四边形存在性问题(中考数学压轴课堂实录一第6讲)(含答案)[1]
2020年中考数学压轴题训练平行四边形的存在性问题
2020年中考数学压轴题训练平⾏四边形的存在性问题2020年中考数学压轴题训练平⾏四边形的存在性问题针对训练1、如图已知抛物线y=-x 2-2x+3与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C 顶点为P .若以A 、C 、P 、M 为顶点的四边形是平⾏四边形，求点M 的坐标2、如图，在平⾯直⾓坐标系xOy 中，已知抛物线y=-x 2+2x+3与x 轴交于A 、B 两点，点M 在这条抛物线上，点P 在y 轴上，如果以点P 、M 、A 、B 为顶点的四边形是平⾏四边形，求点M 的坐标3、将抛物线c1:y=23x 3-+沿x 轴翻折，得到抛物线c2如图所⽰现将抛物线c1向左平移m 个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M ，与x 轴的交点从左到右依次为A 、B ：将抛物线c2向右也平移m 个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为N ，与x 轴的交点从左到右依次为D E 在平移过程中，是否存在以点A 、N 、F,M 为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m 的值；若不存在，请说明理⽈如图，4、抛物线y=25x bx c 4-++与y 轴交于点A （0,1），过点A 的直线与抛物线交于为⼀点B （3.2），过点B 作BC ⊥x 轴，垂⾜为C（1）求抛物线的表达式；（2）点P是x轴正半轴上的⼀动点，过点P作PN⊥x轴交直线AB于点M，交抛物线于点N设OP的长度为m，连结CM、BN，当m 为何值时，四边形BCMN为平⾏四边形？5、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，动点P从点A开始沿边AC向点C秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C 开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度过点P作PD∥BC，交AB于点D，连结PQ点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中⼀点到达终点时，另⼀点也随之停⽌运动，设运动的时间为t秒（t≥0）（1）直接⽤含t的代数式分别表⽰：QB= ，PD=（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由，并探究如何改变点Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某⼀时刻为菱形，求点Q的速度6、如图，在平⾯直⾓坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A（4,0）、B（0,3），点C的坐标为（0，m），过点C作CE⊥AB于点E，点D为x轴正半轴上的⼀动点，且满⾜O=2x，连结DE，以DE、DA为边作平⾏匹边形DEFA（1）如果平⾏四边形DEFA为矩形，求m的值（2）如果平⾏四边形DEFA为菱形，请直接写出m的值真题演练7、（18衢州24）如图，Rt△OAB的直⾓边OA在x轴上，顶点B的坐标为（6,8），直线CD 交AB 于点D （6，3），交x 轴于点C （12,0）（1）求直线CD 的函数表达式；（2）动点P 在x 轴上从点（-10,0）出发，以每秒1个单位的速度向x 轴正⽅向运动，过点P 作直线l 垂直于x 轴，设运动时间为t①点P 在运动过程中，是否存在某个位置，使得∠PDA=∠B ？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由②请探索当t 为何值时，在直线l 上存在点M ，在直线CD 上存在点Q ，使得以OB 为⼀边，O 、B 、M 、Q 为顶点的四边形是菱形？并求出此时t 的值8、（19连云港26）如图，在平⾯直⾓坐标系xOy 中，抛物线L1：y=x 2+bx+c 过点C （0，-3），与抛物线L2：y=213222x x --+的⼀个交点为A ，且点A 的横坐标为2，点P 、Q 分别是抛物线L1，L2上的动点（1）求抛物线L1的函数表达式（2）若以A 、C 、P 、Q 为顶点的四边形恰为平⾏四边形，求点P 的坐标；（3）设点R 为抛物线L1上另⼀个动点，且CA 平分∠PCR 若OQ ∥PR ，求点Q 的坐标9、（19南充25）抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于点A （-1,0）、点B （-3,0）与y 轴交于点C ，且OB=OC （如图所⽰）（1）求抛物线的解析式；（2）若点P 在抛物线上，且∠POB=∠ACB ，求点P 的坐标；（3）抛物线上有两点M 、N ，点M 的横坐标为m ，点N 的横坐标为m+4.点D 是抛物线上M 、N 之间的动点，过点D 作y 轴的平⾏线交MN 于点①求DE 的最⼤值②点D 关于点E 的对称点为F ，当m 为何值时，四边形MDNF 为矩形？10（17泰安28）如图是将抛物线y=-x2平移后得到的抛物线，其中对称轴为x=1，与x轴的⼀个交点为A（-1,0），另⼀个交点为B，与y轴的交点为C.（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点N为抛物线上⼀点，且BC⊥NC，求点N的坐标；（3）点P是抛物线上⼀点，点Q是⼀次函数y=2x+2的图象上⼀点，若四边形OAPQ 为平⾏四边形，这样的点P、Q是否存在？若存在，分别求出点P、Q的坐标；若不存在，请说明理由模拟训练11、（2018年长沙市中考模拟（三）第26题）如图，已知抛物线y=x2-2x+a（a<0）与y轴相交于点A，顶点为M直线y=2x-a分别与x轴、y轴相交于B、C两点，并且与直线M相交于点N.（1）试⽤含a的代数式分别表⽰点M与N的坐标；（2）如图，将△NAC沿y轴翻折，若点N的对应点N恰好落在抛物线上，AN与x 轴交于点D，连结CD，求a的值和四边形ADCN的⾯积；（3）在抛物线y=x2-2x+a上是否存在⼀点P，使得以P、A、C、N为顶点的四边形是平⾏四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由12、（2019年内蒙古准格尔旗中考模拟第24题）如图所⽰，已知抛物线y=-x2+bx+c与⼀直线相交于A（-1,0）、C（2,3）两点，其顶点为D（1）求抛物线及直线AC的函数关系式（2）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B,E为直线AC上的任意⼀点，过点E 作EF∥BD交抛物线于点F，以B、D、E、F为顶4O点的四边形能否为平⾏四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由（3）若P是抛物线上位于直线AC上⽅的⼀个动点，直接写出△APC的⾯积的最⼤值及此时点P的坐标专题预测13、如图，在平⾯直⾓坐标系中，矩形1BC的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为（3.33）。
四边形之存在性问题(讲义及答案)
四边形之存在性问题（讲义）➢课前预习1.一般情况下我们如何处理存在性问题？（1）研究背景图形坐标系背景下研究____________、____________；几何图形研究____________、____________、____________．（2）根据不变特征，确定分类标准研究定点，动点，定线段，确定分类标准不变特征举例：①等腰三角形（两定一动）以定线段作为_________或者___________来分类，利用_______________确定点的位置．②等腰直角三角形（两定一动）以________________来分类，然后借助_________或者___________确定点的位置．（3）分析特殊状态的形成因素，画出符合题意的图形并求解（4）结果验证➢知识点睛1.存在性问题处理框架：①研究背景图形．②根据不变特征，确定分类标准．③分析特殊状态的形成因素，画出符合题意的图形并求解．④结果验证．2.平行四边形存在性问题特征举例：（1）分析定点、动点．（2）①三定一动，连接定点出现三条定线段．定线段分别作为平行四边形的_____________，利用____________确定点坐标．②两定两动，连接定线段，若定线段作为平行四边形的________，则通过____________确定点的坐标；若定线段作为平行四边形的__________，则定线段绕_________旋转，利用________________确定点的坐标．（3）结合图形进行验证．3.特殊平行四边形存在性问题不变特征举例：①菱形存在性问题（两定两动）转化为等腰三角形存在性问题；以定线段作为底边或者腰确定分类标准，利用两圆一线确定一动点的位置，然后通过平移确定另一动点坐标． ②正方形存在性问题（两定两动） 转化为等腰直角三角形存在性问题；根据直角顶点确定分类标准，利用两腰相等或者45°角确定一动点的位置，然后通过平移确定另一动点坐标．➢ 精讲精练1. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线334y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，点C 的坐标为(0，2-)．若点D 在直线AB 上运动，点E 在直线AC 上运动，当以O ，A ，D ，E 为顶点的四边形是平行四边形时，求点D 的坐标．2. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，四边形OABC 是直角梯形，BC ∥OA ，∠112y x =-+经过点A ，且与y 轴交于点D ．若M 是直线AD 上的一个动点，则在x 轴上是否存在点N ，使得以O ，B ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．3.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线1y x=-+交于点A，两直=+与24y x线与x轴分别交于点B和点C，D是直线AC上的一个动点．直线AB上是否存在点E，使得以E，D，O，A为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．4.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：24=-与x轴交于点A，与yy x轴交于点B．（1）求点A，B的坐标．（2）若P是直线2x=-上的一动点，则在坐标平面内是否存在点Q，使得以A，B，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．5.如图，在平面直角坐标系中，已知点A，B，C的坐标分别为A(9 ，0)，B(16，0)，C(0，12)，D是线段BC上的一动点（不与点B，C重合），过点D作直线DE⊥OB，垂足为点E．若M为坐标平面内一点，则在直线DE上是否存在点N，使得以C，B，M，N为顶点的四边形是正方形？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【参考答案】➢课前预习1．（1）坐标、表达式；边、角、线（2）①腰底两圆一线②直角顶点两腰相等45°角➢知识点睛①对角线，平移②边，平移；对角线，其中点，中点坐标公式➢精讲精练1．点D的坐标为(125，65)或(285，65-)．2．存在，点N的坐标为(3-，0)，(7，0)或(3，0)．3．存在，点E的坐标为(13-，23)或(73，103)．4．（1）A(2，0)，B(0，-4)（2）存在，点Q的坐标为(0，4)，(-4，-2)，(-4，-6)或(4，7 2 -)5．存在，点N的坐标为(12，28)，(4，16-)，(14，14)或(2，2-)。
中考数学压轴题四边形的存在性解析
中考数学压轴题四边形的存在性1.（2013•昆明压轴题）如图，矩形OABC在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=4，OC=3，若抛物线的顶点在BC边上，且抛物线经过O，A两点，直线AC交抛物线于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）求点D的坐标；（3）若点M在抛物线上，点N在x轴上，是否存在以A，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．专题：综合题．分析：（1）由OA的长度确定出A的坐标，再利用对称性得到顶点坐标，设出抛物线的顶点形式y=a（x﹣2）2+3，将A的坐标代入求出a的值，即可确定出抛物线解析式；（2）设直线AC解析式为y=kx+b，将A与C坐标代入求出k与b的值，确定出直线AC解析式，与抛物线解析式联立即可求出D的坐标；（3）存在，分两种情况考虑：如图所示，当四边形ADMN为平行四边形时，DM∥AN，DM=AN，由对称性得到M（3，），即DM=2，故AN=2，根据OA+AN求出ON的长，即可确定出N的坐标；当四边形ADM′N′为平行四边形，可得三角形ADQ全等于三角形N′M′P，M′P=DQ=，N′P=AQ=3，将y=﹣代入得：﹣=﹣x2+3x，求出x的值，确定出OP的长，由OP+PN′求出ON′的长即可确定出N′坐标．解答：解：（1）设抛物线顶点为E，根据题意OA=4，OC=3，得：E（2，3），设抛物线解析式为y=a（x﹣2）2+3，将A（4，0）坐标代入得：0=4a+3，即a=﹣，则抛物线解析式为y=﹣（x﹣2）2+3=﹣x2+3x；（2）设直线AC解析式为y=kx+b（k≠0），将A（4，0）与C（0，3）代入得：，，x+3，或））MP=DQ=代入抛物线解析式得：﹣﹣﹣=2+﹣﹣（﹣（﹣﹣2、（2013山西压轴题，26，14分）（本题14分）综合与探究：如图,抛物线2442y x x =--与x 轴交于A,B 两点(点B 在点A 的右侧)与y 轴交于点C,连接BC,以BC 为一边,点O 为对称中心作菱形BDEC,点P 是x 轴上的一个动点,设点P 的坐标为（m ，0），过点P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q（1）求点A,B,C 的坐标。
第六讲、四边形中的动点、存在性问题
第六讲、四边形中的动点、存在性问题一知识点睛1. 动态几何问题分为动点问题、存在性问题和几何三大变换问题等．动点问题的特征是，主要考查运动的；存在性问题的特征是，主要考查运动的．2. 对于动点问题，研究，分析，表达是准备工作，画出运动过程中是关键，最后结合图形（基本图形和特殊状态下的图形相结合）的建立等式来解决问题．对于存在性问题，最关键的是画出，然后结合图形（基本图形和特殊状态下的图形相结合）的建立等式来解决问题．二、精讲精练1. 如图，在Rt △ABC 中，∠B =90°，BC=，∠C =30°．点D 从点C 出发沿CA 方向以每秒2个单位长的速度向点A 匀速运动，同时点E 从点A 出发沿AB 方向以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D ，E 运动的时间是t 秒（t ＞0）．过点D 作DF ⊥BC 于点F ，连接 DE ，EF ． （1）求证：AE =DF ．（2）四边形AEFD 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t 值；如果不能，说明理由．（3）当t 为何值时，△DEF 为直角三角形？请说明理由．CB AC B A CB A2. 如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AD =BC =5，DC =7，AB =12．点P从点A 出发，以每秒3个单位长的速度沿A —D —C 向终点C 运动，同时点Q 从点B 出发，以每秒1个单位长的速度沿BA 向终点A 运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t 秒（t ＞0）． （1）用t 表示△APQ 的面积S ；（2）当t 为何值时，四边形PQBC 为平行四边形？（3）四边形PQBC 能够成为等腰梯形吗？如果能，求出相应的t 值；如果不能，说明理由．ABCDA B CDA BCD3. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A =60°，AB =12cm ．点P 从点A 出发，沿AB 以每秒2cm 的速度向点B 运动，点Q 从点C 出发，沿CA 以每秒1cm 的速度向点A 运动．设点P ，Q 分别从点A ，C 同时出发，运动时间为t 秒（0＜t ＜6）．（1）直接写出线段AP ，AQ 的长（用含t 的代数式表示）：AP =_________，AQ =________；（2）设△APQ 的面积为S ，直接写出S 与t 的关系式；（3）如图2，连接PC ，并把△PQC 沿QC 翻折，得到四边形PQP'C ，那么是否存在某一时间t ，使四边形PQP'C 为菱形？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由．P图1图2P 'B4. 如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，E 是BC 的中点，AD =5，BC =12，CD =24，∠C =45°，点P 是BC 边上一动点，设PB 的长为x ．（1）当x 的值为_______时，以点P ，A ，D ，E 为顶点的四边形为直角梯形； （2）当x 的值为_____时，以点P ，A ，D ，E 为顶点的四边形为平行四边形； （3）点P 在BC 边上运动的过程中，以P ，A ，D ，E 为顶点的四边形能否构成菱形？试说明理由．ADEBCPADEBC5. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠B =60°，BC =2．点O 是AC 的中点，过点O 的直线l 从与AC 重合的位置开始，绕点O 作逆时针旋转，交AB 边于点D ．过点C 作CE ∥AB 交直线l 于点E ，设直线l 的旋转角为α． （1）当α=________时，四边形EDBC 是等腰梯形，此时AD 的长为_________； （2）当α=________时，四边形EDBC 是直角梯形，此时AD 的长为_________； （3）当α=90°时，试判断四边形EDBC 是否为菱形，并说明理由．O AE DCB αl A6.ABC △是等边三角形，点D 是射线BC 上的一个动点（点D 不与点B C 、重合），ADE △是以AD 为边的等边三角形，过点E 作BC 的平行线，分别交射线AB AC、于点F G 、，连接BE ．（1）如图（a ）所示，当点D 在线段BC 上时． ①求证：AEB ADC △≌△；②探究四边形BCGE 是怎样特殊的四边形？并说明理由；（2）如图（b ）所示，当点D 在BC 的延长线上时，直接写出（1）中的两个结论是否成立？（3）在（2）的情况下，当点D 运动到什么位置时，四边形BCGE 是菱形？并说明理由．7.在ABC △中，2120AB BC ABC ==∠=，°，将ABC △绕点B 顺时针旋转角α(0<°α90)<°得A BC A B 111△，交AC 于点E ，11AC 分别交AC BC 、于D F 、两点．（1）如图1，观察并猜想，在旋转过程中，线段1EA 与FC 有怎样的数量关系？并证明你的结论；（2）如图2，当α30=°时，试判断四边形1BC DA 的形状，并说明理由； （3）在（2）的情况下，求ED 的长．ADBECF 1A1CADBECF 1A1C AG CDBF E 图（a ）ADCBFEG图（b ）。
中考数学压轴题专题-二次函数与平行四边形存在性问题
专题6二次函数与平行四边形存在性问题以二次函数为载体的平行四边形存在性问题是中考的热点难点之一，其图形复杂，知识覆盖面广，综合性较强，对学生分析问题和解决问题的能力要求高.对这类题，常规解法是先画出平行四边形，再依据“平行四边形的一组对边平行且相等”或“平行四边形的对角线互相平分”来解决.由于先要画出草图，若考虑不周，很容易漏解.解决抛物线中的平行四边形存在性问题，常用的结论和方法有：线段中点坐标公式、平行四边形顶点坐标公式、画平行四边形.1.平面直角坐标系中，点A 的坐标是11(,)x y ，点B 的坐标是22(,)x y ，则线段AB 的中点坐标是1212(,)22x x y y ++.2.平行四边形ABCD 的顶点坐标分别为(,)A A x y 、(,)B B x y 、(,)C C x y 、(,)D D x y ，则A C B D x x x x +=+，A CB D y y y y +=+. 3.已知不在同一直线上的三点A 、B 、C ，在平面内找到一个点D ，使以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形，有三种情况：【例1】（2021•赤峰）如图，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 与x 轴交于A （﹣3，0）、B （1，0）两点，与y 轴交于点C ，对称轴l 与x 轴交于点F ，直线m ∥AC ，点E 是直线AC 上方抛物线上一动点，过点E 作EH ⊥m ，垂足为H ，交AC 于点G ，连接AE 、EC 、CH 、AH ．（1）抛物线的解析式为；（2）当四边形AHCE 面积最大时，求点E 的坐标；（3）在（2）的条件下，连接EF ，点P 是x 轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q ，使得以F 、E 、P 、Q 为顶点，以EF 为一边的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．【例2】（2021•湘西州）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+4经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）连接BC，求直线BC的解析式；（3）请在抛物线的对称轴上找一点P，使AP+PC的值最小，求点P的坐标，并求出此时AP+PC的最小值；（4）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使得以A、C、M、N四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【例3】（2021•梧州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（0，3），顶点为C．平移此抛物线，得到一条新的抛物线，且新抛物线上的点D（3，﹣1）为原抛物线上点A的对应点，新抛物线顶点为E，它与y轴交于点G，连接CG，EG，CE．（1）求原抛物线对应的函数表达式；（2）在原抛物线或新抛物线上找一点F，使以点C，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形，并求出点F的坐标；（3）若点K是y轴上的一个动点，且在点B的上方，过点K作CE的平行线，分别交两条抛物线于点M，N，且点M，N分别在y轴的两侧，当MN＝CE时，请直接写出点K的坐标．【例4】（2021•郴州）将抛物线y＝ax2（a≠0）向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线H：y＝a（x﹣h）2+k．抛物线H与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．已知A（﹣3，0），点P是抛物线H上的一个动点．（1）求抛物线H的表达式；（2）如图1，点P在线段AC上方的抛物线H上运动（不与A，C重合），过点P作PD⊥AB，垂足为D，PD交AC于点E．作PF⊥AC，垂足为F，求△PEF的面积的最大值；（3）如图2，点Q是抛物线H的对称轴l上的一个动点，在抛物线H上，是否存在点P，使得以点A，P，C，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．【例5】（2021•海南）已知抛物线y＝ax2+x+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且点A的坐标为（﹣1，0）、点C的坐标为（0，3）．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）如图1，若该抛物线的顶点为P，求△PBC的面积；（3）如图2，有两动点D、E在△COB的边上运动，速度均为每秒1个单位长度，它们分别从点C和点B同时出发，点D沿折线COB按C→O→B方向向终点B运动，点E沿线段BC按B→C方向向终点C运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为t秒，请解答下列问题：①当t为何值时，△BDE的面积等于；②在点D、E运动过程中，该抛物线上存在点F，使得依次连接AD、DF、FE、EA得到的四边形ADFE是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点F的坐标．1．（2021•海州区一模）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，直线l与抛物线交于点B，交y轴于点D（0，3）．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P（m，0）为线段OB上一动点，过点P作x轴的垂线EF，分别交抛物线与直线l于点E，F，连接CE，CF，BE，求四边形CEBF面积的最大值及此时m的值；（3）点M为y轴右侧抛物线上一动点，过点M作直线MN∥AC交直线l于点N，是否存在点M，使以A，C，M，N四点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．2．（2020•平顶山二模）如图，已知二次函数y=−38x2+bx+c的图象与x轴交于点A、C，与y轴交于点B，直线y=34x+3经过A、B两点．（1）求b、c的值．（2）若点P是直线AB上方抛物线上的一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线AB于点D，求线段PD的最大值．（3）在（2）的结论下，连接CD，点Q是抛物线对称轴上的一动点，在抛物线上是否存在点G，使得以C、D、G、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由．3．（2020•菏泽）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣6与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，OA＝2，OB ＝4，直线l是抛物线的对称轴，在直线l右侧的抛物线上有一动点D，连接AD，BD，BC，CD．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点D在x轴的下方，当△BCD的面积是92时，求△ABD的面积；（3）在（2）的条件下，点M是x轴上一点，点N是抛物线上一动点，是否存在点N，使得以点B，D，M，N为顶点，以BD为一边的四边形是平行四边形，若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．4．（2020•东莞市校级一模）已知，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交点为A（﹣1，0）和点B，与y轴交点为C （0，﹣3），直线L：y＝kx﹣1与抛物线的交点为点A和点D．（1）求抛物线和直线L的解析式；（2）如图，点M为抛物线上一动点（不与A、D重合），当点M在直线L下方时，过点M作MN∥x 轴交L于点N，求MN的最大值；（3）点M为抛物线上一动点（不与A、D重合），M'为直线AD上一动点，是否存在点M，使得以C、D、M、M′为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点M的坐标，如果不存在，请说明理由．【题组二】5．（2020•雁塔区校级二模）已知抛物线L：y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和（1，﹣2）两点，抛物线L 关于原点O的对称的为抛物线L′，点A的对应点为点A′．（1）求抛物线L和L′的表达式；（2）是否在抛物线L上存在一点P，抛物线L′上存在一点Q，使得以AA′为边，且以A、A′、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．6．（2021•盘龙区二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣4，0），点M为抛物线的顶点，点B在y轴上，且OA＝OB，直线AB与抛物线在第一象限交于点C（2，6）．（1）求抛物线的解析式及顶点M的坐标；（2）求直线AB的函数解析式及sin∠ABO的值；连接OC．若过点O的直线交线段AC于点P，将三角形AOC的面积分成1：2的两部分，请求出点P的坐标；（3）在坐标平面内是否存在点N，使以点A、O、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．7．（2020•碑林区校级三模）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线L：y＝ax2﹣4ax（a＞0）与x 轴正半轴交于点A．抛物线L的顶点为M，对称轴与x轴交于点D．（1）求抛物线L的对称轴．（2）抛物线L：y＝ax2﹣4ax关于x轴对称的抛物线记为L'，抛物线L'的顶点为M'，若以O、M、A、M'为顶点的四边形是正方形，求L'的表达式．（3）在（2）的条件下，点P在抛物线L上，且位于第四象限，点Q在抛物线L'上，是否存在点P、点Q使得以O、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点P坐标，若不存在，请说明理由．8．（2020•泰安二模）如图①抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴，y轴分别交于点A（﹣1，0），B（4，0），点C三点．（1）试求抛物线解析式；（2）点D（3，m）在第一象限的抛物线上，连接BC，BD．试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足∠PBC＝∠DBC？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点N在抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M的坐标．【题组三】9．（2021•铜梁区校级一模）已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）．与y 轴交于点C．其中OC＝OB，tan∠CAO＝3．（1）求抛物线的解析式；（2）P是第一象限内的抛物线上一动点，Q为线段PB的中点，求△CPQ面积的最大值时P点坐标：（3）将抛物线沿射线CB方向平移2个单位得新抛物线y'．M为新抛物线y′的顶点．D为新抛物线y'上任意一点，N为x轴上一点．当以M、N、C、D为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有符合条件的点N的坐标．并选择一个你喜欢的N点．写出求解过程．10．（2020•烟台模拟）如图，抛物线y＝ax2+43x+c的图象与x轴交于A（﹣3，0），B两点，与y轴交于点C（0，﹣2），连接AC．点P是x轴上的动点．（1）求抛物线的表达式；（2）过点P作x轴的垂线，交线段AC于点D，E为y轴上一点，连接AE，BE，当AD＝BE时，求AD+AE的最小值；（3）点Q为抛物线上一动点，是否存在点P，使得以A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．11．（2020•龙城区一模）已知：二次函数y＝ax2+bx+c的图象的顶点为（﹣1，4），与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，3），如图．（1）求二次函数的表达式；（2）在抛物线的对称轴上有一点M，使得△BCM的周长最小，求出点M的坐标；（3）连结AD、CD，求cos∠ADC的值；（4）若点Q在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点P，使得以A、B、Q、P四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．12．（2020•长沙模拟）如图1，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象交x轴于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，交y轴于点C（0，﹣3），点D为该二次函数图象顶点．（1）求该二次函数解析式，及D点坐标；（2）点P是抛物线的对称轴上一点，以点P为圆心的圆经过A、B两点，且与直线CD相切，求点P 的坐标；＝S△AOC，点E为直线AM上一动点，在x轴上是（3）如图2，若M为线段BC上一点，且满足S△AMC否存在点F，使以点F、E、B、C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标，若不存在，请说明理由．【题组四】13．（2020•东莞市一模）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求该抛物线的解析式及顶点坐标；（2）若P是线段OB上一动点，过P作y轴的平行线交抛物线于点H，交BC于点N，设OP＝t时，△BCH的面积为S．求S关于t的函数关系式；若S有最大值，请求出S的最大值，若没有，请说明理由．（3）若P是x轴上一个动点，过P作射线PQ∥AC交抛物线于点Q，在抛物线上是否存在这样的点Q，使以A，P，Q，C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．14．（2021•深圳模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且经过点（2，﹣3a），对称轴是直线x＝1，顶点是M．（1）求抛物线对应的函数表达式；（2）经过C，M两点作直线与x轴交于点N，在抛物线上是否存在这样的点P，满足以点P，A，C，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）设直线y＝﹣x+3与y轴的交点是D，在线段BD上任取一点E（不与B，D重合），经过A，B，E 三点的圆交直线BC于点F，试判断△AEF的形状，并说明理由．15．（2020•郑州一模）如图，直线y=−23x+4与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+103x+c经过B、C两点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当△BEC面积最大时，请求出点E的坐标；（3）在（2）的结论下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．16.（2021•碑林区校级模拟）如图，抛物线M：y＝ax2+bx+b﹣a经过点（1，﹣3）和（﹣4，12），与两坐标轴的交点分别为A，B，C，顶点为D．（1）求抛物线M的表达式和顶点D的坐标；（2）若抛物线N：y＝﹣（x﹣h）2+与抛物线M有一个公共点为E，则在抛物线N上是否存在一点F，使得以B、C、E、F为顶点的四边形是以BC为边的平行四边形？若存在，请求出h的值；若不存在，请说明理由．【题组五】17．（2020•东营区模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线交x轴于A、C两点，与直线y＝x﹣1交于A、B两点，直线AB与抛物线的对称轴交于点E．（1）求抛物线的解析式．（2）点P在直线AB上方的抛物线上运动，若△ABP的面积最大，求此时点P的坐标．（3）在平面直角坐标系中，以点B、E、C、D为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件点D的坐标．18．（2020•唐山二模）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3过A（1，0），B（﹣3，0），直线AD交抛物线于点D，点D的横坐标为﹣2，点P（m，n）是线段AD上的动点．（1）求直线AD及抛物线的解析式；（2）过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q，求线段PQ的长度l与m的关系式，m为何值时，PQ最长？（3）在平面内是否存在整点（横、纵坐标都为整数）R，使得P，Q，D，R为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点R的坐标；若不存在，说明理由．19．（2020•安定区校级三模）如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（5，0），C（0，−5）三点（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，则点P的坐标为（2，−32）；（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．20．（2020•高州市模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）如图①，若点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为m（0＜m＜3），连接CD、BD、BC、AC，当△BCD的面积等于△AOC面积的2倍时，求m的值；（3）若点N为抛物线对称轴上一点，请在图②中探究抛物线上是否存在点M，使得以B，C，M，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．【题组五】21.（2021•九龙坡区模拟）如图1，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为m，过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q，过点P作PN⊥BC，交BC于点N．（1）求此抛物线的解析式；（2）请用含m的代数式表示PN，并求出PN的最大值以及此时点P的坐标；（3）如图2，将抛物线y＝ax2+bx+4沿着射线CB的方向平移，使得新抛物线y'过原点，点D为原抛物线y与新抛物线y'的交点，若点E为原抛物线的对称轴上一动点，点F为新抛物线y'上一动点，求点F使得以A，D，E，F为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点F的坐标，并写出一个F点的求解过程．22．（2020•湖州）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c（c＞0）的顶点为D，与y 轴的交点为C．过点C的直线CA与抛物线交于另一点A（点A在对称轴左侧），点B在AC的延长线上，连结OA，OB，DA和DB．（1）如图1，当AC∥x轴时，①已知点A的坐标是（﹣2，1），求抛物线的解析式；②若四边形AOBD是平行四边形，求证：b2＝4c．（2）如图2，若b＝﹣2，B B=35，是否存在这样的点A，使四边形AOBD是平行四边形？若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由．23．（2020•遂宁）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（1，0），B（3，0），C（0，6）三点．（1）求抛物线的解析式．（2）抛物线的顶点M与对称轴l上的点N关于x轴对称，直线AN交抛物线于点D，直线BE交AD于点E，若直线BE将△ABD的面积分为1：2两部分，求点E的坐标．（3）P为抛物线上的一动点，Q为对称轴上动点，抛物线上是否存在一点P，使A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．24．（2021•滨城区一模）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣5（a≠0）经过x轴上的点A（1，0）和点B（5，0）及y轴上的点C，经过B、C两点的直线为y＝kx+b（k≠0）．（1）求抛物线的解析式．（2）点P从A出发，在线段AB上以每秒1个单位的速度向B运动，同时点E从B出发，在线段BC 上以每秒2个单位的速度向C运动．当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为t 秒，求t为何值时，△PBE的面积最大并求出最大值．（3）过点A作AM⊥BC于点M，过抛物线上一动点N（不与点B、C重合）作直线AM的平行线交直线BC于点Q．若点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点N的横坐标．【题组七】25．（2021•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过A（0，﹣1），B（4，1）．直线AB 交x轴于点C，P是直线AB下方抛物线上的一个动点．过点P作PD⊥AB，垂足为D，PE∥x轴，交AB于点E．（1）求抛物线的函数表达式；（2）当△PDE的周长取得最大值时，求点P的坐标和△PDE周长的最大值；（3）把抛物线y＝x2+bx+c平移，使得新抛物线的顶点为（2）中求得的点P．M是新抛物线上一点，N 是新抛物线对称轴上一点，直接写出所有使得以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形的点M 的坐标，并把求其中一个点M的坐标的过程写出来．26．（2021•凉山州）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，AC＝，OB＝OC＝3OA．（1）求抛物线的解析式；（2）在第二象限内的抛物线上确定一点P，使四边形PBAC的面积最大，求出点P的坐标；（3）在（2）的结论下，点M为x轴上一动点，抛物线上是否存在一点Q，使点P、B、M、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．27．（2021•武汉）抛物线y＝x2﹣1交x轴于A，B两点（A在B的左边）．（1）▱ACDE的顶点C在y轴的正半轴上，顶点E在y轴右侧的抛物线上；①如图（1），若点C的坐标是（0，3），点E的横坐标是，直接写出点A，D的坐标．②如图（2），若点D在抛物线上，且▱ACDE的面积是12，求点E的坐标．（2）如图（3），F是原点O关于抛物线顶点的对称点，不平行y轴的直线l分别交线段AF，BF（不含端点）于G，H两点．若直线l与抛物线只有一个公共点，求证：FG+FH的值是定值．28．（2021•广东）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点（﹣1，0），且对任意实数x，都有4x﹣12≤ax2+bx+c ≤2x2﹣8x+6．（1）求该二次函数的解析式；（2）若（1）中二次函数图象与x轴的正半轴交点为A，与y轴交点为C；点M是（1）中二次函数图象上的动点．问在x轴上是否存在点N，使得以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．。
中考数学“特殊四边形的存在性问题”题型解析
中考数学“特殊四边形的存在性问题”题型解析由抛物线上的点构成特殊四边形的问题，需要根据特殊四边形的性质与判定去确定点的坐标，然后求解 . 具体而言，解该类题时，我们要根据题目中的条件，科学地进行分类，然后画出图形，再根据这个四边形的性质或判定求出这点的坐标，若这一点是根据特殊四边形的特性得到的坐标，我们还应将这一点代入到抛物线的解析式中去验证是否是抛物线上的点 .本节主要来讨论下特殊四边形：平行四边形、菱形、矩形的存在性问题 .类型一：平行四边形问题【例题1】如图，抛物线y = 1/2 x^2 + bx + c 经过点A（-1,0）和点B（3,0），同时交y 轴于点C .（1）求抛物线的解析式；（2）若点Q 在y 轴上，点P 在抛物线上，且以A , B , Q , P 为顶点的四边形是平行四边形，求满足条件的点P 的坐标 .【分析】（1）根据抛物线经过A , B 两点即可求得b , c 的值，可解题；（2）以A , B , Q , P 为顶点的四边形是平行四边形，则点P 横坐标为4 或- 4，将x = 4 或- 4 代入抛物线解析式即可求得y 的值，即可解题 .【解析】（1）把A（-1,0），B（3,0）代入y = 1/2 x^2 + bx + c 中，∴抛物线的解析式是y = 1/2 x^2 - x - 3/2 .（2）①当AB 为边时，只要PQ∥AB 且PQ = AB = 4 即可 .又知点Q 在y 轴上，∴点P 的横坐标为4 或- 4 ，这时符合条件的点P 有两个，分别记为P1 , P2，把x = 4 代入y = 1/2 x^2 - x - 3/2 ,得y = 5/2 ,把x = - 4 代入y = 1/2 x^2 - x - 3/2 ,得y = 21/2 ,此时P1（4 , 5/2），P2（- 4 , 21/2）；②当AB 为对角线时，只要线段PQ 与线段AB 互相平分即可 .又知点Q 在y 轴上，且线段AB 中点的横坐标为1，∴点P 的横坐标为2，这时符合条件的P 只有一个记为P3 ,而且当x = 2 时，y = - 3/2 ,此时P3（2，- 3/2），综上，满足条件的P 为P1（4 , 5/2），P2（- 4 , 21/2），P3（2，-3/2）.类型二：菱形问题【例题2】如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，直线y = -x + b 与坐标轴交于C，D 两点，直线AB 与坐标轴交于A , B 两点，线段OA , OC 的长是方程x^2 - 3x + 2 = 0 的两个根（OA > OC）.（1）求点A , C 的坐标；（2）直线AB 与直线CD 交于点E，若点E 是线段AB 的中点，反比例函数y = k/x （k ≠0 ）的图象的一个分支经过点E，求k 的值；（3）在（2）的条件下，点M 在直线CD 上，坐标平面内是否存在点N，使以点B , E , M , N 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出满足条件的点N 的坐标；若不存在，请说明理由 .【分析】（1）利用分解因式法解一元二次方程x^2 - 3x + 2 = 0 即可得出OA , OC 的值，再根据点所在的位置即可得出A , C 的坐标；（2）根据点C 的坐标利用待定系数法即可求出直线CD 的解析式，根据点A , B 的横坐标结合点E 为线段AB 的中点即可得出点E 的横坐标，将其代入直线CD 的解析式中即可求出点E 的坐标，再利用待定系数法即可求出k 的值；（3）假设存在，设点M 的坐标为（m , - m + 1）, 分别以BE 为边、BE 为对角线来考虑 .根据菱形的性质找出关于m 的方程，解方程即可得出点M 的坐标，再结合点B , E 的坐标即可得出点N 的坐标 .【解析】（1）x^2 - 3x + 2 = （x - 1）（x - 2）= 0 ,∴x1 = 1 , x2 = 2 ,∵OA > OC ,∴OA = 2 , OC = 1 ,∴A（-2,0），C（1,0）；（2）将C（1,0）代入y = - x + b 中，得0 = - 1 + b , 解得b = 1 ,∴直线CD 的解析式为y = - x + 1 .∵点E 为线段AB 的中点，A（-2,0），B 的横坐标为0 ，∴点E 的横坐标为- 1 .∵点E 为直线CD 上一点，∴E（-1,2）.将点E（-1,2）代入y = k/x （k ≠0 ）中，得2 = k / -1 , 解得k = -2 ;（3）假设存在，设点M 的坐标为（m , - m + 1）,以点B , E , M , N 为顶点的四边形是菱形分两种情况（如上图所示）类型三：矩形问题【例题3】【解题策略】这三道例题分别呈现了运动变化过程中的平行四边形、菱形、矩形的存在性问题，三道例题的思路都是要依据特殊四边形的性质构图并建立方程求点的坐标 .特别地，由于菱形任意三个顶点组成的三角形都是等腰三角形，因此可将菱形问题转化为等腰三角形的存在性问题；而矩形问题则可转化为直角三角形的问题，要注意体会相关知识之间的联系 .。
中考压轴题存在性问题——存在四边形问题专项训练 --答案版
中考压轴题存在性问题——存在四边形问题专项训练评卷人得分一．解答题（共50小题）1．如图，抛物线y＝ax2+bx+6经过点A（﹣2，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，点D 是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为m（1＜m＜4）连接BC，DB，DC．（1）求抛物线的函数解析式；（2）△BCD的面积是否存在最大值，若存在，求此时点D的坐标；若不存在，说明理由；（3）在（2）的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，在矩形OABC中，点O为原点，点A的坐标为（0，4），点C的坐标为（4，0），抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、C，与AB交于点D．（1）求抛物线的函数解析式；（2）点P为线段BC上一个动点（不与点C重合），点Q为线段AC上一个动点，AQ＝CP，连接PQ，设CP＝m，△CPQ的面积为S．求S关于m的函数表达式；（3）抛物线y＝﹣x2+bx+c的顶点为F，对称轴为直线l，当S最大时，在直线l上，是否存在点M，使以M、Q、D、F为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请写出符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图1，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，直线AD：y＝x+1与y轴交于点D，P点是x轴上一个动点，过点P作PG∥y轴，与抛物线交于点G，与直线AD交于点H，当点C、D、H、G四个点组成的四边形是平行四边形时，求此时P点坐标．（3）如图3，连接AC和BC，Q点是抛物线上一个动点，连接AQ，当∠QAC＝∠BCO 时，求Q点的坐标．4．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，连接BC．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）若点N为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点M，使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点P是直线BC上方抛物线上的点，若∠PCB＝∠BCO，求出P点的到y轴的距离．5．如图，抛物线y＝﹣x﹣1与y轴交于点A，点B是抛物线上的一点，过点B作BC⊥x轴于点C，且点C的坐标为（9，0）．（1）求直线AB的表达式；（2）若直线MN∥y轴，分别与抛物线，直线AB，x轴交于点M、N、Q，且点Q位于线段OC之间，求线段MN长度的最大值；（3）当四边形MNCB是平行四边形时，求点Q的坐标．6．如图，对称轴为x＝1的抛物线经过A（﹣1，0），B（2，﹣3）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）P是抛物线上的动点，连接PO交直线AB于点Q，当Q是OP中点时，求点P的坐标；（3）C在直线AB上，D在抛物线上，E在坐标平面内，以B，C，D，E为顶点的四边形为正方形，直接写出点E的坐标．7．如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线上的动点，且满足S△P AO＝2S△PCO，求出P点的坐标；（3）连接BC，点E是x轴一动点，点F是抛物线上一动点，若以B、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点F的坐标．8．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3经过点A（2，﹣3），与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC＝3OB．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴上有一点P，使PB+PC的值最小，求点P的坐标；（3）点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．9．如图：抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝﹣x﹣1交于点A，B．其中点B的横坐标为2．点P （m，n）是线段AB上的动点．（1）求抛物线的表达式；（2）过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q，求线段PQ的长度l与m的关系式，m为何值时，PQ最长？（3）在平角直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，记顶点都是整点的四边形为整点四边形，在（2）的情况下，在平面内找出所有符合要求的整点R，使P、Q、B、R为整点平行四边形，请直接写出整点R的坐标．10．如图①，直线l：y＝mx+n（m＜0，n＞0）与x、y轴分别相交于A、B两点，将△AOB 绕点O逆时针旋转90°得到△COD，过点A、B、D的抛物线P叫做l的关联抛物线，而l叫做P的关联直线．（1）若l：y＝﹣2x+2，则P表示的函数解析式为；若P：y＝﹣x2﹣3x+4，则l 表示的函数解析式为．（2）求P的对称轴（用含m、n的代数式表示）；（3）如图②，若l：y＝﹣2x+4，P的对称轴与CD相交于点E，点F在l上，点Q在P 的对称轴上．当以点C，E，Q，F为顶点的四边形是以CE为一边的平行四边形时，求点Q的坐标．11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3交x轴于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，顶点是D，对称轴交x轴于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线在第四象限内的一点，过点P作PQ∥y轴，交直线AC于点Q，设点P的横坐标是m．①求线段PQ的长度n关于m的函数关系式；②连接AP，CP，求当△ACP面积为时点P的坐标；（3）若点N是抛物线对称轴上一点，则抛物线上是否存在点M，使得以点B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出线段BN的长度；若不存在，请说明理由．12．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）如图①，若点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为m（0＜m＜3），连接CD、BD、BC、AC，当△BCD的面积等于△AOC面积的2倍时，求m的值；（3）若点N为抛物线对称轴上一点，请在图②中探究抛物线上是否存在点M，使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．13．已知，如图，抛物线y＝ax2+3ax+c（a＞0）与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点，点A在点B左侧，点B的坐标为（1，0）、C（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式．（2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值．（3）若点E在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以A、C、E、P为顶点且以AC为一边的平行四边形？如存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．14．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求这个二次函数的关系解析式；（2）点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．15．已知抛物线y＝a（x﹣3）2+（a≠0）过点C（0，4），顶点为M，与x轴交于A，B 两点．如图所示以AB为直径作圆，记作⊙D．（1）试判断点C与⊙D的位置关系；（2）直线CM与⊙D相切吗？请说明理由；（3）在抛物线上是否存在一点E，能使四边形ADEC为平行四边形．16．如图1，已知抛物线y＝ax2+2x+c（a≠0），与y轴交于点A（0，6），与x轴交于点B （6，0）．（1）求这条抛物线的表达式及其顶点坐标；（2）设点P是抛物线上的动点，若在此抛物线上有且只有三个P点使得△P AB的面积是定值S，求这三个点的坐标及定值S．（3）若点F是抛物线对称轴上的一点，点P是（2）中位于直线AB上方的点，在抛物线上是否存在一点Q，使得P、Q、B、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存请说明理由．17．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴分别交于A（﹣3，0），B 两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，抛物线的对称轴是x＝﹣1，且与x轴交于E点．（1）请直接写出抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）如图2，连接AD，设点P是线段AD上的一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点G，交x轴于点H，连接AG、GD，当△ADG的面积为1时，①求点P的坐标；②连接PC、PE，探究PC、PE的数量关系和位置关系，并说明理由（3）设M为抛物线上一动点，N为抛物线的对称轴上一动点，Q为x轴上一动点，当以Q、M、N、E为顶点的四边形为正方形时，请直接写出点Q的坐标．18．如图，抛物线y＝﹣x2﹣2x+3与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D为该抛物线的顶点．（1）如图1，点P是直线AC上方的抛物线上一动点，过点P作PE∥y轴，交直线AC 于点E．当线段PE长取得最大值时，在直线AC上找一点Q，使得△PQD周长最小，求出这个最小周长；（2）把抛物线沿直线AC平移，抛物线上两点A、D平移后的对应点分别是A′、D′，在平面内是否存在一点M，使得以点A′、D′、M、B为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由．19．如图，抛物线过A（1，0）、B（﹣3，0），C（0，﹣3）三点，直线AD交抛物线于点D，点D的横坐标为﹣2，点P（m，n）是线段AD上的动点，过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q．（1）求直线AD及抛物线的解析式；（2）求线段PQ的长度l与m的关系式，m为何值时，PQ最长？（3）在平面内是否存在整点（横、纵坐标都为整数）R，使得P、Q、D、R为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点R的坐标；若不存在，说明理由．20．如图所示，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（2，﹣3）与C（0，﹣3），与x轴负半轴的交点为B．（1）求抛物线的解析式与点B坐标；（2）若点D在x轴上，使△ABD是等腰三角形，求所有满足条件的点D的坐标；（3）点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，若以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，其中AB∥MN，请直接写出所有满足条件的点M的坐标．21．如图，抛物线y＝a（x+2）（x﹣4）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且∠ACO＝∠CBO．（1）求线段OC的长度；（2）若点D在第四象限的抛物线上，连接BD、CD，求△BCD的面积的最大值；（3）若点P在平面内，当以点A、C、B、P为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出点P的坐标．22．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴交于点B（0，2），直线y＝x﹣1与y轴交于点C，与x轴交于点D，点P是线段CD上方的抛物线上一动点，过点P作PF垂直x轴于点F，交直线CD于点E，（1）求抛物线的解析式；（2）设点P的横坐标为m，当线段PE的长取最大值时，解答以下问题．①求此时m的值．②设Q是平面直角坐标系内一点，是否存在以P、Q、C、D为顶点的平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．23．如图，已知直线y＝﹣2x+4分别交x轴、y轴于点A、B，抛物线y＝﹣2x2+bx+c过A，B两点，点P是线段AB上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交抛物线于点D，抛物线的顶点为M，其对称轴交AB于点N．（1）求抛物线的表达式及点M、N的坐标；（2）是否存在点P，使四边形MNPD为平行四边形？若存在求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．24．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C（0，3），抛物线的顶点在直线x＝1上．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为第一象限内抛物线上的一个动点，过点P做PQ∥y轴交BC与点Q，当点P 在何位置时，线段PQ的长度有最大值？（3）点M在x轴上，点N在抛物线对称轴上，是否存在点M，点N，使以点M，N，C，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．25．已知平面直角坐标系xOy（如图1，一次函数y＝x+3的图象与y轴交于点A，点M 在正比例函数y＝x的图象上，且MO＝MA．二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A、M．（1）求线段AM的长；（2）求这个二次函数的解析式；（3）如果点B在y轴上，且位于点A下方，点C在上述二次函数的图象上，点D在一次函数y＝x+3的图象上，且四边形ABCD是菱形，求点C的坐标．26．如图，二次函数y＝﹣+bx+c的图象经过A（﹣2，0），B（0，4）两点．（1）求这个二次函数的解析式，并直接写出顶点D的坐标；（2）若该抛物线与x轴的另一个交点为C，点P为第一象限内抛物线上一点，求P点坐标为多少时，△BCP的面积最大，并求出这个最大面积．（3）在直线CD上有点E，作EF⊥x轴于点F，当以O、B、E、F为顶点的四边形是矩形时，直接写出E点坐标．27．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0），B（8，0）两点，与y轴交于点C，且OC＝2OA，抛物线的对称轴x轴交于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是第一象限内抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，设点P点的横坐标为m，且S△CDP＝S△ABC，求m的值；（3）K是抛物线上一个动点，在平面直角坐标系中是否存在点H，使B、C、K、H为顶点的四边形成为矩形？若存在，直接写出点H的坐标；若不存在，说明理由．28．如图，直线y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣+bx+c经过A，B两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P在抛物线上，点Q在直线AB上，当P，Q关于原点O成中心对称时，求点Q 的坐标；（3）点M为直线AB上的动点，点N为抛物线上的动点，当以点O、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M的坐标．29．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A（﹣1，0），B（m，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3），抛物线的顶点为D．（1）求B、D两点的坐标；（2）若P是直线BC下方抛物线上任意一点，过点P作PH⊥x轴于点H，与BC交于点M，设F为y轴一动点，当线段PM长度最大时，求PH+HF+CF的最小值；（3）在第（2）问中，当PH+HF+CF取得最小值时，将△OHF绕点O顺时针旋转60°后得到△OH′F′，过点F′作OF′的垂线与x轴交于点Q，点R为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点S，使得点D、Q、R、S为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点S的坐标，若不存在，请说明理由．30．如图，已知直线y＝﹣x+2与两坐标轴分别交于A、B两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c 经过点A、B，点P为直线AB上的一个动点，过P作y轴的平行线与抛物线交于C点，抛物线与x轴另一个交点为D．（1）求图中抛物线的解析式；（2）当点P在线段AB上运动时，求线段PC的长度的最大值；（3）在直线AB上是否存在点P，使得以O、A、P、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出此时点P的坐标，若不存在，请说明理由．31．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）连接AC，BC，点D是第一象限内抛物线上一动点，过点D作DG⊥BC于点G，求DG的最大值；（3）抛物线上有一点E，横坐标为，点P是抛物线对称轴上一点，试探究：在抛物线上是否存在点Q，使得以点B，E，P，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．32．抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），且A（﹣1，0），B （4，0），与y轴交于点C，C点的坐标为（0，﹣2），连接BC，以BC为边，点O为对称中心作菱形BDEC．点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x 轴的垂线交抛物线于点Q，交BD于点M．（1）求抛物线的解析式；（2）x轴上是否存在一点P，使三角形PBC为等腰三角形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当点P在线段OB上运动时，试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形？请说明理由．33．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C直线y＝﹣x+2经过点B，C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线BC上方抛物线上一动点，设点P的横坐标为m．①求△PBC面积最大值和此时m的值；②Q是直线BC上一动点，是否存在点P，使以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出点P的坐标．34．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2﹣x﹣3交x轴于A，B两点（点A 在点B的左侧），交y轴于点C（1）求直线AC的解析式；（2）点P是直线AC上方抛物线上的一动点（不与点A，点C重合），过点P作PD⊥x 轴交AC于点D，求PD的最大值；（3）将△BOC沿直线BC平移，点B平移后的对应点为点B′，点O平移后的对应点为点O′，点C平移后的对应点为点C′，点S是坐标平面内一点，若以A，C，O′，S 为顶点的四边形是菱形，求出所有符合条件的点S的坐标．35．如图，抛物线y＝﹣x2﹣2x+c经过点D（﹣2，3），与x轴交于A、B两点（点A在点B 的左侧）与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式和A、B两点的坐标；（2）已知点M在抛物线上，点N在该抛物线的对称轴上，①当∠ACM＝90°时，求点M的坐标；②是否存在这样的点M与点N，使以M、N、A、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．36．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+与x轴交于点A，与y轴交于点B，点F是点B关于x轴的对称点，抛物线y＝x2+bx+c经过点A和点F，与直线AB交于点C．（1）求b和c的值；（2）点P是直线AC下方的抛物线上的一动点，连结P A，PB．求△P AB的最大面积及点P到直线AC的最大距离；（3）点Q是抛物线上一点，点D在坐标轴上，在（2）的条件下，是否存在以A，P，D，Q为顶点且AP为边的平行四边形，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．37．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C（0，3），抛物线的顶点在直线x＝1上．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为第一象限内抛物线上的一个动点，过点P做PQ∥y轴交BC于点Q，求线段PQ长度的最大值，及此时点P的坐标；（3）点M在x轴上，点N在抛物线的对称轴上，若以点M，N，C，B为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点M的坐标．38．如图，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，抛物线y＝a（x+3）（x﹣1）（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．（1）求点A与点B的坐标；（2）若a＝，点M是抛物线上一动点，若满足∠MAO不大于45°，求点M的横坐标m的取值范围．（3）经过点B的直线l：y＝kx+b与y轴正半轴交于点C．与抛物线的另一个交点为点D，且CD＝4BC．若点P在抛物线对称轴上，点Q在抛物线上，以点B，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．39．如图，抛物线y＝x2+bx+c的图象经过坐标原点O，且与x的另一交点为（﹣，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）若直线y＝x+与抛物线相交于点A和点B（点A在第二象限），设点A′是点A关于原点O的对称点，连接A′B，试判断△AA′B的形状，并说明理由；（3）在问题（2）的基础上，探究：平面内是否存在点P，使得以点A，B，A′，P为顶点的四边形是菱形？若存在直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．40．如图，抛物线y＝ax2+bx+2经过A（﹣1，0），B（2，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）M在抛物线上，线段MA绕点M顺时针旋转90°得MD，当点D在抛物线的对称轴上时，求点M的坐标；（3）P在对称轴上，Q在抛物线上，以P，Q，B，C为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点P的坐标．41．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+6与x轴交于点A，与y轴交点C，抛物线y ＝﹣2x2+bx+c过A，C两点，与x轴交于另一点B．（1）求抛物线的解析式．（2）在直线AC上方的抛物线上有一动点E，连接BE，与直线AC相交于点F，当EF ＝BF时，求sin∠EBA的值．（3）点N是抛物线对称轴上一点，在（2）的条件下，若点E位于对称轴左侧，在抛物线上是否存在一点M，使以M，N，E，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．42．如图1（注：与图2完全相同），在直角坐标系中，抛物线经过点A（1，0）、B（5，0）、C（0，4）三点．（1）求抛物线的解析式和对称轴；（2）P是抛物线对称轴上的一点，求满足P A+PC的值为最小的点P坐标（请在图1中探索）；（3）在第四象限的抛物线上是否存在点E，使四边形OEBF是以OB为对角线且面积为12的平行四边形？若存在，请求出点E坐标，若不存在请说明理由（请在图2中探索）43．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的边BC在x轴上，∠ABC＝90°，以A为顶点的抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点C（3，0），交y轴于点E（0，3），动点P在对称轴上．（1）求抛物线解析式；（2）若点P从A点出发，沿A→B方向以1个单位/秒的速度匀速运动到点B停止，设运动时间为t秒，过点P作PD⊥AB交AC于点D，过点D平行于y轴的直线l交抛物线于点Q，连接AQ，CQ，当t为何值时，△ACQ的面积最大？最大值是多少？（3）若点M是平面内的任意一点，在x轴上方是否存在点P，使得以点P，M，E，C 为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出符合条件的M点坐标；若不存在，请说明理由．44．如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣1与x轴的交点为A（﹣1，0），B（2，0），且与y轴交于C点．（1）求该抛物线的表达式；（2）点C关于x轴的对称点为C1，M是线段BC1上的一个动点（不与B、C1重合），ME⊥x轴，MF⊥y轴，垂足分别为E、F，当点M在什么位置时，矩形MFOE的面积最大？说明理由．（3）已知点P是直线y＝x+1上的动点，点Q为抛物线上的动点，当以C、C1、P、Q 为顶点的四边形为平行四边形时，求出相应的点P和点Q的坐标．45．已知，如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为M（1，9），经过抛物线上的两点A （﹣3，﹣7）和B（3，m）的直线交抛物线的对称轴于点C．（1）求抛物线的解析式和直线AB的解析式．（2）在抛物线上A、M两点之间的部分（不包含A、M两点），是否存在点D，使得S△DAC＝2S△DCM？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出满足条件的点P的坐标．46．综合与探究如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，OA＝2，OC＝6，连接AC和BC．（1）求抛物线的解析式；（2）点D在抛物线的对称轴上，当△ACD的周长最小时，点D的坐标为．（3）点E是第四象限内抛物线上的动点，连接CE和BE．求△BCE面积的最大值及此时点E的坐标；（4）若点M是y轴上的动点，在坐标平面内是否存在点N，使以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．47．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，连接BC．（1）求该抛物线的解析式，并写出它的对称轴；（2）点D为抛物线对称轴上一点，连接CD、BD，若∠DCB＝∠CBD，求点D的坐标；（3）已知F（1，1），若E（x，y）是抛物线上一个动点（其中1＜x＜2），连接CE、CF、EF，求△CEF面积的最大值及此时点E的坐标．（4）若点N为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点M，使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．48．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点A，C的坐标分别为（6，0），（4，3），经过B，C两点的抛物线与x轴的一个交点D的坐标为（1，0）．（1）求该抛物线的解析式；（2）若∠AOC的平分线交BC于点E，交抛物线的对称轴于点F，点P是x轴上一动点，当PE+PF的值最小时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，过点A作OE的垂线交BC于点H，点M，N分别为抛物线及其对称轴上的动点，是否存在这样的点M，N，使得以点M，N，H，E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标，若不存在，说明理由．49．如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象过原点，与x轴的另一个交点为（8，0）（1）求该二次函数的解析式；（2）在x轴上方作x轴的平行线y1＝m，交二次函数图象于A、B两点，过A、B两点分别作x轴的垂线，垂足分别为点D、点C．当矩形ABCD为正方形时，求m的值；（3）在（2）的条件下，动点P从点A出发沿射线AB以每秒1个单位长度匀速运动，同时动点Q以相同的速度从点A出发沿线段AD匀速运动，到达点D时立即原速返回，当动点Q返回到点A时，P、Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．过点P 向x轴作垂线，交抛物线于点E，交直线AC于点F，问：以A、E、F、Q四点为顶点构成的四边形能否是平行四边形．若能，请求出t的值；若不能，请说明理由．50．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为A（4，3），与y轴相交于点B（0，﹣5），对称轴为直线l，点M是线段AB的中点．（1）求抛物线的表达式；（2）写出点M的坐标并求直线AB的表达式；（3）设动点P，Q分别在抛物线和对称轴l上，当以A，P，Q，M为顶点的四边形是平行四边形时，求P，Q两点的坐标．中考压轴题存在性问题——存在四边形问题专项训练参考答案与试题解析一．解答题（共50小题）1．如图，抛物线y＝ax2+bx+6经过点A（﹣2，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，点D 是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为m（1＜m＜4）连接BC，DB，DC．（1）求抛物线的函数解析式；（2）△BCD的面积是否存在最大值，若存在，求此时点D的坐标；若不存在，说明理由；（3）在（2）的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由待定系数法即可得出答案；（2）求出C（0，6），设点D的坐标为（m，﹣m2+m+6），过点D作y轴的平行线交BC于点E，由待定系数法求出直线BC的解析式为：y＝﹣x+6，设点E的坐标为（m，﹣m+6），则△BCD的面积＝△CDE的面积+△BDE的面积＝DE×OB＝×DE×4＝2[（﹣m2+m+6）﹣（﹣m+6）]＝﹣m2+6m＝﹣（m﹣2）2+6，由二次函数的性质得出当m＝2时，△BCD的面积最大，﹣m2+m+6＝6，即可得出答案；（3）分BD是平行四边形的一条边、BD是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+6经过点A（﹣2，0），B（4，0）两点，∴，解得：，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+6；（2）△BCD的面积存在最大值，理由如下：∵y＝﹣x2+x+6，当x＝0时，y＝6，∴C（0，6），设点D的坐标为（m，﹣m2+m+6），过点D作y轴的平行线交BC于点E，如图1所示：设直线BC的解析式为y＝kx+c，把B（4，0），C（0，6）代入得：，解得：，∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+6，∴设点E的坐标为（m，﹣m+6），则△BCD的面积＝△CDE的面积+△BDE的面积＝DE×OB＝×DE×4＝2[（﹣m2+m+6）﹣（﹣m+6）]＝﹣m2+6m＝﹣（m﹣2）2+6，∵﹣＜0，∴当m＝2时，△BCD的面积最大＝6，﹣m2+m+6＝6，∵1＜m＜4，此时点D的坐标为（2，6）；（3）存在，理由如下：（3）分情况讨论：①当BD是平行四边形的一条边时，如图2所示：M、N分别有三个点，设点N（n，﹣n2+n+6），∵D（2，6），∴点N的纵坐标为绝对值为6，即|﹣n2+n+6|＝6，解得：n＝2（舍去），或n＝0，或n＝1±，故点N、N′、N″的横坐标分别为：0，1+，1﹣，∵BD∥MN，B（4，0），D（2，6），∴点M的坐标为：（2﹣0，0）或（1+﹣2，0）或（1﹣﹣2，0）；即点M的坐标为：（2，0）或（﹣1，0）或（﹣﹣1，0）；②当BD是平行四边形的对角线时，如图3所示：∵点B、D的坐标分别为（4，0）、（2，6），C（0，6），∴N与C重合，BM＝CD＝2，∴M（4+2，0），即M（6，0）；综上所述，存在这样的点M，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形．点M的坐标为：（2，0）或（6，0）或（﹣1，0）或（﹣﹣1，0）．【点评】本题是二次函数综合问题，涉及到一次函数、平行四边形性质、坐标与图形性质、待定系数法、面积计算等知识；本题综合性强，其中（3）要注意分类求解，避免遗漏．2．如图，在矩形OABC中，点O为原点，点A的坐标为（0，4），点C的坐标为（4，0），抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、C，与AB交于点D．。
2024年九年级中考数学专题复习训练平行四边形的存在性问题
1.如图,已知抛物线y=x22x+3与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与 y轴交于点C，顶点为P.若以A、
C、P、M为顶点的四边形是平行四边形,求点M的坐标.
2.在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2+2x+3与x轴交于A、B两点，点M在这条抛物线上，点P在y轴上，如果以点P、M、A、B为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标.
4.如图,抛物线y= 54x 2+bx+c 与y 轴交于点A(0，1),过点A 的直线与抛物线交于另一点B （3，5
2），过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为C.
(1)求抛物线的表达式.
(2)点P 是x 轴正半轴上的一动点，过点P 作PN ⊥x 轴，交直线AB 于点M ，交抛 物线于点N ，设OP 的长度为m.连接CM 、BN,当m 为何值时,四边形BCMN 为平行四边形?
9.如图所示,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C(0,3),顶点D的坐标为(1,4).
(1)求抛物线的解析式.
(2)在y轴上找一点E,使得△EAC为等腰三角形,请直接写出点E的坐标
(3)点P是x轴上的动点，点Q是抛物线上的动点，是否存在点P、Q，使得以点P、Q、B、D为顶点，BD为一边的四边形是平行四边形?若存在，请求出点P、Q 的坐标;若不存在，请说明理由.。
中考压轴专题一：平行四边形存在性问题
中考压轴专题一：平行四边形存在性问题解题攻略：解平行四边形的存在性问题一般分三步：第一步寻找分类标准，第二步画图，第三步计算．难点在于寻找分类标准，分类标准寻找的恰当，可以使解的个数不重复不遗漏，也可以使计算又好又快．如果已知三个定点，探寻平行四边形的第四个顶点，符合条件的有3个点：以已知三个定点为三角形的顶点，过每个点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生3个交点．如果已知两个定点，一般是把确定的一条线段按照边或对角线分为两种情况．根据平行四边形的对边平行且相等，灵活运用坐标平移，可以使得计算过程简便．根据平行四边形的中心对称的性质，灵活运用坐标对称，可以使得解题简便．题型一：已知三定点+一动点型平行四边形存在性问题例1.如图，四边形OABC是边长为2的正方形，点P为OA边上任意一点（与点O，A不重合），连接CP，过点P作PM⊥CP交AB 于点D，且PM=CP，过点M作MN∥OA，交BO于点N，连接ND，BM，设OP=t．（1）求点M的坐标（用含t的代数式表示）（2）试判断线段MN的长度是否随点P的位置的变化而改变？请说明理由．当t为何值时，四边形BNDM的面积最小．（3）在（2）的结论下，若有一条以直线AB为对称轴，过C，M 两点的抛物线，请思考，是否存在直线AB上一动点E，抛物线上一动点F，使得以点P，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足要求的点F的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】：（1）如图1中，过M作MG⊥OA于G，只要证明Rt△OCP≌Rt△GPM，推出MG=OP=t，PG=OC=2，由此即可解决问题．（2）根据两点间距离公式，求出MN的长即可解决问题．（3）画出图象，由图象可知当点F的横坐标为0或4或2，由此即可解决问题．【解答】：题型二：已知二定点+二动点型平行四边形存在性问题例2.如图：抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点C关于对称轴的对称点为点D，直线L与抛物线交于点A，D两点．（1）求A，D两点的坐标．（2）P是线段AD上一个动点，过P做y轴的平行线交抛物线于点E，求线段PE长度最大值．（3）点M是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点N，使以A，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形．直接写出所有满足条件的N 点坐标．【分析】：（1）根据自变量与函数值的对应关系，可得答案；（2）根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；（3）如图4中有四种情形，分别根据平行四边形的性质或利用一次函数的性质解决．【解答】：解：（1）当y=0时，x2﹣2x﹣3=0，解得x=﹣1，x=3（不符合题意，舍），即A（﹣1，0），当x=0时，y=﹣3，即C点坐标为（0，﹣3）．y=x2﹣2x﹣3的对称轴为x=1，由点C关于对称轴的对称点为点D，得D（2，﹣3）；。
中考数学压轴题专项汇编专题特殊平行四边形的存在性
专题24 特殊平行四边形的存在性破解策略在平行四边形的基础上增加一些条件，即可得到特殊的平行四边形因而可以结合”等腰三角形的存在性”，”直角三角形的存在性”和”平行四边形的存在性”来解决这类问题． 例题讲解例1：如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2－2ax －3a （a ＜0）与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧）．经过点A 的直线l ：y ＝ax ＋a 与抛物线的另一交点为C ，设P 是抛物线的对称轴上的一点，点Q 在抛物线上，那么以点A ，C ，P ，Q 为顶点是四边形能否成为矩形?若能，求出点P 的坐标;若不能，请说明理由．解：以点A ，C ，P ，Q 为都顶点的四边形能成为矩形．令ax 2－2a －3a ＝ax ＋a ．解得x 1＝－1，x 2＝4， 所以点A 的坐标为（－1，0），C 的坐标为（4，5a ）．因为y ＝ax 2－2ax －3a ，所以抛物线的对称轴为x ＝1．则x P ＝1． ①若AC 是矩形的一条边，如图，则x A ＋x P ＝x C ＋x Q ，可得x Q ＝－4，从而点Q 坐标为（－4，21a ）． 同样y A ＋y P ＝y C ＋y Q ，可得y P ＝26a ，从而点P 坐标为（1，26a ）．因为AC ＝PQ ，所以有22＋（26a ）2＝82＋（16a ）2， 解得)(77,7721舍去=-=a a ，此时点P 的坐标为（1，7726-）②若AC 是矩形的一条对角线，如图．则x A ＋x C ＝x P ＋x Q ，可得x Q ＝2，从而点Q 坐标为（2，－3a ）． 同样y A ＋y C ＝y P ＋y Q ，可得y P ＝8a ，从而点P 坐标为（1，8a ）．因为AC ＝PQ ，所以有52＋（5a ）2＝12＋（11a ）2， 算得)(21,2143舍=-=a a ，所以此时点P 的坐标为（1，－4） 综上可得，以点A ，C ，P ，Q 为顶点的四边形能成为矩形，点P 的坐标为（1，7726-）或（1，－4）．例2：如图，在平面直角坐标系xOy 中，菱形ABCD 的中心与原点重合，C ，D 两点的坐标分别为（4，0），（0，3）．现有两动点P ，Q 分别从A ，C 同时出发，点P 沿线段AD 向终点D 运动，点Q 沿折线CBA 向终点A 运动，设运动时间为t 秒．（1）菱形ABCD 的边长是_____，面积是_____，高BE 的长是_____;（2）若点P 的速度为每秒1个单位．点Q 的速度为每秒k 个单位．在运动过程中，任何时刻都有对应的k 值，使得△APQ 沿它的一边翻折，翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形．请探究当t ＝4秒时的情形，并求出k 的值．解：（1）5，24，4．8．（2）要使△APQ 沿它的一边翻折，翻折前后的两个三角形组成的四边形为菱形，根据轴对称的性质，翻折前后两个图形是全等的，所以要满足四边形是菱形只需△APQ 为等腰三角形即可．当t ＝4时，AP ＝4．①如图，当点Q 在线段BC 上时，PQ ≥BE ＞AP ，同理，AQ ＞AP ，所以只存在QA ＝QP 的等腰三角形．过点Q 作QH ⊥AP 于点H ，交AC 于点F ，则AH ＝PH ＝21AP ＝2 易证：△AFH ∽△CFQ ∽△ADO ， 所以43===AODO CQFQ AHFH可得522,1033,23===CQ FQ FH从而k ＝10114=CQ ②当Q 在BA 上时，有两种情况的等腰三角形存在：（i ）如图1，当AP ＝AQ 时，此时点P ，Q 关于x 轴对称，BQ ＝PD ＝1 所以，k ＝234=+BQ CB （ⅱ）如图3，当PA ＝PQ 时，过点P 作PH ⊥AB 于点H ．易证△AHP ∽△AEB ，所以AH AP AE AB=，其中AE ＝227.5AB BE -= 所以AH ＝2825，AQ ＝2AH ＝5625，所以k ＝97450CB BQ +=． （ⅲ）由①可得，AP 的垂直平分线与BC 相交，所以点Q 在线段AB 上时，不存在AQ ＝PQ 这种情况．综上所得，满足条件的k 值为32，1110，9750．y xP QHE A CB DO例3 如图，二次函数212y x x c =-+的图象与x 轴分别交于A ，B 两点，顶点M 关于x 轴的对称点是M ′．问：是否存在抛物线212y x x c =-+使得四边形AMBM ′为正方形？若存在，请求出抛物线的表达式；若不存在，请说明理由．xyBM′MAO解：存在易得AMBM ’是菱彤，所以当AB ＝MM ′时，四边彤AMBM ′是正方形 设点A 的坐标为（x 1，0），B 的坐标为（x 2，0）．令2102x x c -+=所以x 1＋x 2＝2，x 1·x 2＝2c 所以AB ＝()212124x x x x +-＝48.c -点M 的纵坐标为2421.42ac b c a --=若四边形AMBM ’为正方形，则有214822c c --=⨯．解得1213,.22c c ==-又因为已知抛物线与x 轴有两个交点， 所以()2214140.2b ac c ∆=-=--⨯>解得c ＜12， 所以c 的值为3.2-．所以存在抛物线21322y x x =--，使得四边彤AMBM '为正方形． 进阶训练1．已知抛物线C 1： y ＝－2x 2＋8x －6与抛物线C 关于原点对称，抛物线C 2与x 轴分别交于点A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），顶点为M ，抛物线C 2与x 轴分别交于C ，D 两点（点C 在点D 的左侧）顶点为N ． （1）求抛物线C 2的表达式；（2）若抛物线C 1与抛物线C 2同时以每秒1 个单位的速度沿x 轴方向分别向左、向右运动，此时记A ，B ，C ，D ，M ，N 在某一时刻的新位置分别为A'，B'，C'，D'，M'，N'，当点A'与点D'重合时运动停止，在运动过程中，四边形B'，M'，C'，N'能否形成矩形？ 若能，求出此时运动时间t （秒）的值；若不能，请说明理由．解：（1）抛物线C 2的表达式为2286y x x =++ （2）能．1＝[提示]（2）如图，由轴对称的性质可得四边形C 'N 'B 'M '为平行四边形．所以当∠B 'M 'C '＝90 或B 'C '＝M 'N '时．四边形为矩形，由此可列方程，从面求得t ．2．如图，抛物线22725()326y x =--与x 轴的右交点为A ，与y 轴的交点为B ，设E （x ，y ）是抛物线上一动点，且位于第四象限，若四边形OEAF 是以OA 为对角线的平行四边形． （1）该四边形的面积为24时，判断平行四边形OEAF 是否为菱形；（2）是否存在点E ，使平行四边形OEAF 为正方形？ 若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．xyAFEBO解：（1）当点E 的坐标为（3，－4）时，平行四边形OAEF 是菱形;（2）不存在，理由：若平行四边形OEAF 是正方形，则OA ⊥EF 且OA ＝EF ．此时的点E 不在抛物线上．3．如图，抛物线经过原点O 与x 轴上一点A （4，0），抛物线的顶点为E ，它的对称轴x 轴交于点D ，直线y ＝－2x －1经过抛物线上一点B （－2，m ），与抛物线的对称轴交于点F ． （1）求抛物线的表达式；（2）Q 是平面内任意一点，点M 从点F 出发，沿对称轴向上以每秒1个单位长度的速度均速运动，设点M 的运动时间为t 秒，是否能使以Q ，A ，E ， M 四点顶点的四边形是菱形？ 若能，请直接写出点M 的运动时间；若不能，请说明理由．xyDFBE A O解：（1）抛物线的表达式为214y x x =-； （2）能，t 的值为45-，6，45+或132． [提示]（2）如图，点M 的运动过程中，以Q ，A ，E ，M 为顶点的四边形是菱形有以下四种情况，根据菱形的性质即可求得对应的t 的值． xyQ 1DFBEA OxQ 2A E BFDOxy Q 3A E BFDOxyQ 4A E BFDO4．如图，抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 经过A （－1，0）两点，且与y 轴交于点C ，D 是抛物线的顶点，抛物线的对称轴DE 交x 轴于点E ，连结B D ．（1）P 是线段BD 上一点，当PE ＝PC 时，请求出点P 的坐标；（2）在（1）的条件下，过点P 作PF ⊥x 轴于点F ，G 为抛物线上一动点，M 为x 轴上一动点，N 为直线PF 上一动点，当以F ，M ，N ，G 为顶点的四边形是正方形时，请求出点M 的坐标．xyCPDBEAO解：（1）点P 的坐标为（2，2），（2）点M 的坐标为1211213133130000.22⎛⎫⎛⎫⎫⎫-+ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，[提示]（1）易求得抛物线的l 表达式为223y x x =-++．所以C （0，3），D （1，4），E （1，0），从而直线BD 的表达式为y ＝－2x ＋6．设点P 的坐标为（t ，－2t ＋6）．若PE ＝P C ．则有t 2＋（－2t ＋6－3）()()22126t t =-+-+，解得t ＝2，从而得到点P 的坐标为（2．2）．（2）可设点M 的坐标为（m ，0），则点G 的坐标为（m ，223m m -++）．而以F ，M ，N ，G为顶点的四边形是正方形．所以MF ＝MG ，从而2223m m m -=-++，解得m =，或m =M 的坐标．。
中考数学微专题7 四边形存在性问题
(3)存在．如图 2，分两种情况：点 Q 在 x 轴上方或点 Q 在 x 轴下方． ①当点 Q 在 x 轴上方时，P 与 Q 纵坐标相等， ∴－x2－2x＋3＝145，
解得：x1＝－12，x2＝－32(舍去)，
∴Q1－12，145， ②当点 Q 在 x 轴下方时，P 与 Q 纵坐标互为相反数，
∴－x2－2x＋3＝－145，
问题3：如图直角坐标系中有一点B，C为x轴上一点， 坐标平面内是否存在点D，使以A，B，C，D为顶点 的四边形为矩形？
①画出所有可能存在的点C的位置，使用的方法为以O， B，C三点做直角三角形的方法，即两线一圆．
②代数法 以其中一个情况为例，如图， 当我们确定 O，B，C 的位置后，可以以 OC、OB 为邻边做出矩形 OCDB，该四边形可以看作是 以 OC 为对角线的平行四边形，则可以用平行四边形存在性的方法列出两个方程，而由于矩形对 角线相等，再用两点间距离公式加入一个 OC＝BD 的方程即可求解 xO＋xC＝xB＋xD，yO＋yC＝yB＋yD， （xO－xC）2＋（yO－yC）2＝ （xD－xB）2＋（yD－yB）2.
∴12(－4m－8)(－2－m)＝12×6×6， 整理得：m2＋4m－5＝0，解得：m1＝－5，m2＝1(舍去)， ∴点 D 的坐标为(－5，－1)，∴点 M 的坐标为(－2，8)， ∴DM＝ （－2＋5）2＋（8＋1）2＝3 10， 答：dm 的长为 3 10.
解法总结
1．平行四边形的存在性问题 类型一：“三定一动”型 问题：如图，已知三点A，B，C，找一点D，使以A，B，C， D为顶点的四边形为平行四边形． 作法：连接AB，AC，BC，分别过点A，B，C作对边的平行 线，三条平行线的交点即为所求点D.我们通常用直尺来代替 线段进行平移，很容易就能判断出是否存在这样的D点． 类型二：“两定两动”型
39 四边形的存在性问题-【初中数学】120个题型大招!冲刺满分秘籍!
四边形的存在性问题例题精讲【例1】如图1，四边形ABC D 中，//AD BC ，90AD C ∠=︒，8AD =，6BC =，点M 从点D 出发，以每秒2个单位长度的速度向点A 运动，同时，点N 从点B 出发，以每秒1个单位长度的速度向点C 运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N 作NP AD ⊥于点P ，连接AC 交NP 于点Q ，连接MQ ．设运动时间为t 秒．（1）A M =，A P =．（用含t 的代数式表示）（2）当四边形AN C P 为平行四边形时，求t 的值（3）如图2，将AQM ∆沿A D 翻折，得A K M ∆，是否存在某时刻t ，①使四边形AQMK 为为菱形，若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由②使四边形AQMK 为正方形，则A C =．【解答】解：（1）如图1．82AM AD D M t ∴=-=-．在直角梯形ABC D 中，//AD BC ，90AD C ∠=︒，NP AD ⊥于点P ，∴四边形C N PD 为矩形，6DP CN BC BN t ∴==-=-，8(6)2AP AD DP t t ∴=-=--=+；故答案为：82t -，2t +．（2） 四边形AN C P 为平行四边形时，C N A P =，68(6)t t ∴-=--，解得：2t =，（3）①存在时刻1t =，使四边形AQMK 为菱形．理由如下：N P A D ⊥ ，QP PK =，∴当P M P A =时有四边形AQMK 为菱形，628(6)t t t ∴--=--，解得1t =，②要使四边形AQMK 为正方形．90AD C ∠=︒ ，45C AD ∴∠=︒．∴四边形AQMK 为正方形，则CD AD =，8A D = ，AC ∴=．故答案为：．【变式训练1】在矩形ABC D 中，3A B =，4BC =，E 、F 是对角线AC 上的两个动点，分别从A ，C 同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t 秒，其中05t ．（1）若G ，H 分别是A B ，DC 中点，求证：四边形E G F H 是平行四边形(E 、F 相遇时除外）．（2）在（1）条件下，若四边形E G F H 为矩形，求t 的值．（3）若G ，H 分别是折线A B C --，C D A --上的动点，与E ，F 相同的速度同时出发，若四边形E G F H 为菱形，求t 的值．【解答】（1）证明： 四边形ABC D 是矩形，AB CD ∴=，//AB CD ，//AD BC ，90B ∠=︒，5AC ∴==，G A F H C E ∠=∠，G ，H 分别是A B ，DC 中点，A GB G ∴=，CH D H =，AG CH ∴=，AE CF = ，AF CE ∴=，在A F G ∆和C E H ∆中，AG CH GAF HCE AF CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AFG CEH SAS ∴∆≅∆，G F H E ∴=，同理：GE HF =，∴四边形E G F H 是平行四边形；（2）解：由（1）得：BG CH =，//BG CH ，∴四边形B C H G 是平行四边形，4G H BC ∴==，当4EF GH ==时，平行四边形E G F H 是矩形，分两种情况：①AE CF t ==，524E F t =-=，解得：0.5t =；②AE CF t ==，52(5)4EF t =--=，解得： 4.5t =；综上所述：当t 为0.5s 或4.5s 时，四边形E G F H 为矩形；（3）解：连接AG 、CH ，如图所示：四边形E G F H 为菱形，GH EF ∴⊥，OG OH =，O E O F =，O A O C ∴=，AG AH =，∴四边形AGCH 是菱形，A G C G ∴=，设AG CG x ==，则4BG x =-，由勾股定理得：222AB BG AG +=，即2223(4)x x +-=，解得，258x =，257488BG ∴=-=，731388AB BG ∴+=+=，t ∴为318时，四边形E G F H 为菱形．【变式训练2】在矩形ABC D 中，6A B =，8B C =，点E 为BC 延长线上一点，且B D B E =，连接D E ，Q 为D E 的中点，有一动点P 从B 点出发，沿BC 以每秒1个单位的速度向E 点运动，运动时间为t 秒．（1）如图1，连接D P 、PQ ，则DPQ S ∆=（用含t 的式子表示）；（2）如图2，M 、N 分别为A B 、A D 的中点，当t 为何值时，四边形MNQP 为平行四边形？请说明理由；【解答】解：（1） 四边形ABC D 是矩形，6A B =，8B C =，8B C ∴=，6CD =，10BD ∴==10BD BE ∴==Q 为D E 的中点，12DPQ DPE S S ∆∆∴=，11113()(6106)1522222DPQ BED BDP S S S t t ∆∆∆∴=-=⨯⨯-⨯⨯=-故答案为：3152t-（2）当5t =时，四边形MNQP 为平行四边形，理由如下：M 、N 分别为A B 、A D 的中点，//MN BD ∴，152MN BD ==，5t = 时，152BP BE ∴==，且点Q 是D E 的中点，//PQ BD ∴，152PQ BD ==//MN PQ ∴，MN PQ=∴四边形MNQP 是平行四边形最新模拟题1.如图，在矩形ABCD 中，3CD cm =，4BC cm =，连接BD ，并过点C 作CN BD ⊥，垂足为N ，直线l 垂直BC ，分别交BD 、BC 于点P 、Q ．直线l 从AB 出发，以每秒1cm 的速度沿BC 方向匀速运动到CD 为止；点M 沿线段DA 以每秒1cm 的速度由点D 向点A 匀速运动，到点A 为止，直线1与点M 同时出发，设运动时间为t 秒(0)t >．（1）线段CN =125；（2）连接PM 和QN ，当四边形MPQN 为平行四边形时，求t 的值；（3）在整个运动过程中，当t 为何值时PMN ∆的面积取得最大值，最大值是多少？【解答】解：（1） 四边形ABCD 是矩形4BC AD cm ∴==，90BCD A ∠=︒=∠，225BD BC CD cm ∴=+，1122BCD S BC CD BD CN ∆=⨯=⨯⨯ 125CN ∴=故答案为：125（2）在Rt CDN ∆中，2295DN CD CN =-=四边形MPQN 为平行四边形时//PQ MN ∴，且PQ BC ⊥，//AD BCMN AD∴⊥//MN AB∴DMN DAB∴∆∆∽∴DM DN AD BD=即9545DM =3625DM cm ∴=3625t s ∴=（3）5BD = ，95DN =165BN ∴=如图，过点M 作MH BD ⊥于点H ，sin sin AB MH MDH BDA BD MD ∠=∠== ∴35MD t =35MH t ∴=当64025t <<BQ t = ，45BP t ∴=，9416555554PN BD BP DN t t ∴=--=--=-2113165324()22554825PMN S PN MH t t t t ∆∴=⨯⨯=⨯⨯-=-+∴当3225t s =时，PMN S ∆有最大值，且最大值为384625，当6425t s =时，点P 与点N 重合，点P ，点N ，点M 不构成三角形；当64425t <时，如图，51645PN BP BN t ∴=-=-2113516324()22545825PMN S PN MH t t t t ∆∴=⨯⨯=⨯⨯-=-当64425t <时，PMN S ∆随t 的增大而增大，∴当4t =时，PMN S ∆最大值为5425， 5438425625>∴综上所述：4t =时，PMN ∆的面积取得最大值，最大值为5425．2.如图，平行四边形ABCD 中，8AB cm =，12BC cm =，60B ∠=︒，G 是CD 的中点，E是边AD 上的动点，EG 的延长线与BC 的延长线交于点F ，连接CE ，DF ．（1）求证：四边形CEDF 是平行四边形；（2）①AE =cm 时，四边形CEDF 是矩形，请写出判定矩形的依据（一条即可）；②AE =cm 时，四边形CEDF 是菱形，请写出判定菱形的依据（一条即可）．【解答】（1）证明： 四边形ABCD 是平行四边形，//AD BC ∴，DEG CFG ∴∠=∠，GDE GCF ∠=∠．G 是CD 的中点，DG CG ∴=，在EDG ∆和FCG ∆中，DEG CFG GDE GCF DG CG ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()EDG FCG AAS ∴∆≅∆．ED FC ∴=．//ED CF ，∴四边形CEDF 是平行四边形．（2）解：①当8AE cm =时，四边形CEDF 是矩形．理由如下：作AP BC ⊥于P ，如图所示：8AB cm = ，60B ∠=︒，30BAP ∴∠=︒，142BP AB cm ∴==， 四边形ABCD 是平行四边形，60CDE B ∴∠=∠=︒，8DC AB cm ==，12AD BC cm ==，8AE cm = ，4DE cm BP ∴==，在ABP ∆和CDE ∆中，AB CD B CDE BP DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABP CDE SAS ∴∆≅∆，90CED APB ∴∠=∠=︒，∴平行四边形CEDF 是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形），故当8AE cm =时，四边形CEDF 是矩形；故答案为：8．②当4AE cm =时，四边形CEDF 是菱形．理由如下：4AE cm = ，12AD cm =．8DE cm ∴=．8DC cm = ，60CDE B ∠=∠=︒．CDE ∴∆是等边三角形．DE CE ∴=．∴平行四边形CEDF 是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）．故当4AE cm =时，四边形CEDF 是菱形；故答案为：4．3.如图，在ABC ∆中，点O 是边AC 上一个动点，过点O 作直线//EF BC 分别交ACB ∠、外角ACD ∠的平分线于点E 、F ．（1）猜想与证明，试猜想线段OE 与OF 的关系，并说明理由．（2）连接AE、AF．问：当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．（3）若AC边上存在一点O，使四边形AECF是正方形，猜想ABC∆的形状并证明你的结论．【解答】（1）证明：CE平分ACB∠，∠，CF平分ACD∠=∠，ACE ECB∴∠=∠，ACF DCF，//EF BC∠=∠，∴∠=∠，F DCFECB OEC∴∠=∠，ACF F∠=∠，ACE OEC∴=，OC OF=，OE OC∴=；OE OF（2）解：如图，当O在AC的中点时，四边形AECF是矩形，理由如下：当O为AC中点时，则有OA OC OE OF===，=，∴四边形AECF为平行四边形，AC EF∴四边形AECF为矩形．（3）解：当点O在边AC上运动到AC中点时，使四边形AECF是正方形，ABC∆是直角三角形(90)∠=︒．理由如下：ACB由（2）可得点O在边AC上运动到AC中点时，平行四边形AECF是矩形，，∠=︒ACB90∴∠=︒45ACE平行四边形AECF是矩形，∴=，EO COOEC ACE∴∠=∠=︒，45EOC∴∠=︒，90∴⊥，AC EF∴四边形AECF是正方形．4.如图，矩形ABCD 中，点P 是线段AD 上的一个动点，O 为BD 的中点，PO 的延长线交BC 于Q ．（1）求证：OP OQ =；（2）若8AD cm =，6AB cm =，点P 从点A 出发，以1/cm s 的速度向点D 运动（不与D 重合）．设点P 运动的时间为t 秒，请用t 表示PD 的长；（3）当t 为何值时，四边形PBQD是菱形？【解答】解：（1） 四边形ABCD 是矩形，//AD BC ∴，PDO QBO ∴∠=∠，O 为BD 的中点，DO BO ∴=，在PDO ∆和QBO ∆中，PDO QBO DO BO POD QOB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()PDO QBO ASA ∴∆≅∆，OP OQ ∴=；（2）由题意知：8AD cm =，AP tcm =，8PD t ∴=-，（3）PB PD = ，22PB PD ∴=，即222AB AP PD +=，2226(8)t t ∴+=-，解得74t =，∴当74t =时，PB PD =．。
中考压轴题全面突破之五四边形的存在性(含答案)
中考数学压轴题全面突破之五•四边形的存在性题型特点四边形的存在性问题是一类考查是否存在点，使其能构成某种特殊四边形的问题，如：平行四边形、菱形、梯形的存在性等，往往结合动点、函数与几何，考查分类讨论、画图及建等式计算等．解题思路①寻找定量，结合特殊四边形判定确定分类；②转化四边形的存在性为点的存在性或三角形的存在性；③借助几何特征建等式．难点拆解①平行四边形存在性，由定线分别作边、对角线分类，通过平移或旋转画图，借助坐标间关系及中点坐标公式建等式求解．②菱形存在性可转化为等腰三角形存在性处理．③等腰梯形存在性通常直接表达两腰长，利用两腰相等建等式；两腰不易表达，借助对称性和中点坐标公式联立求解．④直角梯形存在性关键是利用好直角．1.（2012湖北孝感）如图，抛物线(a≠0)与x轴交于点A(-1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C(0，3)．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标．（2）P 为线段BD 上的一个动点，过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，求四边形PMAC 面积的最大值和此时点P 的坐标．（3）点Q 是抛物线在第一象限上的一个动点，过点Q 作QN ∥AC 交x 轴于点N ．当点Q 的坐标为_________时，四边形QNAC 是平行四边形；当点Q 的坐标为_________时，四边形QNAC 是等腰梯形．M ABCDPO xy y xOCBA2. （2012黑龙江牡丹江）如图，OA ，OB 的长分别是关于x 的方程x 2-12x +32=0的两根，且OA >OB ．请解答下列问题： （1）求直线AB 的解析式． （2）若P 为AB 上一点，且，求过点P 的反比例函数的解析式．（3）在坐标平面内是否存在点Q ，使得以A ，P ，O ，Q 为顶点的四边形是等腰梯形？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．y xOP BAy xOPBAy xO PBA3. （2012湖北襄阳）如图，在矩形OABC 中，AO10，AB8，沿直线CD 折叠矩形OABC 的一边BC ，使点B 落在OA 边上的点E 处．分别以OC ，OA 所在的直线为x轴，y 轴建立平面直角坐标系，抛物线经过O ，D ，C 三点．（1）求AD 的长及抛物线的解析式．（2）一动点P 从点E 出发，沿EC 以每秒2个单位长的速度向点C 运动，同时动点Q 从点C 出发，沿CO 以每秒1个单位长的速度向点O 运动，当点P 运动到点C 时，两点同时停止运动．设运动时间为t 秒，当t 为何值时，以P ，Q ，C 为顶点的三角形与△ADE 相似？（3）点N 在抛物线对称轴上，点M 在抛物线上，是否存在这样的点M 与点N ，使以M ，N ，C ，E 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M 与点N 的坐标；若不存在，请说明理由．yxDEA BC O y x DEA BC O4. （2010贵州遵义）如图，已知抛物线(a ≠ 0)的顶点坐标为Q (2，-1)，且与y 轴交于点C (0，3)，与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的右侧），点P 是该抛物线上一动点，从点C 沿抛物线向点A 运动（点P 与点A 不重合），过点P 作PD ∥y 轴，交AC 于点D ． （1）求该抛物线的函数关系式．（2）当△ADP 是直角三角形时，求点P 的坐标．（3）在（2）的结论下，若点E 在x 轴上，点F 在抛物线上，问是否存在以A ，P ，E ，F 为顶点的平行四边形？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．y xQC D P ABOO BA CQxy5. （2012山东烟台）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的三个顶点B (1，0)，C (3，0)，D (3，4)，以A 为顶点的抛物线过点C ．动点P 从点A 出发，沿线段AB 向点B 运动，同时动点Q 从点C 出发，沿线段CD 向点D 运动．点P ，Q 的运动速度均为每秒1个单位，运动时间为t 秒．过点P 作PE ⊥AB 交AC 于点E ． （1）求点A 的坐标及抛物线的解析式．（2）过点E 作EF ⊥AD 于F ，交抛物线于点G ，当t 为何值时，△ACG 的面积最大？最大值为多少？（3）在动点P ，Q 运动的过程中，当t 为何值时，在矩形ABCD 内（包括边界）存在点H ，使以C ，Q ，E ，H 为顶点的四边形为菱形？求出t 的值．y xOQ PGF EDCB A y xOQPG F EDCBA四边形的存在性1. （1）抛物线的解析式为322++-=x x y ，顶点D 的坐标是(14)，．（2）设四边形PMAC 的面积为S ，则OM OC PM OC OA S ⋅++⋅=)(2121=23292++-m m=16105)49(2+--m∵91<<34∴当49=m 时，四边形PMAC 的最大面积为16105．此时，点P 的坐标是93()42，．（3）Q (23)，；Q 1115()416，． 2. （1）直线AB 的解析式为142y x =+．（2）()60y x x=-<． （3）存在，符合条件的点Q 的坐标为（－2，1），58593737⎛⎫-⎪⎝⎭ ， 或542755⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．3. （1）AD =3，抛物线的解析式为2216=+33y x x －．（2）当t =4013或257时，以P ，Q ，C 为顶点的三角形与△ADE 相似．（3）存在，符合条件的点M ，N 的坐标分别为，①M 1（-4，-32），N 1（4，-38） ②M 2（12，-32），N 2（4，-26） ③M 3（4，323），N 3（4，143－）． 4. （1）抛物线的函数关系式为342+-=x x y ．（2）点P 的坐标为(1，0)或(2，-1)．（3）存在，符合条件的点F 的坐标为(22-，1)或(22+，1)．5. （1）A （1，4），抛物线的解析式为y =-x 2+2x +3．（2）S △ACG =21(2)+14t －－，当t =2时，S △ACG 的最大值为1． （3）t =2013或t =2085－．。
2021年中考数学压轴题解法探讨12 平行四边形的存在性问题
2021年中考数学压轴题解法探讨12 平行四边形的存在性问题2021年中考数学压轴题解法探讨12-平行四边形的存在性问题中考数学压轴题解题策略平行四边形的存在性问题【专题解析】考题研究：存在性问题是指判断满足某种条件的事物是否存在的问题，这类问题的知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思非常精巧，解题方法灵活，对学生分析问题和解决问题的能力要求较高，是近几年来各地中考的“热点”。
解题进击：解平行四边形的存在性问题一般分三步：第一步寻找分类标准，第二步画图，第三步计算．难点是找寻分类标准，分类标准找寻的恰当，可以使解的个数不重复不遗漏，也可以并使排序又不好又慢．如果已知三个定点，探寻平行四边形的第四个顶点，符合条件的有3个点：以已知三个定点为三角形的顶点，过每个点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生3个交点．【版权所有：21教育】如果未知两个定点，通常就是把确认的一条线段按照边或对角线分成两种情况．根据平行四边形的对边平行且成正比，灵活运用座标位移，可以使排序过程方便快捷．根据平行四边形的中心对称的性质，灵活运用坐标对称，可以使得解题简便．解题思路：这类题目解法的一般思路是：假设存在→推理论证→得出结论。
若能导出合理的结果，就做出“存在”的判断，导出矛盾，就做出不存在的判断。
由于“存有性”问题的结论存有两种可能将，所以具备对外开放的特征，在假设存有性以后展开的推理小说或排序，对基础知识，基本技能明确提出了较低建议，并具有较强的探索性，恰当、完备地答疑这类问题，就是对我们科学知识、能力的一次全面的考验。
这里我们主要探讨在平面直角坐标系则中平行四边形与否存有的问题。
先假设平行四边形存有，并在坐标系中把平行四边形搞出，再根据平行四边形的性质得出结论适当的点或边的关系，从而得出结论，在作图的时候必须特别注意分类探讨，把所有的情况考量进来。
【真题精讲】类型一：三定一动平行四边形存有性问题典例1：（2021四川眉山）已知如图，在平面直角坐标系xoy中，点a、b、c分别为坐标轴上上的三个点，且oa=1，ob=3，oc=4，（1）谋经过a、b、c三点的抛物线的解析式；（2）在平面直角坐标系xoy中是否存在一点p，使得以以点a、b、c、p为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点p的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点m为该抛物线上一动点，在（2）的条件下，命令大别列兹尼区|pmam|的最大值时点m的座标，并轻易写下|pmam|的最大值．【解析】（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，把a，b，c三点坐标代入求出a，b，c的值，即可确定出所求抛物线解析式；（2）在平面直角坐标系xoy中存有一点p，使以点a、b、c、p为顶点的四边形为菱形，理由为：根据oa，ob，oc的长，利用勾股定理算出bc与ac的长成正比，只有当bp与ac平行且成正比时，四边形acbp为菱形，可以得出结论bp的长，由ob的长确认出来p的纵坐标，确认出来p座标，当点p在第二、三象限时，以点a、b、c、p为顶点的四边形就可以就是平行四边形，不是菱形；（3）利用待定系数法确定出直线pa解析式，当点m与点p、a不在同一直线上时，根据三角形的三边关系|pmam|＜pa，当点m与点p、a在同一直线上时，|pmam|=pa，当点m与点p、a在同一直线上时，|pmam|的值最小，即点m为直线pa与抛物线的交点，阿提斯鲁夫尔谷直线ap与抛物线解析式，算出当|pmam|的最大值时m座标，确认出来|pmam|的最大值即可．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，∵a（1，0）、b（0，3）、c（4，0），∴，Champsaur：a=，b=，c=3，∴经过a、b、c三点的抛物线的解析式为y=x2x+3；（2）在平面直角坐标系xoy中存在一点p，使得以点a、b、c、p为顶点的四边形为菱形，理由为：∵ob=3，oc=4，oa=1，∴bc=ac=5，当bp平行且等于ac时，四边形acbp为菱形，∴bp=ac=5，且点p到x轴的距离等于ob，∴点p的坐标为（5，3），当点p在第二、三象限时，以点a、b、c、p为顶点的四边形就可以就是平行四边形，不是菱形，则当点p的坐标为（5，3）时，以点a、b、c、p为顶点的四边形为菱形；（3）设立直线pa的解析式为y=kx+b（k≠0），∵a（1，0），p（5，3），∴，Champsaur：k=，b=，∴直线pa的解析式为y=x，当点m与点p、a无此同一直线上时，根据三角形的三边关系|pmam|＜pa，当点m与点p、a在同一直线上时，|pmam|=pa，∴当点m与点p、a在同一直线上时，|pmam|的值最小，即点m为直线pa与抛物线的交点，解方程组，得或，∴点m的座标为（1，0）或（5，）时，|pmam|的值最小，此时|pmam|的最大值为5．2-1-c-n-j-y【点评】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：二次函数的性质，待定系数法确定抛物线解析式、一次函数解析式，菱形的判定，以及坐标与图形性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．．变式训练1：（2021?贵州省贵阳,第24题9分）如图，经过点c（0，4）的抛物线y=ax2+bx+c （a≠0）与x轴相交于a（2，0），b两点．（1）a0，b24ac0（填上“＞”或“＜”）；。
中考数学压轴题四边形存在性
中考数学压轴题四边形的存在性1、综合与研究：如图, 抛物线y =1x2 -3x - 4 与x轴交于A,B两点(点B在点A的右侧)42与 y 轴交于点 C, 连接 BC,以 BC为一边 , 点 O为对称中心作菱形 BDEC,点 P 是 x 轴上的一个动点 , 设点 P 的坐标为〔 m， 0〕，过点 P 作 x 轴的垂线 l 交抛物线于点 Q（1〕求点 A,B,C 的坐标。
（2〕当点 P 在线段 OB上运动时，直线 l 分别交 BD，BC于点 M,N。
试试究 m为何值时，四边形 CQMD是平行四边形，此时，请判断四边形 CQBM的形状，并说明原由。
（3〕当点 P在线段 EB上运动时，可否存在点 Q，使△ BDQ为直角三角形，假设存在，请直接写出点 Q的坐标；假设不存在，请说明原由。
2、 (2021 年压轴题 ) 如图，抛物线经过A( 1,0), B(5,0), C (0,5)三点.(1)求抛物线的剖析式；(2)在抛物线的对称轴上有一点P，使 PA+PC的值最小，求点 P 的坐标；(3) 点 M为 x 轴上一动点，在抛物线上可否存在一点N，使以 A,C,M,N 四点构成的四边形为平行四边形？假设存在，求点N 的坐标；假设不存在，请说明原由.yOABxC〔第 26 题图〕3、〔 2021 压轴题〕如图，三角形ABC是以 BC为底边的等腰三角形，点A、 C分别是一次函数 y=x+3 的图象与y 轴的交点，点 B 在二次函数的图象上，且该二次函数图象上存在一点 D 使四边形ABCD能构成平行四边形．〔1〕试求 b， c 的值，并写出该二次函数表达式；〔2〕动点 P 从 A 到 D，同时动点Q从 C 到 A 都以每秒 1 个单位的速度运动，问：①当P 运动到哪处时，有PQ⊥AC？②当 P 运动到哪处时，四边形PDCQ的面积最小？此时四边形PDCQ的面积是多少？4、〔 2021? 〕如图，二次函数的图象过点A〔0，﹣ 3〕， B〔，〕，对称轴为直线x=﹣，点P是抛物线上的一动点，过点P 分别作 PM⊥x轴于点 M，PN⊥y轴于点 N，在四边形 PMON上分别截取 PC= MP， MD= OM，OE= ON， NF= NP．（1〕求此二次函数的剖析式；（2〕求证：以 C、 D、 E、 F 为极点的四边形 CDEF是平行四边形；（3〕在抛物线上可否存在这样的点 P，使四边形 CDEF为矩形？假设存在，央求出所有吻合条件的 P 点坐标；假设不存在，请说明原由．5、〔 2021? 压轴题〕如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y= x2+2x 与 x 轴订交于 O、B，极点为A，连接 OA．〔1〕求点 A 的坐标和∠ AOB 的度数；〔2〕假设将抛物线y= x2+2x 向右平移4 个单位，再向下平移 2 个单位，获取抛物线m，其顶点为点 C．连接 OC和 AC，把△ AOC沿 OA翻折获取四边形 ACOC′．试判断其形状，并说明原由；〔3〕在〔 2〕的情况下，判断点C′可否在抛物线y=x2 +2x 上，请说明原由；〔4〕假设点 P 为 x 轴上的一个动点，试试究在抛物线m上可否存在点Q，使以点O、 P、C、 Q 为极点的四边形是平行四边形，且OC为该四边形的一条边？假设存在，请直接写出点Q的坐标；假设不存在，请说明原由．6、〔 2021 压轴题〕如图，抛物线与x 轴交于 A〔﹣ 1，0〕， B〔 3，0〕两点，与y轴交于点 C〔 0， 3〕．〔1〕求抛物线的剖析式；〔2〕设抛物线的极点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上可否存在点P，使得△ PDC是等腰三角形？假设存在，求出吻合条件的点P 的坐标；假设不存在，请说明原由；〔3〕点 M是抛物线上一点，以B，C，D，M为极点的四边形是直角梯形，试求出点M的坐标．7、〔 2021〕如图，抛物线(a ≠0) 与 x 轴交于点A(-1 ， 0) ， B(3， 0) ，与 y 轴交于点 C(0 ，3) ．（1〕求抛物线的剖析式及极点D 的坐标．（2〕 P 为线段 BD上的一个动点，过点 P 作 PM⊥x轴于点 M，求四边形 PMAC面积的最大值中考数学压轴题四边形存在性〔 3〕点 Q是抛物线在第一象限上的一个动点，过点Q作 QN∥AC 交 x 轴于点 N．当点 Q 的坐标为 _________时，四边形 QNAC是平行四边形；当点Q的坐标为 _________时，四边形QNAC是等腰梯形．yDyC CPA B A BO M x O x8、如图， OA， OB的长分别是关于x的方程x2-12x+32=0的两根，且OA>OB．请解答以下问题：〔 1〕求直线AB的剖析式．〔 2〕假设 P 为 AB上一点，且，求过点P 的反比率函数的剖析式．（3〕在坐标平面可否存在点 Q，使得以 A， P， O， Q为极点的四边形是等腰梯形？假设存在，请直接写出点 Q的坐标；假设不存在，请说明原由．y y yB B BP P PA O x A O x A O x9、〔 2021 襄阳〕如图，在矩形OABC中， AO10，AB8，沿直线 CD折叠矩形 OABC的一边 BC，使点 B 落在 OA边上的点 E 处．分别以 OC，OA所在的直线为x 轴， y 轴建立平面直角坐标系，抛物线经过 O， D， C三点．〔 1〕求 AD的长及抛物线的剖析式．〔 2〕一动点 P 从点 E 出发，沿 EC以每秒 2 个单位长的速度向点 C 运动，同时动点Q从点 C 出发，沿 CO以每秒 1 个单位长的速度向点O运动，当点 P 运动到点 C 时，两点同时停止运动．设运动时间为t 秒，当 t 为何值时，以P， Q， C 为极点的三角形与△ ADE 相似？〔 3〕点 N 在抛物线对称轴上，点 M在抛物线上，可否存在这样的点 M与点 N，使以 M，N，C， E 为极点的四边形是平行四边形？假设存在，请直接写出点M与点 N 的坐标；假设不存在，请说明原由．y yA DBDBAE EO C x O C x10、〔 2021〕如图，抛物线( a≠ 0) 的极点坐标为Q(2，-1)，且与y 轴交于点 C(0，3)，与 x 轴交于 A，B 两点〔点 A在点 B 的右侧〕，点 P 是该抛物线上一动点，从点 C沿抛物线向点 A 运动〔点 P 与点 A 不重合〕，过点 P作 PD∥ y 轴，交 AC于点 D．（1〕求该抛物线的函数关系式．（2〕当△ADP是直角三角形时，求点P的坐标．〔 3〕在〔 2〕的结论下，假设点E 在x轴上，点F在抛物线上，问可否存在以，，，APEF为极点的平行四边形？假设存在，求出点 F 的坐标；假设不存在，请说明原由．y yC CDPO B A x O B A xQ Q11、〔 2021? 襄阳〕如图，在平面直角坐标系xoy 中， AB在 x 轴上， AB=10，以 AB 为直径的⊙ O'与 y 轴正半轴交于点C，连接 BC，AC．CD是⊙ O'的切线， AD丄 CD于点 D，tan ∠CAD= ，抛物线 y=ax2+bx+c 过 A， B， C 三点．〔1〕求证：∠ CAD=∠CAB；〔2〕①求抛物线的剖析式；②判断抛物线的极点 E 可否在直线CD上，并说明原由；〔3〕在抛物线上可否存在一点P，使四边形PBCA是直角梯形．假设存在，直接写出点P 的坐标〔不写求解过程〕；假设不存在，请说明原由．212、〔 2021? 〕如图，抛物线y=x +bx+c 的极点为 D〔﹣ 1，﹣ 4〕，与 y 轴交于点C〔 0，﹣（1〕求抛物线的剖析式；（2〕连接 AC， CD，AD，试证明△ ACD 为直角三角形；〔3〕假设点 E 在抛物线的对称轴上，抛物线上可否存在点F，使以 A， B，E，F 为极点的的四边形为平行四边形？假设存在，求出所有满足条件的点 F 的坐标；假设不存在，请说明原由．13、如图，在平面直角坐标系xoy 中，抛物线经过点Ａ(0 ， 4) ，B(1 ， 0) ，C〔 5， 0〕，抛物线对称轴 l 与x轴订交于点M．（1〕求抛物线的剖析式和对称轴；（2〕设点 P 为抛物线〔x 5〕上的一点，假设以 A、O、 M、 P 为极点的四边形四条边的长度为四个连续的正整数，请你直接写出点 P 的坐标；．．．．〔 3〕连接 AC．研究：在直线AC下方的抛物线上可否存在一点N，使△ NAC的面积最大？假设存在，请你求出点N的坐标；假设不存在，请你说明原由．y5x 217x 114、〔 2021 省 9 分〕如图，抛物线44与 y 轴交于 A 点，过点 A 的直线与抛物线交于另一点 B，过点 B 作 BC⊥x轴，垂足为点C(3 ， 0).〔1〕求直线 AB的函数关系式；〔2〕动点 P 在线段 OC上从原点出发以每秒一个单位的速度向 C 搬动，过点 P 作 PN⊥x 轴，交直线 AB于点 M，交抛物线于点 N. 设点 P 搬动的时间为t 秒，MN的长度为 s 个单位，求 s 与 t 的函数关系式，并写出t 的取值围；〔3〕设在〔 2〕的条件下〔不考虑点P 与点 O，点 C重合的情况〕，连接 CM，BN，当 t 为何值时，四边形 BCMN为平行四边形？问关于所求的t 值，平行四边形 BCMN可否菱形？请说明原由 .15、如图，抛物线y =x24x 3与x轴交于两点A、B，其极点为C．(1)关于任意实数 m，点 M〔m， -2 〕可否在该抛物线上 ?请说明原由；(2)求证 : △ABC 是等腰直角三角形；(3) 点 D 在x轴上，那么在抛物线上可否存在点P，使得以B、C、 D、 P 为极点的四边形是平行四边形？假设存在，求点P 的坐标；假设不存在，请说明原由．。
中考数学《四边形存在性问题》试卷解析
四边形存在性问题解析1.如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的边OC、OA分别与x轴、y轴重合，AB ∥OC，∠AOC=90°，∠BCO=45°，BC=122，点C的坐标为（－18，0）。
（1）求点B的坐标；（2）若直线DE交梯形对角线BO于点D，交y轴于点E，且OE=4，OD=2BD，求直线DE的解析式；（3）若点P是（2）中直线DE上的一个动点，在坐标平面内是否存在点Q，使以O、E、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。
【考点】一次函数综合题，等腰直角三角形判定和性质，相似三角形判定和性质，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，菱形的判定和性质。
【分析】（1）构造等腰直角三角形BCF，求出BF、CF的长度，即可求出B点坐标。
（2）已知E点坐标，欲求直线DE的解析式，需要求出D点的坐标．构造△ODG ∽△OBA，由线段比例关系求出D点坐标，从而可以求出直线DE的解析式。
（3）如图所示，符合题意的点Q有4个：设直线y=－x+4分别与x轴、y轴交于点E、点F，则E（0，4），F（4，0），OE=OF=4，EF=42。
①菱形OEP1Q1，此时OE为菱形一边。
则有P1E=P1Q1=OE=4，P1F=EF－P1E=42－4。
易知△P1NF为等腰直角三角形，∴P1N=NF=22P1F=4－22。
设P1Q1交x轴于点N，则NQ1=P1Q1－P1N=4－（4－22）=22。
又ON=OF－NF=22，∴Q1（22，－22）。
②菱形OEP2Q2，此时OE为菱形一边。
此时Q2与Q1关于原点对称，∴Q2（－22，22）。
③菱形OEQ3P3，此时OE为菱形一边。
此时P3与点F重合，菱形OEQ3P3为正方形，∴Q3（4，4）。
④菱形OP4EQ4，此时OE为菱形对角线。
由菱形性质可知，P4Q4为OE的垂直平分线，由OE=4，得P4纵坐标为2，代入直线解析式y=－x+4得横坐标为2，则P4（2，2）。
中考压轴题存在性问题——存在四边形问题专项训练--答案版
1）求抛物线的函数解析式；第1页（共144页）4 ），点 C 的坐标为（4，0），x2+bx+c 经过点A、C，与AB 交于点D．中考压轴题存在性问题——存在四边形问题专项训练评卷人得分一．解答题（共50 小题）21．如图，抛物线y＝ax2+bx+6经过点A（﹣2，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，点 D 是抛物线上一个动点，设点 D 的横坐标为m（1<m< 4）连接BC，DB，DC．（1）求抛物线的函数解析式；（2）△ BCD 的面积是否存在最大值，若存在，求此时点 D 的坐标；若不存在，说明理由；（3）在（2）的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B，D，M，N 为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直抛物线y＝﹣2）点 P 为线段 BC 上一个动点（不与点 C 重合），点 Q 为线段 AC 上一个动点， AQ ＝ CP ，连接 PQ ，设 CP ＝m ，△CPQ 的面积为 S ．求 S 关于 m 的函数表达式；x 2+bx+c 的顶点为 F ，对称轴为直线 l ，当 S 最大时，在直线 l 上， 是否存在点 M ，使以 M 、Q 、 D 、F 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请写出符合 条件的点 M 的坐标；若不存在，请说明理由．23．如图 1，已知抛物线 y ＝ax +bx+c （a ≠0）与 x 轴交于 A （﹣ 3， 0）、 B （ 1，0）两点，与（2）如图 2，直线 AD ：y ＝ x+1与 y 轴交于点 D ，P 点是 x 轴上一个动点，过点 P 作 PG ∥y 轴，与抛物线交于点 G ，与直线 AD 交于点 H ，当点 C 、D 、H 、G 四个点组成的 四边形是平行四边形时，求此时 P 点坐标．（3）如图 3，连接 AC 和 BC ，Q 点是抛物线上一个动点，连接 AQ ，当∠ QAC ＝∠BCO 时，求 Q 点的坐标．24．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 y ＝ ax 2+ bx+2（ a ≠ 0）与 x 轴交于 A （﹣ 1，0），B （3，0）两点，与 y 轴交于点C ，连接 BC ． （1）求该抛物线的函数表达式；（ 2）若点 N 为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点 M ，使得以 B ，C ， M ，N 为 顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点 M 的坐标；若不存 在，请说明理由；（3）点 P 是直线 BC 上方抛物线上的点， 若∠ PCB ＝∠ BCO ，求出 P 点的到 y 轴的距3）抛物线 y ＝﹣离．BC ⊥x 轴于点 C ，且点 C 的坐标为（ 9，0）．坐标；3）C 在直线 AB 上，D 在抛物线上， E 在坐标平面内，以 形为正方形，直接写出点 E 的坐标．1与 y 轴交于点 A ，点 B 是抛物线上的一点，过点 B 作1） 求直线 AB 的表达式； 若直线 MN ∥ y 轴，分别与抛物线，直线 AB ，x 轴交于点 M 、N 、Q ，且点 Q 位于 OC 之间，求线段 MN 长度的最大值；Q 的坐标．0），B （2， 3）两点． 2）P 是抛物线上的动点，连接 PO 交直线 AB 于点 Q ，当 Q 是 OP 中点时，求点 P 的B ，C ，D ，E 为顶点的四边 线段 1）求抛物线的解析式；求点 ﹣ 1 ，27．如图，抛物线y＝ax +bx+3 与x 轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 是抛物线上的动点，且满足S△PAO＝2S△PCO，求出P 点的坐标；（3）连接BC，点E是x轴一动点，点 F 是抛物线上一动点，若以B、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点 F 的坐标．8．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3经过点A（2，﹣3），与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC ＝3OB ．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴上有一点P，使PB+PC 的值最小，求点P 的坐标；（3）点M 在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A，B，M，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请29．如图：抛物线y＝x +bx+c与直线y＝﹣x﹣1交于点A，B．其中点 B 的横坐标为2．点Pm，n）是线段AB 上的动点．（1）求抛物线的表达式；（2）过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q，求线段PQ的长度l 与m的关系式，m 为何值时，PQ 最长？（3）在平角直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，记顶点都是整点的四边形为整点四边形，在（2）的情况下，在平面内找出所有符合要求的整点R，使P、R 的坐标．与x、y轴分别相交于A、B 两点，将△ AOB绕点O逆时针旋转90°得到△ COD ，过点A、B、D的抛物线P叫做l 的关联抛物线，而l 叫做P 的关联直线．（1）若l：y＝﹣2x+2，则P 表示的函数解析式为；若P：y＝﹣x2﹣3x+4，则l 表示的函数解析式为．（2）求P 的对称轴（用含m、n的代数式表示）；（3）如图② ，若l：y＝﹣2x+4，P的对称轴与CD相交于点E，点F在l上，点Q在P点Q 的坐标．的对称轴上．当以点C，E，Q，F 为顶点的四边形是以CE 为一边的平行四边形时，求11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3 交x 轴于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y 轴交于点C，顶点是D，对称轴交x 轴于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线在第四象限内的一点，过点P作PQ∥ y轴，交直线AC于点Q，设点P 的横坐标是m ．① 求线段PQ 的长度n 关于m 的函数关系式；② 连接AP，CP，求当△ ACP 面积为时点P 的坐标；（3）若点N 是抛物线对称轴上一点，则抛物线上是否存在点M，使得以点B，C，M，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出线段BN 的长度；若不存在，请说明理由．212．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax +bx+2（a≠0）与x 轴交于A（﹣1，0），（2）如图① ，若点 D 是抛物线上一个动点，设点 D 的横坐标为m（0<m<3），连接CD、BD、BC、AC，当△ BCD 的面积等于△ AOC 面积的2倍时，求m的值；（3）若点N 为抛物线对称轴上一点，请在图② 中探究抛物线上是否存在点M，使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．213．已知，如图，抛物线y＝ax2+3ax+c（a>0）与y轴交于点C，与x 轴交于A、B两点，点A 在点B 左侧，点 B 的坐标为（1，0）、C（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式．（2）若点 D 是线段AC 下方抛物线上的动点，求四边形ABCD 面积的最大值．（3）若点E在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以A、C、E、P为顶点且以AC为一边的平行四边形？如存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．214．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax +bx+2 的图象与x 轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y 轴交于点C．（1）求这个二次函数的关系解析式；（2）点M 为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以A、C、M、Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．15．已知抛物线y＝a（x﹣3）2+ （a≠0）过点C（0，4），顶点为M，与x 轴交于A，B 两点．如图所示以AB 为直径作圆，记作⊙ D．（1）试判断点 C 与⊙D 的位置关系；（2）直线CM 与⊙D 相切吗？请说明理由；（3）在抛物线上是否存在一点E，能使四边形ADEC 为平行四边形．1）求这条抛物线的表达式及其顶点坐标；2）设点P是抛物线上的动点，若在此抛物线上有且只有三个P点使得△ PAB 的面积是定值S，求这三个点的坐标及定值S．3）若点 F 是抛物线对称轴上的一点，点P是（2）中位于直线AB 上方的点，在抛物线上是否存在一点Q，使得P、Q、B、 F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直两点，与y 轴交于点C，点 D 为抛物线的顶点，抛物线的对称轴是x＝﹣1，且与x 轴交于 E 点．与y 轴交于点A（0，6），与x 轴交于点B6，0）．A（﹣3，0），B（1）请直接写出抛物线的解析式及顶点 D 的坐标；（2）如图2，连接AD，设点P是线段AD 上的一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点G，交x 轴于点H，连接AG、GD，当△ ADG 的面积为 1 时，① 求点P 的坐标；② 连接PC、PE ，探究PC、PE 的数量关系和位置关系，并说明理由（3）设M为抛物线上一动点，N为抛物线的对称轴上一动点，Q为x轴上一动点，当以Q、M、N、E 为顶点的四边形为正方形时，请直接写出点Q 的坐标．18．如图，抛物线y＝﹣x2﹣2x+3 与x 轴相交于A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与y 轴交于点 C ，点 D 为该抛物线的顶点．（1）如图1，点P是直线AC上方的抛物线上一动点，过点P作PE∥y轴，交直线AC 于点E．当线段PE 长取得最大值时，在直线AC 上找一点Q，使得△ PQD 周长最小，求出这个最小周长；（2）把抛物线沿直线AC 平移，抛物线上两点A、D 平移后的对应点分别是A′、D′，在平面内是否存在一点M，使得以点A′、D′、M 、B 为顶点的四边形为菱形？若存在，19．如图，抛物线过A（1，0）、B（﹣3，0），C（0，﹣3）三点，直线AD 交抛物线于点D，点 D 的横坐标为﹣2，点P（m，n）是线段AD 上的动点，过点P 的直线垂直于x 轴，交抛物线于点Q．（1）求直线AD 及抛物线的解析式；（2）求线段PQ 的长度l 与m的关系式，m为何值时，PQ 最长？（3）在平面内是否存在整点（横、纵坐标都为整数）R，使得P、Q、D、R 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点R 的坐标；若不存在，说明理由．第9页（共144页）20．如图所示，抛物线y＝x2+bx+c 经过点A（2，﹣3）与C（0，﹣3），与x 轴负半轴的交点为B．（1）求抛物线的解析式与点 B 坐标；（2）若点D在x轴上，使△ ABD是等腰三角形，求所有满足条件的点 D 的坐标；（3）点M 在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，若以A、B、M、N 为顶点的四边形是平行四边形，其中AB∥ MN ，请直接写出所有满足条件的点M 的坐标．1）求线段OC 的长度；2）若点D在第四象限的抛物线上，连接BD、CD，求△ BCD 的面积的最大值；3）若点P 在平面内，当以点A、C、B、P 为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出点P 的坐标．B 两点，与y 轴交于点C，且∠ ACO＝∠CBO．1与y 轴交于点 C ，与 x 轴交于点 D ，点 P 是线段 CD 上方的抛物线上一动点，过点 P 作 PF 垂直 x 轴于点 F ，交直线 CD 于点 E ，1）求抛物线的解析式；2）设点 P 的横坐标为 m ，当线段 PE 的长取最大值时，解答以下问题．① 求此时 m 的值．②设 Q 是平面直角坐标系内一点，是否存在以 P 、Q 、C 、D 为顶点的平行四边形？若存 在，直接写出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由．23．如图，已知直线 y ＝﹣ 2x+4分别交 x 轴、 y 轴于点 A 、B ，抛物线 y ＝﹣ 2x 2+bx+c 过A ，B 两点，点 P 是线段 AB 上一动点，过点 P 作 PC ⊥x 轴于点 C ，交抛物线于点D ，抛物 线的顶点为 M ，其对称轴交 AB 于点 N ．（ 1）求抛物线的表达式及点 M 、N 的坐标；（ 2）是否存在点 P ，使四边形 MNPD 为平行四边形？若存在求出点 P 的坐标，若不存 在，请说明理由．B （0，2），直线y ＝ x ﹣ ＝﹣A （﹣ 1，0），与 y 轴交于点224．如图，抛物线 y ＝ax 2+bx+c 与 x 轴交于点 A （﹣ 1，0），B 两点，与 y 轴交于点 C （0，3）， 抛物线的顶点在直线 x ＝1 上．（ 1）求抛物线的解析式；（2）点P 为第一象限内抛物线上的一个动点，过点 P 做PQ ∥y 轴交 BC 与点 Q ，当点 P 在何位置时，线段 PQ 的长度有最大值？（3）点 M 在 x 轴上，点 N 在抛物线对称轴上，是否存在点 M ，点 N ，使以点 M ，N ，C ，B 为顶点的四边形是平行四边形？若存在， 请求出点 M 的坐标； 若不存在， 请说明理由．xOy （如图 1，一次函数 y ＝ x+3 的图象与 y 轴交于点 A ，点 M 1）求线段 AM 的长；2）求这个二次函数的解析式；3）如果点 B 在 y 轴上，且位于点 A 下方，点 C 在上述二次函数的图象上，点 D 在一 次函数 y ＝ x+3的图象上，且四边形 ABCD 是菱形，求点 C 的坐标．25．已知平面直角坐标系在正比例函数 x 的图象上， 2 且 MO ＝ MA ．二次函数 y ＝x 2+bx+c 的图象经过A 、M ．26．如图，二次函数y＝﹣+bx+c的图象经过A（﹣2，0），B（0，4）两点．（1）求这个二次函数的解析式，并直接写出顶点 D 的坐标；（2）若该抛物线与x轴的另一个交点为C，点P 为第一象限内抛物线上一点，求P点坐标为多少时，△ BCP 的面积最大，并求出这个最大面积．3）在直线CD 上有点E，作EF ⊥x轴于点F，当以O、B、E、F 为顶点的四边形是矩227．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax +bx+c与x轴交于A（﹣2，0），B（8，0）两点，与y轴交于点C，且OC＝2OA，抛物线的对称轴x 轴交于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 是第一象限内抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，设点P 点的横坐标为m，且S△CDP ＝S△ABC，求m 的值；（3）K 是抛物线上一个动点，在平面直角坐标系中是否存在点H ，使B、C、K、H 为顶点的四边形成为矩形？若存在，直接写出点H 的坐标；若不存在，说明理由．N 为抛物线上的动点，当以点 O 、B 、 M 、 N 为顶点 的四边形是平行四边形时，请直接写出点 M 的坐标．229．如图，已知抛物线 y ＝x 2+bx+c 与 x 轴相交于 A （﹣ 1， 0）， B （ m ， 0）两点，与 y轴相 交于点 C （0，﹣ 3），抛物线的顶点为 D ．（ 1）求 B 、D 两点的坐标；（2）若 P 是直线 BC 下方抛物线上任意一点，过点 P 作PH ⊥x 轴于点 H ，与 BC 交于点2）点 P 在抛物线上，点 Q 在直线 AB 上，当 P ，Q 关于原点 O 成中心对称时，求点 Q 的坐标；3）点 M 为直线 AB 上的动点，点 y ＝﹣ +bx+ c 经过 A ， B 两点．1）求抛物线的解析式；M，设F为y轴一动点，当线段PM 长度最大时，求PH+HF+ CF 的最小值；（3）在第（2）问中，当PH+HF+ CF 取得最小值时，将△OHF 绕点O 顺时针旋转60 后得到△ OH′F′，过点F′作OF′的垂线与x轴交于点Q，点R为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点S，使得点D、Q、R、S 为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点S 的坐标，若不存在，请说明理由．230．如图，已知直线y＝﹣x+2 与两坐标轴分别交于A、 B 两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c 经过点A、B，点P为直线AB上的一个动点，过P作y轴的平行线与抛物线交于C点，抛物线与x 轴另一个交点为D．（1）求图中抛物线的解析式；（2）当点P在线段AB 上运动时，求线段PC 的长度的最大值；（3）在直线AB 上是否存在点P，使得以O、A、P、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出此时点P 的坐标，若不存在，请说明理由．231．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c 与x 轴交于点A（﹣1，0），B（6，0）两点，与y 轴交于点 C ．（1）求抛物线的解析式；（2）连接AC，BC，点 D 是第一象限内抛物线上一动点，过点 D 作DG ⊥BC 于点G，求DG 的最大值；3）抛物线上有一点E，横坐标为，点P 是抛物线对称轴上一点，试探究：在抛物线上是否存在点Q，使得以点B，E，P，Q 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．232．抛物线y＝ax2+bx+c 与x轴交于A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧），且A（﹣1，0），B （4，0），与y轴交于点C，C点的坐标为（0，﹣2），连接BC，以BC为边，点O为对称中心作菱形BDEC．点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P 作x 轴的垂线交抛物线于点Q，交BD 于点M ．（1）求抛物线的解析式；（2）x轴上是否存在一点P，使三角形PBC 为等腰三角形，若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当点P在线段OB上运动时，试探究m为何值时，四边形CQMD 是平行四边形？33．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c 交x 轴于A，B 两点，交y 轴于点 C 直线y＝﹣x+2 经过点B，C．（1）求抛物线的解析式；第16页（共144页）2）点 P 是直线 BC 上方抛物线上一动点，设点 P 的横坐标为 m ．① 求△ PBC 面积最大值和此时 m 的值；边形，若存在，直接写出点 P 的坐标．在点 B 的左侧），交 y 轴于点 C1）求直线 AC 的解析式；2）点 P 是直线 AC 上方抛物线上的一动点（不与点 A ，轴交 AC 于点 D ，求 PD 的最大值；3）将△ BOC 沿直线 BC 平移， 点 B 平移后的对应点为点 点 O ′，点 C 平移后的对应点为点 C ′，点 S 是坐标平面内一点，若以 A ，C ，O ′， S1）求抛物线的解析式和 A 、B 两点的坐标；②Q 是直线 BC 上一动点，是否存在点 P ，使以 A 、 B 、P 、 Q 为顶点的四边形是平行四34．如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线 2y ＝﹣ xx ﹣ 3 交 x 轴于 A ， B 两点（点 A点 C 重合），过点 P 作 PD ⊥xB ′，点 O 平移后的对应点为的左侧）与 y 轴交于点 C ． B 两点（点 A 在点 B2）已知点M 在抛物线上，点N 在该抛物线的对称轴上，① 当∠ ACM ＝90°时，求点M 的坐标；② 是否存在这样的点M 与点N，使以M 、N、A、C 为顶点的四边形是平行四边形？若存与y 轴交于F，与直线AB 交于点C．1）求 b 和 c 的值；（2）点P 是直线AC 下方的抛物线上的一动点，连结PA，PB．求△ PAB 的最大面积及点P 到直线AC 的最大距离；（3）点Q 是抛物线上一点，点 D 在坐标轴上，在（2）的条件下，是否存在以A，P，D，Q 为顶点且AP 为边的平行四边形，若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．3）点M 在x轴上，点N 在抛物线的对称轴上，若以点M，N，C，B 为顶点的四边形xOy 中， O 为坐标原点，抛物线 y ＝a （x+3）（x ﹣1）（a >0）m 的取值范围．3）经过点 B 的直线 l ：y ＝kx+b 与 y 轴正半轴交于点 C ．与抛物线的另一个交点为点 D ，且 CD ＝4BC ．若点 P 在抛物线对称轴上，点 Q 在抛物线上，以点 B ， D ， P ，Q 为顶点 的四边形能否成为矩形？若能，求出点 P 的坐标；若不能，请说明理由．239．如图，抛物线 y ＝x 2+bx+c 的图象经过坐标原点 O ，且与 x 的另一交点为（﹣1）求抛物线的解析式； 2）若直线 y ＝x+ 与抛物线相交于点 A 和点 B （点 A 在第二象限） ，设点 A ′是点A 关于原点 O 的对称点，连接 A ′B ，试判断△ AA ′ B 的形状，并说明理由；3）在问题（ 2）的基础上，探究：平面内是否存在点 P ，使得以点 A ， B ， A ′， P 为顶点的四边形是菱形？若存在直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．40．如图，抛物线 y ＝ax 2+bx+2 经过 A （﹣1，0），B （2，0）两点，与 y 轴交于点 C ．（ 1）求抛物线的解析式；，点 M 是抛物线上一动点，若满足∠ MAO 不大于 45°，求点 M 的横坐标，0）．M 的坐标．与 x 轴交于 A ， B 两点（点A 在点B 的左侧）．2）若 a ＝（2）M 在抛物线上，线段MA 绕点M 顺时针旋转90°得MD，当点 D 在抛物线的对称轴上时，求点M 的坐标；（3）P在对称轴上，Q在抛物线上，以P，Q，B，C 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点P 的坐标．41．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+6 与x 轴交于点A，与y 轴交点C，抛物线y ＝﹣2x2+bx+c 过A， C 两点，与x 轴交于另一点B．（1）求抛物线的解析式．（2）在直线AC 上方的抛物线上有一动点E，连接BE，与直线AC 相交于点F，当EF ＝BF 时，求sin∠ EBA 的值．（3）点N 是抛物线对称轴上一点，在（2）的条件下，若点 E 位于对称轴左侧，在抛物线上是否存在一点M，使以M，N，E，B 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．（ 2）P 是抛物线对称轴上的一点，求满足 PA+PC 的值为最小的点 P 坐标（请在图 1 中 探索）；（ 3）在第四象限的抛物线上是否存在点 E ，使四边形 OEBF 是以 OB 为对角线且面积为12的平行四边形？若存在，请求出点 E 坐标，若不存在请说明理由（请在图 2中探索） 43．如图，在平面直角坐标系中， Rt △ABC 的边 BC 在 x 轴上，∠ ABC ＝90°，以 A 为顶点2的抛物线 y ＝﹣ x 2+bx+c 经过点 C （3，0），交 y 轴于点 E （ 0，3），动点 P 在对称轴上． （ 1）求抛物线解析式；（2）若点 P 从 A 点出发，沿 A →B 方向以 1个单位 /秒的速度匀速运动到点 B 停止，设 运动时间为 t 秒，过点 P 作PD ⊥AB 交AC 于点 D ，过点 D 平行于 y 轴的直线 l 交抛物线 于点 Q ，连接 AQ ，CQ ，当 t 为何值时，△ ACQ 的面积最大？最大值是多少？（ 3）若点 M 是平面内的任意一点，在 x 轴上方是否存在点 P ，使得以点 P ，M ，E ，C 为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出符合条件的 M 点坐标；若不存在，请说明理由．42．如图 1（注：与图 2 完全相同）A （ 1，0）、B （5，0）、于 C 点．B（2，0），且与y 轴交1）求该抛物线的表达式；2）点 C 关于x 轴的对称点为C1，M 是线段BC1 上的一个动点（不与B、C1 重合），ME⊥ x轴，MF ⊥y轴，垂足分别为E、F，当点M 在什么位置时，矩形MFOE 的面积最大？说明理由．3）已知点P 是直线y＝x+1 上的动点，点Q 为抛物线上的动点，当以C、C1、P、QQ 的坐标．﹣3，﹣7）和B（3，m）的直线交抛物线的对称轴于点1，9），经过抛物线上的两点A C．1）求抛物线的解析式和直线AB 的解析式．（2）在抛物线上A、M 两点之间的部分（不包含A、M 两点），是否存在点D，使得S△ DAC＝2S△DCM？若存在，求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若点P在抛物线上，点Q 在x轴上，当以点A，M，P，Q 为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出满足条件的点P 的坐标．第22页（共144页）46．综合与探究如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于 C 点，OA＝2，OC＝6，连接AC 和BC．（1）求抛物线的解析式；（2）点 D 在抛物线的对称轴上，当△ ACD 的周长最小时，点 D 的坐标为．（3）点 E 是第四象限内抛物线上的动点，连接CE 和BE．求△ BCE 面积的最大值及此时点 E 的坐标；（4）若点M 是y轴上的动点，在坐标平面内是否存在点N，使以点A、C、M、N 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．247．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x 轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y 轴交于点C，连接BC．（1）求该抛物线的解析式，并写出它的对称轴；（2）点D为抛物线对称轴上一点，连接CD 、BD ，若∠ DCB ＝∠ CBD ，求点 D 的坐标；（3）已知F（1，1），若E（x，y）是抛物线上一个动点（其中1< x< 2），连接CE、CF、EF，求△ CEF 面积的最大值及此时点 E 的坐标．（4）若点N 为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点M，使得以B，C，M，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点M 的坐标；若不存48．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC 的顶点A，C 的坐标分别为（6，0），（4，3），经过B，C两点的抛物线与x轴的一个交点 D 的坐标为（1，0）．（1）求该抛物线的解析式；（2）若∠ AOC的平分线交BC于点E，交抛物线的对称轴于点F，点P是x轴上一动点，当PE+PF 的值最小时，求点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，过点A作OE的垂线交BC于点H，点M，N分别为抛物线及其对称轴上的动点，是否存在这样的点M，N，使得以点M，N，H，E 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点M 的坐标，若不存在，说明理由．（3）在（2）的条件下，动点P从点A出发沿射线AB 以每秒1个单位长度匀速运动，同时动点Q以相同的速度从点A出发沿线段AD匀速运动，到达点 D 时立即原速返回，当动点Q返回到点 A 时，P、Q 两点同时停止运动，设运动时间为t秒（t>0）．过点P向x 轴作垂线，交抛物线于点E，交直线AC 于点F，问：以A、E、F 、Q 四点为顶点构1）求抛物线的表达式；2）写出点M 的坐标并求直线AB 的表达式；3）设动点P，Q 分别在抛物线和对称轴l 上，当以A，P，Q，M 为顶点的四边形是平行四边形时，求P，Q 两点的坐标．称轴为直线l，点M 是线段AB 的中点．﹣5），对中考压轴题存在性问题——存在四边形问题专项训练参考答案与试题解析一．解答题（共 50 小题）21．如图，抛物线 y ＝ax 2+bx+6经过点 A （﹣2，0），B （4，0）两点，与 y 轴交于点 C ，点 D是抛物线上一个动点，设点 D 的横坐标为 m （1<m < 4）连接 BC ， DB ，DC ． （ 1）求抛物线的函数解析式；（2）△ BCD 的面积是否存在最大值，若存在，求此时点 D 的坐标；若不存在，说明理 由；（ 3）在（ 2）的条件下，若点 M 是 x 轴上一动点，点 N 是抛物线上一动点，试判断是否 存在这样的点 M ，使得以点 B ，D ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直交 BC 于点 E ，由待定系数法求出直线 BC 的解析式为： y ＝﹣ x+6 ，设点 E 的坐标为 （m ，﹣ m+6），则△ BCD 的面积＝△ CDE 的面积 +△ BDE 的面积＝ DE × OB ＝ ×DE ×4由二次函数的性质得出当 m ＝2 时，△ BCD 的面积最大， 答案；3）分 BD 是平行四边形的一条边、 BD 是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可．第 26页（共 144页）m 2+ m+6），过点 D 作 y 轴的平行线＝2［（﹣ m 2+ m+6）﹣（﹣ m+6）］＝﹣m 2+6m ＝﹣ （m ﹣2）2+6， m，m+6＝ 6，即可得出解答】 解：（1）∵抛物线 y ＝ ax 2+bx+6经过点 A （﹣ 2，0），B （4，0）解得：∵1<m < 4，此时点 D 的坐标为（ 2， 6）； （3）存在，理由如下： （ 3）分情况讨论：①当 BD 是平行四边形的一条边时，两点，∴抛物线的解析式为y ＝﹣ x 2+ x+6；2）△ BCD 的面积存在最大值，理由如下：∴C ﹣ x 2+x+6，当 x ＝0 时， y ＝ 6，0，6）， 设点 过点 D 作 y 轴的平行线交 BC 于点 E ，如图 1所示： 设直线 BC 的解析式为 y ＝ kx+c ， 把 B （ 4，0），C （0，6）代入得：解得：∴直线 BC 的解析式为： y ＝﹣ x+6， 则△ BCD 的面积＝△ CDE 的面积 +△ BDE 的面积＝DE ×OBDE × 4＝2[(﹣2m 2+ m+6)﹣ < 0，∴当 m ＝ 2 时，△ BCD 的面积最大＝ 6，m 2+ m+6＝6，D 的坐标为（ m ，m+6），∴设点 E 的坐标为（ m ，2+6m ＝﹣ ( m ﹣ 2) +6，﹣ m+6) ]＝﹣如图 2 所示：M、N 分别有三个点，设点N（n，n2+ n+6），∵D 2，6），∴点N 的纵坐标为绝对值为6，即|﹣解得：n＝2（舍去），或n＝0，或n＝1±，故点N、N′、N″的横坐标分别为：0，1+ ，1﹣，∵BD∥ MN，B（4，0），D（2，6），∴点M 的坐标为：（2﹣0，0）或（1+ ﹣2，0）或（1﹣﹣2，0）；即点M 的坐标为：（2，0）或（﹣1，0）或（﹣﹣1，0）；②当BD是平行四边形的对角线时，如图3所示：∵点B、D 的坐标分别为（4，0）、（2，6），C（0，6），∴N与C重合，BM＝CD＝2，∴M（4+2，0），即M（6，0）；综上所述，存在这样的点M，使得以点B，D ，M，N 为顶点的四边形是平行四边形．点M 的坐标为：（2，0）或（6，0）或（﹣1，0）或（﹣﹣1，0）．【点评】本题是二次函数综合问题，涉及到一次函数、平行四边形性质、坐标与图形性质、待定系数法、面积计算等知识；本题综合性强，其中（3）要注意分类求解，避免遗漏．2．如图，在矩形OABC 中，点O为原点，点A的坐标为（0，4 ），点C的坐标为（4，0），1）求抛物线的函数解析式；（2）点P为线段BC上一个动点（不与点C重合），点Q为线段AC上一个动点，AQ＝CP，连接PQ，设CP＝m，△ CPQ的面积为S．求S关于m的函数表达式；3）抛物线y＝﹣x2+bx+c 的顶点为F，对称轴为直线l，当S 最大时，在直线l 上，是否存在点M，使以M、Q、D、F 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请写出符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．分析】（1）将点A，C代入抛物线解析式y＝﹣x2+bx+c即可；2）先求出AC 的长，由锐角三角函数求出∠ OAC＝∠ ACB＝30°，过点Q 作QE⊥ BC 于点E，先用含m的代数式表示QE 的长，再用含m的代数式表示出S 即可；3）先求出点Q，点 D ，顶点 F 的坐标，设点M 的坐标为（1，y），利用MF ＝DQ 即可列出等式，求出y 的值，进一步写出点M 的坐标．解答】解：（1）将点A（0，4 ），C（4，0）代入y＝x2+bx+c，得，解得，b＝，c＝ 4 ，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+ x+4 ；2）∵ OA＝4 ，OC＝4，∴ AC＝＝＝8，在Rt△ AOC 中，sin∠OAC∴∠ OAC＝∠ ACB＝30°，过点Q 作QE⊥BC 于点E，m2+2m；3）存在符合条件的M ，理由如下：第30页（共144页）由（2）得S＝﹣m2+2m＝﹣（m﹣ 2 ）2+2 ，当m＝2 时，S 取最大值，此时，QE＝2，∴Q（2， 2 ），又∵点 D 在抛物线y＝﹣x2+ x+4 ＝﹣（x﹣1）2+ 上，∴当y＝4 时，x＝2，∴D（2， 4 ），顶点F（1，），设点M 的坐标为（1，y），则MF ∥DQ ，∴当MF ＝DQ 时，以M、Q、D、F 为顶点的四边形是平行四边形，∴符合条件的点M的坐标为（1，），（1，）．∴y﹣解得，【点评】本题考查了待定系数法求解析式，解直角三角形，函数的思想求极值，平行四边形的性质等，解题关键是熟练运用平行四边形的性质等．23．如图1，已知抛物线y＝ax +bx+c（a≠0）与x 轴交于A（﹣3，0）、B（1，0）两点，与y 轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，直线AD：y＝x+1与y轴交于点D，P 点是x轴上一个动点，过点P 作PG∥y轴，与抛物线交于点G，与直线AD 交于点H，当点C、D、H、G四个点组成的四边形是平行四边形时，求此时P 点坐标．（3）如图3，连接AC和BC，Q 点是抛物线上一个动点，连接AQ，当∠ QAC＝∠BCO 时，求Q 点的坐标．【分析】（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3），故﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，即可求解；﹣x2﹣2x+3）|＝2，即可求解；。
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四边形存在性问题（中考数学压轴课堂实录一第
6讲）
一、解答题(共1道，每道100分)
1.（2009辽宁抚顺）已知：如图所示，关于x的抛物线（a≠0）与x轴交于点A（-2，0）、点B（6，0），与y轴交于点C．（1）求出此抛物线的解析式，并写出顶点坐标；（2）在抛物线上有一点D，使四边形ABDC为等腰梯形，写出点D的坐标，并求出直线AD的解析式；（3）在（2）中的直线AD交抛物线的对称轴于点M，抛物线上有一动点P，x 轴上有一动点Q．是否存在以A、M、P、Q为顶点的平行四边形？如果存在，请直接写出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．
答案：解：（1）根据题意，得，解得
抛物线的解析式为顶点坐标是（2，4）
（2）设直线的解析式为
直线经过点点
，
，
（3）存在．
①如图1，P与M的纵坐标相等，可将M的纵坐标代入抛物线中求出P的坐标，然后可根据
M，P的横坐标求出MP的长，即AQ的长，然后根据A的坐标即可求出Q的坐标：Q1（2-2，0）；
②如图2，方法同①，Q2（-2-2，0）；
③如图4，根据平行四边形的对称性，那么M，P的纵坐标互为相反数，因此可求出P的坐标，可先在三角形AOM中求出AO的长，然后A到抛物线对称轴的长+P的横坐标=Q的横
坐标，据此可求出Q点的坐标：Q3（6-2，0）；
④如图3，可参照③的方法求出P的坐标，然后求出PA的长，即MQ的长，然后可过D作x
轴的垂线，通过构建直角三角形求出OQ的长．进而得出Q的坐标：Q4（6+2，0）．
解题思路：（1）可将A，B两点的坐标代入函数的解析式中，可求出抛物线的解析式．进而求出对称轴的解析式和定点的坐标；（2）由于二次函数和等腰梯形都是轴对称图形，可根据抛物线的对称轴和C点的坐标求出D的坐标．然后用待定系数法求出A，D所在直线的解析式．（3）分四种情况进行讨论．
试题难度：三颗星知识点：中考压轴之四边形存在性问题。