初中数学总复习_《四边形》提高测试.s

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八年级四边形经典提高题(106题)

1 / 34八年级几何综合题（一）（2008学年静安区八下末）如图，在△ABC 中，点D 是边BC 的中点，点E 在△ABC ，AE 平分∠BAC ，CE ⊥AE ，点F 在边AB 上，EF ∥BC ．（1）求证：四边形BDEF 是平行四边形；（2）线段BF 、AB 、AC 的数量之间具有怎样的关系？证明你所得到的结论．（二）（2008学年静安区八下末）在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=90°，∠C=45°，AB=8，BC=14，点E 、F 分别在边AB 、CD 上，EF ∥AD ，点P 与AD 在直线EF 的两侧，∠EPF=90°，PE=PF ，射线EP 、FP 与边BC 分别相交于点M 、N ，设AE=x ，MN=y ．（1）求边AD 的长；（2）如图，当点P 在梯形ABCD 部时，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（3）如果MN 的长为2，求梯形AEFD 的面积．（三）（2008学年徐汇区八下末）如图，平行四边形ABCD 中，点E 、F 、G 、H 分别在AB 、BC 、CD 、AD 边上且AE =CG ，AH =CF ．求证：四边形EFGH 是平行四边形；（四）（2008学年徐汇区八下末）如图，在△ABC 中，AB =BC ，BD 是中线，过点D 作DE ∥BC ，过点A 作AE ∥BD ，AE 与DE 交于点E ．求证：四边形ADBE 是矩形．F H D AEADBC2 / 34（五）（2008学年徐汇区八下末）如图，平行四边形ABCD 中，AB ⊥AC ，AB=1，BC =5．对角线AC 、BD 相交于点O ，将直线AC 绕点O 顺时针旋转，分别交BC 、AD 于点E 、F ．在旋转过程中，四边形BEDF 可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时AC 绕点O 顺时针旋转的最小度数．（六）（2008学年徐汇区八下末）如图，在平面直角坐标中，四边形OABC 是等腰梯形，CB ∥OA ，OC=AB=4，BC=6，∠COA=45°,动点P 从点O 出发，在梯形OABC 的边上运动，路径为O →A →B →C ，到达点C 时停止．作直线CP. （1）求梯形OABC 的面积；（2）当直线CP 把梯形OABC 的面积分成相等的两部分时，求直线CP 的解析式；（3）当∆OCP 是等腰三角形时，请写出点P 的坐标（不要求过程，只需写出结果）（七）（2008学年金山区八下末）如图，四边形A BC D ，AB∥DC，55B ∠=°，185∠=°， 240∠=° （1）求∠D 的度数；OF ED CBAOABCPxy3 / 34（2）求证：四边形A BC D 是平行四边形．（八）（2008学年金山区八下末）如图，已知四边形ABCD 是等腰梯形，AB=DC ，AD∥BC，AD=2，点P 为梯形部一点，若PB=PC ，且PA⊥PD．（1）求证：PA=PD ；（2）求PA 的长.（九）（2008学年金山区八下末）如图，已知在矩形ABCD 中，AB=3，点E 在BC 上且∠BAE =30°，延长BC 到点F 使CF ＝BE ，连结DF ．（1）判断四边形AEFD 的形状，并说明理由；（2）求DF 的长度；（3）若四边形AEFD 是菱形，求菱形AEFD 的面积．（十）（2008学年奉贤区八下末）如图，△ABC 中，点D 、E 分别是边BC 、AC 的中点，过点A 作AF//BC 交线段DE 的延长线相交于F 点，取AF 的中点G ，如果BC = 2 AB ．求证：（1）四边形ABDF 是菱形；（4分）（2）AC = 2DG ．（4分）A CBFDE G4 / 34（十一）（2008学年奉贤区八下末）边长为4的正方形ABCD 中，点O 是对角线AC 的中点， P 是对角线AC 上一动点，过点P 作PF ⊥CD 于点F ，作PE ⊥PB 交直线CD 于点E ，设PA=x ，S ⊿PCE =y ， ⑴ 求证：DF ＝EF ；（5分）⑵ 当点P 在线段AO 上时，求y 关于x 的函数关系式与自变量x 的取值围；（3分） ⑶ 在点P 的运动过程中，⊿PEC 能否为等腰三角形？如果能够，请直接写出PA 的长；如果不能，请简单说明理由。

中考数学复习《四边形》经典题型及测试题(含答案)

中考数学复习《四边形》经典题型及测试题（含答案）命题点分类集训命题点1 平行四边形的判定与计算【命题规律】1.考查内容：①平行四边形的性质及其相关计算；②平行四边形的判定.2.考查形式：①根据平行四边形的性质考查结论判断；②利用平行四边形的性质求角度、线段或面积；③添加条件使四边形为平行四边形.3.考查题型：性质在选择和填空题中考查居多，判定题近年来多在解答题中考查，有时会在二次函数压轴题中探究平行四边形的存在问题．【命题预测】平行四边形是四边形中主要的图形之一，性质与判定常常考查，是近年命题的重点． 1. 已知四边形ABCD 是平行四边形，对角线AC 、BD 交于点O ，E 是BC 的中点，以下说法错误的是( )A . OE ＝12DC B . OA ＝OC C . ∠BOE ＝∠OBA D . ∠OBE ＝∠OCE1. D第1题图第2题图2. 如图，在▱ABCD 中，BM 是∠ABC 的平分线交CD 于点M ，且MC ＝2，▱ABCD 的周长是14，则DM 等于( )A . 1B . 2C . 3D . 42. C 【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠ABM ＝∠CMB ，∵BM 平分∠ABC ，∴∠ABM ＝∠CBM ，∴∠CBM ＝∠CMB ，∴CB ＝MC ＝2，∴AD ＝BC ＝2，∵▱ABCD 的周长是14，∴AB ＝CD ＝5，∴DM ＝DC －MC ＝3.3. 如图所示，四边形ABCD 的对角线相交于点O ，若AB ∥CD ，请添加一个条件________(写一个即可)，使四边形ABCD 是平行四边形． 3. AD ∥BC (答案不唯一)第3题图第4题图第5题图 4. 如图，▱ABCD 中，AC ＝8，BD ＝6，AD ＝a ，则a 的取值范围是________．4. 1＜a ＜7 【解析】如解图，对角线AC ，BD 相交于点O ，则OA ＝12AC ＝4，OD ＝12BD ＝3，在△OAD中，OA －OD ＜AD ＜OA ＋OD ，即1＜a ＜7.5. 如图所示，在▱ABCD 中，∠C ＝40°，过点D 作AD 的垂线，交AB 于点E ，交CB 的延长线于点F ，则∠BEF 的度数为__________． 5. 50°6. 如图，将▱ABCD 的AD 边延长至点E ，使DE ＝12AD ，连接CE ，F 是BC 边的中点，连接FD.(1)求证：四边形CEDF 是平行四边形； (2)若AB ＝3，AD ＝4，∠A ＝60°，求CE 的长．6. (1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AD ＝BC ， ∴DE ∥FC.∵F 是BC 的中点， ∴FC ＝12BC ＝12AD ，∵DE ＝12AD ，∴FC ＝DE ，∴四边形CEDF 是平行四边形． (2)解：如解图，过点D 作DH ⊥BC 于点H. 由(1)知四边形DECF 是平行四边形，∴DF ＝CE.∵四边形ABCD 是平行四边形，∠A ＝60°，AB ＝3，AD ＝4， ∴BC ＝4，CD ＝3，∠BCD ＝60°，在Rt △DHC 中，HC ＝DC·cos ∠HCD ＝32，DH ＝DC ·sin ∠HCD ＝332，∵F 是BC 的中点， ∴FC ＝2，∴FH ＝FC －HC ＝2－32＝12，在Rt △DFH 中，由勾股定理得DF ＝DH 2＋FH 2＝（332）2＋（12）2＝7，∴CE ＝7.命题点2 矩形的判定与计算【命题规律】考查形式：①利用矩形性质，结合勾股定理求线段长或面积；②矩形的判定，一般在解答题中考查，也常在二次函数综合题中考查矩形的存在性问题；③矩形折叠的相关计算与证明(见命题点6：图形折叠的相关计算)．【命题预测】矩形性质将勾股定理、全等、相似等重要知识综合考查，是全国命题趋势之一． 7. 如图，在矩形ABCD 中(AD ＞AB)，点E 是BC 上一点，且DE ＝DA ，AF ⊥DE ，垂足为点F.在下列结论中，不一定正确的是( )A . △AFD ≌△DCEB . AF ＝12AD C . AB ＝AF D . BE ＝AD －DF7. B 【解析】逐项分析如下表：选项逐项分析正误A∵四边形ABCD 是矩形，AF ⊥DE ，∴∠C ＝90°＝∠AFD ，AD ∥BC ，∴∠ADF ＝∠CED ，∵AD ＝DE ，∴△AFD ≌△DCE (AAS)√B只有当∠ADF ＝30°时，才有AF ＝12AD 成立×C由△AFD ≌△DCE 可知，AF ＝DC ，∵矩形ABCD 中，AB ＝DC ，∴AB ＝AF√D∵△AFD ≌△DCE ，∴DF ＝CE ，∴BE ＝BC －CE ＝AD －DF √8. 已知矩形的对角线AC 与BD 相交于点O ，若AO ＝1，那么BD ＝________． 8. 2第7题图第8题图第9题图 9. 如图，矩形ABCD 的面积是15，边AB 的长比AD 的长大2，则AD 的长是________．9. 3 【解析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用问题. 设AD ＝x ，由题知，AB ＝x ＋2，又∵矩形ABCD 的面积为15，则x(x ＋2)＝15，得到x 2＋2x －15＝0，解得，x 1＝－5(舍) , x 2＝3，∴AD ＝3. 10. 如图所示，△ABC 中，D 是BC 边上一点，E 是AD 的中点，过点A 作BC 的平行线AF 交CE 的延长线于F ，且AF ＝BD ，连接BF. (1)求证：D 是BC 的中点；(2)若AB ＝AC ，试判断四边形AFBD 的形状，并证明你的结论．10. (1)证明：∵点E 是AD 的中点， ∴AE ＝DE. ∵AF ∥BC ，∴∠AFE ＝∠DCE ，∠FAE ＝∠CDE ， ∴△EAF ≌△EDC(AAS )， ∴AF ＝DC. ∵AF ＝BD ， ∴BD ＝DC ，即D 是BC 的中点．(2)解：四边形AFBD 是矩形．证明如下： ∵AF ∥BD ，AF ＝BD ，∴四边形AFBD 是平行四边形．∵AB ＝AC ，又由(1)可知D 是BC 的中点， ∴AD ⊥BC ，∴四边形AFBD 是矩形．11. 如图，点P 在矩形ABCD 的对角线AC 上，且不与点A ，C 重合，过点P 分别作边AB ，AD 的平行线，交两组对边于点E ，F 和点G ，H. (1)求证：△PHC≌△CFP；(2)证明四边形PEDH 和四边形PFBG 都是矩形，并直接写出它们面积之间的关系．11. (1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴DC ∥AB ，AD ∥BC ，∠DCB ＝90°.∵EF ∥AB ，GH ∥AD ，∴EF ∥CD ，GH ∥BC ， ∴四边形PFCH 是矩形， ∴∠PHC ＝∠PFC ＝90°，PH ＝CF ，HC ＝PF ， ∴△PHC ≌△CFP(SAS )．(2)证明：由(1)知AB ∥EF ∥CD ， AD ∥GH ∥BC ，∴四边形PEDH 和四边形PGBF 都是平行四边形， ∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠D ＝∠B ＝90°，∴四边形PEDH 和四边形PGBF 都是矩形， ∴S 矩形PEDH ＝S 矩形PGBF .命题点3 菱形的判定与计算【命题规律】1.考查内容和形式：①根据菱形性质判断结论正误；②菱形的判定；③根据菱形的性质求角度、周长和面积；④与二次函数压轴题结合考查菱形的存在性问题.2.三大题型均会出现．【命题预测】菱形是特殊平行四边形中的重要内容，是中考常考知识，对菱形的性质与判定应做到牢固掌握．12. 如图，在▱ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O.若增加一个条件，使▱ABCD 成为菱形，下列给出的条件不正确．．．的是( ) A . AB ＝AD B . AC ⊥BD C . AC ＝BD D . ∠BAC ＝∠DAC12. C 【解析】邻边相等的平行四边形是菱形，所以A 正确；对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以B 正确；对角线相等的平行四边形是矩形，所以C 错误；由∠BAC ＝∠DAC 可得对角线是角平分线，所以D 正确．第12题图第13题图13. 已知菱形OABC 在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A(5，0)，OB ＝45，点P 是对角线OB 上的一个动点，D(0，1)，当CP ＋DP 最短时，点P 的坐标为( )A . (0，0)B . (1，12) C . (65，35) D . (107，57)13. D 【解析】如解图，连接CA 、AD ，CA 与OB 相交于点E ，过点E 作EF ⊥OA ，交OA 于点F .由题知点C 关于OB 的对称点是点A ，AD 与BO 的交点即为点P .根据菱形的性质，菱形的对角线互相垂直且平分两组对角，可知△COE ∽△EOF ，∴CO EO ＝EO OF ，∵OC ＝OA ＝5，OE ＝OB 2＝25，∴OF ＝OE 2CO ＝（25）25＝4，根据勾股定理可得EF ＝OE 2－OF 2＝（25）2－42＝2，点E 的坐标为(4，2)，易得直线OE 的函数解析式为y ＝12x ，直线AD 的函数解析式是y ＝－15x ＋1，联立得：⎩⎨⎧y ＝12x y ＝－15x ＋1，解得⎩⎨⎧x ＝107y ＝57，∴点P 的坐标为(107，57)．14. 如图，在菱形ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BD 的中点，若EF ＝2，则菱形ABCD 的周长为________． 14. 16 【解析】∵E ，F 分别是AD ，BD 的中点，∴AB ＝2EF ＝4，∴菱形ABCD 周长是4AB ＝16.第14题图第15题图15. 如图，在菱形ABCD 中，AB ＝5，AC ＝8，则菱形的面积是________．15. 24 【解析】如解图，连接BD 交AC 于点O ，∵四边形ABCD 是菱形，AB ＝5，AC ＝8，且菱形的对角线互相垂直平分，∴OA ＝4，在Rt △AOB 中，由勾股定理得OB ＝3，∴BD ＝6，∴S 菱形ABCD ＝12AC ·BD＝12×8×6＝24. 16. 在菱形ABCD 中，∠A ＝30°，在同一平面内，以对角线BD 为底边作顶角为120°的等腰三角形BDE ，则∠EBC 的度数为________．16. 105°或45° 【解析】如解图，∵四边形ABCD 是菱形，∠A ＝30°，∴∠ABC ＝150°，∠ABD ＝∠DBC ＝75°，且顶角为120°的等腰三角形的底角是30°.分为以下两种情况：(1)当点E 在△ABD 内时，∠E 1BC ＝∠E 1BD ＋∠DBC ＝30°＋75°＝105°；(2)当点E 在△DBC 内时，∠E 2BC ＝∠DBC －∠E 2BD ＝75°－30°＝45°.综上所述，∠EBC 的度数为105°或45°.17. 如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，点E 是AC 的中点，AC ＝2AB ，∠BAC 的平分线AD 交BC 于点D ，作AF∥BC，连接DE 并延长交AF 于点F ，连接FC. 求证：四边形ADCF 是菱形．17. 证明：∵∠B ＝90°，AC ＝2AB ， ∴sin ∠ACB ＝12，∴∠ACB ＝30°， ∴∠CAB ＝60°， ∵AD 平分∠CAB ，∴∠CAD ＝12∠CAB ＝30°，∠CAD ＝∠ACD ，∴AD ＝CD ， ∵AF ∥CD ，∴∠DCE ＝∠FAE ，∠AFE ＝∠CDE ，又∵AE ＝CE ，∴△AFE ≌△CDE(AAS )， ∴AF ＝CD ，又AF ∥CD ，∴四边形ADCF 是平行四边形，又AD ＝CD ，∴四边形ADCF 是菱形．命题点4 正方形的判定与计算【命题规律】正方形的考查相对比较综合，难度较大，常在选择或填空的压轴题位置出现，考查知识点综合性强，涉及到正方形面积、边长和周长的计算．【命题预测】正方形综合了所有特殊四边形的性质，因此以正方形为背景出题更具有对知识的检验性，倍受命题人青睐，考生应加以关注．18. 如图，正方形ABCD 的面积为1，则以相邻两边中点连线EF 为边的正方形EFGH 的周长为( )A . 2B . 2 2C . 2＋1D . 22＋118. B 【解析】∵正方形ABCD 的面积为1，∴BC ＝CD ＝1，∵E 、F 是边的中点，∴CE ＝CF ＝12，∴EF＝（12）2＋（12）2＝22，则正方形EFGH 的周长为4×22＝2 2. 19. ▱ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，且AC⊥BD，请添加一个条件：________，使得▱ABCD 为正方形． 19. ∠BAD ＝90°(答案不唯一)20. 如图，在正方形ABCD 中，点E ，N ，P ，G 分别在边AB ，BC ，CD ，DA 上，点M ，F ，Q 都在对角线BD 上，且四边形MNPQ 和AEFG 均为正方形，则S 正方形MNPQS 正方形AEFG的值等于________．20. 89【解析】设BD ＝3a ，∠CDB ＝∠CBD ＝45°，且四边形PQMN 为正方形，∴DQ ＝PQ ＝QM ＝NM＝MB ，∴正方形MNPQ 的边长为a ，正方形AEFG 的对角线AF ＝12BD ＝32a ，∵正方形对角线互相垂直，∴S 正方形AEFG ＝12×32a ×32a ＝98a 2，∴S 正方形MNPQ S 正方形AEFG ＝a 298a 2＝89.第20题图第21题图21. 如图，正方形ABCD 的边长为22，对角线AC ，BD 相交于点O ，E 是OC 的中点，连接BE ，过点A 作AM⊥BE 于点M ，交BD 于点F ，则FM 的长为________． 21.55【解析】∵四边形ABCD 为正方形，∴AO ＝BO ，∠AOF ＝∠BOE ＝90°，∵AM ⊥BE ，∠AFO ＝∠BFM ，∴∠FAO ＝∠EBO ，在△AFO 和△BEO 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AOF ＝∠BOE AO ＝BO ∠FAO ＝∠EBO ，∴△AFO ≌△BEO(ASA )，∴FO ＝EO ，∵正方形ABCD 的边长为22，E 是OC 的中点，∴FO ＝EO ＝1＝BF ，BO ＝2，∴在Rt △BOE 中，BE ＝12＋22＝5，由∠FBM ＝∠EBO ，∠FMB ＝∠EOB ，可得△BFM ∽△BEO ，∴FM EO ＝BF BE ，即FM1＝15，∴FM ＝55.22. 如图，已知四边形ABCD 和四边形DEFG 为正方形，点E 在线段DC 上，点A ，D ，G 在同一条直线上，且AD ＝3，DE ＝1，连接AC ，CG ，AE ，并延长AE 交CG 于点H. (1)求sin ∠EAC 的值； (2)求线段AH 的长．22.解：(1)由题意知EC ＝2，AE ＝10，如解图，过点E 作EM ⊥AC 于点M ， ∴∠EMC ＝90°，易知∠ACD ＝45°， ∴△EMC 是等腰直角三角形， ∴EM ＝2，∴sin ∠EAC ＝EM AE ＝55.(2)在△GDC 与△EDA 中，⎩⎪⎨⎪⎧DG ＝DE ∠GDC ＝∠EDA DC ＝DA， ∴△GDC ≌△EDA(SAS )，∴∠GCD ＝∠EAD ，又∵∠HEC ＝∠DEA ，∴∠EHC ＝∠EDA ＝90°， ∴AH ⊥GC ，∵S △AGC ＝12×AG ×DC ＝12×GC ×AH ，∴12×4×3＝12×10×AH ， ∴AH ＝6510.命题点5 多边形及其性质【命题规律】1.考查内容：①多边形的内外角和公式；②正多边形的有关计算.2.考查形式：①已知正多边形一个内角或外角的度数或内角之间的关系求边数；②已知正多边形的边数求内角度数；③求多边形的内外角和．【命题预测】多边形是三角形和四边形的延伸拓展，也是中考命题不容忽视的知识点． 23. 六边形的内角和是( )A . 540°B . 720°C . 900°D . 1080°23. B24. 一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1080°，那么原多边形的边数为( )A . 7B . 7或8C . 8或9D . 7或8或924. D 【解析】分类讨论：(1)切去一个角，减少一条边，设减少一条边后的边数是n ，则180°(n －2)＝1080°，得出n ＝8，所以原多边形的边数是9；(2)切去一个角，增加一条边，设增加一条边后的边数是n ，则180°(n －2)＝1080°，得出n ＝8，所以原多边形的边数是7；(3)切去一个角，边数无改变，设边数没有改变时的边数是n ，则180°(n －2)＝1080°，得出n ＝8，所以原多边形的边数是8，综上所述，原多边形的边数是9，7，8都符合题意，答案选择D.25. 若一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个多边形的边数是________．25. 6 【解析】设这个多边形的边数为n ，则内角和为(n －2)·180°，外角和为360°，则根据题意有：(n －2)·180°＝2×360°，解得n ＝6. 26. 一个正多边形的一个外角为45°，则这个正多边形的边数是________．26. 8 【解析】由正多边形的每一个外角都是45°，其外角和为360°，可得这个正多边形的边数是360°45°＝8.方法指导设正多边形的边数为n ，正多边形的外角和为360°，内角和为(n －2)×180°，每个内角的度数为180°×（n －2）n.命题点6 图形折叠的相关证明与计算【命题规律】考查内容和形式：图形折叠计算以矩形折叠考查居多，常考查：①图形的折叠计算角度；②图形的折叠计算线段长或边长；③图形折叠的证明和计算结合；④图形折叠的操作探究．【命题预测】图形折叠将原有图形变得可操作化，且又很好地引入了对称知识，使问题升华，有效地考查学生的知识迁移能力和掌握程度，是全国命题的主流趋势之一，值得每位考生关注．27. 如图，把一张矩形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠，点B 的对应点为B′，AB ′与DC 相交于点E ，则下列结论一定正确的是( )A ．∠DAB ′＝∠CAB′ B ．∠ACD ＝∠B′CDC ．AD ＝AE D ．AE ＝CE27. D28. 如图，把正方形纸片ABCD 沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN ，再过点B 折叠纸片，使点A 落在MN 上的点F 处，折痕为BE.若AB 的长为2，则FM 的长为( )A . 2B . 3C . 2D . 128. B第28题图第29题图29. 如图，把一张矩形纸片ABCD 沿EF 折叠后，点A 落在CD 边上的点A′处，点B 落在点B′处．若∠2＝40°，则图中∠1的度数为( )A . 115°B . 120°C . 130°D . 140°29. A 【解析】由折叠的性质知∠EA ′B ′＝∠A ＝90°，∵∠2＝40°，∴∠B ′A ′C ＝50°，∴∠EA ′D ＝40°，∠DEA ′＝50°，∴∠AEA ′＝130°，∴∠AEF ＝∠FEA ′＝12∠AEA ′＝65°，∵AD ∥BC ，∴∠1＝180°－65°＝115°.30. 如图，将▱ABCD 沿对角线AC 折叠，使点B 落在点B′处．若∠1＝∠2＝44°，则∠B 为( )A . 66°B . 104°C . 114°D . 124°30. C 【解析】设∠ACD ＝x ，∠B ＝y ，则根据题意可列方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋44°＝180°180°－y －（44°－x ）＝44°，解得y ＝114°.第30题图第31题图第32题图31. 如图，将△ABC 沿直线DE 折叠，使点C 与点A 重合，已知AB ＝7，BC ＝6，则△BCD 的周长为________． 31. 13 【解析】由折叠的性质可得：CD ＝AD ，∴△BCD 的周长＝BC ＋CD ＋BD ＝BC ＋AD ＋BD ＝BC ＋BA ＝6＋7＝13.32. 如图，在▱ABCD 中，E 为边CD 上一点，将△ADE 沿AE 折叠至△AD′E 处，A D′与CE 交于点F ，若∠B ＝52°，∠DAE ＝20°，则∠FED′的大小为________．32. 36° 【解析】∵在▱ABCD 中，∠D ＝∠B ＝52°，∴∠AEF ＝∠DAE ＋∠D ＝20°＋52°＝72°，∴∠AED＝180°－∠AEF ＝108°，由折叠的性质得，∠AED ′＝∠AED ＝108°，∴∠FED ′＝∠AED′－∠AEF ＝108°－72°＝36°.33.如图，将矩形纸片ABCD(AD ＞AB)折叠，使点C 刚好落在线段AD 上，且折痕分别与边BC ，AD 相交．设折叠后点C，D的对应点分别为点G，H，折痕分别与边BC，AD相交于点E，F.(1)判断四边形CEGF的形状，并证明你的结论；(2)若AB＝3，BC＝9，求线段CE的取值范围．33. 解：(1)四边形CEGF是菱形，理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠GFE＝∠FEC，∵图形翻折后点G与点C重合，EF为折痕，∴∠GEF＝∠FEC，∴∠GFE＝∠GEF，∴GF＝GE，∵图形翻折后EC与GE完全重合，FC与FG重合，∴GE＝EC＝GF＝FC，∴四边形CEGF为菱形．(2)如解图①，当点F与点D重合时，四边形CEGF是正方形，此时CE最小，且CE＝CD＝3；如解图②，当点G与点A重合时，CE最大．设EC＝x，则BE＝9－x，由折叠性质知，AE＝CE＝x，在Rt△ABE中，AB2＋BE2＝AE2，即9＋(9－x)2＝x2，解得x＝5，∴CE＝5，所以，线段CE的取值范围为3≤CE≤5.34.如图，▱ABCD中，AB＝2，AD＝1，∠ADC＝60°，将▱ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，折痕交CD边于点E.(1)求证：四边形BCED′是菱形；(2)若点P是直线l上的一个动点，请计算PD′＋PB的最小值．34. (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D＝60°，由折叠性质可知，∠D＝∠AD′E＝60°，∴∠AD′E＝∠B＝60°，∴ED′∥BC，又∵EC∥D′B，∴四边形BCED′是平行四边形，∴ED′＝BC＝AD＝1，∴DE＝ED′＝1，又DC＝AB＝2，∴EC ＝1， ∴EC ＝ED′，∴四边形BCED′是菱形． (2)解：如解图所示，由折叠性质PD′＝PD ，BD 之长即为所求，作DG ⊥BA 的延长线于点G ， ∵∠DAB ＝120°， ∴∠DAG ＝60°， ∵∠G ＝90°， ∴∠ADG ＝30°，在Rt △ADG 中，AD ＝1， ∴AG ＝12，DG ＝32，∵AB ＝2， ∴BG ＝52，在Rt △BDG 中，由勾股定理得：BD 2＝BG 2＋DG 2＝7， ∴BD ＝7，即PD′＋PB 的最小值为7.方法指导“将军饮马”模型：直线同侧两定点，在直线上确定一点使该点到两定点的距离和最小．作法：作其中一点关于直线的对称点，连接另一点和对称点的线段即是最短距离和；最短距离计算方法：构造以最短距离线段为斜边的直角三角形，利用勾股定理求解．中考冲刺集训一、选择题1.关于▱ABCD 的叙述，正确的是( )A . 若A B⊥BC，则▱ABCD 是菱形B . 若AC⊥BD，则▱ABCD 是正方形C . 若AC ＝BD ，则▱ABCD 是矩形 D . 若AB ＝AD ，则▱ABCD 是正方形2.设四边形的内角和等于a ，五边形的外角和等于b ，则a 与b 的关系是( )A . a ＞bB . a ＝bC . a ＜bD . b ＝a ＋180°3.如图，正五边形ABCDE 放入某平面直角坐标系后，若顶点A ，B ，C ，D 的坐标分别是(0，a)，(－3，2)，(b ，m)，(c ，m)．则点E 的坐标是( )A . (2，－3)B . (2，3)C . (3，2)D . (3，－2)第3题图第4题图4.如图，▱ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，且AC ＋BD ＝16，CD ＝6，则△ABO 的周长是( )A . 10B . 14C . 20D . 225.菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E ，F 分别是AD ，CD 边上的中点，连接EF.若EF ＝2，BD ＝2，则菱形ABCD 的面积为( )A . 2 2B . 4 2C . 6 2D . 8 2第5题图第6题图第7题图6.如图，平行四边形ABCD 的周长是26 cm ，对角线AC 与BD 交于点O ，AC ⊥AB ，E 是BC 中点，△AOD 的周长比△AOB 的周长多3 cm ，则AE 的长度为( )A . 3 cmB . 4 cmC . 5 cmD . 8 cm7.如图，正方形ABCD 的边长为9，将正方形折叠，使顶点D 落在BC 边上的点E 处，折痕为GH ，若BE∶EC ＝2∶1，则线段CH 的长是( )A . 3B . 4C . 5D . 68.如图，在正方形ABCD 中，AC 为对角线，E 为AB 上一点，过点E 作EF∥AD，与AC 、DC 分别交于点G 、F2H 为CG 的中点，连接DE 、EH 、DH 、FH.下列结论：①EG ＝DF ；②∠AEH＋∠ADH＝180°；③△EHF≌△DHC；④若AE AB ＝23，则3S △EDH ＝13S △DHC ，其中结论正确的有( )A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个二、填空题9.如图，在▱ABCD 中，BE ⊥AB 交对角线AC 于点E ，若∠1＝20°，则∠2的度数为________．10.如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，且AC ＝8，BD ＝6，则菱形ABCD 的高DH ＝________．第9题图第10题图第11题图11.如图，延长矩形ABCD 的边BC 至点E ，使CE ＝BD ，连接AE.如果∠ADB＝30°，则∠E＝________度. 12.如图，正方形ABCO 的顶点C ，A 分别在x 轴，y 轴上，BC 是菱形BDCE 的对角线，若∠D＝60°，BC ＝2，则点D 的坐标是________．第12题图第13题图第14题图 13.如图，正十二边形A 1A 2…A 12，连接A 3A 7，A 7A 10，则∠A 3A 7A 10＝________°.14.如图，菱形ABCD 的面积为120 cm 2，正方形AECF 的面积为50 cm 2，则菱形的边长为________cm . 15.如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝6，BC ＝10.点E 在CD 上，将△BCE 沿BE 折叠，点C 恰落在边AD 上的点F 处；点G 在AF 上，将△ABG 沿BG 折叠，点A 恰落在线段BF 上的点H 处．有下列结论： ①∠EBG ＝45°；②△DEF∽△ABG；③S △ABG ＝32S △FGH ；④AG ＋DF ＝FG.其中正确的是______________．(把所有正确结论的序号都选上)第15题图第16题图16.如图，正方形ABCD 的面积为3 cm 2，E 为BC 边上一点，∠BAE ＝30°，F 为AE 的中点，过点F 作直线分别与AB ，DC 相交于点M ，N.若MN ＝AE ，则AM 的长等于________cm . 三、解答题17.如图，在▱ABCD 中，连接BD ，在BD 的延长线上取一点E ，在DB 的延长线上取一点F ，使BF ＝DE ，连接AF 、CE. 求证：AF∥CE.18.如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，∠ABC∶∠BAD＝1∶2，BE∥AC，CE∥BD.(1)求tan∠DBC的值；(2)求证：四边形OBEC是矩形．19.如图，▱ABCD中，BD是它的一条对角线，过A、C两点作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，延长AE、CF分别交CD、AB于点M、N.(1)求证：四边形CMAN是平行四边形；(2)已知DE＝4，FN＝3，求BN的长．20.如图，△ABC≌△ABD，点E在边AB上，CE∥BD，连接DE.求证：(1)∠CEB＝∠CBE；(2)四边形BCED是菱形．21.已知：如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P.(1)求证：AP＝BQ;(2)在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ长．22.已知正方形ABCD中，BC＝3，点E、F分别是CB、CD延长线上的点，DF＝BE，连接AE、AF，过点A作AH⊥ED于H点．(1)求证：△ADF≌△ABE；(2)若BE＝1，求tan∠AED的值．23.如图，已知△ABC 中，AB ＝AC ，把△ABC 绕A 点沿顺时针方向旋转得到△ADE，连接BD 、CE 交于点F. (1)求证：△AEC≌△ADB；(2)若AB ＝2，∠BAC ＝45°，当四边形ADFC 是菱形时，求BF 的长．24.如图，将矩形ABCD 沿AF 折叠，使点D 落在BC 边的点E 处，过点E 作EG∥CD 交AF 于点G ，连接DG. (1)求证：四边形EFDG 是菱形；(2)探究线段EG 、GF 、AF 之间的数量关系，并说明理由； (3)若AG ＝6，EG ＝25，求BE 的长．答案与解析：1. C2. B3. C4. B5. A 【解析】∵E ，F 分别是 AD ，CD 边上的中点，即EF 是△ACD 的中位线，∴AC ＝2EF ＝22，则菱形ABCD 的面积＝12AC ·BD ＝12×22×2＝2 2.6. B 【解析】在▱ABCD 中，AD ＝BC ，AB ＝CD ，BO ＝DO ，∵平行四边形ABCD 的周长为26 cm ，∴AB ＋BC ＝13 cm ，又∵△AOD 的周长比△AOB 的周长多3 cm ，∴AD －AB ＝BC －AB ＝3 cm ，解得AB ＝5 cm ，BC ＝8 cm ，又AB ⊥AC ，E 是BC 的中点，∴AE ＝BE ＝CE ＝12BC ＝4 cm.7. B 【解析】设CH ＝x ，∵BE ∶EC ＝2∶1，BC ＝9，∴EC ＝3，由折叠可知，EH ＝DH ＝9－x ，在Rt △ECH 中，由勾股定理得：(9－x )2＝32＋x 2，解得：x ＝4.8. D 【解析】逐项分析如下表：序号逐项分析正误难点突破对于多选项判断正误性的题目，几乎每个选项之间都是紧密联系的，单独判断其中每个的正误或跳跃式判断往往使题目变得复杂而无法求解，本题目难点在于④中，需将S △FDH 与已知条件AE AB ＝23联系起来，并用含相同未知数的代数式分别表示出S △EDH 和S △DHC ，继而求解．9. 110° 【解析】 ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴CD ∥AB ，∴∠CAB ＝∠1＝20°，∵BE ⊥AB 交对角线AC 于点E ，∴∠ABE ＝90°，∴∠2＝∠CAB ＋∠ABE ＝20°＋90°＝110°.10. 4.8 【解析】∵S ＝1AC·BD ＝2AB·DH ，∴AC ·BD ＝2AB·DH.∵四边形ABCD 是菱形，∴∠AOB ＝90°，AO ＝12AC ＝4，BO ＝12BD ＝3，∴在Rt △AOB 中，AB ＝42＋32＝5，∴DH ＝8×62×5＝4.8.第11题解图11. 15 【解析】如解图，连接AC.∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ，AC ＝BD ，又∵AB ＝BA ，∴△DAB ≌△CBA(SSS )，∴∠ACB ＝∠ADB ＝30°，∵CE ＝BD ，∴AC ＝CE ，∴∠E ＝∠CAE ＝12∠ACB＝15°.第12题解图12. (3＋2，1) 【解析】如解图，过点D 作DG ⊥BC 于G ，DF ⊥x 轴于F ，∵在菱形BDCE 中，BD ＝CD ，∠BDC ＝60°，∴△BCD 是等边三角形，∴DF ＝CG ＝12BC ＝1，CF ＝DG ＝3，∴OF ＝3＋2，∴D(3＋2，1)．13. 75 【解析】∵多边形A 1A 2…A 12是正十二边形，作它的外接圆⊙O ，∴劣弧A 10A 3的度数＝5×360°12＝150°，∴∠A 3A 7A 10＝12×150°＝75°.第14题解图14. 13 【解析】如解图，连接AC 、BD 交于O ，则有12AC·BD ＝120，∴AC ·BD ＝240，又∵菱形对角线互相垂直平分，∴2OA ·2OB ＝240，∴ OA ·OB ＝60，∵AE 2＝50, OA 2＋OE 2＝ AE 2，OA ＝OE ，∴OA ＝5，∴OB ＝12，∴AB ＝OA 2＋OB 2＝122＋52＝13.15. ①③④ 【解析】由折叠的性质得，∠CBE ＝∠FBE ，∠ABG ＝∠FBG ，∴∠EBG ＝∠FBE ＋∠FBG ＝12×90°＝45°，故①正确；由折叠的性质得，BF ＝BC ＝10，BA ＝BH ＝6，∴HF ＝BF －BH ＝4，AF ＝BF 2－BA 2＝102－62＝8，设GH ＝x ，则GF ＝8－x ，在Rt △GHF 中，x 2＋42＝(8－x)2，∴x ＝3，∴GF ＝5，∴AG ＝3，同理在Rt △FDE 中，由FD 2＝EF 2－ED 2，得ED ＝83，EF ＝103，∴ED FD ＝43≠ABAG ＝2，∴△DEF 与△ABG 不相似，故②不正确；S △ABG ＝12×3×6＝9，S △FGH ＝12×3×4＝6，∴S △ABG S ＝96＝32，故③正确；∵AG ＝3，DF ＝AD －AF ＝2，∴FG ＝5，∴AG ＋DF ＝FG ＝5，故④正确．综上，答案是①③④.第16题解图16.233或33【解析】如解图，过N 作NG ⊥AB ，交AB 于点G ，∵四边形ABCD 为正方形，∴AB ＝AD ＝NG ＝ 3 cm ，在Rt △ABE 中，∠BAE ＝30°，AB ＝ 3 cm ，∴BE ＝1 cm ，AE ＝2 cm ，∵F 为AE 的中点，∴AF ＝12AE ＝1 cm ，在Rt △ABE 和Rt △NGM 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝NG AE ＝NM ，∴Rt △ABE ≌Rt △NGM(HL )，∴BE ＝GM ，∠BAE ＝∠MNG ＝30°，∠AEB ＝∠NMG ＝60°，∴∠AFM ＝90°，即MN ⊥AE ，在Rt △AMF 中，∠FAM ＝30°，AF ＝1 cm ，∴AM ＝AF cos 30°＝132＝233 cm ，由对称性得到AM′＝BM ＝AB －AM ＝3－233＝33 cm ，综上，AM 的长等于233或33 cm . 17. 证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，第17题解图∴AD ∥BC ，AD ＝BC ， ∴∠1＝∠2，又∵BF ＝DE ，∴BF ＋BD ＝DE ＋BD ，即DF ＝BE.∴△ADF ≌△CBE(SAS )． ∴∠AFD ＝∠CEB ，∴AF ∥CE.18. (1)【思路分析】根据四边形ABCD 是菱形，∠ABC ∶∠BAD ＝1∶2，可求出∠DBC 的度数，其正切值可求出．解：∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ∥BC ，∠DBC ＝12∠ABC ，∴∠ABC ＋∠BAD ＝180°，又∵∠ABC ∶∠BAD ＝1∶2， ∴∠ABC ＝60°， ∴∠DBC ＝12∠ABC ＝30°，∴tan ∠DBC ＝tan 30°＝33. (2)【思路分析】由BE ∥AC ，CE ∥BD 可知四边形BOCE 是平行四边形，再结合菱形对角线垂直的性质即可证明四边形BOCE 是矩形．证明：∵四边形ABCD 是菱形， ∴AC ⊥BD ，即∠BOC ＝90°， ∵BE ∥AC ，CE ∥BD ， ∴BE ∥OC ，CE ∥OB ，∴四边形OBEC 是平行四边形，且∠BOC ＝90°，∴四边形OBEC 是矩形．19. (1)证明：∵AE ⊥BD ，CF ⊥BD ， ∴AM ∥CN ，又∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴MC ∥AN ，∴四边形CMAN 是平行四边形．(2)解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠ADE ＝∠CBF ，AD ＝CB ，又∵∠AED ＝∠CFB ＝90°， ∴△AED ≌△CFB(AAS )， ∴DE ＝BF ＝4，∴在Rt △BFN 中，BN ＝32＋42＝5.20. (1)【思路分析】要证∠CEB ＝∠CBE ，结合CE ∥DB ，可得到∠CEB ＝∠DBE ，从而只需证明∠CBE ＝∠DBE ，结合△ABC ≌△ABD 即可得证．证明：∵△ABC ≌△ABD ， ∴∠ABC ＝∠ABD ， ∵CE ∥BD ，∴∠CEB ＝∠DBE ，∴∠CEB ＝∠CBE.(2)证明：∵△ABC ≌△ABD ，∴BC ＝BD ，由(1)得∠CEB ＝∠CBE ， ∴CE ＝CB ， ∴CE ＝BD ， ∵CE ∥BD ，∴四边形BCED 是平行四边形， ∵BC ＝BD ，∴四边形BCED 是菱形．21. (1)证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB ＝AD, ∠BAQ ＋∠DAP ＝90°＝∠DAB ， ∵DP ⊥AQ ，∴∠DAP ＋∠ADP ＝90°， ∴∠BAQ ＝∠ADP.在△DAP 和△ABQ 中， ⎨⎪⎧∠APD ＝∠AQB ＝90°∠ADP ＝∠BAQ ，∴△DAP ≌△ABQ(AAS )，∴AP ＝BQ.(2)解：①AQ 和AP ；②DP 和AP ；③AQ 和BQ ；④DP 和BQ.【解法提示】①由题图直接得：AQ －AP ＝PQ ；②∵△ABQ ≌△DAP ，∴AQ ＝DP ，∴DP －AP ＝ AQ －AP ＝PQ ；③∵△ABQ ≌△DAP ，∴BQ ＝AP ，∴AQ －BQ ＝AQ －AP ＝PQ ；④∵△ABQ ≌△DAP ，∴DP ＝AQ ，BQ ＝AP ，∴DP －BQ ＝AQ －AP ＝PQ.22. (1)证明：在△ADF 和△ABE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ∠ABE ＝∠ADF ＝90°EB ＝FD， ∴△ADF ≌△ABE(SAS )．(2)解：∵AB ＝3，BE ＝1，∴AE ＝10，EC ＝4，∴ED ＝CD 2＋EC 2＝5，设AH ＝x ，EH ＝y ，在Rt △AHE 和Rt △AHD 中，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝10x 2＋（5－y ）2＝9，解得，x ＝1.8，y ＝2.6，∴tan ∠AED ＝AH EH ＝x y ＝1.82.6＝913. 23. (1)证明：∵△ADE 是由△ABC 绕点A 沿顺时针方向旋转而得，∴AD ＝AB ，AE ＝AC ，∠BAC ＝∠DAE ，∵AB ＝AC ，∴AD ＝AB ＝AE ＝AC ，∠EAC ＝∠DAB ，在△AEC 和△ADB 中∵⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝ AE ∠EAC ＝∠DAB AB ＝AC， ∴△AEC ≌△ADB(SAS )．(2)解：当四边形ADFC 是菱形时，AC ＝DF ，AC ∥DF ，∴∠BAC ＝∠ABD ，又∵∠BAC ＝45°，∴∠ABD ＝45°，又∵△ADE 是由△ABC 绕点A 沿顺时针方向旋转而得，∴AD ＝AB ，∴∠DAB ＝90°，又∵AB ＝2，由勾股定理可得：BD ＝AD 2＋AB 2＝2AB ＝22，在菱形ADFC 中，DF ＝AD ＝AB ＝2，∴BF ＝BD －DF ＝22－2.24. (1)【思路分析】根据折叠的性质，易得DF ＝EF ，DG ＝EG ，∠AFD ＝∠AFE ，再由EG ∥DC ，可得∠EGF ＝∠AFD ，从而得出EG ＝EF.根据四条边都相等的四边形是菱形得证；证明：由折叠的性质可得，EF ＝FD ，∠AEF ＝∠ADF ＝90°，第24题解图∠EFA ＝∠DFA ，EG ＝GD.∵EG ∥DC ，∴∠DFA ＝∠EGF ，∴∠EFA ＝∠EGF ，∴EF ＝EG ＝FD ＝GD ，∴四边形EFDG 是菱形．(2)【思路分析】由(1)可知EG ＝EF ，连接DE ，则DE 与GF 相互垂直平分，证得Rt △FHE ∽Rt △FEA ，列比例式，结合FH ＝12GF 得到EG 、GF 、AF 的关系；解：如解图，连接ED ，交AF 于点H ，∵四边形EFDG 是菱形，∴DE ⊥AF ，FH ＝GH ＝12GF ，EH ＝DH ＝12DE. ∵∠FEH ＝∠FAE ＝90°－∠EFA ，∴Rt △FEH ∽Rt △FAE ，∴EF FH ＝AF EF，即EF 2＝FH·AF ， ∴EG 2＝12GF·AF. (3)【思路分析】把AG ，EG 代入(2)中的关系式，求得GF ，AF 的值，根据勾股定理求得AD ，DE ，再证Rt △ADF ∽Rt △DCE ，可求出EC ，从而可求出BE 的值．解：∵AG ＝6，EG ＝25，EG 2＝12GF·AF ， ∴(25)2＝12(6＋GF)·GF ，∴GF ＝4， ∴AF ＝10.∵DF ＝EG ＝25，∴AD ＝BC ＝AF 2－DF 2＝45，DE ＝2EH ＝2EG 2－（12GF ）2＝8. ∵∠CDE ＋∠DFA ＝90°，∠DAF ＋∠DFA ＝90°，∴∠CDE ＝∠DAF ，∴Rt △ADF ∽Rt △DCE ，∴EC DF ＝DE AF ，即EC 25＝810， ∴EC ＝855， ∴BE ＝BC －EC ＝AD －EC ＝45－855＝1255.。

初中数学平行四边形提高题及常考题及培优题含解析

数学平行四边形提升题与常考题和培优题(含分析 )一．选择题（共12 小题）1．如图， DE 是△ ABC的中位线，过点 C 作 CF∥ BD 交 DE 的延伸线于点 F，则下列结论正确的选项是（）A．EF=CF B．EF=DE C．CF＜ BD D．EF＞ DE2．如图，在△ ABC中，∠ ABC=90°，AB=8，BC=6．若 DE 是△ ABC的中位线，延长 DE 交△ ABC的外角∠ ACM 的均分线于点 F，则线段 DF 的长为（）A．7B．8C．9D．103．如图，在△ ABC中， AB=4，BC=6，DE、DF 是△ ABC的中位线，则四边形B EDF 的周长是（）A．5B．7C．8D．104．如图，在△ ABC中，点 D，E 分别是边 AB，AC的中点， AF⊥BC，垂足为点 F，∠ ADE=30°， DF=4，则 BF 的长为（）A．4B．8C．2D．45．如图，将矩形纸片ABCD沿其对角线 AC 折叠，使点 B 落到点 B′的地点， AB′与 CD交于点 E，若 AB=8， AD=3，则图中暗影部分的周长为（）A．11 B．16 C．19D．226．如图，在 ?ABCD中， AB=6，BC=8，∠ C 的均分线交 AD 于 E，交 BA 的延伸线于 F，则 AE+AF的值等于（）A．2B．3C．4D．67．如图，平行四边形ABCD的周长是 26cm，对角线 AC 与 BD 交于点 O，AC⊥AB，E 是 BC中点，△AOD 的周长比△ AOB 的周长多 3cm，则 AE 的长度为（）A．3cm B．4cm C．5cm D．8cm8．如图，在 ?ABCD中， AB=12，AD=8，∠ ABC的均分线交 CD 于点 F，交 AD 的延伸线于点 E，CG⊥BE，垂足为 G，若 EF=2，则线段 CG的长为（）A．B．4C．2D．9．对于 ?ABCD的表达，正确的选项是（）A．若 AB⊥ BC，则 ?ABCD是菱形B．若 AC⊥BD，则 ?ABCD是正方形C．若 AC=BD，则 ?ABCD是矩形 D．若 AB=AD，则 ?ABCD是正方形10．如图，在 ?ABCD中， BF均分∠ ABC，交 AD 于点 F，CE均分∠ BCD，交 AD 于点 E，AB=6，EF=2，则 BC长为（）A．8B．10 C．12D．1411．如图，将 ?ABCD沿对角线 AC折叠，使点 B 落在 B′处，若∠ 1=∠ 2=44°，则∠B为（）A．66°B．104°C．114°D．124°12．已知菱形 OABC在平面直角坐标系的地点以下图，极点A（5，0），OB=4，点 P 是对角线 OB 上的一个动点，D（0，1），当 CP+DP 最短时，点 P 的坐标为（）A．（0，0） B．（1，）C．（，）D．（，）二．填空题（共12 小题）13．如图，在平行四边形ABCD中， AB=4，BC=5，∠ABC=60°，平行四边形 ABCD的对角线 AC、 BD交于点 O，过点 O 作 OE⊥ AD，则 OE=．14．如图，在△ ABC中，点 D、E、F 分别是边 AB、BC、CA 上的中点，且 AB=6cm，AC=8cm，则四边形 ADEF的周长等于cm．15．如图， ?ABCD中，∠ ABC=60°， E、 F 分别在 CD 和 BC的延伸线上， AE∥BD，EF⊥BC， EF=3，则 AB 的长是．16．有 3 个正方形以下图搁置，暗影部分的面积挨次记为S1，S2，则 S1：S2=．17．如图，在△ ABC中，∠ ACB=90°， M 、N 分别是 AB、 AC的中点，延伸BC至点 D，使 CD= BD，连结 DM、DN、MN．若 AB=6，则 DN=．18．如图，在 ?ABCD中， E 为边 CD 上一点，将△ ADE沿 AE 折叠至△ AD′E处，AD′与 CE交于点 F．若∠ B=52°，∠ DAE=20°，则∠ FED′的大小为．19．如图，在 Rt△ABC中，∠ B=90°，AB=4，BC＞AB，点 D 在 BC上，以 AC 为对角线的平行四边形ADCE中， DE的最小值是．20．如图，把平行四边形 ABCD折叠，使点 C 与点 A 重合，这时点 D 落在 D1，折痕为 EF，若∠ BAE=55°，则∠ D1AD= ．21．如图，△ APB中， AB=2，∠ APB=90°，在 AB 的同侧作正△ ABD、正△ APE和正△ BPC，则四边形 PCDE面积的最大值是．22．如图，已知菱形 ABCD的边长 2，∠ A=60°，点 E、 F 分别在边 AB、AD 上，若将△ AEF沿直线 EF折叠，使得点 A 恰巧落在 CD边的中点 G 处，则 EF= ．23．如图，在菱形 ABCD中，过点 B 作 BE⊥AD，BF⊥CD，垂足分别为点E， F，延伸 BD 至 G，使得 DG=BD，连结 EG， FG，若 AE=DE，则=．24．如图，在正方形ABCD中，对角线 AC 与 BD 订交于点 O，E 为 BC上一点，CE=5，F 为 DE 的中点．若△ CEF的周长为 18，则 OF的长为．三．解答题（共16 小题）25．如图，四边形 ABCD是平行四边形， AE 均分∠ BAD，交 DC的延伸线于点E．求证： DA=DE．26．如图，已知△ ABC，AD 均分∠ BAC交 BC于点 D，BC的中点为 M ，ME∥AD，交 BA 的延伸线于点 E，交 AC 于点F．（ 1）求证： AE=AF；（ 2）求证： BE= （AB+AC）．27．已知：如图，矩形ABCD的对角线 AC、 BD 订交于点 O，CE∥DB，交 AB 的延伸线于点 E．求证： AC=EC．28．如图，平行四边形ABCD中， BD⊥ AD，∠ A=45°，E、F 分别是 AB、CD上的点，且 BE=DF，连结 EF交 BD 于 O．（1）求证： BO=DO；（2）若 EF⊥ AB，延伸 EF交 AD 的延伸线于 G，当 FG=1时，求 AE的长．29．如图，在四边形ABCD中，∠ ABC=90°， AC=AD， M ，N 分别为 AC，CD的中点，连结 BM，MN，BN．（1）求证： BM=MN；（2）∠ BAD=60°，AC均分∠ BAD，AC=2，求 BN 的长．30．在平行四边形 ABCD中， E 是 AD 上一点， AE=AB，过点 E 作直线 EF，在EF 上取一点 G，使得∠ EGB=∠EAB，连结 AG．（1）如图①，当 EF与 AB 订交时，若∠ EAB=60°，求证： EG=AG+BG；（2）如图②，当 EF与 CD订交时，且∠ EAB=90°，请你写出线段 EG、AG、BG 之间的数目关系，并证明你的结论．31．如图，四边形 ABCD为平行四边形，∠ BAD的角均分线 AE 交 CD于点 F，交BC的延伸线于点 E．（1）求证： BE=CD；（2）连结 BF，若 BF⊥AE，∠ BEA=60°，AB=4，求平行四边形 ABCD的面积．32．如图， ?ABCD中， AB=2，AD=1，∠ ADC=60°，将 ?ABCD沿过点 A 的直线 l 折叠，使点 D 落到 AB 边上的点 D′处，折痕交 CD边于点 E．（1）求证：四边形 BCED′是菱形；（2）若点 P 是直线 l 上的一个动点，请计算 PD′+PB 的最小值．33．如图，在 ?ABCD中，连结 BD，在 BD 的延伸线上取一点E，在 DB的延伸线上取一点 F，使 BF=DE，连结 AF、 CE．求证： AF∥CE．34．如图，在 ?ABCD中， E 是 BC的中点，连结 AE并延伸交 DC的延伸线于点 F．（1）求证： AB=CF；（2）连结 DE，若 AD=2AB，求证： DE⊥AF．35．如图， ?ABCD的对角线 AC、BD 订交于点 O，EF过点 O 且与 AB、CD分别相交于点 E、 F，连结 EC．（1）求证： OE=OF；（2）若 EF⊥ AC，△ BEC的周长是 10，求 ?ABCD的周长．36．如图，在 ?ABCD中， E、 F 分别为边 AD、BC的中点，对角线 AC 分别交 BE，DF于点 G、H．求证： AG=CH．37．如图，分别以Rt△ ABC的直角边 AC 及斜边 AB 向外作等边△ ACD及等边△ABE，已知：∠ BAC=30°，EF⊥AB，垂足为 F，连结 DF．（1）试说明 AC=EF；（2）求证：四边形 ADFE是平行四边形．38．如图，BD 是△ ABC的角均分线，它的垂直均分线分别交A B，BD，BC于点 E，F，G，连结 ED，DG．（ 1）请判断四边形EBGD的形状，并说明原因；（ 2）若∠ ABC=30°，∠ C=45°，ED=2 ，点 H 是 BD 上的一个动点，求HG+HC 的最小值．39．如图 1，已知点 E，F，G，H 分别是四边形 ABCD各边 AB，BC， CD，DA 的中点，依据以下思路能够证明四边形 EFGH是平行四边形：（ 1）如图 2，将图 1 中的点 C 挪动至与点 E 重合的地点， F，G，H 还是 BC，CD，DA 的中点，求证：四边形CFGH是平行四边形；（2）如图 3，在边长为 1 的小正方形构成的 5× 5 网格中，点 A，C，B 都在格点上，在格点上画出点 D，使点 C 与 BC，CD，DA 的中点 F，G，H 构成正方形 CFGH；（3）在（ 2）条件下求出正方形 CFGH的边长．40．我们给出以下定义：按序连结随意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．（1）如图 1，四边形 ABCD中，点 E，F，G，H 分别为边 AB，BC，CD，DA 的中点．求证：中点四边形 EFGH是平行四边形；（2）如图 2，点 P 是四边形 ABCD内一点，且知足 PA=PB，PC=PD，∠ APB=∠CPD，点 E，F，G，H 分别为边 AB， BC，CD，DA 的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；（3）若改变（ 2）中的条件，使∠ APB=∠CPD=90°，其余条件不变，直接写出中点四边形 EFGH的形状．（不用证明）数学平行四边形提升题与常考题和培优题(含分析 )参照答案与试题分析一．选择题（共12 小题）1．（ 2016?厦门）如图， DE是△ ABC的中位线，过点 C 作 CF∥BD 交 DE的延伸线于点 F，则以下结论正确的选项是（）A．EF=CF B．EF=DE C．CF＜ BD D．EF＞ DE【剖析】第一依据三角形的中位线定理得出AE=EC，而后依据 CF∥BD 得出∠ ADE=∠ F，既而依据AAS 证得△ ADE≌△ CFE，最后依据全等三角形的性质即可推出EF=DE．【解答】解：∵ DE是△ ABC的中位线，∴E为 AC中点，∴AE=EC，∵CF∥BD，∴∠ ADE=∠F，在△ ADE和△ CFE中，∵，∴△ ADE≌△ CFE（AAS），∴DE=FE．应选 B．【评论】本题考察了三角形中位线定理和全等三角形的判断与性质，解答本题的重点是依据中位线定理和平行线的性质得出 AE=EC、∠ ADE=∠F，判断三角形的全等．2．（2016?陕西）如图，在△ ABC中，∠ ABC=90°，AB=8，BC=6．若 DE 是△ ABC 的中位线，延伸DE 交△ ABC的外角∠ ACM 的均分线于点F，则线段 DF 的长为（）A．7B．8C．9D．10【剖析】依据三角形中位线定理求出DE，获得 DF∥BM，再证明 EC=EF= AC，由此即可解决问题．【解答】解：在 RT△ABC中，∵∠ ABC=90°，AB=8，BC=6，∴ AC===10，∵DE是△ABC的中位线，∴ DF∥BM，DE= BC=3，∴∠ EFC=∠ FCM，∵∠ FCE=∠ FCM，∴∠ EFC=∠ ECF，∴EC=EF= AC=5，∴DF=DE+EF=3+5=8．应选 B．【评论】本题考察三角形中位线定理、等腰三角形的判断和性质、勾股定理等知识，解题的重点是灵巧应用三角形中位线定理，掌握等腰三角形的判断和性质，属于中考常考题型．3．（2016?贵宾）如图，在△ ABC中， AB=4，BC=6，DE、 DF是△ ABC的中位线，则四边形 BEDF的周长是（）A．5B．7C．8D．10【剖析】由中位线的性质可知DE=，DF=，DE∥BF，DF∥ BE，可知四边形 BEDF为平行四边形，从而可得周长．【解答】解：∵ AB=4， BC=6， DE、DF 是△ ABC的中位线，∴DE= =2，DF==3，DE∥BF， DF∥BE，∴四边形 BEDF为平行四边形，∴四边形 BEDF的周长为： 2× 2+3× 2=10，应选 D．【评论】本题主要考察了三角形中位线的性质，利用中位线的性质证得四边形BEDF为平行四边形是解答本题的重点4．（2016?葫芦岛）如图，在△ ABC中，点 D，E 分别是边 AB，AC的中点， AF⊥BC，垂足为点 F，∠ ADE=30°，DF=4，则 BF 的长为（）A．4B．8C．2D．4【剖析】先利用直角三角形斜边中线性质求出AB，再在 RT△ ABF 中，利用30角所对的直角边等于斜边的一半，求出AF 即可解决问题．【解答】解：在 RT△ABF中，∵∠ AFB=90°，AD=DB，DF=4，∴AB=2DF=8，∵AD=DB， AE=EC，∴ DE∥BC，∴∠ ADE=∠ABF=30°，∴ AF= AB=4，∴ BF===4 ．应选 D．【评论】本题考察三角形中位线性质、含 30 度角的直角三角形性质、直角三角形斜边中线性质、勾股定理等知识，解题的重点是灵巧应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．5．（ 2017?河北一模）如图，将矩形纸片ABCD沿其对角线 AC折叠，使点 B 落到点 B′的地点，AB′与 CD 交于点 E，若 AB=8，AD=3，则图中暗影部分的周长为（）A．11 B．16 C．19D．22【剖析】第一由四边形 ABCD为矩形及折叠的特征，获得B′C=BC=AD，∠B′=∠B=∠D=90°，∠ B′EC=∠DEA，获得△ AED≌△ CEB′，得出 EA=EC，再由暗影部分的周长为 AD+DE+EA+EB′+B′C+EC，即矩形的周长解答即可．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴ B′C=BC=AD，∠ B′=∠B=∠D=90°∵∠ B′EC=∠DEA，在△ AED和△ CEB′中，，∴△ AED≌△ CEB′（AAS）；∴EA=EC，∴暗影部分的周长为AD+DE+EA+EB′+B′C+EC，=AD+DE+EC+EA+EB′+B′C，=AD+DC+AB′+B′C，=3+8+8+3，=22，应选 D．【评论】本题主要考察了图形的折叠问题，全等三角形的判断和性质，及矩形的性质．熟记翻折前后两个图形能够重合找出相等的角是解题的重点．6．（2016?泰安）如图，在 ?ABCD中， AB=6，BC=8，∠C 的均分线交 AD 于 E，交BA 的延伸线于 F，则 AE+AF的值等于（）A．2B．3C．4D．6【剖析】由平行四边形的性质和角均分线得出∠F=∠FCB，证出 BF=BC=8，同理：DE=CD=6，求出 AF=BF﹣AB=2，AE=AD﹣DE=2，即可得出结果．【解答】解：∵四边形 ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD=BC=8，CD=AB=6，∴∠ F=∠DCF，∵ CF均分∠ BCD，∴∠ FCB=∠DCF，∴∠ F=∠FCB，∴BF=BC=8，同理： DE=CD=6，∴AF=BF﹣AB=2，AE=AD﹣DE=2，∴AE+AF=4；应选： C．【评论】本题考察了平行四边形的性质、等腰三角形的判断；娴熟掌握平行四边形的性质，证明三角形是等腰三角形是解决问题的重点．7．（ 2016?绵阳）如图，平行四边形 ABCD的周长是 26cm，对角线 AC 与 BD 交于点 O，AC⊥AB， E 是 BC 中点，△ AOD的周长比△ AOB 的周长多 3cm，则 AE 的长度为（）A．3cm B．4cm C．5cm D．8cm【剖析】由?ABCD的周长为 26cm，对角线 AC、BD 订交于点 O，若△ AOD 的周长比△ AOB的周长多 3cm，可得 AB+AD=13cm，AD﹣AB=3cm，求出 AB 和 AD的长，得出 BC的长，再由直角三角形斜边上的中线性质即可求得答案．【解答】解：∵ ?ABCD的周长为 26cm，∴AB+AD=13cm，OB=OD，∵△ AOD的周长比△ AOB 的周长多 3cm，∴（ OA+OD+AD）﹣（ OA+OB+AB）=AD﹣AB=3cm，∴AB=5cm，AD=8cm．∴BC=AD=8cm．∵AC⊥AB，E 是BC中点，∴ AE= BC=4cm；应选： B．【评论】本题考察了平行四边形的性质、直角三角形斜边上的中线性质．娴熟掌握平行四边形的性质，由直角三角形斜边上的中线性质求出AE 是解决问题的重点．第 17 页（共 56 页）8．（2016?济南）如图，在 ?ABCD中， AB=12，AD=8，∠ ABC的均分线交 CD 于点F，交 AD 的延伸线于点 E，CG⊥BE，垂足为 G，若 EF=2，则线段 CG的长为（）A．B．4C．2D．【剖析】先由平行四边形的性质和角均分线的定义，判断出∠ CBE=∠CFB=∠ABE=∠E，从而获得 CF=BC=8，AE=AB=12，再用平行线分线段成比率定理求出 BE，而后用等腰三角形的三线合一求出 BG，最后用勾股定理即可．【解答】解：∵∠ ABC的均分线交 CD 于点 F，∴∠ ABE=∠CBE，∵四边形 ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∴∠ CBE=∠CFB=∠ABE=∠E，∴CF=BC=AD=8，AE=AB=12，∵ AD=8，∴DE=4，∵DC∥AB，∴，∴，∴EB=6，∵CF=CB，CG⊥BF，∴ BG= BF=2，在 Rt△BCG中， BC=8， BG=2，依据勾股定理得， CG===2，应选： C．【评论】本题是平行四边形的性质，主要考察了角均分线的定义，平行线分线段成比率定理，等腰三角形的性质和判断，勾股定理，解本题的重点是求出AE，记着：题目中出现平行线和角均分线时，极易出现等腰三角形这一特色．9．（2016?河北）对于 ?ABCD的表达，正确的选项是（）A．若 AB⊥ BC，则 ?ABCD是菱形B．若 AC⊥BD，则 ?ABCD是正方形C．若 AC=BD，则 ?ABCD是矩形 D．若 AB=AD，则 ?ABCD是正方形【剖析】由菱形的判断方法、矩形的判断方法、正方形的判断方法得出选项A、B、D 错误， C 正确；即可得出结论．【解答】解：∵ ?ABCD中， AB⊥BC，∴四边形 ABCD是矩形，不必定是菱形，选项 A 错误；∵ ?ABCD中， AC⊥BD，∴四边形 ABCD是菱形，不必定是正方形，选项 B 错误；∵?ABCD中， AC=BD，∴四边形 ABCD是矩形，选项 C 正确；∵?ABCD中， AB=AD，∴四边形 ABCD是菱形，不必定是正方形，选项 D 错误；应选： C．【评论】本题考察了平行四边形的性质、菱形的判断方法、矩形的判断方法、正方形的判断方法；娴熟掌握矩形、菱形、正方形的判断方法是解决问题的重点．10．（ 2016?丹东）如图，在 ?ABCD中， BF均分∠ ABC，交 AD 于点 F，CE均分∠BCD，交 AD 于点 E，AB=6，EF=2，则 BC长为（）A．8B．10 C．12D．14【剖析】由平行四边形的性质和角均分线得出∠ABF=∠AFB，得出 AF=AB=6，同理可证 DE=DC=6，再由 EF的长，即可求出BC的长．【解答】解：∵四边形 ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，DC=AB=6，AD=BC，∴∠ AFB=∠FBC，∵ BF均分∠ ABC，∴∠ ABF=∠FBC，则∠ ABF=∠AFB，∴AF=AB=6，同理可证： DE=DC=6，∵EF=AF+DE﹣AD=2，即 6+6﹣AD=2，解得： AD=10；应选： B．【评论】本题主要考察了平行四边形的性质、等腰三角形的判断；娴熟掌握平行四边形的性质，证出 AF=AB是解决问题的重点．11．（2016?河北）如图，将 ?ABCD沿对角线 AC折叠，使点 B 落在 B′处，若∠ 1=∠ 2=44°，则∠ B 为（）A．66°B．104°C．114°D．124°【剖析】由平行四边形的性质和折叠的性质得出∠ ACD=∠ BAC=∠B′AC，由三角形的外角性质求出∠ BAC=∠ACD=∠B′AC=∠1=22°，再由三角形内角和定理求出∠B 即可．【解答】解：∵四边形 ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ ACD=∠BAC，由折叠的性质得：∠ BAC=∠B′AC，∴∠ BAC=∠ACD=∠B′AC=∠ 1=22°，∴∠ B=180°﹣∠ 2﹣∠ BAC=180°﹣44°﹣22°=114°；应选： C．【评论】本题考察了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；娴熟掌握平行四边形的性质，求出∠BAC的度数是解决问题的重点．12．（2016?咸宁）已知菱形 OABC在平面直角坐标系的地点以下图，极点A（5，0），OB=4，点P是对角线OB上的一个动点，D（0，1），当CP+DP最短时，点 P 的坐标为（）A．（0，0） B．（1，）C．（，）D．（，）【剖析】如图连结 AC，AD，分别交 OB 于 G、P，作 BK⊥ OA 于 K．第一说明点 P 就是所求的点，再求出点 B 坐标，求出直线 OB、 DA，列方程组即可解决问题．【解答】解：如图连结 AC，AD，分别交 OB 于 G、P，作 BK⊥ OA 于 K．∵四边形 OABC是菱形，∴AC⊥OB，GC=AG，OG=BG=2 ，A、 C 对于直线 OB 对称，∴PC+PD=PA+PD=DA，∴此时 PC+PD最短，在 RT△ AOG中， AG===，∴ AC=2，∵OA?BK= ?AC?OB，∴ BK=4， AK==3，∴点 B 坐标（ 8，4），∴直线 OB分析式为 y=x，直线 AD 分析式为 y=﹣x+1，由解得，∴点 P坐标（，）．应选 D．【评论】本题考察菱形的性质、轴对称﹣最短问题、坐标与图象的性质等知识，解题的重点是正确找到点 P 地点，建立一次函数，列出方程组求交点坐标，属于中考常考题型．二．填空题（共12 小题）13．（ 2017?新城区校级模拟）如图，在平行四边形 ABCD 中， AB=4，BC=5，∠ABC=60°，平行四边形 ABCD的对角线 AC、 BD交于点 O，过点 O 作 OE⊥AD，则OE=．【剖析】作 CF⊥AD 于 F，由平行四边形的性质得出∠ ADC=∠ABC=60°，CD=AB=4，OA=OC，求出∠DCF=30°，由直角三角形的性质得出 DF= CD=2，求出CF= DF=2，证出OE是△ ACF的中位线，由三角形中位线定理得出OE 的长即可．【解答】解：作 CF⊥AD 于 F，以下图：∵四边形 ABCD是平行四边形，∴∠ ADC=∠ABC=60°，CD=AB=4，OA=OC，第 22 页（共 56 页）∴DF= CD=2，∴CF= DF=2 ，∵CF⊥AD，OE⊥AD， CF∥OE，∵OA=OC，∴OE是△ ACF的中位线，∴OE= CF= ；故答案为：．【评论】本题考察了平行四边形的性质、直角三角形的性质、勾股定理、三角形中位线定理等知识；娴熟掌握平行四边形的性质，证出 OE 是三角形的中位线是解决问题的重点．14．（ 2016?张家界）如图，在△ ABC中，点 D、E、F 分别是边 AB、 BC、CA上的中点，且 AB=6cm， AC=8cm，则四边形 ADEF的周长等于 14 cm．【剖析】第一证明四边形 ADEF是平行四边形，依据三角形中位线定理求出DE、EF即可解决问题．【解答】解：∵ BD=AD， BE=EC，∴ DE= AC=4cm，DE∥AC，∵ CF=FA，CE=BE，∴ EF= AB=3cm，EF∥AB，∴四边形 ADEF是平行四边形，∴四边形 ADEF的周长 =2（ DE+EF）=14cm．故答案为 14．【评论】本题考察三角形中位线定理、平行四边形的判断和性质等知识，解题的重点是出现中点想到三角形中位线定理，记着三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半，属于中考常考题型．15．（ 2017 秋?海宁市校级月考）如图，?ABCD中，∠ ABC=60°，E、F 分别在 CD 和 BC的延伸线上， AE∥BD，EF⊥ BC，EF=3，则 AB 的长是．【剖析】依据直角三角形性质求出CE长，利用勾股定理即可求出AB 的长．【解答】解：∵四边形 ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB=CD，∵ AE∥BD，∴四边形 ABDE是平行四边形，∴AB=DE=CD，即 D 为 CE中点，∵ EF⊥BC，∴∠ EFC=90°，∵ AB∥CD，∴∠ DCF=∠ABC=60°，∴∠ CEF=30°，∵ EF=3，∴ CE==2 ，∴AB= ，故答案为：．【评论】本题考察了平行线性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线性质，含30度角的直角三角形性质等知识点的应用，本题综合性比较强．16．（2017?河北区模拟）有 3 个正方形以下图搁置，暗影部分的面积挨次记为S1，S2，则 S1：S2= 4：9．【剖析】设大正方形的边长为 x，再依据相像的性质求出 S1、S2与正方形面积的关系，而后进行计算即可得出答案．【解答】解：设大正方形的边长为x，依据图形可得：∵= ，∴= ，∴=，∴ S1=S正方形ABCD，∴S1= x2，∵= ，∴=，∴S2= S正方形ABCD，∴S2= x2，∴S1：S2= x2： x2=4：9．故答案是： 4：9．【评论】本题考察了正方形的性质，用到的知识点是正方形的性质、相像三角形的性质、正方形的面积公式，重点是依据题意求出 S1、S2与正方形面积的关系．17．（2016?随州）如图，在△ ABC中，∠ ACB=90°，M 、N 分别是 AB、AC的中点，延伸 BC至点 D，使 CD= BD，连结 DM、DN、MN．若 AB=6，则 DN= 3 ．【剖析】连结 CM，依据三角形中位线定理获得NM=CB，MN∥ BC，证明四边形 DCMN 是平行四边形，获得 DN=CM，依据直角三角形的性质获得CM= AB=3，等量代换即可．【解答】解：连结 CM，∵ M、N 分别是 AB、AC的中点，∴NM= CB，MN ∥BC，又 CD= BD，∴MN=CD，又 MN∥BC，∴四边形 DCMN 是平行四边形，∴DN=CM，∵∠ ACB=90°，M 是 AB 的中点，∴CM= AB=3，∴DN=3，故答案为： 3．【评论】本题考察的是三角形的中位线定理、直角三角形的性质、平行四边形的判断和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，而且等于第三边的一半是解题的重点．18．（ 2016?武汉）如图，在 ?ABCD中，E 为边 CD上一点，将△ ADE沿 AE 折叠至△AD′E处，AD′与 CE交于点 F．若∠ B=52°，∠DAE=20°，则∠ FED′的大小为 36° ．【剖析】由平行四边形的性质得出∠D=∠ B=52°，由折叠的性质得：∠ D′=∠D=52°，∠EAD′=∠DAE=20°，由三角形的外角性质求出∠ AEF=72°，与三角形内角和定理求出∠ AED′=108，°即可得出∠ FED′的大小．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ D=∠ B=52°，由折叠的性质得：∠ D′=∠D=52°，∠ EAD′=∠DAE=20°，∴∠ AEF=∠D+∠ DAE=52°+20°=72°，∠ AED′=180﹣°∠ EAD′﹣∠ D′=108，°∴∠ FED′=108﹣°72°=36°；故答案为： 36°．【评论】本题考察了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；娴熟掌握平行四边形的性质和折叠的性质，求出∠ AEF和∠ AED′是解决问题的重点．19．（ 2016?东营）如图，在Rt△ABC 中，∠ B=90°，AB=4，BC＞ AB，点 D 在 BC 上，以 AC为对角线的平行四边形ADCE中， DE的最小值是4．【剖析】第一证明 BC∥AE，当 DE⊥BC 时， DE 最短，只需证明四边形ABDE是矩形即可解决问题．【解答】解：∵四边形 ADCE是平行四边形，∴BC∥AE，∴当 DE⊥BC时， DE最短，此时∵∠ B=90°，∴AB⊥BC，∴DE∥AB，∴四边形 ABDE是平行四边形，∵∠ B=90°，∴四边形 ABDE是矩形，∴DE=AB=4，∴DE的最小值为4．故答案为 4．【评论】本题考察平行四边形的性质、垂线段最短等知识，解题的重点是找到DE的地点，学会利用垂线段最短解决问题，属于中考常考题型．20．（ 2016?常德）如图，把平行四边形 ABCD折叠，使点 C 与点 A 重合，这时点 D 落在 D1，折痕为 EF，若∠ BAE=55°，则∠ D1AD= 55° ．【剖析】由平行四边形的性质和折叠的性质得出∠D1∠，得出∠1AE=BAD D AD=∠BAE=55°即可．【解答】解：∵四边形 ABCD是平行四边形，∴∠ BAD=∠C，由折叠的性质得：∠ D1AE=∠ C，∴∠ D1AE=∠ BAD，∴∠ D1AD=∠ BAE=55°；故答案为： 55°．【评论】本题考察了平行四边形的性质、折叠的性质；由平行四边形和折叠的性质得出∠ D1AE=∠BAD 是解决问题的重点．21．（2016?常州）如图，△ APB中，AB=2，∠ APB=90°，在 AB 的同侧作正△ ABD、正△ APE和正△ BPC，则四边形 PCDE面积的最大值是1．【剖析】先延伸 EP交 BC于点 F，得出 PF⊥BC，再判断四边形 CDEP为平行四边形，依据平行四边形的性质得出：四边形 CDEP的面积 =EP×CF=a× b= ab，最后依据 a2+b2=4，判断ab 的最大值即可．【解答】解：延伸 EP交 BC于点 F，∵∠ APB=90°，∠ APE=∠BPC=60°，∴∠ EPC=150°，∴∠ CPF=180°﹣150°=30°，∴PF均分∠BPC，又∵ PB=PC，∴PF⊥BC，设 Rt△ABP中， AP=a， BP=b，则CF= CP= b，a2+b2=22=4，∵△ APE和△ ABD都是等边三角形，∴AE=AP，AD=AB，∠ EAP=∠ DAB=60°，∴∠ EAD=∠PAB，∴△ EAD≌△ PAB（SAS），∴ED=PB=CP，同理可得：△ APB≌△ DCB（SAS），∴EP=AP=CD，∴四边形 CDEP是平行四边形，∴四边形 CDEP的面积 =EP×CF=a×b=ab，又∵（ a﹣b）2=a2﹣2ab+b2≥ 0，∴2ab≤a2+b2=4，∴ab≤1，即四边形 PCDE面积的最大值为1．故答案为： 1【评论】本题主要考察了等边三角形的性质、平行四边形的判断与性质以及全等三角形的判断与性质，解决问题的重点是作协助线结构平行四边形的高线．22．（ 2016?盐城）如图，已知菱形 ABCD的边长 2，∠ A=60°，点 E、F 分别在边AB、AD 上，若将△ AEF沿直线 EF折叠，使得点 A 恰巧落在 CD边的中点 G 处，则EF=．【剖析】延伸 CD，过点 F 作 FM⊥CD于点 M，连结 GB、 BD，作 FH⊥AE 交于点H，由菱形的性质和已知条件得出∠ MFD=30°，设 MD=x，则 DF=2x， FM= x，得出 MG=x+1，由勾股定理得出（x+1）2+（x）2=（2﹣2x）2，解方程得出 DF=0.6，AF=1.4，求出 AH= AF=0.7，FH=，证明△ DCB是等边三角形，得出BG⊥CD，由勾股定理求出BG=，设BE=y，则GE=2﹣y，由勾股定理得出（）2+y2=（2﹣y）2，解方程求出 y=0.25，得出 AE、 EH，再由勾股定理求出 EF即可．【解答】解：延伸 CD，过点 F 作 FM⊥CD于点 M ，连结 GB、BD，作 FH⊥ AE交于点 H，以下图：∵∠ A=60°，四边形 ABCD是菱形，∴∠ MDF=60°，∴∠ MFD=30°，设 MD=x，则 DF=2x， FM= x，∵DG=1，∴ MG=x+1，∴（ x+1）2 +（x）2=（2﹣2x）2，∴DF=0.6， AF=1.4，∴ AH= AF=0.7，FH=AF?sin∠ A=1.4×=，∵CD=BC，∠ C=60°，∴△DCB是等边三角形，∵G 是 CD的中点，∴BG⊥CD，∵BC=2，GC=1，∴BG= ，设 BE=y，则 GE=2﹣ y，∴（）2+y2=（2﹣y）2，解得： y=0.25，∴ AE=1.75，∴ EH=AE﹣AH=1.75﹣0.7=1.05，∴EF===．故答案为：．【评论】本题考察了菱形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、等边三角形的判断与性质等知识；本题综合性强，难度较大，运用勾股定理得出方程是解决问题的重点．23．（ 2016?丽水）如图，在菱形ABCD中，过点 B 作 BE⊥AD，BF⊥CD，垂足分别为点 E，F，延伸 BD 至 G，使得 DG=BD，连结 EG，FG，若 AE=DE，则=．【剖析】连结AC、EF，依据菱形的对角线相互垂直均分可得AC⊥BD，依据线段垂直均分线上的点到线段两头点的距离相等可得AB=BD，而后判断出△ABD 是等边三角形，再依据等边三角形的三个角都是60°求出∠ADB=60°，设EF 与BD 订交于点 H，AB=4x，而后依据三角形的中位线平行于第三边而且等于第三边的一半求出 EH，再求出 DH，从而获得 GH，利用勾股定理列式求出 EG，最后求出比值即可．【解答】解：如图，连结 AC、 EF，在菱形 ABCD中， AC⊥BD，∵BE⊥AD，AE=DE，∴ AB=BD，又∵菱形的边 AB=AD，∴△ABD是等边三角形，∴∠ ADB=60°，设 EF与 BD 订交于点 H， AB=4x，∵AE=DE，∴由菱形的对称性， CF=DF，∴ EF是△ ACD的中位线，∴DH= DO= BD=x，在 Rt△EDH中， EH= DH= x，∵DG=BD，∴ GH=BD+DH=4x+x=5x，在 Rt△EGH中，由勾股定理得， EG===2x，所以，==．故答案为：．【评论】本题考察了菱形的性质，等边三角形的判断与性质，勾股定理，三角形的中位线平行于第三边而且等于第三边的一半，难点在于作协助线结构出直角三角形以及三角形的中位线．24．（2016?青岛）如图，在正方形 ABCD中，对角线 AC与 BD 订交于点 O，E 为BC上一点， CE=5，F 为 DE 的中点．若△ CEF的周长为 18，则 OF的长为．【剖析】先依据直角三角形的性质求出 DE 的长，再由勾股定理得出 CD 的长，从而可得出 BE的长，由三角形中位线定理即可得出结论．【解答】解：∵ CE=5，△ CEF的周长为 18，∴CF+EF=18﹣5=13．∵F为 DE的中点，∴DF=EF．∵∠ BCD=90°，∴CF= DE，∴EF=CF= DE=6.5，∴DE=2EF=13，∴CD===12．∵四边形 ABCD是正方形，∴BC=CD=12，O 为 BD 的中点，∴OF是△ BDE的中位线，∴OF= （BC﹣CE）= （12﹣5）= ．故答案为：．【评论】本题考察的是正方形的性质，波及到直角三角形的性质、三角形中位线定理等知识，难度适中．三．解答题（共16 小题）25．（ 2016?北京）如图，四边形 ABCD是平行四边形， AE均分∠ BAD，交 DC 的延伸线于点 E．求证： DA=DE．【剖析】由平行四边形的性质得出 AB∥ CD，得出内错角相等∠ E=∠ BAE，再由角均分线证出∠ E=∠DAE，即可得出结论．【解答】证明：∵四边形 ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ E=∠BAE，∵AE均分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE，∴∠ E=∠DAE，∴DA=DE．【评论】本题考察了平行四边形的性质、平行线的性质、等腰三角形的判断；娴熟掌握平行四边形的性质，证出∠ E=∠ DAE是解决问题的重点．26．（ 2016?淄博）如图，已知△ ABC，AD 均分∠ BAC交 BC于点 D， BC的中点为M， ME∥ AD，交 BA 的延伸线于点 E，交 AC于点 F．（1）求证： AE=AF；（2）求证： BE= （AB+AC）．【剖析】（1）欲证明 AE=AF，只需证明∠ AEF=∠ AFE即可．（2）作 CG∥EM，交 BA的延伸线于 G，先证明 AC=AG，再证明 BE=EG即可解决问题．【解答】证明：（1）∵ DA 均分∠ BAC，∴∠ BAD=∠CAD，∵ AD∥EM，∴∠ BAD=∠AEF，∠ CAD=∠AFE，∴∠ AEF=∠AFE，∴ AE=AF．（2）作 CG∥EM，交 BA 的延伸线于 G．∵EF∥CG，∴∠ G=∠ AEF，∠ ACG=∠ AFE，∵∠ AEF=∠AFE，∴∠ G=∠ ACG，∴AG=AC，∵ EM∥ CG，∴= ，∵ BM=CM，∴BE=EG，∴BE= BG= （BA+AG）= （AB+AC）．【评论】本题考察三角形中位线定理、角均分线的性质、等腰三角形的判断和性质等知识，解题的重点是增添协助线，结构等腰三角形，以及三角形中位线，属于中考常考题型．27．（ 2017 春?泉山区校级月考）已知：如图，矩形 ABCD的对角线 AC、BD 订交于点 O，CE∥DB，交 AB的延伸线于点 E．求证： AC=EC．【剖析】先由矩形的对角线相等得出 AC=DB，再证明四边形 CDBE是平行四边形，得出对边相等 DB=CE，即可得出 AC=CE．【解答】证明：∵四边形 ABCD是矩形，∴AC=DB， AB∥DC，∴DC∥BE，又∵ CE∥ DB，∴四边形 CDBE是平行四边形，∴DB=CE，第 36 页（共 56 页）∴AC=CE．【评论】本题考察了矩形的性质以及平行四边形的判断与性质；娴熟掌握矩形的性质和证明平行四边形是解决问题的重点．28．（ 2016?梅州）如图，平行四边形 ABCD中，BD⊥AD，∠A=45°，E、 F 分别是AB、CD上的点，且 BE=DF，连结 EF交 BD于 O．（1）求证： BO=DO；（2）若 EF⊥ AB，延伸 EF交 AD 的延伸线于 G，当 FG=1时，求 AE的长．【剖析】（1）由平行四边形的性质和 AAS证明△ OBE≌△ ODF，得出对应边相等即可；（2）证出 AE=GE，再证明 DG=DO，得出 OF=FG=1，即可得出结果．【解答】（1）证明：∵四边形 ABCD是平行四边形，∴ DC∥AB，∴∠ OBE=∠ODF．在△ OBE与△ ODF中，∴△ OBE≌△ ODF（AAS）．∴BO=DO．（2）解：∵ EF⊥AB，AB∥ DC，∴∠ GEA=∠GFD=90°．∵∠ A=45°，∴∠G=∠ A=45°．∴AE=GE∵BD⊥AD，。

2020年中考数学一轮复习基础考点题型练《四边形》专题测试-提高 (含答案)

专题：《四边形》（专题测试-提高）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（每题4分，共48分）1．若n边形的内角和等于外角和的3倍，则边数n为（）A．n＝6 B．n＝7 C．n＝8 D．n＝92．如图，点P是四边形ABCD内的一点，AP平分∠DAB，BP平分∠ABC，设∠C+∠D 的大小为x，∠P的大小为y，则x，y的关系是（）A．y＝2x﹣180°B．y＝x C．y＝x D．y＝180°﹣x 3．如图，在矩形COED中，点D的坐标是（1，3），则CE的长是（）A．3 B．C．D．44．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD＝60°，AD＝1，则AB的长是（）A．1 B．2 C．D．25．用边长为1的正方形做了一套七巧板，拼成如图所示的一座桥，则桥中阴影部分的面积为原正方形面积的（）A．B．C．D．不能确定6．如图，在四边形ABCD中，E、F分别是边AD、BC的中点，连AC、BE、DF、CE，AC分别交BE、DF于G、E，判断下列结论：（1）BF＝DE；（2）AG＝GH＝HC；（3）EG＝BG；（4）S＝6S△AGE，其中正确的结论有（）△BCEA．1 B．2 C．3 D．47．如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，则下列说法正确的是（）A．若四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD相等B．若四边形EFGH是正方形，则AC与BD互相垂直且相等C．若AC＝BD，则四边形EFGH是矩形D．若AC⊥BD，则四边形EFGH是菱形8．我们知道，勾股定理反映了直角三角形三条边的关系：a2+b2＝c2，而a2，b2，c2又可以看成是以a，b，c为边长的正方形的面积．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，O为AB的中点分别以AC，BC为边向△ABC外作正方形ACFG，BCED，连结OF，EF，OE，则△OEF的面积为（）A．B．C．D．9．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BC的延长线上，且CE＝BC，AE＝AB，AE、DC相交于点O，连接DE．若∠AOD＝120°，AC＝4，则CD的大小为（）A．8 B．4C．8D．610．如图，正方形ABCD的边长为2，点E在对角线BD上，且∠BAE＝22.5°，EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为（）A．B．2C．2D．11．下列图形中有大小不同的平行四边形，第一幅图中有1个平行四边形，第二幅图中有3个平行四边形，第三幅图中有5个平行四边形，则第6幅和第7幅图中合计有（）个平行四边形．A．22 B．24 C．26 D．2812．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB，CE⊥AB于点E，点F、G分别是AD、BC的中点，连接CF、EF、FG，下列结论：①CE⊥FG；②四边形ABGF是菱形；③EF＝CF；④∠EFC＝2∠CFD．其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（每题4分，共20分）13．如果梯形两底分别为4和6，高为2，那么两腰延长线的交点到这个梯形的较大底边的距离是．14．如图，七边形ABCDEFG中，AB，ED的延长线交于点O，外角∠1，∠2，∠3，∠4的和等于220°，则∠BOD的度数是度．15．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝2，点E是BC边的中点，连接AE，△AB′E和△ABE关于AE所在直线对称，若△B′CD是直角三角形，则BC边的长为．16．小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先把活动学具制作成图1所示菱形，并测得∠B＝60°，接着活动学具制作成图2所示正方形，并测得正方形的对角线AC＝acm，则图1中对角线AC的长为cm．17．一组正方形按如图所示放置，其中顶点B1在y轴上，顶点C1，E1，E2，C2，E3，E4，C…在x轴上．已知正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O＝60°，B1C1∥B2C2∥B3C3，3则正方形A2019B2019C2019D2019的边长是．三．解答题（每题8分，共32分）18．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝20，BC＝10，动点D从A出发，以每秒10个单位长度的速度向终点C运动．过点D作DF⊥AC交AB于点F，过点D做AB的平行线，与过点F且与AB垂直的直线交于点E，设点D的运动时间为t（秒）（＞0）（1）用含t的代数式表示线段DE的长；（2）求当点E落在BC边上时t的值；（3）设△DEF与△ABC重合部分图形的面积为S（平方单位），求S与t的函数关系式；（4）连结EC，若将△DEC沿它自身的某边翻折，翻折前后的两个三角形能形成菱形直接写出此时t的值．19．已知：如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠BDC＝45°，过点B作BH⊥DC交DC的延长线于点H，在DC上取DE＝CH，延长BH至F，使FH＝CH，连接DF、EF．（1）若AB＝2，AD＝，求BH的值；（2）求证：AC＝EF．20．如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E为OC上动点（与点O 不重合），作AF⊥BE，垂足为G，交BC于F，交BO于H，连接OG，CG．（1）求证：AH＝BE；（2）试探究：∠AGO的度数是否为定值？请说明理由；的值．（3）若OG⊥CG，BG＝2，求S21．如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连结AD，以AD为一边且在D的右侧作正方形ADEF，解答下列问题：（1）如果AB＝AC，∠BAC＝90°．①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF，BD之间的位置关系为，数量关系为；②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，为什么？（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°，点D在线段BC上运动（如图4）当∠ACB＝时，CF⊥BC（点C，F重合除外）？（3）若AC＝4，BC＝3．在（2）的条件下，设正方形ADEF的边DE与线段CF相交于点P，求线段CP长的最大值．参考答案一．选择题1．解：由题意得：180（n﹣2）＝360×3，解得：n＝8，故选：C．2．解：∵四边形ABCD，∠C+∠D的大小为x，∴∠DAB+∠ABC＝360°﹣x，∵AP平分∠DAB，BP平分∠ABC，∴∠PAB+∠PBA＝，∵∠P的大小为y，∴∠P＝180°﹣（∠PAB+∠PBA），即y＝180°﹣（360°﹣x）＝x，故选：B．3．解：∵四边形COED是矩形，∴CE＝OD，∵点D的坐标是（1，3），∴OD＝＝，∴CE＝，故选：C．4．解：在矩形ABCD中，OA＝OB＝OD，∵∠AOD＝60°，∴△AOD是等边三角形，∴OD＝AD＝1，∴BD＝1+1＝2，由勾股定理得，AB＝＝＝．故选：C．5．解：读图可得，阴影部分的面积为原正方形的面积的一半，则阴影部分的面积为1×1÷2＝；是原正方形的面积的一半；故选A．6．解：（1）∵▱ABCD，∴AD＝BC，AD∥BC．∵E、F分别是边AD、BC的中点，∴BF∥DE，BF＝DE．∴BEDF为平行四边形，BE＝DF．故正确；（2）根据平行线等分线段定理可得AG＝GH＝HC．故正确；（3）∵AD∥BC，AE＝AD＝BC，∴△AGE∽△CGB，AE：BC＝EG：BG＝1：2，∴EG＝BG．故正确．（4）∵BG＝2EG，∴△ABG的面积＝△AGE面积×2，∴S△ABE＝3S△AGE．又∵S△BCE＝2S△ABE．∴S△BCE＝6S△AGE．故正确．故选：D．7．解：∵E、F分别是边AB、BC的中点，∴EF∥AC，EF＝AC，同理可知，HG∥AC，HG＝AC，∴EF∥HG，EF＝HG，∴四边形EFGH是平行四边形，AC与BD不一定相等，A说法错误；四边形EFGH是正方形时，AC与BD互相垂直且相等，B说法正确；若AC＝BD，则四边形EFGH是菱形，C说法错误；若AC⊥BD，则四边形EFGH是矩形，D说法错误；故选：B．8．解：如图，过点O作OH⊥AC于点H，∵∠ACB＝90°∴OH∥BC设OF与AC交于点G，∴＝∵O为AB的中点，∴H为AC的中点，∴OH BC＝a，AH＝AC＝b，设CG＝x，则GH＝b﹣x，∴＝解得x＝∴S△OEF＝（EC+CG）•（FC+OH）＝（a+）•（b+a）＝（a2+2ab+b2）＝（a+b）2故选：D．9．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝DC，∵CE＝BC，∴AD＝CE，AD∥CE，∴四边形ACED是平行四边形，∵AB＝DC，AE＝AB，∴AE＝DC，∴四边形ACED是矩形；∴OA＝AE，OC＝CD，AE＝CD，∴OA＝OC，∵∠AOC＝180°﹣∠AOD＝180°﹣120°＝60°，∴△AOC是等边三角形，∴OC＝AC＝4，∴CD＝2OC＝8；故选：A．10．解：设EF＝x，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∠ABD＝∠ADB＝45°，∴BD＝AB＝2，EF＝BF＝x，∴BE＝x，∵∠BAE＝22.5°，∴∠DAE＝90°﹣22.5°＝67.5°，∴∠AED＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，∴∠AED＝∠DAE，∴AD＝ED，∴BD＝BE+ED＝x+2＝2，解得：x＝2﹣，即EF＝2﹣；故选：B．11．解：根据图形分析可知：第1幅时，有2×1﹣1＝1个平行四边形；第2幅时，有2×2﹣1＝3个平行四边形；第3幅时，有2×3﹣1＝5个平行四边形；第4幅时，有2×4﹣1＝7个平行四边形；…；第n幅时，有2×n﹣1＝2n﹣1个平行四边形；∴第6幅图时，有2×6﹣1＝11个平行四边形，第7幅图，有2×7﹣1＝13个平行四边形，∴第6幅和第7幅图中合计有11+13＝24个平行四边形；故选：B．12．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵点F、G分别是AD、BC的中点，∴AF＝AD，BG＝BC，∴AF＝BG，∵AF∥BG，∴四边形ABGF是平行四边形，∴AB∥FG，∵CE⊥AB，∴CE⊥FG；故①正确；∵AD＝2AB，AD＝2AF，∴AB＝AF，∴四边形ABGF是菱形，故②正确；延长EF，交CD延长线于M，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠A＝∠MDF，∵F为AD中点，∴AF＝FD，在△AEF和△DFM中，，∴△AEF≌△DMF（ASA），∴FE＝MF，∠AEF＝∠M，∵CE⊥AB，∴∠AEC＝90°，∴∠AEC＝∠ECD＝90°，∵FM＝EF，∴FC＝EF＝FM，故③正确；∴∠FCD＝∠M，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD∥BC，∵AF＝DF，AD＝2AB，∴DF＝DC，∴∠DCF＝∠DFC，∴∠M＝∠FCD＝∠CFD，∵∠EFC＝∠M+∠FCD＝2∠CFD；故④正确，故选：D．二．填空题（共5小题）13．解：在梯形BCED中，作AG⊥BC于G，交DE于F，如图所示：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝＝，解得：AF＝4，∴AG＝AF+GF＝4+2＝6．故答案为：6．14．解：在DO延长线上找一点M，如图所示．∵多边形的外角和为360°，∴∠BOM＝360°﹣220°＝140°．∵∠BOD+∠BOM＝180°，∴∠BOD＝180°﹣∠BOM＝180°﹣140°＝40°．故答案为：4015．解：连接BB′，∵BE＝B′E＝EC，∴∠BB′C＝90°，∴∠B′CD＜90°，（1）如图1，∠B′DC＝90°，则四边形ABEB′和ECDB′是正方形，∴BC＝2AB＝4，（2）如图2，∠CB′D＝90°，则B，B′D三点共线，设AE，BB′交于F，则F，B′是对角线BD的三等分点，∵△BCB′∽△CDB′，∴＝＝，∴＝， ∴BC ＝CD ＝2，故答案为：4或2．16．解：如图1，2中，连接AC ．在图2中，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ，∠B ＝90°，∵AC ＝a ，∴AB ＝BC ＝a ，在图1中，∵∠B ＝60°，BA ＝BC ，∴△ABC 是等边三角形，∴AC ＝BC ＝a ，故答案为：a ，17．解：∵∠B 1C 1O ＝60°，B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3，∴∠D 1C 1E 1＝∠C 2B 2E 2＝∠C 3B 3E 4＝30°，1111则B2C2＝＝＝（）1，同理可得：B3C3＝＝（）2，故正方形A n B n∁n D n的边长是：（）n﹣1．则正方形A2019B2019C2019D2019的边长是：（）2018．故答案为：（）2018．三．解答题（共4小题）18．解：（1）∵DF⊥AC，∴∠ADF＝∠C＝90°，∴tan∠A＝＝＝＝，∵AD＝t，∴DF＝t，∵EF⊥AB，∴∠EFD+∠AFD＝90°，又∵∠AFD+∠A＝90°，∴∠EFD＝∠A，在Rt△ABC中，AB＝＝10，sin∠A＝＝＝＝，∴sin∠EFD＝＝，∴DE＝DF＝t；（2）当点E落在BC边上时，如图1，∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠A，∴EC＝DE＝t，∵DE∥BF，BE∥DF，∴四边形DEBF为平行四边形，∴BE＝DF＝t，∵BE+CE＝BC＝10，∴t+t＝10，解得，t＝；（3）当0＜t≤时，△DEF在△ABC内部，∴△DEF的面积即为△DEF与△ABC重合部分图形的面积，∴S＝S△DEF＝DE•EF＝×t×t＝t2；当＜t≤20时，如图2所示，过点E作EH⊥AD交AD的延长线于点H，则EH＝DE＝t，∴DH＝2EH＝t，∵DC＝AC﹣AD＝20﹣t，∴CH＝DH﹣DC＝t﹣20，∵MN∥ED，∴△EMN∽△EFD，∴＝＝，∵＝t2，∴＝t2﹣60t+500，∴S四边形MNDF＝S△DEF﹣S△EMN＝t2﹣（t2﹣60t+500）＝﹣t2+60t﹣500，综上所述，S＝；（3）当△DEC是等腰三角形时，沿着它的底边翻折，翻折前后的两个三角形形成的四边形的四边相等，即为菱形，①如图3﹣1，当ED＝DC时，沿DC翻折，得到菱形EDPC，连接EP交DC于O，则EO＝DE＝t，∴DO＝2EO＝t，DC＝2DC＝t，∵DC＝AC﹣AD，∴t＝20﹣t，∴t＝；②如图3﹣2，当DE＝DC时，沿EC翻折，得到菱形EDCP，则DC＝DE＝t，∵DC＝AC﹣AD，∴t＝20﹣t，∴t＝；③如图3﹣3，当CD＝CE时，沿延DE翻折，得到菱形EPDC，连接PC，交DE于O，∵DE＝t，∴DO＝DE＝t，∴OC＝DO＝t，DC＝OC＝t，∵DC＝AC﹣AD，∴t＝20﹣t，∴t＝，综上所述，t的值为或或．19．（1）解：过点A作AN⊥BD于N，如图1所示：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ABD＝∠BDC＝45°，∵AN⊥BD，∴△ABN是等腰直角三角形，∵AB＝2，∴AN＝BN＝AB＝，DN＝＝＝2，∴BD＝BN+DN＝+2＝3，∵BH⊥DC，∴△BDH是等腰直角三角形，∴BH＝DH＝BD＝×3＝3；（2）证明：取DH的中点M，连接OM，如图2所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，∴OM是△BDH的中位线，∴OM∥BH，OM＝BH＝DH＝DM，设DE＝a，CE＝b，则CH＝FH＝a，CD＝EH＝CE+CH＝a+b，BH＝DH＝DE+CE+CH ＝2a+b，∴OM＝DM＝（2a+b），∴CM＝CD﹣DM＝a+b﹣（2a+b）＝b，在Rt△OMC中，由勾股定理得：OC2＝OM2+CM2＝（2a+b）2+b2＝AC2，∴AC2＝（2a+b）2+b2＝4a2+4ab+2b2＝2（2a2+2ab+b2），在Rt△EHF中，由勾股定理得：EF2＝EH2+FH2＝（a+b）2+a2＝2a2+2ab+b2，∴AC2＝2EF2，∴AC＝EF．20．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴OA＝OB，∠AOB＝∠BOE＝90°，∵AF⊥BE，∴∠GAE+∠AEG＝∠OBE+∠AEG＝90°．∴∠GAE＝∠OBE，在△AOH和△BOE中，，∴△AOH≌△BOE（ASA），∴AH＝BE．（2）解：∠AGO的度数为定值，理由如下：∵∠AOH＝∠BGH＝90°，∠AHO＝∠BHG，∴△AOH∽△BGH，∴＝，∴＝，∵∠OHG＝∠AHB，∴△OHG∽△AHB，∴∠AGO＝∠ABO＝45°，即∠AGO的度数为定值．（3）解：∵∠ABC＝90°，AF⊥BE，∴∠BA G＝∠FBG，∠AGB＝∠BGF＝90°，∴△ABG∽△BFG，∴＝，∴AG•GF＝BG2＝20，∵△AHB∽△OHG，∴∠BAH＝∠GOH＝∠GBF．∵∠AOB＝∠BGF＝90°，∴∠AOG＝∠GFC，∵∠AGO＝45°，CG⊥GO，∴∠AGO＝∠FGC＝45°．∴△AGO∽△CGF，∴＝，∴GO•CG＝AG•GF＝20．∴S△OGC＝CG•GO＝10．21．解：（1）CF⊥BD，CF＝BD，理由如下：∵四边形ADEF是正方形，∴∠DAF＝90°，AD＝AF，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠DAC＝∠CAF+∠DAC＝90°，∴∠BAD＝∠CAF，在△BAD和△CAF中，，∴△BAD≌△CAF（SAS），∴CF＝BD，∴∠B＝∠ACF，∴∠B+∠BCA＝90°，∴∠BCA+∠ACF＝90°，即CF⊥BD；故答案为：CF⊥BD，CF＝BD；②当点D在BC的延长线上时，①的结论仍成立．如图2，由正方形ADEF得：AD＝AF，∠DAF＝90°．∵∠BAC＝90°，∴∠DAF＝∠BAC．∴∠DAB＝∠FAC．又∵AB＝AC，∴△DAB≌△FAC（SAS）．∴CF＝BD，∠ACF＝∠ABD．∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝45°，∴∠A CF＝45°．∴∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90°，∴CF⊥BD；（2）当∠BCA＝45°时，CF⊥BD；理由如下：如图3，过点A作AC的垂线与CB所在直线交于G，∵∠ACB＝45°，∴△AGC等腰直角三角形，∴AG＝AC，∠AGC＝∠ACG＝45°，∵AG＝AC，AD＝AF，∵∠GAD＝∠GAC﹣∠DAC＝90°﹣∠DAC，∠FAC＝∠FAD﹣∠DAC＝90°﹣∠DAC，∴∠GAD＝∠FAC，∴△GAD≌△CAF（SAS），∴∠ACF＝∠AGD＝45°，∴∠GCF＝∠GCA+∠ACF＝90°，∴CF⊥BC；故答案为：45°；（3）过点A作AQ⊥BC交CB的延长线于点Q，如图4所示：∵DE与CF交于点P时，此时点D位于线段CQ上，∵∠BCA＝45°，AC＝4，∴△ACQ是等腰直角三角形，∴AQ＝CQ＝4．设CD＝x，则DQ＝4﹣x，∵∠ADB+∠ADE+∠PDC＝180°且∠ADE＝90°，∴∠ADQ+∠PDC＝90°，又∵在直角△PCD中，∠PDC+∠DPC＝90°∴∠ADQ＝∠DPC，∵∠AQD＝∠DCP＝90°∴△AQD∽△DCP，∴＝，即＝．解得：CP＝﹣x2+x＝﹣（x﹣1）2+1．∵0＜x≤3，∴当x＝1时，CP有最大值1，即线段CP长的最大值为1．。

2020中考数学一轮专项复习《四边形》能力提升卷及详细解答

2020中考数学一轮专项复习《四边形》能力提升卷及详细解答一．选择题1．（绵阳中考）如图，七边形ABCDEFG中，AB、ED的延长线交于点O，着∠1、∠2、∠3、∠4对应的邻补角和等于215°，则∠BOD的度数为（）A．30°B．35°C．40°D．45°2．一个正多边形的外角等于36°，则这个正多边形的内角和是（）A．1440°B．1080°C．900°D．720°3．（丽水中考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点P为斜边AB上一动点，过点P作PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，连结EF，则线段EF的最小值为（）A．1.2 B．2.4 C．2.5 D．4.84．（武威中考）如图，矩形ABCD的对角线的交点为O，EF过点O且分别交AB，CD于点E，F，则图中阴影部分的面积是矩形ABCD的面积的（）A．B．C．D．5．（成都中考）如图，已知▱ABCD与正方形CEFG，其中E点在AD上．若∠EC D＝35°，∠AEF＝15°，则∠B的度数是（）A．75°B．70°C．55°D．50°6．如图，▱ABCD中，E，F分别是AB，C D的中点，则图中有（）个平行四边形．A ．7个B ．8个C ．9个D ．10个7．（兰州中考）如图，点E 、F 、G 、H 分别是四边形ABCD 边AB 、BC 、CD 、DA 的中点．则下列说法：①若AC ＝BD ，则四边形EFGH 为矩形；②若AC ⊥BD ，则四边形EFGH 为菱形；③若四边形EFGH 是平行四边形，则AC 与BD 互相平分；④若四边形EFGH 是正方形，则AC 与BD 互相垂直且相等．其中正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．48．（威海中考）如图，边长为2的正方形ABCD 中，点E 、F 分别在AD 、AB 上（点E 不与点D 重合），DE ＝AF ，DF 、CE 交于点G ，则AG 的取值范围是（）A ．﹣1≤AG ＜2B ．﹣1≤AG ＜2C ．1≤AG ＜2D ．﹣1≤AG ＜29．（凉山中考）如图，在平行四边形ABCD 中，CD ＝2AD ，BE ⊥AD 于点E ，F 为DC 的中点，连接EF 、BF ，下列结论： ①∠ABC ＝2∠ABF ；②EF ＝BF ；③S 四DEBC ＝2S △EFB ；④∠CFE ＝3∠DEF ；其中正确结论有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．如图，E 是边长为2的正方形ABCD 的对角线AC 上一点，且AE ＝AB ，F 为BE 上任意点，F G ⊥AC 于点G ，FH ⊥AB 于点H ，则FG +FH 的值是（）A．B．C．2 D．111．下列说法中，错误的是（）A．如果一个四边形绕对角线的交点旋转90°后，所得的图形能与原图形重合，那么这个四边形是正方形B．在一个平行四边形中，如果有一条对角线平分一个内角，那么该平行四边形是菱形C．在一个四边形中，如果有一条对角线平分一组内角，则该四边形是菱形D．两张等宽的纸条交叠在一起，重叠的部分是菱形12．如图：分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB为边作等边△ACD及等边△ABE，已知∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF交AC于点O．给出下列说法：①AC＝EF；②四边形ADFE是平行四边形；③△ABC≌△ADO；④2FO ＝BC；⑤∠EAD＝120°．其中正确结论的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．5二．填空题13．已知，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝4，AB＝CD＝6，∠B＝60°，那么下底BC的长为．14．如图，若∠A＝30°，则∠B+∠C+∠D+∠E＝．15．如图，长方形ABCD中，∠A＝∠ABC＝∠BCD＝∠D＝90°，AB＝CD＝5，AD＝BC＝13，点E为射线AD上的一个动点，若△ABE与△A'BE关于直线BE对称，当△A'BC为直角三角形时，AE的长为．16．小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示菱形，并测得∠B＝60°，接着活动学具成为图2所示正方形，并测得正方形的对角线AC＝40cm，则图1中对角线AC的长为cm．17．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD顶点A的坐标为（0，4），B点在x轴上，对角线AC，BD交于点M，OM＝6，则点C的坐标为．三．解答题18．在平面直角坐标系xOy中，四边形OADC为正方形，点D的坐标为（4，4），动点E沿边AO从A向O以每秒1cm 的速度运动，同时动点F沿边OC从O向C以同样的速度运动，连接AF、DE交于点G．（1）试探索线段AF、DE的关系，写出你的结论并说明理由；（2）连接EF、DF，分别取AE、EF、FD、DA的中点H、I、J、K，则四边形HIJK是什么特殊平行四边形？请在图①中补全图形，并说明理由．（3）如图②当点E运动到AO中点时，点M是直线EC上任意一点，点N是平面内任意一点，是否存在点N使以O，C、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．19．如图，在平行四边形ABCD中，连接AC，AD＝AC，过点D作DF⊥AC交BC于点F，交AC于点E，连接AF．（1）若AE＝4，DE＝2EC，求EC的长．（2）延长AC至点H，连接FH，使∠H＝∠EDC，若AB＝AF＝FH，求证：FD+FC＝AD．20．如图，在正方形ABCD中，M、N分别是射线CB和射线DC上的动点，且始终∠MAN＝45°．（1）如图1，当点M、N分别在线段BC、DC上时，请直接写出线段BM、MN、DN之间的数量关系；（2）如图2，当点M、N分别在CB、DC的延长线上时，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，给予证明，若不成立，写出正确的结论，并证明；（3）如图3，当点M、N分别在CB、DC的延长线上时，若CN＝CD＝6，设BD与AM的延长线交于点P，交AN于Q，直接写出AQ、AP的长．21．【综合与实践】如图①，在正方形ABCD中，点E、F分别在射线CD、BC上，且BF＝CE，将线段FA绕点F顺时针旋转90°得到线段FG，连接EG，试探究线段EG和BF的数量关系和位置关系．【观察与猜想】任务一：“智慧小组”首先考虑点E、F的特殊位置如图②，当点E与点D重合，点F与点C重合时，易知：EG与BF的数量关系是，EG与BF的位置关系是．【探究与证明】任务二：“博学小组”同学认为E、F不一定必须在特殊位置，他们分两种情况，一种是点E、F 分别在CD、BC边上任意位置时（如图③）；一种是点E、F在CD、BC边的延长线上的任意位置时（如图④），线段EG与BF的数量关系与位置关系仍然成立．请你选择其中一种情况给出证明．【拓展与延伸】“创新小组”同学认为，若将“正方形ABCD”改为“矩形ABCD，且＝k（k≠1）”，点E、F分别在射线CD、BC上任意位置时，仍将线段FA绕点F顺时针旋转90°，并适当延长得到线段FG，连接EG（如图⑤），则当线段BF、CE、AF、FG满足一个条件时，线段EG与BF的数量关系与位置关系仍然成立．（请你在横线上直接写出这个条件，无需证明）参考答案一．选择题1．解：∵∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为215°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+215°＝4×180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝505°，∵五边形OAGFE内角和＝（5﹣2）×180°＝540°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠BOD＝540°，∴∠BOD＝540°﹣505°＝35°，故选：B．2．解：∵一个正多边形的外角等于36°，∴这个正多边形是正十边形，∴内角和为（10﹣2）×180°＝1440°，故选：A．3．解：连接PC，∵PE⊥AC，PF⊥BC，∴∠PEC＝∠PFC＝∠C＝90°，∴四边形ECFP是矩形，∴EF＝PC，∴当PC最小时，EF也最小，即当CP⊥AB时，PC最小，∵AC＝6，BC＝8，∴AB＝10，∴PC的最小值为：．∴线段EF长的最小值为4.8．故选：D．4．解：∵矩形ABCD的边AB∥CD，∴∠ABO＝∠CDO，在矩形ABCD中，OB＝OD，在△BOE和△DOF中，，∴△BOE ≌△DOF （ASA ），∴S △BOE ＝S △DOF ，∴阴影部分的面积＝S △AOB ＝S 矩形ABCD ．故选：B ．5．解：∵四边形CEFG 是正方形，∴∠CEF ＝90°，∵∠CED ＝180°﹣∠AEF ﹣∠CEF ＝180°﹣15°﹣90°＝75°，∴∠D ＝180°﹣∠CED ﹣∠ECD ＝180°﹣75°﹣35°＝70°，∵四边形ABCD 为平行四边形，∴∠B ＝∠D ＝70°．故选：B ．6．解：E ，F 分别是AD ，BC 的中点，则有AE ＝FC ＝ED ＝BF ＝AD ＝BC∴四边形AECF ，EDFB ，是平行四边形，有∠FBE ＝∠EDF ＝∠AEB∵AE ∥BF∴EAF ＝∠AFB∴根据ASA 得出△MAE ≌△MFB ，∴AM ＝MF ，即点M 是AF 的中点．同理，点N 是FD 的中点，∴MN 是△EBC 和△AFD 的中位线，∴MN ＝AE ＝FC ＝ED ＝BF ＝AD ＝BC∴四边形AENM ，DEMN ，BMNF ，FCNM 是平行四边形∵EN ∥MF ，ME ∥FN∴四边形ENFM 是平行四边形，而四边形ABCD 也是平行四边形，共8个平行四边形．故选：B ．7．解：因为一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线BD ＝AC 时，中点四边形是菱形，当对角线AC ⊥BD 时，中点四边形是矩形，当对角线AC ＝BD ，且AC ⊥BD 时，中点四边形是正方形，故④选项正确，故选：A ．8．解：∵AD ＝DC ，∠EDC ＝∠FAD ，DE ＝AF ，∴△DEC ≌△AFD （SAS ）．∴∠DCE ＝ADF ．∵∠DCE +∠DEC ＝90°，∴∠ADF+∠DEC＝90°，即∠DGE＝90°＝∠DGC．所以点G运动的轨迹在以DC为直径的圆上的一段弧，圆心在DC中点O处．当A、G、O三点共线时，AG最短，如图所示．此时AO＝＝＝，OG＝DC＝1，所以AG＝AO﹣OG＝﹣1．因为点E不与点D重合，所以AG＜2．所以﹣1≤AG＜2．故选：D．9．解：如图，延长EF交BC的延长线于G，取AB的中点H，连接FH．∵CD＝2AD，DF＝FC，∴CF＝CB，∴∠CFB＝∠CBF，∵CD∥AB，∴∠CFB＝∠FBH，∴∠CBF＝∠FBH，∴∠ABC＝2∠ABF．故①正确，∵DE∥CG，∴∠D＝∠FCG，在△DFE和△FCG中，∴△DFE≌△FCG（ASA），∴FE＝FG，∵BE⊥AD，∴∠AEB ＝90°，∵AD ∥BC ，∴∠AEB ＝∠EBG ＝90°，∴BF ＝EF ＝FG ，故②正确，∵S △DFE ＝S △CFG ，∴S 四边形DEBC ＝S △EBG ＝2S △BEF ，故③正确， ∵AH ＝HB ，DF ＝CF ，AB ＝CD ，∴CF ＝BH ，∵CF ∥BH ，∴四边形BCFH 是平行四边形，∵CF ＝BC ，∴四边形BCFH 是菱形，∴∠BFC ＝∠BFH ，∵FE ＝FB ，FH ∥AD ，BE ⊥AD ，∴FH ⊥BE ，∴∠BFH ＝∠EFH ＝∠DEF ，∴∠EFC ＝3∠DEF ，故④正确，故选：D ．10．解：如图，过点E 作EM ⊥AB ，连接AF ，∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠ACB ＝45°，∴△AEM 是等腰直角三角形，∵AB ＝AE ＝2，∴EM ＝AE ×sin45°＝2×， ∵S △ABE ＝S △AEF +S △ABF ， ∴， ∴EM ＝FG +FH ＝，故选：B ．11．解：A ．如果一个四边形绕对角线的交点旋转90°后，所得的图形能与原图形重合，那么这个四边形是正方形，本选项正确；B．在一个平行四边形中，如果有一条对角线平分一个内角，那么该平行四边形是菱形，本选项正确；C．在一个四边形中，如果有一条对角线平分一组内角，则该四边形不一定是菱形，本选项错误；D．两张等宽的纸条交叠在一起，重叠的部分是菱形，本选项正确；故选：C．12．解：∵Rt△ABC中，∠BAC＝30°，∴AB＝2BC，又∵△ABE是等边三角形，EF⊥A B，∴AB＝2AF∴AF＝BC，在Rt△AFE和Rt△BCA中，，∴Rt△AFE≌Rt△BCA（HL），∴AC＝EF；故①正确∵△ACD是等边三角形，∴∠DAC＝60°，AC＝AD，∴∠DAB＝∠DAC+∠BAC＝90°又∵EF⊥AB，∴EF∥AD，∵AC＝EF，AC＝AD，∴EF＝AD，∴四边形ADFE是平行四边形．故②正确∵四边形ADFE是平行四边形∴AE＝DF＝AB，AE∥DF又∵AF＝BC，AD＝AC∴△ADF≌△CAB（SSS）∴△ABC与△ADO不全等故③错误∵AE∥DF∴BC＝2OF故④正确∵∠EAD＝∠BAE+∠BAC+∠CAD＝150°故⑤错误故选：B．二．填空题13．解：如图，过A作AE∥DC交BC与E，∵AD∥BC，∴四边形AECD是平行四边形，∴AD＝EC＝4，AE＝CD，∵AB＝CD＝6，∴AE＝AB＝6，∵∠B＝60°，∴△ABE是等边三角形，∴BE＝AB＝6，∴BC＝6+4＝10．故答案为：10．14．解：如图所示，AE与CD交于点M，AB与CD交于点N，∵∠ANC是△BCN的一个外角，∴∠ANM＝∠B+∠C，又∵∠DME是△AMN的一个外角，∴∠DME＝∠A+∠ANM，∴∠DME＝∠A+∠B+C，∴∠A+∠B+C+∠D+∠E＝180°，即30°+∠B+C+∠D+∠E＝180°，∴∠B+C+∠D+∠E＝180°﹣30°＝150°，故答案为：150°．15．解：若点E在线段AD上，∵若△ABE与△A′BE关于直线BE对称，∴AB＝A'B＝，5，∠EA'B＝90°，AE＝A'E∵△A'BC为直角三角形∴∠BA'C＝90°∴A'C＝＝＝12，∵∠EA'B＝90°，∠BA'C＝90°∴∠CA'E＝180°∴点E，点C，点A'共线在Rt△CDE中，DC2+DE2＝CE2．∴（A'E+12）2＝（13﹣AE）2+25，∴AE＝1，若点E在线段AD的延长线上，且点C在A'E上，如图所示：∵△ABE与△A′BE关于直线BE对称，∴AB＝A'B＝，5，∠A＝∠A'＝90°在Rt△A'BC中，A'C＝＝＝12，∵∠BCA'+∠DCE＝90°，∠DCE+∠DEC＝90°∵∠A'＝∠EDC＝90°，AB＝CD＝A'B，∴在△A'C和△DCE中，，∴△A'BC≌△DCE（AAS），∴DE＝A'C＝12，∴AE＝1AD+DE＝13+12＝25；故答案为：1或25．16．解：如图1，2中，连接AC．在图2中，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠B＝90°，∵AC＝40°，∴AB＝BC＝20，在图1中，∵∠B＝60°，BA＝BC，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝BC＝20，故答案为：20，17．解：过点C作CE⊥x轴于点E，过点M作MF⊥x轴于点F，连接EM，如图所示：∴∠MFO＝∠CEO＝∠AOB＝90°，AO∥MF∥CE，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，AM＝CM，∴∠OAB＝∠EBC，OF＝EF，∴MF是梯形AOEC的中位线，∴MF＝（AO+EC），∵MF⊥OE，∴MO＝ME．∵在△AOB和△BEC中，，∴OB＝CE，AO＝BE．∴MF＝（BE+OB），又∵OF＝FE，∴△MOE是直角三角形，∵MO＝ME，∴△MOE是等腰直角三角形，∴OE＝＝12，∵A（0，4），∴OA＝4，∴BE＝4，∴OB＝CE＝OE﹣BE＝8．∴C（12，8）．故答案为：（12，8）．三．解答题18．解：（1）AF＝DE．理由如下：∵四边形OADC是正方形，∴OA＝AD，∠DAE＝∠AOF＝90°，由题意得：AE＝OF，在△AOF和△DAE中，，∴△AOF≌△DAE（SAS），∴AF＝DE．（2）四边形HIJK是正方形．理由如下：如图①所示：∵H、I、J、K分别是AE、EF、FD、DA的中点，∴HI＝KJ＝AF，HK＝IJ＝ED，HI∥AF，HK∥ED，∵AF＝DE，∴四边形HIJK是菱形，∵△AOF≌△DAE，∴∠ADE＝∠OAF，∵∠ADE+∠AED＝90°，∴∠OAF+∠AED＝90°，∴∠AGE＝90°，∴AF⊥ED，∵HI∥AF，HK∥ED，∴HI⊥HK，∴∠KHI＝90°，∴四边形HIJK是正方形．（3）存在，理由如下：∵四边形OADC为正方形，点D的坐标为（4，4），∴OA＝AD＝OC＝4，∴C（4，0），∵点E为AO的中点，∴OE＝2，E（0，2）；分情况讨论：如图②所示，①当OC是以O，C、M、N为顶点的菱形的对角线时，OC与MN互相垂直平分，则M为CE的中点，∴点M的坐标为（2，1），∵点M和N关于OC对称，∴N（2，﹣1）；②当OC是以O，C、M、N为顶点的菱形的边时，若M在y轴的左侧时，∵四边形OCM'N'是菱形，∴OM'＝OC＝4，M'N'∥OC，∴△M'FE∽△COE，∴＝＝2，设EF＝x，则M'F＝2x，OF＝x+2，在Rt△OM'F中，由勾股定理得：（2x）2+（x+2）2＝42，解得：x＝，或x＝﹣2（舍去），∴N'（，）；若M在y轴的右侧时，作N''P⊥OC于P，∵ON''∥CM''，∴∠PON''＝∠OCE，∴tan∠PON''＝＝tan∠OCE＝＝，设PN''＝y，则OP＝2y，在Rt△OPN''中，由勾股定理得：y2+（2y）2＝42，解得：y＝，∴PN''＝，OP＝，∴N''（，﹣）；综上所述，存在点N使以O，C、M、N为顶点的四边形是菱形，点N的坐标为（2，﹣1）或（，）或（，﹣）．19．（1）解：设EC＝x，则DE＝2x，AD＝AC＝AE+EC＝4+x，∵DF⊥AC，∴∠AED＝90°，在Rt△ADE中，由勾股定理得：（2x）2+42＝（4+x）2，解得：x＝，或x＝0（舍去），（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∵AB＝AF＝FH，∴CD＝FH，∵DF⊥AC，∴∠DEC＝∠HEF＝90°，在△DEC和△HEF中，，∴△DEC≌△HEF（AAS），∴EC＝EF，DE＝EH，∵DF⊥AC，∴△CEF是等腰直角三角形，∴∠ECF＝45°，∵AF＝FH，DF⊥AC，∴AE＝HE＝DE，∴△ADE是等腰直角三角形，∴∠DAC＝45°，DE＝AD，∵AD＝AC，∴∠ADC＝∠ACD＝（180°﹣45°）＝67.5°，∴∠EDC＝∠H＝22.5°，∴∠CFH＝∠EF﹣∠H＝22.5°＝∠H，∴CF＝CH，∴EF+FC＝EC+CH＝EH＝DE，∴FD+FC＝DE+EF+FC＝DE+DE＝2DE＝AD．20．解：（1）BM+DN＝MN，理由如下：如图1，在MB的延长线上，截取BE＝DN，连接AE，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝∠ABC＝∠D＝90°，∴∠ABE＝90°＝∠D，在△ABE和△ADN中，，∴AE＝AN，∠EAB＝∠NAD，∴∠EAN＝∠BAD＝90°，∵∠MAN＝45°，∴∠EAM＝45°＝∠NAM，在△AEM和△ANM中，，∴△AEM≌△ANM（SAS），∴ME＝MN，又∵ME＝BE+BM＝BM+DN，∴BM+DN＝MN；故答案为：BM+DN＝MN；（2）（1）中的结论不成立，DN﹣BM＝MN．理由如下：如图2，在DC上截取DF＝BM，连接AF，则∠ABM＝90°＝∠D，在△ABM和△ADF中，，∴△ABM≌△ADF（SAS），∴AM＝AF，∠BAM＝∠DAF，∴∠BAM+∠BAF＝∠BAF+∠DAF＝∠BAD＝90°，即∠MAF＝∠BAD＝90°，∵∠MAN＝45°，∴∠MAN＝∠FAN＝45°，在△MAN和△FAN中，，∴△MAN≌△FAN（SAS），∴MN＝NF，∴MN＝DN﹣DF＝DN﹣BM，∴DN﹣BM＝MN．（3）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝AD＝CD＝6，AD∥BC，AB∥CD，∠ABC＝∠ADC＝∠BCD＝90°，∴∠ABM＝∠MCN＝90°，∵CN＝CD＝6，∴AN＝＝＝6，∵AB∥CD，∴△ABQ∽△NDQ，∴＝＝＝＝，∴＝，∴AQ＝AN＝2；由（2）得：DN﹣BM＝MN．设BM＝x，则MN＝12﹣x，CM＝6+x，在Rt△CMN中，由勾股定理得：62+（6+x）2＝（12﹣x）2，解得：x＝2，∴BM＝2，∴AM＝＝＝2，∵BC∥AD，∴△PBM∽△PDA，∴＝＝＝，∴PM＝AM＝，∴AP＝AM+PM＝3．21．【观察与猜想】解：∵四边形ABCD是正方形，由旋转的性质得：GC＝AC，∠ACG＝90°，∴∠ACB＝∠GCD＝45°，在△ABC和△GDC中，，∴△ABC≌△GDC（SAS），∴AB＝GD，∠GDC＝∠B＝90°，∴DG∥BC，△CDG是等腰直角三角形，∴DG＝CD＝BC，∵点E与点D重合，点F与点C重合，∴EG＝BF，EG∥BF；故答案为：EG＝BF，EG∥BF；【探究与证明】证明：点E、F分别在CD、BC边上任意位置时，如图③所示：作GM⊥BC，交BC延长线于M，则∠GMF＝90°，MG∥DC，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠BCD＝∠B＝90°，∴∠BAF+∠BFA＝90°，由旋转的性质得：GF＝AF，∠AFG＝90°，∴∠BFA+∠MFG＝90°，∴∠BAF＝∠MFG，在△ABF和△FMG中，，∴△ABF≌△FMG（AAS），∴AB＝FM，BF＝MG，∵AB＝BC，∴BF＝CM，∵BF＝CE，∴MG＝CE，∵MG∥CE，∴四边形CEGM是平行四边形，又∵∠GMF＝90°，∴四边形CEGM是矩形，∴EG＝CM，EG∥CM，∴EG＝BF，EG∥BF；点E、F在CD、BC边的延长线上的任意位置时，如图④所示：作GM⊥BC，交BC延长线于M，则∠GMF＝90°，MG∥DC，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠BCD＝∠B＝90°，∴∠BAF+∠BFA＝90°，由旋转的性质得：GF＝AF，∠AFG＝90°，∴∠BFA+∠MFG＝90°，∴∠BAF＝∠MFG，在△ABF和△FMG中，，∴△ABF≌△FMG（AAS），∴AB＝FM，BF＝MG，∵AB＝BC，∴BF＝CM，∵BF＝CE，∴MG＝CE，∵MG∥CE，∴四边形CEGM是平行四边形，又∵∠GMF＝90°，∴四边形CEGM是矩形，∴EG＝CM，EG∥CM，∴EG＝BF，EG∥BF；【拓展与延伸】解：＝＝k（k≠1）时，线段EG与BF的数量关系与位置关系仍然成立；理由如下：作GM⊥BC，交BC延长线于M，如图⑤所示：则∠GMF＝90°，MG∥DC，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠BCD＝∠B＝90°，∴∠BAF+∠BFA＝90°，∠B＝∠GMF，由旋转的性质得：∠AFG＝90°，∴∠BFA+∠MFG＝90°，∴∠BAF＝∠MFG，∴△ABF∽△FMG，∴＝＝，∵＝＝k，∴＝＝k，＝＝k，∴FM＝BC，GM＝CE，∴BF＝CM，∵MG∥CE，∴四边形CEGM是平行四边形，又∵∠GMF＝90°，∴四边形CEGM是矩形，∴EG＝CM，EG∥CM，∴EG＝BF，EG∥BF；故答案为：＝＝k（k≠1）．。

初中数学中考复习四边形综合复习(能力提升)

考向19 四边形综合复习【知识梳理】考点一、四边形的相关概念1.多边形的定义：在平面内，由不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.2.多边形的性质：(1)多边形的内角和定理：n边形的内角和等于(n-2)·180°；(2)推论：多边形的外角和是360°；(3)对角线条数公式：n边形的对角线有条；(4)正多边形定义：各边相等，各角也相等的多边形是正多边形.3.四边形的定义：同一平面内，由不在同一条直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫做四边形.4.四边形的性质：(1)定理：四边形的内角和是360°； (2)推论：四边形的外角和是360°.考点二、特殊的四边形1.平行四边形及特殊的平行四边形的性质2. 平行四边形及特殊的平行四边形的判定方法指导：面积公式：S 菱形 =21ab=ch （a 、b 为菱形的对角线,c 为菱形的边长，h 为c 边上的高）. S 平行四边形 =ah(a 为平行四边形的边，h 为a 上的高）.考点三、梯形1.梯形的定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形.(1)互相平行的两边叫做梯形的底；较短的底叫做上底，较长的底叫做下底. (2)不平行的两边叫做梯形的腰. (3)梯形的四个角都叫做底角.2.直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形.3.等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形.4.等腰梯形的性质：(1)等腰梯形的两腰相等； (2)等腰梯形同一底上的两个底角相等. (3)等腰梯形的对角线相等.5.等腰梯形的判定方法：(1)两腰相等的梯形是等腰梯形(定义)；(2)同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形； (3)对角线相等的梯形是等腰梯形.6.梯形中位线：连接梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线.7.面积公式： S=(a+b)h(a 、b 是梯形的上、下底，h 是梯形的高).考点四、平面图形1.平面图形的镶嵌的定义：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌，又称做平面图形的密铺.2.平面图形镶嵌的条件：(1)同种正多边形镶嵌成一个平面的条件：周角是否是这种正多边形的一个内角的整倍数.在正多边形里只有正三角形、正四边形、正六边形可以镶嵌. (2)n 种正多边形组合起来镶嵌成一个平面的条件： ①n 个正多边形中的一个内角的和的倍数是360°； ②n 个正多边形的边长相等，或其中一个或n 个正多边形的边长是另一个或n 个正多边形的边长的整数倍.【专项训练】一、选择题1．如图，在中，，是上异于、的一点，则的值是（）．A．16 B．20 C．25 D．302. 如图1，在矩形中，动点从点出发，沿→→→方向运动至点处停止．设点运动的路程为，的面积为，如果关于的函数图象如图2所示，则当时，点应运动到（）.A．处B．处C．处D．处3．如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，E、F分别是AB，AD的中点，DE、BF相交于点G，连接BD，CG．有下列结论：①∠BGD=120°；②BG+DG=CG；③△BDF≌△CGB；④S△ABD=AB2其中正确的结论有（）.A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4.一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……如此下去，最后得到了34个六十二边形和一些多边形纸片，则至少要剪的刀数是（）.A. 2004B. 2005C. 2006D. 20075．如图所示，已知菱形OABC，点C在x轴上，直线y=x经过点A，菱形OABC的面积是.若反比例函数的图象经过点B，则此反比例函数表达式为（）.A．B． C．D．6.如图，正方形ABCD的边长为1，将长为1的线段QR的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动．如果点Q从点A出发，按A→B→C→D→A的方向滑动到A停止，同时点R从点B 出发，按B→C→D→A→B的方向滑动到B停止，在这个过程中，线段QR的中点M所经过的路线围成的图形面积为（）A．B．4﹣πC．πD．二、填空题7. 如图，将两张长为8，宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值8，那么菱形周长的最大值是_________．8. 如图，在等腰梯形中，，= 4=，=45°．直角三角板含45°角的顶点在边上移动，一直角边始终经过点，斜边与交于点．若为等腰三角形，则的长等于____________．9.如图，正方形A1B1B2C1，A2B2B3C2，A3B3B4C3，…，A n B n B n+1C n，按如图所示放置，使点A1、A2、A3、A4、…、A n在射线OA上，点B1、B2、B3、B4、…、B n在射线OB上．若∠AOB=45°，OB1=1，图中阴影部分三角形的面积由小到大依次记作S1，S2，S3，…，S n，则S n=______．10.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且正方形对角线交于点O，连接OC，已知AC=5，OC=6，则另一直角边BC的长为．11.如图，已知正方形ABCD的边长为1，以顶点A、B为圆心，1为半径的两弧交于点E，以顶点C、D为圆心，1为半径的两弧交于点F，则EF的长为．12.如图，直角梯形ABCD中，∠A=90°，∠B=120°，AD=，AB=6．在底边AB上取点E，在射线DC上取点F，使得∠DEF=120°．若射线EF经过点C，则AE的长是．三、解答题13.如图，在边长为4cm的正方形ABCD中，点E，F，G，H分别按A⇒B，B⇒C，C⇒D，D⇒A的方向同时出发，以1cm/s的速度匀速运动．在运动过程中，设四边形EFGH的面积为S（cm2），运动时间为t（s）．（1）试证明四边形EFGH是正方形；（2）写出S关于t的函数关系式，并求运动几秒钟时，面积最小，最小值是多少？（3）是否存在某一时刻t，使四边形EFGH的面积与正方形ABCD的面积比是5：8？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．14.如图,在矩形ABCD中，AB=3，AD=1，点P在线段AB上运动，设AP=x，现将纸片还原，使点D与P重合，得折痕EF（点E、F为折痕与矩形边的交点，再将纸片还原。

八年级数学-四边形经典练习提高题含答案

梯形菱形正方形综合练习(含答案)1、如图，在矩形ABCD 中，AB = 3，AD = 4，P 是AD 上不与A 、D 重合的一动点，PE ⊥AC ，PF ⊥BD ，E 、F 为垂足，则PE + PF 的值为（）A 、2B 、2.4C 、2.5D 、2.62、下列命题正确的是（）A 、两邻边相等的四边形是菱形B 、一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形C 、对角线垂直且一组邻边相等的四边形是菱形D 、对角线垂直的四边形是菱形3、已知菱形的周长是高的8倍，则菱形较大的一个角是（）A 、100°B 、120°C 、135°D 、150°4.如图梯形ABCD 的两底长为AD =6，BC =10，中线为EF ，且∠B =90︒，若P 为AB 上的一点，且PE 将梯形ABCD 分成面积相同的两区域，则△EFP 与梯形ABCD 的面积比为何？(A) 1：6 (B) 1：10 (C) 1：12 (D) 1：16 。

5．如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ⊥BD 于点O ，AE ⊥BC ，DF ⊥BC ，垂足分别为E 、F ，AD ＝4，BC ＝8，则AE ＋EF 等于（）A ．9B ．10C ．11D ．126.如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，对角线AC ⊥BC ，∠B ＝60º，BC ＝2cm ，则梯形ABCD的面积为（）D C B AEF P ACB D (第3题图)60°30°D C B AA ．33cm 2B ．6 cm 2 C．36cm 2D ．12 cm 2 7．(1)梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=CD=AD=2，∠B=60°，则下底BC 的长是( )A ．3B ．4C ． 2D ．5(2)已知等腰梯形的底角为45o ，高为2，上底为2，则其面积为（A ）2 （B ）6 （C ）8 （D ）128．如图，在等腰梯形ABCD 中，AC ⊥BD ，AC ＝6cm ，则等腰梯形ABCD 的面积为_____cm 2.9，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，CD AD AB ==，若︒=∠60ABC ，12=BC ，则梯形ABCD 的周长为____________。

2021年中考九年级数学专题复习：四边形提高训练题

冲刺2021年中考九年级数学专题复习：四边形提高训练题1、如图，直角梯形纸片ABCD中，AD//BC，∠A=90º，∠C=30º．折叠纸片使BC经过点D，点C 落在点E处，BF是折痕，且BF=CF=8．（1）求∠BDF的度数；（2）求AB的长．2、如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB＝DC，过点D作DE⊥BC，垂足为E，并延长DE至F，使EF＝DE．联结BF、CD、AC．（1）求证：四边形ABFC是平行四边形；（2）如果DE2＝BE·CE，求证四边形ABFC是矩形．3、已知矩形ABCD中，E是AD边上的一个动点，点F，G，H分别是BC，BE，CE的中点．（1）求证：△BGF≌△FHC；（2）设AD=a，当四边形EGFH是正方形时，求矩形ABCD的面积．4、如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E．(1)求证：BE=CD．(2)连接BF，若BF⊥AE，∠BEA=60°，AB=4，求平行四边形ABCD的面积．5、如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE，BA交于点F，连接AC，DF．（1）求证：四边形ACDF是平行四边形；（2）当CF平分∠BCD时，写出BC与CD的数量关系，并说明理由．6、如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD进行折叠，折叠后点C落在点F处，DF交AB于点E．(1）求证；∠EDB=∠EBD；(2）判断AF与DB是否平行，并说明理由．7、如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，（1）求证：AC2=AB•AD；（2）求证：CE∥AD；（3）若AD=4，AB=6，求的值．8、如图，在四边形ABCD中，∠BAC=∠ACD=90°，∠B=∠D．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）若AB=3cm，BC=5cm，AE=13AB，点P从B点出发，以1cm/s的速度沿BC→CD→DA运动至A点停止，则从运动开始经过多少时间，△BEP为等腰三角形？9、如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF．（1）证明：∠BAC=∠DAC，∠AFD=∠CFE．（2）若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形；（3）在（2）的条件下，试确定E点的位置，∠EFD=∠BCD，并说明理由．10、已知：如图①，正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．（1）求证：EG=CG；（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45º，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）11、四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在边AD所在的直线上，连接CE，以CE为边，作正方形CEFG（点D，点F在直线CE的同侧），连接BF（1）如图1，当点E与点A重合时，请直接．．写出BF的长；（2）如图2，当点E在线段AD上时，1AE=①求点F到AD的距离②求BF的长（3）若310BF=，请直接．．写出此时AE的长.12、如图（1），在矩形ABCD中，把∠B、∠D分别翻折，使点B、D分别落在对角线BC上的点E、F处，折痕分别为CM、AN.（1）求证：△AND≌△CBM.（2）请连接MF、NE，证明四边形MFNE是平行四边形，四边形MFNE是菱形吗？请说明理由？（3）P、Q是矩形的边CD、AB上的两点，连结PQ、CQ、MN，如图（2）所示，若PQ=CQ，PQ ∥MN。

中考数学一轮复习《四边形》综合复习练习题(含答案)

中考数学一轮复习《四边形》综合复习练习题（含答案）一、单选题1．一个多边形的内角和为900°，则这个多边形是（）A ．七边形B ．八边形C ．九边形D ．十边形 2．如图，将三角形纸片剪掉一角得四边形，设△ABC 与四边形BCDE 的外角和的度数分别为α，β，则正确的是（）A ．0αβ-=B ．0αβ-<C ．0αβ->D ．无法比较α与β的大小3．如图，把一个长方形纸片沿EF 折叠后，点D 、C 分别落在D ′、C ′的位置，若∠EFB ＝65°，则∠AED ′等于（）A ．50°B ．55°C ．60°D ．65°4．若一个正多边形的一个外角是60°，则这个正多边形的边数是（）A ．10B ．9C ．8D ．65．如图，四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中正确的是（）A ．当ABCD 是矩形时，90BAC ∠=︒B ．当ABCD 是菱形时，AB BC ⊥ C ．当ABCD 是正方形时，AC BD = D ．当ABCD 是菱形时，AB AC =6．如图，在正方形ABCD 中，AE 平分BAC ∠交BC 于点E ，点F 是边AB 上一点，连接DF ，若BE AF =，则CDF ∠的度数为（）A ．45︒B ．60︒C ．67.5︒D ．775︒.7．如图，要拧开一个边长为()=6mm a a 的正六边形，扳手张开的开口b 至少为（）A ．43mmB ．63mmC ． 42mmD ． 12mm8．如图，菱形ABCD 中，∠BAD = 60°，AB = 6，点E ，F 分别在边AB ，AD 上，将△AEF 沿EF 翻折得到△GEF ，若点G 恰好为CD 边的中点，则AE 的长为（）A ．34B ．214C 3154D ．39．以下说法不正确的是（）A ．平行四边形是抽对称图形B ．矩形对角线相等C ．正方形对角线互相垂直平分D ．菱形四条边相等10．陈师傅应客户要求加工4个长为4cm 、宽为3cm 的矩形零件．在交付客户之前，陈师傅需要对4个零件进行检测．根据零件的检测结果，图中有可能不合格的零件是（）A．B．C．D．11．如图，AB是半圆O的直径，以弦AC为折痕折叠AC后，恰好经过点O，则AOC∠等于（）A．120°B．125°C．130°D．145°12．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对角线AC经过坐标原点O，矩形的边分别平行于坐标轴，点B在函数kyx=（k≠0，x＞0）的图像上，点D的坐标为（﹣3，1），则k的值为（）A．53B．3-C．3D．53-二、填空题13．如果一个多边形的每一个外角都是60︒，那么这个多边形的边数是_______．14．如图，在矩形ABCD中，E是AD边上一点，且2AE DE=，BD与CE相交于点F，若DEF 的面积是3，则BCF △的面积是______．15．如果正多边形的一个外角是45︒，则这个正多边形的内角和是________︒．16．巧板是我国古代劳动人民的一项发明，被誉为“东方魔板”，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形组成．如图是利用七巧板拼成的正方形，随机向该图形内抛一枚小针，则针尖落在阴影部分的概率为 _____．17．如图，四边形ABCD 是菱形，42BD =，26AD =，点E 是CD 边上的一动点，过点E 作EF ⊥OC 于点F ，EG ⊥OD 于点G ，连接FG ，则FG 的最小值为_________．18．如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，过点O 作OE AC ⊥交AD 于点E ，若4AB =，8BC =，则DE 的长为______．19．已知ABC 中，65A ∠=︒，将B C ∠∠、按照如图所示折叠，若35ADB '∠=︒，则123∠+∠+∠=_____︒．CE ，F 20．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，5为DE的中点．若CEF△的周长为18，则OF的长为______．三、解答题21．如图，一组正多边形，观察每个正多边形中a的变化情况，解答下列问题．(1)将表格补充完整．正多边形的边数 3 4 5 6α的度数(2)观察上面表格中α的变化规律，角α与边数n的关系为．(3)根据规律，当α＝18°时，多边形边数n＝．22．如图，在ABCD中，AC=BC，M、N分别是AB和CD的中点．(1)求证：四边形AMCN是矩形；(2)若∠B=60°，BC=8，求ABCD的面积．23．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD 的中点，延长AE至G，使EG＝AE，连接CG．(1)求证：△ABE≌△CDF；(2)当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由．24．如图，矩形ABCD中，点E在边CD上，将△BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处，过点F作FG∥CD交BE于点G，连接CG．(1)求证：四边形CEFG是菱形；(2)若AB=6，AD=10，求四边形CEFG的面积．25．如图，点E为矩形ABCD外一点，AE = DE.求证：△ABE≌△DCE26．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝2，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．(1)求证：矩形DEFG是正方形；(2)探究：①CE与CG有怎样的位置关系？请说明理由．②CE＋CG的值为．27．某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：【现察与猜想】(1)如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，AD上的两点，连接DE，CF，DE⊥CF，则DECF的值为______．(2)如图2，在矩形ABCD中，AD=7，CD=4，点E是AD上的一点，连接CE，BD，且CE⊥BD，则CEBD的值______．【类比探究】(3)如图3，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，点E为AB上一点，连接DE，过点C作DE 的垂线交ED的延长线于点G，交AD的延长线于点F，求证：DE•AB=CF•AD．28．在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点M为AB边上一个动点，连接DM，过点M作MN⊥DM，且MN＝32DM，连接DN．(1)如图1，连接BD与BN，BD交MN于点E．①求证：△ABD∽△MND；②求证：∠CBN＝∠DNM．(2)如图2，当AM＝4BM时，求证：A，C，N三点在同一条直线上．参考答案1．A2．A3．A4．D5．C6．C7．B8．B9．A10．C11．A12．B13．614．2715．108016．381718．319．265︒20．7221．（1）正多边形每个内角的度数为180(2)n n -． 1803,603n α===； 904,452n α===；正五边形的内角180(52)1085-=，1801085,362n α-===；正五边形的内角180(62)1206-=，1801206,302n α-===．（2）观察（1）中结论，1803,603n == 1804,454n == 1805,365n == 1806,306n == 总结规律，则有180n α=．（3）借助（2）中公式，有180n α=，即18018n= 解得10n =．22．（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD ，AB =CD ，∵M 、N 分别是AB 和CD 的中点， ∴AM =BM ，AM ∥CN ，AM =CN ， ∴四边形AMCN 是平行四边形，又∵AC =BC ，AM =BM ，∴CM ⊥AB ，∴∠CMA =90°，∴四边形AMCN 是矩形；（2）解：∵∠B =60°，BC =8，∠BMC =90°， ∴∠BCM =30°，∴Rt △BCM 中，BM =12BC =4，CM∵AC =BC ，CM ⊥AB ，∴AB =2BM =8，∴ABCD 的面积为AB ×CM23．（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB =CD ，AB ∥CD ，OB =OD ，OA =OC ， ∴∠ABE =∠CDF ，∵点E ，F 分别为OB ，OD 的中点， ∴BE =12OB ，DF =12OD ，∴BE =DF ，在△ABE 和△CDF 中，AB CD ABE CDF BE DF ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ABE ≌△CDF (SAS ) ．（2）当AB =12AC 时，四边形EGCF 是矩形；理由如下：当AB =12AC 时，∵AC =2OA ，AC =2AB ，∴AB =OA ，∵E 是OB 的中点，∴AG⊥OB，∴∠OEG=90°，同理：CF⊥OD，∴AG∥CF，∴EG∥CF，由（1）得：△ABE≌△CDF，∴AE=CF，∵EG=AE，∴EG=CF，∴四边形EGCF是平行四边形，∵∠OEG=90°，∴四边形EGCF是矩形．24．（1）证明：由题意可得，△BCE≌△BFE，∴∠BEC=∠BEF，FE=CE，∵FG∥CE，∴∠FGE=∠CEB，∴∠FGE=∠FEG，∴FG=FE，∴FG=EC，∴四边形CEFG是平行四边形，又∵CE=FE，∴四边形CEFG是菱形；（2）解：∵矩形ABCD 中，AB =6，AD =10，BC =BF ，∴∠BAF =90°，AD =BC =BF =10，∴AF =8，∴DF =2，设EF =x ，则CE =x ，DE =6-x ，∵∠FDE =90°，∴22+（6-x ）2=x 2，解得，x =103， ∴CE =103， ∴四边形CEFG 的面积是：CE •DF =103×2=203． 25．解：四边形ABCD 是矩形，AB DC ∴=，90BAD CDA ∠=∠=︒，AE DE =，EAD EDA ∴∠=∠，EAB BAD EAD CDA EDA EDC ∴∠=∠+∠=∠+=∠，在ABE ∆和DCE ∆中，AE DE EAB EDC AB DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ABE DCE SAS ∴∆∆≌．26．（1）如图，作EM ⊥BC 于M ，EN ⊥CD 于N ，又∠BCD =90°，∴∠MEN ＝90°，∵点E 是正方形ABCD 对角线上的点，∴EM ＝EN ，∵∠DEF ＝90°，∴∠DEN ＝∠MEF ＝90°﹣∠FEN ，∵∠DNE ＝∠FME ＝90°，在△DEN 和△FEM 中，DNE FME EN EMDEN FEM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△DEN ≌△FEM （ASA ），∴EF ＝DE ，∵四边形DEFG 是矩形，∴矩形DEFG 是正方形；（2）①CE ⊥CG ，理由如下：∵正方形DEFG 和正方形ABCD ，∴DE ＝DG ，AD ＝DC ，∵∠CDG +∠CDE ＝∠ADE +∠CDE ＝90°，∴∠CDG ＝∠ADE ，在△ADE 和△CDG 中，AD CD ADE CDG DE DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADE ≌△CDG （SAS ），∴∠DAE ＝∠DCG ，∵∠ACD +∠CAD +∠ADC ＝180°，∠ADC ＝90°，∴∠ACG ＝∠ACD +∠DCG ＝∠ACD +∠CAD ＝90°， ∴CE ⊥CG ；②由①知，△ADE ≌△CDG ，∴AE ＝CG ，∴CE +CG ＝CE +AE ＝ACAB＝2，故答案为：2.27.（1）解：设DE与CF的交点为G，∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠FDC=90°，AD=CD，∵DE⊥CF，∴∠DGF=90°，∴∠ADE+∠CFD=90°，∠ADE+∠AED=90°，∴∠CFD=∠AED，在△AED与△DFC中，A FDCCFD AEDAD CD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AED≌△DFC（AAS），∴DE=CF，∴DECF=1，故答案为：1；（2）解：如图，设DB与CE交于点G，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠EDC=90°，∵CE⊥BD，∴∠DGC=90°，∴∠CDG +∠ECD =90°，∠ADB +∠CDG =90°，∴∠ECD =∠ADB ，∵∠CDE =∠A ，∴△DEC ∽△ABD ， ∴47CE DC BD AD ==，故答案为：47；（3）证明：如图，过点C 作CH ⊥AF 交AF 的延长线于点H ，∵CG ⊥EG ，∴∠G =∠H =∠A =∠B =90°，∴四边形ABCH 为矩形，∴AB =CH ，∠FCH +∠CFH =∠DFG +∠FDG =90°，∴∠FCH =∠FDG =∠ADE ，∠A =∠H =90°，∴△AED ∽△HFC ，∴DE AD CF CH =， ∴DE AD CF AB=， ∴DE •AB =CF •AD ．28．（1）①证明：∵四边形ABCD 是矩形，DM ⊥MN ∴∠A ＝∠DMN ＝90°∵AB ＝6，AD ＝4，MN ＝32DM ∴23AD DM AB MN == ∴△ABD ∽△MND ．②证明：∵四边形ABCD 是矩形，DM ⊥MN ∴∠ABC ＝∠DMN ＝90°∴∠ABD ＋∠CBD ＝90°由①得△ABD ∽△MND∴∠ABD ＝∠DNM又∵∠MEB ＝∠DEN∴△MBE ∽△DNE ∴ME BE DE NE = ∴ME DE BE NE= 又∠MED ＝∠BEN∴△DME ∽△NBE∴∠NBE ＝∠DME ＝90°∴∠CBN ＋∠CBD ＝90°又∠ABD ＋∠CBD ＝90°，∠ABD ＝∠DNM ∴∠CBN ＝∠DNM ．（2）如图②，过点N 作NF ⊥AB 于点F ，连接AC ，AN ∴∠NF A ＝90°∵四边形ABCD 是矩形，AD ＝4，AB ＝6 ∴∠A ＝∠ABC ＝90°，BC ＝AD ＝4∴23BC AB =，∠ADM ＋∠AMD ＝90° ∵AM ＝4BM ，AB ＝6∴42455AM AB ＝＝又DM ⊥MN∴∠AMD ＋∠FMN ＝90° ∴∠ADM ＝∠FMN∴△ADM ∽△FMN ∴AD AM DM MF FN MN== 又MN ＝32DM ∴24425=3DM MF FN MN == ∴MF ＝6，FN ＝365∴AF ＝AM ＋MF ＝2454655+= ∴23NF AF = ∴NF BC AF AB = ∵∠ABC ＝∠AFN ＝90° ∴△ABC ∽△AFN∴∠BAC ＝∠F AN∴A ，C ，N 三点在同一条直线．。

四边形综合提高练习题

注意四边形中的角度和边长的取值范围
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家居用品：如桌子、椅子等家具的设计，利用四边形的稳定性和承重能力
四边形的综合题
第五章
熟悉四边形综合题的解题思路和方法
掌握四边形的性质和判定条件熟悉各种四边形之间的联系和转换掌握常用的解题方法和技巧，如平移、旋转、对称等通过练习题不断巩固和加深对四边形综合题的理解和掌握
掌握四边形综合题的常见题型和解题技巧
平行四边形中的中线菱形中的对角线矩形中的中线正方形中的中线
四边形的实际应用
第四章
熟悉四边形在生活中的应用场景
建筑领域：四边形结构稳定性强，广泛应用于桥梁、房屋等建筑中。
交通工具：车轮、自行车、火车等交通工具的轮毂和框架多采用四边形结构，提供稳定支撑和运动能力。
电子产品：手机、平板电脑等电子产品的屏幕支架和外壳常常采用四边形设计，以提供足够的强度和稳定性。
常见题型：平行四边形、矩形、菱形、正方形等
解题技巧：利用勾股定理、相似三角形、全等三角形等
解题思路：先分析题意，再选择合适的数学工具
注意事项：注意题目中的隐含条件，避免计算错误
熟悉四边形综合题中的一些难点和易错点
掌握四边形的性质和判定条件
理解四边形与其他几何图形的关系
掌握四边形的面积和周长的计算方法
家居用品：桌椅、床架、衣架等家居用品多采用四边形设计，方便实用且美观大方。
掌握四边形在实际问题中的解决方法
桥梁设计：利用四边形的稳定性，确保桥梁的安全和稳固
机械零件：四边形可以用于制造各种机械零件，如齿轮、链条等，实现机械运转
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初中数学第十九章《四边形》单元总复习题(含答案)

第十九章《四边形》提要：本章重点是四边形的有关概念及内角和定理.因为四边形的有关概念及内角和定理是本章的基础知识，对后继知识的学习起着重要的作用.本章难点在于四边形的概念及四边形不稳定性的理解和应用.在前面学习三角形的概念时，因为三角形的三个顶点确定一个平面，所以三个顶点总是共面的，也就是说，三角形肯定是平面图形，而四边形就不是这样，它的四个顶点有不共面的情况，又限于我们现在研究的是平面图形，所以在四边形的定义中加上“在同一平面内”这个条件，这几个字的意思不容易理解，所以是难点.习题一、填空题1．如图19-1，一个矩形推拉窗，窗高1.5米，则活动窗扇的通风面积A（平方米）与拉开长度b（米）的关系式是：．2．用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图19-2所示的规律，拼成若干个图形：（1）第4个图形中有白色地面砖块；（2）第n个图形中有白色地面砖块．3．黑板上画有一个图形，学生甲说它是多边形，学生乙说它是平行四边形，学生丙说它是菱形，学生丁说它是矩形，老师说这四名同学的答案都正确，则黑板上画的图形是___________________．4．在正方形ABCD所在的平面内,到正方形三边所在直线距离相等的点有__个．5．四边形ABCD为菱形,∠A=60°, 对角线BD长度为10c m，则此菱形的周长c m．6．已知正方形的一条对角线长为8c m，则其面积是__________c m2．7．平行四边形ABCD中，AB=6c m，AC+BD=14c m，则∠AOC的周长为_______．8．在平行四边形ABCD中，∠A=70°，∠D=_________, ∠B=__________．9．等腰梯形ABCD中，AD∠BC，∠A=120°，两底分别是15c m和49c m，则等腰梯形的腰长为______．10．用一块面积为450c m2的等腰梯形彩纸做风筝，为了牢固起见，用竹条做梯形的对角线，对角线恰好互相垂直，那么至少需要竹条c m．11．已知在平行四边形ABCE中,AB=14cm,BC=16cm,则此平行四边形的周长为cm. 12．要说明一个四边形是菱形,可以先说明这个四边形是形,再说明图19-2图19-1ABCDO图19-3（只需填写一种方法）13．如图19-3,正方形ABCD 的对线AC 、BD 相交于点O .那么图中共有个等腰直角三角形.14．把“直角三角形、等腰三角形、等腰直角三角形”填入下列相应的空格上.（1）正方形可以由两个能够完全重合的拼合而成; （2）菱形可以由两个能够完全重合的拼合而成; （3）矩形可以由两个能够完全重合的拼合而成. 15．矩形的两条对角线的夹角为 60,较短的边长为12cm ,则对角线长为 cm . 16．若直角梯形被一条对角线分成两个等腰直角三角形，那么这个梯形中除两个直角外，其余两个内角的度数分别为和 .17．平行四边形的周长为24cm ,相邻两边长的比为3:1,那么这个平行四边形较短的边长为___________cm .18．如图19-4，根据图中所给的尺寸和比例,可知这个“十”字标志的周长为 m .19．已知菱形的两条对角线长为12cm 和6cm ,那么这个菱形的面积为 2cm . 20．如图19-5,l 是四边形ABCD 的对称轴,如果AD ∥BC ,有下列结论: （1）AB ∥CD ;（2）AB=CD ;（3）AB BC ;（4）AO=OC .其中正确的结论是 . （把你认为正确的结论的序号都填上）二、选择题21．给出五种图形：∠矩形； ∠菱形； ∠等腰三角形（腰与底边不相等）； ∠等边三角形； ∠平行四边形（不含矩形、菱形）．其中，能用完全重合的含有300角的两块三角板拼成的图形是（）A ．∠∠B ．∠∠∠C ．∠∠∠∠D ．∠∠∠∠∠22．如图19-6,设将一张正方形纸片沿右图中虚线剪开后，能拼成下列四个图形，则其中是中心对称图形的是（）AB C D图19-611图19-4 A BCO图19-523．四边形ABCD 中，∠A ︰∠B ︰∠C ︰∠D =2︰2︰1︰3，则这个四边形是（） A ．梯形 B ．等腰梯形C ．直角梯形D ．任意四边形24．要从一张长40c m ，宽20c m 的矩形纸片中剪出长为18c m ，宽为12c m 的矩形纸片则最多能剪出（） A ．1张 B ．2张 C ．3张 D ．4张25．如图19-7，在平行四边形ABCD 中，CE 是∠DCB 的平分线，F 是AB 的中点，AB ＝6，BC ＝4，则AE ︰EF ︰FB 为（）A ．1︰2︰3B ． 2︰1︰3C ． 3︰2︰1D ． 3︰1︰2 26．下列说法中错误的是（）A ．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；B ．两条对角线相等的四边形是矩形；C ．两条对角线互相垂直的矩形是正方形；D ．两条对角线相等的菱形是正方形． 27．下列说法正确的是（）A ．任何一个具有对称中心的四边形一定是正方形或矩形；B ．角既是轴对称图形又是中心对称图形；C ．线段、圆、矩形、菱形、正方形都是中心对称图形；D ．正三角形、矩形、菱形、正方形是轴对称图形，且对称轴都有四条．28．点A 、B 、C 、D 在同一平面内，从∠AB //CD ；∠AB ＝CD ；∠BC //AD ；∠BC ＝AD 四个条件中任意选两个，能使四边形ABCD 是平行四边形的选法有（） A ．∠∠ B ．∠∠ C ． ∠∠ D ． ∠∠29．已知ABCD 是平行四边形，下列结论中不一定正确的是（）A ．AB =CD B ．AC =BDC ．当AC ∠BD 时，它是菱形 D ．当∠ABC =90°时，它是矩形 30．平行四边形的两邻边分别为6和8，那么其对角线应（）A ．大于2，B ．小于14C ．大于2且小于14D ．大于2或小于1231．在线段、角、等边三角形、等腰三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、圆、等腰梯形这十种图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的共有（） A ．4种 B ．5种 C ．7种 D ．8种32．下列说法中,错误的是（） A ．平行四边形的对角线互相平分 B ．对角线互相平分的四边形是平行四边形 C ．菱形的对角线互相垂直 D ．对角线互相垂直的四边形是菱形33．给出四个特征（1）两条对角线相等;（2）任一组对角互补;（3）任一组邻角互补;（4）是轴对称图形但不是中心对称图形,其中属于矩形和等腰梯形共同具有的特征的共有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个34．如果一个四边形的两条对角线互相平分,互相垂直且相等,那么这个四边形是（）A D CB F E 图19-7 ·A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．菱形、矩形或正方形 35．如图19-8,直线a ∠b ,A 是直线a 上的一个定点,线段BC 在直线b 上移动,那么在移动过程中ABC ∆的面积（） A ．变大 B ．变小 C ．不变 D ．无法确定36．如图19-10,矩形ABCD 沿着AE 折叠,使D 点落在BC 边上的F 点处,如果 60=∠BAF ,则DAE ∠ 等于（）A ． 15B ． 30C ． 45D ． 6037．如图19-11,在ABC ∆中,AB=AC =5,D 是BC 上的点,DE ∠AB 交AC 于点E ,DF ∠AC 交AB于点F ,那么四边形AFDE 的周长是（） A ．5 B ．10 C ．15 D ．2038．已知四边形ABCD 中,AC 交BD 于点O ,如果只给条件“AB ∠CD ”,那么还不能判定四边形ABCD 为平行四边形,给出以下四种说法:（1）如果再加上条件“BC=AD ”,那么四边形ABCD 一定是平行四边形;（2）如果再加上条件“BCD BAD ∠=∠”,那么四边形ABCD 一定是平行四边形; （3）如果再加上条件“AO=OC ”,那么四边形ABCD 一定是平行四边形;（4）如果再加上条件“CAB DBA ∠=∠”,那么四边形ABCD 一定是平行四边形其中正确的说法是（） A ．（1）（2） B ．（1）（3）（4） C ．（2）（3） D ．（2）（3）（4）三、解答题39．如图19-12，已知四边形ABCD 是等腰梯形， CD //BA ,四边形AEBC 是平行四边形．请说明：∠ABD ＝∠ABE ．40．如图19-13，在∠ABC 中，点O 是AC 边上的一动点，过点O 作直线MN //BC , 设MNA BC D EF图19-9 图19-10 图19-11 D A EBC图19-12交∠BCA 的平分线于点E ，交∠BCA 的外角平分线于点F ．（1）说明EO ＝FO ；（2）当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？说明你的结论．41．如图19-14，AD 是∠ABC 的角平分线，DE ∠AC 交AB 于点E ，DF ∠AB 交AC 于F ．试确定AD 与EF 的位置关系，并说明理由．42．如图19-15，在正方形ABCD 的边BC 上任取一点M ，过点C 作CN ∠DM 交AB 于N ，设正方形对角线交点为O ，试确定OM 与ON 之间的关系，并说明理由．43．如图19-16，等腰梯形ABCD 中，E 为CD 的中点，EF ∠AB 于F ，如果AB =6，EF =5，AE B CF O N M D图19-13 A EB DC F1图19-142O图19-15 A BN M C D O AD求梯形ABCD 的面积．44．如图19-17，有一长方形餐厅，长10米，宽7米，现只摆放两套同样大小的圆桌和椅子，一套圆桌和椅子占据的地面部分可看成半径为1.5米的圆形（如左下图所示）．在保证通道最狭窄处的宽度不小于0.5米的前提下，此餐厅内能否摆下三套或四套同样大小的圆桌和椅子呢？请在摆放三套或四套的两种方案中选取一种，在右下方 14×20方格纸内画出设计示意图．（提示：∠画出的圆应符合比例要求； ∠为了保证示意图的清晰，请你在有把握后才将设计方案正式画在方格纸上．说明：正确地画出了符合要求的三个圆得5分，正确地画出了符合要求的四个圆得8分．）45．如图19-18, 在正方形ABCD 中, M 为AB 的中点，MN ∠MD ，BN 平分∠CBE 并交MN 于N ．试说明：MD =MN ．46．如图19-19, 中,DB=CD , 70=∠C ,AE ∠BD 于E .试求DAE ∠的度数.D A B C ME N图19-18图19-17ABCD47．如图19-20, 中,G 是CD 上一点,BG 交AD 延长线于E ,AF=CG ,100=∠DGE . （1）试说明DF=BG ; （2）试求AFD ∠的度数.48．.工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行:（1）先截出两对符合规格的铝合金窗料（如图19-21∠）,使AB=CD,EF=GH ;（2）摆放成如图∠的四边形,则这时窗框的形状是形,根据的数学道理是: ;（3）将直角尺靠紧窗框的一个角（如图∠）,调整窗框的边框,当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时（如图∠）,说明窗框合格,这时窗框是形,根据的数学道理是: .（图∠）（图∠）（图∠）（图∠）49．如图19-22，已知平行四边形ABCD ，AE 平分∠DAB 交DC 于E ，BF 平分∠ABC 交DC于F ，DC =6c m ，AD =2c m ，求DE 、EF 、FC 的长．图19-19图19-20图19-21ABCD图19-2250．如图19-23，已知矩形ABCD中，AC与BD相交于O，DE平分∠ADC交BC于E，∠BDE ＝15°，试求∠COE的度数。

初中数学四边形提高

一、你能填对吗1．用边长分别为2cm，3cm，4cm的两个全等三角形拼成四边形，共能拼成_________个四边形，______________个为平行四边形。

2．在四边形ABCD中，若AB=CD，再添加一个条件为__________，就可以判定四边形ABCD为平行四边形。

3．延长△ABC的中线AD至E，使DE=AD，连接BE，CE，则AB_________CE，AC_________BE。

4．若四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，要判定它为平行四边形，从角的关系看应满足__________ _ ，从对角线的关系看应满足5．已知E、F、G、H分别为ABCD各边的中点，则四边形EFGH为_______________。

6．如图，若△ABC的边AB=2，AC=3，Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ分别表示以AB、BC、AC 为边的正方形，则图中三个阴影部分面积之和为________。

7．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC(B C＞AD),∠D=90°,BC=CD=12, ∠ABE=45°。

若AE=10，则CE的长为________。

二、选一选8．能识别四边形ABCD是平行四边形的题设是（）A．AB∥CD，AD=BCB．∠A=∠B，∠C=∠DC．AB=CD，AD=BCD．AB=AD，CB=CD9．一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……如此下去，最后得到了34个六十二边形和一些多边形纸片，则至少要剪的刀数是（）（A）2004 （B）2005 （C）2006 （D）200710．下列结论正确的是（）_ E _ F_ A _ B A ．对角线相等且一组对角相等的四边形是平行四边形B ．一边长为5cm ，两条对角线长分别是4cm 和6cm 的四边形是平行四边形C ．一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形D ．对角线相等的四边形是平行四边形11．不能判定四边形ABCD 是平行四边形的条件是（）A ．AB=CD ，AD=BCB ．AB ∥CD ，AB=CDC ．AB=CD ，AD ∥BCD ．AB ∥CD ，AD ∥BC10．如图19－1－26，在ABCD 中，E ，F 分别在BC ，AD 上，若想使四边形AFCE 为平行四边形，须添加一个条件，这个条件可以是（）①AF=CF ； ②AE=CF ；③∠BAE=∠FCD ； ④∠BEA=∠FCE 。

(必考题)初中八年级数学下册第十八章《平行四边形》提高卷(答案解析)

一、选择题1．如图，在ABC ∆中，D 是AB 上一点，,AD AC AE CD =⊥于点E ，点F 是BC 的中点，若10BD =，则EF 的长为（）A ．8B ．6C ．5D ．4C 解析：C【分析】首先根据AD AC =可得△ACD 为等腰三角形，再由AE CD ⊥结合“三线合一”性质可得E 为CD 的中点，从而得到EF 为△CBD 的中位线，最终根据中位线定理求解即可．【详解】∵AD AC =，∴△ACD 为等腰三角形，∵AE CD ⊥，∴E 为CD 的中点，（三线合一）又∵点F 是BC 的中点，∴EF 为△CBD 的中位线， ∴152EF BD ==，故选：C ．【点睛】本题考查等腰三角形三线合一的性质以及中位线的性质，准确判断出中位线是解题关键． 2．已知正方形ABCD 中，对角线4AC =，这个正方形的面积是（）A ．8B ．16C ．82D ．162解析：A【分析】根据勾股定理，可得正方形的边长，进而可得正方形的面积．【详解】∵正方形ABCD 中，对角线4AC =，∴AB 2＋BC 2＝AC 2，∴2AB 2＝42，∴AB 2＝8．故选：A ．【点睛】本题主要考查的是正方形的性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．3．下列命题中，错误的是（）A．一组对边平行的四边形是梯形；B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形；C．对角线相等的平行四边形是矩形；D．一组邻边相等的平行四边形是菱形．A解析：A【分析】根据梯形，平行四边形，矩形，菱形的判定进行判断即可．【详解】解：A、一组对边平行，另一组对边不平行的四边形是梯形，故错误，符合题意；B、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，正确，不符合题意；C、对角线相等的平行四边形是矩形，正确，不符合题意；D、一组邻边相等的平行四边形是菱形，正确，不符合题意；故选：A．【点睛】主要考查梯形，平行四边形，矩形，菱形的判定，注意梯形的定义应从两组对边的不同位置关系分别考虑．4．下列命题中，正确的命题是（）A．菱形的对角线互相平分且相等B．顺次联结菱形各边的中点所得的四边形是矩形C．矩形的对角线互相垂直平分D．顺次连结矩形各边的中点所得的四边形是正方形B解析：B【分析】根据菱形的性质、矩形的性质、中点四边形的定义逐一判断即可．【详解】解：A. 菱形的对角线互相平分，但不相等，该命题错误；B. 顺次联结菱形各边的中点所得的四边形是矩形，该命题正确；C. 矩形的对角线互相平分，但是不垂直，该命题错误；D. 顺次连结矩形各边的中点所得的四边形是菱形，该命题错误；故选：B．【点睛】本题考查特殊四边形的判定和性质，掌握菱形的性质、矩形的性质、中点四边形的定义是解题的关键．5．如图，把一张长方形纸片沿对角线折叠，若△EDF是等腰三角形，则∠BDC（）A ．45ºB ．60ºC ．67.5ºD ．75ºC解析：C【分析】由翻折可知：△BDF ≌△BCD ，所以∠EBD=∠CBD ，∠E=∠C=90°，由于△EDF 是等腰三角形，易证∠ABF=45°，所以∠CBD=12∠CBE=22.5°，从而可求出∠BDC=67.5°．【详解】解：由翻折的性质得，∠DBC=∠EBD ，∵矩形的对边AD ∥BC ，∠E=∠C=90°，∴∠DBC=∠ADB ，∴∠EBD=∠ADB ，∵△EDF 是等腰三角形，∠E=90°，∴△EDF 是等腰直角三角形，∴∠DFE=45°，∵∠EBD+∠ADB=∠DFE ，∴∠DBF=12∠DFE=22.5°， ∴∠CBD =22.5°，∴∠BDC=67.5°，故选：C ．【点睛】本题考查等腰三角形，涉及矩形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，需要学生灵活运用所学知识．6．如图，已知在正方形ABCD 中，E 是BC 上一点，将正方形的边CD 沿DE 折叠到DF ，延长EF 交AB 于点G ，连接DG ．现有如下4个结论：①AG ＝GF ；②AG 与EC 一定不相等；③45GDE ∠=︒；④BGE △的周长是一个定值．其中正确的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4C解析：C【分析】根据HL 证明△ADG ≌△FDG ，根据角的平分线的意义求∠GDE ，根据GE=GF+EF=EC+AG ，确定△BGE 的周长为AB+AC.【详解】根据折叠的意义，得△DEC ≌△DEF ，∴EF=EC ，DF=DC ，∠CDE=∠FDE ，∵DA=DF ，DG=DG ，∴Rt △ADG ≌Rt △FDG ，∴AG=FG ，∠ADG=∠FDG ，∴∠GDE=∠FDG+∠FDE =12（∠ADF+∠CDF ） =45°， ∵△BGE 的周长=BG+BE+GE ，GE=GF+EF=EC+AG ，∴△BGE 的周长=BG+BE+ EC+AG=AB+AC ，是定值，∴正确的结论有①③④，故选C.【点睛】本题考查了正方形中的折叠变化，直角三角形的全等及其性质，角的平分线，三角形的周长，熟练掌握折叠的全等性是解题的关键.7．如图，正方形ABCD 的对角线相交于点O ，正方形OMNQ 与ABCD 的边长均为a ，OM 与CD 相交于点E ，OQ 与BC 相交于点F ，且满足DE CF ，则两个正方形重合部分的面积为（）A ．212aB ．214aC ．218a D ．2116a B 解析：B【分析】由正方形OMNQ 与ABCD 得∠DOC=∠MOQ=90°可推出∠DOE=∠COF 由AC ，BD 是正方形ABCD 的对角线求得∠ODE=∠OCF=45°，可证△DOE ≌△COF （AAS ），利用面积和差S 四边形FOEC = S △EOC +S △DOE =S △DOC =214a 即可．【详解】∵正方形OMNQ 与ABCD ，∴∠DOC=∠MOQ=90°，∴∠DOE+∠EOC =90º，∠EOC+∠COF=90º，∴∠DOE=∠COF ，又AC ，BD 是正方形ABCD 的对角线，∴∠ODE=∠OCF=45°，∵DE CF =，∴△DOE ≌△COF （AAS ），∴S 四边形FOEC =S △EOC +S △COF = S △EOC +S △DOE =S △DOC ，∵S △DOC =2ABCD 11=44S a 正方形， ∴S 四边形FOEC =214a ．故选择：B ．【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质是解题关键．8．如图，Rt Rt ABC BAD △≌△，BC 、AD 交于点E ，M 为斜边的中点，若CMD α∠=，AEB β∠=．则α和β之间的数量关系为（）A ．2180βα-=︒B ．60βα-=︒C ．180αβ+=︒D ．2βα=A解析：A【分析】根据题意可得,CAB DBA ABC BAD ∠=∠∠=∠，再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可证CM DM AM BM ===，继而证明()AMC BMD SSS △≌△，解得1802AMC BMD CAM ∠=∠=︒-∠，最后根据三角形内角和180°定理，分别解得αβ、与CAM ∠的关系，整理即可解题．【详解】Rt Rt ABC BAD △≌△,CAB DBA ABC BAD ∴∠=∠∠=∠M 是AB 的中点，11,22CM AB DM AB ∴== CM DM AM BM ∴===∴∠CAM=∠MCA ，Rt Rt ABC BAD △≌△AC BD ∴=()AMC BMD SSS △≌△1802AMC BMD CAM ∴∠=∠=︒-∠CMD α∴=∠180AMC BMD =︒-∠-∠1802(1802)CAM =︒-⨯︒-∠4180CAM =∠-︒90ABC BAD CAM ∠=∠=︒-∠，AEB β=∠=180BAD ABC ︒-∠-∠180(90)(90)CAM CAM =︒-︒-∠-︒-∠2CAM =∠2180βα∴-=︒故选：A ．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和180°等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 9．如图，长方形纸片ABCD ，点E ，M ，N 分别在边AB ，BC ，AD 上，将纸片分别沿EN ，EM 对折，使点A 落在点'A 处，点B 落在点'B 处，若''30A EB ∠=︒，则NEM ∠的度数为（）A ．70︒B ．75︒C ．80︒D ．85︒B解析：B【分析】先由翻折的性质得到'AEN A EN ∠=∠，'BEM B EM ∠=∠，由图可得''''A EN B EM NEM A EB ∠+∠=∠+∠，然后根据180AEN NEM MEB ∠+∠+∠=︒，得到2''180NEM A EB ∠+∠=︒，进而可求出NEM ∠的度数．【详解】由翻折的性质可知：'AEN A EN ∠=∠，'BEM B EM ∠=∠，由图知：''''A EN B EM NEM A EB ∠+∠=∠+∠，又∵180AEN NEM MEB ∠+∠+∠=︒，∴''180A EN B EM NEM ∠+∠+∠=︒，∴2''180NEM A EB ∠+∠=︒，又∵''30A EB ∠=︒，∴75NEM ∠=︒．故选：B ．【点睛】本题主要考查的是翻折的性质，掌握翻折的性质是解题的关键．10．矩形不一定具有的性质是（）A ．对角线互相平分B ．是轴对称图形C ．对角线相等D ．对角线互相垂直参考答案D解析：D【分析】根据矩形的性质即可判断．【详解】解：∵矩形的对角线线段，四个角是直角，对角线互相平分，∴选项A 、B 、C 正确，故选：D ．【点睛】本题考查矩形的性质，解题的关键是记住矩形的性质．二、填空题11．如图，在平行四边形ABCD 中，2AD CD =，F 是AD 的中点，CE AB ⊥，垂足E 在线段AB 上．下列结论①DCF ECF ∠=∠；②EF CF =；③3DFE AEF ∠=∠；④2BEC CEF S S <中，一定成立的是_________．（请填序号）②③④【分析】如图延长EF 交CD 的延长线于H 作EN ∥BC 交CD 于NFK ∥AB 交BC 于K 利用平行四边形的性质全等三角形的判定和性质一一判断即可解决问题【详解】解：如图延长EF 交CD 的延长线于H 作EN ∥解析：②③④【分析】如图延长EF 交CD 的延长线于H ．作EN ∥BC 交CD 于N ，FK ∥AB 交BC 于K ．利用平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质一一判断即可解决问题．【详解】解：如图，延长EF 交CD 的延长线于H ．作EN ∥BC 交CD 于N ，FK ∥AB 交BC 于K ． ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CH ，∴∠A=∠FDH ，在△AFE 和△DFH 中，A FDH AFE HFD AF DF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AFE ≌△DFH ，∴EF=FH ，∵CE ⊥AB ，AB ∥CH ，∴CE ⊥CD ，∴∠ECH=90°，∴CF=EF=FH ，故②正确，∵DF=CD=AF ，∴∠DFC=∠DCF=∠FCB ，∵∠FCB ＞∠ECF ，∴∠DCF ＞∠ECF ，故①错误，∵FK ∥AB ，FD ∥CK ，∴四边形DFKC 是平行四边形，∵AD=2CD ，F 是AD 中点，∴DF=CD ，∴四边形DFKC 是菱形，∴∠DFC=∠KFC ，∵AE ∥FK ，∴∠AEF=∠EFK ，∵FE=FC ，FK ⊥EC ，∴∠EFK=∠KFC ，∴∠DFE=3∠AEF ，故③正确，∵四边形EBCN 是平行四边形，∴S △BEC =S △ENC ，∵S △EHC =2S △EFC ，S △EHC ＞S △ENC ，∴S △BEC ＜2S △CEF ，故④正确，故正确的有②③④．故答案为②③④．【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边的中线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．12．如图，在菱形ABCD 中，6AC =，5AB =，点E 是直线AB ，CD 之间任意一点，连接AE ，BE ，DE ，CE ，则EAB 和ECD 的面积之和是______．12【分析】连接BD 根据菱形对角线的性质利用勾股定理计算BD 的长根据两平行线的距离相等所以△EAB 和△ECD 的面积和等于菱形ABCD 面积的一半再利用菱形面积等于对角线积的一半计算可得结论【详解】如图解析：12【分析】连接BD ，根据菱形对角线的性质，利用勾股定理计算BD 的长，根据两平行线的距离相等，所以△EAB 和△ECD 的面积和等于菱形ABCD 面积的一半，再利用菱形面积等于对角线积的一半计算可得结论．【详解】如图，连接BD 交AC 于O ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，OA=12AC=12×6=3， ∵AB ＝5，由勾股定理得：224AB OA -=，∴BD=2OB=8，∵AB ∥CD ， ∴△EAB 和△ECD 的高的和等于点C 到直线AB 的距离，∴△EAB 和△ECD 的面积和=12×ABCD S 菱形＝12×12×AC×BD=168=124⨯⨯．故答案为：12．【点睛】本题考查菱形的性质，三角形的面积，平行线的性质，熟知平行线的距离相等，得△EAB 和△ECD 的高的和等于点C 到直线AB 的距离是解题的关键．13．在Rt ABC 中，∠C ＝90°，点D 是AB 边的中点，若AB ＝8，则CD ＝______．4【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以得【详解】∵D 是AB 的中点∴∴故答案为：4【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质熟记性质是解题的关键解析：4．【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以得2AB CD =．【详解】∵90C ∠=︒，D 是AB 的中点，∴2AB CD =， ∴118422CD AB ==⨯=．故答案为：4．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键．14．如图，四边形ABCD是长方形，F是DA延长线上一点，CF交AB于点E，G是CF上一点，且∠ACG＝∠AGC，∠GAF＝∠F．若∠ECB＝20°，则∠ACD的度数是______________．30°【分析】根据矩形的性质得到AD∥BC∠DCB＝90°根据平行线的性质得到∠F＝∠ECB＝20°根据三角形的外角的性质得到∠ACG＝∠AGC＝∠GAF+∠F＝2∠F＝40°于是得到结论【详解】解解析：30°【分析】根据矩形的性质得到AD∥BC，∠DCB＝90°，根据平行线的性质得到∠F＝∠ECB＝20°，根据三角形的外角的性质得到∠ACG＝∠AGC＝∠GAF+∠F＝2∠F＝40°，于是得到结论．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠DCB＝90°，∴∠F＝∠ECB∵∠ECB＝20°，∴∠F＝∠ECB＝20°，∵∠GAF＝∠F，∴∠GAF＝∠F＝20°，∴∠ACG＝∠AGC＝∠GAF+∠F＝2∠F＝40°，∴∠ACB＝∠ACG+∠ECB＝60°，∴∠ACD＝90°﹣∠ACB＝90°﹣60°＝30°，故答案为：30°．【点睛】本题考查了矩形的性质，用到的知识点为：矩形的对边平行；两直线平行，内错角相等；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．15．正三角形ABC中，已知AB=6，D是直线AC上的动点，CE⊥BD于点E，连接AE，则AE长的取值范围是_______________．≤AE≤【分析】取BC中点O利用勾股定理以及直角三角形的性质分别求得AO和OE再利用三角形三边关系即可求解【详解】解：取BC中点O连接OAOE∵△ABC正三角形且AB=6∴AO⊥BCBO=OC=BC解析：333≤AE≤333【分析】取BC 中点O ，利用勾股定理以及直角三角形的性质分别求得AO 和OE ，再利用三角形三边关系即可求解．【详解】解：取BC 中点O ，连接OA 、OE ，∵△ABC 正三角形，且AB=6，∴AO ⊥BC ，BO=OC=12BC=12AB=3， ∴22226333AB BO -=-=，在△OAE 中，OA-OE<AE< OA+OE ，当O 、A 、E 在同一直线上时，取等号，∴OA-OE ≤AE ≤OA+OE ， ∴333≤AE 333≤，故答案为：333≤AE 333≤．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，三角形三边的关系，注意，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．16．如图，在四边形ABCD 中，AC a =，BD b =，且AC BD ⊥顺次连接四边形ABCD 各边的中点，得到四边形1111D C B A ，再顺次连接四边形1111D C B A 各边中点，得到四边形2222A B C D …如此进行下去，得到四边形n n n n A B C D ，下列结论正确的有__________．①四边形2222A B C D 是矩形；②四边形4444A B C D 是菱形；③四边形5555A B C D 的周长是4a b +．②③【分析】利用三角形的中位线的性质证明四边形是矩形四边形是菱形四边形是矩形四边形是菱形从而可得到规律序号n 是奇数时四边形是矩形当序号n 是偶数时四边形是菱形再探究n 是奇数时四边形的周长即可解决问题【解析：②③【分析】利用三角形的中位线的性质证明四边形1111D C B A 是矩形，四边形2222A B C D 是菱形，四边形3333A B C D 是矩形，四边形4444A B C D 是菱形，从而可得到规律，序号n 是奇数时四边形是矩形，当序号n 是偶数时四边形是菱形，再探究n 是奇数时四边形的周长即可解决问题．【详解】解： 1111,,,A B C D 分别是,,,AB BC CD DA 的中点，1111111111//,,//,,22A B AC A B AC C D AC C D AC ∴== 11//,A D BD 11111111//,,A B C D A B C D ∴=∴ 四边形1111D C B A 是平行四边形，,AC BD ⊥ 11//,A B AC 11//,A D BD1111,A B A D ∴⊥∴ 四边形1111D C B A 是矩形，1111,AC B D ∴=如图，2222,,,A B C D 分别是11111111,,,A B B C C D D A 的中点，∴ 2211221111,,22A B AC A D B D == 四边形2222A B C D 是平行四边形， 2222,A B A D ∴=∴ 四边形2222A B C D 是菱形，故①不符合题意，2222,A C B D ∴⊥同理可得：四边形3333A B C D 是矩形，四边形4444A B C D 是菱形，故②符合题意，······总结规律：四边形n n n n A B C D ，当序号n 是奇数时四边形是矩形，当序号n 是偶数时四边形是菱形，111111111111,,2222A B C D AC a A D B C BD b ====== ∴ 四边形1111D C B A 的周长为,a b +如图，四边形1111D C B A 是矩形，四边形2222A B C D 是菱形，2222,,,A B C D 分别是11111111,,,A B B C C D D A 的中点，222222112211,,,A C B D A C A D B D A B ∴⊥==由中位线的性质同理可得：33332233332211111111,,22242224A DBC BD a a D C A B A C b b ===⨯====⨯= 所以四边形3333A B C D 的周长为()1,2a b + 由规律可得：四边形5555A B C D 是矩形，同理可得：四边形5555A B C D 的周长是()11.224a b a b +⨯+=故③符合题意．故答案为②③．【点睛】本题考查三角形的中位线的性质，中点四边形，菱形的判定与性质，矩形的判定与性质，解题的关键是学会从特殊到一般，探究规律，利用规律解决问题．17．已知：如图，把长方形纸片ABCD 沿EF 折叠，使D C 、分别落在D C ''、的位置，若65EFB ︒∠=，则AED '∠的度数为_________．【分析】由长方形纸片可得再求解由折叠的性质求解结合平角的定义可得答案【详解】解：长方形纸片由折叠可得：故答案为：【点睛】本题考查的是矩形与折叠平行线的性质简单题解题的关键是理解折叠的性质解析：50︒【分析】由长方形纸片ABCD ，65EFB ∠=︒可得//,AD BC 再求解,DEF ∠ 由折叠的性质求解,D EF '∠ 结合平角的定义可得答案．【详解】解：长方形纸片ABCD ，65EFB ∠=︒，//,AD BC ∴65DEF EFB ∴∠=∠=︒，由折叠可得：65D EF DEF '∠=∠=︒，180180656550.AED D EF DEF ''∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒故答案为：50.︒【点睛】本题考查的是矩形与折叠，平行线的性质，简单题，解题的关键是理解折叠的性质． 18．如图，在正方形ABCD 中，有面积为4的正方形EFGH 和面积为2的正方形PQMN 、点E F P Q 、、、分别在边AB BC CD AD 、、、上，点M N 、在边HG 上，且组成的图形为轴对称图形，则正方形ABCD 的面积为__________．【分析】连接交于交于交于依据轴对称图形的性质即可得到的长进而得到正方形的面积【详解】解：如图连接交于交于交于正方形中有面积为4的正方形和面积为2的正方形又组成的图形为轴对称图形为对称轴为等腰直角三角解析：279242【分析】连接BD ，交PQ 于R ，交HG 于S ，交EF 于K ，依据轴对称图形的性质，即可得到BD 的长，进而得到正方形ABCD 的面积．【详解】解：如图，连接BD ，交PQ 于R ，交HG 于S ，交EF 于K ，正方形ABCD 中，有面积为4的正方形EFGH 和面积为2的正方形PQMN ， 2EH EF ∴==，2MQ QP ==，又组成的图形为轴对称图形， BD ∴为对称轴， BEF ∴∆、DPQ ∆为等腰直角三角形，四边形EKSH 、四边形MSRQ 为矩形， 112EK BK EF ∴===，11222DR QR PQ ===，2KN EH ==，2RS MQ ==， 1312223222BD ∴=+++=+， ∴正方形ABCD 的面积22113279(32)222242BD ==⨯+=+，故答案为：279242+．【点睛】本题主要考查了轴对称图形，轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．19．如图，在平行四边形ABCD 中，BF 平分∠ABC ，交AD 于点F ，CE 平分∠BCD ，交AD 于点E ，AB ＝8，EF ＝1，则BC 长为__________．15【分析】由平行四边形的性质和角平分线得出∠ABF=∠AFB 得出AF=AB=8同理可得DE=DC=8再由EF 的长即可求出BC 的长【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形∴AD ∥BCDC=AB=8A解析：15【分析】由平行四边形的性质和角平分线得出∠ABF=∠AFB ，得出AF=AB=8，同理可得DE=DC=8，再由EF 的长，即可求出BC 的长．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，DC=AB=8，AD=BC ，∴∠AFB=∠FBC ，∵BF 平分∠ABC ，∴∠ABF=∠FBC，则∠ABF=∠AFB，∴AF=AB=8，同理可证：DE=DC=8，∵EF=AF+DE-AD=1，即8+8-AD=1，解得：AD=15；故答案为：15．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定；熟练掌握平行四边形的性质，证出AF=AB是解决问题的关键．20．如图，正方形ABCD中，点E，F分别在BC和AB上，BE=2，AF=2，BF=4，将△BEF绕点E顺时针旋转，得到△GEH，当点H落在CD边上时，F，H两点之间的距离为______．【分析】根据旋转的可证明△BEF≌△CHE作FM⊥CD于M分别求出FMMH的长利用勾股定理即可求解【详解】∵将△BEF绕点E顺时针旋转得到△GEH点H落在CD边上∵BE=2AF=2BF=4∴GH=B解析：10【分析】根据旋转的可证明△BEF≌△CHE，作FM⊥CD于M，分别求出FM,MH的长，利用勾股定理即可求解．【详解】∵将△BEF绕点E顺时针旋转，得到△GEH，点H落在CD边上，∵BE=2，AF=2，BF=4∴GH=BF=EC=4，222425+=∴在Rt△HEC中，()22-=2542∴BE=CH又∵∠B=∠C=90°，BF=CE=4∴△BEF≌△CHE作FM⊥CD于M，故四边形AFMD是矩形，∴DM=AF=2，MH=CM-CH=2，FM=AD=6∴FH=22+=26210故答案为：210．【点睛】此题主要考查正方形的性质与全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知勾股定理、正方形的性质、矩形的性质及全等三角形的判定定理．三、解答题21．如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC与BD相交于点O，∠AOD＝60°，AD＝2，求AC的长度．解析：4【分析】根据矩形的性质和等边三角形的性质，可以得到OA的长，从而可以求得AC的长．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OC＝OB＝OD，∵∠AOD＝60°，AD＝2，∴△AOD是等边三角形，∴OA＝OD＝2，∴AC＝2OA＝4，即AC的长度为4．【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，熟记性质并判断出△AOB是等边三角形是解题的关键．22．如图，过ABCD 对角线AC 与BD 的交点E 作两条互相垂直的直线，分别交边AB 、BC ．CD 、DA 于点P 、M 、Q 、N ．（1）求证：PBE QDE ≅△△；（2）顺次连接点P 、M 、Q 、N ，求证：四边形PMQN 是菱形．解析：（1）见解析；（2）见解析．【分析】（1）由ASA 证PBE QDE ≅△△即可；（2）由全等三角形的性质得出EP EQ =，同理可得EM EN =，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形得四边形PMQN 是平行四边形，再由对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可得出结论．【详解】（1）证明：四边形ABCD 是平行四边形，EB ED ∴=，//AB CD ，EBP EDQ ∴∠=∠，在PBE △和QDE △中，EBP EDQ EB ED BEP DEQ ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()PBE QDE ASA ∴≅△△；（2）证明：如图所示：PBE QDE ≅△△，EP EQ ∴=，同理可得EM EN =，∴四边形PMQN 是平行四边形，PQ MN ⊥，∴四边形PMQN 是菱形．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定，全等三角形的判定与性质；熟练掌握菱形的判定和平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．23．如图，已知点E 是ABCD 的边CD 延长线上的一点；连接AE ，BD ，且//AE BD ；过点E 作EF BC ⊥，交BC 的延长线于点F ，连接DF ；求证：DF DE =解析：见解析【分析】根据平行四边形的性质可得AB CD =，//AB CD ，然后结合题意利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定四边形ABDE 是平行四边形，然后利用平行四边形的性质和直角三角形斜边中线等于斜边一半证明求解．【详解】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB CD =，//AB CD ，又∵//AE BD∴四边形ABDE 是平行四边形；∴AB DE =，即CD DE =；又EF BC ⊥于点F ；∴∠EFC=90°∴在Rt CEF △中，点D 是斜边CE 的中点∴DF DE =．【点睛】本题考查平行四边形的性质和判定以及直角三角形斜边中线等于斜边的一半，掌握相关性质定理正确推理论证是解题关键．24．如图，平行四边形ABCD 中，,AP BP 分别平分DAB ∠和CBA ∠，交于DC 边上点P ， 2.5AD =．（1）求线段AB 的长．（2）若3BP =，求ABP △的面积．解析：（1）5；（2）6【分析】（1）证出AD=DP=2.5，BC=PC=2.5，得出DC=5=AB ，即可求出答案；（2）根据平行四边形性质得出AD ∥CB ，AB ∥CD ，推出∠DAB+∠CBA=180°，求出∠PAB+∠PBA=90°，在△APB 中求出∠APB=90°，由勾股定理求出AP ，从而求得△ABP 的面积．【详解】解：（1）∵AP 平分∠DAB ，∴∠DAP=∠PAB ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∵AB ∥CD ，∴∠PAB=∠DPA∴∠DAP=∠DPA∴△ADP 是等腰三角形，∴AD=DP=2.5，同理：PC=CB=2.5，即AB=DC=DP+PC=5；（2）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥CB ，AB ∥CD ，∴∠DAB+∠CBA=180°，又∵AP 和BP 分别平分∠DAB 和∠CBA ，∴∠PAB+∠PBA=12（∠DAB+∠CBA ）=90°，在△APB 中，∠APB=180°-（∠PAB+∠PBA ）=90°；在Rt △APB 中，AB=5，BP=3，∴，∴△APB 的面积=4×3÷2=6．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，勾股定理等知识点的综合运用．25．如图，BD 为ABC 的角平分线，E 为AB 上一点，BE BC =，连结DE ．（1）求证：BDC BDE ≅△△；（2）若7AB =，2CD =，90︒∠=C ，求ABD △的面积．解析：（1）证明见解析；（2）7【分析】（1）根据角平分线的性质可得DBC DBE ∠=∠，再根据已知条件BE BC =，BD BD =，即可证明；（2）根据（1）中结果，得2DE CD ==，90DEB C ∠=∠=︒，即可求得ABD △的面积．【详解】（1）∵BD 平分ABC ∠，∴DBC DBE ∠=∠，∴在BDC 和BDE 中，BD BD =，DBC DBE ∠=∠，BE BC =，∴BDC ≌BDE ；（2）∵BDC ≌BDE ，∴2DE CD ==，90DEB C ∠=∠=︒， ∴1172722ABD S AB DE =⋅=⨯⨯=△．【点睛】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的证明和性质、三角形面积等知识，解题的关键是熟练掌握运用以上知识点．26．如图，在ABC 中，AB AC =，10BC =．（1）尺规作图：（要求：保留作图痕迹，不写作法）①作BAC ∠的平分线交BC 于点D ；②作边AC 的中点E ，连接DE ；（2）在（1）所作的图中，若12AD =，则DE 的长为__________．解析：（1）①见解析；②见解析；（2）6.5（1）①以A 为圆心，小于AB 的长度为半径画圆，交AB 、AC 于两个点，再分别以这两个点为圆心，一样的半径画弧，交于一点，连接这个点与点A ，即可得到BAC ∠的平分线，再画出它与BC 的交点D ；②作线段AC 的垂直平分线，即可找到线段AC 的中点E ，连接DE ；（2）由等腰三角形“三线合一”的性质得152BD BC ==，AD BC ⊥，用勾股定理求出AB 的长，再根据中位线的性质得到DE 的长．【详解】解：（1）①如图所示：②如图所示：（2）∵AB AC =，AD 平分BAC ∠，∴152BD BC ==，AD BC ⊥，在Rt ABD △中，2213AB AD BD =+=， ∵E 、D 分别是AC 和BC 的中点，∴1 6.52DE AB ==，故答案是：6.5．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，中位线的定理，以及角平分线和垂直平分线的作法，解题的关键是熟练掌握这些几何的性质定理以及作图方法．27．（问题提出）小颖发现某座房屋的侧面是一种特殊的五边形，她决定好好研究一下它的特点，并计算它（问题探究）定义：如图()1，我们把满足,,90AB AE CB DE C D ︒==∠=∠=的五边形ABCDE 叫做屋形．其中,AB AE 叫做脊，,BC DE 叫做腰，CD 叫做底．性质：边：屋形的腰相等，脊相等；角：①屋形腰与底的夹角相等；②脊与腰的夹角相等；对角线：①②屋形有两组对角线分别相等，且其中一组互相平分．对称性：屋形是以底的垂直平分线为对称轴的轴对称图形；（1）请直接填写屋形对角线的性质①；（2）请你根据定义证明“屋形的脊与腰的夹角相等”；己知：如图，五边形ABCDE 是屋形．求证：证明：（问题解决）（3）如图，在屋形ABCDE 中，若5,8,6AB BC CD ===，试求出屋形ABCDE 的面积．解析：（1）屋形有一条对角线与底平行且相等；（2）见解析；（3）60【分析】（1）根据屋形的特点可得结论；（2）连接BE ，证明四边形BCDE 为平行四边形，再根据+CBE ABE DEB AEB ∠=∠+得出结论；（3）连接BE ，过A 作AH BE ⊥，先利用勾股定理得出AH 的值，再利用三角形和矩形的面积公式求解即可．【详解】解：（1）屋形有一条对角线与底平行且相等（2）求证：屋形的脊与腰夹角相等证明：连接BEAB AE =，ABE AEB ∴∠=∠，C D ∠=∠，//BC DE ∴，又BC DE =，∴四边形BCDE 为平行四边形，90CBE DEB ︒∴∠=∠=∵ABE AEB ∠=∠，∴+CBE ABE DEB AEB ∠=∠+，ABC AED ∴∠=∠．【问题解决】连接BE ，过A 作AH BE ⊥，5AB =，5AE ∴=，,AH BE AB AE ⊥=，142BH EH BE ∴===， 2222543AH AB BH ∴=--=，∴BE=2BH=6，183122ABE S ∆∴=⨯⨯=， BCDE 8648S =⨯=矩，481260+=，∴屋形ABCDE 的面积为60．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质及勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线． 28．如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，E 是AB 延长线上一点且BE AB =，连接CE ，BD ．（1）求证：四边形BECD 是平行四边形（2）连接DE ，若4AB BD ==，22DE =，求BECD 的面积．解析：（1）见解析；（2）47BECD S =菱形【分析】（1）根据四边形ABCD 是平行四边形，得到AB CD =，//AB CD ，再根据BE AB =，得到BE CD =，利用一组对边平行且相等的四边形BECD 是平行四边形去判定．（2）先利用已知条件证四边形BECD 是菱形，再在Rt BOE △中，利用勾股定理求BO ，进而求BC ，则可求菱形面积．【详解】解：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB CD =，//AB CD ，又∵BE AB =，∴BE CD =，//BE CD ，∴四边形BECD 是平行四边形．（2）如图，连接DE ，交BC 于点O ，∵4AB BD ==，BE AB =，∴4BD BE ==，由（1）得四边形BECD 是平行四边形，∴BECD 是菱形，∴DE BC ⊥，∵DE =∴12OE DE ==，在Rt BOE △中，BO === ∴2BC BO ==∴1122BECD S BC DE =⋅=⨯=菱形【点睛】本题考查了平行四边形、菱形性质和判定的综合应用，熟练掌握相关知识是解答此题的关键．。

初中数学总复习《四边形》提高测试s

《四边形》提高测试（一）选择题（每小题4分，共32分）1．若一个多边形的内角和是外角和的5倍，则这个多边形的边数是…………（ D ）（A ）9 （B ）10 （C ）11 （D ）12【提示】为了便于计算，设每个内角都相等，那么每个内角是每个外角的5倍．【答案】D ．2．已知菱形ABCD 的两条对角线之和为l ，面积为S ，则它的边长为………（）（A ）2421l S- （B ）221l S + （C ）S l 4212- （D ）S l +2421 【提示】设两对角线长的一半为a 与b ，则S ＝2 ab ，l ＝2（a ＋b ），边长为22b a +．利用a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2 ab ．【答案】C ．3．如图，矩形ABCD 的边长AB ＝6，BC ＝8，将矩形沿EF 折叠，使C 点与A 点重合，则折痕EF 的长是……………………………………………………………………（ A ）（A ）7．5 （B ）6 （C ）10 （D ）5【提示】设AE ＝x ，则ED ＝8－x ，CE ＝x ，用勾股定理列出方程x 2＝(8－x )2＋62，解出x ＝425，而OA ＝21AC ＝5．【答案】A ．4．已知：如图，在□ABCD 中，E 、F 分别是边AD 、BC 的中点，AC 分别交BE 、DF 于G 、H ，并有下列结论：（1）BE ＝DF ；（2）AG ＝GH ＝HC ；（3）EG ＝21BG ；（4）S △ABE ＝3 S △AGE ．其中正确的结论有…………………………………………………………………（）（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个【提示】BG ＝2 FH ＝2 GE ．【答案】D ．5．如图，E 为矩形ABCD 的边CD 上的一点，AB ＝AE ＝4，BC ＝2，则∠BEC 是（D ）（A ）15° （B ）30° （C ）60° （D ）75°【提示】作EF ⊥AB 于F 点，则由AE ＝2 BC ＝2 EF ，得知∠EAB ＝30°．【答案】D ．6．顺次连结四边形各边中点所得四边形是矩形，则原图形一定是………………（ C ）（A ）菱形（B ）对角线相等的四边形（C ）对角线垂直的四边形（D ）对角线垂直且互相平分的四边形【答案】C ．7．如图，周长为68的矩形ABCD 被分成7个全等的矩形，则矩形ABCD 的面积为………………………………………………………………………（ C ）（A ）98 （B ）196 （C ）280 （D ）284【提示】设小矩形的长为x ，宽为y ，则有⎩⎨⎧==+yx y x 526874 ∴ x ＝10，y ＝4． xy ＝40．【答案】C ．8．如图，在□ABCD 中，EF ∥BC ，GH ∥AB ，EF 、GH 的交点P 在BD 上，则图中面积相等的平行四边形有…………………………………………………………（ D ）（A ）0对（B ）1对（C ）2对（D ）3对【提示】由S △BPE ＝S △BPH ，S △PDG ＝S △PDF 和S △ABD ＝S △CBD 可知有一边过P 点的3对平行四边形面积相等．【答案】D ．（二）填空题（每小题3分，共18分）9．一个多边形的一个内角的补角与其他内角的和恰为500°，那么这个多边形的边数是___4_4或5__．【提示】由于五边形内角和为540°＞500°，所以多边形的边数不可能超过5．显然它不可能是三角形．因此分四边形、五边形两种情况验证是否存在符合要求的图形．【答案】4或5．10．如图，P 是□ABCD 内的一点，ABCDAPB S S 平行四边形三角形＝32，则ABCDCPD S S 平行四边形三角形＝_0.1_____．【提示】过P 点分别作AB 和BC 的平行线，与□ABCD 的边相交，找出4对全等三角形．由此可见，△ABP 与△CDP 的面积之和为□ABCD 面积的一半．【答案】101． 11．用任意两个全等的直角三角形拼下列图形：①平行四边形 ②矩形 ③菱形④正方形 ⑤等腰三角形 ⑥等边三角形其中一定能够拼成的图形是_125_____（只填题号）．【答案】①②⑤．12．如图，如果四边形CDEF 旋转后能与正方形ABCD 重合，那么在图形所在平面内，可以作为旋转中心的点的个数为_3____．【提示】施转中心必须在公共边CD 上．【答案】3．13．如图，梯形ABCD 中，△ABP 的面积为20平方厘米，△CDQ 的面积为35平方厘米，则阴影四边形的面积等于___55___平方厘米．【提示】连结MN ．S △MNP ＝S △ABP ，S △MNQ ＝S △CDQ ．【答案】55．14．如图，将边长为1的正方形ABCD 绕A 点按逆时针方向旋转30°，至正方形AB ′C ′D ′，则旋转前后正方形重叠部分的面积是___根号3÷3_____．【提示】设CD 与B ′C ′的交点为M ，则AM 为两正方形的对称轴．又设MD ＝x ，则AM ＝2 x ，用勾股定理列方程并解之即可．【答案】33．（三）计算题（每小题6分，共12分）15．如图，一个等腰梯形的两条对角线互相垂直，且中位线长为l ，求这个等腰梯形的高． 1【提示】如下图，过B 点作AC 的平行线．【答案】过B 作BG ∥AC ，交DC 的延长线于G 点．在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，∴ 四边形ABGC 为平行四边形． ∴ CG ＝AB ，BG ＝AC ． ∵ EF 为梯形中位线，∴ DG ＝DC ＋AB ＝2 EF ＝2 l ． ∵ AC ⊥BD 且AC ＝BD ． ∴ BG ⊥BD 且BG ＝BD ．∴ △BDG 为等腰直角三角形． ∴ 高BH＝21DG ＝l ． 16．已知：如图，△ABC 中，点O 是AC 上边上一个动点，过点O 作直线MN ∥BC ，MN 交∠BCA 的平分线于点E ，交∠BCA 的外角平分线于点F ．（1）求证EO ＝FO ．（2）当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？证明你的结论．【提示】（1）证明OE ＝OC ＝OF ；（2）O 点的位置首先满足四边形AECF 是平行四边形，然后证明它此时也是矩形．【答案】（1）∵ CE 平分∠BCA ，∴ ∠BCE ＝∠ECO ．又 MN ∥BC ，∴ ∠BCE ＝∠CEO ． ∴ ∠ECO ＝∠CEO ． ∴ OE ＝OC ．同理 OC ＝OF ． ∴ OE ＝OF ．（2）当点O 运动到AC 边的中点时，四边形AECF 是矩形，证明如下： ∵ OE ＝OF ，又O 是AC 的中点，即 OA ＝OC ，∴ 四边形AECF 是平行四边形．∵ CE 、CF 分别平分∠BCA 、∠ACD ，且∠BCA ＋∠ACD ＝180°，∴ ∠ECF ＝∠ECO ＋∠OCF ＝21（∠BCA ＋∠ACD ）＝90°． ∴ □AECF 是矩形．。

中考数学综合提升训练四边形

四边形一、选择题1. (2015·江苏连云港)已知四边形ABCD ，则下列说法中，正确的是( ) A. 当AD ＝BC ，AB ∥DC 时，四边形ABCD 是平行四边形 B. 当AD ＝BC ，AB ＝DC 时，四边形ABCD 是平行四边形 C. 当AC ＝BD ，AC 平分BD 时，四边形ABCD 是矩形 D. 当AC ＝BD ，AC ⊥BD 时，四边形ABCD 是正方形2. (2015·江西)如图，小贤为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD .B 与D 两点之间用一根橡皮筋拉直固定，然后向右扭动框架，观察所得四边形的变化，则下列判断中，错误．．的是( ) A. 四边形ABCD 由矩形变为平行四边形 B. BD 的长度增大C. 四边形ABCD 的面积不变D. 四边形ABCD 的周长不变,(第2题)) ,(第3题))3. 如图，过▱ABCD 的对角线BD 上一点M 分别作平行四边形两边的平行线EF 与GH ，那么▱AEMG 的面积S 1与▱HCFM 的面积S 2的大小关系是( )A. S 1＞S 2B. S 1＜S 2C. S 1＝S 2D. 2S 1＝S 24. 如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，AC ＝8，BD ＝6，以AB 为直径作一个半圆，则图中阴影部分的面积为( )A. 25π－6B. 252π－6C. 256π－6D. 258π－6,(第4题)) ,(第5题))5. 如图，在正方形ABCD 中，AB ＝6，点E 在边CD 上，且CD ＝3DE .将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，延长EF 交边BC 于点G ，连结AG ，CF .有下列结论：①△ABG ≌△AFG ；②BG ＝GC ；③AG ∥CF ；④S △FGC ＝3.其中正确结论的个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 4(第6题)6. 如图，在四边形ABCD 中，AC ＝a ，BD ＝b ，且AC ⊥BD ，顺次连结四边形ABCD 各边中点，得到四边形A 1B 1C 1D 1，再顺次连结四边形A 1B 1C 1D 1各边中点，得到四边形A 2B 2C 2D 2……如此进行下去，得到四边形A n B n C n D n .有下列结论：①四边形A 2B 2C 2D 2是矩形；②四边形A 4B 4C 4D 4是菱形；③四边形A 5B 5C 5D 5的周长是a ＋b4；④四边形A n B n C n D n 的面积是ab2n ＋1.其中正确的结论是( )A. ①②B. ②③ C . ②③④ D. ①②③④ 二、填空题7. 已知一个多边形的内角和是外角和的32，则这个多边形的边数是________．8. 如图，在▱ABCD 中，AD ＝10 cm ，CD ＝6 cm ，E 为AD 上一点，且BE ＝BC ，CE ＝CD ，则DE ＝________cm.,(第8题)) ,(第9题))9. 如图，沿DE 折叠矩形ABCD 的一边，使点C 落在AB 边上的点F 处．若AD ＝8，且△AFD 的面积为60，则△DEC 的面积为________．(第10题)10. 如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连结A′C，则A′C长度的最小值是________．11. 某届国际动漫节期间，小明进行了富有创意的形象设计．如图①，他在边长为1的正方形ABCD内作等边三角形BCE，并与正方形的对角线交于点F，G，制成如图②所示的图标，则图标中阴影图形AFEGD的面积为________．,(第11题))三、解答题12. 如图，在▱ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2AD, E，F分别是AB，CD的中点，过点A作AG∥BD，交CB的延长线于点G.(第12题)(1)求证：四边形DEBF是菱形．(2)请判断四边形AGBD是什么特殊四边形，并加以证明．13. (2015·浙江绍兴)在平面直角坐标系中，O为原点，四边形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，OA＝4，OC＝2，P，Q分别是边BC，AB上的点，连结AC，PQ，点B1是点B关于PQ的对称点．(第13题)(1)若四边形OABC为矩形，如图①.①求点B的坐标．②若BQ∶BP＝1∶2，且点B1落在OA上，求点B1的坐标．(2)若四边形OABC为平行四边形，如图②，且OC⊥AC，过点B1作B1F∥x轴，与对角线AC，边OC分别交于点E，F.若B1E∶B1F＝1∶3，点B1的横坐标为m，求点B1的纵坐标，并直接写出m的取值范围．14. (2015·四川成都)已知AC，EC分别是四边形ABCD和四边形EFCG的对角线，点E在△ABC 内，∠CAE＋∠CBE＝90°.(第14题)(1)如图①，当四边形ABCD 和四边形EFCG 均为正方形时，连结BF . ①求证：△CAE ∽△CBF .②若BE ＝1，AE ＝2，求CE 的长．(2)如图②，当四边形ABCD 和四边形EFCG 均为矩形，且AB BC ＝EFFC＝k 时，若BE ＝1，AE ＝2，CE ＝3，求k 的值．(3)如图③，当四边形ABCD 和四边形EFCG 均为菱形，且∠DAB ＝∠GEF ＝45°时，设BE ＝m ，AE ＝n ，CE ＝p ，试探究m ，n ，p 三者之间满足的等量关系(直接写出结果，不必写出解答过程)．参考答案1．B 2．C 3．C 4．D 5．C[∵AF ＝AD ＝AB ，∠AFG ＝∠B ＝90°，AG ＝AG ，∴△ABG ≌△AFG ，故①正确；设BG ＝x ．∵AB ＝CD ＝3DE ＝6，∴EF ＝DE ＝2，CE ＝4，∴GE ＝x ＋2，GC ＝6－x ，∴(x ＋2)2＝(6－x )2＋42，解得x ＝3，∴BG ＝GC ＝GF ，∠GCF ＝∠GFC ＝12∠BGE ＝∠AGB ，∴AG ∥CF ，故②③都正确；S △FGC ＝35S △GCE ＝35×3×42＝185≠3，故④错误．故选C ．] 6．C[易知四边形A 2B 2C 2D 2，四边形A 4B 4C 4D 4都是菱形，规律是每个四边形周长为外面第二个相邻四边形周长的一半(四边形ABCD 除外)，面积为外面相邻四边形的一半，②③④正确．]7．5 8．3．6 9．2898[易得AF ＝2S △AFD AD ＝2×608＝15，DC ＝DF ＝152＋82＝17．设EF ＝x ，则BE ＝8－x ，BF ＝17－15＝2，∴x 2＝(8－x )2＋22，解得EF ＝174，∴S △DEC ＝12DC ·CE ＝12DC ·EF ＝12×174×17＝2898．](第10题解)10．7－1[∵MA ′是定值，∴当A ′C 的长度最小时，点A ′在MC 上．过点M 作MF ⊥DC 于点F ，如解图．∵在边长为2的菱形ABCD 中，∠A ＝60°，∴CD ＝2，∠ADC ＝120°，∴∠F DM ＝60°，∠FMD ＝30°，∴FD ＝12MD ＝14AD ＝12，FM ＝MD ·cos 30°＝32，∴MC ＝FM 2＋CF 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋⎝⎛⎭⎪⎫12＋22＝7，∴A ′C ＝MC －MA ′＝MC －MA ＝7－1．] 11．32－343[过点G 作GH ⊥CD 于点H ．由已知易得△GDH为等腰直角三角形．设DH ＝GH ＝x ．∵△BEC 为等边三角形，∴∠ECD ＝90°－60°＝30°，∴CH ＝3x ．∵CD ＝CH ＋DH ＝x ＋3x ＝1，∴x ＝3－12．∴S △GCD ＝12CD ·GH ＝12×1×3－12＝3－14．同理可得S △AFB ＝3－14．易求得S △BCE ＝12BC ·BE ·sin ∠CBE ＝34×12＝34．∴S 阴影＝S正方形ABCD－S △AFB －S △BCE －S△GCD＝1×1－3－14－34－3－14＝32－343．] 12．(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB 綊CD ，AD 綊BC ．∵E ，F 分别为AB ，CD 的中点，∴BE ＝12AB ，DF ＝12CD ，∴BE ＝DF ．∴四边形DEBF 是平行四边形．在△ABD 中，E 是AB 的中点，∴AE ＝BE ＝12AB ＝AD ．∵∠DAB ＝60°，∴△AED 是等边三角形，即DE ＝AE ＝AD ，∴DE ＝BE ．∴□DEBF 是菱形． (2)四边形AGBD 是矩形．证明如下：∵AD ∥BC ，AG ∥BD ，∴四边形AGBD 是平行四边形．由(1)知AD ＝DE ＝AE ＝BE ，∴∠ADE ＝∠DEA ＝60°，∠EDB＝∠DBE ＝30°，∴∠ADB ＝90°．∴□AGBD 是矩形．(第13题解①)13．(1) ①∵OA ＝4，OC ＝2，∴点B 的坐标为(4，2)． ②如解图①，过点P 作PD ⊥OA ，垂足为D ．∵BQ ∶BP ＝1∶2，点B 关于PQ 的对称点为B 1，∴B 1Q ∶B 1P ＝1∶2．∵∠PDB 1＝∠PB 1Q ＝∠B 1AQ ＝90°，∴∠PB 1D ＝∠B 1QA ，∴△PB 1D ∽△B 1QA ，∴PD AB 1＝PB 1B 1Q＝2，∴B 1A ＝1，∴OB 1＝3，即点B 1(3，0)． (2)∵四边形OABC 为平行四边形，OA ＝4，OC ＝2，且OC ⊥AC ，∴∠OAC ＝30°，∴点C (1，3)．∵B 1E ∶B 1F ＝1∶3，∴点B 1不与点E ，F 重合，也不在线段EF 的延长线上．①当点B 1在线段FE 的延长线上时，如解图②，延长B 1F 与y 轴交于点G ，点B 1的横坐标为m ，B 1F ∥x 轴，B 1E ∶B 1F ＝1∶3，∴B 1G ＝m ．设OG ＝a ，则GF ＝33a ，OF ＝233a ，∴CF ＝2－233a ，∴EF ＝4－433a ，B 1E ＝2－233a ，∴B 1G ＝B 1E ＋EF ＋FG ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－233a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4－433a ＋33a ＝m ，∴a ＝－35m ＋65 3，即点B 1的纵坐标为－35m＋653，∴m 的取值范围是177≤m ≤1＋1077． ,(第13题解②)) ,(第13题解③))②当点B 1在线段EF (除点E ，F )上时，如解图③，延长B 1F 与y 轴交于点G ，点B 1的横坐标为m ，B 1F ∥x 轴，B 1E ∶B 1F ＝1∶3，∴B 1G ＝m ．设OG ＝a ，则GF ＝33a ，OF ＝233a ，∴CF ＝2－233a ，∴FE ＝4－433a ，B 1F ＝34EF ＝3－3a ，∴B 1G ＝B 1F ＋FG ＝(3－3a )＋33a ＝m ，∴a ＝－32m ＋323，即点B 1的纵坐标为－32m ＋32 3，∴m 的取值范围是157≤m ≤3． 14．(1)①∵四边形ABCD 和四边形EFCG 均为正方形，∴AC BC ＝CECF＝2，∴∠ACB ＝∠ECF ＝45°，∴∠ACE ＝∠BCF ．∴△CAE ∽△CBF ． ②∵△CAE ∽△CBF ，∴∠CAE ＝∠CBF ，AE BF ＝ACBC．又∵∠CAE ＋∠CBE ＝90°，∴∠CBF ＋∠CBE ＝90°，即∠EBF ＝90°．∵AE BF ＝AC BC ＝2，AE ＝2，∴2BF＝2，∴BF ＝2，∴EF 2＝BE 2＋BF 2＝12＋(2)2＝3，∴CE 2＝2EF 2＝6，∴CE ＝6(负值舍去)． (2)连结BF ．同(1)可得△CAE ∽△CBF ，∠EBF ＝90°．∵AB BC ＝EF FC＝k ，∴BC ∶AB ∶AC ＝1∶k ∶k 2＋1，CF ∶EF ∶EC ＝1∶k ∶k 2＋1，∴AE BF ＝AC BC ＝k 2＋1，∴BF ＝AE k 2＋1，∴BF 2＝AE 2k 2＋1．∵CE 2＝k 2＋1k 2·EF 2＝k 2＋1k 2(BE2＋BF 2)，BE ＝1，AE ＝2，CE ＝3，∴32＝k 2＋1k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋22k 2＋1，解得k ＝104(负值舍去)． (3)P 2－n 2＝(2＋2)m 2．[连结BF ，过点C 作CH ⊥AB ，交AB 的延长线于点H ．同(1)可得△CAE ∽△CBF ，∠EBF ＝90°．易得AB ＝BC ＝2BH ＝2CH ，∴AB 2∶BC 2∶AC 2＝1∶1∶(2＋2)，EF 2∶CF 2∶EC 2＝1∶1∶(2＋2)．∴p 2＝(2＋2)EF 2＝(2＋2)(BE 2＋BF 2)＝(2＋2)⎝⎛⎭⎪⎫m 2＋n 22＋2＝(2＋2)m 2＋n 2，∴p 2－n2＝(2＋2)m 2．]。

第2章四边形(提升卷)(原卷版)初中数学

《阳光测评》2020-2021学年下学期八年级数学单元提升卷【湘教版】第2章四边形（提升卷）姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分120分，考试时间90分钟，试题共23题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.六边形的对角线共有（）A．6条B．8条C．9条D．18条2.以线段a＝7，b＝8，c＝9，d＝11为边作四边形，可作（）A．一个B．2个C．3个D．无数个3.一幅美丽的图案，在某个顶点处由三个边长相等的正多边形密铺而成，其中有两个正八边形，那么另一个是（）A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形4.如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝100°，∠ABC的平分线BE交AD于点E，连接CE，若BE＝CE，则∠ECD的度数为（）A．30°B．40°C．60°D．80°5.一个多边形的内角和是1440°，且这个多边形的每一个内角都相等，则这个多边形的一个外角是（）A．60°B．45°C．36°D．30°6.如图，△ABC与△A′B′C′关于O成中心对称，下列结论中不成立的是（）A．OC＝OC′B．OA＝OA′C．BC＝B′C′D．∠ABC＝∠A′C′B′7.如图，要使平行四边形ABCD成为菱形，添加一个条件不正确的是（）A．AC⊥BD B．AB＝AD C．AC＝BD D．AC平分∠BAD8.图中有三个正方形，若阴影部分面积为4个平方单位，则最大正方形的面积是（）平方单位．A．48B．12C．24D．369.如图，△ABC中，∠ABC＝∠BAC，D是AB的中点，EC∥AB，DE∥BC，AC与DE交于点O．下列结论中，不一定成立的是（）A．AC＝DE B．AB＝AC C．AD＝EC D．OA＝OE10.如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，E、F分别是边AD、BC上的点，BE∥DF且BE与DF之间的距离为4，则AE的长为（）A．3B．C．D．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）11.图甲所示的四张牌，若只将其中一张牌旋转180°后得到图乙，则旋转的牌是．12.如图，在▱ABCD中，M是BC延长线上的一点，若∠A＝135°，则∠MCD＝．13.从n边形（n＞3）的一个顶点出发，可以画﹣条对角线，这些对角线把n边形分成﹣三角形，分得三角形内角的总和与多边形的内角和．14.用4个全等的正八边形进行拼接，使相等的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形，如图1，用n个全等的正六边形按这种方式进行拼接，如图2，若围成一圈后中间形成一个正多边形，则n的值为．15.如图，在△ABC中，AC＝BC，点D、E分别是边AB、AC的中点．延长DE到点F，使DE＝EF，得四边形ADCF．当∠ACB＝°时，四边形ADCF是正方形．16.如图，点D，E，F分别是△ABC三边的中点，则下列结论中正确的有．①四边形AEDF一定是平行四边形；②若∠A＝90°，则四边形AEDF是矩形；③若AD平分∠A，则四边形AEDF是正方形；④若AD⊥BC，则四边形AEDF是菱形．三、解答题（本大题共7小题，共72分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.若一个多边形的外角和比它的内角和的少90°，求多边形的边数．18.如图，正△ABC与正△A1B1C1关于某点中心对称，已知A，A1，B三点的坐标分别是（0，4），（0，3），（0，2）．（1）求对称中心的坐标；（2）写出顶点C，C1的坐标．19.如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，过点D作DE⊥BC于E，延长CB到点F，使BF＝CE，连接AF，OF．（1）求证：四边形AFED是矩形．（2）若AD＝7，BE＝2，∠ABF＝45°，试求OF的长．20.附加题：如图，在五边形A1A2A3A4A5中，B1是A1对边A3A4的中点，连接A1B1，我们称A1B1是这个五边形的一条中对线．如果五边形的每条中对线都将五边形的面积分成相等的两部分．求证：五边形的每条边都有一条对角线和它平行．21.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，AC的中点，延长DE到F，使得EF＝BC，连接AF，CF．（1）求证：四边形ADCF是菱形；（2）请给△ABC添加一个条件，使得四边形ADCF是正方形，则添加的条件为．22.我们给出如下定义：有一组相邻内角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”．请解答下列问题：（1）“梯形、长方形、正方形”中“等邻角四边形”是；（2）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，且CD＝CA，点E、F分别为BC、AD的中点，连接EF并延长交AB于点G．求证：四边形AGEC是“等邻角四边形”；（3）已知：在“等邻角四边形”ABCD中，∠A＝90°，∠C＝60°，AB＝6，BC＝10，请画出相应图形，并直接写出CD的长．23.乐乐和数学小组的同学们研究多边形对角线的相关问题，邀请你也加入其中！请仔细观察下面的图形和表格，并回答下列问题：多边形的顶点数4 5 678……n从一个顶点出发的对角线的条数1 2 3 4 5 ……①﹣多边形对角线的总条数2 5 9 14 20 ……②﹣（1）观察探究请自己观察上面的图形和表格，并用含n的代数式将上面的表格填写完整，其中①﹣；②﹣；（2）实际应用数学社团共分为6个小组，每组有3名同学．同学们约定，大年初一时不同组的两位同学之间要打一个电话拜年，请问，按照此约定，数学社团的同学们一共将拨打电话多少个？（3）类比归纳乐乐认为（1）、（2）之间存在某种联系，你能找到这两个问题之间的联系吗？请用语言描述你的发现．。

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《四边形》提高测试
（一）选择题（每小题4分，共32分）
1．若一个多边形的内角和是外角和的5倍，则这个多边形的边数是…………（ D ）（A ）9 （B ）10 （C ）11 （D ）12
【提示】为了便于计算，设每个内角都相等，那么每个内角是每个外角的5倍．【答案】D ．
2．已知菱形ABCD 的两条对角线之和为l ，面积为S ，则它的边长为………（）
（A
）
2421l S -
（B ）221l S + （C ）S l 4212- （D ）S
l +242
1 【提示】设两对角线长的一半为a 与b ，则S ＝
2 ab ，l ＝2（a ＋b ），边长为22b a +．利用a 2＋b 2＝(a ＋b )2
－2 ab ．【答案】C ．
3．如图，矩形ABCD 的边长AB ＝6，BC ＝8，将矩形沿EF 折叠，使C 点与A 点重合，则折痕EF 的长是……………………………………………………………………（ A ）（A ）7．5 （B ）6 （C ）10 （D ）5
【提示】设AE ＝x ，则ED ＝8－x ，CE ＝x ，用勾股定理列出方程x 2＝(8－x )2＋62
，解出x ＝
425，而OA ＝2
1
AC ＝5．【答案】A ．
4．已知：如图，在□ABCD 中，E 、F 分别是边AD 、BC 的中点，AC 分别交BE 、DF 于G 、H ，并有下列结论：
（1）BE ＝DF ；（2）AG ＝GH ＝HC ；（3）EG ＝2
1
BG ；（4）S △ABE ＝3 S △AGE ．
其中正确的结论
有…………………………………………………………………（）（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个【提示】BG ＝2 FH ＝2 GE ．【答案】D ．
5．如图，E 为矩形ABCD 的边CD 上的一点，AB ＝AE ＝4，BC ＝2，则∠BEC 是（D ）（A ）15° （B ）30° （C ）60° （D ）75°
【提示】作EF ⊥AB 于F 点，则由AE ＝2 BC ＝2 EF ，得知∠EAB ＝30°．【答案】D ．
6．顺次连结四边形各边中点所得四边形是矩形，则原图形一定是………………（ C ）（A ）菱形（B ）对角线相等的四边形
（C ）对角线垂直的四边形（D ）对角线垂直且互相平分的四边形【答案】C ．
7．如图，周长为68的矩形ABCD 被分成7个全等的矩形，则矩形ABCD 的面积为………………………………………………………………………（ C ）（A ）98 （B ）196 （C ）280 （D ）284
【提示】设小矩形的长为x ，宽为y ，则有
⎩⎨
⎧==+y
x y x 5268
74 ∴ x ＝10，y ＝4． xy ＝40．【答案】C ．
8．如图，在□ABCD 中，EF ∥BC ，GH ∥AB ，EF 、GH 的交点P 在BD 上，则图中面积相等的平行四边形有…………………………………………………………（ D ）（A ）0对（B ）1对（C ）2对（D ）3对
【提示】由S △BPE ＝S △BPH ，S △PDG ＝S △PDF 和S △ABD ＝S △CBD 可知有一边过P 点的3对平行四边形面积相等．【答案】D ．
（二）填空题（每小题3分，共18分）
9．一个多边形的一个内角的补角与其他内角的和恰为500°，那么这个多边形的边数是___4_4或5__．
【提示】由于五边形内角和为540°＞500°，所以多边形的边数不可能超过5．显然它不可能是三角形．因此分四边形、五边形两种情况验证是否存在符合要求的图形．【答案】4或5．
10．如图，P 是□ABCD 内的一点，
ABCD
APB S S 平行四边形三角形＝
32
，则ABCD
CPD S S 平行四边形三角形＝_0.1_____．
【提示】过P 点分别作AB 和BC 的平行线，与□ABCD 的边相交，找出4对全等三角形．由此可见，△ABP 与△CDP 的面积之和为□ABCD 面积的一半．【答案】
10
1． 11．用任意两个全等的直角三角形拼下列图形：
①平行四边形 ②矩形 ③菱形
④正方形 ⑤等腰三角形 ⑥等边三角形其中一定能够拼成的图形是_125_____（只填题号）．
【答案】①②⑤．
12．如图，如果四边形CDEF 旋转后能与正方形ABCD 重合，那么在图形所在平面内，可
以作为旋转中心的点的个数为_3____．
【提示】施转中心必须在公共边CD 上．【答案】3．
13．如图，梯形ABCD 中，△ABP 的面积为20平方厘米，△CDQ 的面积为35平方厘米，
则阴影四边形的面积等于___55___平方厘米．
【提示】连结MN ．S △MNP ＝S △ABP ，S △MNQ ＝S △CDQ ．【答案】55．
14．如图，将边长为1的正方形ABCD 绕A 点按逆时针方向旋转30°，至正方形
AB ′C ′D ′，则旋转前后正方形重叠部分的面积是___根号3÷3_____．
【提示】设CD 与B ′C ′的交点为M ，则AM 为两正方形的对称轴．又设MD ＝x ，则AM ＝2 x ，用勾股定理列方程并解之即可．【答案】
3
3．（三）计算题（每小题6分，共12分）
15．如图，一个等腰梯形的两条对角线互相垂直，且中位线长为l ，求这个等腰梯形的高．
1
【提示】如下图，过B 点作AC 的平行线．
【答案】过B 作BG ∥AC ，交DC 的延长线于G 点．
在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，
∴ 四边形ABGC 为平行四边形． ∴ CG ＝AB ，BG ＝AC ． ∵ EF 为梯形中位线，
∴ DG ＝DC ＋AB ＝2 EF ＝2 l ． ∵ AC ⊥BD 且AC ＝BD ． ∴ BG ⊥BD 且BG ＝BD ．
∴ △BDG 为等腰直角三角形． ∴ 高BH ＝
2
1
DG ＝l ． 16．已知：如图，△ABC 中，点O 是AC 上边上一个动点，过点O 作直线MN ∥BC ，
MN 交∠BCA 的平分线于点E ，交∠BCA 的外角平分线于点F ．（1）求证EO ＝FO ．
（2）当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？证明你的结论．
【提示】（1）证明OE ＝OC ＝OF ；
（2）O 点的位置首先满足四边形AECF 是平行四边形，然后证明它此时也是矩形．【答案】（1）∵ CE 平分∠BCA ，
∴ ∠BCE ＝∠ECO ．又 MN ∥BC ，
∴ ∠BCE ＝∠CEO ． ∴ ∠ECO ＝∠CEO ． ∴ OE ＝OC ．同理 OC ＝OF ． ∴ OE ＝OF ．
（2）当点O 运动到AC 边的中点时，四边形AECF 是矩形，证明如下： ∵ OE ＝OF ，又O 是AC 的中点，即 OA ＝OC ，
∴ 四边形AECF 是平行四边形．
∵ CE 、CF 分别平分∠BCA 、∠ACD ，且∠BCA ＋∠ACD ＝180°，
∴ ∠ECF ＝∠ECO ＋∠OCF ＝2
1
（∠BCA ＋∠ACD ）＝90°． ∴ □AECF 是矩形．。