大数定律

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大数定律

2
对任意ε > 0 ,估计 µ n 偏离 p 不小于ε 的概率 P(| µ n − p |≥ ε )
P(| µ n − p |≥ ε ) = P(| Sn − np |≥ nε )
(k − np) 2 = ∑ P ( Sn = k ) ≤ ∑ P ( Sn = k ) 2 2 nε k :|k − np|≥ nε k :|k − np|≥ nε
1 0
述计算积分 A = ∫ f ( x) dx 的 Monte Carlo 法.
设 X1 , Y1 , X 2 , Y2 ,⋯ 是相互独立的随机变量序列, 且都服从[0,1] 上的均匀分布.设 1 若f ( X i ) ≥ Yi Zi = , 0 若f ( X i ) < Yi
则 Zi = 1当且仅当 ( X i , Yi ) 落在曲线 f ( x) 下面阴影中.因而
µ n = Sn / n
当 n 无限增大时,频率 µ n 在某一确定值附近趋于稳定，这一确定值称为 A 的概率。
如果 µ n 有极限,自然会把这极限看作这确定值,即 A 的概率.
µ n 是随机变量,通常的数列的极限的定义不适用.
下面证明频率 µ n “依概率收敛”(定义见后)于 p ,因而
概率的统计定义与(以公理 1.1 和公理 1.2 为基础的建立起来的)概率论理论是相容的.
P(| X − EX |≥ ε ) ≤ DX / ε 2 .
证 2 2) 分别用 ( X − EX ) 2 和ε 2 代替 1)中的 X 和ε 有. 1
P (( X − EX ) 2 |≥ ε 2 ) ≤ E ( X − EX ) 2 / ε 2 ，
由此得
P (| X − EX |≥ ε ) ≤ DX / ε 2 .

四种大数定律

四种大数定律一、大数定律简介大数定律是概率论的基本定理之一，用于描述当随机试验次数趋于无穷时，随机事件发生的频率会趋于一个确定的数值。

大数定律在很多领域都有广泛的应用，如统计学、经济学、物理学等。

下面将介绍四种常见的大数定律。

二、辛钦定律辛钦定律是大数定律的一种形式，它指出当独立同分布的随机变量的和的绝对值超过一个常数时，其频率趋于无穷时，事件发生的概率趋于零。

这个定律的应用非常广泛，例如在赌场中，当一个人连续多次下注时，他的输赢金额会趋向于一个常数。

三、伯努利大数定律伯努利大数定律是大数定律的另一种形式，它描述了在相互独立的重复试验中，当试验次数趋于无穷时，随机事件发生的频率会趋于其概率。

例如在抛硬币的实验中，当抛硬币次数足够多时，正面朝上和反面朝上的频率将接近0.5。

四、中心极限定理中心极限定理是大数定律的又一种形式，它指出当独立同分布的随机变量的和的标准化差异趋近于一个正态分布时，频率趋于无穷时，随机事件的分布将趋于正态分布。

这个定理在统计学中有广泛的应用，例如在抽样调查中，样本均值的分布将趋于正态分布。

五、泊松大数定律泊松大数定律是大数定律的另一种形式，它描述了在独立随机事件发生的频率固定的条件下，当试验次数趋于无穷时，事件发生的频率会趋于一个常数。

这个定律在队列论、信号处理等领域有广泛的应用，例如在电话交换系统中，电话呼叫的到达率和服务率满足一定条件时，系统中正在服务的电话数的平均值将趋于一个常数。

六、总结大数定律是概率论中的重要定理，用于描述随机事件发生的频率趋于一个确定值的现象。

本文介绍了四种常见的大数定律，包括辛钦定律、伯努利大数定律、中心极限定理和泊松大数定律。

这些定律在不同领域有广泛的应用，如赌场、统计学、经济学等。

了解和应用大数定律可以帮助我们更好地理解和分析随机事件的发生规律，对于决策和预测具有重要的参考价值。

大数定律

k 1
定理二（李雅普诺夫(Lyapunov) (L )定理）设随机变量数学期望和方差 (k=1,2,…) 1,2,…) ，记相互独立，它们具有，
若存在正数使得当
时，
则随机变量之和
Zn
的标准化变量
X
k 1 n k
E ( X k )
k 1 n
n

X
k 1
n
k
n
D ( X k )
16
自从高斯指出测量误差服从正态分布之后，人们发现，正态分布在自然界中极为常见。
高斯
如果一个随机变量是由大量相互独立的随机因素的综合影响所造成，而每个别因素对这种综合素的综合影响所造成，而每一个别因素对这种综合影响中所起的作用不大。则这种随机变量一般都服从或近似服从正态分布。从或近似服从正态分布现在我们就来研究独立随机变量之和所特有的规律性问题。当n无限增大时，这个和的极限分布是什么呢？无限增大时这个和的极限分布是什么呢？
k 1
Bn
21
Zn
X
k 1
n
k
E ( X k )
k 1 n
n

X
k 1
n
k
n
D ( X k )
k 1
Bn
的分布函数
Fn ( x)
n X n i i 1 lim Fn ( x) lim P x n n n
由切比雪夫不等式
2 n 1 n P Xk 1 2 n k 1 上式中令 n 得 1 n lim P{| X i | } 1 n n i 1
4

23个大数定律

23个大数定律大数定律是概率论中的一组重要定理，用于描述在随机试验中大量重复进行时的规律性现象。

以下是23个大数定律的简要介绍。

1. 大数定律：随着试验次数的增加，随机变量的平均值会趋近于其期望值。

2. 弱大数定律：对于独立同分布的随机变量序列，其平均值收敛于期望值的概率为1。

3. 辛钦大数定律：对于独立同分布的随机变量序列，其平均值以概率1收敛于期望值。

4. 伯努利大数定律：在一系列独立的伯努利试验中，事件发生的频率趋近于其概率。

5. 泊松大数定律：对于独立同分布的泊松随机变量序列，其平均值以概率1收敛于其参数。

6. 中心极限定理：大量独立同分布的随机变量的和趋近于正态分布。

7. 林德伯格-列维定理：对于独立同分布的随机变量序列，其和的标准化形式以概率1收敛于标准正态分布。

8. 稳定中心极限定理：对于独立同分布的随机变量序列，其和的标准化形式以概率1收敛于稳定分布。

9. 辛钦大数定律的弱形式：对于独立同分布的随机变量序列，其平均值收敛于期望值的概率为1。

10. 多重大数定律：对于多个随机变量序列，其平均值以概率1收敛于各自的期望值。

11. 大数定律的强形式：对于独立同分布的随机变量序列，其平均值收敛于期望值的概率为1。

12. 独立非同分布大数定律：对于独立非同分布的随机变量序列，其平均值以概率1收敛于各自的期望值。

13. 独立同分布大数定律的弱形式：对于独立同分布的随机变量序列，其平均值收敛于期望值的概率为1。

14. 辛钦大数定律的强形式：对于独立同分布的随机变量序列，其平均值收敛于期望值的概率为1。

15. 大数定律的加法形式：对于独立同分布的随机变量序列，其和以概率1收敛于各自的期望值之和。

16. 大数定律的乘法形式：对于独立同分布的随机变量序列，其乘积以概率1收敛于各自的期望值之积。

17. 大数定律的极限形式：对于独立同分布的随机变量序列，其平均值以概率1收敛于期望值的极限。

18. 大数定律的收敛速度：随着试验次数的增加，随机变量的平均值与期望值之间的差异逐渐减小。

四种大数定律

四种大数定律导语：大数定律是概率论中的重要概念，它描述了在重复进行某个实验的过程中，随着实验次数的增加，实验结果会趋近于某个稳定值的现象。

本文将介绍四种常见的大数定律。

一、大数定律之弱大数定律弱大数定律，也称为大数定律的弱收敛形式，是概率论中最早被发现和证明的大数定律之一。

它指出，对于独立随机变量序列X1, X2, ..., Xn，如果这些随机变量的数学期望存在且相等，那么对于任意给定的正数ε，有lim(n→∞)P(|(X1+X2+...+Xn)/n-μ|<ε)=1，即随着样本容量的增加，样本均值趋近于总体均值。

例如，我们进行了n次掷硬币的实验，正面朝上的概率为p。

根据弱大数定律，当n趋向于无穷大时，正面朝上的频率将逐渐收敛于p。

二、大数定律之强大数定律强大数定律是大数定律中的一种更为强大的形式，也称为大数定律的强收敛形式。

它指出，对于独立同分布的随机变量序列X1, X2, ..., Xn，如果这些随机变量的数学期望存在且相等，那么对于任意给定的正数ε，有lim(n→∞)P(|(X1+X2+...+Xn)/n-μ|≤ε)=1，即样本均值几乎以概率1收敛于总体均值。

以赌场为例，假设我们进行了n次抛硬币的实验，正面朝上的概率为p。

根据强大数定律，当n趋向于无穷大时，正面朝上的频率几乎以概率1收敛于p。

三、大数定律之伯努利大数定律伯努利大数定律是大数定律中的一种特殊形式，适用于二项分布的随机变量序列。

它指出，对于独立同分布的伯努利试验序列X1, X2, ..., Xn，如果这些随机变量的概率p存在且相等，那么对于任意给定的正数ε，有lim(n→∞)P(|(X1+X2+...+Xn)/n-p|≤ε)=1，即样本均值几乎以概率1收敛于总体均值p。

以制造业为例，假设我们对某个产品进行了n次质量检测，不合格的概率为p。

根据伯努利大数定律，当n趋向于无穷大时，不合格品的比例几乎以概率1收敛于p。

四、大数定律之中心极限定理中心极限定理是大数定律中的一种重要形式，它描述了随机变量序列的和在一定条件下服从近似正态分布的现象。

第五章大数定律

二、基本定理
定理4（独立同分布的林德贝尔格-勒维(Lindeberg －Levy)中心极限定理）设X1，X2，…，Xn，…是相互独立，且服从同一分布的随机变量序列，并具有数学期望和方差：
EX i , DX i 2 0, i 1,2,
则对任意的x有
n X i n i 1 lim P n x n
即 Yn中每一被加项对总和的影响都很微小，但它们迭加的和却以标准正态分布作为极限。
例1有100个电子器件，它们的使用寿命X1，X2，…， X100 均服从参数为=0.05(h-1)的指数分布，其使用情况为：第一个损坏第二个立即使用，第二个损坏第三
个立即使用等等。令X表示这100个电子器件使用的总
意思？
这与高等数学中的极限概念是否有联系？本章将从理论上讨论这一问题。
二、基本定理
首先，我们引进依概率收敛的概念。
定义设X1，X2，…，Xn，…是一个随机变量序列，a
是一个常数，若对任意的正数，有
n
lim P{| X n a | } 1
或
n
lim P{| X n a | } 0
解得
x 21.23
取最接近的整数 x=22，即总机至少应配备22 条外线，才能有95%以上的把握保证各个分机在使用外线时不必等候。
伯努利大数定律说明了当n很大时事件发生的频率会非常接近概率而这里的辛钦大数定律则表明当n很大时随机变量x在n次观察中的算术平均值也会接近它的期望值即52一问题的引入二基本定理在第二章介绍正态分布时曾经特别强调了它在概率论与数理统计中的地位与作用为什么会有许多随机变量遵循正态分布
第五章大数定律与中心极限定理

概率论中的大数定律是什么？

概率论中的大数定律是什么？
概率论中的大数定律是指随着随机变量的实验次数增加，其平均值逐渐稳定地接近于其期望值的现象。

大数定律揭示了随机变量行为的规律性，为概率论的应用提供了基础。

大数定律有两种主要形式：弱大数定律和强大数定律。

1. 弱大数定律
弱大数定律是指当随机变量的实验次数趋近于无穷大时，其样本均值接近于期望值的概率趋近于1。

换句话说，样本均值与期望值之间的差值在概率意义下趋近于零。

弱大数定律包括切比雪夫大数定律和伯努利大数定律等。

这些定律适用于满足一定条件的随机变量，如独立同分布的随机变量。

2. 强大数定律
强大数定律是指当随机变量的实验次数趋近于无穷大时，样本均值几乎确定地收敛于期望值。

也就是说，样本均值与期望值之间的差值几乎为零，而不仅仅是在概率意义下趋近于零。

强大数定律包括辛钦大数定律和伯努利大数定律等。

这些定律适用于更一般的随机变量，包括不满足独立同分布条件的情况。

大数定律在概率论和统计学中有广泛的应用。

它提供了实验结果稳定性的保证，使我们能够对随机事件进行准确的估计和推断。

无论是在金融领域、生物领域还是工程领域，大数定律都扮演着重要角色。

总结起来，概率论中的大数定律是指随着随机变量的实验次数增加，其平均值逐渐稳定地接近于其期望值的现象。

弱大数定律和强大数定律分别描述了样本均值与期望值之间的差值在概率意义下趋近于零和几乎为零的情况。

希望本文对您理解概率论中的大数定律有所帮助。

第05章大数定律

二、主要内容
大数定律
辛钦大数定律伯努利大数定律
中心极限定理
定理一定理二定理三
辛钦定理
设随机变量服从同一分布 ( k 1 , 2 , ), X 1 , X 2 , , X n , 相互独立 , 且具有数学期望
则对于任意正数
,
E(Xk)
n n
D X k k 1
n
.
的分布函数
F n ( x ) 对于任意
n
Байду номын сангаас
x 满足
X k n k 1 lim Fn ( x ) lim P x n n n

x
1 2π

t
2
e
2
d t ( x ).
近似
定理二(李雅普诺夫定理定理)
设随机变量们具有数学期望 E(Xk) k , 记 Bn
2
X 1 , X 2 , , X n , 相互独立和方差： D(X k )
n 2 k
,它
0 ( k 1 , 2 , ),

k 1

2 k
,
若存在正数 1 B
2 k 1 n
Yn a .
P
辛钦大数定理
设随机变量服从同一分布 ( k 1 , 2 , ),
则
X 1 , X 2 , , X n , 相互独立 , 且具有数学期望 E(Xk)
,
X
X n
k 1
1
n
k
依概率收敛于 , 即X .
P
伯努利大数定理

第1节大数定律

X 2
LXn
相互独立);
⎨
⎪⎩2.
E(X ) = µ, k
D( X ) = σ 2 , k
k = 1, 2,L
记
Y
=
1
n
∑
X
,
（即随机变量的算术平均），
n
n k=1 k
则对 ∀ε > 0 有：
∑ lim
n→∞
P{| Yn
−
µ
|<
ε
}
=
lim
n→∞
P{|
1 n
n k =1
Xk
−
µ
|<
ε
}
=
1
—— 算术平均值稳定性
X
~
f
(
x)
=
⎧1,
⎨ ⎩
0,
0
< x< 其它
1
∫ E[g( X )] =
∞ −∞
g(
x
)
f
(
x
)dx
=
1
∫0
g(
x)dx
由大数定律 ∀ε > 0,
∑ ∫ lim P{| 1
n→∞
N
N i =1
g(rn ) −
1
g
(
x)dx
|<
ε
}
=
1
0
∑ ∫ 1
因此，当n充分大时，N
N
g(rn ) ≈
n=1
1
g( x)dx
下面给出的独立同分布下的大数定律，即弱大数定理(辛钦大数定理)。
定理1
设随机变量
X 1
,
X 2
LXn
L

大数定律公式了解大数定律的数学表达式

大数定律公式了解大数定律的数学表达式大数定律是由概率论中的大数定理推导而来的数学定律。

它的核心思想是指当独立随机事件重复多次时，随着试验次数的增加，事件发生频率趋于某个常数的概率趋近于1。

大数定律的数学表达式有多种形式，下面将介绍其中两种常用表达式：大数定律之弱大数定律和大数定律之强大数定律。

1. 弱大数定律：设X1, X2, ..., Xn为n个独立同分布的随机变量，其数学期望为μ，方差为σ^2，根据大数定律的弱大数定律表达式，对于任意正数ε，有：lim (n→∞) P(|(X1+X2+...+Xn)/n - μ| < ε) = 1这个表达式表示当n趋近于无穷大时，样本均值(X1+X2+...+Xn)/n与总体均值μ的差异小于任意给定的正数ε的概率趋近于1。

2. 强大数定律：设X1, X2, ..., Xn为n个独立同分布的随机变量，其数学期望为μ，方差为σ^2，根据大数定律的强大数定律表达式，有：P(lim (n→∞) (X1+X2+...+Xn)/n = μ) = 1这个表达式表示当n趋近于无穷大时，样本均值(X1+X2+...+Xn)/n与总体均值μ完全相等的概率趋近于1。

弱大数定律告诉我们，随着实验次数的增加，样本均值与总体均值的差异会越来越小，但并不能保证它们完全相等。

而强大数定律则告诉我们，当实验次数足够多时，样本均值将会无限接近于总体均值。

大数定律是概率论中的重要定理，广泛应用于统计学、金融学、经济学等领域。

它帮助我们理解了随机现象的规律性，为科学实验和统计分析提供了依据。

总结起来，大数定律的数学表达式包括弱大数定律和强大数定律。

弱大数定律表达了样本均值与总体均值的差异在无限实验中趋近于0的概率趋近于1，而强大数定律表达了样本均值与总体均值完全相等的概率趋近于1。

这些公式的推导和证明都是基于概率论的数学推理，通过它们的应用，我们可以更好地理解随机过程中的规律性。

大数定律与中心极限定理

大数定律与中心极限定理大数定律和中心极限定理是概率论中两个重要的定理，它们分别描述了随机变量序列的极限行为。

在统计学和概率论中，这两个定理被广泛应用于估计和推断，对于理解随机现象的规律具有重要意义。

一、大数定律大数定律是概率论中的一个基本定理，它描述了独立同分布随机变量序列的均值在概率意义下收敛于其数学期望的现象。

大数定律分为弱大数定律和强大数定律两种形式。

1. 弱大数定律弱大数定律又称为辛钦大数定律，它是概率论中最早被证明的大数定律之一。

弱大数定律指出，对于独立同分布的随机变量序列$X_1, X_2, \cdots, X_n$，如果这些随机变量的数学期望存在且有限，记为$E(X_i)=\mu$，则随着样本量$n$的增大，样本均值$\bar{X}_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i$以概率1收敛于数学期望$\mu$，即$\lim_{n \to \infty}P(|\bar{X}_n-\mu|<\varepsilon)=1$，其中$\varepsilon$为任意小的正数。

弱大数定律的直观解释是，随着样本量的增加，样本均值会逐渐接近总体均值，即样本的平均表现会趋向于总体的真实情况。

这一定律在统计学中有着广泛的应用，例如在抽样调查、质量控制等领域中被频繁使用。

2. 强大数定律强大数定律是大数定律的另一种形式，它要求更高，即要求随机变量序列的方差有限。

强大数定律指出，对于独立同分布的随机变量序列$X_1, X_2, \cdots, X_n$，如果这些随机变量的方差存在且有限，记为$Var(X_i)=\sigma^2$，则随着样本量$n$的增大，样本均值$\bar{X}_n$以概率1收敛于数学期望$\mu$，即$\lim_{n \to\infty}P(\bar{X}_n=\mu)=1$。

强大数定律相比于弱大数定律更加严格，要求随机变量序列的方差有限，但在实际应用中，强大数定律的条件并不总是成立。

三个大数定律的条件和结论

三个大数定律的条件和结论【正文】1. 引言在概率论和统计学中，大数定律是一组关于随机变量的定理，描述了随着样本数量的增加，样本平均值趋近于总体平均值的现象。

在这篇文章中，我们将讨论三个重要的大数定律：弱大数定律、强大数定律和中心极限定理。

我们将深入探讨每个定律的条件和结论，以帮助您更全面地理解这些定律在实际中的应用。

2. 弱大数定律弱大数定律（也称为大数法则）是大数定律中最基本的一条。

它规定了当独立同分布随机变量的数量趋于无穷大时，它们的算术平均值趋近于它们的期望值。

如果我们有一组独立同分布的随机变量X1，X2，X3，...，Xn，并且它们的期望值为E(X)，那么随着n的增加，这些随机变量的算术平均值（即样本平均值）X̄将以概率1趋近于E(X)。

3. 弱大数定律的条件和结论要应用弱大数定律，我们需要满足以下两个条件：3.1 独立性：随机变量Xi之间必须是相互独立的，即一个变量的取值对其他变量的取值没有影响。

3.2 同分布性：随机变量Xi必须是相同分布的，即它们具有相同的概率密度函数或累积分布函数。

在满足以上两个条件的情况下，弱大数定律可以得出结论：当n趋于无穷大时，样本平均值X̄趋近于期望值E(X)。

4. 强大数定律除了弱大数定律，我们还有一个更强的定律，即强大数定律。

强大数定律规定了当独立同分布随机变量的数量趋于无穷大时，它们的算术平均值几乎以概率1收敛于它们的期望值。

这意味着样本平均值几乎总是接近于总体平均值。

5. 强大数定律的条件和结论强大数定律相对于弱大数定律，对条件有更严格的要求。

5.1 独立同分布：和弱大数定律一样，随机变量Xi之间必须是相互独立的，并且具有相同的分布。

5.2 方差条件：随机变量的方差必须有限。

这意味着方差不能趋近于无穷大。

在满足以上两个条件的情况下，强大数定律得出结论：当n趋于无穷大时，样本平均值X̄几乎以概率1趋近于期望值E(X)。

6. 中心极限定理中心极限定理是大数定律中最重要的定理之一。

总结大数定律

总结大数定律什么是大数定律？大数定律（Law of large numbers）是概率论中的一个重要定理，它描述了随机事件的频率趋于概率的稳定性。

在数学和统计学中，大数定律指出，随着试验次数的增加，随机事件的频率将趋近于其概率。

换句话说，大数定律说明了当样本容量变得很大时，样本均值会趋于总体均值。

大数定律是概率论和统计学的基础之一，它对于理解随机现象的规律性和稳定性有着重要意义。

大数定律常常被应用于统计推断、贝叶斯统计、概率模型等领域。

大数定律的类型1.大数定律的弱形式大数定律的弱形式有很多种，其中最常见的是切比雪夫大数定律和伯努利大数定律。

这些弱形式的大数定律是基于概率的，它们说明了在某些条件下，随着试验次数的增加，随机变量的样本均值将趋于总体均值。

2.大数定律的强形式大数定律的强形式是指在一些更加严格的条件下，随机变量的样本均值几乎必然趋于总体均值。

强形式的大数定律用更强的收敛方式描述了随机变量的收敛性。

大数定律的应用大数定律在实际中有着广泛的应用。

以下是一些常见的应用场景：1.投资理论大数定律在投资领域有重要的应用。

投资者可以借助大数定律来制定投资策略和决策。

例如，投资者可以通过大数定律来计算股票的预期收益率，评估风险水平，并根据这些指标进行投资决策。

2.保险精算在保险精算领域，大数定律被广泛应用于估计风险损失、确定保费、评估投保人的风险水平等。

保险公司可以通过大数定律来合理定价，确保保险公司的盈利和偿付能力。

3.品质控制大数定律在品质控制领域也有重要的应用。

生产过程中的随机变量可以通过大数定律来评估产品的质量。

通过对大量样本进行抽样和测试，可以得到生产过程的平均质量水平，并进行相应的调整和改进。

4.统计推断在统计学中，大数定律被广泛用于统计推断。

通过大数定律，我们可以使用样本数据来进行总体参数的估计。

例如，通过抽样一部分数据来估计总体的均值、方差等。

大数定律的局限性尽管大数定律在许多领域中有着重要的应用，但它也有一些局限性：1.样本容量限制大数定律要求样本容量足够大才能有效。

大数定律

性的暗示。

大数定律【基本概念】概率论历史上第一个极限定理属于贝努里，后人称之为“大数定律”。

概率论中讨论随机变量序列的算术平均值向常数收敛的定律。

概率论与数理统计学的基本定律之一。

又称弱大数理论。

【主要含义】在随机事件的大量重复出现中，往往呈现几乎必然的规律，这个规律就是大数定律。

通俗地说，这个定理就是，在试验不变的条件下，重复试验多次，随机事件的频率近似于它的概率。

比如，我们向上抛一枚硬币，硬币落下后哪一面朝上本来是偶然的，但当我们上抛硬币的次数足够多后，达到上万次甚至几十万几百万次以后，我们就会发现，硬币每一面向上的次数约占总次数的二分之一。

偶然中包含着必然。

小概率事件的必然发生，并非仅仅是一个统计学命题。

在统计学上，大数定律叙述了这样一种现象：某一个极小概率事件，当它发生的次数趋向于无穷大的时候，纵观整个发展历程，该事件“发生”的概率可趋向于1，即必然发生。

小概率事件必然发生。

这里谈到极小概率事件，一般用独立同分布的某个随机变量描述，它的发生次数用同分布的随机变量的个数来描述，遍历性可以保证：一个随机变量在不同时间上的取值行为，与独立同分布的随机变量在同一时点上的取值行为，这两者之间没有什么不同。

人们常用购买彩票的行为来举例说明：你买的彩票没有中奖，我买的也没有，但是总有个人中奖。

这是因为买彩票的人足够多。

以上的解释是给mak以外的读者看的（因为为了便于理解，我把大数定律稍稍做了一下歪曲，所以请mak不要追究，毕竟有遍历性作保），接下来的则是写给所有人。

在我们的生活中，mak提到的“微小的”事件无数次地发生着。

数量大到足以使大数定律发生作用。

其中有那么几件产生了不相称的大影响。

mak认为这些事情可以追根溯源，从而规范这些意外事件的效果。

但是在事件发生之前、在影响产生之前，无人可以知道“这就是那件事”。

如此，唯一可能的防范方案就是对每一件事都小心翼翼。

然而这样做的时候，我们所在谈论的主人公所处的环境已经完全变样了。

大数定律

可见, 每个随机变量的数学期望都存在.
因为
2 Xn
0 1 1 2 n
na 2
检验是否有有限方差
1 P n2 2 na 2 1 a 2 所以 E X n n2
2 D X n E X n E X n 2 a 2
因此, 随机变量 X n n 1, 2,有有限的方差, 且有公共上界.
P
三、常用的四种大数定理
定义4.5 设X 1 , X 2 ,, X n , 是随机变量序列 ,
1 n Yn X i n i 1
令
如果存在这样一个常数序列 a1 , a2 ,, an ,,
对任意的ε 0, 恒有
lim P Yn an 1
n
P 即Yn an
则称随机变量序列 {Yn } 依分布收敛于随机变量Y，简记为
Yn Y
L
依分布收敛表示：当n充分大时，Yn 的分布函数
Fn ( x ) 收敛于Y 的分布函数 F ( x ), 它是概率论中
较弱的一种收敛性. 定义4.2 设随机变量序列 {Yn } 和随机变量Y，若对任意实数 0, 有
。
简记为
Yn Y
a .e
下面定理揭示了三种收敛之间的关系。定理 4.2 设随机变量序列 { X n } 和随机变量 X
X ; (1)若 X n X ，则 X n
(2) 若 X n X ，则
。
a .e
P
r
Xn X ;
Xn X .
L
P
X ，则 (3) 若 X n
因此定理 4.3 得证
注1 当 n 很大时, 随机变量 X 1 , X 2 ,, X n 的 1 n 算术平均值 X i 接近于它们的数学期望的 n i 1

第36讲大数定律

第36讲大数定律2问题的提出：上一讲中，提到的“频率的稳定值记为概率”, 意味着这个结论可以用“大数定律”来描述.lim 0A n n P p n ε→∞⎧⎫-≥=⎨⎬⎩⎭()(),01.0,0,: 1A A n n n A A pp n lim P p n εε→+∞<<∀>⎧⎫-≥=⎨⎬⎩⎭记为重贝努里试验中事件发生的次数并记事件在每次试验中发定理贝努里大数定律：生的概率为则对于有,.An P p n n −−→→+∞即当3(,),A n B n p ~(),()(1),A A E n np D n np p ==-{}A A n P p P n np n n εε⎧⎫-≥=-≥⎨⎬⎩⎭222(1)(1)np p p p n n εε--≤=0,→.n →+∞当0≤0.A n n lim P p n ε→+∞⎧⎫-≥=⎨⎬⎩⎭从而An n A 由于为重贝努里试验中事件发生的次数，证明：故那么0,ε∀>根据切比雪夫不等式，则对于有4贝努里大数定律的重要意义：提供了用大量重复独立试验中事件出现频率的极限值来确定概率的理论依据, 使得概率的概念才有严格的意义.5提供了通过试验来确定事件概率的方法——可以通过做试验确定某事件发生的频率并把它作为相应的概率估计. 例如：想估计某产品的不合格品率p , 可以随机抽取n （n 较大）件, 将n件产品的不合格品的比例作为p 的估计.大数定律(Laws of Large Numbers)121,,,,,,,.n n n X X X X X Y n n μ++=→∞ 内容：设是一列随机变量则在一定条件下随机变量序列,收敛到当,()i i X E X μ=当期望相同时()()() 123n Y μμ问题：随机变量序列收敛到的含义？是什么？一定条件是什么？依概率收敛6定理2(切比雪夫大数定律的推论)：1221,,,,,1 ,. n n P i i X X X X n n μσμ=−−→→+∞∑ 为相互独立的随机变量且具有相同的期望，相同的方差，那么当 22111111,()(),()(). n n nn i n i n i i i i Y X E Y E X D Y D X n n nn σμ========∑∑∑记则,n Y 对应用切比雪夫不等式得0,. n →→+∞当0≤2(){|()|}n n n D Y P Y E Y εε-≥≤22n σε=证明：712,,,,,11{}{},{0}1,1,2,.2 1n i i i X X X P X i P X i P X i i i ===-===-= 设随机变量相互独立且它例们的分布律为：1,()0,i i E X ≥=由于对任意的有 {,1},, i X i ≥所以相互独立期望、方差相同由定理2知22211()()0()()1,22i i D X E X i i i i ==+⋅+-⋅=11,.nP i i X n n μ=−−→→+∞∑当解：11.n i i X n =∑请讨论的收敛性8存在前面的定理要求随机变量的方差存在但当随机提供了求随机变量X 的数学期望E (X )的近似值的方法:若目的是寻求X的期望，则这样做可以不必考虑X的分布！如可用浙大300个学生的平均身高作为整个浙大学生的平均身高的近似值！辛钦大数定律的意义将随机变量X 独立重复地观察n 次, 记第k次观测值为,k X 则相互独立, 且与X 具有同样的分布.12,,, n X X X 那么, 当E (X )存在时, 由辛钦大数定律, 可知当n 充分大时, 可将n 次的平均作为E (X )的近似.11n i i X n =∑101212111,,,,,,~(1,1).111(1),(2),(3), 2 n nnni i i i i k X X X X U X X X n n n n ===-→+∞∑∑∑ 设随机变量相互独立同分布则分别依概率收敛吗？如果依概率收敛分别收敛于什么？(当例：时)12112122221212111,,,,,,,(),,,,,,(),,,,,,()111,, n n n n n n i i i i i i X X X E X X X X E X X X X E X X X X n n n ===∑∑∑ 由辛钦大数定律相互独立同分布存在;相互独立同分布存在;相互独立同分布存在;故均依概率收敛.解：11大数定律的Excel模拟可以看实验9.1()0,E X =那么 11111(),22E X x dx -==⎰同理，12211(),E X x d x -==⎰11231~(1,1) X U -注意到，110,nPi i X n =−−→∑故111||,2nP i i X n =⇒−−→∑2111.3nP i i X n =⇒−−→∑1212112,,,,,~(0,1),,3n n n X X X X U X X X 设随机变量独立同分布则依概率收敛吗？如果依概率收敛例：收敛于什么？,(),()(), Pn P n X a f x a f X f a n −−→−−→→∞若在点连续则当时.,. 不能直接使用大数定律因为不是算术分析平均的形式：, 回想关于依概率收敛还有一个很：好的性质13111,ln (ln ln ).nn n n n n Y X X Z Y X X n=⋯==+⋯+记令1110ln ,,ln ,,(ln )ln 1,n X X E X xdx ==-⎰则相互独立同分布又,1,.Pn Z n −−→-→+∞那么由辛钦大数定律知故当 1,.nZ Pn Y e e n -=−−→→+∞利用依概率收敛的性质，得当解：14。

大数定律公式

大数定律公式
大数定律公式为g=log*vn。

概率论历史上第一个极限定理属于伯努利，后人称之为“大数定律”。

概率论中讨论随机变量序列的算术平均值向随机变量各数学期望的算术平均值收敛的定律。

大数定律概述
大数定律的定义是，当随机事件发生的次数足够多时，随机事件发生的频率趋近于预期的概率。

可以简单理解为样本数量越多，其平概率越接近于期望值。

大数定律的条件：1、独立重复事件；2、重复次数足够多。

与“大数定律”对应的，就是“小数定律”，小数定律的内容：如果样本数量比较小，那么什么样的极端情况都有可能出现。

但是我们在判断不确定事件发生的概率时，往往会违背大数定律。

伯努利大数定律公式：
伯努利大数定律设fn为n重伯努利实验中事件A发生的次数，p为A在每次实验中发生的概率，则对任意给定的实数ε>0，则成立。

基本内容
设有一随机变量序列，假如它具有形如（1）的性质，则称该随机变量服从大数定律。

（又译为“贝努力大数定律”）伯努利大数定律设fn为n重伯努利实验中事件A发生的次数，p为A在每次实验中发生的概率，则对任意给定的实数ε>0，有成立。

即n趋向于无穷大时，事件A在n重伯努利事件中发生的频率fn/n无限接近于事件A在一次实验中发生的概率p。

khinchine大数定律

khinchine大数定律
Khinchin大数定律，也称为柯尔莫哥洛夫定律或柯尔莫哥洛夫
大数定律，是概率论中的一个重要定理。

该定律是由俄罗斯数学家
阿列克谢·柯尔莫哥洛夫于1930年提出的。

该定律是关于数列的收敛性的一个结果。

具体来说，它描述了
对于独立同分布的随机变量序列，其算术平均值的收敛性。

换句话说，该定律说明了当我们对一组独立同分布的随机变量进行平均时，这个平均值会以极高的概率接近于其期望值。

Khinchin大数定律可以用以下方式表述，设X1，X2， (X)
是一组独立同分布的随机变量，具有相同的期望值μ和方差σ^2。

令S_n = (X1 + X2 + ... + Xn)/n表示这些随机变量的算术平均值。

则对于几乎所有的样本路径，即以概率1的事件，有
lim(n→∞)S_n = μ。

换句话说，当样本数量n趋向于无穷大时，随机变量序列的算
术平均值将以几乎确定的概率收敛于其期望值。

Khinchin大数定律的重要性在于它提供了一个理论基础，使我
们能够在实际问题中使用样本均值来估计总体均值。

它在统计学、经济学、物理学和金融学等领域都有广泛的应用。

需要注意的是，Khinchin大数定律的成立需要一些前提条件，例如随机变量序列的独立性和同分布性。

此外，定律只能保证在概率上的收敛性，而不能保证在每个样本路径上都收敛。

总结来说，Khinchin大数定律是关于随机变量序列算术平均值收敛性的一个重要定理，它描述了当样本数量趋向于无穷大时，随机变量序列的平均值以几乎确定的概率收敛于其期望值。

这个定律在统计学和其他领域中具有广泛的应用。

大数定律

大数定律

四种大数定律

大数定律

23个大数定律

四种大数定律

第五章 大数定律

概率论中的大数定律是什么？

第05章 大数定律

第1节 大数定律

大数定律公式了解大数定律的数学表达式

大数定律与中心极限定理

三个大数定律的条件和结论

总结大数定律

大数定律

大数定律

第36讲 大数定律

大数定律公式

khinchine大数定律

第五章大数定律

第05章大数定律

第1节大数定律

第36讲大数定律