有理数与数轴的讲义

有理数的基本概念及数轴的表示
教学内容
1、认识正数与负数在生活中的应用与具有的意义。

2、理解和熟记什么是有理数和有理数的分类。

3、学习数轴的特点，有理数在数轴上的表示。

教学目标
1、初步理解有理数的基本概念，知道有理数的分类。

2、初步理解数轴的特点和数轴的三要素，有理数在数轴上的表示。

重点：1、正数和负数具有相反的意义
2、有理数的分类
3、数轴的画法，用数轴上的点表示有理数，
难点：1、表示具有相反意义的量是正数与负数最直接的重要应用
2、数轴的画法，
教学过程
一、认识正数和负数
1、什么是正数和负数
正数就是带有正号“+”的数(正号可以省略不写)，是大于零的数；而负数是带有负号“—”的数（负数前的“—”号不能省略），是比零小的数。

如：正5可以表示为“+5”或者“5”，负5可以表示为“—5”。

例．如果向南走5米，记作+5米，那么向北走8米应记作______．
习题：
1．如果温度上升3℃记作+3℃，那么下降5℃记作____________．
2、表示具有相反意义的量是正数与负数最直接的重要应用。

在现实生活中，常见的具有相反意义的量，这些量的大小都可以用正数、负数或0表示。

一般情况，规定如下：
符号具有相反意义的量
+ 零上（温度）收入增加上升盈余……—零下（温度）支出减少下降亏损……
例：在测量兵乓球质量时，一只兵乓球超出标准质量0.01克的记作+0.01，那么—0.03克表示什么。

习题：
1．海拔高度是+1356m，表示________，海拔高度是-254m，表示______．
2．一种零件的内径尺寸在图纸上是30±0.05(单位：毫米)，表示这种零件的标准
尺寸是30毫米，加工要求最大不超过标准尺寸______毫米，最小不低于标准尺寸______毫米．
注意：0既不是正数也不是负数
二有理数的基本概念及分类
1、有理数：整数和分数统称有理数。

（1）按定义分
⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩
正整数整数零
负整数有理数正分数分数负分数
(2) 而按符号（正、负数来分）有如下分类：
⎧⎧⎪⎨⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩
正整数正有理数正分数有理数零负整数负有理数负分数 例：6．把下列各数分别填在相应的大括号里：
+9，-1，+3，312-，0，213-，-15，4
5，1.7． 正数：{ }，
负数：{ }．
分数：{ }，
整数：{ }，
正有理数：{ }，
负有理数：{ }，
习题：
1、把下列各数分别填在相应集合中：
1，-0.20，5
13，325，-789，0，-23.13，0.618，-2008． 负数集合： { …}；
非负数集合： { …}；
非负整数集合：{
…}；
二、认识数轴
1、数轴是这样的东西：规定了零点，正方向，单位长度的直线叫做数轴．
2、数轴的三要素：1、原点2、正方向
3、单位长度
3、数轴的定义:
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴.原点、正方向、单位长度称为数轴的三要素，这三者缺一不可，同时应该认识到，这三个要素都是规定的。

原点是数轴上有特殊意义的点，它相当于温度计中的零刻度线，正方向一般是规定为向右的方向，单位长度可视具体情况而定。

4、数轴的画法：
数轴的画法可分为四个步骤：（1）画一条水平的直线；（2）在这条直线上的适当位置取一点作为原点；（3）确定正方向，用箭头表示出来；（4）确定单位长度，用细短线画出，并对应地标注各数. 画好了数轴，就可以用数轴上的点表示有理数.正有理数用原点右边的点表示（在数轴上要画出实心的小圆点），负有理数用原点左边的点表示.所有的有理数都可以在数轴上找到它的对应点.
例：请你画一条数轴。

例：有理数在数轴上的表示
例：画数轴时常见的4种错误
下列所画数轴对不对？如果不对，指出错在那里？
（1）
（2）
（3）
（4）
习题：
1、下列图中为数轴是（）
A. B. -202
C. -202
D. -202
2、判断题：
（1）直线就是数轴。

（ ）
（2）数轴就是直线。

（ ）
（3）任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示。

（ ）
（4）数轴上到原点距离等于3的点所表示的数是＋3。

（ ）
（5）数轴上原点左边表示的数是负数，右边表示的数是正数，原点表示的数是0。

（ ）
3、画一条数轴，在数轴上标出表示下列各数的点：3，－5，72 ，- 12
，0，-1.4，3.2 例1、把下列各数用数轴上的点表示出来，并用“＜”号把它们连接起来：6，5.4-，
3-，0，25
，4。

数轴知识点总结：
数轴（直线） 结论：
三 原点
要
单位长度
素 正方向
1、所有的有理数都可以用数轴上的点来表示。

2、每一对相反数在数轴上对应的点分别在
3、原点的两侧，并且到原点的距离相等。

习题：1、在数轴上表示－212 和123 ，并根据数轴指出所有大于－212 而小于123
的整数。

2、在数轴上与－1相距3个单位长度的点有（ ）个，为（ ）；长为3个单位长度的木条放在数轴上，最多能覆盖（ ）个整数点？
课后作业：
一、选择题
1．6，2005，212
，0，-3，+1，41 ，-6.8中，正整数和负分数共有…（ ） A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个
2.某年度某国家有外债10亿美元,有内债10亿美元,应用数学知识来解释说明,下列说法合理的是( )
A.如果记外债为-10亿美元,则内债为+10亿美元
B.这个国家的内债、外债互相抵消
C.这个国家欠债共20亿美元
D.这个国家没有钱
3、数轴上与原点距离为3的点表示的是（ ）
A 、3
B 、－3
C 、±3
D 、6
一、 填空题：
1．如果全班某次数学测试的平均成绩为83分，某同学考了85分，记作+2分，得分90分和80分应分别记作_________________________．
2．如果把+210元表示收入210元，那么-60元表示______________． 3．粮食产量增产11％，记作+11％，则减产6％应记作______________． 4．如果向西走12米记作+12米，则向东走-120米表示的意义是___．
3．味精袋上标有“500±5克”字样中，+5表示_____________，-5表示____________．
4、数轴上原点左边的点表示 数，原点右边的点表示 数，
点表示0．
5、比5小的正整数有 ；比—5大的负整数有 ．
6、—π的相反数是 ； 的相反数是0．
7、用“>”、“<”填空：
（1）9 －16；（2）—
157 —15
2；（3）0 —6 ．
三、解答题：
1、一个点从数轴上表示—2的点开始，向右移动4个单位长度，再向左移动5个单位长度，说明这时这个点表示的数．
2、数轴上与原点相距3个单位长度的点有几个？它们表示的数各是什么？
3、在市场经济中，利润计算公式是：利润＝销售收入－销售成本，小亮利用此公式计算爸爸经营的商店在某一天的利润为-25元，请问：-25元的利润是什么意义？。