高中数学第三章导数及其应用3.2导数的运算3.2.1常数与幂函数的导数3.2.2导数公式表预习导学案

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19-20 第3章 3.2 3.2.1 常数与幂函数的导数 3.2.2 导数公式表

3.2导数的运算3.2.1常数与幂函数的导数3.2.2导数公式表学习目标核心素养1.能根据定义求函数y＝C，y＝x，y＝x2，y＝1 x的导数.2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．(重点、难点) 通过利用基本初等函数的导数公式求简单函数的导数的学习，提升学生的数学运算素养.1．常数与幂函数的导数原函数导函数f(x)＝C f′(x)＝0f(x)＝x f′(x)＝1f(x)＝x2f′(x)＝2xf(x)＝1x f′(x)＝－1x2原函数导函数f(x)＝C(C为常数)f′(x)＝0 f(x)＝x u f′(x)＝ux u－1(x＞0，u≠0) f(x)＝sin x f′(x)＝cos xf(x)＝cos x f′(x)＝－sin xf(x)＝a x f′(x)＝a x ln a(a＞0，a≠1) f(x)＝e x f′(x)＝e xf (x )＝log a x f′(x )＝1x ln a (a ＞0，a ≠1，x ＞0)f (x )＝ln xf′(x )＝1x1．下列结论：①(sin x )′＝cos x ；②(x 53)′＝x 23； ③(log 3x )′＝13ln x ；④(ln x )′＝1x .其中正确的有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个C [∵②(x 53)′＝53x 23；③(log 3x )＝1x ln 3；∴②③错误，故选C.] 2．若函数f (x )＝x ，则f′(1)等于( ) A ．0 B ．－12 C ．12D ．1C [∵f′(x )＝(x )′＝(x12)′＝12x 12－1＝12x，∴f′(1)＝12，故选C.]3．曲线y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，22处的切线方程为________．42x －8y ＋2(4－π)＝0 [∵k ＝(sin x )′|x ＝π4＝cos π4＝22，∴切线方程为y －22＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4，即42x －8y ＋2(4－π)＝0.]利用导数公式求函数的导数(1)y ＝x 12；(2)y ＝1x 4；(3)y ＝5x 3； (4)y ＝2sin x 2cos x2；(5)y ＝log 12x . [思路探究] 先将解析式化为基本初等函数的形式，再利用公式求导． [解] (1)y ′＝(x 12)′＝12x 12－1＝12x 11. (2)y ′＝(x －4)′＝－4x －4－1＝－4x －5＝－4x 5. (3)y ′＝(5x 3)′＝(x 35)′＝35x 35－1＝35x －25＝355x 2.(4)∵y ＝2sin x 2cos x2＝sin x ，∴y ′＝cos x . (5)y ′＝(log 12x )′＝1x ln 12＝－1x ln 2.用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度.解题时根据所给函数的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式.提醒：若题目中所给出的函数解析式不符合导数公式，需通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式化成指数幂的形式求导.导数公式的综合应用1．若y ＝c ，y ＝x 和y ＝x 2都表示路程关于时间的函数，则其导数的物理意义是什么？提示：若y ＝c 表示路程关于时间的函数，则y ′＝0可以解释为某物体的速度始终为0，即物体一直处于静止状态；若y ＝x 表示路程关于时间的函数，则y ′＝1可以解释为某物体做速度为1的匀速运动；若y ＝x 2表示路程关于时间的函数，则y ′＝2x 可以解释为某物体做变速运动，它在x 时刻的瞬时速度为2x .2．指数函数与对数函数的导数公式各具有什么特点？[提示] (1)指数函数的导数等于指数函数本身乘以底数的自然对数，y ＝e x 的导数是y ＝a x (a >0，a ≠1)导数的特例．(2)对数函数的导数等于x 与底数的自然对数乘积的倒数，y ＝ln x 的导数是y ＝log a x (a ＞0，a ≠1，x ＞0)导数的特例．【例2】已知点P (－1,1)，点Q (2,4)是曲线y ＝x 2上两点，是否存在与直线PQ 垂直的切线，若有，求出切线方程；若没有，说明理由．[思路探究] 先求导数，再根据导数的几何意义求解． [解] 因为y ′＝(x 2)′＝2x ，假设存在与直线PQ 垂直的切线．设切点坐标为(x 0，y 0)，由PQ 的斜率为k ＝4－12＋1＝1，又切线与PQ 垂直，所以2x 0＝－1，即x 0＝－12，所以切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，14.所以所求切线方程为 y －14＝(－1)()x ＋12，即4x ＋4y ＋1＝0.1．(变结论)若本例条件不变，求与直线PQ 平行的曲线y ＝x 2的切线方程． [解] 因为y ′＝(x 2)′＝2x ，设切点为M (x 0，y 0)，则y ′|x ＝x 0＝2x 0. 又因为PQ 的斜率为k ＝4－12＋1＝1，而切线平行于PQ ，所以k ＝2x 0＝1，即x 0＝12.所以切点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14，所以所求切线方程为y －14＝x －12，即4x －4y －1＝0.2．(变条件)若函数改为y ＝ln x ，试求与直线PQ 平行的切线方程． [解] 设切点为(a ，b )，因为k PQ ＝1，则由f′(a )＝1a ＝1，得a ＝1，故b ＝ln 1＝0，则与直线PQ 平行的切线方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0.解决切线问题，关键是确定切点，要充分利用：(1)切点处的导数是切线的斜率.(2)切点在切线上.(3)切点又在曲线上这三个条件联立方程解决.1．思考辨析(1)若函数f (x )＝log 2π，则f′(x )＝1πln 2.( ) (2)若函数f (x )＝3x ，则f′(x )＝x ·3x －1.( ) (3)若函数f (x )＝4x ，则f′(x )＝4x 2.( ) [提示] (1)× π为常数． (2)× f′(x )＝3x ln 3. (3)× f′(x )＝－4x 2.2．函数f (x )＝x ，则f′(3)等于( ) A ．36 B ．0 C ．12xD ．32A [∵f′(x )＝12x ，∴f′(3)＝123＝36.]3．设函数f (x )＝log a x ，f′(1)＝－1，则a ＝________. 1e [∵f′(x )＝1x ln a ，∴f′(1)＝1ln a ＝－1，∴a ＝1e.] 4．过曲线y ＝sin x 上的点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12的切线方程为________．63x －12y －3π＋6＝0 [曲线y ＝sin x 在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12处的切线斜率为k ＝y ′|x ＝π6＝cos π6＝32. 所以切线方程为y －12＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，即63x －12y －3π＋6＝0.]5．求下列函数的导数：(1)y ＝cos π6；(2)y ＝1x 5；(3)y ＝x 2x ；(4)y ＝lg x ；(5)y ＝5x ；(6)y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x .[解] (1)y ′＝0. (2)∵y ＝1x 5＝x －5，∴y ′＝(x －5)′＝－5x －6＝－5x 6. (3)∵y ＝x 2x＝x 32.∵y ′＝(x 32)′＝32x 12＝32x . (4)y ′＝1x ln 10. (5)y ′＝5x ln 5.(6)∵y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝sin x ，∴y ′＝(sin x )′＝cos x ．课时分层作业(十七) 常数与幂函数的导数导数公式表(建议用时：40分钟)[基础达标练]1．已知f (x )＝1x ，则f ′(3)＝( ) A ．－13 B ．－19 C ．19D ．13B [∵f (x )＝1x ，∴f ′(x )＝－1x 2，∴f ′(3)＝－132＝－19，故选B.] 2．已知f (x )＝ln x ，则f ′(e)＝( ) A ．0 B ．1e C ．1D ．eB [∵f (x )＝ln x ，∴f ′(x )＝1x ，则f ′(e)＝1e ，故选B.] 3．已知f (x )＝x α(α∈Q )，若f ′(－1)＝4，则α等于( ) A ．3 B ．－3 C ．4D ．－4D [∵f (x )＝x α，∴f ′(x )＝αx α－1. ∴f ′(－1)＝α(－1)α－1＝4. ∴α＝－4.]4．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝e x 的切线，则实数k 的值为( ) A ．1e B ．－1e C ．－eD ．eD [y ′＝e x ，设切点为(x 0，y 0)，则⎩⎨⎧y 0＝k x 0，y 0＝e x 0，k ＝e x 0，∴e x 0·x 0＝e x 0，∴x 0＝1，∴k ＝e.]5．若幂函数f (x )＝mx α的图象经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12，则它在点A 处的切线方程是( )A ．2x －y ＝0B ．2x ＋y ＝0C ．4x －4y ＋1＝0D ．4x ＋4y ＋1＝0C [因为函数f (x )＝mx α为幂函数，所以m ＝1.又幂函数f (x )＝x α的图象经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12，所以α＝12，所以f (x )＝x 12，f ′(x )＝12x ，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1，所以f (x )的图象在点A 处的切线方程为y －12＝x －14，即4x －4y ＋1＝0.]6．已知函数f (x )＝x m －n (m ，n ∈Q )的导数为f ′(x )＝nx 3，则m ＋n ＝________. 12 [∵f (x )＝x m －n ，∴f ′(x )＝(m －n )x m －n －1， ∴⎩⎨⎧m －n ＝n ，m －n －1＝3，解得m ＝8，n ＝4，∴m ＋n ＝12.] 7．设曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1x (x ＞0)上点P 处的切线垂直，则点P 的坐标为________．(1,1) [因为y ′＝e x ，所以曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线的斜率为k 1＝e 0＝1. 设P (m ，n )，y ＝1x (x ＞0)的导数为y ′＝－1x 2(x ＞0)，曲线y ＝1x (x ＞0)在点P 处的切线斜率为k 2＝－1m 2(m ＞0)，因为两切线垂直，所以k 1·k 2＝－1，所以m ＝1，n ＝1，则点P 的坐标为(1,1)．]8．函数y ＝x 2(x ＞0)的图象在点(a k ，a 2k )处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k＋1，其中k ∈N *，若a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5的值是________．21 [∵y ′＝2x ，∴y ＝x 2(x ＞0)的图象在点(a k ，a 2k )处的切线方程为y －a 2k ＝2a k (x －a k )．又该切线与x 轴的交点为(a k ＋1,0)，∴a k ＋1＝12a k ，即数列{a k }是首项a 1＝16，公比q ＝12的等比数列，∴a 3＝4，a 5＝1，∴a 1＋a 3＋a 5＝21.]9．已知曲线C ：y ＝x 3.(1)求曲线C 上点(1,1)处的切线方程；(2)在(1)中的切线与曲线C 是否还有其他公共点？ [解] (1)因为y ′＝3x 2，所以切线斜率k ＝3，所以切线方程为y －1＝3(x －1)，即3x －y －2＝0. (2)由⎩⎨⎧3x －y －2＝0，y ＝x 3，所以(x －1)(x 2＋x －2)＝0，所以x 1＝1，x 2＝－2，所以公共点为(1,1)及(－2，－8)，即其他公共点为(－2，－8)． 10．若曲线y ＝x－12在点(a ，a－12)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为9，求实数a 的值．[解] ∵y ＝x －12，∴y ′＝－12x －32， ∴曲线在点(a ，a－12)处的切线的斜率为k ＝－12a －32， ∴切线方程为y －a－12＝－12a －32 (x －a )．令x ＝0，得y ＝32a －12；令y ＝0，得x ＝3a .由题意知，a >0，该切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为S ＝12×3a ×32a －12＝94a 12＝9，∴a ＝16.[能力提升练]1．设曲线y ＝x 在点(2，2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a ＝( ) A ．22B ．24C ．－2 2D ．2 2D [∵y ＝x ＝x 12，∴y ′＝12x －12＝12x ，∴切线的斜率k ＝y ′|x ＝2＝122，由已知，得－a ＝－22，即a ＝22，故选D.]2．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ，则f 2 020(x )等于( )A ．sin xB ．－sin xC ．cos xD ．－cos xA [f 1(x )＝f 0′(x )＝(sin x )′＝cos x ， f 2(x )＝f 1′(x )＝(cos x )′＝－sin x ， f 3(x )＝f 2′(x )＝(－sin x )′＝－cos x ， f 4(x )＝(－cos x )′＝sin x ， f 5(x )＝(sin x )′＝f 1(x )， f 6(x )＝f 2(x )，…， f n ＋4(x )＝f n (x )，可知周期为4，所以f 2 020(x )＝f 505×4(x )＝sin x ．]3．曲线y ＝log 2x 在点(1,0)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为________．12log 2e [y ′＝1x ln 2＝1x ·log 2e ，所以切线的斜率k ＝y ′|x ＝1＝log 2e ，切线方程为y ＝(x －1)log 2e ，令x ＝0，得y ＝－log 2e ，令y ＝0，得x ＝1，因此所求三角形的面积S ＝12×1×log 2e ＝12log 2e.]4．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 3，x ≤0，ln x ，0＜x ＜1，，f ′(a )＝12，则实数a 的值为________．112或－2 [由题意得 f ′(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x 2，x ≤0，1x ，0＜x ＜1，若 f ′(a )＝12，则⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，1a＝12或⎩⎨⎧a ≤0，3a 2＝12，解得a ＝112或a ＝－2.]5．点P是曲线y＝e x上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离．[解]如图，当曲线y＝e x在点P(x0，y0)处的切线与直线y＝x平行时，点P 到直线y＝x的距离最近．则曲线y＝e x在点P(x0，y0)处的切线斜率为1，又y′＝(e x)′＝e x，所以e x0＝1，得x0＝0，代入y＝e x，得y0＝1，即P(0,1)．由点到直线的距离公式，得最小距离为d＝|－1|2＝22.11/11。

高中数学第三章导数及其应用 3.2 导数的计算第1课时几个常用函数的导数与基本初等函数的导数

高中数学第三章导数及其应用3.2 导数的计算第1课时几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式课时提升作业2 新人教A版选修1-1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第三章导数及其应用3.2 导数的计算第1课时几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式课时提升作业2 新人教A版选修1-1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式（25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.下列各式中正确的是( ）A。

（lnx)′=x B。

（cosx)′=sinxC。

(sinx）′=cosx D.（x-8)′=-x—9【解析】选C。

因为（lnx）′=，（cosx)′=—sinx，（x-8)′=-8x-9=—,所以A,B,D均不正确，C正确。

2.若y=lnx,则其图象在x=2处的切线斜率是（)A.1 B。

0 C。

2 D.【解析】选D。

因为y′=,所以当x=2时，y′=，故图象在x=2处的切线斜率为.3.（2015·西安高二检测）运动物体的位移s=3t2—2t+1,则此物体在t=10时的瞬时速度为( )A.281B.58 C。

85 D.10【解析】选B。

因为s=3t2-2t+1，所以s′=6t-2.当t=10时,s′=6×10—2=58.即此物体在t=10时的瞬时速度为58。

4。

正弦曲线y=sinx上一点P,以点P为切点的切线为直线l,则直线l的倾斜角的范围是（)A.∪B。

2019-2020学年高中数学第三章导数及其应用 3.2.2 导数的运算法则导学案新人教A版选修1-1.doc

2019-2020学年高中数学第三章导数及其应用 3.2.2 导数的运算法则导学案新人教A 版选修1-1能利用给出的基本初等函数的导数公式表和导数的四则运算法则求简单函数的导数．重点：导数的四则运算法则及其运用．难点：导数的四则运算法则的理解运用．方法：合作探究一新知导学思维导航我们已经会求幂函数、指数函数、对数函数及y ＝sinx ，y ＝cosx 的导数，那么怎样求f(x)与g(x)的和、差、积、商的导数呢？ 1．设函数f (x )、g (x )是可导函数，则：(f (x )±g (x ))′＝________________； (f (x )·g (x ))′＝______________________．2．设函数f (x )、g (x )是可导函数，且g (x )≠0，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫f (x )g (x )′＝____________________________.牛刀小试1．已知函数f (x )＝ax 2＋c ，且f ′(1)＝2，则a 的值为( ) A ．1 B ． 2 C ．－1 D ．0 2．函数y ＝x4＋sinx 的导数为( ) A ．y ′＝4x3 B ．y ′＝cosx C ．y ′＝4x3＋sinxD ．y ′＝4x3＋cosx3．下列运算中正确的是( )A ．(sin x －2x 2)′＝(sin x )′－2′(x 2)′ B ．(ax 2＋bx ＋c )′＝a (x 2)′＋bx ′ C ．(sin x x 2)′＝(sin x )′－(x 2)′x2D ．(cos x ·sin x )′＝(sin x )′cos x ＋(cos x )′cos x 4．求下列函数的导数(1)y ＝2x2－3x ＋1，y ′＝__________. (2)y ＝(x ＋2)2，y ′＝__________.课堂随笔:(3)y ＝sinx ＋cosx ，y ′＝__________. (4)y ＝tanx ，y ′＝__________.(5)y ＝(x ＋2)(3x －1)，y ′＝__________. 二．例题分析例1函数的下列导数求： (1)y ＝(x ＋1)2(x －1)； (2)y ＝x 2sin x ； (3)y ＝1x ＋2x 2＋3x3；(4)y ＝x tan x －2cos x .（5）y ＝sin2x练习：求下列函数的导数： (1)y ＝(2x 2＋3)(3x －2)； (2)y ＝x －sin x 2·cos x2.例2偶函数f(x)＝ax4＋bx3＋cx2＋dx ＋e 的图象过点P(0,1)，且在x ＝1处的切线方程为y ＝x －2，求y ＝f(x)的解析式．练习：已知抛物线y ＝ax2＋bx －7经过点(1,1)，过点(1,1)的切线方程为4x －y －3＝0，求a 、b 的值．例3已知直线l1为曲线y ＝x2＋x －2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2. (1)求直线l2的方程；(2)求由直线l1，l2和x 轴所围成的三角形的面积．练习：已知函数f(x)＝2x3＋ax 与g(x)＝bx2＋c 的图象都过点P(2,0)，且在点P 处有公共切线，求f(x)，g(x)的表达式．三．作业基础题一、选择题1．曲线y ＝－x 2＋3x 在点(1,2)处的切线方程为( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝－x ＋3 C ．y ＝x ＋3 D ．y ＝2x 2．函数y ＝x ·ln x 的导数是( )A ．y ′＝xB ．y ′＝1xC ．y ′＝ln x ＋1D ．y ′＝ln x ＋x3．已知f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值是( ) A ．193 B ．163 C ．133 D ．1034．曲线运动方程为s ＝1－t t2＋2t 2，则t ＝2时的速度为( )A ．4B ．8C ．10D ．12 5．函数y ＝cos xx的导数是( )A ．y ′＝－sin xx2B ．y ′＝－sin xC ．y ′＝－x sin x ＋cos xx 2D ．y ′＝－x cos x ＋cos xx 26．若函数f (x )＝f ′(1)x 3－2x 2＋3，则f ′(1)的值为( ) A ．0 B ．－1 C ．1 D ．2 二、填空题7．函数f (x )＝x ＋1x，则f ′(x )＝________.8．若函数f (x )＝1－sin xx，则f ′(π)＝________________.9．(2015·天津文)已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数．若f ′(1)＝3，则a 的值为________．三、解答题10．函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋1的图象上有两点A (0,1)和B (1,0)，在区间(0,1)内求实数a ，使得函数f (x )的图象在x ＝a 处的切线平行于直线AB ．提高题一、选择题1．(2015·长安一中质检)设a ∈R ，函数f (x )＝e x＋a ·e －x的导函数是f ′(x )，且f ′(x )是奇函数．若曲线y ＝f (x )的一条切线的斜率是32，则切点的横坐标为( )A ．ln2B ．－ln2C ．ln22D ．－ln222．若函数f (x )＝e xsin x ，则此函数图象在点(4，f (4))处的切线的倾斜角为( )A ．π2 B ．0 C ．钝角 D ．锐角3．曲线y ＝xx ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x －24．(2015·山西六校联考)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(e )＋ln x ，则f ′(e )( )A ．e －1B ．－1C ．－e －1D ．－e 二、填空题后记与感悟:5．直线y ＝4x ＋b 是曲线y ＝13x 3＋2x (x >0)的一条切线，则实数b ＝________.6．设a ∈R ，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a －3)x 的导函数是f ′(x )，若f ′(x )是偶函数，则曲线y ＝f (x )在原点处的切线方程为________. 三、解答题7．已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象过点P (0,2)，且在点M (－1，f (－1))处的切线方程为6x －y ＋7＝0，求函数f (x )的解析式． 8.已知函数f (x )＝x 3＋x －16.(1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标；(3)如果曲线y ＝f (x )的某一切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．答案基础题acdbcd 7.1－1x28.π－1π2 9.310.[解析] 直线AB 的斜率k AB ＝－1，f ′(x )＝3x 2－2x －1，令f ′(a )＝－1 (0<a <1)，即3a 2－2a －1＝－1，解得a ＝23.提高题acac 5.－4236.y ＝－3x7.[解析] 由f (x )的图象经过点P (0,2)，知d ＝2，所以f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋2.f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c .因为在M (－1，f (－1))处的切线方程是6x －y ＋7＝0，可知－6－f (－1)＋7＝0，即f (－1)＝1，f ′(－1)＝6.∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2b ＋c ＝6，－1＋b －c ＋2＝1.即⎩⎪⎨⎪⎧2b －c ＝－3，b －c ＝0，解得b ＝c ＝－3.故所求的解析式是f (x )＝x 3－3x 2－3x ＋2. 8.[解析] (1)∵f ′(x )＝3x 2＋1，∴f (x )在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13. ∴切线的方程为13x －y －32＝0. (2)解法一：设切点为(x 0，y 0)，则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1，∴直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16，又∵直线l 过原点(0,0)，∴0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16，整理得，x 30＝－8，∴x 0＝－2，∴y 0＝－26，k ＝13. ∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)．解法二：设直线l 的方程为y ＝kx ，切点为(x 0，y 0)，则k ＝y 0－0x 0－0＝x 30＋x 0－16x 0，又∵k ＝f ′(x 0)＝3x 20＋1，∴x 30＋x 0－16x 0＝3x 20＋1，解之得，x 0＝－2，∴y 0＝－26，k ＝13.∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)． (3)∵切线与直线y ＝－x4＋3垂直，∴切线的斜率k ＝4.设切点坐标为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4，∴x 0＝±1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1y 0＝－14，或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1y 0＝－18.∴切点坐标为(1，－14)或(－1，－18)，切线方程为y ＝4x －18或y ＝4x －14.。

2020_2021学年高中数学第三章导数及其应用3.2.1_3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的

基本初等函数的导数公式及导数的运算法则[A 组学业达标]1．函数y ＝cos x1－x 的导数是( )A.－sin x ＋x sin x 1－x 2B.x sin x －sin x －cos x1－x2C.cos x －sin x ＋x sin x 1－x 2D.cos x －sin x ＋x sin x 1－x解析：y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 1－x ′ ＝－sin x1－x －cos x ·－11－x2＝cos x －sin x ＋x sin x1－x 2.答案：C 2．曲线y ＝xx ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x ＋2 解析：∵y ′＝x ′x ＋2－x x ＋2′x ＋22＝2x ＋22，∴k ＝y ′|x ＝－1＝2－1＋22＝2，∴切线方程为y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1. 答案：A3．已知函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c ，若f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝( ) A ．－1 B ．－2 C ．2 D ．0解析：法一：由f (x )＝ax 4＋bx 2＋c ，得f ′(x )＝4ax 3＋2bx . 因为f ′(1)＝2，所以4a ＋2b ＝2，即2a ＋b ＝1. 则f ′(－1)＝－4a －2b ＝－2(2a ＋b )＝－2. 法二：因为f (x )是偶函数，所以f ′(x )是奇函数．所以f ′(－1)＝－f ′(1)＝－2. 答案：B4．函数f (x )＝x (x －1)(x －2)(x －3)在x ＝0处的导数值为( ) A ．－6 B ．0 C ．6 D ．1解析：∵f ′(x )＝(x －1)(x －2)(x －3)＋x [(x －1)(x －2)(x －3)]′， ∴f ′(0)＝(－1)×(－2)×(－3)＝－6. 答案：A5．若函数f (x )＝12f ′(－1)x 2－2x ＋3，则f ′(－1)的值为( )A ．0B ．－1C ．1D ．2解析：∵f (x )＝12f ′(－1)x 2－2x ＋3，∴f ′(x )＝f ′(－1)x －2， ∴f ′(－1)＝f ′(－1)×(－1)－2， ∴f ′(－1)＝－1. 答案：B6．若函数f (x )＝e xx在x ＝c 处的导数值与函数值互为相反数，则c ＝________.解析：∵f (x )＝e xx，∴f (c )＝e cc.又f ′(x )＝e x ·x －e x x 2＝e x x －1x2， ∴f ′(c )＝e c c －1c2. 由题意，知f (c )＋f ′(c )＝0， ∴e c c ＋e c c －1c2＝0， ∴2c －1＝0，解得c ＝12.答案：127．若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标为________．解析：设P (x 0，y 0)，则y ′|x ＝x 0＝ln x 0＋1＝2， ∴x 0＝e ，则y 0＝e ，则P 点坐标为(e ，e)．答案：(e ，e)8．已知a ∈R ，设函数f (x )＝ax －ln x 的图象在点(1，f (1))处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为________．解析：∵f (x )＝ax －ln x ， ∴f (1)＝a ，即切点是(1，a )． ∵f ′(x )＝a －1x，∴f ′(1)＝a －1，∴切线l 的方程为y －a ＝(a －1)(x －1)，令x ＝0，得y ＝1，即l 在y 轴上的截距为1. 答案：19．求下列函数的导数． (1)f (x )＝e －x (sin x ＋cos x )； (2)y ＝e x ＋1e x －1；(3)f (x )＝x (x ＋1)(x ＋2)(x >0)．解析：(1)f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x ＋sin x e x ′ ＝cos x －sin x e x －e x cos x ＋sin xe 2x＝－2sin xex ＝－2e －x sin x . (2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e x ＋1e x－1′ ＝e x e x －1－e x ＋1e xe x －12＝－2e x e x －12.(3)法一：y ′＝[x (x ＋1)(x ＋2)]′＝x ′(x ＋1)(x ＋2)＋x (x ＋1)′(x ＋2)＋x (x ＋1)(x ＋2)′ ＝(x ＋1)(x ＋2)＋x (x ＋2)＋x (x ＋1)＝3x 2＋6x ＋2.法二：因为y ＝x (x ＋1)(x ＋2)＝(x 2＋x )(x ＋2)＝x 3＋3x 2＋2x ，所以y ′＝(x 3＋3x 2＋2x )′＝3x 2＋6x ＋2.10．求过曲线y ＝sin x 在x ＝π4处的点且与此处切线垂直的直线方程．解析：由于y ′＝(sin x )′＝cos x ，则y ′|x ＝π4＝cos π4＝22，从而与切线垂直的直线的斜率为－2，依点斜式得符合题意的直线方程为y －22＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4，即2x ＋y －22－24π＝0.[B 组能力提升]11．曲线y ＝x e x 在点(1，e)处的切线与直线ax ＋by ＋c ＝0垂直，则ab的值为( )A ．－12e B ．－2eC.2eD.12e解析：y ′＝e x ＋x e x ，则y ′|x ＝1＝2e.∵曲线在点(1，e)处的切线与直线ax ＋by ＋c ＝0垂直，∴－a b ＝－12e，∴a b ＝12e. 答案：D12．若直线y ＝12x ＋b 与曲线y ＝－12x ＋ln x 相切，则实数b 的值为( )A ．－2B ．－1C ．－12D ．1解析：设切点为(x 0，y 0)．由y ＝－12x ＋ln x ，得y ′＝－12＋1x ，所以－12＋1x 0＝12，所以x 0＝1，y 0＝－12，代入直线y ＝12x ＋b ，得－12＝12＋b ，解得b ＝－1，故选B.答案：B13．曲线y ＝sin xsin x ＋cos x －12在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为________．解析：y ′＝cos x sin x ＋cos x －sin xcos x －sin xsin x ＋cos x2＝11＋sin 2x ，把x ＝π4代入得导数值为12，即为所求切线的斜率．答案：1214．已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________. 解析：法一：∵y ＝x ＋ln x ， ∴y ′＝1＋1x，y ′|x ＝1＝2.∴曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.∵y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，∴a ≠0(当a ＝0时曲线变为y ＝2x ＋1与已知直线平行)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，y ＝ax 2＋a ＋2x ＋1，消去y ，得ax 2＋ax ＋2＝0.由Δ＝a 2－8a ＝0，解得a ＝8. 法二：同法一得切线方程为y ＝2x －1.设y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切于点(x 0，ax 20＋(a ＋2)x 0＋1)． ∵y ′＝2ax ＋(a ＋2)，∴y ′|x ＝x 0＝2ax 0＋(a ＋2)．由⎩⎪⎨⎪⎧2ax 0＋a ＋2＝2，ax 20＋a ＋2x 0＋1＝2x 0－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－12，a ＝8.答案：815．设f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1的导数f ′(x )满足f ′(1)＝2a ，f ′(2)＝－b ，其中常数a ，b ∈R.求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程．解析：因为f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1，所以f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .令x ＝1，得f ′(1)＝3＋2a ＋b ，又f ′(1)＝2a,3＋2a ＋b ＝2a ，解得b ＝－3，令x ＝2得f ′(2)＝12＋4a ＋b ，又f ′(2)＝－b ，所以12＋4a ＋b ＝－b ，解得a ＝－32.则f (x )＝x 3－32x 2－3x ＋1，从而f (1)＝－52.又f ′(1)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－3，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝－3(x －1)，即6x ＋2y －1＝0.16．已知曲线y ＝f (x )＝x 2a－1(a >0)在x ＝1处的切线为l ，求l 与两坐标轴所围成的三角形的面积的最小值．解析：由已知，得f ′(x )＝2x a，切线斜率k ＝f ′(1)＝2a，所以切线l 的方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1＝2a(x －1)，即2x －ay －a －1＝0.令y ＝0，得x ＝a ＋12；令x ＝0，得y ＝－a ＋1a.所以l 与两坐标轴所围成的三角形的面积S ＝12×a ＋12×a ＋1a＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋12≥14×2a ×1a ＋12＝1，当且仅当a ＝1a，即a ＝1时取等号，所以S min ＝1.故l 与两坐标轴所围成的三角形的面积的最小值为1.。

高中数学第三单元导数及其应用3.2.1常数与幂函数的导数3.2.2导数公式表课件新人教B版选修1_1

基本初等函数的导数公式表导函数 f′(x)＝__ 0 f′(x)＝ uxu－1 (x>0，u≠0)
f(x)＝sin x
f(x)＝cos x f(x)＝ax
f′(x)＝_____ cos x
f′(x)＝－ ______ sin x f′(x)＝ axln a (a>0，a≠1)
f(x)＝ex f(x)＝logax
解答
则y′| x＝x ＝2x0.
4－1 又因为 PQ 的斜率为 k＝＝1， 2＋1 1 而切线平行于 PQ，所以 k＝2x0＝1，即 x0＝2. 1 1 所以切点为 M(2，4)， 1 1 所以所求切线方程为 y－4＝x－2，即 4x－4y－1＝0.
0
反思与感悟
解决切线问题，关键是确定切点，要充分利用：(1)切点处的导数是切线的斜率.(2)切点在切线上.(3)切点又在曲线上这三个条件联立方程解决.
跟踪训练2
已知两条曲线y＝sin x，y＝cos x，是否存在这两条曲线的一
个公共点，使在这一点处两条曲线的切线互相垂直？并说明理由.
解答
设存在一个公共点(x0，y0)，使两曲线的切线垂直，
则在点(x0，y0)处的切线斜率分别为k1＝y′| x＝x＝cos x0，k2＝y′| x＝x
0
0
＝－sin x0.
1
2
3
4
5
1 3.设函数f(x)＝logax，f′(1)＝－1，则a＝ e .
1 ∵f′(x)＝xln a， 1 1 则 f′(1)＝ln a＝－1，∴a＝ e.
答案
解析
1
2
3
4
5
π 1 4.求过曲线 y＝sin x 上的点 P(6， ) 且与在这一点处的切线垂直的直线方程 . 2

【教学】2020学年高中数学第三章导数及其应用321常数与幂函数的导数322导数公式表教学

【关键字】教学3．2.1 常数与幂函数的导数3．2.2导数公式表[学习目标] 1.理解各个公式的证明过程，进一步理解运用定义求导数的方法.2.掌握常见函数的导数公式.3.灵活运用公式求某些函数的导数．[知识链接]在前面，我们利用导数的定义能求出函数在某一点处的导数，那么能不能利用导数的定义求出比较简单的函数及基本函数的导数呢？类比用导数定义求函数在某点处导数的方法，如何用定义求函数y＝f(x)的导数？答：(1)计算，并化简；(2)观察当Δx趋近于0时，趋近于哪个定值；(3)趋近于的定值就是函数y＝f(x)的导数．[预习导引]12要点一利用导数定义求函数的导数例1 用导数的定义求函数f(x)＝2014x2的导数．解f′(x)＝＝＝＝ (4028x＋2014Δx)＝4028x.规律方法解答此类问题，应注意以下几条：(1)严格遵循“一差、二比、三取极限”的步骤．(2)当Δx趋于0时，k·Δx(k∈R)、(Δx)n(n∈N＋)等也趋于0.(3)注意通分、分母(或分子)有理化、因式分解、配方等技巧的应用．跟踪演练1 用导数的定义求函数y＝x2＋ax＋b(a，b为常数)的导数．解y′＝＝＝＝ (2x＋a＋Δx)＝2x＋a.要点二利用导数公式求函数的导数例2 求下列函数的导数：(1)y＝sin；(2)y＝5x；(3)y＝；(4)y＝；(5)y＝log3x.解(1)y′＝0；(2)y′＝(5x)′＝5xln5；(3)y′＝(x－3)′＝－3x－4；(4)y′＝()′＝(x)′＝x－＝；(5)y′＝(log3x)′＝.规律方法求简单函数的导函数的基本方法：(1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂；(2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度．解题时根据要解决问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式．跟踪演练2 求下列函数的导数：(1)y ＝x8；(2)y ＝()x ；(3)y ＝x ；(4)y ＝logx. 解 (1)y ′＝8x7；(2)y ′＝()xln ＝－()xln2； (3)∵y ＝x ＝x ，∴y ′＝x ； (4) y ′＝＝－.要点三利用导数公式求曲线的切线方程例3 求过曲线y ＝sinx 上点P 且与过这点的切线笔直的直线方程．解 ∵y ＝sinx ，∴y ′＝cosx ，曲线在点P 处的切线斜率是： y ′|x ＝＝cos ＝.∴过点P 且与切线笔直的直线的斜率为－，故所求的直线方程为y －＝－(x －)，即2x ＋y －－＝0.规律方法导数的几何意义是曲线在某点处的切线的斜率；相互笔直的直线(斜率均存在)斜率乘积等于－1是解题的关键．跟踪演练3 已知点P(－1,1)，点Q(2,4)是曲线y ＝x2上的两点，求与直线PQ 平行的曲线y ＝x2的切线方程．解 ∵y ′＝(x 2)′＝2x ，设切点为M (x 0，y 0)，则y ′|x ＝x 0＝2x 0，又∵PQ 的斜率为k ＝4－12＋1＝1，而切线平行于PQ ，∴k ＝2x 0＝1，即x 0＝12，所以切点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14. ∴所求的切线方程为y －14＝x －12，即4x －4y －1＝0.1．已知f (x )＝x 2，则f ′(3)等于( ) A ．0B ．2x C ．6D ．9 答案 C解析 ∵f (x )＝x 2，∴f ′(x )＝2x ，∴f ′(3)＝6. 2．函数f (x )＝x ，则f ′(3)等于( )A.36B ．0C.12x D.32答案 A解析 ∵f ′(x )＝(x )′＝12x ，∴f ′(3)＝123＝36.3．f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值等于( )A.193B.163C.133D.103 答案 D解析 f ′(x )＝3ax 2＋6x ，f ′(－1)＝3a －6＝4，a ＝103. 4．曲线y ＝e x在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________．答案 12e 2解析 ∵y ′＝(e x )′＝e x ，∴k ＝e 2，∴曲线在点(2，e 2)处的切线方程为y －e 2＝e 2(x －2)，即y ＝e 2x －e 2.当x ＝0时，y ＝－e 2，当y ＝0时，x ＝1.∴S △＝12×1×|－e 2|＝12e 2.1.利用基本初等函数的导数公式可以比较简捷地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，要认真观察函数的结构特征，积极地进行联想与化归． 2．有些函数可先化简再求导．如求y ＝1－2sin 2x2的导数．因为y ＝1－2sin 2x2＝cos x ，所以y ′＝(cos x )′＝－sin x .3．对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数名称的变化，二是注意函数符号的变化.此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。

高二人教A版高中数学选修1-3 第三章导数及其应用3.2 导数的计算

=
28 (1 4)2
=-
6 25
.
因此曲线 y= 2x 在点(2, 4 )处的切线方程为 y- 4 =- 6 (x-2),
x2 1
5
5 25
即 6x+25y-32=0.
答案:(1)6x+25y-32=0
(2)已知曲线 y=5 x ,则过点 P(0,5)且与曲线相切的切线方程为
.
解析:(2)因为点 P(0,5)不在曲线 y=5 x 上,
1
f′(x)= x ln a (a>0,且 a≠1)
1
f′(x)= x
2.导数运算法则
和差的导数积的导数
商的导数
[f(x)±g(x)]′= f′(x)±g′(x) [f(x)·g(x)]′= f′(x)g(x)+f(x)g′(x)
[ f (x) ]′= f (x)g(x) f (x)g(x)
3.2 导数的计算 3.2.1 几个常用函数的导数 3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数
的运算法则
课标要求:1.能根据定义求函数y=c,y=x,y=x2,y=1 的导函数.2.理解导数的
x
四则运算法则.3.掌握几种常见函数的导数公式.4.能够应用导数公式及运
算法则进行求导运算.
自主学习课堂探究
值为( B )
(A)1-cos 1
(B)1+cos 1 (C)cos 1-1
(D)-1-cos 1
5.(商的导数的应用)设函数f(x)= sin x ,f′(x)为函数f(x)的导函数,则
x
f′(π )=
.
答案:- 1
π
课堂探究
题型一利用导数公式求函数的导数

高中数学第三章导数及其应用 3.2 导数的运算 3.2.1

3.2.1 常数与幂函数的导数 3.2.2 导数公式表课堂探究探究一利用导数公式求函数的导数利用导数定义求导是求导数的基本方法，但过于烦琐，通常若所求函数符合求导公式，则利用导数公式求导数可简化求导过程，但需要准确记忆公式，恰当选择公式；对于不能直接用公式的类型，关键是将其进行适当变形，转化为可以直接应用公式的基本初等函数形式，如y ＝5x 3可以写成y ＝35x 等，就可以直接使用幂函数的求导公式求导．【典型例题1】求下列函数的导数：(1)y ＝x 7； (2)y ＝x x ； (3)y ＝log 3x ； (4)y ＝2sin x 2·cos x 2；(5)y ＝1x 2. 思路分析：对于基本初等函数的求导，直接利用导数公式求导，应注意将所给函数关系式转化为能直接应用公式的形式．解：(1)y ′＝7x 6；(2)因为y ＝x x ＝32x ，所以y ′＝3212x ＝32x ； (3)y ′＝1x ln 3； (4)因为y ＝2sin x 2·cos x 2＝sin x ，所以y ′＝cos x ； (5)因为y ＝1x 2＝x －2，所以y ′＝－2x －3＝－2x3. 探究二导数的应用利用导数来求曲线在某点处的切线斜率是一种非常有效的方法，它适合于任何可导函数，这就为导数和解析几何的沟通搭建了桥梁，利用切线的斜率建立相应的未知参数的方程来解决．【典型例题2】若曲线y ＝12x -在点(a ，12a -)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为18，求a 的值．思路分析：先求出切线方程，再求出切线在x 轴、y 轴上的截距，利用三角形面积公式列方程求a . 解：y ′＝－1232x -(x ＞0)，故在点(a ，12a -)处的切线的斜率k ＝－1232a -，所以切线方程为y －12a -＝－1232a - (x －a )，易得切线在x 轴、y 轴上的截距分别为3a ，3212a -，所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S ＝12×3a ×3212a -＝9412a ＝18. 所以a ＝64.。

高中数学第三章导数及其应用3.2.2函数的和、差、积、商的导数2111数学

探究活动 (tànjiū)
第五页，共二十一页。
思考
(sīkǎo)
已知f (x)，g(x)，怎样求
f (x)g(x)呢？
猜想
(cāixiǎng)
f(x ) g (x )f(x ) g (x )
第六页，共二十一页。
证明(zhèngmíng)
f (x) g (x) f (x) g(x).
第二十页，共二十一页。
内容(nèiróng)总结
1.2.2 函数的和、差、积、商的导数。1.2.2 函数的和、差、积、商的导数。（1）C ＝0（C为常数
(chángshù)）。（2）(xa) ＝axa－1（a为常数(chángshù)）。（3）(ax) ＝αxlna（a＞0，且a≠1）。（4）
No (logax) ＝ logae＝（a＞0，且a≠1）。2．求下列函数的导数．。法则3
问题3 已知f (x) f ( ) sin x cos x，
2
求f
(
).
4
第十八页，共二十一页。
回顾(huígù) 小结函数(hánshù)的和差积商的导数求导法则．
第十九页，共二十一页。
课外作业
1.课本(kèběn)习题
2.补充：已知点P(1， 1)，点Q(2， 4) 是曲线yx2上两点，求与直线PQ 平行的曲线yx2的切线方程.
练习
(liànxí)
课本(kèběn)P22练习1～5．
小结(xiǎojié)：函数的四则运算的求导法则．
第十五页，共二十一页。
拓展(tuò zhǎn) 研究
问题 1 (wèntí)
求下列函数的导数：
(1) y x 1； x 1
(2) y sin 4 x cos4 x ；

高中数学第三章导数及其应用3.1变化率与导数3.1.2导数的概念课时作业(含解析)新人教A版

课时作业22一、选择题 1．在f ′(x 0)＝lim Δx →0 f x 0＋Δx －f x 0Δx中，Δx 不可能( )A. 大于0B. 小于0C. 等于0D. 大于0或小于0解析：由导数定义知Δx 只是无限趋近于0，故选C. 答案：C2．设f (x )在x ＝x 0处可导，则lim Δx →0 f x 0－Δx －f x 0Δx等于( )A ．－f ′(x 0)B ．f ′(－x 0)C ．f ′(x 0)D ．2f ′(x 0)解析：lim Δx →0 f x 0－Δx －f x 0Δx＝lim Δx →0－f x 0－f x 0－ΔxΔx＝－lim Δx →0 f x 0－f x 0－ΔxΔx＝－f ′(x 0)．答案：A3．设函数f (x )在点x 0处附近有定义，且f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝a Δx ＋b (Δx )2(a ，b 为常数)，则( )A. f ′(x 0)＝－aB. f ′(x 0)＝－bC. f ′(x 0)＝aD. f ′(x 0)＝b解析：∵f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝a Δx ＋b (Δx )2， ∴f x 0＋Δx －f x 0Δx＝a ＋b ·Δx .∴lim Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx＝lim Δx →0 (a ＋b ·Δx )． ∴f ′(x 0)＝a .故选C. 答案：C4．一物体的运动方程是s ＝12at 2(a 为常数)，则该物体在t ＝t 0时的瞬时速度是( )A ．at 0B ．－at 0C.12at 0 D ．2at 0解析：∵Δs Δt ＝st 0＋Δt －s t 0Δt ＝12a Δt ＋at 0，∴lim Δt →0 Δs Δt ＝at 0. 答案：A 二、填空题5．过曲线y ＝2x上两点(0,1)，(1,2)的割线的斜率为__________．解析：由平均变化率的几何意义知k ＝2－11－0＝1.答案：16．已知f (x )＝2x，则lim x →afx －f ax －a＝________.解析：令x －a ＝Δx ，则x ＝a ＋Δx ， lim x →af x －f a x －a ＝lim Δx →0 f a ＋Δx －f aΔx＝lim Δx →0 2a ＋Δx －2a Δx ＝lim Δx →0 －2a a ＋Δx ＝－2a 2. 答案：－2a27．已知f (x )＝1x ，且f ′(m )＝－116，则f (m )＝________.解析：∵f (x )＝1x，∴f ′(m )＝lim Δx →0f m ＋Δx －f mΔx＝lim Δx →0 1m ＋Δx －1m Δx ＝lim Δx →0 －1m m ＋Δx ＝－1m 2. 又f ′(m )＝－116，∴－1m 2＝－116.∴m ＝±4.∴f (m )＝1m ＝±14.答案：±14三、解答题8．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥01＋x 2，x <0，求f ′(1)·f ′(－1)的值．解：当x ＝1时，Δy Δx ＝f＋Δx －fΔx＝1＋Δx －1Δx ＝11＋Δx ＋1.由导数的定义，得f ′(1)＝lim Δx →0 11＋Δx ＋1＝12.当x ＝－1时，ΔyΔx＝f －1＋Δx －f －Δx＝1＋－1＋Δx 2－1－－2Δx＝Δx －2.由导数的定义，得f ′(－1)＝lim Δx →0 (Δx －2)＝－2. 所以f ′(1)·f ′(－1)＝12×(－2)＝－1.9．高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h (单位：m)与起跳后的时间t (单位：s)之间的关系式为h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10，求运动员在t ＝6598 s 时的瞬时速度，并解释此时的运动状况．解：令t 0＝6598，Δt 为增量．则h t 0＋Δt －h t 0Δt＝－t 0＋Δt2＋t 0＋Δt ＋10＋4.9t 20－6.5t 0－10Δt＝－4.9Δtt 0＋Δt ＋6.5ΔtΔt＝－4.9(6549＋Δt )＋6.5.∴lim Δt →0h t 0＋Δt －h t 0Δt ＝lim Δt →0[－4.9(6549＋Δt )＋6.5]＝0，即运动员在t 0＝6598 s 时的瞬时速度为0 m/s.说明运动员处于跳水运动中离水面最高点处．。

导数及其应用

导数及其应用一、知识点3.1导数3.1.1 函数的平均变化率 3.1.2 瞬时速度与导数 3.1.3 导数的几何意义 3.2 导数的运算3.2.1常数与幂函数的导数 3.2.2 导数公式表 3.2.3 导数的四则运算 3．3 导数的应用3.3.1 利用导数判断函数的单调性 3.3.2 利用导数研究函数的极值 3.3.3 导数的实际应用3.1.1函数的平均变化率1.定义：已知函数)(x f y =在点0x x =及其附近有定义，令0x x x -=∆；)()()()(0000x f x x f x f x f y y y -∆+=-=-=∆。

则当0≠∆x 时，比值xyx x f x x f ∆∆=∆-∆+)()(00 叫做函数)(x f y =在0x 到x x ∆+0之间的平均变化率。

注：这里.00.可以为，但可为正值，也可为负值，y x y x ∆≠∆∆∆ 2.函数平均变化率的应用例1．（1）求2x y =在0x 到x x ∆+0之间的平均变化率。

解：当自变量从0x 变到x x ∆+0时，函数的平均变化率为x x xx x x x x f x x f ∆+=∆-∆+=∆-∆+0220002)()()(。

当x ∆取定值，0x 取不同数值时，该函数的平均变化率也不一样。

可以由图看出变化。

【随堂练习】1．函数y ＝f (x )，当自变量x 由x 0改变到x 0＋Δx 时，Δy ＝( D )A ．f (x 0＋Δx )B ．f (x 0)＋ΔxC ．f (x 0)·ΔxD ．f (x 0＋Δx )－f (x 0)2．若函数f (x )＝x 2－1，则当自变量x 由1变为1.1时函数的平均变化率为( A )A ．2.1B ．1.1C ．2D ．03．函数y ＝x 2在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为k 1，在x 0－Δx 到x 0之间的平均变化率为k 2，则k 1与k 2的大小关系为( D )A ．k 1>k 2B ．k 1<k 2C ．k 1＝k 2D ．不确定解析：k 1＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝(x 0＋Δx )2－x 20Δx＝2x 0＋Δx ；k 2＝f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx ＝x 20－(x 0－Δx )2Δx＝2x 0－Δx .∵Δx 可正也可负，∴k 1与k 2的大小关系不确定．4．已知一个物体的运动方程为s ＝1－t ＋t 2，其中s 的单位是m ，t 的单位是s ，那么物体在3 s 到(3＋Δt )s 之间的平均速度是( A )A ．5＋Δt (m /s)B ．5＋(Δt )2(m/s)C ．5(Δt )2＋Δt (m /s)D ．5(Δt )2(m/s)解析：由定义有Δs Δt ＝(3＋Δt )2－(3＋Δt )＋1－32＋3－1Δt＝5＋Δt .5．已知函数y ＝x 3－2，当x ＝2时，ΔyΔx＝________.解析：∵Δy ＝(2＋Δx )3－2－(23－2)＝(2＋Δx )2(2＋Δx )－8 ＝[4＋4·Δx ＋(Δx )2](2＋Δx )－8 ＝12·Δx ＋6(Δx )2＋(Δx )3， ∴ΔyΔx＝12＋6·Δx ＋(Δx )2. 6．设自变量x 的增量为Δx ，则函数y ＝log 2x 的增量Δy 为________．解析：Δy ＝log 2(x ＋Δx )－log 2x ＝log 2x ＋Δx x ＝log 2(1＋Δxx)．7.如图是函数y ＝f (x )x ∈[－1,3]的图象，求 (1)函数f (x )在－1到1之间的平均变化率； (2)函数f (x )在0到2之间的平均变化率．解：(1)函数f (x )在－1到1之间的平均变化率为 f (1)－f (－1)1－(－1)＝2－12＝12.（2）求xy 1=在0x 到x x ∆+0之间的平均变化率。

高中数学第三章导数及其应用 3.2 导数的运算 3.2.1 几个幂函数的导数 3.2.2 一些初

3.2.1 几个幂函数的导数 3.2.2 一些初等函数的导数表1．下列各式中，正确的是( )．A ．(log a x )′＝1xB ．(log a x )′＝ln 10xC ．(3x )′＝3xD ．(3x )′＝3x ln 32．若f (x )＝2 009，则f ′(2 009)等于( )．A ．2 009B ．2 008C ．0D ．13．若f (x )＝1x，且f ′(x 0)＝－1，则x 0的值为( )． A ．－1 B ．1 C ．0 D ．1或－14．已知f (x )＝13x 2，则f ′(1)等于( )． A ．23 B ．32 C ．－23 D ．－325．若f (x )＝log a x ，且f ′(2)＝12ln 3，则a 等于( )． A ．2 B ．3 C ．4 D ．66．设直线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝ln x (x ＞0)的一条切线，则实数b 的值为__________． 7．曲线y ＝f (x )＝lg x 在点(1,0)处的切线方程为__________．8．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ＋，则f 2 009(x )＝__________.9．如图所示，质点P 在半径为1 m 的圆上，沿逆时针做匀角速运动，角速度为1 rad/s ，设A 为起始点，求时刻t 时，点P 在y 轴上的射影点M 的速度．10．设直线l 1与曲线y ＝x 相切于点P ，直线l 2过点P 且垂直于l 1，若l 2交x 轴于Q 点，又作PK 垂直于x 轴于点K ，求KQ 的长．参考答案1．D 2.C3．D ∵f ′(x )＝－1x 2， ∴由f ′(x 0)＝－1，得－1x 02＝－1，∴x 0＝±1.4．C f ′(x )＝(x －23)′＝－23x －53，∴f ′(1)＝－23. 5．B f ′(x )＝1x ln a ，则f ′(2)＝12ln a ＝12ln 3，∴a ＝3. 6．ln 2－1 ∵(ln x )′＝1x ＝12，∴切点的横坐标为x ＝2. ∴切点为(2，ln 2)，代入y ＝12x ＋b 中，得ln 2＝12×2＋b . ∴b ＝ln 2－1.7．x lg e －y －lg e ＝0 ∵f ′(x )＝(lg x )′＝1x ln 10， ∴f ′(1)＝1ln 10＝lg e. ∴切线方程为y ＝lg e(x －1)，即x lg e －y －lg e ＝0.8．cos x f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )＝(sin x )′＝cos x ，f 2(x )＝f 1′(x )＝(cos x )′＝－sin x ，f 3(x )＝f 2′(x )＝(－sin x )′＝－cos x ，f 4(x )＝f 3′(x )＝(－cos x )′＝sin x ，f 5(x )＝f 4′(x )＝(sin x )′＝cos x .由此继续求导下去，可发现从f 1(x )开始，每4个循环一次，所以f 2 009(x )＝f 4×502＋1(x )＝f 1(x )＝cos x .9．解：时刻t 时，∠POA ＝1·t ＝t (rad)，∴∠MPO ＝∠POA ＝t (rad)．∴OM ＝OP sin∠MPO ＝1·sin t ＝sin t ．∴点M 的运动方程为y ＝sin t ．∴v ＝(sin t )′＝cos t (m/s)，即时刻t 时，点P 在y 轴上的射影点M 的速度为cos t m/s.10．解：设切点P (x 0，y 0)，交点Q (x Q ，y Q )，k (x K ，y k )，令f (x )＝y ＝x ，则f ′(x )＝(x )′＝12x，∴f ′(x 0)＝12x 0＝kl 1. 由l 1与l 2垂直，得kl 2＝－2x 0. 于是直线l 2的方程为y －y 0＝－2x 0(x －x 0)．令y ＝0，则－y 0＝－2x 0(x －x 0)， ∴－x 0＝－2x 0(x －x 0)，∴x ＝12＋x 0，即x Q ＝12＋x 0.而x K ＝x 0，于是|KQ |＝|x Q －x K |＝|12＋x 0－x 0|＝12.。

黑龙江省海林市高中数学第三章导数及其应用 3.2 导数的计算 3.2.1 几个常用的导数及导数的运算法则课件

2．基本初等函数的导数公式
原函数 f(x)＝c f(x)＝xn(n∈Q*) f(x)＝sinx f(x)＝cosx f(x)＝ax f(x)＝ex
导函数
f′(x)＝ 0 f′(x)＝ nxn－1 f′(x)＝ cosx f′(x)＝－sinx f′(x)＝ axlna (a>0)
f′(x)＝ex
x3)′＝(x
3 5
)′＝35x－25
＝3.
5 5
x2
(4)y′＝(log2x)′＝xl1n2.
方法指导
求简单函数的导函数有两种基本方法： (1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂； (2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度．解题时应根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式．
例 1 求下列函数的导数． (1)y＝x12；(2)y＝x14；(3)y＝5 x3；(4)y＝log2x. 【思路启迪】解答本题可先将解析式化为基本初等函数，再利用公式求导．
【解】 (1)y′＝(x12)′＝12x11；
(2)y′＝x14′＝(x－4)′＝－4x－5＝－x45；
(3)y′＝(5
答案：A
2．已知 f(x)＝xα，若 f′(－1)＝4，则 α 等于( )
A．3
B．－3
C．4
D．－4
解析：∵f(x)＝xα，∴f′(x)＝αxα－1. ∴f′(－1)＝α(－1)α－1＝4. ∴α＝－4.
答案：D
3．若 f(x)＝cosπ4，则 f′(x)为(
)
A．－sinπ4
B．sinπ4
f(x)＝logax f(x)＝lnx
1 f′(x)＝ xlna
f′(x)＝1x
(a>0 且 a≠1)

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3.2.2 导数公式表
预习导航
课程目标
学习脉络
1.能根据导数的定义，求函数y ＝C ，y ＝x ，y ＝x 2
，
y ＝1
x
的导数． 2．掌握基本初等函数的导数公式．
3．能应用基本初等函数的导数解决有关问题.
基本初等函数的导数 (1)几个常用函数的导数：
函数
导数
函数
导数
y ＝f (x )＝C C ′＝0
y ＝f (x )＝x x ′＝1
y ＝f (x )＝x 2
(x 2
)′＝2x
y ＝f (x )＝1
x
(x ≠0)
⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x ′＝－1x 2 (2)基本初等函数的导数公式：
序号 y ＝f (x ) y ′＝f ′(x ) 1 y ＝C y ′＝0
2 y ＝x n y ′＝nx n －1，n 为自然数
3 y ＝x μ(x ＞0，
μ≠0)
y ′＝μx μ－1，μ为有理
数
4 y ＝a x (a ＞0，a ≠1)
y ′＝a x ln_a 5 y ＝e x y ′＝e x 6
y ＝log a x (a ＞0，a ≠1，x ＞0) y ′＝1
x ln a
7 y ＝ln x y ′＝1x
8 y ＝sin x y ′＝cos_x 9
y ＝cos x
y ′＝－sin_x
思考1常数函数y ＝C 的导数的几何意义和物理意义是什么？
提示：y ′＝0表示函数y ＝C 图象上每一点的切线的斜率都为0；若y ＝C 表示路程关于时间的函数，则y ′＝0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即一直处于静止状态．
思考2函数y ＝x 的导数的几何意义和物理意义分别是指什么？
提示：y ′＝1表示函数y ＝x 图象上每一点处的切线斜率都为1，任一点处的切线都是函数图象本身；若y ＝x 表示路程关于时间的函数，则y ′＝1可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运
动．。