作截面图形
关于正方体截面形状探究
关于正方体截面形状探究引题：问题1：什么叫几何体的截面？答：一个几何体与一个平面相交所得到的平面图形叫做几何体的截面。
问题2：截面的边是如何得到的？答：截面的边是平面和几何体表面的交线。
问题3:正方体是立体几何中一个重要的模型，它是一种非常对称的几何体。
如果我们拿一个平面去截一个正方体那么会得到什么形状的截面图形呢？截面图形最多有几条边？答：因为正方体有六个面，所以它与平面最多有六条交线，即所截到的截面图形最多有六条边。
所以截图可能是三角形，四边形，五边形，六边形。
探究1：截面图为三角形时，有几种情况？ 1. 是否可以截出等腰三角形：EA A 1解析:如上图，一正方体被一平面所截后得到截面GEF显然，只要BE=BF 就有GE=GF, ⊿GEF 就是等腰三角形 所以，截到等腰三角形的情况存在。
2.是否可以截出等边三角形: 解析EA A 1一正方体被一平面截后得到三角形GEF ， 只要BE=BF=BG 就有GE=EF=GF 所以，截到等边三角形的情况存在。
3.是否可以截出直角三角形：A A 1解析：若一正方体被一平面截后∠GEF 是直角， 那么：GE ⊥EF 又因为GB ⊥EF所以EF ⊥面GBE 所以EF 与FB 重合 即E 点与B 点重合 不合实际所以，这截得是普通三角形，不是直角三角形。
结论1：用平面去截正方体能截到三边形：（1）等腰三角形，(2)等边三角形，(3)普通三角形； (不能截得直角三角形)探究2：如果，截面为四边形，那么，可以截出哪几类呢? 1.可以截出长方形：分析：过一正方体的一棱有无数个矩形，只要长宽不等，就是长方形。
所以，存在这一情况。
FA A C 1做法：如上图；取正方体一棱AB ，作与棱AB 平行的平面就可以得到一个矩形截面。
2.可以截出正方形:分析：正方体六个表面都是正方形只要用一平行于原表面的平面去截正方体，就可以得到正方形截面,如图所示。
FAA 13.可以截出梯形：分析:用一平面从正方体上表面斜截下，与下底面相交，因为上下两底面平行，由面面平行的性质定理可得EH ∥FG ，只要EH ≠FG,所以可截到梯形。
立体几何中的截面(解析版)
立体几何中的截面(解析版)在立体几何中，截面是指用一个平面去截一个几何体（包括圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥、长方体、正方体等），得到的平面图形。
总共有三种截面方式，分别为横截、竖截、斜截。
我们需要了解每一种立体图形通过上述三种截面方式所得到的截面图有哪些。
正六面体的基本斜截面不会出现以下几种图形：直角三角形、钝角三角形、直角梯形、正五边形。
圆柱体的基本截面也有其特殊性质。
我们可以运用线、面平行的判定定理与性质求截面问题，或者结合线、面垂直的判定定理与性质定理求正方体中截面问题。
此外，我们还可以灵活运用一些特殊图形与几何体的特征，“动中找静”，如正三角形、正六边形、正三棱锥等。
建立函数模型也是求最值问题的一种方法。
在一个透明的塑料制成的长方体内灌进一些水，固定底面一边于地面上，再将倾斜，有四个命题。
其中，水的部分始终呈棱柱状，棱AD始终与水面平行，当倾斜到如图5（2）时，BE·BF是定值。
水面的面积在转动过程中会改变，而BC//FG//A1D1，所以A1D1//面EFGH。
因此，正确的命题序号为①③④。
一个容积为1立方单位的正方体，在棱AB、BB1及对角线B1C的中点各有一小孔E、F、G。
若此可以任意放置，则该可装水的最大容积是多少？分析本题，不能用一个平面去截一个正方体，使得截面为五边形。
进一步地，截面也不能为正五边形。
这是因为正方体的每个面都是正方形，而五边形无法与正方形相切。
因此，无论如何调整平面的位置，都不能得到五边形的截面。
而且OE=OC是抛物线的直线准线，所以焦点F在OC上，且OF=OC=1.故选：D二、完形填空在数学课上，老师讲到一个有趣的问题：如何用一个平面去截一个正方体所得截面不能是一个正五边形。
这个问题引起了我的思考，我开始想象一个平面在正方体中穿过的情景。
我发现，如果截面是一个正五边形，那么这个五边形的五条边必须分属于正方体的五个不同的面。
但是，正方体的每两个相对的面是平行的，所以这五条边中必有两条边是平行的。
立体几何中的截面(解析版)
专题13 立体几何中的截面【基本知识】1．截面定义：在立体几何中，截面是指用一个平面去截一个几何体（包括圆柱，圆锥，球，棱柱，棱锥、长方体，正方体等等），得到的平面图形，叫截面。
其次，我们要清楚立体图形的截面方式，总共有三种，分别为横截、竖截、斜截。
最后，我们要了解每一种立体图形通过上述三种截面方式所得到的截面图有哪些。
2、正六面体的基本斜截面：3、圆柱体的基本截面：正六面体斜截面是不会出现以下几种图形：直角三角形、钝角三角形、直角梯形、正五边形。
【基本技能】技能1.结合线、面平行的判定定理与性质性质求截面问题；技能2.结合线、面垂直的判定定理与性质定理求正方体中截面问题；技能3.猜想法求最值问题：要灵活运用一些特殊图形与几何体的特征，“动中找静”：如正三角形、正六边形、正三棱锥等；技能4.建立函数模型求最值问题：①设元②建立二次函数模型③求最值。
例1 一个正方体接于一个球，过这个球的球心作一平面，则截面图形不可能．．．是（ ）分析 考虑过球心的平面在转动过中，平面在球的接正方体上截得的截面不可能是大圆的接正方形，故选D 。
例2 如图，在透明的塑料制成的长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1容器灌进一些水，固定容器底面一边BC 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，有下列四个命题：① 水的部分始终呈棱柱状； ② 水面EFGH 的面积不改变； ③ 棱A 1D 1始终与水面EFGH 平行；④ 当容器倾斜到如图5（2）时，BE·BF 是定值； 其中正确的命题序号是______________分析 当长方体容器绕BC 边转动时，盛水部分的几何体始终满足棱柱定义，故①正确；在转动过程中EH//FG ，但EH 与FG 的距离EF 在变，所以水面EFGH 的面积在改变，故②错误；在转动过程中，始终有BC//FG//A 1D 1，所以A 1D 1//面EFGH ，③正确；当容器转动到水部分呈直三棱柱时如图5（2），因为BC BF BE V ⋅⋅=21水是定值，又BC 是定值，所以BE·BF 是定值，即④正确。
立体几何中的截面(解析版)
专题13 立体几何中的截面【基本知识】1．截面定义：在立体几何中，截面是指用一个平面去截一个几何体（包括圆柱，圆锥，球，棱柱，棱锥、长方体，正方体等等），得到的平面图形，叫截面。
其次，我们要清楚立体图形的截面方式，总共有三种，分别为横截、竖截、斜截。
最后，我们要了解每一种立体图形通过上述三种截面方式所得到的截面图有哪些。
2、正六面体的基本斜截面：3、圆柱体的基本截面：正六面体斜截面是不会出现以下几种图形：直角三角形、钝角三角形、直角梯形、正五边形。
【基本技能】技能1.结合线、面平行的判定定理与性质性质求截面问题；技能2.结合线、面垂直的判定定理与性质定理求正方体中截面问题；技能3.猜想法求最值问题：要灵活运用一些特殊图形与几何体的特征，“动中找静”：如正三角形、正六边形、正三棱锥等；技能4.建立函数模型求最值问题：①设元②建立二次函数模型③求最值。
例1 一个正方体内接于一个球，过这个球的球心作一平面，则截面图形不可能．．．是（）分析考虑过球心的平面在转动过中，平面在球的内接正方体上截得的截面不可能是大圆的内接正方形，故选D。
例2 如图，在透明的塑料制成的长方体ABCD-A1B1C1D1容器内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，有下列四个命题：①水的部分始终呈棱柱状；②水面EFGH的面积不改变；③棱A1D1始终与水面EFGH平行；④当容器倾斜到如图5（2）时，BE·BF是定值；其中正确的命题序号是______________分析当长方体容器绕BC边转动时，盛水部分的几何体始终满足棱柱定义，故①正确；在转动过程中EHA CBDBC BF BE V ⋅⋅=21水例3 有一容积为1 立方单位的正方体容器ABCD-A 1B 1C 1D 1，在棱AB 、BB 1及对角线B 1C 的中点各有一小孔E 、F 、G ，若此容器可以任意放置，则该容器可装水的最大容积是（ ）A ．21 B ．87 C ．1211 D ．4847 分析 本题很容易认为当水面是过E 、F 、G 三点的截面时容器可装水的容积最大图（1），最大值为8712121211=⋅⋅⋅-=V 立方单位,这是一种错误的解法，错误原因是对题中“容器是可以任意放置”的理解不够，其实，当水平面调整为图（2）△EB 1C 时容器的容积最大，最大容积为1211112121311=⋅⋅⋅⋅-=V ，故选C 。
正方体的截面形状与训练含详解
正方体的截面形状一：问题背景在家做饭时，切菜尤其是切豆腐时，发现截面有很多形状。
若用不同的截面去截一个正方体，得到的截面会有哪几种不同的形状？二：研究方法先进行猜想，再利用土豆和萝卜通过切割实验研究。
三：猜想及其他可能的证明：1.正方形：因为该立体几何图形是正方体，所以用从任意位置与该正方体上下底面平行的平面进行截取可以得到，或者和侧面平行进行截取，由下列图示证明：====》》》由图示可知，水平方向截取正方体，得到的截面为正方形。
====》》》由图示可知，竖直方向截取正方体，得到的截面为正方形。
2.矩形：因为正方形也属于矩形，所以对正方形的证明同适用于矩形。
其次，当长宽不等的矩形截面的图示如下：由上图所示可知，按不同角度截取正方体可以得到矩形。
例如，正方体的六个对角面都是矩形。
3.平行四边形：当平面与正方体的各面都不平行时，所得截面为平行四边形，图示如下：==》由上图所示可知，当截面不与正方体的各面平行时，所得截面可能为平行四边形。
4.三角形：根据一定角度过正方体的三条棱进行截取可以得到三角形的截面，图示如下:==》》》由上图可知，正方体可以截得三角形截面。
但一定是锐角三角形，包括等腰和等边三角形特别的，当截面刚好经过三个面的对角线时，所得的三角形截面为正三角形，图示如下：==》得到：正三棱锥5.猜想之外的截面形状：（1）菱形：如下图所示，当A,B为所在棱的中点时，该截面为菱形：（2）梯形：如图所示，当按一定角度使截面在正方体的上下底面上所存在的线段长短有异时，所得截面可能是梯形：==》》》（3）五边形：如图所示，可以截得五边形截面：=》通过实践及资料查询可知，无法得到正五边形。
（4）六边形：如图所示，可以截得六边形截面：=》特别的，当平面与正方体各棱的交点为中点时，截面为正六边形，如图所示：拓展探究：1.正方体最大面积的截面三角形2.正方体最大面积的截面四边形3.最大面积的截面形状4.截面五边形、六边形性质1.正方体最大面积的截面三角形：如该图所示可证明，由三角面对角线构成的三角形。
第二讲立体图形的截面与三视图
第二讲立体图形的截面与三视图知识要点1．截面：一个平面与一个几何体相交所截得的图形叫做截面。
2. 截同一几何体截面形状截面的形状是平面图形,它可能是三角形,四边形,五边形,六边形或其他平面图形.同一几何体被截后,截面形状与所截角度有关.若所截角度不同,则截面形状随之不同.3．三视图法：（1）主视图：从正面看到的图形叫做主视图；（2）左视图：从左面看到的图形叫做左视图；（3）俯视图：从上面看到的图形叫做俯视图。
4．多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。
三角形、四边形、五边形、六边形等都是多边形。
多边形可以分解成若干个三角形,并且每条对角线可把一个n边形分成(n-2)个三角形(n>2,n是自然数)5．欧拉公式：顶点数＋面数－边数=2典型例题例1一个几何体被平面所截后,得一圆形截面,则原几何体可能是什么形状?例2一正方体截出一角后,剩下的几何体有多少条棱?多少个面?多少个顶点?例3 用一个平面去截一个正方体，截面的形状可能是哪些图形？请分别画出。
例4 用一个平面去截三棱柱最多可以截得五边形；用一个平面去截四棱柱最多可以截得六边形，用一个平面去截五棱柱最多可以截得七边形；如果用一个平面去截n个棱柱，最多能截得几边形？例5 从一个正方体上截去一角（一个四面体）使得剩下部分的棱分别为12条、13条、14条、15条，问应该怎样去截，并画出示意图。
例6 如图2-1是由小立方体搭成的几何体的俯视图，小立方体的数字表示在该位置的小立方体的个数，请画出它的主视图和左视图。
练习题12 13 1 图2-11．一个平面去截一个正方体，截面的形状不可能是（ ）A ．长方形B ．三角形C ．梯形D ．七边形 2．三棱柱的表面展开图形是________形和_________形。
3．正方体的截面中，边数最多的多边形是（ ）A ．四边形B ．五边形C ．六边形D ．七边形 4．把一个正方体截去一个角剩下的几何体最多有（ ）A ．4个面B ．5个面C ．6个面D ．7个面5．用一个平面去截一个三棱柱，截出的面可能是什么形状？可能是三角形吗？可能是四边形吗？可能是五边形吗？可能是六边形吗？先做一做，再想一想。
强基专题--立体几何中的截面问题
强基专题3 立体几何中的截面问题
[跟进训练]
1．(2021·重庆模拟)在三棱锥 P-ABC 中，PA，PB，PC 两两垂直，
PA＝3，PB＝4，PC＝5，点 E 为线段 PC 的中点，过点 E 作该三棱
锥外接球的截面，则所得截面圆的面积不可能为( )
A．6π
B．8π
C．10π
D．12π
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(2)当π2＜θ＜π时，0＜α＜θ＜π，此时sin θ＜1，sin α可以取到最 大值1，
此时过圆锥母线的截面面积最大，最大值为S＝12l2.
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强基专题3 立体几何中的截面问题
综上所述，过圆锥母线的截面面积的最大值与轴截面顶角θ的范 围有关，
当0＜θ≤π2时，轴截面面积最大，最大值为S＝12l2sin θ. 当π2＜θ＜π时，过圆锥母线的截面面积最大，最大值为S＝12l2.
同理 FG∥EH，所以四边形 EFGH 为平行四边形，又 AD⊥BC， 所以四边形 EFGH 为矩形．
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强基专题3 立体几何中的截面问题
由相似三角形的性质得BECF＝AACF，FACC＝AFDG， 所以BECF＋FAGD＝AACF＋FACC，BC＝AD＝2， 所以 EF＋FG＝2，所以四边形 EFGH 的周长为定值 4，S 四边形 EFGH ＝EF×FG≤EF＋2 FG2＝1， 所以四边形 EFGH 的面积有最大值 1.故选 B．]
1 2
l2sin θ.截面VCD的面积S′＝12l2sin α.在△V强基专题3 立体几何中的截面问题
(1)当0＜θ≤π2时，0＜α＜θ≤π2，sin α＜sin θ⇒S′＜S，此时过圆 锥母线的截面面积最大为轴截面面积S＝12l2sin θ.
截面形状及相应面积的求法 (1)结合线、面平行的判定定理与性质定理求截面问题； (2)结合线、面垂直的判定定理与性质定理求正方体中截面问题； (3)猜想法求最值问题：“要灵活运用一些特殊图形与几何体的 特征，“动中找静”，如正三角形、正六边形、正三棱锥等； (4)建立函数模型求最值问题：①设元；②建立二次函数模型； ③求最值．
高考数学复习考点题型专题讲解18 几何体的截面或交线
高考数学复习考点题型专题讲解专题18 几何体的截面或交线1.空间几何体截面的作图主要原理：两个基本事实及两个性质.两个基本事实为：(1)如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们相交于过此点的一条直线；(2)如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内. 两个性质为：(1)如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就和交线平行；(2)如果两个平面平行，第三个平面和它们相交，那么两条交线平行.2.立体几何中的截面类型(1)平面截球：圆面(见专题17).(2)平面截正方体：三角形、四边形、五边形、六边形.(3)平面截圆柱曲面：圆、椭圆、矩形.(4)平面截圆锥曲面：椭圆、双曲线、抛物线.类型一截面的作法空间几何体的截面作图主要作法：(1)直接法；(2)平行线法；(3)延长法；(4)辅助平面法.例1 已知正方体A1B1C1D1－ABCD，E，F，H分别是A1B1，B1C1，AD的中点，试过三点E，F，H作截面.解如图，连接EF，并且延长，与D1A1，D1C1的延长线分别交于N，R两点，连接NH并延长分别交AA1和D1D的延长线于S，T，连接TR分别交CD，CC1于M，G，顺次连接点E，F，G，M，H，S，E，则六边形EFGMHS就是所作截面.训练1 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别在AB，BC，DD1上，求作过E，F，G三点的截面.解作法：①在底面AC内，过E，F作直线EF，分别与DA，DC的延长线交于L，M.②在侧面A1D内，连接LG交AA1于K.③在侧面D1C内，连接GM交CC1于H.④连接KE，FH，则五边形EFHGK即为所求的截面.类型二截面形状的判断首先根据条件作出相应的截面图形，再结合线面的位置关系的判定与性质加以分析，得到截面图形所满足的特征性质，确定其形状.例2 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是棱B1B，B1C1的中点，点G是棱C 1C的中点，则过线段AG且平行于平面A1EF的截面图形为( )A.矩形B.三角形C.正方形D.等腰梯形答案 D解析取BC的中点H，连接AH，GH，AD1，D1G，由题意得GH∥EF，AH∥A1F，又GH⊄平面A1EF，EF⊂平面A1EF，所以GH∥平面A1EF，同理AH∥平面A1EF，又GH∩AH＝H，GH，AH⊂平面AHGD1，所以平面AHGD1∥平面A1EF.故过线段AG 且与平面A 1EF 平行的截面图形为四边形AHGD 1，显然为等腰梯形. 训练2(多选)(2022·苏北四市调研)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点E ，F ，G 分别为棱AB ，AA 1，C 1D 1的中点.下列结论中正确是( )A.过E ，F ，G 三点作正方体的截面，所得截面为正六边形B.B 1D 1∥平面EFGC.BD 1⊥平面ACB 1D.异面直线EF 与BD 1所成角的正切值为22答案 ACD解析 对于A ，因为E ，F ，G 为棱AB ，AA 1，C 1D 1的中点，设A 1D 1的中点为M ，BC 的中点为N ，CC 1的中点为P ，连接点M ，F ，E ，N ，P ，G 可得截面为正六边形，所以A 正确； 对于B ，通过以DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴建立空间直角坐标系，求出B 1D 1→，平面EFG 法向量n 1，可推出B 1D 1→·n 1≠0，故B 1D 1与平面EFG 不平行，所以B 错误； 对于C ，同上建系，求出BD 1→，平面ACB 1的法向量n 2，可推得BD 1→＝λn 2，所以BD 1⊥平面ACB 1，所以C 正确；对于D ，同上建系，求出EF →，BD 1→，设夹角为θ， 则cos θ＝|EF →·BD 1→||EF →|·|BD 1→|，由sin 2θ＋cos 2θ＝1，tan θ＝sin θcos θ，得tan θ＝22，所以D 正确.类型三截面图形面积或周长的计算求截面图形的面积的前提是确定截面的形状，转化为平面图形求解.例3 (1)(2022·济南模拟)已知正四面体ABCD的棱长为2，平面α与棱AB，CD均平行，则α截此正四面体所得截面面积的最大值为( )A.1B.2C.3D.2(2)在三棱锥P－ABC中，PB＝6，AC＝3，G为△PAC的重心，过点G作三棱锥的一个截面，使截面平行于直线PB和AC.则截面的周长为________.答案(1)A (2)8解析(1)如图，设E为棱BC上任一点，且BE→＝λBC→，λ∈(0，1)，过E作EF∥AB交AC于F，作EN∥CD交BD于N，过F作FM∥CD交AD于M，连接MN，则四边形EFMN即平面α截四面体ABCD所得的截面，所以EFAB＝ECBC＝1－λ，所以EF＝2(1－λ)，同理可得EN＝2λ. 又四面体ABCD为正四面体，所以AB⊥CD，所以EF⊥EN，截面EFMN为矩形，且EN＋EF＝2，则矩形EFMN 的面积S ＝EF ·EN ≤⎝⎛⎭⎪⎫EF ＋EN 22＝1， 当且仅当EF ＝EN ＝1，即λ＝12时，“＝”成立，故选A.(2)过点G 作EF ∥AC 分别交PA ，PC 于点E ，F ，过E ，F 分别作EN ∥PB ，FM ∥PB ，分别交AB ，BC 于点N ，M ，连接MN ，∴四边形EFMN 是平行四边形，∴EF 3＝23，即EF ＝MN ＝2， FM PB ＝FM 6＝13，即FM ＝EN ＝2， ∴截面的周长为2×4＝8.训练3 如图，在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是A 1D 1，A 1B 1的中点，过直线BD 的平面α∥平面AMN ，则平面α截该正方体所得截面的面积为( )A.2B.98C.3D.62答案 B解析 如图1，分别取B 1C 1，C 1D 1的中点E ，F ，连接EF ，BE ，DF ，B 1D 1，ME ， 易知EF ∥B 1D 1∥BD ∥MN ，AB ∥ME ，AB ＝EM ， 所以四边形ABEM 为平行四边形， 则AM ∥BE ，又BD 和BE 为平面BDFE 内的两条相交直线，所以平面AMN ∥平面BDFE ，即平面BDFE 为平面α，BD ＝2，EF ＝12B 1D 1＝22，得四边形BDFE 为等腰梯形，DF ＝BE ＝52，在等腰梯形BDFE (如图2)中，过E ，F 作BD 的垂线，垂足分别为G ，H ，则四边形EFGH 为矩形， ∴其高FG ＝DF 2－DG 2＝54－18＝324， 故所得截面的面积为12×⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋2×324＝98.一、基本技能练1.过一个圆锥的侧面一点(不是母线的端点)作圆锥的截面，则截面与该圆锥侧面的交线可以是图形①圆；②椭圆；③抛物线的一部分；④双曲线的一部分中的( )A.①②③④B.①③④C.①②D.①②④答案 A解析根据截面与圆锥的位置关系，所得的图形如图所示，故截面与该圆锥侧面的交线可以是图形①圆；②椭圆；③抛物线的一部分；④双曲线的一部分.2.如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是( )答案 D解析对于A，PS∥QR，故P，Q，R，S四点共面；同理，B、C图中四点也共面；D中四点不共面.3.如图，长方体ABCD－A′B′C′D′中被截去一小部分，其中EH∥A′D′.剩下的几何体是( )A.棱台B.四棱柱C.五棱柱D.六棱柱答案 C解析∵EH∥A′D′，EH∥平面BCC′B′，∴EH∥GF，又平面ABB′A′∥平面DCC′D′，∴EF∥GH，四边形EFGH为平行四边形.故剩下的几何体为五棱柱.4.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱DD1和BB1上的点，MD＝13DD1，NB＝13BB1，那么正方体的过M，N，C1的截面图形是( )A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形答案 C解析正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是棱DD1和BB1上的点，MD＝13DD1，NB＝13BB1，延长C1M交CD的延长线于P，延长C1N交CB的延长线于Q，连接PQ交AD于E，AB于F，连接NF，ME，则正方体的过M，N，C1的截面图形是五边形.故选C.5.在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F，G分别为棱AB，CC1，C1D1的中点，则该正方体被过E，F，G三点的平面截得的截面面积为( )A.34a2B.32a2C.334a2D.332a2答案 C解析作出过E，F，G三点的截面，如图，由图可知，截面为正六边形，且边长为22a，所以截面面积S＝6×12×32×⎝⎛⎭⎪⎫22a2＝334a2，故选C.6.若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥中与平面α平行的棱有( )A.0条B.1条C.2条D.1条或2条答案 C解析如图所示，平面α即平面EFGH，则四边形EFGH为平行四边形，则EF∥GH.∵EF⊄平面BCD，GH⊂平面BCD，∴EF∥平面BCD.又∵EF⊂平面ACD，平面BCD∩平面ACD＝CD，∴EF∥CD.又EF⊂平面EFGH，CD⊄平面EFGH.∴CD∥平面EFGH，同理，AB∥平面EFGH.所以与平面α(平面EFGH)平行的棱有2条.7.(2022·重庆诊断)在棱长为4的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M为B1C1的中点，过点D 作平面α使α⊥BM，则平面α截正方体所得截面的面积为( )A.42B.4 5C.85D.16 2答案 C解析分别取AA1，BB1的中点E，N，连接DE，CN，EN，则EN∥DC，EN＝DC，所以四边形ENCD是平行四边形，由于△B1BM≌△BCN，所以∠MBB1＋∠BNC＝90°，所以BM⊥CN，又因为DC⊥BM，DC∩CN＝C，所以BM⊥平面ENCD，所以平面ENCD即为平面α，又CN＝25，所以截面的面积为25×4＝8 5.8.(2022·南通调研)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，M为CC1的中点，若AM⊥平面α，且B∈平面α，则平面α截正方体所得截面的周长为( )A.32＋25B.4＋4 2C.22＋25D.6 2答案 A解析正方体ABCD－A1B1C1D1中，BD⊥AC，所以BD⊥AM(三垂线定理)，如图，取BB1中点N，A1B1中点E，连接MN，AN，BE，可知BE⊥AN，所以BE⊥AM(三垂线定理)，所以AM⊥平面DBE，取A1D1中点F，则α即为截面BEFD，易求周长为32＋2 5.9.(多选)如图所示，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，过对角线BD1的一个平面交棱AA1于点E，交棱CC1于点F，得四边形BFD1E，在以下结论中，正确的是( )A.四边形BFD1E有可能是梯形B.四边形BFD1E在底面ABCD内的投影一定是正方形C.四边形BFD1E有可能垂直于平面BB1D1DD.四边形BFD1E面积的最小值为6 2答案BCD解析对于选项A，过BD1，作平面与正方体ABCD－A1B1C1D1的截面为四边形BFD1E，如图所示，因为平面ABB1A1∥平面DCC1D1，且平面BFD1E∩平面ABB1A1＝BE，平面BFD1E∩平面DCC1D1＝D1F，所以BE∥D1F，同理D1E∥BF.故四边形BFD1E为平行四边形，因此A错误；对于选项B，四边形BFD1E在底面ABCD内的投影一定是正方形ABCD，因此B正确；对于选项C，当点E，F分别为AA1，CC1的中点时，EF⊥平面BB1D1D，又EF⊂平面BFD1E，则平面BFD1E⊥平面BB1D1D，因此C正确；对于选项D，当F点到线段BD1的距离最小时，平行四边形BFD1E的面积最小，此时点E，F分别为AA1，CC1的中点，此时最小值为12×2×3＝62，因此D 正确.故选BCD.10.(多选)(2022·石家庄模拟)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 是面对角线BD 上的动点，Q 是棱C 1D 1的中点，用过A 1，P ，Q 三点的平面截正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，则所得截面多边形可能是( )A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形 答案 ABC解析 如图①，当点P 与点D 重合时，截面多边形是三角形，选项A 满足题意；图①图②如图②，取棱CD 的中点Q 1，连接QQ 1和AQ 1， 因为Q 是棱C 1D 1的中点，所以QQ1∥DD1∥AA1，将点P移动到平面AA1QQ1与BD交点处，此时截面多边形是四边形，选项B满足题意；图③如图③，令点P距离点B较近，此时截面多边形是五边形，选项C满足题意；易知点P无论如何移动，截面与平面ABCD的交线都平行于A1Q，所以这条交线只能与正方形ABCD的边AB，AD之一有交点(顶点A除外)，则截面不可能与正方形ABB1A1和正方形ADD1A1都有交线(棱AA1除外)，所以截面不可能与正方体的六个面都有交线，则截面多边形不能是六边形，所以选项D不满足题意.故选ABC.11.如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为________.答案平行四边形解析∵平面ABFE∥平面DCGH，又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面DCGH＝HG，∴EF∥HG.同理EH∥FG，∴四边形EFGH是平行四边形.12.(2022·衡水模拟)在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，过B，E，D的截面与棱A1B1交于F，则截面BED1F分别在平面A1B1C1D1和平面ABB1A1上的正投影1的面积之和为________.答案 1解析因为平面BED1F∩平面ABCD＝BE，平面BED1F∩平面A1B1C1D1＝D1F，平面A1B1C1D1∥平面ABCD，所以BE∥D1F，同理D1E∥BF，所以截面BED1F是平行四边形，所以BE＝D1F，所以A1F＝CE，从而B1F＝DE，截面BED1F在平面A1B1C1D1上的正投影是以B1F为底，该底对应的高为1的平行四边形，在平面ABB1A1上的正投影是以A1F为底，该底上的高为1的平行四边形，因此两个投影的面积和S＝(CE＋DE)×1＝1为定值.二、创新拓展练13.(2022·浙江五校联考)如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的高为4，底面边长为43，D是B1C1的中点，P是线段A1D上的动点，过BC作截面α⊥AP于点E，则三棱锥P－BCE体积的最小值为( )A.3B.2 3C.43D.12答案 C解析如图，取BC的中点F，连接FD，FA，FE，FP，过点E作EH⊥AF于点H，则BC⊥平面AFDA1，所以BC⊥EH，AF∩BC＝F，所以EH⊥平面ABC.因为AF＝6，且V P－ABC＝13×123×4＝163＝V P－EBC＋V E－ABC，所以当三棱锥E－ABC体积最大时，三棱锥P－BCE体积最小.因为AE⊥EF，所以AE2＋EF2＝AF2＝36≥2AE·EF，所以AE·EF≤18.设三棱锥E－ABC的高为h，由AE·EF＝AF·h，得h＝AE·EFAF≤3，因为V E－ABC＝13×S△ABC×h＝43h，所以(V E－ABC)max＝123，所以(V P－EBC)min＝43，故选C.14.(多选)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题中正确的是( )A.当0<CQ<12时，S为四边形B.当CQ＝12时，S为等腰梯形C.当CQ＝34时，S与C1D1的交点R满足C1R＝13D.当34<CQ<1时，S为六边形答案ABC解析如图1，当Q为CC1的中点，即CQ＝12时，PQ∥BC1且PQ＝12BC1，图1 又AD1綊BC1，故PQ ∥AD 1且PQ ＝12AD 1，PA ＝D 1Q ，故截面APQD 1为等腰梯形，故B 正确；当0<CQ <12时，只需在DD 1上取点M 使PQ ∥AM ，即可得截面APQM 为四边形，故A 正确；当CQ ＝34时，延长AP ，DC 交于M ，连接QM ，直线QM 与C 1D 1交于点R ，如图2，因CQ ＝34，则C 1Q ＝14，CS ＝1，又C 1R CM ＝C 1Q QC ，故C 1R ＝13，选项C 正确；图2当34<CQ <1时，S 为五边形，D 错误. 15.(多选)(2022·烟台调研)如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝2，M 为AA 1的中点，过B 1M 作长方体的截面α交棱CC 1于点N ，则下列说法正确的是( )A.截面α可能为五边形B.存在点N ，使得BN ⊥截面αC.若截面α为平行四边形，则1≤CN ≤2D.当点N与点C重合时，截面面积为36 4答案ACD解析选项A，设P为CC1的中点，当N在PC1之间时，截面α为平行四边形NQMB1，当N在PC之间时，截面α为五边形N1Q1GMB1，其中NQ∥B1M，N1Q1∥B1M，故选项A，C正确；若BN⊥截面α，则BN⊥B1M，这显然是不成立的，因为如果成立，可以推出B1M⊥平面BB1C1C，显然错误，故选项B错误；当点N与点C重合时，截面为梯形CGMB1，易知G为AD的中点.易求CG＝GM＝52，MC＝3，MB1＝2，B1C＝5，所以CM⊥B1M，△CGM为等腰三角形，故S＝S△CGM＋S△CMB1＝12×3×22＋12×3×2＝364，故选项D正确.故选ACD.16.(多选)(2022·南京师大附中模拟)如图，圆柱的底面半径和高均为1，线段AB是圆柱下底面的直径，点O是下底面的圆心.线段EF是圆柱的一条母线，且EO⊥AB.已知平面α经过A，B，F三点，将平面α截这个圆柱所得到的较小部分称为“马蹄体”.记平面α与圆柱侧面的交线为曲线C，则( )A.曲线C是椭圆的一部分B.曲线C是抛物线的一部分C.二面角F－AB－E的大小为π4D.马蹄体的体积为V满足13<V<π4答案ACD解析将相同的圆柱按如图方式拼接在一起，将两个球放入圆柱内，使每一个球既与圆柱相切，又与曲线C所在平面相切，球与曲线C的切点为Q，R，取曲线C上一点P，过P点的圆柱母线与两球交于M，N两点，由于PM，PR同是下面球的切线，PN，PQ同是上面球的切线，可得PM＝PR，PN＝RQ，则PR＋PQ＝PM＋PN＝MN>QR，由椭圆定义知：曲线C是椭圆的一部分，A正确；B错误；连接OF，由EO⊥AB，EF⊥AB，知AB⊥平面EOF，故OF⊥AB，则∠FOE为二面角F－AB－E的平面角，又OE＝EF＝1，则∠FOE＝π4，C正确；由补成的几何体知马蹄体的体积为V小于圆柱体的14，即为V<π4，又V F－AEB＝13×12×2×1×1＝13，所以V>13，所以13<V<π4，D正确.故选ACD.17.(2022·广州模拟)四棱锥P－ABCD各顶点都在球心为O的球面上，且PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，PA＝AB＝2，AD＝4，设E，F分别是PB，BC的中点，则球O被平面AEF所截得的截面面积为________.答案14π3解析由题可知PC的中点即为球心O，故球的半径R＝12＋12＋22＝6，设球心O到平面AEF的距离为d，截面圆的半径为r.由题意可知球心O到平面AEF的距离等于点B到平面AEF的距离，在三棱锥B－AEF中，由等体积法可得d＝23 3，故r2＝R2－d2＝143，故截面面积S＝πr2＝14π3.18.(2022·武汉三模)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，点P在线段CB1上，若平面α经过点A，C1，P，则它截正方体ABCD－A1B1C1D1所得的截面的周长最小值为________.答案2 5解析当点P靠近点C或与点C重合时，A，C1，P三点确定的平面α如图①所示，图①因为平面ADD1A1∥BCC1B1，所以AE∥QC1，同理AQ∥EC1，所以四边形AEC1Q是平行四边形，即为所求的截面，设D1E＝x(0≤x≤1)，则A1E＝1－x，所以AQ＝EC1＝x2＋1，QC1＝AE＝（1－x）2＋1，AQ＋AE＝x2＋1＋（1－x）2＋1＝（x－0）2＋（0－1）2＋（x－1）2＋（0－1）2，可以看作R(x，0)到M(0，1)和N(1，1)距离之和的最小值，M(0，1)关于x轴的对称点为M′(0，－1)，连接M′N，其长度即AQ＋AE的最小值，由勾股定理得|M′N|＝5，所以周长的最小值为2 5.图②当点P靠近点B1或与点B1重合时，A，C，P三点确定的平面α如图②所示，因为平面ADD1A1∥BCC1B1，1所以AE∥QC1，同理AQ∥EC1，所以四边形AEC1Q是平行四边形，即为所求的截面，同理，所求周长的最小值为2 5.综上所述，周长的最小值为2 5.。
立体几何中的截面(解析版)
专题13 立体几何中的截面【基本知识】1．截面定义：在立体几何中，截面是指用一个平面去截一个几何体（包括圆柱，圆锥，球，棱柱，棱锥、长方体，正方体等等），得到的平面图形，叫截面。
其次，我们要清楚立体图形的截面方式，总共有三种，分别为横截、竖截、斜截。
最后，我们要了解每一种立体图形通过上述三种截面方式所得到的截面图有哪些。
2、正六面体的基本斜截面：3、圆柱体的基本截面：正六面体斜截面是不会出现以下几种图形：直角三角形、钝角三角形、直角梯形、正五边形。
【基本技能】技能1.结合线、面平行的判定定理与性质性质求截面问题；技能2.结合线、面垂直的判定定理与性质定理求正方体中截面问题；技能3.猜想法求最值问题：要灵活运用一些特殊图形与几何体的特征，“动中找静”：如正三角形、正六边形、正三棱锥等；技能4.建立函数模型求最值问题：①设元②建立二次函数模型③求最值。
例1 一个正方体内接于一个球，过这个球的球心作一平面，则截面图形不可能．．．是（）分析考虑过球心的平面在转动过中，平面在球的内接正方体上截得的截面不可能是大圆的内接正方形，故选D。
例2 如图，在透明的塑料制成的长方体ABCD-A1B1C1D1容器内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，有下列四个命题：①水的部分始终呈棱柱状；②水面EFGH的面积不改变；③棱A1D1始终与水面EFGH平行；④当容器倾斜到如图5（2）时，BE·BF是定值；其中正确的命题序号是______________分析当长方体容器绕BC边转动时，盛水部分的几何体始终满足棱柱定义，故①正确；在转动过程中EH//FG，但EH与FG的距离EF在变，所以水面EFGH的面积在改变，故②错误；在转动过程中，始终有BC//FG//A1D1，所以A1D1//面EFGH，③正确；当容器转动到水部分呈直三棱柱时如图5（2），因为BCBFBEV⋅⋅=21水是定值，又BC是定值，所以BE·BF是定值，即④正确。
圆柱和圆锥的截面是什么图形
圆柱和圆锥的截面是什么图形我们知道，圆柱和圆锥中垂直于轴的横截面是一个圆面，那么截面不垂直于轴时又会是什么图形呢？关于这个问题，历史上许多人都做过卓有成效的研究，为了便于大家学习，现在我们做一个小小的总结。
先说圆柱中的截面。
图1是圆柱的轴截面，AB是不垂直于轴的截面，分别与圆柱的内切球切于点C、D，E、F是球与圆柱的切点，根据球切线的性质，AC=AE，AD=AF，AC=BD，所以AB=EF。
图2是圆柱的直观图，P是截面边线上的任意一点，过P作圆柱的母线，分别切两球于点M、N，因为PC=PM，PD=PN，所以PC+PD=PM+PN=MN=EF=AB，即点P的到定点C、D的距离之和为定值AB，且AB>CD，根据椭圆的定义，截面就是一个椭圆面，椭圆面的焦点是C、D，长轴是AB。
再说圆锥中的截面，情况要复杂一些。
在图3、图4中，截面AB与圆锥如图相交，并且AB=EF。
在切面边线上任取一点P，过P作圆锥母线，分别切两圆于M、N两点，与圆柱情况一样，PC+PD=PM+PN=MN=EF=AB，点P的到定点C、D的距离之和为定值CD，截面也是一个椭圆面，椭圆面的焦点是C、D，长轴是AB。
再看图5、图6，截面AB与母线GH平行，内切球分别与圆锥、截面切于点C、E、F，过E、F平行于底面的平面与截面AB延展相交于直线D，由图可知，BD=KF。
在截面AB的边线上任取一点P，过P作圆锥母线，切内切球于M，则有PM=PC。
过P作平行于底面的截面O，交母线于N。
过P作直线D的垂线段，垂线段与OD平行且相等，又PM=NF=OD，所以点P到点C的距离等于到直线D的距离，根据抛物线的定义，此时的截面应是抛物线面，焦点是C，准线是直线D。
最后看图7、图8，截面AB与轴平行，内切球分别与圆锥、截面切于点C、D、E、F，根据球切线的性质，AC=AE，AD=AF，AC-AD=AF-AE，即AB=EF。
在截面AB的边线上任取一点P，过P作圆锥母线，切内切球于M、N，则有PC=PM，PD=PN。
棱柱＼棱锥截面多边形的作图
棱柱＼棱锥截面多边形的作图用一个平面去截多面体，该平面与多面体各面的交线围成的平面图形，叫做多面体的一个截面，多面体的截面是多边形，一般的学生，对于解决有关截面的题目上，感到困难。
截面存在两个问题：①怎样作出截面；②求截面的元素及与截面有关的量。
只有正确作出截面，才能判断其形状，从而找出计算各量的途径。
要正确作出多面体的截面多边形，关键是找到截面与各棱的交点（即是截面多边形的顶点）。
本文重点介绍以“三角形奠基法”为主的两种作截面的方法，这两种方法在棱柱、棱锥等多面体中作截面是很凑效的。
1三角形奠基法这一作图法的根据是平面的三个基本性质（即三条公理，略），所谓“三角形奠基法”，即是以三点确定的三角形截平面为基础，再由平面性质确定该截平面与各棱的交点，从而完成所求作的截面多边形。
例1：在正方体ABCD——A１B１C１D１中，过AD、CD中点E、F和BB １延长线上的H点N（B１N=BB１）作截面。
解：我们先找到确定截平面的三个点，在平面ABCD内作直线EF∩BC=N1，EF∩BA=N2。
∵EF截平面∴N１、N2截平面、于是△NN１N2为奠基三角形，其中点N、N１∈平面BB１C１C，点N、N2∈平面ABB１A１，且NN2∩AA１=P，NN2∩A１B１=Q，NN１∩B１C１=R，NN１∩CC１=S。
则多边形FEPQRS为所求作的截面，由已知条件及作图，可判定截面为正六边形。
（证明略）例2：已知四棱锥M—ABCD，其中P∈AM，E∈MD，K∈MB，作出过P、K、E的截面多边形。
解：为了作出截平面与底面的交线，必须先找出同属于截平面EPK和底平面ABCD的两个点。
在平面ABM上作PK∩AB=N1，在平面ADM上作PE∩AD=N2，则N１N2截平面EPK，且N１N2?奂底面ABCD。
于是△PN１N2为我们要找的奠基三角形，由这三角形我们来找截平面与MC的交点F，在面ABCD上作DC∩N１N2=H，则H∈面MCD，连EH∩MC=F，点F为所求另一顶点。
立体几何截面问题的十种题型(解析版)
第21讲立体几何截面问题10类【题型一】做截面的基本功：补全截面方法【典例分析】在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=AA 1=2,AD=3,点E 、F 分别是AB 、AA 1的中点，点E 、F 、C 1∈平面α，直线A 1D 1⋂平面α=P ，则直线BP 与直线CD 1所成角的余弦值是3378 A22 C B 3 D 3 99、、、、答案：B解析：如图，计算可得余弦值是3【变式演练】1.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 、P 分别是棱11C D 、1AA 、BC 的中点，则经过M 、N 、P 的平面与正方体1111ABCD A B C D -相交形成的截面是一个（）A ．三角形B ．平面四边形C ．平面五边形D ．平面六边形【答案】D分别取11A D 、AB 、1C C 的中点、、F H E ，连接MF 、FN 、NH 、HP 、PE 、EM 、11A C 、AC 、NE 、1A B ，先证明、、、H P M F 四点共面，再证明N ∈平面HPMF ，P ∈平面HPMF 可得答案.【详解】如图，分别取11A D 、AB 、1C C 的中点、、F H E ，连接MF 、FN 、NH 、HP 、PE 、EM 、11A C 、AC 、NE 、1A B ，且M 、N 、P 分别是棱11C D 、1AA 、BC 的中点，所以11//A C FM 、//HP AC ，且11//A C AC ，所以//HP FM ，即、、、H P M F 四点共面，因为11//=，F BP F BP A A ，所以四边形1A FPB 是平行四边形，所以1//A B FP ，又因为1//A B NH ，得//NH FP ，且FP ⊂平面HPMF ，H ∈平面HPMF ，所以NH ⊂平面HPMF ，得N ∈平面HPMF ，因为11//=，M H MC B C BH ，所以四边形1C MHB 是平行四边形，所以1//C B MH ，又因为1//C B EP ，得//MH EP ，又MH ⊂平面HPMF ，P ∈平面HPMF ，所以PE ⊂平面HPMF ，得E ∈平面HPMF ，所以、、、、、H P E M F N 六点共面，平面六边形HPEMFN 即为经过M 、N 、P 与正方体1111ABCD A B C D -相交形成的截面，故选：D.2.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1CC 的中点，则过三点A 、D1、E 的截面过（）A ．AB 中点B ．BC 中点C ．CD 中点D ．BB1中点【答案】B根据截面特点结合正方形结构性质求解.【详解】取BC 的中点F ，连接EF ，AF ，如图，则1EF AD ∥，所以F 在截面上,故选：B3.如图正方体1111ABCD A B C D -，棱长为1，P 为BC 中点，Q 为线段1CC 上的动点，过A ､P ､Q 的平面截该正方体所得的截面记为Ω.若1CQ CC λ→→=，则下列结论错误的是（）A ．当102λ∈⎛⎫⎪⎝⎭,时，Ω为四边形B ．当12λ=时，Ω为等腰梯形C ．当3,14λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，Ω为六边形D ．当1λ=时，Ω的面积为2【答案】C 【分析】根据题意，依次讨论各选项，作出相应的截面，再判断即可.【详解】解：当102λ<<时，如下图1，Ω是四边形，故A 正确；当12λ=时，如下图2，Ω为等腰梯形，B 正确：当314λ<<时，如下图3，Ω是五边形，C 错误；当1λ=时，Q 与1C 重合，取11A D 的中点F ，连接AF ，如下图4，由正方体的性质易得1////BM PC AF ，且=1PC AF ，截面Ω为1APC F 为菱形，其面积为112AC PF ⋅，D 正确.故选：C【题型二】截面形状的判断【典例分析】一个三棱锥的各棱长均相等，其内部有一个内切球，即球与三棱锥的各面均相切（球在三棱锥的内部，且球与三棱锥的各面只有一个交点），过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面图形是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【分析】根据题意可知，该三棱锥为正四面体，内切球与各面相切于各个面的中心，即可判断出选项B 正确．【详解】如图所示：因为三棱锥的各棱长均相等，所以该三棱锥为正四面体，内切球与各面相切于各个面的中心，即可知过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面图形是．故选：B ．【变式演练】1.如图，正四棱锥P ABCD -的高为12，AB =E ，F 分别为PA ，PC 的中点，过点B ，E ，F 的截面交PD 于点M ，截面EBFM 将四棱锥分成上下两个部分，规定BD为主视图方向，则几何体CDAB FME -的俯视图为（）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【分析】根据主视图所给方向即可知俯视图中底面正方形，计算可知M 点投影位置，即可得出答案.【详解】研究平面DPB ，设AC 与BD 的交点为O ，BM 与EF 交点为N,,E F 为,PA PC 的中点，N ∴为PO 的中点，12PO =，6ON OB ∴==，又因为12tan 26PO PDB OD ∠===,过点M 作MG DB ⊥，设GB x =，45NBO ∠=︒ ，GB MG x ∴==，又12DB = ，12DG x ∴=-，tan 212xPDB x∠==-,8x GB ∴==,DG ∴为4个格，GB 为8个格，故选：C 2.用一个平面去截正方体，所得截面不．可能是（）A ．直角三角形B ．直角梯形C ．正五边形D ．正六边形【答案】ABC 【分析】根据正方体的几何特征，我们可分别画出用一个平面去截正方体得到的几何体的图形，然后逐一与四个答案中的图形进行比照，即可判断选项．【详解】当截面为三角形时，可能出现正三角形，但不可能出现直角三角形；截面为四边形时，可能出现矩形，平行四边形，等腰梯形，但不可能出现直角梯形；当截面为五边形时，不可能出现正五边形；截面为六边形时，可能出现正六边形，故选：ABC．3.在正方体1AC 中，M 为AB 中点，N 为BC 中点，P 为线段1CC 上一动点（不含C ）过M 、N 、P 与正方体的截面记为α，则下面三个判断，其中正确判断的序号有______．①当P 为1CC 中点时，截面α为六边形；②当112CP CC <时，截面α为五边形；③当截面α为四边形时，它一定是等腰梯形；【答案】①③.【分析】①延长MN 交AD 于M '，交CD 于N '，延长N P '交11C D 于T ，取11A D 的中点S ，连接M S '交1AA 于P '，连接11,AC A C ，结合图形即可判断；②延长MN 交AD 于M '，交CD 于N '，连接1N D '交1CC 于P ，连接1M D '交1AA 于P '，此时截面α为五边形，求出1CPCC 即可判断；③当截面α为四边形时，点P 与点1C 重合，判断四边形11A MNC 的形状即可.【详解】解：如图①，延长MN 交AD 于M '，交CD 于N '，延长N P '交11C D 于T ，取11A D 的中点S ，连接M S '交1AA 于P '，连接11,AC A C ，因为M 为AB 中点，N 为BC 中点，所以MN AC ∕∕，同理11ST A C ∕∕，又因11AC A C ∕∕，所以ST MN ∕∕，同理,SP PN MP PT ''∕∕∕∕，所以,,,,,S T P N M P '共面，此时六边形STPNMP '为截面α，所以截面α为六边形；故①正确；如图②，延长MN 交AD 于M '，交CD 于N '，连接1N D '交1CC 于P ，连接1M D '交1AA 于P '，此时截面α为五边形因为11CD C D ∕∕，所以11CPN C PD ' ∽，所以11112CP CN C P C D '==，即113CP CC =，所以当113CP CC ≤时，截面α为五边形；故②错误；当截面α为四边形时，点P 与点1C 重合，如图，由①得，11MN A C ∕∕，所以四边形11A MNC 即为截面α，设正方体的棱长为1，则12NC =，12MA =，所以11NC MA =，所以四边形11A MNC 是等腰梯形；故③正确.故答案为：①③.【题型三】平行关系确定截面【典例分析】在三棱锥A BCD -中，AB CD a ==，截面MNPQ 与AB ，CD 都平行，则截面MNPQ 的周长等于（）A ．2aB ．4aC ．aD ．无法确定【答案】A 【分析】由线面平行的性质定理确定截面MNPQ 的形状，再利用三角形相似的性质求截面MNPQ 的周长.【详解】设AMk CM=，因为//AB 平面MNPQ ，平面ABC 平面MNPQ MN =，AB Ì平面ABC ，所以//MN AB ，同理可得//PQ AB ，//MQ CD ，//NP CD ，故四边形MNPQ 为平行四边形，所以11MN PQ AB AB k ==+，1MQ NP k CD CD k==+.因为AB CD a ==，所以1aMN PQ k ==+，1ak MQ NP k==+，所以四边形MNPQ 的周长为2211aak MN PQ MQ NP a k k ⎛⎫+++=+= ⎪++⎝⎭.故选：A.【变式演练】1.在正方体1111ABCD A B C D -中，与AC 平行，且过正方体三个顶点的截面是___________和___________.【答案】平面11AC D 平面11A C B【分析】根据题意，结合图形，得出与AC 平行，且过正方体三个顶点的截面是平面11AC D ，平面11A C B ．【详解】解：在正方体1111ABCD A B C D -中，与AC 平行，且过正方体三个顶点的截面是平面11AC D ，平面11A C B ．11//AA CC ，11AA CC =，∴四边形11ACC A 是平行四边形；11//AC A C ∴，又AC ⊂/平面11AC D ，11AC ⊂平面11ACD ，//AC ∴平面11AC D ；同理//AC 平面11A C B ．故答案为：平面11AC D ，平面11A CB ．2.若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥与平面α平行的棱有（）A ．0条B ．1条C ．2条D ．4条【答案】C 【分析】由平行四边形的性质有两对边平行且相等，再应用线面平行的判定可确定线面平行，由线面平行的性质、判定即可知有几条棱与平面α平行.【详解】如下图示，若平面α即为面HEGF 为平行四边形，即//HE FG 且HE FG =，//EG HF 且EG HF =，又HE ⊂面ACD ，FG ⊄面ACD ，则//FG 面ACD ，而FG ⊂面ABD ，面ABD ⋂面ACD AD =，∴//FG AD ，由线面平行判定易知：//AD 平面α；同理可得//EG BC ，易得//BC 平面α.∴该三棱锥与平面α平行的棱有AD 、BC ，共2条.故选：C3.如图是一个以 A 1B 1C 1为底面的直三棱柱被一平面所截得的几何体，截面为 ABC ．已知AA 1=4，BB 1=2，CC 1=3.在边AB 上是否存在一点O ，使得OC ∥平面A 1B 1C 1.【答案】存在【分析】取AB 的中点O ，连接OC ，可证明11//,OD CC OD CC =，即四边形ODC 1C 是平行四边形，所以OC ∥C 1D ，由线线平行证明线面平行，即得证【详解】存在，取AB 的中点O ，连接OC ，作OD ∥AA 1交A 1B 1于点D ，连接C 1D ，则OD ∥BB 1∥CC 1.因为O 是AB 的中点，所以OD=12(AA 1+BB 1)=3=CC 1，则四边形ODC 1C 是平行四边形，所以OC ∥C 1D.又C 1D ⊂平面C B 1A 1，且OC ⊄平面C 1B 1A 1，所以OC ∥平面A 1B 1C 1.即在边AB 上存在一点O ，使得OC ∥平面A 1B 1C 1.【题型四】垂直关系确定的截面【典例分析】已知正三棱柱(底面为正三角形的直棱柱)111ABC A B C -的体积为AB =D 是11B C 的中点，点P 是线段1A D 上的动点，过BC 且与AP 垂直的截面α与AP 交于点E ，则三棱锥P BCE -的体积的最小值为A 2B ．32C ．2D ．52【答案】A 【分析】由正三棱柱111ABC A B C -的体积为AB =12AA =，由于P ABC P BCE A BCE V V V ---==+，所以要使三棱锥P BCE -的体积最小，则三棱锥E ABC -的体积最大，设BC 的中点为F ，作出截面如图所示，可得点E 在以AF 为直径的圆上，从而可求出点E 到底面ABC 距离的最大值，进而可求得三棱锥P BCE -的体积的最小值【详解】如图所示，因为正三棱柱111ABC A B C -的体积为AB =(214AA ⨯⨯=，即12AA =，因为(21234P ABC P BCE A BCE V V V ---=⨯⨯=+，所以要使三棱锥P BCE -的体积最小，则三棱锥E ABC -的体积最大，设BC 的中点为F ，作出截面如图所示，因为AP α⊥，所以AE EF ⊥，所以点E 在以AF 为直径的圆上，所以点E 到底面ABC 1322=，所以三棱锥P BCE -的体积的最小值为(21332-⨯⨯=.故选：A.【变式演练】1.如图，ABCD A B C D ''''-为正方体，任作平面α与对角线AC '垂直，使得α与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为S ，周长为l ，则（）A ．S 为定值，l 不为定值B ．S 不为定值，l 为定值C ．S 与l 均为定值D ．S 与l 均不为定值【答案】B【分析】将正方体切去两个正三棱锥'A A BD -与'''C D B C -后，得到一个以平行平面'A BD 与''D B C 为上、下底面的几何体V ，V 的每个侧面都是等腰直角三角形，截面多边形W 的每一条边分别与V 的底面上的一条边平行，将V 的侧面沿棱''A B 剪开，展开在一个平面上，得到一个平行四边形''11A B B A ，考查'E 的位置，确定,S l【详解】解：将正方体切去两个正三棱锥'A A BD -与'''C D B C -后，得到一个以平行平面'A BD 与''D B C 为上、下底面的几何体V ，V 的每个侧面都是等腰直角三角形，截面多边形W 的每一条边分别与V 的底面上的一条边平行，将V 的侧面沿棱''A B 剪开，展开在一个平面上，得到一个平行四边形''11A B B A ，如图所示而多边形W 的周界展开后便成为一条与'1A A 平行的线段（如图中'1E E ），显然，''11E E A A =，所以l 为定值，当'E 位于''A B 中点时，多边形W 为正六边形，而当'E 称到'A 时，W 为正三角形，则当周长这定值l 的正六22，所以S 不是定值，故选：B 2.正方体1111ABCD A B C D -，的棱长为4，已知1AC ⊥平面α，1AC β⊂，则关于α､β截此正方体所得截面的判断正确的是（）A ．α截得的截面形状可能为正三角形B ．1AA 与截面αC ．α截得的截面形状可能为正六边形D ．β截得的截面形状可能为正方形【答案】ABC【分析】首先根据已知条件确定截面,αβ，然后根据选项依次判断正误即可.【详解】如图因为正方体1111ABCD A B C D -∴AC BD ⊥，1BD CC ⊥，又∵1AC CC C = ∴BD ⊥平面11ACC A 又∵1AC ⊂平面11ACC A ∴1AC BD ⊥同理：11AC A D ⊥又∵1A D BD D ⋂=∴1AC ⊥平面1A BD ∴平面α可以是平面1A BD ，又因为11A D BD A B ==∴1A BD 为等边三角形，故A 正确取111111,,,,,A D D D CD CB BB A B 的中点,,,,,E G P K H F 并依次连接易知11=2EG A D ∥，因为EG ⊄平面1A BD ，1A D ⊂平面1A BD ∴=EG ∥平面1A BD 同理：GP 平面1A BD 又因为EG GP G = 且EG ⊂平面EGPKHF ，GP ⊂平面EGPKHF ∴平面EGPKHF ∥平面1A BD ∴平面α可以是平面EGPKHF ∵=EG GP PK KH HF FE ====∴六边形EGPKHF 是正六边形，故C 正确以平面α是平面1A BD 为例计算：设A 到平面1A BD 的距离为h等体积法求距离∵11A A BD A ABD V V --=，∴111133A BD ABD h S AA S ⋅⋅=⋅⋅又因为11=2A BD S ⨯ ，1=44=82ABD S ⨯⨯∴=3h 则1AA 与平面1A BD所成角的正弦值为1=3h AAB 正确对于D 选项：由于直线1AC β⊂，在正方体上任取点但异于1,A C ，与1,A C 可构成平面β，但是截面的形状都不是正方形，故D 错误故选：ABC3.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，M 为1AA 的中点，平面α过点1D 且与CM 垂直，则（）A ．CM BD⊥B ．//BD 平面αC ．平面1//C BD 平面αD ．平面α截正方体所得的截面面积为92【答案】ABD【分析】分析出BD ⊥面ACM ，可判断选项A ；取AD 的中点E ，由平面几何知识可知，1DM D E ⊥，从而判断出CM ⊥面11B D EF ，即平面α截正方体所得的截面为梯形11B D EF ，从而可判断剩余的三个选项.【详解】连接AC ，则AC BD ⊥，又因为BD AM ⊥，AC AM A ⊥=,所以BD ⊥面ACM ，又因为CM ⊂面ACM ，所以BD ⊥CM ，故选项A 正确；取AD 的中点E ，AB 的中点F ，连接1D F ，EF ，1B F ，DM ，11B D ,在正方形11ADD A 中，由平面几何知识可知，1DM D E ⊥，又因为1CD D E ⊥，CD DM D ⋂=，所以1D E ⊥面CDM ，所以1D E CM ⊥,又因为BD ⊥CM ，所以11B D CM ⊥，又因为1111D E B D D ⋂=,所以CM ⊥面11B D EF ，即平面α截正方体所得的截面为梯形11B D EF ，所以显然//BD 平面α，选项B 正确；平面1C BD 与平面α不平行，选项C 错误；在梯形11B D EF 中，11B D =EF =11B F D E ==所以梯形的高为2，所以梯形11B D EF 的面积为92，即平面α截正方体所得的截面面积为92，故选项D 正确.故选：ABD.【题型五】求截面周长【典例分析】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，4AB =，E 为棱BC 的中点，F 为棱11A D 的四等分点（靠近点1D ），过点,,A E F 作该正方体的截面，则该截面的周长是___________.【分析】首先根据面面平行的性质定理作出过点,,A E F 的正方体的截面，从而求截面的周长.【详解】如图，取11C D 的中点H ，取1CC 上靠近点1C 的三等分点G ，连接,,,,AE EG GH HF FA ，易证//,//AE HF AF EG ，则五边形AEGHF 为所求截面.因为4AB =，所以111182,3,1,3BE CE C H D H A F D F CG =======，143C G =则103AE EG ==，5,GH HF AF ===故该截面的周长是AE EG GH HF AF ++++【变式演练】1.正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，所有棱长均为2，点E ，F 分别为棱BB 1，A 1C 1的中点，若过点A ，E ，F 作一截面，则截面的周长为（）A ．B ．C ．D ．2【答案】B【分析】根据题意先作出截面，进而算出截面各边的长度，最后得到答案.【详解】如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，延长AF 与CC 1的延长线交于M ，连接EM 交B 1C 1于P ，连接FP ，则四边形AEPF 为所求截面.过E 作EN 平行于BC 交CC 1于N ，则N 为线段CC 1的中点，由1MFC 相似于MAC △可得MC 1=2，由1MPC △相似于MEN 可得：111242,2333PC PC B P =⇒==，在1Rt AA F 中，112,1AA A F ==，则AF ==，在Rt ABE △中，2,1AB BE ==，则AE ==1Rt B EP 中，1121,3B E B P ==，则PE =在1C FP 中，11141,,603C F C P FC P ==∠=︒，由余弦定理：2224413121cos 60339PF ⎛⎫=+-⨯⨯⨯︒= ⎪⎝⎭，则PF ==故选：B.2.已知在棱长为6的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是棱C 1D 1，B 1C 1的中点，过A ，E ，F 三点作该正方体的截面，则截面的周长为________．【答案】【分析】根据正方体的性质作出截面图形，进而算出周长.【详解】如图，延长EF ，A 1B 1，相交于点M ，连接AM ，交BB 1于点H ，延长FE ，A 1D 1，相交于点N ，连接AN ，交DD 1于点G ，连接FH ，EG ，可得截面为五边形AHFEG .因为ABCD -A 1B 1C 1D 1是棱长为6的正方体，且E ，F 分别是棱C1D 1，B 1C 1的中点，由中位线定理易得：EF ＝AG ＝AH ＝EG＝FH AH ＋HF ＋EF ＋EG ＋AG ＝故答案为：＋3.已知直三棱柱111ABC A B C -的侧棱长为2，AB BC ⊥，2AB BC ==.过AB 、1BB 的中点E 、F 作平面α与平面11AA C C 垂直，则所得截面周长为（）A ．+B C ．D ．【答案】C【分析】确定平面α与各棱的交点位置，计算出截面各边边长，由此可得出所得截面周长.【详解】如下图所示，取AC 的中点J ，连接BJ ，取AJ 的D ，连接DE ，取11A C 的中点K ，连接KJ 、1B K ，AB BC = ，J 为AC 的中点，则BJ AC ⊥，1AA ⊥ 平面ABC ，BJ ⊂平面ABC ，1BJ AA ∴⊥，1AC AA A ⋂=，BJ ∴⊥平面11AA C C ，D Q 、E 分别为AJ 、AB 的中点，则//DE BJ 且12DE BJ =，DE ∴⊥平面11AA C C ，DE ⊂ 平面DEF ，所以，平面DEF ⊥平面11AA C C ，所以，平面α即为平面DEF ，设平面α交11B C 于点I ，在直棱柱111ABC A B C -中，11//AA CC 且11AA CC =，所以，四边形11AA C C 为平行四边形，11//AC A C ∴且11AC A C =，J 、K 分别为AC 、11A C 的中点，1//AJ A K 且1AJ A K =，所以，四边形1AA KJ 为平行四边形，1//KJ AA ∴且1KJ AA =，11//BB AA 且11BB AA =，1//KJ BB ∴且1KJ BB =，所以，四边形1BB KJ 为平行四边形，//DE BJ ，DE ⊄平面1BB KJ ，BJ ⊂平面1BB KJ ，//DE ∴平面1BB KJ ，设平面α 平面1BB KJ FG =，DE ⊂ 平面α，所以，//DE FG ，//FG BJ ∴，//BF GJ ，所以，四边形BFGJ 为平行四边形，可得11122GJ BF BB KJ ===，所以，G 为KJ 的中点，延长DG 交11A C 于点H ，//DJ KH ，所以，DJG HKG ∠=∠，JDG KHG ∠=∠，又JG KG = ，所以，DJG HKG ≅△△，11122HK DJ AJ KC ∴===，H ∴为1KC 的中点，因为平面//ABC 平面111A B C ，平面α 平面ABC DE =，平面α 平面111A B C IH =，//DE IH ∴，//DE BJ ，1//BJ B K ，//DE IH ，1//IH B K ∴，I ∴为11B C 的中点，AB BC ⊥，2AB BC ==，则AC ==J 为AC的中点，12BJ AC ∴==122DE BJ ==，同理2IH =，因为直棱柱111ABC A B C -的棱长为2，F 为1BB 的中点，1112BF BB ∴==，由勾股定理可得EF ==IF =，1//KJ BB 且12KJ BB ==，1BB ⊥平面ABC ，KJ ∴⊥平面ABC ，AC ⊂ 平面ABC ，KJ AC ∴⊥，G 、D 分别为KJ 、AJ 的中点，则112GJ KJ ==，122DJ AJ ==，由勾股定理可得DG，同理GH =因此，截面的周长为22DE IH EF IF DH ++++=++.故选：C.【题型六】求截面面积【典例分析】已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1124BE BB ==，143AB AA =，则该四棱柱被过点1A ，C ，E 的平面截得的截面面积为______.【答案】【分析】在1DD 上取点F ，使得12D F =，连接1,A F CF ，则四边形1A ECF 是平行四边形，由勾股定理可得11,,A E CE A C ，再结合余弦定理与面积公式即可求解【详解】由题意，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1124BE BB ==，143AB AA =，可得1118,2AA BB CC BE ====，在1DD 上取点F ，使得12D F =，连接1,A F CF ，则有11,//A F CE A F CE =，所以四边形1A ECF是平行四边形，由勾股定理可得11A E CE A C ======所以2221111cos 210A E CE A C A EC A E CE +-∠==-⨯,所以1sin 10A EC ∠=，所以四边形1A ECF 是平行四边形的面积为11sin 1210A E EC A EC ⨯⨯∠==，故答案为：【变式演练】1.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 是棱1DD 的中点，则平面1AC E 截该正方体所得的截面面积为（）A ．5B ．C ．D ．【答案】D【分析】作出示意图，设F 为1BB 的中点，连接1,,AF FC EF ，易得平面1AC E 截该正方体所得的截面为1AFC E ，再计算其面积.【详解】如图所示，设F 为1BB 的中点，连接1,AF FC ，设G 为1CC 的中点，连接,EG GB ，由//EG AB 且EG AB =，得ABGE 是平行四边形，则//AE BG 且AE BG =，又1//BG C F 且1BG C F =，得1//AE C F 且1AE C F =，则1,,,A E C F 共面，故平面1AC E 截该正方体所得的截面为1AFC E .又正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，11AF FC EC EA ===，1AC =EF =1EF AC ⊥，故1AFC E 的面积为12S =⨯=故选：D.2.在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1AA 的中点，则过B 、1C 、E 三点的平面截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面面积为（）A 2B ．298aC ．24aD 2【答案】B【分析】取11A D 中点F ，连接BE 、EF 、1C F 、1BC 、1AD ，证明出1//EF BC ，故四点B 、1C 、E 、F 共面，所以过B 、1C 、E 三点的平面截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面为等腰梯形1EFC B ，根据已知，即可求解.【详解】取11A D 中点F ，连接BE 、EF 、1C F 、1BC 、1AD ，因为11//AB C D 且11AB C D =，所以，四边形11ABC D 为平行四边形，所以，11//AD BC ，E 、F 分别为1AA 、11A D 的中点，所以，1//EF AD 且112EF AD a =，所以，1//EF BC ，故B 、1C 、E 、F 四点共面，所以过B 、1C 、E 三点的平面截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面为等腰梯形1EFC B ，其中2EF a =，1BC =，12BE C F a =，过点E 、F 在平面1BC FE 内分别作1BC 的垂线，垂足点分别为G 、H ，因为1BE C F =，1EBG FC H ∠=∠，12EGB FHC π∠=∠=，所以，1Rt EBG Rt FHC ≅△△，故1BG C H =，在平面1BC FE 内，因为1EG BC ⊥，1FH BC ⊥，1//EF BC ，所以，四边形EFHG 为矩形，则GH EF a =，所以，112BC EF BG C H a -==，所以，梯形1BC FE 的高4h a ==，梯形1B CFE 的面积2192428a S a a ⎫=⨯⨯=⎪⎪⎭.故选：B.3.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点P 在线段1CB 上，且12B P PC =，平面α经过点1,,A P C ，则正方体1111ABCD A B C D -被平面α截得的截面为___________，其面积为___________.【答案】四边形1AECQ 【分析】第一空，先画出1,,A P C 所在平面，由平面11//AA DD 平面11BB CC 得出1//AQ EC ，1//AQ EC ，1A E C Q ，，，四点共面，即为所求截面；第二空由已知条件可求出11AE EC AC ==1AEC 的面积，再乘以2可得截面的面积.【详解】如图所示：1,,A P C 确定一个平面α，因为平面11//AA DD 平面11BB CC ，所以1//AQ EC ，同理1//AQ EC ，所以四边形1AEC Q 是平行四边形.即正方体被平面截的截面.因为12B P PC =，所以112C B CE =，即1EC EB ==所以11AE EC AC ===由余弦定理得：22211111cos 25AE EC AC AEC AE EC +-∠==⨯，所以1sin AEC ∠，所以1AEC Q S四边形1112sin 22AE EC AEC =⨯⨯⨯∠=故答案为：四边形1AEC Q。
正方体截面总结(最全,适用于公务员图形推理)
M / * B结论如下：1可能出现的：锐角三角型、等边、等腰三角形，正方形、矩形、边形、梯形、等腰梯形、五边形、六边形、正六边形2、不可能出现：钝角三角形、直角三角形、直角梯形、正五边形、非矩形的平行四七边形或更多边正方体的截面形状一：问题背景在家做饭时，切菜尤其是切豆腐时，发现截面有很多形状。
若用不同的截面去截一个正方体，得到的截面会有哪几种不同的形状？二：研究方法先进行猜想，再利用土豆和萝卜通过切割实验研究。
三：猜想及其他可能的证明：1•正方形：因为该立体几何图形是正方体，所以用从任意位置与该正方体上下底面平行的平面进行截取可以得到，或者和侧面平行进行截取，由下列图示证明：由图示可知，水平方向截取正方体，得到的截面为正方形。
由图示可知，竖直方向截取正方体，得到的截面为正方形。
2矩形：因为正方形也属于矩形，所以对正方形的证明同适用于矩形。
其次，当长宽不等的矩形截面的图示如下: 由上图所示可知，按不同角度截取正方体可以得到矩形。
例如，正方体的六个对角面都是矩形。
3. 平行四边形：当平面与正方体的各面都不平行时，所得截面为平行四边形，图示如下:==》》》 ==》》》由上图所示可知，当截面不与正方体的各面平行时，所得截面可能为平行四边形。
4. 三角形：根据一定角度过正方体的三条棱进行截取可以得到三角形的截面，图示如下==》由上图可知，正方体可以截得三角形截面。
但一定是锐角三角形，包括等腰和等边三角形特别的，当截面刚好经过三个面的对角线时，所得的三角形截面为正三角形，图示如下:==》得到: 正三棱锥5. 猜想之外的截面形状：（1）菱形：如下图所示，当A,B 为所在棱的中点时，该截面为菱形:(2)梯形：如图所示，当按一定角度使截面在正方体的上下底面上所存在的线段长短有异时，所得截面可能是梯形：(3 )五边形:(4 )六边形：如图所示，可以截得六边形截面:==》》》如图所示，可以截得五边形截面:通过实践及资料查询可知，无法得到正五边形。
正方体中几种常见的截面作法
2.公理 2:过不在一条直线上的三点袁有且只有 一个平面袁及公理 2 的三个推论遥
3.公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点袁 那么它们有且只有一条过该点的公共直线遥
4.面面平行的性质定理院如果两个平行平面同时 和第三个平面相交袁那么它们的交线平行遥
由三角形相似可得 A1M=3MA,CN=2NB袁 易得截面
五边形
D1MENF
的周长为
1 12
(25+2姨13
+9 姨 5
)遥
作法 2 渊平行 线法冤院如图 2袁连接 D1F袁过 A 作
A1S//D1F袁 交 B1B 于 点 S曰 过 E 作 EM//A1S袁 交 AA1
于点 M袁连接 D1M曰过 C 作 C1T//D1M袁交 BB1 于点 T曰 过 F 作 FN//C1T袁交 BC 于点 N袁则 D1MENF 五边形即
为所求作的截面图形遥
图2
点拨院 作法 1 是通过延长线找线与线的交点袁进
而找出面与面的交线袁最终找出截面与正方体各个面 的交点曰作法 2 是在正方体的表面不断地作已知直线
的平行线袁进而找出截面与正方体各个面的交点遥 例 2.已知正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 1袁点
P尧Q尧R 分别在棱
AB尧BC尧CD
三点的截面袁并且计算截面面积遥
于是由
NB=
1 2
EC 可知袁N 是
AB 的中点遥
同理可
证得院 M尧Q 分别是 A1D1袁CC1 的中点遥 那么
MT=TQ=QS=SN=NR=RM=
姨2 2
淤
又因为 姨RA12+A1D12+D1T
空间几何体的截面图形(学生版)
空间几何体的截面图形一、单选题1.(2022·浙江·高三阶段练习)如图，在四棱锥Q -EFGH 中，底面是边长为22的正方形，QE =QF =QG =QH =4，M 为QG 的中点.过EM 作截面将此四棱锥分成上､下两部分，记上､下两部分的体积分别为V 1，V 2，则V 1V2的最小值为( )A.12 B.13 C.14 D.152.(2022·浙江·高三专题练习)在三棱锥P -ABC 中，顶点P 在底面的射影为△ABC 的垂心O (O 在△ABC 内部)，且PO 中点为M ，过AM 作平行于BC 的截面α，过BM 作平行于AC 的截面β，记α，β与底面ABC 所成的锐二面角分别为θ1，θ2，若∠PAM =∠PBM =θ，则下列说法错误的是( )A.若θ1=θ2，则AC =BCB.若θ1≠θ2，则tan θ1⋅tan θ2=12C.θ可能值为π6D.当θ取值最大时，θ1=θ23.(2022·全国·高三专题练习(文))正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，所有棱长均为2，点E ，F 分别为棱BB 1，A 1C 1的中点，若过点A ，E ，F 作一截面，则截面的周长为( )A.2+25B.25+2313C.25+13D.25+1324.(2022·全国·高三专题练习(理))已知正方体ABCD -A B C D 的棱长为4，E ，F 分别为BB ，C D 的中点，点P 在平面ABB A 中，PF =25，点N 在线段AE 上，则下列结论正确的个数是( )①点P 的轨迹长度为2π；②线段FP 的轨迹与平面A B CD 的交线为圆弧；③NP 的最小值为65-105；④过A 、E 、F 作正方体的截面，则该截面的周长为103+4313+25A.4 B.3 C.2 D.15.(2022·河南安阳·模拟预测(文))已知球O 的体积为125π6，高为1的圆锥内接于球O ，经过圆锥顶点的平面α截球O 和圆锥所得的截面面积分别为S 1,S 2，若S 1=25π8，则S 2=( )A.2 B.5 C.6 D.226.(2022·江西萍乡·三模(文))正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点，F 在侧面CDD 1C 1上运动，且满足B1F ∥平面A 1BE .以下命题中，正确的个数为( )①侧面CDD 1C 1上存在点F ，使得B 1F ⊥CD 1；②直线B 1F 与直线BC 所成角可能为30°；③设正方体棱长为1，则过点E ，F ，A 的平面截正方体所得的截面面积最大为52.A.0 B.1 C.2 D.37.(2022·全国·高一单元测试)在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =4、BC =3，M 、N 分别为棱AB 、BB 1的中点，点P 在对角线A 1C 1上，且A 1P =3，过点M 、N 、P 作一个截面，该截面的形状为( )A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形8.(2022·全国·高一单元测试)在通用技术课上，老师给同学们提供了一个如图所示的木质正四棱锥模型P -ABCD ，并要求同学们将该四棱锥切割成三个小四棱锥，某小组经讨论后给出如下方案：第一步，过点A 作一个平面分別交PB 、PC 、PD 于点E 、F 、G ，得到四棱锥P -AEFG ；第二步，将剩下的几何体沿平面ACF 切开，得到另外两个小四棱锥.在实施第一步的过程中，为方便切割，需先在模型表面画出截面四边形AEFG ，若PE PB =35、PF PC =12，则PG PD的值为( )A.18B.14C.12D.349.(2022·广西·南宁二中高三阶段练习(理))已知正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，CC 1=2AB =2，E 为CC 1的中点，P 为棱AA 1上的动点，平面α过B ，E ，P 三点，有如下四个命题：①平面α⊥平面A 1B 1E ；②平面α与正四棱柱表面的交线围成的图形一定是四边形；③当P 与A 重合时，α截此四棱柱的外接球所得的截面面积为118π；④存在点P ，使得AD 与平面α所成角的大小为π3．则正确的命题个数为( )．A.1B.2C.3D.410.(2022·四川成都·高二期中(理))在棱长为1的正方体A 1B 1C 1D 1-ABCD 中，M 为底面ABCD 的中心，Q 是棱A 1D 1上一点，且D 1Q =λD 1A 1 ，λ∈[0，1]，N 为线段AQ 的中点，给出下列命题：①CN 与QM 共面；②三棱锥A -DMN 的体积跟λ的取值无关；③当λ=14时，AM ⊥QM ；④当λ=13时，过A ，Q ，M 三点的平面截正方体所得截面的周长为42+2133．其中正确的是( )A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④11.(2022·全国·高三专题练习(文))已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中AB =AA 1=4，BC =3，M 为AA 1的中点，N 为C 1D 1的中点，过B 1的平面α与DM ，A 1N 都平行，则平面α截长方体所得截面的面积为( )A.322B.311C.422D.51112.(2022·浙江台州·高一期中)在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为棱AB 的一个三等分点(靠近B 点)，F ,G 分别为棱BC ，CC 1的中点，过E ,F ,G 三点作正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的截面，则下列说法正确的是( )A.所得截面是六边形B.截面过棱D 1C 1的中点C.截面不经过点A 1D.截面与线段B 1D 1相交，且交点是线段B 1D 1的一个五等分点二、多选题13.(2022·福建省龙岩第一中学高二阶段练习)如下图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 为CC 1上的动点，AM ⊥平面α，则下面说法正确的是( )A.直线AB 与平面α所成角的正弦值范围为33,22B.点M 与点C 1重合时，平面α截正方体所得的截面，其面积越大，周长就越大C.点M 为CC 1的中点时，平面α经过点B ，则平面α截正方体所得截面图形是等腰梯形D.已知N 为DD 1中点，当AM +MN 的和最小时，M 为CC 1的三等分点14.(2022·湖南·临澧县第一中学高二阶段练习)已知正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，CC 1=2AB =2，E 为CC 1的中点，P 为棱AA 1上的动点，平面α过B ，E ，P 三点，则( )A.平面α⊥平面A 1B 1EB.平面α与正四棱柱表面的交线围成的图形一定是四边形C.当P 与A 重合时，α截此四棱柱的外接球所得的截面面积为118πD.存在点P ，使得AD 与平面α所成角的大小为π315.(2022·海南华侨中学模拟预测)如图，ABCD 是边长为5的正方形，半圆面APD ⊥平面ABCD ．点P 为半圆弧AD上一动点(点P 与点A ，D 不重合)．下列说法正确的是( )A.三棱锥P -ABD 的四个面都是直角三角形B.三棱锥P 一ABD 体积的最大值为1254C.异面直线PA 与BC 的距离为定值D.当直线PB 与平面ABCD 所成角最大时，平面PAB 截四棱锥P -ABCD 外接球的截面面积为253-2 π416.(2022·山东山东·高一期中)在四面体ABCD 中，AB =CD =AC =BD =2，且AD =BC =6，若用平面α去截四面体ABCD ，则下列结论正确的为( )A.α截四面体ABCD 所得截面形状可以为菱形B.当BC ⎳α时，α截四面体ABCD 所得截面形状不可能为直角三角形C.当AB ⎳α，CD ⎳α时，α截四面体ABCD 所得截面形状的周长为定值D.四面体ABCD 的外接球表面积为7π17.(2022·湖南·邵阳市第二中学高一期中)在圆锥SO 中，C 是母线SA 上靠近点S 的三等分点，SA =l ，底面圆的半径为r ，圆锥SO 的侧面积为3π，则( )A.当r =1时，从点A 到点C 绕圆锥侧面一周的最小长度为13B.当r =32时，过顶点S 和两母线的截面三角形的最大面积为374C.当l =3时，圆锥SO 的外接球表面积为8l π8D.当l =3时，棱长为233的正四面体在圆锥SO 内可以任意转动18.(2022·湖北省仙桃中学模拟预测)已知点E 、F 为正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱AB 、BC 的中点，过EF 的平面α截正方体，AB =4，下列说法正确的是( )A.若α与地面ABCD 所成角的正切值为2，则截面为正六边形或正三角形B.α与地面ABCD 所成角为45∘则截面不可能为六边形C.若截面为正三角形EFG 时，三棱锥D 1-EFG 的外接球的半径为925D.若截面为四边形，则截面与平面B 1EF 所成角的余弦值的最小值为7919.(2022·全国·华中师大一附中模拟预测)如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，PA ⊥平面ABCD ，且PA =2．点E ，F ，G 分别为棱AB ，AD ，PC 的中点，下列说法正确的是( )A.AG ⊥平面PBDB.直线FG 和直线AC 所成的角为π3C.过点E ，F ，G 的平面截四棱锥P -ABCD 所得的截面为五边形D.当点T 在平面ABCD 内运动，且满足△AGT 的面积为12时，动点T 的轨迹是圆20.(2022·广东实验中学高一期中)已知正四面体ABCD 的棱长为3，其外接球的球心为O ．点E 满足AE =λAB 0<λ<1 ，过点E 作平面α平行于AC 和BD ，设α分别与该正四面体的棱BC 、CD 、DA 相交于点F 、G 、H ，则( )A.四边形EFGH 的周长为定值6B.当λ=12时，四边形EFGH 为正方形C.当λ=13时，α截球O 所得截面的周长为13πD.∃λ∈0,1 ，使得四边形EFGH 为等腰梯形21.(2022·湖南·长沙一中模拟预测)传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等．“圆柱容球”是阿基米德最为得意的发现；如图是一个圆柱容球，O 1，O 2为圆柱上下底面的圆心，O 为球心，EF 为底面圆O 1的一条直径，若球的半径r =2，则( )A.球与圆柱的表面积之比为1：2B.平面DEF 截得球的截面面积最小值为165πC.四面体CDEF 的体积的取值范围为0，323D.若P 为球面和圆柱侧面的交线上一点，则PE +PF 的取值范围为2+25，43 22.(2022·湖北武汉·模拟预测)已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2(如图所示)，点M 为线段CC 1(含端点)上的动点，由点A ，D1，M 确定的平面为α，则下列说法正确的是( )A.平面α截正方体的截面始终为四边形B.点M 运动过程中，三棱锥A 1-AD 1M 的体积为定值C.平面α截正方体的截面面积的最大值为42D.三棱锥A 1-AD 1M 的外接球表面积的取值范围为414π,12π 23.(2022·山东滨州·二模)在边长为4的正方形ABCD 中，如图1所示，E ，F ，M 分别为BC ，CD ，BE 的中点，分别沿AE ，AF 及EF 所在直线把△AEB ，△AFD 和△EFC 折起，使B ，C ，D 三点重合于点P ，得到三棱锥P -AEF ，如图2所示，则下列结论中正确的是( )A.PA ⊥EFB.三棱锥M -AEF 的体积为4C.三棱锥P -AEF 外接球的表面积为24πD.过点M 的平面截三棱锥P -AEF 的外接球所得截面的面积的取值范围为[π,6π]24.(2022·重庆巴蜀中学高一期中)在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，P 分别为棱AB ,CC 1,C 1D 1的中点，动点Q ∈平面MNP ，DQ =AB =2，则( )A.AC 1∥MNB.直线PQ ∥平面A 1BC 1C.正方体被平面MNP 截得的截面为正六边形D.点Q 的轨迹长度为2π25.(2022·湖北宜昌·高一期中)数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，“勒洛四面体”就是其中之一．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分．如图，在勒洛四面体中，正四面体ABCD 的棱长为2，则下列结论正确的是( )A.若P ，Q 是勒洛四面体ABCD 表面上的任意两点，则PQ 的最大值是2B.勒洛四面体ABCD 被平面ABC 截得的截面面积是π-3C.勒洛四面体ABCD 内切球的半径是2-62D.勒洛四面体ABCD 的体积是6π26.(2022·全国·模拟预测)如图，已知圆柱OO 1的轴截面ABCD 是边长为2的正方形，P 为上底面内一个动点(不包含边界)，E 为底面圆弧AB 上一个动点，则下列说法正确的有( )A.若点P 与O 重合，则圆锥PO 1的侧面积为5πB.若点P 与D 重合，E 为圆弧AB 的中点，则点A 到平面PBE 的距离为233C.三棱锥P -ABE 的体积的最大值为23D.三棱锥P -ABE 的外接球的表面积的最小值为5π427.(2022·全国·高一专题练习)如图所示，已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，M ，N 分别是AD ，CC1的中点，P 是线段AB 上的动点，则下列说法正确的是( )A.当点P 与A ，B 两点不重合时，平面PMN 截正方体所得的截面是五边形B.平面PMN 截正方体所得的截面可能是三角形C.△MPN 一定是锐角三角形D.△MPN 面积的最大值是21228.(2022·湖北·荆门市龙泉中学一模)已知正四面体ABCD 的棱长为22，其外接球的球心为O ．点E 满足AE =λAB 0<λ<1 ，CF =μCD 0<μ<1 ，过点E 作平面α平行于AC 和BD ，平面α分别与该正四面体的棱BC ，CD ，AD 相交于点M ，G ，H ，则( )A.四边形EMGH 的周长为定值B.当λ=14时，平面α截球O 所得截面的周长为472πC.四棱锥A -EMGH 的体积的最大值为6481D.当λ=μ=12时，将正四面体ABCD 绕EF 旋转90°后与原四面体的公共部分体积为43三、双空题29.(2022·重庆南开中学模拟预测)正方体ABCD -A B C D 的棱长为2，动点P 在对角线BD 上，过点P 作垂直于BD 的平面α，记平面α截正方体得到的截面多边形(含三角形)的周长为y =f x ，设BP =x ，x ∈0，23 .(1)下列说法中，正确的编号为__________.①截面多边形可能为四边形；②f 33=32；③函数f x 的图象关于x =3对称.(2)当x =3时，三棱锥P -ABC 的外接球的表面积为__________.30.(2022·广东汕头·三模)如图，DE 是边长为23的正三角形ABC 的一条中位线，将△ADE 沿DE 翻折至△A 1DE ，当三棱锥C -A 1BE 的体积最大时，四棱锥A 1-BCDE 外接球O 的表面积为__________；过EC 的中点M 作球O 的截面，则所得截面圆面积的最小值是__________．31.(2022·湖南·长沙市明德中学二模)如图，在三棱锥S -ABC 中，SB ⊥AB ，SB ⊥BC ，AB ⊥BC ，SB =AB =BC =2，P ，Q 分别为棱AB ，BC 的中点，O 为三棱锥S -ABC 外接球的球心，则球O 的体积为________；平面SPQ 截球O 所得截面的周长为________．32.(2022·新疆·三模(文))四棱锥P -ABCD 各顶点都在球心为O 的球面上，且PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形．PA =AD =4，AB =42，则球O 的半径是__________；设M 、N 分别是PD 、CD 的中点，则平面AMN 截球O 所得截面的面积为__________．33.(2022·山东潍坊·二模)根据高中的解析几何知识，我们知道平面与圆锥面相交时，根据相交的角度不同，可以是三角形、圆、椭圆、抛物线、双曲线．如图，AB 是圆锥底面圆O 的直径，圆锥的母线PA =2，AB =22，E 是其母线PB 的中点．若平面α过点E ，且PB ⊥平面α，则平面α与圆锥侧面的交线是以E 为顶点的抛物线的一部分，此时抛物线的焦点F 到底面圆心O 的距离为______；截面α把圆锥分割成两部分，在两部分内部，分别在截面α的上方作一个半径最大的球M ，在截面α下方作一个半径最大的球N ，则球M 与球N 的半径的比值为______．四、填空题34.(2022·安徽·安庆一中高一期中)为弘扬中华民族优秀传统文化，某学校组织了《诵经典，获新知》的演讲比赛，本次比赛的冠军奖杯由一个铜球和一个托盘组成，如图①，已知球的体积为4π3，托盘由边长为4的正三角形铜片沿各边中点的连线垂直向上折叠而成，如图②．有下列四个结论：①经过三个顶点A ，B ，C 的球的截面圆的面积为π4②异面直线AD 与CF 所成的角的余弦值为58③直线AD 与平面DEF 所成的角为π3④球离球托底面DEF 的最小距离为3+63-1其中正确的命题是__________.(请将正确命题的序号都填上)35.(2022·四川·成都七中高三阶段练习(理))如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点M ，N 分别为棱B 1C 1,CD 上的动点(包含端点)，则下列说法正确的是___________．①当M 为棱B 1C 1的中点时，则在棱CD 上存在点N 使得MN ⊥AC ；②当M ，N 分别为棱B 1C 1,CD 的中点时，则在正方体中存在棱与平面A 1MN 平行；③当M ，N 分别为棱B 1C 1,CD 的中点时，则过A 1，M ，N 三点作正方体的截面，所得截面为五边形；④直线MN 与平面ABCD 所成角的正切值的最小值为22；⑤若正方体的棱长为2，点D 1到平面A 1MN 的距离最大值为2．36.(2022·北京二中高一阶段练习)如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1,P 为BC 的中点，Q 为棱CC 1上的动点，过点A ,P ,Q 的平面截该正方体所得的截面记为S ，则下列命题正确的是___________.(请写出所有正确命题的编号)①当CQ =12时，S 为等腰梯形；②当CQ =34时，S 与C 1D 1的交点R 满足C 1R =13；③当34<CQ <1时，S 为六边形；④当CQ =1时，S 的面积为62.37.(2022·江西抚州·高二阶段练习(理))勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动(如图甲)，利用这一原理，科技人员发明了转子发动机．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体如图乙所示，若正四面体ABCD 的棱长为2，则下列说法正确的是___________．①勒洛四面体ABCD 被平面ABC 截得的截面面积是8(π-3)②勒洛四面体ABCD 内切球的半径是4-6③勒洛四面体的截面面积的最大值为2π-23④勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为2-6238.(2022·北京市陈经纶中学高一期中)如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA =AB =4．E ，F ，H 分别是棱PB ，BC ，PD 的中点，对于平面EFH 截四棱锥P -ABCD 所得的截面多边形，有以下三个结论：①截面面积等于46；②截面是一个五边形；③直线PC 与截面所在平面EFH 无公共点．其中，所有正确结论的序号是_____．39.(2022·浙江·绍兴一中模拟预测)已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，M ，N 分别是BC ,B 1C 1的中点，点P 是截面AB 1C 1D (包括边界)上的动点，D 1P =343,2ME =EN ，则EP 与平面AB 1C 1D 所成最大角的正切值为_______．40.(2022·河南省浚县第一中学模拟预测(文))在正四棱锥P -ABCD 中，AB =4,PA =26，则平面PAB 截四棱锥P -ABCD 外接球的截面面积是__________.41.(2022·北京·二模)如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，中，E ，F ，G 分别为棱A 1A ,A 1B 1,A 1D 1上的点(与正方体顶点不重合)，过A 1作A 1H ⊥平面EFG ，垂足为H ．设正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，给出以下四个结论：①若E ，F ，G 分别是A 1A ,A 1B 1,A 1D 1的中点，则A 1H =36；②若E ，F ，G 分别是A 1A ,A 1B 1,A 1D 1的中点，则用平行于平面EFG 的平面去截正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，得到的截面图形一定是等边三角形；③△EFG 可能为直角三角形；④1A 1E 2+1A 1F 2+1A 1G 2=1A 1H 2．其中所有正确结论的序号是________．42.(2022·全国·模拟预测)在四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，且PA =AC =2AB =2AD =4，CD ⊥AD ，CB ⊥AB ，G 为PC 的中点，过AG 的平面α与棱PB 、PD 分别交于点E 、F ．若EF ∥平面ABCD ，则截面AEGF 的面积为______．43.(2022·河南·南阳中学高三阶段练习(理))如图，在四面体ABCD 中，AB =CD =AC =BD =5，AD =BC =32，E ､F 分别是AD ､BC 的中点.若用一个与直线EF 垂直，且与四面体的每个面都相交的平面α去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则下面的说法中正确的有___________.①EF ⊥AD ，EF ⊥BC②四面体外接球的表面积为34π.③异面直线AC 与BD 所成角的正弦值为725④多边形截面面积的最大值为92.44.(2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校一模(理))如图，直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面是边长为2的正方形，AA 1=3，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，过点D 1，E ，F 的平面记为α，则下列说法中正确的序号是___________.①平面α截直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1所得截面的形状为四边形②平面α截直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1所得截面的面积为732③二面角D -EF -D 1的正切值为2④点B 到平面α的距离与点D 到平面α的距离之比为1∶345.(2022·全国·高二课时练习)如图，正四棱锥P-ABCD的底面边长和高均为2，M是侧棱PC的中点.若过AM作该正四棱锥的截面，分别交棱PB､PD于点E､F(可与端点重合)，则四棱锥P-AEMF的体积的取值范围是___________.。
论文4“平面截正方体所得截面是什么图形
平面截正方体所得截面是什么图形安徽省砀山县第二中学 朱奇勇(2013.6)1 2013年高考安徽省理科数学试题第15题:如图正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1,P 为BC 的中点,Q 为线段CC 1上的动点.过A 、P 、Q 的平面截该正方体所得的截面记为s,则下列命题正确的是___（写出所有正确命题的编号） ①当0<CQ<1/2时,s 为四边形； ②当CQ=1/2时,s 为等腰梯形；③当CQ=3/4时,s 与C 1D 1的交点R 满足C 1R=1/2； ④当3/4<CQ<1时,s 为六边形；⑤当CQ=1时,s 面积为26.这道题是平面截正方体所得截面问题，那么平面截正方体所得截面到底是哪些图形呢?2下面7个图形给出截面的四种形状图1 三角形（1）图2 三角形（2）图3 四边形（1）是梯形图4 四边形（2）是平行四边形或菱形或矩形或正方形图5四边形（梯形）图6 五边形（有两组对边分别平行）图7六边形（或正六边形）3 2013年高考安徽省理科数学试题第15题图示解析:4有关练习题(1)(2013合肥三模理数15) 15.如图，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为2,P,Q,R 分 别是棱BC,CD,DD 1的中点.下列命题：①过A 1C 1且与CD 1平行的平面有且只有一个；②平面PQR 截正方体所得截面图形是等腰梯形；③AC 1与平面PQR 所成的角为60°; ④线段EF 与GH 分别在棱A 1B 1和CC 1上运动，且EF + GH = 1，则三棱锥E - FGH 体积的最大值是121⑤线段MN 是该正方体内切球的一条直径，点O 在正 方体表面上运动，则ONOM .的取值范围是[0，2].其中真命题的序号是145_____（写出所有真命题的序号）.(2)用一个平面去截正方体，所得的截面不可能是( A.六边形 B.菱形 C.梯形 D.直角三角形 (3)用一个平面截正方体，所得截面是1个三角形，则剩余的那个大几何体一定有 （ ）个面 (4)如图，正方体的棱长为cm ，用经过A 、B 、C 三点的平面截这个正方体，所得截面的周长是________ cm ．⑶由截面的形状想象几何体如下表，已知由平面截圆柱、正方体、球、三棱柱和长方体所得截面的形状，请你想象这些形状的截面可能是截哪个（哪些）几何体得到的，并填写下表：5结论：正方体的截面分类正方体有六个面,用一个平面去截正方体,至少要经过三个面,最多经过六个面。
有关正方体的截面问题
有关正方体的截面问题
①截面可以是三角形：等边三角形、等腰三角形、一般三角形；
②截面三角形是锐角三角形；截面三角形不能是直角三角形、钝角三角形；
③截面可以是四边形：平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形；截面为四边形时，这个四边形中至少有一组对边平行；
④截面不能是直角梯形；
⑤截面可以是五边形；截面五边形必有两组分别平行的边，同时有两个角相等；截面五边形不可能是正五边形；
⑥截面可以是六边形；截面六边形必有分别平行的边，同时有两个角相等；
⑦截面六边形可以是等角(均为120°)的六边形，特别地可以是正六边形．
对应截面图形如下图中各图形所示．。
图形截面总结
图形截面总结在工程设计和建筑领域，图形截面是一种常见的工具，用于描述一个物体或结构在某个特定位置的截面形状。
通过对图形截面的分析和研究，我们可以了解物体的几何特征和力学性能。
本文将对图形截面的概念、应用和分析方法进行总结和介绍。
概念图形截面指的是将一个物体或结构沿着某个平面切割而获得的截面形状。
这个平面可以是任意方向，取决于我们所关注的特定位置和特定条件。
图形截面可以是二维的，也可以是三维的。
在工程设计中，我们常常使用二维图形截面进行分析和计算，因为它能够提供足够的信息，且计算相对简便。
图形截面可以是任意形状，如圆形、方形、矩形、梯形等。
每种形状都具有不同的几何特征和力学性能，对于不同的应用和设计要求，我们需要选择适当的图形截面。
应用图形截面在工程设计和建筑领域有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1.结构设计：在设计建筑、桥梁、船舶等结构时，图形截面的选择对于结构的稳定性和强度非常重要。
不同形状的图形截面对力的承载能力有着不同的影响，设计师需要根据具体情况选择适当的图形截面。
2.断面分析：在工程施工中，我们经常需要对杆件或管道的截面进行分析。
通过对图形截面的计算，我们可以得到截面的面积、惯性矩等几何参数，从而对杆件或管道的强度和刚度进行评估和优化。
3.流体力学：在流体力学领域，图形截面被广泛应用于流体的横截面积计算。
通过测量或计算图形截面的面积，我们可以得到流体的流量、速度等重要参数，从而对流体系统进行分析和设计。
分析方法对于一个给定的图形截面，我们通常需要进行一些基本的分析，以了解它的几何特征和力学性能。
以下是一些常用的分析方法：1.面积计算：通过测量或计算图形截面的面积，我们可以了解物体或结构在该位置的横截面积大小，从而评估其承载能力和流体流量等参数。
2.惯性矩计算：惯性矩是描述图形截面抗弯刚度的重要参数。
通过计算图形截面的惯性矩，我们可以评估其对于弯曲力的抵抗能力。
3.抗剪能力计算：对于一些平面图形截面，如矩形、圆形等，我们可以通过计算其抗剪能力来评估其对于剪切力的承受能力。