公式法与韦达定理

一元二次方程知识点总结与易错题精编版

一元二次方程知识点总结考点一、一元二次方程1、一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。

2、一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边十一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。

考点二、一元二次方程的解法 1、直接开平方法:利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。

直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。

根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。

2、配方法:配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。

配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。

一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式：)04(2422≥--±-=ac b aac b b x公式法的步骤：就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a ，一次项的系数为b ，常数项的系数为c 。

4、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。

分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式5、韦达定理利用韦达定理去了解，韦达定理就是在一元二次方程中，二根之和等于-ab ，二根之积等于a c ，也可以表示为x 1+x 2=-ab ，x 1 x 2=ac。

九年级一元二次方程之公式法与韦达定理

C．x= D．x=
2．方程 x2+4 x+6 =0的根是（）．
A．x1= ，x2= B．x1=6，x2=
C．x1=2 ，x2= D．x1=x2=-
3．（m2-n2）（m2-n2-2）-8=0，则m2-n2的值是（）．
A．4 B．-2 C．4或-2 D．-4或2
二、填空题
1．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是________，条件是________．
区别：① 配方法要先配方，再开方求根．
② 公式法直接利用公式求根．
③ 因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0．
2、方法收获
如何选择最简单的解法
1．看是否能用因式分解法解（因式分解的解法中，先考虑提公因式法，再考虑平方公式法，最后考虑十字相乘法）
2．看是否可以直接开方解
一元二次方程之公式法与韦达定理
因式分解法解一元二次方程：
1、对于一元二次方程，先因式分解使方程化为_________________的形式，
再使________________________________，从而实现_________________，
这种解法叫做__________________。
3．使用公式法求解
4．最后再考虑配方法（配方法虽然可以解全部一元二次方程，但是有时候解题太麻烦）。如果要参加竞赛，可按如下顺序：
1.因式分解 2.韦达定理 3.判别式 4.公式法 51、选择题
1．用公式法解方程4x2-12x=3，得到（）．
A．x= B．x=
2、一元二次方程：
当 ____时，方程有实数根______________________________；

根的判别式韦达定理

一元二次方程根的判别式和韦达定理知识点1.根的判别式21.4022.02043.,22ac b b ac b x x a a ⎧⎪≠-∆⎪⎪∆>⎧⎪⎪⎪∆=⎨⎨⎪⎪∆<⎩⎪⎪-±--±∆⎪==⎪⎩22概念：对于一个一元二次方程ax +bx+c=0(a 0)来说，b 称为根的判别式，记为。

时，方程有个不相等的根根的判别式意义：时，方程有个相等的根时，方程没有实数根公式法：解为即为补充：0≥∆时，方程有2个解，但不知道两个解是否相等。

例题讲解例1.当m 取什么值时，关于x 的方程0)22()12(222=++++m x m x 。

（1）有两个相等实根；（2）有两个不相等的实根；（3）没有实根。

例2.当m 为什么值时，关于x 的方程01)1(2)4(22=+++-x m x m 有实根。

小结：对于求一元二次方程中字母的取值或取值范围问题，一定要考虑全面。

特别注意“0≠a ”！例3．已知关于x 的方程01)12(22=+-+x k x k 有两个不相等的实数根1x 、2x ，问是否存在实数k ，使方程的两实数根互为相反数？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由。

小结：这一类的题要注意3个方面：0≠a ，∆与0的关系，另外1x 和2x 间的数量关系课堂练习1、下列方程①012=+x ；②02=+x x ；③012=-+x x ；④02=-x x 中，无实根的方程是。

2、已知关于x 的方程022=+-mx x 有两个相等的实数根，那么m 的值是。

3、下列方程中，无实数根的是（）A 、011=-+-x xB 、 762=+y yC 、021=++xD 、0232=+-x x4、若关于x 的一元二次方程01)12()2(22=+++-x m x m 有两个不相等的实根，则m 的取值范围是（） A 、43<m B 、m ≤43 C 、43>m 且m ≠2 D 、m ≥43且m ≠25、在方程02=++c bx ax （a ≠0）中，若a 与c 异号，则方程（）A 、有两个不等实根B 、有两个相等实根C 、没有实根D 、无法确定 6、关于x 的一元二次方程x 2＋kx －1=0的根的情况是（）A 、有两个不相等的同号实数根B 、有两个不相等的异号实数C 、有两个相等的实数根D 、没有实数根7、 m 取何值时，方程()0112)2(22=++--x m x m （1）有两个不相等的实数根（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根8、试证：关于x 的方程1)2(2-=+-x m mx 必有实根。

解圆锥曲线问题常用的八种方法与七种常规题型

1 ， 2
1 PH , 即2 PF PH 2
∴ PA 2 PF PA PH
4 / 35
当 A、P、H 三点共线时，其和最小，最小值为
a2 xA 4 1 3 c
y M D C 5 x
A
0B
例 3、动圆 M 与圆 C1:(x+1)2+y2=36 内切,与圆 C2:(x-1)2+y2=4 外切,求圆心 M 的轨迹方程。分析：作图时，要注意相切时的“图形特征”：两个圆心与切点这三点共线（如图中的 A、M、C 共线，B、D、M 共线）。列式的主要途径是动圆的“半径等于半径” （如图中的 MC MD ）。解：如图， MC MD ， ∴ AC MA MB DB 即6 MA MB 2 ∴ MA MB 8 （*）
∴ 4 y 0 4 x0
2
9 ， 2 1 4 x0
2 4 y 0 4 x0
9 9 2 (4 x0 1) 2 1 2 4 x0 4 x0 1
6 / 35
≥ 2 9 1 5,
y0
5 4
当 4x02+1=3 即 x 0
2 2 5 5 , ) 时， ( y 0 ) min 此时 M ( 2 2 4 4
方程推导了一遍，较繁琐！例 4、△ABC 中，B(-5,0),C(5,0),且 sinC-sinB=
3 sinA,求点 A 的轨迹方程。 5
分析：由于 sinA、sinB、sinC 的关系为一次齐次式，两边乘以 2R（R 为外接圆半径），可转化为边长的关系。
3 sinA 5 3 ∴ AB AC BC 5
x0 y 0 k 0 (其中 K 是直线 AB 的斜率) a2 b2

因式分解十二种方法公式

因式分解十二种方法公式因式分解是数学中的一个重要概念，它可以将一个多项式分解为若干个因子的乘积。

在因式分解中，有许多不同的方法和公式可以使用。

下面将介绍十二种因式分解的方法和公式。

一、公式法公式法是一种较为常用和简便的因式分解方法。

它利用一些已知的公式，将多项式分解为更简单的形式。

例如，我们可以利用平方差公式将一个二次多项式分解为两个一次多项式的乘积。

又如，利用差平方公式可以将一个二次多项式分解为两个一次多项式的乘积。

二、提公因式法提公因式法是一种常见的因式分解方法。

它利用多项式中的公因式，将多项式分解为公因式和余项的乘积。

通过提取公因式，可以简化多项式的形式，便于后续的计算和分解。

三、配方法配方法是一种常用的因式分解方法，它适用于多项式中存在二次项的情况。

配方法通过将多项式中的一部分进行配方，从而将多项式分解为两个简化的多项式的乘积。

这种方法常用于分解二次多项式，可以将其分解为两个一次多项式的乘积。

四、分组分解法分组分解法是一种适用于四项多项式的因式分解方法。

它通过将多项式中的项进行分组，从而将多项式分解为多个简化的多项式的乘积。

这种方法常用于分解四项多项式，可以将其分解为两个二次多项式的乘积。

五、和差化积法和差化积法是一种常用的因式分解方法，它适用于多项式中存在和差项的情况。

和差化积法通过将多项式中的和差项进行化简，从而将多项式分解为简化的多项式的乘积。

这种方法常用于分解多项式中的高次项。

六、平方差公式平方差公式是一种常用的因式分解公式，它用于将一个二次多项式分解为两个一次多项式的乘积。

平方差公式的形式为(a-b)(a+b)=a^2-b^2，其中a和b可以是任意实数或变量。

七、差平方公式差平方公式是一种常用的因式分解公式，它用于将一个二次多项式分解为两个一次多项式的乘积。

差平方公式的形式为(a-b)(a+b)=a^2-b^2，其中a和b可以是任意实数或变量。

八、立方差公式立方差公式是一种常用的因式分解公式，它用于将一个立方多项式分解为两个一次多项式的乘积。

一元三次方程求根公式及韦达定理

⼀元三次⽅程求根公式及韦达定理转⾃百度百科公式法（卡尔丹公式）（如右图所⽰）若⽤A、B换元后，公式可简记为：x1=A^(1/3)+B^(1/3)；x2=A^(1/3)ω+B^(1/3)ω^2；x3=A^(1/3)ω^2+B^(1/3)ω。

⼀元三次⽅程求根公式判别法当△=(q/2)^2+(p/3)^3>0时，有⼀个实根和⼀对个共轭；当△=(q/2)^2+(p/3)^3=0时，有三个实根，其中两个相等；当△=(q/2)^2+(p/3)^3<0时，有三个不相等的。

⼀元三次⽅程求根公式推导第⼀步：ax^3+bx^2+cx+d=0（a≠0）为了⽅便，约去a得到x^3+kx^2+mx+n=0令x=y-k/3 ，代⼊⽅程(y-k/3)^3+k(y-k/3)^2+m(y-k/3)+n=0 ，(y-k/3)^3中的y^2项系数是-k ，k(y-k/3)^2中的y^2项系数是k ，所以相加后y^2抵消，得到y^3+py+q=0，其中p=-k^2/3+m ，q=(2(k/3)^3)-(km/3)+n。

第⼆步：⽅程x^3+px+q=0的三个根为：x1=[-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)+[-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)；x2=w[-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)+w^2[-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)；x3=w^2[-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)+w[-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)，其中w=(-1+i√3)/2。

×推导过程：1、⽅程x^3=1的解为x1=1，x2=-1/2+i√3/2=ω，x3=-1/2-i√3/2=ω^2 ；2、⽅程x^3=A的解为x1=A^(1/3)，x2=A^(1/3)ω，x3=A^(1/3)ω^2 ，3、⼀般三次⽅程ax^3+bx^2+cx+d=0(a≠0),两边同时除以a,可变成x^3+sx^2+tx+u=0的形式。

配方法与公式法以及韦达定理练习题

解一元二次方程练习题(配方法)步骤：（1）移项；（2）化二次项系数为1；（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方；（4）原方程变形为（x+m ）2=n 的形式；（5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．练习1．用适当的数填空：①x 2+6x+ =（x+ ）2；② x 2－5x+ =（x －）2； ③x 2+ x+ =（x+ ）2；④ x 2－9x+ =（x －）2 2．将二次三项式2x 2-3x-5进行配方，其结果为_________． 3．已知4x 2-ax+1可变为（2x-b ）2的形式，则ab=_______．4．将一元二次方程x 2-2x-4=0用配方法化成（x+a ）2=b 的形式为_______，•所以方程的根为_________． 5．若x 2+6x+m 2是一个完全平方式，则m 的值是（） A ．3 B ．-3 C ．±3 D ．以上都不对 6．用配方法将二次三项式a 2-4a+5变形，结果是（） A ．（a-2）2+1 B ．（a+2）2-1 C ．（a+2）2+1 D ．（a-2）2-17．把方程x+3=4x 配方，得（）A ．（x-2）2=7 B ．（x+2）2=21 C ．（x-2）2=1 D ．（x+2）2=28．用配方法解方程x 2+4x=10的根为（）A ．2．-2．．9．不论x 、y 为什么实数，代数式x 2+y 2+2x-4y+7的值（）A ．总不小于2B ．总不小于7C ．可为任何实数D ．可能为负数 10．用配方法解下列方程：（1）3x 2-5x=2．（2）x 2+8x=9 （3）x 2+12x-15=0 （4）41x 2-x-4=0（5）6x 2-7x+1=0 （6）4x 2-3x=5211.用配方法求解下列问题（1）求2x 2-7x+2的最小值；（2）求-3x 2+5x+1的最大值。

一元二次方程解法公式法,因式分解法,韦达定理

一元二次方程解法2知识点一：公式法用一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的求根公式x ＝a ac b b 242-±-(b 2－4ac ≥0)，这种解一元二次方程的方法叫做公式法．求根公式是针对一元二次方程的一般形式来说的，使用求根公式时，必须先把方程化成一般形式，才能正确地确定各项系数，在应用公式之前，先计算出b 2－4ac 的值，当b 2－4ac ≥0时，代入公式求出方程的根；当b 2－4ac ＜0时，方程没有实数根，这时就不必再代入公式了．1：用公式法解下列方程：(1)2x 2＋7x ＝4； (2)x (x ＋8)＝16；(3)x 2－35x ＝2； (4)4x 2－1＝0；(5)x 2＝7x ；(6)3x 2＋1＝23x ； (7)12x 2＋7x ＋1＝0．2．已知a ，b ，c 均为实数，且122+-a a ＋｜b ＋1｜＋(c ＋3)2＝0，解方程ax 2＋bx ＋c ＝0．3．用配方法证明：(1)3y 2－6y ＋11的值恒大于零；(2)－10x 2－7x －4的值恒小于零．4．下列关于x 的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（）（A ）x 2＋4＝0 （B ）4x 2－4x ＋1＝0 （C ）x 2＋x ＋3＝0 （D ）x 2＋2x －1＝05. 证明：关于x 的方程(a 2－8a ＋20)x 2＋2ax ＋1＝0，不论a 为何实数，该方程都是一元二次方程．知识点二：因式分解法只有当方程的一边能够分解成两个一次因式，而另一边是0的时候，才能应用因式分解法解一元二次方程．分解因式时，要根据情况灵活运用学过的因式分解的几种方法．例.用因式分解法解方程2x 2－8x ＝0 ②（x+3）(x+2)=0 ③x(x-1)=0 ④x 2-2x-3=0 3x(x+1)+4(x+1)=02．填空题(1)方程t (t ＋3)＝28的解为_______．(2)方程(2x ＋1)2＋3(2x ＋1)＝0的解为__________．(3)方程(2y ＋1)2＋3(2y ＋1)＋2＝0的解为__________．(4)关于x 的方程x 2＋(m ＋n )x ＋mn ＝0的解为__________．(5)方程x (x －5)＝5 －x 的解为__________．3.用因式分解法解下列方程：(1)x 2＋12x ＝0； (2)4x 2－1＝0；（3） x 2＝7x ；(4)x 2－4x －21＝0； (5)(x －1)(x ＋3)＝12； (6) (x －1)2－4(x －1)－21＝0．知识点三：根与系数的关系（韦达定理）：对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，如果方程有两个实数根12,x x ，那么1212,b c x x x x a a+=-= 说明：（1）定理成立的条件0∆≥（2）注意公式重12b x x a +=-的负号与b 的符号的区别例若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值：(1) 2212x x +； (2) 1211x x +； (3) 12(5)(5)x x --； (4) 12||x x -．1．设x 1，x 2是方程2x 2－6x ＋3＝0的两根，则x 12＋x 22的值为_________2．已知x 1，x 2是方程2x 2－7x ＋4＝0的两根，则x 1＋x 2＝，x 1·x 2＝，（x 1－x 2）2＝3.若12,x x 是方程22630x x -+=的两个根，则1211x x +的值为 4. 已知关于x 的一元二次方程2(41)210x m x m +++-=．(1) 求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；(2) 若方程的两根为12,x x ，且满足121112x x +=-，求m 的值。

解一元二次方程-公式法、因式分解、韦达定理

解一元二次方程-公式法、因式分解、韦达定理课前热身1、公式法解下列方程:（1）；（2）；2、因式分解解下列方程：（1）；（2）；（3）；3．关于方程式 49x2﹣98x﹣1=0 的解，下列叙述何者正确（）A．无解B．有两正根C．有两负根 D．有一正根及一负根遗漏分析学科原因： 1、对一元二次方程的公式法和因式分解法没有掌握； 2、对一元二次方程根与系数的关系没理解.知识精讲知识点一、公式法式子 b2-4ac 的值有以下三种情况：1（1）b2-4ac>0，方程有两个不等的实数根，x1= - b b2  4ac - b -,x2=b2  4ac;2a2a（2）b2-4ac=0,方程有两个相等的实数根，x1=x2= - b 2a（3）b2-4ac<0，方程无实数根。

一般地，式子 b2-4ac 叫做一元二次方程 ax2+bx+c=0 根的判别式，通常用希腊字母“△ ”表示b  b2  4acx它，即△ =b2-4ac。

当△ ≥0 时，方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根可写为2a的形式，这个式子叫做一元二次方程 ax2+bx+c=0 的求根公式。

解一个具体的一元二次方程时，把各系数直接代入求根公式，可以避免配方过程而直接得出根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法。

用求根公式法解一元二次方程的一般步骤为：①把方程化成一般形式 ax2  bx  c  0a  0 ，确定 a，b，c 的值（注意符号）；②求出判别式的值，判断根的情况：若>0，则方程有两个不同的实数根；若=0，则方程有两个相同的实数根；若<0，则方程没有实数根.③在的前提下，把 a、b、c 的值代入公式进行计算，求出方程的根。

例 1、用公式法解方程： 2 x2+4 3 x+6 2 =02变式 1、小明同学用配方法推导关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=0 的求根公式时，对于 b2 ﹣4ac＞0 的情况，他是这样做的：小明的解法从第步开始出现错误；这一步的运算依据应是．知识点二、因式分解法方程的左边是两个一次因式的乘积，右边是 0。

公式法与韦达定理一、公式法（根与系数的关系）公式法是指根与系数的关系通过一个多项式的根之和、根之积等的表达式来表示。

具体地，给定一个n次多项式P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0，其中a_n ≠ 0，且x_1, x_2, ...,x_n为它的n个根。

那么公式法给出以下几个等式：1.根之和公式：x_1+x_2+...+x_n=-a_{n-1}/a_n2.根之积公式：x_1*x_2*...*x_n=(-1)^n*a_0/a_n3.根之和与根之积关系：对于整数k（1<=k<=n），令s_k=x_1^k+x_2^k+...+x_n^k，则s_k可由系数a_0,a_1,...,a_{n-1}表示。

公式法的一个重要应用是求多项式系数与根的关系。

例如，已知一个二次方程的根为x_1和x_2，根据根和系数之间的关系，我们有以下等式：1.x_1+x_2=-a_1/a_22.x_1*x_2=a_0/a_2利用这两个等式，我们可以通过已知根求解二次方程的系数。

二、韦达定理（根与系数的关系）韦达定理是一种描述多项式根与系数之间关系的定理。

给定一个n次多项式P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0，其中a_n ≠ 0，且x_1, x_2, ..., x_n为它的n个根。

那么韦达定理给出以下推论：1.根与系数之间的线性关系：对于整数k（1<=k<=n），令s_k=x_1^{k-1}+x_2^{k-1}+...+x_n^{k-1}，则s_k可由系数a_0,a_1,...,a_{n-1}表示。

韦达定理的一个重要应用是求多项式的根之间的关系。

1.x_1+x_2+x_3=-a_{n-1}/a_n2.x_1*x_2+x_1*x_3+x_2*x_3=a_{n-2}/a_n3.x_1*x_2*x_3=-a_0/a_n利用这些等式，我们可以通过已知根求解三次方程的系数。

2次方程式的求根公式

2次方程式的求根公式2次方程式是一种常见的二次多项式方程，形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c是已知的实数系数，而x是未知数。

求根公式是一种用于解二次方程的公式，可以得到方程的两个根。

求根公式可以通过配方法、公式法和图像法等不同的方式推导得到。

其中最常用的求根公式是韦达定理（Vieta's formulas）。

韦达定理给出了二次方程的根与系数之间的关系。

假设二次方程ax^2 + bx + c = 0的两个根分别为x1和x2，那么根据韦达定理，我们有以下两个公式：x1 + x2 = -b/ax1 * x2 = c/a根据这两个公式，我们可以通过已知的系数a、b、c来求解二次方程的根。

具体步骤如下：1. 计算判别式D = b^2 - 4ac。

- 如果D > 0，说明方程有两个不相等的实根。

- 如果D = 0，说明方程有两个相等的实根。

- 如果D < 0，说明方程没有实根，只有复根。

2. 根据判别式D的情况，选择相应的求根公式来计算根。

- 如果D > 0，我们可以使用求根公式x1 = (-b + √D) / (2a)和x2 = (-b - √D) / (2a)来计算实根。

- 如果D = 0，我们可以使用求根公式x = -b / (2a)来计算重根。

- 如果D < 0，我们可以使用求根公式x1 = (-b + i√(-D)) / (2a)和x2 = (-b - i√(-D)) / (2a)来计算复根，其中i是虚数单位。

通过这些求根公式，我们可以得到二次方程的根。

这些根可以是实数，也可以是复数，具体取决于判别式D的值。

对于符合中心扩展的描述，我们可以用一个具体的例子来说明。

假设有一个二次方程x^2 - 5x + 6 = 0，其中a = 1，b = -5，c = 6。

我们可以按照上述步骤来求解这个方程的根。

计算判别式D = (-5)^2 - 4 * 1 * 6 = 25 - 24 = 1。

一元二次方程解法公式法,因式分解法,韦达定理

一元二次方程解法2知识点一：公式法用一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的求根公式x ＝a ac b b 242-±-(b 2－4ac ≥0)，这种解一元二次方程的方法叫做公式法．求根公式是针对一元二次方程的一般形式来说的，使用求根公式时，必须先把方程化成一般形式，才能正确地确定各项系数，在应用公式之前，先计算出b 2－4ac 的值，当b 2－4ac ≥0时，代入公式求出方程的根；当b 2－4ac ＜0时，方程没有实数根，这时就不必再代入公式了．1：用公式法解下列方程：(1)2x 2＋7x ＝4； (2)x (x ＋8)＝16；(3)x 2－35x ＝2； (4)4x 2－1＝0；(5)x 2＝7x ；(6)3x 2＋1＝23x ； (7)12x 2＋7x ＋1＝0．2．已知a ，b ，c 均为实数，且122+-a a ＋｜b ＋1｜＋(c ＋3)2＝0，解方程ax 2＋bx ＋c ＝0．3．用配方法证明：(1)3y 2－6y ＋11的值恒大于零；(2)－10x 2－7x －4的值恒小于零．4．下列关于x 的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（）（A ）x 2＋4＝0 （B ）4x 2－4x ＋1＝0 （C ）x 2＋x ＋3＝0 （D ）x 2＋2x －1＝05. 证明：关于x 的方程(a 2－8a ＋20)x 2＋2ax ＋1＝0，不论a 为何实数，该方程都是一元二次方程．知识点二：因式分解法只有当方程的一边能够分解成两个一次因式，而另一边是0的时候，才能应用因式分解法解一元二次方程．分解因式时，要根据情况灵活运用学过的因式分解的几种方法．例.用因式分解法解方程2x 2－8x ＝0 ②（x+3）(x+2)=0 ③x(x-1)=0 ④x 2-2x-3=0 3x(x+1)+4(x+1)=02．填空题(1)方程t (t ＋3)＝28的解为_______．(2)方程(2x ＋1)2＋3(2x ＋1)＝0的解为__________．(3)方程(2y ＋1)2＋3(2y ＋1)＋2＝0的解为__________．(4)关于x 的方程x 2＋(m ＋n )x ＋mn ＝0的解为__________．(5)方程x (x －5)＝5 －x 的解为__________．3.用因式分解法解下列方程：(1)x 2＋12x ＝0； (2)4x 2－1＝0；（3） x 2＝7x ；(4)x 2－4x －21＝0； (5)(x －1)(x ＋3)＝12； (6) (x －1)2－4(x －1)－21＝0．知识点三：根与系数的关系（韦达定理）：对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，如果方程有两个实数根12,x x ，那么1212,b c x x x x a a+=-= 说明：（1）定理成立的条件0∆≥（2）注意公式重12b x x a +=-的负号与b 的符号的区别例若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值：(1) 2212x x +； (2) 1211x x +； (3) 12(5)(5)x x --； (4) 12||x x -．1．设x 1，x 2是方程2x 2－6x ＋3＝0的两根，则x 12＋x 22的值为_________2．已知x 1，x 2是方程2x 2－7x ＋4＝0的两根，则x 1＋x 2＝，x 1·x 2＝，（x 1－x 2）2＝3.若12,x x 是方程22630x x -+=的两个根，则1211x x +的值为 4. 已知关于x 的一元二次方程2(41)210x m x m +++-=．(1) 求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；(2) 若方程的两根为12,x x ，且满足121112x x +=-，求m 的值。

一元二次方程传染病公式

一元二次方程传染病公式
摘要：
一、一元二次方程的概述
二、一元二次方程的解法
三、传染病公式的介绍
四、一元二次方程在传染病公式中的应用
五、结论
正文：
【一、一元二次方程的概述】
一元二次方程是指形如ax^2+bx+c=0 的方程，其中a、b、c 是已知数，且a≠0。

它是代数学中的一个基本方程，应用广泛，包括在物理、化学、生物、经济等多个领域。

【二、一元二次方程的解法】
一元二次方程的解法主要有三种：配方法、公式法和韦达定理。

其中，公式法是最常用的方法，其公式为x=(-b±√(b^2-4ac))/2a。

通过这个公式，可以快速求出一元二次方程的解。

【三、传染病公式的介绍】
传染病公式是用来描述传染病传播过程的一种数学模型，其主要包括三个参数：感染率、恢复率和死亡率。

通过这个公式，可以预测疾病的传播速度和规模，对防控疫情具有重要意义。

【四、一元二次方程在传染病公式中的应用】
在传染病公式中，一元二次方程用来描述疾病的感染过程。

例如，假设某种疾病的感染率为β，恢复率为γ，初始感染人数为x0，那么经过一段时间后，感染人数x 可以表示为一个一元二次方程：x=x0+βx0-γx。

通过求解这个一元二次方程，就可以得到疾病传播的过程和结果。

【五、结论】
一元二次方程作为代数学的基本方程，其在传染病公式中的应用，展示了数学在解决实际问题中的重要作用。

一元二次方程知识点和易错点总结

一元二次方程知识点总结考点一、一元二次方程1、一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。

2、一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边十一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。

考点二、一元二次方程的解法1、直接开平方法:利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。

直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。

根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。

2、配方法:配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。

配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。

一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式：)04(2422≥--±-=ac b aac b b x公式法的步骤：就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a ，一次项的系数为b ，常数项的系数为c4、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。

分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式提公式法，公式法（平方差公式，完全平方公式）5、韦达定理利用韦达定理去了解，韦达定理就是在一元二次方程中，二根之和=-b/a ，二根之积=c/a 也可以表示为x1+x2=-b/a,x1x2=c/a 。

MBA-公式法及韦达定理

课题：公式法及韦达定理授课内容：一、基础知识（一）公式法解方程根的判别式及应用(24b ac ∆=-)：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的情况：①当0∆>时，方程有两个不相等的实数根； ②当0∆=时，方程有两个相等的实数根； ③当0∆<时，方程无实数根.公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。

一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式：)04(2422≥--±-=ac b aac b b x（二）韦达定理:如一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根为12,x x ，则12b x x a +=-，12cx x a⋅=适用题型：(1)已知一根求另一根及未知系数；(2)求与方程的根有关的代数式的值；(3)已知两根求作方程；(4)已知两数的和与积，求这两个数；(5)确定根的符号:(12,x x 是方程两根)；（6）题目给出两根之间的关系，如两根互为相反数、互为倒数、两根的平方和或平方差是多少、两根是Rt ∆的两直角边求斜边等情况.注意：（1）222121212()2x x x x x x +=+-⋅ （2）22121212()()4x x x x x x -=+-⋅；12x x -=（3）①方程有两正根，则121200x x x x ∆≥⎧⎪+>⎨⎪⋅>⎩；②方程有两负根，则1212000x x x x ∆≥⎧⎪+<⎨⎪⋅>⎩ ；③方程有一正一负两根，则120x x ∆>⎧⎨⋅<⎩；④方程一根大于1，另一根小于1，则12(1)(1)0x x ∆>⎧⎨--<⎩（4）应用韦达定理时，要确保一元二次方程有根，即一定要判断根的判别式是否非负;求作一元二次方程时，一般把所求作得方程的二次项系数设为1，即以12,x x 为根的一元二次方程为21212()0x x x x x x -++⋅=;求字母系数的值时，需使二次项系数0a ≠，同时满足∆≥0;求代数式的值，常用整体思想，把所求代数式变形成为含有两根之和12x x +，•两根之积12x x ⋅的代数式的形式，整体代入。

求根公式韦达定理

求根公式韦达定理
求根公式和韦达定理是两个不同的数学概念，下面分别进行解释。

求根公式是指解一元二次方程的公式。

一元二次方程的一般形式为ax²+bx+c=0，其中a、b、c是已知的常数，x是未知数。

求根公式包括两种形式：一种是基于配方法的，另一种是基于公式法的。

配方法的求根公式是：x=[-b±√(b²-4ac)]/2a，其中±表示正负号的两种可能性。

公式法的求根公式是：x=(-b±i√(4ac-b²))/2a，其中i是虚数单位。

这两种求根公式可以根据具体情况选择使用。

韦达定理是指二次多项式的系数与根之间的关系。

二次多项式的一般形式为ax²+bx+c，其中a、b、c是已知的常数。

韦达定理可以表述为：设x1、x2是二次多项式ax²+bx+c的两个根，则有x1+x2=-b/a和x1x2=c/a。

换句话说，韦达定理告诉我们，一个二次多项式的系数和根之间存在着某种关系，这种关系可以用x1和x2的和以及积来表达。

韦达定理在数学中有很多应用，例如可以用来解二次方程、构造二次多项式等。

x1x2=多少

x1x2=多少
x1*x2=c/ax1+x2=-b/a。

ax^2+bx+c=0，x1,x2是方程的两个解。

韦达定理：两根之和等于-b/a，两根之差等于c/a，x1*x2=c/a，x1+x2=-b/a。

韦达定理说明了一元二次方程中根和系数之间的关系。

在一元二次方程的所有解法中，只有公式法不是将方程来变形，而是通过带入一般形式中的二次项系数、一次项系数和常数项直接来求出方程的根。

实际上求根公式反映的就是一元二次方程根与系数的一种关系，只不过这种关系比较复杂。

也就衍生出了表示两根之和与两根之积的简单的关系式。

注意韦达定理逆定理的运用：对韦达定理的应用比较熟练，而对逆定理的运用比较生疏，事实上逆定理的运用不亚于定理的运用，作用是构造一元二次方程，为解题创造条件。