10．设复数3422i i z +-=，则复数z 的共轭复数是( )A ．52i -B ．52i +C ．52i -+D ．52i -- 11．i 为虚数单位，复数512i +的共轭复数是（ ） A ．12i -B ．12i +C ．2i -D ．2i + 12．若34sin cos 55i z θθ⎛⎫-+- =⎪⎝⎭是纯虚数，则tan 4πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A ．17- B ．-1 C ．73- D ．-7二、填空题13．下面四个命题：①,a b 是两个相等的实数，则()()a b a b i -++是纯虚数；②任何两个负数不能比较大小；③12,z z C ∈，且22120z z +=，则120z z ==；④两个共轭虚数的差为纯虚数.其中正确的序号为_________；14．已知复数()34i z +=，那么复数z 的模为______.15．若复数z 满足112z i i i=-+-，则z 等于__________. 16．复数()1i i +的实部为_________．17．已知12ω=-+（i 是虚数单位），2015()x ωω+的展开式中系数为实数的项有_______项18．若实数m 满足z ＝(m －2)＋(m ＋1)i 为纯虚数，则｜z ｜＝________．19．若2+1()i mi m R i=+∈,则m =________． 20．若z C ∈,且221z i +-=,则22z i --的最小值为______________． 三、解答题21．已知i 是虚数单位．（1）若复数12z =-，求z z +的值； （2）若复数()2262i m m z m m m+-=+-是纯虚数，求实数m 的值． 22．设复数n n n z x i y =+⋅，其中n x n y ∈R ，*n ∈N ，i 为虚数单位，1(1)n n z i z +=+⋅，134z i =+，复数n z 在复平面上对应的点为n Z .（1）求复数2z ，3z ，4z 的值； （2）是否存在正整数n 使得n OZ ∥1OZ ？若存在，求出所有满足条件的n ；若不存在，请说明理由；（3）求数列{}n n x y ⋅的前102项之和.23．设复数z 满足43z z i +=，sin cos ()i ωθθθ=+∈R ．（1）求z 的值；（2）设复数z 和ω在复平面上对应的点分别是Z 和W ，求ZW 的取值范围．24．已知复数21i 22z ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭是一元二次方程21(,)0m n x nx m ++=∈R 的一个根. （1）求m 和n 的值；（2）若1(2i)z a z =-，a ∈R ，1z 为纯虚数，求|2i |a +的值.25．已知复数3z bi =+，(b 为实数)，且z i -为实数.（1）求复数z ；（2）求复数z 的模||z .26．已知i 为虚数单位，复数z 在复平面内对应的点为（1）设复数z 的共轭复数为z ，求|z +的值；（2）已知,a b ∈R ，(3()a bi i z i -=，求ab 的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】举反例12z i =+，22z i =-可判断选项A 、B ，举反例11z =，2z i =可判断选项C ，设1z a bi =+，(),a b R ∈，分别计算21||z 、21||z 即可判断选项D ，进而可得正确选项.【详解】对于选项A ：取12z i =+，22z i =-，()221232z i i =+=+，()222232z i i =-=-， 满足221260z z +=>，但21z 与22z 是两个复数，不能比较大小，故选项A 不正确； 对于选项B ：取12z i =+，22z i =-，12||22z z i -==，==B 不正确；对于选项C ：取11z =，2z i =，则22120z z +=，但是10z ≠，20z ≠，故选项C 不正确； 对于选项D ：设1z a bi =+，(),a b R ∈，则()222212z a bi a b abi =+=-+2221z a b ===+，1z a bi =-，1z =，所以2221z a b =+，所以2211||||z z =，故选项D 正确.故选：D. 2．D解析：D【解析】复数12cos sin ,sin cos z x i x z x i x =-=-，则()2212cos sin cos sin cos sin z z x x x x i x x ⋅=-+--=i - ，则121z z ⋅=，故选D. 3．A 解析：A【解析】因22(1)112i i i i i +==-+-，故应选答案A ． 4．D解析：D【分析】直接利用复数的除法运算结合复数定义得到答案.【详解】 ()()()()()1+1+11112a i i a a i a i z i i i +--+===++-为纯虚数，故1010a a +=⎧⎨-≠⎩，故1a =-. 故选：D.【点睛】本题考查了复数的除法，根据复数类型求参数，意在考查学生的计算能力和应用能力. 5．D解析：D【分析】由3z 为实数，求出,a b 关系，实系数方程有虚数根，∆<0，且两根互为共轭，由韦达定理，求出,p q 与,a b 关系，结合,a b 关系，即可得出,p q 的关系式，得出结论.【详解】()3220,0,(2)()z a bi a b z a b abi a bi =+>≠=-++，其虚部为22222()2(3)a b b a b b a b -+=-，又3z 为实数，所以2222(3)0,0,30b a b b b a -=≠=≠，复数()0,0z a bi a b =+>≠是实系数方程20x px q ++=的根， ()0,0z a bi a b =->≠也是实系数方程20x px q ++=的根，所以222240,2,40p q z z a p zz a b a q ∆=-<+==-=+==>，所以2,0p q p =<，此时30q ∆=-<，即点(),p q 的轨迹在抛物线2y x 上.故选：D.【点睛】本题考查实系数一元二次方程根的关系、复数的基本概念，韦达定理的应用是解题的关键，考查计算求解能力，属于中档题. 6．A解析：A【分析】化简复数z 的代数形式，根据复数为纯虚数，列出方程组，即可求解.【详解】 由题意，复数()()()()131********10ai i ai a a z i i i i +-++-===+++-， 因为复数z 为纯虚数，可得30310a a +=⎧⎨-≠⎩，解得3a =-. 故选：A.【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，以及复数的分类及其应用，着重考查计算能力，属于基础题.7．B解析：B【分析】（1）根据椭圆的定义来判断；（2）根据双曲线的定义来判断；（3）根据抛物线的定义来判断；（4）利用圆的有关知识点判断.【详解】（1）|1||1|2z z -++=，表示复平面内到点()()1,0,1,0-距离之和为2的点的轨迹，是由点()()1,0,1,0-构成的线段，故错误；（2）|2||2|2z z --+=，表示复平面内到点()2,0的距离比到点()2,0-的距离大2的点的轨迹，是双曲线的左支，故错误；（3）|1||Re 1|z z -=+，表示复平面内到点()1,0的距离等于到直线1x =-的距离的点的轨迹（点()1,0不在直线1x =-上），所以轨迹是抛物线，故正确；（4）|2|3z -≤，表示点的轨迹是圆心为()2,0，半径为3的圆及其内部（坐标原点在圆内），且z 表示轨迹上的点到原点的距离，所以min 0=，此时z 对应的点为原点，max 325r d =+=+=（d 表示原点到圆心的距离），所以 ||z 的取值范围是[0,5]，故错误.故选B.【点睛】复数对应的轨迹方程：（1）122z z z z a -+-=，当122a z z >-时，此时z 对应的点的轨迹是椭圆； （2）()1220z z z z a a ---=>，当122a z z <-时，此时z 对应的点的轨迹是双曲线. 8．A解析：A【分析】由题意结合复数的运算法则和复数的性质整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意可得：()()21=1+3i z i i =++，则z ==本题选择A 选项.【点睛】本题主要考查复数的运算法则，复数的模的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9．D解析：D【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】由()121i z i +=-， 得()()()()11211312121255i i i z i i i i ---===--++-． 故选D ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．10．B解析：B【解析】分析：根据复数模的定义化简复数，再根据共轭复数概念求结果. 详解：因为3422i iz +-=，所以522i z -=, 所以复数z 的共轭复数是52i +,选B.点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭为.-a bi11．B解析：B【分析】分析：直接利用复数的除法的运算法则化简求解即可． 详解：()()()51251 2.121212i i i i i ⋅-==-++- 则复数512i +的共轭复数是12i +. 故选B.点睛：本题考查复数的除法的运算法则的应用，复数的基本概念，是基础题． 12．D解析：D【分析】根据复数为纯虚数得到3sin 5θ=，4cos 5θ=-，故3tan 4θ=-，展开计算得到答案. 【详解】 34sin cos 55z i θθ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭是纯虚数，则3sin 5θ=且4cos 5θ≠，故4cos 5θ=- 3tan 4θ=-，tan 1tan 741tan πθθθ-⎛⎫-==- ⎪+⎝⎭ 故选：D【点睛】本题考查了复数的概念，和差公式，意在考查学生的综合应用能力和计算能力.二、填空题13．④【分析】①采用特殊值法当都是零时来判断②通过负数也是实数来判断③采用特殊值法当时来判断④根据题意是两个共轭虚数则虚部不为零来判断【详解】当时则不是纯虚数故错误②因为负数是实数实数可以比较大小故错误解析：④【分析】①采用特殊值法，当,a b 都是零时来判断.②通过负数也是实数来判断.③采用特殊值法，当121,z z i ==时来判断.④根据题意，是两个共轭虚数，则虚部不为零来判断.【详解】当0a b 时，则()()0a b a b i -++=，不是纯虚数，故错误.②因为负数是实数，实数可以比较大小，故错误.③当121,z z i ==时，符合12,z z C ∈，且22120z z +=，而120z z ==不成立，故错误.④因为是两个共轭虚数，所以设()0z a bi b =+≠ ，其共轭复数是()0z a bi b =-≠，则()20z z bi b -=≠所以是纯虚数，故正确.故答案为：④【点睛】本题主要考查了复数的概念，还考查了理解辨析的能力，属于中档题.14．【分析】由模长性质求解即可【详解】因为故故答案为：【点睛】本题主要考查模长的性质若则若则属于基础题型【分析】由模长性质求解即可.【详解】因为()34i z +=,故z ===. 【点睛】本题主要考查模长的性质,若12z z z =,则12z z z =.若12z z z =⋅,则12z z z =⋅.属于基础题型. 15．【分析】利用行列式展开法则和复数的性质进行求解【详解】∵∴∴故答案为【点睛】本题主要考查行列式运算法则解题时要注意复数运算性质的合理运用属于基础题解析：1i +【分析】利用行列式展开法则a c ad bcb d =-和复数的性质进行求解．【详解】∵1z iz i i i =+-，∴12iz i i +=-+， ∴1z i =+，故答案为1i +．【点睛】本题主要考查行列式运算法则，解题时要注意复数运算性质的合理运用，属于基础题. 16．【解析】复数其实部为考点：复数的乘法运算实部解析：1-【解析】复数(1)11i i i i +=-=-+，其实部为1-.考点：复数的乘法运算、实部.17．672【分析】由二项式定理得出通项的系数再利用复数的运算得出哪些系数是实数【详解】系数为（）只要考虑是实数即可则（）是3的整数倍即可由于这样的有共672个∴展开式中系数为实数的项的672项故答案为：解析：672【分析】由二项式定理得出通项的系数，再利用复数的运算得出哪些系数是实数．【详解】20152015120152015()()()r r r r r r r r T C x C x ωωωω--+==，系数为20152015()r r r C ωω-，（02015,r r N ≤≤∈）只要考虑20151()r r r a ωω-+=是实数即可，132i ω=-+，则331,()11ωωωω===，，20152015211()r r r r a ωωω--+==， 201522013323r r r k -=-++=（k Z ∈），2r +是3的整数倍即可，由于02015,r r N ≤≤∈，这样的r 有1,4,7,,2014共672个，∴展开式中系数为实数的项的672项．故答案为：672．【点睛】本题考查二项式定理，考查复数的运算．解题关键是由二项展开式通项公式得出项的系数，然后利用ω的性质分析系数为实数的项有哪些．18．3【解析】由于为纯虚数则得故故答案为3解析：3【解析】由于()()21z m m i ++＝－为纯虚数，则20{10m m -=+≠，得2m =，3i z =， 故3z =，故答案为3. 19．-2【解析】则考点：复数的运算解析：-2【解析】，则.考点：复数的运算. 20．3【详解】∵|z+2-2i|=|z-(-2+2i)|=1∴复数z 在复平面内对应点的轨迹是以（-22）为圆心1为半径的圆∵|z-2-2i|=|z-(2+2i)|表示复数z 在复平面内的对应点到点（22）解析：3【详解】∵|z+2-2i|=|z-(-2+2i)|=1，∴复数z 在复平面内对应点的轨迹是以（-2，2）为圆心，1为半径的圆.∵|z-2-2i|=|z-(2+2i)|表示复数z 在复平面内的对应点到点（2，2）的距离，即圆上的点到点（2，2）的距离，∴最小值为圆心与点（2，2）的距离减去半径，∴|z-2-2i|的最小值为4-1=3.三、解答题21．（1）1322-（2）-3 【分析】 （1）直接求出,||z z 即得解；（2）由题得260m m m+-=且220-≠m m ，解不等式组得解.【详解】（1）由题得13i 22z =--，13122z z z =∴+=-． （2）由题得260m m m+-=且220-≠m m ， 3m ∴=-【点睛】本题主要考查复数模的计算和共轭复数，考查纯虚数的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.22．（1）217z i =-+，386z i =-+，4142z i =--.（2）存在，41n k =+，k ∈N .（3）10212+【分析】（1）根据()11n n z i z +=+⋅，依次代入1,2,3n =计算即可得到结果；（2）根据平行关系可知1n z z λ=⋅，从而得到()11n i λ-+=为实数，根据复数乘方运算可知1n -为4的倍数，进而得到结果； （3）由44n n z z +=-可知4416n n n n x y x y ++=，利用此特点化简所求式子，结合等比数列求和公式可求得结果.【详解】（1）()()213417z i i i =++=-+；()()311786z i i i =+-+=-+；()()4186142z i i i =+-+=--.（2）若1//n O Z Z O ，则存在实数λ，使得1n OZ OZ λ=，故1n z z λ=⋅即()()11,,n n x y x y λ=又()11n n z i z +=+，故()111n n z i z -=+，即()11n i λ-+=为实数故1n -为4的倍数，即14n k -= 41n k ∴=+，k ∈N（3）()4414n n n z i z z +=+=-，故44n n x x +=-，44n n y y +=- 4416n n n n x y x y ++∴= 又1112x y =，227x y =-，3348x y =-，4428x y =()()1122331001001122334455667788x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y ∴+++⋅⋅⋅+=+++++++()979798989999100100x y x y x y x y +⋅⋅⋅++++()25100116127482812116-=--+⨯=-- 又251001011011116122x y x y ==⨯，25100102102221672x y x y ==-⨯所以数列{}n n x y 的前102项之和为：100100100102121227212-+⨯-⨯=+【点睛】本题考查复数知识的综合应用问题，涉及到复数的乘法和乘方运算、复数运算的周期性、等比数列求和的问题；关键是能够灵活运用复数乘方运算的特点，将所求式子转化为类似周期运算的形式，从而将所求式子化简，利用等比数列求和的方法求得结果.23．（1）z i =；（2）[1,3]ZW ∈【分析】(1)设z a bi =+,则z a bi =-,代入题中关系式利用复数相等即可求出,a b 进而求出复数z i =;(2)利用(1)的结果,ZW 为点)和(sin ,cos θθ)之间的距离,利用两点之间距离公式列出等式然后再结合三角函数的知识进行求解范围.【详解】(1) 设z a bi =+,则z a bi =-,代入4z 3z i +=化简得533a bi i +=∴由复数相等可得533a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩1a b ==∴z i =;(2)由z i =和sin cos i ωθθ=+在复平面内对应的点为)和W(sin ,cos θθ),∴)()222ZW sin 1cos θθ=+-=2cos θθ--+5=-4sin 6πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+5 ∵[]sin 1,16πθ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭, ∴-4sin 6πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+5[]1,9∈ ∴[]1,3ZW ∈.【点睛】本题考查了复数代数形式的运算法则,共轭复数,相等复数,考查了复数的几何意义,同时还考查了学生的运算能力,是高考中的常考题型.24．（1）1m n ==；（2）4.【分析】（1）利用复数代数形式的乘除运算化简z ，再由实系数一元二次方程虚根成共轭复数这一性质，结合韦达定理求解；（2）化简()12z a i z =-，由实部为0且虚部不为0求出a 的值，然后利用复数模的计算公式求解.【详解】（1）213144212z =--=-⎛⎫=- ⎪⎪⎝ ⎭是一元二次方程210mx nx ++=的一个虚根，则12-是一元二次方程210mx nx ++=的另一个虚根， 11112222i m ⎛⎫⎛⎫∴=---+= ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭，得1m =， 1112222n i m ⎛⎫⎛⎫-=--+-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得1n=， 因此，1m n ==；（2）()()11122122z a i z a i a i ⎛⎫⎛⎫⎛=-=--=-+-⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎝⎭⎝⎭是纯虚数， 则10210a ⎧-=⎪⎪⎨⎪≠⎪⎩，即a =-224a i i +=-==.【点睛】本题考查虚根与实系数一元二次方程之间的关系，同时也考查了复数相关的概念以及复数模的计算，解题时要利用复数的四则运算法则将复数化为一般形式，针对实部和虚部进行求解，考查计算能力，属于中等题.25．（1）3i z =+（2【分析】（1）根据复数的类型确定b 的值，即可得出复数z ；（2）由模长公式求解即可.【详解】（1）33(1)z i bi i b i -=+-=+-z i -为实数10b ∴-=，则1b =3z i ∴=+（2）由（1）可知3i z =+，则||z ==【点睛】本题主要考查了根据复数的类型求参数以及求复数的模，属于中档题.26．（1）3；（2）ab =【分析】（1）根据复数z 在复平面内对应的点为写出复数和共轭复数，即可求出||z +；（2）根据题意得)(b ai i i +=--，求出1b =-，a =-.【详解】解：（1）由题知：z i =+，所以z i =，所以||||3z i ===；（2）由题知：(3()a bi i z i -=-，所以)(b ai i i +=--，所以1b ai +=-- ，由复数相等知：1b =-，a =-，所以ab =【点睛】此题考查复数概念与几何意义的辨析和基本运算，关键在于熟练掌握基本概念，根据运算法则准确进行复数运算.。
(常考题)北师大版高中数学选修1-2第四章《数系的扩充与复数的引入》检测卷(包含答案解析)(2)
一、选择题1．若复数1a i z i +=+(i 为虚数单位)为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．1 B ．0 C ．12- D ．1- 2．设z 是复数，从z ，z ，z ，2||z ，2||z ，2||z ，z z ⋅中选取若干对象组成集合，则这样的集合最多有（ ）A ．3个元素B ．4个元素C ．5个元素D ．6个元素3．若1+是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，则（ ） A ．2,3b c == B ．2,1b c ==- C ．2,1b c =-=-D ．2,3b c =-= 4．在复数范围内，有下列命题：（1）若12,z z 是两个复数，则1212z z z z +一定是实数（2）“||1z =”是“1z R z+∈”的充分非必要条件（3）方程20(0)x t t +=>的根是（4）22z z =则其中假命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45．设复数(1)i(,)z x y x y =-+∈R ，若||1z ，记事件A ：实数x y ，满足10x y --，则事件A 的概率为（ ）A ．14B ．12C ．12πD ．1π6．已知下列4个命题：①若复数12z z ，的模相等，则12z z ，是共轭复数．②12z z ，都是复数，若12z z +是虚数，则12z z 不是的共轭复数．③复数z 是实数的充要条件是z z =．（z 是z 的共轭复数）．④已知复数12312i,?1i,32i z z z =-+=-=-（i 是虚数单位），它们对应的点分别为A ，B ，C . O 为坐标原点．若OC xOA yOB =+（x y R ∈，），则1x y +=.则其中正确命题的个数为（ ）.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．若复数z 满足(12)1i z i +=-，则复数z 为（ ）A ．1355i +B ．1355i -+C ．1355i -D ．1355i -- 8．设()1x yi i i +=+，其中x ，y 是实数，则2x yi +=（ ）A ．1BCD 9．在复平面内满足11z -=的动点z 的轨迹为（ ）A ．直线B ．线段C ．两个点D ．圆 10．设复数21i x i =-（i 是虚数单位），则112233202020202020202020202020C x C x C x C x +++⋅⋅⋅+=（ ）A ．1i +B ．i -C ．iD ．0 11．复数z 11i i -=+，则|z |=( )A ．1B ．2CD ．12．若复数z 是方程2250x x -+=的一个根，则z =（ ） A ．2i ± B ．2i -±C ．12i -±D ．12i ± 二、填空题13．若复数z 满足112z i i i=-+-，则z 等于__________. 14．若复数z 满足i 12i 01z +=，其中i 是虚数单位，则z 的虚部为________ 15．若复数 1sin i z cos iθθ-=（i 为虚数单位），则z 的模的最大值为__________. 16．设复数211z z iz =-(其中表示复数1z 的共轭复数),若2z 的实部是-1,则2z 的虚部是__________.17．若02|4-+-=z i z z 表示的动点的轨迹是椭圆，则0z 的取值范围是________. 18．在复平面上，若正方形OABC （按顺时针方向，O 表示原点）中的顶点A 对应复数为12i +，则顶点C 对应的复数为_________.19．关于x 的方程()210x px p R -+=∈的两个根12,x x ，若121x x -=，则实数p =__________．20．设复数3i 1im z m +=+（0m >，i 为虚数单位），若z z =，则m 的值为_______． 三、解答题21．设z 是虚数，1w z z=+是实数，且12w -<<. （1）求z 的值及Rez 的取值范围；（2）若2z z z z++为纯虚数，求z .22．已知复数||z =z 是z 的共轭复数，且2()z 为纯虚数，z 在复平面内所对应的点Z 在第二象限，求2018. 23．已知复数()2113z i i =-++.（1）求z ；（2）若2z az b z ++=，求实数a ，b 的值.24．已知z 为虚数,z+9z 2-为实数. (1)若z-2为纯虚数,求虚数z.(2)求|z-4|的取值范围. 25．已知复数1z 满足()11i 13i z -=+，()2i z a a R =-∈（其中i 是虚数单位），若121z z ->，求a 的取值范围．26．已知z 是复数，2iz +为实数（i 为虚数单位），且4i z z -=． （1）求复数z ；（2）若i 5z m -<，求实数m 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】直接利用复数的除法运算结合复数定义得到答案.【详解】()()()()()1+1+11112a i i a a i a i z i i i +--+===++-为纯虚数，故1010a a +=⎧⎨-≠⎩，故1a =-. 故选：D.【点睛】本题考查了复数的除法，根据复数类型求参数，意在考查学生的计算能力和应用能力. 2．A解析：A【分析】设复数z a bi =+(),a b R ∈分别计算出以上式子，根据集合的元素互异性，可判断答案.【详解】解：设复数z a bi =+(),a b R ∈z a bi ∴=-(),a b R ∈，z a bi z =+=(),a b R ∈，||222z a b =+，222||z a b =+，()()22z z a bi a bi a b ⋅=+-=+()22222z a bi a b abi =+=-+222222z a b abi a b ∴=-+===+ 故由以上的数组成的集合最多有a bi +，a bi -，22a b +这3个元素，故选：A【点睛】本题考查复数的运算及相关概念，属于中档题.3．D解析：D【分析】由题意，将根代入实系数方程x 2+bx +c ＝0整理后根据得数相等的充要条件得到关于实数a ，b的方程组100b c -++=⎧⎪⎨=⎪⎩，解方程得出a ，b 的值即可选出正确选项【详解】由题意1是关于x 的实系数方程x 2+bx +c＝0∴﹣2+b bi+c ＝0，即()10b c i -+++=∴100b c -++=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得b ＝﹣2，c ＝3 故选：D ．【点睛】本题考查复数相等的充要条件，解题的关键是熟练掌握复数相等的充要条件，能根据它得到关于实数的方程，本题考查了转化的思想，属于基本计算题4．B解析：B【分析】利用复数的概念及运算法则对各个命题依次进行判定．【详解】设12,z a bi z c di =+=+（,,,a b c d R ∈），则1212z z z z +()()()()a bi c di a bi c di =+-+-+()()ac adi bci bd ac adi bci bd =-++++-+22ac bd R =+∈，①正确；设i(,0)z a b a b b =+∈≠R,，若1z ==， 则11z a bi z a bi +=+++222a bi a bi a bi a bi a R a b-=++=++-=∈+， 反之，若11z a bi z a bi +=+++22a bi a bi R a b -=++∈+，则220b b a b-=+，221a b +=，∴1z =．应是充要条件，②错误；方程20(0)x t t +=>的根是，③正确； z 是复数，2z 可能是虚数，但2z 是复数的模，一定是实数，④错误，∴错误命题有2个．故选B ．【点睛】本题考查复数的概念与运算，解题时可设(,)z a bi a b R =+∈，然后代入进去进行检验证明．5．B解析：B【解析】【分析】先计算复数表示的圆面22(1)1x y -+，由于直线10x y --=过()2211x y -+=的圆心，概率为12【详解】由(1)i z x y =-+得到||1z =，22(1)1x y -+， 又直线10x y --=过()2211x y -+=的圆心，所以事件A 的概率为12p =． 故选B ．【点睛】本题考查了几何概型，判断直线10x y --=过()2211x y -+=的圆心是解题的关键. 6．B解析：B【分析】本道题结合复数的概念和向量的加减法，代入，即可．【详解】1号可能复数相等，故错误．2号明显正确，因为如果为共轭复数，则相加为实数，不会为虚数．4号,a bi a bi +=-,计算得到b=0,故正确．3号，由题可知，()()()1,2,1,1,3,2A B C ---，建立等式,()()3,2,2x y x y -=-+-建立等式，得到3{22x y x y -+=-=-，解得1,4x y ==，故错误．故选B ． 【点睛】本道题考查了复数的概念和向量坐标运算，代入，即可得出答案．7．D解析：D【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】由()121i z i +=-， 得()()()()11211312121255i i i z i i i i ---===--++-． 故选D ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．8．D解析：D【解析】分析：首先应用复数代数形式的乘法运算法则，将()x yi i +求出来，之后应用复数相等的条件，得到,x y 所满足的等量关系式，求得,x y 的值，接着利用复数的模的计算公式求得结果.详解：因为()1,,x yi i i x y +=+是实数，所以21xi yi i +=+，即1y xi i -+=+，所以1,1x y ==-，则212x yi i +=-==，故选D.点睛：该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的乘法运算法则、复数相等的条件以及复数模的计算公式，属于简单题目. 9．D解析：D【分析】由题意把|1|2||z z -=平方可得关于x 、y 的方程，化简方程可判其对应的图形．【详解】解：设z x yi =+，|1|1z -=，2|1|1z ∴-=，2|1|1x yi ∴-+=，22(1)1x y ∴-+=，故该方程表示的图形为圆，故选：D ．【点睛】本题主要考查复数的代数形式及其几何意义，考查圆的方程，涉及复数的模长公式，属于中档题．10．D解析：D【分析】先化简1x +，再根据所求式子为2020(1)1x +-，从而求得结果．【详解】 解：复数2(1i x i i=-是虚数单位）， 而1122332020202020202020202020202020(1)1C x C x C x C x x +++⋯+=+-， 而2121(1)111(1)(1)i i i i x i i i i i -++++====--+-， 故11223320202020202020202020202020202020(1)11110C x C x C x C x x i +++⋯+=+-=-=-=， 故选：D ．【点睛】本题主要考查复数的乘除法运算、二项式定理的应用，属于中档题．11．A解析：A【解析】【分析】运用复数的除法运算法则,先计算出z 的表达式,然后再计算出z .【详解】由题意复数z 11i i-=+得221(1)12=1(1)(1)2i i i i i i i i ---+===-++-,所以=1z . 故选A【点睛】本题考查了运用复数的除法运算求出复数的表达式,并能求出复数的模,需要掌握其计算法则,较为基础.12．D解析：D【分析】设出复数，代入方程进行求解即可.【详解】令(,)z a bi a b R =+∈，有2()2()50a bi a bi +-++=，整理为()2225(22)0a b a ab b i --++-=， 有22250220a b a ab b ⎧--+=⎨-=⎩， 解得：12a b =⎧⎨=±⎩， 则12z i =±.故选：D.【点睛】本题综合考查复数的运算，涉及复数为实数的转化关系，属复数基础题.二、填空题13．【分析】利用行列式展开法则和复数的性质进行求解【详解】∵∴∴故答案为【点睛】本题主要考查行列式运算法则解题时要注意复数运算性质的合理运用属于基础题解析：1i +【分析】 利用行列式展开法则a c ad bcb d =-和复数的性质进行求解．【详解】 ∵1z iz i i i =+-，∴12iz i i +=-+， ∴1z i =+，故答案为1i +．【点睛】本题主要考查行列式运算法则，解题时要注意复数运算性质的合理运用，属于基础题. 14．【分析】根据行列式得到化简得到复数的虚部【详解】即的虚部为故答案为【点睛】本题考查了行列式的计算复数的虚部意在考查学生的计算能力 解析：1-【分析】根据行列式得到(12)0iz i -+=，化简得到复数的虚部.【详解】i 12i 01z +=即12(12)0,2i iz i z i i+-+===-，z 的虚部为1-故答案为1-【点睛】本题考查了行列式的计算，复数的虚部，意在考查学生的计算能力.15．【分析】用行列式的公式化简复数代入复数模的公式利用降次公式和辅助角公式合并后利用三角函数的性质求得模的最大值【详解】故填【点睛】本小题考查行列式的计算考查复数模的运算公式考查三角函数降次公式以及辅助【分析】用行列式的公式化简复数z ，代入复数模的公式，利用降次公式和辅助角公式合并后，利用三角函数的性质求得z 模的最大值.【详解】 ()sin cos 1z i i θθ=⋅-⋅- ()cos sin cos i θθθ=+-⋅，z ∴==== =≤=故填1.2 【点睛】 本小题考查行列式的计算，考查复数模的运算公式，考查三角函数降次公式以及辅助角公式，还考查了三角函数的最大值.属于中档题.三角函数的降次公式包括21cos2cos 2x x +=，21cos2sin 2x x -=，这两个公式有点类似，记忆的时候不要记忆错误了. 16．1【解析】设则∴∵的实部是∴的虚部是故答案为解析：1【解析】设()1,z a bi a b R =+∈，则1z a bi =-.∴()()()211z z iz a bi i a bi a bi b ai a b a b i =-=+--=+--=---∵2z 的实部是1-∴2z 的虚部是1故答案为1.17．【分析】根据复数几何意义以及椭圆定义列关于的条件再解不等式得的取值范围【详解】因为表示的动点的轨迹是椭圆所以复数所对应点距离小于4即故答案为：【点睛】本题考查复数几何意义以及椭圆定义考查综合分析求解解析：[)0,6【分析】根据复数几何意义以及椭圆定义列关于0z 的条件，再解不等式得0z 的取值范围.【详解】因为02|4-+-=z i z z 表示的动点的轨迹是椭圆，所以复数02,i z 所对应点距离小于4，即0000|2|4||||2||44||242||6z i z i z z -<∴-<∴-<-<∴-<< 00||00||6z z ≥∴≤<故答案为：[)0,6【点睛】本题考查复数几何意义以及椭圆定义，考查综合分析求解能力，属中档题.18．【分析】根据正方形的几何性质对应的复数乘以得到对应的复数【详解】由于顶点对应复数为顺时针旋转得到故对应的复数为故填：【点睛】本小题主要考查复数对应的点考查复数的几何性质与乘法运算属于基础题解析：2i -【分析】根据正方形的几何性质，A 对应的复数乘以i -，得到C 对应的复数.【详解】由于顶点A 对应复数为12i +，OA 顺时针旋转90得到OC ，故C 对应的复数为()()122i i i +⋅-=-.故填：2i -.【点睛】本小题主要考查复数对应的点，考查复数的几何性质与乘法运算，属于基础题. 19．【解析】分析：根据所给的方程当判别式不小于0时和小于0时用求根公式表示出两个根的差根据差的绝对值的值做出字母p 的值详解：当即或由求根公式得得当即由求根公式得|得综上所述或故答案为点睛：本题考查一元二解析：【解析】分析：根据所给的方程，当判别式不小于0时和小于0时，用求根公式表示出两个根的差，根据差的绝对值的值做出字母p 的值．详解：当240p =-≥ ，即2p ≥或2p ≤- ，由求根公式得121x x -== ，得p =当240p =-＜ ，即22p ＜＜- ，由求根公式得|12|1x x -==，得p =综上所述，p =或p =．故答案为点睛：本题考查一元二次方程根与系数的关系，本题解题的关键是对于判别式与0的关系的讨论，方程有实根和没有实根时，两个根的表示形式不同，本题是一个易错题． 20．【解析】试题分析：由得：为实数而所以又所以的值为考点：复数概念【解析】 试题分析：由z z =得：3i 1i m z m +=+为实数，而2224311m m z i m m -=+++，所以2230,1m m -=+又0m >，所以m 考点：复数概念三、解答题21．（1）1,z =Rez 的取值范围为1(,1)2-；（2）122z =+或122z =-. 【分析】（1）先设出复数，结合1w z z=+是实数可求出z 的值及Rez 的取值范围； （2）先设出复数，结合2z z z z++为纯虚数可求. 【详解】（1）设z x yi =+，其中,x y R ∈且0y ≠，222211i ()i i x y w z x y x y z x y x y x y =+=++=++-+++， 因为1w z z =+是实数，所以220y y x y -=+，解得221x y +=，所以1z ==；因为12w -<<，所以222(1,2)x x x x y +=∈-+，即1(,1)2x ∈-； 所以Rez 的取值范围为1(,1)2-. （2）由（1）知221x y +=，()2222i i (2)i i i 2x y x y z z x y x xy y x y x y x z z++++-+++==++-+， 因为2z z z z ++为纯虚数，所以220x y x -+=且20xy y +≠，0x ≠， 联立222201x y x x y ⎧-+=⎨+=⎩可得122x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或122x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以122z =+或122z =-. 【点睛】本题主要考查复数的运算及相关概念，待定系数法是求解复数的常用方法，侧重考查数学运算的核心素养.22．i -【解析】【分析】设z a bi =+，根据题意列出关于a b 、的方程组求解，再结合所对应的点Z 在第二象限，即可求出z【详解】设(),z a bi a b R =+∈，则z ==，∴222a b += 又z a bi =-，()()22222z a bi a b abi =-=--.∴22020a b ab ⎧-=⎨-≠⎩，联立22222a b a b ⎧+=⎨=⎩，解得11a b =±⎧⎨=±⎩ 又Z 在第二象限，∴11a b =-⎧⎨=⎩，即1z i =-+∴2018()10092018210091009i i ⎛⎫===-=- ⎪ ⎪⎝⎭ ()252252414i i i i ⨯+=-=-⨯=-故答案为i -【点睛】本题考查了复数的相关定义，设出复数z 的表示形式，根据题意列出方程组即可，本题较为基础，注意计算。
(常考题)北师大版高中数学选修1-2第四章《数系的扩充与复数的引入》测试卷(包含答案解析)(4)
一、选择题1．已知复数2i 1i z =+(i 为虚数单位)，则z = ( ) A ．3 B ．2 C ．3 D ．22．已知i 是虚数单位，则21i i =-（ ） A ．1i -+B ．1i +C ．1i -D ．1i -- 3．定义运算,,a b ad bc c d =-，则符合条件,10 ,?2z i i i +=-的复数 z 对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 4．复数z 满足(2)36z i i +=-（i 为虚数单位），则复数z 的虚部为（ ）A ．3B ．3i -C ．3iD ．3- 5．若复数1z ，2z 满足1134z z i +=-，212z i ++=，则12z z -的最小值为（ ）． A ．110 B ．1110 C ．2110 D ．21210- 6．“20>z ”是“z 是非零实数”的（ ）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要 7．已知复数1cos 2()z x f x i =+，()23sin cos z x x i =++，x ∈R .在复平面上，设复数1z ，2z 对应的点分别为1Z ，2Z ，若1290Z OZ ∠=︒，其中O 是坐标原点，则函数()f x 的最大值为（）A ．14-B ．14C ．12-D ．128．如图所示，在复平面内，OP 对应的复数是1－i ，将OP 向左平移一个单位后得到00O P ，则P 0对应的复数为( )A ．1－iB ．1－2iC ．－1－iD ．－i9．若复数(32)z i i =-，则z =（ ）A ．32i -B ．32i +C ．23i +D ．23i - 10．已知命题p 是命题“若ac bc >，则a b >”的否命题；命题q ：若复数22(1)(2)x x x i -++-是实数，则实数1x =，则下列命题中为真命题的是（ ） A ．p q ∨ B ．()p q ⌝∧ C ．()p q ∧⌝ D ．()()p q ⌝∧⌝11．已知复数()()211i a bi i -+=+（i 是虚数单位，,a b ∈R ），则a b +=（ ） A ．2- B ．-1C ．0D ．2 12．已知复数(,,0)z x yi x y R x =+∈≠且|2|3z -=，则y x的范围为（ ） A ．33,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．33,,33⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭C ．3,3⎡⎤-⎣⎦D ．(,3][3,)-∞-⋃+∞ 二、填空题13．若复数z 满足034z z z i -+-=，且复数z 对应的点的轨迹是椭圆，则复数0z 的模的取值范围是__________．14．复数z=（其中i 为虚数单位）的虚部为________．15．已知R b ∈，若()()12bi i +-为纯虚数，则1bi +=________．16．关于x 的方程240x x m ++=（m R ∈）的两虚根为α、β，且||2αβ-=，则实数m 的值是________.17．若复数z 满足2Re 2z z -=+，则32i 2z z --+-的最小值______． 18．设()f z z =，且115z i =+，232z i =-+，则12()f z z -的值是__________． 19．已知复数112z i =-+，21z i =-，334z i =-，它们在复平面上对应的点分别为,,A B C ，若OC OA OB λμ=+，(,R λμ∈)，则λμ+的值是__________． 20．已知复数1223,z i z t i =+=-，且12·z z 是实数，则实数t =__________.三、解答题21．已知复数z 满足|z |2=z 的实部大于0，z 2的虚部为2. （1）求复数z ；（2）设复数z ，z 2，z ﹣z 2之在复平面上对应的点分别为A ，B ，C ，求（OA OB +）⋅OC 的值.22．已知复数z 满足z =261i i-+-﹣4． （1）求复数z 的共轭复数z ；（2）若w =z +ai ，且|w |≤|z |，求实数a 的取值范围．23．设复数n n n z x i y =+⋅，其中n x n y ∈R ，*n ∈N ，i 为虚数单位，1(1)n n z i z +=+⋅，134z i =+，复数n z 在复平面上对应的点为n Z .（1）求复数2z ，3z ，4z 的值；（2）是否存在正整数n 使得n OZ ∥1OZ ？若存在，求出所有满足条件的n ；若不存在，请说明理由；（3）求数列{}n n x y ⋅的前102项之和.24．为何实数时，复数是： （1）虚数； （2）若，求． 25．已知m 为实数，设复数22(56)(253)z m m m m i =++++-.（1）当复数z 为纯虚数时，求m 的值；（2）当复数z 对应的点在直线70x y -+=的上方，求m 的取值范围.26．已知关于x 的实系数一元二次方程240x x p ++=的两个虚根是1x 、2x .（1）若1||5x =，求p 的值；（2）若12||2x x ，求p 的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】 化简复2i 11i z i ==++，利用复数模的公式求解即可. 【详解】 ∵2i 1i z ==+ ()()()21221112i i i i i i -+==++- ∴z 112+=故选D.【点睛】本题考查复数的模的定义，两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i 的幂运算性质，两个复数相除，分子和分母同时除以分母的共轭复数．2．A解析：A【解析】 因22(1)112i i i i i +==-+-，故应选答案A ． 3．B解析：B由题意可得：()()(),1210,2z i z i i i i i +=--+=-，即()()()121221222422i i i i i z i i i -----====---，∴1 22i z =-+，则复数z 对应的点的坐标为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭在第二象限，故选B. 4．D解析：D【分析】首先化简复数z ，然后结合复数的定义确定其虚部即可.【详解】 由题意可得：()()()()362361151322255i i i i z i i i i -----====--++-， 据此可知，复数z 的虚部为3-.本题选择D 选项.【点睛】复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根．除法实际上是分母实数化的过程．5．A解析：A【分析】由复数模的定义求出1z 对应的点在一条直线上，2z 对应的点在圆上，利用圆的性质可求得直线上的点到圆上点的距离的最小值．【详解】复数1z 对应的点为1(,)Z x y ，因为1134z z i +=-，所以=6870x y +-=，所以点1Z 的轨迹是一条直线． 复数2z 对应的点为2(,)Z x y ，因为212z i ++=表示点(),x y 到定点()1,1--的距离为2，所以点2Z 的轨迹表示以()1,1--为圆心、半径为2的圆，12z z -211221010-=-=． 故选：A ．【点睛】 本题考查复数的模的运算，考查模的几何意义，利用几何意义把复数问题转化为直线上的点到圆上点的距离的最小值这个几何问题，利用几何性质得出求解方法．6．C【分析】设(),,z a bi a b R =+∈，由题意结合复数的运算及性质可得0a =或0b =，分类讨论即可得0a ≠、0b =；当z 是非零实数，则20>z ；由充分条件和必要条件的概念即可得解.【详解】设(),,z a bi a b R =+∈，则2222z a b abi =-+，若20>z ，则0a =或0b =，当0a =时，220z b =->不存在，当0b =时，220z a =>即0a ≠，所以若20>z ，则z 是非零实数；若z 是非零实数，则20>z ；所以“20>z ”是“z 是非零实数”的充要条件.故选：C.【点睛】本题考查了复数的运算及复数性质的应用，考查了充分条件、必要条件的判断，属于中档题.7．B解析：B【分析】根据向量垂直关系的坐标运算和三角函数的最值求解.【详解】据条件，()1cos ,2()Z x f x ，)2cos ,1Z x x +，且12OZ OZ ⊥，所以，)cos cos 2()0x x x f x ⋅++=，化简得，11()sin 2264f x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭， 当sin 216x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，11()sin 2264f x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭取得最大值为14. 【点睛】本题考查向量的数量积运算和三角函数的最值，属于基础题. 8．D解析：D【分析】要求P 0对应的复数，根据题意，只需知道0OP ，而0000OP OO O P =+，从而可求P 0对应的复数【详解】因为00O P OP =，0OO 对应的复数是－1，所以P 0对应的复数，即0OP 对应的复数是()11i i -+-=-，故选D. 【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，复平面内复数、向量及点的对应关系，是基础题．9．C解析：C【解析】分析：由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.详解：由复数的运算法则可得：()2323223z i i i i i =-=-=+.本题选择C 选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 10．D解析：D【解析】分析：先判断命题p ，q 的真假，再判断选项的真假.详解：由题得命题p:若a>b,则ac bc >，是假命题.因为()()2212x x x i -++-是实数，所以220,2 1.x x x x +-=∴=-=或 所以命题q 是假命题，故()()p q ⌝∧⌝是真命题.故答案为 D.点睛：（1）本题主要考查四个命题和复数的基本概念，考查复合命题的真假，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)复合命题的真假判断口诀：真“非”假，假“非”真，一真“或”为真，两真“且”才真.11．A解析：A【解析】分析：由题意首先求得等式右侧的复数，然后结合复数相等的充分必要条件整理计算即可求得最终结果.详解：由复数的运算法则可得：()()()()2121222111112i i i i i i i i i i ------====--+++-， 结合题意可得：1a bi i +=--，即：1,1a b =--=-，据此可得：2a b +=-.本题选择A 选项.点睛：本题主要考查复数的综合运算，复数相等的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12．C解析：C【分析】转化|2|z -=为22(2)3x y -+=，设,y k y kx x==，即直线和圆有公共点，联立2164(1)0k ∆=-+≥，即得解.【详解】由于|2||2z x yi -=-+22(2)3x y -+=∴ 设y k y kx x=∴= 联立：2222(2)3,(1+)410x y y kx k x x -+==∴-+=由于直线和圆有公共点，2164(1)0k k ∴∆=-+≥≤≤故y x 的范围为[ 故选：C【点睛】 本题考查了直线和圆，复数综合，考查了学生转化划归，数学运算的能力，属于中档题.二、填空题13．【分析】根据椭圆的定义可知从而可得复数的模的取值范围【详解】因为复数满足且复数对应的点的轨迹是椭圆所以根据复数差的几何意义知表示复数在以为圆心4为半径的圆的内部数形结合可得故答案为：【点睛】本题主要 解析：[0,7)【分析】 根据椭圆的定义可知03i 4z -<，从而可得复数0z 的模的取值范围.【详解】因为复数z 满足034z z z i -+-=，且复数z 对应的点的轨迹是椭圆， 所以03i 4z -<， 根据复数差的几何意义知03i 4z -<表示复数0z 在以(0,3)为圆心，4为半径的圆的内部， 数形结合可得07z <.故答案为：[0,7)【点睛】本题主要考查椭圆的定义应用，明确椭圆定义中2a 与2c 的大小关系是求解的关键，侧重考查直观想象的核心素养.14．﹣【解析】试题分析：利用复数除法运算化简可得虚部解：==则复数z 的虚部为﹣故答案为﹣考点：复数代数形式的乘除运算解析：﹣．【解析】试题分析：利用复数除法运算化简，可得虚部． 解：==，则复数z 的虚部为﹣， 故答案为﹣．考点：复数代数形式的乘除运算．15．【详解】试题分析：为纯虚数；考点：1复数的分类；2复数的模长； 5【详解】试题分析：()()12=2(21)bi i b b i +-++-为纯虚数，=2b ⇒-，112=5bi i ⇒+=-；考点：1．复数的分类；2．复数的模长；16．5【分析】关于方程两数根为与由根与系数的关系得：由及与互为共轭复数可得答案【详解】解：与是方程的两根由根与系数的关系得：由与为虚数根得：则解得经验证符合要求故答案为：【点睛】本题考查根与系数的关系的 解析：5【分析】关于x 方程240x x m ++=两数根为α与β，由根与系数的关系得：4αβ+=-，m ，由||2αβ-=及α与β互为共轭复数可得答案．【详解】解：α与β是方程240x x m ++=的两根由根与系数的关系得：4αβ+=-，m ，由α与β为虚数根得： 4416m i α-+-，4416m i β---=， 则||416|2m i αβ-=-=，解得5m =，经验证∆<0，符合要求，故答案为：5．【点睛】本题考查根与系数的关系的应用．求解是要注意α与β为虚数根情形，否则漏解，属于基础题．17．【分析】设复数由可得即将转化为和到抛物线动点距离和根据抛物线性质即可求得最小值【详解】设复数即整理得:是以焦点为的抛物线化简为:转化为和到抛物线动点距离和如图由过作垂线交抛物线准线于点交抛物线于点根 解析：5【分析】设复数z x yi =+,由2Re 2z z -=+可得222(2)(2)x y x -+=+,即28y x =.将32i 2z z --+-转化为()3,2A 和()2,0到抛物线动点P 距离和,根据抛物线性质即可求得32i 2z z --+-最小值.【详解】设复数z x yi =+2Re 2z z -=+∴ |2||2|x yi x +-=+ 即|2||2|x yi x -+=+∴ 222(2)(2)x y x -+=+整理得:28y x = 是以(2,0)F 焦点为的抛物线.32i 2z z --+-化简为:()32i 2z z -++-转化为()3,2A 和()2,0到抛物线动点P 距离和.如图.由过A 作AB 垂线,交抛物线准线于点B .交抛物线于点1P根据抛物线定义可知,11PF PB = , 根据点到直线,垂线段最短,可得:5AB =∴ 11||||5PA PF PA PF AB +≥+== ∴ 32i 2z z --+-的最小值为:5.故答案为:5.【点睛】本题考查与复数相关的点的轨迹问题,解本题的关键在于确定出复数对应的点的轨迹,利用数形结合思想求解,考查分析问题的和解决问题的能力.18．4＋3i 【解析】分析：由题意可得再结合即可得到答案详解：又点睛：本题主要考查的是复数的加减法以及共轭复数掌握复数的运算法则以及共轭复数的概念是解题的关键解析：4＋3i【解析】分析：由题意可得1243z z i -=+，再结合()f z z =，即可得到答案详解：115z i =+，232z i =-+，1243z z i ∴-=+1243z z i ∴-=-又()f z z =，()1243f z z i ∴-=+点睛：本题主要考查的是复数的加减法以及共轭复数，掌握复数的运算法则以及共轭复数的概念是解题的关键。
(常考题)北师大版高中数学选修1-2第四章《数系的扩充与复数的引入》检测卷(含答案解析)(4)
一、选择题1．已知复数(1)(31)i i z i--=（i 为虚数单位），则下列说法正确的是（ ） A ．复数i 在复平面内对应的点落在第二象限 B ．42z i =--C ．24z z --的虚部为1D ．||z =2．若i 是虚数单位，则复数11i i +=-（ ） A ．-1 B ．1 C ．i - D ．i3．设复数z 满足()12z i i ⋅-=+，则z 的虚部是（ ）A ．32B ．32iC ．32-D ．32i - 4．在复数范围内，下列命题中，假命题的是（ ） A ．若z 为实数，则z z =B ．若z z =，则z 为实数C ．若z z ⋅为实数，则z 为实数D ．若z 为实数，则z z ⋅为实数5．已知复数1cos 2()z x f x i =+，)2cos z x x i =++，x ∈R .在复平面上，设复数1z ，2z 对应的点分别为1Z ，2Z ，若1290Z OZ ∠=︒，其中O 是坐标原点，则函数()f x 的最大值为（）A ．14-B ．14C ．12-D ．126．复数()34z i i =--在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 7．已知复数z 满足(i−1)(z −3i )=2i(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数为A ．i−1B ．1+2iC ．1−iD ．1−2i 8．若(13)n x +的二项展开式各项系数和为256，i 为虚数单位，则复数(1)n i +的运算结果为（ ）A ．16-B ．16C ．4-D ．49．已知复数z 满足：32z z =-，且z 的实部为2，则|1|z -=A ．3B C ．D ．10．设复数3422i i z +-=, 则复数z 的共轭复数是（ ） A ．5-2i B ．52i + C ．5-2i + D ．5--2i 11．在复平面内，复数21i z i=+ (i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 12．已知i 是虚数单位，复数z 满足|12|z i i -=+，则z 的共轭复数z 在复平面上对应点所在的象限为（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 二、填空题 13．已知复数z a bi =+(),a b ∈R ，且满足9iz i =+（其中i 为虚数单位），则a b +=____.14．若复数z 满足24z z i +=-（i 为虚数单位），则z 的最小值为__________． 15．若复数z 满足210z z -+=，则z =__________．16．复数212i z i-=+的虚部为__________． 17．已知复数z 与（z +2）2+5均为纯虚数，则复数z =__．18．若复数z 满足2Re 2z z -=+，则32i 2z z --+-的最小值______．19．若复数是纯虚数(是虚数单位)，为实数，则复数的模为__________． 20．复数3i i 2z -=+在复平面内对应的点位于第__________象限． 三、解答题21．已知i 为虚数单位，m 为实数，复数()(12)z m i i =+-.（1）m 为何值时，z 是纯虚数？（2）若||5z ≤，求||z i -的取值范围.22．设z 为关于x 的方程20x mx n ++=（,m n ∈R ）的虚根，i 为虚数单位.（1）当1i z =-+时，求m 、n 的值；（2）若1n =，在复平面上，设复数z 所对应的点为P ，复数24i +所对应的点为Q ，试求||PQ 的取值范围.23．设1z +为关于x 的方程()20,x mx n m n R ++=∈的虚根，i 为虚数单位.（1）当1z i =-+时，求,m n 的值；（2）若1n =，在复平面上，设复数z 所对应的点为P ，复数24i +所对应的点为Q ，试求PQ 的取值范围.24．试问取何值时，复数（1）是实数？（2）是虚数？（3）是纯虚数？25．已知z C ∈，0Imz >，且2||()i 52i z z z ++⋅=+．（1）求z ；（2）若,i m z m ω∈=⋅+R ，求证：1ω≥．26．已知复数z 1=1+ai （其中a ＞0），且z 12为纯虚数．（Ⅰ）求复数z 1；（Ⅱ）若z 2=，求复数z 2的模|z 2|【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】根据复数乘除运算化简得42z i =-，结合复数相关概念判定A ，B ，D 错误，化简24z z --判定正确.【详解】 解：(1)(31)(1)(3)42i i z i i i i--==-+=-， 其对应的复平面点为(4,2)-位于第四象限，故A 错误； 42z i =+，故B 错误；24222214422221z i i i i z i i i -+-++====-----，虚部为1，故C 正确； 22||4(2)25z =+-=D 错误.故选：C.【点睛】复数乘除法运算技巧：（1）复数的乘法：复数乘法类似于多项式的乘法运算．（2）复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数．2．D解析：D【解析】()()()21121112i i i i i i i ++===--+， 本题选择D 选项. 3．C解析：C【分析】化简得到1322z i =+，故1322z i =-，得到答案. 【详解】 ()12z i i ⋅-=+，则()()()()2121313111222i i i i z i i i i ++++====+--+，故1322z i =-，虚部为32-. 故选：C.【点睛】 本题考查了复数的运算，共轭复数，复数的虚部，意在考查学生的计算能力和转化能力. 4．C解析：C【分析】根据实数的共轭复数仍旧是实数可判断AD 的对错；一个数的共轭复数等于本身，这个数必定是实数，可判断B 的对错；一个复数与其共轭复数相乘结果一定是实数，因为z 可以是实数也可以是虚数，由此可判断C 的对错.【详解】设z a bi =+，则z a bi =-，A ．因为z R ∈，所以0b =，所以z R =且z z a ==，正确；B ．因为z z =，所以0b =，所以z R ∈，正确；C ．z z ⋅为实数对z C ∀∈（复数集）均满足，所以z 可以是实数，也可是虚数，错误.D ．因为z 为实数，所以0b =，所以z 也是实数，所以z z ⋅为实数，正确.故选C.【点睛】复数判断的常用结论：（1）一个复数与其共轭复数相乘的结果一定是实数；（2）实数的共轭复数仍是实数；（3）一个复数与其共轭复数相等则此复数是实数.5．B解析：B【分析】根据向量垂直关系的坐标运算和三角函数的最值求解.【详解】据条件，()1cos ,2()Z x f x ，)2cos ,1Z x x +，且12OZ OZ ⊥，所以，)cos cos 2()0x x x f x ⋅++=，化简得，11()sin 2264f x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭， 当sin 216x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，11()sin 2264f x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭取得最大值为14.本题考查向量的数量积运算和三角函数的最值，属于基础题.6．D解析：D【分析】直接由复数的乘法运算化简，求出z 对应点的坐标，则答案可求．【详解】复数()3443z i i i =--=-.对应的点为()4,3-，位于第四象限.故选D.【点睛】本题考查复数代数形式的乘法运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题． 7．B解析：B【解析】分析：把已知等式变形，再利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．详解：由(i−1)(z −3i )=2i(， 得()22(1)1211(1)i i i z i i i i i i ----=--+-+--＝＝， 则z 的共轭复数为12i + ．故选：B ．点睛：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．8．C解析：C【详解】分析：利用赋值法求得n ，再按复数的乘方法则计算．详解：令1x =，得4256n =，4n =，∴42(1)(2)4i i +==-．故选C ．点睛：在二项式()()nf x a bx =+的展开式中，求系数和问题，一般用赋值法，如各项系数为(1)f ，二项式系数和为2n ，两者不能混淆． 9．B解析：B【解析】分析：根据题意设2,z bi =+根据题意得到224+1412b b b z i =+⇒=±∴=±，从而根据复数的模的概念得到结果.详解：设2,z bi =+根据题意得到224+1412b b b z i =+⇒=±∴=±则1z -.点睛：本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题,复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.10．B解析：B【解析】分析：由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果. 详解：由题意可得：342525222i i i z i +--===-， 则其共轭复数为：52z i =+. 本题选择B 选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 11．D解析：D【解析】分析：首先求得复数z ，然后求解其共轭复数即可. 详解：由复数的运算法则有：()()()()2121211112i i i i i z i i i i --====+++-， 则1z i =-，其对应的点()1,1-位于第四象限.本题选择D 选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12．D解析：D【解析】分析：先根据复数的模求出z ，再求z 的共轭复数，最后确定对应点所在象限.详解：因为12z i i -=+，所以z i =,所以z i =,因此对应点为1-），在第四象限， 选D.点睛：.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭为.-a bi13．【分析】计算出两个复数相等实部与实部相等虚部与虚部相等列方程组求解【详解】所以所以故答案为：-8【点睛】此题考查复数的基本运算和概念辨析需要熟练掌握复数的运算法则解析：8-【分析】计算出2iz ai bi b ai =+=-+，两个复数相等，实部与实部相等，虚部与虚部相等，列方程组求解.【详解】2iz ai bi b ai =+=-+，所以1,9a b ==-，所以8a b +=-.故答案为：-8【点睛】此题考查复数的基本运算和概念辨析，需要熟练掌握复数的运算法则.14．【分析】由复数的几何意义可得满足题意的复数对应的点P 到复数-2和4对应点A(-20)B(04)距离相等即轨迹为线段AB 的垂直平分线则的最小值即可转化为原点垂直平分线的距离求解【详解】如图所示设复数- 解析：355【分析】由复数的几何意义可得满足题意的复数z 对应的点P 到复数-2和4i 对应点A(-2,0),B(0,4)距离相等即轨迹为线段AB 的垂直平分线,则z 的最小值即可转化为原点垂直平分线的距离求解.【详解】如图所示,设复数z ,-2,4i 对应的点分别为P (),x y ,A(-2,0),B(0,4),由题意24z z i +=-得PA PB =即点P 的轨迹为线段AB 的垂直平分线l ,由平面几何知识可求得垂直平分线l 的方程为:230x y +-=,且由z =所以z 的最小值即为原点O 到直线l 的距离,则由d OP ===5, z 的最小值为5.故答案为:5. 【点睛】 本题考查了复数的几何意义,复数模的几何意义及其运算,重点考查了运算能力,属于中档题. 15．1【分析】设代入方程利用复数相等即可求解求模即可【详解】设则整理得：解得所以故答案为1【点睛】本题主要考查了复数的概念复数的模复数方程属于中档题解析：1【分析】设z a bi =+，,a b ∈R ,代入方程利用复数相等即可求解z ，求模即可.【详解】设z a bi =+，,a b ∈R ,则2()()10a bi a bi +-++=，整理得：22(1)(2)0a b a ab b i --++-= 解得213,24a b ==，所以||1z ===， 故答案为1【点睛】本题主要考查了复数的概念，复数的模，复数方程，属于中档题.16．【解析】分析：利用复数除法的运算法则化简复数为的形式即可得到复数虚部详解：则复数的虚部故答案为点睛：本题主要考查的是复数的乘法除法运算属于中档题解题时一定要注意和以及运算的准确性否则很容易出现错误 解析：1-【解析】 分析：利用复数除法的运算法则化简复数212i z i -=+为a bi +的形式，即可得到复数虚部. 详解：()()()()212251212125i i i i z i i i i ----====-++-，则复数z 的虚部1-，故答案为1-. 点睛：本题主要考查的是复数的乘法、除法运算，属于中档题．解题时一定要注意21i =-和()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++以及()()()()a bi c di a bi c di c di c di +-+=++- 运算的准确性，否则很容易出现错误.17．±3i 【分析】设然后代入利用复数代数形式的乘除运算化简结合已知条件列出方程组求解即可得答案【详解】解：设为纯虚数解得故答案为：【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算考查了复数的基本概念属于基础题 解析：±3i【分析】设(,0)z bi b R b =∈≠，然后代入2(2)5z ++利用复数代数形式的乘除运算化简，结合已知条件列出方程组，求解即可得答案．【详解】解：设(,0)z bi b R b =∈≠，222(2)5(2)594z bi b bi ++=++=-+为纯虚数，∴29040b b ⎧-=⎨≠⎩，解得3b =±， 3z i ∴=±．故答案为：3i ±．【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，属于基础题．18．【分析】设复数由可得即将转化为和到抛物线动点距离和根据抛物线性质即可求得最小值【详解】设复数即整理得:是以焦点为的抛物线化简为:转化为和到抛物线动点距离和如图由过作垂线交抛物线准线于点交抛物线于点根 解析：5【分析】设复数z x yi =+,由2Re 2z z -=+可得222(2)(2)x y x -+=+,即28y x =.将32i 2z z --+-转化为()3,2A 和()2,0到抛物线动点P 距离和,根据抛物线性质即可求得32i 2z z --+-最小值.【详解】设复数z x yi =+ 2Re 2z z -=+∴ |2||2|x yi x +-=+ 即|2||2|x yi x -+=+∴ 222(2)(2)x y x -+=+整理得:28y x = 是以(2,0)F 焦点为的抛物线.32i 2z z --+-化简为:()32i 2z z -++-转化为()3,2A 和()2,0到抛物线动点P 距离和.如图.由过A 作AB 垂线,交抛物线准线于点B .交抛物线于点1P 根据抛物线定义可知,11PF PB = , 根据点到直线,垂线段最短,可得:5AB = ∴ 11||||5PA PF PA PF AB +≥+== ∴ 32i 2z z --+-的最小值为:5.故答案为:5.【点睛】本题考查与复数相关的点的轨迹问题,解本题的关键在于确定出复数对应的点的轨迹,利用数形结合思想求解,考查分析问题的和解决问题的能力.19．2【解析】分析：先化z 为代数形式再根据纯虚数概念得a 最后根据复数模的定义求结果详解：因为z=(a+i)2=a2-1+2ai 是纯虚数所以a2-1=02a≠0∴a=±1所以|z|=(a2+1)2=a2+解析：2【解析】分析：先化z 为代数形式，再根据纯虚数概念得a ，最后根据复数模的定义求结果. 详解：因为是纯虚数，所以， 所以点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为 20．四【解析】对应点为（1-1）故对应的点位于第四象限解析：四【解析】()()()32355122)25i i i i z i i i i ----====-++-（ ，对应点为（1，-1）故对应的点位于第四象限。
(常考题)北师大版高中数学选修1-2第四章《数系的扩充与复数的引入》检测题(含答案解析)(2)
一、选择题1．若复数2i z =-，i 为虚数单位，则(1)(1)z z +-= A ．24i + B ．24i -+C ．24i --D ．4-2．若复数1a iz i+=+(i 为虚数单位)为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．1 B ．0 C ．12- D ．1-3．已知21zi i=++，则复数z =（ ）A B ．2C ．13i -D ．13i +4．若(13)n x +的二项展开式各项系数和为256，i 为虚数单位，则复数(1)n i +的运算结果为（ ） A ．16- B ．16 C ．4- D ．4 5．若复数(32)z i i =-，则z =（ ）A ．32i -B ．32i +C ．23i +D ．23i -6．设12i1iz -=+，则z = A ．1322i - B ．1322i + C ．1322i -- D ．1322i -+ 7．设复数3422i iz +-=，则复数z 的共轭复数是( )A ．52i - B ．52i + C ．52i -+ D ．52i -- 8．设复数3422i iz +-=, 则复数z 的共轭复数是（ ）A ．5-2i B ．52i + C ．5-2i + D ．5--2i 9．已知i 是虚数单位，则复数242iz i-=+的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10．已知实数[1,1]a ∈-，实数[1,2]b ∈-，则复数2a biz i+=-在复平面内对应的点位于第一象限的概率为（ ） A ．524B ．14C ．724D ．1311．在复平面内满足11z -=的动点z 的轨迹为（ ）A ．直线B ．线段C ．两个点D ．圆 12．若复数z 满足1(120)z i -=,则复数z 在复平面内对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限二、填空题13．若复数(),z x yi x y R =+∈复平面上对应的点在直线34150x y +-=上，则z 的最小值是_________.14．若复数 1 sin i z cos iθθ-=（i 为虚数单位），则z 的模的最大值为__________.15．已知R b ∈，若()()12bi i +-为纯虚数，则1bi +=________． 16．复数()1i i +的实部为_________． 17．已知复数z 的实部为1-，虚部为2，则5iz= . 18．已知复数2,i m i αβ=-=-，其中i 是虚数单位，m R ∈. （1）若2αβα+<，求实数m 的取值范围；（2）若β是关于x 的方程2100()x nx n R -+=∈的一个根，求实数m 与n 的值.19．若02|4-+-=z i z z 表示的动点的轨迹是椭圆，则0z 的取值范围是________. 20．若复数z 满足2Re 2z z -=+，则32i 2z z --+-的最小值______．三、解答题21．已知复数1()2iaz a =+∈+R . （I ）若z ∈R ，求复数z ；（II ）若复数z 在复平面内对应的点位于第一象限，求a 的取值范围.22．已知复数1z 满足1(2)(1)1z i i -+=- (i 为虚数单位)，复数2z 的虚部为2，且12·z z 是实数. (1)求1z 及1z ； (2)求2z 及12z z +.23．已知()1243i z i +=+，求复数z .24．已知复数z 在复平面内对应的点位于第四象限，且满足z =整数，记i 为虚数单位. （Ⅰ）求复数z ；（Ⅱ）当z i +为实数时，若()24z z m ni +-=+，求实数 m 和n 的值.25．（1）对于复数12,z z ，若()121z i z -⋅=，则称1z 是2z 的“错位共轭”复数，求复数122i -的“错位共轭”复数； （2）设复数[]()cos sin 0,2z i θθθπ=+∈，其中i 为虚数单位，若212z<，求θ. 26．关于复数z 的方程()()()230z a i z i a R -+-+=∈. （1）若此方程有实数解，求a 的值；（2）证明：对任意的实数a ，原方程不可能有纯虚数根.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】()()11z z +-=2211(2)1(34)24z i i i -=--=--=-+ ,选B.,2．D解析：D 【分析】直接利用复数的除法运算结合复数定义得到答案. 【详解】()()()()()1+1+11112a i i a a i a i z i i i +--+===++-为纯虚数，故1010a a +=⎧⎨-≠⎩，故1a =-. 故选：D. 【点睛】本题考查了复数的除法，根据复数类型求参数，意在考查学生的计算能力和应用能力.3．A解析：A 【分析】由题意结合复数的运算法则和复数的性质整理计算即可求得最终结果. 【详解】由题意可得：()()21=1+3i z i i =++，则z == 本题选择A 选项. 【点睛】本题主要考查复数的运算法则，复数的模的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4．C解析：C 【详解】分析：利用赋值法求得n ，再按复数的乘方法则计算． 详解：令1x =，得4256n =，4n =， ∴42(1)(2)4i i +==-． 故选C ．点睛：在二项式()()nf x a bx =+的展开式中，求系数和问题，一般用赋值法，如各项系数为(1)f ，二项式系数和为2n ，两者不能混淆．5．C解析：C 【解析】分析：由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果. 详解：由复数的运算法则可得：()2323223z i i i i i =-=-=+.本题选择C 选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6．D解析：D 【解析】分析：利用复数的除法运算计算z ，进而得到z . 详解：()()()()12i 1i 12i 1313.1i 1i 1i 222i iz -⋅----====--++⋅- 13.22z i ∴=-+故选D.点睛：本题考查复数的除法运算及共轭复数，属基础题.7．B解析：B 【解析】分析：根据复数模的定义化简复数，再根据共轭复数概念求结果. 详解：因为3422i iz +-=，所以522iz -=, 所以复数z 的共轭复数是52i +,选B.点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭为.-a bi 8．B解析：B 【解析】分析：由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果. 详解：由题意可得：342525222i ii z i +--===-， 则其共轭复数为：52z i =+. 本题选择B 选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9．A解析：A 【分析】先将复数化为代数形式，再根据共轭复数的概念确定对应点，最后根据对应点坐标确定象限. 【详解】 解：∵()()()()242232424242105i i i z i i i i ---===-++-， ∴32105z i =+， ∴复数z 的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为（32105，），所在的象限为第一象限． 故选：A ．点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭为.-a bi10．A解析：A 【解析】分析：化简复数z ，得()()225a b a b i z -++=，复数z 在复平面内对应的点位于第一象限，则2020a b a b ->+>，结合[]1,1a ∈-，[]1,2b ∈-，画出可行域，利用几何概型即可求出答案.详解：化简复数z ，得()()225a b a b i z -++=，复数z 在复平面内对应的点位于第一象限，则2020a b a b ->+>，又[] 1,1a ∈-，[]1,2b ∈-，故在平面直角坐标系上画出可行域，如图所示：∴复数z 在复平面内对应的点位于第一象限的概率1515222324P ⨯⨯==⨯. 故选：A.点睛：应用几何概型求概率的方法建立相应的几何概型，将试验构成的总区域和所求事件构成的区域转化为几何图形，并加以度量．(1)一般地，一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，只需把这个变量放在数轴上即可；(2)若一个随机事件需要用两个变量来描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型；(3)若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件，利用空间直角坐标系即可建立与体积有关的几何概型．11．D解析：D 【分析】由题意把|1|2||z z -=平方可得关于x 、y 的方程，化简方程可判其对应的图形． 【详解】解：设z x yi =+，|1|1z -=，2|1|1z ∴-=， 2|1|1x yi ∴-+=，22(1)1x y ∴-+=，故该方程表示的图形为圆， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查复数的代数形式及其几何意义，考查圆的方程，涉及复数的模长公式，属于中档题．12．A解析：A 【分析】化简复数，求得24z i =+，得到复数在复平面对应点的坐标，即可求解. 【详解】由题意，复数z 满足1(120)z i -=，可得()()()10121024121212i z i i i i +===+--+， 所以复数z 在复平面内对应点的坐标为(2,4)位于第一象限 故选：A. 【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的几何表示方法，其中解答中熟记复数的运算法则，结合复数的表示方法求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.二、填空题13．【分析】复数对应的点为则其表示点到原点的距离再利用点到直线的距离公式即可求解的最小值【详解】因为复数对应的点为所以其表示点到原点的距离；当有最小值时原点到直线上的点距离最小即为原点到直线的距离所以故 解析：3【分析】复数(),z x yi x y R =+∈对应的点为(),x y ，则z =(),x y 到原点的距离，再利用点到直线的距离公式即可求解z 的最小值. 【详解】因为复数(),z x yi x y R =+∈对应的点为(),x y ，所以z =(),x y 到原点()0,0的距离；当z 有最小值时，原点到直线上的点距离最小，即为原点到直线34150x y +-=的距离d ，3d ==，所以min 3z =.故答案为3. 【点睛】本题考查复数模的几何意义和点到直线的距离公式的应用，难度一般.复数模的几何意义就是复数(),z a bi a b R =+∈所对应的点(),Z a b 到坐标原点的距离.14．【分析】用行列式的公式化简复数代入复数模的公式利用降次公式和辅助角公式合并后利用三角函数的性质求得模的最大值【详解】故填【点睛】本小题考查行列式的计算考查复数模的运算公式考查三角函数降次公式以及辅助【分析】用行列式的公式化简复数z ，代入复数模的公式，利用降次公式和辅助角公式合并后，利用三角函数的性质求得z 模的最大值. 【详解】()sin cos 1z i i θθ=⋅-⋅- ()cos sin cos i θθθ=+-⋅，z ∴==== =≤=【点睛】本小题考查行列式的计算，考查复数模的运算公式，考查三角函数降次公式以及辅助角公式，还考查了三角函数的最大值.属于中档题.三角函数的降次公式包括21cos2cos 2x x +=，21cos2sin 2x x -=，这两个公式有点类似，记忆的时候不要记忆错误了.15．【详解】试题分析：为纯虚数；考点：1复数的分类；2复数的模长；【详解】试题分析：()()12=2(21)bi i b b i +-++-为纯虚数，=2b ⇒-，112bi i ⇒+=-；考点：1．复数的分类；2．复数的模长；16．【解析】复数其实部为考点：复数的乘法运算实部 解析：1-【解析】复数(1)11i i i i +=-=-+，其实部为1-. 考点：复数的乘法运算、实部.17．【分析】求出复数利用复数的除法运算法则：分子分母同乘以分母的共轭复数化简复数从而可得结论【详解】∵复数z 的实部为-1虚部为2∴ ∴= 故答案为【点睛】复数是高考中的必考知识主要考查复数的概念及复数的 解析：2i -【分析】求出复数12z i =-+．利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数5iz，从而可得结论. 【详解】∵复数z 的实部为-1，虚部为2，∴12z i =-+，∴5512i iz i -+=5(12)(1)(12)w i i i ---+-- 2i =-，故答案为2i -． 【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.18．(1)；(2)或【分析】(1)先写出的表示然后将模长关系表示为对应的不等式即可求解出的取值范围；(2)根据是关于的方程的一个根先求出方程的根根据复数相等的原则即可求解出实数与的值【详解】(1)因为所解析：(1) ()6,2-；(2) 36m n =⎧⎨=⎩或36m n =-⎧⎨=-⎩. 【分析】(1)先写出αβ+的表示，然后将模长关系2αβα+<表示为对应的不等式，即可求解出m 的取值范围；(2)根据β是关于x 的方程2100()x nx n R -+=∈的一个根，先求出方程的根，根据复数相等的原则即可求解出实数m 与n 的值. 【详解】(1)因为()22m i αβ+=+-，2αβα+<，所以24820m m ++<，所以()()620m m +-<，所以()6,2m ∈-；(2)因为β是关于x 的方程2100()x nx n R -+=∈的一个根，所以方程有两个虚根，所以x =， 因为m i β=-是方程的一个根，所以212n m ⎧=⎪⎪=⎪⎩，所以63n m =⎧⎨=⎩或63n m =-⎧⎨=-⎩. 【点睛】本题考查复数模长的计算以及有关复数方程的解的问题，难度一般.(1)已知z a bi =+，则z =(2)若两个复数相等，则复数的实部和实部相等，虚部和虚部相等. 19．【分析】根据复数几何意义以及椭圆定义列关于的条件再解不等式得的取值范围【详解】因为表示的动点的轨迹是椭圆所以复数所对应点距离小于4即故答案为：【点睛】本题考查复数几何意义以及椭圆定义考查综合分析求解 解析：[)0,6【分析】根据复数几何意义以及椭圆定义列关于0z 的条件，再解不等式得0z 的取值范围. 【详解】因为02|4-+-=z i z z 表示的动点的轨迹是椭圆，所以复数02,i z 所对应点距离小于4，即0000|2|4||||2||44||242||6z i z i z z -<∴-<∴-<-<∴-<< 00||00||6z z ≥∴≤<故答案为：[)0,6 【点睛】本题考查复数几何意义以及椭圆定义，考查综合分析求解能力，属中档题.20．【分析】设复数由可得即将转化为和到抛物线动点距离和根据抛物线性质即可求得最小值【详解】设复数即整理得:是以焦点为的抛物线化简为:转化为和到抛物线动点距离和如图由过作垂线交抛物线准线于点交抛物线于点根 解析：5【分析】设复数z x yi =+,由2Re 2z z -=+可得222(2)(2)x y x -+=+,即28y x =.将32i 2z z --+-转化为()3,2A 和()2,0到抛物线动点P 距离和,根据抛物线性质即可求得32i 2z z --+-最小值. 【详解】设复数z x yi =+ 2Re 2z z -=+ ∴ |2||2|x yi x +-=+ 即|2||2|x yi x -+=+∴ 222(2)(2)x y x -+=+整理得:28y x = 是以(2,0)F 焦点为的抛物线.32i 2z z --+-化简为:()32i 2z z -++-转化为()3,2A 和()2,0到抛物线动点P 距离和.如图.由过A 作AB 垂线,交抛物线准线于点B .交抛物线于点1P根据抛物线定义可知,11PF PB = , 根据点到直线,垂线段最短,可得:5AB =∴ 11||||5PA PF PA PF AB +≥+== ∴ 32i 2z z --+-的最小值为:5.故答案为:5.【点睛】本题考查与复数相关的点的轨迹问题,解本题的关键在于确定出复数对应的点的轨迹,利用数形结合思想求解,考查分析问题的和解决问题的能力.三、解答题21．（1）2z =；（2）()0,5.【解析】试题分析：(1)由题意计算可得2555a a z i -=+,若z R ∈，则5a =，2z =. (2)结合(1)的计算结果得到关于实数a 的不等式，求解不等式可得a 的取值范围为()0,5. 试题（1）()225555a i a a z i i --=+=+,若z R ∈，则505a -=，∴5a =，∴2z =.（2）若z 在复平面内对应的点位于第一象限，则205a >且505a ->， 解得05a <<，即a 的取值范围为()0,5.22．（1）112i,2i z z =-=+；（2）242i z =+，126z z i +=+=【解析】试题分析：（1）把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简和共轭复数的概念得答案；(2)根据题意可设22z a i ＝＋，根据虚部为0可得a 的值，故而可求得结果. 试题（1） (z 1－2)(1＋i)＝1－i ⇒z 1＝2－i ， 12z i =+ （2）设z 2＝a ＋2i ，a ∈R ， 则z 1·z 2＝(2－i)(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a )i.∵z 1·z 2∈R ，∴a ＝4.∴z 2＝4＋2i ， 126z z i +=+=23．2z i =+【分析】 根据复数的除法运算求出z ，再根据共轭复数的定义写出复数z .【详解】()()()()()224312434561051243,2121212145i i i i i i i z i z i i i i i +-+---+=+∴=====-++--， 2z i ∴=+.【点睛】本题考查复数的除法运算和共轭复数，属于基础题.24．（Ⅰ）12z i =-或2z i =-.（Ⅱ）11m n =⎧⎨=⎩ 【分析】（Ⅰ）根据题意设复数(),z a bi a b Z =+∈，再利用 z =，解得即可；（Ⅱ）根据题意可得2z i =-，则()2z m m i -=-+，代入整理可得实数 m 和n 的值.【详解】（Ⅰ）设(),z a bi a b =+∈Z ，则 ()225,a b a b +=∈Z ， 因为z 在复平面内对应的点位于第四象限，所以0a >，0b <，所以12a b =⎧⎨=-⎩或 21a b =⎧⎨=-⎩，即12z i =-或2z i =-. （Ⅱ）当z i +为实数时，由（Ⅰ）知2z i =-，则()2z m m i -=-+由()24z z m ni +-=+，得 624m i ni -+=+，所以6241m n -=⎧⎨=⎩，解得 11m n =⎧⎨=⎩. 【点睛】本题主要考查复数的代数表示，复数相等的条件，属于基础题.25．（1）1322z i =+；（2）2πθ=或32πθ= 【分析】 （1）由错位共轭的概念可得()1112z i i ⎫-⋅-=⎪⎪⎝⎭，计算即可得解；（2）由题意结合虚数不能比较大小可得221cos sin 22sin cos 0θθθθ⎧-<⎪⎨⎪=⎩，根据三角函数的性质即可得解.【详解】（1）由()11122z i i ⎛⎫-⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭得1122z i i -==+，所以1322z i =+. （2）()()2222cos sin cos sin 2sin cos z i i θθθθθθ=+=-+， ∵212z <， ∴221cos sin 22sin cos 0θθθθ⎧-<⎪⎨⎪=⎩，由2sin cos 0θθ=得sin 0θ=或cos 0θ=，当sin 0θ=时，所以cos 1θ=或cos 1θ=-，均不满足，当cos 0θ=时，所以sin 1θ=或sin 1θ=-，均满足，故2πθ=或32πθ=. 【点睛】本题考查了新概念在复数中的应用，考查了复数不能比较大小的性质和三角函数的性质，属于中档题.26．（1）2；（2）证明见解析【分析】 （1）设z m R =∈，由题意可得23010m am m ⎧--=⎨--=⎩，即可得解；（2）假设z ni =（n R ∈，且0n ≠）时方程的解，转化条件得23010n n an ⎧-+-=⎨--=⎩，由于230n n -+-=无实数根，可得假设错误，即可得证.【详解】（1）设z m R =∈，带入原方程得()()230m a i m i -+-+=， 即()2310m am m i --+--=，则23010m am m ⎧--=⎨--=⎩，故12m a =-⎧⎨=⎩. （2）证明:假设原方程有纯虚数根，设z ni =（n R ∈，且0n ≠）， 则有()()()230ni a i ni i -+-+=，整理可得()2310n n an i -+-+--=， 则23010n n an ⎧-+-=⎨--=⎩，对于230n n -+-=，判别式112110∆=-=-<， 则方程230n n -+-=无实数解，故方程组无实数解，即假设不成立，从而原方程不可能有纯虚数根.【点睛】本题考查了复数的综合应用，考查了复数相等的条件和反证法的应用，属于中档题.。
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1.1 数的概念的扩展1.2 复数的有关概念明目标、知重点 1.了解引入虚数单位i 的必要性，了解数集的扩充过程.2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件.4.理解复数的几何表示．1．复数的有关概念(1)复数①定义：形如a ＋b i 的数叫作复数，其中a ，b ∈R ，i 叫作虚数单位．a 叫作复数的实部，b 叫作复数的虚部．②表示方法：复数通常用字母z 表示，即z ＝a ＋b i (a ，b ∈R )．(2)复数集①定义：复数的全体组叫作复数集．②表示：通常用大写字母C 表示．2．复数的分类及包含关系(1)复数(a ＋b i ，a ，b ∈R )⎩⎨⎧ 实数(b ＝0)虚数(b ≠0)⎩⎪⎨⎪⎧ 纯虚数(a ＝0)非纯虚数(a ≠0)(2)集合表示：3．两个复数相等a ＋b i ＝c ＋d i 当且仅当a ＝c 且b ＝d .4．复数的几何意义(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )一一,对应,复平面内的点Z (a ，b )；(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )一一,――→对应平面向量OZ →＝(a ，b )．5．复数的模复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )对应的向量为OZ →，则OZ →的模叫作复数z 的模或绝对值，记作|z |，且|z |＝a 2＋b 2.[情境导学]为解决方程x 2＝2，数系从有理数扩充到实数；数的概念扩充到实数集后，人们发现在实数范围内很多问题还不能解决，如从解方程的角度看，例如x 2＝－1这个方程在实数范围内就无解，那么怎样解决方程x 2＝－1在实数系中无根的问题呢？我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？本节我们就来研究这个问题．探究点一 复数的概念思考1 为解决方程x 2＝2，数系从有理数扩充到实数；那么怎样解决方程x 2＋1＝0在实数系中无根的问题呢？答 设想引入新数i ，使i 是方程x 2＋1＝0的根，即i·i ＝－1，方程x 2＋1＝0有解，同时得到一些新数．思考2 如何理解虚数单位i?答 (1)i 2＝－1.(2)i 与实数之间可以运算，亦适合加、减、乘的运算律．(3)由于i 2＜0与实数集中a 2≥0(a ∈R )矛盾，所以实数集中很多结论在复数集中不再成立．(4)若i 2＝－1，那么i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ，i 4n ＝1. 思考3 什么叫复数？怎样表示一个复数？答 形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫作复数，复数通常用字母z 表示，即z ＝a ＋b i ，这一表示形式叫作复数的代数形式，其中a 、b 分别叫作复数z 的实部与虚部．思考4 什么叫虚数？什么叫纯虚数？答 对于复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，当b ≠0时叫作虚数；当a ＝0且b ≠0时，叫作纯虚数． 思考5 复数m ＋n i 的实部、虚部一定是m 、n 吗？答 不一定，只有当m ∈R ，n ∈R ，则m 、n 才是该复数的实部、虚部．例1 请说出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数还是纯虚数．①2＋3i ；②－3＋12i ；③2＋i ；④π；⑤－3i ；⑥0. 解 ①的实部为2，虚部为3，是虚数；②的实部为－3，虚部为12，是虚数；③的实部为2，虚部为1，是虚数；④的实部为π，虚部为0，是实数；⑤的实部为0，虚部为－3，是纯虚数；⑥的实部为0，虚部为0，是实数．反思与感悟 复数a ＋b i 中，实数a 和b 分别叫作复数的实部和虚部．特别注意，b 为复数的虚部而不是虚部的系数，b 连同它的符号叫作复数的虚部．跟踪训练1 符合下列条件的复数一定存在吗？若存在，请举出例子；若不存在，请说明理由．(1)实部为－2的虚数；(2)虚部为－2的虚数；(3)虚部为－2的纯虚数；(4)实部为－2的纯虚数．解 (1)存在且有无数个，如－2＋i 等；(2)存在且不唯一，如1－2i 等；(3)存在且唯一，即－2i ；(4)不存在，因为纯虚数的实部为0.例2 当实数m 为何值时，复数z ＝m 2＋m －6m＋(m 2－2m )i 为(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数． 解 (1)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0m ≠0，即m ＝2时，复数z 是实数； (2)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ≠0，m ≠0 即m ≠0且m ≠2时，复数z 是虚数；(3)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －6m ＝0m 2－2m ≠0，即m ＝－3时，复数z 是纯虚数．反思与感悟 利用复数的概念对复数分类时，主要依据实部、虚部满足的条件，可列方程或不等式求参数．跟踪训练2 实数m 为何值时，复数z ＝m (m ＋2)m －1＋(m 2＋2m －3)i 是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．解 (1)要使z 是实数，m 需满足m 2＋2m －3＝0，且m (m ＋2)m －1有意义即m －1≠0，解得m ＝－3.(2)要使z 是虚数，m 需满足m 2＋2m －3≠0，且m (m ＋2)m －1有意义即m －1≠0，解得m ≠1且m ≠－3.(3)要使z 是纯虚数，m 需满足m (m ＋2)m －1＝0，m －1≠0， 且m 2＋2m －3≠0，解得m ＝0或m ＝－2.探究点二 两个复数相等思考1 两个复数能否比较大小？答 如果两个复数不全是实数，那么它们不能比较大小．思考2 两个复数相等的充要条件是什么？答 复数a ＋b i 与c ＋d i 相等的充要条件是a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )．例3 已知x ，y 均是实数，且满足(2x －1)＋i ＝－y －(3－y )i ，求x 与y .解 由复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝－y ，1＝y －3. 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－32，y ＝4.反思与感悟 两个复数相等，首先要分清两复数的实部与虚部，然后利用两个复数相等的充要条件可得到两个方程，从而可以确定两个独立参数．跟踪训练 3 已知x 2－x －6x ＋1＝(x 2－2x －3)i(x ∈R )，求x 的值． 解 由复数相等的定义得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6x ＋1＝0.x 2－2x －3＝0.解得：x ＝3， 所以x ＝3为所求．探究点三 复数的几何意义思考1 实数可用数轴上的点来表示，类比一下，复数怎样来表示呢？答 任何一个复数z ＝a ＋b i ，都和一个有序实数对(a ，b )一一对应，因此，复数集与平面直角坐标系中的点集可以建立一一对应关系．小结 建立了直角坐标系来表示复数的平面叫作复平面，x 轴叫作实轴，y 轴叫作虚轴．显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．思考2 下列命题是否正确？①在复平面内，对应于实数的点都在实轴上；②在复平面内，对应于纯虚数的点都在虚轴上；③在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数；④在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数；答 根据实轴的定义，x 轴叫实轴，实轴上的点都表示实数，反过来，实数对应的点都在实轴上，如实轴上的点(2,0)表示实数2，因此①③是真命题；根据虚轴的定义，y 轴叫虚轴，显然所有纯虚数对应的点都在虚轴上，如纯虚数5i 对应点(0,5)，但虚轴上的点却不都是纯虚数，这是因为原点对应的有序实数对为(0,0)，它所确定的复数是z ＝0＋0i ＝0表示的是实数，故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，所以②是真命题，④是假命题． 思考3 复数与复平面内的向量怎样建立对应关系？答 当向量的起点在原点时，该向量可由终点唯一确定，从而可与该终点对应的复数建立一一对应关系．思考4 怎样定义复数z 的模？它有什么意义？答 复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模就是向量OZ →＝(a ，b )的模，记作|z |或|a ＋b i|.|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2可以表示点Z (a ，b )到原点的距离．例4 在复平面内，若复数z ＝(m 2－m －2)＋(m 2－3m ＋2)i 对应点(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在直线y ＝x 上，分别求实数m 的取值范围．解 复数z ＝(m 2－m －2)＋(m 2－3m ＋2)i 的实部为m 2－m －2，虚部为m 2－3m ＋2.(1)由题意得m 2－m －2＝0.解得m ＝2或m ＝－1.(2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －2<0m 2－3m ＋2>0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－1<m <2m >2或m <1，∴－1<m <1. (3)由已知得m 2－m －2＝m 2－3m ＋2，故m ＝2.反思与感悟 按照复数和复平面内所有点所成的集合之间的一一对应关系，每一个复数都对应着一个有序实数对，只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值．跟踪训练4 已知复数z 的虚部为3，在复平面内复数z 对应的向量的模为2，求复数z . 解 由已知，设z ＝a ＋3i(a ∈R )．则a 2＋(3)2＝4.解得a ＝±1.所以z ＝±1＋3i.1．已知复数z ＝a 2－(2－b )i 的实部和虚部分别是2和3，则实数a ，b 的值分别是( ) A.2，1B.2，5 C ．±2，5D ．±2，1 答案 C解析 令⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2－2＋b ＝3， ∴a ＝±2，b ＝5.2．如果z ＝m (m ＋1)＋(m 2－1)i 为纯虚数，则实数m 的值为( )A ．1B ．0C ．－1D ．－1或1答案 B解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧m (m ＋1)＝0m 2－1≠0，∴m ＝0. 3．在复平面内，复数z ＝i ＋2i 2对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 B解析 ∵z ＝i ＋2i 2＝－2＋i ，∴实部小于0，虚部大于0，故复数z 对应的点位于第二象限．4．已知复数z ＝a ＋3i 在复平面内对应的点位于第二象限，且|z |＝2，则复数z 等于( )A ．－1＋3iB ．1＋3iC ．－1＋3i 或1＋3iD ．－2＋3i答案 A解析因为z在复平面内对应的点位于第二象限，所以a<0，由|z|＝2知，a2＋(3)2＝2，解得a＝±1，故a＝－1，所以z＝－1＋3i.[呈重点、现规律]1．对于复数z＝a＋b i(a，b∈R)，可以限制a，b的值得到复数z的不同情况；2．两个复数相等，要先确定两个复数实虚部，再利用两个复数相等的条件；3．复数的几何意义有两种：复数和复平面内的点一一对应，复数和复平面内以原点为起点的向量一一对应；4．研究复数的问题可利用复数问题实数化思想转化为复数的实虚部的问题，也可以结合图形利用几何关系考虑．一、基础过关1．设a，b∈R.“a＝0”是“复数a＋b i是纯虚数”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析因为a，b∈R.“a＝0”时“复数a＋b i不一定是纯虚数”．“复数a＋b i是纯虚数”则“a＝0”一定成立．所以a，b∈R.“a＝0”是“复数a＋b i是纯虚数”的必要而不充分条件．2．下列命题正确的是()A．若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数B．若a，b∈R且a>b，则a＋i>b＋iC．若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±1D．两个虚数不能比较大小答案 D解析对于复数a＋b i(a，b∈R)，当a＝0且b≠0时为纯虚数．在A中，若a＝－1，则(a＋1)i不是纯虚数，故A错误；在B 中，两个虚数不能比较大小，故B 错误；在C 中，若x ＝－1，不成立，故C 错误；D 正确．3．以－5＋2i 的虚部为实部，以5i ＋2i 2的实部为虚部的新复数是( )A ．2－2iB ．－5＋5iC ．2＋i D.5＋5i答案 A解析 设所求新复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由题意知：复数－5＋2i 的虚部为2；复数5i ＋2i 2＝5i ＋2×(－1)＝－2＋5i 的实部为－2，则所求的z ＝2－2i.故选A.4．若(x ＋y )i ＝x －1(x ，y ∈R )，则2x ＋y 的值为( )A.12 B ．2 C ．0 D ．1 答案 D解析 由复数相等的充要条件知，⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝0，x －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1，∴x ＋y ＝0.∴2x ＋y ＝20＝1. 5．设m ∈R ，m 2＋m －2＋(m 2－1)i 是纯虚数，其中i 是虚数单位，则m ＝________. 答案 －2解析 ⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －2＝0m 2－1≠0⇒m ＝－2. 6．已知(2x －y ＋1)＋(y －2)i ＝0，求实数x ，y 的值．解 ∵(2x －y ＋1)＋(y －2)i ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋1＝0，y －2＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝2.所以实数x ，y 的值分别为12，2. 二、能力提升7．若(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x 的值是( )A ．1B ．－1C ．±1D ．－1或－2 答案 A解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＝0，x 2＋3x ＋2≠0.解得x ＝1.8．z 1＝－3－4i ，z 2＝(n 2－3m －1)＋(n 2－m －6)i ，且z 1＝z 2，则实数m ＝________，n ＝________. 答案 2 ±2解析 由z 1＝z 2得⎩⎪⎨⎪⎧ －3＝n 2－3m －1－4＝n 2－m －6，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2n ＝±2. 9.已知集合M ＝{1,2，(a 2－3a －1)＋(a 2－5a －6)i}，N ＝{－1,3}，若M ∩N ＝{3}，则实数a ＝________.答案 －1解析 由M ∩N ＝{3}知，3∈M ，即有(a 2－3a －1)＋(a 2－5a －6)i ＝3，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a －1＝3，a 2－5a －6＝0， 解得a ＝－1.10．实数m 分别为何值时，复数z ＝2m 2＋m －3m ＋3＋(m 2－3m －18)i 是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．解 (1)要使所给复数为实数，必使复数的虚部为0.故若使z 为实数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －18＝0m ＋3≠0， 解得m ＝6.所以当m ＝6时，z 为实数．(2)要使所给复数为虚数，必使复数的虚部不为0.故若使z 为虚数，则m 2－3m －18≠0，且m ＋3≠0，所以当m ≠6且m ≠－3时，z 为虚数．(3)要使所给复数为纯虚数，必使复数的实部为0，虚部不为0.故若使z 为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2m 2＋m －3＝0m ＋3≠0m 2－3m －18≠0，解得m ＝－32或m ＝1. 所以当m ＝－32或m ＝1时，z 为纯虚数． 11.设z 1＝m 2＋1＋(m 2＋m －2)i ，z 2＝4m ＋2＋(m 2－5m ＋4)i ，若z 1<z 2，求实数m 的取值范围． 解 由于z 1<z 2，m ∈R ，∴z 1∈R 且z 2∈R ，当z 1∈R 时，m 2＋m －2＝0，m ＝1或m ＝－2.当z 2∈R 时，m 2－5m ＋4＝0，m ＝1或m ＝4，∴当m ＝1时，z 1＝2，z 2＝6，满足z 1<z 2.∴z 1<z 2时，实数m 的取值为m ＝1.三、探究与拓展12．已知复数z 对应的向量为OZ →(O 为坐标原点)，OZ →与实轴正向的夹角为120°且复数z 的模为2，求复数z .解 根据题意可画图形如图所示：设点Z 的坐标为(a ，b )，∵|OZ →|＝|z |＝2，∠xOZ ＝120°，∴a ＝－1，b ＝3，即点Z 的坐标为(－1，3)，∴z ＝－1＋3i.。