九年级数学《再探全等三角形------全等三角形的综合复习2》微课配套习题

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【人教版】九年级数学下册中考知识点梳理：第15讲三角形的基本知识及全等三角形2

第15讲一般三角形及其性质
6.全等三
角形的性质(1)全等三角形的对应边、对应角相等．
(2)全等三角形的对应角平分线、对应中线、对应高相等．
(3)全等三角形的周长等、面积等．
失分点警示：运用全等三角
形的性质时，要注意找准对
应边与对应角.
7.三角形
全等的判定一般
三角
形全
等
SSS（三边对
应相等）
SAS（两边和它
们的夹角对应
相等）
ASA（两角和它
们的夹角对应相
等）
AAS（两角和其
中一个角的对边
对应相等）
失分点警示
如图，SSA和AAA不能判
定两个三角形全等.
直角
三角
形全
等
(1)斜边和一条直角边对应相等（HL）
(2)证明两个直角三角形全等同样可以用
SAS,ASA和AAS.
8.全等三
角形的运用（1）利用全等证明角、边相等或求线段长、求角度：将特征的边或角放到
两个全等的三角形中，通过证明全等得到结论.在寻求全等的条件时，
注意公共角、公共边、对顶角等银行条件.
（2）全等三角形中的辅助线的作法：
①直接连接法：如图①，连接公共边，构造全等.
②倍长中线法：用于证明线段的不等关系，如图②，由SAS可得△ACD≌△
EBD，则AC=BE.在△ABE中，AB+BE＞AE，即AB+AC＞2AD.
③截长补短法：适合证明线段的和差关系，如图③、④.
例：
如图，在△ABC中，已知∠1=
∠2，
BE=CD，
AB=5，
AE=2，则
CE=3.。

人教版九年级数学中考总复习《全等三角形》 (共23张PPT)

等三角形的判定方法SAS即可得解. 证明：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠FBE=∠2+∠FBE，即∠ABE=∠CBF.
∴△ABE≌△CBF（SAS）.
考题再现 1. （2014深圳）如图1-4-3-7，△ABC和△DEF中，AB=DE,∠B= ∠DEF，添加下列哪一个条件无法证明△ABC≌△DEF（ C ）
∴△AED≌△AEF（SAS）.
考点点拨：本考点的题型一般为解答题，难度中等. 解答本考点的有关题目，关键在于掌握全等三角形的判定方法与思路. 注意以下要点：判定两个三角形全等的一般方法有SSS、SAS、ASA、AAS、HL （相关要点详见“知识梳理”部分），同时要结合其他知识点如平行线、平行四边形的性质等来证明三角形全等. 另外，注意AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，且若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角.
3. 全等三角形的判定（1）边边边：三边对应相等的两个三角形全等（可简写成 “SSS”）. （2）边角边：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“SAS”）. （3）角边角：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“ASA”）. （4）角角边：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可简写成“AAS”）. （5）斜边直角边：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“HL”）.
方法规律
中考考点精讲精练
考点1 全等三角形的概念和性质
考点精讲
【例1】（2016厦门）如图1-4-3-1，点
E，F在线段BC上，△ABF与△DCE全等，
点A与点D，点B与点C是对应顶点，AF与
DE交于点M，则∠DCE=
（）

初三数学总复习——全等三角形

题（2）是题（1）的拓展、升华，三角形的三条高相交于一点，受题（1）的启发，我们能够作出△ABC的三条高的交点P，再作射线PC与AB交于点D，则CD就是所求作的AB边上的高．
宝典●能力提升
P73页
13.（13.江西）如图，AB是半圆的直径，图1中，点C在半圆外，图2中，点C在半圆内，请仅用无刻度的直尺按要求画图（1）在图1中，画出△ABC的三条高的交点（2）在题2中，画出△ABC中AB边上的高
∵在Rt△ACD和Rt△AED中 ∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）；（2）解： ∵DC=DE=1，DE⊥AB， ∴∠DEB=90°， ∵∠B=30°， ∴BD=2DE=2．
作业
完成宝典P75~76页的能力提升
∴△DOF≌△BOE（SAS）， ∴FD=BE．
宝典●能力提升
P73页
16.（13.温州）如图，在△ABC中， ∠C=90º,AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E （1）求证： △ACD≌ △AED （2）若∠B=30º，CD=1，求BD的长（1）证明： ∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°， ∴CD=ED，∠DEA=∠C=90°，
1．一般三角形全等的判定 (1)如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为(SSS)； (2) 如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为 (SAS)； (3) 如果两个三角形的两角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为 (ASA)； (4)如果三角形的两角及其中一角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为 (AAS)． 2．直角三角形全等的判定 (1)两直角边对应相等的两个直角三角形全等； (2)一边一锐角对应相等的两个直角三角形全等； (3)如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等．简记为(HL)．

全等三角形复习(九年级复习)

学生小组讨论此题并试讲解
通过不断引申题目让学生明白难题是怎样练成的，并能够悟处分析方法
师：请同学们再观察这个图形根据要求解答
生：看图并回答问题
教学
环节
教师活动
学生活动
设计意图
已知，∠Ｃ＝∠Ｅ＝９０°，∠ＢＡＤ＝９０°，ＢＡ＝ＤＡ。求证：ΔＡＢＣ≌ΔＤＡＥ
师：把全等知识与坐标系结合在一起
生：看图并回答问题
生：完成大屏幕上的习题
生看大屏幕听老师讲解
知识点的直接应用
再次强调为何无ＳＡ方法
教学
环节
教师活动
学生活动
设计意图
一道证明题吗？
师：（帮学生引申题目）谁能把这位同学编的题解答出来
师：这位同学出的题已达到中考题难度，请同学们看大屏幕，这是２０１６年中考的２１题，请迅速完成此题。
师：当ＡＣ和ＤＦ重合时，就是２０１５年中考题
已基本知识点为依托与坐标系、一次函数、反比例函数、二次函数相结合
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
师：给不同的题目要求，引申知识。
理解并解答问题。
板书设计：
教具
多媒体、三角板、几何画板软件等
课型
复习课
教学
环节
教师活动
学生活动
设计意图
直接引入并复习本节知识点
师：这节课我们复习全等三角形，请看大屏幕，看一看课标对这部分知识是怎样定位的。
师：根据课标，这节课的知识点有:全等
生：看大屏幕的课标要求。（找一名学生朗读）
让学生知道中考对本节课的要求
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
三角形的概念、性质和判定方法。谁能回答全等三角形的概念是怎样定义的？

九年级总复习全等三角形复习教案

九年级总复习全等三角形复习教案知识点：考点一：全等三角形的概念与性质1．能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．2．全等三角形的性质(1)全等三角形的、分别相等；(2)全等三角形的对应线段(角平分线、中线、高)相等、周长相等、面积相等．考点二全等三角形的判定1．一般三角形全等的判定(1)如果两个三角形的三条边分别，那么这两个三角形全等，简记为SSS；(2)如果两个三角形有两边及其分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为SAS；(3)如果两个三角形的两角及其分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为ASA；(4)如果三角形的两角及其中一角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为AAS. 2．直角三角形全等的判定(1)两直角边对应相等的两个直角三角形全等；(2)一边及该边所对锐角对应相等的两个直角三角形全等；(3)如果两个直角三角形的斜边及一条分别对应相等，那么这两个直角三角形全等．简记为HL.过程：例1:已知：如图，，，求证：△ABC≌△DCB分析：从图中找出隐含条件BC是公共边，从而利用SAS得到△ABC≌△DCB.变式1：把改为变式2：把改为变式3：把改为变式5：把改为设计意图：通过这个题目变形来复习全等的判定方法。

例2.如图，点D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB求证：AE=CE．分析：方法一, 从图中找出隐含条件对顶角，从题目中由FC∥AB得到及DE=FE，从而得到△AED≌△CEF.方法二，, 从从题目中由FC∥AB得到及DE=FE，从而得到△AED≌△CEF.设计意图：进一步巩固全等的判定.例3：已知，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，点D为直线BC上一动点（点D不与点B，C重合）．以AD为边做正方形ADEF，连接CF（1）如图1，当点D在线段BC上时．求证CF+CD=BC证明：（1）证明：如图1，∵在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，∴∠ACB=45°，∴∠ACB=∠ABC，∴AB=AC．∵四边形ADEF为正方形，∴AD=DE=EF=AF，∠FAD=90°，∴∠BAC=∠FAD，∴∠BAC-∠DAC=∠FAD-∠DAC，∴∠BAD=∠CAF．在△ABD和△ACF中，AB=AC∠BAD=∠CAFAD=AF∴△ABD≌△ACF（SAS），∴BD=CF．∵BC=BD+CD，∴CF+CD=BC；CF=BC+CD理由：解：如图2，∵在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，∴∠ACB=45°，∴∠ACB=∠ABC，∴AB=AC．∵四边形ADEF为正方形，∴AD=DE=EF=AF，∠FAD=90°，∴∠BAC=∠FAD，∴∠BAC+∠DAC=∠FAD+∠DAC，∴∠BAD=∠CAF．在△ABD和△ACF中，AB=AC∠BAD=∠CAFAD=AF，∴△ABD≌△ACF（SAS），∴BD=CF．∵BD=BC+CD，∴CF=BC+CD；①CD=BC+CF解：如图3，：∵在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，∴∠ACB=45°，∴∠ACB=∠ABC，∴AB=AC．∵四边形ADEF为正方形，∴AD=DE=EF=AF，∠FAD=90°，∴∠BAC=∠FAD，∴∠BAC-∠BAF=∠FAD-∠BAF，∴∠BAD=∠CAF．在△ABD和△ACF中，AB=AC∠BAD=∠CAFAD=AF∴△ABD≌△ACF（SAS），∴BD=CF．∵DC=BD+BC，∴CD=CF+BC．设计意图：全等的运用与提升。

中考数学一轮复习教案： (全等三角形(2))

初三复习教案课题：全等三角形(2)教学目标：使学生掌握全等三角形的几种证法及几何证题中的位置变换方法。

教学重点：几何证题中的位置变换方法。

教学过程：一、知识要点：全等三角形的判断方法：SAS、ASA、AAS、SSS，HL。

二、例题分析：1．如图，在一个房间内，有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离MA为a米，此时梯子的倾斜角为75°．如果梯子底端不动，顶端靠在对面墙上，此时梯子顶端距地面的垂直距离NB为6米，梯子的倾斜角为45。

．则这间房子的宽AB是米．例2如图，给出下列论断：①DE=CE，②∠1=∠2，③∠3=∠4。

请你将其中的两个作为条件，另一个作为结论，构成一个真命题，并加以证明。

例3如图，AB=AC，M为AC之中点，C为AD之中点，求证：BD=2BM。

4321ED CB AAB CMDAB CMDAB CMDAB CMDAB CMD例4在ΔＡＢＣ中，ＡＤ是中线，Ｏ为ＡＤ的中点，直线a过点Ｏ，过Ａ、Ｂ、Ｃ三点分别作直线a的垂线，垂足分别为Ｇ、Ｅ、Ｆ，当直线a绕点Ｏ旋转到与ＡＤ垂直时（如图１），易证：ＢＥ＋ＣＦ＝２ＡＧ.当直线a绕点Ｏ旋转到与ＡＤ不垂直时，在图２、图３两种情况下，线段ＢＥ、ＣＦ、ＡＧ又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对图３的猜想给予证明.例5已知，如图，点C是线段AB上的任意一点（点C与A、B不重合），分别以AC、BC为边在直线AB的同侧作等边△ACD和等边△BCE，AE与CD相交于点M，BC与CE相交于点N，（1）求证：AE=BD；（2）求证：△CMN是等边三角形；（3）若AB的长为10cm，当点C在AB上移动时，是否存在这样的一点C，使线段MN的长度最长？若存在，确定C 点的位置并求出MN的长，若不存在，请说明理由。

变式训练：将上题中的△ACD绕点C按逆时针旋转900，其它条件不变，画出符合要求的图形，并判断上题中（1）（2）两小题有结论是否仍然成立，并给出证明。

九年级数学专题复习全等三角形

总复习全等三角形【考纲要求】1.掌握全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素；2．探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式；3. 善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等，灵活选择适当的方法判定两个三角形全等.【知识网络】【考点梳理】考点一、基本概念1.全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.2.全等三角形的性质（1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等.要点进阶：全等三角形的周长、面积相等；对应的高线，中线，角平分线相等.3.全等三角形的判定方法（1）三边对应相等的两个三角形全等(SSS)；（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）；（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)；（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)；（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL).考点二、灵活运用定理三角形全等是证明线段相等，角相等的最基本、最常用的方法，这不仅因为全等三角形有很多重要的角相等、线段相等的特征，还在于全等三角形能把已知的线段相等、角相等与未知的结论联系起来．应用三角形全等的判别方法注意以下几点：1. 条件充足时直接应用判定定理要点进阶：在证明与线段或角相等的有关问题时，常常需要先证明线段或角所在的两个三角形全等.这种情况证明两个三角形全等的条件比较充分，只要认真观察图形，结合已知条件分析寻找两个三角形全等的条件即可证明两个三角形全等．2. 条件不足，会增加条件用判定定理要点进阶：此类问题实际是指条件开放题，即指题中没有确定的已知条件或已知条件不充分，需要补充三角形全等的条件．解这类问题的基本思路是：执果索因，逆向思维，即从求证入手，逐步分析，探索结论成立的条件，从而得出答案．3. 条件比较隐蔽时，可通过添加辅助线用判定定理要点进阶：在证明两个三角形全等时，当边或角的关系不明显时，可通过添加辅助线作为桥梁，沟通边或角的关系，使条件由隐变显，从而顺利运用全等三角形的判别方法证明两个三角形全等．常见的几种辅助线添加：①遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”；②遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形利用的思维模式是全等变换中的“旋转”；③遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理；④过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”；⑤截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分之类的题目．【典型例题】类型一、全等三角形例1．如图，BD、CE分别是△ABC的边AC和AB上的高，点P在BD的延长线上，BP=AC，点Q在CE上，CQ=AB．求证：（1）AP=AQ；（2）AP⊥AQ．举一反三：【变式】如图，在四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，BC=DC．延长AD到E点，使DE=AB．（1）求证：∠ABC=∠EDC；（2）求证：△ABC≌△EDC．类型二、灵活运用定理例2．如图，已知AD为△ABC的中线，且∠1＝∠2,∠3＝∠4,求证：BE＋CF＞EF.举一反三：【变式】如图所示，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF. 求证：AC=BF.例3．如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，AB＞AD，试判断AB-AD与CD-CB的大小关系，并证明你的结论．举一反三：【变式】如图所示，已知△ABC中AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，M是AD上任意一点，求证：MB－MC＜AB－AC．例4．如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，求证：AC=AE+CD．类型三、综合运用例5 .如图，△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°，四边形BCDE是平行四边形，E为AC中点，BD平分∠ABC，点F在AB上，且BF=BC．求证：（1）DF=AE；（2）DF⊥AC．举一反三：【变式】如图，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°,四边形ACDE 是平行四边形，连结CE 交AD 于点F ，连结BD 交CE 于点G ，连结BE. 下列结论中：① CE=BD ； ② △ADC 是等腰直角三角形；③ ∠ADB=∠AEB ； ④ CD·AE=EF·CG；一定正确的结论有( ) ．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个例6．如图，已知△ABC.（1）请你在BC 边上分别取两点D 、E(BC 的中点除外)，连结AD 、AE ，写出使此图中只存在两对面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形；（2）请你根据使(1)成立的相应条件，证明AB+AC ＞AD+AE ．A B C D E F G举一反三：【变式】在△ABC中，,∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E.(1)当直线MN绕点C旋转到图①的位置时，求证：DE=AD+BE；(2)当直线MN绕点C旋转到图②的位置时，求证：DE=AD-BE；(3)当直线MN绕点C旋转到图③的位置时，试问：DE、AD、BE有怎样的等量关系?请写出这个等量关系，并加以证明．。

《全等三角形的复习》优秀教案.docx

全等三角形的复习【教学目标】：(1)知识与技能目标：通过对典型例题评析，使学生进一步熟悉三角形全等的判定、性质及其综合应用，提高学生的逻辑推理能力和逻辑表达能力；学生通过参与开放性变式题的练习、分析，培养思维的发散性、探究性、发展性、创新性，进一步深化学生对全等三角形的认识。

(2)过程与方法目标：利用相关的知识和例题，通过学生的观察、思考、论证，培养学生的观察能力、逻辑推理能力、发散思维能力；通过同桌间的合作交流，培养学生的合作探究意识；通过学生的猜想，培养学生敢于发表见解的勇气。

利用“归纳小结”这一环节，培养学生自我反思的习惯及归纳概括能力。

(3)情感与态度目标：利用图形的变换，对学生进行所谓“形变质不变，万变不离其宗”的数学思想渗透；让学生知道数学内容中普遍存在着的运动、变化、相互联系和相互转化的规律，体会事物之问相互联系相互转化的辩证唯物主义观点；通过展示多彩的几何变换图形，激发学生的学习动机，拓宽学生的信息量、思维角度，激发学生的探索欲望；通过对几个变式问题的探究分析，培养学生多角度探究问题的习惯。

【教学重点】：常握全等三角形的性质与判定方法【教学难点】：对全等三角形性质及判定方法的运用【教学突破点】：学生通过在探究问题时的合作交流与对结论的探求猜想、教师对例题及学生回答的评析，培养学生的观察能力、发现问题能力、探究问题的兴趣、发散思维能力、归纳概括能力。

【教法、学法设计】：合作探究式分层次教学，讲授、练习相结合。

【课前准备】：课件、三角板【教学弓程设计】：教学环节教学活动~设计意图已知一边一角(边与角相邻)：找夹这个角的另一边 —AD=CB(SAS)找夹这条边的另一角—a zACD=zCA«ASA)，找边的对角 —► zD=zB(AAS)思路引导9 促进发展 1、如图，已知△ ABC 和ADCB 屮，AB 二DC,请补充一个条件 ______________________ ,使AABC 竺 ADCBo 找夹角一► ZABC=ZDCB (SAS)培养学生结合题目中的已知条件、图形中的隐含条件，分析和寻找全等三角形证明的所须条件，训练学生的解题思路和解题技巧。

中考复习全等三角形复习

__B_M____ BN(已知)
A
__A_B____ ___A_B_____(公共边)
∴ △ABM ≌ △ABN （ SSS ）
例4.如图, ∠B=∠E，AB=EF，
BD=EC，那么△ABC与
F
△FED全等吗？为什么？ C
B
D
E
解：全等。∵BD=EC（已知）
A
∴BD－CD＝EC－CD。即BC＝ED
例题选析
例2：已知:如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD相交于O点， ∠1=∠2，图中全等的三角形共有( ) A．D1对 B．2对 C．3对 D．4对
例3.如图，AM=AN， BM=BN
说明△AMB≌△ANB的理由 N
M
解:在△AMB和△ANB中
B
AM __A_N____(_已__知___)
合作中学习学习中创新
中考总复习之－－
全等三角形复习
学习目标：通过概念的复习
和典型例题评析，使学生掌握
三角形全等的判定、性质及其应用。
学习重点：典型例型评析。
学习难点：学生综合能力的
提高。
知识点
全等三角形的性质: 对应边、对应角相等。全等三角形的判定: 一般三角形全等的判定：
SAS、ASA、AAS、SSS
扩散五:已知:如图,AB=AC,DB=DC,F 是AD延长线上一点,试说明点F到 AB,AC的距,试说明:点F到AB,AC 的距离相等.
扩散七:已知:如图,AB=AC,DB=DC,F 是DA延长线上的一点,试说明:点F到 AB,AC的距离相等.
扩散二:已知:如图,AB=AC,DB=DC,F 是AD上的一点,试说明:BF=CF.
扩散三:已知:如图,AB=AC,DB=DC,F 是 DA 延长线上的一点 , 试说明:BF=CF.

2021年九年级数学中考复习专题：三角形综合(考察全等证明、长度与面积计算等)(二)

2021年九年级数学中考复习专题：三角形综合（考察全等证明、长度与面积计算等）（二）1．如图，Rt△ABC的顶点A（﹣6，0），B（m，0），AC交y轴正半轴于点E，将Rt△ABC 沿AC翻折得△ADC，点D恰好落在y轴上．（1）若DO平分∠ADC，求m的值；（2）若E（0，3），求C点的坐标；（3）过点E的直线MN分别交x轴，CD于M，N，且M，N分别是AB，CD的中点，求m的值．2．（1）如图1，∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E，AB∥CD，∠ADC＝50°，∠ABC＝40°，求∠AEC的度数；（2）如图2，∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E，∠ADC＝α°，∠ABC＝β°，求∠AEC的度数；（3）如图3，PQ⊥MN于点O，点A是平面内一点，AB、AC交MN于B、C两点，AD平分∠BAC交PQ于点D，请问的值是否发生变化？若不变，求出其值；若改变，请说明理由．3．在平面直角坐标系中，A（a，b）、B（c，d）、C（7，0），且+（b﹣d﹣2）2＝0．（1）如果a＝1，d＝2，①求A，B两点的坐标；②求线段AB与y轴交点N的坐标，并求出△AOB的面积；（2）如果b＝﹣1，且△AOB与△ABC面积和为9，求a的值或取值范围．4．如图1，在平面直角坐标系中，点B坐标为（﹣1，2），点A为x轴正半轴上一点，△OAB的面积为2；（1）求点A坐标；（2）如图2，动点P从点A出发以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向运动，运动时间为t秒，过P作PQ⊥PB，且PQ＝PB，若点Q横坐标为d，请用含t的整式表示d（不要求写出t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，如图3，过P作PH⊥BO延长线于H，K为PH上一点，且∠PQK ＝∠PBA，若Q点横坐标为6，求此时t值及K点坐标．5．如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝120°，AB＝AC，AD＝AE，点D在线段BC 上，连结CE，作EF⊥BC，垂足为F．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）若BD＝6，求EF的长．6．已知：Rt△ABC中，∠CAB＝90°，CA＝BA，Rt△ADE中，∠DAE＝90°，DA＝EA，连接CE．（1）如图1，求证：CE＝BD．（2）如图2，当D在AC上，E在BA的延长线上，直线BD、CE相交于点F，求证：CE⊥BD．＝30，求BF的长．（3）如图3，在（2）的条件下，若D是AC中点，若S△BDE7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，延长BC至D，使BD＝BA，连接AD．点E在AC上，且CE＝CD，连接BE并延长BE交AD于点F．（1）求证：△ACD≌△BCE；（2）求证：BF是AD的垂直平分线；（3）连接DE，若AB＝10，求△DCE的周长．8．如图，AB＝AD＝BC＝DC，∠C＝∠D＝∠ABE＝∠BAD＝90°，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF＝45°，过点A作∠GAB＝∠FAD，且点G在CB的延长线上．（1）△GAB与△FAD全等吗？为什么？（2）若DF＝2，BE＝3，求EF的长．9．如图，点D，E分别在AB和AC上，DE∥BC，点F是AD上一点，FE的延长线交BC延长线BH于点G．（1）若∠DBE＝40°，∠EBC＝35°，求∠BDE的度数；（2）求证∠EGH＞∠ADE；（3）若点E是AC和FG的中点，△AFE与△CEG全等吗？请说明理由．10．在△ABC中，AB＝13，BC＝14，AC＝15，AD⊥BC于D，E为BC边上的动点，F在AB、AC 上运动，设BE＝x，△BEF面积为y．（1）在图1中，求AD的长．（2）若EF⊥BC，如图2，求y与x的函数关系，并写出x的取值范围．（3）若F在AB上（F与A、B不重合），如图3，是否存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分，若存在，求出x的值，若不存在，请说明理由．参考答案1．解：（1）∵DO平分∠ADC，∴∠ADO＝∠COD＝45°，∴△AOD为等腰直角三角形，故OD＝OA＝6，由图形的翻折知，AD＝AB＝m+6，在等腰直角三角形ADO中，AD＝AO＝6＝AB，故OB＝6﹣6＝m；（2）设a＝OE，过点E作EH⊥AD于点H，则HE＝OE＝a，由题意得：AD＝AB＝m+6，S＝×AD•HE＝×DE×AO，即×（m+6）•a＝×6•ED，△ADE解得DE＝a（m+6），则OD＝OE+DE＝a+a（a+6）＝a（12+m），在Rt△AOD中，AD2＝AO2+OD2，即（m+6）2＝36+（）2，解得a＝，则点E、D的坐标分别为（0，）、（0，6m）；由点A、E的坐标得，直线AE的表达式为y＝，当x＝m时，y＝，故点C（m，），点E的坐标为为（0，），即3＝，解得m＝，故点C的坐标为（，）；（3）由（2）知，E、D的坐标分别为（0，）、（0，6m）、点C（m，），由中点公式得，点M、N的坐标分别为（，0）、（，），由点M、N的坐标得，直线MN的表达式为y＝（x﹣），当x＝0时，y＝（0﹣）＝y E＝，解得m＝0（舍去）或﹣6（舍去）或3，故m＝3．2．解：（1）∵CE平分∠BCD，AE平分∠BAD，∴∠ECD＝∠ECB＝∠BCD，∠EAD＝∠EAB＝∠BAD，∵∠D+∠ECD＝∠E+∠EAD①，∠B+∠EAB＝∠E+∠ECB②，所以①+②得，∴∠D+∠ECD+∠B+∠EAB＝∠E+∠EAD+∠E+∠ECB∴∠D+∠B＝2∠E，∴∠E＝（∠D+∠B），∵∠ADC＝50°，∠ABC＝40°，∴∠AEC＝×（50°+40°）＝45°；（2）如图2，延长BC交AD于点F，∵∠BFD＝∠B+∠BAD，∴∠BCD＝∠BFD+∠D＝∠B+∠BAD+∠D，∵CE平分∠BCD，AE平分∠BAD，∴∠ECD＝∠ECB＝∠BCD，∠EAD＝∠EAB＝∠BAD，∵∠E+∠ECB＝∠B+∠EAB，∴∠E＝∠B+∠EAB﹣∠ECB＝∠B+∠BAE﹣∠BCD＝∠B+∠BAE﹣（∠B+∠BAD+∠D）＝（∠B﹣∠D）＝（β﹣α），即∠AEC＝＝．（3）的值不发生变化，其值为．如图3，记AB与PQ交于E，AD与CB交于F，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC，∵PQ⊥MN，∴∠DOF＝∠BOE＝90°，∵∠DOF+∠ADP＝∠DAC+∠ACB①，∠ADP+∠DFO＝∠OEB+∠ABC②，所以①﹣②得，90°﹣∠DFO＝∠DAC+∠ACB﹣∠OEB﹣ABC，∴90°﹣∠DFO+（∠OEB﹣∠DAC）＝∠ACB﹣ABC，∴∠ADP+∠ADP＝∠ACB﹣ABC，∴2∠ADP＝∠ACB﹣ABC，∴＝．3．解：（1）①∵+（b﹣d﹣2）2＝0，∴a﹣c＝4，b﹣d＝2，当a＝1，d＝2时，则c＝﹣3，b＝4，故点A、B的坐标分别为（1，4）、（﹣3，2）；②设直线AB的表达式为y＝kx+n，则，解得，故直线AB的表达式为y＝x+，当x＝0时，y＝，故点N（0，），则ON＝，△AOB的面积＝S△ONA +S△ONB＝ON×（x B﹣x A）＝××（1+3）＝7；（2）由（1）知，a﹣c＝4，b﹣d＝2，而b＝﹣1，a＝﹣3，故点A、B的坐标分别为（a，﹣1）、（a﹣4，3），由点AB的坐标得，直线AB的表达式为y＝x﹣1﹣a，①当点C、点O在AB两侧时，如图1，S△AOB +S△ABC＝S△OBC﹣S△OCA＝×CO×（y A﹣y B）＝×7×（3﹣1）＝7≠9，故此种情况不符合题意；②当点C、点O在AB的同侧时，当点C、点O在AB的右侧时，如图2，过点B作BD⊥x轴于点D，连接AD，则S△AOB ＝S△BOD﹣S△ABD﹣S△AOD＝×|a﹣4|×3﹣×3×（a﹣a+4）﹣|a﹣4|×1＝﹣a﹣2，而S△＝S△BOD ﹣S△ABD﹣S△AD＝×[7﹣（a﹣4）]×3﹣×3×4﹣[7﹣（a﹣4）]＝5﹣a，即﹣a﹣2+5﹣a＝9，解得a＝﹣3；当点C、点O在AB的左侧时，如图3，延长BA交x轴于点E，对于y＝x﹣1﹣a，令y＝0，则x＝2+a，故点E（a+2，0），同理可得，S△AOB ＝a+2，S△ABC＝a﹣5，即a+2+a﹣5＝9，解得：a＝6，综上，a＝﹣3或6．4．解：（1）∵点B坐标为（﹣1，2），∴△OAB的面积＝×OA×2＝2，∴OA＝2，∵点A为x轴正半轴上一点，∴点A（2，0）；（2）如图2，过点B作BM⊥x轴于M，点Q作QN⊥x轴于N，∴∠PMB＝∠PNQ＝90°＝∠BPQ，∴∠BPM+∠QPN＝90°，∠BPM+∠MBP＝90°，∴∠QPN＝∠MBP，在△MBP和△NPQ中，，∴△MBP≌△NPQ（AAS），∴BM＝PN＝2，PM＝QN，∵动点P从点A出发以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向运动，∴AP＝2t，∴d＝2+2t+2＝4+2t；（3）∵Q点横坐标为6，∴4+2t＝6，∴t＝1，∴AP＝2，如图3，过点P作PE⊥x轴，交QK于点E，过点K作KF⊥PE，交EP的延长线于F，∴∠APE＝∠BPQ＝90°，∴∠APB＝∠EPQ，又∵BP＝PQ，∠ABP＝∠PQK，∴△APB≌△EPQ（ASA），∴AP＝PE＝2，∠BAP＝∠PEQ，∴BM＝OA＝AP＝PE＝2，∠BAO＝∠KEF，∵∠BMO＝∠BHP＝90°，∠BOM＝∠POH，∴∠MBO＝∠OPH，∴∠MBO+90°＝∠OPH+90°，∴∠BOA＝∠EPK，∴△AOB≌△EPK（ASA），∴AB＝EK，又∵∠BMA＝∠EFK＝90°，∠BAO＝∠KEF，∴△BMA≌△KFE（AAS），∴KF＝BM＝2，EF＝MA＝3，∴PF＝1，∴点K的坐标为（2，﹣1）．5．证明：（1）∵∠BAC＝∠DAE＝120°，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）；（2）∵△ABD≌△ACE，∴BD＝CE＝6，∠ABD＝∠ACE，∵∠BAC＝120°，∴∠ABC+∠ACB＝60°，∴∠ACE+∠ACB＝∠ECF＝60°，∵EF⊥BC，∴∠FEC＝30°，∴FC＝EC＝3，EF＝FC＝3．6．（1）证明：∵∠EAC＝∠DAE+∠DAC＝90°+∠DAC，∠DAB＝∠CAB+∠DAC＝90°+∠DAC，∴∠EAC＝∠DAB，在△EAC和△DAB中，CA＝BA，∠EAC＝∠DAB，AE＝AD，∴△EAC≌△DAB（SAS），∴CE＝BD；（2）证明：在△EAC和△DAB中，CA＝BA，∠CAE＝∠BAD，EA＝DA，∴△EAC≌△DAB（SAS），∴∠ECA＝∠DBA，∵∠CDB为△CFD、△ADB的外角，∴∠CDB＝∠ECA+∠CFD＝∠DBA+∠BAD，∴∠CFD＝∠BAD＝90°，∴CE⊥BD；（3）如图3，设AD＝AE＝a，∵D是AC的中点，则AC＝2a＝AB，则CD＝a，在Rt△ABD中，BD＝＝＝a，∵CE⊥BD，∴∠CFD＝90°，在Rt△AEC中，EC＝＝＝a，S△AEC ＝S△ECD+S△ADE＝×AC•AE，即×EC×DF+×AD×AE＝×AC•AE，即a×DF+a•a＝a•2a，解得DF＝a，则BF＝FD+BD＝a+a＝a，而S△BDE＝AD•EB＝3a•a＝30，解得：a＝＝2，则BF＝a＝12．7．解：（1）∵∠ACB＝90°，CD是BC延长线，∴∠ACD＝∠ACB＝90°．在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS）；（2）由（1）知△ACD≌△BCE∴∠CAD＝∠CBE，又∵∠AEF＝∠BEC，∴∠AFE＝∠BCE＝90°，∴BF⊥AD，又∵BD＝BA，∴BF是AD的垂直平分线；（3）∵EF是AD的垂直平分线，∴EA＝ED，又∵BC＝AC，AB＝BD＝10，∴△DEC的周长＝ED+EC+CD＝AE+EC+CD＝AC+CD＝BC+CD＝AB＝10．8．解：（1）全等．证明：∵∠D＝∠ABE＝90°，∴∠ABG＝90°＝∠D，在△ABG和△ADF中，，∴△GAB≌△FAD（ASA）；（2）∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，∴∠DAF+∠BAE＝45°，∵△GAB≌△FAD，∴∠GAB＝∠FAD，AG＝AF，∴∠GAB+∠BAE＝45°，∴∠GAE＝45°，∴∠GAE＝∠EAF，在△GAE和△FAE中，，∴△GAE≌△FAE（SAS）∴EF＝GE．∵△GAB≌△FAD，∴GB＝DF，∴EF＝GE＝GB+BE＝FD+BE＝2+3＝5．9．（1）解：∵DE∥BC，∠EBC＝35°，∴∠DEB＝∠EBC＝35°，又∵∠BDE+∠DEB+∠DBE＝180°，∠DBE＝40°，∴∠BDE＝105°；（2）证明：∵∠EGH是△FBG的外角，∴∠EGH＞∠ABC，又∵DE∥BC，∴∠ABC＝∠ADE，∴∠EGH＞∠ADE；（3）全等．证明：E是AC和FG的中点，∴AE＝CE，FE＝GE，在△AFE和△CEG中，，∴△AFE≌△CEG（SAS）．10．解：（1）在Rt△ABD中，AB2﹣BD2＝AD2，在Rt△CBD中，AC2﹣CD2＝AD2，∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，即132﹣BD2＝152﹣（14﹣BD）2，解得，BD＝5，∴AD＝＝12；（2）由题意得，EC＝14﹣x，CD＝BC﹣BD＝9，∵AD⊥BC，EF⊥BC，∴△CEF∽△CDA，∴＝，即＝，解得，EF＝，∴△BEF面积为y＝×BE×EF＝×x×＝﹣x2+x（5≤x＜14）；（3）如图3，过点F作FH⊥BC于H，△ABC的周长＝13+14+15＝42，当直线EF将△ABC的周长平分时，BE+BF＝21，∴BF＝21﹣BE＝21﹣x，△ABC的面积＝×BC×AD＝×14×12＝84，∵AD⊥BC，FH⊥BC，∴△BHF∽△BDA，∴＝，即＝，解得，FH＝，∴△BEF的面积＝×x×＝﹣x2+x，当直线EF将△ABC的面积平分时，﹣x2+x＝×84，解得，x1＝（舍去），x2＝，∴当x＝时，直线EF将△ABC的周长和面积同时平分．。

九年级中考复习全等三角形综合(含知识点练习题答案作业)

三角形综合讲义全等综合知识精讲一。

全等三角形的判定方法:边角边定理:两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等、角边角定理:两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等、边边边定理:三边对应相等的两个三角形全等。

角角边定理:两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等、斜边、直角边定理:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等、二、全等三角形的应用:1、运用三角形全等能够证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题,在证明的过程中,注意有时会添加辅助线;2、能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系。

而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础、1.三、全等三角形辅助线的作法2.1、中点类辅助线作法见到中线(中点),我们能够联想的内容无非是倍长中线或者是与中点有关的一条线段,尤其是在涉及线段的等量关系时,倍长中线的应用更是较为常见,常见添加方法如下图( 是底边的中线)、2、角平分线类辅助线作法有下列三种作辅助线的方式:(1)由角平分线上的一点向角的两边作垂线;(２)过角平分线上的一点作角平分线的垂线,从而形成等腰三角形;(3),这种对称的图形应用得也较为普遍、3、截长补短类辅助线作法截长补短法,是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法,也是把几何题化难为易的一种思想、所谓“截长”,就是将三者中最长的那条线段一分为二,使其中的一条线段等于已知的两条较短线段中的一条,然后证明其中的另一段与已知的另一条线段相等;所谓“补短”,就是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等,然后求出延长后的线段与最长的已知线段的关系、有的是采取截长补短后,使之构成某种特定的三角形进行求解、三点剖析一、考点:1。

全等三角形的判定2、全等三角形辅助线的作法二、重难点:1、全等三角形的判定2、全等三角形辅助线的作法三、易错点:1、在使用判定定理证明两个三角形全等时要注意条件的顺序必须和判定定理要求的一样,对应顶点要对应、２、辅助线只是一个指导方法,出现相关条件或结论时不一定要作辅助线或者是依照模型作辅助线,关键是如何分析题目;3、辅助线不是随便都能够作的,比如“作一条线段等于另外一条线段且与某条线段夹角是多少度”这种辅助线就不一定能作出来、1、全等三角形的判定2、全等三角形辅助线的作法例题讲解一:全等与三角形综合例1。

全等三角形的判定复习与总结

全等三角形的判定复习与总结教学目标：1.复习和巩固全等三角形的判定方法；2.总结全等三角形判定的规律和技巧；3.小组合作，培养学生的合作能力和思维能力。

教学准备：1.教学素材：全等三角形判定题目，活动卡片；2.教学工具：黑板、彩色粉笔、计算器。

教学过程：一、引入课题（5分钟）1.引入话题：今天我们要来复习和总结全等三角形的判定方法。

2.引发思考：请回顾一下，全等三角形的判定条件是什么？二、复习全等三角形的判定法（15分钟）1.复习SSS判定法：如果两个三角形的三条边分别相等，则这两个三角形全等。

2.复习SAS判定法：如果两个三角形的一边和两个角度分别相等（这个边是两个角的夹边），则这两个三角形全等。

3.复习ASA判定法：如果两个三角形的两个角度和一边分别相等（这个边是两个角的边），则这两个三角形全等。

4.复习AAS判定法：如果两个三角形的两个角度和一边分别相等（这个边不是两个角的边），则这两个三角形全等。

三、总结全等三角形判定的规律和技巧（15分钟）1.全等三角形判定的基本规律：要判断两个三角形是否全等，只需对应两边相等且夹角相等即可。

2.技巧一：当给出两个三角形的三个边的长度时，先比较三边的长度是否相等，再比较夹角是否相等。

3.技巧二：当给出两个三角形的两边和夹角时，先比较两边的长度是否相等，再比较夹角是否相等。

四、小组合作活动（30分钟）1.分成若干小组，每组3-4个学生，每组发放一组活动卡片。

2.活动内容：每组成员轮流拿一张卡片，上面写有一组给定的边长和角度。

学生根据卡片上的数据，判断这两个三角形是否全等，并给出理由。

其他组员通过提问和讨论来验证判断的正确性。

3.活动要求：每个学生都要积极参与，提出问题和表达自己的观点；每个小组要有一个组长，负责组织小组讨论和总结。

五、展示与总结（20分钟）1.每个小组派出一位学生上台展示他们分析判断的过程，并给出判断的结果和理由。

2.全班一起讨论和比较不同小组的判断结果和理由，总结全等三角形判定的规律和技巧。

全等三角形和等腰直角三角形综合复习

全等三角形和等腰直角三角形综合复习在初中数学的学习中，全等三角形和等腰直角三角形是两个非常重要的概念，它们不仅在几何证明中经常出现，也是解决许多实际问题的有力工具。

接下来，让我们一起对这两个重要的知识点进行一次全面的综合复习。

首先，我们来了解一下全等三角形。

全等三角形指的是能够完全重合的两个三角形。

也就是说，如果两个三角形的三条边及三个角都对应相等，那么这两个三角形就是全等的。

全等三角形具有以下性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。

这是判断两个三角形是否全等的重要依据。

判断两个三角形全等的方法主要有以下几种：“边边边”（SSS）：如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等。

“边角边”（SAS）：如果两个三角形的两条边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等。

“角边角”（ASA）：如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等。

“角角边”（AAS）：如果两个三角形的两个角和其中一个角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等。

“斜边、直角边”（HL）：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等。

在实际解题中，我们需要根据已知条件，灵活选择合适的判定方法来证明两个三角形全等。

接下来，我们再看看等腰直角三角形。

等腰直角三角形是一种特殊的直角三角形，它具有等腰三角形和直角三角形的双重性质。

等腰直角三角形的两条直角边长度相等，两个锐角都是 45 度。

其斜边长可以通过直角边长度乘以根号 2 来计算。

在证明等腰直角三角形的相关问题时，我们常常会用到等腰三角形“等边对等角”“等角对等边”的性质，以及直角三角形的勾股定理等知识。

下面通过一些具体的例题来加深对这两个知识点的理解和运用。

例 1：已知在△ABC 和△DEF 中，AB ＝ DE，∠A ＝∠D，AC ＝DF，求证：△ABC ≌△DEF。

分析：在这个题目中，已知条件给出了两个三角形的两条边和它们的夹角分别对应相等，所以可以使用“边角边”（SAS）的判定方法来证明这两个三角形全等。

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2
如图，点D在AB上，点E在AC上，CD与BE相交于点O，且AD=AE，AB=AC.若∠B=200，CD=5cm，则∠C=_______，BE=_______.
20°,5cm
由条件可挖掘隐含条件：公共角。所以可利用SAS证明两三角形全等。
3
如图，若OB=OD，∠A=∠C，若AB=3cm，CD=_________.
全等。因为∠CAE=∠BAD,所以∠CAB=∠EAD,所以AAS可证明两三角形全等。
3
3cm
隐含条件有一组对顶角相等。
4
5
三、解答题
序号
题干
答案
解析
1
如图，AE=CF，AD∥CB，AD=CB，△AFD与△CEB全等吗？为什么？
全等，因为AD∥Biblioteka B，所以∠A=∠C，又因为AE=CF，所以AF=CE，所以两三角形全等。
2
如图，∠CAE=∠BAD,∠B=∠D，AC=AE，△ABC与△ADE全等吗？为什么？
微课配套习题模板
一、选择题
序号
题干
选项A
选项B
选项C
选项D
正确答案
解析
1
2
3
4
5
二、填空题
序号
题干
答案
解析
1
如图，AB=CD，AC=BD，则与∠ACB相等的角是________，理由是：__________.
∠DBC，SSS
利用折叠可知△ADE≌△FDE，所以FD=AD=BD，△BDF为等腰三角形，用180-50-50即可。

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