文库上传2016年秋八年级数学上册 1.1 勾股定理(第1课时)学案 (新版)北师大版
2016年秋八年级数学上册1勾股定理教学案(新版)北师大版
第一章勾股定理经历勾股定理及其逆定理的探索过程,了解勾股定理的各种探究方法及其内在联系,进一步发展空间观念和推理能力.掌握勾股定理及其逆定理,并能运用它们解决简单的问题.通过实例了解勾股定理的历史与应用,体会勾股定理的文化价值.一、本单元对应的课程标准内容1.经历由情境引出问题,探索掌握有关数学知识,再运用于实践的过程,培养学生学数学、用数学的意识与能力.2.体验勾股定理的探索过程,掌握勾股定理,会运用勾股定理解决相关问题.3.掌握勾股定理的逆定理,会运用勾股定理的逆定理解决相关问题.4.运用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题.5.感受数学文化的价值和中国传统数学的成就,激发学生热爱祖国与热爱祖国悠久文化的思想感情.二、教材分析实际生活中,有不少问题的解决都涉及直角三角形的三边关系——勾股定理.数学源于生活,又应用于生活,是本章所体现的主要思想.本章的主要内容是勾股定理及其逆定理.勾股定理是初中数学中的一个重要的定理,它揭示了直角三角形中三边之间的数量关系,它是数形结合的典范,可以解决许多直角三角形中的计算问题.它是直角三角形特有的性质,是初中数学内容的重点之一.本章的重点是勾股定理及其逆定理,难点是勾股定理及其逆定理的应用.本章主要有如下特点:1.在呈现方式上,突出实践性与研究性.例如,证明勾股定理是通过问题引出的.2.突出学数学、用数学的意识与过程.勾股定理的应用尽量和实际问题联系起来.3.对实际问题的选取,注意联系学生的实际生活,注意拓展学生的知识面,注意系统训练的科学性,减少操作性习题,增加探索性问题的比重.【重点】1.掌握勾股定理,并运用勾股定理解决实际问题.2.掌握勾股定理的逆定理,并会运用它判定直角三角形.【难点】1.利用面积法证明勾股定理.2.理解定理、逆定理的关系.3.勾股定理的应用.1.注重使学生经历探索勾股定理等活动过程.教材安排了探索勾股定理、验证勾股定理、探索勾股定理的逆定理等活动,教师应鼓励学生充分参与这些活动,通过观察、实验、推理、交流等获得结论,发展空间观念和推理能力.2.注重创设丰富的现实情境,体会勾股定理及其逆定理的广泛应用.勾股定理及其逆定理在现实世界中有着广泛的应用,教师应充分利用教材中的素材,让学生体会这种应用,如利用勾股定理求出一些立体图形表面最短路程,进行各种距离的测量,利用结绳的方法得到直角等.教师还可以创设其他现实情境或鼓励学生自己寻找有关问题,进一步展现勾股定理及其逆定理在解决问题中的作用.3.介绍有关勾股定理的历史,体现勾股定理的文化价值.勾股定理的发现、验证及应用的过程中蕴含着丰富的文化价值,很多古文明都独立地发现了勾股定理,中国也是最早认识勾股定理的国家之一,古希腊在勾股定理的应用中发现了无理数,进而引发了数学史上第一次关于数学基础的危机,有关勾股定理的历史材料十分丰富,教学中教师应鼓励学生阅读教科书中的相关资料,还可以再呈现一些历史资料,以拓宽学生的视野,有条件的话,还可以引导学生从有关书籍、网络上收集并了解更多的历史资料,体会勾股定理的文化价值.4.注意数形结合、化归等数学思想方法的渗透.勾股定理的探索与验证活动过程蕴含着丰富的数学思想,如数形结合思想、化归思想等.教学中,教师应注意渗透并揭示这些数学思想方法.例如,教师应鼓励学生由代数表示联想到有关几何图形,由几何图形联想到有关代数表示,从而渗透数形结合思想,认识数学的内在联系.1探索勾股定理2课时2一定是直角三角形吗1课时3勾股定理的应用1课时回顾与思考1课时1探索勾股定理1.知道勾股定理的由来,初步理解割补拼接的面积证法.2.掌握勾股定理,通过动手操作利用等积法理解勾股定理的证明过程.在探索勾股定理的过程中,让学生经历“观察——猜想——归纳——验证”的数学思想,并体会数形结合以及由特殊到一般的思想方法,培养学生的观察能力、抽象概括能力、创造想象能力以及科学探究问题的能力.1.通过观察、猜想、拼图、证明等操作,使学生深刻感受到数学知识的发生、发展过程.2.介绍“赵爽弦图”,让学生感受到中国古代在勾股定理研究方面所取得的伟大成就,激发学生的数学激情及爱国情感.【重点】掌握勾股定理,并运用勾股定理解决实际问题.【难点】理解勾股定理及其逆定理的关系.第课时1.经历用测量法和数格子的方法探索勾股定理的过程,发展合情推理能力,体会数形结合的思想.2.会解决已知直角三角形的两边求另一边的问题.1.经历“测量—猜想—归纳—验证”等一系列过程,体会数学定理发现的过程.2.在观察、猜想、归纳、验证等过程中培养语言表达能力和初步的逻辑推理能力.3.在探索过程中,体会数形结合、由特殊到一般及化归等数学思想方法.通过让学生参加探索与创造,获得参加数学活动成功的经验.【重点】勾股定理的探索及应用.【难点】勾股定理的探索过程.【教师准备】分发给学生打印的方格纸.【学生准备】有刻度的直尺.导入一:展示教材P2开头的情境.如图所示,从电线杆离地面8 m处向地面拉一条钢索,如果这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部6 m,那么需要多长的钢索?事实上,古人发现,直角三角形的三条边长度的平方存在一个特殊关系,学完了这节课,我们就会很容易地求出钢索的长度.[设计意图]创设问题情境,造成学生的认知冲突,激发学生的求知欲望.导入二:如图所示,强大的台风使得一个旗杆在离地面9米处折断倒下,旗杆顶部落在离旗杆底部12米处.旗杆折断之前有多高?【师生活动】在直角三角形中,任意两条边确定了,第三条边确定吗?为什么?在直角三角形中,任意两条边确定了,第三条边也就随之确定,三边之间存在着一种特定的数量关系.事实上,古人发现,直角三角形的三条边长度的平方存在一种特殊的关系.让我们一起去探索吧![过渡语]古代人已经认识到直角三角形的三条边的长度之间存在着特殊的平方关系,究竟存在怎样的关系呢?大家一起来探究下吧.一、用测量的方法探索勾股定理思路一【学生活动】1.画一个直角三角形,使直角边长分别为3 cm和4 cm,测量一下斜边长是多少.2.画一个直角边长分别是6 cm和8 cm的直角三角形,测量一下斜边长是多少.3.画一个直角边长分别是5 cm和12 cm的直角三角形,测量一下斜边长是多少.【问题】你能观察出直角三角形三边之间的关系吗?[设计意图]帮助学生感知直角三角形三条边的长度存在特殊的关系,进而激发学生的探索欲望.思路二任意画一个直角三角形,分别测量三条边长,把长度标在图形中,计算三边的平方,把结果填在表格中.直角三角形直角边长直角边长斜边长123【师生活动】师:观察表格,有什么发现?生1:a2+b2=c2.生2:两直角边的平方和很接近斜边的平方.师:很精确,他用了很接近这个词,非常棒!有哪些数据得到了a2+b2=c2?生:3,4,5;6,8,10;2,1.5,2.5;5,12,13……师:哪些数据没得到a2+b2=c2?生:2,4,4.5;5,8,9.5;2.4,4.8,9.3……师:怎样验证直角三角形三边之间的平方关系呢?二、验证直角三角形三条边长度存在的特殊关系,用数格子的方法探索勾股定理[过渡语]刚才的探究活动,我们只是通过测量和计算发现了直角三角形三条边之间存在的特殊关系,那么我们怎样去验证呢?已知两条直角边能不能求出斜边呢?1探索等腰直角三角形的情况思路一展示教材P2图1 - 2部分图.探索问题:(1)这个三角形是什么样的三角形?(2)直角三角形三边的平方分别是多少?它们满足怎样的数量关系?(学生通过数格子的方法可以得出S A+S B=S C)[设计意图]通过三个正方形面积的关系,得到直角三角形三边的关系.思路二展示教材P2图1 - 2,直角三角形三边的平方分别是多少,它们满足上面所猜想的数量关系吗?你是如何计算的?【师生活动】师:在这幅图中,边长的平方是如何刻画的?我们的猜想如何实现?生:用正方形A,B,C刻画的,就是证A+B=C.师:再准确点说呢?生:是用三个正方形A,B,C的面积刻画的,就是证明正方形A的面积加上正方形B的面积等于正方形C的面积.师:请同学们快速算一算正方形A,B,C的面积.(学生交流面积C的求法,教师巡视点评)生:A的面积是9,B的面积也是9,C的面积是18.师:你用什么方法得到正方形C的面积为18个单位面积?生1:我先数整个格子有12个,两个三角形格子拼成一个正方形格子,能凑6个,一共是18个.生2:把正方形对折,得到两个三角形.(学生板演,并列式计算)生3:分成四个全等的直角三角形.(学生板演,口述面积求法)师:方法不错,你们很善于动脑筋,我们用数格子、分割图形的方法得到C的面积,还有什么方法可以得到吗?生:在正方形C的外侧画一个大正方形,用大正方形的面积减去4个三角形的面积.(学生板演,口述面积求法)师:很好,他采用了补形的方法计算面积,我们能得到什么结论?生1:S A+S B=S C.生2:a2+b2=c2.师:我们看到上面的三角形具有特殊性,是等腰直角三角形,一般三角形能验证吗?2.探索边长为3,4,5的直角三角形的情况.展示教材P2图1 - 3部分图.对于一般的直角三角形是否也有这样的关系?你是如何计算的?【问题】(1)正方形A的面积是多少个方格?正方形B的面积是多少个方格?(2)怎样求出正方形C的面积是多少个方格?(3)三个正方形的面积之间有什么关系?同桌交流、小组讨论,共同探讨如何求正方形的面积,找到三边平方之间的关系.【提示】在正方形C的四周再补上三个相等的直角三角形,变成一个新的大正方形.【拓展】如果直角三角形的两直角边分别为1.6个单位长度和2.4个单位长度,上面所猜想的数量关系还成立吗?说明你的理由.学生思考、交流,教师请学生口答,并板书,指出这就是这节课要学习的勾股定理.【学生总结】直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果用a,b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边,那么a2+b2=c2.[思考](1)运用此定理的前提条件是什么?(2)公式a2+b2=c2有哪些变形公式?(3)由(2)知直角三角形中,只要知道条边,就可以利用求出.[设计意图]让学生经历“独立思考——小组讨论——合作交流”的环节,进一步加深对勾股定理的理解,并激发学生的爱国热情.[知识拓展]1.由勾股定理的基本形式a2+b2=c2可以得到一些变形关系式,如a2=c2-b2=(c+b)(c-b);b2=c2-a2=(c+a)(c-a).2.在钝角三角形中,三角形三边长分别为a,b,c,若c为最大边长,则有a2+b2<c2,在锐角三角形中,三角形三边长分别为a,b,c,若c为最大边长,则有a2+b2>c2.1.勾股定理的由来.2.勾股定理的探索方法:测量法和数格子法.3.勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果a,b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边,那么a2+b2=c2.1.直角三角形ABC的两直角边BC=12,AC=16,则ΔABC的斜边AB的长是()A.20B.10C.9.6D.8解析:BC2=122=144,AC2=162=256,AB2=AC2+BC2=400=202.故选A.2.直角三角形两直角边长分别是6和8,则周长与最短边长的比是()A.7∶1B.4∶1C.25∶7D.31∶7解析:利用勾股定理求出斜边的长为10.故选B.3.(2015·温州模拟)如图所示,在ΔABC中,AB=AC,AD是ΔABC的角平分线,若BC=10,AD=12,则AC=.解析:根据等腰三角形三线合一,判断出ΔADC为直角三角形,利用勾股定理即可求出AC 的长为13.故填13.4.如图所示,在RtΔABC中,∠ACB=90°,AB=10,分别以AC,BC为直径作半圆,面积分别记为S1,S2,则S1+S2的值等于.解析:根据半圆面积公式结合勾股定理,知S1+S2等于以斜边为直径的半圆的面积.所以S1+S2=πAB2=12.5π.故填12.5π.第1课时1.概念:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.2.表示法:如果用a,b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边,那么a2+b2=c2.一、教材作业【必做题】教材第3页随堂练习第1,2题.【选做题】教材第4页习题1.1第2题.二、课后作业【基础巩固】1.在RtΔABC中,AB=6,BC=10,∠A=90°,则AC=.2.若三角形是直角三角形,且两条直角边长分别为5,12,则此三角形的周长为,面积为.3.(2014·凉山中考)已知直角三角形的两边长分别是3和4,则第三边长为.4.如果梯子的底端离建筑物9米,那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是. 【能力提升】5.如图所示,在正方形网格中,ΔABC的三边长a,b,c的大小关系是()A.a<b<cB.c<a<bC.c<b<aD.b<a<c6.如图所示,在一个由4×4个小正方形组成的正方形网格中,以EF为边的小正方形与正方形ABCD的面积比是.7.如图所示,阴影部分是一个正方形,它的面积为.8.如图所示,三个正方形的面积中,字母A所在的正方形的面积是.9.飞机在空中水平飞行,某一时刻飞机刚好飞到一个男孩头顶正上方4000米处,过20秒,飞机距离这个男孩头顶5000米,飞机每小时飞行多少千米?10.一个门框的尺寸如图所示,一块长3 m,宽2.2 m的薄木板能否从门框内通过?为什么?11.在ΔABC中,AB=25,AC=30,BC边上的高AD=24,求BC的长.【拓展探究】12.如图所示,在RtΔABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,以点A为圆心,AC长为半径画弧,交AB于点D,则BD=.13.如图所示,一个机器人从O点出发,向正东方向走3米到A1点,再向正北方向走6米到达A2点,再向正西方向走9米到达A3点,…,按此规律走下去,当机器人走到A6点时,离O点的距离是.【答案与解析】1.8(解析:AC2=BC2-AB2=64.)2.3030(解析:由题意得此直角三角形的斜边长为13.)3.5或4.12米5.D(解析:两个正数比较大小,可以按照下面的方法进行:如果a>0,b>0,并且a2>b2,那么a>b.可以设每一个小正方形的边长为1,在直角三角形BDC中,根据勾股定理可以求出a2=10,同理可以求出b2=5,c2=13,因为a>0,b>0,c>0,且b2<a2<c2,所以b<a<c.)6.5∶8(解析:可以设每个小正方形的边长为1,则正方形ABCD的面积就是4×4=16,斜放的小正方形的边长应该是直角三角形DEF的斜边长,另外两条直角边长分别是1和3,根据勾股定理可以求出小正方形的面积是10.所以以EF为边的小正方形与正方形ABCD的面积比是10∶16=5∶8.)7.64 cm2(解析:设阴影部分的边长为x,则它的面积为x2=172-152=64(cm2).)8.7(解析:根据正方形的面积公式和勾股定理,知以直角三角形的两条直角边为边的正方形的面积和等于以斜边为边的正方形的面积,由勾股定理可知A=16-9=7.故A的面积为7.) 9.解:根据题意可以先画出符合题意的图形.如图所示,在ΔABC中,∠C=90°,AC=4000米,AB=5000米,欲求飞机每小时飞行多少千米,就要知道飞机在20秒的时间里飞行的路程,即图中的CB长,由于RtΔABC的斜边AB=5000米=5千米,AC=4000米=4千米,由勾股定理得BC2=AB2-AC2,即BC=3千米.飞机20秒飞行3千米,那么它1小时飞行的距离为×3=540(千米).答:飞机每小时飞行540千米.10.解:连接AC,在RtΔABC中,根据勾股定理得AC2=AB2+BC2=12+22=5.又因为2.22=4.84<5.所以AC>木板的宽,所以木板可以从门框内通过.11.解:在RtΔABD中,由勾股定理得BD2=AB2-AD2=252-242=49,所以BD=7.在RtΔADC中,由勾股定理得CD2=AC2-AD2=302-242=324,所以CD=18.所以BC=BD+DC=7+18=25.12.2(解析:∵在RtΔABC中,AC=3,BC=4,∴AB=5,∵以点A为圆心,AC长为半径画弧,交AB于点D,∴AD=AC,∴AD=3,∴BD=AB-AD=5-3=2.)13.15(解析:解此题时要求出A1A2,A2A3,A3A4,A4A5,A5A6等各线段的长,再利用勾股定理求解.)从本节课教案的思路设计看,始终贯彻以学生为主体,充分运用各种手段调动学生参与探索活动的积极性.课前的导入利用生活中的问题,唤起学生带着问题进入本节课的学习.在探求直角三角形三边平方关系时,遵循了发现问题、证实问题到推导问题的认识过程.在引导学生进行探索的过程中,对学生的指导过多,不敢放手让学生自己进行尝试.比如在利用教材第2页下面的两幅图的时候,要求学生选取与教材一致的数据.在这里应该放手让学生自己选取数据.在总结勾股定理的时候,可以让学生自己总结勾股定理的数学表达式.在利用教材给出的示例进行勾股定理结论探索的时候,一定要立足于“面积相等”这个探究的立足点,这样才能保证学生找准探索活动的方向.随堂练习(教材第3页)1.解:字母A代表的正方形的面积=225+400=625,字母B代表的正方形的面积=225-81=144.2.解:不同意他的想法,因为29 in的电视机是指屏幕长方形的对角线长为29 in,由屏幕的长为58 cm,宽为46 cm,可知屏幕的对角线长的平方=,所以对角线长≈29 in.习题1.1(教材第4页)1.解:①x2=62+82=100,x=10.②y2=132-52=144,y=12.2.解:172-152=64,所以另一条直角边长为8 cm.面积为×8×15=60(cm2).3.解:本题具有一定的开放性,现给出4种方案:如图所示,设①的面积为g,③的面积为e,④的面积为f,⑦的面积为a,⑨的面积为b,⑧的面积为d,⑩的面积为c,则(1)a+b+c+d=g,(2)a+b+f=g,(3)e+c+d=g,(4)e+f=g.4.解:过C点作CD⊥AB于D,因为CA=CB=5 cm,所以AD=BD=AB=3 cm.在RtΔADC中,CD2=AC2-AD2,所以CD=4 cm,所以SΔABC=AB·CD=×6×4=12(cm2).(2014·淮安中考)如左下图所示,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,点A,B都是格点,则线段AB的长度为 ()A.5B.6C.7D.25〔解析〕本题考查勾股定理的知识,解答本题的关键是掌握格点三角形中勾股定理的应用,建立格点三角形.如图所示,利用勾股定理求解AB的长度即可.由图可知AC=4,BC=3,则由勾股定理得AB=5.故选A.如图所示,直线l上有三个正方形a,b,c,若a,c的面积分别为3和4,则b的面积为.〔解析〕∵∠ACB+∠ECD=90°,∠DEC+∠ECD=90°,∴∠ACB=∠DEC.∵∠ABC=∠CDE,AC=CE,∴ΔABC≌ΔCDE,∴BC=DE.根据勾股定理的几何意义,b的面积=a的面积+c的面积,∴b的面积=3+4=7.故填7.第课时1.掌握勾股定理,理解和利用拼图验证勾股定理的方法.2.能运用勾股定理解决一些简单的实际问题.通过拼图法验证勾股定理,使学生经历观察、猜想、验证的过程,进一步体会数形结合的思想.培养学生大胆探索,不怕失败的精神.【重点】经历勾股定理的验证过程,能利用勾股定理解决实际问题.【难点】用拼图法验证勾股定理.【教师准备】教材图1 - 4,1 - 5,1 - 6,1 - 7的图片.【学生准备】4个全等的直角三角形纸片.导入一:【提问】直角三角形的三边有怎样的关系?在研究直角三角形三边关系时,我们是通过测量、数格子的方法发现了勾股定理,那么,我们怎样用科学的方法去证明勾股定理的正确性呢?请跟我一起去探索吧!导入二:上节课我们用什么方法探索发现了勾股定理?学生思考(测量、数格子).[过渡语]一样的科学结论,可能会有很多的证明方式,人们对勾股定理的验证,就给出了多种的证明方式,我们也一起来尝试下吧.一、勾股定理的验证思路一【师生活动】师:投影教材P4图1 - 4,分别以直角三角形的三条边的长度为边长向外作正方形,你能利用这个图说明勾股定理的正确性吗?你是如何做的?与同伴进行交流.生:割补法进行验证.师:出示教材P5图1 - 5和图1 - 6,想一想:小明是怎样对大正方形进行割补的?生:讨论交流.师总结:图1 - 5是在大正方形的四周补上四个边长为a,b,c的直角三角形;图1 - 6是把大正方形分割成四个边长为a,b,c的直角三角形和一个小正方形.图1 -5采用的是“补”的方法,而图1 - 6采用的是“割”的方法,请同学们将所有三角形和正方形的面积用a,b,c 的关系式表示出来.(1)动笔操作,独立完成.师:图1 - 5中正方形ABCD的面积是多少?你们有哪些方法求?与同伴进行交流.(2)分组讨论面积的不同表示方法.生:得出(a+b)2,4×ab+c2两种方法.(3)板书学生讨论的结果.【提问】你能利用图1 - 5验证勾股定理吗?生:根据刚才讨论的情况列出等式进行化简.师:化简之后能得到勾股定理吗?生:得到a2+b2=c2,即两直角边的平方和等于斜边的平方,验证了勾股定理.师:你能用图1 - 6也证明一下勾股定理吗?独立完成.师:(强调)割补法是几何证明中常用的方法,要注意这种方法的运用.思路二教师出示教材图1 - 4及“做一做”,让学生观察图1 - 5和图1 - 6.【提问】小明是怎样拼的?你来试一试.(学生以小组为单位展开拼图尝试,同伴之间讨论、争辩、互相启发,将拼好的图形画下来)【思考】“做一做”的三个问题.教师讲评验证勾股定理的方法.二、勾股定理的简单应用思路一出示教材P5例题,教师分析并抽象出几何图形.【问题】(1)图中三角形的三边长是否满足AB2=AC2+BC2?(2)要想求敌方汽车的速度,应先求什么?你能利用勾股定理完成这道题吗?(学生独立完成,教师指名板演)出示教材P8图1 - 8.【提问】判断图中三角形的三边长是否满足a2+b2=c2.(学生以组为单位合作完成,分别计算出每个正方形的面积.独立完成,有困难的可以合作完成)思路二我方侦察员小王在距离东西向公路400 m处侦察,发现一辆敌方汽车在公路上疾驶.他赶紧拿出红外测距仪,测得汽车与他相距400 m,10 s后,汽车与他相距500 m,你能帮小王计算敌方汽车的速度吗?〔解析〕根据题意,可以画出右图,其中点A表示小王所在位置,点C,点B表示两个时刻敌方汽车的位置.由于小王距离公路400 m,因此∠C是直角,这样就可以由勾股定理来解决这个问题了.解:由勾股定理,可以得到AB2=BC2+AC2,也就是5002=BC2+4002,所以BC=300.敌方汽车10 s行驶了300 m,那么它1 h行驶的距离为300×6×60=108000(m),即它行驶的速度为108 km/h.[知识拓展]利用面积相等来验证勾股定理,关键是利用不同的方法表示图形的面积,一要注意部分面积和等于整体面积的思想,二要注意拼接时要做到不重不漏.曾任美国总统的伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他提出的一个勾股定理证明,如图所示,这就是他拼出的图形.它的面积有两种表示方法,既可以表示为(a+b)(a+b),又可以表示为(2ab+c2),所以可得(a+b)(a+b)=(2ab+c2),化简可得a2+b2=c2.1.勾股定理的验证方法2.在实际问题中,首先要找到直角三角形,然后再应用勾股定理解题.1.下列选项中,不能用来证明勾股定理的是()解析:A,B,C都可以利用图形面积得出a,b,c的关系,即可证明勾股定理,故A,B,C选项不符合题意;D,不能利用图形面积证明勾股定理,故此选项正确.故选D.2.用四个边长均为a,b,c的直角三角板,拼成如图所示的图形,则下列结论中正确的是()A.c2=a2+b2B.c2=a2+2ab+b2C.c2=a2-2ab+b2D.c2=(a+b)2解析:由题意得到四个完全一样的直角三角板围成的四边形为正方形,其边长为c,里面的小四边形也为正方形,边长为b-a,则有c2=ab×4+(b-a)2,整理得c2=a2+b2.故选A.3.如图所示,大正方形的面积是,另一种方法计算大正方形的面积是,两种结果相等,推得勾股定理是.解析:如图所示,大正方形的面积是(a+b)2,另一种计算方法是4×ab+c2,即(a+b)2=4×ab+c2,化简得a2+b2=c2.答案:(a+b)24×ab+c2a2+b2=c24.操作:剪若干个大小形状完全相同的直角三角形,三边长分别记为a,b,c(如图(1)所示),分别用4张这样的直角三角形纸片拼成如图(2)(3)所示的形状,图(2)中的两个小正方形的面积S2,S3与图(3)中小正方形的面积S1有什么关系?你能得到a,b,c之间有什么关系?解析:根据已知图形的形状得出面积关系,进一步证明勾股定理即可求解.解:分别用4张直角三角形纸片,拼成如图(2)(3)所示的形状,观察图(2)(3)可发现,图(2)中的两个小正方形的面积之和等于图(3)中的小正方形的面积,即S2+S3=S1,这个结论用关系式可表示为a2+b2=c2.第2课时1.勾股定理的验证.2.勾股定理的简单应用.一、教材作业【必做题】教材第6页随堂练习.【选做题】教材第7页习题1.2第3题.二、课后作业【基础巩固】1.我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).如果大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,直角三角形的两直角边长分别为a,b,那么(a-b)2的值是()A.1B.2C.12D.13。
1.1探索勾股定理(第1课时)教学设计.doc
第一章勾股定理1.探索勾股定理（第1课时）一、学生起点分析二、教学任务分析本节课是义务教育课程标准实验教科书北师大版八年级（上）第一章《勾股定理》第一节第1课时.勾股定理揭示了直角三角形三边之间的一种美妙关系，将形与数密切联系起来，在数学的发展和现实世界中有着广泛的作用.本节是直角三角形相关知识的延续，同时也是学生认识无理数的基础，充分体现了数学知识承前启后的紧密相关性、连续性.此外，历史上勾股定理的发现反映了人类杰出的智慧，其中蕴涵着丰富的科学与人文价值.为此本节课的教学目标是:1.用数格子（或割、补、拼等）的办法体验勾股定理的探索过程并理解勾股定理反映的直角三角形的三边之间的数量关系，会初步运用勾股定理进行简单的计算和实际运用.2.让学生经历观察一猜想一归纳一验证”的数学思想，并体会数形结合和特殊到一般的思想方法.3.进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力；进一步体会数学与现实生活的紧密联系.4.在探索勾股定理的过程中，体验获得成功的快乐；通过介绍勾股定理在中国古代的研究，激发学生热爱祖国，热爱祖国悠久文化历史，激励学生发奋学习.三、教学过程设计本节课设计了五个教学环节：第一环节：创设情境，引入新课；第二环节：探索发现勾股定理；第三环节：勾股定理的简单应用；第四环节：课堂小结；第五环节：布置作业.第一环节：创设情境，弓I入新课内容：2002年世界数学家大会在我国北京召开，投影显示本届世界数学家大会的会标:第1页第2页会标中央的图案是一个与 勾股定理”有关的图形，数学家曾建议 用 勾股定理”的图来作为与 外星人”联系的信号.今天我们就来一同 探索勾股定理.（板书课题）意图：紧扣课题，自然引入，同时渗透爱国主义教育 效果：激发起学生的求知欲和爱国热情.第二环节：探索发现勾股定理1. 探究活动一内容：投影显示如下地板砖示意图,引导学生从面积角度观察图形:问：你能发现各图中三个正方形的面积之间有何关系吗? 学生通过观察，归纳发现:结论1以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和, 长的正方形的面积.意图：从观察实际生活中常见的地板砖入手，让学生感受到数学就在我们身边.通过 对特殊情形的探究得到结论1,为探究活动二作铺垫.效果：1.探究活动一让学生独立观察，自主探究，培养独立思考的习惯和能力； 2•通过探索发现，让学生得到成功体验，激发进一步探究的热情和愿望 .2. 探究活动二内容：由结论1我们自然产生联想：一般的直角三角形是否也具有该性质呢? （1）观察下面两幅图:等于以斜边为边（2）填表:师应给予充分肯定.）学生的方法可能有:方法一: A的面积（单位面积）B的面积（单位面积）C的面积（单位面积）左图右图（3）你是怎样得到正方形C的面积的？与同伴交流. 去四个直角三角形的面积, （学生可能会做出多种方法，教如图1 ,将正方形C分割为四个全等的直角三角形和一个小正方形，第4页效果：学生通过充分讨论探究，在突破正方形 C 的面积计算这一难点后得出结论 2. 3. 议一议内容：（1）你能用直角三角形的边长a ，b ，c 来表示上图中正方形的面积吗? （2）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗?（3）分别以5厘米、12厘米为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度.2中发现的规律对这个三角形仍然成立吗?勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 .如果用a ，b ，c 分别表示 直角三角形的两直角边和斜边，那么 a 2+b 2=c 2.数学小史：勾股定理是我国最早发现的，中国古代把直角三角形 中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，勾股定 理”因此而得名.（在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理）意图：议一议意在让学生在结论2的基础上，进一步发现直角三 角形三边关系，得到勾股定理.效果：1.让学生归纳表述结论，可培养学生的抽象概括能力及语言表达能力; 过作图培养学生的动手实践能力.第三环节：勾股定理的简单应用内容:例题 如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面 10m 处折断倒下，树顶落在离树根24m 处.大树在折断之前高多少?（教师板演解题过程） 练习:1基础巩固练习:求下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度（口答）：2.生活中的应用:2.通2.观察下图，探究图中三角形的三边长是否满足a 2 +b 2 =c 2 ?小明妈妈买了一部29 in （74 cm ）的电视机.小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有 58 cm 长和46 cm 宽，他觉得一定是售货员搞错了.你同意他的想法吗？你能解释这是为什 么吗?意图：练习第1题是勾股定理的直接运用，意在巩固基础知识.效果：例题和练习第2题是实际应用问题，体现了数学来源于生活，又服务于生活, 意在培养学生用数学”的意识.运用数学知识解决实际问题是数学教学的重要内容第四环节：课堂小结内容: 教师提问:1.这一节课我们一起学习了哪些知识和思想方法?2.对这些内容你有什么体会？与同伴进行交流. 在学生自由发言的基础上，师生共同总结:1.知识：勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果用 a ，b ，c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a 2 +b 2 =c 22.方法：（1）观察一探索一猜想一验证一归纳一应用;(2) 割、补、拼、接”法.3.思想：（1） 特殊一一般一特殊; 意图: 效果: 结的意识.数形结合思想.鼓励学生积极大胆发言，可增进师生、生生之间的交流、互动.通过畅谈收获和体会，意在培养学生口头表达和交流的能力，增强不断反思总 第五环节：布置作业内容：布置作业：1.教科书习题1.1.意图：课后作业设计包括了三个层面：作业1是为了巩固基础知识而设计；作业2是为了扩展学生的知识面；作业3是为了拓广知识，进行课后探究而设计，通过此题可让学生进步认识勾股定理的前提条件.效果：学生进一步加强对本课知识的理解和掌握.五、教学设计反思（一）设计理念依据学生是学习的主体”这一理念，在探索勾股定理的整个过程中，本节课始终采用学生自主探索和与同伴合作交流相结合的方式进行主动学习.教师只在学生遇到困难时, 进行引导或组织学生通过讨论来突破难点.（二）突出重点、突破难点的策略为了让学生在学习过程中自我发现勾股定理，本节课首先情景创设激发兴趣，再通过几个探究活动引导学生从探究等腰直角三角形这一特殊情形入手，自然过渡到探究一般直角三角形，学生通过观察图形，计算面积，分析数据，发现直角三角形三边的关系，进而得到勾股定理.少年智则国智，少年富则国富，少年强则国强，少年独立则国独立，少年自由则国自由，少年进步则国进步，少年胜于欧洲，贝恫胜于欧洲，少年雄于地球，则国雄于地球。
勾股定理(1)学案
A B2.1 勾股定理（1）学习、巩固案 班级 姓名 学号一、观察、思考、操作、计算小方格的边长为1，以BC 为一边的正方形面积是 ，以AC 为一边的正方形的面 积是 ，你能计算出以AB 为一边的正方形面积吗？你打算用什么方法？可不知道边长啊方法一 用“补”的方法把以AB 为边的正方形的周围补上四个直角三角形，成为一个大的正方形。
自己动手补一补大正方形的边长是 ，四个直角三角形的面积和是 ，以AB为边的正方形面积是 。
猜想：AB= 。
弦股勾c b a C B A A B方法二 用“割”的方法把以AB 为边的正方形分割成四个直角三角形和边长是 的小正方形。
自己动手分一分小正方形的边长是 ，四个直角三角形的面积和是 ，以AB为边的正方形面积是 。
猜想：AB= 。
二、实验1．请同学们画：两条直角边分别为3cm 和4cm 的直角三角形（要尽量准确）。
怎样画？（1）画直角∠MCN ；（2）分别在CM 、CN 上截取CA=3cm 、CB=4cm ；（3）连接AB 。
量得AB= cm 。
若以这个直角三角形的三边为边（向形外）画正方形，正方形的面积分别为多少？ 再次验证：两条直角边分别为3、4的直角三角形的斜边长为 。
你发现直角三角形三边之间有什么数量关系？。
2．在课本P 47的方格纸上，画直角三角形。
（1）两条直角边分别为5、12（请南边一、二组同学画）（2）两条直角边分别为6、8（请北边三组同学画） 分别以这个直角三角形的各边为一边向三角形外作正方形，仿照上面的方法计算以斜边为一边的正方形面积。
再次验证了直角三角形三边之间的数量关系。
结论勾股定理 。
A B C ABC D 三、勾股定理的应用：已知直角三角形中的任意两边求第三边格式：写出直角，得出三边之间的等量关系，把已知条件代入，求得第三边。
例1 △ABC 中，∠C=90°，已知下列两边，求第三边：（1）a =5，b =12；（2）a =8，c =17；（3）b =12，c =13；解：△ABC 中，∵∠C=90°（1）2c =2a +2b =25+212=25+144=169，∴c =±13，∵三角形的边长为正，∴c =13。
勾股定理第1课时 学案
17.1勾股定理第1课时学习目标：(1)能够利用拼图法证明勾股定理．(2)能够利用勾股定理求简单的直角三角形的边长．课前准备1、 有一个角是直角的三角形是________三角形2、 直角三角形的两个锐角_________3、 ( a )2＝_________(a ≥0)4、a 2 ＝_________＝⎩⎨⎧_________(a ≥0 )_________( a<0)5、积的算术平方根的性质ab ＝__________(a ≥0，b ≥0)课堂导学自学指导一认真阅读课本P 22的内容，同桌讨论，动手拼图，直角三角形三条边之间具有什么样的数量关系？并用自已手中的图形说明你发现的结论．并用几何语言描述你发现的结论．完成自学检测 自学检测1、在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，AC ＝5，则BC ＝ ．2、在Rt △ABC 中，有一边是3，另一边是4，则第三边的长是 ．自学指导二1、再认真阅读P 23~24内容，尝试回答以下问题⑴课本 P23图17.1-5，以AB 为边的正方形面积为______________⑵Rt △ABC 的面积为_______________⑶内部小正方形的面积为________________⑷请根据“四个直角三角形面积的和+小正方形面积=以AB 为边的大正方形的面积”，推导出abc 之间的关系3、 把我们证明出的勾股定理用数学语言描述，并用勾股定理完成课本P24练习第1题，第2题勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么______________ 当堂作业必做题：课本P28复习巩固第1题选做题：1、如图，求图中字母M 所代表的正方形的面积．7545M2、如图，一根旗杆在离地面5m处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12m处，旗杆折断之前有多高?5m12m思考题：如图，直角三角形三边上的半圆面积之间有什么关系？试探究一下.。
北师大版初中数学八年级(上)第一章勾股定理1-1探索勾股定理(第1课时)教学详案
第一章勾股定理1探索勾股定理第2课时勾股定理的证明及应用教学目标1.经历运用拼图的方法说明勾股定理是正确的过程，在教学活动中发展学生的探究意识和合作交流的习惯.2.通过对勾股定理的探索，在探索实践中理解并掌握勾股定理并且会运用勾股定理.教学重难点重点：会验证勾股定理，并能应用勾股定理解决一些实际问题.难点：经历勾股定理的验证过程，体会数形结合的思想和从特殊到一般的思想.教学过程导入新课教师提出问题：1.勾股定理的内容是什么？（指名学生回答）2.上节课我们仅仅是通过测量和数格子，对具体的直角三角形进行探索发现了勾股定理，对一般的直角三角形勾股定理是否成立呢？这需要进一步验证，如何验证勾股定理呢？教师：事实上，现在已经有数百种勾股定理的验证方法，这节课我们就来验证一下勾股定理.设计意图：回顾上节课探索过程，强调仍需对一般的直角三角形进行验证，培养学生严谨的科学态度，介绍世界上一些验证方法，激发学生的学习兴趣.探究新知一、预习新知让学生自主预习课本第5页.提出问题：如下图，分别以直角三角形的三条边为边向外作正方形，你能利用这幅图说明勾股定理的正确性吗？.设计意图：通过让学生自己动手作图、验证不仅能锻炼学生的动手能力，还能加深对勾股定理的理解.二、合作探究验证勾股定理为了计算上图中大正方形的面积，小明对这个大正方形进行了适当割补后得到了下面问题1：你可以利用两种方法来表示图1中的大正方形的面积吗？学生先独立思考，再小组交流得到答案(a+b)2和2ab+c2.问题2：你可以得到怎样的等式？从而能得到什么？学生：(a +b )2 = 2ab +c 2，化简后得到a 2+b 2 = c 2.从而利用图1验证了勾股定理，此方法称为毕达哥拉斯法.教师：我们利用拼图的方法，将形的问题与数的问题结合起来，利用整式运算的有关知识，从理论上验证了勾股定理，你还能利用图2验证勾股定理吗？问题3：图2中小正方形的边长是多少？问题4：你可以利用两种方法来表示图2中的大正方形的面积吗？问题5：你可以得到怎样的等式？从而能得到什么？提出几个问题让学生根据问题独立探究，再小组交流，最后请一位同学上台讲解利用图2验证勾股定理.图2中小正方形边长是b －a ，(b －a)2和c 2－2ab 都可以表示图2中小正方形的面积，根据同一图形面积相等得到(b －a)2 = c 2－2ab ，化简后得到a 2+b 2 = c 2.从而利用图2也验证了勾股定理，图2我们又称为赵爽弦图.设计意图：教师层层设问引导学生来完成勾股定理的验证，通过两个图形让学生体会数形结合的思想并体会成功的快乐，学生先拼图从形上感知，再利用面积验证，比较容易掌握本节课的重点内容.前面已经讨论了直角三角形的三边长满足的关系，那么锐角三角形和钝角三角形是否也满足这一关系呢？ a 2+b 2 = c 2.a ，b ，c 不满足a 2+b 2 = c 2，通过这个结论，学生将对直角三角形的三边关系有进一步认识.巩固练习= S △ABE +S △BCE +S △EDA ，又∵ S 梯形ABCD =12(a +b )2，S △BCE = S △EDA = 12ab ，S △ABE = 12c 2， ∴ 12(a +b )2 = 2×12ab +12c 2， ∴ a 2+b 2 = c 2，即勾股定理得证．典型例题【例1】作8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，再作三个边长分别为a ，b ，c 的正方形，将它们如下图所示拼成两个正方形．证明：a 2+b 2 = c 2.a+b，因此它们的面积相等．我们再用不同的方法来表示这两个正方形的面积，即可证明勾股定理．【证明】由图易知，这两个正方形的边长都是a+b，∴它们的面积相等．左边大正方形面积可表示为a2+b2+12ab×4，右边大正方形面积可表示为c2+12ab×4.∵a2+b2+12ab×4 = c2+12ab×4，∴a2+b2 = c2.【总结】根据拼图，通过对拼接图形的面积的不同表示方法，建立相等关系，从而验证勾股定理．典型例题【例2】如图是某沿江地区交通平面图，为了加快经济发展，该地区拟修建一条连接M，O，Q三城市的沿江高速公路，已知沿江高速公路的建设成本为5 000万元/km，该沿江高速公路的造价预计是多少？【问题探索】总造价计算公式是解决此题目的关键，总造价 = 每千米造价×千米数.【解】在Rt△OMN中，根据勾股定理得MN 2+ON 2 = OM 2，∴302+402 = OM 2，∴OM = 50 km.同理O Q = 130 km，∴造价为（50+130）×5 000 = 900 000（万元）.答：造价预计是900 000万元.【总结】解答本题的关键是先利用勾股定理求出高速公路的长度，再求总造价．课堂练习1.若等腰三角形的腰长为13 cm，底边长为10 cm，则它的面积为()A．30 cm2B．130 cm2C．120 cm2D．60 cm22.放学以后，小丽和小红从学校出发，分别沿东南方向和西南方向回家.若小丽和小红行走的速度都是40 m/min，小丽走了15 min回到家，小红走了20 min回到家，则小丽家和小红家间的距离为()A．600 m B．800 mC．1 000 m D．不确定3.直角三角形两直角边长分别为8 cm，15cm，则斜边上的高为______.4.某农舍的大门是一个木制的矩形栅栏，它的高为2 m，宽为1.5 m，现在需要在相对的顶点间用一块木板加固，则这块木板的长为______.5.如图，高速公路的同侧有A，B两个村庄，它们到高速公路所在直线MN的距离分别为AA1 = 2 km，BB1 = 4 km，A1B1 = 8 km.现要在高速公路上A1，B1之间设一个出口P，使A，B两个村庄到P的距离之和最短，求这个最短距离之和．参考答案1.D2.C3.12017cm 4.2.5 m5.解：如图作点B关于MN的对称点B′，连接AB′交A1B1于点P，连接BP.则AP+BP = AP+PB′ = AB′，易知点P即为到点A，B距离之和最短的点．过点A作AE⊥BB′于点E，则AE = A1B1 = 8 km，B′E = AA1+BB1 = 2+4 = 6( km)．由勾股定理，得B′A2 = AE 2+B′E 2 = 82+62，∴AB′ = 10 km，即AP+BP = AB′ = 10 km.10 km.课堂小结(学生总结，老师点评)勾股定理的内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.验证方法：两种证法.布置作业1.（必做题）习题1.2第1，3题2.（选做题）第4题板书设计1 探索勾股定理第2课时勾股定理的证明及应用1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.2.两种证明方法.。
八年级数学上册《勾股定理》学案1 新人教版
八年级数学上册《勾股定理》学案1 新人教版1、了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。
2、培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。
了解我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就。
学习重点：勾股定理的内容及证明。
学习难点：勾股定理的证明。
自助探究1、1、2002年北京召开了被誉为数学界“奥运会”的国际数学家大会，这就是当时采用的会徽、你知道这个图案的名字吗？你知道它的背景吗？你知道为什么会用它作为会徽吗？2、相传2500年前，古希腊的数学家毕达哥拉斯在朋友家做客时，发现朋友家用地砖铺成的地面中反映了直角三角形三边的某种数量关系、请同学们也观察一下，看看能发现什么？(1) 引导学生观察三个正方形之间的面积的关系；(2)引导学生把面积的关系转化为边的关系、结论：等腰直角三角形三边的特殊关系：斜边的平方等于两直角边的平方和、3、等腰直角三角形有上述性质，其它直角三角形也有这个性质吗？4、猜想：5动手操作、验证猜想：（二）动手在纸上作出几个直角三角形，分别测量它们的三条边，填写好下表、观察三条边的平方有什么关系？(其中a、b 是两直角边长，c是斜边长)a2b2c2 J结论、我们古代把直角三角形中较短的直角边称为，较长的直角边称为，斜边称为、从而得到著名的勾股定理：、如果用a、b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么、课题检测1、求出下列直角三角形中未知边的长度。
2、求斜边长17厘米、一条直角边长15厘米的直角三角形的面积巩固练习1、在△ABC中，∠C＝90，（l）若 a＝5，b＝12，则 c＝（2）若c＝5，a＝3，则b＝2、等腰△ABC的腰长AB＝10cm，底BC为16cm，则底边上的高为，面积为。
3、△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长为。
4、一个抽斗的长为24cm，宽为7cm，在抽斗里放铁条，铁条最长能是多少？总结评价：今天的学习，我学会了：我在方面的表现很好，在方面表现不够，以后要注意的是：总体表现（优、良、差），愉悦指数（高兴、一般、痛苦）。
八年级上册《勾股定理》(第1课时)教学设计苏教版
八年级上册《勾股定理》 ( 第 1 课时 ) 教课方案苏教版本资料为woRD 文档，请地点下载全文下载地点八年级上册《勾股定理》教课方案苏教版3.1 勾股定理班级姓名学号学习目标、体验勾股定理的探究过程，认识利用拼图考证勾股定理的方法。
2、会运用勾股定理解决简单问题。
3、经过实例认识勾股定理的历史和应用，领会勾股定理的文化价值，领会数学的价值。
4、培育动口、着手、动脑的综合能力，并感觉从详细到抽象的认知规律。
学习难点勾股定理在生活实质中的应用教课过程一、情形导入：小明的妈妈买了一部29 英寸（ 74 厘米）的电视机。
小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58 厘米长和46 厘米宽，他感觉必定是售货员搞错了。
你能解说这是为何吗？二、数学活动勾股故事 1最早对勾股定理进行证明的，是三国期间吴国的数学家赵爽。
赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形联合获得方法，给出了勾股定理的详尽证明。
如图 , 在边长为 c 的正方形中 , 有四个斜边是 c 的全等直角三角形 , 已知它们的直角边分别是 a,b.说明 : 我国古代数学家赵爽在他所著的<勾股圆方图注> 中, 利用这个图证明勾股定理 . 勾股圆方图勾股故事 2中国最早的一部数学著作——《周髀算经》的开头，记载着一段周公向商高讨教数学知识的对话－－“勾股术” ，而且还记录了勾股定理的一般形式。
勾股故事 3美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为美谈．勾股故事 4955年希腊刊行了一张邮票，图案是由三个棋盘摆列而成。
这张邮票是纪念二千五百年前希腊的一个学派和宗教集体──毕达哥拉斯学派，它的建立以及在文化上的贡献。
邮票上的图案是对勾股定理的说明。
希腊邮票上所示的证明方法，最先记录在欧几里得的《几何本来》里。
勾股定理直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边平方。
用数学式子表示：c2=a2+b2三、例题例题 1已知：如图，等腰△ＡＢ c 的周长是 32cm，底边长是 12cm。
八年级数学上册第一章勾股定理(第1课时)导学案(无答案)(新版)北师大版
n=
y=
m=
堂清试题
1、直角三角形的两边长分别是 3cm、4cm，则第三边长是 。 2 2、等腰直角三角形的斜边长是 12cm，它的面积是 cm 。 3、一个长 350m，宽 120m 的长方形公园 ABCD，如果某人要从公园的一角 A 走到另一角 C，那 么他至少要走 米。
自我总结
1、学生只记住 a ＋b ＝c ，而忽略哪个是直角所对的边造成错误。 2、学生在计算一个数的平方的过程中容易出现错误。
SA = SA =
SB = SB =
， 。 学生通过观察，归纳发现： 的正方形的面积。
独 立 尝 试
结论 1 以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于 2、由结论 1 我们自然产生联想：一般的直角三角形是否也具有该性质呢？ （1）观察下面两幅图： 第①个图中， S A = 第②个图中， S A = ， SB = ， SB = ， SC = ， SC = 。
小组为单位完成大屏幕展 示的 3 个小题，比一比、 看一看，取最先完成的三 个小组，分别加上 10、8、 6 分。
如图，在下列横线上填上适当的值。
自我挑战 6
x6 8
15x
17
15
17 40 y
41 m
405 n 41
6
n பைடு நூலகம்2 m
8
5
x 15
n 17
y
4
8
y
5 15
5
41
x=
x=
y=
y= m=
m= n= n=x=
2
2
2
预留作业
课本第 4 页知识技能第 1、2 题。
板书设计
勾股定理（一） 一、勾股定理内容 二、勾股定理内容应用
【精】《勾股定理(第1课时)》教学教案
《勾股定理（第1课时）》教学教案教学目标：了解勾股定理的发现过程，理解并掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理，能应用勾股定理进行简单的计算．重点：勾股定理的内容和证明及简单应用．难点：勾股定理的应用.教学流程：一、导入新课相传2500多年前，古希腊著名数学家毕哥拉斯有一次在朋友家作客时，发现朋友家用砖铺成的地面图案反映了直角三角形三边的某种数量关系.同学们，地砖图案中蕴含着怎样的数量关系呢，让我们一起探索吧。
二、新课讲解思考：图中三个正方形的面积有什么关系？等腰直角三角形的三边有什么关系？（观看视频演示）答：两个小正方形的面积这和等于大正方形的面积.等腰直角三角形的三边满足斜边的平方等于两直角边的平方和.想一想：在网格中的一般的直角三角形，以它的三边为边长的三个正方形A、B、C是否也有类似的面积关系？猜想：如果直角三角形两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2=c 2．介绍《赵爽弦图》面积验证：证明：∵2S c 大正方形＝2()S b a -小正方形＝∴2()b a -142ab +⨯2c ＝ 即：222a b c +=勾股定理：如果直角三角形两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2=c 2．练习1：求图中字母所代表的正方形的面积．答案：（1）81；（2）56，80；（3）225练习2：求下列直角三角形中未知边的长度．答案：（1）2246213x =+=；（2）2210553x =-=三、巩固提升1．下列说法正确的是( )A ．若a ，b ，c 是△ABC 的三边，则a 2＋b 2＝c 2B ．若a ，b ，c 是Rt △ABC 的三边，则a 2＋b 2＝c 2C．若a，b，c是Rt△ABC的三边，∠A＝90°，则a2＋b2＝c2D．若a，b，c是Rt△ABC的三边，∠C＝90°，则a2＋b2＝c2答案：D2．利用如图(1)或(2)所示的两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的定理，这个定理称为_________，该定理中结论的数学表达式是__________．答案：勾股定理，a2＋b2＝c23．如图，正方形B的面积是______．答案：1444．求图中直角三角形中未知边的长度：c＝_____，b＝_____．答案：15，125．在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c.(1)若b＝2，c＝3，求a的值；(2)若a∶c＝3∶5，b＝28，求a，c的值．解：(1)在Rt△ABC中，由勾股定理得，a==(2)设a＝3x，c＝5x，∵a2＋b2＝c2，∴(3x)2＋282＝(5x)2，解得x＝7，∴a＝21，c＝35四、课堂小结今天我们学习了哪些知识？勾股定理的内容是什么？它有什么作用？五、布置作业教材P28页习题17.1第1、2题．。
八年级上第一章勾股定理导学案
课题 1.1探索勾股定理（一）主备人李岩山审核人时间【学习目标】1．经历用数格子的办法探索勾股定理的过程，进一步发展合情推理意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系。
2．探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系，进一步发展说理和简单的推理的意识及能力。
3．体会勾股定理的悠久历史及重大意义，进一步渗透数形结合思想，提高解决问题的能力。
【学习重点、难点】重点：了结勾股定理的由来，并能用它来解决一些简单的问题。
难点：勾股定理的发现。
【使用说明及学法指导】仔细阅读课本P2-P4内容，通过对“做一做”的思考，你会得到一个魅力无穷的结论，然后把你的所得，在课堂上与同伴交流，分享彼此的精彩。
【学习准备】课前准备一张课本P3图1-3一样的20×20方格纸【预习案】一、知识链接：勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力。
这个定理在中国又称为“商高定理”，在外国称为“毕达哥拉斯定理”或者“百牛定理“（毕达哥拉斯发现了这个定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称“百牛定理”），法国、比利时人又称这个定理为“驴桥定理”。
他们发现勾股定理的时间都比我国晚，我国是最早发现这一几何宝藏的国家。
千百年来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。
也许是因为勾股定理既重要又简单，更容易吸引人，才使它成百次上千次地反复被人炒作，反复被人论证。
1940年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑，其中收集了367种不同的证明方法。
实际上还不止于此，有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种，仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法。
这是任何定理无法比拟的。
在这数百种证明方法中，有的十分精彩，有的十分简洁，有的因为证明者身份的特殊而非常著名。
（阅读P6“读一读”）二、预习自测：1．观察P3图1一2，（左上图）正方形A中有个小方格，即A的面积为个面积单位。
八年级数学上册第一章勾股定理1.1探索勾股定理第1课时认识勾股定理学案(无答案)(新版)北师大版
第一章勾股定理1.1研究勾股定理第 1 课时认识勾股定理学习目标1 、经历用数格子的方法研究勾股定理的过程，进一步发展学生的合情推理意识，主动研究的习惯，进一步领会数学与现实生活的密切联系。
2、研究并理解直角三角形的三边之间的数目关系，进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力。
要点、难点要点：认识勾股定理的由来并能用它解决一些简单问题。
难点：勾股定理的发现。
学习过程一、创建问题的情境，激发学生的学习热忱：我们知道，随意三角形的三条边一定知足定理：三角形的两边之和大于第三边。
关于等腰三角形和等边三角形的边，除知足三边关系定理外，它们还分别存在着两边相等和三边相等的特别关系。
那么关于直角三角形的边，除知足三边关系定理外，它们之间也存在着特别的关系，这就是我们这一节要研究的问题：勾股定理。
出示投影1（章前的图文 P1）我国是最早认识勾股定理的国家之一介绍商高（三千多年前周代数学家）。
出示投影2。
（书中 P2 图 1 一 2）并回答：1、察看图 1 一 2，正方形 A 中有个小方格，即 A 的面积为个面积单位。
正方形 B 中有个小方格．即 B 的面积为个面积单位。
正方形 C 中有个小方格，即 C 的面积为个面积单位。
2、你是如何得出上边结果的？在学生沟通回答的基础上教师接着发问。
3、图 l 一 2 中， A、 B、 C 之间的面积之间有什么关系？在学生沟通后形成共鸣老师板书。
A+B＝C ，接着提出图 1 一 1 中 A、 B、C 的关系呢？二、做一做出示投影3（书中 P3图 1一 3，图 1一 4)发问： 1、图 1一 3中， A 、 B、 C之间有什么关系？2、图 1 一 4 中， A 、 B 、C 之间有什么关系？3 、从图 1 一 l、1一2、1一3、l一4中你发现了什么？在学生议论、沟通形成共鸣后，老师总结：以直角三角形两直角边为边的正方形面积和，等于以斜边为边的正方形面积。
三、议一议1、图 1 一 1、 1 一2、 1 一3、1 一 4 中，你能用三角边的边长表示正方形的面积吗？2、你能发现直角三角形三边长度之间的关系吗？在同学的沟通基础上，老师板书：直角三角边的两直角边的平方和等于斜边的平方。
八年级数学 勾股定理第1课时教案
八年级数学勾股定理第1课时教案一、教学目标：1．能说出勾股定理，并能应用勾股定理解决简单问题.2．经历探索勾股定理的过程，发展合情推理的能力，体会数形结合的思想.3．经历用多种拼图方法验证勾股定理的过程，发展用数学的眼光观察现实世界和有条理地思考与表达的能力，感受勾股定理的文化价值.4．通过定理的学习感受勾股定理的悠久历史，激发学习数学的热情.二、教学重点：体验勾股定理的发现过程和运用勾股定理解决简单问题.三、教学难点：利用方格纸计算面积发现勾股定理.四、教学过程：（一）情境创设请同学们欣赏一张1955年古希腊发行的邮票，它是为了纪念著名的数学家毕达哥拉斯而设计的.请仔细观察邮票中间的这个图形，它有什么数学意义呢？本节课我们就来一起研究这个问题.（二）探索活动活动一：观察图形，计算正方形P、Q、R的面积.活动二：在方格纸上,任意画一个顶点都在格点上的直角三角形;并分别以这个直角三角形的各边为一边向三角形外作正方形,仿照上面的方法计算以斜边为一边的正方形的面积.活动三：从我们实验的大量数据中，你对直角三角形三边的数量关系有什么猜想？（三）例题教学：问题一：求下列直角三角形中表示边的未知数x、y、z的值：问题二：求下列直角三角形中未知边的长：问题三：１、如图,一个高3 米,宽4 米的大门,需在相对角的顶点间加一个加固木条，则木条的长度为（）A．3米B．4米C．5米D．6米２、池塘的两端有两点A、Ｂ，从与ＢA方向成直角的BC方向上的点C测得CA=130米,CB=120米,则AB为（）A. 50米B.120米C.100米D.130米3、在波平如静的湖面上，有一朵美丽的红莲，它高出水面1米，一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为2米，问这里水深多少？（四）小结：本节课你有什么收获？（五）布置作业：（1）课本５６页，第１、２题；（2）查阅有关勾股定理的历史资料,关注验证勾股定理的方法.。
八年级数学《勾股定理》第一课时学案
勾股定理第一课时学案学习目标：1、通过拼图,用面积的方法说明勾股定理的正确性.2、通过实例应用勾股定理,培养学生的知识应用技能.学习重点：1. 用面积的方法说明勾股定理的正确.2. 勾股定理的应用.学习难点：勾股定理的应用.学习过程：一、学前准备：剪四个完全相同的直角三角形二．自学、合作探究：(1)今天，同学们去认识一个人和他发现的一件事，这个人就是古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家毕达哥拉斯。
相传２５００年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家做客时，发现朋友家的用砖铺成的地面中反映了直角三角形三边的某种数量关系。
同学们，我们也来观察下图中的地面，看看能发现些什么？(2)等腰直角三角形有上述性质，由特殊到一般,猜想一下其他的直角三角形也有这个性质吗？如图，每个小方格的面积均为１，分别算出图1、图2中正方形Ａ﹑Ｂ﹑Ｃ的面积，看看能得出什么结论？（思考正方形C的面积的算法）(3)．用直尺画出直角边分别为3厘米、4厘米的直角三角形，量出斜边的长度，看看是否符合上面的结论。
(4)归纳：勾股定理：如果直角三角形的两直角边分别为a、b，斜边长为c，那么a²+b²=c²三、勾股定理的证明：(1)赵爽的证明（利用课件介绍赵爽及古算书«周髀算经»）学生在观察“赵爽弦图”的基础上,以小组为单位,用准备好的四个相同的直角三角形动手拼接。
教师深入小组参与活动,倾听学生的交流,帮助、指导学生完成拼图活动，并写出证明过程。
(2)“总统证法”:(利用课件介绍背景资料)5.探究1一个门框的尺寸如图所示,一块长3米,宽2.2米的薄木板能否从门框内通过?为什么?（三）变式训练：1．求出下面直角三角形中未知边的长度。
8 102.求斜边长17厘米,一条直角边长15厘米的直角三角形的面积.3.一根旗杆在离在面9米处断裂,旗杆顶部落在离旗杆底部12米处,根据题意画出图形,并求出旗杆折断之前有多高?(四)归纳小结:本节课我学会了；使我感触最深的是；我感到最困难的是；我想进一步探究的问题是。
北师大版八年级数学上册学案设计：1.1 勾股定理 (1)
北师大版数学八年级上册学案第一章勾股定理第1课时勾股定理要点讲解要点一认识勾股定理1. 我们可以通过求网格中大正方形的面积来探索勾股定理.在求正方形网格中大正方形的面积时，一般采用数格子和图形割补两种方法：数格子时，直接数出大正方形内部所包含的完整的小方格的个数，将不足一个方格的部分进行适当拼凑，拼出若干个完整的小方格，将它们相加即可；图形割补时，通常是将图形分割成几个格点三角形和几个网格正方形，再将所分割成的各三角形和网格正方形的面积求出来相加即可.2. 勾股定理的定义：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2＋b2＝c2.经典例题1如图①，在直角三角形外部作出3个正方形.(1)正方形A中含有________个小方格，即A的面积是________；(2)正方形B中含有________个小方格，即B的面积是________；(3)正方形C中含有________个小方格，即C的面积是________；(4)如果用S A，S B，S C分别表示正方形A，B，C的面积，那么它们之间的关系是：______________；(5)如图②中是否仍然存在着这样的关系？解析：通过观察、拼凑可以直接得出图中A，B，C三个正方形的面积及它们之间的关系，再按照同样的方法计算图②中几个正方形的面积，发现同样满足这个关系.解：(1)1616(2)99(3)2525(4)S A＋S B＝S C(5)图②中，S A′＝1，S B′＝9，S C′＝10，所以仍然有S A′＋S B′＝S C′.要点二勾股定理的简单应用1. 已知直角三角形的两边求第三边.2. 已知直角三角形的一边，确定另两边的关系.3. 证明线段的平方关系.经典例题2如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”.他们仅仅少走了________米的路，却踩伤了花草.解析：根据勾股定理求得AB的长，再进一步求得少走的路的米数，即(AC＋BC)－AB.在Rt△ABC 中，AB2＝BC2＋AC2，AC＝3米，BC＝4米，则AB＝AC2＋BC2＝5米，所以他们仅仅少走了AC ＋BC－AB＝4米.答案：4当堂检测1. 已知直角三角形两直角边的长分别为9，12，则其斜边长为()A. 13B. 14C. 15D. 162. 在△ABC中，∠A＝90°，则下列式子中，错误的是()A. ∠B＋∠C＝90°B. AB2＋AC2＝BC2C. BC2＝AC2－AB2D. AC2＝BC2－AB23. 如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，AE＝6，BE＝8，则阴影部分的面积是()A. 48B. 60C. 76D. 80第3题第4题4. 如图所示，直角三角形ABC的两直角边BC＝12，AC＝16，则三角形ABC的斜边AB上的高CD的长是()A. 20B. 10C. 9.6D. 85. 如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，则BD＝.6. 如图，已知等腰三角形的底边长为6，底边上的高AD长为4，且D点为BC的中点，求等腰三角形的腰长.7. 在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，若a∶b＝3∶4，c＝25，求a，b.当堂检测参考答案1. C2. C3. C4. C5. 46. 解：因为D 是BC 的中点，所以BD ＝12BC ＝3，AD ⊥BC .在Rt △ABD 中，由勾股定理，得AB 2＝AD 2＋BD 2＝42＋32＝25.所以AB ＝5，即腰长为5.7. 解：设a ＝3k ，b ＝4k .因为在△ABC 中，∠C ＝90°，c ＝25，所以由勾股定理，得(3k )2＋(4k )2＝252. 因为k>0,所以k=5.所以a=3*5=15,b=4*5=20。
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探索勾股定理
第1课时勾股定理
【学习目标】
1．会用数格子的办法体验勾股定理的探索过程，理解勾股定理反映的直角三角形三边之间的数量关系．
2．能利用勾股定理进行简单的计算和实际应用．
【学习重点】
勾股定理的探索及利用勾股定理进行计算．
【学习难点】
用测量和数格子的方法探索勾股定理．
学习行为提示：让学生通过阅读教材后，独立完成“自学互研”的所有内容，并要求做完了的小组长督促组员迅速完成．
学习行为提示：教会学生看书，独学时对于书中的问题一定要认真探究，书写答案．
教会学生落实重点．
说明：通过观察特殊图形下方格数与正方形面积之间的转化，进一步体会探索勾股定理．
说明：通过观察计算一般情况下方格数与正方形面积之间的转化，进一步加强对勾股定理的理解．情景导入生成问题
我们知道，任意三角形的三条边必须满足定理：三角形的两边之和大于第三边．对于等腰三角形和等边三角形的边，除满足三边关系定理外，它们还分别存在着两边相等和三边相等的特殊关系．那么对于直角三角形的边，除满足三边关系定理外，它们之间也存在着特殊的关系，这就是我们这一节要研究的问题：勾股定理．出示投影1(章前的图文P1)，介绍数学家曾用这个图形作为与“外星人”联系的信号．
自学互研生成能力
知识模块一探索勾股定理
先阅读教材第2页“做一做”的内容，然后完成下面的问题．
1．在纸上画若干个直角三角形，分别测量它们的三条边，看看三边长的平方之间有怎样的关系？与同伴交流．
【说明】学生根据教师的要求完成这个问题，自主交流发现直角三角形的性质．
2．观察教材图1－2，正方形A中有__9__个小方格，即A的面积为__9__个面积单位．正方形B中有__9__个小方格．即B的面积为__9__个面积单位．正方形C中有__18__个小方格，即C的面积为__18__个面积单位．你是怎样得出上面结果的？在学生交流回答的基础上教师接着发问．教材图1－2中，A、B、C之间的面积之间有什么关系？
归纳得出结论：S A＋S B＝S C.
师生合作共同完成下面问题的学习与探究，若在学习过程中学生遇到困难，教师要及时指导．
3．教材图1－3中，A、B、C之间是否还满足上面的关系？你是如何计算的？与同伴进行交流．
4．如果直角三角形两直角边分别是1.6个单位长度和2.4个单位长度，上面所猜想的数量关系还成立吗？说明你的理由．
【说明】渗透从特殊到一般的数学思想，充分发挥学生的主体地位，让学生体会到观察、猜想、归纳的思想，也让学生的分析问题、解决问题的能力得到了提高．
议一议：你能发现直角三角形三边长度之间的关系吗？与同伴进行交流．
【说明】学生自主探究，发现直角三角形的性质，并整合成精确的语言将之表达出来，有利于培养学生综合概括能力的语言表达能力．
【归纳结论】直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方．这就是著名的“勾股定理”．也就是说：如果直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c，那么a2＋b2＝c2.我国古代称直角三角形的较短的直角边为勾，较长的直角边为股，斜边为弦，这便是勾股定理的由来．
提示：利用勾股定理进行计算求值时，一定要分清直角边、斜边．
学习行为提示：找出自己不明白的问题，先对学，再群学．充分在小组内展示自己，对照答案，提出疑惑，小组内讨论解决．小组解决不了的问题，写在各小组展示的黑板上，在小组展示的时候解决．
积极发表自己的不同看法和解法，大胆质疑，认真倾听．做每一步运算时都要自觉地注意有理有据.知识模块二利用勾股定理计算求值
典例讲解：
例：求出下列直角三角形中未知边AB的长度．
解：(1)∵∠B＝90°，∴AC 是斜边，根据勾股定理，得AB 2＋BC 2＝AC 2.
∴AB 2＝AC 2－BC 2＝202－122
＝400－144＝256.∴AB＝16；
(2)∵∠C＝90°，∴AB 是斜边，
根据勾股定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2＝72＋242＝625.∴AB＝25.
交流展示 生成新知
1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．
2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．
知识模块一 探索勾股定理
知识模块二 利用勾股定理计算求值
检测反馈 达成目标
【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．
课后反思 查漏补缺
1．收获：________________________________________________________________________
2．存在困惑：________________________________________________________________________
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