电流型Buck_Boost变换器的分岔频率相关性的验证
电流模式控制Boost变换器设计方案：电流模式控制Boost变换器分岔及其控制
电流模式控制Boost变换器论文：电流模式控制Boost变换器分岔及其控制【中文摘要】电流模式控制Boost变换器是一种电压转换装备,相比较电压模式控制,电流模式控制的Boost变换器具有增益大、动态反应快、输出电感相对小、补偿电路相对简化且易于均流等众多优点,其广泛运用在各类用电设备上。
由于其电路结构的优势,在有源功率因数校正领域发挥重要作用,这些都是不争的事实。
但是这种电路有它自身的缺点,电流模式控制Boost变换器系统是一个强非线性系统,工作中易因电路参数选择不当或者外部干扰而是系统运行出现不稳定现象,严重地影响了其在各类用电设备的正常使用,所以其不稳定问题成为限制这类系统应用的重要瓶颈之一。
电流模式控制分为峰值电流控制和平均电流控制。
当采用峰值电流控制且占空比大于50%时,系统开环不稳定,容易产生次谐波振荡,其抗干扰能力差,特别当电感中纹波电流成分很少时,这种情况更严重。
目前工程上大都采用斜坡补偿法,利用斜坡信号叠加在电感电流上,从而得到控制系统稳定的作用。
但目前这种方法的参数选择(斜率m的取值)主要靠经验和重复实验,不能形象、客观地观察到系统运行规律。
在初期研究DC-DC变换器中混沌现象主要是通过数值仿真的方法,经过求解描述这些系统的微分方程得到系统运动的轨迹。
利用非线性理论研究非线性电路领域是目前较为前沿的研究手段,本文采用混沌等非线性理论研究电流模式控制Boost变换器。
针对Boost变换器的稳定性控制,目前已有很多的控制手段,总体可分为反馈控制和非反馈控制方法,非反馈控制方法的实用性很高,且这一方法比较成熟,目前采用比较多,但其也存在控制效率低、适用面窄、控制精度难以掌握等许多固有的缺陷。
工程上经常采用斜坡控制方法,但目前还是凭靠经验,不断地调整控制参数,这样大大增加了设计的工作量以及操作难度,因此限制了这一方法的推广应用。
本文将采用非反馈控制方法,分析研究电流模式控制Boost变换器在扰动强度及扰动相位共同作用下的系统二维分岔图,使我们更容易地观察以及总结到在两者控制下的电流模式控制Boost变换器系统的运行规律,从而便于工程人员在了解系统运行规律的前提下选择更精确的控制参数,减少设计过程的工程量以及操作难度。
滞环电流控制Buck变换器分岔行为机理分析
滞环电流控制Buck变换器分岔行为机理分析胡维;许亚武;张方樱【摘要】滞环电流控制Buck变换器在滞环比较器阈值发生变化的情况下,产生Neimark分岔、倍周期分岔等行为.通过建立变换器系统的离散模型,利用牛顿-拉夫逊方法求取了不动点状态变量的值,进而推导了系统的单值矩阵,得到了其特征乘子的变化趋势.分析表明,变换器产生分岔行为的机理在于,随着比较器阈值的逐渐减小,单值矩阵的特征乘子从单位圆内穿越到单位圆外,造成系统的不稳定.仿真结果证明了理论分析的正确性.【期刊名称】《广州大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2015(014)002【总页数】5页(P71-75)【关键词】滞环控制;Buck变换器;分岔;单值矩阵【作者】胡维;许亚武;张方樱【作者单位】广州大学实验中心,广东广州510006;广州大学实验中心,广东广州510006;广州大学实验中心,广东广州510006【正文语种】中文【中图分类】TM13作为开关电源中应用非常广泛的一类拓扑结构，Buck变换器［1］在工业、民用等领域都具有十分重要的作用.这类变换器是一种典型的非线性系统，目前研究可知，闭环控制Buck变换器在脉冲宽度调制(PWM)情况下，会产生诸如倍周期分岔［2］、切分岔［3］、Hopf分岔［4］、边界碰撞分岔［5］等不稳定行为. 作为一类脉冲频率调制(PFM)的滞环电流控制Buck变换器具有反馈回路简单，响应速度快，输出静差小，对电路参数变化不敏感等突出优点，广泛应用于工业与民用领域［6－7］.已有文献从系统模型［6］、控制特性、动态响应特性［8］等角度分析了滞环电流控制Buck变换器的性质，但并没有从非线性系统角度对闭环系统的稳定性进行深入研究.因而也并不清楚这类系统是否会产生分岔现象.而由文献［9］的研究得知，滞环电流控制的Cuk变换器的特征乘子会从单位圆的正半轴穿出，使得系统发生Neimark分岔.为此，需要对滞环电流控制的Buck变换器从非线性角度进行深入分析，揭示其是否会产生不稳定性以为及产生的机理，为工程实际应用提供理论依据.文献［10］提出了分析单值矩阵的特征乘子数值的方法，对变换器的电路参数进行判断，研究系统分岔行为.这一方法是关于PWM控制DCDC变换器更为一般性的结果，所得单值矩阵表达式直接与系统的系数矩阵、切换面方程和稳定态平衡点有关系，较之Jocabian矩阵方法［11］，不仅计算方便，而且也有利于解析分析工作开展.本文借助单值矩阵这一工具，预测变换器的分岔条件，分析系统分岔机理.为了分析PFM调制的滞环电流控制Buck变换器的非线性现象，本文首先建立了闭环系统的离散数学模型，在此基础上利用Filippov方法推导了状态变量周期环构成的单值矩阵，通过对系统特征乘子的分析，预测了拓扑电路发生Neimark分岔的条件，发现系统在滞环阈值发生变化的情况下将会产生Neimark分岔、倍周期分岔等复杂的非线性现象.1 变换器系统结构与数学模型滞环电流控制Buck变换器的电路原理和控制波形分别如图1(a)、(b)所示.在周期开始时刻t=0，开关S导通，电感电流iL线性上升，当iL上升至Ir+ΔI时(其中ΔI为滞环比较器的阈值)，滞环比较器的输出翻转，开关S关断.图1 滞环电流控制Buck变换器Fig.1 Hysteretic current controlled Buck converter在t=dT时刻(其中d为占空比，T为开关周期)，开关S关断，电感电流iL线性下降，当iL下降至Ir－ΔI时，滞环比较器的输出再次翻转，开关S导通，进入新的工作周期.1.1 变换器状态矩阵取状态变量 x=［iL，uC］T，其中 iL为电感电流，uC为电容电压，根据Buck变换器的开关模态可得系统数学模型见表1.表1 Buck变换器数学模型Table 1 Mathematic model of Buck converter状态矩阵输出矩阵S D 0 －11 A1=L []B1=L 1 on off C －1 RC00 －1 A2=L 1 B2=[]0 0 off on C －1 RC由表1可知系统的矢量分别可表述为1.2 不动点的计算对于CCM Buck变换器，不动点的迭代方程可写为［2］利用牛顿－拉夫逊方法解(8)、(9)组成的方程组，可得不动点的状态变量x以及工作周期T和占空比d的值.2 稳定性分析滞环电流控制Buck变换器具有两个切换面:第一个是开关导通的切换面h1，另一个是开关关断的切换面h2，如图2所示.图中实线为变换器的一周期状态轨迹，其中S1、S2分别为开关导通和关断时的系统状态轨迹.为了得到单值矩阵的表达式，需要获得两个切换面的跳跃矩阵.因此，分析稳定的一周期环工作情况下，系统从0时刻到周期T时刻的数学模型.图2 相空间与切换面Fig.2 Phase space and switching surface当开关导通时刻t=T，切换面h1可表示为可得正则矢量n为在开关导通前后的系统状态矢量分别为跳跃矩阵可写为当开关关断时刻t=dT，切换面h2可表示为正则矢量n同样如式(6)所示.在开关关断前后的系统状态矢量分别为跳跃矩阵［10］可写为因而，系统的单值矩阵可以描述为［12］其中，Φon(0，dT)=eA1dT，Φoff(dT，T)=eA2(1－d)T.在一个开关周期内，变换器状态变量在相空间的轨迹形成一个极限环，即一周期轨道.根据单值矩阵理论，一个开关周期内的转移矩阵与跳跃矩阵的乘积所得的单值矩阵的最大特征值在单位圆内，系统处于稳定状态;最大特征值位于单位圆上，系统发生分岔现象;最大特征值位于单位圆外，系统处于不稳定状态.为了便于分析，笔者采用表2所示参数.表2 滞环电流控制Buck变换器电路参数Table 2 Circuit parameters of the system参数值参数值Uin 15 V L 100 μH C 200 μF Ir 1 A D［0，1］R 3Ω由牛顿方法可得开关点，再由式(16)可得单值矩阵的Floquet乘子.为了预测分岔点的数值和分岔类型，令Floquet乘子为1，也即:首先式(8)、(9)可解得在开关导通和开关关断两个不动点的状态变量为联立(10)、(11)，可解得ΔI=0.062，此时的两个值分别均为1.000，Floquet乘子一个值从正半轴穿越单位圆，另一个值位于单位圆上，系统此时发生Neimark分岔.表3 所示为ΔI分别为0.5、0.2、0.06、0.02 时系统不动点的状态变量以及特征乘子的值.由表3可见，滞环电流控制的Buck变换器发生分岔现象的机理在于，随着滞环比较器的阈值ΔI的变化，系统单值矩阵的某一个特征乘子保持为1不变，另一个特征值从小于1的某个值开始逐渐增加，进而从坐标轴的正半轴穿越单位圆，使得系统的状态变量从稳定的一周期态，逐渐进入不稳定的分岔状态，并产生Neimark分岔以及倍周期分岔等现象.表3 系统状态变量及特征乘子Table 3 State variables and characteristic multipliersΔI iL(0)uc(0)iL(dT)uc(dT) λ 稳定性0.5 0.50 2.989 5 1.50 2.989 7λ1=0.933 0 λ2=1.000 0一周期一周期稳定0.06 0.94 3.000 0 1.06 3.000 0λ1=1.000 0 λ2=1.000 0稳定0.2 0.80 2.998 3 1.20 2.998 3 λ1=0.972 6λ2=1.000 0 Neimark分岔0.02 0.98 3.000 0 1.02 3.000 0 λ1=1.000 0λ2=1.000 6倍周期分岔以上分析显然可知，闭环电流控制Buck变换器在滞环比较器阈值发生变化的情况下，会产生分岔等现象.而文献［6－8］的结果，只是从模型、动态特性等控制理论角度对系统进行了分析，其参数设计、稳定性行为的分析都没有涉及，造成在工程应用中不可避免的产生间歇噪声、系统崩溃等现象.而本文的研究结果，有利于工程技术人员解决系统的稳定性问题，推动此类电源拓扑的成熟应用.3 仿真利用Matlab/Simulink建立了如图3所示仿真模型.由表3可知，ΔI=0.5时，系统处于稳定的一周期轨道，而当ΔI等于0.06A以及0.02A时，系统分别处于Neimark分岔和倍周期分岔轨道.系统处于这几种状态时的状态变量以及特征乘子的值见表3，相图和输出波形分别见图4(a)～(c).图3 滞环电流控制Buck变换器Matlab仿真图Fig.3 Matlab simulation model of hysteretic controlled Buck converter图4 滞环电流控制Buck变换器Fig.4 Waveforms of hysteretic controlled Buck converter图4所示为滞环电流控制Buck变换器在滞环阈值ΔI发生变化时，系统状态变量的图形.其中图4a为ΔI=0.5 A时图形，从上到下分别为电感电流iL(单位A)、电容电压uC(单位V)、驱动脉冲(单位V).图4b、图4c分别为ΔI=0.05 A及I=0.02 A时，系统产生Neimark分岔和倍周期分岔时的波形.4 结论滞环电流控制Buck变换器具有反馈回路简单、响应速度快、输出静差小等突?出优点，应用多种工业场合.系统的开关频率随着滞环比较器阈值的减小而迅速增加，输出电压纹波虽然减小，但会造成系统发生分岔现象，变换器的输出趋向于不稳定.分析表明比较器阈值的减小，将导致系统单值矩阵的一个特征乘子从单位圆内逐渐穿越至圆外，从而产生不稳定行为.文章对比较器阈值的分析方法，同样可用于对其它电路参数的分析，为工程应用中的参数设计提供了行之有效的方法，有利于滞环控制方法在变换器系统上的广泛应用.参考文献:［1］ ERICKSON R W，MAKSIMOVIC D.Fundamentals of power electronics ［M］.New York:Springer，2001:7.［2］张方樱，杨汝，龙晓莉，等.V2控制Buck变换器分岔与混沌行为的机理及镇定［J］.物理学报，2013，62(21):218404.1-9.ZHANG F Y，YANG R，LONG X L，et al.Mechanism of instability behaviors and stabilization onV2controlled buck 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开关电感Buck-Boost变换器的非线性行为及其控制的研究
开关电感Buck-Boost变换器的非线性行为及其控制的研究开关电感Buck-Boost变换器是一种常用的电力转换装置，能够实现直流电压的升降变换。
然而，随着功率需求的不断增长，对变换器的要求也在不断提高。
在实际应用中，开关电感Buck-Boost变换器往往会出现非线性行为，这给其控制带来了一定的挑战。
本文将对开关电感Buck-Boost变换器的非线性行为及其控制进行研究。
开关电感Buck-Boost变换器的非线性行为主要表现在两个方面：输出电压非线性和开关电流非线性。
首先，输出电压非线性是指变换器在运行过程中输出电压的波动现象。
这主要是由于开关状态变化导致的瞬态响应不理想以及负载变化引起的输出电压波动。
其次，开关电流非线性是指变换器在开关操作时电流的非线性变化。
这主要是由于开关管的导通、截止过程中电流的不连续性引起的。
针对开关电感Buck-Boost变换器的非线性行为，很多研究者提出了不同的控制策略。
一种常用的方法是采用反馈控制来抑制输出电压的波动。
通过引入一个反馈环路，可以对输出电压进行监测和调节，实现对输出电压的稳定控制。
此外，还可以采用预测控制策略来对非线性行为进行补偿。
通过建立变换器的数学模型，可以预测变换器的非线性行为，并通过控制电流和电压的预测值来消除非线性响应。
同时，一些研究者还提出了改进开关电感Buck-Boost变换器的拓扑结构，以实现更好的控制性能。
例如，引入无源电容元件来减小开关电流的非线性变化，或者采用多级结构来提高输出电压稳定性。
此外，还可以采用混合控制策略，结合多种控制方法以实现更好的非线性控制效果。
除了控制方法的研究，对开关电感Buck-Boost变换器的非线性行为的原因进行深入分析也是很重要的。
通过分析非线性行为的发生原因，可以更好地理解控制方法的有效性，并进一步改进控制策略。
例如，通过分析开关电流非线性变化的原因，可以设计合理的电流采样和反馈控制策略，减小非线性响应。
Buck_Boost变换器的设计及仿真
Buck_Boost变换器的设计及仿真Buck-Boost变换器是一种可以在同一电路内同时实现升压和降压的变换器。
这种变换器可以用于多种不同的应用，主要用于对电压进行放大和缩小，以达到正确的电压水平。
它总是能够将输入电压提高到所需的输出电压。
在本文中，将介绍Buck-Boost变换器的设计及其功能仿真工作。
Buck-Boost变换器的主要部件包括电感器，可变阻器，开关，振荡器和控制器。
电感器的设计是为了提供电流，形成负反馈环。
可变阻器的设计可以改变电路的过载，从而实现电流的调整。
开关的设计是为了实现升压和降压，允许电感器和可变阻器之间的能量交换。
振荡器的设计是为了控制电路内部的电流，以保证开关的实时响应。
通过控制器，可以实现输入和输出电压之间的转换，从而达到预期的电压水平。
为了对Buck-Boost变换器进行仿真，先进行输入，输出和负载之间的建模。
输入模型包括输入电压和要求的输出电压，其中输入电压可以在建模中任意调整。
负载建模通常是一个电阻和一个电容的组合。
输出模型则定义了电路的输出功率和输出电压水平。
接下来，可以对电感器和可变阻器进行建模。
由于电感器是一个电流源，故其建模需要考虑电流大小和电压偏移。
可变阻器建模则需要考虑其阻值和电压偏移。
最后，可以利用仿真软件进行仿真，探究Buck-Boost变换器的性能。
可以仿真该电路的输入和输出电压以及电流，从而分析改变输入电压对系统的影响。
此外，还可以分析负载的影响，比如负载变大时电路的输出能力会怎样受到影响。
这些仿真结果都能为设计者提供宝贵的启发，为确保电路的正常工作奠定基础。
Buck-Boost变化器是一种功能强大的电路，可以改变输入电压并生成预期的输出电压水平。
本文介绍了其设计原理和仿真过程，为设计者提供了宝贵的参考。
未来的研究将会探究更多的变换器类型，继续提高电路的性能和功效。
断续电流型开关电感Buck-Boost变换器的分岔现象
断续电流型开关电感Buck-Boost变换器的分岔现象孙立山;杨爽;刘洪臣【摘要】为了分析开关电感结构的Buck-Boost变换器电路参数对系统性能的影响,基于断续电流模式下系统的离散迭代映射模型,利用开关变换器的动力学分析方法,采用分岔图和庞加莱截面研究了系统的稳定问题,并根据不动点邻域内Jacobian 矩阵特征值的变化情况确定了系统首次失稳时分岔点的位置.应用PSIM仿真,通过时域图和相轨图观察了变换器在不同参数变化下丰富的动力学演化过程,验证了理论分析的正确性.结果表明:当开关电感Buck-Boost变换器工作于DCM模式下时,其工作状态主要受电流边界Ib2的影响,电流边界Ib1对系统稳定性的影响相对较小,随着电路参数的变化,系统经边界碰撞分岔最终进入DCM阵发混沌状态.【期刊名称】《哈尔滨工业大学学报》【年(卷),期】2015(047)002【总页数】7页(P55-61)【关键词】断续电流模式;开关电感;Buck-Boost变换器;离散迭代映射模型;分岔【作者】孙立山;杨爽;刘洪臣【作者单位】哈尔滨工业大学电气工程及自动化学院,150001哈尔滨;哈尔滨工业大学电气工程及自动化学院,150001哈尔滨;哈尔滨工业大学电气工程及自动化学院,150001哈尔滨【正文语种】中文【中图分类】TM46;TM132DC-DC变换器属于强非线性系统，当电路参数发生变化时，系统将产生分岔现象并最终进入混沌状态，从而导致系统的运行状态无法预测，甚至造成系统故障.因此，深入研究DC-DC变换器的非线性行为，分析电路参数对系统动态特性的影响，对于开关变换器系统的设计具有十分重要的理论意义和应用价值.开关电感结构是近年来提出的一种新型拓扑，具有升压模式和降压模式两种结构，可以分别嵌入到传统DC-DC变换器中，以提高系统的升压或降压能力［1-2］，因而得到国内外学者的广泛关注.目前，国内外学者对传统DC-DC变换器中非线性行为的研究已经比较深入［3-15］，人们利用数值模拟和非线性动力学理论等方法，深入分析了系统的分岔和混沌现象.以Buck-Boost变换器为例:文献［13-15］证实了传统Buck-Boost变换器中存在边界碰撞分岔、倍周期分岔和阵发混沌等多种复杂的非线性动力学行为.然而，上述成果的研究对象均为传统Buck-Boost变换器，而对基于开关电感结构的Buck-Boost变换器(下面简称开关电感Buck-Boost变换器)中非线性行为的研究结果却未见报道.并且目前对于DC-DC变换器中非线性现象的研究主要集中于连续电流模式(CCM)，对断续电流模式(DCM)的情况则研究较少.实际上，对DCM 模式下系统的非线性动力学行为进行研究具有更为广泛的意义.因此，本文首次以开关电感Buck-Boost变换器为研究对象，深入分析了系统在DCM模式下的分岔和混沌现象.首先，从状态方程出发，建立了DCM模式下系统的离散时间映射模型，并基于此模型，绘制了不同参数范围内系统的分岔图，分析了电路参数对系统动态特性的影响;然后，采用Runge-Kutta算法直接对状态方程进行求解，得到了系统的庞加莱截面，更加直观地反映了系统的运行状态;接下来，根据系统不动点邻域内Jacobian矩阵特征值的变化趋势确定系统首次分岔点的位置;最后，应用PSIM软件搭建符合实际运行条件的仿真模型，通过时域波形图和相轨图观察变换器丰富的动力学演化过程，验证了离散时间模型的正确性.1 变换器的工作原理与建模1.1 工作原理与状态方程的求解开关电感Buck-Boost变换器是运用开关电感结构代替传统Buck-Boost变换器中原有的储能电感而形成的，电流模式控制下系统的电路原理图如图1所示.由图1可知，该系统是由两个电感和一个电容组成的三阶电路.电路的工作原理如下:将电感L1的电流iL1与参考电流Ⅰref比较的结果作为RS触发器R端的输入，时钟信号通过触发器的S端输入，触发器的Q端控制开关管S的通断.当变换器工作于DCM模式时，电路有以下3种模态，如图2所示.图1 电流模式控制下的开关电感Buck-Boost变换器图2 DCM运行时的模态模态1.开关管S导通，二极管D0、D12截止，D1、D2导通，电感 L1、L2并联充电，电容 C 向负载提供能量，其等效电路如图2(a)所示，此时有模态2.开关管 S截止，二极管D0、D12导通，D1、D2截止，电感L1、L2串联为电容C充电，并向负载提供能量，其等效电路如图2(b)所示，此时有模态 3.开关管 S、二极管 D0、D1、D2、D12 均截止，只有电容C向负载提供能量，其等效电路如图2(c)所示，此时有为便于分析，本文取L1=L2，则在上述3种模态中，可近似认为iL1=iL2，系统可简化为二阶模型，以电感电流iL1和电容电压uC为分析对象，则对于模态1，有设电感电流iL1和电容电压uC的初值分别为iL1，n 和 uC，n，则上述方程的时域解为其中设变换器工作于模态1的时间为t1，则由式(5)得同理，模态2的微分方程可以简化为由式(5)可以解得取，则式(7)的解为其中设变换器工作于模态 2的时间为 t2，则iL1，2(t2)=0，由(8)式可得当变换器工作于模态3时，简化的微分方程为状态方程(10)的解可表示为其中:uC，2(t2)=e-αt2(uC，1(t1)cos ωt2+k2sin ωt2)．1.2 离散时间映射模型本文采用频闪映射的方法，设数据采样周期为T，则在相邻的采样时刻内，DCM 模式下的开关电感Buck-Boost变换器有以下3种运行轨道.当t1≥T时，在1个采样周期内，变换器只工作于模态1，则在第n个采样周期结束时，简化的微分方程对应的离散映射模型为当t1＜T，但t1+t2≥T时，在1个采样周期内，变换器工作于模态1和模态2，则在第n个采样周期结束时，简化的微分方程对应的离散映射模型为当t1＜T，且t1+t2＜T时，在1个采样周期内，变换器工作于3种工作模态，则在第n个采样周期结束时，简化的微分方程对应的离散映射模型为式(12)～(14)即为DCM模式下，开关电感Buck-Boost变换器的离散时间映射模型.2 变换器的动力学行为分析2.1 分岔图在动力学系统中，当系统参数的变化超过某临界值时，系统的定性形态会突然发生变化，这种现象叫做分岔，临界值即为分岔点.通过分岔图可以清楚地知道系统在不同参数下的稳定性，因此，分岔理论是研究系统稳定性的有力工具.在绘制分岔图前，首先给出电感电流边界的定义.当开关电感Buck-Boost变换器工作于DCM模式时，在状态空间中存在两个电流边界，设第1个电流边界为Ⅰb1，它满足如下关系:以Ⅰb1为电流初值，经1个开关周期T后电感电流iL1恰好到达参考电流Ⅰref;设第2个电流边界为Ⅰb2，它满足:以Ⅰb2为电流初值，经1个开关周期T后电感电流iL1恰好为0，则此阶段电感电流iL1到达参考电流Ⅰref的时间为T-t2，则由式(5)可知，DCM模式下开关电感Buck-Boost变换器的两个电感电流边界可分别表示为选取电路参数为C=10 μF，R=10 Ω，T=100 μs和L1=L2=0.1 mH，固定E=6 V，以参考电流Ⅰref为分岔参数，基于1.2节所导出的离散映射模型，对系统进行数值模拟，得到电感iL1随参考电流变化的分岔图，如图3所示，其中红色的点划线表示第1个电感电流边界Ⅰb1，绿色的点划线表示第2个电感电流边界Ⅰb2．由图3可知，当参考电流Ⅰref达到2.5 A左右时，分岔轨线与边界Ⅰb2发生碰撞，系统的工作状态由周期1经边界碰撞分岔变为周期2，随着参考电流的进一步增大，电感电流并非完全工作在不连续状态，而是在某些时钟周期内有不连续现象;当Ⅰref为7.5 A左右时，系统再次发生边界碰撞分岔变为周期4，而后激变进入混沌状态．然而，这个混沌状态并没有被保持，当Ⅰref＞9.5 A时，混沌态和周期态交替出现，系统发生了DCM阵发混沌，阵发混沌前的分岔为切分岔.图3 Ⅰref为参数的分岔固定Ⅰref=2 A，其他电路参数与前者相同，以输入电压E为分岔参数，通过数值模拟得到的分岔图如图4所示．由图4可知，随着输入电压E的减小，系统的工作状态也是由周期1经边界碰撞分岔变为周期2，再到周期4，然后进入DCM阵发混沌区，并存在明显的周期窗口.可见，其通往混沌的道路与参考电流变化时相同，但参数变化的方向相反.值得注意的是，边界碰撞分岔虽然也能引发倍周期现象，但与倍周期分岔有本质的区别.发生倍周期分岔时，分岔点附近的倍周期轨道与分岔发生之前的周期轨道是近似垂直的;而在边界碰撞分岔中，二者并不垂直.并且由图3和图4还可以看出，当变换器工作于DCM模式时，引发系统不稳定的因素主要是电流边界Ⅰb2，当系统轨线与Ⅰb2发生碰撞时，随即产生分岔现象，并最终进入混沌状态;然而，当系统轨线与Ⅰb1发生碰撞时，并未出现分岔，而仅仅改变了轨线的路径，故Ⅰb1对系统的稳定性影响相对较小．图4 E为参数的分岔2.2 庞加莱截面在相空间中选取1个既不与轨线相切，又不包含轨线的截面，即庞加莱截面，轨线与庞加莱截面的交点称为截点.由非线性动力学理论可知，通过观察截点的情况便可以判断是否发生混沌:当截面上只有1个点或少数离散点时，运动是周期的，点的个数代表状态的周期数;当截点形成1条闭合的曲线时，运动是准周期的;当截点连成片或具有分形结构时，系统便处于混沌状态.为证明随着参考电流Ⅰref的增大，变换器确实存在图3分岔图所体现的丰富的非线性行为，本节从不同工作模态下的状态方程出发，采用Runge-Kutta算法直接对每个开关周期内的微分方程进行求解，得到开关电感Buck-Boost变换器在典型参考电流值下的庞加莱截面，其结果如图5所示.图5 不同参考电流下的庞加莱截面由图5(a)～5(c)可以清楚的知道，当参考电流分别为1、5、8 A时，庞加莱截面上的点是离散的，根据点的个数可知，变换器先后工作于周期1、周期2和周期4;图5(d)和5(f)中的截点在某些区域已经连成片，说明当参考电流为9.5、15 A时，变换器工作于混沌状态;图5(e)体现了当参考电流为11 A时，即在阵发混沌中，存在明显的周期3窗口.上述结果与图3所示分岔图中各点呈现的状态一致，验证了离散映射模型的正确性，并且更加直观地反映了参考电流取不同值时变换器所处的工作状态.3 基于离散时间模型的稳定性分析3.1 不动点及Jacobian矩阵令xn+1=xn=x*可求出系统的不动点x*，开关电感Buck-Boost变换器基于简化状态方程的离散时间模型在不动点邻域内的Jacobian矩阵可表示为其中式(16)的特征方程为根据1.2节可知，在相邻的采样时刻nT和(n+1)T内，DCM模式下的开关电感Buck-Boost变换器有3种运行轨道，可分别对其稳定性进行分析.当t1≥T时，式(12)所表示的离散系统不存在不动点，其Jacobian矩阵的元素分别为其特征多项式为解得λ1=1，λ2=e-2αT，此时离散系统Jacobian矩阵的特征值有两个正实根，并且其中一个为1.当t1＜ T，但t1+t2≥T时，将xn+1=xn=x*代入式(13)，可求得系统的不动点，且由式(13)可求得其Jacobian矩阵的元素分别为其特征多项式为解得此时离散系统的Jacobian矩阵有两个非零特征根.当t1＜T，且t1+t2＜T时，式(14)所表示的离散系统仅存在1个不动点，由式(14)求得其Jacobian矩阵的元素分别为其中:其特征多项式为解得λ1=J22，λ2=0，此时离散系统的Jacobian矩阵总有1个零特征根和1个非零特征根.3.2 Jacobian矩阵的特征乘子根据以上分析，本节计算了发生分岔前后离散映射模型在不动点邻域内的Jacobian矩阵的特征值.表1、2分别给出了不同参考电流和不同输入电压下系统Jacobian矩阵特征值的变化情况.由表1可知，参考电流在(2.44 A，2.505 A)时，随着参考电流的增大，周期1轨道的特征值由(-0.022 6，0)跃变为(-1.003 8，0.173 0).由表2可知，输入电压在(4.8 V，4.95 V)时，随着输入电压的减小，周期1轨道的特征值由(-0.026 6，0)跃变为(-1.000 1，0.172 5).由此可知，系统发生了边界碰撞分岔，且首次分岔的位置分别在Ⅰref=2.505 A和E=4.8 V处，这与图3、4所示的分岔图结果相一致.表1 不同参考电流下系统Jacobian矩阵的特征值Ⅰref/A Jacobian矩阵的特征值λ1 λ2系统状态2.44 -0.022 6 0 周期1 2.45 -0.982 6 0.171 5 周期1 2.48 -0.992 1 0.171 9 周期1 2.505 -1.003 8 0.173 0 周期2表2 不同输入电压下系统Jacobian矩阵的特征值E/V Jacobian矩阵的特征值λ1 λ2系统状态4.8 -1.000 1 0.172 5 周期2 4.83 -0.993 6 0.172 0 周期1 4.85 -0.990 3 0.1718 周期1 4.95 -0.026 6 0 周期14 PSIM验证PSIM软件是一款针对电力电子和电机控制的仿真软件［13］，因仿真速度快、操作简单而得到了广泛的应用.为进一步验证离散模型的正确性，本章根据图1所示原理图，在PSIM软件中搭建了系统的仿真模型.选取参考电流Ⅰref为变量，其他电路参数与绘制图3所示分岔图时所选取的参数一致，典型参考电流值下的仿真结果如图6～9所示.由图6～8可知，当参考电流分别为1、5、8 A时，变换器分别工作于周期1、周期2和周期4，时域波形表现为相应的周期性，相轨图则由有限个数的封闭曲线组成，且由iL1的时域波形图可以看出，在上述电路参数下，变换器确实工作于DCM模式.图9给出了参考电流为9.5 A时的时域波形图和相轨图，此时变换器工作于混沌状态，时域波形因失去周期性而显得杂乱无章，各个开关周期下的幅值跳跃较大，表明混沌状态是不稳定的，有害的;相轨图则由一定区域内随机分布的轨线组成.由仿真结果不难看出，通过PSIM仿真平台得到的时域波形图和相轨图所观察到的现象与基于离散映射模型绘制的分岔图所描述的运行状态完全一致的，证实了离散模型的正确性.图6 Ⅰref＝1 A时iL1的时域波形图和相轨图图7 Ⅰref＝5 A时iL1的时域波形图和相轨图图8 Ⅰref＝8 A时iL的时域波形图和相轨图图9 Ⅰref＝9.5 A时iL1的时域波形图和相轨图5 结论1)基于开关电感结构的Buck-Boost变换器虽然在一定程度上提高了传统Buck-Boost变换器的升/降压能力，但却增加了电路的阶数，使变换器的运行状态更容易受到电路参数变化的影响.2)研究了此新型拓扑结构的变换器在DCM模式下的非线性行为，在分析电路工作原理的基础上，建立了系统的离散映射模型，并基于此模型绘制了不同参数变化下的分岔图，发现随着电路参数的变化，系统经边界碰撞分岔最终进入DCM阵发混沌状态.然后通过庞加莱截面更加直观地反映了不同电路参数下系统的周期态与混沌态，并采用Jacobian矩阵特征乘子的方法确定了首次分岔点的位置和分岔的类型.最后，在PSIM平台下搭建了符合实际运行条件的仿真模型，通过时域图和相轨图观察变换器在不同参数变化下丰富的动力学演化过程，进一步证明了离散映射模型的正确性.3)由分岔图得出当开关电感Buck-Boost变换器工作于DCM模式下时，其工作状态主要受电流边界Ⅰb2的影响，电流边界Ⅰb1对系统稳定性的影响相对较小．4)基于开关电感结构的Buck-Boost变换器属于强非线性系统，在设计过程中应选取合适的参数，以确保电路运行在稳定状态.参考文献［1］AXELROD B，BERKOVICH Y，IOINOVICIA.Switchedcapacitor/switched-inductor structures for getting transformerless hybrid DC-DC PWM converters［J］.IEEE Transactions on Circuits and Systems I，2008，55(2):687-696.［2］AXELROD B，BERKOVICH Y，IOINOVICIA.Switchedcapacitor(SC)switched-inductor(SL)structures for getting hybrid step-down Cuk/Zeta/Sepic converters［C］//Proceedings of the International Symposium on Circuits and Systems(ISCS).Kos Island，Greece:IEEE，2006:5063-5066.［3］王诗兵，周宇飞，陈军宁，等.高阶开关功率变换器中的间歇现象［J］.中国电机工程学报，2008，28(12):26-31.［4］LIU Fang.Intermittency and bifurcation in SEPICs under voltage-mode control［J］.Chinese Physics B，2010，19(8):205-215.［5］LIU Fang.Fast-scale border collision bifurcation in SEPIC power factor pre-regulators［J］.Chinese Physics B，2008，17(7):2394-2404.［6］IU H H C，TSE C K.A study of synchronization in chaotic autonomous Cuk DC/DC converter［J］.IEEE Transactions on Circuits and Systems I，2000，47(6):913-918.［7］刘芳，张浩，马西奎.电流型单端初级电感变换器中分岔行为与稳定性［J］.电工技术学报，2007，22(9):86-92.［8］李冠林，李春阳，陈希有，等.电流模式SEPIC变换器倍周期分岔现象研究［J］.物理学报，2012，61(17):170506.［9］AROUDI A E，LEYVA R.Quasi-periodic route to chaos in PWM voltage-controlled DC-DC boost converter［J］.IEEE Transactions on Circuits and Systems I，2001，48(8):967-978.［10］CHEN Yanfeng，TSE C K，QIU Shuisheng，et al.Coexisting fast-scale and slow-scale instability in current-mode controlled DC/DC converters:analysis，simulation and experimental results ［J］. IEEE Transactions on Circuits and Systems I，2008，55(10):3335-3348.［11］BASAK B，PARUI S.Exploration of bifurcation and chaos in buck converter supplied from a rectifier［J］.IEEE Transactions on Power Electronics，2010，25(6):1556-1564.［12］MAITY S，TRIPATHY D，BHATTACHARYA T K，et al.Bifurcation analysis of PWM-1 voltage-modecontrolled buck converter using the exact discrete model［J］.IEEE Transactions on Circuits and Systems I，2007，54(5):1120-1130.［13］BAO Bocheng，XU Jianping，LIU Zhong.Mode shift and stability control of a current mode controlled buckboost converter operating in discontinuous conduction mode with ramp compensation ［J］.ChinesePhysics B，2009，18(11):4742-4747.［14］WU Jie， LIU Mingjian， YANG Ping.Study of bifurcation and chaosin the current-mode controlled buck-boostDC-DCconverter(I):modelingand simulation［J］.Control Theory and Applications，2002，19(3):387-394.［15］包伯成，杨平，马正华，等.电路宽范围变化时电流控制开关变换器的动力学研究［J］.物理学报，2012，61(22):220502.。
电流控制型Boost变换器分叉行为的仿真和分析
—２０—收稿日期：２００７－１１－０５基金项目：国家自然科学基金资助项目（６０４７２０５９）机 车 电 传 动ELECTRIC DRIVE FOR LOCOMOTIVES№４， ２００８Ｊｕｌｙ １０， ２００８ ２００８年第４期 ２００８年７月１０日研究开发电流控制型Ｂｏｏｓｔ变换器分叉行为的仿真和分析 包伯成１，２，许建平３，胡文１（１． 南京理工大学电子工程系，江苏南京２１００９４；２．江苏技术师范学院电气信息工程学院，江苏常州２１３００１；３．西南交通大学电气工程学院，四川成都６１００３１）作者简介：包伯成（１９６５－），男，博士研究生，高级工程师，研究方向为功率电子学与非线性电路。
摘要：研究了电流控制型Ｂｏｏｓｔ变换器的分叉行为，建立了符合实际电路限定条件下的离散迭代映射模型，采用分叉图和庞加莱截面，分析了电路参数对分叉行为的影响，并对产生切分叉和阵发混沌现象的电路参数进行了讨论。
通过构造Ｍａｔｌａｂ下的分段光滑开关模型，采用龙格—库塔（Ｒｕｎｇｅ－Ｋｕｔｔａ）算法，得到了Ｂｏｏｓｔ变换器的时域波形和相轨图，从而验证了离散迭代映射模型的正确性。
研究结果表明电流控制型Ｂｏｏｓｔ变换器具有丰富的非线性动力学行为。
关键词：电流控制型；Ｂｏｏｓｔ变换器；离散映射模型；分叉图；庞加莱截面；切分叉；时域波形；相轨图中图分类号：ＴＭ４６；ＴＰ３９１．１文献标识码：Ａ文章编号：１０００－１２８Ｘ（２００８）０４－００２０－０５Analysis and Simulation of Bifurcation Behaviors of Current-mode Control Boost ConverterＢＡＯ Ｂｏ－ｃｈｅｎｇ１，２，ＸＵ Ｊｉａｎ－ｐｉｎｇ３，ＨＵ Ｗｅｎ１(1. Department of Electronic Engineering, Nanjing University of Science and Technology, Nanjing, Jiangsu 210094, China;2. School of Electrical and Information Engineering, Jiangsu Teachers University of Technology, Changzhou, Jiangsu 213001, China;3.School of Electrical Engineering, Southwest Jiaotong University, Chengdu, Sichuan 610031, China)Abstract:This paper studies the bifurcation behaviors of current control boost converter. In this study, the discrete iterated mapping model of current control boost converter with practical circuit parameters is established. By using bifurcation diagrams and Poincar é sections,the effects of circuit parameters on bifurcation behaviors are analyzed. Those circuit parameters which may cause tangent bifurcations and intermittent chaos are discussed. The time-domain waveforms and phase orbits of boost converter have been obtained by Runge-Kutta algortithm through piecewise smooth switching models constructed under Matlab, which verify the discrete iterated mapping model. The research results indicate that the nonlinear dynamical behaviors of current control boost converter are abundant.Key words: current control; boost converter; discrete iterated mapping model; bifurcation diagram; Poincar é section; tangent bifurcation;time-domain waveform; phase orbit０引言开关变换器是一个典型的非线性时变系统，存在丰富的分叉和混沌等非线性现象［１￣７］，深入研究和分析开关变换器中的非线性现象是十分重要和必要的。
Boost变换器分叉序列的仿真与理论分析
ｓ ｃｉｎ，ａ ｄ ｔ ｅ ｂｆ ｒａ ｉｎ ｄ ａ ｒ ｍ ｌｎｇ ｔ ｅ ｄｉｅ ｔｏ ｏ ｅｅ ｅ ｃ ｄ ｃ ｒｅ ｔｗａ ｄ ｅ ｅ ｔｏ ｎ ｈ ｉｕ ｃ ｔｏ ｉｇ ａ ａｏ ｈ ｒ ｃｉｎ ｆｒ ｆｒ ｎ ｅ ｕ ｒ ｎ ｓ ｒｗ． Ｔｈ ｎ， ｔｅ ｖ ｌ ｆｔｅ ｉ ｃ ｔｏ ｅ ｉｓ ｏ ｅ ｈ ａｕｅ ｏ ｈ ｂｆ ａｉｎ ｓ ｒｅ ｆ ｕｒ
维普资讯
第２ ５卷 第 ７期
２０ ０ ８年 ７ 月
机
电
工
程
ＶＯ ＿ ＮＯ． ｌ ２５ ７
Ｍ ＥＣＨＡＮＩ ＣＡＬ ＆ ＥＬＥＣＴＲＩ ＣＡＬ ＥＮＧＩ ＮＥＥＲＩ ＮＧ ＡＧＡＺＩ Ｍ ＮＥ
Ｊ１ ０ ８ ｕ ．２ ０
Ｂ ｏｔ ｏ ｓ 变换 器分叉序列 的仿真与理论分析
ｓ ｒｅ ｆＢ ｏ ｔｃ ｎ ｅｒｅ ｎ ｃ ｒｅ ｔｃ ｎｒ ｌｉｇ ｍｏ ｒ ｔ ｄ ｅ ｅ ｉｓ ｏ ｏ ｓ ｏ ｖ ｔ ｒｉ ｕ ｒ ｎ —ｏ ｔｏｌｎ ｄｅｗｅ ｅｓｕ ｉｄ． Ａｔｆｒｔ ｓｔ ｈ ｔｔｓｅ ｕ ｔｏ ｆＢｏ ｓ ｏ ｖ ｒｅ ，Ｒｕ ｇ — ｔ — ｉｓ ，ａ ｏｔ ｅ ｓａｕ ｑ ａ ｉｎ ｏ ｏ ｔｃ ｎ ｅ ｒ ｔ ｎ ｅ Ｋｕｔ ａ ａ
Ｓ ｍ ｕｌｔｏ ｎ ｈｅ ｒ ｔｃ ｌａ ｌ ｓｓｏｆｔ ｆ ｃ ｔｏ ｅ ｉ ｓ ｉ Ｂｏ ｓ ｏ ｅ ｔ ｒ ｉ ａ ｉ ｎ ａ ｄ ｔ ｏ ｅ ｉ ａ ｎａ ｙ ｉ ｈｅ ｂｉｕｒ ａ ｉ ｎ ｓ ｒｅ ｎ ｏ ｔｃ ｎｖ ｒ ｅ
ＨＵ ｉｈｏ ｇ，ＺＨＯＵ —ｅ ，ＪＡＮＧ ｅ ｄ ｎ Ｎａ — ｎ Ｙｕ ｆｉ Ｉ Ｘｕ — ｏ ｇ，ＹＡＮＧ ｉ Ｊｎ，ＣＨＥＮ Ｊ ｎ— ｉ ｇ ｕ ｎｎ
ｍｏ ｅ ｔｅ ｔ ｅ ｒ ｔｃ ｌｄ ｓｇ ｉ ｃｐ ｅ ｎ ｕ ｉ ｇｓａ ｌ ｐ ｒｔｏ ｆｃ ｎｖ ｒｅ ｒ ｏ ｃｕ ｅ ｒ ｈ ｈ ｏ ｅｉａ ｅ ｉｎ ｐｒｎ ｉｌｓｉ ｓ ｒｎ ｔｂ ｅｏ ｅ ａｉｎ ｏ ｏ ｅ ｒｗｅｅ ｃ ｎ ｌ ｄ ｄ．Ｔｈ ｅ ｅ ｒｈ ｒ ｓ ｌｓｓ ｏ ｔ ａ ，ｓｍｕ ａｉｎ ｔ ｅｒ ｓ ａｃ ｅ ｕ ｔ ｈ ｗ ｈ ｔ ｉ ｌｔｏ
电流模式BOOST变换器倍周期分岔现象研究
２ 电流 模式 控制 Ｂ ｏ ｏ ｓ ｔ 电路设 计
２ ． １ 电路 仿 真 分 析
电流模 式控 ￣ Ｊ ｌ Ｂｏ ｏ ｓ ｔ 变 换 器 电路 一 般 由主 电
路 、 内部 电 流 回路 以及 外 部 电压 反 馈 回 路 构成 ， 电压 反馈 回 路 感应 输 出 电压 变 化 ，对 电感 电流参 考 信 号， ｒ 。 行 相 应 调整 ，使 电 感 电流厶跟 随参 考 信号， ｒ 。 废 化 ，通 过 与 外 部 回路 提 供 的 参 考信 号 图ｌ 电流模式控制 Ｂ ｏ ｏ ｓ ｔ 仿真电路
电流模 式 Ｂ ＯＯＳ Ｔ变换 器倍周 期 分岔现象研 究
李春 阳 ， 李冠林群 ， 陈 希 有
（ 大 连 理 工 大 学 电气 工程 学 院 ，辽 宁 大 连 ｌ １ ６ ０ ２ ３ ）
摘要 本 文运 用时域 波形 、相 轨 图、采样 图及 分岔 图等方 法对 电流模 式控 制 Ｂ ｏ ｏ ｓ ｔ 变换 器 中的非线 性行 为进行 分 析 。提 出一种仿 真数据 与 Ｍａ ｔ ｌ ａ ｂ相结 合 的方法来 绘制 表征 电路系 统非 线性动 力学特 性 的分岔 图，对 变换 器在 参数变 化
分 析 ，对 于 实验 方 面 的研 究工 作 进 行 较 少 。
本 文 以 电流 模 式 Ｂ ｏ ｏ ｓ ｔ 变 换 器 为研 究 对 象 ， 基 于Ｐ Ｓ Ｉ Ｍ仿 真 通 过 设 置 采 样 电路 ，对 变 换 器 中存 在 的
倍 周 期 分 岔 现 象 进 行 了研 究 ，同 时进 行 了相 应 的 电路 实 验 。运 用 仿 真 采 样数 据 与Ｍａ ｔ ｌ ａ ｂ 相 结合 ，绘 制 电感 电流 随 参 考 电压变 化 的分 岔 图 ，在 避 免 复 杂数 学分 析 计 算 的 同时 保证 了分 析 方 法 的准 确 性 。实 验 中， 获 得 电路 系 统 的分 岔 图 、相 轨 图 及采 样 图等 。
电流型Buck-Boost DC-DC变换器的分岔与混沌
电流型Buck-Boost DC-DC变换器的分岔与混沌金爱娟;尹鹏鸿;夏震;李少龙【摘要】The iterative mapping model of current-mode Buck-Boost converter was deduced.On the basis of the model,bifurcation phenomena were studied with input voltage,reference current and load resistance as variable parameters.Bifurcation diagrams were obtained by Matlab simulation,and it can be seen from the figures the effects of bifurcation parameters on system states.In designs,optimal parameters may be chosen in the light of the rules summarized in the paper.%推导了电流模式Buck-Boost变换器的迭代映射模型,在该模型的基础上研究了以输入电压、参考电流和负载电阻为电路变化参数的分岔现象.利用Matlab仿真得到分岔图,从图中可以得知分岔变量可能影响到系统的状态,在设计中可以利用此规律选择最优参数.【期刊名称】《上海理工大学学报》【年(卷),期】2013(035)003【总页数】4页(P299-301,306)【关键词】升降压变换器;分岔;混沌;Matlab仿真【作者】金爱娟;尹鹏鸿;夏震;李少龙【作者单位】上海理工大学光电信息与计算机工程学院,上海200093;上海理工大学光电信息与计算机工程学院,上海200093;上海理工大学光电信息与计算机工程学院,上海200093;上海现代光学系统重点实验室,上海200093【正文语种】中文【中图分类】N941.7对分岔与混沌进行研究有助于分析电路参数对电路工作状态的影响.电力电子工程师在设计中期望对电路参数进行选择，以获得最佳性能.如果能够深入掌握非线性的知识，就能对分岔与混沌现象进行有效的控制.近年来，对DC-DC变换器的分岔与混沌的研究已经取得一定的进展.Buck-Boost变换器是一种应用广泛的重要变换器，本文对电流型Buck-Boost变换器的分岔与混沌进行了研究.目前已发表的文献给出了在20 kHz或更高的开关频率下的研究结果［1-3］.本文是在20 kHz下获得的研究结果，并与现有文献［4-6］的仿真结果进行对比分析.电流模式控制下的Buck-Boost变换器如图1所示.将电感电流iL与参考电流Iref进行比较，利用RS触发器的输出信号控制功率开关管S的通断.E为电源，R，C，L分别为电阻、电容、电感，D为二极管，Q，S，R为RS触发器端口.电感电流和电容电压的波形如图2所示.选择恰当的电感和开关周期等参数可以使变换器工作在连续电流模式（CCM）下.因此，根据开关的状态，有两种电路结构.开关管S在每个周期开始都是闭合的，电感电流线性上升，直到iL=Iref，此时S断开，且保持断开状态直到下一时钟脉冲来临，S才再次闭合.采用在DC-DC变换器离散时间映射中广泛使用的频闪映射来获取离散模型，即在n T，（n+1）T，（n+2）T，…时刻对电感电流、电容电压进行周期性采样，如图2所示.其中，vC为电容两端的电压，vn，in为n T时刻的电压值和电流值，tn为导通时间，t′n为关断时间，n为采样同期数，T为开关周期，i为电流，t为时间.当开关闭合时，状态方程为当开关断开时，状态方程为其中，忽略电感和电容的寄生效应，以简化离散模型的推导.用频闪映射来获取系统的离散模型，在每个时钟周期开始时刻，对该系统的电感电流和电容电压这2个状态变量进行定期采样［7］.令（in，vn）为开关闭合时在一个时钟脉冲内的电感电流和电容电压.由图2可知，变换器在电感电流i达到参考电流Iref时，开关S断开，导通时间tn可由式（1a）计算得到.Buck-Boost变换器的迭代模型可以根据tn≥T和tn＜T两种情况推导出来。
Buck_Boost变换器的设计及仿真
1 概述直流-直流变流电路的功能是将直流电变为另一固定电压或可调电压的直流电，包括直接直流变流电路和间接直流变流电路。
其中，直接直流变流电路又叫斩波电路，它包括降压斩波电路（Buck Chopper）、升压斩波电路（Boost Chopper)、升降压斩波电路（Buck/Boost）、Cuk斩波电路、Sepic斩波电路和Zeta斩波电路共六种基本斩波电路。
Buck/Boost升降压斩波电路同时具有Buck斩波电路和Boost斩波电路的特点，能对直流电直接进行降压或者升压变换，应用广泛。
本文将对Buck/Boost升降压斩波电路进行详细的分析。
RVDRVDRVD2 主电路拓扑和控制方式Buck/Boost 主电路的构成Buck/Boost 变换器的主电路与Buck 或Boost 变换器所用元器件相同，也由开关管、二极管、电感、电容等构成，如图1所示。
与Buck 和Boost 不同的是电感L 在中间，不在输出端也不在输入端，且输出电压极性与输入电压极性相反。
开关管也采用PWM 控制方式。
Buck/Boost 变换器也由电感电流连续和断续两种工作方式，但在实际应用中，往往要求电流不断续，即电流连续，当电路中电感值足够大时，就能使得电路工作在电流连续的状态下。
因此为了分析方便，现假设电感足够大，则在一个周期内电流连续。
图2-1 Buck/Boost 主电路结构图电流连续时有两个开关模态，即V 导通时的模态1，等效电路见图2（a ）；V 关断时的模态2，等效电路见图2（b ）。
（a ）V 导通（b）V关断，VD续流图2-2 Buck/Boost不同模态等效电路ttttt电感电流连续时的工作原理及基本关系电感电流连续工作时的工作主要波形见图2-3。
图2-3电感电流连续时的主要波形为了方便分析，假设电感、电容的值足够大，并且忽略电感的寄生电容。
电感电流连续工作时，Buck/Boost 变换器有V 导通和V 关断两种工作模态。
电流源负载峰值电流控制buck变换器的复杂次谐波振荡现象
电流源负载峰值电流控制 buck 变换器具有次谐波振荡快慢复杂现象 . 本文建立了它的分段光滑开关模型及 通过数值仿真研究了电路参数对 buck 变换器的非线性动力学行为的 离散迭代映射模型. 根据离散迭代映射模型， 影响， 发现了具有快慢效应次谐波振荡吸引域的分岔图和呈现双环带状的庞加莱映射 . 根据分段光滑开关模型， 采 库塔算法， 仿真研究了 buck 变换器的时域波形和相轨图， 研究结果表明：电感电流存在由次谐波振荡与降 用龙格频次谐波振荡组成的 n 型次谐波振荡现象；输出电压存在快标与慢标结合的正弦次谐波振荡现象 . 实验结果验证 了文中的分析结果及仿真结果 .
内的分岔图呈现出具有快慢效应的次谐波振荡吸 引域， 我们将位于上部、 下部的分岔图分别称为上 下吸引域. 为了更详细地揭示 buck 变换器 吸引域、 在上、 下吸引域范围内的分岔行为， 在 nT 时刻构筑 可得到状态变量 i L 和 v C 的庞加莱映 庞加莱截面， 射. 图 3 （ a ） 和 （ b ） 分别给出了 I o = 0. 95 A 和 I o = 1. 021 A 的庞加莱映射.
降频现象
［ 5］
DC 变换器的性能. 因此， 深 现象严重影响开关 DCDC 变换器的分岔和混沌等 入分析和研究开关 DCDC 变换器的设计和 非线性动力学现象， 对开关 DC工程应用具有重要的理论意义和实用价值 . DC 变换器在学术界 峰值电流型控制开关 DC和工业界得到了广泛的研究和应用. 常规开关 DCDC 变换器是含有电感 L 和电容 C 的二阶电路， 通 过建立二维离散迭代映射模型， 已有不少文献研究 DC 变换器的电路参数对分 了电阻性负载开关 DC. 当开关周期 T 远小于 岔和混沌现象的影响 DC 变换器电路的 RC 时间常数， 开关 DC即 T RC 时， 可以认为输出电压恒定不变， 输出部分可以等 DC 变换器降阶为 效为一个电压源， 从而使开关 DC［ 8， 9， 14 ］
Buck—Boost DC／DC变换器中边界碰撞分岔现象的实验研究
（ 西安交通大学 电气工程学 院 ， １０ ９ ７ ０ ４ ，西安）
摘要：在 以往理论研究的基础上 ， 对峰值 电流型 Ｂ ｃ ｏｓ Ｄ ／ Ｃ变换 器的非线性行为进行 了 ｕｋＢ ｏｔ Ｃ Ｄ 深入 的 实验研 究 ， 建 了变换 器 的功率 电路 及相 应 的数 据采 集 系统 ， 用示波 器 直接显 示和数 据 采 搭 使 集两种方法 ， 获得 了表征电路 系统非线性动 力学特性 的 Ｐ ｉ ａ６ ｏｎ ｒ 截面和分岔 图， ｃ 通过这 两种研 究 非线性动力学常借助的手段 ， 对变换 器在参数变化过程 中出现的边界碰 撞分岔现 象的动力学行为
Ａｂ ｔａ ｔ Ｂ ｓｄ ｏ ｈ ｒ ｖｏ ｓｔ ｅ ｒ ｔｃａ ａｙ ｉ，ａ ｘ ｅ ｉ ｅ ｔ ｌ ｎ ｅ ｔｇ ｔｏ ｏ ｔ ｅｎ ｎ ｉｅ ｒ ｓｒ ｃ ： ａ ｅ ｎ ｔ ｅｐ ｅ ｉ ｕ ｈ ｏ ｅｉ ｎ ｌｓｓ ｎ ｅ ｐ ｒｍ ｎ ａ ｖ ｓｉａ ｉｎ ｔ ｈ ｏ ｌ ａ ｉ ｎ
ｐ ｅ ｏ ｎ ｎｆｒＢ ｃ — ｏ ｔＸ；Ｄ ｏ ｖ ｒｅ ｆ ｅｋ ｃ ｒｅ ｔ ｏ ｔｏ ｄ ｅｆｒ ｄ ｈ ｎ ｍｅ ｏ ｏ ｕｋ Ｂ ｓ ／ Ｃ ｃｎ ｅｔｒ ａ —ｕ ｒｎ ｎ ｒｌ ｏ Ｉ ｏｐ ｃ ｍｏ ｅ Ｓｐ ｒｏｍｅ ．Ａ ｏ－ ｉ ｃｔ
ｒ ｓ ｏ ｄｎ ｘ ｅ ｉ ｅ ｔ ｌｐ ｗｅ ｉｃ ｉ ａ ｄ ｔ ｅ ｒ ｌｔ ｄ ａ ｑ ｉｉ ｏ ｙ ｔｍ ｒ ｅ ｉｎ ｄ ａ ｄ ｅ ｔ ｂ ｅ ｐ ｎ ｉ ｇ ｅ ｐ ｒｍ ｎ ａ ｏ ｒｃｒ ｕｔ ｎ ｈ ｅａｅ ｃ ｕｓｔ ｎ ｓ ｓｅ ａ ｅｄ ｓｇ ｅ ｎ ｓａ — ｉ
及演化过程进行 了辨识与分析． 最后 ， 实验结果与数值仿真 的结果进行 了对照 ， 将 实验 图在分岔形
(毕业论文)buckboost变换器(可编辑)
(毕业论文)Buck-Boost变换器摘要在很多需要DC-DC变换的系统，往往需要研制一种宽电压输入范围的DC/DC变换器电源。
在充分考虑不同DC/DC变换器拓扑特点的基础上，本文选用了Buck-Boost作为系统的主电路拓扑。
本文介绍了Buck-Boost电路的工作原理，建立了理想Buck-Boost模型，对整个电路进行了主电路参数设计，并在此基础上进行了电压电流闭环参数设计的研究，实现了控制理论中零极点补偿法在电力电子中的应用，。
接着，本文在protel中进行了原理图和PCB图的设计，在设计的硬件电路上进行了测试实验。
为了使系统能够在宽电压输入范围内稳定正常工作，本文实现了提出的闭环参数设计方法，指出了该方法的优点，并通过实验验证了该方法的正确性。
关键词：Buck-Boost；DC/DC变换器目录摘要I目录II第1章绪论 1第2章 Buck-Boost变换器原理分析62.1电感电流连续时的工作原理和基本关系6理 6系72.2电感电流断续时的工作原理和基本关系：8理8系92.3电感电流连续时的稳态分析10第3章主电路参数设计123.1电感计算123.2输出滤波电容计算143.3主功率管选择143.4功率二极管选择163.5输入侧熔断器选择163.6压敏电阻选择16第4章控制电路设计 184.1电流型与电压型PWM 控制原理及性能比较 18PWM控制18PWM控制18PWM控制的优点194.2 UC3845原理与特性194.3 UC3845常用典型电路204.4 电压反馈电路 214.5 电压、电流闭环电路 21第5章硬件电路设计及实验 23 5.1主电路硬件电路设计245.2控制电路设计255.3 PCB印制板图255.4 Buck-boost电路实验测试26 结论29参考文献30第1章绪论因为电子设备中所用的集成电路的种类繁多,其电源电压也各不相同,在电子供电系统中,采用高功率密度的高频DC/DC隔离电源模块,从中间母线电压一般为48V直流变换成所需的各种直流电压,可以大大减小损耗、方便维护,且安装和增容非常方便。
BUCK_BOOST_BUCK-BOOST电路的原理
BUCK BOOST BUCK/BOOST电路的原理Buck变换器：也称降压式变换器，是一种输出电压小于输入电压的单管不隔离直流变换器。
图中，Q为开关管，其驱动电压一般为PWM(Pulse width modulation脉宽调制)信号，信号周期为Ts，则信号频率为f=1/Ts，导通时间为Ton，关断时间为Toff，则周期Ts=Ton+Toff，占空比Dy= Ton/Ts。
、Boost变换器：也称升压式变换器，是一种输出电压高于输入电压的单管不隔离直流变换器。
开关管Q也为PWM控制方式，但最大占空比Dy必须限制，不允许在Dy=1的状态下工作。
电感Lf在输入侧，称为升压电感。
Boost变换器也有CCM和DCM两种工作方式、Buck/Boost变换器：也称升降压式变换器，是一种输出电压既可低于也可高于输入电压的单管不隔离直流变换器，但其输出电压的极性与输入电压相反。
Buck/Boost变换器可看做是Buck变换器和Boost变换器串联而成，合并了开关管。
Buck/Boost变换器也有CCM和DCM两种工作方式，开关管Q也为PWM控制方式。
LDO的特点：①非常低的输入输出电压差②非常小的内部损耗③很小的温度漂移④很高的输出电压稳定度⑤很好的负载和线性调整率⑥很宽的工作温度范围⑦较宽的输入电压范围⑧外围电路非常简单，使用起来极为方便DC/DC变换是将固定的直流电压变换成可变的直流电压，也称为直流斩波。
斩波器的工作方式有两种，一是脉宽调制方式Ts不变，改变ton(通用)，二是频率调制方式，ton不变，改变Ts（易产生干扰）。
其具体的电路由以下几类：】（1）Buck电路——降压斩波器，其输出平均电压U0小于输入电压Ui，极性相同。
（2）Boost电路——升压斩波器，其输出平均电压U0大于输入电压Ui，极性相同。
（3）Buck－Boost电路——降压或升压斩波器，其输出平均电压U0大于或小于输入电压Ui，极性相反，电感传输。
简析BOOST-BUCK变换器.
简析BOOST-BUCK变换器摘要：实现了一种全集成可变带宽中频宽带低通滤波器，讨论分析了跨导放大器-电容(OTA—C)连续时间型滤波器的结构、设计和具体实现，使用外部可编程电路对所设计滤波器带宽进行控制，并利用ADS软件进行电路设计和仿真验证。
仿真结果表明，该滤波器带宽的可调范围为1～26 MHz，阻带抑制率大于35 dB，带内波纹小于0．5 dB，采用1．8 V电源，TSMC 0．18μm CMOS工艺库仿真，功耗小于21 mW，频响曲线接近理想状态。
关键词：Butte摘要：本文提出一种新型的BOOST-BUCK变换器，该变换器具有输入输出电流连续，输出电压可调范围大等优点。
由于该变换器的输入电流连续，该变换器适合于功率因数校正电路，且其实现较为简单。
该变换器的输出电压可调范围大，可以大于或小于输入电压，这很好的克服了传统的BOOST变换器输出电压必须大于输入的缺点。
理论分析，仿真和实验均验证了该变换器的实用性。
叙词：BOOST-BUCK变换器，BOOST变换器，功率因数校正。
Abstract：A novel BOOST-BUCK converter is proposed in this paper. The converter has a continue input and output current, and wide output voltage range. For the continuous input current, the converter can be used in power factor corrector, and the realization is simple. Since the output voltage could be bigger or smaller than the input voltage, the converter can solve the limitation of the boost converter that its output voltage must bigger than the input voltage. The proposed converter is analyzed, simulated and experimentally verified. Keyword：BOOST-BUCK converter, BOOST converter, PFC.Ⅰ 引言目前，功率因数校正问题是许多电器设备都需要解决的问题。
Buck-Boost变换器的研究
南京航空航天大学硕士学位论文Buck-Boost变换器的研究姓名：李宇申请学位级别：硕士专业：电机与电器指导教师：王慧贞20060201南京航空航天大学硕士学位论文摘要一种新的高可靠性飞机专用电源系统，需要研制一种大功率宽电压输入范围的DC/DC变换器电源。
在充分考虑不同DC/DC变换器拓扑特点的基础上，本文选用了Buck-Boost作为系统的主电路拓扑。
本文介绍了Buck-Boost电路的工作原理，建立了非理想Buck-Boost平均法的模型，对整个电路进行了单电压闭环参数设计的研究，实现了控制理论中零极点补偿法在电力电子中的应用，建立了闭环小信号模型，总结了设计校正网络的步骤和具体方法。
在利用MATLAB设计出校正网络的传递函数后，又在电路上验证了校正网络参数选择的正确性。
接着，本文给出了540W 27-270VDC/28VDC变换器的设计过程，并进行了损耗分析。
为了使系统能够在宽电压输入范围内稳定正常工作，本文实现了提出的变传递函数系统校正方法在电力电子闭环参数设计中的应用，并与闭环参数设计方法进行了比较，指出了该方法的优点，并通过仿真和实验验证了该方法的正确性。
关键字：Buck-Boost，DC/DC变换器，闭环设计，宽电压输入范围，非理想数学模型iBuck-Boost变换器的研究ABSTRACTDC/DC converter with high power and wide range input voltage was required for more reliable special aero-power systems. Through comparison of characteristics for different DC/DC topologies, Buck-Boost converter was selected as main topology of the power system.The working principle of Buck-Boost is first introduced, and averaging model of non-ideal Buck-Boost converter is established. The design details for voltage loop were given and zero-pole compensation method from classic control theory was applied to the filed of power electronics. Thus, small-signal model of closed-loop was established, with detailed design guidelines for correction network. Base on the above-mentioned analysis and also with the help of MATLAB simulation, transfer function of the correction network was designed. Then experimental results verify correctness of the network’s parameters. Besides, the design procedure and power loss analysis were given for a Buck-Boost converter of 540kW 27-270VDC/28VDC.By using the correction approach of vary-transfer function for designing parameter of closed-loop in the area of power electronics, the system could work reliably under wide range input voltage conditions. Compared with the design method of closed-loop parameter, the advantages of the correction approach of vary-transfer function were highlighted and testified by simulation and experimental results.Keywords: Buck-Boost, DC/DC converter, closed-loop design, wide range input voltage, non-ideal physical modelii承诺书本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作所取得的成果。
Buck-Boost变换器的设计与仿真
1 概述直流-直流变流电路的功能是将直流电变为另一固定电压或可调电压的直流电，包括直接直流变流电路和间接直流变流电路。
其中，直接直流变流电路又叫斩波电路，它包括降压斩波电路（Buck Chopper）、升压斩波电路（Boost Chopper)、升降压斩波电路（Buck/Boost）、Cuk斩波电路、Sepic斩波电路和Zeta斩波电路共六种基本斩波电路。
Buck/Boost升降压斩波电路同时具有Buck斩波电路和Boost斩波电路的特点，能对直流电直接进行降压或者升压变换，应用广泛。
本文将对Buck/Boost升降压斩波电路进行详细的分析。
RVDRVDRVD 2 主电路拓扑和控制方式2.1 Buck/Boost 主电路的构成Buck/Boost 变换器的主电路与Buck 或Boost 变换器所用元器件相同，也由开关管、二极管、电感、电容等构成，如图1所示。
与Buck 和Boost 不同的是电感L 在中间，不在输出端也不在输入端，且输出电压极性与输入电压极性相反。
开关管也采用PWM 控制方式。
Buck/Boost 变换器也由电感电流连续和断续两种工作方式，但在实际应用中，往往要求电流不断续，即电流连续，当电路中电感值足够大时，就能使得电路工作在电流连续的状态下。
因此为了分析方便，现假设电感足够大，则在一个周期内电流连续。
图2-1 Buck/Boost 主电路结构图电流连续时有两个开关模态，即V 导通时的模态1，等效电路见图2（a ）；V 关断时的模态2，等效电路见图2（b ）。
（a ）V 导通（b ）V 关断，VD 续流图2-2 Buck/Boost 不同模态等效电路ttttt2.2 电感电流连续时的工作原理及基本关系电感电流连续工作时的工作主要波形见图2-3。
图2-3电感电流连续时的主要波形为了方便分析，假设电感、电容的值足够大，并且忽略电感的寄生电容。
电感电流连续工作时，Buck/Boost 变换器有V 导通和V 关断两种工作模态。
讨论BUCK、BOOST、BUCK
讨论BUCK、BOOST、BUCKBUCKBUCK电路的设计技术指标要求（要求工作于电感电流连续工作模式）：１、输入直流电压：１０～１５V；２、输出直流电压：５V；３、最大输出电流：２A；４、最小输出电流：０．２Ａ；５、输出电压纹波峰峰值：１００ｍＶ；６、开关频率：５０ｋＨｚ。
主电路参数设计目标１、电感参数设计：求得电感量与最大有效值电流、最大峰值电流三个参数。
２、电容参数设计：需得到电容量与额定电压两个参数。
３、开关管选择：需得到额定电流、额定电压两个参数。
４、二极管选择：需得到额定电流、额定电压两个参数。
1、计算占空比２、计算电感参数BUCK变换器电感电流平均值即为输出直流电流，当输出最小电流时，电感电流应至少处于电感电流临界连续才能维持整个工作范围电感电流连续，由电感电流连续条件：buck电路，稳态时，电感电压的平均值为0，电容电流的平均值为0.由电感电流波形图，电感电流的脉动峰峰值为开关管开通时段的电流的增量，也就是开关管断开时段电流的减量。
3、计算电容参数**20kHz以上时，对铝电解电容而言，因为电容有等效串联电阻Resr，会使电容两端产生脉动电压（电压纹波）。
一般电容器的等效串联电阻Resr与其容量的乘积为4、计算MOS管的额定电流、额定电压首先分析一下BUCK电路MOS管和续流二极管电流有效值怎么算在CCM模式下：MOS管的电流有效值为二极管有效值为在DCM模式下：（这儿还没有讨论这种工作状态）MOS管的电流有效值为二极管有效值为其中Mvdc为电压传输比，即用输出电压除以输入电压我们讨论的情况使CCM模式，所以MOS管额定电流一般要求取MOS管最大有效值电流的２～３倍，所以额定电流取3A以上。
MOS管所承受的最大电压等于输入直流电压的最大值，即MOS管的额定电压一般取其所承受的最大电压的1.5~2倍，所以额定电压取25V以上。
5、计算二极管的额定电压、额定电流BOOST二、设计一款BOOST电路，要求工作在电感电流连续状态，其技术指标要求：1、输入直流电压：10V；2、输出直流电压：30V；3、最大输出电流：1A；4、最小输出电流：0.1Ａ；5、输出电压纹波峰峰值：300ｍＶ；6、开关频率：100ｋＨｚ。
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电子技术研发
Electronics R & D
0 引言
PWM 型DC/DC 变换器的基本拓扑结构包括Buck 、Boost 和Buck-Boost ，通常应用于功率电路。
目前在文献[1],[2]中已经观测到分岔与混沌现象，其分析基于时间的阶跃仿真来获得分岔条件。
在分岔期间，它们的分谐波也可以通过时域波形和i-v 轨迹观测得到[4-6]。
频闪映射也是一种描述从周期1到周期2的转变过程等常见的方法[7,8]。
在kHz 范围内，仔细处理漏电感的寄生效应、寄生电容和导通阻抗需要仿真实验验证。
随着频率的变化，发生分岔的电路参数若不通过仿真是不可轻易预测的[9,10]。
是否可能得到DC/DC 变换器的频率相关性需要进行研究，本文提出在尖峰电流控制下的Buck-Boost 变换器。
1 频率相关性的推导
图1为电流模式控制的Buck-Boost 变换器。
晶体管的导通时间t ONn 定义为i L 达到I ref 的时间，在
图1 电流模式控制的Buck-Boost 变换器
电流型Buck-Boost变换器的分岔频率相关性的验证
李 磊 金爱娟 李少龙
（上海理工大学 光学信息与计算机学院）
摘 要：PWM 型Buck-Boost 功率变换器的频标可用于预测不同频率运行下的第一个分岔点。
本论文首先推导出功率变换器新型频率的相关性。
这是在高频工作下由仿真实验结果验证得到的。
关键词：分岔与混沌；变换器；电流控制；DC/DC 功率转换
Verification of Frequency Correlation for Bifurcation of Current-Mode Controlled
Buck-Boost Converters
Li Lei Jin Aijuan Li Shaolong
（School of Optical-Electrical and Computer Engineering, University of Shanghai for Science and Technology ）Abstract ：The frequency scaling of pulse-width modulated Buck-Boost power converters can be used to predict the first bifurcation point at various frequency operations. This paper firstly derives the novel frequency correlation for the power converter. This is obtained by simulation experimental results at high-frequency operation.
Key words ：
bifurcation and chaos; converter; current-mode control; DC/DC power convertion
n th 时间步长有[3]：
(1)其中L 是电感系数，E 是输入电压。
当电路进入第一分岔时，t ONn ＞T ，其中T 是开关周期，电感电流i L 和电容电压v c 可表示为：
(2)
(3)
其中R 为负载。
当工作在周期1时，t ONn ＜T ，并且i L 和v c 在n th 时间步长的迭代方程为：
(4) (5)其中，
从独立变量的角度观察，式(4)和(5)可写成： (6) (7)其中 和 。
式(1)、(3)、(6)和(7)都有一个共同的频标特性。
因此若T/C 和T/L 是固定的，那么分岔条件不改变。
随着工作点的频率发生变化，那么无源元件的
10.3969/j.issn.1000-0755.2012.10.002
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阻抗保持固定以及状态方程也将不变。
这在理论上证实了分岔特性的频标。
值得注意的是，这种情况对于所有的电子电路并非独一无二，因为无源元件可能并未完成所有转换电路的操作而呈现相同的迭代方程。
有趣的是，在功率变换器中发现了这个现象。
图1显示了变换器在F =20kHz 下的分岔图。
图2 20kHz 下的电感电流与输入电压的分岔图
电路参数在下列数值时保持固定，即I ref =4A ，L =0.5mH ，R =20Ω，C =4μF 和T =50μs 。
在50kHz 时，分岔图将重新得到如下。
图3 50kHz 下的电感电流与输入电压的分岔图
然后将有源元件变化至L =0.2mH 和C =1.6μF ，其他所有的参数将保持不变，即它们的阻抗不变。
图4 50kHz 下有源元件变化后的电感电流与输入电压的分岔图（参见右栏）
由图2和图3可知，在不同频率下Buck-Boost 变换器将表现出不同的分岔行为。
由图2和图4可知，在频标特性不变的情况下，变换器将表现出相同的分岔行为。
2 总结
这篇论文推导了Buck-Boost 变换器的基本时间步长的迭代方程。
这个方程可用来模拟
Buck-Boost
图4 50kHz 下有源元件变化后的电感电流与输入电压的分岔图
变换器的分岔现象。
在20kHz 和10kHz 下的实验结果已被用于检测无源元件变化的频率标度，通过保持阻抗固定。
对于基本功率变换器，当给定了固定频率的一个分岔点，则上面得到的分析方法可用于预测在其他频率下的第一次分岔点的发生。
此论文描述了Buck-Boost 变换器的基本时间步长的迭代方程及其仿真实验结果。
事实上，频率标度也可以应用于其他功率变换器。
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[9] Parker T S, Chua L O. Practical numerical algorithms for Chaotic systems[M]. Springer-Verlag. 1989. 作者简介：
李磊，男，1988年出生，安徽合肥，硕士研究生，主要研究方向为变换器的非线性动力学基金项目：
上海市教育委员会科研创新项目（09YZ214）上海市研究生教育创新计划和上海理工大学光电学院教师创新能力建设项目共同资助
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金 阳(1988－)，男，硕士研究生，研究方向为数字图像处理
库锡树(1964－)，男，教授，研究方向为多媒体技术、图像处理。