山东省青岛市0809学年高一下学期期末质检(数学)

2009年教案质量检测高一数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔和0.5毫M 黑色签字笔（中性笔）将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试卷卷上．3．第Ⅱ卷必须用0.5毫M 黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知向量(4,2)a =，则下列选项中与a 共线的一个向量为A ．(1,2)B ．(1,4)C ．24(,)33-D ．21(,)332．在等差数列{}n a 中，131315120,a a a a +++=则8a 的值为 A ．60B ．30C ．20D ．153．已知直线1l ：02=--y ax 和直线2l ：01)2(=+-+y x a 互相垂直，则实数a 的值 为A ．1-B ．0C ．1D ．24．函数4(1)1y x x x =+>-的最小值为 A ．2 B ．3 C ．4D ．55．已知直线l 过点(3,2)-和(0,1)，则直线l 的倾斜角大小为A ．150B ．120C ．60D ．306．圆1C ：0122=-+y x 和圆2C ：042422=-+-+y x y x 的位置关系是A ．内切B ．外离C ．外切D ．相交 7．在ABC ∆中，已知A C B sin sin cos 2=，则ABC ∆一定为A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．正三角形 8．设数列{}n a 的前n 项和为n S (N )n *∈，若1(1)n a n n =+，则5S 等于A ．1B ．13C ．45D ．569．若110a b<<,则下列结论正确的是 A ．22a b > B ．2ab b >C ．2b a a b+> D ．a b a b -=-10．若等比数列的公比为2，且其前4项和为1，则这个等比数列的前8项和等于A ．8B ．16C ．17D ．3211．若点(),P a b 在圆C ：122=+y x 的外部，则直线01=++by ax 与圆C 的位置关系是A ．相切B ．相离C ．相交D ．相交或相切12．某同学在黑板上做了一道解三角形的习题，另一个同学不小心把其中一部分擦去了，现在只能看到：在ABC △中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，已知2a =，……，解得b =6.下面哪个选项可以作为这个习题的其余已知条件？A ．A =30，B =45B ．C =75，A =45 C ．B =60，c =3D ．c =1，C cos =31第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．已知平面向量()()1,2,1,3a b ==- ，则a 与b 夹角的大小为 .14．以点(1,2)-为圆心，且与直线210x y +-=相切的圆的方程是.15．经过直线230x y +-=和直线310x y ++=的交点，且与直线50x y +-=平行的直线方程为.16．在ABC ∆中，向量(1,2),(,2)(0)AB AC x x x ==->，若ABC ∆的周长为65，则x 的值为.三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本题满分12分） 在ABC ∆中,53tan ,17174cos ==B A . (Ⅰ)求C tan 的值。

(Ⅱ)若ABC ∆最小边的边长为2,求最大边的边长及ABC ∆的面积．18．（本题满分12分）在平面四边形ABCD 中，向量=a ()1,4=AB ，=b ()1,3-=BC ，=c ()2,1--=CD ．（Ⅰ）若向量()2a b +与向量()b kc -垂直，求实数k 的值； （Ⅱ）若DC n DA m DB +=，求实数m ，n ．19．（本题满分12分）一辆货车的最大载重量为30吨，要装载A 、B 两种不同的货物，已知装载A 货物每吨收入40元，装载B 货物每吨收入30元，且要求装载的B 货物不少于A 货物的一半．请问A 、B 两种不同的货物分别装载多少吨时，载货得到的收入最大？并求出这个最大值．20．（本题满分12分）已知直径为4的圆M 过点)1,1(-,且圆心M 在射线：()200x y y +-=≥上.(Ⅰ)求圆M 的方程。

(Ⅱ)设P 是圆M 上的动点，直线0=+y x 与圆M 交于不同的两点A 、B ，求三角形PAB 面积的最大值．21．（本题满分12分）解关于x 的不等式：2(1)10(R)ax a x a -++<∈． 22．（本题满分14分）在数列{}n a 中，首项11=a ,前n 项和)1(21--=n n na S n n ,*∈N n . （Ⅰ）求证：数列{}n a 为等差数列。

（Ⅱ）若2341111(1)(1)(1)(1)1nk n a a a a ++++>+对一切N n *∈且2≥n 恒成立，求实数k 的取值范围．2009年教案质量检测高一数学答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分。

DB A D B D ADCC C B二、填空：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

13．45。

14．221(1)(2)5x y -++=。

15．10x y +-=。

16．3011三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分） 解：(Ⅰ) ,17174cos =A 1717cos 1sin 2=-=∴A A 则41tan =A ．．．．．2分 所以1345tan tan[()]tan()113145C A B A B π+=-+=-+=-=--⨯．．．．．5分(Ⅱ)因为B A tan tan <,且A 、B 均为锐角又由(Ⅰ)知:C 为钝角，所以BC 为最小边，AB 为最大边．．．．．6分 由(Ⅰ)可求得：2sin 2C = 由正弦定理得：17sin sin ==ACBC AB所以最大边17=AB ．．．．．8分 因为3sin tan 5cos B B B==，22sin cos 1B B += 所以334sin 34B =．．．．．10分所以ABC ∆的面积为13sin 22S AB BC B =⋅⋅=．．．．．12分 18. （本小题满分12分）解：（Ⅰ） 向量()2a b +与向量()b kc -垂直∴()()20a b b kc +⋅-=．．．．．2分()()10,13,120k k ∴-⋅+-+= 3130101208k k k ∴++-=∴=-．．．．．5分 （Ⅱ）()()3,2,3,2-=∴-=+=DB CD BC BD ．．．．．．．7分()()()6,26,2,1,2AD AB BC CD DA DC =++=-∴=-=．．．．．．．9分DC n DA m DB +=，()()()2,36,21,2m n ∴-=-+26322m nm n -=-+⎧∴⎨=+⎩1,12m n ∴==．．．．．．．12分19．（本小题满分12分）解：设B A ,两种不同的货物分别装载y x ,吨，则∴y x ,满足的关系式为 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≥≤+x y y x y x 210030 ①所以①所示的线性区域如右图．．．．．．．．5分 由已知目标函数为y x z 3040+=即4330zy x =-+．．．．．．．7分 ∴当直线4330zy x =-+在线性区域内在y 轴的截距最大时，z 最大．．．．．．9分解3012x y y x +=⎧⎪⎨=⎪⎩得10,20==y x 如图可知y x z 3040+=在10,20==y x 最大1100300800=+=∴z∴当装载A 、B 货物分别为20吨、10吨时，载货收入最大，最大值为1100元．．．12分xy20．（本小题满分12分）解：(Ⅰ)设圆M 的方程为:4)()(22=-+-b y a x ．．．．．．．．1分根据题意得:⎩⎨⎧=-+=--+-024)1()1(22b a b a ．．．．．．．．3分解得。

1==b a 或3,1a b ==- 因为0b ≥，所以1==b a故所求圆M 的方程为:4)1()1(22=-+-y x ．．．．．．．．6分 (Ⅱ)设直线与圆交于A 、B 两点 联立22(1)(1)4x y x y +=⎧⎨-+-=⎩解得1,1x y ==-或1,1x y =-=所以22(11)(11)22AB =++--=．．．．．．．．8分 因为三角形PAB 面积d AB S 21=要使三角形PAB 面积最大，只要求出其最大距离d 即可．根据平面几何的性质可知，距离d 为最大时，P 点为弦AB 的垂直平分线与圆的交点 此时最大距离d 等于圆心M 到直线AB 的距离1d 加上圆的半径．．．．．．10分 则22111=+=d2221+=+=d d ，所以12222S AB d ==+ 所以三角形PAB 面积的最大值为222+．．．．．．．12分 21．（本小题满分12分）解：①当0=a 时，原不等式变为1>x ，此时原不等式的解集为{}1>x x ．．．．．．．1分②当0≠a 时，原不等式变为0)1)(1(<--x ax ．．．．．．．3分 当0<a 时，原不等式变为0)1)(1(>--x a x ，此时显然有11<a，所以原不等式的解集为{1>x x 或⎭⎬⎫<ax 1．．．．．．．5分当10<<a 时，原不等式变为1()(1)0x x a --<，此时显然有11>a，所以原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<a x x 11．．．．．．．7分 当1a =时，原不等式的解集为∅．．．．．．．9分 当1>a 时，原不等式变为0)1)(1(<--x a x ，此时显然有11<a，所以原不等式的解集为1{1}xx a<<．．．．．．．11分 综上，当0=a 时，原不等式的解集为{}1>x x ；当0<a 时，原不等式的解集为{1>x x 或⎭⎬⎫<a x 1；当10<<a 时，原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<a x x 11；当1a =时，原不等式的解集为∅；当1>a 时，原不等式的解集为1{1}xx a<<．．．．．．．．12分 22. （本小题满分14分） 解: (Ⅰ)因为)1(21--=n n na S n n , 所以)1(21)1(11+-+=++n n a n S n n ．．．．．．．．2分则n na a n S S a n n n n n --+=-=+++111)1(．．．．．．．．4分 所以1n n na na n +-= 所以11=-+n n a a即数列{}n a 是首项、公差均为1的等差数列．．．．．．．．6分 （Ⅱ）由(Ⅰ)得1(1)1n a n n =+-⋅=．．．．．．．．8分 设23411111()(1)(1)(1)(1)1n f n a a a a n =++++⋅+ 211111453423+=+⋅+⋅-⋅⋅⋅⋅⋅=n n n n n n ．．．．．．．．10分 则22)1(+=+n n f ，可以得到：)()1(n f n f >+ 由此可知()f n 是关于n 的单调递增函数．．．．．．．．12分则min 3()(2)2f n f ==故实数k 的取值范围是3(,)2-∞．．．．．．．．14分。