湖北省华师一附中2018届高三9月调研考试理科数学试题Word版含答案
2018年最新 华师一附中2018学年度高三高考模拟考试(数学理科) 精品
华师一附中2018—2018学年度高三高考模拟考试数学试题（理）命题人：汤克勤 时间：120分钟 总分：150分一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知p ：不等式|x -1|+|x +2|＞m 的解集为R ，q: f (x )=log 5-2m X 为减函数，则P 是q 成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 2．函数y=loga (|x|+1)(a ＞1)的图像大致是（ ） 3．当21-=i z 时，z 100+z 50+1的值等于（ ）A ．1B ．-1C ．iD ．-i 4．已知则),2,23(,54cos ),23,(,41sin ππββππ∈=∈-=a a a +β是（ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角 5．过双曲线12222=-by a x 上任意一点P ，引与实轴平行的直线，交两渐近线于M 、N 两点，则→PM .→PN 的值为（ ）A ．a 2B ．b 2C ．2abD ．a 2+b 26．已知奇函数f （x ）在)0,(-∞上为减函数，且f(2)=0，则不等式（x-1）f (x-1) ＞0的解集为（ ）A ．{x|-3＜x ＜-1}B ．{x|-3<x<1或x>2}C ．{x|-3<x<0或x>3} C ．{x|-1<x<1或1<x<3}7．如果袋中有6个红球，4个白球，从中任取1球，记住颜色后放回，连续摸取4次，设ξ为取得红球的次数，则ξ的期望E ξ＝（ ） A ．43 B ．512 C ．719 D ．31 8．水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲、乙所示 ，某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示。
（至少打开一个水口）给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水； ②3点到4点，不进水只出水； ③4点到6点不进水不出水 则一定正确的论断是（ ）A ．① B. ③ C. ②③ D. ①②③9．在135°的二面角β--AB a 内有一点P ，点P 到两个面β、a 的距离分别为22和3，则点P 到棱AB 的距离为（ ）A ．14 B. 13 C. 33 D. 1010．非零向量→→→→==b OB a OA ,，若点B 关于→OA 所在直线的对称点为B 1，则向量→1OB 为（ ） A ．→→→→→-⋅b a a b a 2||)(2 B ．2→→-b a C ．2||)(2→→→→→-⋅a b a b a D ．||)(2→→→→→-⋅a ba b a11．在数列{a n }中，a 1=7,a 2=24,对所有的自然数n, 都有a n+1= a n +a n+2，则a 2018为（ ）A ．7B ．24C ．13D ．25 12．设动点坐标（x,y ）满足0)4)(1(3{≥-++-≥y x y x x ，则x 2+y 2的最小值为（ ）A ．5B ．10C ．217D ．10 二、填空题（4×4分＝16分） 13.若在nXx )1(5-展开式中，第4项是常数项，则n=14.若函数在其定义域内连续，则a 、b 的值分别为 。
2018届高三9月调研测数学理试题含答案
2017-2018学年第一学期高三调研测试卷 数学（理科）2017.9全卷满分：150分 考试时间：120分钟第Ⅰ卷（共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）（ ）1．已知全集U=R ，集合A={x|lg(x-2)≥0}, B={x|x≥2}, 则(C U A)∩B= A ．{}13x x -<≤ B ．{}23x x ≤<C ．{}3x x ≤ D ．φ（ ）2．某居民小区为如图所示矩形ABCD ，A , C 两点处各有一个通信基站, 假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF ，若在该小区内随机地选一地点, 则该地点无．信号的概率是 (注：该小区内无其他信号来源, 基站工作正常). A ．12π- B ．22π-C ．14π-D ．4π（ ）3．“0a ≤”是“复数1ai z i+=在复平面内对应的点在第三象限”的 A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件（ ）4．设{}n a 是等差数列，1359a a a ++=，69a =，则这个数列的前6项和等于 A ．12B ．24C ．36D ．48（ ）5．已知0.1 1.12log 0.1,2,0.2a b c ===，则,,a b c 的大小关系是A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．a cb <<（ ）6．把函数sin y x =（x R ∈）的图象上所有点向左平行移动3π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是A ．sin(2)3y x π=-，x R ∈B ．sin()26x y π=+，x R ∈ C ．sin(2)32y x π=+，x R ∈D ．sin(2)3y x π=+， x R ∈（ ）7．执行右图的程序框图，若输出的5n =， 则输入整数p 的最大值是 A ．15 B ．14C ．7D ．6（ ）8．51(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为A ．20B ．15C ．6D ．1（ ）9．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为单调递减函 数，且f (1)＝0，则不等式()()20f x f x x-+≥的解集为A ．(－∞，－1]∪(0,1]B ．[－1,0]∪[1，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)D ．[－1,0)∪(0,1] （ ）10．一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是A ．1+B ．1+2C ．2+D ．2（ ）11．设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于A ，B 两点．若 |AF |=2|BF |，则线段AB 的长为．A ．8B ．92C ．16D ．163 （ ）12．已知定义在),0[+∞上的函数)(x f 满足)2(2)(+=x f x f ，当)2,0[∈x 时，x x x f 42)(2+-=，设)(x f 在)2,22[n n -上的最大值为)(*N n a n ∈,且}{n a 的前n 项和为n S ，则n S =A ．1212--nB ．2214--n C ．n 212- D ．1214--n第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知向量25,10),1,2(=+=⋅=→→→→→b a b a a ，则=→b .14．设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤11y y x xy ，则y x z +=2的最大值为 .15．如图，已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的右顶点为,A O 为坐标原点，以A 为圆心的圆与双曲线C 的一条渐近线交于两点P ，Q ，若060PAQ ∠=，且3OQ OP =uuu r uu u r，则双曲线C 的离心率为.16．如图所示,ABCD 是边长为60 cm 的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角 三角形,再沿虚线折起,使得ABCD 四个点重合 于图中的点P, 正好形成一个正四棱柱形状的 包装盒,若要包装盒容积V(cm 3)最大, 则EF 长 为 cm ． 三、解答题：（共70分。
湖北名校华中师大一附中2018～2019学年度上学期高三期中检测理科数学答案
湖北名校华中师大一附中2018～2019学年度上学期高三期中检测理科数学答案 一 选择题:1.D2.A3.B4.B5.C6.C7.A8.D9.C 10.B 11.D 12.A 二 填空题:13.2214.130129 15.3或6 16.121<<t17.解:(1)因为{}n a为等差数列,所以142313a a a a +=+=又2232340,,13400.a a a a x x =∴-+=是方程的两实数根 又公差0d >,所以23a a <所以235,8a a ==所以115,{28,a d a d +=+=解得12,3a d == 所以31,n a n =-因为公比为(01)q q <<的等比数列{}n b 中,13511111,,,,,,60322082b b b ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭ 所以,当且仅当135111,,2832b b b ===时成立.此时公比23111,42b q q b ==∴= 所以1.2nn b ⎛⎫= ⎪⎝⎭ (2)由1131,(),(31)()22n nn n n a n b c n =-=∴=-由123n n T c c c c =++++12311112()5()8()(31)()2222nn T n ∴=++++- 23111111 2()5()(34)()(31)()22222n n n T n n +=+++-+-12311111112()3[()()()](31)()222222n n n T n +∴=++++--1111113[1()](31)()222n n n -+=+---5135()222nn +=-故{}n c 的前n 项和15(35)()2nn T n =-+18.解:(1)2()2sin cos 3(2cos 1)sin22sin(2)3f x x x x x x x π=+-=+=+由37222(),222()23266k x k k Z k x k k Z πππππππππ+≤+≤+∈+≤≤+∈()f x ∴的单调递减区间为7[,]()1212k k k Z ππππ++∈。
2018届高三数学9月考题(含答案).docx
[X 2 + y 2 < 1 < x + y > — 111. 已知乂,丫满足1 yvO ，贝ijz = x-y 的取值范围是() A.[-返叮 B.[・ 1,1] C.[-返返] D. [ - 1,返] 12.已知定义在R 上的函数f (x)在(-8, -2)上是减函数，若g (x) =f (x - 2)是奇函数，且g (2)=0,则不等式xf (x) W0的解集是(A. ( - °°, - 2] U [2, +°°) C. ( - 8, - 4]U[ - 2, +8)二、填空题(20分)13. 已知f (x )= log 3(x 2-2x)?则函数f(x)的单调递减区间是 _____________ .14. 已知函数f(x) = x 3 + ax 2 + bx + a 2(a,b 6 R)且函数f(x)在x = 1处有极值10,则实数b 的值为15. _________ 已知f (x) = |e x -l|,又g(x) =f 2(x)-tf(x)(tG R),若满足g(x) = 一1的x 有三个，贝吐的取值范 围是 ____________ •16. 设f(x)是定义在R 上的偶函数，且当x > 0时，f(x) = 2X ,若对任意的xG [a,a + 2],不等式 f(x + a) >『(x)恒成立，则实数a 的取值范围是 _____________ .=、解答题：木题共6道题，共70分.17. 锐角AABC 的内角A, B, C 的对边分别为a, b, c,己知AABC 的外接圆半径为R,旦满足R = t asinA (1) 求角A 的大小；(2)若a = 2,求AABC 周长的最大值.A. ( -- 3] B. [ - 3, +°°) C. ( - °°, VS] D. [V3, +8))B. [-4, -2]U[0, +°o) D. ( - °°, - 4] U [0, +8)2018届高三数学9月考题（含答案）2017-9-28一、选择题(60分)1. 若集合A={x|x> - 1},则( )A. OCAB. {0}cAC. {0}£AD. 0£A2. 设集合A = (X|X2-2X-3 < 0},B = {x|y = ln(2-x)},则A n B =()A. {x|-l < x < 3}B. {x|-l < x < 2}C. {x|-3 < x < 2}D. {x|l < x < 2}2 _3. 若复&z =屮i为虚数单位，^z=()A. 1 + iB. 1-iC. -1-iD. -1-i4. 已知命题p:Vx > 0,总有(x + l)e x > 1,则「p为()A. 3x o 三°，使得do + l)e X°三1B. 3x o > 0,使得do + l)e X°三1C. 3x o > °，使得(X。
高2018届高三学业质量调研抽测理科数学试题(第三次)答案
高2018届高三学业质量调研抽测（第三次）理科数学参考答案及评价意见一、选择题：BACDBA DDBACB二、填空题：13、 2 14、C 15、66 16、 三、解答题：17．（12分）解：（Ⅰ）n a =.2421)21(2222121n n n n n n n -=--=++-+Λ ……………… 5分 （Ⅱ）222log (4)(1)(1)n n n n n b a n n n =-+-⋅=+-⋅.10100)14(2)1001(100501100=-++⋅=∴∑=k k S (12)分18．（12分）解：（Ⅰ）两人得分之和不大于35分，即两人得分均为17分，或两人中1人17分，1人18分，;16502921001121626=+=C C C C P ……………… 3分（Ⅱ）18508.02101.020030.019034.018012.017006.0160=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=X （个）………… 5分 又,13,1692≈≈s S 所以正式测试时，182,13,195=-∴==σμσμ（ⅰ）,8413.026826.011)182(=--=>∴ξP 16836.168220008413.0≈=⨯∴（人） ……………… 7分 （ⅱ）由正态分布模型，全年级所有学生中任取1人，每分钟跳绳个数195以上的概率为0.5，即,125.0)5.01()0(),5.0,3(~303=-⋅==∴C P B ξξ;125.05.0)3(,375.0)5.01(5.0)2(,375.0)5.01(5.0)1(333223213=⋅===-⋅⋅===-⋅⋅==C P C P C P ξξξ∴ξ的分布列为.5.15.03)(=⨯=X E (12)分 19．（12分）解：（Ⅰ）⊄AB CD AB ,//Θ平面//,AB EFNM ∴平面,EFNM又⊂AB Θ平面,ABNM 平面I ABNM 平面,MN EFNM =;//AB MN ∴⊄MN Θ平面//,MN ABCD ∴平面.ABCD ……………… 5分 （Ⅱ）取AE 中点,O 连接,,,MG OG MO 由勾股定理逆定理易证,OG MO ⊥O ME MA ,=Θ为AE 中点，.AE MO ⊥∴又⊥∴=OM O OG AE ,I 平面,ABCD如图，分别以OM OG OA 、、为z y x 、、轴建立空间直角坐标系显然平面AME 的一个法向量()0,1,01=n ，)0,0,1(-E ，).0,1,0(G法一： 取BF 中点记为H ，由（Ⅰ）知//MN 平面,ABCD故N 到平面ABCD 的距离,1===NH OM dN 在平面ABCD 的射影与H 重合，易得点N 的坐标为).1,2,2(-法二：连接,,HN OH 由（Ⅰ）知,//AB MN 又,//,//OH MN AB OH ∴由 ,552cos cos =∠=∠HMN MHO 可得,22=MN 即OHNM 为矩形. N 在平面ABCD 的射影与H 重合，易得点N 的坐标为).1,2,2(- 法三：由最小角定理可得,3,21cos cos cos π=∠∴=∠∠=∠MAB EAG MAO MAB 可得,2AG MN =().1,2,22-=+=+=∴AG OM MN OM ON 设平面EGN 的一个法向量为()),1,2,1(),0,1,1(,,,2-===EN EG z y x n则有⎩⎨⎧=++-=+020z y x y x ，可取().3,1,12-=n 设平面AME 与平面EGN 所成锐二面角为θ .1111,cos 21==∴n n θ……………… 12分 20．（12分）解：（Ⅰ）设(,)P x y ，则1(0,)P y 121(0,)(0,)(0,1)33MN MP y y ∴+=++=+u u u u r u u u u r ，21(0,)(,)(,1)33NM NP x y x y +=-+-=-u u u u r u u u r 由1||||MN MP NM NP +=+u u u u r u u u u r u u u u r u u u r 可得222(1)(1)y x y +=+-即24x y =. ξ 0 1 2 3 P125.0 375.0 375.0 125.024C x y ∴=的轨迹方程为：. ……………… 4分 （Ⅱ）设2(,)4t Q t ，由2,QF QB QA k k k += 得222111444222t t t t t t -+-+=--，得2t =+t =舍)Q ∴,1,QF k = ……………… 8分 90QFB ∴∠=o 且易得(2,3)H ，11(31)422QFB S FQ FB ∴=⋅=⋅+⋅=+……………… 10分又111222QHE QHB S S HB ∆∆===g g ，: 2.QFB QHE S S ∴== ……………… 12分 21．（12分）解：（Ⅰ）设切点)0,(0x P ,)('2x x a x u -+=Θ.,00200x a x x a k -=∴=-+=∴ 又切点在函数)(x u 上，,0)(0=∴x u 即,1ln 0ln 000-=⇒=-x x x a .1,10ea e x -=∴=∴ ……………… 4分 （Ⅱ）证明:不妨设12x x <，Θ21()0a u x x x'=--<，所以()u x 在(0,)+∞上单调递减， 又()10,(2)ln 202a a u e u e e e e=->=-<， 所以必存在0(,2)x e e ∈，使得0()0u x =，即,ln 00x x a = ⎪⎩⎪⎨⎧>--≤<--=∴00,ln ln 0,ln ln )(x x x x x a x x x x x x x a x f . ……………… 6分 ①当00x x <≤时，222211ln ln (1)1(1)()0a x x x a x x a f x x x x x x---+---+'=---=≤<， 所以()f x 在区间0(0,]x 上单调递减， 注意到1()10a f e e e =-->，0000000ln ln ()ln 0x x a f x x x x x =--=-< 所以函数()f x 在区间0(0,]x 上存在零点1x ，且10e x x <<. ……………… 9分 ②当0x x >时,22211ln ln (1)()0a x x x a f x x x x x-++-'=+-=> 所以()f x 在区间0(,)x +∞上单调递增，又0ln ln ln )(0000000<-=--=x x x x x a x x f ， 且ln 21ln 241411(2)ln 2ln 21ln 20222252522a e f e e e e e e e e e=-->--->->->g ， 所以()f x 在区间0(,2)x e 上必存在零点2x ，且022x x e <<. 综上，()f x 有两个不同的零点1x 、2x ，且21212x x x x e e e -=-<-=. ……………… 12分22.解：（Ⅰ）由12cos 12sin x y ββ=+⎧⎨=+⎩（β为参数）消去参数β得：22(1)(1)4x y -+-=， 将曲线M 的方程化成极坐标方程得：2-2(sin cos )20ρρθθ+-=，∴曲线M 是以)1,1(为圆心,2为半径的圆． ……………… 5分 （Ⅱ）设12||,||OA OC ρρ==，由1l 与圆M 联立方程可得22(sin cos )20ρραα-+-= 1212+=2(sin cos )=2ρρααρρ∴+⋅-，，∵O ，A ，C三点共线，则12||||AC ρρ=-①， ∴用+2πα代替α可得||BD =121,=2ABCD l l S ⊥∴⋅Q 四边形2sin 2[0,1]ABCD S α∈∴∈Q 四边形． ……………… 10分23.（10分） 解：（Ⅰ）⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤--<-=++-1,211,21,211x x x x x x x 由];2,2[411-=⇒≤++-M x x ……………… 5分 （Ⅱ）法一：要证42+≤+ab b a ，只需证()()2244+≤+ab b a ， 即证()168484222++≤++ab ab b ab a ，ab ab 88≤Θ 只需证()1644222+≤+ab b a ，即证()()04422≥--b a 由（Ⅰ）,2,2≤≤b a ：上式显然成立，故原命题得证. 法二：b a b a +≥+Θ，∴要证42+≤+ab b a 只需证422+≤+ab b a ，即证()()022≥--b a由（Ⅰ）,2,2≤≤b a ：上式显然成立，故原命题得证. ……………… 10分。
(完整版)2018年湖北高考理科数学试题含答案(Word版)
2018年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. i 为虚数单位，则=+-2)11(ii （ ） A. 1- B. 1 C. i - D. i2. 若二项式7)2(xa x +的展开式中31x 的系数是84，则实数=a （ ）A.2B. 54C. 1D.423. 设U 为全集，B A ,是集合，则“存在集合C 使得C C B C A U ⊆⊆,是“∅=B A I ”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 x 3 4 56 78y4.02.55.0-0.50.2-0.3-得到的回归方程为a bx y+=ˆ，则（ ） A.0,0>>b a B.0,0<>b a C.0,0><b a D.0.0<<b a5.在如图所示的空间直角坐标系xyz O -中，一个四面体的顶点坐标分别是（0,0,2），（2,2,0）， （1,2，1），（2,2,2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（ ）A. ①和②B.③和①C. ④和③D.④和② 6.若函数[]1,1)(),(,0)()()(),(11-=⎰-为区间则称满足x g x f dx x g x f x g x f 上的一组正交函数，给出三组函数： ①x x g x x f 21cos )(,21sin)(==；②1)(,1)(-=+=x x g x x f ；③2)(,)(x x g x x f ==其中为区间]1,1[-的正交函数的组数是（ ） A.0 B.1 C.2 D.37.由不等式⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥≤0200x y y x 确定的平面区域记为1Ω，不等式⎩⎨⎧-≥+≤+21y x y x ，确定的平面区域记为2Ω，在1Ω中随机取一点，则该点恰好在2Ω内的概率为（ ）A.81 B.41 C. 43 D.878.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一. 该术相当于给出了有圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式21.36v L h ≈它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为 3.那么近似公式2275v L h ≈相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（ ） A.227 B.258C.15750D.3551139.已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是他们的一个公共点，且123F PF π∠=,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ）C.3D.2 10.已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，)32(21)(222a a x a x x f --+-=.若R x ∈∀,f(x-1)≤f(x),则实数a 的取值范围为 A ．[61,61-] B ．[66,66-] C ．[31,31-] D ．[33,33-] 二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分. （一）必考题（11—14题）11.设向量(3,3)a =r ，(1,1)b =-r，若()()a b a b λλ+⊥-r r r r ，则实数λ=________.12.直线1l ：y=x+a 和2l ：y=x+b 将单位圆22:1C x y +=分成长度相等的四段弧，则22a b +=________.13.设a 是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数.将组成a 的3个数字按从小到大排成的三位数记为()I a ，按从大到小排成的三位数记为()D a （例如815a =，则()158I a =，()851D a =）.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a ，输出的结果b =________.14.设()x f 是定义在()+∞,0上的函数，且()0>x f ，对任意0,0>>b a ，若经过点()()()()b f b a f a ,,,的直线与x 轴的交点为()0,c ，则称c 为b a ,关于函数()x f 的平均数，记为),(b a M f ，例如，当())0(1>=x x f 时，可得2),(ba cb a M f +==，即),(b a M f 为b a ,的算术平均数.（1）当())0_____(>=x x f 时，),(b a M f 为b a ,的几何平均数； （2）当当())0_____(>=x x f 时，),(b a M f 为b a ,的调和平均数ba ab+2； （以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可）（二）选考题15.（选修4-1：几何证明选讲）如图，P 为⊙O 的两条切线，切点分别为B A ,，过PA 的中点Q 作割线交⊙O 于D C ,两点，若,3,1==CD QC 则_____=PB16.（选修4-4：坐标系与参数方程）已知曲线1C 的参数方程是⎪⎩⎪⎨⎧==33t y t x ()为参数t ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2=ρ，则1C 与2C 交点的直角坐标为________ 17.（本小题满分11分）某实验室一天的温度（单位：）随时间（单位;h ）的变化近似满足函数关系；(1) 求实验室这一天的最大温差； (2) 若要求实验室温度不高于，则在哪段时间实验室需要降温？18.（本小题满分12分） 已知等差数列满足：=2，且，成等比数列.（1） 求数列的通项公式. （2） 记为数列的前n 项和，是否存在正整数n ，使得若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由.19.(本小题满分12分)如图，在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，N M F E ,,,分别是棱1111,,,D A B A AD AB的中点，点Q P ,分别在棱1DD ,1BB 上移动，且()20<<==λλBQ DP .（1）当1=λ时，证明：直线1BC 平面EFPQ ;（2）是否存在λ，使平面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.20.（本小题满分12分）计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X (年入流量：一年内上游来水与库区降水之和.单位：亿立方米）都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立.(1)求未来4年中，至多1年的年入流量超过120的概率；(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X 限制，并有如下关系；若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？21.（满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点()1,0F 的距离比它到y 轴的距离多1，记点M 的轨迹为C. (1)求轨迹为C 的方程设斜率为k 的直线l 过定点()2,1p -，求直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点，两个公共点，三个公共点时k 的相应取值范围。
最新华南师大附中2018届高三综合测试(三)(理数)
华南师大附中2018届高三综合测试（三）数学（理科）本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟.注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号等填写在答题卡上，并用2B 铅笔在答题卡上的相应位置填涂考生号.2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.3．回答第Ⅱ卷时，用黑色钢笔或签字笔将答案写在答卷上.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 在复平面内，复数3sin 3cos i z +=（i 为虚数单位），则z 为（***）A.4B.3C.2D.12．已知集合A ＝{－1，0}，B ＝{0，1}，则集合＝（***）A ．φB ．{0}C ．{－1，1}D ．{－1，0，1}3．“(m －1)(a －1)>0”是“log a m >0”的（***）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知sin 3cos 53cos sin αααα+=-，则21cos sin 22αα+的值是（***）A ．35B ．－35C ．－3D ．35．如图，将绘有函数5())(0)6f x x πωω=+>部分图象的纸片沿x 轴折成直二面角, 若A 、B ，则f (－1)＝（***）A ．－1B ．1C ．－32 D ．326．3OA =，2OB =，()(21)BC m n OA n m OB =-+--，若OA 与OB 的夹角为60°，且OC AB ⊥，则实数mn 的值为（***） A.87B. 43C.65D.167. 已知a >0，x , y 满足约束条件()⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≥331x a y y x x ，若z =2x +y 的最小值为1，则a =（***）A.21B.31C.1D.28．120|4|x dx -=⎰（***）A ．7B ．223C ．113D ．4 9. 已知双曲线E ：22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)，点F 为E 的左焦点，点P 为E 上位于第一象限内的点，P 关于原点的对称点为Q ，且满足|PF |=3|F Q|，若|OP |=b ，则E 的离心率为（***） ABC.2D.10．如图是函数()2f x x ax b =++的部分图象，则函数()()ln g x x f x '=+的零点所在的区间是（***）A ．11(,)42 B ．1(,1)2C ．(1,2)D ．(2,3)11．函数()222x f x e x =-的图象大致为（***）A ．B ．C ．D ．12．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()(1)x f x e x =+，给出下列命题：①当0x >时，()(1)xf x e x -=--；②函数()f x 有2个零点； ③()0f x <的解集为()(),10,1-∞-U ，④12,x x R ∀∈，都有12()()2f x f x -<．其中正确命题的个数是（***） A ．4B ．3C ．2D ．1第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．曲线()33x f x e x =-在点(0,(0))f 处的切线方程是 *** .14. 在ABC ∆中，,,a b c 为,,A B C ∠∠∠的对边，,,a b c 成等比数列，33,cos 4a c B +==，则AB BC ⋅= *** .15. 已知函数2log ,02()2,22x x f x x x x ⎧<<⎪=⎨+≥⎪⎩，若0＜a ＜b ＜c ，满足()()()f a f b f c ==，则()ab f c 的取值范围为 *** .16. 设有两个命题：p :关于x 的不等式1>x a （0>a ,且1≠a ）的解集是{}0<x x ；q :函数()a x ax y +-=2lg 的定义域为R .如果q p ∨为真命题，q p ∧为假命题，则实数a 的取值范围是 *** .三、解答题：本大题共7小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算过程. 17.（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22(n n a S n =+∈N *)． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2log n n b a =，求数列21n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ． 18. （本小题满分12分）某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其数学成绩(均为整数)分成六段[)50,40，[)60,50…[]100,90后，画出如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：（1）求第四小组的频率，补全频率分布直方图，并估计该校学生的数学成绩的中位数。
2018年湖北高考理科数学试题含答案(Word版)
2018年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. i 为虚数单位，则=+-2)11(ii （ ） A. 1- B. 1 C. i - D. i2. 若二项式7)2(xa x +的展开式中31x 的系数是84，则实数=a （ ）A.2B. 54C. 1D.423. 设U 为全集，B A ,是集合，则“存在集合C 使得C C B C A U ⊆⊆,是“∅=B A ”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件得到的回归方程为a bx y+=ˆ，则（ ） A.0,0>>b a B.0,0<>b a C.0,0><b a D.0.0<<b a5.在如图所示的空间直角坐标系xyz O -中，一个四面体的顶点坐标分别是（0,0,2），（2,2,0）， （1,2，1），（2,2,2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（ ）A. ①和②B.③和①C. ④和③D.④和② 6.若函数[]1,1)(),(,0)()()(),(11-=⎰-为区间则称满足x g x f dx x g x f x g x f 上的一组正交函数，给出三组函数： ①x x g x x f 21cos )(,21sin)(==；②1)(,1)(-=+=x x g x x f ；③2)(,)(x x g x x f ==其中为区间]1,1[-的正交函数的组数是（ ） A.0 B.1 C.2 D.37.由不等式⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥≤0200x y y x 确定的平面区域记为1Ω，不等式⎩⎨⎧-≥+≤+21y x y x ，确定的平面区域记为2Ω，在1Ω中随机取一点，则该点恰好在2Ω内的概率为（ ）A.81 B.41 C. 43 D.878.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一. 该术相当于给出了有圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式21.36v L h ≈它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为 3.那么近似公式2275v L h ≈相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（ ） A.227 B.258C.15750D.3551139.已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是他们的一个公共点，且123F PF π∠=,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ）10.已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，)32(21)(222a a x a x x f --+-=.若R x ∈∀,f(x-1)≤f(x),则实数a 的取值范围为 A ．[61,61-] B ．[66,66-] C ．[31,31-] D ．[33,33-] 二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分. （一）必考题（11—14题）11.设向量(3,3)a =，(1,1)b =-，若()()a b a b λλ+⊥-，则实数λ=________.12.直线1l ：y=x+a 和2l ：y=x+b 将单位圆22:1C x y +=分成长度相等的四段弧，则22a b +=________.13.设a 是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数.将组成a 的3个数字按从小到大排成的三位数记为()I a ，按从大到小排成的三位数记为()D a （例如815a =，则()158I a =，()851D a =）.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a ，输出的结果b =________.14.设()x f 是定义在()+∞,0上的函数，且()0>x f ，对任意0,0>>b a ，若经过点()()()()b f b a f a ,,,的直线与x 轴的交点为()0,c ，则称c 为b a ,关于函数()x f 的平均数，记为),(b a M f ，例如，当())0(1>=x x f 时，可得2),(ba cb a M f +==，即),(b a M f 为b a ,的算术平均数.（1）当())0_____(>=x x f 时，),(b a M f 为b a ,的几何平均数； （2）当当())0_____(>=x x f 时，),(b a M f 为b a ,的调和平均数ba ab+2； （以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可）（二）选考题15.（选修4-1：几何证明选讲）如图，P 为⊙O 的两条切线，切点分别为B A ,，过PA 的中点Q 作割线交⊙O 于D C ,两点，若,3,1==CD QC 则_____=PB16.（选修4-4：坐标系与参数方程）已知曲线1C 的参数方程是⎪⎩⎪⎨⎧==33t y t x ()为参数t ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2=ρ，则1C 与2C 交点的直角坐标为________ 17.（本小题满分11分）某实验室一天的温度（单位：）随时间（单位;h ）的变化近似满足函数关系；(1) 求实验室这一天的最大温差； (2) 若要求实验室温度不高于，则在哪段时间实验室需要降温？18.（本小题满分12分） 已知等差数列满足：=2，且，成等比数列.（1） 求数列的通项公式. （2） 记为数列的前n 项和，是否存在正整数n ，使得若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由.19.(本小题满分12分)如图，在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，N M F E ,,,分别是棱1111,,,D A B A AD AB 的中点，点Q P ,分别在棱1DD ,1BB 上移动，且()20<<==λλBQ DP .（1）当1=λ时，证明：直线1BC 平面EFPQ ;（2）是否存在λ，使平面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.20.（本小题满分12分）计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X (年入流量：一年内上游来水与库区降水之和.单位：亿立方米）都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立.(1)求未来4年中，至多1年的年入流量超过120的概率；(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X 限制，并有如下关系；若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？21.（满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点()1,0F 的距离比它到y 轴的距离多1，记点M 的轨迹为C. (1)求轨迹为C 的方程设斜率为k 的直线l 过定点()2,1p -，求直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点，两个公共点，三个公共点时k 的相应取值范围。
湖北省华中师范大学第一附属中学2018届高三上学期期中考试数学(理)试题Word版含答案
华中师大一附中2017-2018学年度上学期高三年级期中检测数学（理）试题第I 卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数2z1i，则下列命题中正确的个数为①2=z ②i z -=1 ③z 的虚部为i ④z 在复平面上对应点在第一象限 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2．下列函数为偶函数且在(0，＋∞)上为增函数的是A ．20()(cos )x f x tdt B ．223()f x x x C ．21()2f x x x D ．()()xx f x x e e3．已知集合2lg 2x A x y x ⎧-⎫==⎨⎬+⎩⎭，集合{}21B y y x ==-，则集合{x x A B 且}x A B 为A ．[]()2,12,-+∞ B ．()()2,12,-+∞C ．()[),21,2-∞-D ．(](),21,2-∞-4．下列说法正确的是 A ．“,x yR ，若0xy，则1x且1y ”是真命题B ．在同一坐标系中，函数(1)y f x =+与(1)y f x =-的图象关于y 轴对称．C ．命题“x R ，使得2230x x ”的否定是“x R ，都有2230x x ”D ．aR ，“11a”是“1a ”的充分不必要条件5．如图，在ABC 中，13AN NC ，P 是BN 上的一点， 若29AP mABAC ，则实数m 的值为 A ．19 B ．13C ．1D ．3 第5题图6．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织七匹三丈（1匹=40尺，一丈=10尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了七匹三丈，问每天增加多少尺布？”若这一个月有31天，记该女子一个月中的第n 天所织布的尺数为n a ，则132931242830a a a a a a a a ++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++的值为A ．2930 B ．1615 C ．13D ．15 7．若13tan ,(,)tan 242ππααα-=∈，则sin(2)4πα+的值为 A ．210±B ．25C ．210D ．25±8．某食品的保鲜时间y （单位：小时）与储存温度x （单位：C ）满足函数关系bkx ey +=（ 718.2=e 为自然对数的底数，,k b 为常数），若该食品在0C 的保鲜时间是192小时，在22C 的保鲜时间是48小时，则该食品在33C 的保鲜时间是( )小时．A ．22B ．23C ．24D ．33 9．已知函数()sin()(0,)2f x x πωϕωϕ=+><的部分图像如所示，为了得到()y f x 的图像需将cos 2yx 的图像A ．向右平移3π个单位长度 B ．向左平移3π个单位长度 C ．向右平移6π个单位长度D ．向左平移6π个单位长度 10．已知定义在R 上的偶函数)(x f ，满足)()4(x f x f =+，且]2,0[∈x 时，()sin 2sin f x x xππ=+，则方程0lg )(=-x x f 在区间[0,10]上根的个数是A ．18B ．19C ．10D ．9 11．在ABC 和AEF 中，B 是EF 的中点，1633AB EF BC CA ，，，若2AB AE AC AF ，则EF 与BC 的夹角的余弦值为第9题图A ．12 B ．23 C ．34 D ．1312．设函数()()x x f x e x ae （其中e 为自然对数的底数）恰有两个极值点12,x x 12()x x ，则下列说法中正确的是A ．103aB ．21x C ．1(0)02f -<< D ．12()()0f x f x第II 卷二、填空题（每题5分，共20分，将答案填在答题纸上） 13．函数2lg(23)y x x =--+的单调递增区间是________．14．已知向量(6,2)a =-，(1,)b m =，且a b ⊥，则2a b -= ． 15．已知数列{}n a 的通项公式为219104na n n，当123234a a a a a a 345a a a12n n n a a a 取得最大值时，n 的值为_________．16．若函数()y f x =满足b x a f x a f 2)()(=-++（其中220ab ），则称函数)(x f y =为“中心对称函数”，称点),(b a 为函数()f x 的“中心点”．现有如下命题：①函数()sin 1f x x =+是“中心对称函数”；②若“中心对称函数”()y f x =在R 上的“中心点”为()(),a f a ，则函数()()()F x f x a f a =+-是R 上的奇函数；③函数()32362f x x x x =-+-是“中心对称函数”，且它的“中心点”一定为()1,2；④函数x x x f cos 2)(-=是“中心对称函数”，且它的“中心点”一定为(,)2ππ．其中正确的命题是___ _____．（写出所有正确命题的序号）三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（本小题满分10分）已知向量(,cos())a sinx x π=-，(2cos ,2cos )b x x ，函数()1f x a b ．（Ⅰ）求()f x 的对称中心； （Ⅱ）求函数()f x 在区间[0,]2π上的最大值和最小值，并求出相应x 的值．18．（本小题满分12分)已知函数()f x ＝4log (41)x+＋kx (k R ∈)．（Ⅰ）当12k时，若方程()f x －m ＝0有解，求实数m 的取值范围； （Ⅱ）试讨论()f x 的奇偶性．19．(本小题满分12分)已知数列{}n a ，{}n b ，n S 为数列{}n a 的前n 项和，且满足214a b =，22n n S a =-，21(1)n n nb n b n n +-+=+（*n N ∈）．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）试问{}nb n能否为等差数列，请说明理由； （III ）若数列{}n c 的通项公式为,24n n n n n a b n c a b n ⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数，为偶数，令n T 为{}n c 的前n 项的和，求2n T ．20．（本小题满分12分)已知函数()-xf x e ax =（a R ∈，e 为自然对数的底数）．（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）若1a =，函数()()()2xg x x m f x e x x =--++在()2,+∞上为增函数，求实数m 的取值范围．21．(本小题满分12分)如图所示，某住宅小区一侧有一块三角形空地ABO ，其中3,OA km 33,OBkm90AOB ．物业管理拟在中间开挖一个三角形人工湖OMN ，其中,M N 都在边AB 上（,M N 不与,A B 重合，M 在,A N 之间），且30MON ．（Ⅰ）若M 在距离A 点2km 处，求点,M N 之间的距离；（Ⅱ）为节省投入资金，三角形人工湖OMN 的面积要尽可能小．试确定M 的位置，使OMN 的面积最小，并求出最小面积．22．（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足1n na t =+(,,3,)n t N t t n t *∈≥≤，为常数． （Ⅰ）设1121111nni inS a a a a ，*n N ，证明：(1)ln(1)nS t n ；（Ⅱ）证明：1n a na e -<（e 为自然对数底数）；（Ⅲ）设1231()=()()()()nttt t t n kn k T a a a a a ==+++∑ ，*nN ，试比较与n T 与1的大小关系，并说明理由．第21题图1． C 2． D 3． D 4． B 5． A 6． B 7． C 8． C 9． A 10． B 11． B 12． C第II 卷二、填空题：每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上． 13． (3,1]或(3,1) 14． 45 15． 9n16．①②③三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．解：（I ）因为()1f x a b =2sin cos cos(π)2cos 1x x x x +-⋅+22sin cos 2cos 1x x x =-+=sin 2cos2x x -=2sin(2)4x………4分所以()f x 的对称中心为(,0)()28k k Z ππ+∈ ……………5分 （II ）由（I ）得，()f x =sin 2cos2x x -=2sin(2)4x π-， …………7分因为π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以π3π2,444x π⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以当242x ππ-=时，即8x 3π=时，()f x； 当244x ππ-=-时，即0x =时，()f x 的最小值是1-． …………10分 18．（本小题满分12分)解：（Ⅰ）由m ＝()f x ＝4log (41)x+－12x ，∴m ＝441log 2x x +＝41log (2)2xx+． ∵1222xx，∴m ≥12． ……………………………………6分 （Ⅱ）依题意得定义域为R ,关于原点对称∵()f x 4log (41)x +＋kx ，()f x 4log (41)x -+－kx ，令()()f x f x ，得441log 41x x-++＝2kx -，即4log 4x＝2kx -， ∴2x kx 对一切k R ∈恒成立．∴12k时()()f x f x ，此时函数()f x 是偶函数……………………9分∵0441(0)log (41)0log 22f k =+-⨯==，∴函数()f x 不是奇函数， 综上，当12k时，函数()f x 是偶函数；当12k 时，函数()f x 是非奇非偶函数． …………12分 19、(本小题满分12分)解：（Ⅰ）当1n =时，111222S a a =-⇒=，当2n ≥时，由112222n n n n S a S a --=-⎧⎨=-⎩，得：122n n n a a a -=-，则12n n a a -=，综上，{}n a 是公比为2，首项为2的等比数列，2nn a =；………………3分（Ⅱ）{}nb n是等差数列，理由如下： ∵214a b =，∴11b =，∵21(1)n n nb n b n n +-+=+，∴111n nb b n n+-=+ 综上，{}n b n 是公差为1，首项为1的等差数列，且211n n bn b n n=+-⇒=；…7分 （Ⅲ）令212n n n p c c -=+22122221(21)2(2)2(41)2(41)424n nn n n n n n ----⋅⋅=-+=-⋅=-⋅01212123123474114(41)443474114(45)4(41)4n n n nn T n T n n --⎧=⨯+⨯+⨯++-⨯⎪⎨=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯⎪⎩ ①② ①-②，得：012121644334444444(41)43(41)414nn nnn T n n --⋅-=⋅+⋅+⋅++⋅--⋅=+--⋅- 所以27127499nn n T -=+⋅． ……………… ………12分20．（本小题满分12分)解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为R ，()xf x e a '=-．当0a ≤时，()0f x '>，∴()f x 在R 上为增函数； 当0a >时，由()0f x '=得ln x a =，当(),ln x a ∈-∞时，()0f x '<，∴函数()f x 在(),ln a -∞上为减函数， 当()ln ,x a ∈+∞时，()0f x '>，∴函数()f x 在()ln ,a +∞上为增函数……4分 （Ⅱ）当1a =时，()()()2x x g x x m e x e x x =---++，∵()g x 在()2,+∞上为增函数；∴()10xxg x xe me m '=-++≥在()2,+∞上恒成立，即11x x xe m e +≤-在()2,+∞上恒成立， …………………………6分令()11xx xe h x e +=-，()2,x ∈+∞，则()()()2221x x xxe xe e h x e --'==-()()221x x xe e x e---，令()2xL x e x =--，()10xL x e '=->在()2,+∞上恒成立，即()2xL x e x =--在()2,+∞上为增函数，即()()2240L x L e >=->，∴()0h x '>，即()11x x xe h x e +=-在()2,+∞上为增函数，∴()()222121e h x h e +>=-，∴22211e m e +≤-，所以实数m 的取值范围是2221,1e e ⎛⎤+-∞ ⎥-⎝⎦． ………………12分21．(本小题满分12分)解：（Ⅰ）在ABO 中，因为33390OAOBAOB ，，，所以60OAB ， 在OAM 中，由余弦定理得：2222cos 7OM AO AM AO AM A，所以7OM，所以22227cos 27OA OM AM AOM AO AM， 在OAN 中，sin sin()sin(90)ONA A AON AOM 27cos 7AOM， 在OMN 中，由sin 30sin MN OMONA，得7172427MN；… ………6分 （Ⅱ）解法1：设,060AOM，在OAM 中，由sin sin OM OAOAB OMA ，得332sin(60)OM，在OAN 中，由sin sin ONOA OAB ONA ，得32sin(90)2cos ON θθ==+， 所以11sin 22OMNSOM ONMON 2sin(60)θ⋅+12＝2716sin(60)cos θθ+6060)4θ<<+．当26090θ+=，即15θ=时，OMN S27(23)4．所以应设计15AOM ，可使△OMN 27(23)4km 2…12分解法2：设AM ＝x ，0＜x ＜3．在△OAM 中，由余弦定理得OM 2＝AO 2＋AM 2－2AO ·AM ·cos A ＝x 2－3x ＋9，所以OM ＝x 2－3x ＋9，所以cos ∠AOM ＝OA 2＋OM 2－AM 22OA ·OM ＝6－x2x 2－3x ＋9，在△OAN 中，sin ∠ONA ＝sin(∠A ＋∠AON )＝ sin(∠AOM ＋90°)＝cos ∠AOM ＝6－x2x 2－3x ＋9， 由ON sin ∠OAB ＝OA sin ∠ONA，得ON ＝36－x2x 2－3x ＋9·32＝33x 2－3x ＋96－x， 所以S △OMN ＝12OM ·ON ·sin ∠MON ＝12·x 2－3x ＋9·33x 2－3x ＋96－x ·12＝33(x 2－3x ＋9)4(6－x )，0＜x ＜3，令6－x ＝t ，则x ＝6－t ，3＜t ＜6，则：S △OMN ＝33(t 2－9t ＋27)4t ＝334(t －9＋27t )≥334·(2t ·27t －9)＝27(2－3) 4．当且仅当t ＝27t ，即t ＝33，x ＝6－33时等号成立，S △OMN 的最小值为27(2－3) 4，所以M 的位置为距离A 点6－3 3 km 处，可使△OMN 的面积最小，最小面积是27(2－3) 4km 2．22．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）即证：12111ln(1)(1)(1)(1)nn t a t a t a +++>++++，即证：1111ln(1)23n n++++>+， 设()ln(1)g x x x =-+，1()111xg x x x '=-=++， ∵当0x >时，()0g x '>，()g x 在(0,)+∞上单调递增， 当10x -<<时，()0g x '<，()g x 在(1,0)-上单调递减， ∴()ln(1)(0)0g x x x g =-+≥=（当且仅当0x =时等号成立）， 即0x >时，有ln(1)x x >+， ∴1113411ln 2ln ln lnln(1)2323n n n n+++++>++++=+， ∴12111(1)ln(1)n t n a a a +++>++ ……………………………4分（用数学归纳法给分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知：当1x >-且0x ≠时，有ln(1)x x >+，即当0x >且1x ≠时，有1ln x x ->， 因为0111n n t a t t <=≤<++，所以 1ln n n a a ->， 即1n a na e -<………………………………………8分（Ⅲ）1231()=()()()()1nt t t t tnk n k T a a a a a ，理由如下：解法一：由（Ⅱ）知：123()()()()t t tt n a a a a ++++3121111()()()()n a a a a t t t t e e e e 3121111()()()()n a a a a t t t t e e e e2111(1)1t tn t t t t ee e-+++-=-22211111(1)111t t t t t t t t t t ee e e e--+++++--≤=--，设 1t t eq +=，因为3142t t q ee +=≥>，21111t t t t ee-++-∴=-1111111t t q q q q q ----=<<---， 所以1231()=()()()()1nttt t t n kn k T a a a a a ==++++<∑ ………………12分解法二：因为,*n t N ∈， 且n t ≤，所以1231231()=()()()()()()()()nt t t t t t t t t nk n t k T a a a a a a a a a12()()()111tt t t t t t下面用数学归纳法证明：*3,t tN 时，12()()()1111tt t t t t t，即12(1)tt t t t t ，①当3t时，左边333312336(13)，即当3t 时不等式成立；②假设当(3)t k k时不等式成立，即12(1)kkkk k k ，则当1tk时，111112(1)k kkk k k 11122(1)k k k k k k k 1(1)(12)(1)k k k k k k k11(1)(1)(1)2(1)kkk kkkk，11111112111()(1)1()()1111k k k k k k k C C k kk k111121kC k，11(2)2(1)k k k k，11111112(1)2(1)(2)kkkkkk k kkk，所以当1t k时，不等式也成立；综合①②*3,t tN 时，12(1)tttt t t ，即12()()()1111tt t t tt t成立，所以1231()=()()()()1nt t t t t n kn k T a a a a a ==++++<∑．。
2018届华中师范大学附属中学高三高考模拟试题(五)数学(理科)试题(含答案)
2018届华中师范大学附属中学高三高考模拟试题（五）数 学(理科)命题人、审题人：高三理数备课组本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共10页．时量120分钟．满分150分．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1)设复数z 满足z ＋2z －＝6＋i(i 是虚数单位)，则复数z 在复平面内所对应的点位于(D) (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限(2)已知全集U ＝R ，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪18<2x <1，M ＝{}x |y ＝ln （－x －1），则图中阴影部分表示的集合是(C)(A){}x |－3<x<－1 (B){}x |－3<x<0 (C){}x |－1≤x<0 (D){}x|x<－3(3)从某企业生产的某种产品中抽取若干件，经测量得这些产品的一项质量指标值Z 服从正态分布N(200，150)，某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8，212.2)的产品件数，则E(X)等于(C)附：150≈12.2.若Z ～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<Z<μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ<Z<μ＋2σ)＝0.954 4. (A) 34.13 (B)31.74 (C)68.26 (D)95.44【解析】由于150≈12.2，则P(187.8<Z<212.2)＝P(200－12.2<Z<200＋12.2)＝0.682 6，所以一件产品的质量指标值位于区间(187.8，212.2)的概率为0.682 6，依题意，X ～B(100，0.682 6)，∴E(X)＝100×0.682 6＝68.26，故选C.(4)已知a ＝18118， b ＝log 1718， c ＝log 1817，则a ，b ，c 的大小关系为(A)(A) a>b>c (B) a>c>b (C) b>a>c (D) c>b>a【解析】a ＝18118>1，b ＝log 1718＝12log 1718∈⎝⎛⎭⎫12，1， c ＝log 1817＝12log 1817∈⎝⎛⎭⎫0，12，∴a>b>c ，故选A. (5)执行下列程序框图，若输出i 的值为3，则输入x 的取值范围是(D)(A)0<x<3 (B)1<x<3 (C)1≤x<3 (D)1<x ≤3【解析】该程序框图执行以下程序：i ＝1，x ＝2x ＋1；i ＝2，x ＝2(2x ＋1)＋1＝4x ＋3；i ＝3，x ＝2(4x ＋3)＋1＝8x ＋7，则由⎩⎨⎧8x ＋7>15，4x ＋3≤15，可得1<x ≤3，故选D.(6)如图是一个旋转体被挖掉一个最大半球后得到的几何体的三视图，则该几何体的表面积是(B)(A)14π (B)15π (C)16π (D)18π(7)函数f(x)＝sin (ωx ＋φ)(ω>0，||φ<π2)的最小正周期为π，若其图象向左平移π6个单位后得到的函数为奇函数，则函数f(x)的图象(D)(A) 关于点⎝⎛⎭⎫7π12，0对称 (B) 关于点⎝⎛⎭⎫－π12，0对称 (C) 关于直线x ＝7π12对称 (D) 关于直线x ＝－π12对称(8)若二项式(2－x)n (n ∈N *)的展开式中所有项的系数的绝对值之和是a ，所有项的二项式系数之和是b ，则b a ＋ab 的最小值是(B)(A) 2 (B)136 (C)73 (D) 156【解析】令x ＝－1，得a ＝3n，又b ＝2n，∴b a ＝2n 3n ＝⎝⎛⎭⎫23n，∴b a ＋a b ＝⎝⎛⎭⎫23n ＋⎝⎛⎭⎫32n ≥23＋32＝136，故选B. (9)在高校自主招生中，某中学获得6个推荐名额，其中中南大学2名，湖南大学2名，湖南师范大学2名，并且湖南大学和中南大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男3女共6个推荐对象，则不同的推荐方法共有(A)(A) 54 (B)45 (C) 24 (D) 72【解析】由题意可分为两类：第一类是将3个男生每个大学各推荐1人，共有A 33A 33＝36种推荐方法；第二类是将3个男生分成两组分别推荐给湖南大学和中南大学，其余3个女生从剩下的大学中选，共有C 23A 22C 23＝18种推荐方法．故共有36＋18＝54种推荐方法，故选A.(10)已知函数f(x)＝x 3＋ax 2－9x ＋b 的图象关于点(1，0)对称，且对满足－1≤s<t ≤m 的任意实数s ，t ，有f(s)>f(t)，则实数m 的最大值为(C) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4【解析】由f(x)＋f(2－x)＝0得a ＝－3，b ＝11，故f(x)＝x 3－3x 2－9x ＋11，令f′(x)＝3(x 2－2x －3)≤0，解得f(x)的单调递减区间为(－1，3)，故m max ＝3，选C.(11)已知F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的右焦点，过原点O 的直线l 与双曲线交于M ，N 两点，且||MN ＝2||OF ，若△MNF 的面积为ab ，则该双曲线的离心率为(D)(A)3 (B)2 (C) 3 (D) 2【解析】法一：由M ，N 关于原点对称及||MN ＝2||OF 知MF ⊥NF ， 设M(x 0，y 0)，N(－x 0，－y 0)，其中x 0>0，y 0>0，则MF →＝(c －x 0，－y 0)，NF →＝(c ＋x 0，y 0)，因为MF →·NF →＝0，所以(c －x 0)(c ＋x 0)－y 20＝0，即x 20＝c 2－y 20，而M(x 0，y 0)在双曲线上，所以x 20a 2－y 20b 2＝1，所以c 2－y 20a 2－y 20b 2＝1，化简可得y 0＝b 2c .又因为△MNF 的面积为ab ，所以12·c·y 0＋12·c·y 0＝ab ，即y 0＝abc ，所以b 2c ＝abc，即a ＝b ，从而离心率为 2.法二：不妨设M 在第一象限，双曲线的左焦点为F ′，连接MF′，NF ′， 则易知四边形MFNF′是矩形，设|MF′|＝m ，|MF|＝n ，则可得 ⎩⎪⎨⎪⎧m －n ＝2a ，m 2＋n 2＝4c 2，12mn ＝ab ，可解得a ＝b ，双曲线是等轴双曲线，离心率为 2.(12)已知平面四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝2，∠BAD ＝60°，BC ⊥CD, BC ＝CD ，沿BD 将△BCD 折起形成三棱锥C －ABD ，当三棱锥C －ABD 的外接球的体积最小时，关于三棱锥C －ABD 有下列说法：①平面BCD ⊥平面ABD ；②取BD 的中点O ，则OC ⊥BA ；③三棱锥C －ABD 的外接球的体积是323π27；④对棱BC 与AD 所成的角的余弦值是24.这些说法中正确的个数有(D) (A)1 (B) 2 (C)3 (D)4【解析】设正△ABD 的中心是G ，三棱锥C －ABD 的外接球球心是Q ，则QG ⊥平面ABD ，QO ⊥平面CBD ，设球半径是R ，则R 2＝AG 2＋QG 2＝43＋QG 2 ，当QG ＝0时三棱锥C －ABD 的外接球的体积最小，此时Q 与G 重合，平面BCD ⊥平面ABD ，球半径是233 ，体积是323π27；此时AC ＝2，取BD 的中点O ，则OC ⊥平面ABD ，即OC ⊥BA ，则对棱BC 与AD 所成的角θ满足：|cos θ|＝|BC →·AD →||BC →||AD →|＝|BC →·（BD →－BA →）||BC →||AD →|＝|BC →·BD →－（OC →－OB →）·BA →||BC →||AD →|＝24 (也可建系用坐标向量法或平移成相交直线再用余弦定理解三角形求对棱BC 与AD 所成的角的余弦值)，故选D.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)～(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答．第(22)～(23)题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．(13)点A 从()1，0出发，沿单位圆按逆时针方向运动到点B ，若点B 的坐标是⎝⎛⎭⎫－35，45，记∠B ＝α，则sin 2α＝__－2425__ .【解析】由题意可得：sin α＝45，cos α＝－35，∴sin 2α＝2sin αcos α＝2×45×⎝⎛⎭⎫－35＝－2425. (14)若圆A ：(x －1)2＋(y －4)2＝a 上至少存在一点P 落在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y －1≥0，3x －y －1≥0，x ＋y －7≤0表示的平面区域内，则实数a的取值范围是__⎣⎡⎦⎤25，4__．【解析】圆A 与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y －1≥0，3x －y －1≥0，x ＋y －7≤0表示的平面区域有交点，作出图象后易求得a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤25，4.(15)已知AB 为圆O ：x 2＋y 2＝1的直径，点P 为椭圆x 24＋y 23＝1上一动点，则PA →·PB →的最小值为__2__.【解析】方法一：依据对称性，不妨设直径AB 在x 轴上，P(2cos x ，3sin x)， 从而PA →·PB →＝(2cos x －1)(2cos x ＋1)＋3sin 2x ＝2＋cos 2x ≥2.方法二：PA →·PB →＝（PA →＋PB →）2－（PA →－PB →）24＝PO →2－1＝||PO 2－1，而||PO min＝3，则答案为2.方法三：PA →·PB →＝(PO →＋OA →)(PO →＋OB →)＝PO →2＋(OA →＋OB →)PO →＋OA →·OB →＝PO →2－OA →2＝PO →2－1，下同法二．(16)已知函数f(x)＝e x (x －1)－ax ＋1，若存在唯一的整数x 0，使得f(x 0)≤0，则a 的取值范围是__[0，1)__． 【解析】设g(x)＝e x (x －1)，y ＝ax －1，由题知存在唯一的整数x 0，使得g(x 0)≤ax 0－1. 因为g′(x)＝xe x .当x<0时，g ′(x)＜0，即g(x)单调递减，g(x)的值域为(－1，0)； 当x ＝0时，[g(x)]min ＝－1；当x>0时，g ′(x)＞0，即g(x)单调递增，g(1)＝0且g(x)的值域为(－1，＋∞)， 直线y ＝ax －1恒过点(0，－1)．作出图象知当且仅当a ∈[0，1)时满足题设．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． (17)(本小题满分12分)已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且S 6＝3a 7－a 2，S 7＝2a 11＋7. (Ⅰ)求数列{a n }的通项公式；(Ⅱ)若b 1＝3，数列{b n }的第n 项b n 是数列{a n }的第b n －1项(n ≥2)． (ⅰ)证明：{b n －1}是等比数列； (ⅱ)求数列{a n b n }的前n 项和T n .【解析】(Ⅰ)设等差数列{} a n 的公差为d ，由已知得⎩⎨⎧6a 1＋6×52d ＝3（a 1＋6d ）－（a 1＋d ），7a 1＋7×62d ＝2（a 1＋10d ）＋7，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1－d ＝0，5a 1＋d ＝7.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2.所以a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1.(4分)(Ⅱ)(ⅰ) 依题意，n ≥2时，b n ＝ab n －1＝2b n －1－1，所以b n －1＝2(b n －1－1)，又b 1－1＝2，从而{}b n －1是以2为首项，2为公比的等比数列．(8分) (ⅱ)由(ⅰ)知b n －1＝2·2n －1＝2n ，即 b n ＝2n ＋1. 故 a n b n ＝(2n －1)(2n ＋1)＝(2n －1)2n ＋(2n －1)，所以T n ＝[]1·2＋3·22＋…＋（2n －1）·2n ＋[]1＋3＋…＋（2n －1）， 即T n ＝[]1·2＋3·22＋…＋（2n －1）·2n ＋n 2 ① 2T n ＝[]1·22＋3·23＋…＋（2n －1）·2n ＋1＋2n 2 ② ①－②得－T n ＝2＋2(22＋23 ＋…＋2n )－(2n －1)·2n ＋1－n 2＝(3－2n)·2n ＋1－n 2－6所以T n ＝(2n －3)·2n ＋1＋n 2＋6.(12分) (18)(本小题满分12分)某高校在自主招生期间，把高三学生的平时成绩按“百分制”进行折算，选出前n 名学生，并对这n 名学生按成绩分组，第一组[75，80)，第二组[80，85)，第三组[85，90)，第四组[90，95)，第五组[95，100]，如图为频率分布直方图的一部分，其中第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的人数依次成等差数列．且第四组的学生人数为60，第五组对应的小长方形的高为0.02.(Ⅰ)请在图中补全频率分布直方图；(Ⅱ)若该大学决定在成绩较高的第三、四、五组学生中用分层抽样的方法抽取6名学生进行面试，并且在这6名学生中随机抽取3名学生接受考官B 的面试，设第三组有ξ名学生被考官B 面试，求ξ的分布列和数学期望．【解析】(Ⅰ)因为第四组的学生人数为60，且第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的学生人数依次成等差数列，所以总人数为n ＝5×60＝300，由频率分布直方图可知，第五组的学生人数为0.02×5×300＝30，又公差为60－302＝15，所以第一组的学生人数为45，第二组的学生人数为75，第三组的学生人数为90. 故第一、二、三、四组的频率分别为45300＝0.15，75300＝0.25，90300＝0.3，60300＝0.2.补全频率分布直方图如图：)(5分)(Ⅱ)由题意得，用分层抽样的方法在第三、四、五组中应分别抽取的学生人数为90×690＋60＋30＝3，60×690＋60＋30＝2，30×690＋60＋30＝1，则ξ的所有可能取值为0，1，2，3.(6分)P (ξ＝0)＝C 03C 33C 36＝120，P (ξ＝1)＝C 13C 23C 36＝920，P (ξ＝2)＝C 23C 13C 36＝920，P (ξ＝3)＝C 33C 03C 36＝120.因此ξ的分布列为：(10分)E (ξ)＝0×120＋1×920＋2×920＋3×120＝32.(12分)(19)(本小题满分12分)如图，已知多面体MNABCD 的一个面ABCD 是边长为2的菱形，且∠ABC ＝60°，BM ⊥平面ABCD ，BM ∥DN ，BM ＝2DN ，点E 是线段MN 上任意一点．(Ⅰ)证明：平面EAC ⊥平面BMND ；(Ⅱ)若∠AEC 的最大值是2π3，求三棱锥M －NAC 的体积．【解析】(Ⅰ)∵BM ⊥平面ABCD ，∴AC ⊥BM ；又四边形ABCD 是菱形， ∴AC ⊥BD ，则AC ⊥平面BMND ，则平面EAC ⊥平面BMND.(5分)(Ⅱ)由已知易知AE ＝CE>1, cos ∠AEC ＝2AE 2－AC 22AE 2＝1－2AE 2，∠AEC ∈(0，π)， ∴当AE 最短时∠AEC 最大，即AE ⊥MN ，CE ⊥MN 时∠AEC 最大，(同理得∠ANC<60°，∠AMC<60°)此时，∠AEC 是二面角A －MN －C 的平面角，大小是120°，AE ＝233.(7分)取MN 得中点H ，连接H 与AC 、BD 的交点O ，易知OH ⊥平面ABCD ，如图建系，设ND ＝a ，则A(1，0，0)，N(0，－3，a)，M(0，3，2a)， 则AN →＝(－1，－3，a)，AM →＝(－1，3，2a)， 设平面AMN 的法向量n 1＝(x ，y ，z)，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AM →＝－x ＋3y ＋2az ＝0，n 1·AN →＝－x －3y ＋az ＝0，n 1＝⎝⎛⎭⎫3a 2，－3a 6，1，同理求得平面CMN 的法向量n 2＝⎝⎛⎭⎫－3a 2，－3a 6，1.所以|cos ∠AEC|＝⎪⎪⎪⎪－9a 24＋3a 236＋19a 24＋3a 236＋1＝12，解之得：a ＝1510或a ＝62(舍去)，(10分) MN ＝a 2＋BD 2＝320＋12＝91510，S △EAC ＝12AE 2sin 120°＝12×43×32＝33， V M －NAC ＝V M －EAC ＋V N －EAC ＝13S △EAC ·MN ＝3510(采用几何计算类似给分)．(12分)(20)(本小题满分12分)如图，点F 是抛物线E ：x 2＝2py(p>0)的焦点，点A 是抛物线上的定点，且AF →＝(2，0)．点B ，C 是抛物线上的动点，直线AB ，AC 的斜率分别为k 1，k 2，且k 2－k 1＝2，以A 为圆心，||AF 的长为半径的圆分别交直线AB ，AC 于点M ，N ，抛物线E 在点B ，C 处的切线相交于D 点．(Ⅰ)求抛物线的方程；(Ⅱ)记△BCD 的面积为S 1，△AMN 的面积为S 2，求S 1S 2的最小值．【解析】(Ⅰ)设A(x 0，y 0)，依题意知F ⎝⎛⎭⎫0，p 2，则AF →＝⎝⎛⎭⎫－x 0，p 2－y 0＝(2，0)x 0＝－2，y 0＝p 2， 代入抛物线方程中得：p ＝2， 则抛物线方程为x 2＝4y.(4分)(Ⅱ)设B ⎝⎛⎭⎫x 1，x 214，C ⎝⎛⎭⎫x 2，x 224，由(Ⅰ)知A(－2，1)， 所以k 2－k 1＝x 224－1x 2＋2－x 214－1x 1＋2＝x 2－x 14.又k 2－k 1＝2，所以x 2－x 1＝8.(5分) 设直线BD 的方程是y －x 214＝k(x －x 1)，与x 2＝4y 联立得x 2－4kx ＋4kx 1－x 21＝0.令Δ＝16k2－4(4kx 1－x 21)＝0，解得k ＝x 12，所以直线BD 的方程是y －x 214＝x 12(x －x 1)，即y ＝x 12x －x 214.同理可得直线CD 的方程为y ＝x 22x －x 224.(7分)联立直线BD 和CD 的方程，解得x D ＝x 1＋x 22，y D ＝x 1x 24.(8分)设BC 的中点为P ，则P 的坐标为⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，x 21＋x 228， 所以S 1＝S △BDP ＋S △CDP ＝12||DP ·(h 1＋h 2)＝12⎪⎪⎪⎪x 21＋x 228－x 1x 24·||x 2－x 1 ＝（x 2－x 1）316＝32.(9分)另一方面，S 2＝12||AM ·||AN sin ∠MAN ＝2sin ∠MAN, (10分) 所以S 1S 2＝322sin ∠MAN ＝16sin ∠MAN≥16，等号成立时，∠MAN ＝90°，即k 1k 2＝－1，又k 2－k 1＝2，故k 1＝－1，k 2＝1. 所以S 1S 2的最小值为16.(12分)(21)(本小题满分12分)已知f(x)＝e x ＋ax 2－x －1，其中a 为实数． (Ⅰ)若a ≥0，求f(x)的单调区间；(Ⅱ)设g(x)＝f(x)＋6ln(2a ＋2)＋2a 2－6a －72(a>－1)，若对任意x ≥0，g(x)≥0，求实数a 的取值范围．【解析】(Ⅰ)当a ≥0时，f ′(x)＝e x ＋2ax －1为单调增函数，且f′(0)＝0， 故当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x)>0，即f(x)在(0，＋∞)上单调递增； 当x ∈(－∞，0)时，f ′(x)<0，即f(x)在(－∞，0)上单调递减．(4分) (Ⅱ)因为g′(x)＝e x ＋2ax －1，g ″(x)＝e x ＋2a.若a ≥－12，则对任意x ≥0，有g″(x)＝e x ＋2a ≥1＋2a ≥0，即g′(x)在(0，＋∞)上单调递增，则g′(x)≥g′(0)＝0，所以有g(x)在(0，＋∞)上单调递增，则g(x)≥g(0)＝6ln(2a＋2)＋2a 2－6a －72；令h(a)＝6ln(2a ＋2)＋2a 2－6a －72⎝⎛⎭⎫a ≥－12，则h′(a)＝4a ⎝⎛⎭⎫a －12a ＋1， 当a ∈⎣⎡⎭⎫－12，0时，h ′(a)>0，即h(a)在⎣⎡⎭⎫－12，0上单调递增； 当a ∈⎝⎛⎭⎫0，12时，h ′(a)<0，即h(a)在⎝⎛⎭⎫0，12上单调递减； 当a ∈⎣⎡⎭⎫12，＋∞时，h ′(a)>0，即h(a)在⎣⎡⎭⎫12，＋∞上单调递增； 又由于h ⎝⎛⎭⎫－12＝12＋3－72＝0，h ⎝⎛⎭⎫12＝6(ln 3－1)>0， 所以当a ∈⎣⎡⎭⎫－12，＋∞时，g(x)≥0.(8分) 若－1<a<－12，g ″(0)＝1＋2a<0，而g″(x)单调递增，且一定存在x 0>0使得g″(x 0)＝0，此时，对任意的x ∈(0，x 0)，g ″(x)<0，即g′(x)在(0，x 0)上单调递减，则g′(x)≤g′(0)＝0，所以有g(x)在(0，x 0)上单调递减，于是当x ∈()0，x 0时，g(x)<g(0)＝6ln(2a ＋2)＋2a 2－6a －72；令m(a)＝6ln(2a ＋2)＋2a 2－6a －72⎝⎛⎭⎫－1<a<－12，则m′(a)＝4a ⎝⎛⎭⎫a －12a ＋1>0， 又由于m ⎝⎛⎭⎫－12＝12＋3－72＝0，故当a ∈⎝⎛⎭⎫－1，－12时，m(a)<0； 于是当a ∈⎝⎛⎭⎫－1，－12时，g(0)<0，与题设不符； 综上，所求实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－12，＋∞.(12分) 请考生在第(22)、(23)两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． (22)(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋rcos φ，y ＝1＋rsin φ(r>0, φ为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝1，若直线l 与曲线C 相切．(Ⅰ)求曲线C 的极坐标方程；(Ⅱ)在曲线C 上取两点M ，N 与原点O 构成△MON ，且满足∠MON ＝π6，求△MON 面积的最大值．【解析】(Ⅰ)由题意可知直线l 的直角坐标方程为y ＝3x ＋2,曲线C 是圆心为()3，1，半径为r 的圆，直线l 与曲线C 相切，可得： r ＝||3·3－1＋22＝2；可知曲线C 的方程为()x －32＋()y －12＝4,所以曲线C 的极坐标方程为ρ2－23ρcos θ－2ρsin θ＝0，即ρ＝4sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3.(5分)(Ⅱ)由(Ⅰ)不妨设M(ρ1，θ)，N ⎝⎛⎭⎫ρ2，θ＋π6，(ρ1>0，ρ2>0)，S △MON ＝12||OM →||ON →sin π6， ＝14ρ1·ρ2＝4sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3·sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π2＝2sin θcos θ＋23cos 2 θ ＝sin 2θ＋3cos 2θ＋3＝2sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3＋3，当θ＝π12 时， S △MON ＝2＋3，所以△MON 面积的最大值为2＋ 3.(10分)(23)(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲已知关于x 的不等式||x －m ＋2x ≤0的解集为{x|x ≤－ }2，其中m>0. (Ⅰ)求m 的值；(Ⅱ)若正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝m ，求证：b 2a ＋c 2b ＋a 2c ≥2.【解析】(Ⅰ)由f ()x ≤0得||x －m ＋2x ≤0，即⎩⎨⎧x ≥m ，x －m ＋2x ≤0，或⎩⎨⎧x ≤m ，m －x ＋2x ≤0，化简得：⎩⎪⎨⎪⎧x ≥m ，x ≤m 3，或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤m ，x ≤－m.由于m>0，所以不等式组的解集为{x | }x ≤－m . 由题设可得－m ＝－2，故m ＝2. (5分)(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，a ＋b ＋c ＝2，又由均值不等式有：b 2a ＋a ≥2b ，c 2b ＋b ≥2c ，a 2c ＋c ≥2a ，三式相加可得：b 2a ＋a ＋c 2b ＋b ＋a 2c ＋c ≥2b ＋2c ＋2a ，所以b 2a ＋c 2b ＋a 2c ≥a ＋b ＋c ＝2.(10分)。
理科数学(一卷)答案THUSSAT9月测试
中学生标准学术能力诊断性测试2018年9月测试理科数学试卷 参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．C 2．B 3．A 4．D 5．C 6．B 7．B 8．A 9．D 10．C 11．D 12．A 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．2 14．n 2+n 15．3016．()1,∞−三、解答题：共70分，解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤，第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22,23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：60分。
17．（12分）（1） 3=AB ，1=AC ， 60=∠A ，所以由余弦定理可知，22231-231cos60BC ，7BC .......3分.根据正弦定理，14213sin ,237s 3=∠∴=∠ACB ACB in ........6分 （2）222AB AC BC ，ACB 为钝角，则147142131c 2−=⎪⎪⎭⎫⎝⎛−−=∠ACB os ......8分 71,2AC CD，在ACD ∆中，根据余弦定理，2227771-21-2214AD .....10分 求得13AD....12分18.（12分）（1）取PC 中点F ， E 是PD 的中点，∴CD EF //，又由题意知Q 是FC 的中点，M 是EC 的中点，∴QM EF //，...........2分∴AB CD QM ////.又QM PAB ⊄平面,AB PAB ⊂平面， ∴PAB QM 平面// ............4分方法一：（2）当45=∠PBA 时，存在线段PC 上的中点F ，使得EF //平面P AD ，且EF 与平面PBC 所成角为45°同时成立。
...........5分 理由如下：由（1）知，当F 为PC 中点时，AB EF //. PAABCD 平面,AB PA ⊥∴.又 四边形ABCD 为矩形，∴AD AB ⊥，∴PAD AB 平面⊥，∴PAD EF 平面⊥.............8分 BC PA ⊥，BC AB ⊥，∴PAB BC 平面⊥，∴PAB PBC 平面平面⊥，∴PBA ∠为AB 与平面PBC 所成角，∴45PBA............12分方法二：（2）当45=∠PBA 时，存在线段PC 上的中点F ，使得EF //平面P AD ，且EF 与平面PBC 所成角为45°同时成立。
理科数学(一卷)答案THUSSAT9月测试
BC7 7 132= 7中学生标准学术能力诊断性测试 2018 年 9 月测试理科数学试卷 参考答案一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．C 2．B3．A 4．D 5．C 6．B 7．B 8．A 9．D 10．C 11．D 12．A二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13．2 14．n 2+n 15．30 16． (- ∞,1)三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤，第 17~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22,23 题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：60 分。
17．（12 分）（1） AB = 3， AC =1， ∠A = 60 ，所以由余弦定理可知，BC 2 ， .......3 分.根据正弦定理， 3 s in ∠ACB ,∴sin ∠ACB = 314 2........6 分（2） AB2AC 2 BC 2 ，ACB 为钝角，则c os ∠ACB = - = - ......8 分 14，在∆ACD 中，根据余弦定理，AD2.....10 分求得 AD....12 分32 12 -2 3 1 cos60 3 21⎛ 3 21 ⎫21-⎝ 14 ⎪ ⎭ AC 1,CD7 2127 2 2-2 1 7 2- 7 14⎬ ⎭ 18.（12 分）（1）取 PC 中点 F ， E 是 PD 的中点，∴ EF // CD ，又由题意知Q 是 FC 的中点，M 是 EC 的中点，∴ EF //QM ，...........2 分∴ QM //CD // AB .又QM ⊄ 平面PAB , AB ⊂ 平面PAB ，∴ QM // 平面PAB ............4 分方法一：（2）当∠PBA = 45 时，存在线段 PC 上的中点 F ，使得 EF //平面 P AD ，且 EF 与平面 PBC 所成角为 45°同时成立。
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湖北省华师一附中2018届高三9月调研考试理科数学第Ⅰ卷（选择题共60分）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的1．已知2(π-∈x ，0），54cos =x ，则tan 2x = （ ） （A ）247 （B ）247- （C ）724 （D ）724-2．圆锥曲线θθρ2cos sin 8=的准线方程是 （ ）（A ）2cos -=θρ （B ）2cos =θρ （C ）2sin =θρ （D ）2sin -=θρ3．设函数⎪⎩⎪⎨⎧-=-2112)(xx f x 00>≤x x ，若1)(0>x f ，则0x 的取值范围是 （ ） （A ）(1,1)- （B ）(1,)-+∞ （C ）(,2)(0,)-∞-⋃+∞ （D ）(,1)(1,)-∞-⋃+∞ 4．函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值为 （ ）（A ）21+ （B ）12- （C ）2 （D ）25．已知圆C ：4)2()(22=-+-y a x （0>a ）及直线l ：03=+-y x ，当直线l 被C 截得的弦长为32时，则a = （ ）（A ）2 （B ）22- （C ）12- （D ）12+6．已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（ ）（A ）22R π （B ）249R π （C ）238R π （D ）223R π7．已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项为41的的等差数列，则=-||n m （ ）（A ）1 （B ）43 （C ）21 （D ）838．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F （7，0），直线1-=x y 与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为32-，则此双曲线的方程是 （ ） （A ）14322=-y x （B ）13422=-y x （C ）12522=-y x （D ）15222=-y x 9．若O 为ABC ∆所在平面内任一点，且满足0)2()(=-+⋅-OA OC OB OC OB ，则ABC ∆ 一定是（ ）A.正三角形B.等腰三角形C.直角三角形 D ．等腰直角三角形10．已知长方形的四个顶点A （0，0），B （2，0），C （2，1）和D （0，1），一质点从AB 的中点0P 沿与AB 的夹角θ的方向射到BC 上的点1P 后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点2P 、3P和4P （入射角等于反射角），设4P 的坐标为（4x ，0），若214<<x ，则tan θ的取值范围是（ ）（A ）（31，1） （B ）（31，32） （C ）（52，21） （D ）（52，32）11. 定义在R 上的函数()f x 满足：()1()f x f x '>-，(0)6f =，()f x '是()f x 的导函数，则不等式()5xx ef x e >+（其中为自然对数的底数）的解集为( )A ．()0,+∞ B ．()(),01,-∞+∞U D ．()3,+∞12 ） （A ）π3 （B ）π4 （C ）π33 （D ）π6第Ⅱ卷（非选择题共90分）二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填在题中横线上13．92)21(xx -的展开式中9x系数是 14．使1)(log 2+<-x x 成立的x 的取值范围是15．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种（以数字作答）16．下列5个正方体图形中，l 是正方体的一条对角线，点M 、N 、P 分别为其所在棱的中点，能得出⊥l 面MNP 的图形的序号是 （写出所有符合要求的图形序号）三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或或演算步骤17.(本小题满分12分)已知数列{}n a 中，411=a ，其前n 项的和为n S ，且满足2221n n n S a S =-(2)n ≥. (Ⅰ) 求证：数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列； (Ⅱ) 证明：1231113...232n S S S S n ++++< 2118．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，底面是等腰直角三角形，︒=∠90ACB ，侧棱21=AA ，D 、E 分别是1CC 与B A 1的中点，点E 在平面ABD 上的射影是ABD ∆的重心G（I ） 求B A 1与平面ABD 所成角的余弦值 （II ） 求点1A 到平面AED 的距离19.（本小题满分12分）已知0>c ，设P ：函数x c y =在R 上单调递减，Q ：不等式1|2|>-+c x x 的解集为R 。
如果P 和Q 有且仅有一个正确，求c 的取值范围.20.（本小题满分12分）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC ∆的面积为23sin a A（1）求sin sin B C ;（2）若6cos cos 1B C =，3a =，求ABC ∆的周长.21．（本小题满分12分）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O （如图）的东偏南θ方向300km 的海面P 处，且cos θ=，并以20/km h 的速度向西偏北︒45方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km ，并以10/km h 的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？22．（本小题满分14分）已知常数0>a ，在矩形ABCD 中，4=AB ，a BC 4=，O 为AB 的中点，点E 、F 、G 分别在BC 、CD 、DA 上移动，且BE CF DGBC CD DA==，P 为GE 与OF 的交点（如图），问是否存在两个定点，使P 到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由23.已知直线112:x t l y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数), 曲线1cos :sin x C y θθ=⎧⎨=⎩ （θ为参数）.（Ⅰ）设l 与1C 相交于,A B 两点,求||AB ； （Ⅱ）若把曲线1C 上各点的横坐标压缩为原来的12倍,倍,得到曲线2C ,设点P 是曲线2C 上的一个动点,求它到直线l 的距离的最小值.湖北省华师一附中2018届高三9月调研考试答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算. 每小题5分，满分60分.1．D 2．C 3．D 4．A 5．C 6．B 7．C 8．D 9．B 10．C 11．A 12．A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分. 13．221-14．（-1，0） 15．72 16．①④⑤ 三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 解：（Ⅰ）当2n ≥时，21221nn n n S S S S --=-, 112n n n n S S S S ---=，1112n n S S --=， 从而⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S 1构成以4为首项，2为公差的等差数列.（Ⅱ）由（1）可知，111(1)222n n n S S =+-⨯=+12(1)n S n ∴=+， 18．（Ⅰ）解：连结BG ，则BG 是BE 在ABD 的射影，即EBG ∠是1A B 与平面ABD 所成的角.设F 为AB 中点，连结,EF FC ，∵,D E 分别是11,CC A B 的中点，又DC ⊥平面ABC ，则CDEF 为正方形，连接DE ，G 是ADB ∆的重心，且G DF ∈，在直角三角形EFD 中，2213EF FG FD FD =⋅=，1EF =FD ∴=3ED EG ===FC CD ==1AB AB EB ∴==sin 33EG EBG EB ∴∠==即cos EBG ∴∠=（Ⅱ）解：,,,F AB EF EF ED AB ED =⋂⊥⊥又 1ED A AB ∴⊥面，又ED AED ⊂面，即平面AED ⊥平面1A AB ，作1A KAE ⊥，垂足为K ，所以1A K ⊥平面AED ，即1A K 是1A 到平面AED 的距离，在三角形11A AB ∆中，11111A A A B A KAB ⋅===，则1A 到平面AED的距离为3。
19．解：函数xc y =在R 上单调递减.10<<⇔c不等式.1|2|1|2|上恒大于在函数的解集为R c x x y R c x x -+=⇔>-+22,2,|2|2,2,x c x c x x c c x c -≥⎧+-=⎨<⎩,所以函数|2|y x x c =+-在R 上最小值为2.c不等式|2|1x x c +->的解集为R ，1212c c ⇔>⇔>， 如果P 正确，Q 不正确，则102c <≤，如果P 不正确，Q 正确，则1c ≥ 所以c 的取值范围为1(0,][1,)2⋃+∞20.解：（1）由题设得21sin 23sin a ac B A=，即1sin 23sin ac B A =.由正弦定理得1sin sin sin 23sin A C B A =.故2sin sin 3B C =. （2）由题设及（1）得1cos cos sin sin ,2B C B C -=-，即1cos()2B C +=-. 所以2π3B C +=，故π3A =.由题设得21sin 23sin a bc A A=，即8bc =.由余弦定理得229b c bc +-=，即2()39b c bc +-=，得b c +=.故ABC △的周长为321．解：如图建立坐标系以O 为原点，正东方向为x 轴正向.在时刻：（1）台风中心P （y x ,）的坐标为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯+⨯-=⨯-⨯=.22201027300,2220102300t y t x 此时台风侵袭的区域是,)]([)()(22t r y y x x ≤-+-其中,6010)(+=t t r 若在t 时刻城市O 受到台风的侵袭，则有.)6010()0()0(222+≤-+-t y x 即22)22201027300()2220102300(t t ⨯+⨯-+⨯-⨯2412,028836,)6010(22≤≤≤+-+≤t t t t 解得即答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭.解法二：解：设在t 时刻台风中心位于点Q ，此时|OP|=300，|PQ|=20t ，台风侵袭范围的圆形区域半径为1060t +， 由cos 10θ=，可知sin 10θ=， 则4cos cos 45cos cos 45sin sin 45) 5(OPQ θθθ∠=-︒=︒+︒=， 在OPQ ∆中，由余弦定理，得222||||||2||||cos OQ OP PQ OP PQ OPQ =+-⋅∠2224300(20)2300204009600900005t t t t +-⨯⨯⨯=-+， 若城市O 受到台风的侵袭，则有OQ r t ≤（），即22400960090000(1060)t t t -+≤+ ，整理，得2362880t t -+≤，解得1224t ≤≤，所以，12小时后该城市开始受到台风侵袭。