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河北省2017中考数学复习专题复习三几何解答题第2课时解三角形和三角形相似试题

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中考冲刺：相似与位似判断、解直角三角形教案(针对河北中考真题)

中考冲刺：相似与位似判断、解直角三角形教案(针对河北中考真题)

一、相似三角形判定考察判定定理： 两角相等，三边比例，两边及夹角。

二、位似图形1．位似多边形的定义：如果两个相似多边形任意一组对应顶点A 、A ′的连线(或延长线)都经过同一个点O ，且有OA ′＝kOA(k ≠0)，那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O 叫做位似中心，这时的相似比k 又称为位似比． 2．位似多边形的性质：(1)位似多边形一定相似，位似多边形具有相似多边形的一切性质；(2)位似多边形上任意一对对应点连线(或延长线)都经过位似中心，并且到位似中心的距离之比等于相似比．归纳结论：如果两个图形不仅相似，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，并且对应边平行(或在同一直线上)，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．显然，位似图形是相似图形的特殊情形，其相似比又叫做它们的位似比．注意：同时满足下面三个条件的两个图形才叫做位似图形．三个条件缺一不可：①两图形相似；②每组对应点所在直线都经过同一点；③对应边互相平行(或在同一直线上)．例1．把右面的四边形缩小到原来的12(相似比是12或位似比是12)．解：(位似中心在图形外，已知)作法略.，四边形A′B′C′D′即为所求．你有其他画法吗？请互相交流．归纳结论：画位似图形的方法：1.确定位似中心；2.找对应点；3.连线；4.下结论．例2．如图，已知四边形ABCD 和点O ，请以O 为位似中心，作出四边形ABCD 的位似图形，把四边形ABCD 放大为原来的2倍．答：连接OA ，OB ，OC ，OD 延长OA 到A′使OA′＝2OA ，延长OB 到B′使OB′＝2OB ，延长OC 到C′使OC′＝2OC ，延长OD 到D′使OD′＝2OD ，顺次连接A′B′C′D′，则四边形A′B′C′D′就是所求作的四边形．三、位似变换中的坐标变化1．在平面直角坐标系中，一个多边形每一个顶点的横、纵坐标都乘同一个数k(k ≠0)，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为|k|．2.我们学习过的图形变换包括：平移、轴对称、旋转和位似．其中经过平移、轴对称、旋转变换前后的两个图形一定是全等的；而经过位似变换前后的两个图形是相似的．结论：[在直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横、纵坐标都乘以同一个数(k ≠0)，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为|k|.]1．如图，在平面直角坐标系中，以原点O 为位似中心，将△ABO 扩大到原来的2倍，得到△A′B′O.若点A 的坐标是(1，2)，则点A′的坐标是( C )A ．(2，4)B ．(－1，－2)C ．(－2，－4)D ．(－2，－1)2．在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别为A(－6，1)，B(－3，1)，C(－3，3)．若将它们的横纵坐标都乘以－3，得到新三角形△A 1B 1C 1，则△A 1B 1C 1与△ABC 是位似关系，位似中心是坐标原点，位似比等于3．3．如图，已知△ABC 在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A(0，3)，B(3，4)，C(2，2)．(正方形网格中每个小正方形的边长是1个单位长度)(1)画出△ABC 向下平移4个单位长度得到的△A 1B 1C 1，点C 1的坐标是(2，－2)；(2)以点B 为位似中心，在网格内画出△A 2B 2C 2，使△A 2B 2C 2与△ABC 位似，且相似比为2∶1，点C 2的坐标是(1，0)；1、（2017）.若ABC ∆的每条边长增加各自的10%得'''A B C ∆，则'B ∠的度数与其对应角B ∠的度数相比( ) A ．增加了10% B ．减少了10% C ． 增加了(110%)+ D ．没有改变2、（2016）如图6，△ABC 中，∠A =78°，AB=4，AC=6，将△ABC 沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似．．．的是( C )变相考察相似判定：注意原三角形BC 边长未知，C 不一定平行 3、（2014）在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似． 对于两人的观点，下列说法正确的是（ ）图6A．两人都对B．两人都不对C．甲对，乙不对D．甲不对，乙对答案：解直角三角形——1、方位2、三角函数应用命题规律：近五年规律基本上是隔一年考一次，2013、15、17年均考了一次，14、16未涉及。

河北省中考数学复习第二部分热点专题突破专题三几何图形的变化与探究试题(含解析)

河北省中考数学复习第二部分热点专题突破专题三几何图形的变化与探究试题(含解析)

专题三几何图形的变化与探究直线型问题直线型问题的计算与证明例1(2021，沈阳，导学号5892921)△ABC是等腰三角形，CA＝CB，0°＜∠≤90°，点在边AC上，点在边BC上(点，不与所在线段端点重合)，＝ACB M MNBNAM连接AN，BM，射线AG∥BC，延长BM交射线AG于点D，点E在直线AN上，且AE＝DE.如图，当∠ACB＝90°时．①求证：△BCM≌△ACN；②求∠BDE的度数；(2 )当∠，其他条件不变时，∠的度数是α或180°－α；(用含α的代ACB BDE数式表示)(3)假设△ABC是等边三角形，AB＝3 3，N是BC边上的三等分点，直线ED与直线BC交于点F，请直接写出线段CF的长．例1题图【思路分析】(1)①根据SAS证明即可．②根据三角形全等得∠MBC＝∠NAC，结合AG∥BC进行角之间的转换即可得∠BDE的度数．(2)根据①的结论，根据AN与BC的位置关系分类讨1论，结合平行线的性质，得∠BDE与∠ACB的数量关系．(3)根据等边三角形的性质和AB的长，结合全等三角形与相似三角形的性质，可求出线段 CF的长．①证明：∵CA＝CB，BN＝AM，∴CB－BN＝CA－AM，即CN＝CM.∵∠ACN＝∠BCM，∴△BCM≌△ACN.②解：由①知△BCM≌△ACN，∴∠MBC＝∠NAC.∵EA＝ED，∴∠EAD＝∠EDA.∵AG∥BC，∴∠GAC＝∠ACB＝90°，∠ADB＝∠DBC.∴∠ADB＝∠NAC.∴∠ADB＋∠EDA＝∠NAC＋∠EAD.∵∠NAC＋∠EAD＝180°－90°＝90°，∴∠ADB＋∠EDA＝90°.∴∠BDE＝90°.解：α或180°－α3解：CF的长为2或43.针对训练1(2021，邢台三模，导学号5892921)E是正方形ABCD的边CD所在直线上一点，连接AE，过点A作AF⊥EA，且AF＝AE，连接CF交AD于点G.当点E在CD边上时，过点F作FM⊥AD于点M，连接MC，FD，如图①.求证：①△AFM≌△EAD；②四边形FMCD是平行四边形；(2 )当点的延长线上时，如图②，请直接写出，，之间的数量关系．CD AGDGDE训练1题图【思路分析】(1)①判断出∠FAM＝∠AED，即可得出结论．②先判断出FM∥DC，再判断出FM＝CD，即可得出结论．(2)过点F作FM⊥DA的延长线于点M.先判断出AM＝DE，FM＝CD，再判断出△FMG≌△CDG，即可得出结论．证明：①∵∠FAE＝90°，∴∠FAM＋∠DAE＝90°.2∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠ADC＝90°.∴∠AED＋∠DAE＝90°.∴∠FAM＝∠AED.∵FM⊥AD于点M，∴∠FMA＝90°.∵AF＝AE，∴△AFM≌△EAD.②∵∠FMD＝∠ADC＝90°，∴FM∥DC.由①知△AFM≌△EAD，∴FM＝AD.∵AD＝DC，∴FM＝CD.∴四边形FMCD是平行四边形．解：DG＝AG＋DE.针对训练 2(2021 ，邯郸二模，导学号5892921)如图①，在等边三角形ABC和等边三角形ADP中，AB＝2，点P在△ABC的高CE上(点P不与点C重合)，点D在点P的左侧，连接BD，ED.求证：BD＝CP；当点P与点E重合时，延长CE交BD于点F，请你在图②中作出图形，并求出BF的长；直接写出线段DE长度的最小值．训练2题图【思路分析】(1) 根据SAS证明两个三角形全等．(2)先根据题意画图，可得AE ＝BE＝DE，∠BCE＝30°，再求得∠DBC＝90°，根据特殊角的三角函数值可得BF的长．(3)先确定最小值时点P的位置，由(1)知△DAB≌△PAC，取AC的中点M，连接PM，那么PM＝DE，PM 长度的最小值就是DE长度的最小值，利用三角形中位线定理可得结论．证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°.∵△ADP是等边三角形，∴AD＝AP，∠DAP＝60°.∴∠DAB＋∠BAP＝∠BAP＋∠PAC.3∴∠DAB＝∠PAC.∴△DAB≌△PAC(SAS)．∴BD＝CP.解：作图如答图．∵△ADP是等边三角形，∴当点P与点E重合时，AE＝DE，∠AED＝60°.∵CE⊥AB，∴AE＝BE.∴DE＝BE.1∴∠ABD＝∠BDE＝2∠AED＝30°.∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°.∴∠DBC＝90°.在Rt△BCF中，∵BC＝2，tan∠BCF＝B FB C∴BF＝2·tan30°＝2.1解：2.训练2答图直线型问题的变化与探究例2(2021，唐山路北区三模，导学号5892921)(1)如图①，△ABC是等腰直角三角形，四边形是正方形，点分别在边，上，请直接写出线段，的数量关系和ADEF DABACBDCF(2)位置关系；(3)如图②，当正方形ADEF绕点A逆时针旋转锐角θ时，上述结论还成立吗？假设成立，请给予证明；假设不成立，请说明理由；如图③，在(2)的条件下，延长BD交直线CF于点G.当AB＝3，AD＝2，θ＝45°时，直接写出线段BG的长．49例2题图10【思路分析】(1)根据等腰直角三角形的性质和正方形的性质解答即可．(2)根据△ABC11是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，易证得△BAD≌△CAF.根据全等三角形的性质得BD＝CF，∠ABM＝∠GCM，进而证明出BD⊥CF.(3)根据正方形和等腰直角三角形的性质利用相似三角形的判定和性质解答即可．12解：(1)BD＝CF，BD⊥CF.13成立．14证明：如答图，延长BD，分别交直线AC，CF于点M，G.15∵△ABC是等腰直角三角形，16四边形ADEF是正方形，17∴AB＝AC，AD＝AF，∠BAC＝∠DAF＝90°.18∵∠BAD＝∠BAC－∠DAC，19∠CAF＝∠DAF－∠DAC，20∴∠BAD＝∠CAF.21AB＝AC，22在△BAD和△CAF中，∠BAD＝∠CAF，23AD＝AF，24∴△BAD≌△CAF(SAS)．25∴BD＝CF，∠ABM＝∠GCM.26∵∠BMA＝∠CMG，27∴∠BGC＝∠BAC＝90°.28∴BD⊥CF.5(3)BG＝5.5例2答图针对训练3(2021 ，廊坊模拟，导学号5892921)如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝9，S△ABC＝18，动点P从点A出发，沿射线AB方向以每秒5个单位长度的速度运动，动点Q 从点C出发，以相同的速度在线段AC上由点C向点A运动，当点Q运动到点A时，P，Q两点同时停止运动．以PQ为边作正方形PQEF(P，Q，E，F按逆时针排序)．设点P运动时间为ts.求tanA的值；假设正方形PQEF的面积为17，求出t的值；(3)当t为何值时，正方形PQEF有三个顶点落在△ABC的边所在直线上？请直接写出t的值．训练3题图【思路分析】(1)过点B作BM⊥AC于点M.利用三角形面积公式求出BM的长，再利用勾股定理求出AM的长即可解决问题．222(2)在Rt△PQN中，利用PQ＝NQ＋PN，构建方程即可解决问题．(3)分四种情形分别求解即可解决问题．解：(1)如答图，过点B作BM⊥AC于点M.·＝18，2ACBM∴BM＝4.22∴在Rt△ABM中，AM＝AB－BM＝3.6BM4∴tanA＝＝.AM3如答图，过点P作PN⊥AC于点N.∴PN∥BM.∴△APN∽△ABM.ANPN AP∴＝＝.AMBMABANPN 5t3＝4＝5.∴AN＝3t，PN＝4t.∴QN＝AC－CQ－AN＝9－8t.2 2 2∵在Rt△PQN中，PQ＝NQ＋PN，(9－8t)2＋(4t)2＝17.4解得t ＝1或t＝5.∴当为1或4时，正方形的面积为17.5PQEF27 9 27当t为40或8或26时，正方形PQEF有三个顶点落在△ABC的边所在直线上．训练3答图7与圆有关的问题与圆有关的计算与证明例3(2021 ，石家庄新华区二模，导学号5892921)如图，过半径为2的⊙O外一点P，作⊙O的切线PA，切点为A，连接PO，交⊙O于点C，过点A作⊙O的弦AB，使AB∥PO，连接PB，BC.当C是PO的中点时．①求证：四边形PABC是平行四边形；②求△PAB的面积；当AB＝22时，请直接写出PC的长度．例3题图【思路分析】(1)①连接OA，OB，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形即可得证．②过点⊥，垂足为.由，得△的面积与△的面积相等，求出OEAB EAB OP PABOAB△OAB的面积即可．(2)先判断△OAB为等腰直角三角形，再证四边形ABOP为平行四边形，最后求出的长．PC①证明：如答图，连接OA，OB，那么有OA＝OB＝OC.∵PA是⊙O的切线，∴OA⊥PA.8∵C是PO的中点，1∴PC＝OC＝2PO.1∴OA＝2PO.OA1∴在Rt△OAP中，sin∠APO＝＝.PO2∴∠APO＝30°.∴∠POA＝60°.∵AB∥PO，∴∠BAO＝∠POA＝60°.∴△OAB是等边三角形．∴AB＝OA.∴AB＝PC.∴四边形PABC是平行四边形．②解：如答图，过点O作OE⊥AB，垂足为E.在Rt△OAE中，3OE＝OA·sin60°＝2×2＝ 3.1∴S△OAB＝2AB·OE＝2×2×3＝3.∵AB∥PO，P ABOA B∴S△＝S△＝3.(2)解：PC＝2 2－2.例3答图针对训练4(2021，邯郸模拟，导学号5892921)如图①，点O在线段AB上(不与端点A，重合)，以点为圆心，的长为半径画弧，线段与这条弧相切于点，直线垂直平OA BP PCD分线段PB，交PB于点C，交AB于点D，在射线DC上截取DE，使DE＝DB.AB＝6，设OAr.求证：OP∥ED；( 2)当∠ABP＝30°时，求扇形AOP的面积，并证明四边形PDBE是菱形；( 3)过点作⊥于点，如图②所示，线段EF的长度是否随的变化而变化？假设不OFDE F9变，直接写出的值；假设变化，直接写出EF与的关系．EF训练4题图【思路分析】(1)由BP为⊙O的切线知OP⊥BP，结合CD⊥BP即可得证．(2)由∠OPB＝90°，∠＝30°得∠＝120°.根据1求得＝2，利用扇形的面积公式计算可A BPAOPOP2OB得．证△EDB是等边三角形得BD＝BE，结合CD⊥PB知CD＝CE，据此得DE与PB互相垂直平分，从而得证．(3)证△∽△CDBDBC11，＝11OBP得＝＝＝，据此知＝r＝(6－DBCOPBOBP2CD2OPBD2BO2＝3－1.根据＝＝3－，再证四边形为矩形得＝，由＋可2r DBDECEOFCPCFOPrEFCFCE 得答案．证明：∵BP为⊙O的切线，∴OP⊥BP.∵CD⊥BP，∴OP∥ED.解：∵在Rt△OBP中，∠OPB＝90°，∠ABP＝30°，∴∠AOP＝120°.1∵在Rt△OBP中，OP＝2OB，1r＝2(6－r)．解得r＝2.∴S 扇形AOP ＝120π·224π36＝3.∵CD⊥PB，∠ABP＝30°，∴∠EDB＝60°.∵DE＝BD，∴△EDB是等边三角形．∴BD＝BE.∵CD⊥PB，∴CD＝CE.∵直线CD垂直平分线段P B，10∴DE与PB互相垂直平分．∴四边形PDBE是菱形．解：线段EF的长度不随r的变化而变化，且EF＝3.针对训练5(2021，河北，导学号5892921)如图，在△OAB中，OA＝OB＝10，∠AOB＝80°，以点O 为圆心，6为半径的优弧MN分别交OA，OB于点M，N.点P在右半弧上(∠BOP是锐角)，将OP绕点O逆时针旋转80°得OP′.求证：AP＝BP′；点T在左半弧上，假设AT与弧相切，求点T到OA的距离；设点Q在优弧MN上，当△AOQ的面积最大时，直接写出∠BOQ的度数．训练5题图【思路分析】(1)首先根据得出∠AOP＝∠BOP′，进而得出△AOP≌△BOP′，即可得出答案．(2)连接，过点作⊥于点.利用切线的性质得出∠＝90°，再利用OT THOA HATO勾股定理求出AT的长，进而得出TH的长．(3)当OQ⊥OA时，△AOQ的面积最大，且左右两半弧上各存在一点分别求出即可．(1)证明：∵∠AOP＝∠AOB＋∠BOP＝80°＋∠BOP，∠BOP′＝∠POP′＋∠BOP＝80°＋∠BOP，∴∠＝∠′.AOP BOPOA＝OB，在△AOP和△BOP′中，∠AOP＝∠BOP′，OP＝OP′，∴△AOP≌△BOP′(SAS)．∴AP＝BP′.解：如答图，连接OT，过点T作TH⊥OA于点H.∵AT与弧MN相切，∴∠ATO＝90°.∴AT＝2222OA－OT＝10－6＝8.1 12OA·TH＝2AT·OT，1 1∴2×10·TH＝2×8×6.11解得24到24，即点的距离为.TH5OA5解：当∠BOQ的度数为10°或170°时，△AOQ的面积最大．训练5答图2.与圆有关的变化与探究例4(2021，河北，导学号5892921)平面上，矩形与直径为的半圆按图①摆ABCD QP放，分别延长DA和QP交于点O，且∠DOQ＝60°，OQ＝OD＝3，OP＝2，OA＝AB＝1.让线段OD及矩形ABCD的位置固定，将线段OQ连带着半圆K一起绕着点O按逆时针方向开始旋转，设旋转角为α(0°≤α≤60°)．【发现】当α＝0°，即初始位置时，点P__在__直线AB上(填“在〞或“不在〞)．求当α是多少时，OQ经过点B；在OQ旋转过程中，求α是多少时，点P，A之间的距离最小，请指出这个最小值；如图②，当点P恰好落在BC边上时，求α及S阴影．【拓展】如图③，当线段OQ与CB边交于点M，与BA边交于点N时，设BM＝x(x>0)，用含x的代数式表示BN的长，并求x的取值范围．【探究】当半圆K与矩形ABCD的边相切时，求s in α的值．12例4题图【思路分析】【发现】(1)利用三角函数可以确定出点P在直线AB上．当OQ经过点B 时，在Rt△OAB中，AO＝AB，利用等边对等角得出∠DOQ＝45°，从而得出结论．(2)连接AP，在OQ旋转过程中，有OA＋AP≥OP，利用三角形三边关系可以得出当α＝60°时，OA＋AP＝OP，此时AP最小，最小值为1.(3)过点P作PH⊥AD于点H，在Rt△OPH中，利用三角函数可以求出∠POH＝30°，所以α＝60°－30°＝30°.设半圆K与PC的交点为R，连接RK，有S阴影＝S扇形RKQ＋S△RKP，从而得出结论．【拓展】由AD∥BC，得△AON∽△BMN，利用对应边成比例可以求出BN的长．当点Q落在BC上时，x取得最大值，作QF⊥AD于点F，利用勾股定理可以求出OF的长，进一步求出x的最大值．【探究】半圆K与矩形ABCD的边相切，有三种情况：①半圆K与边BC相切；②半圆K与边AD相切；③半圆K与边CD相切．解：【发现】(1)在当OQ经过点B时，在Rt△OAB中，AO＝AB，∴∠DOQ＝∠ABO＝45°.∴α＝60°－45°＝15°.如答图①，连接AP，有OA＋AP≥OP，当OP过点A，即α＝60°时，取等号，∴AP≥OP－OA＝2－1＝1.∴当α＝60°时，点P，A间的距离最小，最小值为 1.13如答图①，设半圆K与PC的交点为R，连接RK，过点P作PH⊥AD于点H，过点R作RE⊥KQ于点E.在Rt△OPH中，PH＝AB＝1，OP＝2，∴∠POH＝30°.∴α＝60°－30°＝30°.∵AD∥BC，∴∠RPQ＝∠POH＝30°.∴∠RKQ＝2×30°＝60°.12∴S 扇形RKQ ＝60π·2π36＝24.3在Rt△RKE中，RE＝RK·sin60°＝4，1 3π∴S△RKP＝2PK·RE＝16.π3∴S阴影＝＋.2416【拓展】∵AD∥BC，∴△AON∽△BMN.ANAO1－BN1，即BN＝.BNBM x.B N x＋1如答图②，当点Q落在BC上时，x取得最大值，作QF⊥AD于点F.此时BQ2222＝AF＝OQ－QF－AO＝3－1－1＝22－1.∴x的取值范围是0＜x≤22－1.【探究】半圆K与矩形ABCD的边相切，分三种情况．①如答图③，当半圆K与边BC相切于点T时，设直线KT与AD和OQ的初始位置所在直线分别交于点S，O′，那么∠KSO＝∠KTB＝90°.作KG⊥OO′于点G.25232在Rt△OSK中，OS＝OK－SK＝2－2＝2.在Rt△′中，′＝·tan60°＝23，OSOSO OS∴′＝233－.KO2在Rt△KGO′中，∠O′＝30°，13∴KG＝2KO′＝3－4.3∴在Rt△OGK 中，sinα＝KG3－443－3＝5＝1OK2②如答图④，当半圆K与边AD相切于点T时，1411K G2O ′K 2〔O ′T －KT 〕 ′－同①可得sin ＝OTKTα＝＝55OK522521212－2×3－22－1.＝5＝61③当半圆K 与边CD 相切时，点Q 与点D 重合，且为切点．∴α＝60°.3∴sinα＝sin60°＝2.43－362－1综上所述，sin α的值为 1或10或2.例4答图针对训练 6(2021，河北，导学号5892921)如图，半圆O 的直径AB ＝4，以长为 2的弦 为直径，向点 方向作半圆 ，其中点在弧 上且不与点A重合，但点可与点 重合．PQMAQ【发现】弧AP的长与弧QB的长之和为定值l，求l.【思考】点与间的最大距离为3，此时点与点间的距离为2；点与间的最MABMAB 3M的弧与AB所围成的封闭图形的面积为〔3〕.小距离为〔2〕，此时半圆6－4【探究】当半圆M与AB相切时，求弧A P的长．15训练6题图注：cos35°＝63，cos55°＝33【思路分析】【发现】用弧长公式求得弧PQ，进而求得l.【思考】当PQ∥AB时，点M到AB的距离最大，当点Q与点B重合时，点M到AB的距离最小．【探究】分两种情况：(1)切点在上；(2)切点在上．AOBO解：【发现】如答图①，连接OP，OQ，那么OP＝OQ＝PQ＝2.∴∠POQ＝60°.60π·22π1∴弧PQ的长为180＝3.22π4πl＝2π·4－3＝3.【思考】323π36－4【探究】半圆与相切，分两种情况．M AB①如答图②，当半圆M与AO相切于点T时，连接PO，MO，TM，那么MT⊥AO，OM⊥PQ.2在Rt△POM中，sin∠POM＝1，23∴∠POM＝30°，OM＝ 3.42在Rt△TOM中，TO＝〔3〕－1＝2，OT 6∴cos∠AOM＝＝，即∠AOM＝35°.OM3∴∠POA＝35°－30°＝5°.5π·2π∴弧AP的长为180＝18.②如答图③，当半圆M与BO相切于点S时，连接QO，MO，SM.π由对称性，得弧BQ的长为18.16由4π，得弧的长为4π－π＝23π. 3AP31818综上所述，弧23πAP的长为或.81817训练6答图18。

河北2017中考数学复习专题复习三几何解答题第6课时几何综合二试

河北2017中考数学复习专题复习三几何解答题第6课时几何综合二试

第6课时 几何综合(二)1．如图，在△ABC 中，已知A B ＝BC ＝CA ＝4 cm ，AD ⊥BC 于D.点P ，Q 分别从B ，C 两点同时出发，其中点P 沿BC 向终点C 运动，速度为1 cm /s ；点Q 沿CA ，AB 向终点B 运动，速度为2 cm /s ，设它们运动的时间为x(s )． (1)当x 为何值时，PQ ⊥AC ？x 为何值时，PQ ⊥AB?(2)设△PQD 的面积为y(cm 2)，当0<x<2时，求y 与x 的函数关系式； (3)当0<x<2时，求证：AD 平分△PQD 的面积．解：(1)当Q 在AB 上时，显然PQ 不垂直于AC. 当Q 在AC 上时，由题意，得BP ＝x ，CQ ＝2x ，PC ＝4－x. ∵AB ＝BC ＝CA ＝4，∴△ABC 为等边三角形，∠C ＝60°. 若PQ⊥AC，则有∠QPC＝30°， ∴PC ＝2CQ.∴4－x ＝2×2x，解得x ＝45.故x ＝45(Q 在AC 上)时，PQ ⊥AC.当Q 在AC 上时，显然PQ 不垂直于AB.当Q 在AB 上时，若PQ⊥AB，则BP ＝x ，BQ ＝12x ，AC ＋AQ ＝2x.∵AC ＝4，∴AQ ＝2x －4. ∴2x －4＋12x ＝4，解得x ＝165.故x ＝165时(Q 在AB 上)，PQ ⊥AB.(2)当0<x<2时，点P 在BD 上，点Q 在AC 上， 过点Q 作QH⊥BC 于点H.∵∠C＝60°，QC ＝2x ，∴QH ＝QC·sin 60°＝3x.∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴BD ＝CD ＝12BC ＝2.∴DP ＝2－x.∴y ＝12PD·QH＝12(2－x)·3x ＝－32x 2＋3x.(3)证明：当0<x<2时，在Rt △QHC 中，QC ＝2x ，∠C ＝60°， ∴HC ＝x.∴BP＝HC. ∵BD ＝CD ，∴DP ＝DH.∵AD ⊥BC ，QH ⊥BC ，∴AD ∥QH. ∴OP ＝OQ.∴S △PDO ＝S △DQO . ∴AD 平分△PQD 的面积．2．(2016·保定模拟)已知，如图，Rt △ABC ，∠ACB ＝90°，BC ＝6，AC ＝8；O 为BC 延长线上一点，CO ＝3；过点O ，A 作直线l ，将l 绕点O 逆时针旋转，l 与AB 交于点D ，与AC 交于点E ，当l 与OB 重合时，停止旋转；过点D 作DM⊥AE 于点M ，设AD ＝x ，S △ADE ＝S. 探究1用含x 的代数式表示DM ，AM 的长； 探究2当直线l 过AC 中点时，求x 的值； 探究3用含x 的代数式表示AE 的长； 发现求S 与x 之间的函数关系式； 探究4当x 为多少时，DO ⊥AB?解：探究1：在Rt △ABC 中，BC ＝6，AC ＝8， ∴由勾股定理，得 AB ＝BC 2＋AC 2＝10.∵∠AMD ＝∠ACB＝90°， ∠DAM ＝∠BAC， ∴△ADM ∽△ABC. ∴AD AB ＝DM BC ＝AM AC ， 即x 10＝DM 6＝AM 8. ∴DM ＝35x ，AM ＝45x.探究2：若E 为AC 的中点，则CE ＝AE ＝4，ME ＝AE －AM ＝4－45x.∵∠ACB ＝90°，DM ⊥AE ，∴MD ∥BC. ∴△DME ∽△OCE. ∴DM OC ＝ME CE. ∴35x 3＝4－45x 4. 解得x ＝52.探究3：设AE ＝y ，则CE ＝8－y ，ME ＝y －45x.由探究2知：DM OC ＝MECE .∴35x 3＝y －45x 8－y. ∴y ＝12x x ＋5，即AE ＝12x x ＋5.发现：∵AE ＝12x x ＋5，DM ＝35x ，∴S △ADE ＝12AE·DM＝12·12x x ＋5·35x.∴S ＝18x25x ＋25.探究4：∵DO⊥AB， ∴∠ADE ＝90°.∵∠ADE ＝∠ACB＝90°，∠DAE ＝∠CAB， ∴△ADE ∽△ACB. ∴AD AC ＝AE AB. ∴x 8＝AE 10. ∴AE ＝54x.由探究3知：AE ＝12xx ＋5.∴54x ＝12x x ＋5. 解得x ＝0(舍)或235.3．(2016·唐山古冶区模拟)在锐角△ABC 中，AB ＝6，BC ＝11，∠ACB ＝30°，将△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转得到△A 1BC 1.(1)如图1，当点C 1在线段CA 的延长线上时，∠CC 1A 1＝60°；(2)如图2，连接AA 1，CC 1，若△ABA 1的面积为24，求△CBC 1的面积；(3)如图3，点E 为线段AB 中点，点P 在线段AC 上运动，在△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转过程中，点P 的对应点是P 1，求在旋转过程中，线段EP 1长度的最大值与最小值的差．解：(2)由旋转的性质可知BA 1＝BA ，BC 1＝BC ，∠A 1BC 1＝∠ABC. ∴∠A 1BC 1－∠ABC 1＝∠ABC－∠ABC 1，即∠A 1BA ＝∠C 1BC. ∵BA 1＝BA ，BC 1＝BC ， ∴BA 1BC 1＝BA BC. ∴△A 1BA ∽△C 1BC. ∴211⎪⎭⎫ ⎝⎛=BC AB S S BCC BC A △△, 即BCC S 124△＝(611)2.∴S △C1BC ＝2423.(3)如图4，当P 在线段AC 上运动至点C ，△ABC 绕点B 旋转，使点P 的对应点P 1在线段AB 的延长线上时，EP 1最大，最大值为3＋11＝14.如图5，过B 作BD⊥AC 于点D.在Rt △BDC 中，∠C ＝30°，BC ＝11， ∴BD ＝BC·sin 30°＝112.当P 在线段AC 上运动至点D ，△ABC 绕点B 旋转，使点P 的对应点P 1在线段AB 上时，EP 1最小，最小值为112－3＝52.14－52＝232.∴线段EP 1长度的最大值与最小值的差为232.4．(2016·石家庄模拟)如图1，在平面直角坐标系中，点A 的坐标是(3，4)，点B 在x 轴的正半轴上，∠ABO ＝45°.过点A 作AC⊥y 轴于点C ，过点B 作直线l∥y 轴． (1)求B 点的坐标； (2)如图2，动点P 从点O 出发，以每秒1个单位长的速度，沿O －C －A 的路线向点A 运动；同时直线l 从点B 出发，以相同速度向左平移．在平移过程中，直线l 交x 轴于点D ，交线段BA 或线段AO 于点E.当点P 到达点A 时，点P 和直线l 都停止运动，设动点P 的运动时间为t(s )． ①求△PAD 的面积S 与t 之间的函数关系式； ②当t 为何值时，S ＝8；③点P 在CA 上运动时，是否存在以点A 为圆心，AE 长为半径的⊙A 与坐标轴相切？如果存在，求出t 的值；如果不存在，请说明理由．解：(1)过点A 作AM⊥x 轴于点M. ∵点A 的坐标是(3，4)， ∴AC ＝OM ＝3，AM ＝4. ∵∠ABO ＝45°.∴△ABM 是等腰直角三角形． ∴MB ＝AM ＝4.∴OB ＝OM ＋MB ＝3＋4＝7. ∴B 点的坐标为(7，0)．(2)①当点P 在OC 上运动时，0≤t ＜4，此时有： OP ＝BD ＝t ，CP ＝4－t ，OD ＝7－t ， ∴S＝S 梯形COBA －S △ACP －S △POD －S △ADB＝12×(3＋7)×4－12×3×(4－t)－12t(7－t)－12t×4 ＝12t 2－4t ＋14. 当点P 在CA 上运动时，4≤t ≤7(如图3)．S ＝12PA·OC＝12×(7－t)×4 ＝－2t ＋14.∴S ＝⎩⎪⎨⎪⎧12t 2－4t ＋14（0≤t＜4），－2t ＋14（4≤t≤7）.②当0≤t＜4时，12t 2－4t ＋14＝8，即t 2－8t ＋12＝0，解得t 1＝2，t 2＝6(舍)． 当4≤t≤7时，－2t ＋14＝8，解得t ＝3(舍)． ∴当t ＝2时，S ＝8. ③存在．当点P 在CA 上运动时，即4≤t≤7， 由(1)，得OA ＝AM 2＋OM 2＝42＋32＝5. 设直线l 交AC 于点G(如图4)，∵直线l∥y 轴， ∴DG ⊥OB ，DG ⊥A C. ∴四边形AMDG 是矩形． ∴AG ＝MD ＝t －4. ∴△AEG ∽△AOC. ∴AE AO ＝AG AC ，即AE 5＝t －43. ∴AE ＝53(t －4)．当AE ＝3时，即53(t －4)＝3，解得t ＝295(或t ＝5.8)．此时，⊙A 与y 轴相切； 当AE ＝4时，即53(t －4)＝4，解得t ＝325(或t ＝6.4)．此时，⊙A 与x 轴相切．∴当t ＝295 或325时，⊙A 与坐标轴相切．5．(2013·河北)一透明的敞口正方体容器ABCD －A ′B ′C ′D ′装有一些液体，棱AB 始终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为α(∠CBE＝α，如图1所示)． 探究：如图1，液面刚好过棱CD ，并与棱BB′交于点Q ，此时液体的形状为直三棱柱，其三视图及尺寸如图2所示．解决问题：(1)CQ 与BE 的位置关系是CQ ∥BE ，BQ 的长是3dm ；(2)求液体的体积(参考算法：直棱柱体积V 液＝底面积S △BCQ ×高AB)； (3)求α的度数：(注：sin 49°＝cos 41°≈34，tan 37°≈34)拓展：(4)在图1的基础上，以棱AB 为轴将容器向左或向右旋转，但不能使液体溢出，图3或图4是其正面示意图．若液面与棱C′C 或CB 交于点P ，设PC ＝x ，BQ ＝y.分别就图3和图4求y 与x 的函数关系式，并写出相应的α的范围； 延伸：(5)在图4的基础上，于容器底部正中间位置，嵌入一平行于侧面的长方形隔板(厚度忽略不计)，得到图5，隔板高NM ＝1 dm ，BM ＝CM ，NM ⊥BC.继续向右缓慢旋转，当α＝60°时，通过计算，判断溢出容器的液体能否达到4 dm 3. 解：(2)V 液＝12×3×4×4＝24(dm 3)．(3)在Rt △BCQ 中，tan ∠BCQ ＝34，∴α＝∠BCQ＝37°.(4)当容器向左旋转时，如图3，0°≤α＜37°， ∵液体体积不变， ∴12(x ＋y)×4×4＝24. ∴y ＝－x ＋3.当容器向右旋转时，如图4，同理可得：y ＝124－x.当液面恰好到达容器口沿，即点Q 与点B′重合时，由y ＝4，得x ＝1.∴PB ＝3. ∵tan ∠PB ′B ＝34，∴∠PB ′B ＝37°.∴α＝∠B′PB＝53°.此时37°≤α≤53°.(5)当α＝60°时，如图6所示，设FN∥EB，GB ′∥EB ，过点G 作GH⊥BB′于点H. 在Rt △B ′GH 中，GH ＝MB ＝2，∠GB ′B ＝30°，∴HB ′＝2 3.∴MG ＝BH ＝4－23＜MN.此时容器内液体形成两层液面，液体的形状分别是以Rt △NFM 和直角梯形MBB′G 为底面的直棱柱． ∵S △NFM ＋S 梯形MBB′G ＝12×33×1＋12×(4－23＋4)×2＝8－1136，∴V 溢出＝24－4×(8－1136)＝3223－8＞4(dm 3)．故溢出容器的液体能达到4 dm 3.。

天津市河北区2017年中考《相似三角形》复习练习题及答案

天津市河北区2017年中考《相似三角形》复习练习题及答案

中考数学复习专题练习相似三角形一、选择题：1、下列说法中，错误的是（）A．等边三角形都相似 B．等腰直角三角形都相似 C．矩形都相似 D．正方形都相似2、下列说法中正确的是（）①在两个边数相同的多边形中，如果对应边成比例，那么这两个多边形相似；②如果两个矩形有一组邻边对应成比例，那么这两个矩形相似；③有一个角对应相等的平行四边形都相似；④有一个角对应相等的菱形都相似．A.①②B.②③C.③④D.②④3、若，且，则的值是（）A.14B.42C.7D.4、已知（）A. B. C. D.5、如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）A．B．C．D．6、如图,△ABC中,A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（-1,0）.以点C为位似中心,在x轴的下作△ABC 的位似图形△A/B/C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．设点A/的对应点A的纵坐标是1.5，则点A的纵坐标是（）A.3B.3C.﹣4D.47、如图，矩形ABCD∽矩形ADFE，AE=1，AB=4，则AD=（）A. 2B. 2.4C. 2.5D. 38、如图,在平行四边形ABCD 中,点E在CD上,若DE︰CE =1︰2，则△CEF与△ABF周长比为（）．A．1︰2 B．1︰3 C．2︰3 D．4︰99、如图，在平行四边形ABCD中，E是CD上的一点，DE：EC=2：3，连接AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则S：S△EBF：S△ABF=（）△DEFA．2：5：25 B．4：9：25 C．2：3：5 D．4：10：2510、如图，在四边形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB=AD，CD=AB，点E、F分别为AB、AD的中点，则△AEF与多边形BCDFE的面积之比为( )A． B． C． D．11、如图1是一张等腰直角三角形彩色纸，将斜边上的高线四等分，然后裁出三张宽度相等的长方形纸条，若恰好可以用这些纸条为一幅正方形美术作品镶边（纸条不重叠），则这张彩色纸的面积与镶嵌所得的作品（如图2）面积之比为（）A．2：3 B．3：4 C．1：1 D．4：312、如图，Rt△ABC中，AC⊥BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AD交AB于点E，M为AE的中点，BF⊥BC交CM的延长线于点F，BD=4，CD=3．下列结论：①∠AED=∠ADC；②BE=DE；③AC﹣BE=12；④3BF=4AC；⑤=．其中正确结论的个数有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题:13、若△ABC∽△ACD，AB=1，AD=4，则AC= ．14、如图，△ABC中，DE∥BC，交边AB、AC于D、E，若AE：EC=1：2，AD=3，则BD= ．15、在同一时刻木杆AB、建筑物PQ在太阳光下的影子分别为BC、PM，如图所示．已知AB=2m，BC=1.2m，PM=4.8m，则建筑物PQ的高度为 m．16、如图，为测量学校旗杆的高度，小东用长为3.2m的竹竿做测量工具．移动竹竿使竹竿，旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点，此时，竹竿与这一点相距8m，与旗杆相距22m，则旗杆的高为 m．17、如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，2），B（4，2），C（6，4），以原点O为位似中心，将△ABC 缩小为原来的一半，则线段AC的中点P变换后在第一象限对应点的坐标为．18、正方形ABCD与正方形OEFG中，点D和点F的坐标分别为（﹣3，2）和（1，﹣1），则这两个正方形的位似中心的坐标为．19、如图,在平行四边形ABCD中,AC与BD相交于O,E为OD的中点,连接AE并延长交CD于点F,则DF：FC等于．20、如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成的两部分面积相等，则= ．21、如图，点M是△ABC内﹣点，过点M分别作直线平行于△ABC的各边，所形成的三个小三角形△1、△2、△3（图中阴影部分）的面积分别是1，4，9．则△ABC的面积是．22、如图，□ABCD中，E是边BC上一点，AE交BD于F，若BE=2，EC=3，则的值为．23、如图，△ABC中，AB=7，BC=6，AC=8，延长∠ABC、∠ACB的角平分线BD、CE分别交过点A且平行于 BC的直线于 N、M，BD与CE相交于点G，则△BCG与△MNG的面积比为_________24、如图，AD是△ABC的中线，E是AD上一点，且AE=AD，CE的延长线交AB于点F，若AF=1.2，则AB= ．三、简答题:25、图①、图②是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形顶点叫做格点，△ABC的顶点在格点上，点D、E在格点上，连结DE．（1）在图①、图②中分别找到不同的格点F，使以D、E、F为顶点的三角形与△ABC相似，并画出△DEF（每个网格中只画一个即可）．（2）使△DEF与△ABC相似的格点F一共有个．26、如图,矩形ABCD中，E为对角线BD上一点,连接AE交CD于G，交BC延长线于F,∠DAE=∠DCE,∠AEB=∠CEB．（1）求证：矩形ABCD是正方形；（2）若AE=2EG，求EG与GF之间的数量关系．27、探究：如图①，在正方形ABCD中，点E在边BC上（点E不与点B、C重合）,连结AE，过点E作AE⊥EF，EF交边CD于点F，求证：△ABE≌△ECF．拓展：如图②，△ABC是等边三角形,点D在边BC上（点D不与点B、C重合）,连结AD,以AD为边作∠ADE=∠ABC,DE交边AC于点E,若AB=3,BD=x,CE=y,求y与x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）．28、正方形ABCD中,B=4,点E为射线CB上一点,F为AE的中点，过点F作GH⊥AE分别交边AB和CD于G，H．（1）若E为边BC的中点，GH= ；= ；（2）若=，求的值；（3）若=k，= ．29、如图，四边形ABCD表示一张矩形纸片，AB=10，AD=8．E是BC上一点，将△ABE沿折痕AE向上翻折，点B 恰好落在CD边上的点F处，⊙O内切于四边形ABEF．求：（1）折痕AE的长；（2）⊙O的半径．30、在△ABC中，∠C=Rt∠，AC=4cm，BC=5cm，点D在BC上，并且CD=3cm，现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以1cm/s的速度，沿AC向终点C移动；点Q以1.25cm/s的速度沿BC向终点C移动．过点P作PE∥BC交AD于点E，连接EQ，设动点运动时间为x秒．（1）用含x的代数式表示AE、DE的长度；（2）当点Q在BD（不包括点B、D）上移动时，设△EDQ的面积为y（cm2），求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）当x为何值时，△EDQ为直角三角形？参考答案1、C．2、D.3、D.4、B.5、B.6、B.7、A.8、C.9、D.10、C．11、C．12、D. 13、答案为:2．14、答案为：6．15、答案为：8．16、答案为：12m．17、答案为：（2，）18、答案为：（﹣1，0）或（5，﹣2）． 19、答案为：1：2．20、答案为：．21、答案为：36．22、答案为：．23、答案为：4:2524、答案为：6．25、【解答】解：（1）如图所示：（2）如图①所示：使△DEF与△ABC相似的格点F一共有6个．故答案为：6．26、【解答】证明：（1）∵∠AEB=∠CEB，∠ADE=∠CDE，∴∠DAE=∠DCE，在△ADE和△CDE中，，∴△ADE≌△CDE（AAS），∴AD=CD，∴矩形ABCD是正方形；（2）GF=3EG；∵△ADE≌△CDE，∴AE=CE，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BF，∴∠DAE=∠F，∵∠DAE=∠DCE，∴∠DCE=∠F，又∵∠GEC=∠CEF，∴△ECG∽△EFC，∴，∵AE=2EG，∴CE=2EG，∴，∴EF=4EG，∴GF=3EG．27、【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠C=90°，∴∠BAE+∠BEA=90°，∵EF⊥AE，∴∠AEF=90°，∴∠BEA+∠FEC=90°，∴∠BAE=∠FEC，∴△ABE∽△ECF；（2）解：∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°，∴∠BAD+∠ADB=120°，∵∠ADE=∠ABC，∴∠ADE=60°，∴∠ADB+∠CDE=120°，∴∠BAD=∠CDE，∴△ABD∽△DCE，∴，∵AB=3，BD=x，CE=y，∴，∴y=﹣x2+x．28、【解答】解：（1）如答图1所示，过点H作HN⊥AB于点N，则四边形ADHN为矩形，∴HN=AD，∴HN=AB．∵∠AGH+∠GHN=∠AGH+∠EAB=90°，∴∠GHN=∠EAB．在△AEB与△HGN中，∴△AEB≌△HGN（ASA）．∴GH=AE．若E为边BC的中点，则BE=BC=2．由勾股定理得：AE==2∴GH=2；∵∠EAB=∠EAB，∠AFG=∠B=90°，∴△AFG∽△ABE，∴，∴GF=•BE=×2=AE=GH．∴FH=GH﹣GF=GH，∴=．（2）若=，①若点E在线段BC上，如答图2﹣1所示，则BE=，与（1）同理，易证△AFG∽△ABE，∴，∴GF=•BE=×=AE=GH，∴FH=GH﹣GF=GH，∴=；②若点E在线段CB的延长线上，如答图2﹣2所示，则BE=1．与（1）同理，可得AE=GH．与（1）同理，易证△AFG∽△ABE，∴，∴GF=•BE=×=AE=GH，∴FH=GH+GF=GH，∴=．综上所述，若=，则的值为或．（3）若=k，①若点E在线段BC上，如答图所示．∵BE+CE=BC，∴BE=BC=AB．与（1）同理，易证△AFG∽△ABE，∴，∴GF=•BE=×AB=AE=GH，∴FH=GH﹣GF=GH，∴=；②若点E在线段CB的延长线上，如答图2﹣2所示．∵BE+BC=EC，∴BE=BC=AB．与（1）同理，可得AE=GH．与（1）同理，易证△AFG∽△ABE，∴，∴GF=•BE=×AB=AE=GH，∴FH=GH+GF=GH，∴=．综上所述，若=k，则的值为或．29、【解答】解：（1）由题意知，AF=10，AD=8，根据勾股定理得：DF=6．∴CF=4．设BE=x，那么EF=x，CE=8﹣x．在Rt△CEF中，根据勾股定理得：（8﹣x）2+42=x2，解得 x=5．即BE=5．由勾股定理得：∴AE==5．（2）如图，连接OH、OG；则∠OHB=∠B=∠OGB=90°，而BH=BG，∴四边形OHBG为正方形，∴OH=BH；设⊙O的半径为r，则OH=BH=r；∵△AOH∽△AEB，∴=，即=；解得：r=．∴⊙O的半径为．30、【解答】解：（1）在Rt△ADC中，AC=4，CD=3，∴AD=5，∵EP∥DC，∴△AEP∽△ADC∴=，即=，∴EA=x，DE=5﹣x；（2）∵BC=5，CD=3，∴BD=2，当点Q在BD上运动x秒后，DQ=2﹣1.25x，则y=×DQ×CP=（4﹣x）（2﹣1.25x）=x2﹣x+4，即y与x的函数解析式为：y=x2﹣x+4，其中自变量的取值范围是：0＜x＜1.6；（3）分两种情况讨论：①当∠EQD=90°时，显然有EQ=PC=4﹣x，又∵EQ∥AC，∴△EDQ∽△ADC∴=，即=，解得x=2.5②当∠QED=90°时，∵∠CDA=∠EDQ，∠QED=∠C=90°，∴△EDQ∽△CDA，∴=，即=，解得x=3.1．综上所述，当x为2.5秒或3.1秒时，△EDQ为直角三角形．。

河北省邢台市2017年中考数学二轮模块复习《三角形四边形有关的证明计算》练习解析

河北省邢台市2017年中考数学二轮模块复习《三角形四边形有关的证明计算》练习解析

三角形四边形有关的证明计算一、证明题典例精讲例1. 已知：如图，AF平分∠BAC，BC⊥AF，垂足为E，点D与点A关于点E对称，PB分别与线段CF，AF相交于P，M．（1）求证：AB=CD；（2）若∠BAC=2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由．解：（1）证明：∵AF平分∠BAC，∴∠CAD=∠DAB=12∠BAC．∵D与A关于E对称，∴E为AD中点．∵BC⊥AD，∴BC为AD的中垂线，∴AC=CD．在Rt△ACE和Rt△ABE中，注：证全等也可得到AC=CD∠CAD+∠ACE=∠DAB+∠ABE=90°，∠CAD=∠DAB．∴∠ACE=∠ABE，∴AC=AB．注：证全等也可得到A C=AB∴AB=CD．（2）∵∠BAC=2∠MPC，又∵∠BAC=2∠CAD，∴∠MPC=∠CAD．∵AC=CD，∴∠CAD=∠CDA，∴∠MPC=∠CDA．∴∠MP F=∠CDM．∵AC=AB，AE⊥BC，∴CE=BE．注：证全等也可得到CE=BE∴AM为BC的中垂线，∴CM=BM．（6分）注：证全等也可得到CM=BM ∵EM⊥BC，∴EM平分∠CMB，（等腰三角形三线合一）∴∠C ME=∠BME．注：证全等也可得到∠CME=∠BME ∵∠BME=∠PMF，∴∠PMF=∠C M E，∴∠MCD=∠F（三角形内角和）．例2. 如图，在等腰△ABC中,点D、E分别是两腰AC、BC上的点，连接AE、BD相交于点O，∠1=∠2．（1）求证：OD=OE；FM PE DCBA（2）求证：四边形AB ＥD 是等腰梯形； （3）若AB=3DE, △DCE 的面积为2, 求四边形ABED 的面积．1）证明：如图，∵△ABC 是等腰三角形，∴AC=BC ， ∴∠BAD ＝∠ABE ， 又∵AB=BA 、∠2＝∠1， ∴△ABD ≌△BAE （ASA ）， ∴BD=AE ，又∵∠１＝∠２，∴OA=OB ， ∴BD-OB=AE-OA ，即：OD=OE ．(2)证明：由（1）知：OD=OE ，∴∠OED ＝∠ODE ， ∴∠OED=180(21-∠DOE ）， 同理：∠1=180(21-∠AOB ）， 又∵∠DOE ＝∠AOB ，∴∠1＝∠OED ，∴DE ∥AB ，∵AD 、BE 是等腰三角形两腰所在的线段，∴AD 与BE 不平行， ∴四边形ABED 是梯形， 又由（1）知∴△ABD ≌△BAE ，∴AD=BE ∴梯形ABED 是等腰梯形．（3）解：由（2）可知：DE ∥AB ，∴△DCE ∽△ACB ， ∴2)(ABDE ACB DCE =∆∆的面积的面积，即：91)3(22==∆DE DE ACB 的面积，∴△ACB 的面积=18，∴四边形ABED 的面积=△ACB 的面积-△DCE 的面积=18-2=16 ． 针对性训练1.已知：如图①，在ABC △中 ，AB AC =，90BAC ∠=°，D E 、分别是AB AC 、边的中点，将ABC △绕点A 顺时针旋转α角（0180α<<°°），得到AB C ''△（如图②）． （1）探究DB '与EC '的数量关系，并给予证明；（2）当DB AE '∥时，试求旋转角α的度数．2. 如图，ABC △中，AB =BC ，BE AC ⊥于点E ，AD BC ⊥于点D ，45BAD ∠=°，AD 与BE交于点F ，连接CF . （1）求证：BF =2AE ；（2）若CD AD 的长.3. 如图，点A 是线段BC 上一点，△ABD 和△ACE 都是等边三角形.（1）连结BE ，CD ，求证：BE =CD ；（2）如图，将△ABD 绕点A 顺时针旋转得到△AB D ''. ①当旋转角为 度时，边AD '边落在边AE 上；②在①的条件下，延长DD '交CE 于点P ，连接BD '，CD '.当线段AB ，AC 满足什么数量关系时，△BDD ′与△CPD ′全等？并给予证明.参考答案1. 1）DB EC ''=证明：D E ，分别是AB AC ，的中点，1122AD AB AE AC ∴==，． AB AC AD AE =∴= ，．B AC '' △是BAC △顺时针旋转得到．EAC DAB AC AC AB AB α''''∴∠=∠====，． ADB AEC DB EC ''''∴∴=△≌△，． （2）DB AE ' ∥，90B DA DAE '∴∠=∠=°． 1190cos 22AE C EA B DA AE AC AC α'''∴∠=∠==∴=' °，，． ∴旋转角60α=°．2. （1）证明：∵45AD BC BAD ∠=⊥，°， ∴45ABD BAD ∠=∠=°， ∴AD =BD.∵AD BC BE AC ⊥，⊥，∴90CAD ACD ∠+∠=°，90CBE ACD ∠+∠=°， ∴CAD CBE ∠=∠.又∵90CDA BDF ∠=∠=°， ∴ADC BDF △≌△， ∴AC =BF .∵AB =BC ，BE AC ⊥， ∴AE =EC ，即AC =2AE . ∴BF =2AE .（2）解：∵ADC BDF △≌△，∴DF =CD∴在Rt CDF △中，CF ∵BE AC AE EC =⊥，， ∴AF =FC =2.∴AD =AF +DF3.（1）证明：∵△ACE 、△ABD 都是等边三角形.∴AB ＝AD ，AE ＝AC ，∠BAD ＝∠CAE ＝60°， ∴∠BAD ＋∠DAE ＝∠CAE ＋∠DAE ∴∠BAE ＝∠D AC ，∴△BAE ≌△DAC ∴BE ＝CD .（2）①60，②当AC ＝2AB 时，△BDD '与△CPD '全等，证明如下： 由旋转可知AB '与AD 重合，∴AB BD DD AD ''===， ∴四边形ABDD '是菱形， ∴ABD '∠＝DBD '∠＝21∠ABD ＝21×60°＝30°， DP BC ∥. ∵△ACE 是等边三角形，∴ AC ＝AE ，∠A CE ＝60°， ∵AC ＝2AB ，∴AE ＝2AD ′， ∴∠PCD ′＝∠ACD ′＝21∠ACE 1602=⨯°＝30°， .DP BC ∥30ABD DBD BD D ACD PCD PD C ''''''∴∠=∠=∠=∠=∠=∠=°.∴BD CD ''=， ∴BDD CPD ''△≌△. 二、猜想、探究题 典例精讲例1 如图（1），Rt ABC △中，90ACB =∠，CD AB ⊥，垂足为D ，AF 平分CAB ∠，交CD于点E ，交CB 于点F ． （1）求证：CE CF =．将图（1）中的ADE △沿AB 向右平移到A D E '''△的位置，使点E '落在BC 边上，其它条件不变，如图（2）所示．试猜想：BE '与CF 有怎样的数量关系？请证明你的结论．（1）证明：∵AF 平分CAB ∠，∴.CAF EAD ∠=∠∵90ACB ∠=°，∴90.CAF CFA ∠+∠=°又∵CD AB ⊥于D ，∴90EAD AED ∠+∠=°. ∴.CFA AED ∠=∠∵AED CEF ∠=∠，∴.CFA CEF ∠=∠ ∴.CE CF =（2）证明：如图，过点E 作EG AC ⊥于G ． 又∵AF 平分CAB ∠，.ED AB ⊥∴.ED EG =由平移的性质可知：D E DE =′′，∴.D E GE =′′ ∵90ACB ∠=°，∴90.ACD DCB ∠+∠=° ∵CD AB ⊥于D ，∴90.B DCB ∠+∠=° ∴.ACD B ∠=∠在Rt CEG △与Rt BE D △′′中，GCE BCGE BD E GE D E ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩′′′′ ∴CEG BE D △≌△′′.∴CE BE =′. 由（1）可知CE CF =，∴.BE CF =′例2 如图，△ABC 的边BC 在直线m 上，AC ⊥BC ，且AC=BC ，△DEF 的边FE 也在直线m 上，边DF 与边AC 重合，且DF=EF ．（1）在图（1）中，请你通过观察、思考，猜想并写出AB 与AE 所满足的数量关系和位置关系；（不要求证明）（2）将△DEF 沿直线m 向左平移到图（2）的位置时，DE 交AC 于点G ，连结AE ，BG ．猜想△BCG 与△ACE 能否通过旋转重合？请证明你的猜想．解：（1）AB=AE , AB ⊥AE（2）将△BCG 绕点C 顺时针旋转90°后能与△ACE 重合（或将△ACE 绕点C 逆时针旋转90°后能与△BCG 重合），理由如下：∵AC ⊥BC ，DF ⊥EF ，B 、F 、C 、E 共线，∴∠ACB=∠ACE=∠DFE=90° 又∵AC=BC ，DF=EF ，∴∠DFE =∠D =45°，在△CEG 中，∵∠ACE=90°，∴∠CGE=∠DEF=90°， ∴CG=CE ， 在△BCG 和△ACE 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CE CG ACE ACB AC BC ∴△BCG ≌△ACE （SAS ）∴将△BCG 绕点C 顺时针旋转90°后能与△ACE 重合（或将△ACE 绕点C 逆时针旋转90°后能与△BCG 重合）例3如图，ABC △和DEF △是两个全等的等腰直角三角形，90BAC EDF ∠=∠=°，DEF △的顶点E 与ABC △的斜边BC 的中点重合．将DEF △绕点E 旋转，旋转过程中，线段DE 与线段AB 相交于点P ，线段EF 与射线CA 相交于点Q ．（1）如图①，当点Q 在线段AC 上，且AP AQ =时，求证：BPE CQE △≌△；（2）如图②，当点Q 在线段CA 的延长线上时，求证：BPE CEQ △≌△；并求当BP a = ，92CQ a =时，P 、Q 两点间的距离 （用含a 的代数式表示）．证明：（1） 点E 是等腰直角三角形斜边的中点，BE CE B C AB AC ∴=∠=∠=，，，（1分）AP AQ = ， BP CQ ∴=， （2分） BPE CQE ∴△≌△；（3分）（2）BEF C CQE BEF DEF BEP ∠=∠+∠∠=∠+∠ ，，C CQE DEF BEP ∴∠+∠=∠+∠， 45C DEF ∠=∠= °，BEF CQE ∠=∠ ． （4分）B C ∠=∠ ，BPE CEQ ∴△∽△；（5分）BP BECE CQ∴=， （6分）92BP a CQ a BE CE === ，，，BE ∴=，即3BC = （7分） 3sin 45322AB AC BC a PA a QA a ∴===∴==°，，， （8分）∴在Rt PAQ △中52PQ a ===．针对性训练1.（1）操作发现：如图①，D是等边△ABC边BA上一动点（点D与点B不重合），连结DC，以DC为边在BC上方作等边△DCF，连结AF．你能发现线段AF与BD之间的数量关系吗？并证明你发现的结论．（2）类比猜想：如图②，当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时，其它作法与（1）相同．猜想AF与BD在（1）中的结论是否仍然成立？（3）深入探究：Ⅰ．如图③，当动点D在等边△ABC边BA上运动时（点D与点B不重合），连结DC，以DC为边在其上方、下方分别作等边△DCF和等边△DCF′，连结AF、BF′．探究AF、BF 与AB有何数量关系？并证明你探究的结论．Ⅱ．如图④，当动点D在等边△ABC边BA的延长线上运动时，其它作法与图③相同，Ⅰ中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明你得出的结论．2. 在矩形ABCD中，已知AD＞AB．在边AD上取点E，使AE＝AB，连结CE．过点E作EF⊥CE，与边AB或其延长线交于点F．猜想：如图①，当点F在边AB上时，线段AF与DE的大小关系为__________；探究：如图②，当点F在边AB的延长线上时，EF与边BC交于点G．判断线段AF与DE的大小关系．应用：如图②，若AB＝2，AD＝5，利用探究得到的结论，求线段BG的长．FFCBDA图①图②3. 已知四边形ABCD是正方形，等腰直角△AEF的直角顶点E在直线BC上（不与点B，C重合），FM⊥AD，交射线AD于点M.(1)当点E在边BC上，点M在边AD的延长线上时,如图①，求证：AB+BE=AM；(提示：延长MF，交边BC的延长线于点H.)(2)当点E 在边CB 的延长线上，点M 在边AD 上时，如图②；当点E 在边BC 的延长 线上，点M 在边AD 上时，如图③.请分别写出线段AB ，BE ，AM 之间的数量关系, 不需要证明； (3)在(1)，(2)的条件下，若BE=3，∠AFM =15°，则AM = .参考答案1. 解（1）发现：AF BD =．（1分） 证明：在等边ABC △中，60AC BC ACB =∠=︒，，在等边DCF △中，60DC FC DCF =∠=︒，，∴ACB ACD DCF ACD ∠-∠=∠-∠，即BCD ACF ∠=∠，(SAS)BCD ACF ∴△≌△．AF BD ∴=.（2分） (2)猜测：AF=BD ．（3分） (3)探究：Ⅰ）AF BF AB '+=．（5分） 证明：同理可证BCF ACD ACF BCD '△≌△，△≌△．BF AD AF BD '∴==，，AF BF AD BD AB '∴+=+=.Ⅱ）AF BF AB '-=．（6分）证明：同理可证BCF ACD ACF BCD '△≌△，△≌△，,BF AD AF BD '∴==．又AD AB BD +=，AF BF AB '∴=+，AF BF AB '∴-=.2.AF＝DE；AF＝DE；23 BG=．【解析】解：（1）猜想：AF＝DE；（2）探究：AF＝DE，理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝∠ABC＝90°，AB＝CD，∴∠AFE＋∠AEF＝90°，∵EF⊥CE，∴∠CEF＝90°，∴∠AEF＋∠DEC＝90°，∴∠DEC＝∠AFE，∵AE＝AB，∴AE＝CD，∴△AFE≌△DEC，∴AF＝DE．（3）由（2）得△AFE≌△DEC，∴设D E＝x，∵AD＝5，∴AE＝5－x＝2，∵AB＝2，AB＝AE，∴AE＝5－x＝2，解得x＝3，∴AF＝DE＝3，∴FB＝1，∵四边形ABCD为矩形，∴AD//BC，∴FB BG FA AE=，即132BG =，∴23BG =． 3.证明略（2）如图②:AM=AB-BE,如图③:AM=BE-AB.(3)有两种情况，如图②:AM=3-3 如图③:AM=3-1【解析】解：（1）证明：∵∠AEB+∠HEF =90°，∠AEB+∠BAE =90°∴∠BAE =∠HEF 。

中考数学总复习专题三解答题重难点题型突破题型二几何图形探究题类型与三角形、四边形有关的探究题课件

中考数学总复习专题三解答题重难点题型突破题型二几何图形探究题类型与三角形、四边形有关的探究题课件

(2)如图②，过点 F 作 FG⊥AB 于 G，连接 FE.∵AF＝BE，AF∥BE，∴ 四边形 ABEF 是平行四边形，∵AF＋BE＝16，∴AB＝AF＝BE＝8，∵32 3＝ 8×FG，∴FG＝4 3，在 Rt△FAG 中，AF＝8，∴∠FAG＝60°，当点 G 在 线段 AB 上时，∠FAB＝60°，当点 G 在线段 BA 延长线时，∠FAB＝120°，
解：(1)原命题不成立，新结论为：∠APB＝90°， AF＋BE＝2AB(或 AF＝BE＝AB)，证明：∵AM∥BN， ∴∠MAB＋∠NBA＝180°，∵AE，BF 分别平分∠MAB，∠NBA，
∴∠EAB＝12∠MAB，∠FBA＝12∠NBA，
∴∠EAB＋∠FBA＝12(∠MAB＋∠NBA)＝90°， ∴∠APB＝90°，∵AE 平分∠MAB，∴∠MAE＝∠BAE， ∵AM∥BN，∴∠MAE＝∠BAE，∴∠BAE＝∠BEA， ∴AB＝BE，同理：AF＝AB，∴AF＋BE＝2AB(或 AF＝BE＝AB)；
辽宁专用
专题三 解答题重难点题型突破
题型二 几何图形探究题 类型1 与三角形、四边形有关的探究题
【例1】 (2016·抚顺)如图，在△ABC中，BC >AC，点E在BC上，CE＝CA， 点D在AB上，连接DE，∠ACB＋∠ADE＝180°，作CH⊥AB，垂足为H.
(1)如图①，当∠ACB＝90°时，连接CD，过点C作CF⊥CD交BA的延长线于点F. ①求证：FA＝DE； ②请猜想三条线段DE、AD、CH之间的数量关系，直接写出结论； (2)如图②，当∠ACB＝120°时，三条线段DE、AD、CH之间存在怎样的数量关 系？请证明你的结论．
(3)成立．∵四边形 ABCD 是正方形，∴BC＝CD，∠FBC＝∠ECD＝90 °，

中考数学专题17 三角形与全等三角形

中考数学专题17 三角形与全等三角形
(5)中位线：三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半．
温馨提示：
三角形的边、角之间的关系是三角形中重要的性质，在比较角的大小、线段的长短及求角或线段中经常用到。学习时应结合图形，做到熟练、准确地应用。
三角形的角平分线、高、中线均为线段。
（三）全等三角形的概念与性质
1．能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．
【答案】(1)C(2)A(3)C
方法总结：
（1）考查三角形的边或角时，一定要注意三角形形成的条件：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；
（2）在求三角形内角和外角时，要明确所求的角属于哪个三角形的内角和外角，要抓住题目中的等量关系；
类型二全等三角形
(1)如图，已知AC＝FE，BC＝DE，点A、D、B、F在一条直线上，要使△ABC≌△FDE，还需添加一个条件，这个条件可以是_________________________.
2．三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
3．三角形中的重要线段
(1)角平分线：三角形的三条角平分线交于一点，这点叫做三角形的内心，它到三角形各边的距离相等．
(2)中线：三角形的三条中线交于一点，这点叫做三角形的重心．
(3)高：三角形的三条高交于一点，这点叫做三角形的垂心．
(4)三边垂直平分线：三角形的三边垂直平分线交于一点，这点叫做三角形的外心，外心到三角形三个顶点距离相等．
1．(2009·温州)下列长度的三条线段能组成三角形的是()
A．1cm，2cm，3.5cmB．4cm，5cm，9cm
C．5cm，8cm，15cmD．6cm，8cm，9cm
解析：计算较小两数的和与最大数比较，大于的组成三角形，否则不能．
答案：D
2．(2008·嘉兴)如图，△ABC中，已知AB＝8，BC＝6，CA＝4，DE是中位线，则DE＝()

中考数学解直角三角形练习

中考数学解直角三角形练习

中考数学解直角三角形练习第一课时(锐角三角函数)课标要求1、 通过实例认识直角三角形的边角关系：即锐角三角函数（sinA 、cosA 、tanA 、cotA ）2、 熟知300、450、600角的三角函数值3、 会用计算器求锐角的三角函数值：以及由已知的三角函数值求相应的锐角。

4、 通过特殊角三角函数值：知道互余两角的三角函数的关系。

5、 了解同角三角函数的平方关系。

sin 2α+cos 2α=1：倒数关系tan α·cot α=1.6、 熟知直角三角形中：300角的性质。

中招考点1、 锐角三角函数的概念：锐角三角函数的性质。

2、 300、450、600角的三角函数值及计算代数式的值。

3、 运用计算器求的三角函数值或由锐角三角函数值求角度。

典型例题[例题1] 选择题（四选一）1、如图19-1：在Rt △ABC 中：CD 是斜边AB 上的高：则下列线段比中不等于sinA 的是（ ）A. AC CDB. CB BDC.AB CBD.CBCD分析：sinA=AC CD ； sinA=sin ∠BCD=BC BD ;sinA= ABBC；从而判断D 不正确。

故应选D.。

2、在Rt △ABC 中：∠C ＝900：∠A ＝∠B ：则cosA 的值是（ ） A.21B. 22 C.23 D.1分析：先求出∠A 的度数：因为∠C ＝900：∠A ＝∠B ：故∠A ＝∠B ＝450：再由特殊角的三角函数值可得：cosA=cos450=22故选B.。

3、在△ABC 中：∠C ＝900：sinA=23 ；则cosB 的值为（ ）A. 21B. 22C.23D.33分析：方法一：因为sinA=23；故锐角A ＝600。

因为∠C ＝900：所以∠B ＝300.cosB=23.故选C.方法二：因为 ∠C ＝900：故 ∠A 与 ∠B 互余.所以cosB=sin A ＝23.故选C..4、如图19-2：在△ABC 中：∠C ＝900：sinA=53.则BC ：AC 等于（ ）A C图19-1A. 3：4B. 4：3C.3：5D.4：5 分析： 因为∠C ＝900：sinA ＝53 ；又sinA=AB BC .所以AB BC ＝53； 不妨设BC ＝3k ；AB=5k ；由勾股定理可得AC ＝22BC AB -＝4k ；所以BC ：AC ＝3k:4k=3:4故选A.。

河北省邢台市2017年中考数学二轮模块复习三角形四边形有关的证明计算练习2

河北省邢台市2017年中考数学二轮模块复习三角形四边形有关的证明计算练习2

三角形四边形有关的证明计算一、证明题典例精讲例1. 已知：如图， AF平分∠BAC，BC⊥AF，垂足为E，点D与点A关于点E对称，PB分别与线段CF， AF相交于P，M．（1）求证：AB=CD；（2）若∠BAC=2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由．解：（1）证明：∵AF平分∠BAC，∴∠CAD=∠DAB =12∠BAC．∵D与A关于E对称，∴E为AD中点．∵BC⊥AD，∴BC为AD的中垂线，∴AC=CD．在Rt△ACE和Rt△ABE中，注：证全等也可得到AC=CD∠CAD+∠ACE=∠DAB+∠ABE=90°，∠CAD=∠DAB．∴∠ACE=∠ABE，∴AC=AB．注：证全等也可得到A C=AB∴AB=CD．（2）∵∠BAC=2∠MPC，又∵∠BAC=2∠CAD，∴∠MPC=∠CAD．∵AC=CD，∴∠CAD=∠CDA，∴∠MPC=∠CDA．∴∠MP F=∠CDM．∵AC=AB，AE⊥BC，∴CE=BE．注：证全等也可得到CE=BE∴AM为BC的中垂线，∴CM=BM．（6分）注：证全等也可得到CM=BM ∵EM⊥BC，∴EM平分∠CMB，（等腰三角形三线合一）∴∠C ME=∠BME．注：证全等也可得到∠CME=∠BME∵∠BME=∠PMF，∴∠PMF=∠C M E，∴∠MCD=∠F（三角形内角和）．例2. 如图，在等腰△ABC中,点D、E分别是两腰AC、BC上的点，连接AE、BD相交于点O，∠1=∠2．FM PE DCBA（1）求证：OD=OE ； （2）求证：四边形AB ＥD 是等腰梯形； （3）若AB=3DE, △DCE 的面积为2, 求四边形ABED 的面积．1）证明：如图，∵△ABC 是等腰三角形，∴AC=BC ， ∴∠BAD ＝∠ABE ， 又∵AB=BA 、∠2＝∠1， ∴△ABD ≌△BAE （ASA ）， ∴BD=AE ，又∵∠１＝∠２，∴OA=OB ， ∴BD-OB=AE-OA ，即：OD=OE ．(2)证明：由（1）知：OD=OE ，∴∠OED ＝∠ODE ， ∴∠OED=180(21-∠DOE ）， 同理：∠1=180(21-∠AOB ）， 又∵∠DOE ＝∠AOB ，∴∠1＝∠OED ，∴DE ∥AB ，∵AD 、BE 是等腰三角形两腰所在的线段，∴AD 与BE 不平行， ∴四边形ABED 是梯形， 又由（1）知∴△ABD ≌△BAE ，∴AD=BE ∴梯形ABED 是等腰梯形．（3）解：由（2）可知：DE ∥AB ，∴△DCE ∽△ACB ， ∴2)(ABDE ACB DCE =∆∆的面积的面积，即：91)3(22==∆DE DE ACB 的面积，∴△ACB 的面积=18，∴四边形ABED 的面积=△ACB 的面积-△DCE 的面积=18-2=16 ． 针对性训练1.已知：如图①，在ABC △中 ，AB AC =，90BAC ∠=°，D E 、分别是AB AC 、边的中点，将ABC △绕点A 顺时针旋转α角（0180α<<°°），得到AB C ''△（如图②）．（1）探究DB '与EC '的数量关系，并给予证明； （2）当DB AE '∥时，试求旋转角α的度数．2. 如图，ABC △中，AB =BC ，BE AC ⊥于点E ，AD BC ⊥于点D ，45BAD ∠=°，AD 与BE 交于点F ，连接CF . （1）求证：BF =2AE ；（2）若2CD =，求AD 的长.3. 如图，点A 是线段BC 上一点，△ABD 和△ACE 都是等边三角形.（1）连结BE ，CD ，求证：BE =CD ；（2）如图，将△ABD 绕点A 顺时针旋转得到△AB D ''. ①当旋转角为 度时，边AD '边落在边AE 上；②在①的条件下，延长DD '交CE 于点P ，连接BD '，CD '.当线段AB ，AC 满足什么数量关系时，△BDD ′与△CPD ′全等？并给予证明.参考答案1. 1）DB EC ''=证明：D E ，分别是AB AC ，的中点，1122AD AB AE AC ∴==，． AB AC AD AE =∴=，．B AC ''△是BAC △顺时针旋转得到．EAC DAB AC AC AB AB α''''∴∠=∠====，． ADB AEC DB EC ''''∴∴=△≌△，．（2）DB AE '∥，90B DA DAE '∴∠=∠=°．1190cos 22AE C EA B DA AE AC AC α'''∴∠=∠==∴='°，，． ∴旋转角60α=°．2. （1）证明：∵45AD BC BAD ∠=⊥，°， ∴45ABD BAD ∠=∠=°， ∴AD =BD.∵AD BC BE AC ⊥，⊥，∴90CAD ACD ∠+∠=°，90CBE ACD ∠+∠=°， ∴CAD CBE ∠=∠.又∵90CDA BDF ∠=∠=°， ∴ADC BDF △≌△， ∴AC =BF .∵AB =BC ，BE AC ⊥， ∴AE =EC ，即AC =2AE . ∴BF =2AE .（2）解：∵ADC BDF △≌△， ∴DF =CD =2.∴在Rt CDF △中，CF =22DF CD +=2. ∵BE AC AE EC =⊥，， ∴AF =FC =2. ∴AD =AF +DF =2+2.3.（1）证明：∵△ACE 、△ABD 都是等边三角形.∴AB ＝AD ，AE ＝AC ，∠BAD ＝∠CAE ＝60°， ∴∠BAD ＋∠DAE ＝∠CAE ＋∠DAE ∴∠BAE ＝∠DAC ，∴△BAE ≌△DAC ∴BE ＝CD .（2）①60，②当AC ＝2AB 时，△BDD '与△CPD '全等，证明如下： 由旋转可知AB '与AD 重合，∴AB BD DD AD ''===， ∴四边形ABDD '是菱形， ∴ABD '∠＝DBD '∠＝21∠ABD ＝21×60°＝30°， DP BC ∥. ∵△ACE 是等边三角形，∴ AC ＝AE ，∠ACE ＝60°， ∵AC ＝2AB ，∴AE ＝2AD ′， ∴∠PCD ′＝∠ACD ′＝21∠ACE 1602=⨯°＝30°， .DP BC ∥30ABD DBD BD D ACD PCD PD C ''''''∴∠=∠=∠=∠=∠=∠=°.∴BD CD ''=， ∴BDD CPD ''△≌△. 二、猜想、探究题 典例精讲例1 如图（1），Rt ABC △中，90ACB =∠，CD AB ⊥，垂足为D ，AF 平分CAB ∠，交CD 于点E ，交CB 于点F ． （1）求证：CE CF =．将图（1）中的ADE △沿AB 向右平移到A D E '''△的位置，使点E '落在BC 边上，其它条件不变，如图（2）所示．试猜想：BE '与CF 有怎样的数量关系？请证明你的结论．（1）证明：∵AF 平分CAB ∠，∴.CAF EAD ∠=∠∵90ACB ∠=°，∴90.CAF CFA ∠+∠=°又∵CD AB ⊥于D ，∴90EAD AED ∠+∠=°. ∴.CFA AED ∠=∠∵AED CEF ∠=∠，∴.CFA CEF ∠=∠ ∴.CE CF =（2）证明：如图，过点E 作EG AC ⊥于G ． 又∵AF 平分CAB ∠，.ED AB ⊥∴.ED EG =由平移的性质可知：D E DE =′′，∴.D E GE =′′ ∵90ACB ∠=°，∴90.ACD DCB ∠+∠=° ∵CD AB ⊥于D ，∴90.B DCB ∠+∠=° ∴.ACD B ∠=∠在Rt CEG △与Rt BE D △′′中，GCE BCGE BD E GE D E ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩′′′′ ∴CEG BE D △≌△′′.∴CE BE =′. 由（1）可知CE CF =，∴.BE CF =′例2 如图，△ABC 的边BC 在直线m 上，AC ⊥BC ，且AC=BC ，△DEF 的边FE 也在直线m 上，边DF 与边AC 重合，且DF=EF ．（1）在图（1）中，请你通过观察、思考，猜想并写出AB 与AE 所满足的数量关系和位置关系；（不要求证明）（2）将△DEF 沿直线m 向左平移到图（2）的位置时，DE 交AC 于点G ，连结AE ，BG ．猜想△BCG 与△ACE 能否通过旋转重合？请证明你的猜想．解：（1）AB=AE , AB ⊥AE（2）将△BCG 绕点C 顺时针旋转90°后能与△ACE 重合（或将△ACE 绕点C 逆时针旋转90°后能与△BCG 重合），理由如下：∵AC ⊥BC ，DF ⊥EF ，B 、F 、C 、E 共线，∴∠ACB=∠ACE=∠DFE=90° 又∵AC=BC ，DF=EF ，∴∠DFE =∠D =45°，在△CEG 中，∵∠ACE=90°，∴∠CGE=∠DEF=90°， ∴CG=CE ， 在△BCG 和△ACE 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CE CG ACE ACB AC BC ∴△BCG ≌△ACE （SAS ）∴将△BCG 绕点C 顺时针旋转90°后能与△ACE 重合（或将△ACE 绕点C 逆时针旋转90°后能与△BCG 重合）例3如图，ABC △和DEF △是两个全等的等腰直角三角形，90BAC EDF ∠=∠=°，DEF △的顶点E 与ABC △的斜边BC 的中点重合．将DEF △绕点E 旋转，旋转过程中，线段DE 与线段AB 相交于点P ，线段EF 与射线CA 相交于点Q ．（1）如图①，当点Q 在线段AC 上，且AP AQ =时，求证：BPE CQE △≌△；（2）如图②，当点Q 在线段CA 的延长线上时，求证：BPE CEQ △≌△；并求当BP a = ，92CQ a =时，P 、Q 两点间的距离 （用含a 的代数式表示）．证明：（1）点E 是等腰直角三角形斜边的中点，BE CE B C AB AC ∴=∠=∠=，，，（1分）AP AQ =， BP CQ ∴=， （2分） BPE CQE ∴△≌△；（3分）（2）BEF C CQE BEF DEF BEP ∠=∠+∠∠=∠+∠，，C CQE DEF BEP ∴∠+∠=∠+∠， 45C DEF ∠=∠=°，BEF CQE ∠=∠． （4分）B C ∠=∠，BPE CEQ ∴△∽△；（5分）BP BECE CQ ∴=， （6分）92BP a CQ a BE CE ===，，，BE ∴=，即3BC = （7分） 3sin 45322AB AC BC a PA a QA a ∴===∴==°，，， （8分）∴在Rt PAQ △中52PQ a ===．针对性训练1.（1）操作发现：如图①，D 是等边△ABC 边BA 上一动点（点D 与点B 不重合），连结DC ，以DC 为边在BC 上方作等边△DCF ，连结AF ．你能发现线段AF 与BD 之间的数量关系吗？并证明你发现的结论．（2）类比猜想：如图②，当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时，其它作法与（1）相同．猜想AF与BD在（1）中的结论是否仍然成立？（3）深入探究：Ⅰ．如图③，当动点D在等边△ABC边BA上运动时（点D与点B不重合），连结DC，以DC为边在其上方、下方分别作等边△DCF和等边△DCF′，连结AF、BF′．探究AF、BF 与AB有何数量关系？并证明你探究的结论．Ⅱ．如图④，当动点D在等边△ABC边BA的延长线上运动时，其它作法与图③相同，Ⅰ中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明你得出的结论．2. 在矩形ABCD中，已知AD＞AB．在边AD上取点E，使AE＝AB，连结CE．过点E作EF⊥CE，与边AB 或其延长线交于点F ．猜想：如图①，当点F 在边AB 上时，线段AF 与DE 的大小关系为__________；探究：如图②，当点F 在边AB 的延长线上时，EF 与边BC 交于点G ．判断线段AF 与DE 的大小关系． 应用：如图②，若AB ＝2，AD ＝5，利用探究得到的结论，求线段BG 的长．F C DE BA GEFCBD A图① 图②3. 已知四边形ABCD 是正方形，等腰直角△AEF 的直角顶点E 在直线BC 上（不与点B ，C 重合），FM ⊥AD ，交射线AD 于点M.(1)当点E 在边BC 上，点M 在边AD 的延长线上时,如图①，求证：AB+BE=AM ； (提示：延长MF ，交边BC 的延长线于点H.)(2)当点E 在边CB 的延长线上，点M 在边AD 上时，如图②；当点E 在边BC 的延长 线上，点M 在边AD 上时，如图③.请分别写出线段AB ，BE ，AM 之间的数量关系, 不需要证明；(3)在(1)，(2)的条件下，若BE=3，∠AFM =15°，则AM = .参考答案1. 解（1）发现：AF BD =．（1分）证明：在等边ABC △中，60AC BC ACB =∠=︒，， 在等边DCF △中，60DC FC DCF =∠=︒，，∴ACB ACD DCF ACD ∠-∠=∠-∠，即BCD ACF ∠=∠，(SAS)BCD ACF ∴△≌△．AF BD ∴=.（2分） (2)猜测：AF=BD ．（3分） (3)探究：Ⅰ）AF BF AB '+=．（5分）证明：同理可证BCF ACD ACF BCD '△≌△，△≌△． BF AD AF BD '∴==，，AF BF AD BD AB '∴+=+=. Ⅱ）AF BF AB '-=．（6分）证明：同理可证BCF ACD ACF BCD '△≌△，△≌△，,BF AD AF BD '∴==． 又AD AB BD +=，AF BF AB '∴=+，AF BF AB '∴-=.2.AF ＝DE ；AF ＝DE ；23BG =． 【解析】解：（1）猜想：AF ＝DE ； （2）探究：AF ＝DE ，理由如下： ∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A＝∠D＝∠ABC＝90°，AB＝CD，∴∠AFE＋∠AEF＝90°，∵EF⊥CE，∴∠CEF＝90°，∴∠AEF＋∠DEC＝90°，∴∠DEC＝∠AFE，∵AE＝AB，∴AE＝CD，∴△AFE≌△DEC，∴AF＝DE．（3）由（2）得△AFE≌△DEC，∴设DE＝x，∵AD＝5，∴AE＝5－x＝2，∵AB＝2，AB＝AE，∴AE＝5－x＝2，解得x＝3，∴AF＝DE＝3，∴FB＝1，∵四边形ABCD为矩形，∴AD//BC，∴FB BG FA AE=，即132BG =，∴23 BG=．3.证明略（2）如图②:AM=AB-BE,如图③:AM=BE-AB.(3)有两种情况，如图②:AM=3-3如图③:AM=3-1【解析】解：（1）证明：∵∠AEB+∠HEF =90°，∠AEB+∠BAE =90°∴∠BAE =∠HEF。

河北省2017中考数学复习专题复习三几何解答题 几何综合试题(含答案).

河北省2017中考数学复习专题复习三几何解答题 几何综合试题(含答案).

第5课时几何综合(一)1．(2016·河北考试说明)观察思考某机械装置如图1，图2是它的示意图．其工作原理：滑块Q在平直滑道l上可以左右滑动，在Q滑动的过程中，连杆PQ也随之运动，并且PQ带动连杆OP绕固定点O摆动．在摆动过程中，两连杆的接点P在以OP为半径的⊙O上运动．已知，过点O作OH⊥l于点H，并测得OH＝4分米，PQ＝3分米，OP＝2分米．解决问题(1)点Q与点O间的最小距离是___分米；点Q与点O间的最大距离是___分米；点Q在l上滑到最左端的位置与滑到最右端位置间的距离是___分米；(2)如图3，小勤说：“当点Q滑动到点H的位置时，PQ与⊙O是相切的．”你认为他的判断对吗？为什么？(3)①小王发现：当点P运动到OH上时，点P到l的距离最小．事实上，还存在着点P到l距离最大的位置，此时，点P到l的距离是____分米；②当OP绕点O左右摆动时，所扫过的区域为扇形，求这个扇形面积最大时圆心角的度数．.2．(2016·承德围场模拟)如图1，矩形ABCD的边AB＝4，BC＝3，一简易量角器放置ABCD内，其零度线即半圆O的直径与边AB重合，点A处是0刻度，点B处是180刻度．P点是量角器的半圆弧上一动点，过P点的切线与边BC，CD(或其延长线)分别交于点E，F.设点P处的刻度数为n，∠PAB＝α.(1)当n＝136时，α＝____．写出α与n的关系式；(2)如图2，当n＝120时，求弦AP的长；(3)在P点的运动过程中，线段EB与EP有怎样的数量关系，请予证明；(4)在P点的运动过程中，F点在直线CD上的位置随着α的变化而变化．②讨论当F点在线段CD上时，在CD的延长线上时，在DC的延长线上时，对应的α的取值范围分别是多少？3．(2011·河北)如图1至图4中，两平行线AB ，CD 间的距离均为6，点M 为AB 上一定点．思考：如图1中，圆心为O 的半圆形纸片在AB ，CD 之间(包括AB ，CD)，其直径MN 在AB 上，MN ＝8，点P 为半圆上一点，设∠MOP ＝α，当α＝___度时，点P 到CD 的距离最小，最小值为___；探究一：在图1的基础上，以点M 为旋转中心，在AB ，CD 之间顺时针旋转该半圆形纸片，直到不能再转动为止．如图2，得到最大旋转角∠B MO ＝___度，此时点N 到CD 的距离是___；探究二：将图1中的扇形纸片NOP 按下面对α的要求剪掉，使扇形纸片MOP 绕点M 在AB ，CD 之间顺时针旋转．(1)如图3，当α＝60°时，求在旋转过程中，点P 到CD 的最小距离，并请指出旋转角∠BMO 的最大值；(2)如图4，在扇形纸片MOP 旋转过程中，要保证点P 能落在直线CD 上，请确定α的取值范围．(参考数据：sin 49°≈34，cos 41°≈34，tan 37°≈34)4．(2015·河北)平面上，矩形ABCD与直径为QP的半圆K如图摆放，分别延长DA和QP交于点O，且∠DOQ＝60°，OQ＝OD＝3，OP＝2，OA＝AB＝1.让线段OD及矩形ABCD位置固定，将线段OQ连带着半圆K一起绕着点O按逆时针方向旋转，设旋转角为α(0°≤α≤60°)．发现：(1)当α＝0°，即初始位置时，点P___直线AB上．(填“在”或“不在”)求当α是多少时，OQ经过点B?(2)在OQ旋转过程中，简要说明α是多少时，点P，A间的距离最小？并指出这个最小值；(3)如图2，当点P恰好落在BC边上时．求α及S阴影．拓展：(4)如图3，当线段OQ与CB边交于点M，与BA边交于点N时，设BM＝x(x＞0)，用含x的代数式表示BN的长，并求x的取值范围．探究：(5)当半圆K与矩形ABCD的边相切时，求sinα的值．5．(2016·邯郸模拟)如图1，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝83，半径为3的⊙P与线段BD相切于点M，圆心P 与点C在直线BD的同侧，⊙P沿线段BD从点B向点D滚动．发现：BD＝____，∠CBD的度数为____；拓展：(1)当切点M与点B重合时，求⊙P与矩形ABCD重叠部分的面积；(2)在滚动过程中如图2，求AP的最小值；探究：(3)若⊙P与矩形A BCD的两条对角线都相切，求此时线段BM的长，并直接写出tan∠PBC的值；(4)在滚动过程中如图3，点N是AC上任意一点，直接写出BP＋PN的最小值．.6．(2016·保定高阳模拟)某班课题学习小组对无盖的纸杯进行制作与探究，所要制作的纸杯如图1所示，规格要求杯口直径AB ＝6 cm ，杯底直径CD ＝4 cm ，杯壁母线AC ＝BD ＝6 cm .请你和他们一起解决下列问题：(1)小颖同学先画出了纸杯的侧面展开示意图(如图2，忽略拼接部分)，得到的图形是圆环的一部分．①图2中EF ︵的长为__cm ，MN ︵的长为___cm ，ME ＝NF ＝__cm ；②要想准确画出纸杯侧面的设计图，需要确定MN ︵所在圆的圆心O ，如图3所示，小颖同学发现若将EF ︵，MN ︵近似地看作线段，类比相似三角形的性质可得EF ︵的长MN ︵的长＝OF ON .请你帮她证明这一结论； ③根据②中的结论，求MN ︵所在圆的半径r 及它所对的圆心角的度数n ；(2)小颖同学计划利用矩形、正方形纸各一张，分别按如图所示的方式剪出这个纸杯的侧面，求矩形纸片的长和宽以及正方形纸片的边长．第6课时几何综合(二)1．如图，在△ABC中，已知A B＝BC＝CA＝4 cm，AD⊥BC于D.点P，Q分别从B，C两点同时出发，其中点P 沿BC向终点C运动，速度为1 cm/s；点Q沿CA，AB向终点B运动，速度为2 cm/s，设它们运动的时间为x(s)．(1)当x为何值时，PQ⊥AC？x为何值时，PQ⊥AB?(2)设△PQD的面积为y(c m2)，当0<x<2时，求y与x的函数关系式；(3)当0<x<2时，求证：AD平分△PQD的面积．2．(2016·保定模拟)已知，如图，Rt△ABC，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8；O为BC延长线上一点，CO＝3；过点O，A作直线l，将l绕点O逆时针旋转，l与AB交于点D，与AC交于点E，当l与OB重合时，停止旋转；过点D作DM⊥AE于点M，设AD＝x，S△ADE＝S.探究1用含x的代数式表示DM，AM的长；探究2当直线l过AC中点时，求x的值；探究3用含x的代数式表示AE的长；发现求S与x之间的函数关系式；探究4当x为多少时，DO⊥AB?3．(2016·唐山古冶区模拟)在锐角△ABC中，AB＝6，BC＝11，∠ACB＝30°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转得到△A1BC1.(1)如图1，当点C1在线段CA的延长线上时，∠CC1A1＝60°；(2)如图2，连接AA1，CC1，若△ABA1的面积为24，求△CBC1的面积；(3)如图3，点E为线段AB中点，点P在线段AC上运动，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是P1，求在旋转过程中，线段EP1长度的最大值与最小值的差．4．(2016·石家庄模拟)如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(3，4)，点B在x轴的正半轴上，∠ABO＝45°.过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l∥y轴．(1)求B点的坐标；(2)如图2，动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O－C－A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移．在平移过程中，直线l交x轴于点D，交线段BA或线段AO于点E.当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动，设动点P的运动时间为t(s)．①求△PAD的面积S与t之间的函数关系式；②当t为何值时，S＝8；③点P在CA上运动时，是否存在以点A为圆心，AE长为半径的⊙A与坐标轴相切？如果存在，求出t的值；如果不存在，请说明理由．5．(2013·河北)一透明的敞口正方体容器ABCD－A′B′C′D′装有一些液体，棱AB始终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为α(∠CBE＝α，如图1所示)．探究：如图1，液面刚好过棱CD，并与棱BB′交于点Q，此时液体的形状为直三棱柱，其三视图及尺寸如图2所示．解决问题：(1)CQ与BE的位置关系是_____，BQ的长是____dm；(2)求液体的体积(参考算法：直棱柱体积V液＝底面积S△BCQ×高AB)；(3)求α的度数：(注：sin49°＝cos41°≈34，tan37°≈34)拓展：(4)在图1的基础上，以棱AB为轴将容器向左或向右旋转，但不能使液体溢出，图3或图4是其正面示意图．若液面与棱C′C或CB交于点P，设PC＝x，BQ＝y.分别就图3和图4求y与x的函数关系式，并写出相应的α的范围；延伸：(5)在图4的基础上，于容器底部正中间位置，嵌入一平行于侧面的长方形隔板(厚度忽略不计)，得到图5，隔板高NM＝1 dm，BM＝CM，NM⊥BC.继续向右缓慢旋转，当α＝60°时，通过计算，判断溢出容器的液体能否达到4 dm3.答案第5课时几何综合(一)1．(2016·河北考试说明)观察思考某机械装置如图1，图2是它的示意图．其工作原理：滑块Q在平直滑道l上可以左右滑动，在Q滑动的过程中，连杆PQ也随之运动，并且PQ带动连杆OP绕固定点O摆动．在摆动过程中，两连杆的接点P在以OP为半径的⊙O上运动．已知，过点O作OH⊥l于点H，并测得OH＝4分米，PQ＝3分米，OP＝2分米．解决问题(1)点Q与点O间的最小距离是4分米；点Q与点O间的最大距离是5分米；点Q在l上滑到最左端的位置与滑到最右端位置间的距离是6分米；(2)如图3，小勤说：“当点Q滑动到点H的位置时，PQ与⊙O是相切的．”你认为他的判断对吗？为什么？(3)①小王发现：当点P运动到OH上时，点P到l的距离最小．事实上，还存在着点P到l距离最大的位置，此时，点P到l的距离是3分米；②当OP绕点O左右摆动时，所扫过的区域为扇形，求这个扇形面积最大时圆心角的度数．解：(2)不对．∵OP＝2，PQ＝3，OQ＝4，且42≠32＋22，即OQ2≠PQ2＋OP2，∴OP与PQ不垂直，∴PQ与⊙O不相切．(3)如图4，②由①知，在⊙O上存在点P，P′到l的距离为3分米，此时，OP将不能再向下转动，如图所示，OP 在绕点O左右摆动过程中所扫过的最大扇形就是P′OP.连接P′P，交OH于点D.∵PQ，P′Q′均与l垂直，且PQ＝P′Q′＝3，∴四边形PQQ′P′是矩形，OH⊥PP′，PD＝P′D.由OP＝2，OD＝OH－HD＝1，得∠DOP＝60°.∴∠POP′＝120°.∴所求最大圆心角的度数为120°.2．(2016·承德围场模拟)如图1，矩形ABCD的边AB＝4，BC＝3，一简易量角器放置ABCD内，其零度线即半圆O的直径与边AB重合，点A处是0刻度，点B处是180刻度．P点是量角器的半圆弧上一动点，过P点的切线与边BC ，CD(或其延长线)分别交于点E ，F.设点P 处的刻度数为n ，∠PAB ＝α. (1)当n ＝136时，α＝22°．写出α与n 的关系式； (2)如图2，当n ＝120时，求弦AP 的长；(3)在P 点的运动过程中，线段EB 与EP 有怎样的数量关系，请予证明； (4)在P 点的运动过程中，F 点在直线CD 上的位置随着α的变化而变化． ①当点F 与点D 重合时，如图3，求α的值；(参考数据：tan 56.3°≈1.5，tan 33.7°≈0.7，tan 67.4°≈2.4)②讨论当F 点在线段CD 上时，在CD 的延长线上时，在DC 的延长线上时，对应的α的取值范围分别是多少？解：(1)连接OP.由题意可知∠AOP ＝n °. ∵AO ＝PO ，∴∠OPA ＝∠PAB.∵∠OPA ＋∠PAB ＋∠AOP ＝180°， ∴n °＋2α＝180°. ∴α＝90°－12n °.(2)由(1)，知α＝90°－12n °.当n ＝120时，α＝30°.即∠PAB ＝30°.连接OP ，过O 作OH ⊥AP 于点H ，则AP ＝2AH. 在Rt △AOH 中，AO ＝12AB ＝2，∠PAB ＝30°，∴OH ＝12AO ＝1，AH ＝AO 2－OH 2＝ 3.∴AP ＝2AH ＝2 3. (3)EB ＝EP.证明：∵四边形ABCD 为矩形， ∴∠ABC ＝90°.∴BE 为半圆O 的切线． 又∵EP 为半圆O 的切线， ∴PE ＝EB.(4)①连接OP ，DO.∵DA ，DP 分别为半圆O 的切线， ∴DP ＝DA ，∠ADO ＝∠PDO. ∴DO ⊥AP.∴∠DAP ＋∠ADO ＝90°. 又∵∠DAP ＋∠PAB ＝90°，∴∠ADO ＝∠PAB.在Rt △ADO 中，tan ∠ADO ＝AO AD ＝23＝0.6.≈0.7.∵tan 33.7°≈0.7. ∴∠ADO≈33.7°. ∴α≈33.7°.②由①，知D ，F 重合时，α≈33.7°. 当∠POB ＝90°时，显然过点P 的切线与CD 平行，此时α＝45°. 如图5，当点E 与点C 重合时，由切线长的性质知CP ＝CB ＝3，PQ ＝AQ ，∠AQO ＝∠PQO. ∴OQ ⊥AP.∴∠QAP ＋∠AQO ＝90°. 又∵∠QAO ＝90°， ∴∠BAP ＋∠QAP ＝90°. ∴∠AQO ＝∠BAP.在Rt △DQC 中，DC ＝4，DQ ＝3－AQ ，CQ ＝PQ ＋PC ＝AQ ＋3， ∴42＋(3－AQ)2＝(AQ ＋3)2. ∴AQ ＝43.在Rt △AQO 中，tan ∠AQO ＝AO AQ ＝243＝32.∵tan 56.3°≈32，∴∠AQO≈56.3°，∴∠BAP≈56.3°，即α≈56.3°.∴结合图形以及以上临界状态可知：当F 在线段CD 上时，0＜α≤33.7°或56.3°≤α＜90°； 当F 在CD 的延长线上时，33.7°＜α＜45°； 当F 在DC 的延长线上时，45°＜α＜56.3°. 3．(2011·河北)如图1至图4中，两平行线AB ，CD 间的距离均为6，点M 为AB 上一定点． 思考：如图1中，圆心为O 的半圆形纸片在AB ，CD 之间(包括AB ，CD)，其直径MN 在AB 上，MN ＝8，点P 为半圆上一点，设∠MOP ＝α，当α＝90度时，点P 到CD 的距离最小，最小值为2； 探究一：在图1的基础上，以点M 为旋转中心，在AB ，CD 之间顺时针旋转该半圆形纸片，直到不能再转动为止．如图2，得到最大旋转角∠B MO ＝30度，此时点N 到CD 的距离是2； 探究二：将图1中的扇形纸片NOP 按下面对α的要求剪掉，使扇形纸片MOP 绕点M 在AB ，CD 之间顺时针旋转． (1)如图3，当α＝60°时，求在旋转过程中，点P 到CD 的最小距离，并请指出旋转角∠BMO 的最大值； (2)如图4，在扇形纸片MOP 旋转过程中，要保证点P 能落在直线CD 上，请确定α的取值范围． (参考数据：sin 49°≈34，cos 41°≈34，tan 37°≈34)解：探究二：(1)由已知得出M 与P 的距离为4，∴PM ⊥AB 时，点MP 到AB 的最大距离是4，从而点P 到CD 的最小距离为6－4＝2， 当扇形MOP 在AB ，CD 之间旋转到不能再转时，MP ︵与AB 相切， 此时旋转角最大，∠BMO 的最大值为90°.(2)由探究一可知，点P 是MP ︵与CD 的切点时，α达到最大，即OP ⊥CD ，α最大值为120°； 如图4，当点P 在CD 上，且MP ⊥CD 时，α达到最小，连接MP ，作HO ⊥MP 于点H ，由垂径定理，得出MH ＝3，在Rt △MOH 中，MO ＝4， ∴sin ∠MOH ＝MH OM ＝34.∴∠MOH≈49°.∵α＝2∠MOH ，∴α最小为98°， ∴α的取值范围为98°≤α≤120°. 4．(2015·河北)平面上，矩形ABCD 与直径为QP 的半圆K 如图摆放，分别延长DA 和QP 交于点O ，且∠DOQ ＝60°，OQ ＝OD ＝3，OP ＝2，OA ＝AB ＝1.让线段OD 及矩形ABCD 位置固定，将线段OQ 连带着半圆K 一起绕着点O 按逆时针方向旋转，设旋转角为α(0°≤α≤60°)．发现： (1)当α＝0°，即初始位置时，点P 在直线AB 上．(填“在”或“不在”)求当α是多少时，OQ 经过点B? (2)在OQ 旋转过程中，简要说明α是多少时，点P ，A 间的距离最小？并指出这个最小值； (3)如图2，当点P 恰好落在BC 边上时．求α及S 阴影． 拓展：(4)如图3，当线段OQ 与CB 边交于点M ，与BA 边交于点N 时，设BM ＝x (x ＞0)，用含x 的代数式表示BN 的长，并求x 的取值范围． 探究：(5)当半圆K 与矩形ABCD 的边相切时，求sin α的值．解：(1)当OQ 过点B 时，在Rt △OAB 中，AO ＝AB ，得∠DOQ ＝∠ABO ＝45°，∴α＝60°－45°＝15°.(2)在△OAP中，OA＋AP≥OP，当OP过点A，即α＝60°时OA＋AP＝OP成立．∴AP≥OP－OA＝2－1＝1.∴当α＝60°，P，A间的距离最小．PA的最小值为1.(3)设半圆K与BC交点为R，连接RK，AP.过点P作PH⊥AD于点H，过点R作RE⊥KQ于点E. 在Rt△OPH中，PH＝AB＝1，OP＝2，∴∠POH＝30°.∴α＝60°－30°＝30°.∵AD∥BC，∴∠OPB＝∠RPQ＝∠POH＝30°，∴∠RKQ＝2×30°＝60°.∴S扇形RKQ＝60π×（12）2360＝π24.在R t△RKE，RE＝RK·si n60°＝34，∴S△RKP＝12PK·RE＝316.∴S阴影＝π24＋316.(4)∠OAN＝∠MBN＝90°，∠ANO＝∠BNM，∴△AON∽△BMN.∴ANBN＝AOBM，即1－BNBN＝1x.∴BN＝xx＋1.如图4，当点Q落在BC上时，x取得最大值，作QF⊥AD 于点F.BQ＝AF＝OQ2－QF2－AO＝32－12－1＝22－1.∴x的范围是0＜x≤22－1.(5)半圆与矩形相切，分三种情况：①如图5，半圆K与BC切于点T，设直线KT与AD和OQ的初始位置所在直线分别交于点S，O′，则∠KSO＝∠KTB＝90°，作KG⊥OO′于点G.R t△OSK中，OS＝OK2－SK2＝（52）2－（32）2＝2.R t△OSO′中，SO′＝OS·t a n60°＝23，∴KO′＝23－32.R t△KGO′中，∠O′＝30°，∴KG＝12KO′＝3－34.R t△OGK 中，si nα＝KGOK＝3－3452＝43－310；②半圆K与AD切于点T，如图6，同理可得si nα＝KGOK＝12O′K52＝12（O′T－KT）52＝12×[3×（52）2－（12）2－12]55＝62－110；③当半圆K 与CD 相切时，点Q 与点D 重合，且D 点为切点．α＝60°.∴si n α＝si n 60°＝32. 综上所述，si n α的值为43－310或62－110或32.5．(2016·邯郸模拟)如图1，矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝83，半径为3的⊙P 与线段BD 相切于点M ，圆心P与点C 在直线BD 的同侧，⊙P 沿线段BD 从点B 向点D 滚动． 发现：BD ＝16，∠CBD 的度数为30°； 拓展：(1)当切点M 与点B 重合时，求⊙P 与矩形ABCD 重叠部分的面积； (2)在滚动过程中如图2，求AP 的最小值； 探究：(3)若⊙P 与矩形A BCD 的两条对角线都相切，求此时线段BM 的长，并直接写出tan ∠PBC 的值； (4)在滚动过程中如图3，点N 是AC 上任意一点，直接写出BP ＋PN 的最小值．解：拓展：(1)连接PH ，过点P 作PG ⊥BC 于点G. ∵⊙P 与BD 相切， ∴∠PBD ＝90°. 又∵∠CBD ＝30°， ∴∠PBC ＝60°. ∵PB ＝PH ，∴△PBH 为等边三角形．∴∠BPH ＝60°. ∵PG ⊥BC ，∴∠GPH ＝12∠BPH ＝30°.在Rt △GPH 中，cos 30°＝PG PH ＝PG3，∴PG ＝32.∴S △PBH ＝12BH·PG ＝12×3×32＝343.∴S 重叠＝S 扇形PBH －S △PBH ＝60×π×（3）2360－343＝π2－343.(2)过点P 作直线l ∥BD ，显然⊙P 在移动的过程中，圆心P 在直线l 上，过点A 作AP′⊥l 于点P′，交BD 于点G′，则当⊙P 的圆心移动到点P′处时，AP 取最小值，长度为AP′. ∵AP′⊥l ，BD ∥l ， ∴AP′⊥BD. ∵S △ABD ＝12AB·AD ，S △ABD ＝12BD·AG′.∴AB·AD ＝BD·AG′.又∵AB ＝8，AD ＝BC ＝83，BD ＝16， ∴AG′＝4 3.∴AP′＝AG′＋P′G′＝43＋3＝5 3. ∴AP 的最小值为5 3.探究：(3)如图4，当P 在△BOC 内时，∵OB ，OC 与⊙P 相切，∴∠BOP ＝∠COP ＝12∠BOC ＝12×120°＝60°.在Rt △POM 中，tan ∠BOP ＝PMOM ，∴OM ＝3tan 60°＝1.∴BM ＝OB －OM ＝12BD －1＝8－1＝7.此时tan ∠PBC ＝36.如图5，当P 在△COD 内时， ∵OD ，OC 与⊙P 相切，∴∠DOP ＝∠COP ＝12∠COD ＝30°.∴在Rt △POM 中，tan 30°＝PMOM .∴OM ＝333＝3.∴BM ＝OB ＋OM ＝8＋3＝11. 此时tan ∠PBC ＝293.(4)如图6，BP ＋PN 的最小值为5 3. 6．(2016·保定高阳模拟)某班课题学习小组对无盖的纸杯进行制作与探究，所要制作的纸杯如图1所示，规格要求杯口直径AB ＝6 cm ，杯底直径CD ＝4 cm ，杯壁母线AC ＝BD ＝6 cm .请你和他们一起解决下列问题： (1)小颖同学先画出了纸杯的侧面展开示意图(如图2，忽略拼接部分)，得到的图形是圆环的一部分．①图2中EF ︵的长为6πcm ，MN ︵的长为4πcm ，ME ＝NF ＝6cm ；②要想准确画出纸杯侧面的设计图，需要确定MN ︵所在圆的圆心O ，如图3所示，小颖同学发现若将EF ︵，MN ︵近似地看作线段，类比相似三角形的性质可得EF ︵的长MN ︵的长＝OFON .请你帮她证明这一结论；③根据②中的结论，求MN ︵所在圆的半径r 及它所对的圆心角的度数n ；(2)小颖同学计划利用矩形、正方形纸各一张，分别按如图所示的方式剪出这个纸杯的侧面，求矩形纸片的长和宽以及正方形纸片的边长．解：(1)②设MN ︵所在圆的半径为r ，所对圆心角度数为n ，则MN ︵的长度为n πr 180，EF ︵的长为n π（r ＋FN ）180，所以lEF ︵lMN︵＝n π（r ＋FN ）180n πr 180，即lEF ︵lMN ︵＝r ＋NF r ＝ON ＋NF ON ＝OFON .③由②得，lEF ︵lMN ︵＝OF ON，即6π4π＝r ＋6r ，计算得出r ＝12.∵MN ︵的长为n πr 180，∴n πr 180＝4π，即n π×12180＝4π，计算得出n ＝60，即MN ︵所在圆的半径r 等于12 cm ，它所对的圆心角的度数为60°. (2)如图4，延长EM 交FN 的延长线于点O ， ∵∠MON ＝60°，∴△MON 和△EOF 是等边三角形． ∴EF ＝长方形的长＝12＋6＝18(cm )．设RS 与EF ︵交于点P ，OP 交ZX 于点Q ，连接OP ， ∴OQ ⊥MN ，MQ ＝QN.在Rt △OQN 中，∠QON ＝30°，OQ ＝ON·c os 30°＝63，∴长方形的宽＝(18－63)cm . 如图5，连接EF ，同理得△EFO 为等边三角形， ∴EF ＝OE ＝18.在Rt △BEF 中，BE ＝BF ，∴BE ＝BF ＝9 2. 设正方形边长为x cm ，则AE ＝x －9 2. 即x 2＋(x －92)2＝182，解得x 1＝92(2＋6)，x 2＝92(2－6)(舍去)．∴正方形边长为92(2＋6)cm .第6课时 几何综合(二)1．如图，在△ABC 中，已知A B ＝BC ＝CA ＝4 cm ，AD ⊥BC 于D.点P ，Q 分别从B ，C 两点同时出发，其中点P 沿BC 向终点C 运动，速度为1 cm /s ；点Q 沿CA ，AB 向终点B 运动，速度为2 cm /s ，设它们运动的时间为x (s )． (1)当x 为何值时，PQ ⊥AC ？x 为何值时，PQ ⊥AB?(2)设△PQD 的面积为y (c m 2)，当0<x <2时，求y 与x 的函数关系式； (3)当0<x <2时，求证：AD 平分△PQD 的面积．解：(1)当Q 在AB 上时，显然PQ 不垂直于AC. 当Q 在AC 上时，由题意，得BP ＝x ，CQ ＝2x ，PC ＝4－x . ∵AB ＝BC ＝CA ＝4，∴△ABC 为等边三角形，∠C ＝60°. 若PQ ⊥AC ，则有∠QPC ＝30°， ∴PC ＝2CQ.∴4－x ＝2×2x ，解得x ＝45.故x ＝45(Q 在AC 上)时，PQ ⊥AC.当Q 在AC 上时，显然PQ 不垂直于AB.当Q 在AB 上时，若PQ ⊥AB ，则BP ＝x ，BQ ＝12x ，AC ＋AQ ＝2x .∵AC ＝4，∴AQ ＝2x －4. ∴2x －4＋12x ＝4，解得x ＝165.故x ＝165时(Q 在AB 上)，PQ ⊥AB.(2)当0<x <2时，点P 在BD 上，点Q 在AC 上， 过点Q 作QH ⊥BC 于点H.∵∠C ＝60°，QC ＝2x ，∴QH ＝QC·sin 60°＝3x . ∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴BD ＝CD ＝12BC ＝2. ∴DP ＝2－x .∴y ＝12PD·QH ＝12(2－x )·3x ＝－32x 2＋3x . (3)证明：当0<x <2时，在Rt △QHC 中，QC ＝2x ，∠C ＝60°，∴HC ＝x .∴BP ＝HC.∵BD ＝CD ，∴DP ＝DH.∵AD ⊥BC ，QH ⊥BC ，∴AD ∥QH.∴OP ＝OQ.∴S △PDO ＝S △DQO .∴AD 平分△PQD 的面积．2．(2016·保定模拟)已知，如图，Rt △ABC ，∠ACB ＝90°，BC ＝6，AC ＝8；O 为BC 延长线上一点，CO ＝3；过点O ，A 作直线l ，将l 绕点O 逆时针旋转，l 与AB 交于点D ，与AC 交于点E ，当l 与OB 重合时，停止旋转；过点D 作DM ⊥AE 于点M ，设AD ＝x ，S △ADE ＝S.探究1用含x 的代数式表示DM ，AM 的长；探究2当直线l 过AC 中点时，求x 的值；探究3用含x 的代数式表示AE 的长；发现求S 与x 之间的函数关系式；探究4当x 为多少时，DO ⊥AB?解：探究1：在Rt △ABC 中，BC ＝6，AC ＝8，∴由勾股定理，得AB ＝BC 2＋AC 2＝10.∵∠AMD ＝∠ACB ＝90°，∠DAM ＝∠BAC ，∴△ADM ∽△ABC.∴AD AB ＝DM BC ＝AM AC ， 即x 10＝DM 6＝AM 8. ∴DM ＝35x ，AM ＝45x . 探究2：若E 为AC 的中点，则CE ＝AE ＝4，ME ＝AE －AM ＝4－45x . ∵∠ACB ＝90°，DM ⊥AE ，∴MD ∥BC.∴△DME ∽△OCE.∴DM OC ＝ME CE.∴35x 3＝4－45x 4. 解得x ＝52. 探究3：设AE ＝y ，则CE ＝8－y ，ME ＝y －45x . 由探究2知：DM OC ＝ME CE. ∴35x 3＝y －45x 8－y. ∴y ＝12x x ＋5，即AE ＝12x x ＋5. 发现：∵AE ＝12x x ＋5，DM ＝35x ， ∴S △ADE ＝12AE·DM ＝12·12x x ＋5·35x . ∴S ＝18x 25x ＋25. 探究4：∵DO ⊥AB ，∴∠ADE ＝90°.∵∠ADE ＝∠ACB ＝90°，∠DAE ＝∠CAB ，∴△ADE ∽△ACB.∴AD AC ＝AE AB. ∴x 8＝AE 10. ∴AE ＝54x . 由探究3知：AE ＝12x x ＋5. ∴54x ＝12x x ＋5. 解得x ＝0(舍)或235. 3．(2016·唐山古冶区模拟)在锐角△ABC 中，AB ＝6，BC ＝11，∠ACB ＝30°，将△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转得到△A 1BC 1.(1)如图1，当点C 1在线段CA 的延长线上时，∠CC 1A 1＝60°；(2)如图2，连接AA 1，CC 1，若△ABA 1的面积为24，求△CBC 1的面积；(3)如图3，点E 为线段AB 中点，点P 在线段AC 上运动，在△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转过程中，点P 的对应点是P 1，求在旋转过程中，线段EP 1长度的最大值与最小值的差．解：(2)由旋转的性质可知BA 1＝BA ，BC 1＝BC ，∠A 1BC 1＝∠ABC.∴∠A 1BC 1－∠ABC 1＝∠ABC －∠ABC 1，即∠A 1BA ＝∠C 1BC.∵BA1＝BA，BC1＝BC，∴BA1BC1＝BABC.∴△A1BA∽△C1BC.∴211⎪⎭⎫⎝⎛=BCABSSBCCBCA△△,即BCCS124△＝(611)2.∴S△C1BC＝2423.(3)如图4，当P在线段AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB的延长线上时，EP1最大，最大值为3＋11＝14.如图5，过B作BD⊥AC于点D.在Rt△BDC中，∠C＝30°，BC＝11，∴BD＝BC·sin30°＝112.当P在线段AC上运动至点D，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB上时，EP1最小，最小值为112－3＝52.14－52＝232.∴线段EP1长度的最大值与最小值的差为232.4．(2016·石家庄模拟)如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(3，4)，点B在x轴的正半轴上，∠ABO＝45°.过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l∥y轴．(1)求B点的坐标；(2)如图2，动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O－C－A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移．在平移过程中，直线l交x轴于点D，交线段BA或线段AO于点E.当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动，设动点P的运动时间为t(s)．①求△PAD的面积S与t之间的函数关系式；②当t为何值时，S＝8；③点P在CA上运动时，是否存在以点A为圆心，AE长为半径的⊙A与坐标轴相切？如果存在，求出t的值；如果不存在，请说明理由．解：(1)过点A 作AM ⊥x 轴于点M.∵点A 的坐标是(3，4)，∴AC ＝OM ＝3，AM ＝4.∵∠ABO ＝45°.∴△ABM 是等腰直角三角形．∴MB ＝AM ＝4.∴OB ＝OM ＋MB ＝3＋4＝7.∴B 点的坐标为(7，0)．(2)①当点P 在OC 上运动时，0≤t ＜4，此时有：OP ＝BD ＝t ，CP ＝4－t ，OD ＝7－t ，∴S ＝S 梯形COBA －S △ACP －S △POD －S △ADB ＝12×(3＋7)×4－12×3×(4－t )－12t (7－t )－12t ×4＝12t 2－4t ＋14.当点P 在CA 上运动时，4≤t ≤7(如图3)．S ＝12PA·OC ＝12×(7－t )×4＝－2t ＋14.∴S ＝⎩⎪⎨⎪⎧12t 2－4t ＋14（0≤t ＜4），－2t ＋14（4≤t≤7）.②当0≤t ＜4时，12t 2－4t ＋14＝8，即t 2－8t ＋12＝0，解得t 1＝2，t 2＝6(舍)．当4≤t ≤7时，－2t ＋14＝8，解得t ＝3(舍)．∴当t ＝2时，S ＝8.③存在．当点P 在CA 上运动时，即4≤t ≤7，由(1)，得OA ＝AM 2＋OM 2＝42＋32＝5.设直线l 交AC 于点G(如图4)，∵直线l ∥y 轴，∴DG ⊥OB ，DG ⊥A C.∴四边形AMDG 是矩形．∴AG ＝MD ＝t －4.∴△AEG ∽△AOC.∴AE AO ＝AG AC ，即AE 5＝t －43. ∴AE ＝53(t －4)． 当AE ＝3时，即53(t －4)＝3， 解得t ＝295(或t ＝5.8)． 此时，⊙A 与y 轴相切；当AE ＝4时，即53(t －4)＝4， 解得t ＝325(或t ＝6.4)． 此时，⊙A 与x 轴相切．∴当t ＝295 或325时，⊙A 与坐标轴相切． 5．(2013·河北)一透明的敞口正方体容器ABCD －A ′B′C′D′装有一些液体，棱AB 始终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为α(∠CBE ＝α，如图1所示)．探究：如图1，液面刚好过棱CD ，并与棱BB′交于点Q ，此时液体的形状为直三棱柱，其三视图及尺寸如图2所示．解决问题：(1)CQ 与BE 的位置关系是CQ ∥BE ，BQ 的长是3dm ；(2)求液体的体积(参考算法：直棱柱体积V 液＝底面积S △BCQ ×高AB)；(3)求α的度数：(注：sin 49°＝cos 41°≈34，tan 37°≈34)拓展：(4)在图1的基础上，以棱AB 为轴将容器向左或向右旋转，但不能使液体溢出，图3或图4是其正面示意图．若液面与棱C′C 或CB 交于点P ，设PC ＝x ，BQ ＝y .分别就图3和图4求y 与x 的函数关系式，并写出相应的α的范围； 延伸：(5)在图4的基础上，于容器底部正中间位置，嵌入一平行于侧面的长方形隔板(厚度忽略不计)，得到图5，隔板高NM ＝1 dm ，BM ＝CM ，NM ⊥BC.继续向右缓慢旋转，当α＝60°时，通过计算，判断溢出容器的液体能否达到4 dm 3.解：(2)V 液＝12×3×4×4＝24(dm 3)． (3)在Rt △BCQ 中，tan ∠BCQ ＝34， ∴α＝∠BCQ ＝37°.(4)当容器向左旋转时，如图3，0°≤α＜37°，∵液体体积不变，∴12(x ＋y )×4×4＝24. ∴y ＝－x ＋3.当容器向右旋转时，如图4，同理可得：y ＝124－x. 当液面恰好到达容器口沿，即点Q 与点B′重合时，由y ＝4，得x ＝1.∴PB ＝3.∵tan ∠PB′B ＝34，∴∠PB′B ＝37°. ∴α＝∠B′PB ＝53°.此时37°≤α≤53°.(5)当α＝60°时，如图6所示，设FN ∥EB ，GB′∥EB ，过点G 作GH ⊥BB′于点H.在Rt △B′GH 中，GH ＝MB ＝2，∠GB′B ＝30°，∴HB′＝2 3.∴MG ＝BH ＝4－23＜MN.此时容器内液体形成两层液面，液体的形状分别是以Rt △NFM 和直角梯形MBB′G 为底面的直棱柱．∵S △NFM ＋S 梯形MBB′G ＝12×33×1＋12×(4－23＋4)×2 ＝8－1136， ∴V 溢出＝24－4×(8－1136)＝3223－8＞4(dm 3)． 故溢出容器的液体能达到4 dm 3.。

河北省邢台市2017年中考数学二轮模块复习圆模块复习三角形四边形有关的证明计算练习2

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三角形四边形有关的证明计算一、证明题 典例精讲分为三大块： 1圆的基本性质，2与圆有关的位置关系， 3与圆有关的计算圆的基本性质 圆的基本性质在近七年河北中考中，除了年未考查外，每年设置1—2道题，题型包括选择题，填空题，解答题。

本节常务的知识点有：（1）垂径定理及其推论；(2)圆周角定理及其推论（一）圆的基本性质一、选择题 例题精讲1. (龙东中考)如图，⊙O 的半径是2，AB 是⊙O 的弦，点P 是弦AB 上的动点，且1≤OP ≤2，则弦AB 所对的圆周角的度数是( )A ．60°B ．120° C．60°或120° D．30°或150°BAOP【答案】C【解析】当点P 位于AB 的中点时，如图，BAOP EF由垂径定理可得OP ⊥AB ，此时OP 最短，∵1≤OP ≤2，∴OP ＝1；当点P位于点A或点B时，OP＝OA＝OB＝2，∴sin∠OAB＝sin∠OBA＝12，∴∠OAB＝∠OBA＝30°，∴∠AOB＝120°，∴∠AEB＝12∠AOB＝60°，∵∠E＋∠F＝180°，∴∠F＝120°，即弦AB所对的圆周角的度数为60°或120°．故选C．2. （河北中考）如图，AC，BE是⊙O的直径，弦AD与BE交于点F，下列三角形中，外心不是．．点O 的是（）A．△ABE B．△ACF C．△ABD D．△ADE【答案】B【解析】因为A，B，E三点在⊙O上，所以O是△ABE的外接圆圆心；由于F不在⊙O上，所以O不是△ACF的外接圆的圆心；因为A，B，D三点在⊙O上，所以O是△ABD的外接圆圆心；因为A，D，E三点在⊙O上，所以O是△ADE的外接圆圆心．故选B．针对性训练1.在⊙O中，圆心O到弦AB的距离为AB长度的一半，则弦AB所对圆心角的大小为（）A．30° B．45° C．60° D．90°2. 如图，将⊙O 沿弦AB 折叠，圆弧恰好经过圆心O，点P 是优弧AMB上一点，则∠APB 的度数为（）A．45° B．30° C．75° D．60°3. 如图，△ABD的三个顶点在⊙O上，AB是直径，点C在⊙O上，且∠ABD=52°，则∠BCD等于( )A.32°B.38°C.52°D.66°4. 点O是△ABC的外心，若∠BOC＝80°，则∠BAC的度数为( ).A.40°B.100°C.40°或140°D.40°或100°5.如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠ADC=140°，则∠AOC的大小是（）．A．80° B．100° C．60° D．40°【答案】1-5 DDBC A二、填空题例题精讲1.（河北中考）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB=8，CD=6，则BE=_______________.【答案】74-【解析】连接OC，∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∴CE=CD21=3，∴7342222=-=-=CEOCOE,∴BE=74-.故答案为74-.2.（娄底中考）如图，在⊙O中，AB为直径，C D为弦，已知∠ACD=40°，则∠BAD=__________度.【答案】50【解析】由圆周角定理知∠B=∠ACD=40°，又由AB为⊙O的直径，知∠ADB=90°，根据直角三角形两锐角互余，求得∠BAD=90°－40°=50°，故答案为50.针对性训练1.如图，在⊙O中，∠OAB＝45°，圆心O到弦AB的距离OE＝2 cm,则弦AB的长为＿＿＿＿＿cm．BA EO2. 如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC＝6，AB＝10，OD⊥BC于点D，则OD的长为________．3.将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使顶点C 在半圆上，点A ，B 的读数分别为100°，150° ，则ACB 的大小为___________度.[4.如图，⊙O 的内接四边形ABCD 中，∠A ＝115°，则∠BOD＝ °．【答案】1—4，分别为4，4，25，130，三、解答题 例题精讲1. （河南中考）如图，AB 是半圆O 的直径，点P 是半圆上不与点A ，B 重合的一个动点，延长BP 到点C ，使PC =PB ，D 是AC 的中点，连接PD ，PO . （1）求证：△CDP ≌△POB ； （2）填空：①若AB =4，则四边形AOPD 的最大面积为 ； ②连接OD ，当∠PBA 的度数为 时，四边形BPDO 为菱形.D OBCPCBD证明：(1)∵O ，P ，D 分别为AB ，BC ，AC 的中点， ∴DP ∥OB ，且DP =OB ，CD ∥OP ，且CD =OP. ∴∠CPD =∠PBO. 在△CDP 和△POB 中，,,CP PB CPD PBO PD OB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，所以△CDP ≌△POB （SAS ） . 解：(2) ①4 ②60°.提示：①∵D，P ，O 分别为AC ，BC ，AB 的中点， ∴DP∥AO，PO∥AD，∴四边形AOPD 为平行四边形，如图，过点P 作PG⊥AB，垂足为G ，AOPD S AO PG =⋅Y ，当PG 取最大值时，平行四边形AOPD 为正方形，∴AOPD S AO PG =⋅Y =4；②若四边形BPDO 为菱形，则BP=OB=2，∵OP=OB，∴△OPB 为等边三角形，∴当∠PBA=60°时，四边形BPDO 为菱形.PCD2. （2016咸宁中考）定义：数学活动课上，乐老师给出如下定义：有一组对边相等而另一组对边不相等的凸四边形叫做对等四边形．理解：（1）如图1，已知A ，B ，C 在格点（小正方形的顶点）上，请在方格图中画出以格点为顶点，AB 、BC 为边的两个对等四边形ABCD ；（2）如图2，在圆内接四边形ABCD 中，AB 是⊙O 的直径，AC ＝BD ．求证：四边形ABCD 是对等四边形；（3）如图3，在Rt △PBC 中，∠PCB ＝90°，BC ＝11，tan ∠PBC ＝512，点A 在BP 边上，且AB ＝13．用圆规在PC 上找到符合条件的点D ，使四边形ABCD 为对等四边形，并求出CD 的长．解：（1）如图1所示（画2个即可，答案不唯一）．证明：（2）如图2，连接AC ，BD ．∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝∠ACB ＝90°．在Rt △ADB 和Rt △ACB 中， ,,AB BA BD AC =⎧⎨=⎩，∴Rt △ADB ≌Rt △BCA ． ∴AD ＝BC ．又∵AB 是⊙O 的直径，∴AB ≠CD ．∴四边形ABCD 是对等四边形． 解：（3）如图3，点D 的位置如图所示.若CD ＝AB ，此时点D 在D 1的位置，CD 1＝AB ＝13；②若AD ＝BC ＝11，此时点D 在D 2，D 3的位置，AD 2＝AD 3＝BC ＝11， 过点A 分别作AE ⊥BC ，AF ⊥PC ，垂足为E ，F ，设BE ＝x ， ∵tan ∠PBC ＝125， ∴AE ＝125x ． 在Rt △ABE 中，AE 2＋BE 2＝AB 2，即22212135x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得x 1＝5，x 2=－5（舍去）． ∴BE ＝5，AE ＝12． ∴CE ＝BC －BE ＝6．由四边形AECF 为矩形，可得AF ＝CE ＝6，CF ＝AE ＝12， 在Rt △AFD 2中，22222211685FD AD AF =-=-=，∴221285CD CF FD =-=，321285CD CF FD =+= 综上所述，CD 的长度为13，1285-1285+ 针对性训练1.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧．（1）用直尺和圆规作出所在圆的圆心O ；（要求保留作图痕迹，不写作法）（4分）（2）若»AB 的中点C 到弦AB 的距离为20m ，AB =80m ，求所在圆的半径．（4分）2. 如图，四边形ABCD 为菱形，对角线AC ，BD 相交于点E ．F 是边BA 延长线上一点，连接EF ，以EF 为直径作⊙O ，交边DC 于D ，G 两点，AD 分别与EF ，GF 交于I ，H 两点．（1）求∠FDE 的度数；（2）试判断四边形FACD 的形状，并证明你的结论； （3）当G 为线段DC 的中点时， ①求证：DF =FI ；②设AC =2m ，BD =2n ，求⊙O 的面积与菱形ABCD 的面积之比．HIDGC AOEFB答案1.解：（1）如图1，图1点O 为所求.（2）连接OA ，AB ，OC 交AB 于D ，如图2，∵C 为»AB 的中点，∴OC ⊥AB ，∴AD =BD =12AB =40， 设⊙O 的半径为r ，则OA =r ，OD =OC −CD =r −20， 在Rt △OAD 中，∵OA 2=OD 2+AD 2，∴r2=(r−20)2+402，解得r=50，即所在圆的半径是50m．图22.解：（1）∵EF为⊙O的直径，∴∠FDE=90°．（2）四边形FACD为平行四边形．理由如下：∵四边形ABCD为菱形，∴AB∥CD，AC⊥BD，∴∠AEB=90°．又∵∠FDE=90°，∴AC∥FD．∴四边形FACD为平行四边形．（3）①如图，连接GE．∵在Rt△DEC中，G为CD的中点，¼DG =»EG，∴∠1=∠2．∴EG=DG，∴又∵EF为⊙O的直径，∴∠FGE=90°，∴FG⊥EG．∵G为DC的中点，E为AC的中点，∴GE为△DAC的中位线，∴EG∥AD．∴FG⊥AD，∴∠FHD=∠FHI=90°．由△DHF≌△IHF，可得FD=FI．②∵菱形ABCD ，∴AE =CE =m ，BE =DE =n ，∵四边形FACD 为平行四边形，∴FD =AC =2m =FI ．∵FD ∥AC ，∴∠3=∠8．又∵∠3=∠4=∠7，∴∠7=∠8．∴EI =EA =m ．在Rt △FDE 中，FE ²=FD ²+DE ²，∴（3m ）²=（2m ）²+n ²，解得n 5．∴O S ⊙=π232m ⎛⎫ ⎪⎝⎭=94πm ²，ABCD S 菱形=122m 2n =2mn 5m ²． ∴O S ⊙：ABCD S 菱形=94πm ²：595π．2019-2020学年中考数学模拟试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．如图，若干个全等的正五边形排成环状，图中所示的是前3个正五边形，要完成这一圆环还需正五边形的个数为( )A ．10B ．9C ．8D ．72．如图，将半径为2的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O ，则折痕AB 的长度为（ ）A ．3B ．2C ．23D ．()123+ 3．用圆心角为120°，半径为6cm 的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽（如图所示），则这个纸帽的高是（ ）A ．2 cmB ．32cmC ．42cmD ．4cm4．等腰三角形两边长分别是2 cm 和5 cm ，则这个三角形周长是（ ）A ．9 cmB ．12 cmC ．9 cm 或12 cmD ．14 cm5．填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据这种规律，m 的值应是（ ）A ．110B ．158C ．168D ．1786．如图，⊙O 中，弦BC 与半径OA 相交于点D ，连接AB ，OC ，若∠A=60°，∠ADC=85°，则∠C 的度数是（ ）A ．25°B ．27.5°C ．30°D ．35°7．在半径等于5 cm 的圆内有长为53cm 的弦，则此弦所对的圆周角为A ．60°B ．120°C ．60°或120°D ．30°或120°8．如图，已知二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，给出以下四个结论：①abc=0，②a+b+c ＞0，③a ＞b ，④4ac ﹣b 2＜0；其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．已知O 为圆锥的顶点，M 为圆锥底面上一点，点P 在OM 上．一只蜗牛从P 点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P 点时所爬过的最短路线的痕迹如图所示．若沿OM 将圆锥侧面剪开并展开，所得侧面展开图是（ ）A ．B ．C ．D ． 10．已知关于x 的方程()2kx 1k x 10+--=，下列说法正确的是A ．当k 0=时，方程无解B ．当k 1=时，方程有一个实数解C．当k1=-时，方程有两个相等的实数解D．当k0≠时，方程总有两个不相等的实数解11．已知圆锥的侧面积为10πcm2，侧面展开图的圆心角为36°，则该圆锥的母线长为（）A．100cm B．10cm C．10cm D．1010cm12．某班7名女生的体重（单位：kg）分别是35、37、38、40、42、42、74，这组数据的众数是（）A．74 B．44 C．42 D．40二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．A、B两地相距20km，甲乙两人沿同一条路线从A地到B地．甲先出发，匀速行驶，甲出发1小时后乙再出发，乙以2km/h的速度度匀速行驶1小时后提高速度并继续匀速行驶，结果比甲提前到达．甲、乙两人离开A地的距离y(km)与时间t(h)的关系如图所示，则甲出发_____小时后和乙相遇．14．某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20≤x≤30，且x为整数）出售，可卖出（30﹣x）件．若使利润最大，每件的售价应为______元．15．用半径为6cm，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面圆半径为_______cm．16．将一副三角尺如图所示叠放在一起，则BEEC的值是．17．如图，点A，B在反比例函数y＝1x(x＞0)的图象上，点C，D在反比例函数y＝kx(k＞0)的图象上，AC∥BD∥y轴，已知点A，B的横坐标分别为1，2，△OAC与△ABD的面积之和为32，则k的值为_____．18．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，分别以AC，BC为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，则S1＋S2等_________．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）元旦放假期间，小明和小华准备到西安的大雁塔（记为A）、白鹿原（记为B）、兴庆公园（记为C）、秦岭国家植物园（记为D）中的一个景点去游玩，他们各自在这四个景点中任选一个，每个景点被选中的可能性相同．求小明选择去白鹿原游玩的概率；用树状图或列表的方法求小明和小华都选择去秦岭国家植物园游玩的概率．20．（6分）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED=∠B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且AD DFAC CG=．求证：△ADF∽△ACG；若12ADAC=，求AFFG的值．21．（6分）如图，一个长方形运动场被分隔成A、B、A、B、C共5个区，A区是边长为am的正方形，C区是边长为bm的正方形．列式表示每个B区长方形场地的周长，并将式子化简；列式表示整个长方形运动场的周长，并将式子化简；如果a＝20，b＝10，求整个长方形运动场的面积．22．（8分）如图，已知⊙O经过△ABC的顶点A、B，交边BC于点D，点A恰为»BD的中点，且BD＝8，AC ＝9，sinC ＝13，求⊙O 的半径．23．（8分）如图，图①是某电脑液晶显示器的侧面图，显示屏AO 可以绕点O 旋转一定的角度．研究表明：显示屏顶端A 与底座B 的连线AB 与水平线BC 垂直时(如图②)，人观看屏幕最舒适．此时测得∠BAO ＝15°，AO ＝30 cm ，∠OBC ＝45°，求AB 的长度．(结果精确到0.1 cm)24．（10分）如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，点P 在AC 上运动，点D 在AB 上，PD 始终保持与PA 相等，BD 的垂直平分线交BC 于点E ，交BD 于F ，判断DE 与DP 的位置关系，并说明理由；若6AC =，8BC =，2PA =，求线段DE 的长.25．（10分）如图，已知反比例函数y ＝k x的图象与一次函数y ＝x+b 的图象交于点A(1，4)，点B(﹣4，n)．求n 和b 的值；求△OAB 的面积；直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量x 的取值范围．26．（12分）如图，在电线杆上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面成60°角，在离电线杆6米的B处安置测角仪，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，已知测角仪高AB为1.5米，求拉线CE的长（结果保留根号）．27．（12分）如图，某市郊外景区内一条笔直的公路a经过三个景点A、B、C，•景区管委会又开发了风景优美的景点D，经测量，景点D位于景点A的北偏东30′方向8km处，•位于景点B的正北方向，还位于景点C的北偏西75°方向上，已知AB=5km.景区管委会准备由景点D向公路a修建一条距离最短的公路，不考试其他因素，求出这条公路的长．（结果精确到0.1km）．求景点C与景点D 之间的距离．（结果精确到1km）．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．D【解析】分析：先根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°求出正五边形的每一个内角的度数，再延长五边形的两边相交于一点，并根据四边形的内角和求出这个角的度数，然后根据周角等于360°求出完成这一圆环需要的正五边形的个数，然后减去3即可得解．详解：∵五边形的内角和为（5﹣2）•180°=540°，∴正五边形的每一个内角为540°÷5=18°，如图，延长正五边形的两边相交于点O，则∠1=360°﹣18°×3=360°﹣324°=36°，360°÷36°=1．∵已经有3个五边形，∴1﹣3=7，即完成这一圆环还需7个五边形．故选D．点睛：本题考查了多边形的内角和公式，延长正五边形的两边相交于一点，并求出这个角的度数是解题的关键，注意需要减去已有的3个正五边形．2．C【解析】【分析】过O作OC⊥AB，交圆O于点D，连接OA，由垂径定理得到C为AB的中点，再由折叠得到CD=OC，求出OC的长，在直角三角形AOC中，利用勾股定理求出AC的长，即可确定出AB的长．【详解】过O作OC⊥AB，交圆O于点D，连接OA，由折叠得到CD=OC=12OD=1cm，在Rt△AOC中，根据勾股定理得：AC2+OC2=OA2，即AC2+1=4，解得：cm，则．故选C．【点睛】此题考查了垂径定理，勾股定理，以及翻折的性质，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．3．C【解析】【分析】利用扇形的弧长公式可得扇形的弧长；让扇形的弧长除以2π即为圆锥的底面半径，利用勾股定理可得圆锥形筒的高．【详解】L＝1206180π⨯＝4π（cm）；圆锥的底面半径为4π÷2π＝2（cm），∴=cm）．故选C．【点睛】此题考查了圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥侧面展开图的弧长=2n r180π；圆锥的底面周长等于侧面展开图的弧长；圆锥的底面半径，母线长，高组成以母线长为斜边的直角三角形．4．B【解析】当腰长是2 cm时，因为2+2<5，不符合三角形的三边关系，排除；当腰长是5 cm时，因为5+5>2，符合三角形三边关系，此时周长是12 cm．故选B．5．B【解析】根据排列规律，10下面的数是12，10右面的数是14，∵8=2×4−0，22=4×6−2，44=6×8−4，∴m=12×14−10=158.故选C.6．D【解析】分析：直接利用三角形外角的性质以及邻补角的关系得出∠B以及∠ODC度数，再利用圆周角定理以及三角形内角和定理得出答案．详解：∵∠A=60°，∠ADC=85°，∴∠B=85°-60°=25°，∠CDO=95°，∴∠AOC=2∠B=50°，∴∠C=180°-95°-50°=35°故选D．点睛：此题主要考查了圆周角定理以及三角形内角和定理等知识，正确得出∠AOC度数是解题关键．7．C【解析】【分析】根据题意画出相应的图形，由OD⊥AB，利用垂径定理得到D为AB的中点，由AB的长求出AD与BD的长，且得出OD为角平分线，在Rt△AOD中，利用锐角三角函数定义及特殊角的三角函数值求出∠AOD的度数，进而确定出∠AOB的度数，利用同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，即可求出弦AB所对圆周角的度数．【详解】如图所示，∵OD⊥AB，∴D为AB的中点，即532在Rt△AOD中，OA=5，53 2∴sin∠AOD=53325，又∵∠AOD为锐角，∴∠AOD=60°，∴∠AOB=120°，∴∠ACB=12∠AOB=60°，又∵圆内接四边形AEBC对角互补，∴∠AEB=120°，则此弦所对的圆周角为60°或120°．故选C．【点睛】此题考查了垂径定理，圆周角定理，特殊角的三角函数值，以及锐角三角函数定义，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．8．C【解析】【详解】根据图像可得：a<0，b<0，c=0，即abc=0，则①正确；当x=1时，y<0，即a+b+c<0，则②错误；根据对称轴可得：－=－，则b=3a，根据a<0，b<0可得：a>b；则③正确；根据函数与x轴有两个交点可得：－4ac>0，则④正确.故选C.【点睛】本题考查二次函数的性质.能通过图象分析a，b，c的正负，以及通过一些特殊点的位置得出a，b，c之间的关系是解题关键.9．D【解析】【分析】此题运用圆锥的性质，同时此题为数学知识的应用，由题意蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短，就用到两点间线段最短定理．【详解】解：蜗牛绕圆锥侧面爬行的最短路线应该是一条线段，因此选项A 和B 错误，又因为蜗牛从p 点出发，绕圆锥侧面爬行后，又回到起始点P 处，那么如果将选项C 、D 的圆锥侧面展开图还原成圆锥后，位于母线OM 上的点P 应该能够与母线OM′上的点（P′）重合，而选项C 还原后两个点不能够重合．故选D ．点评：本题考核立意相对较新，考核了学生的空间想象能力．10．C【解析】当k 0=时，方程为一元一次方程x 10-=有唯一解．当k 0≠时，方程为一元二次方程，的情况由根的判别式确定：∵()()()221k 4k 1k 1∆=--⋅⋅-=+， ∴当k 1=-时，方程有两个相等的实数解，当k 0≠且k 1≠-时，方程有两个不相等的实数解．综上所述，说法C 正确．故选C ．11．C【解析】【分析】圆锥的侧面展开图是扇形，利用扇形的面积公式可求得圆锥的母线长．【详解】设母线长为R ，则圆锥的侧面积=236360R π=10π， ∴R=10cm ，故选C ．【点睛】本题考查了圆锥的计算，熟练掌握扇形面积是解题的关键.12．C【解析】试题分析：众数是这组数据中出现次数最多的数据，在这组数据中42出现次数最多，故选C. 考点：众数.二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．165【解析】【分析】由图象得出解析式后联立方程组解答即可．【详解】由图象可得：y 甲=4t （0≤t≤5）；y 乙=()()2112916(24)t t t t ＜⎧-≤≤⎨-≤⎩； 由方程组4916y t y t ⎧⎨-⎩＝＝，解得t=165． 故答案为165． 【点睛】此题考查一次函数的应用，关键是由图象得出解析式解答．14．3【解析】试题分析：设最大利润为w 元，则w=（x ﹣30）（30﹣x ）=﹣（x ﹣3）3+3，∵30≤x≤30，∴当x=3时，二次函数有最大值3，故答案为3．考点：3．二次函数的应用；3．销售问题．15．1．【解析】【详解】解：设圆锥的底面圆半径为r ，根据题意得1πr=208161π⨯， 解得r=1，即圆锥的底面圆半径为1cm ．故答案为：1．【点睛】本题考查圆锥的计算，掌握公式正确计算是解题关键．16．33 【解析】 试题分析：∵∠BAC=∠ACD=90°，∴AB ∥CD ．∴△ABE ∽△DCE ．∴BE AB EC CD=． ∵在Rt △ACB 中∠B=45°，∴AB=AC ． ∵在RtACD 中，∠D=30°，∴AC CD 3AC tan30==︒． ∴BE AB 3EC CD 33AC ===． 17．1【解析】【分析】过A 作x 轴垂线，过B 作x 轴垂线，求出A （1，1），B （2，12），C （1，k ），D （2，2k ），将面积进行转换S △OAC ＝S △COM ﹣S △AOM ，S △ABD ＝S 梯形AMND ﹣S 梯形AAMNB 进而求解．【详解】解：过A 作x 轴垂线，过B 作x 轴垂线，点A ，B 在反比例函数y ＝1x （x ＞0）的图象上，点A ，B 的横坐标分别为1，2， ∴A （1，1），B （2，12）， ∵AC ∥BD ∥y 轴，∴C （1，k ），D （2，2k ）， ∵△OAC 与△ABD 的面积之和为32， 111112222OAC COM AOMk S S S k ∴=-=⨯-⨯⨯=-V V V ，S △ABD ＝S 梯形AMND ﹣S 梯形AAMNB 1k 11k 1111122224-⎛⎫⎛⎫=+⨯-⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 1132242k k -∴-+=， ∴k ＝1，故答案为1．【点睛】本题考查反比例函数的性质，k 的几何意义．能够将三角形面积进行合理的转换是解题的关键． 18．2π【解析】 试题解析：2222121111ππππ228228AC BC S AC S BC ⎛⎫⎛⎫=⋅==⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，， 所以()22212111πππ162π888S S AC BC AB +=+==⨯=． 故答案为2π．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19．（1）14；（2）116 【解析】【分析】（1）利用概率公式直接计算即可；（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小明和小华都选择去同一个地方游玩的情况，再利用概率公式即可求得答案．【详解】（1）∵小明准备到西安的大雁塔（记为A ）、白鹿原（记为B ）、兴庆公园（记为C ）、秦岭国家植物园（记为D ）中的一个景点去游玩，∴小明选择去白鹿原游玩的概率＝14； （2）画树状图分析如下：两人选择的方案共有16种等可能的结果，其中选择同种方案有1种，所以小明和小华都选择去秦岭国家植物园游玩的概率＝1 16．【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．20．(1)证明见解析；（2）1.【解析】（1）欲证明△ADF∽△ACG，由可知，只要证明∠ADF=∠C即可．（2）利用相似三角形的性质得到，由此即可证明．【解答】（1）证明：∵∠AED=∠B，∠DAE=∠DAE，∴∠ADF=∠C，∵，∴△ADF∽△ACG．（2）解：∵△ADF∽△ACG，∴，又∵，∴，∴1．21．（1）4a（2）8a（3）1500S【解析】试题分析：（1）结合图形可得矩形B的长可表示为：a+b，宽可表示为：a-b，继而可表示出周长；（2）根据题意表示出整个矩形的长和宽，再求周长即可；（3）先表示出整个矩形的面积，然后代入计算即可．试题解析：（1）矩形B的长可表示为：a+b，宽可表示为：a-b，∴每个B区矩形场地的周长为：2（a+b+a-b）=4a；（2）整个矩形的长为a+a+b=2a+b，宽为：a+a-b=2a-b，∴整个矩形的周长为：2（2a+b+2a-b ）=8a ；（3）矩形的面积为：S=（2a+b ）（2a-b ）=224a b - ，把20a =，10b =代入得，S=4×202-102=4×400-100=1500.点睛：本题考查了列代数式的知识，属于基础题，解答本题的关键是结合图形表示出各矩形的长和宽．22．⊙O 的半径为256． 【解析】【分析】如图，连接OA ．交BC 于H ．首先证明OA ⊥BC ，在Rt △ACH 中，求出AH ，设⊙O 的半径为r ，在Rt △BOH 中，根据BH 2+OH 2＝OB 2，构建方程即可解决问题。

2017中考数学真题汇编-----用相似三角形解决问题(解)

2017中考数学真题汇编-----用相似三角形解决问题(解)

中考数学真题汇编-----用相似三角形解决问题（解答题）1．已知正方形ABCD，点M为边AB的中点．（1）如图1，点G为线段CM上的一点，且∠AGB=90°，延长AG、BG分别与边BC、CD交于点E、F．①求证：BE=CF；②求证：BE2=BC?CE．（2）如图2，在边BC上取一点E，满足BE2=BC?CE，连接AE交CM于点G，连接BG并延长交CD于点F，求tan∠CBF的值．2．已知四边形ABCD的一组对边AD、BC的延长线交于点E．（1）如图1，若∠ABC=∠ADC=90°，求证：ED?EA=EC?EB；（2）如图2，若∠ABC=120°，cos∠ADC=，CD=5，AB=12，△CDE的面积为6，求四边形ABCD的面积；（3）如图3，另一组对边AB、DC的延长线相交于点F．若cos∠ABC=cos∠ADC=，CD=5，CF=ED=n，直接写出AD的长（用含n的式子表示）3．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，将矩形ABCD绕点C按顺时针方向旋转α角，得到矩形A'B'C'D'，B'C与AD交于点E，AD的延长线与A'D'交于点F．（1）如图①，当α=60°时，连接DD'，求DD'和A'F的长；（2）如图②，当矩形A'B'CD'的顶点A'落在CD的延长线上时，求EF的长；（3）如图③，当AE=EF时，连接AC，CF，求AC?CF的值．4．如图，OF是∠MON的平分线，点A在射线OM上，P，Q是直线ON上的两动点，点Q在点P的右侧，且PQ=OA，作线段OQ的垂直平分线，分别交直线OF、ON于点B、点C，连接AB、PB．（1）如图1，当P、Q两点都在射线ON上时，请直接写出线段AB与PB的数量关系；（2）如图2，当P、Q两点都在射线ON的反向延长线上时，线段AB，PB是否还存在（1）中的数量关系？若存在，请写出证明过程；若不存在，请说明理由；（3）如图3，∠MON=60°，连接AP，设=k，当P和Q两点都在射线ON上移动时，k是否存在最小值？若存在，请直接写出k的最小值；若不存在，请说明理由．5．如图1所示，在△ABC中，点O是AC上一点，过点O的直线与AB，BC的延长线分别相交于点M，N．【问题引入】（1）若点O是AC的中点，=，求的值；温馨提示：过点A作MN的平行线交BN的延长线于点G．【探索研究】（2）若点O是AC上任意一点（不与A，C重合），求证：??=1；【拓展应用】（3）如图2所示，点P是△ABC内任意一点，射线AP，BP，CP分别交BC，AC，AB于点D，E，F，若=，=，求的值．6．已知，在△ABC中，点D在AB上，点E是BC延长线上一点，且AD=CE，连接DE交AC于点F．（1）猜想证明：如图1，在△ABC中，若AB=BC，学生们发现：DF=EF．下面是两位学生的证明思路：思路1：过点D作DG∥BC，交AC于点G，可证△DFG≌△EFC得出结论；思路2：过点E作EH∥AB，交AC的延长线于点H，可证△ADF≌△HEF得出结论；…请你参考上面的思路，证明DF=EF（只用一种方法证明即可）．（2）类比探究：在（1）的条件下（如图1），过点D作DM⊥AC于点M，试探究线段AM，MF，FC之间满足的数量关系，并证明你的结论．（3）延伸拓展：如图2，在△ABC中，若AB=AC，∠ABC=2∠BAC，=m，请你用尺规作图在图2中作出AD的垂直平分线交AC于点N（不写作法，只保留作图痕迹），并用含m的代数式直接表示的值．7．在现实生活中，我们经常会看到许多“标准”的矩形，如我们的课本封面、A4的打印纸等，其实这些矩形的长与宽之比都为：1，我们不妨就把这样的矩形称为“标准矩形”，在“标准矩形”ABCD中，P为DC边上一定点，且CP=BC，如图所示．（1）如图①，求证：BA=BP；（2）如图②，点Q在DC上，且DQ=CP，若G为BC边上一动点，当△AGQ的周长最小时，求的值；（3）如图③，已知AD=1，在（2）的条件下，连接AG并延长交DC的延长线于点F，连接BF，T为BF的中点，M、N分别为线段PF与AB上的动点，且始终保持PM=BN，请证明：△MNT的面积S为定值，并求出这个定值．8．如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=2，点D是BC边上的一个动点（不与B、C重合），在AC上取一点E，使∠ADE=30°．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式并写出自变量x的取值范围；（3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．9．如图1，在平面直角坐标系中，直线MN分别与x轴、y轴交于点M（6，0），N（0，2），等边△ABC的顶点B与原点O重合，BC边落在x轴正半轴上，点A恰好落在线段MN上，将等边△ABC从图l的位置沿x轴正方向以每秒l个单位长度的速度平移，边AB，AC分别与线段MN交于点E，F（如图2所示），设△ABC平移的时间为t（s）．（1）等边△ABC的边长为；（2）在运动过程中，当t=时，MN垂直平分AB；（3）若在△ABC开始平移的同时．点P从△ABC的顶点B出发．以每秒2个单位长度的速度沿折线BA﹣AC运动．当点P运动到C时即停止运动．△ABC也随之停止平移．①当点P在线段BA上运动时，若△PEF与△MNO相似．求t的值；②当点P在线段AC上运动时，设S△PEF=S，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值及此时点P的坐标．10．（1）阅读理解：如图①，在四边形ABCD中，AB∥DC，E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试判断AB，AD，DC之间的等量关系．解决此问题可以用如下方法：延长AE交DC的延长线于点F，易证△AEB≌△FEC，得到AB=FC，从而把AB，AD，DC转化在一个三角形中即可判断．AB、AD、DC之间的等量关系为；（2）问题探究：如图②，在四边形ABCD中，AB∥DC，AF与DC的延长线交于点F，E是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论．（3）问题解决：如图③，AB∥CF，AE与BC交于点E，BE：EC=2：3，点D在线段AE上，且∠EDF=∠BAE，试判断AB、DF、CF之间的数量关系，并证明你的结论．11．如图，在矩形ABCD中，点E是AD上的一个动点，连结BE，作点A关于BE的对称点F，且点F落在矩形ABCD的内部，连结AF，BF，EF，过点F作GF ⊥AF交AD于点G，设=n．（1）求证：AE=GE；（2）当点F落在AC上时，用含n的代数式表示的值；（3）若AD=4AB，且以点F，C，G为顶点的三角形是直角三角形，求n的值．12．【操作发现】如图①，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上．（1）请按要求画图：将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，点B的对应点为B′，点C的对应点为C′，连接BB′；（2）在（1）所画图形中，∠AB′B=．【问题解决】如图②，在等边三角形ABC中，AC=7，点P在△ABC内，且∠APC=90°，∠BPC=120°，求△APC的面积．小明同学通过观察、分析、思考，对上述问题形成了如下想法：想法一：将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°，得到△AP′Ｂ，连接PP′，寻找PA，PB，PC三条线段之间的数量关系；，连接PP′，寻找想法二：将△APB绕点A按逆时针方向旋转60°，得到△AP′C′PA，PB，PC三条线段之间的数量关系．…请参考小明同学的想法，完成该问题的解答过程．（一种方法即可）【灵活运用】如图③，在四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，∠BAE=∠ADC，BE=CE=2，CD=5，AD=kAB（k为常数），求BD的长（用含k的式子表示）．13．如图，M、N为山两侧的两个村庄，为了两村交通方便，根据国家的惠民政策，政府决定打一直线涵洞．工程人员为了计算工程量，必须计算M、N两点之间的直线距离，选择测量点A、B、C，点B、C分别在AM、AN上，现测得AM=1千米、AN=1.8千米，AB=54米、BC=45米、AC=30米，求M、N两点之间的直线距离．14．如图，某同学相测量旗杆的高度，他在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长1.5米，在同时刻测量旗杆的影长时，因旗杆靠近一楼房，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，他测得落在地面上影长为21米，留在墙上的影高为2米，求旗杆的高度．15．如图，一种拉杆式旅行箱的示意图，箱体长AB=50cm，拉杆最大伸长距离BC=30cm，（点A、B、C在同一条直线上），在箱体的底端装有一圆形滚轮⊙A，其直径为10cm，⊙A与水平地面切于点D，过A作AE∥DM．当人的手自然下垂拉旅行箱时，人感觉较为舒服，已知某人的手自然下垂在点C处且拉杆达到最大延伸距离时，点C距离水平地面（40+5）cm，求此时拉杆箱与水平面AE所成角∠CAE的大小及点B到水平地面的距离．16．小明想用镜子测量一棵松树的高度，但因树旁有一条河，不能测量镜子与树之间的距离，于是他两次利用镜子，如图所示，第一次他把镜子放在C点，人在F点时正好在镜子中看到树尖A；第二次把镜子放在D点，人在G点正好看到树尖A．已知小明的眼睛距离地面 1.70m，量得CD=12m，CF=1.8m，DH=3.8m．请你求出松树的高．17．晚饭后，小聪和小军在社区广场散步，小聪问小军：“你有多高？”小军一时语塞，小聪思考片刻，提议用广场照明灯下的影长及地砖长来测量小军的身高．于是，两人在灯下沿直线NQ移动，如图，当小军正好站在广场的A点（距N点5块地砖长）时，其影长AD恰好为1块地砖长；当小聪正好站在广场的B点（距N点9块地砖长）时，其影长BF恰好为2块地砖长．已知广场地面由边长为0.8米的正方形地砖铺成，小聪的身高BE为1.74米，MN⊥NQ，AC⊥NQ，BE⊥NQ，请你根据以上信息，求出小军身高AC的长（结果精确到0.01米）18．如图，身高1.6米的小明站在距路灯底部O点10米的点A处，他的身高（线段AB）在路灯下的影子为线段AM，已知路灯灯杆OQ垂直于路面．（1）在OQ上画出表示路灯灯泡位置的点P；（2）小明沿AO方向前进到点C，请画出此时表示小明影子的线段CN；（3）若AM=2.5米，求路灯灯泡P到地面的距离．。

河北省2017中考数学复习专题复习三几何解答题 几何综合试题(含答案).

河北省2017中考数学复习专题复习三几何解答题 几何综合试题(含答案).

第5课时几何综合(一)1．(2016·河北考试说明)观察思考某机械装置如图1，图2是它的示意图．其工作原理：滑块Q在平直滑道l上可以左右滑动，在Q滑动的过程中，连杆PQ也随之运动，并且PQ带动连杆OP绕固定点O摆动．在摆动过程中，两连杆的接点P在以OP为半径的⊙O上运动．已知，过点O作OH⊥l于点H，并测得OH＝4分米，PQ＝3分米，OP＝2分米．解决问题(1)点Q与点O间的最小距离是___分米；点Q与点O间的最大距离是___分米；点Q在l上滑到最左端的位置与滑到最右端位置间的距离是___分米；(2)如图3，小勤说：“当点Q滑动到点H的位置时，PQ与⊙O是相切的．”你认为他的判断对吗？为什么？(3)①小王发现：当点P运动到OH上时，点P到l的距离最小．事实上，还存在着点P到l距离最大的位置，此时，点P到l的距离是____分米；②当OP绕点O左右摆动时，所扫过的区域为扇形，求这个扇形面积最大时圆心角的度数．.2．(2016·承德围场模拟)如图1，矩形ABCD的边AB＝4，BC＝3，一简易量角器放置ABCD内，其零度线即半圆O的直径与边AB重合，点A处是0刻度，点B处是180刻度．P点是量角器的半圆弧上一动点，过P点的切线与边BC，CD(或其延长线)分别交于点E，F.设点P处的刻度数为n，∠PAB＝α.(1)当n＝136时，α＝____．写出α与n的关系式；(2)如图2，当n＝120时，求弦AP的长；(3)在P点的运动过程中，线段EB与EP有怎样的数量关系，请予证明；(4)在P点的运动过程中，F点在直线CD上的位置随着α的变化而变化．①当点F与点D重合时，如图3，求α的值；②讨论当F点在线段CD上时，在CD的延长线上时，在DC的延长线上时，对应的α的取值范围分别是多少？3．(2011·河北)如图1至图4中，两平行线AB，CD间的距离均为6，点M为AB上一定点．思考：如图1中，圆心为O的半圆形纸片在AB，CD之间(包括AB，CD)，其直径MN在AB上，MN＝8，点P为半圆上一点，设∠MOP＝α，当α＝___度时，点P到CD的距离最小，最小值为___；探究一：在图1的基础上，以点M为旋转中心，在AB，CD之间顺时针旋转该半圆形纸片，直到不能再转动为止．如图2，得到最大旋转角∠B MO＝___度，此时点N到CD的距离是___；探究二：将图1中的扇形纸片NOP按下面对α的要求剪掉，使扇形纸片MOP绕点M在AB，CD之间顺时针旋转．(1)如图3，当α＝60°时，求在旋转过程中，点P到CD的最小距离，并请指出旋转角∠BMO的最大值；(2)如图4，在扇形纸片MOP旋转过程中，要保证点P能落在直线CD上，请确定α的取值范围．(参考数据：sin49°≈34，cos41°≈34，tan37°≈34)4．(2015·河北)平面上，矩形ABCD与直径为QP的半圆K如图摆放，分别延长DA和QP交于点O，且∠DOQ＝60°，OQ＝OD＝3，OP＝2，OA＝AB＝1.让线段OD及矩形ABCD位置固定，将线段OQ连带着半圆K一起绕着点O按逆时针方向旋转，设旋转角为α(0°≤α≤60°)．发现：(1)当α＝0°，即初始位置时，点P___直线AB上．(填“在”或“不在”)求当α是多少时，OQ经过点B?(2)在OQ旋转过程中，简要说明α是多少时，点P，A间的距离最小？并指出这个最小值；(3)如图2，当点P恰好落在BC边上时．求α及S阴影．拓展：(4)如图3，当线段OQ与CB边交于点M，与BA边交于点N时，设BM＝x(x＞0)，用含x的代数式表示BN的长，并求x的取值范围．探究：(5)当半圆K与矩形ABCD的边相切时，求sinα的值．5．(2016·邯郸模拟)如图1，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝83，半径为3的⊙P与线段BD相切于点M，圆心P 与点C在直线BD的同侧，⊙P沿线段BD从点B向点D滚动．发现：BD＝____，∠CBD的度数为____；拓展：(1)当切点M与点B重合时，求⊙P与矩形ABCD重叠部分的面积；(2)在滚动过程中如图2，求AP的最小值；探究：(3)若⊙P与矩形A BCD的两条对角线都相切，求此时线段BM的长，并直接写出tan∠PBC的值；(4)在滚动过程中如图3，点N是AC上任意一点，直接写出BP＋PN的最小值．.6．(2016·保定高阳模拟)某班课题学习小组对无盖的纸杯进行制作与探究，所要制作的纸杯如图1所示，规格要求杯口直径AB ＝6cm ，杯底直径CD ＝4cm ，杯壁母线AC ＝BD ＝6cm .请你和他们一起解决下列问题：(1)小颖同学先画出了纸杯的侧面展开示意图(如图2，忽略拼接部分)，得到的图形是圆环的一部分．①图2中EF ︵的长为__cm ，MN ︵的长为___cm ，ME ＝NF ＝__cm ；②要想准确画出纸杯侧面的设计图，需要确定MN ︵所在圆的圆心O ，如图3所示，小颖同学发现若将EF ︵，MN ︵近似地看作线段，类比相似三角形的性质可得EF ︵的长MN ︵的长＝OF ON.请你帮她证明这一结论；③根据②中的结论，求MN ︵所在圆的半径r 及它所对的圆心角的度数n ；(2)小颖同学计划利用矩形、正方形纸各一张，分别按如图所示的方式剪出这个纸杯的侧面，求矩形纸片的长和宽以及正方形纸片的边长．第6课时几何综合(二)1．如图，在△ABC中，已知A B＝BC＝CA＝4cm，AD⊥BC于D.点P，Q分别从B，C两点同时出发，其中点P 沿BC向终点C运动，速度为1cm/s；点Q沿CA，AB向终点B运动，速度为2cm/s，设它们运动的时间为x(s)．(1)当x为何值时，PQ⊥AC？x为何值时，PQ⊥AB?(2)设△PQD的面积为y(c m2)，当0<x<2时，求y与x的函数关系式；(3)当0<x<2时，求证：AD平分△PQD的面积．2．(2016·保定模拟)已知，如图，Rt△ABC，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8；O为BC延长线上一点，CO＝3；过点O，A作直线l，将l绕点O逆时针旋转，l与AB交于点D，与AC交于点E，当l与OB重合时，停止旋转；过点D作DM⊥AE于点M，设AD＝x，S△ADE＝S.探究1用含x的代数式表示DM，AM的长；探究2当直线l过AC中点时，求x的值；探究3用含x的代数式表示AE的长；发现求S与x之间的函数关系式；探究4当x为多少时，DO⊥AB?3．(2016·唐山古冶区模拟)在锐角△ABC中，AB＝6，BC＝11，∠ACB＝30°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转得到△A1BC1.(1)如图1，当点C1在线段CA的延长线上时，∠CC1A1＝60°；(2)如图2，连接AA1，CC1，若△ABA1的面积为24，求△CBC1的面积；(3)如图3，点E为线段AB中点，点P在线段AC上运动，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是P1，求在旋转过程中，线段EP1长度的最大值与最小值的差．4．(2016·石家庄模拟)如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(3，4)，点B在x轴的正半轴上，∠ABO＝45°.过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l∥y轴．(1)求B点的坐标；(2)如图2，动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O－C－A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移．在平移过程中，直线l交x轴于点D，交线段BA或线段AO于点E.当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动，设动点P的运动时间为t(s)．①求△PAD的面积S与t之间的函数关系式；②当t为何值时，S＝8；③点P在CA上运动时，是否存在以点A为圆心，AE长为半径的⊙A与坐标轴相切？如果存在，求出t的值；如果不存在，请说明理由．5．(2013·河北)一透明的敞口正方体容器ABCD －A ′B′C′D′装有一些液体，棱AB 始终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为α(∠CBE ＝α，如图1所示)．探究：如图1，液面刚好过棱CD ，并与棱BB′交于点Q ，此时液体的形状为直三棱柱，其三视图及尺寸如图2所示．解决问题：(1)CQ 与BE 的位置关系是_____，BQ 的长是____dm ；(2)求液体的体积(参考算法：直棱柱体积V 液＝底面积S △BCQ ×高AB)；(3)求α的度数：(注：sin 49°＝cos 41°≈34，tan 37°≈34)拓展：(4)在图1的基础上，以棱AB 为轴将容器向左或向右旋转，但不能使液体溢出，图3或图4是其正面示意图．若液面与棱C′C 或CB 交于点P ，设PC ＝x ，BQ ＝y .分别就图3和图4求y 与x 的函数关系式，并写出相应的α的范围；延伸：(5)在图4的基础上，于容器底部正中间位置，嵌入一平行于侧面的长方形隔板(厚度忽略不计)，得到图5，隔板高NM ＝1dm ，BM ＝CM ，NM ⊥BC.继续向右缓慢旋转，当α＝60°时，通过计算，判断溢出容器的液体能否达到4dm 3.答案第5课时几何综合(一)1．(2016·河北考试说明)观察思考某机械装置如图1，图2是它的示意图．其工作原理：滑块Q在平直滑道l上可以左右滑动，在Q滑动的过程中，连杆PQ也随之运动，并且PQ带动连杆OP绕固定点O摆动．在摆动过程中，两连杆的接点P在以OP为半径的⊙O上运动．已知，过点O作OH⊥l于点H，并测得OH＝4分米，PQ＝3分米，OP＝2分米．解决问题(1)点Q与点O间的最小距离是4分米；点Q与点O间的最大距离是5分米；点Q在l上滑到最左端的位置与滑到最右端位置间的距离是6分米；(2)如图3，小勤说：“当点Q滑动到点H的位置时，PQ与⊙O是相切的．”你认为他的判断对吗？为什么？(3)①小王发现：当点P运动到OH上时，点P到l的距离最小．事实上，还存在着点P到l距离最大的位置，此时，点P到l的距离是3分米；②当OP绕点O左右摆动时，所扫过的区域为扇形，求这个扇形面积最大时圆心角的度数．解：(2)不对．∵OP＝2，PQ＝3，OQ＝4，且42≠32＋22，即OQ2≠PQ2＋OP2，∴OP与PQ不垂直，∴PQ与⊙O不相切．(3)如图4，②由①知，在⊙O上存在点P，P′到l的距离为3分米，此时，OP将不能再向下转动，如图所示，OP 在绕点O左右摆动过程中所扫过的最大扇形就是P′OP.连接P′P，交OH于点D.∵PQ，P′Q′均与l垂直，且PQ＝P′Q′＝3，∴四边形PQQ′P′是矩形，OH⊥PP′，PD＝P′D.由OP＝2，OD＝OH－HD＝1，得∠DOP＝60°.∴∠POP′＝120°.∴所求最大圆心角的度数为120°.2．(2016·承德围场模拟)如图1，矩形ABCD的边AB＝4，BC＝3，一简易量角器放置ABCD内，其零度线即半圆O的直径与边AB重合，点A处是0刻度，点B处是180刻度．P点是量角器的半圆弧上一动点，过P点的切线与边BC ，CD(或其延长线)分别交于点E ，F.设点P 处的刻度数为n ，∠PAB ＝α.(1)当n ＝136时，α＝22°．写出α与n 的关系式；(2)如图2，当n ＝120时，求弦AP 的长；(3)在P 点的运动过程中，线段EB 与EP 有怎样的数量关系，请予证明；(4)在P 点的运动过程中，F 点在直线CD 上的位置随着α的变化而变化．①当点F 与点D 重合时，如图3，求α的值；(参考数据：tan 56.3°≈1.5，tan 33.7°≈0.7，tan 67.4°≈2.4)②讨论当F 点在线段CD 上时，在CD 的延长线上时，在DC 的延长线上时，对应的α的取值范围分别是多少？解：(1)连接OP.由题意可知∠AOP ＝n °.∵AO ＝PO ，∴∠OPA ＝∠PAB.∵∠OPA ＋∠PAB ＋∠AOP ＝180°，∴n °＋2α＝180°.∴α＝90°－12n °.(2)由(1)，知α＝90°－12n °.当n ＝120时，α＝30°.即∠PAB ＝30°.连接OP ，过O 作OH ⊥AP 于点H ，则AP ＝2AH.在Rt △AOH 中，AO ＝12AB ＝2，∠PAB ＝30°，∴OH ＝12AO ＝1，AH ＝AO 2－OH 2＝ 3.∴AP ＝2AH ＝2 3.(3)EB ＝EP.证明：∵四边形ABCD 为矩形，∴∠ABC ＝90°.∴BE 为半圆O 的切线．又∵EP 为半圆O 的切线，∴PE ＝EB.(4)①连接OP ，DO.∵DA ，DP 分别为半圆O 的切线，∴DP ＝DA ，∠ADO ＝∠PDO.∴DO ⊥AP.∴∠DAP ＋∠ADO ＝90°.又∵∠DAP ＋∠PAB ＝90°，∴∠ADO ＝∠PAB.在Rt △ADO 中，tan ∠ADO ＝AO AD ＝23＝0.6.≈0.7.∵tan 33.7°≈0.7.∴∠ADO≈33.7°.∴α≈33.7°.②由①，知D ，F 重合时，α≈33.7°.当∠POB ＝90°时，显然过点P 的切线与CD 平行，此时α＝45°.如图5，当点E 与点C 重合时，由切线长的性质知CP ＝CB ＝3，PQ ＝AQ ，∠AQO ＝∠PQO.∴OQ ⊥AP.∴∠QAP ＋∠AQO ＝90°.又∵∠QAO ＝90°，∴∠BAP ＋∠QAP ＝90°.∴∠AQO ＝∠BAP.在Rt △DQC 中，DC ＝4，DQ ＝3－AQ ，CQ ＝PQ ＋PC ＝AQ ＋3，∴42＋(3－AQ)2＝(AQ ＋3)2.∴AQ ＝43.在Rt △AQO 中，tan ∠AQO ＝AO AQ ＝243＝32.∵tan 56.3°≈32，∴∠AQO≈56.3°，∴∠BAP≈56.3°，即α≈56.3°.∴结合图形以及以上临界状态可知：当F 在线段CD 上时，0＜α≤33.7°或56.3°≤α＜90°；当F 在CD 的延长线上时，33.7°＜α＜45°；当F 在DC 的延长线上时，45°＜α＜56.3°.3．(2011·河北)如图1至图4中，两平行线AB ，CD 间的距离均为6，点M 为AB 上一定点．思考：如图1中，圆心为O 的半圆形纸片在AB ，CD 之间(包括AB ，CD)，其直径MN 在AB 上，MN ＝8，点P 为半圆上一点，设∠MOP ＝α，当α＝90度时，点P 到CD 的距离最小，最小值为2；探究一：在图1的基础上，以点M 为旋转中心，在AB ，CD 之间顺时针旋转该半圆形纸片，直到不能再转动为止．如图2，得到最大旋转角∠B MO ＝30度，此时点N 到CD 的距离是2；探究二：将图1中的扇形纸片NOP 按下面对α的要求剪掉，使扇形纸片MOP 绕点M 在AB ，CD 之间顺时针旋转．(1)如图3，当α＝60°时，求在旋转过程中，点P 到CD 的最小距离，并请指出旋转角∠BMO 的最大值；(2)如图4，在扇形纸片MOP 旋转过程中，要保证点P 能落在直线CD 上，请确定α的取值范围．(参考数据：sin 49°≈34，cos 41°≈34，tan 37°≈34)解：探究二：(1)由已知得出M 与P 的距离为4，∴PM ⊥AB 时，点MP 到AB 的最大距离是4，从而点P 到CD 的最小距离为6－4＝2，当扇形MOP 在AB ，CD 之间旋转到不能再转时，MP ︵与AB 相切，此时旋转角最大，∠BMO 的最大值为90°.(2)由探究一可知，点P 是MP ︵与CD 的切点时，α达到最大，即OP ⊥CD ，α最大值为120°；如图4，当点P 在CD 上，且MP ⊥CD 时，α达到最小，连接MP ，作HO ⊥MP 于点H ，由垂径定理，得出MH ＝3，在Rt △MOH 中，MO ＝4，∴sin ∠MOH ＝MH OM ＝34.∴∠MOH≈49°.∵α＝2∠MOH ，∴α最小为98°，∴α的取值范围为98°≤α≤120°.4．(2015·河北)平面上，矩形ABCD 与直径为QP 的半圆K 如图摆放，分别延长DA 和QP 交于点O ，且∠DOQ ＝60°，OQ ＝OD ＝3，OP ＝2，OA ＝AB ＝1.让线段OD 及矩形ABCD 位置固定，将线段OQ 连带着半圆K 一起绕着点O 按逆时针方向旋转，设旋转角为α(0°≤α≤60°)．发现：(1)当α＝0°，即初始位置时，点P 在直线AB 上．(填“在”或“不在”)求当α是多少时，OQ 经过点B?(2)在OQ 旋转过程中，简要说明α是多少时，点P ，A 间的距离最小？并指出这个最小值；(3)如图2，当点P 恰好落在BC 边上时．求α及S 阴影．拓展：(4)如图3，当线段OQ 与CB 边交于点M ，与BA 边交于点N 时，设BM ＝x (x ＞0)，用含x 的代数式表示BN 的长，并求x 的取值范围．探究：(5)当半圆K 与矩形ABCD 的边相切时，求sin α的值．解：(1)当OQ 过点B 时，在Rt △OAB 中，AO ＝AB ，得∠DOQ ＝∠ABO ＝45°，∴α＝60°－45°＝15°.(2)在△OAP 中，OA ＋AP≥OP ，当OP 过点A ，即α＝60°时OA ＋AP ＝OP 成立．∴AP≥OP －OA ＝2－1＝1.∴当α＝60°，P ，A 间的距离最小．PA 的最小值为1.(3)设半圆K 与BC 交点为R ，连接RK ，AP.过点P 作PH ⊥AD 于点H ，过点R 作RE ⊥KQ 于点E.在Rt △OPH 中，PH ＝AB ＝1，OP ＝2，∴∠POH ＝30°.∴α＝60°－30°＝30°.∵AD ∥BC ，∴∠OPB ＝∠RPQ ＝∠POH ＝30°，∴∠RKQ ＝2×30°＝60°.∴S 扇形RKQ ＝60π×（12）2360＝π24.在R t △RKE ，RE ＝RK ·si n 60°＝34，∴S △RKP ＝12PK ·RE ＝316.∴S 阴影＝π24＋316.(4)∠OAN ＝∠MBN ＝90°，∠ANO ＝∠BNM ，∴△AON ∽△BMN .∴AN BN ＝AO BM ，即1－BN BN ＝1x .∴BN ＝x x ＋1.如图4，当点Q 落在BC 上时，x 取得最大值，作QF ⊥AD 于点F .BQ ＝AF ＝OQ 2－QF 2－AO ＝32－12－1＝22－1.∴x 的范围是0＜x ≤22－1.(5)半圆与矩形相切，分三种情况：①如图5，半圆K 与BC 切于点T ，设直线KT 与AD 和OQ 的初始位置所在直线分别交于点S ，O ′，则∠KSO ＝∠KTB ＝90°，作KG ⊥OO ′于点G .R t △OSK 中，OS ＝OK 2－SK 2＝（52）2－（32）2＝2.R t △OSO ′中，SO ′＝OS ·t a n 60°＝23，∴KO ′＝23－32.R t △KGO ′中，∠O ′＝30°，∴KG ＝12KO ′＝3－34.R t △OGK 中，si nα＝KG OK ＝3－3452＝43－310；②半圆K 与AD 切于点T ，如图6，同理可得si nα＝KG OK ＝12O ′K 52＝12（O ′T －KT ）52＝12×[3×（52）2－（12）2－12]55＝62－110；③当半圆K 与CD 相切时，点Q 与点D 重合，且D 点为切点．α＝60°.∴si nα＝si n 60°＝32.综上所述，si nα的值为43－310或62－110或32.5．(2016·邯郸模拟)如图1，矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝83，半径为3的⊙P 与线段BD 相切于点M ，圆心P 与点C 在直线BD 的同侧，⊙P 沿线段BD 从点B 向点D 滚动．发现：BD ＝16，∠CBD 的度数为30°；拓展：(1)当切点M 与点B 重合时，求⊙P 与矩形ABCD 重叠部分的面积；(2)在滚动过程中如图2，求AP 的最小值；探究：(3)若⊙P 与矩形A BCD 的两条对角线都相切，求此时线段BM 的长，并直接写出tan ∠PBC 的值；(4)在滚动过程中如图3，点N 是AC 上任意一点，直接写出BP ＋PN 的最小值．解：拓展：(1)连接PH ，过点P 作PG ⊥BC 于点G.∵⊙P 与BD 相切，∴∠PBD ＝90°.又∵∠CBD ＝30°，∴∠PBC ＝60°.∵PB ＝PH ，∴△PBH 为等边三角形．∴∠BPH ＝60°.∵PG ⊥BC ，∴∠GPH ＝12∠BPH ＝30°.在Rt △GPH 中，cos 30°＝PG PH ＝PG 3，∴PG ＝32.∴S △PBH ＝12BH·PG ＝12×3×32＝343.∴S 重叠＝S 扇形PBH －S △PBH ＝60×π×（3）2360－343＝π2－343.(2)过点P 作直线l ∥BD ，显然⊙P 在移动的过程中，圆心P 在直线l 上，过点A 作AP′⊥l 于点P′，交BD 于点G′，则当⊙P 的圆心移动到点P′处时，AP 取最小值，长度为AP′.∵AP′⊥l ，BD ∥l ，∴AP′⊥BD.∵S △ABD ＝12AB·AD ，S △ABD ＝12BD·AG′.∴AB·AD ＝BD·AG′.又∵AB ＝8，AD ＝BC ＝83，BD ＝16，∴AG′＝4 3.∴AP′＝AG′＋P′G′＝43＋3＝5 3.∴AP 的最小值为5 3.探究：(3)如图4，当P 在△BOC 内时，∵OB ，OC 与⊙P 相切，∴∠BOP ＝∠COP ＝12∠BOC ＝12×120°＝60°.在Rt △POM 中，tan ∠BOP ＝PM OM，∴OM ＝3tan 60°＝1.∴BM ＝OB －OM ＝12BD －1＝8－1＝7.此时tan ∠PBC ＝36.如图5，当P 在△COD 内时，∵OD ，OC 与⊙P 相切，∴∠DOP ＝∠COP ＝12∠COD ＝30°.∴在Rt △POM 中，tan 30°＝PM OM.∴OM ＝333＝3.∴BM ＝OB ＋OM ＝8＋3＝11.此时tan ∠PBC ＝293.(4)如图6，BP ＋PN 的最小值为53.6．(2016·保定高阳模拟)某班课题学习小组对无盖的纸杯进行制作与探究，所要制作的纸杯如图1所示，规格要求杯口直径AB ＝6cm ，杯底直径CD ＝4cm ，杯壁母线AC ＝BD ＝6cm .请你和他们一起解决下列问题：(1)小颖同学先画出了纸杯的侧面展开示意图(如图2，忽略拼接部分)，得到的图形是圆环的一部分．①图2中EF ︵的长为6πcm ，MN ︵的长为4πcm ，ME ＝NF ＝6cm ；②要想准确画出纸杯侧面的设计图，需要确定MN ︵所在圆的圆心O ，如图3所示，小颖同学发现若将EF ︵，MN ︵近似地看作线段，类比相似三角形的性质可得EF ︵的长MN ︵的长＝OF ON.请你帮她证明这一结论；③根据②中的结论，求MN ︵所在圆的半径r 及它所对的圆心角的度数n ；(2)小颖同学计划利用矩形、正方形纸各一张，分别按如图所示的方式剪出这个纸杯的侧面，求矩形纸片的长和宽以及正方形纸片的边长．解：(1)②设MN ︵所在圆的半径为r ，所对圆心角度数为n ，则MN ︵的长度为n πr 180，EF ︵的长为n π（r ＋FN ）180，所以lEF ︵lMN ︵＝n π（r ＋FN ）180n πr 180，即lEF ︵lMN ︵＝r ＋NF r ＝ON ＋NF ON ＝OF ON .③由②得，lEF ︵lMN︵＝OF ON ，即6π4π＝r ＋6r ，计算得出r ＝12.∵MN ︵的长为n πr 180，∴n πr 180＝4π，即n π×12180＝4π，计算得出n ＝60，即MN ︵所在圆的半径r 等于12cm ，它所对的圆心角的度数为60°.(2)如图4，延长EM 交FN 的延长线于点O ，∵∠MON ＝60°，∴△MON 和△EOF 是等边三角形．∴EF ＝长方形的长＝12＋6＝18(cm )．设RS 与EF ︵交于点P ，OP 交ZX 于点Q ，连接OP ，∴OQ ⊥MN ，MQ ＝QN.在Rt △OQN 中，∠QON ＝30°，OQ ＝ON·c os 30°＝63，∴长方形的宽＝(18－63)cm .如图5，连接EF ，同理得△EFO 为等边三角形，∴EF ＝OE ＝18.在Rt △BEF 中，BE ＝BF ，∴BE ＝BF ＝9 2.设正方形边长为x cm ，则AE ＝x －9 2.即x 2＋(x －92)2＝182，解得x 1＝92(2＋6)，x 2＝92(2－6)(舍去)．∴正方形边长为92(2＋6)cm .第6课时几何综合(二)1．如图，在△ABC 中，已知A B ＝BC ＝CA ＝4cm ，AD ⊥BC 于D.点P ，Q 分别从B ，C 两点同时出发，其中点P 沿BC 向终点C 运动，速度为1cm /s ；点Q 沿CA ，AB 向终点B 运动，速度为2cm /s ，设它们运动的时间为x (s )．(1)当x 为何值时，PQ ⊥AC ？x 为何值时，PQ ⊥AB?(2)设△PQD 的面积为y (c m 2)，当0<x <2时，求y 与x 的函数关系式；(3)当0<x <2时，求证：AD 平分△PQD 的面积．解：(1)当Q 在AB 上时，显然PQ 不垂直于AC.当Q 在AC 上时，由题意，得BP ＝x ，CQ ＝2x ，PC ＝4－x .∵AB ＝BC ＝CA ＝4，∴△ABC 为等边三角形，∠C ＝60°.若PQ ⊥AC ，则有∠QPC ＝30°，∴PC ＝2CQ.∴4－x ＝2×2x ，解得x ＝45.故x ＝45(Q 在AC 上)时，PQ ⊥AC.当Q 在AC 上时，显然PQ 不垂直于AB.当Q 在AB 上时，若PQ ⊥AB ，则BP ＝x ，BQ ＝12x ，AC ＋AQ ＝2x .∵AC ＝4，∴AQ ＝2x －4.∴2x －4＋12x ＝4，解得x ＝165.故x ＝165时(Q 在AB 上)，PQ ⊥AB.(2)当0<x <2时，点P 在BD 上，点Q 在AC 上，过点Q 作QH ⊥BC 于点H.∵∠C ＝60°，QC ＝2x ，∴QH ＝QC·sin 60°＝3x .∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴BD ＝CD ＝12BC ＝2.∴DP ＝2－x .∴y ＝12PD·QH ＝12(2－x )·3x ＝－32x 2＋3x .(3)证明：当0<x <2时，在Rt △QHC 中，QC ＝2x ，∠C ＝60°，∴HC ＝x .∴BP ＝HC.∵BD ＝CD ，∴DP ＝DH.∵AD ⊥BC ，QH ⊥BC ，∴AD ∥QH.∴OP ＝OQ.∴S △PDO ＝S △DQO .∴AD 平分△PQD 的面积．2．(2016·保定模拟)已知，如图，Rt △ABC ，∠ACB ＝90°，BC ＝6，AC ＝8；O 为BC 延长线上一点，CO ＝3；过点O ，A 作直线l ，将l 绕点O 逆时针旋转，l 与AB 交于点D ，与AC 交于点E ，当l 与OB 重合时，停止旋转；过点D 作DM ⊥AE 于点M ，设AD ＝x ，S △ADE ＝S.探究1用含x 的代数式表示DM ，AM 的长；探究2当直线l 过AC 中点时，求x 的值；探究3用含x 的代数式表示AE 的长；发现求S 与x 之间的函数关系式；探究4当x 为多少时，DO ⊥AB?解：探究1：在Rt △ABC 中，BC ＝6，AC ＝8，∴由勾股定理，得AB ＝BC 2＋AC 2＝10.∵∠AMD ＝∠ACB ＝90°，∠DAM ＝∠BAC ，∴△ADM ∽△ABC.∴AD AB ＝DM BC ＝AM AC，即x 10＝DM 6＝AM 8.∴DM ＝35x ，AM ＝45x .探究2：若E 为AC 的中点，则CE ＝AE ＝4，ME ＝AE －AM ＝4－45x .∵∠ACB ＝90°，DM ⊥AE ，∴MD ∥BC.∴△DME ∽△OCE.∴DM OC ＝ME CE.∴35x 3＝4－45x 4.解得x ＝52探究3：设AE ＝y ，则CE ＝8－y ，ME ＝y －45x .由探究2知：DM OC ＝ME CE .∴35x 3＝y －45x 8－y.∴y ＝12x x ＋5，即AE ＝12x x ＋5.发现：∵AE ＝12x x ＋5，DM ＝35x ，∴S △ADE ＝12AE·DM ＝12·12x x ＋5·35x .∴S ＝18x 25x ＋25.探究4：∵DO ⊥AB ，∴∠ADE ＝90°.∵∠ADE ＝∠ACB ＝90°，∠DAE ＝∠CAB ，∴△ADE ∽△ACB.∴AD AC ＝AE AB.∴x 8＝AE 10.∴AE ＝54x .由探究3知：AE ＝12x x ＋5.∴54x ＝12x x ＋5.解得x ＝0(舍)或235.3．(2016·唐山古冶区模拟)在锐角△ABC 中，AB ＝6，BC ＝11，∠ACB ＝30°，将△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转得到△A 1BC 1.(1)如图1，当点C 1在线段CA 的延长线上时，∠CC 1A 1＝60°；(2)如图2，连接AA 1，CC 1，若△ABA 1的面积为24，求△CBC 1的面积；(3)如图3，点E 为线段AB 中点，点P 在线段AC 上运动，在△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转过程中，点P 的对应点是P 1，求在旋转过程中，线段EP 1长度的最大值与最小值的差．解：(2)由旋转的性质可知BA 1＝BA ，BC 1＝BC ，∠A 1BC 1＝∠ABC.∴∠A 1BC 1－∠ABC 1＝∠ABC －∠ABC 1，即∠A 1BA ＝∠C 1BC.∵BA 1＝BA ，BC 1＝BC ，∴BA 1BC 1＝BA BC.∴△A 1BA ∽△C 1BC.∴211⎪⎭⎫ ⎝⎛=BC AB S S BCC BCA △△,即BC C S 124△＝(611)2.∴S △C1BC ＝2423.(3)如图4，当P 在线段AC 上运动至点C ，△ABC 绕点B 旋转，使点P 的对应点P 1在线段AB 的延长线上时，EP 1最大，最大值为3＋11＝14.如图5，过B 作BD ⊥AC 于点D.在Rt △BDC 中，∠C ＝30°，BC ＝11，∴BD ＝BC·sin 30°＝112.当P 在线段AC 上运动至点D ，△ABC 绕点B 旋转，使点P 的对应点P 1在线段AB 上时，EP 1最小，最小值为112－3＝52.14－52＝232.∴线段EP 1长度的最大值与最小值的差为232.4．(2016·石家庄模拟)如图1，在平面直角坐标系中，点A 的坐标是(3，4)，点B 在x 轴的正半轴上，∠ABO ＝45°.过点A 作AC ⊥y 轴于点C ，过点B 作直线l ∥y 轴．(1)求B 点的坐标；(2)如图2，动点P 从点O 出发，以每秒1个单位长的速度，沿O －C －A 的路线向点A 运动；同时直线l 从点B 出发，以相同速度向左平移．在平移过程中，直线l 交x 轴于点D ，交线段BA 或线段AO 于点E.当点P 到达点A 时，点P 和直线l 都停止运动，设动点P 的运动时间为t (s )．①求△PAD 的面积S 与t 之间的函数关系式；②当t 为何值时，S ＝8；③点P 在CA 上运动时，是否存在以点A 为圆心，AE 长为半径的⊙A 与坐标轴相切？如果存在，求出t 的值；如果不存在，请说明理由．解：(1)过点A 作AM ⊥x 轴于点M.∵点A 的坐标是(3，4)，∴AC ＝OM ＝3，AM ＝4.∵∠ABO ＝45°.∴△ABM 是等腰直角三角形．∴MB ＝AM ＝4.∴OB ＝OM ＋MB ＝3＋4＝7.∴B 点的坐标为(7，0)．(2)①当点P 在OC 上运动时，0≤t ＜4，此时有：OP ＝BD ＝t ，CP ＝4－t ，OD ＝7－t ，∴S ＝S 梯形COBA －S △ACP －S △POD －S △ADB＝12×(3＋7)×4－12×3×(4－t )－12t (7－t )－12t ×4＝12t 2－4t ＋14.当点P 在CA 上运动时，4≤t ≤7(如图3)．S ＝12PA·OC ＝12×(7－t )×4＝－2t ＋14.∴S 2－4t ＋14（0≤t ＜4），2t ＋14（4≤t≤7）.②当0≤t ＜4时，12t 2－4t ＋14＝8，即t 2－8t ＋12＝0，解得t 1＝2，t 2＝6(舍)．当4≤t ≤7时，－2t ＋14＝8，解得t ＝3(舍)．∴当t ＝2时，S ＝8.③存在．当点P 在CA 上运动时，即4≤t ≤7，由(1)，得OA ＝AM 2＋OM 2＝42＋32＝5.设直线l 交AC 于点G(如图4)，∵直线l ∥y 轴，∴DG ⊥OB ，DG ⊥A C.∴四边形AMDG 是矩形．∴AG ＝MD ＝t －4.∴△AEG ∽△AOC.∴AE AO ＝AG AC ，即AE 5＝t －43.∴AE ＝53(t －4)．当AE ＝3时，即53(t －4)＝3，解得t ＝295(或t ＝5.8)．此时，⊙A 与y 轴相切；当AE ＝4时，即53(t －4)＝4，解得t ＝325(或t ＝6.4)．此时，⊙A 与x 轴相切．∴当t ＝295或325时，⊙A 与坐标轴相切．5．(2013·河北)一透明的敞口正方体容器ABCD －A ′B′C′D′装有一些液体，棱AB 始终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为α(∠CBE ＝α，如图1所示)．探究：如图1，液面刚好过棱CD ，并与棱BB′交于点Q ，此时液体的形状为直三棱柱，其三视图及尺寸如图2所示．解决问题：(1)CQ 与BE 的位置关系是CQ ∥BE ，BQ 的长是3dm ；(2)求液体的体积(参考算法：直棱柱体积V 液＝底面积S △BCQ ×高AB)；(3)求α的度数：(注：sin 49°＝cos 41°≈34，tan 37°≈34)拓展：(4)在图1的基础上，以棱AB 为轴将容器向左或向右旋转，但不能使液体溢出，图3或图4是其正面示意图．若液面与棱C′C 或CB 交于点P ，设PC ＝x ，BQ ＝y .分别就图3和图4求y 与x 的函数关系式，并写出相应的α的范围；延伸：(5)在图4的基础上，于容器底部正中间位置，嵌入一平行于侧面的长方形隔板(厚度忽略不计)，得到图5，隔板高NM ＝1dm ，BM ＝CM ，NM ⊥BC.继续向右缓慢旋转，当α＝60°时，通过计算，判断溢出容器的液体能否达到4dm 3.解：(2)V 液＝12×3×4×4＝24(dm 3)．(3)在Rt △BCQ 中，tan ∠BCQ ＝34，∴α＝∠BCQ ＝37°.(4)当容器向左旋转时，如图3，0°≤α＜37°，∵液体体积不变，∴12(x ＋y )×4×4＝24.∴y ＝－x ＋3.当容器向右旋转时，如图4，同理可得：y ＝124－x.当液面恰好到达容器口沿，即点Q 与点B′重合时，由y ＝4，得x ＝1.∴PB ＝3.∵tan ∠PB′B ＝34，∴∠PB′B ＝37°.∴α＝∠B′PB ＝53°.此时37°≤α≤53°.(5)当α＝60°时，如图6所示，设FN ∥EB ，GB′∥EB ，过点G 作GH ⊥BB′于点H.在Rt △B′GH 中，GH ＝MB ＝2，∠GB′B ＝30°，∴HB′＝2 3.∴MG ＝BH ＝4－23＜MN.此时容器内液体形成两层液面，液体的形状分别是以Rt △NFM 和直角梯形MBB′G 为底面的直棱柱．∵S △NFM ＋S 梯形MBB′G ＝12×33×1＋12×(4－23＋4)×2＝8－1136，∴V 溢出＝24－4×(8－1136)＝3223－8＞4(dm 3)．故溢出容器的液体能达到4dm 3.。

河北省中考数学复习第四单元图形的初步认识与三角形第讲相似三角形试题

河北省中考数学复习第四单元图形的初步认识与三角形第讲相似三角形试题

第19讲 相似三角形1．(2016·兰州)已知△ABC∽△DEF，若△ABC 与△DEF 的相似比为34，则△ABC 与△D EF 对应中线的比为( A ) A.34 B.43 C.916 D.1692．(2016·石家庄模拟)如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 上，∠AED ＝∠B，如果AE ＝2，△ADE 的面积为4，四边形BCED 的面积为21，那么AB 的长为( A )A ．5B ．12.5C ．25 D.213．(2015·唐山路南区模拟)如图，为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标点P ，在近岸取点Q 和S ，使点P ，Q ，S 在一条直线上，且直线PS 与河垂直，在过点S 且与PS 垂直的直线a 上选择适当的点T ，PT 与过点Q 且与PS 垂直的直线b 的交点为R.如果QS ＝60 m ，ST ＝120 m ，QR ＝80 m ，则河的宽度PQ 为( C ) A ．40 m B ．60 m C ．120 m D ．180 m4．(2016·山西)宽与长的比是5－12(约0.618)的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD ，分别取AD ，BC 的中点E ，F ，连接EF ；以点F 为圆心，FD 为半径画弧，交BC 的延长线于点G ；作GH⊥AD，交AD 的延长线于点H ，则图中下列矩形是黄金矩形的是( D )A ．矩形ABFEB ．矩形EFCDC ．矩形EFGHD ．矩形DCGH5．(2016·梅州)如图，在▱ABCD 中，点E 是边AD 的中点，EC 交对角线BD 于点F ，若S △DEC ＝3，则S △BCF ＝4．6．(2016·临沂)如图，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别在AB ，AC ，BC 上，DE ∥BC ，EF ∥AB.若AB ＝8，BD ＝3，BF ＝4，则FC 的长为125．7．(2016·河北模拟)如图，点P 是菱形ABCD 的对角线DB 延长线上一点，连接PC 并延长，交AD 延长线于点E ，AB 延长线于点F. (1)证明：①△PAB ≌△PCB ； ②△PAF ∽△PEA ；(2)若AB ＝3，AP ＝6，FP ＝2，求AE.解：(1)证明：①∵四边形ABCD 是菱形，∴BC ＝BA ，∠CBD ＝∠ABD. ∴∠CBP ＝∠ABP.又∵BP＝BP ，∴△PAB ≌△PCB. ②∵△PAB ≌△PCB ， ∴∠PAB ＝∠PCB.∵四边形ABCD 是菱形， ∴BC ∥AE.∴∠PCB ＝∠E.∴∠PAB＝∠E.又∵∠APF＝∠EPA，∴△PAF ∽△PEA.(2)∵△PAF∽△PEA，∴PF PA ＝AF EA ＝13.∵DC ∥AF ，∴CD DE ＝AF EA ＝13.∴3DE ＝13.∴DE ＝9，AE ＝DE ＋AD ＝12.8．(2016·绵阳)如图，点E ，点F 分别在菱形ABCD 的边AB ，AD 上，且AE ＝DF ，BF 交DE 于点G ，延长BF交CD 的延长线于H ，若AF DF ＝2，则HFBG的值为( B )A.23B.712C.12D.5129．(2016·黄冈)如图，已知△ABC，△DCE ，△FEG ，△HGI 是4个全等的等腰三角形，底边BC ，CE ，EG ，GI 在同一直线上，且AB ＝2，BC ＝1，连接AI ，交FG 于点Q ，则QI ＝43．提示：过点A 作A M⊥BC，可利用勾股定理计算出MC ，MI ，AM ，AI 等线段的长，再利用AC∥GQ 得△IAC∽△IQG，利用相似三角形的性质求QI 的长．10．(2016·江西)如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均相等．网格中三个多边形(分别标记为①，②，③)的顶点均在格点上．被一个多边形覆盖的网格线中，竖直部分线段长度之和记为m ，水平部分线段长度之和记为n ，则这三个多边形中满足m ＝n 的是( C )A ．只有②B ．只有③C ．②③D ．①②③11．(2016·桂林)如图，在Rt △ACB 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝3，CD ＝1，CH ⊥BD 于H ，点O 是AB 中点，连接OH ，则OH 5提示：通过计算可得BH AB ＝OB BD ＝3510，易证△BOH∽△BDA，再利用相似三角形的性质可求得OH 的长．12．(2016·邯郸模拟)如图1，△ABC 中，AC ＝BC ，∠A ＝30°，点D 在AB 边上，且∠ADC＝45°. (1)求∠BCD 的度数；(2)将图1中的△BCD 绕点B 顺时针旋转α(0°＜α≤360°)得到△BC′D′.①当点D′恰好落在BC 边上时，如图2所示，连接C′C 并延长交AB 于点E.求证：AE ＝BD ′； ②连接DD′，如图3所示，当△DBD′与△ACB 相似时，直接写出α的度数．解：(1)∵AC ＝BC ，∠A ＝30°，∴∠CBA ＝∠A＝30°. ∵∠ADC ＝45°，∴∠BCD ＝∠ADC－∠CBA＝15°.(2)①证明：由旋转可知CB ＝C′B＝AC ，∠C ′BD ′＝∠CBD＝∠A，∴∠CC ′B ＝180°－30°2＝75°.∴∠CEB ＝∠C′CB－∠CBA＝45°. ∴∠ACE ＝∠CEB－∠A＝15°. ∴∠BC ′D ′＝∠ACE.在△AEC 和△BD′C′中，⎩⎪⎨⎪⎧∠A＝∠D′BC′，∠ACE ＝∠BC′D′，AE ＝BD′.∴△AEC ≌△BD ′C ′(AAS)．∴AE＝BD′.(3)∵△DBD′与△ACB 相似，∴∠BDD ′＝∠DD′B＝∠A＝30°. ∴∠DBD ′＝120°.∴α＝∠DBD′＝120°(如图4)或α＝360°－∠D BD′＝360°－120°＝240°(如图5)．故α的度数为120°或240°.。

河北省中考数学总复习 第二编 专题突破篇 专题10 解直角三角形或相似的计算与实践(精练)试题

河北省中考数学总复习 第二编 专题突破篇 专题10 解直角三角形或相似的计算与实践(精练)试题

专题十解直角三角形或相似的计算与实践一、选择题1．(2017重庆中考A卷)若△ABC～△DEF，相似比为3∶2，则对应高的比为( A)A．3∶2 B．3∶5C．9∶4 D．4∶92．(2017兰州中考)如图，小明为了测量一凉亭的高度AB(顶端A到水平地面BD的距离)，在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶BC等高的台阶DE(DE＝BC＝0.5 m，A，B，C三点共线)，把一面镜子水平放置在平台上的点G 处，测得CG＝15 m，然后沿直线CG后退到点E处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端A，测得EG＝3 m，小明身高EF＝1.6 m，则凉亭的高度AB约为( A)A．8.5 m B．9 m C．9.5 m D．10 m3．(2017滨州中考)如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点D是CB延长线上的一点，且BD＝BA，则tan∠DAC的值为( A)A．2＋ 3 B．2 3C．3＋ 3 D．3 3(第3题图)(第4题图)4．(2017眉山中考)“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得，则可求得井深为( B) A．1.25尺B．57.5尺C．6.25尺D．56.5尺5．(2017通辽中考)志远要在报纸上刊登广告，一块10 cm×5 cm的长方形版面要付广告费180元，他要把该版面的边长都扩大为原来的3倍，在每平方厘米版面广告费相同的情况下，他该付广告费( C) A．540元B．1 080元C．1 620元D．1 800元6．(2017绥化中考)如图，△A′B′C′是△ABC在以点O为位似中心经过位似变换得到的，若△A′B′C′的面积与△ABC的面积比是4∶9，则OB′∶OB为(A)A．2∶3 B．3∶2C．4∶5 D．4∶9(第6题图)(第7题图)7．(2017湖州中考)如图，已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AB ＝6，点P 是Rt △ABC 的重心，则点P 到AB 所在直线的距离等于( A )A ．1B . 2C .32D ．28．(2017四市中考)如图，一艘海轮位于灯塔P 的南偏东45°方向，距离灯塔60海里的A 处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的北偏东30°方向上的B 处，这时，B 处与灯塔P 的距离为( B )A ．603海里B ．602海里C ．303海里D ．302海里(第8题图)(第9题图)9．(2017长沙中考)如图，将正方形ABCD 折叠，使顶点A 与CD 边上的一点H 重合(H 不与端点C ，D 重合)，折痕交AD 于点E ，交BC 于点F ，边AB 折叠后与边BC 交于点G ，设正方形ABCD 的周长为m ，△CHG 的周长为n ，则nm的值为( B ) A .22 B .12C .5－12D ．随H 点位置的变化而变化 二、填空题10．(2017宁波中考)如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为34°的斜坡，从A 滑行至B ，已知AB ＝500 m 则这名滑雪运动员的高度下降了__280__m ．(参考数据：sin 34°≈0.56，cos 34°≈0.83，tan 34°≈0.67)(第10题图)(第11题图)11．(2017北京中考)如图，在△ABC 中，M ，N 分别为AC ，BC 的中点．若S △CMN ＝1，则S 四边形ABNM ＝__3__． 12．(2017广州中考)如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝15，tan A ＝158，则AB ＝__17__．(第12题图)(第13题图)13．(2017无锡中考)在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A ，B ，C ，D 都在格点处，AB 与CD 相交于O ，则tan ∠BOD 的值等于__3__．14．(2017贵港中考)如图，点P 在等边△ABC 的内部，且PC ＝6，PA ＝8，PB ＝10，将线段PC 绕点C 顺时针旋转60°得到P′C，连接AP′，则sin ∠PAP ′的值为__35__．三、解答题15．(2017宜宾中考)如图，为了测量某条河的宽度，现在河边的一岸边任意取一点A ，又在河的另一岸边取两点B ，C 测得∠α＝30°，∠β＝45°，量得BC 长为100 m ．求河的宽度．(结果保留根号)解：过点A 作AD⊥BC 于点D ， ∵∠β＝45°，∠ADC ＝90°，∴AD ＝DC. 设AD ＝DC ＝x m ，则tan 30°＝x x ＋100＝33，解得x ＝50(3＋1)． 答：河的宽度为50(3＋1)m .16．(2017眉山中考)如图，点E 是正方形ABCD 的边BC 延长线上一点，连接DE ，过顶点B 作BF⊥DE，垂足为F ，BF 分别交AC 于H ，交DC 于G.(1)求证：BG ＝DE ；(2)若点G 为CD 的中点，求HGGF的值．解：(1)∵BF⊥DE，∴∠GFD ＝90°. ∵∠BCG ＝90°，∠BGC ＝∠DGF， ∴∠CBG ＝∠CDE.在△BCG 与△DCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠CBG＝∠CDE，BC ＝CD ，∠BCG ＝∠DCE，∴△BCG ≌△DCE(ASA )， ∴BG ＝DE ；(2)设CG ＝1，∵G 为CD 的中点， ∴GD ＝CG ＝1.由(1)可知：△BCG≌△DCE(ASA )， ∴CG ＝CE ＝1，∴由勾股定理可知：DE ＝BG ＝ 5. ∵sin ∠CDE ＝CE DE ＝GFGD ，∴GF ＝55. ∵AB ∥CG ， ∴△ABH∽△CGH， ∴AB CG ＝BH HG ＝21， ∴BH ＝253，GH ＝53，∴HG GF ＝53.17．(2017盐城中考) 【探索发现】如图①，是一张直角三角形纸片，∠B ＝90°，小明想从中剪出一个以∠B 为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线DE ，EF 剪下时，所得的矩形的面积最大，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为________．【拓展应用】如图②，在△ABC 中，BC ＝a ，BC 边上的高AD ＝h ，矩形PQMN 的顶点P ，N 分别在边AB ，AC 上，顶点Q ，M 在边BC 上，则矩形PQMN 面积的最大值为________．(用含a ，h 的代数式表示)【灵活应用】如图③，有一块“缺角矩形”ABCDE ，AB ＝32，BC ＝40，AE ＝20，CD ＝16，小明从中剪出了一个面积最大的矩形(∠B 为所剪出矩形的内角)，求该矩形的面积．【实际应用】如图④，现有一块四边形的木板余料ABCD ，经测量AB ＝50 cm ，BC ＝108 cm ，CD ＝60 cm ，且tan B ＝tan C ＝43，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点M ，N 在边BC 上且面积最大的矩形PQMN ，求该矩形的面积． 解：【探索发现】12；【拓展应用】ah4；【灵活应用】如答图①，延长BA ，DE 交于点F ，延长BC ，ED 交于点G ，延长AE ，CD 交于点H ，取BF 中点I ，FG 的中点K.答图①由题意知四边形ABCH 是矩形， ∵AB ＝32，BC ＝40，AE ＝20，CD ＝16， ∴EH ＝20，DH ＝16， ∴AE ＝EH ，CD ＝DH. 在△AEF 和△HED 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧∠FAE＝∠DHE，AE ＝EH ，∠AEF ＝∠HED，∴△AEF ≌△HED(ASA )， ∴AF ＝DH ＝16. 同理△CDG≌△HDE， ∴CG ＝HE ＝20， ∴BI ＝AB ＋AF 2＝24.∵BI ＝24＜32，∴中位线IK 的两端点在线段AB 和DE 上． 过点K 作KL⊥BC 于点L.由【探索发现】知矩形的最大面积为12S △FBG ＝12×12×BG·BF＝14×(40＋20)×(32＋16)＝720.答：该矩形的面积为720. 【实际应用】如答图②，延长BA ，CD 交于点E ，过点E 作EH⊥BC 于点H.答图②∵tan B ＝tan C ＝43，∴∠B ＝∠C， ∴EB ＝EC.∵BC ＝108 cm ，且EH⊥BC， ∴BH ＝CH ＝12BC ＝54 cm .∵tan B ＝EH BH ＝43，∴EH ＝43BH ＝43×54＝72 cm ，在Rt △BHE 中，BE ＝EH 2＋BH 2＝90 cm ， ∵AB ＝50 cm ， ∴AE ＝40 cm ， ∴BE 2＝40＋502＝45 cm ， ∴BE 的中点Q 在线段AB 上． ∵CD ＝60 cm ， ∴ED ＝30 cm ，∴CE 的中点P 在线段CD 上，∴中位线PQ 的两端点在线段AB ，CD 上，1 4BC·EH＝14×108×72＝1 944 cm2.由【拓展应用】知，矩形PQMN的最大面积为。

2017河北中考数学《5.1图形的相似与位似》教材知识梳理

2017河北中考数学《5.1图形的相似与位似》教材知识梳理

第五章图形的相似与解直角三角形第一节图形的相似与位似,河北8年中考命题规律)择题、解答题，分值2～11分，难度中偏下，基础题为主，其中相似三角形的判定和性质考查了3次，相似多边形考查了1次(选择题)，位似图形考查了2次．命题预测预计2017年河北中考对本节内容仍会做重点考查，故在复习中多加训练.河北8年中考真题及模拟)图形相似的判定及性质(5次)1．(2016河北15题2分)如图，△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6.将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是(C),A),B),C),D)2．(2011河北9题3分)如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝6，D 、E 分别在AB 、AC 上，将△ABC 沿DE 折叠，使点A 落在点A′处，若A′为CE 的中点，则折痕DE 的长为( B )A .12B ．2C ．3D ．4 3．(2014河北13题3分)在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：甲：将边长为3，4，5的三角形按图①的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距均为1，则新三角形与原三角形相似.乙：将邻边为3和5的矩形按图②的方式向外扩张，得到新矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．对于两人的观点，下列说法正确的是( A ) A ．两人都对 B ．两人都不对C ．甲对，乙不对D ．甲不对，乙对 图形的位似(2次)4．(2016河北23题9分)如图(1)，E 是线段BC 的中点，分别以B ，C 为直角顶点的△EAB 和△EDC 均是等腰直角三角形，且在BC 的同侧．(1)AE 和ED 的数量关系为__AE ＝ED __； AE 和ED 的位置关系为__AE ⊥ED __；(2)在图(1)中，以点E 为位似中心，作△EGF 与△EAB 位似，H 是BC 所在直线上的一点，连接GH ，HD ，分别和到图(2)和图(3)．①在图(2)中，点F 在BE 上，△EGF 与△EAB 的相似比是1∶2，H 是EC 的中点，求证：GH ＝HD ，GH ⊥HD.②在图(3)中，点F 在BE 的延长线上，△EGF 与△EAB 的相似比是k ∶1，若BC ＝2，请直接写出CH 的长为多少时，恰好使得GH ＝HD 且GH ⊥HD.(用含k 的代数式表示)解：(2)①由题意，得∠B ＝∠C ＝90°，AB ＝BE ＝EC ＝DC. ∵△EGF 与△EAB 的相似比为1∶2，∴∠GFE ＝∠B ＝90°，GF ＝12AB ，EF ＝12EB ，∴∠GFE ＝∠C ，∴EH ＝HC ＝12EC ，∴GF ＝HC ，FH ＝FE ＋EH ＝12EB ＋12EC ＝12BC ＝EC ＝CD ，∴△HGF ≌△DHC.∴GH ＝HD ，∠GHF ＝∠HDC. ∵∠HDC ＋∠DHC ＝90°， ∴∠GHF ＋∠DHC ＝90°. ∴∠GHD ＝90°，∴GH ⊥HD. ②∵当GH ＝HD ，GH ⊥HD 时，∴∠FHG ＋∠DHC ＝90°，∵∠FHG ＋∠FGH ＝90°，∴∠FGH ＝∠DHC ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧∠FGH ＝∠CHD ，∠GFH ＝∠HCD ，GH ＝HD ，∴△GFH ≌△HCD.∴FG ＝CH. ∵EF ＝FG ，∴EF ＝CH.∵△EGF 与△EAB 的相似比是k ∶1，BC ＝2， ∴BE ＝EC ＝1，∴EF ＝k ，∴CH 的长为k.5．(2011河北20题8分)如图，在6×8网格图中，每个小正方形边长均为1，点O 和△ABC 的顶点均为小正方形的顶点．(1)以O 为位似中心，在网格图中作△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC 位似，且位似比为1∶2；(2)连接(1)中的AA′，求四边形AA′C′C 的周长．(结果保留根号)解：(1)略；(2)4＋6 2.6．(2016沧州八中一模)如图，在△ABC 中，D ，E ，F 分别是边AB ，AC ，BC 上的点，DE ∥BC ，EF ∥AB ，且AD ∶DB ＝3∶5，那么CF ∶CB 等于( A )A ．5∶8B ．3∶8C ．3∶5D ．2∶57．(2016河北石家庄二十八中一模)如图，在▱ABCD 中，AB ＝6，AD ＝9，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，交DC 的延长线于点F ，BG ⊥AE 于点G ，BG ＝42，则△EFC 的周长为( D )A ．11B ．10C ．9D ．88．(2016保定博野模拟)在直角坐标系中，已知点A(－2，0)，B(0，4)，C(0，3)，过C 作直线交x 轴于D ，使以D 、O 、C 为顶点的三角形与△AOB 相似．这样的直线最多可以作( C )A ．2条B ．3条C ．4条D ．6条9．(2016邯郸涉县一模)如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，G ，F 分别为AD ，BC 边上的点，若AG ＝1，BF ＝2，∠GEF ＝90°，则GF 的长为( D )A ．4B ．2C ．5D ．310．(2016河北保定十七中一模)下列四组图形中，一定相似的是( D ) A ．正方形与矩形 B ．正方形与菱形 C ．菱形与菱形D ．正五边形与正五边形11．(2016河北唐山十二中二模)如图，△ABO 缩小后变为△A′B′O ，其中A ，B 的对应点分别为点A′，B ′，点A ，B ，A ′，B ′均在图中的格点上．若线段AB 上有一点P(m ，n)，则点P 在A′B′上的对应点P′的坐标为( D )A .⎝⎛⎭⎫m 2，nB ．(m ，n)C .⎝⎛⎭⎫m ，n 2 D .⎝⎛⎭⎫m 2，n 212．(2016河北唐山五十四中二模)如图，在▱ABCD 中，点E 在AB 上，CE ，BD 交于点F ，若AE ∶BE ＝4∶3，且BF ＝2，则DF ＝__143__．13．(2016河北唐山友谊中学一模)如图，正方形OABC 与正方形ODEF 是位似图形，点O 为位似中心，相似比为1∶2，点A 的坐标为(0，1)，则点E 的坐标是__(2，2)__．14．(2016河北石家庄二十八中一模)如图，点B 在线段AC 上，点D ，C 在AC 同侧，∠A ＝∠C ＝90°，BD ⊥BE ，AD ＝BC.(1)求证：AC ＝AD ＋CE ；(2)若AD ＝3，CE ＝5，点P 为线段AB 上的动点，连接DP ，作PQ ⊥DP ，交直线BE 于点Q.若点P 与A ，B两点不重合，求DPPQ的值．解：(1)∵∠A ＝∠C ＝90°，DB ⊥BE ，∴∠ADB ＋∠ABD ＝90°，∠ABD ＋∠EBC ＝90°.∴∠ADB ＝∠EBC.又AD ＝BC ，∴△ADB ≌△CBE(ASA )，∴AB ＝CE.∴AC ＝BC ＋AB ＝AD ＋CE ；(2)过点Q 作QH ⊥BC 于点H ，则△ADP ∽△HPQ ，△BHQ ∽△BCE ，∴AD HP ＝AP HQ ，BH BC ＝QHEC.设AP ＝x ，QH＝y ，则有BH 3＝y 5，∴BH ＝3y 5，PH ＝3y 5＋5－x ，∴33y 5＋5－x ＝xy，即(x －5)·(3y －5x)＝0.又点P 不与A ，B 重合，∴x ≠5，即x －5≠0.∴3y －5x ＝0，即3y ＝5x.∴DP PQ ＝x y ＝35.,中考考点清单)比例的相关概念及性质1．线段的比：两条线段的比是两条线段的__长度__之比．2．比例中项：如果a b ＝bc，即b 2＝__ac__，我们就把b 叫做a 、c 的比例中项．3．比例的性质性质1a b ＝cd ⇔__ad__＝bc(a 、b 、c 、d ≠0)．性质2如果a b ＝cd ，那么a ±b b ＝c ±d d.性质3 如果a b ＝c d ＝…＝m n (b ＋d ＋…＋n ≠0)，则a ＋c ＋…＋m b ＋d ＋…＋n＝__mn (不唯一)__.4.黄金分割：如果点C 把线段AB 分成两条线段，使AC AB ＝__BCAC__，那么点C 叫做线段AC 的__黄金分割点__，AC 是BC 与AB 的比例中项，AC 与AB 的比叫做__黄金比__．相似三角形的判定及性质相似三角形的判定及性质为河北近7年的必考点，考查题型为选择题、解答题，仅2014年单纯考查相似三角形与相似四边形的判定，其余均为与几何图形结合，解答过程中利用三角形相似的判定及性质求线段长度．主要设问方式为证明三角形相似，再利用相似求线段长度及判断图形相似等．5．定义：对应角__相等__，对应边__成比例__的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做相似比．6．性质：(1)相似三角形的__对应角__相等；(2)相似三角形的对应线段(边、高、中线、角平分线)成比例；(3)相似三角形的周长比等于__相似比__，面积比等于__相似比的平方__． 7．判定：(1)__有两角__对应相等，两三角形相似；(2)两边对应成比例且__夹角__相等，两三角形相似； (3)三边__对应成比例__，两三角形相似；(4)两直角三角形的斜边和一条直角边__对应成比例__，两直角三角形相似． 【方法技巧】判定三角形相似的几条思路：(1)条件中若有平行线，可采用相似三角形的判定(1)．(2)条件中若有一对等角，可再找一对等角[用判定(1)]或再找夹边成比例[用判定(2)]． (3)条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等．(4)条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明斜边、直角边对应成比例． (5)条件中若有等腰条件，可找顶角相等，可找一个底角相等，也可找底和腰对应成比例．【易错警示】应注意相似三角形的对应边成比例，若已知△ABC ∽△DEF ，列比例关系式时，对应字母的位置一定要写正确，才能得到正确的答案．如：AB BC ＝DEEF，此式正确．那么想一想，哪种情况是错误的呢？请举例说明．相似多边形8．定义：对应角__相等__，对应边__成比例__的两个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做它们的相似比．9．性质：(1)相似多边形的对应边__成比例__； (2)相似多边形的对应角__相等__；(3)相似多边形周长的比__等于__相似比，相似多边形面积的比等于__相似比的平方__．位似图形10．定义：如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做__位似图形__，这个点叫做__位似中心__，相似比叫做位似比．11．性质：(1)在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于__k 或－k__；(2)位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于__位似比或相似比__．12．找位似中心的方法：将两个图形的各组对应点连接起来，若它们的直线或延长线相交于一点，则该点即是__位似中心__．13．画位似图形的步骤： (1)确定__位似中心__； (2)确定原图形的关键点；(3)确定位似比，即要将图形放大或缩小的倍数； (4)作出原图形中各关键点的对应点；(5)按原图形的连接顺序连接所作的各个对应点．,中考重难点突破)比例的性质【例1】已知a 5＝b 4＝c3，且3a －2b ＋c ＝20，则2a －4b ＋c 的值为____．【学生解答】－6【点拨】设a 5＝b 4＝c3＝k(k ≠0)，用含k 的式子表示a 、b 、c ，代入等式3a －2b ＋c ＝20求出k 值，再求出a 、b 、c 值代入可求．1．(2015河北沧州十三中一模)若x ∶y ＝1∶3，2y ＝3z ，则2x ＋yz －y的值是( A )A ．－5B ．－103C .103D ．5相似三角形的判定与性质(重难点)【例2】(2015茂名中考)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6 cm ，BC ＝8 cm ，动点M 从点B 出发，在BA 边上以每秒3 cm 的速度向点A 运动，同时动点N 从点C 出发，在CB 边上以每秒2 cm 的速度向点B运动，运动时间为t s ⎝⎛⎭⎫0<t<103，连接MN. (1)如图①，若△BMN 与△ABC 相似，求t 的值；(2)如图②，连接AN ，CM ，若AN ⊥CM ，求t 的值．【解析】(1)△BMN 与△ABC 相似，分两种情况：△BMN ∽△BAC 和△BMN ∽△BCA ，得对应线段成比例，求得t 的值；(2)过点M 作MD ⊥BC 于点D ，把BM ，DM ，BD ，CN 用t 表示后，CD 就可用t 表示，证得△CAN ∽△DCM ，得对应线段成比例，得关于t 的方程，求出t 的值．【学生解答】解：(1)由题意知BA ＝62＋82＝10(cm )，BM ＝3t cm ，C N ＝2t cm ，∴BN ＝(8－2t)cm .当△BMN ∽△BAC 时，有BM BA ＝BN BC ，∴3t 10＝8－2t 8，解得t ＝2011；当△BMN ∽△BCA 时，有BM BC ＝BN BA ，∴3t8＝8－2t 10，解得t ＝3223，∴当△BMN 与△ABC 相似时，t 的值为2011或3223； (2)如图②，过点M 作MD ⊥CB 于点D ，由题意得BM ＝3t cm ，CN ＝2t cm ，DM ＝BM·sin B ＝3t·610＝95t(cm )，BD ＝BM·cos B ＝3t·810＝125t(cm )，∴CD ＝⎝⎛⎭⎫8－125t cm .∵AN ⊥CM ，∠ACB ＝90°，∴∠CAN ＋∠ACM ＝90°，∠MCD ＋∠ACM ＝90°，∴∠CAN ＝∠MCD.∵MD ⊥CB ，∴∠MDC ＝∠ACB ＝90°，∴△CAN ∽△DCM.∴ACCD＝CN DM ，∴68－125t ＝2t 95t，解得t ＝1312.2．(2016宁波中考)如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝∠ACD ＝90°，AB ＝2，DC ＝3，则△ABC 与△DCA 的面积比为( C )A ．2∶3B ．2∶5C ．4∶9D .2∶ 33．(2016自贡中考)如图，在△ABC 中，D 、E 分别为AB 、AC 边的中点，求证：DE 綊12BC.证明：∵D 是AB 的中点，E 是AC 的中点，∴AD AB ＝12，AE AC ＝12，∴AD AB ＝AEAC，又∵∠A ＝∠A ，∴△ADE ∽△ABC ，∴AD AB ＝DE BC ＝12，∠ADE ＝∠B ，∴BC ＝2DE ，BC ∥DE ，即DE 綊12BC.位似图形【例3】(2016承德二中模拟)如图，在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 在坐标原点，边OA 在x 轴上，OC 在y 轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC 关于点O 位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC 的面积的14，那么点B′的坐标是( )A ．(－2，3)B ．(2，－3)C ．(3，－2)或(－2，3)D ．(－2，3)或(2，－3) 【学生解答】D【点拨】在第二象限与第四象限分别能画出符合条件的矩形OA′B′C′.4．(2016沧州八中二模)如图，△OAB 与△OCD 是以点O 为位似中心的位似图形，相似比为1∶2， ∠OCD ＝90°，CO ＝CD.若B(1，0)，则点C 的坐标为( B )A ．(1，2)B ．(1，1)C ．(2，2)D ．(2，1),中考备考方略)1．(2016东营中考)若y x ＝34，则x ＋y x的值为( D )A ．1B .47C .54D .742．(2016兰州中考)如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，若AD DB ＝23，则AEEC＝( C ) A .13 B .25 C .23 D .35(第2题图)(第3题图)3．(2016荆州中考)如图，点P 在△ABC 的边AC 上，要判断△ABP ∽△ACB ，添加一个条件不正确的是( D )A ．∠ABP ＝∠CB ．∠APB ＝∠ABC C .AP AB ＝AB ACD .AB BP ＝AC CB4．(2016杭州中考)如图，已知直线a ∥b ∥c ，直线m 交直线a ，b ，c 于点A ，B ，C ，直线n 交直线a ，b ，c于点D ，E ，F ，若AB BC ＝12，则DEEF＝( B )A .13B .12C .23D ．1 5．(2016临夏中考)如果两个相似三角形的面积比是1∶4，那么它们的周长比是( D ) A ．1∶16 B ．1∶4 C ．1∶6 D ．1∶26．(2016重庆中考)△ABC 与△DEF 的相似比为1∶4，则△ABC 与△DEF 的周长比为( C ) A ．1∶2 B ．1∶3 C ．1∶4 D ．1∶167．(2016盐城中考)如图，点F 在平行四边形ABCD 的边AB 上，射线CF 交DA 的延长线于点E ，在不添加辅助线的情况下，与△AEF 相似的三角形( C )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个(第7题图)(第8题图)8．(2016安徽中考)如图，△ABC 中，AD 是中线，BC ＝8，∠B ＝∠DAC ，则线段AC 的长为( B ) A ．4 B ．4 2 C ．6 D ．4 39．(2016东营中考)如图，在平面直角坐标系中，已知点A(－3，6)，B(－9，－3)，以原点O 为位似中心，相似比为13，把△ABO 缩小，则点A 的对应点A′的坐标是( D )A ．(－1，2)B ．(－9，18)C ．(－9，18)或(9，－18)D ．(－1，2)或(1，－2)10．(2016宿迁中考)若两个相似三角形的面积比为1∶4，则这两个相似三角形的周长比是__1∶2__．11．(2016衡阳中考)若△ABC 与△DEF 相似且面积之比为25∶16，则△ABC 与△DEF 的周长之比为__5∶4__．12．(2016临夏中考)如图，已知EC ∥AB ，∠EDA ＝∠ABF. 求证：(1)四边形ABCD 是平行四边形； (2)OA 2＝OE·OF.证明：(1)∵EC∥AB，∴∠EDA＝∠DAB，∵∠EDA＝∠ABF，∴∠DAB＝∠ABF，∴AD∥BC，∵DC∥AB，∴四边形ABCD为平行四边形；(2)∵EC∥AB，∴△OAB∽△OED，∴OAOE＝OBOD，∵AD∥BC，∴△OBF∽△ODA，∴OBOD＝OFOA，∴OAOE＝OFOA，∴OA2＝OE·OF.13．(2016咸宁中考)如图，在△ABC中，中线BE，CD相交于点O，连接DE，下列结论：①DEBC＝12；②S△DOES△COB＝12；③ADAB＝OEOB；④S△ODES△ADC＝13.其中正确的个数有(B)A．1个B．2个C．3个D．4个(第13题图)(第14题图)14．(2016沧州九中模拟)如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于点F，D为AB的中点，连接DF延长交AC于点E.若AB＝10，BC＝16，则线段EF的长为(B)A．2 B．3 C．4 D．515．(2016泰安中考)如图，△ABC内接⊙O，AB是⊙O的直径，∠B＝30°，CE平分∠ACB交⊙O于E，交AB于点D，连接AE，则S△ADE∶S△CDB的值等于(D)A．1∶ 2 B．1∶ 3 C．1∶2 D．2∶3(第15题图)(第16题图)16．(2016十堰中考)如图，以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′，已知OB＝3OB′，则△A′B′C′与△ABC的面积比为(D)A．1∶3 B．1∶4 C．1∶5 D．1∶917．(2016舟山中考)如图，已知△ABC 和△DEC 的面积相等，点E 在BC 边上，DE ∥AB 交AC 于点F ，AB ＝12，EF ＝9，则DF 的长是多少？解：∵△ABC 与△DEC 的面积相等， ∴△CDF 与四边形AFEB 的面积相等， ∵AB ∥DE ，∴△CEF ∽△CBA ，∵EF ＝9，AB ＝12，∴EF ∶AB ＝9∶12＝3∶4， ∴△CEF 和△CBA 的面积比＝9∶16，设△CEF 的面积为9k ，则四边形AFEB 的面积为7k ， ∵△CDF 与四边形AFEB 的面积相等， ∴S △CDF ＝7k ，∵△CDF 与△CEF 是同高不同底的三角形， ∴面积比等于底之比，∴DF ∶EF ＝7k ∶9k ， ∴DF ＝7.18．(2016石家庄四十一中二模)如图，已知四边形ABCD 内接⊙O ，A 是BDC ︵的中点，AE ⊥AC 于A ，与⊙O及CB 的延长线交于点F 、E ，且BF ︵＝AD ︵.(1)求证：△ADC ∽△EBA ；(2)如果AB ＝8，CD ＝5，求tan ∠CAD 的值． 解：(1)∵四边形ABCD 内接于⊙O ， ∴∠CDA ＝∠ABE. ∵BF ︵＝AD ︵，∴∠DCA ＝∠BAE. ∴△ADC ∽△EBA ；(2)∵A 是BDC ︵的中点，∴AB ︵＝AC ︵， ∴AB ＝AC ＝8， ∵△ADC ∽△EBA ，∴∠CAD ＝∠AEC ，DC AB ＝ACAE，即58＝8AE ，∴AE ＝645， ∴tan ∠CAD ＝tan ∠AEC ＝AC AE ＝8645＝58.19．(2016杭州中考)如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，∠AED ＝∠B ，射线AG 分别交线段DE ，BC 于点F ，G ，且AD AC ＝DFCG.(1)求证：△ADF ∽△ACG ；(2)若AD AC ＝12，求AFFG的值．解：(1)∵∠AED ＝∠B ，∠DAE ＝∠DAE ，∴∠ADF ＝∠C ，∵AD AC ＝DFCG，∴△ADF ∽△ACG ；(2)∵△ADF ∽△ACG ，∴AD AC ＝AFAG，又∵AD AC ＝12，∴AF AG ＝12，∴AFFG＝1.。

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第2课时 解三角形和三角形相似1．(2016·北京)如图，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝90°，AC ＝AD ，M ，N 分别为AC ，CD 的中点，连接BM ，MN ，BN.(1)求证：BM ＝MN ；(2)若∠BAD＝60°，AC 平分∠BAD，AC ＝2，求BN 的长．解：(1)证明：在△CAD 中，∵M ，N 分别是AC ，CD 的中点，∴MN ∥AD ，且MN ＝12AD.在Rt △ABC 中，∵M 是AC 的中点，∴BM ＝12AC.又∵AC＝AD ，∴MN ＝BM.(2)∵∠BAD＝60°，且AC 平分∠BAD，∴∠BAC ＝∠DAC＝30°.由(1)知BM ＝12AC ＝AM ＝MC.∴∠BMC ＝∠BAM＋∠ABM＝2∠BAM＝60°.∵MN ∥AD ，∴∠NMC ＝∠DAC＝30°.∴∠BMN ＝∠BMC＋∠NMC ＝90°.∴BN 2＝BM 2＋MN 2.由(1)知，MN ＝BM ＝12AC ＝12×2＝1.∴BN ＝ 2.2．(2016·白银)如图，已知EC∥AB, ∠EDA ＝∠ABF.(1)求证：四边形ABCD 为平行四边形；(2)求证：OA 2＝OE·OF.证明：(1)∵EC∥AB，∴∠C ＝∠ABF.又∵∠EDA＝∠ABF，∴∠C ＝∠EDA.∴AD ∥BC.∴四边形ABCD 是平行四边形．(2)∵EC∥AB，∴OA OE ＝OB OD .又∵AD∥BC，∴OF OA ＝OB OD .∴OA OE ＝OF OA，即OA 2＝OE·OF. 3．(2015·南充)如图，矩形纸片ABCD ，将△AMP 和△BPQ 分别沿PM 和PQ 折叠(AP ＞AM)，点A 和点B 都与点E 重合；再将△CQD 沿DQ 折叠，点C 落在线段EQ 上点F 处．(1)判断△AMP，△BPQ ，△CQD 和△FDM 中有哪几对相似三角形？(不需说明理由)(2)如果AM ＝1，sin ∠DMF ＝35，那么AB 的长为6．解：(1)有三对相似三角形，即△AMP∽△BPQ∽△CQD.(2)设AP ＝x ，由折叠关系可得BP ＝AP ＝EP ＝x ，AB ＝DC ＝2x ，AM ＝1.由△AMP∽△BPQ，得AM BP ＝AP BQ，即BQ ＝x 2. 由△AMP∽△CQD，得AP CD ＝AM CQ，即CQ ＝2. AD ＝BC ＝BQ ＋CQ ＝x 2＋2，MD ＝AD －AM ＝x 2＋2－1＝x 2＋1. 又∵在Rt △FDM 中，sin ∠DMF ＝35， DF ＝DC ＝2x ，∴sin∠DMF ＝DF MD ＝2x x 2＋1＝35.解得x ＝3或x ＝13(不合题意，舍去)． ∴AB ＝2x ＝6.4．(2016·唐山路北区模拟)如图，在等腰△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2，点D 是边AC 的中点，点E 是斜边AB 上的动点，将△AED 沿DE 所在的直线折叠得到△A 1DE.(1)当点A 1落在边BC(含边BC 的端点)上时，折痕DE 的长是多少？(2)连接A 1B ，当点E 在边AB 上移动时，求A 1B 长的最小值．解：(1)∵点D 到边BC 的距离是DC ＝DA ＝1，∴点A 1落在边BC 上时，点A 1与点C 重合，如备用图所示．此时，DE 为AC 的垂直平分线，即DE 为△ABC 的中位线，∴DE ＝12BC ＝1. (2)连接BD.在Rt △BCD 中，BD ＝BC 2＋CD 2＝ 5.由△A 1DE ≌△ADE ，可得A 1D ＝AD ＝1.由A 1B ＋A 1D ≥BD ，得A 1B ≥BD －A 1D ＝5－1.∴A 1B 长的最小值是5－1.5．(2015·资阳)E ，F 分别是正方形ABCD 的边DC ，CB 上的点，且DE ＝CF ，以AE 为边作正方形AEHG ，HE 与BC 交于点Q ，连接DF.(1)求证：△ADE≌△DCF；(2)若E 是CD 的中点，求证：Q 为CF 的中点；(3)连接AQ ，设S △CEQ ＝S 1，S △AED ＝S 2，S △EAQ ＝S 3，在(2)的条件下，判断S 1＋S 2＝S 3是否成立？并说明理由．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ＝CD ，∠ADE ＝∠DCF＝90°.∵DE ＝CF ，∴△ADE ≌△DCF(SAS )．(2)证明：∵四边形AEHG 是正方形，∴∠AEH ＝90°.∴∠AED ＋∠QEC＝90°.∵∠ADE ＝90°，∴∠AED ＋∠EAD＝90°.∴∠QEC ＝∠EAD .∴△ADE ∽△ECQ.∴CQ DE ＝CE AD. ∵CE AD ＝DE AD ＝12，∴CQ DE ＝CQ CF ＝12. ∴点Q 是CF 中点．(3)S 1＋S 2＝S 3成立．理由：∵△ADE∽△ECQ，∴CQ DE ＝QE AE. 又∵DE＝CE ，∴CQ CE ＝QE AE. ∵∠C ＝∠AEQ＝90°，∴△A EQ∽△ECQ. ∴△AEQ ∽△ECQ ∽△ADE.∴S 1S 3＝(EQ AQ )2，S 2S 3＝(AE AQ)2. ∴S 1S 3＋S 2S 3＝(EQ AQ )2＋(AE AQ )2＝EQ 2＋AE 2AQ 2. 由勾股定理得EQ 2＋AE 2＝AQ 2，∴S 1S 3＋S 2S 3＝1，即S 1＋S 2＝S 3.6．(2015·丽水)如图，在矩形ABCD 中，E 为CD 的中点，F 为BE 上的一点，连接C F 并延长交AB 于点M ，MN ⊥CM 交AD 于点N.(1)当F 为BE 中点时，求证：AM ＝CE ；(2)若AB BC ＝EF BF ＝2，求AN ND的值； (3)若AB BC ＝EF BF＝n ，当n 为何值时，MN ∥BE. 解：(1)证明：∵F 为BE 中点，∴BF ＝EF.∵在矩形ABCD 中，AB ∥CD ，∴∠MBF ＝∠CEF ，∠BMF ＝∠ECF.∴△BMF ≌△ECF(AAS )．∴MB ＝CE.∵AB ＝CD ，CE ＝DE ，∴MB ＝AM.∴AM＝C E.(2)设MB ＝a ，∵AB ∥CD ，∴△BMF ∽△ECF.∴EF BF ＝CE MB ＝2.∴CE＝2a.∴AB ＝CD ＝2CE ＝4a ，AM ＝AB －MB ＝3a.∵AB BC ＝2，∴BC ＝AD ＝2a.∵MN ⊥MC ，∠A ＝∠ABC＝90°，∴∠AMN ＋∠BMC＝90°.又∵∠AMN＋∠ANM＝90°，∴∠BMC ＝∠ANM.∴△AMN ∽△BCM.∴AN MB ＝AM BC ，即AN a ＝3a 2a .∴AN ＝32a ，ND ＝AD －AN ＝12a.∴AN ND ＝32a12a＝3.(3)设MB ＝a ，∵EF BF ＝n ，且△MBF∽△CEF，∴CE MB ＝EF BF .∴CE ＝na ，AB ＝CD ＝2na.∵AB BC ＝n ，∴BC＝2a.如图，当MN∥BE 时，CM ⊥BE.∵∠BMC ＋∠BCM＝90°，∠EBC ＋∠BCM＝90°，∴∠BCM ＝∠EBC.∴△MBC ∽△BCE.∴MB BC ＝BC CE ，即a BC ＝BC na .∴BC ＝na.又∵BC＝2a ，∴na ＝2a.解得n ＝4.∴当n ＝4时，MN ∥BE.7．(2016·石家庄模拟)提出问题：(1)如图1，在正方形ABCD 中，点E ，H 分别在BC ，AB 上，若AE⊥DH 于点O ，求证：A E ＝DH ；类比探究：(2)如图2，在正方形ABCD 中，点H ，E ，G ，F 分别在AB ，BC ，CD ，DA 上，若EF⊥HG 于点O ，探究线段EF 与HG 的数量关系，并说明理由；综合运用：(3)在(2)问条件下，HF ∥GE ，如图3所示，已知BE ＝EC ＝2，EO ＝2FO ，求图中阴影部分的面积．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝DA ，∠ABE ＝90°＝∠DAH.∴∠HAO ＋∠O AD ＝90°.∵AE ⊥DH ，∴∠ADO ＋∠OAD＝90°.∴∠HAO ＝∠ADO.∴△ABE ≌△DAH(ASA )．∴AE＝DH.(2)EF ＝GH.理由：将FE 平移到AM 处，则AM∥EF，AM ＝EF.将GH 平移到DN 处，则DN∥GH，DN ＝GH.∵EF ⊥GH ，∴AM ⊥DN.根据(1)的结论得AM ＝DN ，∴EF ＝GH. (3)∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ∥CD.∴∠AHO ＝∠CGO.∵FH ∥EG ，∴∠FHO ＝∠EGO.∴∠AHF ＝∠CGE.∴△AHF ∽△CGE.∴AF CE ＝FH EG ＝FO OE ＝12.又∵EC＝2，∴AF ＝1.过点F 作FP⊥BC 于点P ，根据勾股定理得EF ＝17.∵FH ∥EG ，∴FO FE ＝HO HG .根据(2)知EF ＝GH ，∴FO ＝HO.∴S △FOH ＝12FO 2＝12×(13EF)2＝1718，S △EOG ＝12EO 2＝12×(23EF)2＝6818.∴阴影部分面积为1718＋6818＝8518.。

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