成都九校联考2016-2017学年高二下学期数学(理)期中试卷及答案
2016-2017年四川省成都市九校联考高一(下)期中数学试卷(理科)和答案
2016-2017学年四川省成都市九校联考高一（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共有12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1．（5分）数列1，﹣4，9，﹣16，25…的一个通项公式为（）A．a n=n2B．a n=（﹣1）n n2C．a n=（﹣1）n+1n2D．a n=（﹣1）n（n+1）22．（5分）计算2sin275°﹣1的值等于（）A．B．C．D．3．（5分）已知实数列﹣1，x，y，z，﹣2成等比数列，则xyz等于（）A．﹣4B．±4C．﹣2D．±24．（5分）等于（）A．﹣1B．1C．D．﹣5．（5分）如图，D，C，B三点在地面同一直线上，从地面上C，D两点望山顶A，测得它们的仰角分别为45°和30°，已知CD=200米，点C位于BD上，则山高AB等于（）A．100米B．50（+1）米C．米D．200米6．（5分）若α，β为锐角，且满足cosα=，cos（α+β）=，则sinβ的值为（）A．﹣B．C．D．7．（5分）《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题：把100个面包分给5个人，使每个人的所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小一份的量为（）A．B．C．D．8．（5分）在△ABC中，cos2=，（a，b，c分别为角A，B，C的对边），则△ABC的形状为（）A．正三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形9．（5分）已知△ABC中，∠A=30°，2AB，BC分别是、的等差中项与等比中项，则△ABC的面积等于（）A．B．C．或D．或10．（5分）若，且，则cos2α的值为（）A．B．C．D．11．（5分）设等差数列{a n}满足=1，公差d∈（﹣1，0），当且仅当n=9时，数列{a n}的前n项和S n取得最大值，求该数列首项a1的取值范围（）A．（，）B．[，]C．（，）D．[，] 12．（5分）在锐角三角形△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，（a+b+c）（a+c﹣b）=，则cosA+sinC的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）已知函数f（x）=sinx+cosx，则f（x）的最大值为．14．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，若S2=2，S4=8，则S6等于．15．（5分）已知△ABC内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，sinC=2sinA，则△ABC的面积为．16．（5分）已知数列满足：a1=1，a n+1=，（n∈N*），若b n+1=（n﹣λ）（+1），b1=﹣λ，且数列{b n}是单调递增数列，则实数λ的取值范围为．三、解答题：本大题共6小题，共70分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知公差不为零的等差数列{a n}中，a1=1，且a1，a3，a9成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=2+n，求数列{b n}的前n项和S n．18．（12分）（1）设α，β为锐角，且，求α+β的值；（2）化简求值：．19．（12分）已知函数（1）求函数f（x）的最小正周期和函数的单调递增区间；（2）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，求AB．20．（12分）已知数列{a n}前n项和（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若，求数列{b n}的前n项和T n．21．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosA•cosC﹣cos （A+C）=sin2B．（Ⅰ）证明：a，b，c成等比数列；=2S△BCD，求BD．（Ⅱ）若角B的平分线BD交AC于点D，且b=6，S△BAD22．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，且（n+1）a n=2S n（n∈N*），数列{b n}满足，，对任意n∈N*，都有．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）令T n=a1b1+a2b2+…+a n b n．若对任意的n∈N*，不等式λnT n+2b n S n＜2（λn+3b n）恒成立，试求实数λ的取值范围．2016-2017学年四川省成都市九校联考高一（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共有12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1．（5分）数列1，﹣4，9，﹣16，25…的一个通项公式为（）A．a n=n2B．a n=（﹣1）n n2C．a n=（﹣1）n+1n2D．a n=（﹣1）n（n+1）2【解答】解：经观察分析数列的一个通项公式为：a n=（﹣1）n+1n2故选：C．2．（5分）计算2sin275°﹣1的值等于（）A．B．C．D．【解答】解：2sin275°﹣1=﹣（1﹣2sin275°）=﹣cos150°=cos30°=，故选：D．3．（5分）已知实数列﹣1，x，y，z，﹣2成等比数列，则xyz等于（）A．﹣4B．±4C．﹣2D．±2【解答】解：∵xz=（﹣1）×（﹣2）=2，y2=2，∴y=﹣（正不合题意），∴xyz=﹣2．故选：C．4．（5分）等于（）A．﹣1B．1C．D．﹣【解答】解：由tan45°=tan（17°+28°）=，∴=．故选：B．5．（5分）如图，D，C，B三点在地面同一直线上，从地面上C，D两点望山顶A，测得它们的仰角分别为45°和30°，已知CD=200米，点C位于BD上，则山高AB等于（）A．100米B．50（+1）米C．米D．200米【解答】解：设AB=x米，在直角△ACB中，∠ACB=45°，∴BC=AB=x米．在直角△ABD中，∠D=30°，BD=x，∵BD﹣BC=CD，∴x﹣x=200，解得：x=100（+1）．故选：C．6．（5分）若α，β为锐角，且满足cosα=，cos（α+β）=，则sinβ的值为（）A．﹣B．C．D．【解答】解：∵α，β为锐角，且满足cosα=，cos（α+β）=，∴sinα=，sin（α+β）=，∴sinβ=sin[（α+β）﹣α]=sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα=﹣=，故选：B．7．（5分）《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题：把100个面包分给5个人，使每个人的所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小一份的量为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可得中间的那份为20个面包，设最小的一份为a1，公差为d，由题意可得[20+（a1+3d）+（a1+4d）]×=a1+（a1+d），解得a1=，故选：C．8．（5分）在△ABC中，cos2=，（a，b，c分别为角A，B，C的对边），则△ABC的形状为（）A．正三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形【解答】解：∵cos2=，∴=，∴cosB=，∴=，∴a2+c2﹣b2=2a2，即a2+b2=c2，∴△ABC为直角三角形．故选：B．9．（5分）已知△ABC中，∠A=30°，2AB，BC分别是、的等差中项与等比中项，则△ABC的面积等于（）A．B．C．或D．或【解答】解：△ABC中，∠A=30°，2AB，BC分别是、的等差中项与等比中项，∴，解得AB=，BC=1，∴由余弦定理得：，解得AC=1或AC=2，当AC=1时，△ABC的面积S===．当AC=2时，△ABC的面积S===．故选：D．10．（5分）若，且，则cos2α的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵，且，∴3（cos2α﹣sin2α）=sin cosα﹣cos sinα，即3（cosα﹣sinα）（cosα+sinα）=（cosα﹣sinα），∴cosα+sinα=，∴1+sin2α=，∴sin2α=﹣，∵，∴cos2α=﹣=﹣．故选：A．11．（5分）设等差数列{a n}满足=1，公差d∈（﹣1，0），当且仅当n=9时，数列{a n}的前n项和S n取得最大值，求该数列首项a1的取值范围（）A．（，）B．[，]C．（，）D．[，]【解答】解：∵等差数列{a n}满足=1，∴（sina3cosa6﹣sina6cosa3）（sina3cosa6+sina6cosa3）=sin（a3+a6）=（sina3cosa6+sina6cosa3），∴sina3cosa6﹣sina6cosa3=1，即sin（a3﹣a6）=1，或sin（a3+a6）=0（舍）当sin（a3﹣a6）=1时，∵a3﹣a6=﹣3d∈（0，3），a3﹣a6=2kπ+，k∈Z，∴﹣3d=，d=﹣．∵=+（a1﹣）n，且仅当n=9时，数列{a n}的前n项和S n取得最大值，∴﹣=9，化为．∴=．故选：C．12．（5分）在锐角三角形△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，（a+b+c）（a+c﹣b）=，则cosA+sinC的取值范围为（）A．B．C．D．【解答】（本题满分为12分）解：由：（a+b+c）（a+c﹣b）=，可得：，根据余弦定理得：，∵B是锐角，∴．∴，即，=，又△ABC是锐角三角形，∴，即，∴，∴，∴．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）已知函数f（x）=sinx+cosx，则f（x）的最大值为2．【解答】解：∵函数=2sin（x+），∴f（x）的最大值为2，故答案为：2．14．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，若S2=2，S4=8，则S6等于18．【解答】解：由等差数列{a n}的前n项和性质可得：S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等差数列．∴2×6=2+S6﹣8，解得S6=18．故答案为：18．15．（5分）已知△ABC内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，sinC=2sinA，则△ABC的面积为．【解答】解：在△ABC中由正弦定理可知：===2R，由sinC=2sinA，则c=2a，cosB=，sinB==，由余弦定理可知：b2=a2+c2﹣2accosB，即32=a2+（2a）2﹣2a•2a×，解得a=，c=3，△ABC的面积S=acsinB=××3×=，故答案为：，．16．（5分）已知数列满足：a1=1，a n+1=，（n∈N*），若b n+1=（n﹣λ）（+1），b1=﹣λ，且数列{b n}是单调递增数列，则实数λ的取值范围为λ＜2．【解答】解：∵数列{a n}满足：a1=1，a n+1=，（n∈N*），∴，化为，∴数列是等比数列，首项为+1=2，公比为2，∴，∴b n=（n﹣λ）（+1）=（n﹣λ）•2n，+1∵数列{b n}是单调递增数列，＞b n，∴b n+1∴n≥2时，（n﹣λ）•2n＞（n﹣1﹣λ）•2n﹣1，化为λ＜n+1，∵数列{n+1}为单调递增数列，∴λ＜3．n=1时，b2=（1﹣λ）×2＞﹣λ=b1，解得λ＜2．综上可得：实数λ的取值范围为λ＜2．故答案为：λ＜2．三、解答题：本大题共6小题，共70分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知公差不为零的等差数列{a n}中，a1=1，且a1，a3，a9成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=2+n，求数列{b n}的前n项和S n．【解答】解：（1）设数列{a n}公差为d，∵a1，a3，a9成等比数列，∴，∴（1+2d）2=1×（1+8d）．∴d=0（舍）或d=1，∴a n=n．（2）令；S n=b1+b2+b3+…+b n=（21+1）+（22+2）+（23+3）+…+（2n+n）=（21+22+…+2n）+（1+2+3+…+n）==，．18．（12分）（1）设α，β为锐角，且，求α+β的值；（2）化简求值：．【解答】解：（1）∵α为锐角，，∴；∵β为锐角，，∴，∴cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ=，∵α+β∈（0，π），∴α+β=．（2）==sin50°•==1．19．（12分）已知函数（1）求函数f（x）的最小正周期和函数的单调递增区间；（2）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，求AB．【解答】解：函数，化解可得：f（x）=2sin2xcos+cos2x+1=sin2x+cos2x+1=2sin（2x+）+1．∴函数f（x）的最小正周期T=，由得，故函数f（x）的单调递增区间，（2）∵，∴，∵0＜A＜π，∴，∴，，在△ABC中，由正弦定理得：，即．，即．20．（12分）已知数列{a n}前n项和（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）数列{a n}前n项和为当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1==n+1．当n=1时，，不满足a n=n+1．∴{a n}的通项公式为．（2）当n≥2时，==．当n=1时，，∴T n=b1+b2+b3+b4+…+b n﹣1+b n=﹣++++…++=﹣+=﹣．21．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosA•cosC﹣cos （A+C）=sin2B．（Ⅰ）证明：a，b，c成等比数列；=2S△BCD，求BD．（Ⅱ）若角B的平分线BD交AC于点D，且b=6，S△BAD【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）证明：∵cosA•cosC﹣cos（A+C）=sin2B．∴cosA•cosC﹣（cosAcosC﹣sinAsinC）=sin2B，可得：sinAsinC=sin2B，∴由正弦定理可得：b2=ac，∴a，b，c成等比数列；（Ⅱ）如图，∵角B的平分线BD交AC于点D，且b=6，可得：AD+CD=6，=2S△BCD，可得：AD=2CD，∵S△BAD∴解得：AD=4，CD=2，∵由（Ⅰ）可得：b2=ac=36，∵=，可得：AB=2BC，即c=2a，∴解得：a=3，c=6，∴cosA==，∴BD==2．22．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，且（n+1）a n=2S n（n∈N*），数列{b n}满足，，对任意n∈N*，都有．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）令T n=a1b1+a2b2+…+a n b n．若对任意的n∈N*，不等式λnT n+2b n S n＜2（λn+3b n）恒成立，试求实数λ的取值范围．【解答】解：（1）∵（n+1）a n=2S n，∴，n∈N*当n≥2时，，=（n﹣1）a n，即（n≥2）．∴na n﹣1∴（n≥2），又a1=1，也满足上式，故数列{a n}的通项公式a n=n（n∈N*）．．由，，，可知：数列{b n}是等比数列，其首项、公比均为，∴数列{b n}的通项公式：b n=．（2）∵a n b n=n．∴T n=+3×+…+n．=+…+（n﹣1）+n，∴T n=+…+﹣n=﹣n，∴．又S n=1+2+…+n=．不等式λnT n+2b n S n＜2（λn+3b n）恒成立，即λn+＜2，即（1﹣λ）n2+（1﹣2λ）n﹣6＜0，（n∈N*）恒成立．设f（n）=（1﹣λ）n2+（1﹣2λ）n﹣6，（n∈N*）．当λ=1时，f（n）=﹣n﹣6＜0恒成立，则λ=1满足条件；当λ＜1时，由二次函数性质知不恒成立；当λ＞1时，由于对称轴x=＜0，则f（n）在[1，+∞）上单调递减，∴f（n）≤f（1）=﹣3λ﹣4＜0恒成立，则λ＞1满足条件，综上所述，实数λ的取值范围是[1，+∞）．。
成都市2017届高三数学九月联考试题理带答案
成都市2017届高三数学九月联考试题（理带答案）成都市“五校联考”高2014级第五学期九月考试题数学（理）时间120分钟总分150分命题人：陈维军审题人：张尧何军一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）．1．已知集合，为虚数单位，则下列选项正确的是A．B．C．D．2．已知集合，，则为A．（1，2）B．（1，+∞）C．2，+∞）D．1，+∞）3．如图所示的函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是A．①③B．②④C．①②D．③④4．已知是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，若实数满足，则的取值范围是A．B．C．D．5．某流程图如右图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数A．B．C．D．6．公比为2的等比数列的各项都是正数，且a3a11＝16，则log2a10＝A．4B．5C．6D．77．下列命题中是假命题的是A．，使函数是偶函数;B．，使得;C．，使是幂函数，且在上递减;D．．8．若函数的图象如图所示，则A．B．C．D．9．已知函数的一条对称轴为直线，则要得到函数的图象，只需把函数的图象A．沿轴向左平移个单位，纵坐标伸长为原来的倍B．沿轴向右平移个单位，纵坐标伸长为原来的倍C．沿轴向左平移个单位，纵坐标伸长为原来的倍D．沿轴向右平移个单位，纵坐标伸长为原来的倍10．若直线ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+2x﹣4y+1=0截得的弦长为4，则的最小值为（）A.B．C．D．11．若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的最小距离为A．1B．C．D．12．已知函数，其中，若对，，使得成立，则实数的最小值为A．B．C．6D．8二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置）．13．计算__▲▲▲．14．已知，设函数，则__▲▲▲．15．若函数的定义域为，其值域为，则这样的函数有__▲▲▲．个．（用数字作答）16．如图，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一条直线上，边上有10个不同的点……,则=__▲▲▲．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）17．（本小题满分12分）已知向量，函数．（1）若，，求的值；（2）在中，角的对边分别是，且满足，求角B的取值范围．18．（本小题满分12分）在一个盒子里装有6张卡片，上面分别写着如下定义域为的函数：，（1）现在从盒子中任意取两张卡片，记事件A为“这两张卡片上函数相加，所得新函数是奇函数”，求事件A 的概率；（2）从盒中不放回逐一抽取卡片，若取到一张卡片上的函数是偶函数则停止抽取，否则继续进行，记停止时抽取次数为，写出的分布列，并求其数学期望．19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PA=1，PA⊥平面ABCD，E是PC的中点，F是AB的中点．（1）求证：BE∥平面PDF；（2）求证：平面PDF⊥平面PAB；（3）求平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的大小．20．（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，椭圆的离心率，且点在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）若点、都在椭圆上，且中点在线段（不包括端点）上．求面积的最大值．21．（本小题满分12分）已知函数．（1）若曲线过点，求曲线在点处的切线方程；（2）求函数在区间上的最大值；（3）若函数有两个不同的零点，求证：请考生在第22～24三题中任选一题做答。
四川省成都市九校2017届高三下学期期中联考数学理.doc
2016〜2017学年度（下期）高2014级第一次联考试卷理科数学考试时间共120分，满分150分试卷分为第I卷（选择题）和第U卷（非选择题）注意事项:1•答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、班级、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条码由监考老师粘贴在答题卡上的“条码粘贴处”。
2•选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效。
3•考试结束后由监考老师将答题卡收回。
第I卷（共60 分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的）1.已知集合A {x R||x| 2}, B {x Z|x21}，则A B ( )A.[ 1,1]B. [ 2,2]C.{ 1,0,1}D.{ 2, 1,0,1,2}22.关于复数z -,卜列说法中正确的是（)A.|z| 2B. z的虚部为iC. z的共轭复数z位于复平面的第三象限D. z z 23.已知a是平面外的一条直线，过a作平面，使// ，这样的（）A.恰能作一个B.至多能作一个C.至少能作一个D.不存在4.已知二项式（x 3）4的展开式中常数项为32，则a （）VxA. 8B. 8C. 2D. 25.函数y In cosx（ x ）的图象是（）2 26.《九章算术〉是我国古代的数学巨著，内容极为丰富，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何 •”意思是：“5人分取5钱，各人所得钱数依次 成等差数列，其中前2人所得钱数之和与后 3人所得钱数之和相等• ”，则其中分得钱数最多 7•将5本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一 本至多两本，则不同的分法种数是（）A.60B.90C.120D.1808. 某程序框图如右图所示，该程序运行后输出的值为 4，则t 的值不可能是（）A.3B.6C.8D.119. 若函数 f （x ） 2sin （ x ）（ 2x 10）的图象6 3与x 轴交于点A ，过点A 的直线I 与f （x ）的图 象交于B ,C 两点，则（OB OC ）OA （）A.32B.16C.-16D.-3210.三棱锥D ABC 及其正视图和侧视图如右 图所示，且顶点 A, B,C,D 均在球O 的表面上， 则球0的表面积为（）A. 32B. 36C. 128D. 144x 211.已知双曲线2a2yb 21（a 0,b 0）的右顶点为 A ，若双曲线右支上存在两点B,C 使得 ABC 为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是（）3 12.设函数 f (x) 2ln x xm ,若关于x 的方程f(f(x))x 恰有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（）A. (2ln 3 4,)B. ( ,2ln3 4)C.( 4,)D. ( , 4)第n 卷（共90分）、填空题（本大题共 4小题，每小题5分，共20分）5A. 5钱 6B.1钱C. 7钱6D. 43钱A. 1,2B. (2,C. (1, 2)的是（积是 BOF 面积的2倍，则k17.（本小题满分12分） 在ABC 中，已知A , cosB 口4 5(1)求cosC 的值;ABCD, AB BC 2, ABC 120 , AD CD 7，13.已知x, y 满足不等式y 0y 1，贝U z x 2y 的 0最大值 14.已知向量a (1,2),a （a b ），则向量b 在向量 方向上的投影为15.斜率为k （k 0）的直线I 经过点F （1,0）交抛物线4x 于A, B 两点，若 AOF 的面16.已知数列｛a n ｝满足a 1142 ,a n 1 a n a n (n20161），则 ------- 的整数部分是1 n 1 an三、解答题（本大题共小题，共70分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）(2)若 BC2 5，D 为AB 的中点，求CD 的长.18.（本小题满分 12 分) 如图，在四棱锥P ABCD 中，PA平面a21直线PC 与平面ABCD 所成角的正切为 丄.2(1) 设E 为直线PC 上任意一点，求证： AE BD ; (2) 求二面角B PC A 的正弦值•19. (本小题满分12分)为了了解甲、乙两所学校全体高三年级学生在该地区八校联考中的数学成绩情况， 从两校各随机抽取60名学生，将所得样本作出频数分布统计表如下：________乙校:(1) 比较甲、乙两校学生的数学平均成绩的高低；(2) 若规定数学成绩不低于 120分为优秀，从甲、乙两校全体高三学生中各随机抽取2人，其中数学成绩为优秀的共X 人，求X 的分布列及数学期望.20. (本小题满分12分)2 2已知椭圆C 1 :— 厶 1，圆C 2 ：x 2 y 2 t 经过椭圆G 的焦点•6 4(1)设P 为椭圆上任意一点，过点 P 作圆C 2的切线，切点为Q ，求POQ 面积的取值 范围，其中0为坐标原点；以抽样所得样本数据估计总体⑵过点M ( 1,0)的直线I与曲线C「C2自上而下依次交于点A, B,C,D，若| AB | |CD |,求直线I的方程•21. (本小题满分12分)1 2 已知函数f (x) x2ax (3 a) Inx,a R.2(1)若曲线y f (x)在点(1, f(1))处的切线与直线2x y 10垂直，求a的值;3 ⑵设f (x)有两个极值点x-] ,x2，且x1x2，求证： 5 f (x1) f (x2)2请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
2016-2017学年高二下学期期中考试数学(理)试题word版含答案
2016-2017学年高二下学期期中考试数学（理）试题时间:120分 满分150分本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
考试结束后，只交答题纸和答题卡，试题自己保留。
注意事项1．答题前，考生在答题纸和答题卡上务必用直径0.5毫米黑色签字笔将自己的班级、姓名、考号填写清楚。
请认真核准考号、姓名和科目。
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
在试题卷上作答无效。
3. 填空题和解答题的答案必须写在答题纸上,写在试卷上无效.第Ⅰ卷一. 选择题(每小题5分,满分60分)1.已知某条曲线的参数方程是12()(12()x t tt y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩是参数），则该曲线是（ ）A.直线B.圆C.椭圆D.双曲线2.已知变量x 与y 负相关，且由观测数据算得样本平均数3x =，3.5y =，则由观测的数据得线性回归方程可能为（ ）A. 0.4 2.3y x =+B. 2 2.4y x =-C. 29.5y x =-+D. 0.3 4.5y x =-+3.若22nx ⎫⎪⎭展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是第（ ）项A.4B.3C.2D.1 4. 下列说法不正确的是（ ）A.随机变量,ξη满足23ηξ=+，则其方差的关系为()4()D D ηξ=B.回归分析中，2R 的值越大，说明残差平方和越小 C.画残差图时，纵坐标一定为残差，横坐标一定为编号 D.回归直线一定过样本点中心5. 设随机变量X ～N (2,52)，且P (X ≤0)＝P (X ≥a －2)，则实数a 的值为( ) A ．6 B ．8 C ．10 D ．12 6. 根据如下样本数据得到的回归方程为 ˆˆ,y bxa =+则 A.ˆˆ0a＞＞，b 0 B. ˆˆ0a ＞＜，b 0 C. ˆˆ0a ＜＞，b 0 D. ˆˆ0a ＜＜，b 0 7. 掷两枚均匀的大小不同的骰子，记“两颗骰子的点数和为8”为事件A ，“小骰子出现的点数小于大骰子出现的点数”为事件B,则P(A|B), P(B|A)分别为（ ） A.22,155 B. 33,145 C. 11,35D. 44,515 8. 某班主任对班级90名学生进行了作业量多少的调查，结合数据建立了下列列联表：利用独立性检验估计,你认为推断喜欢电脑游戏与认为作业多少有关系错误的概率介于A.0.15~0.25B.0.4~0.5C.0.5~0.6D.0.75~0.85 (观测值表如下)9.某商场利用下列盈利表中的数据进行决策，应选择的方案是 A. 4A B. 3A C. 2A D. 1A10.在二项式n的展开式中,前三项的系数成等差数列,把展开式中所有的项重新排成一列,有理项都互不相邻的概率为( )A.16 B. 712 C. 13 D. 51211．在回归分析与独立性检验中:① 相关关系是一种确定关系 ② 在回归模型中,x 称为解释变量,y 称为预报变量 ③ 2R 越接近于1,表示回归的效果越好 ④ 在独立性检验中，||ad bc -越大,两个分类变量关系越弱;||ad bc -越小，两个分类变量关系越强 ⑤残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，带状区域宽度越窄，回归方程的预报精度越高,正确命题的个数为（ ）A.5B.4C.3D.212. 设计院拟从4个国家级课题和6个省级课题中各选2个课题作为本年度的研究项目,若国家级课题A 和省级课题B 至少有一个被选中的不同选法种数是m,那么二项式28(1)mx +的展开式中4x 的系数为（ ） A.54000 B.100400 C. 100600 D.100800第Ⅱ卷二.填空题(每小题5分,满分20分)13. 在40件产品中有12件次品,从中任取2件,则恰有1件次品的概率为 . 14.64(1)(1)x x -+的展开式2x 的系数是 .15. 已知服从正态分布2(,)N μσ的随机变量，在区间(,),(2,2)μσμσμσμσ-+-+和(3,3)μσμσ-+内取值的概率分别为68.27%，95.45%和99.73%，某中学为10000名员工定制校服，设学生的身高（单位：cm ）服从正态分布N （173,25），则适合身高在158~188cm 范围内学生穿的校服大约要定制 套.16. 设集合U={1,2,3,4,5},从集合U 中选4个数,组成没有重复数字的四位数,并且此四位数大于2345,同时小于4351,则满足条件的四位数共有 .三.解答题(写出必要的计算步骤、解答过程，只写最后结果的不得分，共70分)17.在直角坐标系x0y 中,直线l 的参数方程为1(4x t t y t =+⎧⎨=+⎩为参数）,在以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 的极坐标方程为ρ=.(1) 写出直线l 一般式方程与曲线C 的直角坐标的标准方程; (2) 设曲线C 上的点到直线l 的距离为d ,求d 的取值范围.18.已知在n 的展开式中，只有第5项二项式系数最大.(1) 判断展开式中是否存在常数项,若存在,求出常数项;若不存在,说明理由; (2)求展开式的所有有理项.19. 在直角坐标系x0y 中,以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,曲线C 的极坐标方程为2sin 1sin θρθ=-. （1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）过点P （0,2）作斜率为1的直线l 与曲线C 交于A,B 两点， ① 求线段AB 的长; ②11||||PA PB +的值. 20. 某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据,如下表所示.已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%.(1)确定x,y 的值,并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望;(2)若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算,且各顾客的结算相互独立,求该顾客结算前的等候时间不超过．．．3 钟的概率. (注:将频率视为概率)21. 某班主任对全班50名学生的学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查，在学习积极性高的25名学生中有7名不太主动参加班级工作，而在积极参加班级工作的24名学生中有6名学生学习积极性一般.(1) 填写下面列联表;(2)参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是多少？(3)试运用独立性检验的思想方法分析：能否在犯错误概率不超过0.001的前提下认为学生的学习积极性与对待班级工作的态度有关系.(观测值表如下)22．在《我是歌手》的比赛中，有6位歌手（1~6号）进入决赛，在决赛中由现场的百家媒体投票选出最受欢迎的歌手，各家媒体独立地在投票器上选出3位候选人，其中媒体甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，另在2号至6号中随机的选2名；媒体乙不欣赏2号歌手，他一定不选2号，；媒体丙对6位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至6号歌手中随机的选出3名.(1) 求媒体甲选中5号且媒体乙未选中5号歌手的概率;(2) ξ表示5号歌手得到媒体甲，乙，丙的票数之和，求ξ的分布列及数学期望.2016-2017学年高二下学期期中考试数学（理）试题参考答案1~12 DCBCA BABBD CD 13.286514. -3 15. 9973 16. 54 17. (1) 223013y x y x -+=+=minmax 2sin()3(2)2222d d d d πα-+====⎢⎣⎦的取值范围为，18.（1）n=8116388((1)814216-3014316,,kC kk k k k T C xk k k T k k k N --==-+=+=∈若为常数项，则即又这不可能，所以没有常数项（2）解：若1T k +为有理项，当且仅当16304k-=为整数 因为08,,0,4,8k k N k ≤≤∈=所以即展开式中的有理项检有3项，它们是59421351,,8256T x x xT T -===19.22(1)2(2),22y x x y x y =⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩代入得2121240,4,11||||||4t t t t t AB PA PB --==-+==+=①②20. (1)由已知,得251055,35,y x y ++=+=所以15,20.x y ==该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体,所以收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量随机样本,将频率视为概率得153303251(1),( 1.5),(2),10020100101004p X p X p X ========= 201101( 2.5),(3).100510010p X p X ======X 的分布为X 的数学期望为33111()1 1.52 2.53 1.920104510E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. (Ⅱ)记A 为事件“该顾客结算前的等候时间不超过3钟”,(1,2)i X i =为该顾客前面第i 位顾客的结算时间,则由于顾客的结算相互独立得121212121212()(1)1)(1)( 1.5)( 1.5)(1)(1)2)(2)(1)( 1.5)( 1.5)P A P X P X P X P X P X P X P X P X P X P X P X P X ==⨯=+=⨯=+=⨯=+=⨯=+=⨯=+=⨯=((3333331331331112020201010204202041010400=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 故该顾客结算前的等候时间不超过3 钟的概率为111400.21. (1)随机抽查这个班的一名学生，有50种不同的抽查方法，由于积极参加班级工作的学生有18＋6＝24人，所以有24种不同的抽法，因此由古典概型概率的计算公式可得抽到积极参加班级工作的学生的概率是P 1＝2450＝1225，又因为不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生有19人，所以抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是P 2＝1950.(2)由K 2统计量的计算公式得k ＝50× 18×19－6×7 224×26×25×25≈11.538，由于11.538>10.828，所以能否在犯错误概率不超过0.001的前提下认为学生的学习积极性与对待班级工作的态度有关系.22. 设A 表示事件上：“媒体甲选中5号歌手”，事件B 表示“媒体乙选中5号歌手”， （1）1244235523()()55P A P B CC CC====所以__234()()()15525P A B P A P B ⎛⎫==⨯-= ⎪⎝⎭ (2) 事件C 表示“媒体乙选中5号歌手”25361()2P C C C== 因为X 可能的取值为0,1，2，3，所以3)25__231(0)()(1(1)(1)552P X P A B C ===-⨯-⨯-= ______(1)()()()23123132119(1)(1)(1)(1)55255255250P X P A B C P A B C P A B C ==++=⨯-⨯-+-⨯⨯-+⨯⨯= ___(2)()()()2312123311955252555250P X P AB C P A B C P A BC ==++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=2313(3)()55225P X P ABC ===⨯⨯=所以X 的分布列为所为X 的期望为3191933()0123255050252E X =⨯+⨯+⨯+⨯=。
四川省成都市2016-2017学年高二下学期入学数学试卷Word版含解析
四川省成都市2016-2017学年高二下学期入学数学试卷一、选择题（每题5分，共60分）1．下列命题中是假命题的是（）A．若•=0（≠，≠），则⊥B．若||=||，则=C．若ac2＞bc2，则a＞b D．5＞32．将十进制数93化为二进制数为（）A．1110101 B．1010101 C．1111001 D．10111013．袋中有2个白球，2个黑球，从中任意摸出2个（每个小球被摸到是等可能的），则至少摸出1个黑球的概率是（）A．B．C．D．4．经过椭圆+y2=1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于A、B两点．设O为坐标原点，则•等于（）A．﹣3 B．﹣C．﹣或﹣3 D．±5．直线x+（a2+1）y+1=0（a∈R）的倾斜角的取值范围是（）A．[0，] B．[，π）C．[0，]∪（，π）D．[，）∪[，π）6．在平面直角坐标系中，若不等式组（a为常数）所表示的平面区域的面积等于2，则a的值为（）A．﹣5 B．1 C．2 D．37．有五条线段长度分别为1、3、5、7、9，从这5条线段中任取3条，则所取3条线段能构成一个三角形的概率为（）A．B．C．D．8．已知定点A（1，1）和直线l：x+y﹣2=0，则到定点A的距离和到定直线l的距离相等的点的轨迹为（）A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．直线9．已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25及直线l：（2m+1）x+（m+1）y=7m+4（m∈R），则直线l过的定点及直线与圆相交得的最短弦长分别为（）A．（3，1），B．（2，1），C．（﹣3，1）， D．（2，﹣1），310．已知双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点F，直线x=与其渐近线交于A，B两点，且△ABF为钝角三角形，则双曲线离心率的取值范围是（）A． B．C． D．11．己知直线l1：4x﹣3y+6=0和直线l2：x=﹣1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（）A．2 B．3 C．D．12．若在曲线f（x，y）=0（或y=f（x））上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线f（x，y）=0或y=f（x）的“自公切线”．下列方程：①x2﹣y2=1；②y=x2﹣|x|；③y=3sinx+4cosx；④|x|+1=对应的曲线中存在“自公切线”的有（）A．①③B．①④C．②③D．②④二、填空题（共16分）13．已知命题P：“∀x∈[0，1]，a≤e x”，命题q：“∃x∈R，x2+4x+a=0”，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是．14．在区间[0，2]上随机地取一个数x，则事件“﹣1≤log（x+）≤1发生的概率为．15．执行如图所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出的s的值为．16．设P是抛物线y2=4x上的一个动点，F为抛物线焦点，B（3，2），则|PB|+|PF|的最小值为．三、解答题（共74分）17．已知p：2x2﹣3x﹣2≥0，q：x2﹣2（a﹣1）x+a（a﹣2）≥0，若p是q充分不必要条件，求实数a取值范围．18．求下列在直线l的方程（1）过点A（0，2），它的倾斜角为正弦值是；（2）过点A（2，1），它的倾斜角是直线l：3x+4y+5=0的倾斜角的一半；1（3）过点A（2，1）和直线x﹣2y﹣3=0与2x﹣3y﹣2=0的交点．19．已知动点P与平面上两定点连线的斜率的积为定值﹣．（1）试求动点P的轨迹方程C；（2）设直线l：y=kx+1与曲线C交于M．N两点，当|MN|=时，求直线l的方程．20．某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者．把符合条件的1000名志愿者按年龄分组：第1组[20，25）、第2组[25，30）、第3组[30，35）、第4组[35，40）、第5组[40，45），得到的频率分布直方图如图所示：（1）分别求第3，4，5组的频率；（2）若从第3、4、5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加广场的宣传活动，应从第3、4、5组各抽取多少名志愿者？（3）在（2）的条件下，该市决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率．21．已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为，且过点（，）（1）求双曲线C的方程；（2）已知直线x﹣y+m=0与双曲线c交于不同的两点A、B，且线段AB的中点在圆x2+y2=5上，求m的值．22．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线x﹣y+=0相切，过点P（4，0）且不垂直于x轴直线l与椭圆C相交于A、B两点．（1）求椭圆C的方程；（2）求•的取值范围；（3）若B点关于x轴的对称点是E，证明：直线AE与x轴相交于定点．四川省成都市2016-2017学年高二下学期入学数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题5分，共60分）1．下列命题中是假命题的是（）A．若•=0（≠，≠），则⊥B．若||=||，则=C．若ac2＞bc2，则a＞b D．5＞3【考点】命题的真假判断与应用；向量的模；平面向量数量积的运算．【分析】分别根据各命题条件和结论的关系进行判断．【解答】解：A．因为≠，≠，所以由，得，即，所以⊥成立．所以A为真命题．B．若||=||，只能说明与长度一样．不一定成立．所以B为假命题．C．若ac2＞bc2，则c2≠0，根据不等式的性质，必有a＞b，所以C为真命题．D.5＞3显然成立，所以D是真命题．故选B．2．将十进制数93化为二进制数为（）A．1110101 B．1010101 C．1111001 D．1011101【考点】排序问题与算法的多样性．【分析】利用“除k取余法”是将十进制数除以2，然后将商继续除以2，直到商为0，然后将依次所得的余数倒序排列即可得到答案．【解答】解：93÷2=46 (1)46÷2=23 023÷2=11 (1)11÷2=5 (1)5÷2=2 (1)2÷2=1 01÷2=0 (1)故93（10）=1011101（2）故选：D．3．袋中有2个白球，2个黑球，从中任意摸出2个（每个小球被摸到是等可能的），则至少摸出1个黑球的概率是（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生所包含的事件从口袋中装有大小相同的2个黑球2个白球的口袋中摸出两个球，满足条件的事件是取出的球中至少有一个是黑球包括有一白一黑和两个黑球两种情况，表示出结果数，得到概率【解答】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生所包含的事件从口袋中装有大小相同的2个黑球2个白球的口袋中摸出两个球，共有C42=6种结果，满足条件的事件是取出的球中至少有一个是黑球包括有一白一黑和两个黑球两种情况，共有C 21C21+C22=5故取出的两个球中至少有一个白球的概率P=故选B4．经过椭圆+y2=1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于A、B两点．设O为坐标原点，则•等于（）A．﹣3 B．﹣C．﹣或﹣3 D．±【考点】椭圆的应用．【分析】先根据椭圆方程求得焦点坐标，进而设出直线l的方程，与椭圆方程联立消去y，设A（x1，y1），B（x2，y2），根据韦达定理求得x1•x2和x1+x2的值，进而根据直线方程求得y1y2的值，最后根据向量的计算法则求得答案．【解答】解：由+y2=1，得a2=2，b2=1，c2=a2﹣b2=1，焦点为（±1，0）．直线l不妨过右焦点，倾斜角为45°，直线l的方程为y=x﹣1．代入+y2=1得x2+2（x﹣1）2﹣2=0，即3x 2﹣4x=0．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1•x 2=0，x 1+x 2=，y 1y 2=（x 1﹣1）（x 2﹣1）=x 1x 2﹣（x 1+x 2）+1=1﹣=﹣，•=x 1x 2+y 1y 2=0﹣=﹣．故选B5．直线x+（a 2+1）y+1=0（a ∈R ）的倾斜角的取值范围是（ ）A ．[0，]B ．[，π） C ．[0，]∪（，π） D ．[，）∪[，π）【考点】直线的倾斜角．【分析】由直线的方程得 斜率等于，由于 0＞﹣≥﹣1，设倾斜角为 α，则 0≤α＜π，﹣1≤tan α＜0，求得倾斜角α 的取值范围．【解答】解：直线x+（a 2+1）y+1=0（a ∈R ）的 斜率等于，由于 0＞﹣≥﹣1，设倾斜角为 α，则 0≤α＜π，﹣1≤tan α＜0，∴≤α＜π，故选 B ．6．在平面直角坐标系中，若不等式组（a 为常数）所表示的平面区域的面积等于2，则a 的值为（ ） A ．﹣5 B ．1C ．2D ．3【考点】简单线性规划．【分析】本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件的可行域，根据已知条件中，表示的平面区域的面积等于2，构造关于a 的方程，解方程即可得到答案．【解答】解：不等式组所围成的区域如图所示．∵其面积为2， ∴|AC|=4，∴C的坐标为（1，4），代入ax﹣y+1=0，得a=3．故选D．7．有五条线段长度分别为1、3、5、7、9，从这5条线段中任取3条，则所取3条线段能构成一个三角形的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的所有事件是从五条线段中取三条共有3种结果，而满足条件的事件是3、5、7；3、7、9；5、7、9，三种结果，根据古典概型公式C5得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，3种结果，∵试验发生包含的所有事件是从五条线段中取三条共有C5而满足条件的事件是3、5、7；3、7、9；5、7、9，三种结果，∴由古典概型公式得到P==，故选B．8．已知定点A（1，1）和直线l：x+y﹣2=0，则到定点A的距离和到定直线l的距离相等的点的轨迹为（）A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．直线【考点】抛物线的定义；轨迹方程．【分析】判断定点A与直线的位置关系，然后判断动点的轨迹．【解答】解：因为定点A（1，1）在直线l：x+y﹣2=0上，所以到定点A的距离和到定直线l的距离相等的点的轨迹是直线，就是经过定点A与直线l：x+y﹣2=0，垂直的直线．故选D．9．已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25及直线l：（2m+1）x+（m+1）y=7m+4（m∈R），则直线l 过的定点及直线与圆相交得的最短弦长分别为（）A．（3，1），B．（2，1），C．（﹣3，1）， D．（2，﹣1），3【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）通过直线l转化为直线系，求出直线恒过的定点；（2）说明直线l被圆C截得的弦长最小时，圆心与定点连线与直线l垂直，求出斜率即可求出m的值，再由勾股定理即可得到最短弦长．【解答】解（1）：将直线化为直线束方程：x+y﹣4+（2x+y﹣7）=0．联立方程x+y﹣4=0与2x+y﹣7=0，得点（3，1）；将点（3，1）代入直线方程，不论m为何值时都满足方程，所以直线l恒过定点（3，1）；（2）当直线l垂直于圆心与定点（3，1）所在直线时弦长最短，斜率为2，代入方程得m=﹣，此时直线l方程为2x﹣y﹣5=0，圆心到直线的距离为，所以最短弦长为4；故选：A．10．已知双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点F，直线x=与其渐近线交于A，B两点，且△ABF为钝角三角形，则双曲线离心率的取值范围是（）A． B．C． D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】先通过联立方程组求出A，B坐标，根据△ABF为钝角三角形得到∠AFB＞90°，可知∠AFD＞45°，即DF＜DA，再分别求出DF与DA长度，用含a，c的式子表示，因为离心率等于，即可求出离心率的范围．【解答】解：双曲线（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x联立方程组，解得A（，），B（，﹣），设直线x=与x轴交于点D∵F为双曲线的右焦点，∴F（C，0）∵△ABF为钝角三角形，且AF=BF，∴∠AFB＞90°，∴∠AFD＞45°，即DF＜DA∴c﹣＜，b＜a，c2﹣a2＜a2∴c2＜2a2，e2＜2，e＜又∵e＞1∴离心率的取值范围是1＜e＜故选D11．己知直线l1：4x﹣3y+6=0和直线l2：x=﹣1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（）A．2 B．3 C．D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】由x=﹣1是抛物线y2=4x的准线，推导出点P到直线l1：4x﹣3y+6=0的距离和到直线l2：x=﹣1的距离之和的最小值．【解答】解：∵x=﹣1是抛物线y2=4x的准线，∴P到x=﹣1的距离等于PF，∵抛物线y2=4x的焦点F（1，0）∴过P作4x﹣3y+6=0垂线，和抛物线的交点就是P，∴点P到直线l1：4x﹣3y+6=0的距离和到直线l2：x=﹣1的距离之和的最小值就是F（1，0）到直线4x﹣3y+6=0距离，∴最小值==2．故选：A．12．若在曲线f（x，y）=0（或y=f（x））上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线f（x，y）=0或y=f（x）的“自公切线”．下列方程：①x2﹣y2=1；②y=x2﹣|x|；③y=3sinx+4cosx；④|x|+1=对应的曲线中存在“自公切线”的有（）A．①③B．①④C．②③D．②④【考点】命题的真假判断与应用．【分析】化简函数的解析式，结合函数的图象的特征，判断此函数是否有自公切线．【解答】解：①、x2﹣y2=1 是一个等轴双曲线，没有自公切线；②、y=x2﹣|x|=，在 x=和 x=﹣处的切线都是y=﹣，故②有自公切线．③、y=3sinx+4cosx=5sin（x+φ），cosφ=，sinφ=，此函数是周期函数，过图象的最高点的切线都重合，故此函数有自公切线．④、由于|x|+1=，即 x2+2|x|+y2﹣3=0，结合图象可得，此曲线没有自公切线．故答案为 C．二、填空题（共16分）13．已知命题P：“∀x∈[0，1]，a≤e x”，命题q：“∃x∈R，x2+4x+a=0”，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是（﹣∞，1] ．【考点】复合命题的真假．【分析】对于命题p：利用e x在x∈[0，1]上单调递增即可得出a的取值范围，对于命题q利用判别式△≥0即可得出a的取值范围，再利用命题“p∧q”是真命题，则p与q都是真命题，求其交集即可．【解答】解：对于命题p：∀x∈[0，1]，a≤e x，∴a≤（e x），x∈[0，1]，∵e x在x∈[0，1]上单调递增，min∴当x=0时，e x取得最小值1，∴a≤1．对于命题q：∃x∈R，x2+4x+a=0，∴△=42﹣4a≥0，解得a≤4．若命题“p∧q”是真命题，则p与q都是真命题，∴a≤1．故答案为：（﹣∞，1]．14．在区间[0，2]上随机地取一个数x，则事件“﹣1≤log（x+）≤1发生的概率为．【考点】几何概型．【分析】先解已知不等式，再利用解得的区间长度与区间[0，2]的长度求比值即得．【解答】解：利用几何概型，其测度为线段的长度．∵﹣1≤log（x+）≤1∴≤x+≤2解得0≤x≤，∵0≤x≤2∴0≤x≤∴所求的概率为：P==．故答案为：．15．执行如图所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出的s的值为8 ．【考点】循环结构．【分析】由已知中的程序框图及已知中输入8，可得：进入循环的条件为i＜8，即i=2，4，6模拟程序的运行结果，即可得到输出的s值．【解答】解：当i=2，k=1时，s=2，；当i=4，k=2时，s=（2×4）=4；当i=6，k=3时，s=（4×6）=8；当i=8，k=4时，不满足条件“i＜8”，退出循环，则输出的s=8故答案为：816．设P是抛物线y2=4x上的一个动点，F为抛物线焦点，B（3，2），则|PB|+|PF|的最小值为4 ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】所求距离等于|PB|加上P到准线x=﹣1的距离，当P、B、F三点共线时，距离之和最小，由点到直线的距离公式可得．【解答】解：由抛物线的定义可知|PF|等于P到准线x=﹣1的距离，故|PB|+|PF|等于|PB|加上P到准线x=﹣1的距离，可知当P、B、F三点共线时，距离之和最小，最小距离为3﹣（﹣1）=4．故答案为：4．三、解答题（共74分）17．已知p：2x2﹣3x﹣2≥0，q：x2﹣2（a﹣1）x+a（a﹣2）≥0，若p是q充分不必要条件，求实数a取值范围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】解两个不等式，可得p：x∈（﹣∞，﹣]∪[2，+∞），q：x∈（﹣∞，a﹣2]∪[a，+∞），若p是q充分不必要条件，则（﹣∞，﹣]∪[2，+∞）⊊（﹣∞，a﹣2]∪[a，+∞），解得答案．【解答】解：解2x2﹣3x﹣2≥0得：x∈（﹣∞，﹣]∪[2，+∞），解x2﹣2（a﹣1）x+a（a﹣2）得：x∈（﹣∞，a﹣2]∪[a，+∞），若p是q充分不必要条件，则（﹣∞，﹣]∪[2，+∞）⊊（﹣∞，a﹣2]∪[a，+∞），∴，解得：a∈[，2]18．求下列在直线l的方程（1）过点A（0，2），它的倾斜角为正弦值是；：3x+4y+5=0的倾斜角的一半；（2）过点A（2，1），它的倾斜角是直线l1（3）过点A（2，1）和直线x﹣2y﹣3=0与2x﹣3y﹣2=0的交点．【考点】直线的斜率．【分析】（1）根据同角的三角函数的关系求出斜率，再根据斜截式求出直线方程；（2）求出3x+4y+5=0的倾斜角，利用二倍角公式求出过点A（2，1）的直线倾斜角以及斜率，利用点斜式求出直线方程；（3）求出直线x﹣2y﹣3=0与2x﹣3y﹣2=0的交点，利用两点式求出直线方程即可．【解答】解：（1）设直线l的倾斜角为α，则sinα=，∴cosα=±=，tanα==±，由斜截式得y=±x+2，即3x﹣4y+8=0或3x+4y﹣8=0．（2）设直线l与l1的倾斜角分别为α、β，则α=，因tanβ＜0，所以＜β＜π，故＜α＜，所以tanα＞0．又tanβ=﹣，则﹣=，解得tanα=3，或tanα=﹣（舍去），由点斜式得y﹣1=3（x﹣2），即3x﹣y﹣5=0．（3）解方程组，解得，即两条直线的交点坐标为（﹣5，﹣4）．由两点式得=，即5x﹣7y﹣3=0．19．已知动点P与平面上两定点连线的斜率的积为定值﹣．（1）试求动点P的轨迹方程C；（2）设直线l：y=kx+1与曲线C交于M．N两点，当|MN|=时，求直线l的方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的轨迹问题．【分析】（Ⅰ）设出P的坐标，利用动点P与平面上两定点连线的斜率的积为定值，建立方程，化简可求动点P的轨迹方程C．（Ⅱ）直线l：y=kx+1与曲线C方程联立，利用韦达定理计算弦长，即可求得结论．【解答】解：（Ⅰ）设动点P的坐标是（x，y），由题意得：kPAkPB=∴，化简，整理得故P点的轨迹方程是，（x≠±）（Ⅱ）设直线l与曲线C的交点M（x1，y1），N（x2，y2），由得，（1+2k2）x2+4kx=0∴x 1+x 2=，x 1 x 2=0，|MN|=，整理得，k 4+k 2﹣2=0，解得k 2=1，或k 2=﹣2（舍） ∴k=±1，经检验符合题意．∴直线l 的方程是y=±x+1，即：x ﹣y+1=0或x+y ﹣1=020．某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者．把符合条件的1000名志愿者按年龄分组：第1组[20，25）、第2组[25，30）、第3组[30，35）、第4组[35，40）、第5组[40，45），得到的频率分布直方图如图所示： （1）分别求第3，4，5组的频率；（2）若从第3、4、5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加广场的宣传活动，应从第3、4、5组各抽取多少名志愿者？（3）在（2）的条件下，该市决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【分析】（1）由题设利用频率分布直方图能求出第一步组的频率，第4组的频率，第5组的频率．（2）第3组的人数为300，第4组的人数为200，第5组的人数为100，第3，4，5组共有600名志愿者，利用分层抽样在600名志愿者中抽取6名志愿者，能求出第3，4，5组分别抽取的人数．（3）设第3组的3位志愿者为A 1，A 2，A 3，第4组的2位志愿者为B 1，B 2，第5组的1 位志愿者为C 1，从六位志愿者中抽两位志愿者，利用列举法能求出第4组至少有一名志愿者被抽中的概率．【解答】解：（1）由题设知第一步组的频率为：0.06×5=0.3，第4组的频率为0.04×5=0.2，第5组的频率为0.02×5=0.1．（2）第3组的人数为0.3×1000=300，第4组的人数为0.2×1000=200，第5组的人数为0.1×1000=100，第3，4，5组共有600名志愿者，∴利用分层抽样在600名志愿者中抽取6名志愿者，每组抽取的人数分别为：第3组：，第4组：，第5组：，∴第3，4，5组分别抽取3人，2人，1人．（3）设第3组的3位志愿者为A1，A2，A3，第4组的2位志愿者为B1，B2，第5组的1 位志愿者为C1，则从六位志愿者中抽两位志愿者有：（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A1，C1），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，C1），（A3，B1），（A3，C1），（B1，B2），（B1，C1），（B2，C1），共15种，第4组至少有一名志愿者被抽中包含9种情况，∴第4组至少有一名志愿者被抽中的概率p==．21．已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为，且过点（，）（1）求双曲线C的方程；（2）已知直线x﹣y+m=0与双曲线c交于不同的两点A、B，且线段AB的中点在圆x2+y2=5上，求m的值．【考点】圆与圆锥曲线的综合；直线与双曲线的位置关系．【分析】（1）由e==，点满足双曲线的方程，结合a，b，c的关系，可知a=1，b=，c=，由此能求出双曲线方程；（2）联立直线x﹣y+m=0和双曲线的方程，消去y，得x2﹣2mx﹣m2﹣2=0，故x1+x2=2m，所以AB中点（m，2m），代入圆方程能求出m的值．【解答】解：（1）由题意可得e==，代入点（，），可得﹣=1，又a2+b2=c2，解得a=1，b=，c=，可得双曲线的方程为x2﹣=1；（2）直线x﹣y+m=0代入双曲线的方程2x2﹣y2=2，消去y可得x2﹣2mx﹣m2﹣2=0，△=4m2+4（m2+2）＞0恒成立．设A（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2=2m，AB的中点坐标为（m，2m），由线段AB的中点在圆x2+y2=5上，可得m2+4m2=5，解得m=±1．22．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线x﹣y+=0相切，过点P（4，0）且不垂直于x轴直线l与椭圆C相交于A、B两点．（1）求椭圆C的方程；（2）求•的取值范围；（3）若B点关于x轴的对称点是E，证明：直线AE与x轴相交于定点．【考点】直线与圆锥曲线的关系；平面向量数量积的运算；椭圆的标准方程．【分析】（1）由题意知，，利用点到直线的距离公式可求b，结合a2=b2+c2可求a，即可求解（2）由题意设直线l的方程为y=k（x﹣4），联立直线与椭圆方程，设A（x1，y1），B （x2，y 2），根据方程的根与系数关系求出x 1+x 2，x 1x 2，由△＞0可求k 的范围，然后代入=x 1x 2+y 1y 2==中即可得关于k的方程，结合k 的范围可求的范围（3）由B ，E 关于x 轴对称可得E （x 2，﹣y 2），写出AE 的方程，令y=0，结合（2）可求【解答】（1）解：由题意知，，即b=又a 2=b 2+c 2∴a=2，b=故椭圆的方程为（2）解：由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y=k （x ﹣4）由可得：（3+4k 2）x 2﹣32k 2x+64k 2﹣12=0设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则△=322k 4﹣4（3+4k 2）（64k 2﹣12）＞0∴∴x 1+x 2=，x 1x 2=①∴=x 1x 2+y 1y 2====∵∴∴∴）（3）证明：∵B，E关于x轴对称∴可设E（x2，﹣y2）∴直线AE的方程为令y=0可得x=∵y1=k（x1﹣4），y2=k（x2﹣4）∴==1∴直线AE与x轴交于定点（1，0）。
精选2016--2017学年高二数学下学期期中联考试题(含解析)
衢州四校2017学年第二学期高二年级期中联考数学试题第Ⅰ卷（选择题，共40分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. ）C. D.【答案】A集的定义可求。
A。
点睛：本题主要考查补集运算、一元二次不等式的解法、整数集的符号表示等知识。
意在考查学生的计算求解能力。
2. ，则复数在复平面内对应的点在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C，变形得-1,-2），判断点所在象限。
所以复数在复平面内对应的点为（-1，-2），故复数在复平面内对应的点在第三象限。
故选C。
点睛：本题主要考查复数乘法、除法运算、复平面内的点与复数的对应关系等知识点。
意在考查学生的转化与计算求解能力。
3. 已知（）B. C. D.【答案】B，再求根据分段函数求。
，所以因为-1<0，所以。
故选B。
点睛：（1）分段函数求函数值，应按照自变量的范围分段代入。
（24. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.C. D.【答案】D【解析】分析：平行一个平面的两条直线有三种位置关系：相交、异面、平行，排除A；两面垂直，平行其中一个平面的直线与该平面有三种位置关系：平行、相交、在面内，故排除B；平行与一条直线的两个平面有两种位置关系：平行、相交，故排除C；由直线与平面垂直和平面与平面垂直的判定可知选项D正确。
详解：对于选项A A错；对于选项BB错；对于选项C C错；对于选项D，若，由平面与平面垂直的判定定理可知D正确。
故选D。
点睛：判断直线与平面的位置关系，应熟练掌握直线与直线、平面与平面、直线与平面的位置关系，以及判定定理、性质定理。
5. ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】B”，那么，故选B。
点睛：解决有关数列的问题可将条件转化为基本量，来求基本量的取值或范围，进而可解决问题。
成都九校联考2016-2017学年高二下学期化学期中试卷(有答案)
2016～2017学年度（下期）高2015级期中联考试卷化学考试时间共90分钟，满分100分注意事项：1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、班级、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条码由监考老师粘贴在答题卡上的“条码粘贴处”。
2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效。
3.考试结束后由监考老师将答题卡收回。
可能用到的原子量：H-1、C-12、N-14、O-16、Na-23、Mg-24、Al-27、S-32、K-39、Cl-35.5、P-31、Si-28一、选择题（每小题只有一个正确答案。
每小题2分，共30分）1．下列各基态原子或离子的电子排布式错误的是（）A．Al 1s22s22p63s23p1 B．S2-1s22s22p63s23p6C．Cu[Ar]3d94s2D．Ca[Ar] 4s22．下列各组分子中，都属于含极性键的非极性分子的是（）A．CO2 H2S B．NH3HCl C．P4CCl4D．C2H4 CH4 3．下列描述中正确的是（）A．ClO3-的空间构型为平面三角形B．乙炔分子中的两个碳原子采用sp2杂化方式C．CS2为V形的极性分子D．SiF4和SO32-的中心原子均为sp3杂化4.现有四种元素的基态原子的电子排布式如下：①1s22s22p63s23p2；②1s22s22p63s23p3；③1s22s22p3；④1s22s22p4。
则下列有关比较中正确的是（）A．电负性：④＞③＞②＞①B．原子半径：④＞③＞②＞①C．第一电离能：④＞③＞②＞①D．最高正化合价：④＞③>②＞①5．已知A n+，B(n+1)+，C n-，D(n+1)-具有相同的电子层结构，则原子半径由大到小的顺序为（）A．A>B>C>D B．D>C>A>B C．C>D>B>A D．A>B>D>C 6．下列现象与氢键有关的是（）①NH3的熔沸点比同族磷、砷元素氢化物熔沸点高②小分子的醇、羧酸可以和水以任意比互溶③冰的密度比液态水的密度小④HF在标况下为液态⑤H2O比H2S稳定A．①②③B．①②③④C．①②③④⑤D．①②7．下列叙述正确的是（）A．甲酸溶液导电性比乙酸溶液导电性强，说明乙酸是弱酸B ．硫酸钾溶于水能导电，所以硫酸钾是电解质C ．强电解质一定是含有离子键，弱电解质中一定含弱极性共价键D ．固态磷酸是电解质，所以磷酸在熔融状态下和水溶液中都能导电8．下列事实不能用勒夏特列原理解释的是（ ）A ．开启啤酒瓶后，瓶中立刻泛起大量泡沫B ．由H 2、I 2蒸气、HI 组成的平衡体系加压后颜色变深C ．向氯水中加CaCO 3后，溶液漂白性增强D ．在含有[Fe(SCN)]2＋的红色溶液中加铁粉，振荡静置，溶液颜色变浅9．下列水解化学方程式或水解离子方程式正确的是（ ）A ．CH 3COO — + H 2O CH 3COOH + OH —B ．HCO 3— + H 2OCO 32— + H 3O +C ．CH 3COOH + OH —CH 3COO — + H 2OD ．NaCl + H 2O NaOH + HCl10．25℃时，水的电离达到平衡：H 2O H ++OH – △H ＞0，下列叙述正确的是（ ） A ．向平衡体系中加入水，平衡正向移动，c (H +)增大B ．将水加热，Kw 增大，pH 不变C ．向水中加入少量硫酸氢钠固体，c (H +)/ c (OH -)增大D ．向水中加入少量NaOH 固体，平衡正向移动，c(H +)降低11．下列关于热化学反应的描述中正确的是（ ）A ．反应物的总能量低于生成物的总能量时，发生放热反应B ．HCl 和NaOH 反应的中和热ΔH ＝－57.3kJ/mol ，则H 2SO 4和Ba(OH)2的反应热 ΔH ＝2×(－57.3)kJ/molC ．同温同压下，H 2(g)＋Cl 2(g)===2HCl(g)在光照和点燃条件下的ΔH 相同D ．等量的硫蒸气和硫固体分别完全燃烧，后者放出热量多12．一定条件下，在体积为10 L 的密闭容器中，1 mol X 和1 mol Y 进行反应： 2X(g)＋Y(g) ⇌Z(g)，经60s 达到平衡，生成0.3mol Z ，下列说法正确的是（ ）A ．若增大压强，则物质Y 的转化率减小B ．将容器体积变为5 L ，Z 的平衡浓度变为原来的2倍C ．Y 浓度变化表示的反应速率为0.0005 mol/(L·s )D ．若升高温度，X 的体积分数增大，则该反应的ΔH ＞013．在298K 、100kPa 时，已知：H 2O （g ）=21O 2（g ）＋H 2（g ） △H 1 H 2（g ）＋Cl 2（g ）= 2HCl （g ） △H 22H 2O （g ）＋2Cl 2（g ）= 4HCl （g ）＋O 2（g ） △H 3则△H 3与△H 1和△H 2间的关系正确的是（ ）A ．△H 3 =2△H 1＋2△H 2B ．△H 3 =2△H 1—△H 2C ． △H 3 =2△H 1—2△H 2D ．△H 3 =2△H 1＋△H 214．常温常压下，注射器甲中装有NO 2气体，注射器乙中装有相同体积的空气，注射器与U 形管连通，如图所示，打开两个止水夹，同时向外拉两注射器的活塞，且拉动的距离相等，将会看到U 形管中液面(NO 2与CCl 4不反应)（ ）A ．U 形管中液面无变化B ．a 端下降，b 端上升C ．a 端上升，b 端下降D ．无法判断15．根据右图，下列判断中正确的是（ ）A ．烧杯b 中发生还原反应B ．烧杯b 中发生的反应为2Cl －－2e －===Cl 2↑C ．烧杯a 中发生的反应为2H ＋＋2e －===H 2↑D ．烧杯a 中的溶液pH 升高二、选择题（每小题只有一个正确答案。
2016-2017年高二数学(理)期中试卷及答案
∴它们所围成的三角形面积为： ……（10分）
18.证明：以D为原点，分别以DA、DC、DD1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A(a,0,0)，B(a,2a,0)，C(0,2a,0)，D1(0,0，a)，E(a,2a,0)，
图2
∵M、N分别为AE、CD1的中点，
A．必在圆x2＋y2＝2内B．必在圆x2＋y2＝2上
C．必在圆x2＋y2＝2外D．以上三种情形 都有可能
.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案 填在答题卷的横线上。)
13、已知双曲线 上一点M的横坐标为4，则点M到左焦点的距离是14.设双曲线 的一条渐近线与抛物线y=x +1只有一个公共点，则双曲线的离心率为
三、解 答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．(本小题满分10分)
抛物线 的焦点与双曲线 的右焦点重合.
（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）求抛物线的准线与双曲线的渐近线围成的三角形的面积.
18．(本小题满分12分)如图 ，已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，E、M、N分别是BC、AE、CD1的中点，AD＝AA1＝a，AB＝2a.求证：MN∥平面ADD1A1.
∴M(a，a,0)，N(0，a，)．
∴＝(－a,0，)．……（6分）
取n＝(0,1,0)，……（8分）显然n⊥平面A1D1DA，且·n＝0，
∴⊥n.又MN⊄平面ADD1A1.
∴MN∥平面ADD1A1………（12分）
19.证明：以C为坐标原点，建立如图4所示的空间直角坐标系，则A(，，0)，B(0，，0)，D(，0,0)，F(，，1)，M(，，1)．
2016-2017学年下学期期中考高二数学理科参考答案 精品
2016-2017学年下学期期中考 高二理科数学 参考答案13．514．-10 15．1416．3 三、解答题（共6题，共70分） 17．【解析】（1）没有抓到白球，即取到的全是红球，∴没有抓到白球的概率是304236C C 1C 5=；…3分 （2）X的所有可能取值为1，2，3………………………………………………………4分()124236C C 1P X 1,C 5===()214236C C P X 2C ===35，()304236C C 1P X 3C 5===，………7分∴X 8分8()5E X =。
………………………………………………………10分18．【解析】(1)连接AC 交BD 于点O ，连接OE ；在△CPA 中，E ，O 分别是边CP ，CA 的中点，∴OE ∥PA ，而OE ⊂平面BDE ，PA ⊄平面BDE ，∴PA ∥平面BDE . ……………………4分(2)如图建立空间直角坐标系，设PD ＝DC ＝2.则A (2,0,0)，P (0,0,2)，E (0,1,1)，B (2,2,0),∴ DE ＝(0,1,1)，DB＝(2,2,0)，……………………5分设n ＝(x ，y ，z )是平面BDE 的一个法向量，则由00n DE n DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得0220y z x y ⎧⎨⎩＋＝，＋＝取y ＝－1，得n ＝(1，－1,1)， 又DA＝(2,0,0)是平面DEC 的一个法向量．……………………9分∴cos 〈n ，DA 〉＝n DA n DA⋅⋅3＝.……………………11分 故结合图形知二面角B-DE-C的余弦值为3……………………12分 19．【解析】（1）平均值为11万元，中位数为7万元. ……………………2分（2）年薪高于7万的有5人，低于或等于7万的有5人；ξ取值为0，1，2.()25210209C P C ξ===，()1155210519C C P C ξ===，()25210229C P C ξ===，………6分∴ξ的分布列为数学期望为0121999E ξ=⨯+⨯+⨯=.……………………8分（3）设(),1,2,3,4i i x y i =分别表示工作年限及相应年薪，则 2.5,6x y ==，()()()1217 1.45ˆni i i n i i x x y y b x x ==--===-∑∑6 1.4 2.5ˆ 2.5ˆa y bx =-=-⨯=， 得线性回归方程： 1.4 2.5y x =+.………………………………11分 可预测该员工第5年的年薪收入为9.5万元. …………………12分20将22⨯列联表中的数据代入计算，得2K 的观测值：()2100301045151003.030, 3.030 3.8414555752533K ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯ ， ∴在犯错误概率不超过0.05前提下，不能认为赞成“自助游”与性别有关系.………6分(2)X 的所有可能取值为0,1,2,3,依题意()()i 3ii 33313,,i ?·,i 0,1,2,3444X B P X C -⎛⎫⎛⎫⎛⎫~=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴X 的分布列为：()94E X np ==.………………………………………………………………………12分 21．（Ⅰ）当2,a =212()2ln ,'(),2f x x x f x x x =-=- 1'(1)1,(1),2f f =-=()fx 在(1,(1))f 处的切线方程为()112y x -=--，即2230.x y +-=……………4分（Ⅱ）由2'().a x af x x x x-=-=由0a >及定义域为(0,)+∞，令'()0,fx x ==得1,01,a <≤即在(1,e)上，'()0f x >，)(x f 在[1,e]上单调递增， 因此，()f x 在区间[1,e]的最小值为1(1)2f =． ②若21e,1e ,a<<<<即在（上，'()0f x <，)(x f 单调递减;在上，'()0f x >，)(x f 单调递增，因此()f x 在区间[1,e]上的最小值为1(1ln ).2f a a =- 2e,e ,a ≥即在(1,e)上，'()0f x <，)(x f 在[1,e]上单调递减， 因此，在()f x 区间[1,e]上的最小值为21(e)e 2f a =-． 综上，()2min221,01,21()1ln ,1,21,.2a f x a a a e e a a e ⎧<≤⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩………………………………………8分 （Ⅲ）由（Ⅱ）可知当01a <≤或2e a ≥时，)(xf 在(1,e)上是单调递增或递减函数，不可能存在两个零点．当21e a <<时，要使()f x 在区间(1,e)上恰有两个零点，则∴21(1ln )0,21(1)0,21(e)e 0,2a a f f a ⎧-<⎪⎪⎪=>⎨⎪⎪=->⎪⎩即2e1e 2a a >⎧⎪⎨<⎪⎩，此时，21e e 2a <<．所以，a 的取值范围为21(e,e ).2…12分 22．【解析】(I )椭圆的长轴长为a =又与椭圆22124x y +=有相同的离心率2e =,故2, 2.c b == 所以椭圆M 的方程为22184x y +=………………………………………………4分 (II)若l 的斜率存在，设:l ,y kx m =+因l 与C 相切，故r =， 即()2221m r k =+. ①……………………………………5分又将直线l 方程代入椭圆M 的方程得()222124280,k x kmx m +++-=…………6分设()()1122,,,,A x y B x y 由韦达定理得1x +2x =24,12kmk -+12x x =222812m k -+，由0OA OB ⋅= 得到12x x +12y y =()21k +222812m k-++km 2412km k -++2m =0 化简得22388m k =+，② ……………………………………………………8分联立①②得283r =。
2017年四川省成都市九校联考高二理科下学期数学期中考试试卷
2017年四川省成都市九校联考高二理科下学期数学期中考试试卷一、选择题（共12小题；共60分）1. 如图，在平行四边形中，是对角线的交点，下列结论正确的是A. ，B.C. D.2. 函数，则的值为A. B. C. D.3. 已知，表示两条不同直线，表示平面．下列说法正确的是A. 若，，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若，，则4. 函数的单调递减区间是A. B. C. D.5. 如图，在棱长为的正方体中，是底面的中心，，分别是，的中点，那么异面直线和所成的角的余弦值等于A. B. C. D.6. 已知函数，若，且，则下列不等式中正确的是A. B. C. D.7. 某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是，则正视图中的的值是A. B. C. D.8. 若对任意的，恒有，则的取值范围是A. B. C. D.9. 甲、乙两人约定在下午间在某地相见，且他们在之间到达的时刻是等可能的，约好当其中一人先到后一定要等另一人分钟，若另一人仍不到则可以离去，则这两人能相见的概率是A. B. C. D.10. 如图在一个的二面角的棱上有两个点，，线段，分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，且，，则的长为A. B. C. D.11. 已知函数的图象如图所示，则的取值范围是A. B. C. D.12. 已知，分别为双曲线的左、右焦点，若存在过的直线分别交双曲线的左、右支于，两点，使得，则双曲线的离心率的取值范围是A. B. C. D.二、填空题（共4小题；共20分）13. ．14. 已知椭圆：与双曲线：有相同的右焦点，点是与的一个公共点，若，则椭圆的离心率等于．15. 四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点为端点的三条棱长都相等，且两两夹角为．则线段与平面所成角的正弦值为．16. 已知函数，若存在唯一的正整数，使得，则实数的取值范围为．三、解答题（共6小题；共78分）17. 如图，在直三棱柱中，，点是的中点．求证：（1）；（2）平面．18. 某校举行环保知识竞赛，为了了解本次竞赛成绩情况，从得分不低于分的试卷中随机抽取名学生的成绩（得分均为正数，满分分），进行统计，请根据频率分布表中所提供的数据，解答下列问题：（1）求，的值；（2）若从成绩较好的第，，组中，按分层抽样的方法抽取人参加社区志愿者活动，并从中选出人做负责人，求人中至少有人是第四组的概率．19. 已知函数，，若，且的图象在点处的切线为．（1）求实数，，的值；（2）求函数的单调区间．20. 在四棱锥中，为正三角形，四边形为矩形，平面平面，，，分别为，中点．（1）求证： 平面；（2）求二面角的大小；（3）在上是否存在点，使得平面?若存在，求的值；若不存在，请说明理由．21. 已知椭圆：经过点，离心率．（1）求椭圆的标准方程．（2）设过点的直线与相交于，两点，求面积的最大值．22. 已知，．（1）求函数的极值；（2）若函数在区间内有两个零点，求的取值范围；（3）函数，设，，若存在最大值，记为，则当时，是否存在最大值?若存在，求出其最大值；若不存在，请说明理由．答案第一部分1. C2. B3. B 【解析】选项A中，平行于同一平面的两条直线可以平行、相交、异面，故选项A是错误的；选项B中，由线面垂直的性质知：直线垂直于平面，则直线垂直于平面内的任意一条直线，故选项B正确；选项C中，可能在平面内，故选项C错误；选项D中，两直线垂直，其中一条直线与一个平面平行，则另一条直线和这个平面可以平行、相交、也可以在平面内，故选项D错误．4. C 【解析】函数的定义域为．．令，即解得，所以，函数在上为减函数．即函数的减区间为．5. B【解析】取的中点．连接，再取的中点，连接，，则为异面直线所成的角．在中，，，．由余弦定理，可得．6. C7. D8. D 【解析】原不等式可化为，令，故只需，由知在上单调递增；在上单调递减．故，即，解得．9. B 10. A11. D 12. C第二部分13.14.【解析】由题意，不妨设在第一象限，双曲线：可化为，因为，则，则，即，由椭圆的定义可知：，所以．因为椭圆：与双曲线：有相同的右焦点，所以椭圆的离心率为．15.16.第三部分17. （1）在直三棱柱中，因为平面，所以，又，，所以平面所以．（2）设与的交点为，连接，为平行四边形，则为中点，又是的中点，所以是三角形的中位线，，又因为平面，平面，所以平面．18. （1）由频率和等于，所以．．（2）因为第三、第四、第五组的学生数的比例是，所以利用分层抽样从中选人，第三、第四、第五组选取的学生人数分别是人，人，人．设第三组选取的学生为，，．第四组选取的学生为，．第五组选取的学生为．则从人中任意选出人的所有方法种数是：，，，，，，，，，，，，，，共种．其中至少人是第四组的方法种数是：，，，，，，，，共种．所以人中至少有人是第四组的概率是．19. （1）因为，所以由，得．又因为的图象在点处的切线方程为，所以，且．即联立方程，解得．（2）因为，所以．由，解得或；由，解得．所以的单调增区间为：和，单调减区间为：．20. （1）因为，分别是，中点，所以是的中位线，所以，又因为平面，平面，所以 平面．（2）过点作垂直于，交于点，因为平面平面，所以平面，如图建立空间直角坐标系，设，则，，，，，则，，设平面法向量为，由得令，则，，即，平面法向量，所以，二面角的余弦值．因为二面角是锐二面角，所以二面角等于．（3）存在点，使得平面，设，则，由可得，所以在上存在点，使得平面，此时．21. （1）由点在椭圆上得，又由得，，，故椭圆的标准方程为．（2）当直线的斜率不存在，不合题意，可设直线，，，将代入椭圆方程，可得，由，解得或．，，又到直线的距离，则，设，，则，即有，由，当且仅当，即时等号成立，满足判别式大于．则．故面积的最大值为．22. （1），所以，由得，由，得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，无极大值．（2），所以．又，，易得在上单调递减，在上单调递增，要使函数在内有两个零点，需即所以所以，即的取值范围是．（3）若，因为在上满足，所以在上单调递减，所以．所以不存在最大值，则，所以方程有两个不相等的正实数根，令其为，，且不妨设，则在上单调递减，在上调递增，在上单调递减，对，有；对，有，所以．所以将，代入上式，消去，，得：因为，所以，．据在上单调递增，得，设，，，所以，即在上单调递增，所以，所以存在最大值为．。
四川省成都市九校联考2016-2017学年高二下学期期中数
四川省成都市九校联考2016-2017学年高二（下）期中数学试卷（理科）（解析版）一、选择题1、直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若= ，= ，= ，则=（）A、+ ﹣B、﹣+C、﹣+ +D、﹣+ ﹣2、函数f （x）=sin x+e x，则f'（0）的值为（）A、1B、2C、3D、03、已知m，n 表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是（）A、若m∥α，n∥α，则m∥nB、若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC、若m⊥α，m⊥n，则n∥αD、若m∥α，m⊥n，则n⊥α4、函数f（x）= 的单调递减区间是（）A、（0，e）B、（0，1），（1，e）C、（e，+∞）D、（﹣∞，e）5、如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1、AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于（）A、B、C、D、6、已知函数f（x）=x﹣sinx，若x1、且f（x1）+f（x2）＞0，则下列不等式中正确的是（）A、x1＞x2B、x1＜x2C、x1+x2＞0D、x1+x2＜07、某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是（）A、2B、C、D、38、若对任意的x＞0，恒有lnx≤px﹣1（p＞0），则p的取值范围是（）A、（0，1]B、（1，+∞）C、（0，1）D、[1，+∞）9、甲、乙两人约定在下午4：30：5：00 间在某地相见，且他们在4：30：5：00 之间到达的时刻是等可能的，约好当其中一人先到后一定要等另一人20 分钟，若另一人仍不到则可以离去，则这两人能相见的概率是（）A、B、C、D、10、如图在一个60°的二面角的棱上有两个点A，B，线段分别AC、BD在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，且AB=AC=a，BD=2a，则CD 的长为（）A、2aB、 aC、aD、 a11、已知函数 f （x）=ax3+bx2+cx+d 的图象如图所示，则的取值范围是（）A、（﹣，）B、（﹣，1）C、（﹣，）D、（﹣，1）12、已知F1，F2分别为双曲线C：﹣=1的左、右焦点，若存在过F1的直线分别交双曲线C的左、右支于A，B两点，使得∠BAF2=∠BF2F1，则双曲线C的离心率e的取值范围是（）A、（3，+∞）B、（1，2+ ）C、（3，2+ ）D、（1，3）二、填空题13、x2dx=________．14、已知椭圆C1：+ =1（a＞b＞0）与双曲线C2：x2﹣y2=4 有相同的右焦点F2，点P是C1与C2的一个公共点，若|PF2|=2，则椭圆C1的离心率等于________．15、四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面为平行四边形，以顶点A 为端点的三条棱长都相等，且两两夹角为60°．则线段AC1与平面ABC所成角的正弦值为________．16、已知函数，若存在唯一的正整数x0，使得f（x0）≥0，则实数m 的取值范围为________．三、解答题17、如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，点D是AB的中点．求证：(1)AC⊥BC1；(2)AC1∥平面B1CD．18、某校举行环保知识竞赛，为了了解本次竞赛成绩情况，从得分不低于50分的试卷中随机抽取100名学生的成绩（得分均为正数，满分100分），进行统计，请根据频率分布表中所提供的数据，解答下列问题：（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）若从成绩较好的第3、4、5组中，按分层抽样的方法抽取6人参加社区志愿者活动，并从中选出2人做负责人，求2人中至少有1人是第四组的概率．19、已知函数f（x）=x+2alnx．(1)若函数f（x）的图象在（2，f（2））处的切线斜率为1，求实数a的值；(2)求函数f（x）的单调区间；(3)若函数在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围．20、在四棱锥P﹣ABCD中，△PAB为正三角形，四边形ABCD为矩形，平面PAB⊥平面ABCD，AB=2AD，M，N分别为PB，PC中点．（Ⅰ）求证：MN∥平面PAD；（Ⅱ）求二面角B﹣AM﹣C的大小；（Ⅲ）在BC上是否存在点E，使得EN⊥平面AMN？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．21、已知椭圆C：（a＞b＞0 ）经过点P（1，），离心率e=（Ⅰ）求椭圆C的标准方程．（Ⅱ）设过点E（0，﹣2 ）的直线l 与C相交于P，Q两点，求△OPQ 面积的最大值．22、已知f （x）= x2，g （x）=a ln x（a＞0）．（Ⅰ）求函数F （x）=f（x）g（x）的极值（Ⅱ）若函数G（x）=f（x）﹣g（x）+（a﹣1）在区间（，e）内有两个零点，求的取值范围；（Ⅲ）函数h（x）=g （x ）﹣x+ ，设x1∈（0，1），x2∈（1，+∞），若h（x 2）﹣h（x 1）存在最大值，记为M （a），则当a≤e+1 时，M （a）是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，请说明理由．答案解析部分一、<b >选择题</b>1、【答案】D【考点】空间向量的加减法【解析】【解答】解：= + =﹣+ ﹣=﹣+ ﹣故选D．【分析】将向量分解成+ ，然后将利用相等向量和向量的三角形法则将与化成用、、表示即可．2、【答案】B【考点】导数的运算【解析】【解答】解：f （x）=sinx+e x，∴f′（x）=cosx+e x，∴f′（0）=cos0+e0=1+1=2，故选：B【分析】先求导，再代值计算即可3、【答案】B【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【解析】【解答】解：由m，n 表示两条不同直线，α表示平面，知：在A中，若m∥α，n∥α，则m与n相交、平行或异面，故A错误；在B中，若m⊥α，n⊂α，则由线面垂直的性质定理得m⊥n，故B正确；在C中，若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，由C错误；在D中，若m∥α，m⊥n，则n与α相交、平行或n⊂α，故D错误．故选：B．【分析】在A中，m与n相交、平行或异面；在B中，由线面垂直的性质定理得m⊥n；在C中，n∥α或n⊂α；在D中，n与α相交、平行或n⊂α．4、【答案】B【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】【解答】解：f（x）= ，∴f'（x）= ，∴当x∈（0，1）和（1，e）时，f'（x）＜0，f（x）递减．故选B．【分析】求出导函数，结合函数的定义域判断函数的单调减区间即可．5、【答案】B【考点】异面直线及其所成的角【解析】【解答】解：取BC的中点G．连接GC1∥FD1，再取GC的中点H，连接HE、OH，则∠OEH为异面直线所成的角．在△OEH中，OE= ，HE= ，OH= ．由余弦定理，可得cos∠OEH= ．故选B．【分析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可．6、【答案】C【考点】函数单调性的性质，奇函数【解析】【解答】解：函数f（x）=x﹣sinx是奇函数，由条件知，x1、x2是对称或“对等”的，因此可排除A与B，再取x1=0、检验即知正确选项是C．故选C．【分析】根据条件可知x1、x2的大小是不能确定的，从而可排除选项A和B，再取x1=0、检验即可得到答案．7、【答案】D【考点】简单空间图形的三视图【解析】【解答】解：根据三视图判断几何体为四棱锥，其直观图是：V= =3⇒x=3．故选D．【分析】根据三视图判断几何体为四棱锥，再利用体积公式求高x即可．8、【答案】D【考点】函数恒成立问题【解析】【解答】解：因为对任意的x＞0，恒有lnx≤px﹣1⇒p≥ 恒成立，设f（x）= 只须求其最大值，因为f'（x）= ，令f'（x）=0⇒x=1，当0＜x＜1时，f'（x）＞0，当x＞1时，f'（x）＜0，故f（x）在x=1处取最大值且f（1）=1．故p的取值范围是[1，+∞）．故选D．【分析】先把lnx≤px﹣1转化为p≥ 恒成立，再利用导函数求函数f（x）= 的最大值，让p与其最大值比较即可．9、【答案】B【考点】几何概型【解析】【解答】解：因为两人谁也没有讲好确切的时间，故样本点由两个数（甲乙两人各自到达的时刻）组成．以4：30点钟作为计算时间的起点建立如图所示的平面直角坐标系，设甲乙各在第x分钟和第y分钟到达，则样本空间为Ω：{（x，y）|0≤x≤30，0≤y≤30}，画成图为一正方形．会面的充要条件是|x﹣y|≤20，即事件A={可以会面}所对应的区域是图中的阴影线部分，∴由几何概型公式知所求概率为面积之比，即P（A）= ；故选B．【分析】由题意知本题是一个几何概型，试验发生包含的所有事件对应的集合是Ω：{（x，y）|0≤x≤30，0≤y≤30}，做出集合对应的面积是边长为30的正方形的面积，写出满足条件的事件对应的集合和面积，根据面积之比得到概率10、【答案】A【考点】与二面角有关的立体几何综合题【解析】【解答】解：∵CA⊥AB，BD⊥AB，∴= =0，∵＜，＞=60°，∴＜，＞=120°．∵= + + ，∴2=2+2+2+2 +2 • +2 •=a 2+a 2+4a 2+0+2×a×2a×cos120°+0 =4a 2 ．∴||=2a ．故选：A ．【分析】由已知可得=++，利用数量积的性质即可得出．11、【答案】D【考点】利用导数研究函数的单调性，简单线性规划 【解析】【解答】解：由图象可知：经过原点，∴f （0）=0=d ， ∴f （x ）=ax 3+bx 2+cx ． 由图象可得：函数f （x ）在[﹣1，1]上单调递减，函数f （x ）在x=﹣1处取得极大值． ∴f ′（x ）=3ax 2+2bx+c≤0在[﹣1，1]上恒成立，且f ′（﹣1）=0． 得到3a ﹣2b+c=0，即c=2b ﹣3a ， ∵f ′（1）=3a+2b+c ＜0， ∴4b ＜0，即b ＜0，∵f ′（2）=12a+4b+c ＞0， ∴3a+2b ＞0，设k=，建立如图所示的坐标系，则点A （﹣1，﹣1），则k=式中变量a 、b 满足下列条件，作出可行域如图：∴k 的最大值就是k AO =1，k 的最小值就是k CD ，而k CD 就是直线3a+2b=0的斜率，k CD =﹣ ，∴﹣＜k ＜1．故选：D ．【分析】利用函数以及导数的图象，推出a，b 的不等式组，然后求解即可．由图象可知：经过原点，可得f（0）=0=d，即f（x）=ax3+bx2+cx．．由图象可得：函数f（x）在[﹣1，1]上单调递减，函数f（x）在x=﹣1处取得极大值．可得f′（x）≤0在[﹣1，1]上恒成立，且f′（﹣1）=0．利用且f′（1）＜0，f′（2）＞0即可得到b＜0，3a+2b＞0，设k= ，求k的最值，进而得出结论．12、【答案】C【考点】双曲线的简单性质【解析】【解答】解：在△BAF2和△BF2F1中，由∠BAF2=∠BF2F1，∠ABF2=∠F2BF1，可得△BAF2∽△BF2F1，即有= = ，即为= = ，= =e＞1，可得AF2=e（BF2﹣BA）＞c+a，即有BF2＞BA，又BA＞2a，即BF2＞2a，BF2取最小值c﹣a时，BF2也要大于BA，可得2a＜c﹣a，即c＞3a，即有e= ＞3．当AF1与x轴重合，即有= ，e= ，可得e2﹣4e﹣1=0，解得e=2+ ，即有3＜e＜2+ ．故选：C．【分析】由三角形相似的判断可得△BAF2∽△BF2F1，即有= = ，运用双曲线的定义和最值的性质，结合离心率公式，即可得到所求范围．二、<b >填空题</b>13、【答案】【考点】定积分的简单应用【解析】【解答】解：x2dx= = ．故答案为：．【分析】由定积分的概念和性质知x2dx= ，由此能求出结果．14、【答案】【考点】椭圆的简单性质【解析】【解答】解：由题意，不妨设P在第一象限，双曲线C2：x2﹣y2=4可化为，∵|PF1|﹣|PF2|=4，则|PF1|=6，则c= =2 ，即c=2 ，由椭圆的定义可知：2a=|PF2|+|PF2|=8，∴a=4．∵椭圆C1：+ =1（a＞b＞0）与双曲线C2：x2﹣y2=4有相同的右焦点F2，∴椭圆C1的离心率为e= = ，故答案为：．【分析】将双曲线方程转化成标准方程，则|PF2|=2，|PF1|=6，根据椭圆的定义，即可求得a=4，c=2 ，即可求得椭圆C1的离心率．15、【答案】【考点】直线与平面所成的角【解析】【解答】解：设以顶点 A 为端点的三条棱长都相等为1，∵，且两两夹角为60°．= ，∵以顶点A 为端点的三条棱长都相等，且两两夹角为60，∴AC就是AC1在平面ABC内的投影，∴∠C1AC是线段AC1与平面ABC所成角，在△ACC1中，AC1= ，CC1=1，AC= ，由余弦定理得cos =则线段AC1与平面ABC所成角的正弦值为．故答案为：【分析】以顶点A 为端点的三条棱长都相等，且两两夹角为60，由AC就是AC1在平面ABC 内的投影，得∠C1AC是线段AC1与平面ABC所成角，求出AC1，利用余弦定理求解．16、【答案】【考点】函数的值，利用导数研究函数的单调性【解析】【解答】解：由题意，f（x）=0，可得m= ，∴m′= ，∴函数在（﹣∞，0），（1，+∞）上单调递减，在（0，1）上单调递增，∵存在唯一的正整数x0，使得f（x0）≥0，x=1时，m= ，x=2时，m= ，∴＜m≤ ，故答案为：；【分析】由题意，f（x）=0，可得m= ，确定函数的单调性，结合存在唯一的正整数x0，使得f（x0）≥0，x=1时，m= ，x=2时，m= ，即可得出结论三、<b >解答题</b>17、【答案】（1）证明：在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∵CC1⊥平面ABC，∴CC1⊥AC，又AC⊥BC，BC∩CC1=C，∴AC⊥平面BCC1B1∴AC⊥BC1（2）证明：设BC1与B1C的交点为O，连接OD，BCC1B1为平行四边形，则O为B1C中点，又D是AB的中点，∴OD是三角形ABC1的中位线，OD∥AC1，又∵AC1⊄平面B1CD，OD⊂平面B1CD，∴AC1∥平面B1CD【考点】空间中直线与直线之间的位置关系，直线与平面平行的判定【解析】【分析】（1）利用线面垂直的判定定理先证明AC⊥平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，即可证得AC⊥BC1；（2）取BC1与B1C的交点为O，连DO，则OD是三角形ABC1的中位线，OD∥AC1，而AC1⊂平面B1CD，利用线面平行的判定定理即可得证．18、【答案】解：（Ⅰ）由频率和等于1，所以b=1.00﹣（0.05+0.35+0.20+0.10）=0.30．a=100×0.35=35；（Ⅱ）因为第三、第四、第五组的学生数的比例是3：2：1，所以利用分层抽样从中选6人，第三、第四、第五组选取的学生人数分别是3人，2人，1人．设第三组选取的学生为1，2，3．第四组选取的学生为a，b．第五组选取的学生为c．则从6人中任意选出2人的所有方法种数是：（1，2），（1，3），（1，a），（1，b），（1，c），（2，3），（2，a），（2，b），（2，c），（3，a），（3，b），（3，c），（a，b），（a，c），（b，c）共15种．其中至少1人是第四组的方法种数是：（1，a），（1，b），（2，a），（2，b），（3，a），（3，b），（a，b），（a，c），（b，c）共9种．所以2人中至少有1人是第四组的概率是【考点】频率分布直方图【解析】【分析】（Ⅰ）直接利用频率和等于1求出b，用样本容量乘以频率求a的值；（Ⅱ）由分层抽样方法求出所抽取的6人中第三、第四、第五组的学生数，利用列举法写出从中任意抽取2人的所有方法种数，查出2人至少1人来自第四组的事件个数，然后利用古典概型的概率计算公式求解．19、【答案】（1）解：由已知f'（2）=1，解得a=﹣3．（2）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．（i）当a≥0时，f'（x）＞0，f（x）的单调递增区间为（0，+∞）；（ii）当a＜0时．当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下：由上表可知，函数f（x）的单调递减区间是；单调递增区间是．（3）由得，由已知函数g（x）为[1，2]上的单调减函数，则g'（x）≤0在[1，2]上恒成立，即在[1，2]上恒成立．即在[1，2]上恒成立．令，在[1，2]上，所以h（x）在[1，2]为减函数. ，所以【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】【分析】（Ⅰ）先对函数求导，然后由由已知f'（2）=1，可求a（II）先求函数f（x）的定义域为（0，+∞），要判断函数的单调区间，需要判断导数的正负，分类讨论：分（1）当a≥0时，（2）当a＜0时两种情况分别求解（II）由g（x）可求得g′（x），由已知函数g（x）为[1，2]上的单调减函数，可知g'（x）≤0在[1，2]上恒成立，即在[1，2]上恒成立，要求a的范围，只要求解，在[1，2]上的最小值即可20、【答案】证明：（Ⅰ）∵M，N分别是PB，PC中点∴MN是△ABC的中位线∴MN∥BC∥AD又∵AD⊂平面PAD，MN⊄平面PAD所以MN∥平面PAD．解：（Ⅱ）过点P作PO垂直于AB，交AB于点O，因为平面PAB⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD，如图建立空间直角坐标系，设AB=2，则A（﹣1，0，0），C（1，1，0），M（，0，），B（1，0，0），N（，，），则，设平面CAM法向量为，由，得，令x1=1，则，即平面ABM法向量所以，二面角B﹣AM﹣C的余弦值因为二面角B﹣AM﹣C是锐二面角，所以二面角B﹣AM﹣C等于45°（Ⅲ）存在点E，使得EN⊥平面AMN设E（1，λ，0），则，由可得，所以在BC存在点E，使得EN⊥平面AMN，此时．【考点】直线与平面平行的判定，二面角的平面角及求法【解析】【解答】（本小题满分14分）【分析】（Ⅰ）推导出MN∥BC∥AD，由此能证明MN∥平面PAD．（Ⅱ）过点P作PO垂直于AB，交AB于点O，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B﹣AM﹣C的大小．（Ⅲ）设E（1，λ，0），则，由此利用向量法能求出在BC存在点E，使得EN⊥平面AMN，此时．21、【答案】解：（Ⅰ）由点在椭圆上得，①又e= = ②，c2=a2﹣b2③由①②③得c2=3，a2=4，b2=1，故椭圆C的标准方程为．（Ⅱ）当直线l的斜率不存在，不合题意，可设直线l：y=kx﹣2，P（x1，y1），Q（x2，y2），将y=kx﹣2代入椭圆方程x2+4y2=4，可得（1+4k2）x2﹣16kx+12=0，由△=162k2﹣48（1+4k2）＞0，解得k＞或k＜﹣．x1+x2= ，x1x2= ，|PQ|= •|x1﹣x2|= • =4 • ，又O到直线PQ的距离d= ，则S△OPQ= d•|PQ|=4• ，设t= ，（t＞0），则4k2=3+t2，即有S△OPQ= =由t+ ≥2 =4，当且仅当t=2，即k=± 时等号成立，满足判别式大于0．则S△OPQ≤1．故△OPQ 面积的最大值为1【考点】椭圆的简单性质，椭圆的应用【解析】【分析】（Ⅰ）运用椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程，以及a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）当直线l的斜率不存在，不合题意，可设直线l：y=kx﹣2，P（x1，y1），Q（x2，y2），联立椭圆方程，消去y，得到x的方程，运用判别式大于0和韦达定理，以及弦长公式，点到直线的距离公式，由三角形的面积公式，运用换元法和基本不等式即可得到所求最大值．22、【答案】解：（Ⅰ），∴，由F′（x）＞0得，由F′（x）＜0，得∴F（x）在上单调递减，在上单调递增，∴，F（x）无极大值．（Ⅱ）∴又，易得G（x）在上单调递减，在[1，e）上单调递增，要使函数G（x）在内有两个零点，需，即，∴，∴，即a的取值范围是．（Ⅲ）若0＜a≤2，∵在（0，+∞）上满足h′（x）≤0，∴h（x）在（0，+∞）上单调递减，∴h（x2）﹣h（x1）＜0．∴h（x2）﹣h（x1）不存在最大值，则a＞2，∴方程x2﹣ax+1=0有两个不相等的正实数根，令其为m，n，且不妨设0＜m＜1＜n，则，h（x）在（0，m）上单调递减，在（m，n）上调递增，在（n，+∞）上单调递减，对∀x1∈（0，1），有h（x1）≥h（m）；对∀x2∈（1，+∞），有h（x2）≤h（n），∴[h（x2）﹣h（x1）]max=h（n）﹣h（m）．∴=．将，代入上式，消去a，m，得：，∵，∴，n＞1．据在x∈（1，+∞）上单调递增，得n∈（1，e]，设，x∈（1，e]，，x∈（1，e]，∴φ′（x）＞0，即φ（x）在（1，e]上单调递增，∴，∴M（a）存在最大值为【考点】利用导数研究函数的极值，利用导数求闭区间上函数的最值【解析】【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）求出函数的导数，根据函数的单调性得到关于a的不等式组，解出即可；（Ⅲ）求出函数的导数，得到方程x2﹣ax+1=0有两个不相等的正实数根，令其为m，n，根据函数的单调性判断即可．。
四川省成都市九校高二数学下学期期中联考试题理
12016～2017 学年度（下期）高 2015 级期中联考试卷理科数学考试时间共 120 分钟，满分 150 分试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）注意事项：1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、班级、准考证号用 0.5 毫米黑色 签字笔填写清楚，考生考试条码由监考老师粘贴在答题卡上的“条码粘贴处”。
2.选择题使用 2B 铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡 皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用 0.5 毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效。
3.考试结束后由监考老师将答题卡收回。
第Ⅰ卷 选择题（共 60 分）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中， 只有一个是符合题目要求的）→ → → → 1．三棱柱 ABC —A 1B 1C 1 中，若CA ＝a ，CB ＝b ，CC1＝c ，则A1B 等于()A ．a ＋b －cB ．a －b ＋cC ．－a ＋b ＋cD ．－a ＋b －c2．函数 f ( x ) sin x e x ，则 f '(0) 的值为( )第 1 题图A ．1B ．2C ．3D ．03. 已知 m ，n 表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是( )A ．若 m ∥α，n ∥α，则 m ∥nB ．若 m ⊥α，n ⊂α，则 m ⊥nC ．若 m ⊥α，m ⊥n ，则 n ∥αD ．若 m ∥α，m ⊥n ，则 n ⊥αx 4．函数 f ( x ) 的单调递减区间是()ln xA ．(0, e ) B ． (e ,)C． (0,1), (1, e )D. (, e )5．在棱长为 2 的正方体 ABCD A 1 B 1C 1 D 1 中，O 是底面 ABCD 的中心，E 、F 分别是CC 1 、AD 的中点，那么异面直线 OE 和 FD 1 所成的角的余弦值等于()A．15B．10C．4D．25 5 5323－π，π6．已知函数 f (x )＝x －sin x ，若 x 1，x 2∈2 2 ，且 f (x 1)＋f (x 2)>0，则下列不等式中正确的是()A ．x 1>x 2B ．x 1<x 2C ．x 1＋x 2>0D ．x 1＋x 2<07. 某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是 3， 则正视图中的 x 的值是()A ． 3B ． 92C ．3 D ．22第 7 题图8．若对任意的 x >0，恒有 ln x ≤px －1(p >0)，则 p 的取值范围是( )A ．(0,1]B ．(1，＋∞)C ．(0,1)D ．[1，＋∞)9．甲、乙两人约定在下午 4:30 5:00 间在某地相见，且他们在 4:30 5:00 之间 到达的时刻是等可能的，约好当其中一人先到后一定要等另一人 20 分钟，若另一人仍不到则可以离去，则这两人能相见的概率是()3 8A ．B ．4 97 11 C ．D ．161210．如图在一个 60的二面角的棱上有两个点 A ，B ，线段分别 AC 、BD 在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱 AB ，且 AB ＝AC ＝ a ，BD ＝ 2a ，则 CD 的长为 ( ) A ． 2a B ． C ． aD ． 11．已知函数 f ( x ) ax 3bx2cx db 1的取值范围是( )a 1A ． ( 3 , 1 )B ． (2 ,1) 2 2 5 C ． (1 ,3 )D．(3,1)2 2 2第11题图45xyx 2 y 212．已知 F 1 ， F 2 分别为双曲线C ：a2 b 21 的左、右焦点， 若存在过F 1 的直分别交 双曲线C 的左、右支于 A ， B 两点，使得 BAF 2BF 2 F1 ，则双曲线C 的离心率e 的 取值范围是()A ．3,B ． 1,25C.3,2 5D ． 1,3第Ⅱ卷 非选择题（共 90 分）二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13． 1 x 2dx = ． 0第 12 题图2 2 2 214．已知椭圆 C 1 : 2 2 ab1(a b 0) 与双曲线 C 2 : x y 4 有相同的右焦点F 2 ，点 P 是 C 1 和 C 2 的一个公共点，若PF 22 ，则椭圆 C 1 的离心率等于．15．四棱柱 ABCD －A1B1C1D1 中，底面为平行四边形，以顶点 A 为端点的三条棱长都 相等，且两两夹角为 60°.则线段 AC1 与平面ABC 所成角的正弦值为.me x 16．已知函数 f x 1 x2x1，若存在唯一的正整数 x 0 ，使得 f x 0 0 ，则实数 m 的取值范围为．三、解答题（本大题共 6 小题，第 17 题满分 10 分，18-22 每题满分 12 分，共 70 分； 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．如图，在直三棱柱 ABC A 1B 1C 1 中， ACBC ，点 D 是 AB 的中点，求证：（Ⅰ） ACBC 1 ；（Ⅱ） AC 1 // 平面 B 1CD ．1AC BDA618．某校举行汉字听写比赛，为了了解本次比赛成绩情况，从得分不低于50分的试卷中随机抽取100名学生的成绩(得分均为整数，满分100分)进行统计，请根据频率分布表中所提供的数据，解答下列问题：（Ⅰ）求a、b 的值；（Ⅱ）若从成绩较好的第3、4、5 组中按分层抽样的方法抽取6 人参加市汉字听写比赛，并从中选出2 人做种子选手，求2 人中至少有1 人是第4 组的概率．19．已知函数f(x)＝x2＋2a ln x.（Ⅰ）若函数f(x)的图象在(2，f(2))处的切线斜率为1，求实数a 的值；（Ⅱ）求函数f(x)的单调区间；2（Ⅲ）若函数g(x)＝＋f(x)在[1,2]上是减函数，求实数a 的取值范围．x782 2 2220．在四棱锥 P - ABCD 中，△ PAB 为正三角形，四边形 ABCD 为矩形，平面PAB 平面 ABCD ， AB =2 AD ， M ,N 分别为 PB ,PC 的中点.（Ⅰ）求证： MN //平面 PAD ；（Ⅱ）求二面角 B —AM —C 的大小；（Ⅲ）在 BC 上是否存在点 E ，使得 EN ⊥平面 AMN ？BE 若存在，求 BC的值；若不存在，请说明理由．21．已知椭圆 C : x y1 ab 0 经过点 P (1,) ，离心率 e3a b（Ⅰ）求椭圆 C 的标准方程；22 ．（Ⅱ）设过点E 0 , 2 的直线l 与C 相交于 P , Q 两点，求 OPQ 面积的最大值．22．已知f (x ) 1x2 ，g(x ) a ln x(a 0) .2（Ⅰ）求函数F(x)（Ⅱ）若函数G(x)取值范围；f (x)g(x) 的极值；f (x ) g(x ) (a 1)x 在区间(1, e) 内有两个零点，求的e（Ⅲ）函数h(x ) g xx1，设x (0,1) ，x (1,)，若h(x ) h(x )x 1 2 2 1存在最大值，记为M (a) ，则当a e 1时，M (a) 是否存在最大值？若存在，求出e其最大值；若不存在，请说明理由．9102016～2017学年度（下期）高2015级期中联考数学（理科）参考答案及评分建议一、 选择题：（每小题5分，共60分）1.D ；2.B ；3.B ；4.C ；5.A ；6.C ；7.A ；8.D ；9.B ； 10.A ； 11.D ； 12.C ； 二、 填空题（每小题5分，共20分）13.13；15 . 13； 16 . 273,e e ⎛⎤⎥⎝⎦；三、 解答题（共70分）17．证明：（1）在直三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，所以，1CC AC ⊥， 又AC BC ⊥，1BCCC C =，所以，AC ⊥平面11BCC B ，所以，1AC BC ⊥. ………..………（5分）（2）设1BC 与1BC 的交点为O ，连结OD ， 11BCC B 为平行四边形，所以O 为1BC 中点，又D 是AB 的中点，所以OD 是三角形1ABC 的中位线，1//OD AC ，又因为1AC ⊄平面1B CD ，OD ⊂平面1B CD ，所以1//AC 平面1B CD .………（10分）A 1C 1B 1ABCDO18．(1)a ＝100－5－30－20－10＝35，b ＝1－0.05－0.35－0.20－0.10＝0.30. ………（4分）(2)因为第3、4、5组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，每组分别为，第3组：660×30＝3人，第4组：660×20＝2人，第5组：660×10＝1人，所以第3、4、5组应分别抽取3人、2人、1人．……..………（6分）设第3组的3位同学为A 1、A 2、A 3，第4组的2位同学为B 1、B 2，第5组的1位同学为C 1，则从6位同学中抽2位同学有15种可能，如下：(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，C 1)，(A 2，A 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，C 1)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 3，C 1)，(B 1，B 2)，(B 1，C 1)，(B 2，C 1)．其中第4组被入选的有9种，所以其中第4组的2位同学至少有1位同学入选的概率为915＝35.……………（12分） 19. (1)f′(x)＝2x ＋2a x ＝2x 2＋2ax，由已知f′(2)＝1，解得a ＝－3. ……… 4分(2)函数f(x)的定义域为(0，＋∞). ……… 5分①当a≥0时，f′(x)＞0，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)； ……… 6分②当a ＜0时，f′(x)＝2(x ＋－a)x －－ax.当x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下：单调递增区间是(－a ，＋∞). ……… 8分(3)由g(x)＝2x ＋x 2＋2aln x ，得g′(x)＝－2x 2＋2x ＋2ax，由已知函数g(x)为[1,2]上的单调减函数， 则g′(x)≤0在[1,2]上恒成立， 即－2x 2＋2x ＋2ax≤0在[1,2]上恒成立．即a≤1x －x 2在[1,2]上恒成立. (10)分令h(x)＝1x－x 2，在[1,2]上h′(x)＝－1x 2－2x ＝－(1x 2＋2x)＜0，所以h(x)在[1,2]上为减函数，h(x)min ＝h(2)＝－72，所以a≤－72.故实数a 的取值范围为{a|a≤－72}. ……… 12分20. （Ⅰ）证明：∵M ，N 分别是PB ，PC 中点，则(2,1,0)AC =，3(,0,AM =法向量为(,n x y =，由10n AC n AM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩可得2,3z =-，即(1,2,n =-法向量(0,1,0)n =AM C -的余弦值1222n n n n ⋅=因为二面角B AM C --是锐二面角，所以二面角B AM C --等于45……………….8分 （Ⅲ）存在……………….9分设(1,,0)E λ，则11(,,222EN λ=--，由0EN AM EN MN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩可得12λ=， 所以在BC 存在点E ，使得EN ⊥平面AMN ， 此时12BE BC =.……………….12分 21.（Ⅰ）由点P 在椭圆上得，221314a b +=①c e a ==又所以② 由①②得2223,4,1c a b ===，故椭圆C 的标准方程为2214x y +=……………….5分112222:=2,(,),(,).214x y kx P x y Q x y x y kx y ιι⊥-=-+=（II ）当轴时不合题意，故设将代入得22(14)16120.k x kx +-+=221,2123=16(43)0,4k k x PQ x O PQ d OPQ ∆->>==-==∆当即时，从而又点到直线的距离所以的面积21=241OPQ S d PQ k ∆⋅=+ ......................9分244,0,.444....................4,22..0.1OPQ t t t S t t tt t k t OPQ ∆=>==+++≥==∆>∆则因为当且仅当，即的面积最大值为1分22.：（1）解：21()()()ln (0)2F x f x g x ax x x ==> ∴'11()ln (ln )22F x ax x ax ax x =+=+ ………1分由'()0F x >得12x e->，由'()0F x <，得120x e-<<∴()F x 在12(0,]e -上单调递减，在12[,)e -+∞上单调递增， ∴12min ()()4aF x F e e-==-，()F x 无极大值. ………3分 （2）解：21()ln (1)2G x x a x a x =-+-∴'()(1)()1a x a x G x x a x x+-=-+-= 又10,a x e e><<，易得()G x 在1(,1]e 上单调递减，在[1,)e 上单调递增，要使函数()G x 在1(,)e e内有两个零点，需1()0(1)0()0G e G G e ⎧>⎪⎪<⎨⎪>⎪⎩，即2211021102(1)02a a e e a e a e a -⎧++>⎪⎪⎪+-<⎨⎪⎪+-->⎪⎩，………5分∴22212212222e a e e a e e a e -⎧>⎪+⎪⎪<⎨⎪⎪->⎪-⎩，∴2211222e a e e -<<+，即的取值范围是2211(,)222e e e -+. ………7分 （3）若02a <≤，∵2'2(1)()x ax h x x--+=在(0,)+∞上满足'()0h x ≤， ∴()h x 在(0,)+∞上单调递减，∴21()()0h x h x -<. ∴21()()h x h x -不存在最大值. ………8分 则2a >.∴方程210x ax -+=有两个不相等的正实数根，令其为,m n ，且不妨设01m n <<<则1m n amn +=⎧⎨=⎩.()h x 在(0,)m 上单调递减，在(,)m n 上调递增，在(,)n +∞上单调递减，对1(0,1)x ∀∈，有1()()h x h m ≥；对2(1,)x ∀∈+∞，有2()()h x h n ≤， ∴21max [()()]()()h x h x h n h m -=-.∴11()()()(ln )(ln )M a h n h m a n n a m m n m=-=-+--+11ln()()n a m n m n m=+-+-. 将1a m n n n =+=+，1m n=代入上式，消去,a m 得 21111()()ln 2()2[()ln ()]M a n n n n n n n n n n=++-=++-∵12a e e <≤+，∴11n e n e+≤+，1n >. 据1y x x =+在(1,)x ∈+∞上单调递增，得(1,]n e ∈. 设11()2()ln 2()x x x x xxϕ=++-，(1,]x e ∈.'22211111()2(1)ln 2()2(1)2(1)ln x x x x x x x x x ϕ=-++++--=-，(1,]x e ∈. ∴'()0x ϕ>，即()x ϕ在(1,]e 上单调递增.∴max 114[()]()2()2()x e e e e e eϕϕ==++-=∴()M a 存在最大值为4e.………12分。
2016-2017学年四川省成都市高二6月联考数学(理)试题(解析版)12
高二6月联考数学（理）试题一、选择题1．设,a b 是两条不同的直线, ,αβ是两个不同的平面, ,a b αβ⊂⊥,则“//αβ”是“a b ⊥”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件 【答案】A【解析】若,,a b b a ββ⊥⊥∴ 或a β⊂ ，此时αβ 或α 与β 相交，即必要性不成立，若,,,,b b a a b αββαα⊥∴⊥⊂∴⊥ ，即充分性成立，故αβ 是a b ⊥ 的充分不必要条件，故选A.2．下面茎叶图表示的是甲、乙两只篮球队三场不同比赛的得分情况，其中有一个数字不清楚，在图中用m 来表示.若甲队的平均分不低于乙队平均分，则m 的可能取值的集合为（ ）A. {2，3}B. {0，1，2}C. {1，2}D. {2} 【答案】B【解析】由茎叶图知，甲的平均成绩为()1889293913⨯++= ；乙的平均成绩为()119091909033m m +⨯+++=+ ，又19190,23mm +≥+∴≤ ，又,m N m ∈∴ 的可能取值集合为{}0,1,2 ，故选B.3．某程序框图如图所示,执行该程序,若输入的a 值为1,则输出的a 值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 5 【答案】C【解析】模拟执行程序框图，可得1,1,2111,2a i a i ===⨯-== ，不满足条件3,2213,3i a i >=⨯-== ，不满足条件3,2333,4i a i >=⨯-== ，满足条件3i > ，退出循环，输出a 的值为3 ，故选C.【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.4．已知i 为虚数单位，复数1a i z i -=-（a R ∈），若01sin z x dx x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰，则a 为（ ）A. 1B. -1C. ±D. ±1 【答案】D【解析】001cos |x z sinx dx x ππππ⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰ ()()cos 1cos001π=-----= ,()()1111222a i i a i a a z i i -+-+-===+- , 2211122a a +-⎛⎫⎛⎫∴+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,解得1a =±，故选D.5．如图，正方形ABCD 中，E 为DC 的中点，若AD AC AE λμ=+，则λμ-的值为EA BCDA ．3B ．2C ．1D ．3- 【答案】D【解析】试题分析：因为E 是DC 的中点，所以1()2AE AC AD =+，∴2AD AC AE =-+ ，∴1,2λμ=-=，123λμ-=--=-．【考点】平面向量的几何运算6．一个六面体的三视图如图所示,其侧视图是边长为2的正方形,则该六面体的表面积是（ ）A. 18+B. 16+C. 14+D. 12+【答案】B【解析】由三视图知，几何体为四棱柱，根据左视图是边长为2 的正方形可得四棱柱的高为2，底面四边形为直角梯形的高也为2，又底面直角梯形的两底边长分别为1,2，所以几何体的表面积(122212226102S +=⨯⨯+++⨯=++16=+，故选B. 【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响. 7．若,x y 满足20,{40,0,x y x y y -+≥+-≤≥则2z y x =+的最大值为（ ）A. 8B. 4C. 2D. 1 【答案】A【解析】由约束条件20{400x y x y y -+≥+-≤≥ 作出可行域如图，令2t y x =+ ，化为2y x t =-+ ，由图可知，当直线2y x t =-+过()4,0点 时，t 有最小值为8 ， 2z y x ∴=+ 的最大值为8 ，故选A.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.8．在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且,2,a b c 成等差数列,则cos B 的最小值为（ ） A. 14 B. 13 C. 12 D. 78【答案】D【解析】,2,a b c成等比数列，22222211744,cos 122288aca cb ac b ac B ac ac ac +-+∴=∴==-≥-= ，当且仅当a c =时，取等号， cos B ∴ 的最小值为78 ，故选D.9．等差数列{}n a 中的32017,a a 分别是函数()32641f x x x x =--＋的两个不同极值点，则110104log a 为（ ）A.12 B. 2 C. -2 D. -12 【答案】D【解析】()232017'3124,,f x x x a a =-+ 是函数()32641f x x x x =-+- 的极值点， 32017,a a ∴ 是方程231240x x -+= 的两个实数根，则320174a a += ，而{}n a 为等差数列， 3201710102a a a ∴+= ，即20102a = ，从而120101441log log 22a==- ，故选D. 10．已知函数()()2cos 1(0,0,0)2f x A x A πωϕωϕ=>><<＋＋的最大值为3，()f x 的图像与y 轴的交点坐标为（0，2），其相邻两条对称轴间的距离为2，则()()()()1232017f f f f +++ ＋的值为（ ） A. 4030 B. 4032 C. 4033 D. 4035【答案】C 【解析】()()()21cos 22cos 1?1(0,0,0)22x f x A x A A ωϕπωϕωϕ++=++=+>><< 的最大值为3 ， 1322A A∴++= ，可求2A = ，因为函数图象相邻两条对称轴间的距离为2 ，可得函数的最小正周期为4 ，即242πω= ，所以解得4πω= ，又()f x 的图象与y 轴的交点坐标为()0,2 ，可得()c o s 2112,c o s 20,22πϕϕϕ++=∴== ，解得4πϕ= ，所以函数的解析式为()cos 22222f x x sin x πππ⎛⎫=++=-+ ⎪⎝⎭ ，()()()23201712...2017...220172222f f f sin sin sin sinππππ⎛⎫∴+++=-+++++⨯ ⎪⎝⎭20175040sin403440332π=⨯++= ，故选C. 11．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左,右焦点分别为12,F F ,若双曲线上存在点P ,使1221sin PF F aSIN PF F c∠=∠,则该双曲线的离心率e 范围为（ ）A. （1,1 B. （1,1 C. （1,1 D. （1,1 【答案】A【解析】由题意，点P 不是双曲线的顶点，否则1221a csin PF F sin PF F =∠∠ 无意义，在12PF F ∆ 中，由正弦定理得122112PF PF sin PF F sin PF F =∠∠，又112212,PF a cc sin PF F sin PF F PF a==∠∠ ，即12·c PF PF a = ， P 在双曲线的右支上，由双曲线的定义，得12222,?2cP F P F a P F P Fa a-=∴-= ，即222a PF c a =- ，由双曲线的几何性质，知222,a PF c ac a c a >-∴>-- ，即2220c ac a --< ， 2210e e ∴--<，解得11e <+ ，又1e > ，所以双曲线离心率的范围是()1,1 ，故选A.【方法点晴】本题主要考查正弦定理以及利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率范围，属于难题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率问题应先将 e 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于e 的不等式，从而求出e 的范围.焦半径构造出关于e 的不等式，最后解出e 的范围.12．已知函数()f x 满足()1f x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，当[]()1,3,x f x l nx ∈=，若在区间1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦内，曲线()()g x f x ax =-与x 轴有三个不同的交点，则实数a 的取值范围为（ ）A. （0，1e ） B. （0， 12e） C. ln31,3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D. ln31,32e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C【解析】设1,13x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则[]11,3x ∈ 时，又()11ln ln f x f x x x ⎛⎫⎛⎫===- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，所以函数()f x 的图象如图所示，当0a ≤ 时，显然，不合乎题意，当0a > 时，如图示，当1,13x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦ 时，存在一个零点，当13x << 时， ()ln f x x = ，可得()(]()()11ln 1,3,'ax g x x ax x g x a x x-=-∈=-= ，若()'0g x < ，可得()1,x g x a > 为减函数，若()'0g x > ，可得()1,x g x a< 为增函数，此时()f x 必须在[]1,3有两个零点， ()()10{3010g a g g ⎛⎫> ⎪⎝⎭∴≤≤ ，解得ln313a e≤< ，故选C.二、填空题13．函数()()2log 23(0,1)a f x x x a a =-->≠的定义域为__________． 【答案】{ 3x x 或1x <-}【解析】 由()()2230130x x x x -->⇒+-> ，即3x >或1x <-，函数()()2l o g 23(0,1)af x x x a a =-->≠的定义域为{ 3x x 或1x <-}，故答案为{ 3x x 或1x <-}.14．已知向量()()1,cos ,sin ,2m n θθ==-,且m n ⊥ ,则2sin26cos θθ+的值为__________． 【答案】2【解析】由题意可得向量， ()()1,cos ,,2m n sin θθ==-，且m n ⊥ ，即tan 2θ= ，所以222222c o s 6c o s2t a26c o s s i n c o s t ans i n s i n θθθθθθθθθ+++==++226241⨯+==+ ，故答案为2 . 15．已知直线y ax =与圆C :222220x y ax y +--+=相交于,A B 两点,且ABC ∆为等边三角形,则圆C 的面积为__________． 【答案】6π【解析】圆C 222220x y ax y +--+= ，化为()()22211x a y a -+-=- ，圆心(),1C a，半径R = ，因为直线y ax = 和圆C 相交， ABC ∆ 为等边三角形，所以圆心C 到直线0ax y -=的距离为60Rsin =，即d ==，解得27a = ，所以圆C 的面积为()2716R πππ=-= ，故答案为6π . 16．已知函数()()()220,{1(0),x x x f x ln x x -+≤=+>若()f x ax ≥恒成立，则a 取值范围为__________． 【答案】[-2，0]【解析】由题意可作出函数()y f x =图象，和函数y ax = 的图象，由图象可知：函数y ax =的图象为过原点的直线，直线l 为曲线的切线，当直线介于l 和x 轴之间符合题意，且此时函数()y f x =在第二象限的部分解析式为22y x x =- ，求其导数可得'22y x =- ，因为0x = ，故'2y =- ，故直线l 的斜率为2- ，故只需直线y ax =的斜率a 介于2-与0 之间即可，即[]2,0a ∈- ，故答案为[]2,0- .【方法点睛】本题主要考查分段函数的图象与性质以及导数的几何意义，属于难题.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．三、解答题17．已知等比数列{}n a 满足()13541,414a a a a ==-.（1）求n a ；（2）若{}n b 满足()2=log 16n n b a ⋅,求证11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和12n S <.【答案】（1）32n n a -=;（2）见解析. 【解析】试题分析：（1）求出114a =， 2q =，利用等比数列的通项公式可得n a ；（2）利用对数的运算性质可得n b ，利用“裂项相消法”求和，根据放缩法可得结论.试题解析：（1）因为等比数列()2354441a a a a ==-解得42a =又因为114a =， 3134118,2,224n n n a q q a a --====⨯=. （2）()122log 16log 21n n n b a n +===+，()()111111212n n b b n n n n +==-++++. 1111111111123344512222n S n n n =-+-+-⋯⋯-=-<+++. 【方法点晴】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，掌握一些常见的裂项技巧：①()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭1k=；③()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭；④()()()()()1111122112n n n n n n n ⎡⎤=-⎢⎥+++++⎢⎥⎣⎦；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误. 18．某市司法部门为了宣传《宪法》举办法律知识问答活动，随机对该市18~68岁的人群抽取一个容量为n 的样本，并将样本数据分成五组：[18，28），[28，38），[38，48），[48，58），[58，68），再将其按从左到右的顺序分别编号为第1组，第2组，……，第5组，绘制了样本的频率分布直方图:并对回答问题情况进行统计后，结果如下表所示.（1）分别求出,,n a x 的值；（2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样方法抽取6人，则第2，3，4组每组应各抽取多少人？（3）在（2）的前提下，决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求：所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率．【答案】（1）100n =, 0.9a =, 9x =;（2）2人，3人，1人;（3）35．【解析】试题分析：（1）由回答正确的人数/每组的人数=回答正确的人数占本组的比例，分别可求得要求的值；（2）由分层抽样按比例抽取的特点可得各组的人数；（3）记抽取6 人中，第二组的记为12,a a ，第三组的记为123,,b b b ，第四组的记为c ，列举可得从6名学生中任取2 名的所有可能的情况，以及其中第二组的至少有1 人的情况种数，由古典概型可得概率. 试题解析：（1）第1组人数50.510÷=，所以100.1100n =÷=第2组频率为：0.2，人数为： 1000.220⨯=，所以18200.9a =÷= 第4组人数1000.2525⨯=，所以250.369x =⨯=，（2）第2，3，4组回答正确的人的比为18:27:9=2:3:1，所以第2，3，4组每组应各依次抽取2人，3人，1人.（3）记“所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖”为事件A ，抽取的6人中，第2组的设为12,a a ，第3组的设为123,,b b b ，第4组的设为c ，则从6名幸运者中任取2名的所有可能的情况有15种，它们是:()()()()()121112131,,,,,,,,,a a a b a b a b a c ，()()()()2122232,,,,,,,a b a b a b a c ，()()()12131,,,,,b b b b b c ， ()()()2323,,,,,b b b c b c .其中第2组至少有1人的情况有9种，他们是:()()()()()()()()()1211121312122232,,,,,,,,,,,,,,,,,a a a b a b a b a c a b a b a b a c .∴()93155P A ==． 【方法点睛】本题主要考查古典概型概率公式，以及分层抽样的应用，属于难题，利用古典概型概率公式,求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先()11,A B ， ()12,AB …. ()1,n A B ，再()21,A B ，()22,A B ….. ()2,n A B 依次()()3132,,A B A B ….()3,n A B … 这样才能避免多写、漏写现象的发生.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面PCD ⊥平面ABCD ， 1BC =， 2AB =， PC PD == E 为PA 中点．（Ⅰ）求证： //PC 平面BED ；（Ⅱ）求二面角A PC D --的余弦值；（Ⅲ）在棱PC 上是否存在点M ，使得BM AC ⊥？若存在，求PMPC的值；若不存在，说明理由．【答案】（I ）详见解析；（II ；（III ）12PM PC =. 【解析】试题分析：(1)利用题意证得//EF PC ，然后由线面平行的判断定理可得//PC 平面BED .(2)建立空间直角坐标系，利用平面向量的法向量可得二面角A PC B --的余. (3)探索性问题，利用空间向量的结论可得在棱PC 上存在点M ，使得BM AC ⊥，此时12PM PC λ==． 试题解析：（Ⅰ）证明：设AC 与BD 的交点为F ，连接EF . 因为ABCD 为矩形，所以F 为AC 的中点， 在PAC ∆中，由已知E 为PA 中点， 所以//EF PC ，又EF ⊂平面BED ， PC ⊄平面BED ， 所以//PC 平面BED .（Ⅱ）解：取CD 中点O ，连接PO .因为PCD ∆是等腰三角形， O 为CD 的中点， 所以PO CD ⊥，又因为平面PCD ⊥平面ABCD ， 因为PO ⊂平面PCD ， PO CD ⊥， 所以PO ⊥平面ABCD ． 取AB 中点G ，连接OG ，由题设知四边形ABCD 为矩形， 所以OF CD ⊥， 所以PO OG ⊥．如图建立空间直角坐标系O xyz -，则()1,1,0A -， ()0,1,0C ， ()0,0,1P ，()0,1,0D -， ()1,1,0B ， ()0,0,0O ， ()1,0,0G .()1,2,0AC =-， ()0,1,1PC =-.设平面PAC 的法向量为(),,n x y z =，则0,{0,n AC n PC ⋅=⋅=即20,{0.x y y z -=-= 令1z =，则1y =， 2x =，所以()2,1,1n =. 平面PCD 的法向量为()1,0,0OG =， 设n ， OG 的夹角为α，所以cos α=.由图可知二面角A PC D --为锐角， 所以二面角A PC B --的余弦值为3. （Ⅲ）设M 是棱PC 上一点，则存在[]0,1λ∈使得PM PC λ=．因此点()0,,1M λλ-， ()1,1,1BM λλ=--- ， ()1,2,0AC =-．由0BM AC ⋅= ，即12λ=．因为[]10,12λ=∈，所以在棱PC 上存在点M ，使得BM AC ⊥，此时12PM PC λ==．20．已知椭圆E ： 22221(0)x y a b a b +=>>的离心率是2,过E 的右焦点且垂直于椭圆的长轴的直线交椭圆于,A B 两点,且2AB =. （1）求椭圆方程,（2）过点(P 的动直线l 与椭圆E 交于不是顶点的两点,M N ,试判断·7?OM ON PM PN -是否为定值,若是,求出定值,若不是请说明理由·【答案】（1）22142x y +=;（2）-9. 【解析】试题分析：（1）过E 的右焦点且垂直于椭圆长轴的直线与椭圆交于,A B 两点，得222b AB a == ①，由离心率是2，得2222212c a b a a -==②，由①②得,,a b c 即可得结果；（2）设()()1?122,,,M x y N x y .直线l 的方程为：y kx =，联立2224y kx x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩整理得()221220k x +++=， ()()228120k ∆=-+>，1212222,1212x x x x k k -+==++， 122212x x k =+ ，进行向量运算即可得结果. 试题解析：（1）∵过E 的右焦点且垂直于椭圆长轴的直线与椭圆交于,A B 两点，∴222b AB a==…①2222212c a b a a -==…②由①②得2,a b c === 22142x y +=. （2）当斜率不存在时，不合题意设()()1?122,,,M x y N x y .直线l 的方程为： y kx =，联立2224y kx x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩整理得()221220k x +++=， ()()228120k ∆=-+>，12122212x x x x k+==+， ()()1?122,,,,OM x y ON x y ==((1?122,,,PM x y PN x y =-= ，)12121276621OM ON PM PN x x y y y y ⋅-⋅=--++-()226623912k k --⨯=+=-+ 综上7OM ON PM PN ⋅-⋅是定值-9. 21．已知函数. （1）讨论函数在上的单调性；（2）若与的图象有且仅有一条公切线，试求实数的值.【答案】（1）当时，的单减区间是；当时，的单减区间是，单增区间是（2）1【解析】试题分析：（1）通过求导和对参数m 进行讨论求解函数的单调性；（2）利用转化思想，要保证与的图象有且仅有一条公切线，需要分别求解两个函数的切线方程，借助直线相同建立等量斜率相等和截距相等的关系，化简方程组，确定含有参数b和m的方程有唯一解，进而明确含有m的函数关系式，利用导数为工具求解函数的单调性进而确定m的值.（Ⅰ）当时，，函数在上单调递减；当时，令，函数在上单调递减；，函数在上单调递增，综上所述，当时，的单减区间是；当时，的单减区间是，单增区间是（Ⅱ）函数在点处的切线方程为，即，函数在点处的切线方程为，即.与的图象有且仅有一条公切线.所以有唯一一对满足这个方程组，且.由（1）得：代入（2）消去，整理得：，关于的方程有唯一解.令，方程组有解时，，所以在单调递减，在单调递增， 所以， 因为，只需，令、在为单减函数，且时，，即， 所以时，关于的方程有唯一解此时，公切线方程为.22．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为： 1,{2,x tcos y tsin αα=+=+（t 为参数，0a π≤<），以O 为极点， x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程6sin ρθ=.（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）若点()1,2P ，设曲线C 与直线l 交于点,A B ，求11PA PB+最小值.【答案】（1）()2239x y +-=;（2 【解析】试题分析：（1）曲线C 的极坐标方程6sin ρθ=，两边同乘以ρ ，利用222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==，可得结果；（2）直线参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，利用韦达定理、直线参数的几何意义及三角函数的有界性，求11PA PB+最小值. 试题解析：（1）由6sin ρθ=得26sin ρρθ=化为直角坐标方程为226x y y +=，即()2239x y +-=.（2）将直线l 的参数方程代入圆的直角坐标方程，得()22c o s s i n 7t t αα+--=， 因为()24cos sin 470αα∆=-+⨯>故可设12,t t 是方程的两根，所以()121227t t cos sin t t αα⎧+=--⎨=-⎩.又直线l 过点()1,2P ，结合t 的几何意义得：1212PA PB t t t t +=+=-==≥=.∴11PA PB PA PB PA PB ++==≥⋅。
成都市九校联考2016-2017学年高一下学期期中数学试卷(理科) 含解析
2016—2017学年四川省成都市九校联考高一（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共有12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中,有且只有一项是符合题目要求的．1．数列1,﹣4，9,﹣16，25…的一个通项公式为（）A．a n=n2B．a n=（﹣1）n n2C．a n=(﹣1）n+1n2D．a n=(﹣1）n （n+1）22．计算2sin275°﹣1的值等于（）A．B．C．D．3．已知实数列﹣1，x，y，z，﹣2成等比数列，则xyz等于（）A．﹣4 B．±4 C．﹣2D．±24．等于（）A．﹣1 B．1 C．D．﹣5．如图,D,C，B三点在地面同一直线上,从地面上C，D两点望山顶A，测得它们的仰角分别为45°和30°，已知CD=200米，点C位于BD上,则山高AB等于（）A．100米B．50（+1)米 C．米D．200米6．若α，β为锐角，且满足cosα=，cos（α+β）=,则sinβ的值为（）A．﹣B．C．D．7．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题：把100个面包分给5个人,使每个人的所得成等差数列,且使较大的三份之和的是较小的两份之和,则最小一份的量为（）A．B． C． D．8．在△ABC中，cos2=，（a，b，c分别为角A，B，C的对边），则△ABC的形状为（）A．正三角形 B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形9．已知△ABC中，∠A=30°,2AB，BC分别是、的等差中项与等比中项，则△ABC的面积等于（)A．B．C．或 D．或10．若，且，则cos2α的值为（）A．B．C．D．11．设等差数列{a n}满足=1,公差d∈（﹣1,0），当且仅当n=9时，数列｛a n}的前n项和S n取得最大值，求该数列首项a1的取值范围（）A．（，）B．[,］ C．（，）D．［，］12．在锐角三角形△ABC中，a，b，c分别是角A，B,C的对边，（a+b+c)（a+c﹣b)=，则cosA+sinC的取值范围为( ）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知函数f（x）=sinx+cosx，则f（x）的最大值为．14．等差数列{a n}的前n项和为S n，若S2=2，S4=8,则S6等于．15．已知△ABC内角A，B，C的对边分别是a，b,c，若,sinC=2sinA，则△ABC的面积为．16．已知数列满足：a1=1,a n+1=，（n∈N＊）,若b n+1=（n﹣λ）（+1)，b1=﹣λ,且数列{b n}是单调递增数列，则实数λ的取值范围为．三、解答题:本大题共6小题，共70分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分)已知公差不为零的等差数列{a n｝中,a1=1,且a1，a3，a9成等比数列．(1）求数列｛a n}的通项公式；（2）设b n=2+n，求数列S n的前S n项和S n．18．（12分）(1）设α,β为锐角，且，求α+β的值；（2）化简求值：．19．（12分）已知函数（1）求函数f(x)的最小正周期和函数的单调递增区间；（2）已知△ABC中，角A，B,C的对边分别为a，b，c，若，求AB．20．（12分)已知数列｛a n}前n项和(1）求数列{a n｝的通项公式；（2)若,求数列{b n}的前n项和T n．21．（12分)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosA•cosC﹣cos（A+C)=sin2B．（Ⅰ)证明：a，b，c成等比数列；(Ⅱ)若角B的平分线BD交AC于点D,且b=6，S△BAD=2S△BCD，求BD．22．（12分）已知数列｛a n｝的前n项和为S n,a1=1，且(n+1）a n=2S n （n∈N＊），数列{b n}满足，，对任意n∈N＊，都有．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）令T n=a1b1+a2b2+…+a n b n．若对任意的n∈N＊，不等式λnT n+2b n S n＜2（λn+3b n）恒成立，试求实数λ的取值范围．2016—2017学年四川省成都市九校联考高一（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题:本大题共有12小题,每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1．数列1，﹣4，9，﹣16,25…的一个通项公式为（）A．a n=n2B．a n=（﹣1)n n2 C．a n=（﹣1)n+1n2D．a n=(﹣1）n（n+1)2【考点】81：数列的概念及简单表示法．【分析】观察分析可得通项公式．【解答】解:经观察分析数列的一个通项公式为：a n=（﹣1）n n2，故选：C．【点评】本题考查数列的通项公式的写法，属于基础题．2．计算2sin275°﹣1的值等于（）A．B．C．D．【考点】GT：二倍角的余弦．【分析】利用二倍角的余弦公式，求得要求式子的值．【解答】解:2sin275°﹣1=﹣（1﹣2sin275° )=﹣cos150°=cos30°=，故选：D．【点评】本题主要考查二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．3．已知实数列﹣1，x,y,z，﹣2成等比数列，则xyz等于（）A．﹣4 B．±4 C．﹣2D．±2【考点】8G：等比数列的性质．【分析】根据等比数列的性质得到xz的乘积等于y的平方等于(﹣1）×（﹣2），开方即可求出y的值，然后利用zx的积与y的值求出xyz即可．【解答】解：∵xz=（﹣1）×（﹣2）=2，y2=2,∴y=﹣（正不合题意），∴xyz=﹣2．故选C．【点评】此题考查学生灵活运用等比数列的性质化简求值，是一道中档题．4．等于（）A．﹣1 B．1 C．D．﹣【考点】GI:三角函数的化简求值．【分析】根据正切的和与差的公式求解即可．【解答】解：由tan45°=tan（17°+28°）=，∴=．故选B【点评】本题考查了正切的和与差的公式的运用．属于基础题．5．如图，D，C，B三点在地面同一直线上,从地面上C，D两点望山顶A，测得它们的仰角分别为45°和30°,已知CD=200米,点C位于BD上，则山高AB等于（）A．100米B．50（+1）米C．米D．200米【考点】HU：解三角形的实际应用．【分析】直角△ABC与直角△ABD有公共边AB，若设AB=x，则在直角△ABC与直角△ABD就满足解直角三角形的条件，可以用x 表示出BC与BD的长，根据BD﹣BC=CD，即可列方程求解．【解答】解:设AB=x米,在直角△ACB中，∠ACB=45°,∴BC=AB=x米．在直角△ABD中,∠D=30°，BD=x，∵BD﹣BC=CD，∴x﹣x=200，解得：x=100（+1）．故选C．【点评】本题主要考查了解直角三角形的方法，解决的关键是注意到两个直角三角形有公共的边，利用公共边表示其它的量，从而把问题转化为方程问题．6．若α，β为锐角，且满足cosα=，cos(α+β）=,则sinβ的值为（）A．﹣B．C．D．【考点】GQ：两角和与差的正弦函数．【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得sinα、sin(α+β)的值，再利用两角和差的正弦公式求得sinβ=sin[（α+β）﹣α]的值．【解答】解:∵α，β为锐角，且满足cosα=,cos（α+β)=,∴sinα=，sin（α+β）=，∴sinβ=sin［（α+β)﹣α]=sin（α+β）cosα﹣cos(α+β）sinα=﹣=，故选:B【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和差的正弦公式的应用,属于中档题．7．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题:把100个面包分给5个人，使每个人的所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小一份的量为（）A．B． C． D．【考点】84：等差数列的通项公式．【分析】易得中间的那份为20个面包,设最小的一份为a1，公差为d,由题意可得a1和d的方程,解方程可得．【解答】解:由题意可得中间的那份为20个面包，设最小的一份为a1，公差为d，由题意可得[20+（a1+3d）+(a1+4d）]×=a1+（a1+d），解得a1=，故选:C．【点评】本题考查等差数列的通项公式，属基础题．8．在△ABC中，cos2=,（a，b，c分别为角A，B，C的对边），则△ABC的形状为( )A．正三角形 B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形【考点】HX：解三角形．【分析】利用二倍角公式代入cos2=求得cosB=，进而利用余弦定理化简整理求得a2+b2=c2，根据勾股定理判断出三角形为直角三角形．【解答】解：∵cos2=，∴=，∴cosB=，∴=,∴a2+c2﹣b2=2a2，即a2+b2=c2,∴△ABC为直角三角形．故选B【点评】本题主要考查了三角形的形状判断．考查了学生对余弦定理即变形公式的灵活利用．9．已知△ABC中，∠A=30°,2AB,BC分别是、的等差中项与等比中项,则△ABC的面积等于( ）A．B．C．或 D．或【考点】88:等比数列的通项公式．【分析】由等差中项与等比中项的定义求出AB=，BC=1，由余弦定理得AC=1或AC=2，由此能求出△ABC的面积．【解答】解:△ABC中,∠A=30°，2AB，BC分别是、的等差中项与等比中项，∴，解得AB=，BC=1,∴由余弦定理得:,解得AC=1或AC=2,当AC=1时,△ABC的面积S===．当AC=2时，△ABC的面积S===．故选：D．【点评】本题考查三角形面积的求法，是基础题，解题时要认真审题,注意等比中项、等差中项、余弦定理的合理运用．10．若,且,则cos2α的值为（) A．B．C．D．【考点】GI：三角函数的化简求值．【分析】利用二倍角公式及正弦函数两角差公式得到cosα+sinα=，从而求出sin2α=﹣,由此能求出cos2α．【解答】解：∵，且，∴3(cos2α﹣sin2α）=sin cosα﹣cos sinα，即3（cosα﹣sinα）(cosα+sinα)=（cosα﹣sinα），∴cosα+sinα=，∴1+sin2α=，∴sin2α=﹣，∵,∴cos2α=﹣=﹣．故选：A．【点评】本题考查三角函数的余弦值的求法，考查二倍角公式、正弦函数两角差公式、同角三角函数关系式，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想,是中档题．11．设等差数列{a n}满足=1，公差d∈（﹣1，0），当且仅当n=9时，数列｛a n}的前n项和S n取得最大值，求该数列首项a1的取值范围( ）A．（，) B．［，] C．(，）D．［，］【考点】8N：数列与三角函数的综合．【分析】由已知条件推导出sin（a3﹣a6）=1，或sin（a3+a6）=0,由仅当n=9时，数列{a n}的前n项和S n取得最大值，推导出．由此能求出该数列首项a1的取值范围．【解答】解：∵等差数列{a n}满足=1,∴（sina3cosa6﹣sina6cosa3）（sina3cosa6+sina6cosa3）=sin（a3+a6）=(sina3cosa6+sina6cosa3），∴sina3cosa6﹣sina6cosa3=1，即sin(a3﹣a6）=1,或sin（a3+a6）=0（舍）当sin(a3﹣a6）=1时,∵a3﹣a6=﹣3d∈（0，3），a3﹣a6=2kπ+，k∈Z，∴﹣3d=，d=﹣．∵=+（a1﹣）n，且仅当n=9时，数列{a n｝的前n项和S n取得最大值,∴﹣=9，化为．∴=．故选：C．【点评】本题综合考查了等差数列的通项公式及其性质、三角函数的平方关系和倍角公式、特殊角的三角函数等基础知识与基本技能方法，属于难题．12．在锐角三角形△ABC中，a，b,c分别是角A，B,C的对边，（a+b+c）（a+c﹣b）=,则cosA+sinC的取值范围为( ）A．B．C．D．【考点】HR：余弦定理．【分析】由已知利用余弦定理可求cosB，结合B是锐角,可求B，进而可得,利用三角函数恒等变换的应用化简可求cosA+sinC=，由已知可求范围，利用正弦函数的图象和性质即可计算得解．【解答】（本题满分为12分)解:由：(a+b+c）（a+c﹣b)=，可得：，根据余弦定理得：，∵B是锐角,∴．∴，即，=，又△ABC是锐角三角形，∴,即，∴，∴,∴．故选：B．【点评】本题主要考查了余弦定理,三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想,属于中档题．二、填空题:本大题共4小题，每小题5分．13．已知函数f（x)=sinx+cosx，则f(x）的最大值为 2 ．【考点】GQ：两角和与差的正弦函数．【分析】由条件利用两角和的正弦公式，正弦函数的值域，求得函数的最大值．【解答】解：∵函数=2sin（x+），∴f（x）的最大值为2,故答案为：2．【点评】本题主要考查两角和的正弦公式,正弦函数的值域，属于基础题．14．等差数列｛a n}的前n项和为S n,若S2=2，S4=8，则S6等于18 ．【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】由等差数列｛a n｝的前n项和性质可得:S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等差数列．即可得出．【解答】解：由等差数列{a n｝的前n项和性质可得：S2，S4﹣S2,S6﹣S4成等差数列．∴2×6=2+S6﹣8，解得S6=18．故答案为：18．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．已知△ABC内角A，B，C的对边分别是a，b，c,若，sinC=2sinA,则△ABC的面积为．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】由题意和正余弦定理可得a，c的值，由同角三角函数的基本关系可得sinB,代入三角形的面积公式计算可得．【解答】解：在△ABC中由正弦定理可知：===2R，由sinC=2sinA，则c=2a,cosB=，sinB==，由余弦定理可知:b2=a2+c2﹣2accosB,即22=a2+(2a）2﹣2a•2a×，解得a=1，c=2,△ABC的面积S=acsinB=，故答案为：．【点评】本题考查三角形的面积,涉及正余弦定理的应用，属基础题．16．已知数列满足：a1=1,a n+1=，（n∈N＊），若b n+1=(n﹣λ）(+1），b1=﹣λ，且数列｛b n}是单调递增数列,则实数λ的取值范围为λ＜2 ．【考点】8H：数列递推式；82：数列的函数特性．【分析】数列{a n｝满足：a1=1，a n+1=，（n∈N＊），两边取倒数可得，化为，利用等比数列的通项公式可得,于是b n+1=（n﹣λ）(+1）=（n﹣λ）•2n，由于b1=﹣λ，且数列｛b n｝是单调递增数列,可得b n+1＞b n，解出即可．【解答】解：∵数列{a n｝满足：a1=1,a n+1=，（n∈N*)，∴，化为，∴数列是等比数列，首项为+1=2，公比为2,∴，∴b n+1=（n﹣λ）（+1）=（n﹣λ）•2n，∵b1=﹣λ,且数列｛b n}是单调递增数列,∴b n+1＞b n，∴（n﹣λ)•2n＞（n﹣1﹣λ）•2n﹣1,化为λ＜n+1，∵数列{n+1}为单调递增数列，∴λ＜2．∴实数λ的取值范围为λ＜2．故答案为:λ＜2．【点评】本题考查了变形利用等比数列的通项公式的方法、单调递增数列，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题,共70分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分）（2017春•成都期中）已知公差不为零的等差数列｛a n}中，a1=1，且a1,a3，a9成等比数列．(1)求数列｛a n}的通项公式；(2）设b n=2+n，求数列S n的前S n项和S n．【考点】8E：数列的求和；84：等差数列的通项公式．【分析】（1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．(2）利用等差数列与等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：（1）设数列{a n｝公差为d，∵a1，a3，a9成等比数列,∴,∴(1+2d）2=1×（1+8d）．∴d=0（舍）或d=1，∴a n=n．（2）令S n=b1+b2+b3+…+b n=（21+1）+（22+1）+(23+1）+…+（2n+1）=（21+22+…+2n)+（1+2+3+…+n)==,．【点评】本题考査了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（12分）（2017春•成都期中）(1）设α，β为锐角，且，求α+β的值;（2)化简求值:．【考点】GI：三角函数的化简求值．【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系、两角和差的余弦公式求得cos(α+β）的值，结合α+β的范围，可得α+β的值．（2）利用同角三角函数的基本关系、两角和差的三角公式、诱导公式，求得所给式子的值．【解答】解：(1）∵α为锐角，，∴;∵β为锐角，，∴,∴cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ=，∵α+β∈（0，π），∴α+β=．(2)==sin50°•==1．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和差的余弦公式、诱导公式的应用，属于基础题．19．(12分）（2017春•成都期中）已知函数(1）求函数f(x）的最小正周期和函数的单调递增区间；（2）已知△ABC中,角A,B，C的对边分别为a，b，c，若，求AB．【考点】GL:三角函数中的恒等变换应用;H2:正弦函数的图象．【分析】（1)利用二倍角和两角和与差以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式,再利用周期公式求函数的最小正周期,最后将内层函数看作整体,放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；（2)根据f(A）=3时，求解A,正弦定理求解b，再有余弦可得AB 即c的值（或者求解sinC，正弦定理求解c）【解答】解：函数,化解可得:f(x）=2sin2xcos+cos2x+1=sin2x+cos2x+1=2sin （2x+)+1．∴函数f（x）的最小正周期T=,由得，故函数f(x)的单调递增区间，（2）∵，∴,∵0＜A＜π,∴，∴，,在△ABC中，由正弦定理得:，即．，即．【点评】本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，正余弦定理的运用和计算能力，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于中档题．20．（12分）（2017春•成都期中）已知数列｛a n}前n项和(1）求数列{a n}的通项公式；（2）若,求数列｛b n}的前n项和T n．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【分析】（1）利用数列递推公式即可得出．（2）利用“裂项求和”方法即可得出．【解答】解:（1）数列｛a n｝前n项和为当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1==n+1．当n=1时，，不满足a n=n+1．∴｛a n}的通项公式为．（2)当n≥2时，==．当n=1时，,∴T n=b1+b2+b3+b4+…+b n﹣1+b n=﹣++++…++=﹣+=﹣．【点评】本题考査了利用递推关系、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21．(12分）（2017•泉州一模）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosA•cosC﹣cos(A+C）=sin2B．（Ⅰ）证明:a，b，c成等比数列;（Ⅱ）若角B的平分线BD交AC于点D，且b=6,S△BAD=2S△BCD，求BD．【考点】HR:余弦定理；HP:正弦定理．【分析】（Ⅰ）利用两角和的余弦函数公式化简已知等式可得sinAsinC=sin2B，由正弦定理可得：b2=ac，即可得证．（Ⅱ)由已知可得：AD+CD=6,由三角形面积公式可得AD=2CD，从而可求AD=4，CD=2，由（Ⅰ）可得：b2=36，利用角平分线的性质可得AB=2BC，即c=2a，从而可求a,c的值，进而利用余弦定理可求cosA，即可由余弦定理求得BD的值．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ)证明：∵cosA•cosC﹣cos（A+C）=sin2B．∴cosA•cosC﹣（cosAcosC﹣sinAsinC)=sin2B，可得：sinAsinC=sin2B,∴由正弦定理可得：b2=ac，∴a，b，c成等比数列；(Ⅱ)如图，∵角B的平分线BD交AC于点D,且b=6，可得：AD+CD=6，∵S△BAD=2S△BCD,可得：AD=2CD，∴解得:AD=4，CD=2,∵由（Ⅰ）可得:b2=ac=36，∵=，可得：AB=2BC,即c=2a，∴解得：a=3,c=6，∴cosA==,∴BD==2．【点评】本题主要考查了两角和的余弦函数公式，正弦定理，三角形面积公式,角平分线的性质，余弦定理在解三角形中的应用,考查了转化思想和数形结合思想,属于中档题．22．（12分）(2017春•成都期中）已知数列｛a n｝的前n项和为S n,a1=1，且（n+1)a n=2S n（n∈N＊），数列{b n｝满足，，对任意n∈N*,都有．(1）求数列{a n｝、｛b n｝的通项公式;（2)令T n=a1b1+a2b2+…+a n b n．若对任意的n∈N*，不等式λnT n+2b n S n ＜2（λn+3b n）恒成立，试求实数λ的取值范围．【考点】8K：数列与不等式的综合；8H：数列递推式．【分析】（1)由(n+1）a n=2S n，可得，n∈N＊,利用递推关系可得：（n≥2）．利用“累乘求积”方法即可得出a n．利用等比数列的通项公式即可得出b n．(2）由a n b n=n,利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出T n．代入不等式λnT n+2b n S n＜2(λn+3b n），化简整理利用二次函数的单调性即可得出．【解答】解：（1）∵(n+1）a n=2S n，∴,n∈N*当n≥2时，，∴na n﹣1=（n﹣1）a n,即（n≥2）．∴（n≥2），又a1=1,也满足上式,故数列{a n｝的通项公式a n=n(n∈N*）．．由，，，可知：数列｛b n}是等比数列，其首项、公比均为，∴数列｛b n｝的通项公式:b n=．（2）∵a n b n=n．∴T n=+3×+…+n．=+…+（n﹣1）+n，∴T n=+…+﹣n=﹣n，∴．又S n=1+2+…+n=．不等式λnT n+2b n S n＜2（λn+3b n）恒成立,即λn+＜2，即（1﹣λ）n2+(1﹣2λ)n﹣6＜0，（n∈N*)恒成立．设f（n）=（1﹣λ）n2+（1﹣2λ）n﹣6，（n∈N＊）．当λ=1时，f（n)=﹣n﹣6＜0恒成立，则λ=1满足条件；当λ＜1时，由二次函数性质知不恒成立;当λ＞1时，由于对称轴x=＜0，则f（n）在［1，+∞)上单调递减，∴f（n）≤f（1）=﹣3λ﹣4＜0恒成立，则λ＞1满足条件，综上所述，实数λ的取值范围是［1,+∞）．【点评】本题考查了数列递推关系、“累乘求积”方法、等比数列的通项公式与求和公式、“错位相减法”、二次函数的单调性、分类讨论方法,考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
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2016～2017 学年度（下期）高 2015 级期中联考试卷理科数学考试时间共 120 分钟，满分 150 分试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）注意事项：1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、班级、准考证号用 0.5 毫米黑色 签字笔填写清楚，考生考试条码由监考老师粘贴在答题卡上的“条码粘贴处”。
2.选择题使用 2B 铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡 皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用 0.5 毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域 内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效。
3.考试结束后由监考老师将答题卡收回。
第Ⅰ卷 选择题（共 60 分）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中， 只有一个是符合题目要求的）→ → → →1．三棱柱 ABC —A 1B 1C 1 中，若CA ＝a ，CB ＝b ，CC 1＝c ，则A 1B 等于( )A ．a ＋b －cB ．a －b ＋cC ．－a ＋b ＋cD ．－a ＋b －c2．函数 f ( x ) = sin x + e x ，则 f '(0) 的值为( )第 1 题图A ．1B ．2C ．3D ．03. 已知 m ，n 表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是()A ．若 m ∥α，n ∥α，则 m ∥nB ．若 m ⊥α，n ⊂α，则 m ⊥nC ．若 m ⊥α，m ⊥n ，则 n ∥αD ．若 m ∥α，m ⊥n ，则 n ⊥αx4．函数 f ( x ) =的单调递减区间是( )ln xA ． (0, e )B ． (e ,+∞)C ． (0,1), (1, e )D. (-∞, e )5．在棱长为 2 的正方体 ABCD - A 1 B 1C 1 D 1 中，O 是底面 ABCD 的中心，E 、F 分别是CC 1 、AD 的中点，那么异面直线 OE 和 FD 1 所成的角的余弦值等于()A ．B ．C ． 4D ． 25 553－π6．已知函数 f (x )＝x －sin x ，若 x 1，x 2∈ 2 f (x 1)＋f (x 2)>0，则下列不等式中正确的是()A ．x 1>x 2B ．x 1<x 2C ．x 1＋x 2>0D ．x 1＋x 2<07. 某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是 3， 则正视图中的 x 的值是()A ． 3B ． 92C ．3 D ．22第 7 题图8．若对任意的 x >0，恒有 ln x ≤px －1(p >0)，则 p 的取值范围是()A ．(0,1]B ．(1，＋∞)C ．(0,1)D ．[1，＋∞)9．甲、乙两人约定在下午 4:30 5:00 间在某地相见，且他们在 4:30 5:00 之间到达的时刻是等可能的，约好当其中一人先到后一定要等另一人 20 分钟，若另一人仍不到则可以离去，则这两人能相见的概率是()38 A ．B ．497 11 C ．D ．161210．如图在一个 60︒ 的二面角的棱上有两个点 A ，B ，线段分别 AC 、BD 在这个二面 角的两个面内，并且都垂直于棱 AB ，且 AB ＝AC ＝ a ，BD ＝ 2a ，则 CD 的长为 ()A ．2a B ．C ． aD ．11．已知函数 f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d 的图象如图所示，则b + 1的取值范围是( )a + 1A ． (- 3 , 1 )B ． (- 2,1) 2 2 5 C ． (- 1 , 3 )D ． (- 3 ,1)2 2 2第 11 题图⎰x yx 2 y 212．已知 F 1 ， F 2 分别为双曲线C ： - a 2 b 2 = 1 的左、右焦点， 若存在过 F 1 的直分别交双曲线C 的左、右支于 A ， B 两点，使得∠BAF 2 = ∠BF 2 F 1 ，则双曲线C 的离心率e 的 取值范围是( )A ． (3,+∞)B ． (1,2 + 5)C. (3,2 + 5D ． (1,3)第Ⅱ卷 非选择题（共 90 分）二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13． 1x 2dx = ．第 12 题图2 2 2 214．已知椭圆 C 1 : 2 + 2 a b= 1(a > b > 0) 与双曲线 C 2 : x - y = 4 有相同的右焦点F 2 ，点 P 是 C 1 和 C 2 的一个公共点，若 PF 2 = 2 ，则椭圆 C 1 的离心率等于．15．四棱柱 ABCD －A 1B 1C 1D 1 中，底面为平行四边形，以顶点 A 为端点的三条棱长都 相等，且两两夹角为 60°.则线段 AC 1 与平面 ABC 所成角的正弦值为.mex16．已知函数 f ( x ) = 1 - x 2+ x + 1，若存在唯一的正整数 x 0 ，使得 f ( x 0 ) ≥ 0 ，则 实数 m 的取值范围为 ．三、解答题（本大题共 6 小题，第 17 题满分 10 分，18-22 每题满分 12 分，共 70 分； 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．如图，在直三棱柱 ABC - A 1B 1C 1 中， AC ⊥ BC ，点 D 是 AB 的中点，求证：（Ⅰ） AC ⊥ BC 1 ； （Ⅱ） AC 1 // 平面 B 1CD ．1AB18．某校举行汉字听写比赛，为了了解本次比赛成绩情况，从得分不低于50分的试卷中随机抽取100名学生的成绩(得分均为整数，满分100分)进行统计，请根据频率分布表中所提供的数据，解答下列问题：（Ⅰ）求a、b 的值；（Ⅱ）若从成绩较好的第3、4、5 组中按分层抽样的方法抽取6 人参加市汉字听写比赛，并从中选出2 人做种子选手，求2 人中至少有1 人是第4 组的概率．19．已知函数f(x)＝x2＋2a ln x.（Ⅰ）若函数f(x)的图象在(2，f(2))处的切线斜率为1，求实数a 的值；（Ⅱ）求函数f(x)的单调区间；2（Ⅲ）若函数g(x)＝＋f(x)在[1,2]上是减函数，求实数a 的取值范围．x+ 2 2 22 20．在四棱锥 P - ABCD 中，△ PAB 为正三角形，四边形 ABCD 为矩形，平面PAB ⊥ 平面 ABCD ， AB = 2 AD ， M ,N 分别为 PB ,PC 的中点.（Ⅰ）求证： MN //平面 PAD ；（Ⅱ）求二面角 B —AM —C 的大小；（Ⅲ）在 BC 上是否存在点 E ，使得 EN ⊥平面 AMN ？BE 若存在，求BC的值；若不存在，请说明理由．21．已知椭圆 C : x y = 1 (a > b > 0 )经过点 P (1, ，离心率 e = a b（Ⅰ）求椭圆 C 的标准方程；2 2 ．（Ⅱ）设过点E (0 , - 2 ) 的直线l 与C 相交于 P , Q 两点，求 ∆OPQ 面积的最大值．22．已知f (x) =1x2 ，g(x) =a ln x(a > 0) . 2（Ⅰ）求函数F(x) =（Ⅱ）若函数G(x) = 取值范围；f (x)g(x) 的极值；f (x) -g(x) + (a -1)x在区间(1, e) 内有两个零点，求的e（Ⅲ）函数h(x) =g (x)-x +1，设x ∈(0,1) ，x ∈(1,+∞)，若h(x) -h(x) x 1 2 2 1存在最大值，记为M (a) ，则当a ≤e +1时，M (a) 是否存在最大值？若存在，求出e其最大值；若不存在，请说明理由．2016～2017学年度（下期）高2015级期中联考数学（理科）参考答案及评分建议一、 选择题：（每小题5分，共60分）1.D ；2.B ；3.B ；4.C ；5.A ；6.C ；7.A ；8.D ；9.B ； 10.A ； 11.D ； 12.C ； 二、 填空题（每小题5分，共20分）13.13；15 . 13； 16 . 273,e e ⎛⎤ ⎥⎝⎦；三、 解答题（共70分）17．证明：（1）在直三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，所以，1CC AC ⊥，又AC BC ⊥，1BC CC C = ， 所以，AC ⊥平面11BCC B ，所以，1AC BC ⊥. ………..………（5分）（2）设1BC 与1BC 的交点为O ，连结OD ， 11BCC B 为平行四边形，所以O 为1BC 中点，又D 是AB 的中点， 所以OD 是三角形1ABC 的中位线，1//OD AC ，又因为1AC ⊄平面1B CD ，OD ⊂平面1B CD ，所以1//AC 平面1B CD .………（10分）A 1C 1 B 1A BCDO18．(1)a ＝100－5－30－20－10＝35，b ＝1－0.05－0.35－0.20－0.10＝0.30. ………（4分）(2)因为第3、4、5组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，每组分别为，第3组：660×30＝3人，第4组：660×20＝2人，第5组：660×10＝1人，所以第3、4、5组应分别抽取3人、2人、1人．……..………（6分）设第3组的3位同学为A 1、A 2、A 3，第4组的2位同学为B 1、B 2，第5组的1位同学为C 1，则从6位同学中抽2位同学有15种可能，如下：(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，C 1)，(A 2，A 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，C 1)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 3，C 1)，(B 1，B 2)，(B 1，C 1)，(B 2，C 1)．其中第4组被入选的有9种，所以其中第4组的2位同学至少有1位同学入选的概率为915＝35.……………（12分） 19. (1)f′(x)＝2x ＋2a x ＝2x 2＋2ax，由已知f′(2)＝1，解得a ＝－3. ……… 4分(2)函数f(x)的定义域为(0，＋∞). ……… 5分 ①当a≥0时，f′(x)＞0， f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)； ……… 6分②当a ＜0时，f′(x)＝2(x ＋－a)x －－ax .当x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下：单调递增区间是(－a ，＋∞). ……… 8分(3)由g(x)＝2x ＋x 2＋2aln x ，得g′(x)＝－2x 2＋2x ＋2ax，由已知函数g(x)为[1,2]上的单调减函数， 则g′(x)≤0在[1,2]上恒成立， 即－2x 2＋2x ＋2ax ≤0在[1,2]上恒成立．即a≤1x－x 2在[1,2]上恒成立. ………10分 令h(x)＝1x－x 2，在[1,2]上h′(x)＝－1x 2－2x ＝－(1x 2＋2x)＜0，所以h(x)在[1,2]上为减函数， h(x)min ＝h(2)＝－72，所以a≤－72.故实数a 的取值范围为{a|a≤－72}. ………12分20. （Ⅰ）证明：∵M ，N 分别是PB ，PC 中点∴MN 是△ABC 的中位线 ∴MN ∥BC ∥AD又∵AD ⊂平面PAD ，MN ⊄平面PAD所以MN ∥平面PAD . ……………….4分因为二面角B AM C --是锐二面角，所以二面角B AM C --等于45 ……………….8分（Ⅲ）存在……………….9分设(1,,0)E λ，则11(,,)222EN λ=-- ，由00EN AM EN MN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 可得12λ=， 所以在BC 存在点E ，使得EN ⊥平面AMN ，此时12BE BC =.……………….12分 21.（Ⅰ）由点(1,2P 在椭圆上得，221314a b +=① c e a ==又所以② 由①②得2223,4,1c a b ===，故椭圆C 的标准方程为2214x y +=……………….5分 112222:=2,(,),(,).214x y kx P x y Q x y x y kx y ιι⊥-=-+=（II ）当轴时不合题意，故设将代入得22(14)16120.k x kx +-+=221,2123=16(43)0,4k k x PQ x O PQ d OPQ ∆->>==-==∆当即时，从而又点到直线的距离所以的面积1=2OPQ S d PQ ∆⋅= ......................9分244,0,.44....................4,22..0.1OPQ t t t S t t tt t k t OPQ ∆=>==+++≥==∆>∆则因为当且仅当，即的面积最大值为1分22.：（1）解：21()()()ln (0)2F x f x g x ax x x ==> ∴'11()ln (ln )22F x ax x ax ax x =+=+ ………1分由'()0F x >得12x e ->，由'()0F x <，得120x e-<< ∴()F x 在12(0,]e -上单调递减，在12[,)e -+∞上单调递增， ∴12min ()()4a F x F e e -==-，()F x 无极大值. ………3分 （2）解：21()ln (1)2G x x a x a x =-+- ∴'()(1)()1a x a x G x x a x x+-=-+-=又10,a x e e><<，易得()G x 在1(,1]e 上单调递减，在[1,)e 上单调递增， 要使函数()G x 在1(,)e e 内有两个零点， 需1()0(1)0()0G e G G e ⎧>⎪⎪<⎨⎪>⎪⎩，即2211021102(1)02a a e e a e a e a -⎧++>⎪⎪⎪+-<⎨⎪⎪+-->⎪⎩，………5分 ∴22212212222e a e e a e e a e -⎧>⎪+⎪⎪<⎨⎪⎪->⎪-⎩， ∴2211222e a e e -<<+，即的取值范围是2211(,)222e e e -+. ………7分 （3）若02a <≤，∵2'2(1)()x ax h x x--+=在(0,)+∞上满足'()0h x ≤， ∴()h x 在(0,)+∞上单调递减，∴21()()0h x h x -<.∴21()()h x h x -不存在最大值. ………8分则2a >.∴方程210x ax -+=有两个不相等的正实数根，令其为,m n ，且不妨设01m n <<<则1m n a mn +=⎧⎨=⎩. ()h x 在(0,)m 上单调递减，在(,)m n 上调递增，在(,)n +∞上单调递减，对1(0,1)x ∀∈，有1()()h x h m ≥；对2(1,)x ∀∈+∞，有2()()h x h n ≤， ∴21max [()()]()()h x h x h n h m -=-. ∴11()()()(ln )(ln )M a h n h m a n n a m m n m=-=-+--+ 11ln ()()n a m n m n m=+-+-. 将1a m n n n =+=+，1m n=代入上式，消去,a m 得 21111()()ln 2()2[()ln ()]M a n n n n n n n n n n=++-=++- ∵12a e e <≤+，∴11n e n e+≤+，1n >. 据1y x x=+在(1,)x ∈+∞上单调递增，得(1,]n e ∈. 设11()2()ln 2()x x x x x x ϕ=++-，(1,]x e ∈.'22211111()2(1)ln 2()2(1)2(1)ln x x x x x x x x x ϕ=-++++--=-，(1,]x e ∈. ∴'()0x ϕ>，即()x ϕ在(1,]e 上单调递增. ∴max 114[()]()2()2()x e e e e e eϕϕ==++-= ∴()M a 存在最大值为4e.………12分。