山东省2013届高考预测试卷数学试题(理)3月考

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山东省2013届高三高考模拟卷(四) 数学(科) 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,全卷满分150分,考试时间120分钟 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合,,若,则的值为 A.2 B.1 C. D. 2.定义运算,则符合条件的复数是 A. B. C. D. 3.“”是“”成立的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4.定义某种运算,运算原理如图所示,则式子的值为 A.13 B.11 C.8 D.4 5. 已知三棱锥的俯视图与侧视图如图所示,俯视图是边长为2的正三角形,侧视图是有一直角边为2的直角三角形,则该三棱锥的正视图可能为 6.已知圆C的方程为,当圆心C到直线的距离最大时,的值为 A. B. C. D.5 7. 如果在一周内(周一至周日)安排三所学校的学生参观某展览馆,每天最多只安排一所学校,要求甲学校的学生连续参观两天,其余学校的学生均只参观一天,则不同的安排方法共有 A.50种 B.60种 C.120种 D.210种 8.设两个向量和,其中为实数,若,则的取值范围是 A. B.[4,8] C. D. 9.设,函数的图象可能是 10.已知斜率为2的直线过抛物线的焦点F,且与轴相交于点A,若△OAF(O为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为 A. B. C.或 D.或 11. 在△ABC中,已知,,且最大角为,则这个三角形的最大边等于 A.4 B.14 C.4或14 D.24 12.已知是奇函数,且满足,当时,,当时,的最大值为,则 A. B. C. D.1 第Ⅱ卷 二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填写在答题纸的相应位置. 13.由曲线和直线围成的封闭图形的面积为_______。

14.已知变量满足约束条件,且目标函数的最小值为,则常数_______. 15. 已知四棱柱中,侧棱底面ABCD,且,底面ABCD的边长均大于2,且,点P在底面ABCD内运动,且在AB,AD上的射影分别为M,N,若|PA|=2,则三棱锥体积的最大值为______. 16.对大于或等于2的正整数的幂运算有如下分解方式: … … 根据上述分解规律,若,的分解中最小的正整数是21,则________. 三、解答题:本大题共6个小题,共74分.解答应写文字说明、证明过程或演算步骤,把答案填写在答题纸的相应位置. 17.(本小题满分12分) 已知△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为,且,. (1)求cosC的值; (2)当时,求函数的最大值. 18. (本小题满分12分) 已知数列满足:,,.数列的前项和为,且,. (1)求数列,的通项公式; (2)令数列满足,求数列的前项和. 19.(本小题满分12分) 甲、乙两人参加某电视台举办的答题闯关游戏,按照规则,甲先从6道备选题中一次性抽取3道题独立作答,然后由乙回答剩余3题,每人答对其中2题就停止答题,即闯关成功.已知在6道备选题中,甲能答对其中的4道题,乙答对每道题的概率都是. (1)求甲、乙至少有一人闯关成功的概率; (2)设甲答对题目的个数为,求的分布列及数学期望. 20.(本小题满分12分) 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面是直角梯形ABCD,其中AD⊥AB,CD∥AB,AB=4,CD=2,侧面PAD是边长为2的等边三角形,且与底面ABCD垂直,E为PA的中点. (1)求证:DE∥平面PBC; (2)求二面角的余弦值. 21.(本小题满分13分) 已知椭圆C:的离心率,左、右焦点分别为,抛物线的焦点F恰好是该椭圆的一个顶点. (1)求椭圆C的方程; (2)已知圆M:的切线与椭圆相交于A、B两点,那么以AB为直径的圆是否经过定点?如果是,求出定点的坐标;如果不是,请说明理由, 22.(本小题满分13分) 设函数,. (1)当且时,直线与函数和函数的图象相切于同一点,求直线的方程. (2)若函数在区间[2,4]上为单调函数,求实数的取值范围.山东省2013届高三高考模拟卷(四) 数学(理科)参考答案 一,所以.又因为,而B中最多有两个元素,所以,所以.选B. 2.A【解析】设.根据定义运算得,即,根据复数相等的定义得得所以. 3.B【解析】由得,;由得.因此“”是“”成立的必要不充分条件,所以选B. 4.A 【解析】原式1)=13. 5.C【解析】由于空间几何体的正视图和侧视图“高平齐”,故正视图的高一定是2,由于正视图和俯视图“长对正”,故正视图的底面边长为2,又根据侧视图可知这个空间几何体最前面的面垂直于底面,这个面遮住了后面的一个侧棱,综上可知,这个空间几何体的正视图可能是C. 6.A【解析】圆C的方程可化为,所以圆心C的坐标为,又直线恒过点,所以当圆心C到直线的距离最大时,直线CA应垂直于直线,因为直线CA的斜率为,所以,. 7.C【解析】先安排甲学校的参观时间,一周内两天连排的方法共有6种,甲任选一种为,然后在剩下的五天中任选两天有序地安排其余两所学校参观,安排方法有种,按照分步乘法计数原理可知共有不同的安排方法种,故选C. 8.A【解析】根据已知条件得,又,所以,,于是,即,故,即,解得,故,故选A. 9.C【解析】由解析式可知,当时,,由此可以排除A、B选项.又当时,,从而可以排除D.故选C. 10.D【解析】抛物线的焦点坐标是,直线的方程是,令,得,故,所以△OAF的面积为,由题意,得,解得.故抛物线方程是或.故选D. 11.B 【解析】因为,所以,所以,又,所以,所以大于,则,由余弦定理得 ,所以,所以或(舍去). 12.D【解析】由题意知,所以 ,所以.当时,,则,,令0,得,又,所以.当0时,,在上单调递增;当时,,在上单调递减.所以,所以得. 二、【解析】由,得或,则曲线与直线围成的图形的面积. 14.9【解析】先根据约束条件画出变量满足的可行域如图中阴影部分所示.易知直线与的交点为,观察图形可知目标函数在点处取得最小值,即,解得. 15.【解析】由条件可得,A、M、P、N四点在以PA为直径的圆上,所以由正弦定理得,所以、在△PMN中,由余弦定理可得,当且仅当PM=PN时取等号,所以,所以底面△PMN的面积,当且仅当PM=PN时取最大值,故三棱锥的体积. 16.11【解析】由,,,…,可知.由,可知,易知,则21是53的分解中最小的正整数,可得.故. 三、,所以.(2分) 又,, 所以,或(舍),(4分) 所以.(6分) (2)由(1)知,(7分)所以 ,(10分) 又,所以.(12分) 18.【解析】(1)由已知可知数列为等差数列,且首项为1,公差为1. ∴数列的通项公式为.(2分) ∵,∴,∴,∴数列为等比数列,(4分) 又,∴,∴数列的通项公式为.(6分) (2)由已知得:. ∴,∴,(8分) ∴两式相减得 .(10分) ∴数列的前项和.(12分) 19.【解析】(1)设甲、乙闯关成功分别为事件A、B, 则, (3分) 事件相互独立, 则甲、乙至少有一人闯关成功的概率是 .(6分) (2)由题知的所有可能取值是1,2. ,,(9分) 则的分布列为 所以.(12分) 20.【解析】(1)法一 如图,取AB的中点F,连接DF,EF. 在直角梯形ABCD中,CD∥AB,且AB=4,CD=2,所以, 所以四边形BCDF为平行四边形,所以DF∥BC.(2分) 在△PAB中,PE=EA,AF=FB,所以EF//PB. 又因为DFEF=F,PBBC=B,所以平面DEF∥平面PBC. 因为DE平面DEF,所以DE∥平面PBC.(4分) 法二 取PB的中点M,连接CM,ME. 在△PAB中,PE=EA,PM=MB,所以. 在直角梯形ABCD中,CD∥AB,且AB=4,CD=2, 故,所以,(2分) 所以四边形CDEM为平行四边形,故DE∥CM. 因为CM平面PBC,DE平面PBC, 所以DE∥平面PBC.(4分) (2)取AD的中点O,BC的中点N,连接ON,则ON∥AB. 在△PAD中,PA=PD=AD=2,所以PO⊥AD,, 又因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD, 所以PO⊥平面ABCD.(6分) 如图,以O为坐标原点;分别以OA,ON,OP所在直线为轴建立空间直角坐标系,则,,,,. 因为E为PA的中点,所以,故,.(8分) 因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,PO⊥AD, 所以PO⊥平面ABD,故为平面ABD的一个法向量. 设平面EBD的法向量为, 由,得,即, 令,则,,所以为平面EBD的一个法向量.(10分) 所以. 设二面角的大小为,由图可知,所以.(12分) 21.【解析】(1)因为椭圆C的离心率,所以,即.(4分) 因为抛物线的焦点恰好是该椭圆的一个顶点, 所以,所以,.所以椭圆C的方程为.(6分) (2)(i)当直线的斜率不存在时. 因为直线与圆M相切,故其中的一条切线方程为. 由不妨设,, 则以AB为直径的圆的方程为.(6分) (ii)当直线的斜率为零时. 因为直线与圆M相切,所以其中的一条切线方程为. 由不妨设,, 则以AB为直径的圆的方程为. 显然以上两圆都经过点O(0,0).(8分) (iii)当直线的斜率存在且不为零时. 设直线的方程为. 由消去,得, 所以设,,则,. 所以. 所以.①(11分) 因为直线和圆M相切,所以圆心到直线的距离, 整理,得, ② 将②代入①,得,显然以AB为直径的圆经过定点O(0,0) 综上可知,以AB为直径的圆过定点(0,0).(13分) 22.【解析】(1)由题易得,, 因为直线与函数的图象相切于同一点, 则令,解得,或,或(舍去).(2分) 易得,,;,. ,;,.(3分) ①当时,,易知直线的斜率为2,且直线过点(1,1),则直线的方程为;(4分) ②当时,因为, 则,即,(*) 令,则, 易得方程(*)在且上一定有解,且直线以为斜率,过点,所以直线的方程为. 综上所述,直线的方程为或.(6分) (2)由题易知,,要使在区间[2,4]上为单调递增函数,需在[2,4]时恒成立, 即在时恒成立,即在时恒成立, 即.(9分) 设,则,易知当时,,所以在[2,4]上单调递减,则,即, 所以, 所以当时,在区间[2,4]上为单调递增函数.(11分) 要使在区间[2,4]上为单调递减函数,需在[2,4]时恒成立,易得. 综上所述,若在区间[2,4]上为单调函数,则的取值范围为.(13分)。

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山东省2013届高三高考模拟卷(二) 数学()本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分全卷满分150分考试时间120分钟 第Ⅰ卷 一选择题:本大题共1小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 满足,那么复数的虚部为 A.1 B. C. D. 2.已知集合,,,,,则 A.P=M B.Q=S 3.某日用品按行业质量标准分成五个等级,等级系数X依次为1,2,3,4,5.现从一批该种日用品中随机抽取200件,对其等级系数进行统计分析,得到频率的分布表如下: 则在所取的200件日用品中,等级系数X=1的件数为 A.40 B.20 C.30 D.60 :,,则 A.:, B.:, C.:, D.:, 5.如图所示,已知向量,,,,则下列等式中成立的是 A. B. C. D. 6.如图,若程序框图输出的S是254,则判断框①处应为 A. B. C. D. 7.在△ABC中角A,B,C的对边分别为,已知,且,,则△ABC的面积为 A. B. C. D. 8.已知函数是定义在R上的奇函数,当时,为常数),则函数的大致图象为 9.箱中装有标号为1,2,3,4,5,6且大小相同的6个球,从箱中一次摸出两个球,记下号码并放回,如果两球号码之积是4的倍数,则获奖.现有4人参与摸奖,恰好有3人获奖的概率是 A. B. C. D. 10.设O为坐标原点,点M的坐标为(2,1),若点满足不等式组,则使取得最大值的点N有 A.1个 B.2个 C.3个 D.无数个 11.若P是双曲线:和圆:的一个交点且,其中是双曲线的两个焦点,则双曲线的离心率为 A. B. C.2 D.3 12.已知函数,若存在正实数,使得方程在区间(2,+)上有两个根,其中,则的取值范围是 A. B. C. D. 第Ⅱ卷二、填空题:本大题共小题,每小题分. 13.设,则曲线在点处的切线的斜率为__________. 14.已知一个三棱锥的三视图如图所示,其中俯视图是等腰直角三角形,该三棱锥的外接球的半径为2,则该三棱锥的体积为_______. 15.的展开式中各项系数的和为1458,则该展开式中项的系数为_______. 16.设函数,其中表示不超过的最大整数,如,,若直线与函数的图象有三个不同的交点,则的取值范围是__________. 三、解答题:解答应写文字说明证明过程或演算步骤. 已知函数. (1)求的最小正周期及其单调增区间: (2)当时,求的值域. 18.(本小题满分12分) 如图,在三棱锥A-BCD中,△ABD和△BCD是两个全等的等腰直角三角形,O为BD的中点,且AB=AD=CB=CD=2,AC=. (1)当时,求证:AO⊥平面BCD; (2)当二面角的大小为时,求二面角的正切值. 19.(本小题满分12分) 某批发市场对某种商品的日销售量(单位:吨)进行统计,最近50天的统计结果如下表: 日销售量(吨)11.52天数102515(1)计算这50天的日平均销售量; (2)若以频率为概率,且每天的销售量相互独立. ①求5天中该种商品恰有2天的销售量为1.5吨的概率; ②已知每吨该商品的销售利润为2万元,X表示该种商品两天销售利润的和,求X的分布列和数学期望. 20.(本小题满分12分) 已知等差数列的首项,公差,且第2项、第5项、第14项分别是等比数列的第2项、第3项、第4项. (1)求数列、的通项公式; (2)设数列对任意的,均有成立,求. 21.(本小题满分13分) 已知中心在原点的椭圆C:的一个焦点为,为椭圆C上一点,的面积为. (1)求椭圆C的方程; (2)是否存在平行于OM的直线,使得直线与椭圆C相交于A,B两点,且以线段AB为直径的圆恰好经过原点?若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由. 22.(本小题满分13分) 已知函数,. (1)若,求函数的单调区间; (2)若恒成立,求实数的取值范围; (3)设,若对任意的两个实数满足,总存在,使得成立,证明:. 数学() 一选择题: 14.2 15.61 16. 三、计算题 17.【解析】 . (1)函数的最小正周期. 由正弦函数的性质知,当, 即时,函数为单调增函数,所以函数的单调增区间为,. (2)因为,所以,所以, 所以,所以的值域为[1,3]. 18.【解析】(1)根据题意知,在△AOC中,,, 所以,所以AO⊥CO. 因为AO是等腰直角E角形ABD的中线,所以AO⊥BD. 又BDCO=O,所以AO⊥平面BCD. (2)法一 由题易知,CO⊥OD.如图,以O为原点, OC、OD所在的直线分别为轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系, 则有O(0,0,0),,,. 设,则,. 设平面ABD的法向量为, 则即 所以,令,则. 所以. 因为平面BCD的一个法向量为, 且二面角的大小为,所以, 即,整理得. 因为,所以, 解得,,所以, 设平面ABC的法向量为, 因为,, 则即 令,则,.所以. 设二面角的平面角为,则 . 所以,即二面角的正切值为. 法二 在△ABD中,BD⊥AO,在△BCD中,BD⊥CO, 所以∠AOC是二面角的平面角,即∠AOC=. 如图,过点A作CO的垂线交CO的延长线于点H, 因为BD⊥CO,BD⊥AO,且COAO=O, 所以BD⊥平面AOC. 因为AH平面AOC,所以BD⊥AH. 又CO⊥AH,且COBD=O,所以AH⊥平面BCD. 过点A作AK⊥BC,垂足为K,连接HK. 因为BC⊥AH,AKAH=A,所以BC⊥平面AHK. 因为HK平面AHK,所以BC⊥HK, 所以∠AKH为二面角的平面角. 在△AOH中,∠AOH=,,则,, 所以. 在Rt△CHK中,∠HCK=,所以. 在Rt△AHK中,, 所以二面角的正切值为. 19.【解析】(1)日平均销售量为(吨). (2)①日销售量为1.5吨的概率. 设5天中该商品有Y天的销售量为1.5吨,则, 所以. ②X的所有可能取值为4,5,6,7,8.又日销售量为1吨的概率为,日销售量为2吨的概率为,则 ; ; ; ; . 所以X的分布列为 数学期望. 20.【解析】(1)由已知得,,, 所以,解得或. 又因为,所以. 所以. 又,,所以等比数列的公比, 所以. (2)由 ①,得当时, ②, ①-②,得当时,,所以2). 而时,,所以.所以. 所以 . 21.【解析】(1)因为椭圆C的一个焦点为, 所以,则椭圆C的方程为, 因为,所以,解得. 故点M的坐标为(1,4). 因为M(1,4)在椭圆上,所以,得, 解得或(不合题意,舍去),则. 所以椭圆C的方程为. (2)假设存在符合题意的直线与椭圆C相交于,两点,其方程为(因为直线OM的斜率, 由消去,化简得. 进而得到,. 因为直线与椭圆C相交于A,B两点, 所以, 化简,得,解得. 因为以线段AB为直径的圆恰好经过原点, 所以,所以. 又, , 解得. 由于,所以符合题意的直线存在,且所求的直线的方程为或. 22.【解析】(1)当时,函数, 则. 当时,,当时,1, 则函数的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,. (2)恒成立,即恒成立,整理得恒成立. 设,则,令,得.当时,,函数单调递增,当时,,函数单调递减,因此当时,取得最大值1,因而. (3),. 因为对任意的总存在,使得成立, 所以, 即, 即 . 设,其中,则,因而在区间(0,1)上单调递增,,又. 所以,即.。

2013年山东省临沂市高考数学三模试卷(理科)

2013年山东省临沂市高考数学三模试卷(理科)

2013年山东省临沂市高考数学三模试卷(理科)学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________一、选择题(本大题共12小题,共60.0分)1.复数z满足方程z=(z-2)i(i为虚数单位),则z=()A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i【答案】B【解析】试题分析:设复数z=a+bi(a,b∈R),则a+bi=((a+bi-2)i,利用复数相等即可得出.设复数z=a+bi(a,b∈R),则a+bi=((a+bi-2)i,∴a+bi=(a-2)i-b,∴,解得.∴z=1-i.故选B.2.已知集合A={x|x2>1},B={x|log2x<1},则(∁R A)∩B=()A.(0,1]B.(0,1)C.[0,1]D.[-1,1]【答案】A【解析】试题分析:通过求解一元二次不等式和对数不等式分别化简集合A与B,然后直接利用补集及交集运算求解.由A={x|x2>1}={x|x<-1或x>1},所以∁R A={x|-1≤x≤1},又B={x|log2x<1}={x|0<x<2},所以(∁R A)∩B={x|-1≤x≤1}∩{x|0<x<2}=(0,1].故选A.3.甲、乙两名运动员在某项测试中的6次成绩如茎叶图所示,,分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的平均数,s1,s2分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的标准差,则有()A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析:根据茎叶图看出两组数据,先求出两组数据的平均数,再求出两组数据的方差,比较两组数据的方差的大小就可以得到两组数据的标准差的大小.由茎叶图可看出甲的平均数是,乙的平均数是,∴两组数据的平均数相等.甲的方差是(36+1+0+0+1+36)=,乙的方差是(49+4+0+0+4+49)=.∴甲的标准差小于乙的标准差,故选B.4.下列选项中叙述错误的是()A.命题“若x=1,则x2-x=0”的逆否命题为真命题¬B.若p:∀x∈R,x2+x+1≠0,则p:∃x0∈R,x02+x0+1=0C.“x>1”是“x2-x>0”的充分不必要条件D.若“p∧q”为假命题,则“p∨q”为真命题【答案】D【解析】试题分析:利用四种命题的逆否关系判断A的正误;全称命题与特称命题的否定B的正误;通过充要条件的判定判断C的正确;复合命题的真假判断D的正误.对于A,“若x=1,则x2-x=0”的逆否命题为真命题,因为原命题是真命题,所以A 正确;对于B,若p:∀x∈R,x2+x+1≠0,则p:∃x0∈R,x02+x0+1=0,符合全称命题与特称命题的否定,所以B正确.对于C,“x>1”是“x2-x>0”的充分不必要条件,满足充分不必要条件的判断,所以C正确;对于D,若“p∧q”为假命题,可能p、q两个命题都是假命题,此时“p∨q”为假命题,所以D不正确.故选D.5.设,则a,b,c的大小关系是()A.a>c>bB.a>b>cC.c>a>bD.b>c>a【答案】A【解析】试题分析:根据幂函数与指数函数的单调性直接可以判断出来.∵在x>0时是增函数∴a>c又∵在x>0时是减函数,所以c>b故答案选A6.要得到函数的图象,只需将函数的图象()A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度【答案】C【解析】试题分析:把化为,故把的图象向左平移个单位,即得函数y=cos2x的图象.=,故把的图象向左平移个单位,即得函数的图象,即得到函数的图象.故选C.7.一个空间几何体的三视图如图,则该几何体的体积为()A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析:由三视图可知:该几何体是一个棱长和底面边长都是2的正三棱锥砍去一个三棱锥得到的几何体.据此即可得到体积.由三视图可知:该几何体是一个棱长和底面边长都是2的正三棱锥砍去一个三棱锥得到的几何体.=-==.故选B.8.2013年中俄联合军演在中国青岛海域举行,在某一项演练中,中方参加演习的有5艘军舰,4架飞机;俄方有3艘军舰,6架飞机.若从中、俄两方中各选出2个单位(1架飞机或一艘军舰都作为一个单位,所有的军舰两两不同,所有的飞机两两不同),且选出的四个单位中恰有一架飞机的不同选法共有()A.51种B.224种C.240种D.336种【答案】C【解析】试题分析:选出的四个单位中恰有一架飞机的不同选法,可以分为两类:一类是一架飞机来自于中方,一类是一架飞机来自于外方.分类计数可得.由题意,可分类求解:一类是一架飞机来自于中方C41C51C32=60一类是一架飞机来自于外方C61C31C52=180,∴C41C51C32+C61C31C52=60+180=240,故选C9.如图是函数f(x)=x2+ax+b的部分图象,函数g(x)=e x-f'(x)的零点所在的区间是(k,k+1)(k∈z),则k的值为()A.-1或0B.0C.-1或1D.0或1【答案】C【解析】试题分析:由二次函数图象的对称轴确定a的范围,由g(x)=e x-2x-a=0得e x=2x+a,分别作出函数y=e x和y=2x+a的图象,从而确定零点所在的区间,进而求得整数k.解;∵二次函数f(x)图象的对称轴x=-∈(-1,-),∴1<a<2,由g(x)=e x-2x-a=0得e x=2x+a分别作出函数y=e x和y=2x+a的图象,如图所示.从而函数y=e x和y=2x+a的图象的两个交点的横坐标分别在区间(-1,0)和(1,2)上.∴函数g(x)=e x-f'(x)的零点所在的区间是(-1,0)和(1,2);∵函数g(x)=e x-f'(x)的零点所在的区间是(k,k+1)(k∈z),∴k=-1或1故选C.10.的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中常数项为()A.-40B.-20C.20D.40【答案】A【解析】试题分析:由于二项式展开式中各项的系数的和为2,故可以令x=1,建立a的方程,解出a的值,然后再由规律求出常数项.令x=1则有1+a=2,得a=1,故二项式为(x+1)(2x-)5故其常数项为22×C53-23C52=-40.故选A.11.已知矩形ABCD的边AB⊥x轴,且矩形ABCD恰好能完全覆盖函数y=asin2ax(a>0)的一个完整周期的图象,则当a变化时,矩形ABCD的周长的最小值为()A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析:依题意,矩形ABCD的周长l=2T+2×2a,利用基本不等式即可求得矩形ABCD 的周长的最小值.依题意,作图如下:∵a>0,矩形ABCD恰好能完全覆盖函数y=asin2ax(a>0)的一个完整周期的图象,∴|AB|=2a,|BC|=T==,∴矩形ABCD的周长l=2T+2×2a=2×+4a≥2=4,即矩形ABCD的周长的最小值为:4.故选B.12.某农户计划种植黄瓜和西红柿,种植面积不超过50亩,投入资金不超过48万元,为使一年的种植总利润(总利润=总销售收入-总种植成本)最大,那么黄瓜和西红柿的种植面积(单位:亩)分别为()A.10,40B.20,30C.30,20D.40,10【答案】A【解析】试题分析:设种植黄瓜和韭菜的种植面积分别为x,y亩,种植总利润为z万元,然后根据题意建立关于x与y的约束条件,得到目标函数,利用线性规划的知识求出最值时的x和y的值即可.设种植黄瓜和韭菜的种植面积分别为x,y亩,种植总利润为z万元由题意可知一年的种植总利润为z=0.55×4x+0.3×6y-1.2x-0.9x=x+0.9y作出约束条件如下图阴影部分平移直线x+0.9y=0,当过点A(10,40)时,一年的种植总利润为z取最大值.故选A.二、填空题(本大题共4小题,共16.0分)13.若不等式|2x-a|+a≤4的解集为{x|-1≤x≤2},则实数a= .【答案】1【解析】试题分析:解绝对值不等式|2x-a|+a≤4,求得它的解集.再根据它的解集为{x|-1≤x≤2},比较可得a的值.由不等式|2x-a|+a≤4可得|2x-a|≤4-a,即a-4≤2x-a≤4-a,化简可得a-2≤x≤2,故不等式|2x-a|+a≤4的解集为{x|a-2≤x≤2}.而已知不等式|2x-a|+a≤4的解集为{x|-1≤x≤2},∴a-2=-1,解得a=1,故答案为1.14.过双曲线=1的一个焦点F作一条渐近线的垂线,若垂足恰在线段OF(O为原点)的垂直平分线上,则双曲线的离心率为.【答案】【解析】试题分析:先设垂足为D,根据双曲线方程可求得其中一个渐近线和焦点F的坐标,进而得到D点坐标.表示直线DF的斜率与直线OD的斜率乘积为-1,进而得到a和b的关系,进而求得离心率.设垂足为D,根据双曲线方程可知其中一个渐近线为y=x,焦点为F(,0)D点坐标(,)∴k DF==-∵OD⊥DF∴k DF•k OD=-1∴,即a=b∴e===故答案为15.已知三棱锥P-ABC,点P,A,B,C都在球面上,若PA,PB,PC两两垂直,且PA=PB=2,PC=3,则此球的表面积为.【答案】17π【解析】试题分析:三棱锥P-ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直,它的外接球就是它扩展为长方体的外接球,求出长方体的对角线的长,就是球的直径,然后求球的表面积.三棱锥P-ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直,它的外接球就是它扩展为长方体的外接球,求出长方体的对角线的长:=所以球的直径是,半径为,∴球的表面积:17π.故答案为:17π.16.如图放置的正方形ABCD,AB=1,A,D分别在x轴、y轴的正半轴(含原点)上滑动,则•的最大值是.【答案】2【解析】试题分析:设∠DAO=θ,则∠BA x=-θ,OA=cosθ,OD=sinθ,求得点B(cosθ+sinθ,cosθ),点C(sinθ,cosθ+sinθ),计算等于1+sin2θ≤2,可得的最大值.设∠DAO=θ,则∠BA x=-θ,∴OA=cosθ,OD=sinθ,∴点B(cosθ+sinθ,cosθ),过点C作y轴的垂线CE,E为垂足,则∠CDE=θ,由此可得点C(sinθ,cosθ+sinθ).∴=(cosθ+sinθ)sinθ+cosθ(cosθ+sinθ)=sin2θ+cos2θ+2sinθcosθ=1+sin2θ≤2,故的最大值为2,故答案为2.三、解答题(本大题共6小题,共74.0分)17.已知的图象上两相邻对称轴间的距离为.(Ⅰ)求f(x)的单调减区间;(Ⅱ)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,若,△ABC的面积是,求a的值.【答案】解:(Ⅰ)由已知,函数f(x)周期为π.∵f(x)=-+sinωx=-+sinωx=sinωx-cosωx-=sin(ωx-)-,∴ω==2,∴f(x)=sin(2x-)-.由2kπ+≤2x-≤2kπ+得:2kπ+≤2x≤2kπ+,∴kπ+≤x≤kπ+(k∈Z).∴f(x)的单调减区间是[kπ+,kπ+](k∈Z).(Ⅱ)由f(A)=,得sin(2A-)-=,∴sin(2A-)=1.∵0<A<π,∴-<2A-<,∴2A-=,A=.由S△ABC=bcsin A=3,c=3,得b=4,∴a2=b2+c2-2bccos A=16+9-2×4×3×=13,故a=.【解析】(Ⅰ)利用三角变换与辅助角公式将f(x)化为f(x)=sin(ωx-)-,由T=π可求得ω,从而可得f(x)的解析式,再利用正弦函数的单调性即可求得f(x)的单调减区间;(Ⅱ)由f(A)=,结合题意可求得A,利用三角形的面积公式由S△ABC=bcsin A=3及c=3可求得b,再由余弦定理即可求得a.18.如图,在三棱锥P-ABC中,∠APB=90°,∠PAB=60°,AB=BC=CA=PC.(Ⅰ)求证:平面APB⊥平面ABC;(Ⅱ)求二面角B-AP-C的余弦值.【答案】解(Ⅰ)过P作PO⊥AB,垂足为O,连结OC.设AB=2,则,在△AOC中,∠,由余弦定理得.在△POC中,,∴PO2+OC2=4=PC2,∴可得∠POC=90°,即PO⊥OC.又∵PO⊥AB,且AB∩OC=O,∴PO⊥平面ABC∵PO⊂平面APB,∴平面APB⊥平面ABC.(Ⅱ)以O为坐标原点,OB、OP所在直线为y轴、z轴,建立如图所示的空间直线坐标系,则可得.∴,设平面APC的一个法向量为=(x1,y1,z1),则,即令x1=1,得y1=-,z1=1,可得.而平面APB的一个法向量为=(1,0,0),设二面角B-AP-C的平面角为α,且α为锐角,∴.由此可得二面角B-AP-C的余弦值为.【解析】(I)过P作PO⊥AB,垂足为O,连结OC.设AB=2,在△AOC中,根据余弦定理算出,从而得出PO2+OC2=4=PC2,证出PO⊥OC,结合线面垂直判定定理得到PO⊥平面ABC,再由PO⊂平面APB,证出平面APB⊥平面ABC;(II)以O为坐标原点,OB、OP所在直线为y轴、z轴,建立如图所示的空间直线坐标系,可得A、C、P各点的坐标,从而得到的坐标,利用垂直向量数量积为零的方法建立方程组是平面APC的一个法向量.再由平面APB的向量为=(1,0,0),算出夹角的余弦值等于,即可得到二面角B-AP-C的余弦值.19.已知当x=5时,二次函数f(x)=ax2+bx+c取得最小值,等差数列{a n}的前n项和S n=f(n),a2=-7.(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式;(Ⅱ)数列{b n}的前n项和为T n,且,证明.【答案】解:(Ⅰ)当n=1时,a1=S1=a+b+c,当n≥2时,a n=S n-S n-1=2an+b-a,又a1适合上式,得2a+b-a=a+b+c,∴c=0.由已知,解方程组得∴a n=2n-11.(Ⅱ),∴①②①-②得==,∴.则,,,当n≥4时,,∴,综上,得.【解析】(I)利用二次函数在对称轴处取得最小值列出关于a,b的等式;利用数列的通项与前n 项和的关系得到通项的形式,利用已知条件a2=-7求出参数a的值,进一步得到数列{a n}的通项公式.(II)求出数列{b n}的通项,根据其通项是一个等差数列与一个等比数列的积构成,所以利用错位相减法求出前n项和T n,分n≤4和n>4进行证明.20.某市统计局就本地居民的月收入调查了10000人,并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(每个分组包括左端点,不包括右端点,如第一组表示月收入在[1000,1500),单位:元).(Ⅰ)估计居民月收入在[1500,2000)的概率;(Ⅱ)根据频率分布直方图算出样本数据的中位数;(Ⅲ)若将频率视为概率,从本地随机抽取3位居民(看做有放回的抽样),求月收入在[1500,2000)的居民数X的分布列和数学期望.【答案】解:(Ⅰ)由题意,居民月收入在[1500,2000)的概率约为1-(0.0002+0.0001+0.0003+0.0005×2)×500=1-0.0016×500=1-0.8=0.2.(Ⅱ)由频率分布直方图知,中位数在[2000,2500),设中位数为x,则0.0002×500+0.2+0.0005(x-2000)=0.5,解得x=2400.(Ⅲ)居民月收入在[1000,2000)的概率为0.0002×500+0.2=0.3,由题意知,X~B(3,0.3),因此,,,.故随机变量X的分布列为X的数学期望为3×0.3=0.9.【解析】(Ⅰ)根据直方图,可得居民月收入在[1500,2000)的概率;(Ⅱ)根据频率分布直方图知,中位数在[2000,2500),由此可算出样本数据的中位数;(Ⅲ)由题意知,X~B(3,0.3),求出相应的概率,可得X的分布列和数学期望.21.已知直线,圆O:x2+y2=5,椭圆的离心率,直线l被圆O截得的弦长与椭圆的短轴长相等.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)过椭圆右焦点F的直线l与椭圆C交于A,B两点.(1)若=2求直线l的方程;(2)若动点P满足=+,问动点P的轨迹能否与椭圆C存在公共点?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】解:(Ⅰ)设椭圆的半焦距为c,圆心O到直线l的距离为,∴.由题意得,解得a2=3,b2=2.故椭圆C的方程为.(Ⅱ)(1)当直线l的斜率为0时,检验知.设A(x1,y1),B(x2,y2),由,得(1-x1,-y1)=2(x2-1,y2),则有y1=-2y2①,设直线l:x=my+1,联立消去x,整理得(2m2+3)y2+4my-4=0.∴.结合①,得.代入,得×,即,解得,故直线l的方程是.(2)问题等价于在椭圆上是否存在点P,使得成立.当直线l的斜率为0时,可以验证不存在这样的点,故设直线l的方程为x=my+1,用(1)的设法,可得P(x1+x2,y1+y2).若点P在椭圆C上,则,即.又点A,B在椭圆上,有,则,即2x1x2+3y1y2+3=0②,由(1)知x1x2=(my1+1)(my2+1)=m2y1y2+m(y1+y2)+1=,代入②式得,解得,即.当时,,;当时,,.故椭圆C上存在点P,使得成立,即动点P的轨迹与椭圆C存在公共点,公共点的坐标是.【解析】(Ⅰ)设椭圆的半焦距为c,由点到直线的距离公式可得圆心O到直线l的距离为d=,利用勾股定理可求得b值,根据b值,,a2=b2+c2可求得a;(Ⅱ)(1)易判断l斜率不为0,设A(x1,y1),B(x2,y2),由,可得y1=-2y2①,设直线l:x=my+1,代入椭圆消掉x得y的二次方程,由韦达定理及①可用m表示y1,y2,代入,得×,解出m,从而得到直线l的方程;(2)问题等价于在椭圆上是否存在点P,使得成立.易判断直线斜率不为0,设直线l的方程为x=my+1,由(1)的设法可得P(x1+x2,y1+y2),若点P在椭圆C上,可得,再由点A,B在椭圆上,可得2x1x2+3y1y2+3=0②,代入韦达定理可得m的方程,解出m,进而可求出点P的坐标,得到结论;22.已知函数f(x)=(2-a)(x-1)-2lnx,g(x)=xe1-x(a∈R,e为自然对数的底数).(Ⅰ)若不等式f(x)>0对于一切恒成立,求a的最小值;(Ⅱ)若对任意的x0∈(0,e],在(0,e]上总存在两个不同的x i(i=1,2),使f(x i)=g(x0) 成立,求a的取值范围.【答案】解:(Ⅰ)由题意得(2-a)(x-1)-2lnx>0在内恒成立,即在内恒成立,设,则,设,则,∴φ(x)在内是减函数,∴,∴h'(x)>0,h(x)在内为增函数,则,∴a≥2-4ln2,故a的最小值为2-4ln2.(Ⅱ)g'(x)=e1-x-xe1-x=(1-x)e1-x,当x∈(0,1)时,g'(x)>0,函数g(x)单调递增;当x∈(1,e]时,g'(x)<0,函数g(x)单调递减.又因为g(0)=0,g(1)=1,g(e)=e•e1-e>0,所以,函数g(x)在(0,e]上的值域为(0,1].当a=2时,不合题意;当a≠2时,f'(x)=2-a-==,x∈(0,e] 当x=时,f'(x)=0.由题意得,f(x)在(0,e]上不单调,故0<<e,即a<2-①此时,当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下:又因为,当x→0时,f(x)→+∞,f()=a-2ln,f(e)=(2-a)(e-1)-2,所以,对任意给定的x0∈(0,e],在(0,e]上总存在两个不同的x i(i=1,2),使得f(x i)=g(x0)成立,当且仅当a满足下列条件:即令h(a)=a-2ln,a∈(-∞,2-),则h(a)=1-2[ln2-ln(2-a)]=1-=,令h'(a)=0,得a=0或a=2,故当a∈(-∞,0)时,h'(a)>0,函数h(a)单调递增;当a∈(0,2-)时,h'(a)<0,函数h(a)单调递减.所以,对任意a∈(-∞,2-),有h(a)≤h(0)=0,即②对任意a∈(-∞,2-)恒成立.由③式解得:a≤2-.④综合①④可知,当a∈(-∞,2-]时,对任意给定的x0∈(0,e],在(0,e]上总存在两个不同的x i(i=1,2),使f(x i)=g(x0)成立.【解析】(Ⅰ)不等式f(x)>0对于一切恒成立,分离参数后即在内恒成立,构造函数h(x)=2-(x),则问题转化为a>h(x)max,利用导数即可求得函数h(x)的最大值;(Ⅱ)求出g(x),根据导函数的正负得到函数的单调区间,即可求出g(x)的值域,而当a等于2时不合题意,当a不等于2时,求出f(x)=0时x的值,根据x属于(0,e]列出关于a的不等式得到①,并根据此时的x的值讨论导函数的正负得到函数f(x)的单调区间,根据单调区间得到②和③,令②中不等式的坐标为一个函数,求出此函数的导函数,讨论导函数的正负得到函数的单调区间,根据函数的增减性得到此函数的最大值,即可解出②恒成立和解出③得到④,联立①和④即可解出满足题意a的取值范围.。

山东省烟台市2013届高三3月诊断性测试数学理含答案

山东省烟台市2013届高三3月诊断性测试数学理含答案

山东省烟台市2013届高三3月诊断性测试数学(理)试题注意事项: 1.本试题满分150分,考试时间为120分钟。

2.使用答题纸时,必须使用0.5毫米的黑龟墨水签字笔书写,作图时,可用2B 铅笔.要字迹工整,笔迹清晰,超出答题区书写的答案无效;在草稿纸,试题卷上答题无效。

3.答卷前将密封线内的项目填写清楚。

一、选择题:本大题共12小题;每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求,把正确选项的代号涂在答题卡上. 1.已知i 是虚数单位,若(1)z i i +=,则|z|等于A .1BC .2D .12【答案】C由(1)z i i +=,得2(1)111(1)(1)222i i i i i z i i i i --====+++-,所以z ==,选C. 2.若集合M={x ∈N *| x<6},N={}||1|2x x -≤,则M ()R N ð=A .(-∞,-1)B .[)1,3C .(3,6)D .{4,5}【答案】D{1,2,3,4,5}M =,{212}{13}N x x x x =-≤-≤=-≤≤,所以(){13}R N x x x =<->或ð,3.已知幂函数y=f (x )的图象过点(1,22),则log 2f (2)的值为A .12B .-12C .2D .-2【答案】A设幂函数为()f x x α=,则11()()222f α==,解得12α=,所以()f x =所以(2)f =221log (2)log 2f ==,选A. 4.已知函数221()x f x e -=,若[cos()]12f πθ+=,则θ的值为A .4k ππ+B .4k ππ-C .24k ππ+ D .4k ππ-(其中k ∈Z ) 4 4 2 4【答案】C由221()1xf x e -==,得2210x -=,即22c o s ()102πθ+-=,所以c o s 2()c o s (2)c o s 202πθπθθ+=+=-=,所以2,2k k Z πθπ=+∈,即,24k k Z ππθ=+∈,选C.5.下列说法错误的是: A .命题“若x 2—4x+3=0,则x=3”的逆否命题是“若x≠3,则x 2-4x+3≠0” B .“x>l”是“|x|>0”的充分不必要条件 C .若p ∧q 为假命题,则p 、g 均为假命题D .命题P :″x R ∃∈,使得x 2+x+1<0”,则2:",10"P x R x x ⌝∀∈++≥【答案】C若p ∧q 为假命题,则p 、g 至少有一个为假命题,所以C 错误。

2013山东省高考数学(理科)模拟题及答案_3

2013山东省高考数学(理科)模拟题及答案_3

2013山东省高考数学(理科)模拟题3本试卷分第I 卷和第II 卷两部分,共4页。

满分150分。

考试用时120分钟。

考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项:1.答卷前,考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。

2.第I 卷每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。

3.第II 卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内的位置,不能写在试卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸、修正带。

不按以上要求作答的答案无效。

4.填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

参考公式:如果事件A B ,互斥,那么球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ,相互独立,那么 其中R 表示球的半径()()()B P A P B A P ⋅=⋅ 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ,那么 34π3V R =n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径()(1)(012)k k n kk n P k C p p k n -=-= ,,,, 第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分) 1、若复数iia 213++(i R a ,∈为虚数单位)是纯虚数,则实数a 的值为 A .6-B .2-C .4D .62、已知{}{}{}1,2,3,4,1,2,2,3U M N ===,则()N M C U ⋃=A .{}1,4B .{}1,3,4C .{}4D .{}23、如图,一个空间几何体的三视图如图所示,其中,主视图中ABC ∆是边长为2的正三角形,俯视图为正六边形,那么该几何体的体积为ABC .3D .324、已知}{n a 为等差数列,若π=++951a a a ,则)cos(82a a +的值为A .21-B .23-C .21D .235、“1m <”是“函数2()f x x x m =++有零点”的A .充分非必要条件B .充要条件C .必要非充分条件D .既不充分也不必要条件6、在边长为1的正三角形ABC 中,,BD xBA CE yCA ==,0,0x y >>,且1x y +=,则CD BE ⋅的最大值为A .58-B .38-C .32- D .34-7.已知,,,a b c d 是实数,且c d >.则“a b >”是“a c b d b c a d ⋅+⋅>⋅+⋅”的A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件8.半径为1的球面上有A 、B 、C 三点,其中点A 与B 、C 两点间的球面距离均为2π,B 、C 两点间的球面距离均为3π,则球心到平面ABC 的距离为A .1421 B .721 C .7212 D .7213 9.已知函数()2log ,2,22a x x f x bx x x +≥⎧⎪=⎨-<⎪-⎩(,a b 为常数),在R 上连续,则a 的值是 A .2B .1C .3D .410.定义在R 上的函数()f x 满足:,4)1()1(,1)()(=-⋅+=-⋅x f x f x f x f 当]1,0[∈x 时,)(x f 的值域为]2,1[,k a =()[]()min 2,22f x x k k k N ∈+∈,则01lim nn k ka →∞=∑=A .1B .32C .43 D .5411.已知A B P 、、是双曲线22221x y a b -=上的不同三点,且A B 、连线经过坐标原点,若直线PA PB 、的斜率乘积23PA PB k k ⋅=,则该双曲线的离心率e = ABCD12.抛掷一枚骰子,当它每次落地时,向上的点数称为该次抛掷的点数,可随机出现1到6点中的任一个结果,连续抛掷三次,将第一次,第二次,第三次抛掷的点数分别记为c b a ,,,求长度为c b a ,,的三条线段能构成等腰三角形的概率为A .1172B .2372C .2572D .2972第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4题,每小题4,共16分) 13、若f (x )在R 上可导,3)2(2)('2++=x f x x f ,则3()dx f x =⎰.14、设面积为S 的平面四边形的第i 条边的边长为(1,2,3,4)i a i =,P 是该四边形内一点,点P 到第i 条边的距离记为i h ,若k a a a a ====43214321,则()k S ih i i 241=∑=,类比上述结论,体积为V 的三棱锥的第i 个面的面积记为(1,2,3,4)i S i =,Q 是该三棱锥内的一点,点Q 到第个面的距离记为i d ,若431241,()1234i i S S S S k id =====∑则等于 。

山东省2013届高三高考模拟卷(二)理科数学含答案

山东省2013届高三高考模拟卷(二)理科数学含答案

山东省2013届高三高考模拟卷(二)数学(理科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,全卷满分150分,考试时间120分钟第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z 满足i i z +=-1)2(,那么复数z 的虚部为A .1B .1-C .iD .i -2.已知集合}1{2+==x y P ,},1|{2R x x y y Q ∈+==,=S },1|{2R x x y x ∈+=,},1|),{(2R x x y y x T ∈+==,=M }1|{≥x x ,则A .P=MB .Q=SC .S=TD .Q=M3.某日用品按行业质量标准分成五个等级,等级系数X 依次为1,2,3,4,5.现从一批该种日用品中随机抽取200件,对其等级系数进行统计分析,得到频率f 的分布表如下:则在所取的200件日用品中,等级系数X=1的件数为A .40B .20C .30D .604.若p :R x ∈∀,cos 1x ≤,则A .p ⌝:R x ∈∃0,0cos 1x >B .p ⌝:R x ∈∀,cos 1x >C .p ⌝:R x ∈∃0,0cos 1x ≥D .p ⌝:R x ∈∀,cos 1x ≥5.如图所示,已知向量BC AB 2=,a OA =,b OB =,c OC =,则下列等式中成立的是A .a b c 2123-=B .a b c -=2C .b a c -=2D .b a c 2123-= 6.如图,若程序框图输出的S 是254,则判断框①处应为A .5≤nB .6≤nC .7≤nD .8≤n7.在△ABC 中角A ,B ,C 的对边分别为c b a ,,,已知272cos 2sin 42=-+C B A ,且5=+b a ,7=c ,则△ABC 的面积为 A .233 B .23 C .43 D .433 8.已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数,当0≥x 时,m m x f x (3)(+=为常数),则函数)(x f 的大致图象为9.箱中装有标号为1,2,3,4,5,6且大小相同的6个球,从箱中一次摸出两个球,记下号码并放回,如果两球号码之积是4的倍数,则获奖.现有4人参与摸奖,恰好有3人获奖的概率是A .62516B .62596C .625624D .6254 10.设O 为坐标原点,点M 的坐标为(2,1),若点),(y x N 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥≤+-01221034y x x y x ,则使ON OM ⋅取得最大值的点N 有 A .1个 B .2个 C .3个 D .无数个11.若P 是双曲线1C :)0,0(12222>>=-b a by a x 和圆2C :2222b a y x +=+的一个交点且=∠12F PF 212F PF ∠,其中21F F 、是双曲线1C 的两个焦点,则双曲线1C 的离心率为A .13-B .13+C .2D .312.已知函数()|4|()f x x x x R =-∈,若存在正实数k ,使得方程k x f =)(在区间(2,+∞)上有两个根b a ,,其中a b <,则)(2b a ab +-的取值范围是A .)222,2(+B .)0,4(-C .)2,2(-D .)2,4(-第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填写在答题纸的相应位置.13.设dx x a ⎰=π0sin ,则曲线()2x f x xa ax =+-在点))1(,1(f 处的切线的斜率为__________.14.已知一个三棱锥的三视图如图所示,其中俯视图是等腰直角三角形,该三棱锥的外接球的半径为2,则该三棱锥的体积为_______.15.62)1)(1(++ax x 的展开式中各项系数的和为1458,则该展开式中2x 项的系数为_______.16.设函数⎩⎨⎧<+≥-=0),1(0],[)(x x f x x x x f ,其中][x 表示不超过x 的最大整数,如2]5.1[-=-,1]5.1[=,若直线)0)(1(>+=k x k y 与函数)(x f y =的图象有三个不同的交点,则k 的取值范围是__________.三、解答题:本大题共6个小题,共74分.解答应写文字说明、证明过程或演算步骤,把答案填写在答题纸的相应位置.17.(本小题满分12分) 已知函数13sin 322sin )(2++-=x x x f .(1)求)(x f 的最小正周期及其单调增区间:(2)当]6,6[ππ-∈x 时,求)(x f 的值域. 18.(本小题满分12分)如图,在三棱锥A-BCD 中,△ABD 和△BCD 是两个全等的等腰直角三角形,O 为BD 的中点,且AB=AD=CB=CD=2,AC=a .(1)当2=a 时,求证:AO ⊥平面BCD ;(2)当二面角C BD A --的大小为︒120时,求二面角D BC A --的正切值.19.(本小题满分12分)某批发市场对某种商品的日销售量(单位:吨)进行统计,最近50天的统计结果如下表:(1)计算这50天的日平均销售量;(2)若以频率为概率,且每天的销售量相互独立.①求5天中该种商品恰有2天的销售量为1.5吨的概率;②已知每吨该商品的销售利润为2万元,X 表示该种商品两天销售利润的和,求X 的分布列和数学期望.20.(本小题满分12分)已知等差数列}{n a 的首项11=a ,公差0>d ,且第2项、第5项、第14项分别是等比数列}{n b 的第2项、第3项、第4项.(1)求数列}{n a 、}{n b 的通项公式;(2)设数列}{n c 对任意的*N n ∈,均有12211+=+++n nn a b c b c b c 成立,求122013c c c +++ .21.(本小题满分13分)已知中心在原点的椭圆C :12222=+by a x 的一个焦点为)3,0(1F ,)0)(4,(>x x M 为椭圆C 上一点,1MOF ∆的面积为23. (1)求椭圆C 的方程;(2)是否存在平行于OM 的直线l ,使得直线l 与椭圆C 相交于A ,B 两点,且以线段AB 为直径的圆恰好经过原点?若存在,求出直线l 的方程;若不存在,请说明理由.22.(本小题满分13分)已知函数xk x x f +=ln )(,R k ∈. (1)若1=k ,求函数)(x f 的单调区间;(2)若xe xf -+≥12)(恒成立,求实数k 的取值范围; (3)设k x xf xg -=)()(,若对任意的两个实数21,x x 满足210x x <<,总存在00>x ,使得=')(0x g 2121)()(x x x g x g --成立,证明:10x x >.数学(理科)参考答案一、选择题:1.B 2.D3.B4.A5.A6.C7.A8.B9.B10.D11.B12.B二、填空题13.2ln 24+ 14.2 15.61 16.)31,41[三、计算题17.【解析】1)sin 21(32sin )(2+-+=x x x f ++=x x 2cos 32sin 1)32sin(21++=πx . (1)函数)(x f 的最小正周期ππ==22T . 由正弦函数的性质知,当223222πππππ+≤+≤-k x k , 即)(12125Z k k x k ∈+≤≤-ππππ时,函数)32sin(π+=x y 为单调增函数,所以函数)(x f 的单调增区间为]12,125[ππππ+-k k ,)(Z k ∈. (2)因为]6,6[ππ-∈x ,所以]32,0[32ππ∈+x ,所以∈+)32sin(πx ]1,0[, 所以]3,1[1)32sin(2)(∈++=πx x f ,所以)(x f 的值域为[1,3]. 18.【解析】(1)根据题意知,在△AOC 中,2==a AC ,2==CO AO ,所以222CO AO AC +=,所以AO ⊥CO .因为AO 是等腰直角E 角形ABD 的中线,所以AO ⊥BD . 又BD CO=O ,所以AO ⊥平面BCD .(2)法一 由题易知,CO ⊥OD .如图,以O 为原点,OC 、OD 所在的直线分别为x 轴、y 轴建立如图所示的空间直角坐标系xyz O -,则有O(0,0,0),)0,2,0(D ,)0,0,2(C ,)0,2,0(-B . 设)0)(,0,(000<x z x A ,则=OA ),0,(00z x ,)0,2,0(=. 设平面ABD 的法向量为),,(111z y x n =, 则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,0,0OD n OA n 即⎪⎩⎪⎨⎧==+.02,011010y z z x x 所以01=y ,令01z x =,则01x z -=. 所以),0,(00x z n -=.因为平面BCD 的一个法向量为)1,0,0(=m ,且二面角C BD A --的大小为︒120,所以=><|,cos |n m 21|120cos |=︒, 即21=,整理得20203x z =. 因为2||=OA ,所以22020=+z x , 解得220-=x ,260=z ,所以)26,0,22(-A , 设平面ABC 的法向量为),,(222z y x l =, 因为)26,2,22(-=BA ,)0,2,2(=, 则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,0,0BC l BA l 即⎪⎩⎪⎨⎧=+=++-.022,02622222222y x z y x 令12=x ,则12-=y ,32=z .所以)3,1,1(-=l .设二面角D BC A --的平面角为θ,则|,cos |cos ><=m l θ515|)3()1(13|222=+-+=.所以36tan =θ,即二面角D BC A --的正切值为36. 法二 在△ABD 中,BD ⊥AO ,在△BCD 中,BD ⊥CO ,所以∠AOC 是二面角C BD A --的平面角,即∠AOC=︒120. 如图,过点A 作CO 的垂线交CO 的延长线于点H ,因为BD ⊥CO ,BD ⊥AO ,且CO AO=O ,所以BD ⊥平面AOC .因为AH ⊂平面AOC ,所以BD ⊥AH .又CO ⊥AH ,且CO BD=O ,所以AH ⊥平面BCD .过点A 作AK ⊥BC ,垂足为K ,连接HK .因为BC ⊥AH ,AK AH=A ,所以BC ⊥平面AHK .因为HK ⊂平面AHK ,所以BC ⊥HK ,所以∠AKH 为二面角D BC A --的平面角.在△AOH 中,∠AOH=︒60,2=AO ,则26=AH ,22=OH , 所以223222=+=+=OH CO CH . 在Rt △CHK 中,∠HCK=︒45,所以232==CH HK . 在Rt △AHK 中,362326tan ===∠KH AH AKH , 所以二面角D BC A --的正切值为36. 19.【解析】(1)日平均销售量为55.150152255.110=⨯+⨯+(吨). (2)①日销售量为1.5吨的概率5.05025==p . 设5天中该商品有Y 天的销售量为1.5吨,则)5.0,5(~B Y , 所以==)2(Y P 165)5.01(5.03225=-⨯⨯C . ②X 的所有可能取值为4,5,6,7,8.又日销售量为1吨的概率为2.05010=,日销售量为2吨的概率为3.05015=,则 04.02.0)4(2===X P ;2.05.02.02)5(=⨯⨯==X P ;37.03.02.025.0)6(2=⨯⨯+==X P ;3.03.05.02)7(=⨯⨯==X P ;09.03.0)8(2===X P .所以X 的分布列为数学期望⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=83.0737.062.0504.04EX 2.609.0=.20.【解析】(1)由已知得d a +=12,d a 415+=,d a 13114+=,所以)131)(1()41(2d d d ++=+,解得0=d 或2=d .又因为0>d ,所以2=d .所以122)1(1-=⨯-+=n n a n .又322==a b ,953==a b ,所以等比数列}{n b 的公比33923===b b q , 所以1222333---=⨯==n n n n qb b . (2)由12211+=+++n nn a b c b c b c ①,得当2≥n 时, n n n a b c b c b c =+++--112211 ②, ①-②,得当2≥n 时,21=-=+n n n n a a b c ,所以≥⨯==-n b c n n n (32212).而1=n 时,211a b c =,所以31=c .所以⎩⎨⎧≥⨯==-2,321,31n n c n n . 所以122013c c c +++ 1220123232323=+⨯+⨯++⨯2013201320136233333313-⨯=+=-+=-. 21.【解析】(1)因为椭圆C 的一个焦点为)3,0(1F ,所以922+=a b ,则椭圆C 的方程为192222=++a y a x , 因为0>x ,所以233211=⨯⨯=∆x S MOF ,解得1=x . 故点M 的坐标为(1,4). 因为M(1,4)在椭圆上,所以1916122=++a a ,得09824=--a a , 解得92=a 或12-=a (不合题意,舍去),则18992=+=b .所以椭圆C 的方程为118922=+y x . (2)假设存在符合题意的直线l 与椭圆C 相交于),(11y x A ,),(22y x B 两点,其方程为m x y +=4(因为直线OM 的斜率)4=k , 由⎪⎩⎪⎨⎧=++=,1189,422y x m x y 消去y ,化简得01881822=-++m mx x . 进而得到18821m x x -=+,1818221-=⋅m x x . 因为直线l 与椭圆C 相交于A ,B 两点,所以0)18(184)8(22>-⨯⨯-=∆m m ,化简,得1622<m ,解得2929<<-m .因为以线段AB 为直径的圆恰好经过原点,所以0=⋅,所以02121=+y y x x .又221212121)(416)4)(4(m x x m x x m x m x y y +++=++=, 221212121)(417m x x m x x y y x x +++=++--=183218)18(1722m m 02=m , 解得102±=m . 由于)29,29(102-∈±,所以符合题意的直线l 存在,且所求的直线l 的方程为1024+=x y 或1024-=x y .22.【解析】(1)当1=k 时,函数)0(1ln )(>+=x xx x f , 则=')(x f 22111xx x x -=-. 当0)(<'x f 时,10<<x ,当0)(>'x f 时,>x 1,则函数)(x f 的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,)∞+. (2)x e x f -+≥12)(恒成立,即xe x k x -+≥+12ln 恒成立,整理得e x x x k -+-≥1ln 2恒成立. 设e x x x x h -+-=1ln 2)(,则x x h ln 1)(-=',令0)(='x h ,得e x =.当),0(e x ∈时,0)(>'x h ,函数)(x h 单调递增,当∈x ),(+∞e 时,0)(<'x h ,函数)(x h 单调递减,因此当e x =时,)(x h 取得最大值1,因而1≥k .(3)x x k x xf x g ln )()(=-=,1ln )(+='x x g .因为对任意的)0(,2121x x x x <<总存在00>x ,使得21210)()()(x x x g x g x g --='成立, 所以21210)()(1ln x x x g x g x --=+,即2122110ln ln 1ln x x x x x x x --=+, 即121221110ln 1ln ln ln ln x x x x x x x x x ----=-21122212ln ln x x x x x x x x --+-= 11ln212121--+=x x x x x x . 设t t t -+=1ln )(ϕ,其中10<<t ,则011)(>-='t t ϕ,因而)(t ϕ在区间(0,1)上单调递增,0)1()(=<ϕϕt ,又0121<-x x . 所以0ln ln 10>-x x ,即10x x >.。

山东省潍坊市2013年高三三模理科数学试题

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2013年高考模拟考试数学试题(理工农医类)2013.5本试卷共5页,分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分.共150分.考试时间120分钟.第I 卷(选择题 共60分)注意事项:1.答第I 卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2.每题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动,一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设i 是虚数单位,复数2a i i +-是纯虚数,则实数a= A.2-B.2C.12-D.122.已知集合{{},1,,,=A B m A B B m ==⋂=则A.0或1B.0或3C.1或3D.0或1或3 3.下列命题中,真命题是A.命题“若p ,则q.”的否命题是“若p ,则.q ⌝”B.命题2:10p x R x ∃∈+<,使得,则:p x R ⌝∀∈,使得210x +≥C.已知命题p 、q ,若“p q ∨”为假命题,则命题p 与q 一真一假D.a+b=0的充要条件是1ab=- 4.某校200名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是:[)[)50,60,60,70,[)[)[)70,80,80,90,90,100.则成绩在[]90,100内的人数为A.20B.15C.10D.55.函数()()2log 1f x x =+的图象大致是6.一个几何体的三视图如图所示,且其左视图是一个等边三角形,则这个几何体的体积为A.3122π+ B.9362π+C.9184π+D.364π+ 7.已知n x )2(+(其中*N n ∈)的展开式中含项的系数为14,则=nA.6B.7C.8D.98.已知,x y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤-+≥0041y kx y x x 所表示的平面区域是面积为1的直角三角形,则2z x y =-的最大值是A.5-B.2-C.1-D.19.已知ABC ∆内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ,若1cos ,2,sin 2sin ,4B bC A ===则ABC ∆的面积为A.6B.4 C.210.已知函数()312,16f x x x a a =-+≥其中,则下列说法正确的是 A.()f x 有且只有一个零点 B.()f x 至少有两个零点C.()f x 最多有两个零点D.()f x 一定有三个零点11.已知数列()*21n a n n N =-∈,把数列{}n a 的各项排列成如图所示的三角形数阵,记(),M s t 表示该数阵中第s 行从左到右第t 个数,则M (10,9)为A.55B.53C.109D.10712.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ,123P P P 、、是抛物线C 上的不同三点,且1FP 、2FP 、3FP 成等差数列,公差0d ≠,若点2P 的横坐标为3,则线段13PP 的垂直平分线与x 轴交点的横坐标是A.3B.5C.6D.不确定,与d 的值有关第Ⅱ卷(非选择题 共90分)注意事项:1.将第II 卷答案用0.5mm 的黑色签字笔答在答题纸的相应位置上.2.答卷前将密封线内的项目填写清楚.二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.13.过点(2,3)且以y =为渐近线的双曲线方程是________.14.设()f x 为定义在()3,3-上的奇函数,当()()230l o g 3,x f x x -<<=+时,()1f =_________. 15.运行如图所示的程序框图,输出的S 值为_______.16.如图,两座建筑物AB ,CD 的底部都在同一个水平面上,且AB 、CD 均与水平面垂直,它们的高度分别是9m 和15m ,从建筑物AB 的顶部A 看点D 的仰角为α,看点C 的俯角为β,已知45αβ+= ,则BC 的长度是__________m.三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)已知函数()()22sin cos 2f x x x x ππ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭. (Ⅰ)求函数()f x 的单调增区间; (Ⅱ)若3,2122f απα⎛⎫-=⎪⎝⎭是第二象限角,求cos 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.18.(本小题满分12分)如图,在几何体ABCDE 中,平面//,ABC BCD AE BD ABC ⊥∆平面,为边长等于2的正三角形,32=CD ,4=BD ,M 为CD 的中点.(Ⅰ)证明:平面ECD ⊥平面ABC ;(Ⅱ)求二面角M AB C --的大小.19.(本小题满分12分)已知数列{}n a 是一个公差大于零的等差数列,且362755,16a a a a =+=,数列{}n b 的前n 项和为,22n n n S S b =-且.(Ⅰ)求数列{}{},n n a b 的通项公式; (Ⅱ)设,n n na cb = n nc c c T +++= 21,试比较n T 与124+n n 的大小,并予以证明.20.(本小题满分12分)某校为组建校篮球队,对报名同学进行定点投篮测试,规定每位同学最多投3次,每次在A 或B 处投篮,在A 处投进一球得3分,在B 处投进一球得2分,否则得0分.每次投篮结果相互独立,将得分逐次累加并用X 表示.如果X 的值不低于3分就认为通过测试,立即停止投篮,否则继续投篮,直到投完为止.投篮方案有以下两种:方案1:先在A 处投一球,以后都在B 处投;方案2:都在B 处投篮.已知甲同学在处投篮的命中率为0.4,在处投篮的命中率为0.6.(Ⅰ)若甲同学选择方案1,求2=X 时的概率;(Ⅱ)若甲同学选择方案2,求X 的颁布列和期望.(Ⅲ)甲同学选择哪种方案通过测试有可能性更大?请说明理由.21.(本小题满分12分) 已知椭圆()222210x y C a b a b +=>>:C 的右焦点F 且倾斜角为45 的直线l 和椭圆C 交于A ,B 两点,且8||=AB .(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)对于椭圆C 上任一点M ,若,OM OA OB λμλμ=+ 求的最大值.22.(本小题满分14分) 定义:()[),k h x k x+∞若在上为增函数,则称()h x 为“k 次比增函数”,其中*k N ∈,已知ax e x f =)(. (Ⅰ)若()f x 是“1次比增函数”,求实数a 的取值范围; (Ⅱ)当21=a 时,求函数xx f x g )()(=在] ,1[m m -)0(>m 上的最小值. (Ⅲ)求证:e e i n i i 27)(11<⋅∑=.。

山东省2013届高三高考模拟卷(三)数学理(附答案)

山东省2013届高三高考模拟卷(三)数学理(附答案)

山东省2013届高三高考模拟卷(三)数学(理科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,全卷满分150分,考试时间120分钟第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.集合P={3,4,5},Q={6,7},定义},|),{(*Q b P a b a Q P ∈∈=,则Q P *的子集个数为A .7B .12C .32D .642.已知20<<a ,复数z 的实部为a ,虚部为1,则||z 的取值范围是 A .(1,5) B .(1,3) C .)5,1( D .)3,1( 3.若命题“p 或q ”与命题“非p ”都是真命题,则A .命题p 不一定是假命题B .命题q 一定是真命题C .命题q 不一定是真命题D .命题p 与命题q 同真同假4.已知数阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛333231232221131211aa aa a aa a a中,每行的3个数依次成等差数列,每列的3个数也依次成等差数列,若822=a ,则这9个数的和为A .16B .32C .36D .725.某几何体的三视图如右图所示,其中正视图是腰长为2的等腰三角形,侧视图是半径为1的半圆,该几何体的体积为A .63π B .33π C .23π D .π3 6.执行如右图所示的程序框图,如果输入的n 是4,则输出的p的值是 A.8 B .5 C .3 D .2 7.函数()cos(2)f x x x π=-的图象大致为8.连接球面上两点的线段称为球的弦,半径为4的球的两条弦AB 、CD 的长度分别为72、34,M 、N 分别为AB 、CD 的中点,每条弦的两端都在球面上运动,有下列四个命题:①弦AB 、CD 可能相交于点M ;②弦AB 、CD 可能相交于点N ;③MN 的最大值为5;④MN 的最小值为1.其中真命题的个数为A .1B .2C .3D .49.在直角坐标系中,若不等式组⎪⎩⎪⎨⎧--≤≤≥1)1(,2,0x k y x y y 表示一个三角形区域,则实数k 的取值范围是A .)1,(--∞B .),0(+∞C .),2()2,0(+∞D .),2()2,0()1,(+∞--∞ 10.将“你能HOlD 住吗”8个汉字及英文字母填人5×4的方格内,其中“你”字填入左上角,“吗”字填入右下角,将其余6个汉字及英文字母依次填入方格,要求只能横读或竖读成一句原语,如图所示为一种填法,则共有不同的填法种数是A.35B.15C.20D.7011.过抛物线)0(22>=p px y 的焦点F ,斜率为34的直线交抛物线于A ,B 两点,若)1(>=λλFB AF ,则λ的值为A .5B .4C .34 D .25 12.对任意实数y x ,,定义运算cxy by ax y x ++=*,其中c b a ,,为常数,等号右边的运算是通常意义的加、乘运算.现已知1*2=4,2*3=6,且有一个非零实数m ,使得对任意实数x ,都有x m x =*,则=mA .2B .3C .4D .5第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填写在答题纸的相应位置.13.若非零向量,满足||||=,0)2(=⋅+,则a 与b 的夹角为______. 14.已知26()k x x+(k 是正整数)的展开式中,常数项小于120,则=k _______. 15.若关于x 的不等式3|||1|>++-m x x 的解集为R ,则实数m 的取值范围是_______. 16.过双曲线的一个焦点的直线垂直于一条渐近线,且与双曲线的两支相交,则该双曲线离心率的取值范围是_________.三、解答题:本大题共6个小题,共74分.解答应写文字说明、证明过程或演算步骤,把答案填写在答题纸的相应位置.17.(本小题满分12分)已知函数1)sin (cos cos 2)(+-=x x x x f ,R x ∈. (1)求函数)(x f 的最小正周期;(2)求函数)(x f 在区间]43,8[ππ上的最小值与最大值.18.(本小题满分12分)某学校的一间功能室统一使用某种节能灯管,已知这种灯管的使用寿命ξ(单位:月)服从正态分布),(2σμN ,且使用寿命不少于12个月的概率为0.8,使用寿命不少于24个月的概率为0.2.(1)求这种灯管的平均使用寿命μ;(2)假设一间功能室一次性换上2支这种新灯管,使用12个月时进行一次检查,将已经损坏的灯管换下(中途不更换),设需要更换的灯管数为η,求η的分布列和数学期望. 19.(本小题满分12分)如图甲,△ABC 是边长为6的等边三角形,E ,D 分别为AB ,AC 靠近B ,C 的三等分点,点G 为BC 边的中点,线段AG 交线段ED 于点F .将△AED 沿ED 翻折,使平面AED ⊥平面BCDE ,连接AB ,AC ,AG ,形成如图乙所示的几何体.(1)求证:BC ⊥平面AFG ;(2)求二面角D AE B --的余弦值. 20.(本小题满分12分)已知常数0>p 且1=/p ,数列}{n a 的前n 项和)1(1n n a ppS --=,数列}{n b 满足121l o g -+=-n p n n a b b 且11=b .(1)求证:数列}{n a 是等比数列;(2)若对于在区间[0,1]上的任意实数λ,总存在不小于2的自然数k ,当k n ≥时,)23)(1(--≥n b n λ恒成立,求k 的最小值.21.(本小题满分13分)已知椭圆C :)0(12222>>=+b a b y a x 的长轴长为4,离心率22=e(1)求椭圆的方程;(2)设椭圆C 的左顶点为A ,右顶点为B ,点S 是椭圆C 上位于x 轴上方的动点,直线AS ,BS 与直线l :3=x 分别交于M ,N 两点,求线段MN 的长度的最小值.22.(本小题满分13分)已知函数⎩⎨⎧≥<+++-=)1(ln )1()(23x x a x c bx x x x f ,的图象过点)2,1(-,且在点))1(,1(--f 处的切线与直线-x 015=+y 垂直.(1)求实数c b ,的值;(2)求)(x f 在e e ](,1[-为自然对数的底数)上的最大值;(3)对任意给定的正实数a ,曲线)(x f y =上是否存在两点P ,Q ,使得△POQ 是以O 为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边的中点在y 轴上?山东省2013届高三高考模拟卷(三)数学(理科)参考答案一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.D 【解析】集合Q P *中的元素为(3,6),(3,7),(4,6),(4,7),(5,6),(5,7)共6个,故Q P *的子集个数为6426=.2.C 【解析】由于复数z 的实部为a ,虚部为1,且20<<a ,故由21||a z +=得5||1<<z . 3.B 【解析】由题可知“非p ”是真命题,所以p 是假命题,又因为“p 或q ”是真命题,所以q 是真命题.故选B .4.D 【解析】依题意得+++++++31232221131211a a a a a a a 3332a a +72933322322212==++=a a a a .5.B 【解析】由三视图可知该几何体是圆锥沿轴截面截成两部分,然后把截面放在平面上,底面相对接的图形(如图).圆锥的底面半径为1,母线长为2,故圆锥的高=h 31222=-.易知该几何体的体积就是整个圆锥体的体积,即3331313122πππ=⨯⨯=h r . 6.C 【解析】由题知,第一次进入循环,满足1<4,循环后1=p ,1=s ,1=t ,2=k ;第二次进入循环,满足2<4,循环后2=p ,=s 1,2=t ,3=k ;第三次进入循环,满足3<4,循环后3=p ,2=s ,3=t ,4=k ,因为4=4,不满足题意,所以循环结束.输出p 的值为3,选C .7.A 【解析】因为()cos(2)cos f x x x x x π=-=,)(cos )cos()()(x f x x x x x f -=-=--=-,所以函数x x x f cos )(=为奇函数,排除B ,C ;又因为当20π<<x 时,=)(x f 0cos >x x ,故选择A .8.C 【解析】设球的球心O 到直线AB 、CD 的距离分别为d d 、',利用勾股定理可求出3='d ,2=d ,所以CD 可以经过M ,而AB 不会经过N ,所以①正确,②不正确;又5='+d d ,1=-'d d ,所以③④正确.故选C .9.A 【解析】 由题意可知,直线1)1(--=x k y 过定点)1,1(-.当这条直线的斜率为负值时,如图1所示,若不等式组表示一个三角形区域,则该直线的斜率)1,(--∞∈k ;当这条直线的斜率为正值时,如图2所示,1)1(--≤x k y 所表示的区域是直线1)1(--=x k y 及其右下方的半平面,这个区域和另外两个半平面的交集是一个无界区域,不能构成三角形.因此k 的取值范围是)1,(--∞.10.A 【解析】要把6个汉字及英文字母依次填入6个方格中,按照规则分为两类:一类是4个字横向2个字纵向,有26C 种填法;另一类是3个字横向3个字纵向,有36C 种填法:所以共有3520153626=+=+C C 种填法.11.B 【解析】 根据题意设),(11y x A ,),(22y x B .由FB AF λ=得),2(),2(2211y p x y x p -=--λ,故21y y λ=-,即=λ21y y -.设直线AB 的方程为)2(34p x y -=,联立直线与抛物线方程,消元得02322=--p py y .故p y y 2321=+,=21y y 2p -,492)(122121221-=++=+y y y y y y y y ,即=+--21λλ49-.又1>λ,故4=λ.12.D 【解析】由定义可知,⎩⎨⎧=++==++=66323*24222*1c b a c b a ,解得⎩⎨⎧+=-=226c b ca ,又对任意实数x ,都有x m x =*,即++-=+++-=c x c cm cxm m c cx m x 2()6()22(6*x m =)2恒成立,则⎩⎨⎧=+=-0)22(16m c c cm ,解得⎩⎨⎧=-=51m c 或⎪⎩⎪⎨⎧=-=061m c (舍). 第Ⅱ卷13.︒120【解析】由题意得⋅=+⋅=⋅+22||22)2(a b b a b b a 0,cos 2=+><a b a ,所以21,cos ->=<b a ,所以,的夹角为︒120. 14.1【解析】二项展开式的通项为r rrr xk x C T )()(6261-+=rr r x k C 3126-=,令0312=-r ,得4=r ,故常数项为446k C ,由常数项小于120,即<446k C 120,得84<k .又k 是正整数,故1=k .15.),2()4,(+∞--∞ 【解析】由题意知,不等式+-|1|x 3||>+m x 恒成立,即函数|||1|)(m x x x f ++-=的最小值大于3,根据不等式的性质可得--≥++-)1(||||1|x m x x |1||)(+=+m m x ,故只要3|1|>+m 即可,所以31>+m 或31-<+m ,即得m 的取值范围是),2()4,(+∞--∞ .16. ),2(+∞【解析】不妨设双曲线的方程为)0,0(12222>>=-b a by a x ,焦点,(c F 0),渐近线x ab y =,则过点F 的直线方程为)(c x b ay --=,与双曲线联立,消去y 得02)(42244244=--+-b a c a a x a b α,由⎪⎩⎪⎨⎧<-->∆020444ab c a 得44a b >,即a b >,故2>e . 三、17.【解析】(1)1)sin (cos cos 2)(+-=x x x x f 1sin cos 2cos 22+-=x x x)432sin(2222sin 2cos π++=+-=x x x .(4分) 因此,函数)(x f 的最小正周期为π.(6分) (2)由题易知)432sin(22)(π++=x x f 在区间]83,8[ππ上是减函数, 在区间]43,83(ππ上是增函数,(8分) 又2)8(=πf ,22)83(-=πf ,3)43(=πf ,(10分)所以,函数)(x f 在区间]43,8[ππ上的最大值为3,最小值为22-.(12分) 18.【解析】(1)因为),(~2σμξN ,8.0)12(=≥ξP ,2.0)24(=≥ξP , 所以2.0)12(=<ξP ,显然)24()12(≥=<ξξP P .(3分) 由正态分布密度曲线的对称性可知,1822412=+=μ, 即这种灯管的平均使用寿命是18个月.(6分)(2)这种灯管的使用寿命少于12个月的概率为2.08.01=-. 由题意知,η的可能取值为0,1,2,(8分) 则64.08.02.0)0(22=⨯==C P η,⨯==1122.0)1(C P η32.08.01=,04.08.02.0)2(0222=⨯==C P η.(10分) 所以η的分布列为所以4.004.0232.0164.00=⨯+⨯+⨯=ηE .(12分)19.【解析】(1)在图甲中,由△ABC 是等边三角形,E ,D 分别为AB ,AC 的三等分点,点G为BC 边的中点,易知DE ⊥AF ,DE ⊥GF ,DE//BC .(2分)在图乙中,因为DE ⊥AF ,DE ⊥GF ,AF FG=F ,所以DE ⊥平面AFG . 又DE//BC ,所以BC ⊥平面AFG .(4分)(2)因为平面AED ⊥平面BCDE ,平面AED 平面BCDE=DE ,DE ⊥AF ,DE ⊥GF ,所以FA ,FD ,FG 两两垂直.以点F 为坐标原点,分别以FG ,FD ,FA 所在的直线为z y x ,,轴,建立如图所示的空间直角坐标系xyz F -.则)32,0,0(A ,)0,3,3(-B ,)0,2,0(-E ,所以)32,3,3(--=AB ,,1,3(-=BE 0).(6分) 设平面ABE 的一个法向量为),,(z y x n =.则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0BE n ,即⎪⎩⎪⎨⎧=+-=--0303233y x z y x ,取1=x ,则3=y ,1-=z ,则)1,3,1(-=n .(8分) 显然)0,0,1(=m 为平面ADE 的一个法向量, 所以55||||,cos =⋅>=<n m n m .(10分) 又由图知二面角D AE B --为钝角,所以二面角D AE B --的余弦值为55-.(12分) 20.【解析】(1)当2≥n 时,-----=-=-1(1)1(11ppa p p S S a n n n n )1-n a ,整理得1-=n n pa a .(3分) 由)1(1111a p p S a --==,得=1a 0>p ,则恒有0>=n n p a ,从而p a an n =-1.所以数列}{n a 为等比数列.(6分)(2)由(1)知nn p a =,则12log 121-==--+n a b b n P n n ,所以=+-++-+-=---112211)()()(b b b b b b b b n n n n n 222+-n n ,(8分)所以)23)(1(222--≥+-n n n λ,则+-+-n n n 5)23(2λ04≥在]1,0[∈λ时恒成立.记45)23()(2+-+-=n n n f λλ,由题意知,⎩⎨⎧≥≥0)1(0)0(f f ,解得4≥n 或1≤n .(11分)又2≥n ,所以4≥n .综上可知,k 的最小值为4.(12分) 21.【解析】(1)由题意得42=a ,故2=a ,(1分) 因为22==a c e ,所以2=c ,2)2(2222=-=b ,(3分) 所以所求的椭圆方程为12422=+y x .(4分) (2)依题意,直线AS 的斜率k 存在,且0>k ,故可设直线AS 的方程为)2(+=x k y ,从而)5,3(k M ,由⎪⎩⎪⎨⎧=++=124)2(22y x x k y 得+1(0488)22222=-++k x k x k .(6分)设),(11y x S ,则2212148)2(k k x +-=⨯-,得2212142k k x +-=,从而21214k ky +=, 即)214,2142(222k kk k S ++-,(8分)又由B(2,0)可得直线SB 的方程为22142202140222-+--=-+-k k x k k y , 化简得)2(21--=x ky , 由⎪⎩⎪⎨⎧=--=3)2(21x x k y 得⎪⎩⎪⎨⎧-==k y x 213,所以)21,3(k N -, 故|215|||kk MN +=,(11分) 又因为0>k ,所以102152215||=∙≥+=kk k k MN , 当且仅当k k 215=,即1010=k 时等号成立, 所以1010=k 时,线段MN 的长度取最小值10.(13分) 22.【解析】(1)当1<x 时,b x x x f ++-='23)(2,(2分)由题意,得⎩⎨⎧-=-'=-,5)1(,2)1(f f 即⎩⎨⎧-=+--=+-,523,22b c b 解得0==c b .(4分)(2)由(1),知⎩⎨⎧≥<+-=),1(ln ),1()(23x x a x x x x f (5分)①当11<≤-x 时,)23()(--='x x x f ,由0)(>'x f ,得320<<x ;由0)(<'x f ,得01<≤-x 或132<<x .所以)(x f 在)0,1[-和)1,32(上单调递减,在)32,0(上单调递增. 因为2)1(=-f ,274)32(=f ,0)0(=f ,所以)(x f 在)1,1[-上的最大值为2.②当e x ≤≤1时,x a x f ln )(=,当0≤a 时,0)(≤x f ;当0>a 时,)(x f 在],1[e 上单调递增.(7分)所以)(x f 在],1[e 上的最大值为a .所以当2≥a 时,)(x f 在],1[e -上的最大值为a ; 当2<a 时,)(x f 在],1[e -上的最大值为2.(8分)(3)假设曲线)(x f y =上存在两点P ,Q 满足题意,则P ,Q 只能在y 轴两侧, 因为△POQ 是以O 为直角顶点的直角三角形,所以0=∙OQ OP ,不妨设)0))((,(>t t f t P ,则由△POQ 斜边的中点在y 轴上知,(t Q -)23t t +,且 1≠t .所以0))((232=++-t t t f t .(*) 是否存在两点P ,Q 满足题意等价于方程(*)是否有解.若10<<t ,则23)(t t t f +-=,代入方程(*),得++-+-3232)((t t t t 0)2=t , 即0124=+-t t ,而此方程无实数解;当1>t 时,则t a t f ln )(=,代入方程(*),得0)(ln 232=+∙+-t t t a t ,即t t aln )1(1+=。

山东省2013届高三高考押题卷 理科数学试卷

山东省2013届高三高考押题卷 理科数学试卷

山东省2013届高三高考预测卷理科数学考试时间:120分钟 满分:150分本试卷分第I 卷和第Ⅱ卷两部分,共4页.满分150分.考试时间120分钟.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项:1.答题前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上.2.第I 卷每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.3.第II 卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效。

4.填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第Ⅰ卷(共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.复数2()1i i-(其中i 为虚数单位)的虚部等于( ) A .i - B . 1- C . 1 D .02.已知集合2{|03},{|540}M x x N x x x =<<=-+≥,则M N = ( ) A .{|01}x x <≤ B .{|13}x x ≤< C .{|04}x x <≤ D .{|0x x <或4}x ≥ 3.设p :log 2x <0,q :⎝⎛⎭⎫12x -1>1,则p 是q 的 ( ).A .充要条件B .充分不必要条件C .必要不充分条件D .既不充分也不必要条件4.已知函数4sin(2)y x π=-,则其图象的下列结论中,正确的是( ) A .关于点()8,1π-中心对称 B .关于直线8x π=轴对称C .向左平移8π后得到奇函数D .向左平移8π后得到偶函数5.我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中,有5架舰载机准备着舰,如果甲、乙两机必须相邻着舰,而丙、丁两机不能相邻着舰,那么不同的着舰方法有( )A .12B .18C .24D .486. 若直线10x y -+=与圆22()2x a y -+=有公共点,则实数a 取值范围是( )A .[-3,-1]B .[-1,3]C .[-3,l ]D .(-∞,-3] ⋃ [1.+∞)7.(2013青岛市一模)已知m 、n 、l 是三条不同的直线,α、β、γ是三个不同的平面,给出以下命题:①若,//m n αα⊂,则//m n ; ②若l m l n m ⊥=⋂⊥⊂⊂,,,,βαβαβα,则n m ⊥;③若//n m ,m α⊂,则//n α;④若//αγ,//βγ,则//αβ.其中正确命题的序号是( ) A. ②④ B. ②③ C. ③④ D. ①③8.已知抛物线y 2=4x 的准线过双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左顶点,且此双曲线的一条渐近线方程为y =2x ,则双曲线的焦距等于 ( ).A. 5 B .2 5 C. 3 D .2 39.(2013日照市一模)右图是一个几何体的正(主)视图和侧(左)视图,其俯视图是面积为.则该几何体的表面积是( )A.20+B.24+C.8D.1610. 已知函数()f x 是R 上的奇函数,若对于0x ≥,都有()2()f x f x +=,[)()()20,2,log 1x f x x ∈=+当时时,()()20132012f f -+的值为( )A.2-B.1-C.1D.2 11.函数y =e sin x (-π≤x ≤π)的大致图象为 ( ).12.定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下:对任意的a=(m ,n ),b=(p ,q ),令a ⊙b= mq-np ,下面说法错误的是( )A .若a 与b 共线,则a ⊙b =0B .a ⊙b =b ⊙aC .对任意的λ∈R ,有(λa )⊙b =λ(a ⊙b )D .(a ⊙b )2+(a·b )2= |a|2|b|2第Ⅱ卷(非选择题,共90分)二、填空题:本大题共4小题.每小题4分.共16分. 13.执行如右图的程序框图,那么输出S 的值是 . 14.(2013滨州市一模)设6sin (a xdx,π=⎰则二项式的展开式中的常数项等于 .15.某校对高三年级的学生进行体检,现将高三男生的体重(单位:kg)数据进行整理后分成六组,并绘制频率分布直方图(如图).已知图中从左到右第一、第六小组的频率分别为0.16,0.07,第一、第二、第三小组的频率成等比数列,第三、第四、第五、第六小组的频率成等差数列,且第三小组的频数为100,则该校高三年级的男生总数为16.给定方程:1()sin 102xx +-=,下列命题中:①该方程没有小于0的实数解;②该方程有无数个实数解;③该方程在(–∞,0)内有且只有一个实数解;④若0x 是该方程的实数解,则0x >–1.则正确命题是 . 三、解答题:本大题共6小题,共74分. 17.(2013济南市一模)(本题满分12分)已知)1,sin 32cos 2(x x +=,),(cos y x -=,且m n ⊥. (1)将y 表示为x 的函数)(x f ,并求)(x f 的单调增区间;(2)已知c b a ,,分别为ABC ∆的三个内角C B A ,,对应的边长,若()32Af =,且2=a ,4b c +=,求ABC ∆的面积.18.(本小题满分12分)(2013日照二模)“中国式过马路”存在很大的交通安全隐患.某调查机构为了解路人对“中国式过马路 ”的态度是否与性别有关,从马路旁随机抽取30名路人进行了问卷调查,得到了如下列联表:男性 女性 合计反感10 不反感8 合计 30 已知在这30人中随机抽取1人抽到反感“中国式过马路 ”的路人的概率是158.(Ⅰ)请将上面的列联表补充完整(在答题卡上直接填写结果,不需要写求解过程),并据此资料分析反感“中国式过马路 ”与性别是否有关?(Ⅱ)若从这30人中的女性路人中随机抽取2人参加一活动,记反感“中国式过马路”的人数为X ,求X 的分布列和数学期望.19.(本题满分12分)如图,在四棱锥P -ABCD 中,底面是边长为2 3的菱形,且∠BAD =120°,且P A ⊥平面ABCD ,P A =2 6,M ,N 分别为PB ,PD 的中点.(1)证明:MN ∥平面ABCD ;(2) 过点A 作AQ ⊥PC ,垂足为点Q ,求二面角A -MN -Q 的平面角的余弦值.20.(本小题满分12分)设数列{}n a 的前.n 项积..为n T ,且n n a T 22-= ()n N *∈. (Ⅰ)求证数列1n T ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列;(Ⅱ)设)1)(1(1+--=n n n a a b ,求数列{}n b 的前n 项和n S .21.(本小题满分13分)如图,设椭圆的中心为原点O ,长轴在x 轴上,上顶点为A ,左、右焦点分别为F 1,F 2,线段OF 1,OF 2的中点分别为B 1,B 2,且△AB 1B 2 是面积为4的直角三角形.(1)求该椭圆的离心率和标准方程;(2)过B 1作直线l 交椭圆于P ,Q 两点,使PB 2⊥QB 2,求直线l 的方程.22.(本小题满分13分)已知函数f (x )=-13x 3+a2x 2-2x (a ∈R ).(1)当a =3时,求函数f (x )的单调区间;(2)若对于任意x ∈[1,+∞)都有f ′(x )<2(a -1)成立,求实数a 的取值范围;(3)若过点⎝⎛⎭⎫0,-13可作函数y =f (x )图象的三条不同切线,求实数a 的取值范围.参考答案1.B【解析】2222222(1)i i i i i ===---,所以虚部为1-,故应选B . 2.A【解析】=⋂∴≥≤=≥--=N M x x x x x x N },41|{}0)1)(4(|{或{|01}x x <≤ 3.B【解析】依题意得,p :log 2x <0⇔0<x <1,q :⎝⎛⎭⎫12x -1>1⇔x <1,所以p ⇒q ,但q ⇒/p ,所以p 是q 的充分不必要条件,故选B. 4. C【解析】对于A :sin(2)sin 244y x x ππ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭-,其对称中心的纵坐标应为0,故排除A ;对于B :当8x π=时,y=0,既不是最大值1,也不是最小值-1,故可排除B ;对于C :sin(2)sin 244y x x ππ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭-,向左平移8π后得到:sin 2sin 284y x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦为奇函数,正确;可排除D .故选C .5. C【解析】分三步:把甲、乙捆绑为一个元素A ,有22A 种方法;A 与戊机形成三个“空”,把丙、丁两机插入空中有23A 种方法;考虑A 与戊机的排法有22A 种方法.由乘法原理可知共有22A 23A 22A 24=种不同的着舰方法.故应选C. 6. C【解析】因为直线10x y -+=与圆22()2x a y -+=有公共点,所以圆心(,0)a 到直线10x y -+=的距离+12d a =≤≤≤≤即,所以-3a 1。

山东省2013年高考数学预测试题1.pdf

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数学2013高考预测题1 选择题部分(共60分) 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.集合,则A.B.C. D. 2.已知,为虚数单位,且,则的值为A.4 B.4+4 C. D.2.下列判断错误的是A.”是ak0)0.100.0250.010K2.7065.0246.635平面ABCD,ABCD为正方形,,且E,F,G分别是线段PA、PD、CD的中点. (1)求证:PB平面EFG (2)在线段CD上是否存在一点Q,使得点A到平面EFQ的距离为0.8,若存在,求出CQ的长,若不存在,请说明理由。

21、已知是椭圆的两个焦点,O为坐标原点,点在椭圆上,线段与轴的交点M满足是以为直径的圆,一直线与 相切,并与椭圆交于不同的两点A,B (1)求椭圆的标准方程。

(2)当,且满足时,求△AOB的面积S的取值范围。

22、已知函数 (1)当时,求的单调区间 (2)设,当时,若对任意,存在,使,求实数的取值范围. 参考答案 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. BCDAB CACDA AD 二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分 13、1 14、2550 15. 1.1 (Ⅰ)是与2的等差中项, ∴ ① ………2分 ∴ ② 由①-②得 ………4分 再由 得 ∴ ………6分 。

∴ ……8分 (Ⅱ) ① 。

② ①-②得:,…… 10分 即:, ∴。

…………12分 18.(I)证明:因为四边形ABCD是菱形,所以AC⊥BD. 又因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥BD, 所以BD⊥平面PAC. (Ⅱ)()由(Ⅱ)知=(-1,,0). 设P(0,-,t)(t>0),则=(-1,-,t). 设平面PBC的法向量m=(x,y,z),则·m=0,·m=0. 所以令y=,则x=3,z=,所以m=. 同理,可求得平面PDC的法向量n=. 因为平面PBC⊥平面PDC,所以m·n=0,即-6+=0.解得t=.所以当平面PBC与平面PDC垂直时,PA=.解(Ⅰ)甲校抽取人,乙校抽取人,故x=6,y=7,(Ⅱ)估计甲校优秀率为≈18.2%,乙校优秀率为=40%.甲校乙校总计优秀非优秀总计()k2==6.109, 又因为6.109>5.024, 1-0.025=0.975, 故有97.5%的把握认为两个学校的数学成绩有差异连结OF,则四点共面, 平面 (2)由题意易得两两垂直,以分别为轴,轴,轴的正方向建立空间直角坐标系,假设在线段上,存在一点满足题意,则点的坐标可设为,设平面的法向量为则有 即 ,取 则,即 , 又 即在线段CD上存在一点Q满足题意,且CQ的长为 21、解(1)点M是线段的中点,是的中位线,又 解得: 椭圆的标准方程为: (2)圆O与直线相切,则,即 由 消去得 直线与椭圆交于两个不同点 设 则 ,=设 则 , 关于在上单调递增, 22、解:(1)=令 由 解得 1)当时,,恒成立,此时,函数在上单调递减 2)当时, 当时,,此时,函数单调递减 当时,,此时,函数单调递减 当时,,此时,函数单调递减 (2)因为由(1)知当时,函数单调递减 当时,函数单调递增 在上的最小值为 由于“对任意存在,使”等价于“在上的最小值不大于在上的最小值” 又,所以 1)当时,因为,此时矛盾 2)当时,因为,同样矛盾 3)当时,因为,解不等式 ,可得 综上所述,的取值范围是。

山东省济南市2013届高三3月高考模拟试题(数学理)(2013济南一模)

山东省济南市2013届高三3月高考模拟试题(数学理)(2013济南一模)

山东省济南市2013届高三3月高考模拟试题(数学理)(2013济南一模)(2013、03)本试题分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共6页. 考试时间120分钟.满分150分,考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.注意事项:1. 答题前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类写在答题卡和试卷规定的位置上.2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号,答案不能答在试卷上.3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置,不能写在试卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.4. 填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第I 卷(选择题 共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1.已知全集R U =,集合{}21x A x =>,{}2340B x x x =-->,则A B ⋂= A .{}0x x > B .{}10x x x <->或 C .{}4x x > D .{}14x x -≤≤2.已知复数231ii--(i 是虚数单位),它的实部和虚部的和是 A .4 B .6 C .2 D .33.某苗圃基地为了解基地内甲、乙两块地种植的同一种 树苗的长势情况,从两块地各随机抽取了10株树苗, 用茎叶图表示上述两组数据,对两块地抽取树苗的高度的平均数x x 甲乙、和中位数y y 甲乙、进行比较,下面 结论正确的是A .x x y y >>甲乙甲乙,B .x x y y <<甲乙甲乙,C .x x y y <>甲乙甲乙,D .x x y y ><甲乙甲乙, 4.已知实数y x ,满足1218y y x x y ≥⎧⎪≤-⎨⎪+≤⎩,则目标函数y x z-=的最小值为A .2-B .5C .6D .75.“1=a ”是“函数a x x f -=)(在区间[)2,+∞上为增函数”的 A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件6.函数()1ln f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象是A. B. C. D.7.阅读右边的程序框图,运行相应的程序,输出的结果为 A .1311B .2113C .813D .1388.二项式8(2x 的展开式中常数项是A .28B .-7C .7D .-28 9.已知直线0=++c by ax 与圆1:22=+y x O 相交于,A B 两点,且,3=AB 则OB OA ⋅ 的值是A .12- B .12C .34-D .010.右图是函数sin()()y A x x R ωϕ=+∈在区间5[,]66ππ-上的图象.为了得到这个函数的图象,只需将sin ()y x x R =∈的图象上所有的点A .向左平移3π个单位长度,再把所得各点的横坐标 缩短到原来的12倍,纵坐标不变 B .向左平移3π个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变 C .向左平移6π个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变D .向左平移6π个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变第7题图11.一个几何体的三视图如右图所示,则它的体积为 A .203B .403C .20D .4012.设235111111,,a dx b dx c dx xxx===⎰⎰⎰, 则下列关系式成立的是A .235a b c << B .325b a c<< C .523c a b << D .253a c b<<第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题:本大题共4个小题,每小题4分,共16分. 13.若点()1,1A 在直线02=-+ny mx 上,其中,0>mn 则nm 11+的最小值为 . 14.已知抛物线24y x =的焦点F 恰好是双曲线22221x y a b-=()0,0>>b a的右顶点,且渐近线方程为y =,则双曲线方程为 .(),,n f x =三、解答题:本大题共6小题,共74分. 17. (本题满分12分)已知)1,sin 32cos 2(x x m +=,),(cos y x n -=,且m n ⊥. (1)将y 表示为x 的函数)(x f ,并求)(x f 的单调增区间;第11题图第18题图AP(2)已知c b a ,,分别为ABC ∆的三个内角C B A ,,对应的边长,若()32A f =,且2=a ,4b c +=,求ABC ∆的面积.18.(本题满分12分)已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是等腰梯形,//,AB CD 且,AC BD ⊥O,AC BD 与交于,2,2PO ABCD PO AB CD ⊥===底面E F 、分别是AB AP 、的中点.(1)求证:AC EF ⊥;(2)求二面角F OE A --的余弦值.19. (本题满分12分)数列{}n a 的前n 项和为n S ,11a =,121n n a S +=+*()n N ∈,等差数列{}n b 满足353,9b b ==.(1)分别求数列{}n a ,{}n b 的通项公式; (2)设*22()n n n b c n N a ++=∈,求证113n n c c +<≤.20.(本题满分12分)某学生参加某高校的自主招生考试,须依次参加A 、B 、C 、D 、E 五项考试,如果前四项中有两项不合格或第五项不合格,则该考生就被淘汰,考试即结束;考生未被淘汰时,一定继续参加后面的考试。

山东省济宁市2013届高三3月模拟考试理科数学试卷

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山东省济宁市2013届高三3月模拟考试数学(理工类)试题 2013.03参考公式:如果事件A 、B 互斥,那么P(A+B)=P(A)+P(B). 如果事件A 、B 独立,那么P(A·B)=P(A)·P(B).第I 卷(选择题共60分)一、选择题:本大题共l2小题.每小题5分。

共60分.在每小题给出的四个选项中。

只有一项是符合题目要求的. 1.复数21i z ()i=-,则复数1z +在复平面上对应的点位于 A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限2.已知全集U=R ,集合A={21y |y ln(x ),x R =+∈},集合B={21x ||x |-≤},则如图所示的阴影部分表示的集合是A .{01>3x |x x ≤<或}B .{|0<1x x ≤}C .{|>3x x }D .{|13x x ≤≤} 3.下列命题中正确的有①设有一个回归方程 y =2—3x ,变量x 增加一个单位时,y 平均增加3个单位; ②命题P :“2000,--1>0x R x x ∃∈”的否定⌝P :“,102x R x -x-∀∈≤”; ③设随机变量X 服从正态分布N(0,1),若P(X>1)=p ,则P(-1<X<0)=12-p ; ④在一个2×2列联表中,由计算得k 2=6.679,则有99%的把握确认这两个变量间有关系. A .1个 B .2个 C .3个 D .4个4.平面四边形ABCD 中+=0,(-)=0AB CD AB AD AC ,则四边形ABCD 是A .矩形B .正方形C .菱形D .梯形5.已知()f x 是定义在R 上的奇函数,若对于x ≥0,都有f (x +2)=()f x ,且当[0,2]x ∈时,()=-1x f x e ,则(2013)+(-2014)f f =A .1-eB .e-1C .-l-eD .e+l6.如果右边程序框图的输出结果是6,那么在判断框中①表示的“条件”应该是A .i≥3B .i≥4C .i≥5D .i≥67.设x ,y 满足约束条件23-1+1x x y y x ≥⎧⎪≥⎨⎪≥⎩,若目标函数=+(>0,>0)z ax by a b 的最小值为2,则ab 的最大值为 A .1 B .12 C .14 D .168.已知m ,n 是空间两条不同的直线,,,αβγ是三个不同的平面,则下列命题正确的是A .若//αβ,m α⊂,n β⊂,则//m nB .若=,=,//m n m n αγβγ ,则//αβC .若,,m βαβ⊂⊥则m α⊥D .若,//,m m βα⊥则αβ⊥9.某大学的8名同学准备拼车去旅游,其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名,分乘甲、乙两辆汽车。

山东省2013届高三高考模拟卷(一)数学理

山东省2013届高三高考模拟卷(一)数学理

山东省2013届高三高考模拟卷数学(理科)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.把复数z 的共轭复数记作z ,i 为虚数单位,若i z +=1,则(2)z z +⋅=A .42i -B .42i +C .24i +D .4 2.已知集合}6|{2--==x x y x A ,集合12{|log ,1}B x x a a ==>,则A .}03|{<≤-x xB .}02|{<≤-x xC .}03|{<<-x xD .}02|{<<-x x 3.从某校高三年级随机抽取一个班,对该班50名学生的高校招生体检表中的视力情况进行统计,其频率分布直方图如图所示:若某高校A 专业对视力的要求在0.9以上,则该班学生中能报A 专业的人数为A .10B .20C .8D .16 4.下列说法正确的是A .函数xx f 1)(=在其定义域上是减函数 B .两个三角形全等是这两个三角形面积相等的必要条件C .命题“R x ∈∃,220130x x ++>”的否定是“R x ∈∀,220130x x ++<” D .给定命题q p 、,若q p ∧是真命题,则p ⌝是假命题 5.将函数x x x f 2sin 2cos )(-=的图象向左平移8π个单位后得到函数)(x F 的图象,则下列说法中正确的是A .函数)(x F 是奇函数,最小值是2-B .函数)(x F 是偶函数,最小值是2-C .函数)(x F 是奇函数,最小值是2-D .函数)(x F 是偶函数,最小值是2-6.已知点),(y x P 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+,1,,4x x y y x 过点P 的直线与圆1422=+y x 相交于A ,B 两点,则AB 的最小值为 A .2 B .62 C .52 D .47.一个几何体的三视图如图所示,其正视图和侧视图都是底边长分别为2和4,腰长为4的等腰梯形,则该几何体的侧面积是A .π6B .π12C .π18D .π24 8.执行如图所示的程序框图,若输入5=p ,6=q ,则输出a ,i 的值分别为A .5,1B .30,3C .15.3D .30.69.若双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一个焦点到一条渐近线的距离等于其焦距的41,则该双曲线的渐近线方程是A .02=±y xB .02=±y xC .03=±y xD .03=±y x10.我们定义若函数)(x f 为D 上的凹函数须满足以下两条规则:(1)函数在区间D 上的任何取值有意义;(2)对于区间D上的任意n 个值n x x x ,,,21 ,总满足)()()()(2121n x x x nf x f x f x f n n +++≥+++ ,那么下列四个图象中在]2,0[π上满足凹函数定义的是11.若2013(2)x -220130122013a a x a x a x =++++ ,则02420121352013a a a a a a a a ++++=++++A .201320133131+-B .201320133131+--C .201220123131+-D .201220123131+--12.已知c b a ,,为互不相等的三个正实数,函数)(x f 可能满足如下性质:①)(a x f -为奇函数;②)(a x f +为奇函数;③)(b x f -为偶函数;④)(b x f +为偶函数;⑤()()f x c f c x +=-.类比函数2013sin y x =的对称中心、对称轴与周期的关系,某同学得到了如下结论:(i)若满足①②,则)(x f 的一个周期为4a ;(ii)若满足①③;则)(x f 的一个周期为||4b a -;(iii)若满足③④,则)(x f 的一个周期为||3b a -;(iv)若满足②⑤;则)(x f 的一个周期为||4c a +. 其中正确结论的个数为( ). A .1 B .2 C .3 D .4二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填写在答题纸的相应位置. 13.已知向量)3,2(=a ,)2,1(=b ,且b a ,满足)()(b a b a -⊥+λ,则实数=λ_______. 14.对任意的实数R x ∈,不等式01||2≥++x a x 恒成立,则实数a 的取值范围是________. 15.由直线02=-+y x ,曲线3x y =以及x 轴围成的封闭图形的面积为________.16.如图放置的边长为2的正方形PABC 沿x 轴滚动.设顶点),(y x P 的轨迹方程是)(x f y =,则)(x f y =在其两个相邻零点间的图象与x 轴所围成的区域的面积为______.三、解答题:本大题共6个小题,共74分.解答应写文字说明、证明过程或演算步骤,把答案填写在答题纸的相应位置. 17.(本小题满分12分)在△ABC 中,三个内角分别为A ,B ,C ,已知4π=A ,54cos =B . (1)求cosC 的值;(2)若BC=10,D 为AB 的中点,求CD 的长. 18.(本小题满分12分)如图,矩形ABCD 和梯形BEFC 所在平面互相垂直,BE//CF ,BC ⊥CF ,3=AD ,EF=2,BE=3,CF=4.(1)求证:EF ⊥平面DCE ;(2)当AB 的长为何值时,二面角C EF A --的平面角的大小为︒60.19.(本小题满分12分)为迎接2013年“两会”(全国人大3月5日-3月18日、全国政协3月3日-3月14日)的胜利召开,某机构举办猜奖活动,参与者需先后回答两道选择题,问题A 有四个选项,问题B 有五个选项,但都只有一个选项是正确的,正确回答问题A 可获奖金m 元,正确回答问题B 可获奖金n 元.活动规定:参与者可任意选择回答问题的顺序,如果第一个问题回答错误,则该参与者猜奖活动中止.假设一个参与者在回答问题前,对这两个问题都很陌生,试确定哪种回答问题的顺序能使该参与者获奖金额的期望值较大. 20.(本小题满分12分)已知数列}{n a 的前n 项和为n S ,且满足332412++=n n S n ,数列*)}({log 3N n b n ∈为等差数列,且31=b ,273=b .(1)求数列}{n a 与}{n b 的通项公式; (2)若125-=n n a c ,n n n c b c b c b c b T ++++= 332211,求n T 的值. 21.(本小题满分13分)已知椭圆C :)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为21,以原点为圆心,以椭圆的短半轴长为半径的圆与直线06=+-y x 相切.(1)求椭圆C 的方程;(2)设P(4,0),A ,B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点,连接PB 交椭圆C 于另一点E ,证明:直线AE 与x 轴相交于定点Q ;(3)在(2)的条件下,设过点Q 的直线与椭圆C 交于M ,N 两点,求ON OM ⋅的取值范围. 22.(本小题满分13分)已知函数⎩⎨⎧≥<+++-=)1(ln )1()(23x x a x c bx x x x f ,的图象过点)2,1(-,且在点))1(,1(--f 处的切线与直线-x 015=+y 垂直.(1)求实数c b ,的值;(2)求)(x f 在e e ](,1[-为自然对数的底数)上的最大值;(3)对任意给定的正实数a ,曲线)(x f y =上是否存在两点P ,Q ,使得△POQ 是以O 为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边的中点在y 轴上?山东省2013届高三高考模拟卷数学(理科)参考答案一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.A 【解析】由i z +=1得z z ⋅+)1((3)(1)i i =+-=31342i i i +-+=-.2.D 【解析】由题意得集合2|{-≤=x x A 或}3≥x ,故}32|{<<-=x x ,又集合}0|{<=x x B ,所以}02|{<<-=x x .3.B 【解析】该班学生视力在0.9以上的频率为4.02.0)25.075.01(=⨯++,故该班50名学生中能报A 专业的人数为20504.0=⨯.4.D 【解析】由减函数的定义易知xx f 1)(=在其定义域上不是减函数,A 错;两个三角形全等是这两个三角形面积相等的充分条件,B 错;命题“R x ∈∃,220130x x ++>”的否定是“R x ∈∀,220130x x ++≤”,C 错;由q p ∧是真命题可知p 和q 都是真命题,故p ⌝一定是假命题,D 正确,选D .5.C 【解析】由题易得)42cos(2)(π+=x x f ,将)(x f 的图象向左平移8π个单位后,得=++=]4)8(2cos[2)(ππx x F x x 2sin 2)22cos(2-=+=π的图象,易知)(x F 为奇函数,最小值为2-,故选C .6.D 【解析】当P 点同时满足(1)P 为AB 的中点;(2)P 点到D 点的距离最线大时,AB 取得最小值.P 点的可行域如图所示,因为直线x y =和直+x 4=y 垂直,故P 点的坐标是(1,3)时,OP 最大.易知此时AB=4,故选D . 7.B 【解析】结合三视图可知该几何体是一个圆台,其上,下底面的半径分别为2,1,其直观图如图所示.则该几何的侧面积⨯=2(πS π12)414=⨯+.8.D 【解析】执行程序框图可知,当1=i 时,15⨯=a ;当2=i 时,25⨯=a ;…;当6=i 时,65⨯=a ,即a 能被q 整除,退出循环,输出i a ,的值分别为30,6.9.C 【解析】由双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的对称性可取其一个焦点)0,(c 和一条渐近线x a b y =,则该点到该渐近线的距离为b ab c a b=+-⨯221|0|,而412=c b ,因此c b 21=,=-=22b c a c 23,所以33=a b ,因此双曲线的渐近线方程为03=±y x . 10.A 【解析】要判断是不是凹函数,需要先明确凹函数的定义,由定义的第一点可以排除D ,在A 、B 、C 这三个选项中可以考虑特值法,取01=x ,22π=x ,则显然选项B 、C 不满足)2(2)()(2121x x f x f x f +>+,故选A . 11.B 【解析】令1=x 得01234520131a a a a a a a +++++++= ①, 令1-=x 得201301234520133a a a a a a a -+-+-+-= ②,由①②联立,可得2012420a a a a ++++ 2013312+=,++31a a 52013a a ++ 2013132-=,从而02420121352013a a a a a a a a ++++++++ 20132013312132+=-201320133131+=--. 12.B 【解析】由2013sin y x =的图象知,两相邻对称中心的距离为2T 两相邻对称轴的距离为2T ,对称中心与距其最近的对称轴的距离为4T,若满足①②,则)(x f 的两个相邻对称中心分别为)0,(a ,)0,(a -,从而有a a a T2)(2=--=,即a T 4=;若满足①③,则)(x f 的对称轴为b x =,与对称轴相邻的对称中心为)0.(a ,有||4b a T-=,即||4b a T -=;若满足③④,则)(x f 的两个相邻的对称轴为b x -=和b x =,从而有=--=)(2b b Tb 2,即b T 4=;若满足②⑤,则)(x f 的对称中心为)0,(a -,与其相邻的对称轴为c x =,从而有()4Tc a a c =-+=-,即=T 4||a c -.故只有(iii)(iv )错误.二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填写在答题纸的相应位置.13.35-【解析】由)3,2(=,)2,1(=,得++=+3,2(λλ)2λ,)1,1(=-,因为)()(b a b a -⊥+λ,所以0)()(=-∙+b a b a λ,即01)23(1)2(=⨯++⨯+λλ,解得35-=λ.14.),2[+∞-【解析】当0=x 时,R a ∈;当0=/x 时,原不等式变形可得)||1|(|x x a +-≥,因为2||1||≥+x x (当且仅当1||=x 时,等号成立),所以2)||1|(|-≤+-x x ,即)||1|(|x x +-的最大值是2-,所以2-≥a .15.43【解析】由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-+302xy y x ,解得直线02=-+y x 和曲线3x y =的交点坐标是(1,1),结合图形可知,由直线02=-+y x ,曲线3x y =以及x 轴围成的封闭图形的面积为=-+⎰⎰dx x dx x )2(2113104|41x 212|)212(x x -+432141=+=. 16.44π+【解析】由于本题是求两个相邻零点问的图象与x 轴所围成的区域的面积,所以为了简便,可以直接将P 点移到原点,开始运动,如图所示,当P 点第一次回到x 轴时经过的曲线是三段相连的圆弧,它与x 轴围成的区域面积为2221112[22]244444ππππ⨯⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯=+(.三、解答题:本大题共6个小题,共74分.解答应写文字说明、证明过程或演算步骤,把答案填写在答题纸的相应位置.17.【解析】(1)因为54cos =B ,且),0(π∈B ,=-=B B 2cos 1sin 53,则)cos(cos B A C --=π+=-=B B cos 43cos )43cos(ππB sin 43sin π 10253225422-=⨯+⨯-=. (2)由(1)可得=∠-=∠ACB ACB 2cos 1sin 1027)102(12=--=. 由正弦定理得ACB ABA BC ∠=sin sin ,即10272210AB =,解得AB=14.因为在△BCD 中,721==AB BD ,⋅⋅-+=BD BC BD BC CD 222237541072107cos 22=⨯⨯⨯-+=B , 所以37=CD . 18.【解析】(1)由题易知在△BCE 中,3==AD BC ,BE=3, 所以3222=+=BE BC EC ,又在△FCE 中,==162CF 22CE EF +,所以 EF ⊥CE , 因为平面ABCD ⊥平面EFCB ,DC ⊥BC ,所以DC ⊥平面EFCB , 又EF ⊂平面EFCB ,所以DC ⊥EE ,又DC EC=C ,所以EF ⊥平面DCE .(2) 法一过点B 作BH ⊥EF 交FE 的延长线于点H ,连接AH . 由平面ABCD ⊥平面BEFC ,又平面ABCD 平面BEFC=BC ,AB ⊥BC ,所以AB ⊥平面BEFC ,从而AB ⊥EF ,又因为BH ⊥EF ,BH AB=B ,所以EF ⊥平面ABH . 又AH ⊂平面ABH ,所以EF ⊥AH ,所以∠AHB 为二面角C EF A --的平面角. 在Rt △CEF 中,因为EF=2,CF=4,所以∠CFE=︒60,因为BE ∥CF ,所以∠BEH=∠CFE=︒60. 又在Rt △BHE 中,BE=3,所以233233sin =⨯=∠⋅=BEH BE BH , 由二面角C EF A --的平面角的大小为︒60,得∠AHB=︒60, 在Rt △ABH 中,解得293233tan =⨯=∠⋅=AHB BH AB . 所以当29=AB 时,二面角C EF A --的平面角的大小为︒60. (2)法二 由题知,平面ABCD ⊥平面BEFC ,又平面ABCD 平面BEFC=BC ,DC ⊥BC ,则DC ⊥平面BEFC .又CF ⊥BC ,则BC ,CD ,CF 两两垂直,以点C 为坐标原点,CB ,CF 和CD 所在直线分别作为x 轴,y 轴和z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系xyz C -.设)0(>=a a AB ,则)0,0,0(C ,),0,3(a A ,)0,0,3(B ,)0,3,3(E ,)0,4,0(F , 从而)0,1,3(-=EF ,),3,0(a AE -=.设平面AEF 的法向量为),,(z y x n =,由0=⋅n EF ,=⋅n AE 0得,⎩⎨⎧=-=+-0303az y y x ,取1=x ,则3=y ,az 33=, 即平面AEF 的二个法向量为)33,3,1(an =. 不妨设平面EFCB 的法向量为),0,0(a BA =, 由条件,得||,cos |BA n =><21274332=+=a ,解得29=a .所以当29=AB 时,二面角C EF A --的平面角的大小为︒60. 19.【解析】该参与者随机猜对问题A 的概率411=P , 随机猜对问题B 的概率512=P .回答问题的顺序有两种,分别讨论如下:①先回答问题A ,再回答问题B ,参与者获奖金额ξ的可能取值为n m m +,,0,则431)0(1=-==P P ξ, =⨯=-==5441)1()(21P P m P ξ51, 2015141)(21=⨯==+=P P n m P ξ. 数学期望204201)(51430nm n m m E +=⨯++⨯+⨯=ξ.②先回答问题B ,再回答问题A ,参与者获奖金额η的可能取值为n m n +,,0,则541)0(2=-==P P η, =⨯=-==4351)1()(12P P n P ξ203, 2014151)(12=⨯==+=P P n m P η. 数学期望520201)(203540nm n m n E +=⨯++⨯+⨯=η.2034)520()204(n m n m n m E E -=+-+=-ηξ. 于是,当43>n m 时,ηξE E >,即先回答问题A ,再回答问题B ,参与者获奖金额的期望值较大;当43=n m 时,ηξE E =,无论是先回答问题A ,再回答问题B ,还是先回答问题B ,再回答问题A ,参与者获奖金额的期望值相等;当43<n m 时,ηξE E <,即先回答问题B ,再回答问题A ,参与者获奖金额的期望值较大. 20.【解析】(1)由题意得1247332411=++=a ,当2≥n 时,1--=n n n S S a ---++=22)1(4133241n n n 12523)1(32+=--n n ,又1247121112521=/=+,所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+==.2,1252,1,1247n n n a n 设等差数列}{log 3n b 的公差为d .由31=b ,273=b , 可得27log 3log )3(log 2333+=+d ,解得1=d . 所以+=3log log 33n b n n =⨯-1)1(,所以nn b 3=.(2)由(1)得,当1=n 时,2712511=-=a c ,当2≥n 时,=n c 2n , 所以当1=n 时,221273111=⨯==c b T ;当2≥n 时,n n n c b c b c b c b T ++++= 3322112323322327332n n ⨯++⨯+⨯+⨯=)33323(2122132n n ⨯++⨯+⨯+=. 记n Q nn ⨯++⨯+⨯=3332332, ①n n Q n n n ⨯+-⨯++⨯+⨯=+1433)1(333233 ,②①-②得n Q n nn ⨯-+++⨯=-+132333232 --⨯+=-2)13(27182n n n ⨯+13,故234273911n Q n n n ⨯+---=++, 则)2342739(2122111n T n n n ⨯+---⨯+=++)2(8753)12(1≥+⨯-=+n n n . 因为221875312=+⨯,所以=n T 8753)12(1+⨯-+n n . 21.【解析】(1)由题意知21==a c e ,所以41222222=-==a b a a c e ,即2234b a =. 又因为以原点为圆心,以椭圆的短半轴长为半径的圆222b y x =+,与直线06=+-y x 相切,所以=b 3)1(1622=-+, 所以42=a ,32=b ,故椭圆C 的方程为13422=+y x . (2)由题意知直线PB 的斜率存在且不为0,则直线PB 的方程为)4(-=x k y . 由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=,134),4(22y x x k y 得0126432)34(2222=-+-+k x k x k . ① 设点),(11y x B ,),(22y x E ,则),(11y x A -.由题意知直线AE 的斜率存在,则直线AE 的方程为)(212122x x x x y y y y -++=-. 令0=y ,得121222)(y y x x y x x +--=,将)4(11-=x k y ,-=22(x k y 4)代入整理得 8)(42212121-++-=x x x x x x x . ② 由①式利用根与系数的关系得34322221+=+k k x x ,=21x x 34126422+-k k , 代入②式整理得1=x .所以直线AE 与x 轴相交于定点Q(1,0).(3)当过点Q 的直线MN 的斜率存在时,设直线MN 的方程为)1(-=x m y ,),(M M y x M ,),(N N y x N . 由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=,134),1(22y x x m y 得01248)34(2222=-+-+m x m x m , 易知0)1(144)124)(34(4)8(22222>+=-+--=∆m m m m , 由根与系数的关系知34822+=+m m x x N M ,3412422+-=m m x x N M , 则=N M y y 349]1)([)1()1(222+-=++-=-⋅-m m x x x x m x m x m N M N M N M , 则N M N M y y x x ON OM +=⋅)34(4334534125222+--=++-=m m m , 因为02≥m ,所以0)34(4334112<+-≤-m ,所以--≤-45445)34(4332-<+m , 所以)45,4[--∈⋅ON OM .当过点Q 的直线MN 的斜率不存在时,其方程为1=x ,代入椭圆方程得23±=y ,不妨设)23,1(M ,)23,1(-N ,此时⋅OM 45-=ON . 综上所述,ON OM ⋅的取值范围是]45,4[--.22.【解析】(1)当1<x 时,b x x x f ++-='23)(2,由题意,得⎩⎨⎧-=-'=-,5)1(,2)1(f f 即⎩⎨⎧-=+--=+-,523,22b c b 解得0==c b . (2)由(1),知⎩⎨⎧≥<+-=),1(ln ),1()(23x x a x x x x f ①当11<≤-x 时,)23()(--='x x x f ,由0)(>'x f ,得320<<x ;由0)(<'x f ,得01<≤-x 或132<<x .所以)(x f 在)0,1[-和)1,32(上单调递减,在)32,0(上单调递增. 因为2)1(=-f ,274)32(=f ,0)0(=f ,所以)(x f 在)1,1[-上的最大值为2.②当e x ≤≤1时,x a x f ln )(=,当0≤a 时,0)(≤x f ;当0>a 时,)(x f 在],1[e 上单调递增.所以)(x f 在],1[e 上的最大值为a .所以当2≥a 时,)(x f 在],1[e -上的最大值为a ;当2<a 时,)(x f 在],1[e -上的最大值为2.(3)假设曲线)(x f y =上存在两点P ,Q 满足题意,则P ,Q 只能在y 轴两侧,因为△POQ 是以O 为直角顶点的直角三角形,所以0=∙,不妨设)0))((,(>t t f t P ,则由△POQ 斜边的中点在y 轴上知,(t Q -)23t t +,且 1≠t .所以0))((232=++-t t t f t .(*) 是否存在两点P ,Q 满足题意等价于方程(*)是否有解.若10<<t ,则23)(t t t f +-=,代入方程(*),得++-+-3232)((t t t t 0)2=t ,即0124=+-t t ,而此方程无实数解;当1>t 时,则t a t f ln )(=,代入方程(*),得0)(ln 232=+∙+-t t t a t ,即t t aln )1(1+=, 设)1(ln )1()(≥+=x x x x h ,则011ln )(>++='xx x h 在),1[+∞上恒成立, 所以)(x h 在),1[+∞上单调递增,从而0)1()(=≥h x h ,即)(x h 的值域为),0[+∞.因为1>t ,所以t t t h ln )1()(+=的值域为),0(+∞,所以当0>a 时,方程t t aln )1(1+=有解,即方程(*)有解. 所以对任意给定的正实数a ,曲线)(x f y =上总存在两点P ,Q ,使得△POQ 是以O 为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边的中点在y 轴上.。

山东省2013年高考数学预测试题14

山东省2013年高考数学预测试题14

数学2013高考预测题14本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

共150分,考试时间120分钟。

参考公式:如果事件A 、B 互斥,那么P (A +B )=P (A )+P (B ). 如果事件A 、B 相互独立,那么P (A·B)=P (A )·P(B ).如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ,那么它在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率()(1)k n k n n P k C P -=-球的表面积公式24S R π=,球的体积公式343V R π=,其中R 表示球半径。

第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题:本大题共12小题,每个小题5分,共60分。

在每个小题给出的四个选项中,有一项是符合题目要求的。

1.设全集{}{}U 2,1,0,1,2,3,M 0,1,2=--=,{}N 0,1,2,3=,则N M C U ⋂)(A .{}0,1,2B .{}2,1,3--C .{}0,3D .{}32.已知复数12z 2i,z 1ai,a R =+=-∈,若12z z z =⋅在复平面上对应的点在虚轴上,则a 的值是A .2-B .12C .2D .12-3.下列命题正确的是 A .2000x R ,x 2x 30∃∈++=B .3x N ,x ∀∈>x 2C .x >1是x 2>1的充分不必要条件D .若a >b ,则a 2>b 24.点P 在边长为1的正方形ABCD 内运动,则动点P 到顶点A 的距离PA <1的概率为A .4π B .12C .14D .π5.已知倾斜角为α的直线l 与直线x 2y 20-+=平行,则tan 2α的值为A .45B .43C .34D .236.已知数据x 1,x 2,x 3,…,x n 是某企业普通职工()*n n 3,n N ≥∈个人的年收入,设这个n个数据的中位数为x ,平均数为y ,方差为z ,如果再加上世界首富的年收入x n+1,则这n+1个数据中,下列说法正确的是 A .年收入平均数大大增大,中位数一定变大,方差可能不变 B .年收入平均数大大增大,中位数可能不变,方差变大 C .年收入平均数大大增大,中位数可能不变,方差也不变D .年收入平均数可以不变,中位数可能不变,方差可能不变。

数学_2013年山东省高考数学预测试卷(03)_(含答案)

数学_2013年山东省高考数学预测试卷(03)_(含答案)

2013年山东省高考数学预测试卷(03)一、选择题(每小题5分,共60分.下列每小题所给选项只有一项符合题意,请将正确答案的序号填涂在答题卡上)1. 计算复数4+2i等于()1−2iA 0B 2C 2iD −2i2. 已知等差数列{a n}中,a5+a9−a7=10,记S n=a1+a2+...+a n,则S13的值为()A 130B 260C 156D 1683. 已知f(x)=a x−2,g(x)=log a|x|(a>0且a≠1),若f(4)⋅g(−4)<0,则y=f(x),y=g(x)在同一坐标系内的大致图象是()A B C D)的图象如图:将函数y=f(x)(x∈4. 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0, |φ|<π2R)的图象向左平移π个单位,得函数y=g(x)的图象(g′(x)为g(x)的导函数),下面结论正4确的是(), 0)上是减函数 C g(x)⋅g′(x)的最小值A 函数g(x)是奇函数 B 函数g′(x)在区间(−π3, 0)对称为−3 D 函数g(x)的图象关于点(π65. 已知三条不重合的直线m、n、l与两个不重合的平面α、β,有下列命题:①若m // n,n⊂α,则m // α;②若l⊥α,m⊥β,且l // m,则α // β;③若m⊂α,n⊂α,m // β,n // β,则α // β;④若α⊥β,α∩β=m,n⊂β,n⊥m,则n⊥α.其中正确的命题个数是()A 1B 2C 3D 46. 某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨;生产每吨,乙产品要用A原料1吨、B原料3吨.销售每吨甲产品可获得利润1万元,每吨乙产品可获得利润3万元,该企业在某个生产周期内甲产品至少生产1吨,乙产品至少生产2吨,消耗A原料不超过1 3吨,消耗B原料不超过1 8吨,那么该企业在这个生产周期内获得最大利润时甲产品的产量应是()A 1吨B 2吨C 3吨D 11吨37. 执行如图所示的程序框图,若输出的结果是8,则输入的数是( )A 2或2√2B 2√2或−2√2C −2或−2√2D 2或−2√28. 如图,给定两个平面向量OA →和OB →,它们的夹角为2π3,点C 在以O 为圆心的圆弧AB̂上,且OC →=xOA →+yOB →(其中x ,y ∈R ),则满足x +y ≥√2的概率为( )A √2−1B 34 C π4 D π29. 表中提供了某厂节能降耗技术改造后生产A 产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨标准煤)的几组对应数据.根据下表提供的数据,求出y 关于x 的线性回归方程为y =0.7x +0.35,那么表中t 的值为( )10. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >1,b >0)的焦距为2c ,离心率为e ,若点(−1, 0)与点(1, 0)到直线xa−yb=1的距离之和为S ,且S ≥45c ,则离心率e 的取值范围是( )A [√52,√5] B [√2,√7] C [√52,√7] D [√2,√5] 11. 已知函数f(x)={log 2x ,(x >0)3x ,(x ≤0),且关于x 的方程f(x)+x −a =0有且只有一个实根,则实数a 的范围是( )A (−∞, 0)B (0, 1)C (1, 2)D (1, +∞)12. 在整数集Z 中,被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”,记为[k],即[k]={5n +k|n ∈Z},k =0,1,2,3,4.给出如下四个结论: ①2011∈[1]; ②−3∈[3];③Z =[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4];④“整数a ,b 属于同一“类”的充要条件是“a −b ∈[0]”.其中,正确结论的个数是( ) A 1 B 2 C 3 D 4二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分) 13. (1+x 2)(1−x)5展开式中x 3的系数为________.14. 为了保障生命安全,国家有关部门发布的《车辆驾驶人员血液呼气酒精含量值与检验》中规定:车辆驾驶人员血液酒精含量(单位:mg/l00m1)大于或者等于20,且小于80的为“饮酒驾车”,大于或者等于80的为“醉酒驾车”.某城市3月份的交通执法部门对200名车辆驾驶人员的血液酒精含量(单位:mg/l00ml )进行测试,并根据测试的数据作了如下统计:估计该城市3月份“饮酒驾车”发生的概率________.15. 已知三边长分别为4、5、6的△ABC 的外接圆恰好是球O 的一个大圆,P 为球面上一点,若点P 到△ABC 的三个顶点的距离相等,则三棱锥P −ABC 的体积为________.16. 已知等差数列a n 的首项a 1及公差d 都是整数,前n 项和为S n ,若a 1>1,a 4>3,S 3≤9,设b n =2n a n ,则b 1+b 2+...+b n 的结果为________.三、解答题(共6个小题,共70分)17. 在某社区举办的《2008奥运知识有奖问答比赛》中,甲、乙、丙三人同时回答一道有关奥运知识的问题,已知甲回答这道题对的概率是34,甲、丙两人都回答错的概率是112,乙、丙两人都回答对的概率是14.(1)求乙、丙两人各自回答这道题对的概率;(2)用ξ表示回答该题对的人数,求ξ的分布列和数学期望Eξ.18.如图,已知正三棱柱ABC −A 1B 1C 1各棱长都为a ,P 为线段A 1B 上的动点.(1)试确定A 1P:PB 的值,使得PC ⊥AB ;(2)若A 1P:PB =2:3,求二面角P −AC −B 的大小.19. 在△ABC 中角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c 设向量m →=(a, cosB),n →=(b, cosA)且m → // n →,m →≠n →(1)若sinA +sinB =√62,求A ; (2)若△ABC 的外接圆半径为1,且abx =a +b 试确定x 的取值范围.20. 设C 1是以F 为焦点的抛物线y 2=2px(p >0),C 2是以直线2x −√3y =0与2x +√3y =0为渐近线,以(0,√7)为一个焦点的双曲线.(1)求双曲线C 2的标准方程;(2)若C 1与C 2在第一象限内有两个公共点A 和B ,求p 的取值范围,并求FA ⋅→FB →的最大值; (3)若△FAB 的面积S 满足S =23FA →⋅FB →,求p 的值.21. 已知函数f(x)=(2−a)(x −1)−2lnx ,g(x)=xe 1−x .(a ∈R ,e 为自然对数的底数) (1)当a =1时,求f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)在(0,12)上无零点,求a 的最小值;(3)若对任意给定的x 0∈(0, e],在(0, e]上总存在两个不同的x i (i =1, 2),使得f(x i )=g(x 0)成立,求a 的取值范围.四、请考生在第22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22. 如图,⊙O 1与⊙O 2相交于A 、B 两点,AB 是⊙O 2的直径,过A 点作⊙O 1的切线交⊙O 2于点E ,并与BO 1的延长线交于点P ,PB 分别与⊙O 1、⊙O 2交于C ,D 两点. 求证:(1)PA ⋅PD =PE ⋅PC ; (2)AD =AE .23. 在极坐标系中,曲线L:ρsin 2θ=2cosθ,过点A(5, α)(α为锐角且tanα=34)作平行于θ=π4(ρ∈R)的直线l ,且l 与曲线L 分别交于B ,C 两点.(1)以极点为原点,极轴为x 轴的正半轴,取与极坐标相同单位长度,建立平面直角坐标系,写出曲线L 和直线l 的普通方程; (2)求|BC|的长.24. 已知关于x 的不等式|2x +1|−|x −1|≤log 2a (其中a >0).(1)当a =4时,求不等式的解集;(2)若不等式有解,求实数a 的取值范围.2013年山东省高考数学预测试卷(03)答案1. C2. A3. B4. D5. B6. A7. D8. B9. A 10. A 11. D 12. C 13. −15 14. 0.17 15. 1016. 4+n ⋅2n+1 17. 解:(1)记“甲回答对这道题”、“乙回答对这道题”、“丙回答对这道题”分别为事件A 、B 、C ,则P(A)=34,且有{P(A ¯)⋅P(C ¯)=112P(B)⋅P(C)=14,即{[1−P(A)]⋅[1−P(C)]=112P(B)⋅P(C)=14 ∴ P(B)=38,P(C)=23.…6′(2)由(1)P(A ¯)=1−P(A)=14,P(B ¯)=1−P(B)=13.ξ的可能取值为:0、1、2、3. 则P(ξ=0)=P(A ¯⋅B ¯⋅C ¯)=14⋅13⋅58=596;P(ξ=1)=P(A ⋅B ¯⋅C ¯)+P(A ¯⋅B ⋅C ¯)+P(A ¯⋅B ¯⋅C)=34⋅58⋅13+14⋅38⋅23+34⋅58⋅23=724;P(ξ=2)=P(A ⋅B ⋅C ¯)+P(A ⋅B ¯⋅C)+P(A ¯⋅B ⋅C)=1532;P(ξ=3)=P(A ⋅B ⋅C)=316.…9′∴ ξ的分布列为ξ的数学期望Eξ=0⋅596+1⋅724+2⋅1532+3⋅316=4324.…12′18. 解:【法一】(1)当PC ⊥AB 时,作P 在AB 上的射影D ,连接CD ,则AB ⊥平面PCD ,∴AB ⊥CD ,∴ D 是AB 的中点,又PD // AA 1,∴ P 也是A 1B 的中点,即A 1P:PB =1. 反之当A 1P:PB =1时,取AB 的中点D ′,连接CD ′、PD ′. ∵ △ABC 为正三角形,∴ CD ′⊥AB . 由于P 为A 1B 的中点时,PD ′ // A 1A∵ A 1A ⊥平面ABC ,∴ PD ′⊥平面ABC ,∴ PC ⊥AB .…6′(2)当A 1P:PB =2:3时,作P 在AB 上的射影D ,则PD ⊥底面ABC .作D 在AC 上的射影E ,连接PE ,则PE ⊥AC ,∴ ∠DEP 为二面角P −AC −B 的平面角. 又∵ PD // AA 1,∴BD DA=BP PA 1=32,∴ AD =25a .∴ DE =AD ⋅sin60∘=√35a , 又∵ PDAA 1=35,∴ PD =35a ,∴ tan∠PED =PDDE =√3,∴ P −AC −B 的大小为∠PED =60∘. (12)【法二】以A 为原点,AB 为x 轴,过A 点与AB 垂直的直线为y 轴,AA 1为z 轴,建立空间直角坐标系A −xyz ,如图所示,设P(x, 0, z),则B(a, 0, 0)、A 1(0, 0, a)、C(a2,√3a2,0). (1)由CP →⋅AB →=0得(x −a2,−√3a2,z)⋅(a,0,0)=0,即(x −a2)⋅a =0,∴ x =12a ,即P 为A 1B 的中点,也即A 1P:PB =1时,PC ⊥AB .…4′ (2)当A 1P:PB =2:3时,P 点的坐标是(2a 5,0,3a5).取m →=(3,−√3,−2).则m →⋅AP →=(3,−√3,−2)⋅(2a5,0,3a 5)=0,m →⋅AC →=(3,−√3,−2)⋅(a 2,√3a2,0)=0.∴ m →是平面PAC 的一个法向量. 又平面ABC 的一个法向量为n →=(0,0,1).∴ cos <m →,n →>=|m →|⋅|n →|˙=12,∴ 二面角P −AC −B 的大小是60∘.…19. 解:(1)因为向量m →=(a, cosB),n →=(b, cosA)且m → // n →,m →≠n →,所以,acosA =sinB .--------由正弦定理,可得sinAcosA =sinBcosB ,即sin2A =sin2B .-------------- 所以2A +2B =π,即A +B =π2.-------再由sinA +sinB =√62,以及sinA +sinB =sinA +cosA =√2sin(A +π4),可得sin(A +π4)=√32.------ 由于A 为锐角,故有A +π4=π3 或A +π4=2π3,∴ A =π12,或5π12.------ (2)若△ABC 的外接圆半径为1,且abx =a +b ,则x =a+b ab,由正弦定理,得x =sinA+sinB 2sinAsinB.-----设sinA +cosA =t ,t ∈(1, √2),则t 2=1+2sinAcosA ,∴ sinAcosA =t 2−12,-----------即x =tt 2−1=1t−1t>√2,所以实数x 的取值范围为(√2,+∞).---------20. 设双曲线C 2的标准方程为y 2a 2−x 2b 2=1(a >0,b >0)∵ C 2是以直线2x −√3y =0与2x +√3y =0为渐近线,以(0,√7)为一个焦点的双曲线.∴ {ab=√3c =√7,∵ a 2+b 2=c 2, ∴ a =2,b =√3∴ 双曲线C 2的标准方程为y 24−x 23=1;将抛物线y 2=2px 代入y 24−x 23=1,整理可得2x 2−3px +6=0设A(x 1, y 1),B(x 2, y 2)(x 1>0, y 1>0, x 2>0, y 2>0),则{△=9p 2−48>03p 2>0∴ p >4√33 ∵ FA ⋅→FB →=(x 1−p2)(x 2−p2)+y 1y 2=−12p 2+2√3p +3=−12(p −2√3)2+9≤9 ∴ 当且仅当p =2√3时,FA ⋅→FB →的最大值为9;直线AB 的方程为y −y 1=y 2−y 1x 2−x 1(x −x 1),即y 2−y 1x 2−x 1x −y −y 2−y1x 2−x 1×x 1+y 1=0∴ F 到直线AB 的距离为d =|−y (x −x )−(y −y )(p 2−x )|√(x 2−x 1)2+(y 2−y 1)2∴ S =12|AB|d =12|−y 1(x 2−x 1)−(y 2−y 1)(p2−x 1)|=14(2√3+p)√3p 2−4√3p ∵ S =23FA →⋅FB →,∴ 23(−12p 2+2√3p +3)=14(2√3+p)√3p 2−4√3p ∴ p =2√3.21. 解:(1)当a =1时,f(x)=x −1−2lnx ,则f′(x)=1−2x , 由f′(x)>0,得x >2; 由f′(x)<0,得0<x <2.故f(x)的单调减区间为(0, 2],单调增区间为[2, +∞); (2)因为f(x)<0在区间(0,12)上恒成立不可能,故要使函数f(x)在(0,12)上无零点,只要对任意的x ∈(0,12),f(x)>0恒成立,即对x ∈(0,12),a >2−2lnxx−1恒成立. 令l(x)=2−2lnxx−1,x ∈(0,12),则l(x)=−2x(x−1)−2lnx (x−1)2=2lnx+2x−2(x−1)2,再令m(x)=2lnx +2x −2,x ∈(0,12), 则m′(x)=−2x 2+2x=−2(1−x)x 2<0,故m(x)在(0,12)上为减函数,于是m(x)>m(12)=2−2ln2>0,从而,l(x)>0,于是l(x)在(0,12)上为增函数,所以l(x)<l(12)=2−4ln2, 故要使a >2−2lnx x−1恒成立,只要a ∈[2−4ln2, +∞),综上,若函数f(x)在(0,12)上无零点,则a 的最小值为2−4ln2; (3)g′(x)=e 1−x −xe 1−x =(1−x)e 1−x ,当x ∈(0, 1)时,g′(x)>0,函数g(x)单调递增; 当x ∈(1, e]时,g′(x)<0,函数g(x)单调递减. 又因为g(0)=0,g(1)=1,g(e)=e ⋅e 1−e >0, 所以,函数g(x)在(0, e]上的值域为(0, 1]. 当a =2时,不合题意; 当a ≠2时,f′(x)=2−a −2x =(2−a)x−2x=(2−a)(x−22−a)x,x ∈(0, e]当x =22−a 时,f′(x)=0.由题意得,f(x)在(0, e]上不单调,故0<22−a <e ,即a <2−2e ①此时,当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下:又因为,当x→0时,2−a>0,f(x)→+∞,f(22−a )=a−2ln22−a,f(e)=(2−a)(e−1)−2,所以,对任意给定的x0∈(0, e],在(0, e]上总存在两个不同的x i(i=1, 2),使得f(x i)=g(x0)成立,当且仅当a满足下列条件:{f(22−a)≤0f(e)≥1即{a−2ln22−a≤0②(2−a)(e−1)−2≥1③令ℎ(a)=a−2ln22−a ,a∈(−∞,2−2e),则ℎ′(a)=1−2[ln2−ln(2−a)]′=1−22−a =aa−2,令ℎ′(a)=0,得a=0或a=2,故当a∈(−∞, 0)时,ℎ′(a)>0,函数ℎ(a)单调递增;当a∈(0,2−2e)时,ℎ′(a)<0,函数ℎ(a)单调递减.所以,对任意a∈(−∞,2−2e),有ℎ(a)≤ℎ(0)=0,即②对任意a∈(−∞,2−2e)恒成立.由③式解得:a≤2−3e−1.④综合①④可知,当a∈(−∞,2−3e−1]时,对任意给定的x0∈(0, e],在(0, e]上总存在两个不同的x i(i=1, 2),使f(x i)=g(x0)成立.22. ∵ PE、PB分别是⊙O2的割线∴ PA⋅PE=PD⋅PB又∵ PA、PB分别是⊙O1的切线和割线∴ PA2=PC⋅PB由以上条件得PA⋅PD=PE⋅PC连接AC、ED,设DE与AB相交于点F∵ BC是⊙O1的直径,∴ ∠CAB=90∘∴ AC是⊙O2的切线.由(1)知PAPE =PCPD,∴ AC // ED,∴ AB⊥DE,∠CAD=∠ADE又∵ AC是⊙O2的切线,∴ ∠CAD=∠AED 又∠CAD=∠ADE,∴ ∠AED=∠ADE∴ AD=AE23. 解:(1)由题意得,点A的直角坐标为(4, 3),曲线L即ρ2 sin2θ=2ρcosθ,它的普通方程为:y2=2x,由于直线l的斜率为1,且过点A(4, 3),故直线l的普通方程为:y−3=x−4,即y=x−1.(2)设B(x1, y1),C(x2, y2),由{y2=2xy=x−1可得x2−4x+1=0,由韦达定理得x1+x2=4,x1⋅x2=1,由弦长公式得|BC|=√1+k2|x1−x2|=2√6.24. 解:(1)当a=4时,不等式即|2x+1|−|x−1|≤2,当x<−12时,不等式为−x−2≤2,解得−4≤x<−12.当−12≤x≤1时,不等式为3x≤2,解得−12≤x≤23.当x>1时,不等式为x+2≤2,此时x不存在.综上,不等式的解集为{x|−4≤x≤23}.(2)设f(x)=|2x+1|−|x−1|={−x−2,x<−123x,−12≤x≤1 x+2,x>1,故f(x)∈[−32,+∞),即f(x)的最小值为−32.所以,若f(x)≤log2a有解,则有log2a≥−32,解得a≥√24,即a的取值范围是[√24,+∞).。

【2013枣庄市一模】山东省枣庄市2013届高三3月模拟考试数学理试卷

【2013枣庄市一模】山东省枣庄市2013届高三3月模拟考试数学理试卷

山东省枣庄市2013届高三3月模拟考试数学(理)试题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

满分150分。

考试用时120分钟。

考试结束后将答题卡交回。

第Ⅰ卷(选择题 共60分)注意事项:1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、考号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2.选择题每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,不能答在试题卷上.3.考试结束后,监考人员将答题卡和第Ⅱ卷的答题纸一并收回。

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.已知i 是虚数单位,复数2(1)(1)z x x =-++i 是纯虚数,则实数x 的值为A .—1B .1C .±1D .22.已知全集{0,1,2,3,4},{1,2,3},{2,4},()U U A B C A B ===集合则为 A .{4} B .φ C .{0,2,4} D .{1,3}3.“12*,2n n n n N a a a ++∀∈=+”是“数列{}n a 为等差数列”的A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .即不充分也不必要条件 4.若4(1,)a a b +=+为有理数,则a+b=A .36B .46C .34D .445.如图是一个算法的流程图,若输出的结果是31,则判断框中整数M 的值是A .3B .4C .5D .66.设z x y =+,其中实数x ,y 满足200,0x y x y y k +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩若z 的最大值为6,则z 的最小值为A .—3B .—2C .—1D .07.一张储蓄卡的密码共有6位数字,每位数字都可从0—9中任选一个,某人在银行自动提款机上取钱时,忘记了密码的最后一位数字,如果他记得密码的最后一位是偶数,则他不超过2次就按对的概率是A .45`B .35C .25D .158.一个几何体的三视图如图所示,其中的长度单位为cm ,则该几何体的体积为( )cm 3。

山东省2013年高考数学预测试题7

山东省2013年高考数学预测试题7

数学2013高考预测题7一、选择题:本大题共8个小题,每小题5分,共40分。

1.设集合{|03},{|2,1}xA x xB y y x =≤≤==>,则A ∩B 为A .[0,3]B .(2,3]C .[3,)+∞D .[1,3]2.若复数(a +i )2在复平面内对应的点在y 轴负半轴上,则实数a 的值是A .-lB .1C .2D .一23.在等差数列{n a }中,811162a a =+,则数列{n a }前9项的和S 9等于A .24B .48C .72D .1084.下图给出的是计算1001...81614121+++++的一个程序框图,其中判断框内应填入的条件是A .50<iB .50>iC .25<iD .25>i5.某小区有排成一排的7个车位,现有3辆不同型号的车需要停放,如果要求剩余的4个车位连在一起, 那么不同的停放方法的种数为A .16B .18C .24D .326.若2log 3a =,3log 2b =,4log 6c =,则下列结论正确的是A .b a c <<B .a b c <<C .c b a <<D .b c a <<7.下列四个判断:①某校高三一班和高三二班的人数分别是,m n ,某次测试数学平均分分别是,a b ,则这两个班的数学平均分为2a b+;②10名工人某天生产同一零件,生产的件数是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12,设其平均数为a ,中位数为b ,众数为c ,则有b a c >>;③从总体中抽取的样本11221111(,),(,),,(,),,n nn n i i i i x y x y x y x x y y n n ====∑∑若记,则回归直线y =bx a +必过点(,x y )④已知ξ服从正态分布(0N ,2)σ,且(20)0.4P ξ-≤≤=,则(2)0.2P ξ>= 其中正确的个数有:A .3个B .2个C .1个D .0个8.设实数y x ,满足:⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤-+≥++0201053x y x y x ,则y x z 42+=的最小值是A .41B .21C .1 D .8 9.下图给出的是计算111246+++ (1)100+的值的一个程序框图,其中判断框内应填入的条件是A .100?i >B .100?i ≤C .50?i >D .50?i ≤10.已知()31sin2(),tan 5422ππαααβ=<<-=,则()tan αβ+= A .2-B .1-C .1011-D .211-11.五个人站成一排照相,其中甲与乙不相邻,且甲与丙也不相邻的不同站法有A .60种B .48种C .36种D .24种12.已知(1)y f x =+是定义在R 上的周期为2的偶函数,当[1,2]x ∈时,2()log f x x =,设1()2a f =,4(),(1)3b fc f ==,则a 、b 、c 的大小关系为A .a c b <<B .c a b <<C .b c a <<D .c b a <<二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,满分16分13.3121()x x-的展开式中常数项是_______.(用数字作答) 14.公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若4a 是3a 与7a 的等比中项,832S =,则10S 等于_______.15.已知向量(,1)a x =与(4,)b x =,且a 与b 的夹角为π,则x = . 16.由5个元素构成的集合{4,3,1,0,1}M =-,记M 的所有非空子集为1M ,2M ,,31M ,每一个(1,2,31)i M i =中所有元素的积为i m ,则1231m m m +++= .三、解答题:17.已知函数2()23sin cos 2sin 333x x x f x =-. (Ⅰ)求函数()f x 的值域;(Ⅱ)在△ABC 中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,若()1f C =,且2b ac =,求sin A 的值18. 李先生家住H 小区,他工作在C 科技园区,从家开车到公司上班路上有1L 、2L 两条路线(如图),1L 路线上有1A 、2A 、3A 三个路口,各路口遇到红灯的概率均为12;2L 路线上有1B 、2B 两个路口,各路口遇到红灯的概率依次为34,35.(Ⅰ)若走1L 路线,求最多..遇到1次红灯的概率;(Ⅱ)若走2L 路线,求遇到红灯次数X 的数学期望;(Ⅲ)按照“平均遇到红灯次数最少”的要求,请你帮助李先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线,并说明理由.19.图(1),矩形ABCD 中,已知2AB =,22AD =, MN 分别为AD 和BC 的中点,对角线BD 与MN 交于O 点,沿MN 把矩形ABNM 折起,使平面ABNM 与平面MNCD 所成角为60,如图(2)(Ⅰ)求证:BO DO ⊥;(Ⅱ)求AO 与平面BOD 所成角的正弦值.20.已知正数数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足233312n n S a a a =+++;(I )求证:数列{}n a 为等差数列,并求出通项公式;(II )设)11()11(2nn n a a a b ---=,若n n b b >+1对任意*N n ∈恒成立,求实数a 的取值范围。

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2013届高三原创一模测试卷
理科数学
本试卷分第I 卷和第Ⅱ卷两部分,共4页.满分150分.考试用时120分钟.考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项:
1.答卷前,考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上.
2.第I 卷每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,答案不能答在试卷上.
3.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内的位置,不能写在试卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.
4.填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
第I 卷 (共60分)
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知{}{}sin ,sin A x y x B y y x ====,则A B ⋂= A.∅
B.[]1,1-
C.()1,1-
D.[)1,1-
2.复数2013
11i i -⎛⎫

+⎝⎭
(i 为虚数单位)的值等于 A.1 B.1-
C.i
D.i -
3.命题“各位数字之和被3整除的整数,是3的倍数”的否定是: A.各位数字之和不能被3整除的整数,是3的倍数 B.各位数字之和被3整除的整数,不是3的倍数
C.存在各位数字之和被3整除的整数,不是3的倍数
D.不存在各位数字之和被3整除的整数,不是3的倍数 4.幂函数满足()194
f =,则()3f =
A.
12
B.12
-
C.2-
D.2
5.一个三棱锥的正视图与俯视图如图所示,则其左视图的面积是
A.1
B.
12
C.2
D.不确定
6.已知对于x R ∀∈,不等式2
32sin cos 22t t x x x +≥++恒成立,则实数t 的取
值范围是 A.[]4,1- B.()[),41,-∞-⋃+∞
C.[]1,4-
D.(][),14,-∞-⋃+∞
7.有下列一组数据:2,4,5,1,4,2,8,x ,5,14,已知它们的平均数为5,则下列说法不正确的是
A.这组数据的众数为5
B.这组数据的中位数为4.5
C.这组数据的极差为13
D.这组数据的标准差为12.6
8.已知()()1,x
x f x g x a a ⎛⎫
==- ⎪⎝⎭
,其中01a a >≠且,则()()f x g x 与图象关系
A.关于x 轴对称
B.关于y 轴对称
C.关于y x =对称
D.关于原点对称
9.若二项式
()4
32x -的展开式写成形式:
4
3
4310a x a x a x a ++⋅⋅⋅++,则
432432a a a a +++的值是
A.12
B.1
C.1-
D. 16-
10.若向量()()2,2,,2a x b x x ==-的夹角为钝角,则x 的取值范围是 A.()1,2-
B.()()1,00,2-⋃
C.()()2,00,1-⋃
D. (),0-∞
11.已知点(0,A ,点)
B
为两个定点,点P 为函数y =
点,则PA PB +的最小值为
A.
B.4
C.1+
D. 1+12.已知函数()f x 满足:()322f x f x ⎛⎫+
=- ⎪⎝

,函数()()()11,2
6
g x f
x x g x =
-且在
区间[]0,3上的值域是[]0,1,则()g x 在区间[]3,3-上的值域是 A.[]0,1 B.[]0,3
C.[]1,1-
D.30,2⎡⎤⎢⎥


第II 卷(共90分)
二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分 13.已知实数,x y 满足约束条件0,4,260,x y x x y -≥⎧⎪
≤⎨⎪+-≥⎩

()2log 22x y ++的最小值为_______.
14.执行右面的程序框图,输出结果为_______. 15.若函数ln 1x ax -+有零点,则实数a 的取值范围是________.
16.如果把扇形的弧当成底,把半径当成高,则可以将扇有为一个三角形,类比三角形面积公式,可推得扇形的面积公式12
S lr =
扇,其中l 为扇形的弧长,r 为扇形
的半径长.现将扇.现将扇形绕其对称轴旋转180°,得到的几何体称为“球心角体”,扇形的弧旋转出来的面称为“球冠”,已知扇形的半径为R ,球冠的面积为S ,则球心角体的体积V=________.
三、解答题:本大题共6小题,共74分. 17.(本小题满分12分) 如图是函数(
))
2s i n c o s s i n 1
f x x
x x ω
ωω=-+
的部分图象:
(I )求()f x 的最大值;
(II )求()f x 的单调递增区间.
18.(本小题满分12分)
已知数列{}n a 满足L 211*1233333,n n n a a a a n n N --+++⋅⋅⋅+=⨯∈. (I )求数列{}n a 的通项公式;
(II )设()1
1223344511n n n n T a a a a a a a a a a -+=-+-+⋅⋅⋅+-,若22n T tn ≥对*
n N ∈恒成
立,求实数t 的取值范围.
19.(本小题满分12分) 如图,在四棱锥P —ABCD 中,底面ABCD 为直角梯形,AB//CD ,AB AD ⊥,面P A D ⊥底面ABCD ,CD=4,AB=AD=PA=PD=2,E 为棱PD 的中点.
(I )求证:AE//平面PBC ;
(II )求二面角A —PB —C 平面角的余弦值.
20.(本小题满分12分)
如图所示为一迷宫平面图,A ,B ,C ,D ,O 为迷宫岔道口,其中A 为迷宫入口,C 为迷宫出口,相邻两个岔道口之间线段为一条通道.已知某人从入口进入迷宫后,将所有经过的通道作了标记,到岔道口随机选择未标记的通道进入,直至
成功找到出口,或者通过四个通道之后放弃。

(I )求该人成功找到出口的概率;
(II )求其所通过通道数的分布列及数学期望.
21.(本小题满分12分) 已知椭圆()222
2
:
10x y M a b a
b
+
=>>与双曲线2
2
5514
x y -
=有相同的焦点,且二者的离
心率之积是1.
(I )求椭圆M 的方程;
(II )已知点C (2,—2),若斜率为1的直线交椭圆M 于A 、B 两点,求C A C B
的最
小值.
22.(本小题满分14分)
已知函数()2ln ln 3.f x x x x c =-- (I )c 为何值时函数()f x 有两个零点?
(II )对()0,1x ∀∈,当c=0时,证明不等式:()2
3 1.f x x >--。

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