8.3.2圆柱圆锥圆台球表面积和体积
高中数学必修二 8 3 2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 练习(含答案)
8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积一、选择题1．若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为A．1∶2B．1C．1D2【答案】C【解析】设圆锥底面半径为r，则高h＝2r，∴其母线长l＝r．∴S侧＝πrl＝πr2，S底＝πr故选C．2．（2017新课标全国Ⅲ理科）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为A．πB．3π4C．π2D．π4【答案】B 【解析】绘制圆柱的轴截面如图所示，由题意可得：11,2 AC AB==，结合勾股定理，底面半径2r==，由圆柱的体积公式，可得圆柱的体积是223ππ1π24V r h⎛⎫==⨯⨯=⎪⎪⎝⎭，故选B.3．圆柱的底面半径为1，母线长为2，则它的侧面积为（）A．2πB．3πC．πD．4π【答案】D【解析】圆柱的底面半径为r＝1，母线长为l＝2，则它的侧面积为S侧＝2πrl＝2π×1×2＝4π．故选：D．4．圆台的上、下底面半径和高的比为1:4:4，母线长为10，则圆台的侧面积为()．A．81πB．100πC．14πD．169π【答案】B【解析】设圆台上底半径为r,则其下底半径为4r，高为4r，结合母线长10，可求出r=2．然后由圆台侧面积公式得，．5．（多选题）一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结论正确的是（）A．圆柱的侧面积为22RπB．圆锥的侧面积为22RπC．圆柱的侧面积与球面面积相等D．圆柱、圆锥、球的体积之比为3：1：2【答案】CD【解析】依题意得球的半径为R，则圆柱的侧面积为2224R R Rππ⨯=，∴A错误；圆锥的侧面积为2R Rπ=，∴B错误；球面面积为24Rπ，∵圆柱的侧面积为24Rπ，∴C正确；2322V R R Rππ=⋅=圆柱，2312233V R R Rππ⋅==圆锥，343V R=π球33324:2::3:1:233:V V V R R Rπππ∴==圆柱圆锥球，∴D正确.故选：CD.6．（多选题）如图所示，ABC 的三边长分别是3AC =，4BC =，5AB =，过点C 作CD AB ⊥，垂足为D .下列说法正确的是（ ）A ．以BC 所在直线为轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的侧面积为15πB ．以AC 所在直线为轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为36πC ．以AC 所在直线为轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的侧面积为25πD ．以AC 所在直线为轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为16π【答案】AD【解析】以BC 所在直线为轴旋转时，所得旋转体为底面半径为3，母线长为5，高为4的圆锥 ∴侧面积为3515ππ⨯⨯=，体积为2134123ππ⨯⨯⨯=，∴A 正确，B 错误；以AC 所在直线为轴旋转时，所得旋转体为底面半径为4，母线长为5，高为3的圆锥侧面积为4520ππ⨯⨯=，体积为2143163ππ⨯⨯⨯=，∴C 错误，D 正确.故选：AD .二、填空题7． 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为____. 【答案】92π 【解析】设正方体边长为a ，则226183a a =⇒= ，外接球直径为34427923,πππ3382R V R ====⨯=.8．如图，若球O 的半径为5，一个内接圆台的两底面半径分别为3和4（球心O 在圆台的两底面之间），则圆台的体积为______．【答案】259π3【解析】解：作经过球心的截面（如图），由题意得13O A =，24O B =，5OA OB ==，则14OO =，23OO =，127O O =，所以()22π259347π33V ⨯⨯==.9．已知圆柱的上、下底面的中心分别为12,O O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为4的正方形，则该圆柱的表面积为_______．【答案】6π【解析】由题意，圆柱的截面是面积为4的正方形，可得其边长为2，可得圆柱的底面半径为1r =，母线2l =，所以该圆柱的表面积为221222212216S S S rl r πππππ=+=+=⨯⨯+⨯=。
新教材高中数学第八章立体几何初步8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积课件新人教A版必修第二册
4πr′2＝2×4πr2.∴r′＝ 2r，V′＝4πr3′3＝2 2×4π3r3.
(2)S
表＝πr2＋2πr2＝1，∴r＝
3π 3π .
答案：(1)B (2)C
先根据球的表面积的关系，得出半径之比，再求出体积之比．
题型三 旋转体的综合应用[教材 P119 例 4] 例3
如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，求球与圆柱的体 积之比．
体积公式
圆柱
底面半径为 r，高为 h，V＝_π_r_2h_
圆锥 圆台
球
底面半径为 r，高为 h，V＝__13_π_r_2_h__
上底半径为 r，下底半径为 R，高为 h，V＝13π(r2 ＋rR＋R2)h
V＝43πR3
状元随笔 (1)求旋转体的表面积时，要清楚常见旋转体的侧面展开图是什 么，关键是求其母线长与上、下底面的半径． (2)柱体、锥体、台体体积之间的关系 柱体、锥体、台体的关系如下：
解析：设圆锥的母线长为 l，高为 h，底面半径为 r，由底面周 长为 2πr＝6π，得 r＝3，所以 h＝ l2－r2＝ 82－32＝ 55.由圆锥的 体积公式可得 V＝13πr2h＝3 55π.
答案：C
3．若球的表面积为 4π，则体积为( )
4 A.3π
B．4π
8π C. 3
D．6π
解析：∵S＝4πR2＝4π，∴R2＝1
方法归纳
1．旋转体中，求面积应注意侧面展开图，上下面圆的周长是 展开图的弧长．圆台通常还要还原为圆锥．
2．求旋转体的体积，关键找准半径和母线长，利用公式求体 积．
跟踪训练 1 如图，过圆柱的两条母线 AA1和 BB1的截面 A1ABB1 的面积为 S，母线 AA1 的长为 l，∠A1O1B1＝90°，求此圆柱的体积．
8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球表面积和体积(课件)2022-2023学年高一下学期数学(人教A版2
答：至少要用纸150cm2
练习
解析 设球 O 的半径为 r，则圆柱的底面半径为 r， 高为 2r，所以VV12＝π43rπ2·r23r＝32.
三、课堂小结:
1.圆柱、圆锥、圆台的表面积公式
1).圆柱 2).圆锥
S 2r 2 rl
S r 2 rl
如果圆台的上、下底面半径分别为ｒ和Ｒ，母线长为l，你能计算它的
表面积吗？
r O’
RO
圆台的侧面展开图是扇环
x x
r 'O’
rO
xl r x r' l rr' x r'
xl 1 r 1 x r'
x r' l r r'
∵圆台侧面展开图是一个扇环
S侧面积
1 2
2 r( x
l)
1 2
2 r
'
x
r( x l ) r ' x rx rl r ' x
A
B
D
C
A1 D1
B1 C1
变式 球的内接长方体的长、宽、高分别为3、2、 3 ,求此球体的表面积 和体积。
分析：长方体内接于球，则由球和长方体都是中心对称图形可知，它们 中心重合，则长方体对角线与球的直径相等。
内切球问题
例题3 把直径为5cm钢球放入一个正方体的有盖纸盒中,至少要用多少纸? 分析：用料最省时,球与正方体有什么位置关系? 球内切于正方体
解：一个浮标的表面积为
2π×0.15×0.6 + 4π×0.152 =0.8478(m2) 所以给1000个这样的浮标涂防水漆约需涂料
0.8478×0.5×1000 =423.9(kg).
8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积+教学案
8.3简单几何体的表面积与体积8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积教学目标1. 了解圆柱、圆锥、圆台、球的表面积的求法2. 了解圆柱、圆锥、圆台、球的表面积计算公式，解决有关的实际问题 教学重点：圆柱、圆锥、圆台、球的表面积公式和体积公式 教学难点：球的体积公式的推导 教学过程：一、 导入新课，板书课题上节课我们学习了棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的求法，那么这节课我们学习圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积的求法。
【圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积】 二、 出示目标，明确任务1. 了解圆柱、圆锥、圆台的表面积的求法2. 了解圆柱、圆锥、圆台的体积的求法3. 了解球的表面积和体积的求法 三、 学生自学，独立思考（打开课本阅读116页-119页内容，限时5分钟） 1.找出你阅读内容中的知识点 2.找出你阅读内容中的重点3.找出你阅读内容中的困惑点、疑难问题 四、自学指导，紧扣教材自学指导一(阅读课本116页 至117页 归纳，限时5 分钟) 1.完成下列表格圆柱底面积： 侧面积：表面积： 圆锥底面积： 侧面积：表面积：圆台底面积： 侧面积：表面积：自学指导二（阅读课本117页 至119页 例4，限时5分钟） 1．球的表面积公式S ＝_______(R 为球的半径). 2．球的体积公式V ＝__________. 3. 阅读例3，完成以下几个问题（1）浮标可看成由________和_________组合而成； （2）1个浮标的表面积为：___________. 1000个浮标的表面积为：_________.则1000个浮标涂防水漆需要多少涂料：_______. 4. 阅读例4，完成以下几个问题已知，圆柱的底面直径和高都等于球的直径2R ， （1） 球的体积为：________; （2） 圆柱的体积为：________;（3） 球与圆柱的体积之比为：________；五、 自学展示，精讲点拨1.学生口头回答自学指导问题，教师点拨并板书（答案见PPT ）2.书面检测：课本119页练习1题 精讲点拨 自学指导1 1. 略2. 观察所给出的体积公式，得出棱柱、棱锥、棱台，它们之间的关系。
高中数学第八章立体几何初步8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
∴S 球＝4πR2＝2 500π cm2，故球的表面积为 2 500π cm2.
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当截面在球心的两侧时，如图②所示为球的轴截面，由球的 截面性质知，O1A∥O2B，且 O1，O2 分别为两截面圆的圆心，则 OO1⊥O1A，OO2⊥O2B.
设球的半径为 R， ∵π·O2B2＝49π，∴O2B＝7 cm， ∵π·O1A2＝400π，∴O1A＝20 cm， 设 O1O＝x cm，则 OO2＝(9－x) cm. 在 Rt△OO1A 中，R2＝x2＋400， 在 Rt△OO2B 中，R2＝(9－x)2＋49. ∴x2＋400＝(9－x)2＋49，解得 x＝－15，不合题意，舍去． 综上所述，球的表面积为 2 500π cm2.
[重点] 求圆柱、圆锥、圆台的侧面积和体积． [难点] 圆台的侧面积和体积．
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要点整合夯基础 课堂达标练经典
典例讲练破题型 课时作业
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要点整合夯基础
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知识点一 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积
1．圆柱的表面积
[填一填]
(1)侧面展开图：圆柱的侧面展开图是
[解析] (1)两个球的体积之比为 8 27，根据体积比等于 相似比的立方，表面积之比等于相似比的平方，可知两球的半径 比为 2 3，从而这两个球的表面积之比为 4 9，故选 B.
(2)两个小铁球的体积为 2×43π×13＝83π，设大铁球的半径为 R，则大铁球的体积43π×R3＝83π，所以大铁球的半径为3 2.
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典例讲练破题型
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类型一 圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积的计算
[例 1] (1)圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是 16 2π，则圆锥的体积是( A )
圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 高一数学(人教A版2019必修第二册)
(2)一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三 条棱的长分别为1,2,3，则此球的表面积为________．
解析：长方体外接球如图，长方体的体对角面是矩形，该矩 形的对角线就是球的直径，此对角线也是长方体的体对角线，长 方体的体对角线长为 12＋22＋32＝ 14，设球的半径为R，则有
在Rt△POE中，PE=4，
OE=3，则高PO=7 .
所以
V
1· 3
SABCD·
PO
1 3
62
7 12
7，
S侧面积
1· 2
c·
PE
1 2
4
6
4
48.
【提升总结】圆柱、圆台、圆锥表面积公式 圆柱的表面积为：
S圆柱表 2r2 2rl 2r r l
圆锥的表面积为：
S圆锥表 r2 rl r r l
答案：6
题型三 球的切、接问题——微点探究 微点 1 球与正方体、长方体的切、接问题 例 2 (1)将棱长为 2 的正方体木块削成一个体积最大的球，则 该球的体积为( )
A.43π
B.
2π 3
C.
3π 2
D.π6
解析：将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球时，球 的直径等于正方体的棱长2，则球的半径R＝1.
结合棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积公式，你将它们统 一成柱体、锥体、台体的体积公式吗？
V柱体 =Sh (S为底面积，h为柱体高)
1 V锥体 = 3 Sh (S为底面积，h为锥体高)
V台体
=
1 3
(
S
S S S )h (S′、S分别为上、下底面面积，h为台体高)
8.3.2 第一课时 圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积
8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积第一课时圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积课标要求素养要求1.知道圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积的计算公式.2.能用公式解决简单的实际问题.在计算圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积的过程中，要把实际问题转化为数学问题，并进行计算，发展学生的数学建模、数学运算素养和直观想象素养.教材知识探究如图是工厂生产的各种金属零件，被广泛应用于工业领域的各个方面.问题(1)如果已知制作零件的金属的密度，如何求出这些零件的质量？(2)如图所示的零件都是旋转体，其侧面都是曲面，如何求其表面积？提示(1)先求出金属零件的体积，再求其质量.(2)求其侧面展开图的面积，再加上底面面积就是其表面积.1.圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积图形表面积和体积圆柱S圆柱＝2πr(r＋l)(r是底面半径，l是母线长)V圆柱＝πr2h(r是底面半径，h是高)圆锥S 圆锥＝πr (r ＋l )(r 是底面半径，l 是母线长)V 圆锥＝13πr 2h (r 是底面半径，h 是高) 圆台S 圆台＝π(r ′2＋r 2＋r ′l ＋rl )(r ′，r 分别是上、下底面半径，l 是母线长)V 圆台＝13πh (r ′2＋r ′r ＋r 2)(r ′，r 分别是上、下底面半径，h 是高)2.柱体、锥体、台体的体积公式 V 柱体＝Sh (S 为底面面积，h 为柱体高)；V 锥体＝13Sh (S 为底面面积，h 为锥体高)；V 台体＝13(S ′＋S ′S ＋S )h (S ′，S 分别为上、下底面面积，h 为台体高).教材拓展补遗[微判断]1.圆锥的侧面展开图为扇形，其中扇形的弧长为圆锥底面圆的周长.(√)2.若圆柱的底面圆的直径与圆柱的高相等，则圆柱的侧面展开图是正方形.(×)3.求圆台的表面积和体积时，常用“还台为锥”的思想方法.(√)提示 2.设圆柱的底面圆的半径为r ，所以圆柱的侧面展开图的两边分别为2πr ，2r ，二者不相等，故侧面展开图不是正方形. [微训练]1.若圆锥的底面半径为3，高为1，则圆锥的体积为( ) A.π3B.π2C.πD.2π解析 V ＝13Sh ＝13×π×3×1＝π. 答案 C2.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比是( ) A.1＋2π2πB.1＋2π4πC.1＋2ππD.1＋4π2π解析 设底面圆半径为r ，母线长为h ，∴h ＝2πr ，则S 表S 侧＝2πr 2＋2πrh 2πrh ＝r ＋h h ＝r ＋2πr2πr＝1＋2π2π. 答案 A [微思考]求圆柱、圆锥、圆台的表面积时，关键是什么？提示 求圆柱、圆锥的表面积时，关键是求其母线长与底面的半径；求圆台的表面积时，关键是求其母线长与上、下底面的半径.题型一 求圆柱、圆锥、圆台的表面积【例1】 圆锥的高和底面半径相等，它的一个内接圆柱的高和圆柱底面半径也相等.求圆柱的表面积和圆锥的表面积之比. 解 如图所示，设圆柱和圆锥的底面半径分别为r ，R ，则有r R ＝R －r R ，即r R ＝12， ∴R ＝2r ，圆锥的母线长l ＝2R ， ∴S 圆柱表S 圆锥表＝2πr 2＋2πr 2πR ·2R ＋πR 2＝4πr 2（2＋1）πR 2 ＝4r 2（2＋1）4r 2＝12＋1＝2－1. 规律方法 求旋转体表面积的要点(1)因为轴截面联系着母线、底面半径、高等元素，因此处理好轴截面中边角关系是解题的关键；(2)对于圆台问题，要重视“还台为锥”的思想方法；(3)在计算圆柱、圆锥、圆台的侧面积或表面积时，应根据已知条件先计算出它们的母线和底面圆半径的长，而求解这些未知量常常需要列方程.【训练1】圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的表面积为574π，则圆台较小的底面半径为________.解析设圆台较小的底面半径为r，那么较大的底面半径为3r，由已知得π(r＋3r)×3＋πr2＋9πr2＝574π，解得r＝7.答案7题型二求圆柱、圆锥、圆台的体积求底面半径和高是关键【例2】(1)设圆台的高为3，如图，在轴截面中母线AA1与底面直径AB的夹角为60°，轴截面中的一条对角线垂直于腰，则圆台的体积为________.解析设上、下底面半径，母线长分别为r，R，l.作A1D⊥AB于点D，则A1D＝3，∠A1AB＝60°，又∠BA1A＝90°，∴∠BA1D＝60°，∴AD＝A1Dtan 60°＝3，∴R－r＝ 3.BD＝A1D·tan 60°＝33，∴R＋r＝33，∴R＝23，r＝3，而h＝3.∴V 圆台＝13πh (R 2＋Rr ＋r 2)＝13π×3×[(23)2＋23×3＋(3)2]＝21π. ∴圆台的体积为21π. 答案 21π(2)在Rt △ABC 中，AB ＝3，BC ＝4，∠ABC ＝90°，把△ABC 绕其斜边AC 所在的直线旋转一周后，所形成的几何体的体积是多少？解 由题意，所形成的几何体为两个圆锥的组合体，如图所示，两个圆锥的底面半径为斜边上的高BD ，且BD ＝AB ·BC AC ＝125，两个圆锥的高分别为AD 和DC ， 所以V ＝V 1＋V 2＝13πBD 2·AD ＋13πBD 2·CD ＝13πBD 2·(AD ＋CD )＝13πBD 2·AC ＝13π×⎝ ⎛⎭⎪⎫1252×5＝485π.故所形成的几何体的体积是485π.规律方法 求圆柱、圆锥、圆台的体积的关键是求其底面面积和高，其中高一般利用几何体的轴截面求得，一般是由母线、高、半径组成的直角三角形中列出方程并求解.【训练2】 若一个圆柱与圆锥的高相等，且轴截面面积也相等，那么圆柱与圆锥的体积之比是( )A.1B.1∶2C.3∶2D.3∶4解析 设圆柱、圆锥的高都为h ，底面半径分别为r ，R ，则有12·2Rh ＝2rh ，所以R ＝2r ，V 圆锥＝13πR 2h ＝43πr 2h ，V 圆柱＝πr 2h ，故V 圆柱∶V 圆锥＝3∶4. 答案 D题型三 求组合体的表面积和体积分割为规则的几何体求其表面积、体积之和，保证不重不漏【例3】 如图所示，在边长为4的正三角形ABC 中，E ，F 依次是AB ，AC 的中点，AD ⊥BC ，EH ⊥BC ，FG ⊥BC ，D ，H ，G 为垂足，若将正三角形ABC 绕AD 旋转180°，求阴影部分形成的几何体的表面积和体积.解 由题意知，旋转后几何体是一个圆锥，从下面挖去一个圆柱，且圆锥的底面半径为2，高为23，圆柱的底面半径为1，高为 3.所求旋转体的表面积由三部分组成：圆锥的底面、侧面，圆柱的侧面. S 圆锥底面＝4π，S 圆锥侧＝8π， S 圆柱侧＝23π，故所求几何体的表面积为： 4π＋8π＋23π＝12π＋23π.所求旋转体的体积为大圆锥的体积减去里面小圆柱的体积， 即V 旋转体＝13×π×22×23－π×12×3＝533π， 故所求旋转体的体积为533π.规律方法 组合体体积与表面积的求解策略：(1)首先应弄清它的组成，其表面有哪些底面和侧面，各个面应怎样求其面积，然后把这些面的面积相加或相减；求体积时也要先弄清组成，求出各简单几何体的体积，然后再相加或相减.(2)在求组合体的表面积、体积时要注意“表面(和外界直接接触的面)”与“体积(几何体所占空间的大小)”的定义，以确保不重复、不遗漏.【训练3】如图所示，在梯形ABCD中，∠ABC＝π2，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2，将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()A.53π B.43π C.23π D.2π解析由题意，旋转而成的几何体是圆柱，挖去一个圆锥(如图)，该几何体的体积为π×12×2－13×π×12×1＝53π.答案 A一、素养落地1.通过了解几何体的结构特征，从而计算圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积，培养数学运算素养，提升直观想象和数学建模素养.2.柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系二、素养训练1.若圆锥的底面半径为1，高为3，则圆锥的表面积为()A.πB.2πC.3πD.4π解析 设圆锥的母线长为l ，则l ＝3＋1＝2，所以圆锥的表面积为S ＝π×1×(1＋2)＝3π. 答案 C2.圆台的体积为7π，上、下底面的半径分别为1和2，则圆台的高为( ) A.3B.4C.5D.6解析 由题意知V ＝13(π＋2π＋4π)h ＝7π，故h ＝3. 答案 A3.设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S 1，S 2，体积分别为V 1，V 2.若它们的侧面积相等，且S 1S 2＝94，则V 1V 2的值是________.解析 设两个圆柱的底面半径和高分别为r 1，r 2和h 1，h 2.由S 1S 2＝94，得πr 21πr 22＝94，∴r 1r2＝32.由圆柱的侧面积相等，得2πr 1h 1＝2πr 2h 2， 即r 1h 1＝r 2h 2. ∴V 1V 2＝πr 21h 1πr 22h 2＝r 1r 2＝32.答案 324.圆柱有一个内接长方体AC 1，长方体体对角线长是10 2 cm ，圆柱的侧面展开平面图为矩形，此矩形的面积是100π cm 2，求圆柱的体积. 解 设圆柱底面半径为r cm ，高为h cm.如图所示，则圆柱轴截面长方形的对角线长等于它的内接长方体的体对角线长，则⎩⎪⎨⎪⎧（2r ）2＋h 2＝（102）2，2πrh ＝100π，∴⎩⎪⎨⎪⎧r ＝5，h ＝10.∴V 圆柱＝Sh ＝πr 2h ＝π×52×10 ＝250π(cm 3).∴圆柱体积为250π cm 3.基础达标一、选择题1.一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是32π，则母线长为( ) A.2B.2 2C.4D.8解析 圆台的轴截面如图，由题意知，l ＝12(r ＋R )，S 圆台侧＝π(r ＋R )·l ＝π·2l ·l ＝32π， ∴l ＝4. 答案 C2.将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是( ) A.4πB.3πC.2πD.π解析 底面圆半径为1，高为1，侧面积S ＝2πrh ＝2π×1×1＝2π.故选C. 答案 C3.如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为( )A.5πB.6πC.20πD.10π解析用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π.答案 D4.若一个圆台如图所示，则其侧面积等于()A.6B.6πC.35πD.65π解析∵圆台的母线长为（2－1）2＋22＝5，∴S圆台侧＝π(1＋2)·5＝35π.答案 C5.半径为R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为()A.324πR3 B.38πR3C.524πR3 D.58πR3解析设圆锥底面圆的半径为r，高为h，则有2πr＝πR，则r＝12R.又由已知，得圆锥母线长为R，所以圆锥的高h＝R2－r2＝32R，故体积V＝13πr2h＝324πR3.答案 A二、填空题6.现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________.解析设新的底面半径为r，则有13×πr2×4＋πr2×8＝13×π×52×4＋π×22×8，解得r ＝7. 答案 7 7.一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a 的正方形和正三角形，则它们的表面积之比为________. 解析 S 圆柱＝2·π⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＋2π· a 2·a ＝32πa 2， S 圆锥＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＋π·a 2·a ＝34πa 2， ∴S 圆柱∶S 圆锥＝2∶1.答案 2∶18.圆台上、下底面的面积分别为π，4π，侧面积为6π，则这个圆台的体积是________. 解析 由已知得两底面半径分别为r ＝1，R ＝2，又S 侧＝6π，所以π(1＋2)·l ＝6π，所以l ＝2，则h ＝l 2－（R －r ）2＝3，所以体积V ＝13π×3×(12＋1×2＋22)＝733π.答案 733π三、解答题9.已知底面半径为 3 cm ，母线长为 6 cm 的圆柱，挖去一个以圆柱上底面圆心为顶点、下底面为底面的圆锥，求所得几何体的表面积.解 如图所示，所得几何体的表面积为S ＝S 底＋S 柱侧＋S 锥侧＝π(3)2＋2π×3×6＋π×3×3＝(3＋62＋33)π(cm 2).10.已知一个圆锥的底面半径为R ，高为H ，在其内部有一个高为x 的内接圆柱.(1)求圆柱的侧面积；(2)x 为何值时，圆柱的侧面积最大？解 (1)作圆锥的轴截面，如图所示.因为r R ＝H －x H ，所以r ＝R －R H x ，所以S 圆柱侧＝2πrx＝2πRx －2πR H x 2(0<x <H ).(2)因为－2πR H <0，所以当x ＝2πR 4πR H＝H 2时，S 圆柱侧最大.故当x ＝H 2时，即圆柱的高为圆锥高的一半时，圆柱的侧面积最大.能力提升11.体积为52的圆台，一个底面积是另一个底面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积是( )A.54B.54πC.58D.58π解析 设上底面半径为r ，则由题意求得下底面半径为3r ，设圆台高为h 1，则52＝13πh 1(r 2＋9r 2＋3r ·r )，∴πr 2h 1＝12.令原圆锥的高为h ，由相似知识得r 3r ＝h －h 1h ，∴h ＝32h 1， ∴V 原圆锥＝13π(3r )2×h ＝3πr 2×32h 1＝92×12＝54.答案 A12.圆台的母线长为8 cm ，母线与底面成60°角，轴截面的两条对角线互相垂直，求圆台的表面积.解如图所示的是圆台的轴截面ABB1A1，其中∠A1AB＝60°，过A1作A1H⊥AB 于H，则O1O＝A1H＝A1A·sin 60°＝43(cm)，AH＝A1A·cos 60°＝4(cm).设O1A1＝r1，OA＝r2，则r2－r1＝AH＝4.①设A1B与AB1的交点为M，则A1M＝B1M.又∵A1B⊥AB1，∴∠A1MO1＝∠B1MO1＝45°.∴O1M＝O1A1＝r1.同理OM＝OA＝r2.∴O1O＝O1M＋OM＝r1＋r2＝43，②由①②可得r1＝2(3－1)，r2＝2(3＋1).∴S表＝πr21＋πr22＋π(r1＋r2)l＝32(1＋3)π(cm2).创新猜想13.(多选题)圆台的上、下底面半径分别是10和20，它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，则圆台的()A.母线长是20B.表面积是1 100πC.高是10 2D.体积是7 00033π解析如图所示，设圆台的上底面周长为C，因为扇环的圆心角为180°，所以C＝π·SA，又C＝10×2π，所以SA＝20，同理SB＝40，故圆台的母线AB＝SB－SA＝20，高h＝AB2－（20－10）2＝103，体积V＝12＋10×20＋202)＝3π×103×(107 00033π，表面积S＝π(10＋20)×20＋100π＋400π＝1 100π，故选A，B，D.答案ABD14.(多填题)把底面半径为8 cm的圆锥放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身滚动了2.5周，则圆锥的母线长为______，表面积等于________.解析设圆锥的母线长为l，如图，以S为圆心，SA为半径的圆的面积S＝πl2.又圆锥的侧面积S圆锥侧＝πrl＝8πl.根据圆锥在平面内转到原位置时，圆锥本身滚动了2.5周，∴πl2＝2.5×8πl，∴l＝20(cm).圆锥的表面积S＝S圆锥侧＋S底＝π×8×20＋π×82＝224π(cm2).答案20 cm224π cm2。
【新人教版】数学必修二第八章 8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
【新人教版】数学必修二第八单元8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积学习目标 1.了解圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积的计算公式.2.理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系，并能利用计算公式求几何体的表面积与体积.知识点一圆柱、圆锥、圆台的表面积图形表面积公式旋转体圆柱底面积：S底＝2πr2侧面积：S侧＝2πrl表面积：S＝2πr(r＋l)圆锥底面积：S底＝πr2侧面积：S侧＝πrl表面积：S＝πr(r＋l)圆台上底面面积：S上底＝πr′2下底面面积：S下底＝πr2侧面积：S侧＝π(r′l＋rl)表面积：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)知识点二圆柱、圆锥、圆台的体积几何体体积说明圆柱V圆柱＝Sh＝πr2h圆柱底面圆的半径为r，面积为S，高为h圆锥V圆锥＝1 3Sh＝13πr2h圆锥底面圆的半径为r，面积为S，高为h圆台V圆台＝13(S＋SS′＋S′)h＝13π(r2＋rr′＋r′2)h圆台上底面圆的半径为r′，面积为S′，下底面圆的半径为r，面积为S，高为h知识点三球的表面积和体积公式1.球的表面积公式S＝4πR2(R为球的半径).2.球的体积公式V＝43πR3.1.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图的面积就是它们的表面积.(×)2.圆锥、圆台的侧面展开图中的所有弧线都与相应底面的周长有关.(√)3.球的体积是关于球半径的一个函数.(√)4.球的表面积是球的体积的6倍.(×)一、圆柱、圆锥、圆台的表面积例1(1)若某圆锥的高等于其底面直径，则它的底面积与侧面积之比为()A.1∶2B.1∶ 3C.1∶ 5D.3∶2答案 C解析 设圆锥底面半径为r ，则高h ＝2r ，∴其母线长l ＝5r ，∴S 侧＝πrl ＝5πr 2，S 底＝πr 2，S 底∶S 侧＝1∶ 5.(2)已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则该圆台较小底面的半径为( ) A.7 B.6 C.5 D.3 答案 A解析 设圆台较小底面的半径为r ，则另一底面的半径为3r . 由S 侧＝3π(r ＋3r )＝84π，解得r ＝7.反思感悟 圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展开为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和.跟踪训练1 圆柱的一个底面积是S ，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是( ) A.4πS B.2πS C.πS D.233πS 答案 A解析 设底面半径为r ，则πr 2＝S ， ∴r ＝S π，∴底面周长为2πr ＝2πS π，又侧面展开图为一个正方形，∴侧面积是⎝⎛⎭⎪⎫2πS π2＝4πS .二、圆柱、圆锥、圆台的体积例2 (1)(多选)圆柱的侧面展开图是长12 cm ，宽8 cm 的矩形，则这个圆柱的体积可能是( ) A.288π cm 3 B.192π cm 3 C.288π cm 3 D.192π cm 3答案 AB解析 当圆柱的高为8 cm 时，V ＝π×⎝ ⎛⎭⎪⎫122π2×8＝288π(cm 3)，当圆柱的高为12 cm 时，V ＝π×⎝ ⎛⎭⎪⎫82π2×12＝192π(cm 3).(2)圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是162π，则圆锥的体积是( )A.64π3B.128π3 C.64π D.1282π 答案 A解析 作圆锥的轴截面，如图所示：由题意知，在△P AB 中，∠APB ＝90°，P A ＝PB . 设圆锥的高为h ，底面半径为r ，则h ＝r ，PB ＝2r .由S 侧＝π·r ·PB ＝162π，得2πr 2＝162π，所以r ＝4.则h ＝4. 故圆锥的体积V 圆锥＝13πr 2h ＝643π.反思感悟 求几何体的体积时，要注意利用好几何体的轴截面，准确求出几何体的高和底面积.跟踪训练2 已知圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，则圆台的体积为________. 答案 224π解析 设上底面半径为r ，则下底面半径为4r ，高为4r ，如图.∵母线长为10，∴102＝(4r )2＋(4r －r )2，解得r ＝2. ∴下底面半径R ＝8，高h ＝8， ∴V 圆台＝13π(r 2＋rR ＋R 2)h ＝224π. 三、球的表面积和体积例3 (1)已知球的表面积为64π，求它的体积； (2)已知球的体积为5003π，求它的表面积.解 (1)设球的半径为R ，则4πR 2＝64π，解得R ＝4， 所以球的体积V ＝43πR 3＝43π·43＝2563π.(2)设球的半径为R ，则43πR 3＝5003π，解得R ＝5， 所以球的表面积S ＝4πR 2＝4π×52＝100π.反思感悟 计算球的表面积和体积的关键是确定球的半径. 跟踪训练3 一个球的表面积是16π，则它的体积是( ) A.64π B.64π3 C.32π D.32π3 答案 D解析 设球的半径为R ，则由题意可知4πR 2＝16π，故R ＝2.所以球的半径为2，体积V ＝43πR 3＝323π.1.直径为6的球的表面积和体积分别是( ) A.36π，144πB.36π，36πC.144π，36πD.144π，144π答案 B2.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比值是( ) A.1＋2π2π B.1＋2π4π C.1＋2ππ D.1＋4π2π答案 A解析 设圆柱的底面圆半径为r ，高为h ，由题意得h ＝2πr ，∴圆柱的表面积S 表＝2πr 2＋2πr ×h ＝2πr 2＋2πr ×2πr ＝2πr 2·(1＋2π)，圆柱的侧面积S 侧＝2πr ×h ＝2πr ×2πr ＝4π2r 2，故S 表S 侧＝2πr 2(1＋2π)4π2r 2＝1＋2π2π.3.圆锥的表面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为( )A.120°B.150°C.180°D.240° 答案 C解析 设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ， S 底＋S 侧＝3S 底，2S 底＝S 侧， 即2πr 2＝πrl ，得2r ＝l .设侧面展开图的圆心角为θ，则θπl 180°＝2πr ，∴θ＝180°.4.一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a 的正方形和正三角形，则它们的表面积之比为________. 答案 2∶1解析 S 圆柱＝2·π⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＋2π·a 2·a ＝32πa 2.S 圆锥＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＋π·a 2·a ＝34πa 2.∴S 圆柱∶S 圆锥＝2∶1.5.圆台的体积为7π，上、下底面的半径分别为1和2，则圆台的高为________. 答案 3解析 设圆台的高为h ，由题意知，V ＝13(π＋2π＋4π)h ＝7π， 所以h ＝3.1.知识清单：(1)圆柱、圆锥、圆台的表面积. (2)圆柱、圆锥、圆台的体积. (3)球的表面积和体积. 2.方法归纳：公式法.3.常见误区：平面图形与立体图形切换不清楚.1.若球的体积与其表面积数值相等，则球的半径等于( ) A.3 B.2 C.1 D.12 答案 A解析 设球的半径为R ，则4πR 2＝43πR 3，所以R ＝3.2.两个球的体积之比为8∶27，那么这两个球的表面积之比为( ) A.2∶3B.4∶9C.2∶ 3D.8∶27答案 B解析 由两球的体积之比为8∶27， 可得半径之比为2∶3， 故表面积之比是4∶9.3.将边长为4 cm 和8 cm 的矩形纸片卷成一个圆柱的侧面，则圆柱的轴截面的面积为( ) A.32π cm 2 B.32π cm 2 C.32 cm 2 D.16π cm 2答案 A解析 当以4 cm 为母线长时，设圆柱底面半径为r ， 则2πr ＝8，∴2r ＝8π， ∴S 轴截面＝4×8π＝32π(cm 2).当以8 cm 为母线长时，设圆柱底面半径为R ， 则2πR ＝4,2R ＝4π， ∴S 轴截面＝8×4π＝32π(cm 2).综上，圆锥的轴截面的面积为32π cm 2.4.已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( ) A.22π3 B.42π3 C.22π D.42π 答案 B解析 绕等腰直角三角形的斜边所在的直线旋转一周形成的曲面围成的几何体为两个底面重合，等体积的圆锥，如图所示.每一个圆锥的底面半径和高都为2，故所求几何体的体积V ＝2×13×2π×2＝42π3.5.如图，圆柱形容器内盛有高度为6 cm 的水，若放入3个相同的铁球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球，则球的半径为( )A.4 cmB.3 cmC.2 cmD.1 cm答案 B解析 由题意可得，设球的半径为r ，依题意得三个球的体积和水的体积之和等于圆柱体的体积，∴3×43πr 3＝πr 2(6r －6)，解得r ＝3，故选B.6.一个平面截一球得到直径为6 cm 的圆面，球心到这个平面的距离为4 cm ，则球的体积为________cm 3. 答案 500π3 解析 如图所示，由已知得O 1A ＝3 cm ，OO 1＝4 cm ，从而R ＝OA ＝5 cm. 所以V 球＝4π3 ×53＝500π3(cm 3).7.若圆锥的侧面展开图为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是________. 答案 33π解析 圆锥的母线长l ＝2，设圆锥的底面半径为r ， 则2πr ＝12×2π×2，∴r ＝1， ∴圆锥的高h ＝l 2－r 2＝3， 则圆锥的体积V ＝13πr 2h ＝33π.8.现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________. 答案7解析 设新的底面半径为r ，则有13×πr 2×4＋πr 2×8＝13×π×52×4＋π×22×8，解得r ＝7.9.如图在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为3的圆柱，求圆柱的表面积.解 设圆锥的底面半径为R ，圆柱的底面半径为r ，表面积为S . 则R ＝OC ＝2，AC ＝4，AO ＝42－22＝2 3.如图所示，易知△AEB ∽△AOC ，∴AE AO ＝EB OC ，即323＝r 2，∴r ＝1， S 底＝2πr 2＝2π，S 侧＝2πr ·h ＝23π.∴S ＝S 底＋S 侧＝2π＋23π＝(2＋23)π.10.某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r ＝1，l ＝3，试求该组合体的表面积和体积.解 该组合体的表面积S ＝4πr 2＋2πrl ＝4π×12＋2π×1×3＝10π.该组合体的体积V ＝43πr 3＋πr 2l＝43π×13＋π×12×3＝13π3.11.已知圆柱的上、下底面的中心分别为O 1，O 2，过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( ) A.122π B.12π C.82π D.10π答案 B解析 ∵过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，∴圆柱的高为22，底面圆的直径为22，∴该圆柱的表面积为2×π×(2)2＋2π×2×22＝12π.12.若一个球的外切正方体的表面积等于 6 cm 2，则此球的体积为( )A.π6 cm 3B.6π8 cm 3C.4π3 cm 3D.6π6 cm 3答案 A解析 设球的半径为R cm ，正方体棱长为a cm ，∴6a 2＝6，∴a ＝1 cm ，即2R ＝1，∴R ＝12 cm ，∴球的体积V ＝43πR 3＝43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝π6 cm 3. 13.正方体的内切球与其外接球的体积之比为( )A.1∶ 3B.1∶3C.1∶3 3D.1∶9答案 C解析 设正方体的棱长为a ，则其内切球的半径为a 2，∴V 内＝43π⎝ ⎛⎭⎪⎫a 23＝πa 36， 正方体的外接球的半径为32a ，∴V 外＝43π⎝ ⎛⎭⎪⎫32a 3＝33πa 36，∴V 内∶V 外＝1∶3 3.14.如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为________.答案 3∶1∶2解析 设球的半径为R ，则V 圆柱＝πR 2·2R ＝2πR 3，V 圆锥＝13πR 2·2R ＝23πR 3，V 球＝43πR 3，故V 圆柱∶V 圆锥∶V 球＝2πR 3∶23πR 3∶43πR 3＝3∶1∶2.15.已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB ＝90°，C 为该球面上的动点，若三棱锥O －ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为________.答案 144π解析 如图所示，设球的半径为R ，∵∠AOB ＝90°，∴S △AOB ＝12R 2.∵V 三棱锥O －ABC ＝V 三棱锥C －AOB ，而△AOB 的面积为定值，∴当点C 到平面AOB 的距离最大时，三棱锥O －ABC 的体积最大， ∴当动点C 为与球的大圆面AOB 垂直的直径的端点时，三棱锥O －ABC 的体积最大，此时V 三棱锥O －ABC ＝V 三棱锥C －AOB ＝13×12R 2×R ＝16R 3＝36，解得R ＝6，则球O 的表面积为S ＝4πR 2＝144π.16.已知四面体的各面都是棱长为a 的正三角形，求它外接球的体积. 解 如图，设SO 1是四面体S －ABC 的高，则外接球的球心O 在SO 1上.设外接球半径为R .∵四面体的棱长为a ，O 1为正△ABC 的中心，∴AO 1＝23×32a ＝33a ，SO 1＝SA 2－AO 21＝a 2－13a 2＝63a ，在Rt △OO 1A 中，R 2＝AO 21＋OO 21＝AO 21＋(SO 1－R )2， 即R 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫63a －R 2，解得R ＝64a ， ∴所求外接球的体积V 球＝43πR 3＝68πa 3.。
人教版数学必修第二册8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积课件
(2)半径和球心是球的关键要素，把握住这两点，计算球的表
面积或体积的相关题目也就易如反掌了．
跟踪训练
1. (1)两个球的半径相差1，表面积之差为28π，则它们的
364
体积和为________；
3
设大、小两球半径分别为R，r，则由题意可得
− =1
R＝4
42 − 4 2 = 28
r＝3
∵棱长为a，∴BE＝
3
2
3
a× ＝ a.
2
3
3
∴在Rt△ABE中，AE＝
2
−
2
3
＝
6
a.
3
设球心为O，半径为R，则(AE－R)2＋BE2＝R2，
∴R＝
6
6 2
3
a，∴S球＝4π×( a) ＝ πa2.
4
4
2
2. 设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个
球面上，则该球的表面积为( B )
∴R＝2.
4
3
∴V＝ πR3＝
32
.
3
5．有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个
半径为r的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这
时容器中水的深度．
由题意知，圆锥的轴截面为正三角形，如图所示为圆锥的轴截面．
根据切线的性质知，当球在容器内时，水深CP为3r，水面的半径AC
3
2
12
总结提升
1.正方体的内切球
球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的
2
半径为r1＝ ，过在一个平面上的四个切点作截面如图．
总结提升
2．长方体的外接球
圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积
导学
探索新知
圆台的表面积
S 表面积 S上底面积 S下底面积 S 侧面积
2
2
S上底 =πr ，S下底 =πr .
r O′
l
r
O
(r′、r分别是上、下底面
半径，l是母线长)
圆台的侧面展开图是扇环
导学
圆台的表面积
探索新知
x
2πr
x
2πr
O′ r
l
O
r
(r′、r分别是上、
8.3.2 圆柱、圆锥、圆台表面积和体积
预学
棱柱、棱锥、棱台的表面积：围成它们的各个面的
面积的和，即侧面积+底面积
那你认为圆柱、圆锥、圆台的表面积又是怎样的呢？
S
O'
r O
l
O'
l
r O
r'
l
rO
圆柱、圆锥、圆台的表面积是围成它们的各个面的
面积和,即 S 表 S 底 S 侧
导学
探索新知
1、 圆柱、圆锥、圆台表面积
圆锥的表面积
探索新知
S 表面积 S 底面积 S 侧面积
S底 =πr
S
l
2πr
2
1
扇形的面积公式 ： S扇形 = lr
2
(r是扇ห้องสมุดไป่ตู้所在圆半径，l是弧长)
r
O
(r是底面半径，l是
母线长)
S圆锥 =πr +πrl πr (r l )
2
互学
例题讲解
例1、将一个边长分别为4π，8π的矩形卷成一个圆
圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为 (
圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
8． 3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 学习指导核心素养1.知道圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积公式．2.能用表面积和体积公式解决简单的实际问题．直观想象、数学运算：利用公式计算圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积．[学生用书P75]1．圆柱、圆锥、圆台的表面积圆柱底面积：S 底＝πr 2侧面积：S 侧＝2πrl 表面积：S ＝2πr (r ＋l ) 圆锥底面积：S 底＝πr 2侧面积：S 侧＝πrl 表面积：S ＝πr (r ＋l ) 圆台上底面面积：S 上底＝πr ′2 下底面面积：S 下底＝πr 2侧面积：S 侧＝πl (r ＋r ′)表面积： S ＝π(r ′2＋r 2＋r ′l ＋rl )2.圆柱、圆锥、圆台的体积 V 圆柱＝πr 2h (r 是底面半径，h 是高)， V 圆锥＝13πr 2h (r 是底面半径，h 是高)，V 圆台＝13 πh (r ′2＋r ′r ＋r 2)(r ′，r 分别是上、下底面半径，h 是高).3．球的表面积和体积 表面积：S ＝4πR 2． 体积：V ＝43πR 3．1．圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间有什么关系？ 提示：S 圆柱侧＝2πrl ――→r ′＝rS 圆台侧＝π(r ′＋r )l ――→r ′＝0S 圆锥侧＝πrl . 2．球面能展开成平面图形吗？ 提示：不能展开成平面图形．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)圆柱的侧面面积等于底面面积与高的积．( )(2)圆柱、圆锥、圆台的展开图分别是一个矩形、扇形、扇环．( ) (3)决定球的大小的因素是球的半径．( )(4)球面被经过球心的平面截得的圆的半径等于球的半径．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√2．若圆锥的底面半径为3 ，高为1，则圆锥的体积为( ) A ．π3B ．π2C ．πD ．2π答案：C3．若一个球的直径为 2，则此球的表面积为( ) A ．2π B ．16π C ．8π D ．4π解析：选D ．因为球的直径为 2，所以球的半径为 1，所以球的表面积 S ＝4πR 2＝4π.4．圆柱的侧面展开图是长 12 cm ，宽 8 cm 的矩形，则这个圆柱的体积为( ) A ．288π cm 3B ．192πcm 3C ．288π cm 3或192π cm 3D ．192π cm 3解析：选 C ．当圆柱的高为 8 cm 时， V ＝π×⎝⎛⎭⎫122π 2×8＝288π (cm 3)，当圆柱的高为 12 cm 时，V ＝π×⎝⎛⎭⎫82π 2×12＝192π(cm 3). [学生用书P75]探究点1 圆柱、圆锥、圆台的表面积 [问题探究]求圆柱、圆锥、圆台的表面积时，关键是什么？探究感悟：求圆柱、圆锥的表面积时，关键是求其母线长与底面的半径；求圆台的表面积时，关键是求其母线长与上、下底面的半径．(1)若圆锥的高为3，底面半径为4，则此圆锥的表面积为( ) A ．40π B ．36π C ．26πD ．20π(2)圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，若母线长为10，则圆台的表面积为( ) A ．81π B ．100π C ．168πD ．169π【解析】 (1)圆锥的母线l ＝32＋42 ＝5，所以圆锥的表面积为π×42＋π×4×5＝36π.故选B.(2)圆台的轴截面如图所示，设上底面半径为r ，下底面半径为R ，则它的母线长为l ＝h 2＋（R －r ）2 ＝（4r ）2＋（3r ）2 ＝5r ＝10，所以r ＝2，R ＝8.故S 侧＝π(R ＋r )l ＝π×(8＋2)×10＝100π，S 表＝S 侧＋πr 2＋πR 2＝100π＋4π＋64π＝168π.故选C.【答案】 (1)B (2)C圆柱、圆锥、圆台的表面积的求解步骤解决圆柱、圆锥、圆台的表面积问题，要利用好旋转体的轴截面及侧面展开图，借助于平面几何知识，求得所需几何要素，代入公式求解即可，基本步骤如下：(1)得到空间几何体的展开图； (2)依次求出各个平面图形的面积； (3)将各平面图形的面积相加．1．若一个圆柱的轴截面是面积为9的正方形，则这个圆柱的侧面积为( ) A ．9π B ．12π C ．272πD ．454π解析：选A.由于圆柱的轴截面是面积为9的正方形，则h ＝2r ＝3，所以圆柱的侧面积为2πr ·h ＝9π.2.如图，已知直角梯形ABCD ，BC ∥AD ，∠ABC ＝90°，AB ＝5，BC ＝16，AD ＝4，求以BC 所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积．解：以BC 所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆柱和圆锥的组合体，如图．其中圆锥的高为16－4＝12，圆柱的母线长为AD ＝4，圆锥的母线长CD ＝13，故该几何体的表面积为2π×5×4＋π×52＋π×5×13＝130π.探究点2 圆柱、圆椎、圆台的体积(2021·贵州安顺高二期末)若一个圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为120°的扇形，求该圆锥的体积．【解】 设圆锥底面半径为r ，则由题意得2πr ＝120180·π·3，解得r ＝1.所以底面面积为S ＝πr 2＝π. 又圆锥的高h ＝32－12 ＝22 ，故圆锥的体积V ＝13 Sh ＝13 ×π×22 ＝223π.求圆柱、圆锥、圆台的体积问题，一是要牢记公式，然后观察空间图形的构成，是单一的旋转体，还是组合体；二是注意旋转体的构成，以及圆柱、圆锥、圆台轴截面的性质，从而找出公式中需要的各个量，代入公式计算．1．圆台上、下底面面积分别是π，4π，侧面积是6π，则这个圆台的体积是( ) A ．233 πB ．2 3C ．736πD ．733π解析：选D.S 1＝π，S 2＝4π，所以r ＝1，R ＝2，S 侧＝6π＝π(r ＋R )l ，所以l ＝2，所以h＝3 .所以V ＝13 π(1＋4＋2)×3 ＝733π.故选D.2．若一圆柱与圆锥的高相等，且轴截面面积也相等，那么圆柱与圆锥的体积的比值为( )A ．1B ．12C ．32D ．34解析：选D.设圆柱底面圆半径为R ，圆锥底面圆半径为r ，高都为h ，由已知得2Rh ＝rh ，所以r ＝2R ，所以V 柱∶V 锥＝πR 2h ∶13πr 2h ＝3∶4，故选D.探究点3 球的表面积与体积 [问题探究]用一个平面去截球体，截面是什么形状？该截面的几何量与球的半径之间有什么关系？ 探究感悟：用一个平面去截球体，截面是圆面．在不过球心的截面图中，截面圆与球的轴截面的关系如图所示．其关系为R 2＝d 2＋r 2.用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为( ) A ．8π3B ．32π3C ．8πD ．82π3【解析】 设球的半径为R ，则截面圆的半径为R 2－1 ，所以截面圆的面积为S ＝π(R 2－1 )2＝(R 2－1)π＝π，所以R 2＝2，所以球的表面积S ＝4πR 2＝8π.故选C. 【答案】 C(1)球的表面积和体积的求解关键因为球的表面积和体积都与球的半径有关，所以在解答这类问题时，设法求出球的半径是解题的关键．(2)球的截面问题的解题技巧①有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的问题． ②解题时要注意借助球半径R 、截面圆半径r 、球心到截面的距离d 构成的直角三角形，即R 2＝d 2＋r 2.1．(2021·江苏徐州高一期中)一个球的表面积是16π，那么这个球的体积为( ) A ．163 πB ．323 πC ．643πD ．2563π解析：选B.设这个球的半径为R ，则4πR 2＝16π，解得R ＝2，所以这个球的体积V ＝43 πR 3＝323π.故选B. 2．两个球的半径相差 1，表面积之差为 28π，则它们的体积之和为________． 解析：设大、小两球半径分别为 R ，r ，则⎩⎪⎨⎪⎧R －r ＝1，4πR 2－4πr 2＝28π，所以⎩⎪⎨⎪⎧R ＝4，r ＝3.所以体积之和为 43 πR 3＋43 πr 3＝364π3 .答案：364π3探究点4 与球有关的切、接问题(1)一个长方体的各个顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为 1，2，3，则此球的表面积为________．(2)如图，在圆柱O 1O 2内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O 1O 2的体积为V 1，球O 的体积为V 2，则V 1V 2的值是________．【解析】 (1)长方体外接球直径长等于长方体体对角线长，即 2R ＝12＋22＋32 ＝14 ，所以球的表面积 S ＝4πR 2＝14π.(2)设球O 的半径为r ，则圆柱的底面半径为r ，高为2r ，所以V 1V 2 ＝πr 2·2r 43πr 3 ＝32.【答案】 (1)14π (2)32(1)常见几何体与球的切、接问题的解题策略①处理有关几何体外接球或内切球的相关问题时，要注意球心的位置与几何体的关系．一般情况下，由于球的对称性，球心总在特殊位置，比如中心、对角线的中点等．②解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径，关键是根据“切点”和“接点”作出轴截面图，把空间问题转化为平面问题来计算．(2)几个常用结论①球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径． ②球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径． ③球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径．将棱长为 2 的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为( )A ．4π3B ．2π3C ．3π2D ．π6解析：选A.由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为 2，故半径为 1，其体积是43 ×π×13＝4π3.[学生用书P77]1．已知圆柱的底面半径r ＝1，母线长l 与底面的直径相等，则该圆柱的表面积为( ) A ．6π B ．8π C ．9πD ．10π解析：选A.因为圆柱的表面积为2πr 2＋2πrl ，r ＝1，l ＝2，所以圆柱的表面积为6π.故选A.2．若球的大圆面积扩大为原来的2倍，球的体积扩大为原来的( ) A ．8倍 B ．4倍 C ．22 倍D ．2倍解析：选C.球的大圆面积扩大为原来的2倍，则球的半径扩大为原来的2 倍，所以球的体积扩大为原来的22 倍．3．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为 a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A ．πa 2B ．73 πa 2C ．113πa 2D ．5πa 2解析：选B.由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为 a ．如图，P 为三棱柱上底面的中心，O 为球心，易知 AP ＝23 ×32 a ＝33 a ，OP ＝12a ，所以球的半径 R ＝ OA 满足R 2＝⎝⎛⎭⎫33a 2 ＋⎝⎛⎭⎫12a 2＝712 a 2，故 S 球＝4πR 2＝73 πa 2.4．已知圆台上、下底面半径分别为1，2，高为3，则圆台的体积为__________． 解析：由公式知V 圆台＝13 π(1＋2＋4)×3＝7π.答案：7π5．如图所示，在边长为4的正三角形ABC 中，E ，F 分别是AB ，AC 的中点，AD ⊥BC ，EH ⊥BC ，FG ⊥BC ，D ，H ，G 为垂足，若将正三角形ABC 绕AD 旋转180°，求阴影部分形成的几何体的体积．解：由题意知，旋转后几何体是一个圆锥，从下面挖去一个圆柱，且圆锥的底面半径为2，高为23 ，圆柱的底面半径为1，高为3 .所求旋转体的体积为大圆锥的体积减去里面小圆柱的体积，即V 旋转体＝13 ×π×22×23 －π×12×3 ＝533 π，故所求旋转体的体积为533π. [学生用书P217(单独成册)][A 基础达标]1．在△ABC 中，AB ＝4，BC ＝3，AC ＝5，现以AB 所在直线为轴旋转一周，则所得几何体的表面积为( )A ．24πB ．21πC ．33πD ．39π解析：选A.因为在△ABC 中，AB ＝4，BC ＝3，AC ＝5，所以△ABC 是以∠B 为直角的直角三角形，故以AB 所在直线为轴旋转一周得到的几何体为圆锥，所以圆锥的底面半径为3，母线长为5，所以底面周长为6π，侧面积为12 ×6π×5＝15π，所以几何体的表面积为15π＋π×32＝24π.故选A.2．两个球的体积之比为8∶27，那么这两个球的表面积之比为( ) A ．2∶3 B ．4∶9 C ．2 ∶3D ．8 ∶27解析：选B.设两个球的半径分别为r ，R ，则⎝⎛⎭⎫43πr 3 ∶⎝⎛⎭⎫43πR 3 ＝r 3∶R 3＝8∶27， 所以r ∶R ＝2∶3，所以S 1∶S 2＝r 2∶R 2＝4∶9.3．(多选)如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R 相等，则下列结论正确的是( )A ．圆柱的侧面积为2πR 2B ．圆锥的侧面积为2πR 2C ．圆柱的侧面积与球面面积相等D ．圆柱、圆锥、球的体积之比为3∶1∶2解析：选CD.依题意得球的半径为R ，则圆柱的侧面积为2πR ×2R ＝4πR 2，所以A 错误；圆锥的侧面积为πR ×5 ·R ＝5 πR 2，所以B 错误；球面面积为4πR 2，因为圆柱的侧面积为4πR 2，所以C 正确；因为V 圆柱＝πR 2·2R ＝2πR 3，V 圆锥＝13 πR 2·2R ＝23 πR 3，V 球＝43 πR 3，所以V 圆柱∶V 圆锥∶V 球＝2πR 3∶23 πR 3∶43πR 3＝3∶1∶2，所以D 正确．故选CD.4．将半径为R 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积是( ) A ．524 πR 3 B ．58 πR 3 C ．324πR 3 D ．38πR 3 解析：选C.设圆锥的底面半径为r ，则2πr ＝πR ，所以r ＝R2 .所以圆锥的高h ＝R 2－r 2 ＝32R . 所以圆锥的体积V ＝13 πr 2×h ＝13 π(R 2 )2×32 R ＝324πR 3.故选C.5．若两球的体积之和是 12π，经过两球球心的截面圆周长之和为 6π，则两球的半径之差为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选 A ．设两球的半径分别为 R ，r (R >r )，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4π3R 3＋4π3r 3＝12π，2πR ＋2πr ＝6π，解得⎩⎪⎨⎪⎧R ＝2，r ＝1.故 R －r ＝1. 6．一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的表面积为________.解析：由底面周长为2π可得底面半径为1.S 底＝πr 2＝π，S 侧＝2πr ·h ＝4π，所以S 表＝2S底＋S 侧＝6π.答案：6π7．表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为________． 解析：设圆锥的母线为l ，圆锥底面半径为r ，由题意可知，πrl ＋πr 2＝3π，且πl ＝2πr .解得r ＝1，即圆锥的底面直径为2.答案：28.圆柱形容器内盛有高度为8 cm 的水，若放入三个相同的铁球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的铁球(如图所示)，则铁球的半径是________cm.解析：设铁球的半径为x cm ，由题意得πx 2×8＝πx 2×6x －43 πx 3×3，解得x ＝4.答案：49．某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r ＝1，l ＝3，试求该组合体的表面积和体积．解：该组合体的表面积S ＝4πr 2＋2πrl ＝4π×12＋2π×1×3＝10π， 该组合体的体积V ＝43 πr 3＋πr 2l ＝43 π×13＋π×12×3＝13π3.10．已知一个圆锥的底面半径为R ，高为H ，在其内部有一个高为x 的内接圆柱． (1)求圆柱的侧面积；(2)x 为何值时，圆柱的侧面积最大？解：(1)作圆锥的轴截面，如图所示．因为rR ＝H －x H，所以r ＝R －RH x ，所以S 圆柱侧＝2πrx ＝2πRx －2πR Hx 2(0<x <H ). (2)因为－2πRH<0，所以当x ＝2πR 4πR H＝H2 时，S 圆柱侧最大．故当x ＝H2时，即圆柱的高为圆锥高的一半时，圆柱的侧面积最大．[B 能力提升]11．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为323 π，那么这个正三棱柱的体积是( )A ．963B ．163C ．243D ．483解析：选D.由题意可知正三棱柱的高等于球的直径，从棱柱中间平行棱柱底面截得球的大圆内切于正三角形，正三角形与棱柱底面三角形全等，设三角形边长为a ，球半径为r ，由V 球＝43 πr 3＝323 π，得r ＝2.由S 柱底＝12 a ×r ×3＝34 a 2，得a ＝23 r ＝43 ，所以V 柱＝S柱底·2r ＝483 .12．如图，一个盛满溶液的玻璃杯，其形状为一个倒置的圆锥，现放一个球状物体完全浸没于杯中，球面与圆锥侧面相切，且与玻璃杯口所在平面相切，则溢出溶液的体积为( )A ．8327 πB ．4327 πC ．16327πD ．32327π解析：选D.由题意，设球的半径为r ，作出玻璃杯的轴截面，可得一个半径为r 的圆内切于一个边长为4的等边三角形，此等边三角形的高h ＝23 .根据中心(重心)的性质可得，球的半径r ＝13 h ＝233 ，所以球的体积V ＝43 πr 3＝43 π×⎝⎛⎭⎫233 3 ＝32327 π.即溢出溶液的体积为32327π，故选D.13.(多选)如图所示，△ABC 的三边长分别是AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，过点C 作CD ⊥AB ，垂足为D ，下列说法正确的是( )A ．以BC 所在直线为轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的侧面积为15πB ．以BC 所在直线为轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为36π C ．以AC 所在直线为轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的侧面积为25πD ．以AC 所在直线为轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为16π解析：选AD.以BC 所在直线为轴旋转时，所得旋转体为底面半径为3，母线长为5，高为4的圆锥，所以侧面积为π×3×5＝15π，体积为13 ×π×32×4＝12π，所以A 正确，B 错误；以AC 所在直线为轴旋转时，所得旋转体为底面半径为4，母线长为5，高为3的圆锥，侧面积为π×4×5＝20π，体积为13×π×42×3＝16π，所以C 错误；D 正确．故选AD.14．在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，过A 1，C 1，B 三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体ABCD -A 1C 1D 1，这个几何体的体积为403.(1)求棱AA 1的长；(2)求经过A 1，C 1，B ，D 四点的球的表面积和体积．解：(1)设AA 1＝x ，依题意可得403 ＝2×2·x －13 ×12 ×2×2·x ，解得x ＝4，故棱AA 1的长为4.(2)依题意可知， 经过A 1，C 1，B ，D 四点的球就是长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的外接球，这个球的直径就是长方体的体对角线，所以球的直径2R ＝22＋22＋42 ＝26 ，解得R ＝6 .故所求球的表面积为4πR 2＝24π，体积为43·πR 3＝86 π.[C 拓展探究]15．如图，用一边长为2 的正方形硬纸，按各边中点垂直折起4个小三角形，做成一个“底座”，将体积为4π3 的球放入其中，“底座”形状保持不变，则球的最高点与“底座”底面的距离为( )A ．62 ＋32 B ．32C ．22 ＋32D ．32 ＋32解析：选D.由题意，可得“底座”的底面是边长为1的正方形，则经过4个小三角形的顶点截球所得的截面圆的直径为1.因为球的体积为4π3 ，所以球的半径为1，所以球心到截面圆的距离为1－⎝⎛⎭⎫122 ＝32 ，因为垂直折起的4个小直角三角形斜边上的高为12，所以球的最高点与“底座”底面的距离为32 ＋1＋12 ＝32 ＋32.故选D. 16.如图，四边形ABCD 是正方形，BD ︵是以 A 为圆心、AB 为半径的弧，将正方形 ABCD 以 AB 为轴旋转一周，求图中 Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ 三部分经旋转所得几何体的体积之比．解：Ⅰ生成圆锥，Ⅱ生成的是半球去掉Ⅰ生成的圆锥，Ⅲ生成的是圆柱去掉扇形 ABD 生成的半球.设正方形的边长为 a ，则Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ 三部分经旋转所得几何体的体积分别为 V Ⅰ，V Ⅱ，V Ⅲ，则 V Ⅰ＝13 πa 3，V Ⅱ＝12 ×43 πa 3－13 πa 3＝13 πa 3，V Ⅲ＝πa 3－12 ×43 πa 3＝13πa 3.所以三部分经旋转所得几何体的体积之比为1∶1∶1.。
圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
(二)基本知能小试
1．判断正误
(1)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图的面积就是它们的表面
积．
()
(2)圆锥、圆台的侧面展开图中的所有弧线都与相应底面的
周长有关．
()
答案：(1)× (2)√
2．已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的
表面积与侧面积的比值是
()
1＋2π A. 2π
1＋4π B. 4π
题型三 球的表面积和体积
[学透用活]
[典例 3] (1)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都
为 a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 ( )
A．πa2
B.73πa2
C.131πa2
D．5πa2
(2)若球的一个内接圆锥满足：球心到该圆锥底面的距离是
球半径的一半，则该圆锥的体积和此球体积的比值为
解：设圆锥的底面半径为 R，圆柱的底面半径为 r，表面积为 S.则 R＝OC＝2，AC＝4，AO＝ 42－22＝2 3. 如图所示，易知△AEB∽△AOC，∴AAOE＝OEBC，即2 33＝2r，∴ r＝1. ∴S 底＝2πr2＝2π，S 侧＝2πr·h＝2 3π. ∴S＝S 底＋S 侧＝2π＋2 3π＝(2＋2 3)π.
[对点练清] 1．[圆柱的侧面积]一个圆柱的底面面积是 S，其侧面积展开图
是正方形，那么该圆柱的侧面积为_________． 解析：设圆柱的底面半径为 R，
则 S＝πR2，R＝ Sπ， 底面周长 c＝2πR. 故圆柱的侧面积为 S 圆柱侧＝c2＝(2πR)2＝4π2·Sπ＝4πS. 答案：4πS
2.[圆锥的表面积]如图，在底面半径为 2，母线长为 4 的 圆锥中内接一个高为 3的圆柱，求圆柱的表面积．
8,3,2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积2 课件-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
B、4π C、5π D、6π
解：联想棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1，
则四面体ACB1D1的棱长都为 2 ，它的外接球也是正方体的外接球，
其半径为正方体对角线长的一半，即有r＝ 3，
故所求球面积为S＝3π
2
D1
B1
要理解和掌握“正方体与正四面体”的这种图
形上的关系，对于快速解题有很大帮助。
2、外切问题 定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个 多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。
2、球O和这个正方体的六个面都相切
正方体的内切球的球心是体对角 线的交点，半径是棱长的一半。
ra 2
例4、一个正方体的表面积是24，则此正方体内切球的体积为_43____。
D A
D1 A1
C B
O C
B11
D A
D1 A1
C B
O C1
B1
RtB1 D1 D中 : B1 D 2R，B1 D1 2a
(2R)2 a 2 ( 2a)2，得：R 3 a 2
S 4R2 3a 2
练习2：长方体的共顶点的三个面面积分别为 3，5，15，试求它 的外接球的表面积
S球=9π
连接AE，因为CE是圆O的直径，所以CA⊥AE. 因为CA2=CD·CE=16×18=288, 所以CA 12 2 因为AB⊥CD,所以AD2=CD·DE=16×2=32, 所以AD 4 2
所以圆锥的侧面积S AD CA 4 2 12 2 96
练习6、已知一个高为16的圆锥内接于一个体积为972π的球，在圆 锥内又有一个内切球. 求: (1)圆锥的侧面积; (2)圆锥内切球的体积.
D
C
A D1
8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
第1讲 描述运动第的八基本章概念立体几何初步
4.解决正方体内切球的有关问题时,如何得到基本量的关系? 提示:球与正方体的六个面都相切,称球为正方体的内切球,若正方体的棱长为a, 则内切球的半径r1= ,过在一个平面上的四个切点作截面如图.
第1讲 描述运动第的八基本章概念立体几何初步
5.解决长方体外接球的有关问题时,如何得到基本量的关系?
第1讲 描述运动第的八基本章概念立体几何初步
圆柱、圆锥、圆台的表面积 圆柱、圆锥、圆台的表面积是围成它的① 各个面 的面积和.
几何体 圆柱
图形
表面积公式
底面积:S底面=πr2; 侧面积:S侧面=2πrl; 表面积:S=② 2πr(r+l)
圆锥 圆台
底面积:S底面=πr2; 侧面积:S侧面=πrl; 表面积:S=③ πr(r+l)
第1讲 描述运动第的八基本章概念立体几何初步
探究与球有关的切、接问题 如图,一个水平放置的无盖正方体容器,容器高8 cm,将一个球放在容器口,再向 容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm,若不计容器的厚度,如何求出 球的体积?
1.求球的体积的关键是什么? 提示:求球的体积的关键是求出球的半径.
圆台 V=⑦ (S'+
+S)h (S',S分别为上、下底面面积,h为圆台的高)
第1讲 描述运动第的八基本章概念立体几何初步
球的表面积和体积公式
球的表面积公式
S=⑧ 4πR2 (其中R为球的半径)
球的体积公式
V=⑨ πR3 (其中R为球的半径)
第1讲 描述运动第的八基本章概念立体几何初步
对球的表面积和体积公式的说明: 1.球的表面积: (1)球面不能展开成平面,要用其他方法求它的表面积. (2)球面面积等于它的大圆面积的4倍. (3)球面面积只与半径R有关,是以R为自变量的二次函数. 2.球的体积:设球的半径为R,它的体积只与半径R有关,是以R为自变量的函数.
课件6：8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
2.圆锥的表面积公式
S 圆锥=
πrl+πr2
(r 是底面半径，l 是母线长).
3.圆台的表面积公式
2 2
π(r'
+r +r'l+rl) (r'，r 分别是上、下底面半径，
S 圆台=
l 是母线长).
【思考】
求圆柱、圆锥、圆台的表面积时，要求的关键量是什么？
提示：求圆柱、圆锥的表面积时，关键是求其母线长与底
8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
[学习目标]
1.知道圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积计算公式.
2.能运用公式进行计算和解决有关实际问题，提升空间
想象能力.
——预习导学 思维启动——
一、圆柱、圆锥、圆台的表面积
[知识梳理]
1.圆柱的表面积公式
2
2πrl+2πr
S 圆柱=
(r 是底面半径，l 是母线长).
圆柱的母线长为 6，底面半径为 2，则该组合体的表
面积等于 (4 10+28)π .
解析：挖去的圆锥的母线长为 62 + 22 =2 10，
则圆锥的侧面积等于 4 10π.
圆柱的侧面积为 2π×2×6=24π，
圆柱的一个底面面积为 π×22=4π，
所以组合体的表面积为 4 10π+24π+4π=(4 10+28)π.
为 2π .
5.若圆锥的底面半径为 3，母线长为 5，则圆锥的体积
是 12π .
三、球的表面积和体积
[知识梳理]
1.球的体积
设球的半径为 R，则球的体积 V=
4
3
πR3
.
圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
2.圆柱、圆锥、圆台的体积公式
V圆柱 r 2h（r是底面半径, h是高）
V圆锥 1 r 2h（r是底面半径, h是高）
3
V圆台 1 h(r2 rr r 2 ) (r, r分别是上、下底面半径, h 是高)
3
作业: 课本p120 习题8.3 4、5题
O ABCD
ABCD
3
，
球心
V 球
=
1
S球
R=
1
4
R
2
R
=
4
R3.
33
3
V 4 R3
图8.3-
3
5
二、巩固新知
1.例1.如图8.3-4某种浮标由两个半球和一个圆柱 黏合而成，半球的直径是0.3m，圆柱高0.6m.如 果在浮标表面涂一层防水漆，每平方米 需要0.5kg 涂料，那么给1000个这样的浮标涂防水漆需要多 少涂料?( 取3.14).
S圆台 (r'2 r 2 r'l rl )
r O
l
O
r 'O’ l
rO
l
rO
S圆柱 2 r 2 2 rl 2 r(r l) S圆锥 r 2 rl r(r l )
6.圆柱、圆锥、圆台的体积公式
V圆柱 r2h（r是底面半径, h是高）
V圆锥 1 r 2h（r是底面半径, h是高）
3 a 3
3
2
2
A
小结：正方体的中心是正方体外接球，内切球的球心
内切球
棱切球
若正方体的棱长为a，则
外接球
1.正方体的内切球直径= a
2.正方体的接球直径= 3a
3.与正方体所有棱相切的球直径= 2a.
8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积基础过关练题组一圆柱、圆锥、圆台的表面积1.(2019湖南长沙雅礼中学高一上期末)圆柱的底面半径为1,高为1,则圆柱的表面积为()A.πB.3πC.2πD.4π2.圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4,若母线长为10,则圆台的表面积为()A.81πB.100πC.168πD.169π3.如果圆锥的表面积是底面面积的4倍,那么该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为()A.120°B.150°C.180°D.240°4.(2020湖南长沙一中高一上第二次阶段性考试)已知圆锥的母线长为5,高为4,则这个圆锥的表面积为()A.21πB.24πC.33πD.39π5.(2020重庆南开中学高二上期末)已知一个圆柱和圆锥等底等高,且圆锥的轴截面是一个等腰直角三角形,则此圆锥和圆柱的表面积之比为()A.√2+14B.√2+13C.√22D.136.(2019上海大学附属中学高二下期中)若一圆柱的侧面积为6π,则经过圆柱的轴的截面的面积为.本资料分享自千人教师QQ群323031380 期待你的加入与分享题组二 圆柱、圆锥、圆台的体积7.圆锥的轴截面是等腰直角三角形,侧面积是16√2π,则圆锥的体积是( ) A.64π3B.128π3C.64πD.128√2π8.(2020四川乐山十校高二上期中联考)圆台的上、下底面面积分别是π,4π,侧面积是6π,则这个圆台的体积是( ) A.2√33π B.2√3π C.7√36π D.7√33π 9.(2019福建莆田一中高一下期中)若一圆柱与圆锥的高相等,且轴截面面积也相等,那么圆柱与圆锥的体积之比为 .10.(2020湖南长沙一中高一上期中)如图所示的圆锥SO 中,母线长为4,且其侧面积为8π,则该圆锥的体积为 .题组三 球的表面积和体积11.(2020浙江舟山高二上期末)半径为2的球的表面积是( ) A.16π3B.32π3C.16πD.32π12.(2019湖南常德高一下期末)已知两个球的表面积之比为1∶9,则这两个球的体积之比为( ) A.1∶√3 B.1∶3 C .1∶9 D .1∶2713.(2019河南濮阳高一下期末)一个平面截一球得到直径为6的圆面,球心到这个圆面的距离为4,则这个球的体积为( )A.100π3B.208π3C.500π3D.416√3π314.(2019重庆永川高二下期末)64个直径都为a4的球,记它们的体积之和为V甲,表面积之和为S甲;一个直径为a的球,记其体积为V乙,表面积为S乙,则()A.V甲>V乙且S甲>S乙B.V甲<V乙且S甲<S乙C.V甲=V乙且S甲>S乙D.V甲=V乙且S甲=S乙题组四简单组合体的表面积和体积15.某组合体如图所示,上半部分是正四棱锥P-EFGH,下半部分是长方体ABCD-EFGH.正四棱锥P-EFGH的高为√3,EF=2,AE=1,则该组合体的表面积为()A.20B.4√3+12C.16D.4√3+816.(2020安徽铜陵高二上期末)直角梯形ABCD如图放置,已知∠C=∠D=90°,CD=2,BC=3,AD=4.现将梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周形成几何体.求这个几何体的体积.能力提升练题组一 圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积 1.(2020山东潍坊一中高一下期中,)圆锥的高h 和底面半径r 之比为2∶1,且圆锥的体积V=18π,则圆锥的表面积为( ) A.18√5π B.9(1+2√5)π C.9√5π D.9(1+√5)π 2.(2020福建高三下月考,)已知某圆柱的底面直径与某圆锥的底面半径相等,且它们的表面积也相等,圆锥的底面积是圆锥侧面积的一半,则此圆锥与圆柱的体积之比为( ) A.8∶5√3 B.4∶5√3 C.2√3∶5 D.4∶11√3 3.(2019山东潍坊高二下期末,)若圆锥的高等于底面直径,侧面积为√5π,则该圆锥的体积为( ) A.13π B.23πC.2πD.163π4.(2019重庆八中高二下期中,)南北朝时期杰出的数学家祖冲之的儿子祖暅在数学上也有很多创造,其最著名的成就是祖暅原理:夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截得的两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等.现有一个圆柱体和一个长方体,它们的底面面积相等,高也相等,若长方体的底面周长为4,圆柱体的体积为4π,则根据祖暅原理可推断圆柱体的高( )A.有最小值πB.有最大值πC.有最小值4πD.有最大值4π5.(2020浙江宁波余姚中学高二上期中,)若一个圆柱的侧面展开图是边长为2的正方形,则此圆柱的体积是;若一个圆锥的侧面展开图是圆心角为120°,半径为1的扇形,则这个圆锥的表面积与侧面积的比是.6.(2020福建南平高一上期中,)用一个边长为2R的正方形卷成一个圆柱的侧面,再用一个半径为R的半圆卷成一个圆锥的侧面,则该圆柱与圆锥的体积之比为.7.(2020上海高三模拟,)某种“笼具”由内、外两层组成,无下底面,内层和外层分别是一个圆锥和一个圆柱,其中圆柱与圆锥的底面周长相等,圆柱有上底面,制作时需要将圆锥的顶端剪去,剪去部分和接头忽略不计,已知圆柱的底面周长为24πcm,高为30cm,圆锥的母线长为20cm.(1)求这种“笼具”的体积(π≈3.14,结果精确到0.1cm3);(2)现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”,该材料的造价为每平方米8元,共需多少元?(π≈3.14,结果精确到1元)8.(2020辽宁葫芦岛高一期末,)用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,截得圆台的母线长为12cm,两底面面积分别为4πcm2和25πcm2,求:(1)圆台的高;(2)圆台的体积;(3)截得此圆台的圆锥的表面积.深度解析9.(2019上海行知中学高二下期中,)如图,AB是圆柱的底面直径,PA 是圆柱的母线,且AB=PA=2,点C是圆柱底面圆周上的点.(1)求圆柱的侧面积和体积;(2)若AC=1,D是PB的中点,点E在线段PA上,求CE+ED的最小值.题组二球的表面积和体积10.(2019福建龙岩一级达标校高一下期末,)一个圆柱的轴截面是正方形,其侧面积与一个球的表面积相等,那么这个圆柱的体积与这个球的体积之比为()A.1∶3B.3∶1C.2∶3D.3∶211.(2019广东东莞高三上期末调研,)圆锥SD(其中S为顶点,D为底面圆的圆心)的侧面积与底面积的比是2∶1,则圆锥SD与它的外接球(即顶点在球面上且底面圆周也在球面上)的体积比为()A.9∶32B.8∶27C.9∶22D.9∶2812.(2020河南三门峡高一上期末,)麻团又叫煎堆,呈球形,北方地区称麻团,是一种古老的传统特色油炸面食.制作时以糯米粉团炸起,加上芝麻而制成,有些包麻茸、豆沙等馅料,有些没有.一个长方体形状的纸盒中恰好放入4个球形的麻团,它们彼此相切,同时与长方体纸盒的上、下底、侧面均相切,其俯视图如图所示,若长方体纸盒的表面积为576cm2,则一个麻团的体积为()A.36πcm3B.48πcm3C.24πcm3D.72πcm313.(2020重庆八中高二上月考,)古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个“圆柱容球”的几何体,就是圆柱容器里放了一个球,这个球“顶天立地”,四周碰边,如图,若记这个球的表面积和体积分别为S1和V1,圆柱的表面积和体积分别为S2和V2,则()A.S1S2<V1V2B.S1S2=V1V2C.S1S2>V1V2D.S1S2与V1V2的大小关系不确定14.()已知球、母线长和直径相等的圆柱、正方体的体积依次为V1,V2,V3,若它们的表面积相等,则V12∶V22∶V32=()A.√6∶2∶√πB.√3∶√2∶√πC.6∶4∶πD.3∶2∶π题组三简单组合体的表面积和体积15.(2020四川成都树德中学高三上月考,)魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”,刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比为π∶4.若正方体的棱长为2,则“牟合方盖”的体积为()A.16B.16√3C.163D.3216.(2020山西高二上期中联考,)唐朝著名的凤鸟花卉纹浮雕银杯如图1所示,它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体(如图2),当这种酒杯内壁的表面积(假设内壁表面光滑,表面积为S平方厘米,半球的半径为R厘米)固定时,若要使得酒杯的容积不大于半球体积的2倍,则R的取值范围为()A.(0,√3S10π] B.[√3S10π,+∞)C.(√S5π,√3S10π]D.[√3S10π,√S2π)17.(2019黑龙江牡丹江一中高一下期末,),如图,网格纸的小正方形的边长是1,在其上用粗实线和粗虚线画出了某几何体的三视图,则该几何体的体积是()A.7πB.9πC.11πD.13π18.(2020辽宁省实验中学高三上月考,)已知某款冰淇淋的包装盒为圆台,盒盖为直径为8的圆形纸片,每盒冰淇淋中包含香草口味、巧克力口味和草莓口味冰淇淋球各一个,假定每个冰淇淋球都是半径为√3的球体,三个冰淇淋球两两相切,且都与冰淇淋盒盖、盒底和盒子侧面的曲面相切,则冰淇淋盒的体积为.答案全解全析 基础过关练1.D 因为圆柱的底面半径为1,高为1, 所以圆柱的表面积S=2π×12+π×2×1=4π. 故选D.2.C 圆台的轴截面如图所示,设上底面半径为r,下底面半径为R,高为h,则R=h=4r,其母线长l=√ℎ2+(R -r)2=√(4r)2+(3r)2=5r=10,所以r=2,R=8. 故S 侧=π(R+r)l=π(8+2)×10=100π,S 表=S 侧+πr 2+πR 2=100π+4π+64π=168π. 故选C.3.A 设圆锥的母线长为l,底面半径为r,则πrl+πr 2=4πr 2,∴l=3r, ∴圆锥的侧面展开图的圆心角为2πr l=2π3=120°.故选A.4.B 由题意得,圆锥的底面半径为2-42=3,则底面圆的周长为6π,所以圆锥的侧面积是12×6π×5=15π,又底面积为9π,所以表面积为15π+9π=24π.故选B.5.A 设圆柱与圆锥的底面半径为r.因为圆锥的轴截面是一个等腰直角三角形,所以圆锥的高为r,母线长为√2r.所以圆柱的表面积为2πr 2+2πr ·r=4πr 2, 圆锥的表面积为12·2πr ·√2r+πr 2=(√2+1)πr 2,所以圆锥和圆柱的表面积之比为(√2+1)πr 24πr 2=√2+14.故选A.6.答案 6解析 设圆柱的底面半径为r,高为h,则6π=2πrh,即rh=3,因此圆柱的轴截面的面积为2rh=6.7.A 设圆锥的底面半径为r,母线长为l,高为h. ∵圆锥的轴截面是等腰直角三角形, ∴2r=2+l 2, 即l=√2r.由题意得,S 侧=πrl=√2πr 2=16√2π,解得r=4,∴l=4√2,h=√l 2-r 2=4, ∴圆锥的体积为13×π×42×4=64π3. 故选A.8.D 由于圆台的上、下底面面积分别是π,4π,故上、下底面半径分别为1,2. 设圆台的母线长为l,高为h.由圆台的侧面积公式可得π×(2+1)l=6π,则圆台的母线长l=2,圆台的高h=2-12=√3,∴这个圆台的体积V=13×π×√3×(4+1+2)=7√33π.故选D.9.答案 3∶4解析 设圆柱与圆锥的底面半径分别为r,R,高均为h, 则2rh=12×2Rh,∴R=2r, ∴圆柱和圆锥的体积之比为πr 2h13πR 2h =πr 2h13π×4r 2h=34.10.答案8√3π3解析 设圆锥底面圆的半径为r,则12·2πr ·4=8π,解得r=2, ∴|SO|=√42-22=2√3,∴圆锥的体积为13πr 2·|SO|=13π×4×2√3=8√3π3. 11.C 由球的表面积公式可得S=4πR 2=16π.故选C. 12.D 设两个球的半径分别为R 1,R 2.由题意知,19=4πR 124πR 22,∴R 1R 2=13,∴两个球的体积之比为43πR 1343πR 23=(13)3=127,故选D.13.C 如图,过球心O 作OO'垂直圆面于O',连接O 与圆面上一点A, 则OA=√42+32=5, 故球的体积V=43π×53=500π3.故选C.14.C V甲=64×43π×(a8)3=πa36,S甲=64×4π×(a8)2=4πa2,V乙=43π×(a2)3=πa36,S乙=4π×(a2)2=πa2.故V甲=V乙且S甲>S乙,故选C.15.A由题意得,正四棱锥P-EFGH的斜高为√3+1=2,故该组合体的表面积为2×2+4×2×1+4×12×2×2=20.故选A.16.解析旋转后的几何体是由一个圆柱和一个圆锥组成的组合体.该几何体的体积为4π×3+13π×4×1=403π.能力提升练1.D由题意得,h=2r.设圆锥的母线长为l.∵圆锥的体积V=18π,即13πr2h=2πr33=18π,解得r=3,∴h=6,∴l=√ℎ2+r2=√62+32=3√5,∴圆锥的表面积S=πrl+πr2=π×3×3√5+π×32=9(1+√5)π.故选D.2.A设圆锥的底面半径为r,母线长为l,高为h1,则πr2=12×12×2πr·l,所以l=2r,所以圆锥的高h1=√3r,圆锥的体积为13πr2h1=√33πr3.由题意知,圆柱的底面半径为r2,设圆柱的高为h2.因为圆锥与圆柱的表面积相等,所以3πr2=2π(r2)2+2π×r2×h2,解得h2=52r,所以圆柱的体积为π(r2)2h2=58πr3.所以圆锥与圆柱的体积之比为√33πr358πr3=5√3,故选A.3.B设圆锥的底面半径为R,母线长为l,则高为2R,母线长l=√(2R)2+R2=√5R,又S侧=πRl=√5πR2=√5π,所以R=1,所以圆锥的体积为13×πR2×2R=23π.故选B.4.C 由题意得,长方体的体积为4π.设圆柱的高为h,长方体的底面相邻两边长分别为x,y,则x+y=2,xy ≤(x+y 2)2=1,当且仅当x=y=1时,等号成立,∴h=4πxy ≥4π.故选C.5.答案 2π;4∶3解析 设圆柱的底面半径为r,则2πr=2,故r=1π, 又圆柱的高为2,所以圆柱的体积为π×(1π)2×2=2π.设圆锥的底面半径为r,则底面周长为2πr,故展开后的扇形弧长为2πr, 又扇形圆心角为120°=23π,半径为1,故2πr 1=23π,所以r=13,故圆锥的侧面积为12×1×2π×13=π3,表面积为π3+π×(13)2=49π. 故表面积与侧面积的比是49ππ3=43.6.答案16√3π2解析 由题意得,圆柱的底面圆的周长为2R.设圆柱的底面圆的半径为r 1,则2πr 1=2R,即r 1=Rπ.又圆柱的高为2R,所以圆柱的体积为πr 12×2R=2R 3π.由题意得,圆锥的底面圆的周长为πR.设圆锥的底面圆的半径为r 2,则2πr 2=πR,即r 2=R 2,所以圆锥的高为√R 2-r 22=√32R,所以圆锥的体积为13πr 22×√32R=√3πR 324.所以圆柱与圆锥的体积之比为2R 3π√3πR 324=16√3π2.7.解析 设圆柱的底面半径为r cm,圆锥的高为h 1 cm. (1)由题意得,2πr=24π,所以r=12,h 1=2-122所以“笼具”的体积为30πr 2-13πr 2h 1=3 552π≈11 158.9 cm 3. (2)圆柱的侧面积为2πr×30=720π cm 2,圆柱的底面积为πr 2=144π cm 2, 圆锥的侧面积为πr×20=240π cm 2,所以“笼具”的表面积为720π+144π+240π=1 104π cm 2, 故制作50个“笼具”共需1 104π×50×8104=1 104π25≈139元.8.解析 (1)圆台的轴截面示意图如图所示:过点D 作DH ⊥AB 于H.因为圆台的上底面面积为4π cm 2, 所以上底面圆的半径DG=2 cm. 因为圆台的下底面面积为25π cm 2, 所以下底面圆的半径BE=5 cm,所以BH=5-2=3 cm,所以圆台的高DH=2-BH 2√144−9=3√15 cm. (2)圆台的体积为13×DH×(4π+25π+√4π×25π)=13×3√15×39π=39√15π cm 3. (3)设圆锥的母线长为l',圆台的母线长为l,则l'-l l'=DG BE =25,所以l'=20 cm,所以圆锥的表面积为25π+π×5×20=125π cm 2. 解题反思求解圆台的有关问题时,画出圆台的轴截面示意图是关键,求解圆台所在的圆锥的有关问题时,可将圆台轴截面示意图中的两条母线延长相交于一点,根据比例关系求解相关值.9.解析 (1)由题意得,圆柱的底面半径为1,高为2,所以圆柱的侧面积为2π×1×2=4π,圆柱的体积为π×12×2=2π.(2)将△PAC 绕PA 所在直线旋转到△PAC'的位置,使其与平面PAB 共面,且C'在AB 的反向延长线上.此时C'D 与PA 的交点即为使CE+ED 取得最小值的点E 的位置.∵PA=AB=2,∴∠PBA=π4,BD=12BP=√2,又BC'=BA+AC'=2+1=3, ∴在△C'BD 中,由余弦定理得C'D=√32+(√2)2-2×3×√2×√22=√5,∴CE+ED 的最小值为√5.10.D 设圆柱的底面半径为r,轴截面正方形的边长为a,则a=2r, 所以圆柱的侧面积为2πra=4πr 2.设与圆柱侧面积相等的球的半径为R,则球的表面积为4πR 2=4πr 2,解得R=r. 因此圆柱的体积为πr 2×a=2πr 3,球的体积为43πR 3=43πr 3. 所以圆柱的体积与球的体积之比为32.11.A 设圆锥底面圆的半径为r,高为h,母线长为l,则侧面积为πrl, 所以侧面积与底面积的比为πrl πr 2=lr =2,所以l=2r,h=√l 2-r 2=√3r, 所以圆锥的体积为13πr 2h=√33πr 3.设外接球的球心为O,半径为R,截面图如图,则OB=OS=R,OD=h-R=√3r-R, BD=r.在直角三角形BOD 中,由勾股定理得 OB 2=OD 2+BD 2,即R 2=r 2+(√3r -R)2, 整理,得R=√3r,所以外接球的体积为43πR 3=43π×3√3r 3=39√3. 故所求体积比为√33πr 332πr 39√3=932.故选A.12.A 设麻团的半径为r cm.因为麻团与长方体纸盒的上、下底、侧面都相切, 所以长方体的长为4r cm,宽为4r cm,高为2r cm.又长方体的表面积为576 cm 2,所以32r 2+16r 2+16r 2=576,解得r=3,故麻团的体积为43πr 3=36π(cm 3). 13.B 设球的半径为R,则圆柱的底面半径为R,高为2R, ∴V 2=πR 2×2R=2πR 3,V 1=43πR 3,S 2=2πR×2R+2×πR 2=6πR 2,S 1=4πR 2,∴V 1V 2=43πR 32πR3=23, S 1S 2=4πR 26πR 2=23, ∴S 1S 2=V1V 2.故选B.14.C 设球的半径为R,圆柱底面圆的半径为r,正方体的棱长为a.由它们的表面积相等,得4πR 2=6πr 2=6a 2,则R 2∶r 2∶a 2=14π∶16π∶16,所以V 12∶V 22∶V 32=(43πR 3)2∶(2πr 3)2∶(a 3)2=6∶4∶π.故选C.15.C 因为正方体的棱长为2, 所以其内切球的半径r=1, 所以V 球=43π×13=43π, 又V 球V牟合方盖=π4,所以V 牟合方盖=4π×43π=163,故选C.16.D 设圆柱的高与半球的半径分别为h,R,酒杯的容积为V,则S=2πR 2+2πRh, 所以πRh=S2-πR 2,所以V=23πR 3+πR 2h=23πR 3+(S2-πR 2)R=-π3R 3+S2R ≤43πR 3, 解得R ≥√3S 10π.又h>0,所以S2-πR 2>0,解得R<√S2π. 所以√3S10π≤R<√S 2π.故选D. 17.A 原空间几何体如图所示.该几何体的体积为43π×23×12×34+13π×22×3×34=7π.故选A.18.答案1696√3π 解析 由题得三个球是平放在一起的,三个球的球心O 1,O 2,O 3组成一个边长为2√3的等边三角形,其中心为O″,所以O 1O″=√(2√3)2-(√3)2×23=2.由题得圆台的高为2√3,其轴截面如图所示,由题得OA=4,AF=4-2=2,设BE=x,则BM=x,在直角三角形ABG中,(x+2)2=(2√3)2+(2-x)2,所以x=32,所以下底面的半径为2+32=7 2 ,所以圆台的体积为1342π+(72)2π+√42π·(72)2π×2√3=1696√3π.故答案为1696√3π.。
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S (r2 r2 rl rl)
讲
课
人 ： 邢 启 强
r和 r分别是上、下底面半径，l是母线长 6
课堂小结
圆柱、圆锥、 圆台
r是底面半径，l是母线长 圆柱S 2r(r l) r r 圆台S (r2 r2 rl rl)
r 0
圆锥 S r(r l) r是底面半径，l是母线长
3.若两球表面积之比为1:2，则其体积之 比是__1_: _2 _2_.
4.若两球体积之比是1:2，则其表面
讲 积之比是__1_: _3 4__.
课
人
：
邢
启 强
20
V
1 3
Vi
Si
R
1 3
S2
1
3 R
Si R
1 3
S3
R
...
1 3
Sn
R
1 3
R(Si
S2
S3
...
Sn
)
1 3
RS
①
球的表面积: S 4πR2 ②
讲
由①② 得: V 4 R3
课 人 ： 邢
3
启 强
14
典型例题
例1. 如图,某种浮标由两个半球和一个圆
柱黏合而成，半球的直径是0.3m,圆柱高 0.6m.如果在浮标表面涂一层防水漆，每平 方米需要0.5kg涂料，那么给1000个这样的 浮标涂防水漆需要多少涂料？(x取3.14)
8.3.2圆柱圆锥圆台球表面积和体积
复习引入
(1)矩形面积公式： ___S___ab____。
(2)圆面积公式： ___S___r2___。
(3)圆周长公式： __C___2__r __。
(4)扇形面积公式：S
n r 2
_ 360
_n_3_6r_0_r __12_r_l。
多面体的表面积 就是围成多面体各个面的面积之和
15cm．为了美化花盆的外观，需要涂油漆．已知每平
方米用100毫升油漆,涂100个这样的花盆需要多少油漆
（取 3.14,结果精确到1毫升，可用计算器）？
S (r'2 r 2 r'l rl )
解:花盆外壁的表面积：
S [(15)2 15 15 20 15] (1.5)2
22
(1)解：设球的半径为R,则圆柱的底面 半径为R,高为2R.
第2问我们同学自己完成
讲
课
人
：
邢
启 强
17
巩固练习
一个正方体的顶点都在球面上， 它的棱长是4 cm，求这个球的体积．
讲
课
人
：
邢
启 强
18
巩固练习
1 . 若一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，
则这个圆柱的全面积与侧面积的比是（ A ）
A . 1 2 2
讲
课
人
：
邢
启 强
3
学习新知 圆柱、圆锥、圆台的表面积
r是底面半径，l是母线长
r O l
2 r
O
圆柱的侧面展开图是矩形
S 2 r2 2 rl 2 r(r l)
讲 课 人
r是底面半径，l是母线长
：
邢
启 强
4
学习新知
l rO
讲 课 人 ： 邢 启 强
S侧＝12 2 rl rl
S r2 rl r(r l)
2
2
1000(cm2 ) 0.1(m2 )
涂100个花盆需油漆：
0.1100100 1000 (毫升)
2100个这样的花盆约需要1000毫升油
：
漆． 邢
启 强
16
典型例题
例3 圆柱的底面直径与高都等于球的直径. (1) 求球的体积与圆柱体积之比； (2) 证明球的表面积等于圆柱的侧面积.
棱柱的体积 棱锥的体积
V Sh
讲 课 人 ： 邢 启 强
V 1 Sh 3
棱台的体积
V 1 h(S SS S) 3
2
新课引入
如何根据圆柱,圆锥的几何结构 特征,求它们的表面积?
与多面体的表面积一样，圆柱、圆 锥、圆台的表面积也是围成它的各 个面的面积和。 利用圆柱、圆锥、圆台的展开图, 可以得到它们的表面积公式
2r
r是底面半径， l是母线长
圆锥的侧面展开图是扇形
5
学习新知
圆台的侧面展开图是扇环
S侧 1 2 r l l 1 2 rl
2
2
r(l l) rl (rl rl rl)
r 'O’l
2r' 2r
l
Q r l r l l
rl rl rl
rO
S侧 (rl rl) (r r)l
解：一个浮标的表面积为 2π×0.15×0.6+4π×0.152=0.8478(m2), 所以给1000个这样的浮标涂防水漆约需涂料 0.8478×0.5×1000=423.9(kg).
讲
课
人
：
邢
启 强
15
典型例题例2．如图，一个圆台形花盆盆口直径20cm，盆
底直径为15cm，底部渗水圆孔直径为1.5cm，盆壁长
柱体、 锥体、 台体的 体积
讲 课 人 ： 邢 启 强
柱体、锥体、台体的体积
柱体 V Sh
s s
台体V 1 (S SS S)h 3
s 0
锥体 V 1 Sh 3
10
学习新知 球的表面积公式 半径是R的球的表面积是
S＝4R2
小学，,我们学习了圆的面积公式，你还记得 是如何求得的吗? 类比这种方法你能由球的表面积公式推导出球 的体积公式?
r和 r分别是上、下底面半径，l是母线长
讲 课
所用的数学思想： 空间问题“平面”化
人
：
邢
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7
复习回顾 体积:几何体所占空间的大小
棱柱的体积: V棱柱=Sh.
圆柱的体积：V r2h
V
Sh
棱锥的体积：V 圆锥的体积：V
1 Sh 3
1 Sh
V
1 Sh 3
V Sh
3
棱台的体积:V 1 (S SS S)h
第二步：求近似和
Si
hi
O
O
Vi
Vi
1 3
Si
hi
由第一步得： V V1 V2 V3 ... Vn
V
1 3
S1h1
1 3
S2h2
1 3
S3h3
...
1 3
Sn
hn
讲
课
人
：
邢
启 强
13
学习新知
第三步：转化为球的体积
Si
hi
Vi
Si
R
O Vi
如果网格分的越细,则:
“小锥体”就越接近小棱锥。
hi 的值就趋向于球的半径R
B . 1 4 4
C . 1 2
1 4
D.
2
2 . 已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么这个
圆锥的侧面积展开图的圆心角为___1_8_0___度
讲
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：
邢
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巩固练习
1.若球的表面积变为原来的2倍,则半径变 为原来的__2_倍.
2.若球半径变为原来的2倍，则表面积变为
原来的_4__倍.
讲
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11
学习新知 球的体积公式
第一步：分割
球面被分割成n个网格， 表面积分别为：
S1，S2，S3...Sn
O
则球的表面积：
S S1 S2 S3 ... Sn
Si
设“小锥体”的体积为：Vi 则球的体积为：
讲
O
Vi
V V1 V2 V3 ... Vn
课
人
：
邢
启 强
12
学习新知
3
讲 课 人 ：
圆台的体积:
?V台体
1 3
h(S
SS S)
邢
启 强
8
学习新知
关于体积有如下几个原理： （1）相同的几何体的体积相等； （2）一个几何体的体积等于它的各部分 体积之和； （3）等底面积等高的两个同类几何体的 体积相等； （4）体积相等的两个几何体叫做等积体.
讲
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邢
启 强
9
知识总结