数理统计课后习题答案答案(汪荣鑫版本)

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12
14.设母体X的分布密度为 f(x)=
x ,0 x 1
0, 其他
1
其中
0
(1) 求 的最大似然估计量; (2)用矩法求 的估计量. x 1 , 0 x 1 解:
x f ( x)
1最大似然估计L xi 1 n xi 1
第一章 抽样和抽样分布 1.子样平均数和子样方差的简化计算如下：
sx 2 设子样值x1,x2,…,xn的平均数 x 为和方差为
xi a yi c
作变换 ，得到y1,y2,…,yn,它的平均 数为 y 和方差为 。试证：x a c y, sx 2 c 2 s y 2。 sy2 x a y 解：由变换 ，即xi a cyi c
X t (n) ，求证 X 2 F (1, n) 7.已知
证明：令 X
2 2

U
/n
2
t (n), 其中U N (0,1)
2 2 2
(n), 且U 与 独立,U 亦与 独立
U2 X 2 2 ,由F 分布定义 X 2 F (1, n) /n
Page 6
＾ 方差最小为有效 3
n i 1
＾ 对形如 xi xi , 且 xi 1时, E ,以 x 为最有效
i
Dx

2
wenku.baidu.com
n
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13.设X1,X2,…,Xn是具有泊松分布 P( ) 母体 的一个子样。试验证：子样方差 S *2 是 的无偏估计；并且对任一值 [0,1], X (1 )S *2 也是 的无偏估计，此处 X 为子样的平均 数 解： P( ), EX , DX , E X , ES *2 X
2 12 3
1 1 E x E ( xi ) Exi Ex 0 n i n i 1 1 1 Dx D ( xi ) Dx n i n Page 3 3n
5.设X1,X2,…,Xn是分布为的正态母体的一个 子样，求 Y 解：
X N ( , ), 则yi
ln L n ln ( 1) ln xi
i
i 1 i 1
0, 其他 n
( 0 )
n
d ln L n ＾ n ln xi 0, d i ln xi
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i
2矩法估计

EX

x f ( x)dx x x
1 1 Dx D( xi ) 2 n i n 1 Dxi n2 i
Dx n
i

4.设X1,X2,…,Xn是区间（-1，1）上均匀分 布的母体的一个子样，试求子样平均数的 均值和方差。 1 1 22 1 解： U (1,1), Ex x 0, Dx
2 1 1 2 2 sx s y yi y [(8) 2 (6) 2 3 2 5 2 6 ] 0 34 n i 5 2 2
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3.设X1,X2,…,Xn是参数为的泊松分布的母体 的一个子样，是子样平均数，试求E X 和DX 。 x p( ), E x E ( 1 x ) 1 Ex 1 n i n i n n i i 解：
都是 的无偏估计，并求出每个估计量的 方差。问哪一个方差最小？ 解：＾ E ( 2 x1 1 x2 ) 2 Ex1 1 Ex2 2 1 E 1 ＾ 同理： 2和＾都是 的无偏估计。 3
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3
3
3
3
3
3
3 5 1 1 ＾ 2 1 5 ＾ 1 ＾ 1 D1 ( )2 ( )2 , D2 ( )2 ( )2 , D3 ( )2 ( )2 3 3 9 4 4 8 2 2 2
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12. 在五块条件基本相同的田地上种植某种 农作物，亩产量分别为92，94，103，105， 106（单位：斤），求子样平均数和子样方 差。 解：作变换
1 1 yi xi 100, a 100, y yi 0 0 n i 5 x a y 100
yi xi a c
i
i
x (a cy ), nx na cn y, x a c y
i i i i
1 1 c2 而sx 2 ( xi x)2 (a cyi a c y ) 2 ( yi y ) 2 c 2 s y 2 n i n i n i
13.设母体X具有在区间[a,b]上的均匀分布, 其分布密度为 f(x)=
1 ,a x b ba 0, 其他
其中a,b是未知参数,试用矩法求a与b的估计 量. ab 1 2 , DX (b a ) 解: X U [a, b], EX
2 12
S 2 分别估计EX和DX 用 X 和ab 得 X 2 ＾ X 3S a (b a) 2 ＾ X 3S b S2

0, x 0
e x , x 0
0, x 0
（
x
0
1
）
Ex

xf ( x)dx xe
0
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dx

x
用样本 x 估计Ex，则有 x
1

＾ 1 ,
12.设母体X具有几何分布,它的分布列为 P{X=k}=(1-p)k-1p,k=1,2,… 先用矩法求p的估计量,再求p的最大似然估 计. 解 :( 1)矩法估计
(2)极大似然估计
L (1 p)
i 1
n
xi 1
p (1 p)
xi n
i
pn
ln L ( xi n) ln(1 p) n ln p
i
d ln L i dp 1 p
n xi
n 1 0,＾ p p x
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2
1
2
( X i ) 2的概率分布。
i 1
n
xi

2
N (0,1), 且Y1 ,..., Yn 之间相互独立
Y
1

2
(x
i
i
) (
i
xi

) yi
2 i
2
2 分布定义Y 2 (n)，Y服从自由度为n的 由 2 分布。
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n i 1
似然函数
L f ( xi ) e ( xi )
为了使L达到最大， x n 0，尽可能小， i i 尽可能大，而＾
xi , min xi x(1)
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d ln L ln L ( xi n ), 0无解 d i
16.设母体X具有正态分布N(0,1)，从此母体 中取一容量为6的子样（x1,x2,x3,x4,x5,x6）。 又设 Y ( X X X ) ( X X X ) 。试决定常数C,使 2 得随机变量CY服从 分布。 解： X N (0,1), Z1 X1 X 2 X 3 N (0, 3),
X N (40,52 ),从中抽取容量n的样本 8设母体
求（1）n=36时， (38 x 43) P 解： x N (40, 5 )
2
64
38 40 x 40 43 40 P 38 x 43 P{ } 5/ 6 5/ 6 5/ 6


P{2.4 U 3.6} (3.6) (2.4) (2.4) 0.9918
0
1
1
dx
1
用 X 估计EX
X 1 X
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1 e 5.设母体X的密度为 f ( x) 2

x

, x
试求 的最大似然估计;并问所得估计量是 否的无偏估计. x x n 解： n 1 1 n
i
L f ( xi )

x
1 1 E E ( xi ) E xi n i n i
＾ 是 的无偏估计.
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6.设母体X具有分布密度
k
f(x)=
(k 1)! 0, 其他
x k 1e x , x 0
其中k是已知的正整数,试求未知参数的最大 似然估计量. 解:似然函数
2 2 1 2 3 4 5 6
Z12 2 N (0,1), 1 (1) 3 3 Z 2 X 4 X 5 X 6亦服从N(0,3)且与Z1相互独立 Z1
Z2 Z22 N (0,1), 2 (1) 3 3
2 2
且与 相互独立。由 分布可加性，
Z12 Z 2 2 1 2 1 1 2 2 ( Z1 Z 2 ) Y (2), c 3 3 3 3 3 Page 5
L
i 1 n
k
(k 1)!
xi k 1e xi
n xi 1 ( ) n nk ( xi ) k 1 e i (k 1)! i 1
ln L n ln(k 1)! nk ln ln( xi ) k 1 xi
i 1 i
（2）n=64时，求 P{ x 40 1}
解：
52 x N (40, ) 64
P{ x 40 1} P{ 8 2 ( ) 1 0.8904 Page 7 5
x 40 1 8 } p{ U } 5/8 5/8 5
第二章 参数估计 1.设母体X具有负指数分布，它的分布密度 为 e x , x 0 f(x)= 其中 0 。试用矩法求的估计量。 解：x e( ) f(x)=
EX k (1 p)
k 1
x 1 x 1 1 (( (1 x) ) ' [ ]' ( )' 2 ) 1 (1 x) x x i
i
1 ＾ p x
k 1
1 1 p p [(1 p) ]' p 2 p p k
k
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1 i n
12设母体X服从正态分布 N ( ,1), ( X 1 , X 2 ) 是 从此母体中抽取的一个子样。试验证下面三 个估计量 2 1 （1）＾ X1 X 2 1
3 3 1 3 2 （2）＾ X 1 X 2 4 4 1 1 （3）＾ X 1 X 2 3 2 2
i 1 i 1
2
e
(
i
ln L n ln 2 n ln
d ln L n i 2 0 d
x
i
2
) e
i
x

i
＾ 1 x 得 n
i
i
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E xi E X



x f ( x)dx
x



1 1 x e dx 2 x e dx 2 2 0
n
d ln L nk k ＾ k xi 0,＾ 或 d x x i
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,0 x , 7.设母体X具有均匀分布密度 从中抽得容量为6的子样数值 1.3,0.6,1.7,2.2,0.3,1.1,试求母体平均数和方差 的最大似然估计量的值. 解: X U (0, ) ， 的最大似然估计 ＾ max x 2.2 i ＾ ＾ EX , 1.1 f ( x)
1
2
DX
2

2
2
12
＾2 1 ＾2 0.4033 ,
12
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8.设母体X的分布密度为 f(x)=
e
( x )
,x
0, x 0 e ( x ) , x 0, x 0
n i 1
试求 解：
的最大似然估计。
X f ( x)