2020版《微点教程》高考人教A版文科数学一轮复习文档：第八章 第五节 椭 圆 Word版含答案
2020高中数学一轮复习课件 第8章 椭圆双曲线圆锥曲线的综合应用
高中数学一轮复习课件
(2)定值、定点问题的处理方式一般有两种:一是从特殊点入手,求出 定点(值),再证明这个点(值)与变量无关;二是直接推理计算,并在计 算过程中消去变量,从而得到定点(值). 2.重视对数学思想、方法进行归纳提炼,达到优化解题思维、简化 解题过程的目的. (1)方程思想 解析几何的题目大部分都以方程形式给定直线和圆锥曲线,因此把 直线与圆锥曲线相交的弦长问题利用韦达定理进行整体处理,会减 少解题运算量.
②几何法:若问题的条件和结论能明显地体现曲线几何特征,则利用 图形性质来解决最值与取值范围问题.
2.对称、存在性问题,与圆锥曲线有关的证明问题
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它涉及线段相等、角相等、直线平行、垂直的证明方法,以及定点 、定值问题的判断方法.
3.实际应用题
涉及与圆锥曲线有关的应用问题,解决的关键是建立坐标系,合理选 择曲线模型,然后转化为相应的数学问题作出定量或定性分析与判 断,解题的一般思想是:
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(2)巧用函数思想方法 对于圆锥曲线上一些动点,在变化过程中会引入一些相互联系、相 互制约的量,从而使一些线的长度及a,b,c,e之间构成函数关系,函数 思想在处理这类问题时就很有效. (3)掌握坐标法 坐标法是解析几何的基本方法,因此要加强坐标法的训练.
(4)对称思想 由于圆锥曲线和圆都具有对称性质,可使分散的条件相对集中,减少 一些变量和未知量,简化计算,提高解题速度,使问题更快解决.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
高中数学一轮复习课件
锥曲线中有关的几何元素的最值问题.曲线遵循某种条件时,参数有 相应的允许取值范围,即我们指的参变数取值范围问题.求解时有以 下两种方法:
①代数法:引入参变量,通过圆锥曲线的性质,及曲线与曲线的交点理 论、韦达定理、方程思想等,用变量表示(计算)最值、范围问题,再 用函数思想、不等式方法得到最值、范围;
2020高考数学一轮复习 第8章第5节 椭圆课件 文 新课标版 精品
2．注意椭圆几何性质的挖掘．
(1)设椭圆方程ax22＋by22＝1(a＞b＞0)上任意一点为 P(x，y)，
则 |OP| ＝ x2＋y2 ＝
x2＋ab22a2－x2 ＝
c2x2＋a2b2 a
.
因
为
－
a≤x≤a，所以 x＝0 时，|OP|有最小值 b，这时，P 在短轴端
考点一 应用椭圆的定义解题
【案例1】 已知圆(x＋2)2＋y2＝36的圆心 为M，设A为圆上任一点，N(2,0)，线段AN的垂 直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是( )
A．圆
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线
解析：点P在线段AN的垂直平分线上，
故|PA|＝|PN|.
又AM是圆的半径，所以|PM|＋|PN|＝|PM| ＋|PA|＝|AM|＝6>|MN|，由椭圆定义知，P点的 轨迹是椭圆．
对称中心： 原点
顶点坐标：
顶点坐标：
性
A1 (－a,0) ，A2 (a,0) A1(0，－a) ，A2(0，a)
质
顶点 B1(0，－b) ，B2 (0，b) B1 (－b,0) ，B2 (b,0)
长轴线段A1A2 的长为 2a 长轴 线段A1A2 的长为 2a
短轴 线段B1B2 的长为 2b 短轴 线段B1B2 的长为2b
答案：D
2．已知椭圆10x－2 m＋my－2 2＝1，长轴在 y 轴上，若焦距
为 4，则 m 的值为(
A．4 C．7
)
B．5 D．8
解析：依题意得mm－－22>1－0－10m－>0m，＝4， 解得 m＝8.
答案：D
2020版高考数学一轮复习第八章平面解析几何8_5_1椭圆课件理新人教A版
(2)已知椭圆4x92 ＋2y42 ＝1 上一点 P 与椭圆的两焦点 F1，F2 的连线夹角为 直角，则|PF1|·|PF2|＝________。
解析 (2)依题意 a＝7，b＝2 6，c＝ 49－24＝5，|F1F2|＝2c＝10，由 于 PF1⊥PF2，所以由勾股定理得|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，即|PF1|2＋|PF2|2＝ 100。又由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝14，所以(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2| ＝100，即 196－2|PF1|·|PF2|＝100。解得|PF1|·|PF2|＝48。
－b≤x≤b －a≤y≤a ；对称中心： 原点
顶点
A1 (－a,0)，A2 (a,0) A1(0，－a)，A2 (0，a) B1(0，－b)，B2 (0，b) B1 (－b,0) ，B2 (b,0)
性 轴 长轴 A1A2 的长为 2a ；短轴 B1B2 的长为 2b
质 焦距
|F1F2|＝ 2c
离心率
二、走近高考 3．(2018·全国卷Ⅱ)已知 F1，F2 是椭圆 C：ax22＋by22＝1(a>b>0)的左、右焦
点，A 是 C 的左顶点，点 P 在过 A 且斜率为 63的直线上，△PF1F2 为等腰三
角形，∠F1F2P＝120°，则 C 的离心率为( )
A．23
B．12
C．13
D．14
解析 由题意可得椭圆的焦点在 x 轴上，如图所示，设|F1F2|＝2c，因 为△PF1F2 为等腰三角形，且∠F1F2P＝120°，所以|PF2|＝|F1F2|＝2c。因为 |OF2|＝c，所以点 P 坐标为(c＋2ccos60°，2csin60°)，即点 P(2c， 3c)。因 为点 P 在过 A 且斜率为 63的直线上，所以2c＋3ca＝ 63，解得ac＝14，所以 e ＝14，故选 D。
(新课标)2020年高考数学一轮总复习第八章平面解析几何8_5椭圆课件文新人教A版
点，P为C上一点，满足|OP|＝|OF|，且|PF|＝6，则椭圆C的方程为( )
A.3x62 ＋1y62 ＝1 C.4x92 ＋2y42 ＝1
B.4x02 ＋1y52 ＝1 D.4x52 ＋2y02 ＝1
[解析]
(1)因为O，M分别为F1F2和PF1的中点，所以OM∥PF2，且|OM|＝
1 2
|PF2|，
中心到l的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( )
1
1
A.3
B.2
2
3
C.3
D.4
(2)如图，焦点在x轴上的椭圆
x2 4
＋
y2 b2
＝1的离心率e＝
1 2
，F，A分别是椭圆的左焦点
和右顶点，P是椭圆上任意一点．则P→F·P→A的最大值为________．
[解析] (1)如图，|OB|为椭圆中心到l的距离，则|OA|·|OF|＝|AF|·|OB|，即bc＝a·b2， 所以e＝ac＝12.故选B.
②设直线 AM 的方程为 y＝k(x＋2)(k＞0)，
代入x2＋y2＝1 得(3＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－12＝0. 43
由
x1·(－2)＝163k＋2－4k122得
x1＝
2(3 4k 2 ) 3 4k 2
，
故|AM|＝|x1＋2| 1＋k2＝123＋14＋k2k2.
由题设直线 AN 的方程为 y＝－1(x＋2)， k
点，则△AF1B的周长为________．
答案：20
考点一|椭圆的定义及方程 (易错突破)
【例 1】 (1)椭圆 C：ax22＋y2＝1(a>0)的左、右焦点分别为 F1，F2，P 为椭圆上异
于端点的任意一点，PF1，PF2 的中点分别为 M，N.O 为坐标原点，四边形 OMPN
高考数学一轮复习 85椭圆课件 新人教A版
“方程5－x2m＋my＋2 3＝1 表示椭圆”的必要不充分条件．
答案 B
第十五页，共66页。
3．已知椭圆x52＋ym2＝1 的离心率 e＝ 510，则 m 的值为(
)
A．3 B．3 或235
C. 15
D.
15或5
15 3
第十六页，共66页。
5>m，
解析
若焦点在 x 轴上，则有
5－m＝ 5
510，
34
第三十页，共66页。
(2)由于直线 AB 的斜率为－ba，
故 OP 的斜率为－ba，
直线 OP 的方程为 y＝－bax， 与椭圆方程ax22＋by22＝1 联立，
解得
x＝±
2 2 a.
第三十一页，共66页。
因为 PF1⊥x 轴，所以 x＝－ 22a， 从而－ 22a＝－c，即 a＝ 2c. 又|F1A|＝a＋c＝ 10＋ 5， 故 2c＋c＝ 10＋ 5， 解得 c＝ 5，从而 a＝ 10. 所以所求的椭圆方程为1x02 ＋y52＝1.
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2．求椭圆离心率的常用方法：(1)求得 a、c 的值，直接代入 公式 e＝ac求得；(2)列出关于 a，b，c 的齐次方程(或不等式)，然 后根据 b2＝a2－c2，消去 b，转化成关于 e 的方程(或不等式)求解．
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基础自评
1．已知椭圆的一个焦点为 F(1,0)，离心率 e＝12，则椭圆的标
答案 1
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5．已知△ABC 的顶点 B、C 在椭圆x32＋y2＝1 上，顶点 A 是椭 圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在 BC 边上，则△ABC 的 周长是________．
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2020版高考数学一轮复习第八章平面解析几何8_5_2椭圆的综合问题课件理新人教版
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 x1＋x2＝41＋0k52k2，x1x2＝54k＋2－5k220。 设 N(5，y0)，因为 A，M，N 三点共线， 所以3－－yx11＝y20，所以 y0＝x12－y13。 而 y0－y2＝x12－y13－y2＝2kx1x－1－31－k(x2－1) ＝3kx1＋xx21－－k3x1x2－5k ＝3k·41＋0k52k2－x1k－·543k＋2－5k220－5k＝0。
【变式训练】 已知椭圆 C 的方程为x42＋y22＝1，点 A 为椭圆的右顶点， 直线 y＝k(x－1)与椭圆 C 交于不同的两点 M，N。当△AMN 的面积为49 7时， 求 k 的值。
y＝kx－1， 解 由x42＋y22＝1，
得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0。 设点 M，N 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 则 y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，
解 由题意知，F(1,0)，E(5,0)，M(3,0)。 (1)因为直线 l1 的倾斜角为π4，所以斜率 k＝1。 所以直线 l1 的方程为 y＝x－1。 代入椭圆方程，可得 9x2－10x－15＝0。 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 x1＋x2＝190，x1x2＝－53。 所以|AB|＝ 2· x1＋x22－4x1x2
Δ>0⇒m2<4， 所以 x1＋x2＝－32m，x1x2＝3m24－3。
|AB|＝ 1＋k2|x1－x2| ＝ 2x2－x12 ＝ 2[x1＋x22－4x1x2] ＝ 12－23m2。 当 m＝0，即直线 l 过原点时，|AB|最大，最大值为 6。
2020版《微点教程》高考人教A版文科数学一轮复习文档：第五章 第一节 数列的概念与简单表示法
第五章 数 列第一节 数列的概念与简单表示法2019考纲考题考情1.数列的有关概念(1)数列的定义按照一定顺序排列的一列数称为数列。
数列中的每一个数叫做这个数列的项。
(2)数列的分类分类原则类型满足条件有穷数列项数有限按项数分类无穷数列项数无限递增数列a n ＋1>a n 递减数列a n ＋1<a n 按项与项间的大小关系分类常数列a n ＋1＝a n 其中n ∈N *有界数列存在正数M ，使|a n |≤M 摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列按其他标准分类周期数列对n ∈N *，存在正整数常数k ，使a n ＋k ＝a n (3)数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析式法。
2.数列的通项公式(1)数列的通项公式,如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表达，那么这个公式叫做这个数列的通项公式。
(2)已知数列{a n }的前n 项和S n ，则a n ＝,Error!1．数列与函数的关系数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在正整数集或其子集{1,2,3，…，n }上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值。
2．在数列{a n }中，若a n 最大，则Error!若a n 最小，则Error!3．递推关系求通项公式的三种方法：(1)叠加法：对于a n ＋1－a n ＝f (n )型，若f (1)＋f (2)＋…＋f (n )的和是可求的，可用多式相加法求得a n 。
(2)叠乘法：对于＝f (n )型，若f (1)·f (2)·…·f (n )的积是an ＋1an 可求的，可用多式相乘法求得a n 。
(3)构造法：对a n ＋1＝pa n ＋q 型，两边同时加上(p ≠1)qp －1构造一个公比为p 的等比数列，求得a n 。
一、走进教材1．(必修5P 33A 组T 4改编)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝1＋(n ≥2)，则a 5等于( )(－1)nan －1A ． B ． C ． D ．32538523解析 a 2＝1＋＝2，a 3＝1＋＝，a 4＝1＋(－1)2a 1(－1)3a 212＝3，a 5＝1＋＝。
高考数学一轮 知识点各个击破 第八章 第五节 椭圆追踪训练 文 新人教A版
高考数学一轮 知识点各个击破 第八章 第五节 椭圆追踪训练 文 新人教A 版一、选择题1．已知F 1，F 2是椭圆x 216＋y 29＝1的两焦点，过点F 2的直线交椭圆于A ，B 两点．在△AF 1B中，若有两边之和是10，则第三边的长度为 ( )A ．6B ．5C ．4D ．32．若直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为 ( )A ．至多一个B ．2个C ．1个D ．0个3．已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线C 2：x 2－y 24＝1有公共的焦点，C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A ，B 两点．若C 1恰好将线段AB 三等分，则 ( )A ．a 2＝132B ．a 2＝13 C ．b 2＝12D ．b 2＝24．已知椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点M 在该椭圆上，且1MF · 2MF ＝0，则点M 到y 轴的距离为( )A.233B.263C.33D. 35．方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的椭圆的左顶点为A ，左、右焦点分别为F 1、F 2，D 是它短轴上的一个端点，若3 1DF ＝ DA ＋2 2DF ，则该椭圆的离心率为 ( )A.12 B.13 C.14D.156．已知椭圆E ：x 2m ＋y 24＝1，对于任意实数k ，下列直线被椭圆E 截得的弦长与l ：y ＝kx ＋1被椭圆E 截得的弦长不可能相等的是 ( )A ．kx ＋y ＋k ＝0B ．kx －y －1＝0C ．kx ＋y －k ＝0D ．kx ＋y －2＝0二、填空题7．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左顶点为A ，左焦点为F ，上顶点为B ，若∠BAO ＋∠BFO ＝90°，则椭圆的离心率是________．8．设F 1、F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为(6,4)，则|PM |＋|PF 1|的最大值为________．9．设F 1，F 2分别为椭圆x 23＋y 2＝1的左、右焦点，点A ，B 在椭圆上，若 1F A ＝5 2F B ，则点A 的坐标是________．三、解答题10．设椭圆C ∶x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点(0,4)，离心率为35.(1)求C 的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的中点坐标．11．如图，在平面直角坐标系xOy 中，M 、N 分别是椭圆x 24＋y 22＝1的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P 、A 两点，其中点P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C .连接AC ，并延长交椭圆于点B .设直线PA 的斜率为k .(1)当直线PA 平分线段MN 时，求k 的值； (2)当k ＝2时，求点P 到直线AB 的距离d ； (3)对任意的k >0，求证：PA ⊥PB .12．已知椭圆G ∶x 24＋y 2＝1.过点(m,0)作圆x 2＋y 2＝1的切线l 交椭圆G 于A ，B 两点．(1)求椭圆G 的焦点坐标和离心率；(2)将|AB |表示为m 的函数，并求|AB |的最大值．详解答案一、选择题1．解析：根据椭圆定义，知△AF 1B 的周长为4a ＝16，故所求的第三边的长度为16－10＝6.答案：A2．解析：∵直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，∴4m 2＋n2>2，∴m 2＋n 2<4，∴m 29＋n 24<m 29＋4－m 24＝1－536m 2<1，∴点(m ，n )在椭圆x 29＋y24＝1的内部，∴过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为2个．答案：B3．解析：如图所示设直线AB 与椭圆C 1的一个交点为C (靠近A 的交点)，则|OC |＝a3，因tan ∠COx ＝2，∴sin ∠COx ＝25，cos ∠COx ＝15，则C 的坐标为(a35，2a35)，代入椭圆方程得a 245a 2＋4a 245b 2＝1，∵5＝a 2－b 2，∴b 2＝12.答案：C4．解析：由题意，得F 1(－3，0)，F 2(3，0)．设M (x ，y )，则 1MF · 2MF ＝ (－3－x ，－y )·(3－x ，－y )＝0，整理得x 2＋y 2＝3 ①.又因为点M 在椭圆上，故x 24＋y 2＝1，即y 2＝1－x 24 ②.将②代入 ①，得34x 2＝2，解得x ＝±263.故点M 到y 轴的距离为263. 答案：B5．解析：设点D (0，b ), 则 1DF ＝(－c ，－b )， DA ＝(－a ，－b )， 2DF ＝(c ，－b )，由3 1DF ＝ DA ＋2 2DF 得－3c ＝－a ＋2c ，即a ＝5c ，故e ＝15.答案：D6．解析：A 选项中，当k ＝－1时，两直线关于y 轴对称，两直线被椭圆E 截得的弦长相等；B 选项中，当k ＝1时，两直线平行，两直线被椭圆E 截得的弦长相等；C 选项中，当k ＝1时，两直线关于y 轴对称，两直线被椭圆E 截得的弦长相等．答案：D 二、填空题7．解析：∵∠BAO ＋∠BFO ＝90°， ∴∠BAO ＝∠FBO . ∴OB OA ＝OF OB. 即OB 2＝OA ·OF ， ∴b 2＝ac . ∴a 2－c 2－ac ＝0. ∴e 2＋e －1＝0.∴e ＝－1±1＋42＝－1±52.又∵0<e <1， ∴e ＝5－12.答案：5－128．解析：由椭圆定义知|PM |＋|PF 1|＝|PM |＋2×5－|PF 2|，而|PM |－|PF 2|≤|MF 2|＝5， 所以|PM |＋|PF 1|≤2×5＋5＝15. 答案：159．解析：根据题意设A 点坐标为(m ，n )，B 点坐标为(c ，d )．F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，其坐标分别为(－2，0)、(2，0)，可得1F A ＝(m ＋2，n ) 2F B ＝(c －2，d )．∵ 1F A ＝52F B ，∴c ＝m ＋625，d ＝n 5.∵点A 、B 都在椭圆上，∴m23＋n 2＝1，m ＋62523＋(n5)2＝1.解得m ＝0，n ＝±1，故点A 坐标为(0，±1)．答案：(0，±1) 三、解答题10．解：(1)将(0,4)代入C 的方程得16b2＝1，∴b ＝4，由e ＝c a ＝35得a 2－b 2a 2＝925，即1－16a 2＝925，∴a ＝5，∴C 的方程为x 225＋y 216＝1.(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为 y ＝45(x －3)，设直线与C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线方程y ＝45(x －3)代入C 的方程，得x 225＋x －3225＝1，即x 2－3x －8＝0，解得x 1＝3－412，x 2＝3＋412， ∴AB 的中点坐标x －＝x 1＋x 22＝32，y －＝y 1＋y 22＝25(x 1＋x 2－6)＝－65，即中点坐标为(32，－65)．解：由题设知，a ＝2，b ＝2，故M (－2,0)，N (0，－2)，所以线段MN 中点的坐标为(－1，－22)． 由于直线PA 平分线段MN ，故直线PA 过线段MN 的中点，又直线PA 过坐标原点，所以k ＝－22－1＝22. (2)直线PA 的方程为y ＝2x ，代入椭圆方程得x 24＋4x 22＝1，解得x ＝±23，因此P (23，43)，A (－23，－43)．于是C (23，0)，直线AC 的斜率为0＋4323＋23＝1，故直线AB 的方程为x －y －23＝0.因此，d ＝|23－43－23|12＋12＝223. (3)证明：法一：将直线PA 的方程y ＝kx 代入x 24＋y 22＝1，解得x ＝±21＋2k 2记μ＝21＋2k2，则P (μ，μk )，A (－μ，－μk )．于是C (μ，0)．故直线AB 的斜率为0＋μk μ＋μ＝k2，其方程为y ＝k 2(x －μ), 代入椭圆方程并由μ＝21＋2k 2得(2＋k 2)x 2－2μk 2x －μ2(3k 2＋2)＝0，解得x ＝μ3k 2＋22＋k 2或x ＝－μ.因此B (μ3k 2＋22＋k 2，μk 32＋k2)．于是直线PB 的斜率k 1＝uk 32＋k 2－μk μ3k 2＋22＋k2－μ＝k 3－k 2＋k 23k 2＋2－2＋k 2＝－1k. 因此k 1k ＝－1，所以PA ⊥PB .法二：设P (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1>0，x 2>0，x 1≠x 2，A (－x 1，－y 1)，C (x 1,0)．设直线PB ，AB 的斜率分别为k 1，k 2.因为C 在直线AB 上，所以k 2＝0－－y 1x 1－－x 1＝y 12x 1＝k2.从而k 1k ＋1＝2k 1k 2＋1＝2·y 2－y 1x 2－x 1·y 2－－y 1x 2－－x 1＋1＝2y 22－2y 21x 22－x 21＋1＝x 22＋2y 22－x 21＋2y 21x 22－x 21＝4－4x 22－x 21＝0.因此k 1k ＝－1，所以PA ⊥PB . 12．解：(1)由已知得a ＝2，b ＝1，所以c ＝a 2－b 2＝ 3.所以椭圆G 的焦点坐标为(－3，0)，(3，0)， 离心率为e ＝c a ＝32. (2)由题意知，|m |≥1.当m ＝1时，切线l 的方程为x ＝1，点A ，B 的坐标分别为(1，32)，(1，－32)，此时|AB |＝ 3.当m ＝－1时，同理可得|AB |＝ 3.当|m |＞1时，设切线l 的方程为y ＝k (x －m )．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －m ，x 24＋y 2＝1.得(1＋4k 2)x 2－8k 2mx ＋4k 2m 2－4＝0.设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8k 2m 1＋4k 2，x 1x 2＝4k 2m 2－41＋4k 2.又由l 与圆x 2＋y 2＝1相切，得|km |k 2＋1＝1，即m 2k 2＝k 2＋1. 所以|AB |＝x 2－x 12＋y 2－y 12＝1＋k2[x 1＋x 22－4x 1x 2] ＝1＋k2[64k 4m21＋4k22－44k 2m 2－41＋4k 2]＝43|m |m 2＋3. 由于当m ＝±1时，|AB |＝3，所以|AB |＝43|m |m 2＋3，m ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)．因为|AB |＝43|m |m 2＋3＝43|m |＋3|m |≤2， 且当m ＝±3时，|AB |＝2， 所以|AB |的最大值为2.。
2020版一轮创新思维文数(人教版A版)课件：第八章 第五节 椭圆 .ppt
解析 答案
第八章
第五节 椭 圆
回顾教材·夯实基础 典例剖析·突破考点
真题感悟·体验考场
课时规范练
考点一
考点二
考点三
考点四
椭圆的标准方程及应用|方法突破
[例 2] (1)△ABC 的两个顶点为 A(－4,0)，B(4,0)，周长为
18，则 C 点轨迹为( )
A.2x52 ＋y92＝1(y≠0)
B.2y52 ＋x92＝1(y≠0)
两个端点，M 为短轴的一个端点，且∠AMB＝120°，求 m.
答案：1 或 9
第八章
考点一
第五节 椭 圆
回顾教材·夯实基础 典例剖析·突破考点 真题感悟·体验考场
考点二
考点三Biblioteka 考点四课时规范练椭圆的定义及应用|思维突破
[例 1] (1)已知圆(x＋2)2＋y2＝36 的圆心为 M，设 A 为圆上
任一点，N(2,0)，线段 AN 的垂直平分线交 MA 于点 P，则
考点三
考点四
课时规范练
(1)(定义法)由 A，B 坐标可知|AB|＝8，由△ABC 的周长为 18 可 知 AC＋BC＝10，由椭圆的定义可知，点 C 在焦点为 A(4,0)， B(－4,0)，长半轴长为 5 的椭圆上运动，则椭圆方程为2x52＋y92＝1， 当点 C 在横轴上时，点 A，B，C 共线，不能构成三角形，所以 y≠0，所以点 C 的轨迹方程为2x52＋y92＝1(y≠0)．
C.1x62 ＋y92＝1(y≠0)
D.1y62 ＋x92＝1(y≠0)
(2)已知椭圆 C1：x42＋y2＝1，椭圆 C2 以 C1 的长轴为短轴，
且与 C1 有相同的离心率．求椭圆 C2 的方程．
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第五节 椭 圆2019考纲考题考情1．椭圆的概念平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫椭圆。
这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数}。
(1)若a＞c，则M点的轨迹为椭圆。
(2)若a＝c，则M点的轨迹为线段F1F2。
(3)若a＜c，则M点不存在。
2．椭圆的标准方程和几何性质1．椭圆方程中的a ，b ，c (1)a ，b ，c 关系：a 2＝b 2＋c 2。
(2)e 与：因为e ＝＝＝，所以离心率e b a c aa 2－b 2a1－(ba)2越大，则越小，椭圆就越扁；离心率e 越小，则越大，椭圆就b a ba 越圆。
2．在求焦点在x 轴上椭圆的相关量的范围时，要注意应用以下不等关系：－a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b,0<e <1。
3．焦点三角形椭圆上的点P 与焦点F 1，F 2若构成三角形，则称△PF 1F 2为焦点三角形，焦点三角形问题注意与椭圆定义、正弦定理、余弦定理的联系。
一、走进教材1．(选修1－1P 42A 组T 1改编)若F 1(－3,0)，F 2(3,0)，点P 到F 1，F 2距离之和为10，则P 点的轨迹方程是( )A ．＋＝1 B ．＋＝1x 225y 216x 2100y 29C ．＋＝1D ．＋＝1或＋＝1y 225x 216x 225y 216y 225x 216解析 设点P 的坐标为(x ，y )，因为|PF 1|＋|PF 2|＝10>|F 1F 2|＝6，所以点P 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的椭圆，其中a ＝5，c ＝3，b ＝＝4，故点P 的轨迹方程为＋＝1。
故选A 。
a 2－c 2x 225y216答案 A2．(选修1－1P 42A 组T 4改编)设椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2，过点F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是( )A ．B ．222－12C ．2－D ．－122解析 设椭圆方程为＋＝1，依题意，显然有|PF 2|＝x 2a 2y 2b 2|F 1F 2|，则＝2c ，即＝2c ，即e 2＋2e －1＝0，又0<e <1，b 2a a 2－c 2a 解得e ＝－1。
故选D 。
2解析：因为△F 1PF 2为等腰直角三角形，所以|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，|PF 1|＝2c 。
因为|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以2c ＋2c ＝2a ，22所以e ＝＝＝－1。
故选D 。
c a 12＋12答案 D 二、走近高考3．(2018·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点。
若PF 1⊥PF 2，且∠PF 2F 1＝60°，则C 的离心率为( )A ．1－B ．2－323C ．D ．－13－123解析 在△F 1PF 2中，∠F 1PF 2＝90°，∠PF 2F 1＝60°，|F 1F 2|＝2c ，所以|PF 2|＝c ，|PF 1|＝c ，又由椭圆定义可知|PF 1|＋|PF 2|＝32a ，即c ＋c ＝2a ，故椭圆C 的离心率e ＝＝－1。
故选D 。
3ca3答案 D4．(2017·全国卷Ⅰ)设A ，B 是椭圆C ：＋＝1长轴的两x 23y 2m 个端点。
若C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则m 的取值范围是( )A ．(0,1]∪[9，＋∞)B ．(0，]∪[9，＋∞)3C ．(0,1]∪[4，＋∞)D ．(0，]∪[4，＋∞)3解析 依题意得，Error!或Error!所以Error!或Error!解得0<m ≤1或m ≥9。
答案 A 三、走出误区微提醒：①忽视椭圆定义中的限制条件；②忽视椭圆标准方程焦点位置的讨论；③忽视点P 坐标的限制条件。
5．平面内一点M 到两定点F 1(0，－9)，F 2(0,9)的距离之和等于18，则点M 的轨迹是________。
解析 由题意知|MF 1|＋|MF 2|＝18，但|F 1F 2|＝18，即|MF 1|＋|MF 2|＝|F 1F 2|，所以点M 的轨迹是一条线段。
答案 线段F 1F 26．椭圆＋＝1的焦距为4，则m 等于( )x 210－m y 2m －2A ．4 B ．8C ．4或8D ．12解析 当焦点在x 轴上时，10－m >m －2>0,10－m －(m －2)＝4，所以m ＝4。
当焦点在y 轴上时，m －2>10－m >0，m －2－(10－m )＝4，所以m ＝8。
所以m ＝4或8。
答案 C7．已知点P 是椭圆＋＝1上y 轴右侧的一点，且以点Px 25y 24及焦点F 1，F 2为顶点的三角形的面积等于1，则点P 的坐标为________________。
解析 设P (x ，y )，由题意知c 2＝a 2－b 2＝5－4＝1，所以c ＝1，则F 1(－1,0)，F 2(1,0)。
由题意可得点P 到x 轴的距离为1，所以y ＝±1，把y ＝±1代入＋＝1，得x ＝±，又x >0，所以x ＝，x 25y 24152152所以P 点坐标为或。
(152，1)(152，－1)答案 或(152，1)(152，－1)第1课时 椭圆的定义及简单几何性质考点一 椭圆的定义及应用【例1】 (1)过椭圆＋y 2＝1的左焦点F 1作直线l 交椭圆x 24于A ，B 两点，F 2是椭圆右焦点，则△ABF 2的周长为( )A ．8B ．42C ．4D ．22(2)在平面直角坐标系xOy 中，P 是椭圆＋＝1上的一个y 24x 23动点，点A (1,1)，B (0，－1)，则|PA |＋|PB |的最大值为( )A ．5B ．4C ．3D ．2解析 (1)因为＋y 2＝1，所以a ＝2。
由椭圆的定义可得|AF 1|x 24＋|AF 2|＝2a ＝4，且|BF 1|＋|BF 2|＝2a ＝4，所以△ABF 2的周长为|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|)＝4a ＝8。
故选A 。
(2)因为椭圆方程为＋＝1，所以焦点为B (0，－1)和x 23y 24B ′(0,1)，连接PB ′，AB ′，根据椭圆的定义，得|PB |＋|PB ′|＝2a ＝4，可得|PB |＝4－|PB ′|，因此|PA |＋|PB |＝|PA |＋(4－|PB ′|)＝4＋(|PA |－|PB ′|)。
因为|PA |－|PB ′|≤|AB ′|，所以|PA |＋|PB |≤4＋|AB ′|＝4＋1＝5，当且仅当P 在AB ′延长线上时，等号成立。
故|PA |＋|PB |的最大值为5。
答案 (1)A (2)A椭圆定义的应用主要有两个方面：一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆；二是当P 在椭圆上时，与椭圆的两焦点F 1，F 2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求|PF 1|·|PF 2|，通过整体代入可求其面积等。
面积公式S △PF 1F 2＝b 2tan (其中θ＝∠F 1PF 2)。
θ2【变式训练】 (1)(2019·惠州调研)设F 1，F 2为椭圆＋＝1x 29y 25的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，则|PF 2||PF 1|的值为( )A ．B ．51459C ．D ．49513(2)已知椭圆＋＝1上一点P 与椭圆的两焦点F 1，F 2的x 249y 224连线夹角为直角，则|PF 1|·|PF 2|＝________。
解析 (1)如图，设线段PF 1的中点为M ，因为O 是F 1F 2的中点，所以OM ∥PF 2，可得PF 2⊥x 轴，可求得|PF 2|＝，|PF 1|＝2a53－|PF 2|＝，＝。
故选D 。
133|PF 2||PF 1|513(2)依题意a ＝7，b ＝2，c ＝＝5，|F 1F 2|＝2c ＝10，649－24由于PF 1⊥PF 2，所以由勾股定理得|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，即|PF 1|2＋|PF 2|2＝100。
又由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝14，所以(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2|＝100，即196－2|PF 1|·|PF 2|＝100。
解得|PF 1|·|PF 2|＝48。
答案 (1)D (2)48考点二 椭圆的标准方程【例2】 (1)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点，(，)，则椭圆的标准方程为(－32，52)35________。
(2)设F 1、F 2为椭圆C ：＋＝1(a >b >0)的左、右焦点，经x 2a 2y 2b 2过F 1的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若△F 2AB 是面积为4的3等边三角形，则椭圆C 的方程为________。
解析 (1)设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ，n >0，m ≠n )。
由Error!解得m ＝，n ＝，故椭圆的标准方程为＋＝1。
16110y 210x 26(2)因为△F 2AB 是面积为4的等边三角形，所以AB ⊥x 轴，3所以A ，B 两点的横坐标为－c ，代入椭圆方程，可求得|F 1A |＝|F 1B |＝。
又|F 1F 2|＝2c ，∠F 1F 2A ＝30°，所以＝×2c ①。
又S △b 2a b 2a 33F 2AB ＝×2c ×＝4 ②，a 2＝b 2＋c 2 ③，由①②③解得a 2＝122b 2a39，b 2＝6，c 2＝3，所以椭圆C 的方程为＋＝1。
x 29y26答案 (1)＋＝1 (2)＋＝1y 210x 26x 29y 261．求椭圆方程的基本方法是待定系数法，先定位，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后根据条件建立关于a ，b 的方程组。
2．如果焦点位置不确定，可设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )，求出m ，n 的值即可。
3．椭圆的通径(过焦点且与长轴垂直的弦)长为。
2b 2a 【变式训练】 (1)已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆M 在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( )A ．－＝1B ．＋＝1x 264y 248x 248y 264C ．－＝1D ．＋＝1x 248y 264x 264y 248(2)设F 1，F 2分别是椭圆E ：＋＝1(0<b <2)的左、右焦点，x 24y 2b 2过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点。