复旦版数学分析答案全解ex6-2
数学分析_复旦_欧阳光中陈传璋第三版3版上下册课后习题答案解析(下)
(4) b•
ê§ lim
x→∞
xb eax
=
lim
x→∞
bxb−1 aeax
=
··· =
lim
x→∞
b! abeax
=0
bؕ
ê§K[b]
b
<
[b]+1§u´
|x|[b] eax
|x|b eax
<
|x|[b]+1 eax (|x|
> 1)§
þ¡®y²§‚ 4••0§Ïd§¥m 4•••0.
l
§é?¿a, b§þk lim
lim
+
=
x→0
24
24
1
6
ax − bx
ax ln a − bx ln b
a
(9) lim
= lim
= ln a − ln b = ln (a = 0, b = 0)
x→0 x
x→0
1
b
x−1
1
(10) lim
x→1
ln x
= lim
x→1
1
=1
x
(11) lim ax − xa = lim ax ln a − axa−1 = aa(ln a − 1)
(x2 − 1) sin x
(4) lim x→1 ln
1 + sin π x
2
)µ
x2 sin 1
1
1
2x sin − cos
1 cos
(1) Ï
x ©f!©1Óžéx¦ ê§
x
x§
x x → 0ž4•Ø•3§Ïdâ
sin x
cos x
cos x
复旦版数学分析答案全解ex12-1
∂x
∂y
∂u = 2xz 。 e x( x2 + y2 + z2 )
∂z
(12)
∂u
=
y
x
y z
−1
，
∂u
=
ln x
y
xz
， ∂u
=
−
y ln x
y
xz 。
∂x z
∂y z
∂z
z2
(13) ∂u = −
x
， ∂u = −
y
， ∂u = −
z
。
∂x
( )3
x2 + y2 + z2 2
∂y
( )3
x2 + y2 + z2 2
（6）
z
=
tan⎜⎜⎝⎛
x2 y
⎟⎟⎠⎞
；
（7） z = sin x ⋅ cos y ；
yx
（8） z = (1 + xy) y ；
（9） z = ln(x + ln y) ；
（10） z = arctan x + y ；
1− xy
（11） ； u = e x(x2+ y2+z2 )
y
（12） u = x z ;
x
轴的正向所夹的角度是
⎪⎩ y = 4
多少？
解 以 x 为参数，曲线在点 (2,4,5) 处的切向量为 (dx , dy , dz ) = (1, 0,1) ，
dx dx dx x=2
设它与 x 轴的正向所夹的角度为θ ，则
cosθ = (1, 0,1) ⋅ (1, 0, 0) = 1 ，
2
2
所以θ = π 。
《复变函数与积分变换复旦大学修订版》全部习题答案23页word文档
第 1 页复变函数与积分变换（修订版）主编：马柏林（复旦大学出版社）——课后习题答案习题一1. 用复数的代数形式a +ib 表示下列复数①解i 4πππe cos isin 44-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭②解： ()()()()35i 17i 35i 1613i 7i 11+7i 17i 2525+-+==-++-③解： ()()2i 43i 834i 6i 510i ++=-++=+④解： ()31i 1335=i i i 1i 222-+-+=-+2.求下列各复数的实部和虚部(z =x +iy )(z a a z a -∈+); 33311;;;.22n z i ⎛⎛-+-- ⎝⎭⎝⎭①： ∵设z =x +iy则()()()()()()()22i i i i i i x a y x a y x y a x a y z a z a x y a x a y x a y -++-⎡⎤⎡⎤+--+-⎣⎦⎣⎦===+++++++ ∴()22222Re z a x a y z a x a y ---⎛⎫= ⎪+⎝⎭++,()222Im z a xyz a x a y-⎛⎫=⎪+⎝⎭++． ②解： 设z =x +iy ③解：∵(()(){}33232111313188-+⎡⎤⎡⎤==--⋅-⋅+⋅-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭④解：∵()()(()2332313131i 8⎡⎤--⋅-⋅+⋅-⎢⎥⎣⎦=⎝⎭()180i 18=+= ⑤解： ∵()()1,2i 211i,kn kn k k n k ⎧-=⎪=∈⎨=+-⋅⎪⎩¢．∴当2n k =时，()()Re i 1kn=-，()Im i 0n=；当21n k =+时，()Re i 0n =，()()Im i 1k n =-． 3.求下列复数的模和共轭复数①解：2i -+== ②解：33-=33-=-③解：()()2i 32i 2i 32i ++=++=④解：1i 1i 22++==4、证明：当且仅当z z =时，z 才是实数．证明：若z z =，设i z x y =+，则有 i i x y x y +=-，从而有()2i 0y =，即y =0 ∴z =x 为实数．若z =x ，x ∈ ，则z x x ==．命题成立．5、设z ,w ∈ ，证明： z w z w ++≤证明∵()()()()2z w z w z w z w z w +=+⋅+=++6、设z ,w ∈ ，证明下列不等式．并给出最后一个等式的几何解释．证明：()2222Re z w z z w w +=+⋅+在上面第五题的证明已经证明了．下面证()2222Re z w z z w w -=-⋅+．()222Re z z w w =-⋅+．从而得证．几何意义：平行四边形两对角线平方的和等于各边的平方的和．7.将下列复数表示为指数形式或三角形式①解：()()()()35i 17i 35i 7i 117i 17i +-+=++-3816i 198i e 5025i θ⋅--===其中8πarctan 19θ=-．②解：e i i θ⋅=其中π2θ=． ③解：ππi i 1e e -==④解：()28π116ππ3θ-==-.⑤解：32π2πcos isin 99⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 解：∵32π2πcosisin 199⎛⎫+= ⎪⎝⎭． 8.计算：(1)i 的三次根；(2)-1的三次根；(3)的平方根.⑴i 的三次根．解：⑵-1的三次根 解：的平方根． 解：πi 4e ⎫⎪⎪⎝⎭9.设2πe,2inz n =≥. 证明：110n z z-+++=L证明：∵2πi e nz ⋅= ∴1n z =，即10n z -=．又∵n ≥2． ∴z ≠1 从而211+0n z z z -+++=L11.设Γ是圆周{:},0,e .i z r r a c r z c α=>=+-令其中e i b β=.求出L β在a 切于圆周Γ的关于β的充分必要条件. 解：如图所示．因为L β={z : Im z a b -⎛⎫⎪⎝⎭=0}表示通过点a 且方向与b 同向的直线，要使得直线在a 处与圆相切，则CA ⊥L β．过C 作直线平行L β，则有∠BCD =β，∠ACB =90° 故α-β=90°所以L β在α处切于圆周T 的关于β的充要条件是α-β=90°．12.指出下列各式中点z 所确定的平面图形，并作出草图. 解：(1)、argz =π．表示负实轴． (2)、|z -1|=|z |．表示直线z =12．(3)、1<|z +i|<2解：表示以-i 为圆心，以1和2为半径的周圆所组成的圆环域。
数学分析(复旦大学版)课后题答案40-45
§udÃF¼êPÂÈ©§y{'4Gª§& 1 ln xy dx9uy Q[ , b ](b > 1)þÂñ. b
+∞ a A
ln
0
b dx x
Âñ
#f (x, y)Q[ a, +∞; c, d ]ë§é[ c, d)þzy§ f (x, y) dxÂñ§¢È©Qy = duÑ. y²ùÈ©Q[ c, d ]Âñ. y²µd f (x, d) dxuѧ&∃ε > 0, ∀A > a, ∃A , A A §¦ f (x, d) dx ε
dx [ p1 , p2 ]
Q
ë
2−p
dx [ p1 , p2 ]
Q
ë
6.
π −1 p 2−p 1 2 1 p π π −1 p 2−p p 2−p p1 2−p1 1 2 1−p1 x→π −0 1 p1 2−p1 p1 π 1 π −1 p−1 2−p1 π π −1 p 2−p 1 2 π p 2−p 1 2 π −1 p 1 2 π 0 p 2−p +∞ +∞
2−p
π −1 1 p 2−p
1 π −1 π sin x sin x sin x sin x dx = dx + dx + dx p (π − x)2−p p (π − x)2−p p (π − x)2−p p (π − x)2−p x x x x 0 0 1 π −1 1 sin x dx p 2−p 0 x (π − x) sin x sin x (0 x 1, 0 < p1 p p2 < 2) p 2 − p p 2 x (π − x) x (π − x)2−p2 sin x 1 lim xp2 −1 p = 2−p 2 − p 2 2 2 x→+0 x (π − x) π 1 sin x p2 < 2 p2 − 1 < 1 dx p2 (π − x)2−p2 x 0 1 sin x dx p ∈ [ p1 , p2 ] p (π − x)2−p x 0 1 sin x sin x (0 , 1 ] × [ p , p ] dx [ p1 , p2 ] 1 2 p (π − x)2−p xp (π − x)2−p x 0 π
复旦大学数学系陈纪修数学分析(第二版)习题答案ex2-3,4
一解 a = 0 舍去），因此
lim
n→∞
xn
=
2。
（3）首先有 x1 =
2 > −1，设 xk > −1，则 xk+1 =
−1 > −1 ，由数学
2 + xk
25
归纳法可知 ∀n ，xn
> −1。由 xn+1
− xn
=
−1 2 + xn
− xn
=
−
(xn + 1)2 2 + xn
< 0 ，可知{xn}
)n
= 0。
证（1）设
lim
n→∞
an
=
+∞ ，则 ∀G
>
0, ∃N1
>
0, ∀n
>
N1
: an
>
3G
。对固定的
N1 ，
∃N > 2N1,∀n > N :
a1 + a2 + " + aN1 n
< G ，于是
2
a1 + a2 + " + an ≥ aN1+1 + aN1+2 + " + an − a1 + a2 + " + aN1 > 3G − G = G 。
n→∞ ⎝ n ⎠
⑴ lim ⎜⎛1 − 1 ⎟⎞n ;
n→∞ ⎝ n ⎠
⑵ lim ⎜⎛1 + 1 ⎟⎞n ;
n→∞ ⎝ n + 1⎠
⑶ lim ⎜⎛1 + 1 ⎟⎞n ;
n→∞ ⎝ 2n ⎠
复变函数与积分变换(修订版-复旦大学)课后的习题答案
(
)
证明∵ z + w = ( z + w) ⋅ ( z + w) = ( z + w) z + w = z ⋅ z + z ⋅ w + w⋅ z + w⋅ w = z + zw+ z⋅ w + w = z + w
≤
2 2 2 2
(
)
∴ −8π 1 + 3i = 16π ⋅ e 2π 2π ⎞ ⑤解： ⎛ + i sin ⎟ ⎜ cos 9 9 ⎠ ⎝
5、Imz>1，且|z|<2． 解：表示圆盘内的一弓形域。
iϕ (2) 记 w = ρ e ，则
0<θ <
π ,0 < r < 2 4 映成了 w 平面 π . 2
习题二 1 z 下圆周 | z |= 2 的像.
上扇形域，即
0 < ρ < 4, 0 < ϕ <
−7i
⎤ = x ( x − y ) − 2 xy + ⎡ ⎣ y ( x − y ) + 2x y ⎦ i
2 2 2 2 2 2
= x3 − 3 xy2 + ( 3 x2 y − y3 ) i
∴
Re ( z
3
)=x
3
− 3 xy
2
,
Im ( z 3 ) = 3 x 2 y − y 3 ．
⎛ 1 + i ⎞ (1 + i ) 1 − i ⎜ 2 ⎟= 2 = 2 ⎝ ⎠
复变函数与积分变换（修订版）课后答案（复旦大学出版社）
π ⎛ 2 i 2 ⎞ 4 解： 3 + 3i= 6 ⋅ ⎜ + i = 6 ⋅ e ⎟ ⎜ 2 ⎟ 2 ⎠ ⎝
数学分析复旦答案
数学分析复旦答案【篇一：复旦《数学分析》答案第四章1、2节】题 4.1 微分和导数⒈半径为1cm的铁球表面要镀一层厚度为0.01cm的铜，试用求微分的方法算出每只球需要用铜多少克？（铜的密度为8.9g/cm3。
）解球体积v?43?r3，每只球镀铜所需要铜的质量为2m???v?4??r?r?1.12g。
?0⒉用定义证明，函数y点之外都是可微的。
证当x?0时，?y?微。
当x?0时，?y???3x2在它的整个定义域中，除了x这一?x2是?x的低阶无穷小，所以y?x2在x?0不可?x?x?o(?x),所以y?x2在x?0是可微的。
习题 4.2 导数的意义和性质1．设f?(x0)存在，求下列各式的值：⑴⑵⑶lim?x?0f(x0??x)?f(x0) ?x；limx?x0f(x)?f(x0)x?x0；。
f(x0?(??x))?f(x0) (??x)??f(x0)。
limh?0f(x0?h)?f(x0?h) h解 (1)lim⑵⑶f(x0??x)?f(x0) ?xf(x)?f(x0)x?x0?x?0??lim?x?0x?x0lim?limf(x0?(x?x0))?f(x0) x?x0x?x0?0?f(x0)。
limf(x0?h)?f(x0?h) hf(x0?h)?f(x0)hh?0f(x0?h)?f(x0)hh?0?limh?0?lim?2f(x0)。
2．⑴用定义求抛物线y?2x2?3x?1的导函数；⑵求该抛物线上过点(?1,?2)处的切线方程；⑶求该抛物线上过点(?2,1)处的法线方程；⑷问该抛物线上是否有(a,b)，过该点的切线与抛物线顶点与焦点的连线平行？解 (1)因为?y?x?2(x??x)?3(x??x)?1?(2x?3x?1)?xf(x)?lim?y?x?4x?3。
22?4x?3?2?x，所以?x?0(2)由于(3)由于f(?1)??1，切线方程为y??1?[x?(?1)]?(?2)??x?3。
f(?2)??5，法线方程为y??1?5[x?(?2)]?1?x?75。
《复变函数与积分变换复旦大学修订版》全部_习题答案
复变函数与积分变换（修订版）主编：马柏林（复旦大学出版社）——课后习题答案习题一1. 用复数的代数形式a +ib 表示下列复数π/43513;;(2)(43);711i i e i i i i i-++++++.①解i 4πππe cos isin 44-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭②解： ()()()()35i 17i 35i 1613i 7i 11+7i 17i 2525+-+==-++-③解： ()()2i 43i 834i 6i 510i ++=-++=+ ④解： ()31i 1335=i i i 1i 222-+-+=-+2.求下列各复数的实部和虚部(z =x +iy )(z a a z a -∈+); 33311;;;.22n z i ⎛⎛-+-- ⎝⎭⎝⎭①： ∵设z =x +iy则()()()()()()()22i i i i i i x a y x a y x y a x a y z a z a x y a x a y x a y -++-⎡⎤⎡⎤+--+-⎣⎦⎣⎦===+++++++ ∴()22222Re z a x a y z a x a y ---⎛⎫= ⎪+⎝⎭++,()222Im z a xyz a x a y-⎛⎫=⎪+⎝⎭++． ②解： 设z =x +iy ∵()()()()()()()()323222222223223i i i 2i i 22i33iz x y x y x y x y xy x y x x y xy y x y x y x xy x y y =+=++=-++⎡⎤=--+-+⎣⎦=-+- ∴()332Re 3z x xy =-,()323Im 3z x y y =-．③解：∵(()(){}33232111313188-+⎡⎤⎡⎤==--⋅-⋅+⋅-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭()180i 18=+=∴Re 1=⎝⎭, Im 0=⎝⎭． ④解：∵()()(()2332313131i 8⎡⎤--⋅-⋅+⋅-⎢⎥⎣⎦=⎝⎭()180i 18=+=∴Re 1=⎝⎭, Im 0=⎝⎭． ⑤解： ∵()()1,2i 211i,kn kn k k n k ⎧-=⎪=∈⎨=+-⋅⎪⎩． ∴当2n k =时，()()Re i 1kn=-，()Im i 0n=；当21n k =+时，()Re i 0n =，()()Im i 1kn =-．3.求下列复数的模和共轭复数12;3;(2)(32);.2ii i i +-+-++①解：2i -+==2i 2i -+=--②解：33-=33-=-③解：()()2i 32i 2i 32i ++=++=()()()()()()2i 32i 2i 32i 2i 32i 47i ++=+⋅+=-⋅-=-④解：1i 1i 22++==()1i 11i222i ++-⎛⎫== ⎪⎝⎭4、证明：当且仅当z z =时，z 才是实数．证明：若z z =，设i z x y =+，则有 i i x y x y +=-，从而有()2i 0y =，即y =0 ∴z =x 为实数．若z =x ，x ∈ ，则z x x ==． ∴z z =．命题成立．5、设z ,w ∈ ，证明： z w z w ++≤证明∵()()()()2z w z w z w z w z w +=+⋅+=++()()22222Re z z z w w z w wz zw z w w z wz w =⋅+⋅+⋅+⋅=++⋅+=++⋅()2222222z w z wz w z w z w ++⋅=++⋅=+≤∴z w z w ++≤．6、设z ,w ∈ ，证明下列不等式． ()2222Re z w z z w w +=+⋅+ ()2222Re z w z z w w -=-⋅+()22222z w z w z w++-=+并给出最后一个等式的几何解释．证明：()2222Re z w z z w w +=+⋅+在上面第五题的证明已经证明了．下面证()2222Re z w z z w w -=-⋅+．∵()()()()222z w z w z w z w z w z z w w z w-=-⋅-=--=-⋅-⋅+()222Re z z w w =-⋅+．从而得证．∴()22222z w z w z w ++-=+几何意义：平行四边形两对角线平方的和等于各边的平方的和．3352π2π;;1;8π(1);.cos sin 7199i i i i +⎛⎫--+ ⎪+⎝⎭ ①解：()()()()35i 17i 35i 7i 117i 17i +-+=++-3816i 198i e 5025i θ⋅--==其中8πarctan 19θ=-．②解：e i i θ⋅=其中π2θ=．π2e i i =③解：ππi i 1e e -==④解：()28π116ππ3θ-+==-.∴()2πi 38π116πe--+=⋅⑤解：32π2πcos isin 99⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 解：∵32π2πcosisin 199⎛⎫+= ⎪⎝⎭．∴322πi π.3i 932π2πcos isin 1e e 99⋅⎛⎫+=⋅= ⎪⎝⎭8.计算：(1)i 的三次根；(2)-1的三次根；(3)的平方根.⑴i 的三次根． 解：()13ππ2π2πππ22cos sin cosisin 0,1,22233++⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭k k i k∴1ππ1cosisin i 662=+=+z ．2551cos πisin πi 662=+=+z3991cos πisin πi 662=+=-z ⑵-1的三次根 解：()()132π+π2ππcos πisin πcosisin 0,1,233k k k ++=+=∴1ππ1cos isin 332=+=z 2cos πisin π1=+=-z3551cos πisin π332=+=-z的平方根． 解：πi 4e ⎫⎪⎪⎝⎭∴)()1π12i 44ππ2π2π44e6cos isin 0,122k k k ⎛⎫++ ⎪=⋅+= ⎪⎝⎭∴π11i 8441ππ6cos isin 6e 88⎛⎫=⋅+=⋅ ⎪⎝⎭z911πi 8442996cos πisin π6e 88⎛⎫=⋅+=⋅ ⎪⎝⎭z ． 9.设2πe,2inz n =≥. 证明：110n z z -+++=证明：∵2πi e nz ⋅= ∴1n z =，即10n z -=．∴()()1110n z z z --+++=又∵n ≥2． ∴z ≠1 从而211+0n z z z -+++=11.设Γ是圆周{:},0,e .i z r r a c r z c α=>=+-令:Im 0z a L z b β⎧-⎫⎛⎫==⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭, 其中e i b β=.求出L β在a 切于圆周Γ的关于β的充分必要条件. 解：如图所示．因为L β={z : Im z a b -⎛⎫⎪⎝⎭=0}表示通过点a 且相切，则CA ⊥L β．过C 作直线平行L β，则有∠BCD =β，∠ACB =90° 故α-β=90°所以L β在α处切于圆周T 的关于β的充要条件是α-β=90°．12.指出下列各式中点z 所确定的平面图形，并作出草图.(1)arg π;(2);1(3)1|2;(4)Re Im ;(5)Im 1 2.z z z z i z z z z ==-<+<>><且解：(1)、argz =π．表示负实轴．(2)、|z -1|=|z |．表示直线z =12．(3)、1<|z +i|<2解：表示以-i 为圆心，以1和2为半径的周圆所组成的圆环域。
数学分析复旦大学第四版答案实数基本定理
数学分析复旦大学第四版答案实数基本定理【篇一：数学分析(4)复习提纲(全部版)】>第一部分实数理论1实数的完备性公理一、实数的定义在集合r内定义加法运算和乘法运算，并定义顺序关系，满足下面三条公理，则称r为实数域或实数空间。
（1）域公理：（2）全序公理：则或a中有最大元而a中无最小元，或a中无最大元而a中有最小元。
评注域公理和全序公理都是我们熟悉的，连续性公理也称完备性公理有许多等价形式（比如确界原理），它是区别于有理数域的根本标志，它对实数的描述没有借助其它概念而非常易于接受，故大多数教科把它作为实数理论起步的公理。
二、实数的连续性（完备性）公理实数的连续性（完备性公理）有许多等价形式，它们在使用起来方便程度不同，这些公理是本章学习的重点。
主要有如下几个公理：确界原理：单调有界定理：区间套定理：有限覆盖定理：（heine-borel）聚点定理：(weierstrass)致密性定理：(bolzano-weierstrass)柯西收敛准则：(cauchy)习题1证明dedekind分割原理与确界原理的等价性。
习题2用区间套定理证明有限覆盖定理。
习题3用有限覆盖定理证明聚点定理。
评注以上定理哪些能够推广到欧氏空间r？如何叙述？n2闭区间上连续函数的性质有界性定理：上册p168；下册p102,th16.8；下册p312,th23.4最值定理：上册p169；下册下册p102,th16.8介值定理与零点存在定理：上册p169；下册p103,th16.10一致连续性定理（cantor定理）：上册p171；下册p103,th16.9；下册p312,th23.7 习题4用有限覆盖定理证明有界性定理习题5用致密性定理证明一致连续性定理3数列的上(下)极限三种等价定义：（1）确界定义；（2）聚点定义；（3）n定义评注确界定义易于理解；聚点定义易于计算；n定义易于理论证明习题6用区间套定理证明有界数列最大（小）聚点的存在性。
高等数学下_复旦大学出版_习题十答案详解
高等数学下_复旦大学出版_习题十答案详解(总54页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--ln()d Dx y σ+⎰⎰2[ln()]d Dx y σ+⎰⎰{(,)|35,02}x y x y ≤≤≤≤12x y ≤+≤ 0ln()1x y ≤+<2ln()[ln()]x y x y +≥+2ln()d [ln()]d DDx y x y σσ+≥+⎰⎰⎰⎰(,)x y D ∈3x y +≥2ln()[ln()]x y x y +<+2ln()d [ln()]d DDx y x y σσ+<+⎰⎰⎰⎰4d ,{(,)|02,02}I xy D x y x y σ=+=≤≤≤≤⎰⎰22sin sin d ,{(,)|0π,0π}DI x y D x y x y σ==≤≤≤≤⎰⎰2222(49)d ,{(,)|4}DI x y D x y x y σ=++=+≤⎰⎰(,)x y D ∈02x ≤≤02y ≤≤04xy ≤≤2≤2d DDDσσσ≤≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰2d d DDσσσ≤≤⎰⎰⎰⎰d Dσσ=⎰⎰8Dσ≤≤⎰⎰220sin 1,0sin 1x y ≤≤≤≤220sin sin 1x y ≤≤220d sin sin d 1d DDDx y σσσ≤≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰220sin sin d d DDx y σσσ≤≤=⎰⎰⎰⎰2πσ=2220sin sin d πDx y σ≤≤⎰⎰(,)x y D ∈2204x y ≤+≤22229494()925x y x y ≤++≤++≤229d (49)d 25d DDDx y σσσ≤++≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰229(49)d 25Dx y σσσ≤++≤⎰⎰2π24πσ=⋅=2236π(49)d 100πDx y σ≤++≤⎰⎰222(,{(,)|};Da D x y x y a σ=+≤⎰⎰222,{(,)|}.D x y x y a σ=+≤⎰⎰(,Da σ⎰⎰31(π3Da a σ=⎰⎰222d Da x y σ--⎰⎰22232d π.3Da x y a σ--=⎰⎰22200201lim(,)d ,{(,)|()()}πDr f x y D x y x x y y r r σ→=-+-≤⎰⎰(,),D ξη∃∈2(,)d (,)π(,)Df x y f r f σξησξη=⋅=⋅⎰⎰0r →00(,)(,),x y ξη→0022200000(,)(,)11lim(,)d limπ(,)lim (,)ππlim (,)(,)Dr r r x y f x y r f f r r f f x y ξησξηξηξη→→→→=⋅===⎰⎰(,)d Df x y σ⎰⎰{(,)|1,1,0}D x y x y y x y =+≤-≤≥2{(,)|2,}D x y y x x y =≥-≥2{(,)|,2,2}D x y y y x x x=≥≤≤11,01y x y y -≤≤-≤≤1101(,)d d (,)d yDy f x y y f x y x σ--=⎰⎰⎰⎰22,12y x y y ≤≤+-≤≤2221(,)d d (,)d y Dyf x y y f x y x σ+-=⎰⎰⎰⎰2y x =2y x =22,1 2.y x x x≤≤≤≤2221(,)d d (,)d xDxf x y x f x y y σ=⎰⎰⎰⎰2220d (,)d yy y f x y x⎰⎰eln 1d (,)d xx f x y y ⎰⎰1320d (,)d y y y f x y x -⎰⎰πsin 0sin2d (,)d xx x f x y y -⎰⎰123301d (,)d d (,)d yyy f x y y y f x y x -+⎰⎰⎰⎰202,2.y y x y ≤≤≤≤04,.2xx y x ≤≤≤≤ 22242d (,)d d (,)d .yxx yy f x y x x f x y y =⎰⎰⎰⎰1e,0ln .x y x ≤≤≤≤01,e e,y y x ≤≤≤≤e ln 1e1ed (,)d d (,)d y xx f x y y y f x y x =⎰⎰⎰⎰01,32,y y x y ≤≤≤≤-201,0,x y x ≤≤≤≤113,0(3).2x y x ≤≤≤≤- 2113213(3)201d (,)d d (,)d d (,)d y x x yy f x y x x f x y y x f x y y --=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰0π,sinsin .2xx y x ≤≤-≤≤10,2arcsin π;y y x -≤≤-≤≤ 01,arcsin πarcsin .y y x y ≤≤≤≤-πsin 0π1πarcsin 0sin12arcsin 0arcsin 2d (,)d d (,)d d (,)d xyx yyx f x y y y f x y x y f x y x ----=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰01,02,y x y ≤≤≤≤13,03.y x y ≤≤≤≤-02,3;2xx y x ≤≤≤≤- ()123323012d ,d d (,)d d (,)d yyxxy f x y x y f x y x x f x y y --+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰22()d d Dx y x y +⎰⎰22{(,)|}x y x y ax +≤122()d d D x y x y +⎰⎰cos πππcos 344442220001132d d 2d cos d π4232a a V r r r a a θθθθθθ====⎰⎰⎰⎰22()d d ,DV x y x y =+⎰⎰211, 1.x x y -≤≤≤≤21122221()d d d ()d DxV x y x y x x y y -=+=+⎰⎰⎰⎰2111232461111188d ()d .333105x x y y x x x x x --⎡⎤=+=+--=⎢⎥⎣⎦⎰⎰221d d ,:12,;Dx x y D x y x y x≤≤≤≤⎰⎰e d d ,x yDx y ⎰⎰22d d ,Dx y x y -⎰⎰cos()d d ,{(,)|0π,π}Dx y x y D x y x x y +=≤≤≤≤⎰⎰()22222231221111d d d d d d xx D x xx x x x y x y x x x x y y y ==-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰2421119.424x x ⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦201,0.y x y ≤≤≤≤22110000e d d d e d d e d()x x x y y y y yD xx y y x y y y==⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 21111ed (e 1)d e d d y x y y yy y y y y y y y ==-=-⎰⎰⎰⎰1111120000011de d e e d .22yy yy y y y y y =-=--=⎰⎰⎰01,.x x y x ≤≤-≤≤21122222200d d d d arcsin d 22xxDxxx y y x y x y x x y y x y x x --⎡⎤-=-=+-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰112300ππ1πd .2236x x x ==⋅=⎰ππππ0πππ0(4)cos()d d d cos()d [sin()]d [sin(π)sin 2]d (sin sin 2)d 11.cos cos 222x Dxx y x y x x y y x y xx x x x x x x x +=+=+=+-=--⎡⎤==+⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰10112111224sin (1)d d ;(2)d e d d e d .y yy y yyxxyxy x xy x y x +⎰⎰⎰⎰⎰⎰sin d x x x ⎰y[]21112000111111sin sin sin d d d d ()d (sin sin )d sin d sin d sin d cos d 1sin1.cos y x yx xx x y x x y x x xx x xx x x x x x x x x x x x x x x ==-=-=-=+-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ed y xx ⎰121111:,,:1,.4222D y x y D y y x y ≤≤≤≤≤≤≤≤211,.2x x y x ≤≤≤≤[]221111211111222241112111222d e d d e d d e d d e3e e e (e e )d e e 82x y y y y yy xxxxx y xx x x x y x y x x y xx x x x x x +===-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰{}222222d d ,;(,)|π4πDx y x y D x y x y +=≤+≤⎰⎰ 22()e d d ,xy Dx y -+⎰⎰22x y +arctand d ,Dxx y y⎰⎰22x y +22x y + ()d d ,Dx y x y +⎰⎰22x y +[]2π2π220π2π2πsin d d d sin d 2π6π.cos sin Dx y x y r r rr r r θ+==-=--⎰⎰⎰⎰222222π11()2000101e d d d e d 2e d()21π.1e e xy r r Dr x y r r r θππ-+---⎛⎫==⋅-- ⎪⎝⎭⎛⎫=-⋅=- ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰π4π2401π240arctan d d arctan(cot )d d 39ππd .2642D x x y r ry θθθθ=⎛⎫==- ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰π3π,0cos sin 44r θθθ-≤≤≤≤+3πcos sin 24π04cos sin 3π34π043π44π43π44π4()d d d (cos sin )d d (cos sin )31(cos sin )d 34ππsin d .324Dx y x y r rr θθθθθθθθθθθθθθθ+-+---+=+=+=+⎛⎫==+ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰222222200(1)d ()d ;(2)d d ;aax x a xx x y y x x y y -++⎰⎰⎰⎰()22211222220(3)d ()d ;(4)d d .xaa y xx x y y y x x y --++⎰⎰⎰⎰解：（1）积分区域D 如图10-19所示.图10-19π0,02cos 2r a θθ≤≤≤≤22cos ππ42a22cos 223220π444420d ()d d d d 431π34cos d 4π.4224a ax x a r x x y y r r aa a θθθθθθ-+====⋅⋅⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰π0,0sec 4r a θθ≤≤≤≤[]π4sec πππ33a sec 2223444000330d d d d d sec d 33sec tan ln(sec tan ).2ln(21)66a xa a r x x y y r r a a θθθθθθθθθθ+===⎡⎤=++=++⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰π0,0sec tan 4r θθθ≤≤≤≤21ππ1sec tan 2221440π4d ()d d d sec tan d sec 21xx x x y y r r r θθθθθθθ--+=⋅===-⎰⎰⎰⎰⎰π0,02r a θ≤≤≤≤22π42234200ππd ()d d d .284aaa y ar y x y x r r a θ-+==⋅=⎰⎰⎰⎰22d d Dx y x y ⎰⎰()222d d ,{1};(,)D x y D x y y x y x =+≤+⎰⎰122201d ()d ,xxx x y y --+⎰⎰22222222d d ,:1;D x y x y x y D a b a b ⎛⎫+≤+ ⎪⎝⎭⎰⎰ {}2222d d ,;9(,)4Dx y D x y x y x y =+≤+-⎰⎰{}2222d d ,.4(,)2Dx y D x y x y x y y =+≤+-⎰⎰y v x= ,,(24,13)ux y uv u v v==≤≤≤≤ 2111(,)122.(,)222v v uxx x y u v u vu v J yy u v v v uuv uvuv-∂∂⋅⋅∂∂∂====∂∂∂∂∂4333422221212241311281d d d d d d ln 3.ln 22323D u v u x y x y u u v v u u v v v ≤≤≤≤=⋅==⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰, 22u v u vx y +-==11(,)12211(,)222x y J u v ∂===-∂-4224211224224111111111423542111153121()d d d d d (2)d 88112121d d 843535114121.445595D u v u u v v x y x y u v u u u v v v u u u v u v v u u u u u ---≤≤-≤≤----+++==++⎡⎤⎛⎫==++++ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎡⎤==++⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰01(,)111(,)x y J u v ∂===--∂212121222222301010111232001d ()d d (22)d d 2337237d .2323323xxx x y y v v uv u u vv u vu u v v v v v v --⎡⎤+=-+=-+⎢⎥⎣⎦⎛⎫⎡⎤===-+-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰cos sin (,)sin cos (,)a ar x y J abr b br r θθθθθ-∂===∂1222π12342200011d d d d d d 2π24r D D x y x y r abr r abr r ab abr a b θθθπ⎛⎫⎡⎤===⋅=+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰2π322220023330223244202d d d d d d 4442π(4)d (4)d 41112ππ.22244DD x y r r r rx y r r r r r r r r r r r r θθ==+---⎡⎤=⋅-+-⎣⎦⎧⎫⎡⎤⎡⎤==+--⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎩⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰123422222222π2sin π22π22220002sin ππ2sin π22332002sin d d d d d d d d 2222d (2sin )d d (2sin )d d (2sin )d d (2sin )d d (2sin )d DD D D D x y x y x y x yx y y x y y x y y x y y r r r r r r r r r r r rr r r r r θθθθθθθθθθθθθθ⋃=+++-+-+-+-=-+-+-=-+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2π232π2sin 22444ππ2π33300π2sin 0ππ2π4400ππ40d (2sin )d 222d d d sin sin sin 344343416416sin d d d 4sin sin 4sin 3333816sin d 4sin 33r r r rr r r r r r θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ+-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=++---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎛⎫⎛⎫=++-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛=+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰π2π0ππ2π0016d d 4sin 38116318πsin d sin 2sin 43432823π8π09π.32θθθθθθθθ⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎡⎤=⨯+--+⎢⎥⎣⎦=⋅++=⎰⎰⎰22,b b y x y x a a==22,(0,0)b by x y x a b a a==>>220a a y x y bb y b⎧≤≤⎪⎨⎪≤≤⎩222001d d d d d .6aby bb a Dy b aa S x y y x y ab y y b b ⎛⎫====- ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰d d DS x y =⎰⎰y v x= 22,,(2,12)ux y uv a u a v v==≤≤≤≤ (,)1(,)2x y J u v v∂==∂2222222221121211d d d d d d d ln 22222a D a a u a v a a S x y u v v u v v v v ≤≤≤≤=====⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰11d ()()d ()()d ;1by bn n aaay y x f x x f x b x x n +-=-+⎰⎰⎰11()d d ()d Df x y x y f u u -+=⎰⎰⎰()12221()d d 21d Df ax by c x y u f u u a b c -++=-++⎰⎰⎰111d ()()d d ()()d d ()()11()()d .1bbyb bbnnn aaaxaxbn ay y x f x x x y x f x y x f x y x n f x b x x n ++-=-=-+=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰,22u v u vx y +-== (,)1(,)2x y u v ∂=-∂111111111111()d d ()d d d ()d ()d .22Du v f x y x y f u u v u f u v f u u ----≤≤-≤≤+===-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰x y ==222222()()(,)1(,)f ax by c f c x y a b J u v a b a b++=∂===+=∂++222222222222()() 1.a b u a b v u v a b ++++==+≤+()()()()22111111()d d d d d d 2d .Du v f ax by c x y f u vc u f vc f uc u c +≤---++====⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰222z a x y =--222222z z x y a x y a x y ∂∂=∂∂----222221z z y x a x y ∂⎛⎫∂⎛⎫++= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭--22222πcos 22222ππcos cos 1222222222000π22041d d 4d 4d d 4d d 2d )2d 2()4(1sin )d 2(π).a a a z z A x y x yy x a x ya r r a ra ra ra a r a a r a ra a a a θθθθθθθθθ∂⎛⎫∂⎛⎫=++= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭--==--⎡⎤=-=--⎢⎥⎣⎦-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰22x y +2222222222211 2.zz xyx yx yz x y z y x y x y x ∂∂==∂∂++∂⎛⎫∂⎛⎫++=++= ⎪ ⎪∂++∂⎝⎭⎝⎭22π2cos 2002cos πππ2222201d d 2d d 2d 2d 2d 42cos d 22(1cos 2)d 2π.z z A x y x y r ry x r θθθθθθθθ∂⎛⎫∂⎛⎫=++== ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭===+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰22z R x =-22222222222222002220161d d 1610d d 16d d 16d d 16d 16d 16.DD R R x DR x R Rx z z A x y x y y x R x R Rx y x yR x R xRy x R x R R x---∂⎛⎫⎛⎫∂⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭-⎝⎭⎝⎭==--⎡⎤===⎢⎥-⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰02,,0y px x x y ===22221,0x y y a b +≤≥0000032320035222030000022d d d 2d 223311132d d d d 2d 25522x x pxx Dx x px x D A x y x y px x p px xx x x y x y px x p x x A A A px ==========⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰000220003000011133d d d d d 28842x px x x D y y x y x y y px x px y px A A A px ======⎰⎰⎰⎰0033,58x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭ x 1π2A ab =2222222321111d d d d d 2241.π23π3b a x b aa x aa a D a a aa y y x y x y y xy A AA b ba x x ab a -----===⎛⎫=⋅=- ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰40,3πb ⎛⎫ ⎪⎝⎭0y =ππcos 22222220cos 0πd d 2d d ()cos d ()4b Da A x y r rb a b a θθθθθ===-=-⎰⎰⎰⎰⎰ππ33cos 24220cos 0332222122d d d cos d cos d 38π().π()162()b D a b a x x x y r r A A A b a a ab b b a a b θθθθθθ-===-++=⋅=-+⎰⎰⎰⎰⎰22,02()a ab b a b ⎛⎫++⎪+⎝⎭222111246570001113576800011225860011111(,)d d d d ()d ,22355711111(,)d d d d ()d ,2248681111(,)d d d d ()d 3369xD x xy D x xx DxM x y x y x x y y x x x x x M x x y x y x x y y x x x x x M y x y x y x x y y x x x x ρρρ⎛⎫===-==- ⎪⎝⎭⎛⎫===-==- ⎪⎝⎭===-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰91.54x ⎛⎫= ⎪⎝⎭3535,,4854y x M M x y MM ==== 3535,4854⎛⎫ ⎪⎝⎭222302334344001(,)d d d ()d d 31111[()]d .()363412a xa a xaDaaM x y x y x x y y x x y y a ax x a x x a x x a x ρ--⎡⎤==+=+⎢⎥⎣⎦⎡⎤=-+-==---⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰22523300022523300011(,)d d d ()d d .()15311(,)d d d ()d d .()153aa yax D a a x a y D M y x y x y y y x y x y y a ay y a y M x x y x y x x x y y x x a ax x a x ρρ--⎡⎤==+==-+-⎢⎥⎣⎦⎡⎤==+==-+-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰541215156ax y a a ===22,55a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭22221x y a b +≤ 292y x =22221x y a b +≤D ' (,)(,)x y abr r θ∂=∂2π12222323032π30d d cos d d cos d d 1(1cos 2)d π.84y DD I x x y a r abr r a b r ra b a b θθθθθθ'====+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰323222220052322222022772d d 2d d d ;3522696d d 2d d d .72x x Dxy DI y x y x y y x x I x x y x x y x x 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z x y zx y z x y z x yx y z x yx y y x x y x x x Ω--------=++++++⎡⎤=⎢⎥-+++⎣⎦⎡⎤-=⎢⎥++⎣⎦⎡⎤-=⎢⎥-++⎣⎦⎡⎤⎛⎫-+==- ⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰222342x y R R z ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩2R z =0,2R ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,2R R ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 121222220()()22220()()222222202342242022245350d d d d d d d d d d d d d d d π(2)d π()d (2ππ)d (ππ)d ππππ2535R RR D z D z RRR D z D z R RR R RR Rz x y z z z x y z z x y z z x y z z x yz Rz z z z R z zRz z z R z z zR R z z z z Ω=+=+=-+-=-+-⎡⎤⎡⎤=+--⎢⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰5259π480RR R =⎥000x a y x z y ≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩20356600d d d d d d d d d d d 21111d d d .284848ya x y a x y a xaa xa zxyz x y z x y xyz z x x y y z z x x y y x x y y x x a x Ω===⋅====⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰222220()2222222002e d d d e d d d e π(1)d π(e e )d πe d πe d πe ππ2πe d e 3π(e 1).y y y y y D y y y y yx y z y x z y y y yx y y y yy Ω==⋅+=+=+=-+-⎡⎤⎣⎦=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰π020π02x y x z x ⎧≤≤⎪⎪≤≤⎨⎪⎪≤≤-⎩πππ22200000πππ222000sin sin sin πd d d d d d d d 2π1π1πsin d sin d sin d .424242x x x y x x x x y z x y z x y y x x x x x x x x x x x x Ω-⎫==-⎪⎝⎭⎛⎫==-=-- 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ΩΩϕϕϕθθϕϕ+=⋅==-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰22z x y =+22z x y =+225x y -+202π026r r z r θ≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤-⎩22260222323400d d d d d d d 32112π(6)d 2π.3334r rv v r r z r r zr r r r r r r πΩΩθθπ-===⎡⎤=--==--⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰02ππ0402cos r a θϕϕ≤≤⎧⎪⎪≤≤⎨⎪⎪≤≤⎩π22cos 2240ππ43333420d sin d d d d sin d d 8812πcos sin d 2ππ.cos 334a v v r r r ra a a πϕΩΩϕϕθθϕϕϕϕϕϕ===⎡⎤==⋅=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰202π01r r z r θ≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩22112301340d d d d 2π()d π112π.634r rv v r r z r r rr r πΩθ===-⎡⎤==-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰22020254r r z r θπ⎧⎪≤≤⎪≤≤⎨⎪⎪≤≤-⎩()2222504222223200022342200d d d d d d π2πd 2π5d d 5242π2π.(5)554383r r v v r r z r r zr r r r r r r r r r r πΩΩθθπ-===⎫==---⎪⎭=-=--⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2222222222221d ,(,,)1x y z x y z v x y z a b c a b c ΩΩ⎧⎫---=++≤⎨⎬⎩⎭⎰⎰⎰222222222222exp d ,(,,).1x y z x y z v x y z a b c a b c ΩΩ⎧⎫⎧⎫=++≤⎨⎬⎨⎬++⎩⎭⎩⎭⎰⎰⎰sin cos sin sin cos x ar y br z cr ϕθϕθϕ=⎧⎪=⎨⎪=⎩010π02πr ϕθ≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩2sin cos cos cos sin sin (,,)sin .sin sin cos sin sin cos (,,)cos sin 0a ar ar x y z abcrb br br rc cr ϕθϕθϕθϕϕθϕθϕθϕθϕϕ-∂==∂-*222222221d 1sin d d d x y z v r abcr r a b cΩΩϕϕθ---=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰[]2ππ120π20d sin d 1d π2ππ.cos 164abcr r rabc abc θϕϕϕ=-=⋅⋅⋅=-⎰⎰⎰[]*22222222ππ120π0exp d e sin d d d d sin d e d 2π(e 2)4π(e 2).cos r r x y z v abcr r ab c abcr rabc abc ΩΩϕϕθθϕϕϕ⎧⎫=⋅⎨⎬++⎩⎭==⋅⋅⋅-=--⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰0,02π,0π,,r R kr θϕρ≤≤≤≤≤≤=[]π20π4400d d sin d d 2ππ.cos 4RR M v kr r rk k R r πΩρθϕϕϕ=⋅⎡⎤=⋅⋅=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰２＝222222,(0),0;z A x y z a x z A a z =--=-->>=1π30x y ==2π11130001240112π1d d d d ()d 212π3.2424r z z v r r z z r r rM v v r r v Ωρθ===-⎡⎤=⋅=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰30,0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ ()332π.3v A a =-π02π,0,2a r A θϕ≤≤≤≤≤≤ 0x y ==[]π2π332π444233011d sin cos d d d d sin cos d d 2π13()1.cos 248()4A a A a z z v r r r r M v v A a r v A a ΩΩρϕϕϕθθϕϕϕϕ==-⎡⎤=⋅⋅=-⎢⎥-⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰０１＝44333().0,0,8()A a A a ⎛⎫- ⎪-⎝⎭2222230023043440d d d d d d 1d ()d d 31d ()()3111.()63412a a xx y a xa a xa aaV x y z x y zx x y y x x y y x x a x a x a a x x a x Ω-+--==⎡⎤=+=+⎢⎥⎣⎦⎡⎤-+-⎢⎥⎣⎦⎡⎤==---⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰＝220002303432205411d d d d 11d ()()314d 233624111.515236aa x x y a a x x v x x y zM 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高等数学复旦大学出版第三版下册课后答案习题全
习题七1. 在空间直角坐标系中，定出下列各点的位置：A(1,2,3); B(-2,3,4); C(2,-3,-4);D(3,4,0); E(0,4,3); F(3,0,0).解：点A在第Ⅰ卦限；点B在第Ⅱ卦限；点C在第Ⅷ卦限；点D在xOy面上；点E在yOz面上；点F在x轴上.2. xOy坐标面上的点的坐标有什么特点？yOz面上的呢？zOx面上的呢？答: 在xOy面上的点，z=0;在yOz面上的点，x=0;在zOx面上的点，y=0.3. x轴上的点的坐标有什么特点？y轴上的点呢？z轴上的点呢？答：x轴上的点，y=z=0;y轴上的点，x=z=0;z轴上的点，x=y=0.4. 求下列各对点之间的距离：（1）（0，0，0），（2，3，4）；（2）（0，0，0），（2，-3，-4）；（3）（-2，3，-4），（1，0，3）；（4）（4，-2，3），（-2，1，3）.解：（1）s=(2) s==(3) s==(4) s==5. 求点（4，-3，5）到坐标原点和各坐标轴间的距离.解：点(4，-3，5)到x轴，y轴，z轴的垂足分别为（4，0，0），（0，-3，0），（0，0，5）.故2s=xs==ys==5zs==.6. 在z轴上，求与两点A（-4，1，7）和B（3，5，-2）等距离的点. 解：设此点为M（0，0，z），则222222(4)1(7)35(2)z z-++-=++--解得149 z=即所求点为M（0，0，149）.1731747. 试证：以三点A （4，1，9），B （10，-1，6），C （2，4，3）为顶点的三角形是等腰直角三角形.证明：因为|AB |=|AC |=7.且有 |AC |2+|AB |2=49+49=98=|BC |2. 故△ABC 为等腰直角三角形. 8. 验证：()()++=++a b c a b c . 证明：利用三角形法则得证.见图7-1图7-19. 设2, 3.=-+=-+-u a b c v a b c 试用a , b , c 表示23.-u v 解：232(2)3(3)2243935117-=-+--+-=-++-+=-+u v a b c a b c a b c a b c a b c10. 把△ABC 的BC 边分成五等份，设分点依次为D 1，D 2，D 3，D 4，再把各分点与A 连接，试以AB =c ，BC =a 表示向量1D A ,2D A ,3D A 和4D A . 解：1115D A BA BD =-=--c a 2225D A BA BD =-=--c a3335D A BA BD =-=--c a444.5D A BA BD =-=--c a11. 设向量OM 的模是4，它与投影轴的夹角是60°，求这向量在该轴上的投影. 解：设M 的投影为M '，则1Pr j cos 604 2.2u OM OM =︒=⨯= 12. 一向量的终点为点B （2，-1，7），它在三坐标轴上的投影依次是4，-4和7，求这向量的起点A 的坐标.解：设此向量的起点A 的坐标A (x , y , z )，则{4,4,7}{2,1,7}AB x y z =-=----解得x =-2, y =3, z =0故A 的坐标为A (-2, 3, 0).17513. 一向量的起点是P 1（4，0，5），终点是P 2（7，1，3），试求： （1） 12PP 在各坐标轴上的投影； （2） 12PP 的模；（3） 12PP 的方向余弦； （4） 12PP 方向的单位向量. 解：（1）12Pr j 3,x x a PP == 12Pr j 1,y y a PP == 12Pr j 2.z z a PP ==-(2) 12(7PP ==(3) 12cos 14x a PP α==12cos 14y a PP β==12cos 14z a PP γ==.(4) 12012{14PP PP ===+e j . 14. 三个力F 1=(1,2,3), F 2=(-2,3,-4), F 3=(3,-4,5)同时作用于一点. 求合力R 的大小和方向余弦.解：R =（1-2+3，2+3-4，3-4+5）=（2，1，4）||==Rcos cos cos αβγ=== 15. 求出向量a = i +j +k , b =2i -3j +5k 和c=-2i -j +2k 的模，并分别用单位向量,,a b c e e e 来表达向量a, b , c .解：||==a ||==b||3==c, , 3. a b c ===a b c e17616. 设m =3i +5j +8k , n =2i -4j -7k , p =5i +j -4k ,求向量a =4m +3n -p 在x 轴上的投影及在y 轴上的分向量.解：a =4(3i +5j +8k )+3(2i -4j -7k )-(5i +j -4k )=13i +7j +15k 在x 轴上的投影a x =13,在y 轴上分向量为7j . 17.解：设{,,}x y z a a a a =则有 c o s (1,1)3x a i a a i a i π⋅====⋅ 求得12x a =. 设a 在xoy 面上的投影向量为b 则有{,,0}x y b a a =则222cos 42a ba b π⋅=⇒=⋅ 则214y a =求得12y a =± 又1,a =则2221x y z a a a ++= 从而求得11{,,}222a =±或11{,,}222-± 18. 已知两点M 1（2，5，-3），M 2（3，-2，5），点M 在线段M 1M 2上，且123M M MM =，求向径OM 的坐标. 解：设向径OM ={x , y , z }12{2,5,3}{3,2,5}M M x y z MM x y z =--+=----因为，123M M MM =所以，11423(3)153(2) 433(5)3x x x y y y z z z ⎧=⎪-=-⎧⎪⎪⎪-=--⇒=-⎨⎨⎪⎪+=-⎩=⎪⎪⎩故OM ={111,,344-}.17719. 已知点P 到点A （0，0，12）的距离是7，OP 的方向余弦是236,,777，求点P 的坐标.解：设P 的坐标为（x , y , z ）, 2222||(12)49PA x y z =++-= 得2229524x y z z ++=-+126570cos 6, 749z z γ=⇒==又122190cos 2, 749x x α==⇒==123285cos 3, 749y y β==⇒==故点P 的坐标为P （2，3，6）或P （190285570,,494949）. 20. 已知a , b 的夹角2π3ϕ=，且3,4==b a ，计算： (1) a ·b ; (2) (3a -2b )·(a + 2b ). 解：（1）a ·b =2π1cos ||||cos3434632ϕ⋅⋅=⨯⨯=-⨯⨯=-a b (2) (32)(2)3624-⋅+=⋅+⋅-⋅-⋅a b a b a a a b b a b b2223||44||334(6)41661.=+⋅-=⨯+⨯--⨯=-a a b b21. 已知a =(4,-2, 4), b =(6,-3, 2),计算：（1）a ·b ; (2) (2a -3b )·(a + b )； （3）2||-a b 解：（1）46(2)(3)4238⋅=⨯+-⨯-+⨯=a b (2) (23)()2233-⋅+=⋅+⋅-⋅-⋅a b a b a a a b a b b b222222222||3||2[4(2)4]383[6(3)2]23638349113=-⋅-=⨯+-+--+-+=⨯--⨯=-a a b b (3) 222||()()2||2||-=-⋅-=⋅-⋅+⋅=-⋅+a b a b a b a a a b b b a a b b36238499=-⨯+=22. 已知四点A （1，-2，3），B （4，-4，-3），C （2，4，3），D （8，6，6），求向量AB 在178向量CD 上的投影.解：AB ={3，-2，-6}，CD ={6，2，3}Pr j CD AB CD AB CD⋅=4.7==-23. 若向量a +3b 垂直于向量7a -5b ,向量a -4b 垂直于向量7a -2b ,求a 和b 的夹角. 解: (a +3b )·(7a -5b ) =227||1615||0+⋅-=a a b b ① (a -4b )·(7a -2b ) = 227||308||0-⋅+=a a b b ②由①及②可得：222221()1||||2||||4⋅⋅⋅==⇒=a b a b a b a b a b 又21||02⋅=>a b b ，所以1cos ||||2θ⋅==a b a b , 故1πarccos23θ==. 24. 设a =(-2,7,6),b =(4, -3, -8),证明：以a 与b 为邻边的平行四边形的两条对角线互相垂直. 证明：以a ,b 为邻边的平行四边形的两条对角线分别为a +b ,a －b ,且 a +b ={2,4, -2} a -b ={-6,10,14}又(a +b )·(a -b )= 2×(-6)+4×10+(-2)×14=0 故(a +b )⊥(a -b ).25. 已知a =3i +2j -k , b =i -j +2k ,求： (1) a ×b ; (2) 2a ×7b ; (3) 7b ×2a ; (4) a ×a . 解：（1） 211332375122111--⨯=++=----a b i j k i j k(2) 2714()429870⨯=⨯=--a b a b i j k(3) 7214()14()429870⨯=⨯=-⨯=-++b a b a a b i j k (4) 0⨯=a a .26. 已知向量a 和b 互相垂直，且||3, ||4==a b .计算： (1) |(a ＋b )×(a －b )|；(2) |(3a ＋b )×(a －2b )|.（1）|()()|||2()|+⨯-=⨯-⨯+⨯-⨯=-⨯a b a b a a a b b a b b a b179π2||||sin242=⋅⋅=a b (2) |(3)(2)||362||7()|+⨯-=⨯-⨯+⨯-⨯=⨯a b a b a a a b b a b b b aπ734sin842=⨯⨯⨯= 27. 求垂直于向量3i -4j -k 和2i -j +k 的单位向量，并求上述两向量夹角的正弦. 解：411334555111221----⨯=++=--+--a b i j k i j k与⨯a b平行的单位向量)||⨯==--+⨯a b e i j k a b||sin ||||26θ⨯===⨯a b a b . 28. 一平行四边形以向量a =(2,1,－1)和b =(1,－2,1)为邻边，求其对角线夹角的正弦.解：两对角线向量为13=+=-l a b i j ，232=-=+-l a b i j k因为12|||2610|⨯=++=l l i j k12||||l l 所以1212||sin 1||||θ⨯===l l l l .即为所求对角线间夹角的正弦.29. 已知三点A (2,-1,5), B (0,3,-2), C (-2,3,1)，点M ，N ，P 分别是AB ，BC ，CA 的中点，证明：1()4MN MP AC BC ⨯=⨯. 证明：中点M ，N ，P 的坐标分别为31(1,1,), (1,3,), (0,1,3)22M N P --{2,2,2}MN =--3{1,0,}2MP =-{4,4,4}AC =-- {2,0,3}BC =-18022222235233100122MN MP ----⨯=++=++--i j k i j k 44444412208033220AC BC ---⨯=++=++--i j k i j k故 1()4MN MP AC BC ⨯=⨯. 30.（1）解: xy z xyzij k a b a a a b b b ⨯==-+-+-y z z y z x x z x y y x a b a b i a b a b j a b a b k （）（）（）则 C=-C +-+-y z z y x z x x z y x y y x y a b a b a b a b a b C a b a b C ⨯⋅（）（）（）（）xy z xy z xyza a ab b b C C C = 若 ,,C a b 共面，则有a b ⨯后与 C 是垂直的. 从而C 0a b ⨯⋅=（） 反之亦成立. （2） C xy z xy z x y za a a ab b b b C C C ⨯⋅=（） a xy z xy z x y z b b b b C C C C a a a ⨯⋅=（） b xy z xy z xy z C C C C a a a a b b b ⨯⋅=（） 由行列式性质可得:xy z x y z x y z xy z x y z xy z xyzxyzxyza a ab b b C C C b b b C C C a a a C C C a a a b b b == 故C a a b b C C a ⨯⋅=⨯⋅=⨯⋅（）（）（）18131. 四面体的顶点在(1,1,1),(1,2,3),(1,1,2)和(3,-1,2)求四面体的表面积. 解：设四顶点依次取为A , B , C , D .{0,1,2}, {2,2,1}AB AD ==-则由A ，B ，D 三点所确定三角形的面积为111|||542|22S AB AD =⨯=+-=i j k .同理可求其他三个三角形的面积依次为12故四面体的表面积12S =+32.解：设四面体的底为BCD ∆，从A 点到底面BCD ∆的高为h ，则 13BCDV S h =⋅⋅，而11948222BCDSBC BD i j k =⨯=--+= 又BCD ∆所在的平面方程为:48150x y z +-+=则43h ==故1942323V =⋅⋅= 33. 已知三点A (2,4,1), B (3,7,5), C (4,10,9)，证：此三点共线. 证明：{1,3,4}AB =,{2,6,8}AC = 显然2AC AB =则22()0AB AC AB AB AB AB ⨯=⨯=⨯=故A ，B ，C 三点共线.34. 一动点与M 0(1,1,1)连成的向量与向量n =(2,3,-4)垂直，求动点的轨迹方程. 解：设动点为M (x , y , z )0{1,1,1}M M x y z =---因0M M n ⊥,故00M M n ⋅=.即2(x -1)+3(y -1)-4(z -1)=0整理得：2x +3y -4z -1=0即为动点M 的轨迹方程. 35. 求通过下列两已知点的直线方程： （1） （1，-2，1）， （3，1，-1）； （2） （3，-1，0），（1，0，-3）.182解：（1）两点所确立的一个向量为s ={3-1，1+2，-1-1}={2，3，-2}故直线的标准方程为：121232x y z -+-==- 或 311232x y z --+==- （2）直线方向向量可取为s ={1-3，0+1，-3-0}={-2，1，-3}故直线的标准方程为：31213x y z -+==-- 或 13213x y z -+==-- 36. 求直线234035210x y z x y z +--=⎧⎨-++=⎩的标准式方程和参数方程.解：所给直线的方向向量为 12311223719522335--=⨯=++=----s n n i j k i j k另取x 0=0代入直线一般方程可解得y 0=7,z 0=17于是直线过点（0，7，17），因此直线的标准方程为:7171719x y z --==-- 且直线的参数方程为：771719x t y t z t =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩37. 求过点(4,1,-2)且与平面3x -2y +6z =11平行的平面方程. 解：所求平面与平面3x -2y +6z =11平行 故n ={3,-2,6}，又过点(4,1,-2)故所求平面方程为：3(x -4)-2(y -1)+6(z +2)=0 即3x -2y +6z +2=0.38. 求过点M 0(1,7,-3)，且与连接坐标原点到点M 0的线段OM 0垂直的平面方程. 解：所求平面的法向量可取为0{1,7,3}OM ==-n故平面方程为：x -1+7(y -7)-3(z +3)=0 即x +7y -3z -59=039. 设平面过点(1,2,-1)，而在x 轴和z 轴上的截距都等于在y 轴上的截距的两倍，求此平面方程.解：设平面在y 轴上的截距为b 则平面方程可定为122x y z b b b++= 又(1,2,-1)在平面上，则有121122b b b-++=183得b =2.故所求平面方程为1424x y z ++= 40. 求过(1,1,-1), (-2,-2,2)和（1，-1，2）三点的平面方程. 解：由平面的三点式方程知1112121213131310x x y y z z x x y y z z x x y y z z ------=--- 代入三已知点，有1112121210111121x y z --+----+=---+化简得x -3y -2z =0即为所求平面方程.41. 指出下列各平面的特殊位置，并画出其图形： (1) y =0; (2) 3x -1=0; (3) 2x -3y -6=0; (4) x – y =0; (5) 2x -3y +4z =0.解：(1) y =0表示xOz 坐标面（如图7-2） (2) 3x -1=0表示垂直于x 轴的平面.(如图7-3)图7-2 图7-3(3) 2x -3y -6=0表示平行于z 轴且在x 轴及y 轴上的截距分别为x =3和y =-2的平面.(如图7-4) (4) x –y =0表示过z 轴的平面（如图7-5）(5) 2x -3y +4z =0表示过原点的平面（如图7-6）.图7-4 图7-5 图7-6 42. 通过两点（1，1，1，）和（2，2，2）作垂直于平面x +y -z =0的平面. 解：设平面方程为Ax +By +Cz +D =0 则其法向量为n ={A ,B ,C }已知平面法向量为n 1={1,1,-1} 过已知两点的向量l ={1,1,1}由题知n·n1=0, n·l=0即0,.A B CC A B A B C+-=⎧⇒==-⎨++=⎩所求平面方程变为Ax-Ay+D=0又点（1，1，1）在平面上，所以有D=0故平面方程为x-y=0.43. 决定参数k的值，使平面x+ky-2z=9适合下列条件：（1）经过点（5，-4，6）；（2）与平面2x-3y+z=0成π4的角.解：（1）因平面过点（5，-4，6）故有5-4k-2×6=9得k=-4.（2）两平面的法向量分别为n1={1,k,-2} n2={2,-3,1}且1212πcos cos||||42θ⋅====n nn n解得2k=±44. 确定下列方程中的l和m:(1) 平面2x+ly+3z-5=0和平面mx-6y-z+2=0平行;(2) 平面3x-5y+lz-3=0和平面x+3y+2z+5=0垂直.解：（1）n1={2,l,3}, n2={m,-6,-1}12232,18613lm lm⇒==⇒=-=--n n(2) n1={3, -5, l }, n2={1,3,2}12315320 6.l l⊥⇒⨯-⨯+⨯=⇒=n n45. 通过点（1，-1，1）作垂直于两平面x-y+z-1=0和2x+y+z+1=0的平面.解：设所求平面方程为Ax+By+Cz+D=0其法向量n={A,B,C}n1={1,-1,1}, n2={2,1,1}12203203A CA B CA B C CB⎧=-⎪⊥⇒-+=⎪⇒⎨⊥⇒++=⎪=⎪⎩n nn n又（1，－1，1）在所求平面上，故A－B+C+D=0，得D=0故所求平面方程为233CCx y Cz-++=即2x-y-3z=018418546. 求平行于平面3x -y +7z =5,且垂直于向量i -j +2k 的单位向量. 解：n 1={3,-1,7}, n 2={1,-1,2}.12,⊥⊥n n n n故1217733152122111--=⨯=++=+---n n n i j k i j k则2).n =+-e i j k 47. 求下列直线与平面的交点：(1)11126x y z-+==-, 2x +3y +z -1=0; (2) 213232x y z +--==, x +2y -2z +6=0. 解：（1）直线参数方程为1126x ty t z t =+⎧⎪=--⎨⎪=⎩代入平面方程得t =1 故交点为（2，-3，6）.（2） 直线参数方程为221332x t y t z t =-+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩代入平面方程解得t =0. 故交点为（-2，1，3）. 48. 求下列直线的夹角： （1）533903210x y z x y z -+-=⎧⎨-+-=⎩ 和2223038180x y z x y z +-+=⎧⎨++-=⎩； （2）2314123x y z ---==- 和 38121y z x --⎧=⎪--⎨⎪=⎩ 解：（1）两直线的方向向量分别为：s 1={5, -3,3}×{3, -2,1}=533321ij k--={3,4, -1}s 2={2,2, -1}×{3,8,1}=221381i j k-={10, -5,10}186由s 1·s 2=3×10+4×(-5)+( -1) ×10=0知s 1⊥s 2 从而两直线垂直，夹角为π2. (2) 直线2314123x y z ---==-的方向向量为s 1={4, -12,3},直线38121y z x --⎧=⎪--⎨⎪=⎩的方程可变为22010y z x -+=⎧⎨-=⎩,可求得其方向向量s 2={0,2, -1}×{1,0,0}={0, -1, -2},于是1212cos 0.2064785θθ⋅==≈⋅'≈︒s s s s 49. 求满足下列各组条件的直线方程： （1）经过点（2，-3，4），且与平面3x -y +2z -4=0垂直； （2）过点（0，2，4），且与两平面x +2z =1和y -3z =2平行； （3）过点（-1，2，1），且与直线31213x y z --==-平行. 解：（1）可取直线的方向向量为 s ={3，-1，2}故过点（2，-3，4）的直线方程为234312x y z -+-==- （2）所求直线平行两已知平面，且两平面的法向量n 1与n 2不平行，故所求直线平行于两平面的交线，于是直线方向向量12102{2,3,1}013=⨯==--i j ks n n故过点（0，2，4）的直线方程为24231x y z --==- （3）所求直线与已知直线平行，故其方向向量可取为 s ={2，-1，3}故过点（-1，2，1）的直线方程为121213x y z +--==-. 50. 试定出下列各题中直线与平面间的位置关系：（1）34273x y z++==--和4x -2y -2z =3; （2）327x y z==-和3x -2y +7z =8;187（3）223314x y z -+-==-和x +y +z =3. 解：平行而不包含. 因为直线的方向向量为s ={-2，-7，3}平面的法向量n ={4，-2，-2}，所以(2)4(7)(2)3(2)0⋅=-⨯+-⨯-+⨯-=s n于是直线与平面平行.又因为直线上的点M 0（-3，-4，0）代入平面方程有4(3)2(4)2043⨯--⨯--⨯=-≠.故直线不在平面上.(2) 因直线方向向量s 等于平面的法向量，故直线垂直于平面.(3) 直线在平面上，因为3111(4)10⨯+⨯+-⨯=,而直线上的点（2，-2，3）在平面上. 51. 求过点（1，-2，1），且垂直于直线23030x y z x y z -+-=⎧⎨+-+=⎩ 的平面方程.解：直线的方向向量为12123111-=++-ij ki j k , 取平面法向量为{1，2，3}，故所求平面方程为1(1)2(2)3(1)0x y z ⨯-+++-=即x +2y +3z =0.52. 求过点（1，-2，3）和两平面2x -3y +z =3, x +3y +2z +1=0的交线的平面方程. 解：设过两平面的交线的平面束方程为233(321)0x y z x y z λ-+-++++= 其中λ为待定常数，又因为所求平面过点（1，-2，3） 故213(2)33(13(2)231)0λ⨯-⨯-+-++⨯-+⨯+=解得λ=-4.故所求平面方程为2x +15y +7z +7=053. 求点（-1，2，0）在平面x +2y -z +1=0上的投影.解：过点（-1，2，0）作垂直于已知平面的直线，则该直线的方向向量即为已知平面的法向量，即s =n ={1，2，-1}所以垂线的参数方程为122x t y t z t =-+⎧⎪=+⎨⎪=-⎩将其代入平面方程可得(-1+t )+2(2+2t )-(-t )+1=0188得23t =-于是所求点（-1，2，0）到平面的投影就是此平面与垂线的交点522(,,)333-54. 求点（3，-1，2）到直线10240x y z x y z +-+=⎧⎨-+-=⎩的距离.解：过点（3，-1，2）作垂直于已知直线的平面，平面的法向量可取为直线的方向向量即11133211==-=---ij kn s j k故过已知点的平面方程为y +z =1.联立方程组102401x y z x y z y z +-+=⎧⎪-+-=⎨⎪+=⎩解得131,,.22x y z ==-= 即13(1,,)22-为平面与直线的垂足于是点到直线的距离为d = 55. 求点（1，2，1）到平面x +2y +2z -10=0距离.解：过点（1，2，1）作垂直于已知平面的直线，直线的方向向量为s =n ={1，2，2}所以垂线的参数方程为12212x t y t z t =+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩将其代入平面方程得13t =. 故垂足为485(,,)333，且与点（1，2，1）的距离为1d ==即为点到平面的距离.56. 建立以点（1，3，-2）为中心，且通过坐标原点的球面方程.解：球的半径为R =设(x ,y ,z )为球面上任一点，则(x -1)2+(y -3)2+(z +2)2=14 即x 2+y 2+z 2-2x -6y +4z =0为所求球面方程.57. 一动点离点（2，0，-3）的距离与离点（4，-6，6）的距离之比为3，求此动点的轨迹方程.189解：设该动点为M (x ,y ,z )3.=化简得：8x 2+8y 2+8z 2-68x +108y -114z +779=0 即为动点的轨迹方程.58. 指出下列方程所表示的是什么曲面，并画出其图形：（1）22()()22a a x y -+=; （2）22149x y -+=; （3）22194x z +=; （4）20y z -=; （5）220x y -=; （6）220x y +=. 解：（1）母线平行于z 轴的抛物柱面，如图7-7. （2）母线平行于z 轴的双曲柱面,如图7-8.图7-7 图7-8 （3）母线平行于y 轴的椭圆柱面，如图7-9. （4）母线平行于x 轴的抛物柱面，如图7-10.图7-9 图7-10（5）母线平行于z 轴的两平面，如图7-11. （6）z 轴，如图7-12.图7-11 图7-1219059. 指出下列方程表示怎样的曲面，并作出图形：（1）222149y z x ++=; （2）22369436x y z +-=; （3）222149y z x --=; （4）2221149y z x +-=; （5）22209z x y +-=. 解：（1）半轴分别为1，2，3的椭球面，如图7-13. (2) 顶点在（0，0，-9）的椭圆抛物面，如图7-14.图7-13 图7-14(3) 以x 轴为中心轴的双叶双曲面，如图7-15. (4) 单叶双曲面，如图7-16.图7-15 图7-16(5) 顶点在坐标原点的圆锥面，其中心轴是z 轴，如图7-17.图7-1760. 作出下列曲面所围成的立体的图形： (1) x 2+y 2+z 2=a 2与z =0,z =2a(a >0); (2) x +y +z =4,x =0,x =1,y =0,y =2及z =0; (3) z =4-x 2, x =0, y =0, z =0及2x +y =4; (4) z =6-(x 2+y 2),x =0, y =0, z =0及x +y =1.191解：（1）（2）（3）（4）分别如图7-18，7-19，7-20，7-21所示.图7-18 图7-19图7-20 图7-21 61. 求下列曲面和直线的交点：(1) 222181369x y z ++=与342364x y z --+==-; (2) 22211694x y z +-=与2434x y z +==-.解：（1）直线的参数方程为334624x ty t z t =+⎧⎪=-⎨⎪=-+⎩代入曲面方程解得t =0,t =1. 得交点坐标为（3，4，-2），（6，-2，2）. (2) 直线的参数方程为4324x t y tz t =⎧⎪=-⎨⎪=-+⎩代入曲面方程可解得t =1, 得交点坐标为（4，-3，2）.62. 设有一圆，它的中心在z 轴上，半径为3，且位于距离xOy 平面5个单位的平面上，试建立这个圆的方程.192解：设（x ，y ，z ）为圆上任一点，依题意有2295x y z ⎧+=⎨=±⎩ 即为所求圆的方程.63. 试考察曲面22219254x y z -+=在下列各平面上的截痕的形状，并写出其方程. (1) 平面x =2; (2) 平面y =0; (3) 平面y =5; (4) 平面z =2.解：（1）截线方程为2212x ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪=⎩ 其形状为x =2平面上的双曲线.（2）截线方程为221940x z y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩为xOz 面上的一个椭圆.(3)截线方程为2215y ==⎩为平面y =5上的一个椭圆.(4) 截线方程为2209252x y z ⎧-=⎪⎨⎪=⎩为平面z =2上的两条直线.64. 求曲线x 2+y 2+z 2=a 2, x 2+y 2=z 2在xOy 面上的投影曲线. 解：以曲线为准线，母线平行于z 轴的柱面方程为2222a x y +=故曲线在xOy 面上的投影曲线方程为22220a x y z ⎧+=⎪⎨⎪=⎩65. 建立曲线x 2+y 2=z , z =x +1在xOy 平面上的投影方程. 解：以曲线为准线，母线平行于z 轴的柱面方程为x 2+y 2=x +1即2215()24x y -+=.193故曲线在xOy 平面上的投影方程为2215()240x y z ⎧-+=⎪⎨⎪=⎩习题八1. 判断下列平面点集哪些是开集、闭集、区域、有界集、无界集？并分别指出它们的聚点集和边界： (1) {(x , y )|x ≠0};(2) {(x , y )|1≤x 2+y 2<4}; (3) {(x , y )|y <x 2};(4) {(x , y )|(x -1)2+y 2≤1}∪{(x , y )|(x +1)2+y 2≤1}.解：(1)开集、无界集，聚点集：R 2，边界：{(x , y )|x =0}. (2)既非开集又非闭集，有界集, 聚点集：{(x , y )|1≤x 2+y 2≤4}，边界：{(x , y )|x 2+y 2=1}∪{(x , y )| x 2+y 2=4}. (3)开集、区域、无界集， 聚点集：{(x , y )|y ≤x 2}， 边界：{(x , y )| y =x 2}.(4)闭集、有界集，聚点集即是其本身，边界：{(x , y )|(x -1)2+y 2=1}∪{(x , y )|(x +1)2+y 2=1}. 2. 已知f (x , y )=x 2+y 2-xy tanxy,试求(,)f tx ty . 解：222(,)()()tan(,).tx f tx ty tx ty tx ty t f x y ty=+-⋅= 3. 已知(,,)w u v f u v w u w +=+,试求(,,).f x y x y xy +- 解：f ( x + y , x -y , x y ) =( x + y )xy +(x y )x +y +x -y =(x + y )xy +(x y )2x . 4. 求下列各函数的定义域：2(1)ln(21);z y x =-+(2)z =(3)z =(4)u =(5)z =(6)ln()z y x =-194(7)u =解：2(1){(,)|210}.D x y y x =-+>(2){(,)|0,0}.D x y x y x y =+>->22222(3){(,)|40,10,0}.D x y x y x y x y =-≥-->+≠(4){(,,)|0,0,0}.D x y z x y z =>>>2(5){(,)|0,0,}.D x y x y x y =≥≥≥ 22(6){(,)|0,0,1}.D x y y x x x y =->≥+< 22222(7){(,,)|0,0}.D x y z x y x y z =+≠+-≥5. 求下列各极限：10(1)y x y →→ 22001(2)lim;x y x y →→+00(3)x y →→x y →→00sin (5)lim ;x y xy x →→2222221cos()(6)lim.()ex y x y x y x y +→→-++解：(1)原式0ln 2.=(2)原式=+∞. (3)原式=01.4x y →→=-(4)原式=002.x y →→=(5)原式=00sin lim100.x y xyy xy →→⋅=⨯=(6)原式=22222222222()00001()2lim lim 0.()e 2ex y x y x x y y x y x y x y ++→→→→++==+1956. 判断下列函数在原点O (0，0)处是否连续：33222222sin(),0,(1)0,0;x y x y z x y x y ⎧++≠⎪=+⎨⎪+=⎩33333333sin(),0,(2)0,0;x y x y z x y x y ⎧++≠⎪=+⎨⎪+=⎩(3) 222222222,0,(2)()0,0;x y x y z x y x y x y ⎧+≠⎪=+-⎨⎪+=⎩解：(1)由于3333333322223333sin()sin()sin()0()x y x y x y x y y x x y x y x y x y++++≤=≤+⋅++++ 又00lim()0x y y x →→+=，且3333000sin()sin lim lim 1x u y x y ux y u →→→+==+, 故0lim 0(0,0)x y z z →→==.故函数在O (0,0)处连续. (2)000sin lim lim1(0,0)0x u y uz z u→→→==≠=故O (0,0)是z 的间断点.(3)若P (x ,y ) 沿直线y =x 趋于(0，0)点，则2222000lim lim 10x x y x x x z x x →→=→⋅==⋅+, 若点P (x ,y ) 沿直线y =-x 趋于(0，0)点，则22222220000()lim lim lim 0()44x x x y x x x x z x x x x →→→=-→-===⋅-++ 故00lim x y z →→不存在.故函数z 在O (0，0)处不连续.7. 指出下列函数在向外间断：(1) f (x ,y )=233x y x y -+; (2) f (x ,y )=2222y xy x +-;(3) f (x ,y )=ln(1－x 2－y 2);(4)f (x ,y )=22e ,0,0,0.x y x y yy -⎧⎪≠⎨⎪=⎩196解：(1)因为当y =-x 时，函数无定义，所以函数在直线y =-x 上的所有点处间断，而在其余点处均连续.(2)因为当y 2=2x 时，函数无定义，所以函数在抛物线y 2=2x 上的所有点处间断.而在其余各点处均连续.(3)因为当x 2+y 2=1时，函数无定义，所以函数在圆周x 2+y 2=1上所有点处间断.而在其余各点处均连续.(4)因为点P (x ,y )沿直线y =x 趋于O (0,0)时.1200lim (,)lime x x y x xf x y x-→→=→==∞. 故(0，0)是函数的间断点，而在其余各点处均连续. 8. 求下列函数的偏导数：(1)z = x 2y +2xy;(2)s =22u v uv+;(3)z = x;(4)z = lntan x y; (5)z = (1+xy )y ; (6)u = z xy ;(7)u = arctan(x -y )z; (8)y zu x =.解：(1)223122,.z z x xy x x y y y∂∂=+=-∂∂ (2)u v s v u =+ 2211,.s v s u u v u v v u∂∂=-=-+∂∂(3)2222212ln(),2z x x x x y x x y ∂==++∂+222.z xy x y y x y ∂==∂+ (4)21122sec csc ,tan z x x x x y y y yy∂=⋅⋅=∂222122sec ()csc .tan z x x x x x y y y y yy∂=⋅⋅-=-∂ (5)两边取对数得ln ln(1)z y xy =+故[]221(1)(1)(1).ln(1)1y yy x z y xy xy y xy y xy x xy-∂'=+⋅=+⋅=++∂+197[]ln(1)(1)(1)ln(1)1ln(1)(1).1y y y y x z xy yxy xy y xy xy y xy xy xy xy ∂⎡⎤'++=+⋅=++⎢⎥+∂⎣⎦⎡⎤++=+⎢⎥+⎣⎦(6)1ln ln xy xy xy u u uz z y z z x xy z x y z-∂∂∂=⋅⋅=⋅⋅=⋅∂∂∂ (7)11221()().1[()]1()z z z zu z x y z x y x x y x y --∂-=⋅-=∂+-+- 112222()(1)().1[()]1()()ln()()ln().1[()]1()z z z z z zz zu z x y z x y y x y x y u x y x y x y x y z x y x y --∂-⋅--==-∂+-+-∂----==∂+-+-(8)1.yzu y x x z-∂=∂ 2211ln ln .ln ln .y yz z yy z zu x x x x y z zu y y x x x x z z z ∂=⋅=∂∂⎛⎫=⋅=-- ⎪∂⎝⎭9.已知22x y u x y=+，求证：3u u x y u x y ∂∂+=∂∂. 证明： 222223222()2()()u xy x y x y x y xy x x y x y ∂+-+==∂++. 由对称性知 22322()u x y yx y x y ∂+=∂+. 于是 2223()3()u u x y x y x y u x y x y ∂∂++==∂∂+.10.设11ex y z ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=，求证：222z z xy z x y∂∂+=∂∂. 证明： 11112211e e x y x y z x x x ⎛⎫⎛⎫++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∂⎡⎤⎛⎫=-=- ⎪⎢⎥∂⎝⎭⎣⎦, 由z 关于x ,y 的对称性得1981121e x y z y y ⎛⎫+- ⎪⎝⎭∂=∂ 故 11111122222211e e 2e 2.x y x y x y z z x y x y z x y x y⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∂∂+⋅=⋅+⋅==∂∂11.设f (x ,y ) = x +(y，求f x (x ,1) .解：1(,)1(x f x y y y =+- 则(,1)101x f x =+=.12.求曲线2244x y z y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩在点（2，4，5）处的切线与正向x 轴所成的倾角.解：(2,4,5)1,1,2z z x x x ∂∂==∂∂ 设切线与正向x 轴的倾角为α, 则tan α=1. 故α=π4. 13.求下列函数的二阶偏导数： (1)z = x 4+ y 4-4x 2y 2; (2)z = arctan y x; (3)z = y x ;(4)z = 2ex y+.解：(1)2322224812816z z z x xy x y xy x x x y∂∂∂=-=-=-∂∂∂∂ ，，由x ,y 的对称性知22222128.16.z z y x xy y y x∂∂=-=-∂∂∂ (2)222211zy y xx y x y x ∂⎛⎫=⋅=-- ⎪∂+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，1992222222222222222222222222222222222222222()022,()()11,12,()()2,()()2.()()z x y y x xyx x y x y z x y x x y y x z xyy x y z x y y y y x x y x y x y z x y x x y x y x x y x y ∂+⋅-⋅=-=∂++∂=⋅=∂+⎛⎫+ ⎪⎝⎭∂=-∂+∂+-⋅-=-=∂∂++∂+-⋅-=-=∂∂++ (3)222ln ,ln ,xx z z y y y y x x∂∂==∂∂ 21222112111,(1),1ln (1ln ),ln (1ln ).x x x x x x x x z z xy x x y y y z y xy y y x y x y y zy x y y y x y y x-------∂∂==-∂∂∂=⋅+=+∂∂∂=+⋅⋅=+∂∂ (4)22e 2,e ,x y x y z zx x y++∂∂=⋅=∂∂ 222222222e 22e 22e (21),e ,2e ,2e .x y x y x y x y x y x y z x x x xz z z x x y x y y x++++++∂=⋅⋅+⋅=+∂∂∂∂===∂∂∂∂∂14.设f (x , y , z ) = xy 2+yz 2+zx 2,求(0,0,1),(0,1,0),(2,0,1).xx yz zzx f f f - 解：2(,,)2x f x y z y zx =+22(,,)2,(0,0,1)2,(,,)2(,,)2,(0,1,0)0,(,,)2(,,)2(,,)0,(2,0,1)0.xx xx y yz yz z zz zzx zzx f x y z z f f x y z xy z f x y z z f f x y z yz x f x y z yf x y z f ===+=-==+===15315.设z = x ln ( x y )，求32z x y ∂∂∂及32zx y ∂∂∂.解：ln()1ln(),z yx xy xy x xy∂=⋅+=+∂ 232223221,0,11,.z y zx xy x x y z x z x y xy y x y y∂∂===∂∂∂∂∂===-∂∂∂∂16.求下列函数的全微分： (1)22e xy z +=;(2)z =(3)zyu x =;(4)yzu x =.解：(1)∵2222e 2,e 2x y x y z z x y x y++∂∂=⋅=⋅∂∂ ∴222222d 2e d 2e d 2e (d d )xy x y x y z x x y y x x y y +++=+=+(2)∵22223/21()z xy y x y x x y ∂⎛⎫-=⋅=- ⎪+∂+⎝⎭2223/2()z x yx y ∂==∂+ ∴ 223/2d (d d ).()x z y x x y x y =--+ (3)∵11,ln z z z y y z u uy x x x zy x y --∂∂==⋅⋅∂∂ 2ln ln y z ux x y y z∂=⋅⋅⋅∂ ∴211d d ln d ln ln d .z z zy y z y z u y x x x x zy y x x y y z --=+⋅+⋅⋅⋅(4)∵1yz u y x x z-∂=∂ 1ln yz u x x y z∂=⋅⋅∂154ln yz u y x x z z 2∂⎛⎫=⋅⋅- ⎪∂⎝⎭∴121d d ln d ln d .y y yz z z y y u x x x x y x x z z z z -⎛⎫=+⋅⋅+⋅⋅- ⎪⎝⎭17. 求下列函数在给定点和自变量增量的条件下的全增量和全微分： (1)222,2,1,0.2,0.1;z x xy y x y x y =-+==-∆=∆=- (2)e ,1,1,0.15,0.1.xy z x y x y ===∆=∆=解：(1)22()()()2()9.688 1.68z x x x x y y y y z ∆=+∆-+∆+∆++∆-=-=d (2)(4) 1.6z x y x x y y =-∆+-+∆=(2)()()0.265e e e(e 1)0.30e.x x y y xy z +∆+∆∆=-=-=d e e e ()0.25e xy xy xy z y x x y y x x y =∆+∆=∆+∆=18.利用全微分代替全增量，近似计算： (1) (1.02)3·(0.97)2;;(3)(1.97)1.05.解：(1)设f (x ,y )=x 3·y 2，则223(,)3,(,)2,x y f x y x y f x y x y ==故d f (x ,y )=3x 2y 2d x +2x 3y d y =xy (3xy d x +2x 2d y ) 取x =1,y =1,d x =0.02,d y =-0.03，则(1.02)3·(0.97)2=f (1.02,0.97)≈f (1,1)+d f (1,1)d 0.02d 0.03x y ==-=13×12+1×1[3×1×1×0.02+2×12×(-0.03)]=1.(2)设f (x ,y,则(,)(,)x y f x y f x y ===故d (,)d d )f x y x x y y =+取4,3,d 0.05,d 0.07x y x y ====-,则155d 0.05d 0.07(4.05,2.93)(4,3)d (4,3)0.053(0.07)]15(0.01)54.998x y f f f ==-=≈+=⨯+⨯-=+⨯-=(3)设f (x ,y )=x y ,则d f (x ,y )=yx y -1d x +x y ln x d y ， 取x =2,y =1,d x =-0.03,d y =0.05,则1.05d 0.03d 0.05(1.97)(1.97,1.05)(2,1)d (2,1)20.0393 2.0393.x y f f f =-==≈+=+=19.矩型一边长a =10cm ，另一边长b =24cm, 当a 边增加4mm ，而b 边缩小1mm 时，求对角线长的变化.解：设矩形对角线长为l ，则d d ).l l x x y y ==+当x =10,y =24,d x =0.4,d y =-0.1时，d 0.4240.1)0.062l =⨯-⨯=(cm)故矩形的对角线长约增加0.062cm.20.解：因为圆锥体的体积为21.3V r h π=⋅0030,0.1,60,0.5r r h h ====- 而221.33V V V dV r h yh r r h r h ππ∂∂≈=⋅+⋅=⋅+⋅∂∂0030,0.1,60,0.5r r h h ====-时， 2213.1430600.130(0.5)33V π≈⨯⨯⨯⨯+⨯⨯- 230()cm =-21.解：设水池的长宽深分别为,,x y z 则有:V xyz =精确值为：50.242 2.850.22 3.62V =⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯ 313.632()m = 近似值为:156V dV zx y xy z ≈=+0.4,0.4,0.2x y z ===430.4530.454V d V ≈=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯314.8()m =22. 求下列复合函数的偏导数或全导数：(1)22,cos ,sin ,z x y xy x u v y u v =-==求z u ∂∂,zv∂∂； (2)z ＝arc tanxy, x ＝u ＋v ,y ＝u －v , 求z u ∂∂,z v ∂∂；(3)ln(e e )xyu =+, y ＝x 3, 求d d u x; (4) u ＝x 2＋y 2＋z 2, x ＝e cos tt , y ＝e sin tt , z ＝e t, 求d d ut. 解：（1）222(2)cos (2)sin 3sin cos (cos sin )z z x z yxy y v x xy v u x u y u u v v v v ∂∂∂∂∂=⋅+⋅=-⋅+-∂∂∂∂∂=-223333(2)sin (2)cos 2sin cos (sin cos )(sin cos ).z z x z yxy y u v x xy u v v x v y v u v v v v u v v ∂∂∂∂∂=⋅+⋅=--⋅+-⋅∂∂∂∂∂=-+++ (2)222222211111x z z x z y y x v y u x u y uy x y u v x x y y ∂∂∂∂∂--⎛⎫-=⋅+⋅=⋅+⋅== ⎪∂∂∂∂∂++⎝⎭⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2222222111(1)11.x z z x z yy v x v y vyx x y y y x ux y u v -∂∂∂∂∂⎛⎫=⋅+⋅=⋅+⋅⋅- ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+==++ (3)33222d d d 11e 3e e 3e e e 3.d d d e e e e e e e ex y xx x y x y x y x y x x u u x u y x x x x x x y x ∂∂++=⋅+⋅=⋅+⋅⋅==∂∂++++ (4)d d d d d d d d u u x u y u z t x t y t z t∂∂∂=⋅+⋅+⋅∂∂∂ 22(e cos e sin )2(e sin e cos )2e 4e t t t t t t x t t y t t z =-+++⋅=.15723. 设f 具有一阶连续偏导数，试求下列函数的一阶偏导数： (1)22(,e );xy u f x y =- (2),;x y u f y z ⎛⎫= ⎪⎝⎭(3)().,,u f x xy xyz = 解：(1)12122e 2e .xy xy uf x f y xf y f x∂''''=⋅+⋅⋅=+∂ 1212(2)e 2e .xy xy uf y f x yf x f y∂''''=⋅-+⋅⋅=-+∂ (2)1111u f f x y y∂''=⋅=∂ 121222222211..x u x f f f f y y z y z u y y f f z z z ∂⎛⎫''''-=⋅+⋅=-+ ⎪∂⎝⎭∂⎛⎫''=⋅=-- ⎪∂⎝⎭(3)1231231,uf f y f yz f yf yzf x∂''''''=⋅+⋅+⋅=++∂ 12323330,.uf f x f xz xf xzf yuf xy xyf z∂'''''=⋅+⋅+⋅=+∂∂''=⋅=∂24.设(),,()yz xy xF u u F u x=+=为可导函数，证明： .z zxy z xy x y∂∂+=+∂∂ 证明:2()()()()z y y y xF u F u F u y F u x x x ∂⎛⎫''=+⋅+=+-- ⎪∂⎝⎭1()().z x xF u x F u y x∂''=+⋅=+∂ 故[]()()()()()()().z z F u y xy x y x F u F u y x y x xF u xy yF u xy yF u xy xF u xy z xy '∂∂⎡⎤'+=+++-⎢⎥∂∂⎣⎦''=+-++=++=+15825. 设22()yz f x y =-，其中f (u )为可导函数，验证： 211z z zx x y y y∂∂+=∂∂. 证明：∵2222z yf x xyf x f f''∂⋅=-=-∂, 222(2)2z f y f y f y f y f f''∂-⋅⋅-+==∂, ∴22222112211z z yf f y f y zx x y y f yf yf f y y ''∂∂++=-+==⋅=∂∂⋅ 26. 22()z f x y =+,其中f 具有二阶导数，求22222,,.z z z x x y y∂∂∂∂∂∂∂解：2,2,z zxf yf x y∂∂''==∂∂ 222222224,224,zf x xf f x f xzxf y xyf x y∂''''''=+⋅=+∂∂''''=⋅=∂∂ 由对称性知，22224.z f y f y∂'''=+∂27. 设f 具有二阶偏导函数，求下列函数的二阶偏导数： (1),;x x z f y ⎛⎫= ⎪⎝⎭(2)()22;,z f xy x y =(3)().sin ,cos ,e x y z f x y += 解：(1)1212111,z f f f f x y y∂''''=⋅+⋅=+∂1592212211121112222221222122222222222222222223211121,1111,,2z f f f f f f f y x y y y yx x z x f f f f f f y y y x y y y y yx z x f f y y y z x x f f y y y ∂⎛⎫''''''''''''''+⋅=+⋅+=+⋅+ ⎪∂⎝⎭∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫''''''''''--+=⋅-+⋅=-- ⎪ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭∂⎛⎫''-==- ⎪∂⎝⎭∂''=-∂22222342.x x x f f y yy ⎛⎫''''-⋅=+ ⎪⎝⎭,(2)22121222,zf y f xy y f xyf x∂''''=⋅+⋅=+∂ ()()22222211122122432221112222222244,zy yf xy f y f xy f y f xy x yf y f xy f x y f ∂'''''''''=++⋅+⋅⋅+⋅∂'''''''=+++()()()()222212111221223322121122122212122222121112212212222222225,22,22222zyf y xf xy f xy f x f xy f x x yyf xf xy f x yf x y f zf xy f x xyf x f yzxf xy x f xy f x f xy f x yxf ∂''''''''''=+++⋅+⋅⋅+⋅∂∂''''''''=++++∂''''=⋅+⋅=+∂∂'''''''''=++⋅+⋅⋅+⋅∂'=223411122244.x y f x yf x f ''''''+++(3)1313cos e cos e ,x y x y zf x f xf f x++∂''''=⋅+⋅=+∂ ()()1321113313322()311113332312133233sin cos e e cos e cos e e sin cos 2e cos e ,cos e e (sin )e (sin )x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y zxf x f f x f f x f xf xf xf xf f z x f f y f f y f x y++++++++++∂''''''''''=-+++⋅+⋅+⋅∂''''''''=-+++∂'⎡⎤''''''=++⋅⋅-+⋅⋅-+⎣⎦∂∂2()3121332332323223222233233e e cos sin e cos e sin e ,(sin )e sin e ,cos sin e e (sin )e (sin )e x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y f x yf xf yf f zf y f yf f yz yf y f f y f f y f y +++++++++++⎡⎤''⋅⎣⎦'''''''''=-+-+∂''''=-+=-+∂∂''⎡⎤⎡''''''''=--++-+⋅-+⋅⎣⎦∂22()32222333e cos sin 2e sin e .x y x y x y f yf yf yf f +++⎤⎣⎦''''''''=-+-+28. 试证：利用变量替换1,3x y x y ξη=-=-,可将方程。
复旦版数学分析答案
⒊ 指出下列表述中的错误：
(1) {0} = ∅ ；
(2) a ⊂ { a,b, c } ；
(3) { a,b } ∈{ a,b, c } ；
(4) { a,b,{a,b} } = { a,b } 。
解 （1）{0}是由元素 0 构成的集合，不是空集。
(3) f (x) = sin2 x + cos2 x , g(x) = 1。
解 （1）函数 f 和 g 不等同；
5
（2）函数 f 和 g 不等同；
（3）函数 f 和 g 等同。
7. (1) 设 f (x + 3) = 2x3 − 3x2 + 5x − 1,求 f (x) ；
(2)
设f⎜⎛ ⎝xx −{a,b,{a,b}} ⊃ { a,b } ，但{a,b,{a,b}} ≠ { a,b } 。
⒋ 用集合符号表示下列数集：
(1)
满足
x x
− +
3 2
≤
0
的实数全体；
(2) 平面上第一象限的点的全体；
(3) 大于 0 并且小于 1 的有理数全体；
(4) 方程 sin x cot x = 0 的实数解全体。
⒎ 下述命题是否正确?不正确的话，请改正。 (1) x ∈ A ∩ B ⇔ x ∈ A 并且 x ∈ B ； (2) x ∈ A ∪ B ⇔ x ∈ A 或者 x ∈ B 。
解（1）不正确。 x ∈ A ∩ B ⇔ x ∈ A 或者 x ∈ B 。 （2）不正确。 x ∈ A ∪ B ⇔ x ∈ A 并且 x ∈ B 。
第一章 集合与映射
习 题 1.1 集合
复旦大学数学系陈纪修《数学分析》 第二版 习题答案ex
⑻
⎧1
⎨ ⎩
n
−1+ n +1
1 n+2
−
+ (−1)n
1
⎫ ⎬
。
2n ⎭
证
（1） ∀ε
(0 < ε
< 2) ，取 N
=
⎡2⎤ ⎢⎣ε ⎥⎦
，当
n
>
N
时，成立
0
<
n +1 n2 +1
<
2 n
<
ε
。
（2）
∀ε
(0
<
ε
<
1)
，取
N
=
⎡ lg ε ⎤
⎢ ⎣
lg
0.99
⎥ ⎦
，当
n
>
N
时，成立
lg ε
(−1)n (0.99)n < (0.99)lg0.99 = ε 。
n
（2） 3 + 2 不是有理数。若 3 + 2 是有理数，则可写成既约分数
3 + 2 = m ，于是 3 + 2 6 + 2 = m2 ， 6 = m2 − 5 ，即 6 是有理数，与
n
n2
2n2 2
（1）的结论矛盾。
2. 求下列数集的最大数、最小数，或证明它们不存在：
A = {x|x ≥ 0}；
>
N
，成立
xn
−a
<
ε
，所以 lim n→∞
xn
=
a
。
5.
设 lim n→∞
x2n
= lim n→∞
x2n+1
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习 题 6.2 换元积分法和分部积分法⒈ 求下列不定积分：⑴dxx 43−∫; ⑵dxx 122−∫; ⑶dxx x e e −−∫;⑷e 32x dx +∫;⑸()232x x dx +∫; ⑹1252+∫x dx ; ⑺sin 5xdx ∫; ⑻∫xdx x 210sec tan ;⑼sin cos 53x xd ∫x ;⑽cos 25xdx ∫;⑾()()244522x dx x x +++∫;⑿sin xxdx ∫; ⒀x dxx 23412−∫; ⒁∫−dx x sin 11; ⒂sin cos sin cos x xx xdx +−∫3; ⒃dxx x (arcsin )221−∫;⒄dxx x 222−+∫;⒅1942−−∫xx dx ; ⒆∫++dx x x x 2211tan ;⒇sin cos sin x xxdx 14+∫. 解 （1）dx x 43−∫=1(43)1ln 434434d x x C x −=−+−∫。
（2）dxx 122−∫)C =+。
（3）dx x x e e −−∫=2e 1e 1ln e 12e 1x x x x d C −=+−+∫。
（4）=e 32x dx +∫323211e (32)e 33x x d x C +++=+∫。
（5）=()232x x dx +∫2222121(2263)2632ln 2ln 62ln 3x x x x x xdx C +⋅+=+++∫。
（6）1252+∫x dx)C =+。
（7）=sin 5xdx ∫∫∫+−−=−x d x x xdx x cos )cos cos 21(sin )cos 1(42223521cos cos cos 35x x x =−+−+C 。
（8）=∫xdx x 210sec tan 10111tan tan tan 11xd x x C =+∫。
（9）=sin cos 53x xdx ∫111(sin 8sin 2)cos8cos 22164x x dx x x C +=−−+∫。
（10）=cos 25xdx ∫11(1cos10)sin102220x x dx x C +=+∫+。
（11）()()244522x dx x x +++∫=2222(45)1(45)45d x x C x x x x ++=−+++++∫。
（12）sin xxdx ∫=2sin C =−+∫。
（13）x dx x 23412−∫=333412)6x C −−∫+。
（14）∫−dx x sin 1121()cot(2424sin ()24x x d C x πππ=−=−−∫−+。
（15）sin cos sin cos x x x x dx +−∫3=23cos )x x C −+。
（16）dxx x (arcsin )221−∫=2arcsin 1(arcsin )arcsin d x C x x=−+∫。
（17）dx x x 222−+∫=2(1)arctan(1)1(1)d x x C x −=−++−∫。
（18）1942−−∫x x dx=212C =+。
（19）∫++dx x x x 2211tan=tan ln C =−+∫。
（20）sin cos sin x x x dx 14+∫=2241sin 1arctan(sin )21sin 2d x x C x =++∫。
⒉ 求下列不定积分：⑴dxx12+∫e ;⑵dxx x 12+∫;⑶∫+dx x x x )1(tan arc ;⑷12+∫ln (ln )xx x dx .⑸()()x x d −+∫1220x ; ⑹x x dx n 21()+∫; ⑺dxx x 421+∫; ⑻x xdx 29−∫; ⑼dx x ()123−∫;⑽dxx a ()22+∫3;⑾x ax adx −+∫;⑿xxa xdx 2−∫; ⒀dxx12+∫; ⒁x x 231−∫dx ;⒂dxx x 21−∫;⒃x a x dx 222−∫; ⒄a x x dx 224−∫; ⒅dxx112+−∫; ⒆∫−dx x x 3415)1(;⒇∫+dx xx n)1(1;解（1）dx x 12+∫e=ln(x x e C −−−=−+1)x =−+C 。
（2）当时，0x >dx x x 12+∫=11ln C x −=−=+；当时，也有相同结果。
0<x（3）∫+dx x x x )1(tan arc arctan 22arctan 1x==+∫∫2arctan C =+。
（4）12+∫ln (ln )x x x dx =2(ln )1(ln )ln d x x C x x x x =−+∫。
（5）=()()x x dx −+∫12202120[(2)3(2)]x x dx +−+∫222111(2)(2)227x x C =+−++。
（6）= x x dx n 21()+∫∫+++−+++dx x x x n n n ])1()1(2)1[(12 32121(1)(1)(1)321n n 1n x x x n n n ++=+−++++++C ++。
（7）当时，0x >dx x x 421+∫=∫∫−−−−+−+−=+222251)11(211xdx x x x dx 32231(1)3x C x x+=−++； 当时，也有相同结果。
0<x 注：本题也可令t x tan =化简后解得。
（8）当时，0x >x x dx 29−∫=∫∫∫−−−+−=−−2122291)3(3999xx d x xdx dx x x x33arcsinC x=++； 当时，也有相同结果。
0<x 注：本题也可令化简后解得。
t x sec 3=（9）令，则t x sin =dx x ()123−∫=23cos sec tancos tdt tdt t c C t ==+=∫∫。
（10）令t a x tan =，则dx x a ()22+∫3=22cos 1sin t dt t c C a a =+=∫+。
（11）x a x a dx −+∫=ln a C =−+。
（12）x x a x dx 2−∫=∫∫∫−+−−=−dx xax axdx x ax dx x ax x 22222222 ∫∫∫−+−−−−−=22222222)2(2xax dx a xax x ax d a dx x ax23arcsin 22x aa C a−=+−23arcsin 2x aa C a−=+。
注：本题答案也可写成23a C +。
（13）令tdt dx t x x t ===,2122则，，于是dx x 12+∫=ln 1ln(11tdtt t c t=−++=−+++∫C 。
（14）令dt t dx t x x t 2333,11−=−=−=则，，于是x x d 231−∫x =∫∫+−−=−−dt t t t dt t t )2(3)1(3963323 4710333363(1)(1)(1)4710x x x =−−+−−−+C 。
（15）dx x x 21−∫=1C −=−+。
（16）令，则t a x sin =x a x dx 222−∫=∫∫−=dt t a tdt a )2cos 1(2sin 2222221sin 2arcsin 2422a a a x t t c a =−+=−+C 。
t a （17）令，则x cos =a x x dx 224−∫=∫∫−=−x td adt t t a tan tan 1cos sin 12242232211tan 33t c C a a =−+=−+。
（18）dx x 112+−∫=∫∫−−−−=−−dx xx x x x dx x 22222111)11(2111arcsin 2x C x x −−=−+=++。
注：本题也可令后，解得t x sin=)x C +。
（19）令，则14−=x t ∫−dx x x 3415)1(=∫∫+=−dt t t dx x x 3343412)1(41)1(4123213311331(1)ln 4444dt t t C t t t t t =+++=+−−+∫8 444421331ln 1444(1)8(1)x x C x x =+−−−+−−。
（20）∫+dx x x n )1(1=∫∫−−−++−=+n nn n x dx n dx x x 11)1(1111ln 1ln 1n nnx x c C n n −=−++=++x。
⒊ 求下列不定积分：⑴x d x e 2∫x ; ⑵x x d ln()−∫1x ; ⑶x x 23sin ∫dx ;⑷xxdx sin 2∫;⑸x xd cos 2∫x ; ⑹arcsin x dx ∫;⑺∫dx x tan arc ;⑻∫xdx x tan arc 2;⑼∫xdx x 2tan ;⑽arcsin xxdx 1−∫; ⑾ln 2x dx ∫; ⑿x x d 2ln ∫x ; ⒀e sin −∫x xdx 5;⒁e sin x x dx 2∫; ⒂ln 32xxdx ∫;⒃cos(ln )x dx ∫; ⒄(arcsin )x dx 2∫; ⒅x d x e ∫x ; ⒆ex dx +∫1;⒇ln()x x ++∫12dx x .解（1）=x d x e 2∫−x xe 2212211e (2124x xdx e x C )=−+∫。
(2) =x x d ln()−∫1x 22211111ln(1)(1)ln(1)221242x 2x x dx x x x x x −−=−−−−+−∫C d 23sin ∫。
（3）=x x x ∫+xdx x x x 3cos 323cos 312− ∫−−=xdxx x x x 3sin 92)3cos 33sin 2(9122212sin 3()cos39327x x x x =−−C +。
（4）xxdx sin 2∫=cot cot cot ln sin x x xdx x x x −+=−++∫C cos 2∫。
（5）=x xdx ∫∫−+=+xdx x x x dx x x 2sin 41)2sin (41)2cos 1(212211(sin 2)cos 248x x x x =+++C 。
（6）=arcsin x dx∫arcsin arcsin x x x x C −=+。
（7）∫dx x tan arc 221arctan arctan ln(1)12xdx x x x x x C x =−=−+++∫。