定积分应用相关公式
定积分应用
（1） 总量在区间上具有可加性，即把区间 分成几个小区间时总量就等于各个小区间上 的局部量之和，
（2）局部量可用 f (i )xi 近似表示
它们之间只相差一个xi 的高阶无穷小
不均匀量Ｕ就可以用定积分来求得
这是建立所求量的积分式的基本方法 分析其实质，不难将四步简化为两步 第一步 “分割取近似 ” 含“分”、“粗”两步即将区间分成子区间
的值与 xi 之积代替 Ui f (i )xi
和 把局部量的近似值累加得到总量
的近似值 即
n
n
U Ui f (i )xi
i 1
i 1
精 max xi
n 1in
b
U
lim
0
i 1
f (i )xi
a
f ( x)dx
由此可知，若某个非均匀量Ｕ在区间[a,b]上 满足两个条件：
y2 2 x 解得交点为（2，-2）和（8，4） y x4
若取 x 为积分变量 在 [x,x+dx] 上取部分量
则对于 x 的不同值 局部量的位置不同 其 上、下曲边有多种情况运用上述公式计算 较为复杂
如下图
但若将这一面积看作是分布在区间 [ -2，4] 上 以 y 为变量计算将会简单
在[-2,4] 上任取一小区间 [ y, y dy]
设量Ｕ非均匀地分布 [ a ,b ]上 求Ｕ的步骤
分 用分点 a x0 x1 xn1 xn b 将
区间分成n个小区间 [xi1, xi ], xi xi xi1
粗 把Ｕ在小区间上的局部量 Ui
用某个函数 f ( x) 在 i (i [xi1, xi ])
2 sin
高等数学积分公式大全
高等数学积分公式大全在高等数学中，积分是求解不定积分、定积分和定积分的一种重要方法。
积分公式是指一些常见函数的积分表达式，熟悉和掌握这些公式可以加快求解积分的速度。
下面是一些常见的高等数学积分公式：一、不定积分公式：1. ∫kdx = kx + C （常数函数的积分）2. ∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C （幂函数的积分）其中n不等于-1，C为常数。
3. ∫1/x dx = ln，x， + C （自然对数函数的积分）4. ∫e^x dx = e^x + C （指数函数的积分）5. ∫sinxdx = -cosx + C （正弦函数的积分）6. ∫cosxdx = sinx + C （余弦函数的积分）7. ∫sec^2xdx = tanx + C （正割函数的积分）8. ∫csc^2xdx = -cotx + C （余割函数的积分）9. ∫secxtanxdx = secx + C （正割函数与正切函数的积分）10. ∫cscxcotxdx = -cscx + C （余割函数与余切函数的积分）二、定积分公式：1. ∫[a,b]kdx = k(b-a) （常数函数的定积分）2. ∫[a,b]xdx = (b^2 - a^2)/2 （幂函数的定积分）3. ∫[a,b]1/x dx = ln，b/a，（自然对数函数的定积分）三、定积分计算方法与公式：1.分部积分法∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx2.代换法（换元积分法）∫f(g(x))*g'(x)dx = ∫f(g(x))d(g(x))3.增广方法当函数的导数是其本身的倍数，例如dy/dx = ky时，可以使用增广方法进行求解，具体公式为∫d(y)e^(-kx) = e^(-kx)y4.牛顿-莱布尼茨公式若F(x)为f(x)的一个原函数，则∫[a,b]f(x)dx = F(b) - F(a)5.分式积分对于形如∫(P(x)/Q(x))dx的分式积分，其中P(x)和Q(x)是多项式函数，可以使用部分分式法进行分解，然后再分别求积分。
定积分公式表
１.ｙ=ｃ(c为常数) y'=0 ﻫ２.y=x＾n y＇＝nx＾(n—1) ﻫ3、ｙ＝a^ｘ y＇＝ａ^xｌnaｙ=e^x y＇=e^x ﻫ4、y=ｌogaｘy’=loｇae/x ﻫy=lnx y＇=1/x5。
y=sｉnx y＇＝coｓx ﻫ６。
y=cosx y'=—sinx７。
ｙ=tanx ｙ’=1/cos^2x ﻫ8。
ｙ=cotｘy’=—１/sin^2x10.ｙ=aｒcｃoｓx y'=-1/√1－ｘ^2 9。
y=ａrcｓiｎx ｙ’=１/√1-x^2 ﻫ１1、ｙ=arｃtanｘy＇=1/1＋x^212.ｙ=arccｏｔx y'=-1/１+x＾2(1)(2)(3)(4)(５)(６)(7)(8)(9)(10)(11)对这些公式应正确熟记.可根据它们得特点分类来记、公式(1)为常量函数0得积分,等于积分常数。
公式(2)、(3)为幂函数得积分,应分为与。
当时, ,积分后得函数仍就是幂函数,而且幂次升高一次、特别当时,有 .当时,公式(4)、(5)为指数函数得积分,积分后仍就是指数函数,因为 ,故 ( , )式右边得就是在分母,不在分子,应记清、当时,有、就是一个较特殊得函数,其导数与积分均不变。
应注意区分幂函数与指数函数得形式,幂函数就是底为变量,幂为常数;指数函数就是底为常数,幂为变量、要加以区别,不要混淆、它们得不定积分所采用得公式不同、公式(6)、(7)、(8)、(９)为关于三角函数得积分,通过后面得学习还会增加其她三角函数公式.公式(１0)就是一个关于无理函数得积分公式(1１)就是一个关于有理函数得积分下面结合恒等变化及不定积分线性运算性质,举例说明如何利用基本积分公式求不定积分.例1 求不定积分 .分析:该不定积分应利用幂函数得积分公式、解:(为任意常数)例2 求不定积分 .分析:先利用恒等变换“加一减一”,将被积函数化为可利用基本积分公式求积分得形式。
解:由于 ,所以(为任意常数) 例3 求不定积分 .分析:将按三次方公式展开,再利用幂函数求积公式。
定积分公式大全24个
定积分公式大全24个在微积分中，定积分是一个非常重要的概念，它在数学和物理学等领域有着广泛的应用。
定积分公式作为定积分的重要工具，可以帮助我们解决各种复杂的问题。
在本文中，我们将介绍24个常见的定积分公式，希望对大家的学习和工作有所帮助。
1. 基本积分公式。
定积分的基本公式是。
\[ \int_{a}^{b} f(x)dx=F(b)-F(a) \]其中，\(F(x)\)是\(f(x)\)的不定积分。
这个公式是定积分的基础，我们可以通过它来求解更复杂的积分问题。
2. 定积分的线性性质。
如果\(f(x)\)和\(g(x)\)在区间\([a,b]\)上可积，\(k\)是任意常数，那么有。
\[ \int_{a}^{b} [kf(x)+g(x)]dx=k\int_{a}^{b} f(x)dx+\int_{a}^{b} g(x)dx \]这个公式可以帮助我们简化定积分的计算过程，尤其是在处理复杂的函数时非常有用。
3. 定积分的换元积分法。
如果\(u=g(x)\)在\([a,b]\)上具有连续导数，\(f(u)\)在对应区间上可积，那么有。
\[ \int_{a}^{b} f(g(x))g'(x)dx=\int_{g(a)}^{g(b)} f(u)du \]这个公式可以帮助我们将原来的积分转化为更容易处理的形式，从而简化计算。
4. 定积分的分部积分法。
如果\(u=f(x)\)和\(v=g(x)\)都在\([a,b]\)上具有连续导数，那么有。
\[ \int_{a}^{b} u dv=uv|_{a}^{b}-\int_{a}^{b} v du \]这个公式可以帮助我们将原来的积分转化为更容易处理的形式，从而简化计算。
5. 定积分的换限积分法。
如果\(f(x)\)在\([a,b]\)上可积，\(F(x)\)是\(f(x)\)的一个原函数，那么有。
\[ \int_{a}^{b} f(x)dx=-\int_{b}^{a} f(x)dx \]这个公式可以帮助我们简化定积分的计算过程，尤其是在处理对称函数时非常有用。
定积分公式表
1.y=c(c为常数) y'=02.y=x^n y'=nx^(n-1)3.y=a^x y'=a^xlnay=e^x y'=e^x4.y=logax y'=logae/xy=lnx y'=1/x5.y=sinx y'=cosx6.y=cosx y'=-sinx7.y=tanx y'=1/cos^2x8.y=cotx y'=-1/sin^2x9.y=arcsinx y'=1/√1-x^210.y=arccosx y'=-1/√1-x^211.y=arctanx y'=1/1+x^212.y=arccotx y'=-1/1+x^2(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)对这些公式应正确熟记.可根据它们的特点分类来记.公式（1）为常量函数0的积分，等于积分常数.公式（2）、（3）为幂函数的积分，应分为与.当时，，积分后的函数仍是幂函数，而且幂次升高一次.特别当时，有.当时，公式（4）、（5）为指数函数的积分，积分后仍是指数函数，因为，故（，）式右边的是在分母，不在分子，应记清.当时，有.是一个较特殊的函数，其导数与积分均不变.应注意区分幂函数与指数函数的形式，幂函数是底为变量，幂为常数；指数函数是底为常数，幂为变量.要加以区别，不要混淆.它们的不定积分所采用的公式不同.公式（6）、（7）、（8）、（9）为关于三角函数的积分，通过后面的学习还会增加其他三角函数公式.公式（10）是一个关于无理函数的积分公式（11）是一个关于有理函数的积分下面结合恒等变化及不定积分线性运算性质，举例说明如何利用基本积分公式求不定积分.例1 求不定积分.分析：该不定积分应利用幂函数的积分公式.解：（为任意常数）例2 求不定积分.分析：先利用恒等变换“加一减一”，将被积函数化为可利用基本积分公式求积分的形式.解：由于，所以（为任意常数）例3 求不定积分.分析：将按三次方公式展开，再利用幂函数求积公式.解：(为任意常数 )例4 求不定积分.分析：用三角函数半角公式将二次三角函数降为一次.解：（为任意常数）例5 求不定积分.分析：基本积分公式表中只有但我们知道有三角恒等式：解：（为任意常数）同理我们有：（为任意常数）例6（为任意常数）。
定积分的几何意义公式
定积分的几何意义公式定积分是微积分中的重要概念之一，它在几何学中有着重要的应用。
定积分的几何意义公式可以帮助我们理解定积分的几何意义以及它在图形面积、曲线长度等方面的应用。
定积分的几何意义公式如下：若函数f(x)在区间[a, b]上连续且非负，那么f(x)在区间[a, b]上的定积分∫[a, b]f(x)dx表示曲线y=f(x)与x轴所围成的平面图形的面积。
这个公式告诉我们，通过计算函数f(x)在区间[a, b]上的定积分，我们可以得到曲线y=f(x)与x轴所围成的图形的面积。
这个定积分的几何意义公式是我们理解定积分的几何意义的基础。
举个例子来说明这个公式的应用。
假设有一个函数f(x)=x^2在区间[0, 2]上，我们可以通过计算定积分∫[0, 2]x^2dx来求得曲线y=x^2与x轴所围成的图形的面积。
根据定积分的计算方法，我们可以将区间[0, 2]划分成许多小的区间，然后计算每个小区间上的面积并求和。
这样，我们就可以得到整个区间[0, 2]上的曲线与x轴所围成的图形的面积。
通过这个例子，我们可以看到定积分的几何意义公式在计算图形的面积方面的应用。
同时，这个公式也可以推广到计算曲线长度、体积等方面。
除了图形的面积，定积分的几何意义公式还可以帮助我们计算曲线的长度。
如果我们有一个函数f(x)在区间[a, b]上，那么它的曲线长度可以通过计算定积分∫[a, b]√(1+(f'(x))^2)dx来得到。
这个公式告诉我们，通过计算函数f(x)在区间[a, b]上的定积分，我们可以得到曲线的长度。
这个定积分的几何意义公式在计算曲线的长度方面有着重要的应用。
通过定积分的几何意义公式，我们可以看到定积分在几何学中的重要作用。
它不仅可以帮助我们计算图形的面积、曲线的长度，还可以应用于计算体积、质心等方面。
总结起来，定积分的几何意义公式是微积分中的重要概念，它可以帮助我们理解定积分的几何意义以及它在图形面积、曲线长度等方面的应用。
定积分的重要公式及性质(例题 解析)
定积分的定义：
设函数f(x)在区间[a,b]上连续，将区间[a,b]分成n个子区间[x0,x1], (x1,x2], (x2,x3], …, (xn-1,xn]，其中x0=a，xn=b。可知各区间的长度依次是：△x1=x1-x0，在每个子区间(xi-1,xi]中任取一点ξi（1,2,...,n），作和式 。该和式叫做积分和，设λ=max{△x1, △x2, …, △xn}（即λ是最大的区间长度），如果当λ→0时，积分和的极限存在，则这个极限叫做函数f(x)在区间[a,b]的定积分，记为 ，并称函数f(x)在区间[a,b]上可积。[1]其中：a叫做积分下限，b叫做积分上限，区间[a, b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积表达式，∫叫做积分号。
重要公式及性质：
牛顿——莱布尼兹公式
(a为下限，b为下限）
例：
特殊公式：
（n为奇数）
（n为偶数)
例：
上下限为相反数
f(x)为偶函数
f(x)为奇函数
奇函数：y=x , x3, sinx , tanx
偶函数：y= x2, cosx , lxl
例：
定积分的公式
定积分的公式
定积分是微积分中的一种重要概念，它可以用于求解曲线下面的面积、质量、体积、平均值等。
以下是定积分的公式：
设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，则$f(x)$在区间$[a,b]$上的定积分为：
$$\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$$
其中，$F(x)$是$f(x)$的一个原函数，也就是说，$F'(x)=f(x)$。
定积分的计算方法主要有以下几种：
几何法：将曲线下面的区域分割成若干小的几何形状，然后计算它们的面积之和。
积分中值定理：利用积分中值定理，将函数在区间$[a,b]$上的平均值与曲线下面的面积相等，从而求出定积分的值。
反常积分：将区间$[a,b]$拆分成多个子区间，并将每个子区间的积分求和，从而计算出整个区间的定积分值。
需要注意的是，定积分在一定条件下具有可积性，即存在定义良好的定积分。
此外，定积分还具有可加性、线性性、积分中值定理等性质，这些性质使得定积分在数学和应用中得到广泛的应用。
常用求导与定积分公式
常用求导与定积分公式常用的求导公式有：1. 常数规则：对于常数C，有d/dx(C) = 0。
2. 幂函数规则：对于任意实数n，有d/dx(x^n) = nx^(n-1)。
特别地，d/dx(x^1) = 13. 指数函数规则：对于任意实数a，有d/dx(a^x) = ln(a) * a^x。
4. 对数函数规则：对于任意正实数a，有d/dx(log_a(x)) = 1 / (x * ln(a))。
5. 三角函数规则：对于三角函数sin(x)和cos(x)，有d/dx(sin(x)) = cos(x)和d/dx(cos(x)) = -sin(x)。
6. 乘法规则：对于两个可导函数f(x)和g(x)，有d/dx(f(x) *g(x)) = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)。
7. 商法则：对于两个可导函数f(x)和g(x)，有d/dx(f(x) / g(x)) = (f'(x) * g(x) - f(x) * g'(x)) / g(x)^28. 复合函数规则：对于两个可导函数f(x)和g(x)，有d/dx(f(g(x))) = f'(g(x)) * g'(x)。
常用的定积分公式有：1. 常数积分规则：对于常数C和可导函数f(x)，有∫f(x) dx =F(x) + C，其中F'(x) = f(x)。
2. 幂函数积分规则：对于实数n不等于-1和可导函数f(x)，有∫x^n dx = (x^(n+1)) / (n+1) + C。
3. 指数函数的积分规则：对于底数为a的指数函数和可导函数f(x)，有∫a^x dx = (a^x) / ln(a) + C。
4. 对数函数的积分规则：对于底数为a的对数函数和可导函数f(x)，有∫(1 / x) dx = ln，x， + C。
5. 三角函数的积分规则：对于三角函数sin(x)和cos(x)以及可导函数f(x)，有∫sin(x) dx = -cos(x) + C和∫cos(x) dx = sin(x) + C。
定积分的13个基本公式
定积分的13个基本公式定积分是数学中的一个重要概念，它在很多领域都有着广泛的应用。
而定积分的 13 个基本公式，就像是打开定积分世界大门的钥匙。
下面咱们就来好好聊聊这 13 个神奇的公式。
还记得我上大学那会儿，有一次数学考试前，我和室友一起在图书馆复习定积分。
那天阳光透过窗户洒在我们的桌子上，暖洋洋的，可我们却无心享受。
我盯着那些公式，感觉它们就像一群调皮的小精灵，在我眼前蹦来蹦去，就是不让我抓住。
室友突然拍了下桌子，大声说：“这定积分的公式也太难记了，要是能像歌词一样好记就好了！”我被他吓了一跳，心里却也有同感。
咱们先来说说第一个公式，∫a dx = ax + C 。
这个公式简单直观，就好像是数学世界里的“1+1=2”一样基础。
它告诉我们，对常数 a 进行积分，结果就是 ax 加上一个常数 C 。
再看第二个公式，∫x^n dx = (1/(n + 1))x^(n + 1) + C （n ≠ -1）。
这个公式就稍微有点复杂啦，但你仔细想想，其实也不难理解。
比如说，x 的平方积分，就是三分之一 x 的立方加上 C 。
第三个公式，∫1/x dx = ln|x| + C 。
这个公式在解决一些涉及到分式的积分问题时特别有用。
想象一下，你在做一道题，看到一堆分式，正愁不知道怎么下手，这时候这个公式就像救星一样出现了。
第四个公式，∫e^x dx = e^x + C 。
e 的 x 次方的积分还是它本身，是不是很神奇？就好像它有着独特的魔力，怎么积分都不变。
第五个公式，∫a^x dx = (1/ln a)a^x + C （a > 0, a ≠ 1）。
这个公式对于指数函数的积分很关键。
第六个公式，∫sin x dx = -cos x + C 。
一提到正弦函数的积分，就会想到它的“好伙伴”余弦函数。
第七个公式，∫cos x dx = sin x + C 。
余弦函数积分就变成了正弦函数，它们之间的这种关系很有趣。
定积分的积分公式
定积分是微积分学与数学分析里的一个核心概念，它是积分的一个重要分支。
与不定积分不同，定积分涉及到一个积分区间，并在这个区间上对函数进行积分。
定积分具有广泛的应用，特别是在求解面积、体积、弧长、功等实际问题中。
下面将详细介绍定积分的积分公式及其相关知识。
一、定积分的基本概念定积分是对一个函数在一个区间上的积分，它的结果是一个实数。
具体来说，设函数f(x)在区间[a, b]上有定义，且在这个区间上可积，则f(x)在[a, b]上的定积分为：∫[a, b] f(x) dx其中，∫表示积分符号，[a, b]表示积分区间，f(x)表示被积函数，dx表示积分变量。
定积分的值与被积函数、积分区间以及积分变量的选取有关。
二、定积分的积分公式定积分的积分公式是通过原函数或基本积分表来求解定积分的一种方法。
常用的定积分公式包括：1. ∫[a, b] k dx = k(b - a)，其中k为常数。
这个公式表示在一个区间上对常数函数进行积分，积分结果等于常数与区间长度的乘积。
2. ∫[a, b] x^n dx = (1/(n+1)) x^(n+1) |[a, b]，其中n≠-1。
这个公式表示在一个区间上对幂函数进行积分，积分结果等于幂函数的指数加1后的倒数与幂函数在区间端点值的差。
3. ∫[a, b] sin(x) dx = -cos(x) |[a, b]。
这个公式表示在一个区间上对正弦函数进行积分，积分结果等于余弦函数在区间端点值的差。
4. ∫[a, b] cos(x) dx = sin(x) |[a, b]。
这个公式表示在一个区间上对余弦函数进行积分，积分结果等于正弦函数在区间端点值的差。
5. ∫[a, b] e^x dx = e^x |[a, b]。
这个公式表示在一个区间上对指数函数进行积分，积分结果等于指数函数在区间端点值的差。
需要注意的是，这些公式中的|[a, b]表示在区间端点a和b处取函数值并进行相减。
此外，这些公式只是定积分的一部分，对于其他类型的函数，可能需要使用其他方法或技巧进行积分。
定积分常见公式
定积分常见公式定积分在数学学习中可是个重要的家伙，它就像一把神奇的钥匙，能帮我们解决好多复杂的问题。
先来说说定积分的基本公式吧，就比如$\int_{a}^{b} kdx = k(b - a)$，这里的$k$是个常数。
这个公式理解起来其实不难，你就想象有一段长度为$b - a$的线段，然后常数$k$就像是给这段线段均匀地涂了一层厚度，最后的结果就是这层“厚度”的总量。
再看$\int_{a}^{b} xdx = \frac{1}{2}(b^2 - a^2)$，这个就像是计算一堆整齐排列的方块的体积。
从$a$到$b$，每个位置上的方块高度就是对应的$x$值，把它们加起来就得到了总体积。
还有$\int_{a}^{b} x^2dx = \frac{1}{3}(b^3 - a^3)$，这就好比是计算一个不断变高的积木塔的体积。
从$a$开始，积木的高度以平方的速度增长，一直到$b$，通过这个公式就能算出整个积木塔的体积啦。
我记得之前有一次给学生们讲定积分的课，当时有个学生特别有意思。
那节课刚开始讲定积分公式的时候，他一脸迷茫，眼睛瞪得大大的，好像这些公式是外星文字一样。
我就给他举例子，说假如我们要计算从 1 到 3 之间，函数$f(x) = 2x$图像与$x$轴围成的面积。
按照公式$\int_{1}^{3} 2xdx = x^2|_{1}^{3} = 3^2 - 1^2 = 8$，这不就很快算出面积是 8 了嘛。
这孩子听完，眼睛一下子亮了，嘴里还嘟囔着：“原来是这样啊，好像也没那么难！”从那以后，他对定积分的公式越来越感兴趣，每次做题都特别积极。
还有一个公式$\int_{a}^{b} e^xdx = e^b - e^a$，这就像是计算一个以指数速度增长的量的累积效果。
像$\int_{a}^{b} \sin xdx = -\cos b + \cos a$和$\int_{a}^{b} \cos xdx =\sin b - \sin a$这两个公式，在处理与三角函数相关的定积分问题时特别有用。
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.1;0.)1(lim M s M M :.,13202aK a K y y ds d s K M M sK tg y dx y ds s =='+''==∆∆='∆'∆∆∆==''+=→∆的圆：半径为直线：点的曲率：弧长。
：化量；点，切线斜率的倾角变点到从平均曲率：其中弧微分公式：ααααα定积分应用相关公式：⎰⎰--==⋅=⋅=bab a dt t f a b dx x f a b y k rmm k F Ap F sF W )(1)(1,2221均方根：函数的平均值：为引力系数引力：水压力：功：空间解析几何和向量代数：。
代表平行六面体的体积为锐角时，向量的混合积：例：线速度：两向量之间的夹角：是一个数量轴的夹角。
是向量在轴上的投影：点的距离：空间ααθθθϕϕ,cos )(][..sin ,cos ,,cos Pr Pr )(Pr ,cos Pr )()()(2222222212121*********c b a c c c b b b a a a c b a c b a r w v b a c b b b a a a kj ib ac b b b a a a b a b a b a b a b a b a b a b a a j a j a a j u AB j z z y y x x M Md zyx z y xzy xzyxz y xzy x z y x zz y y x x z z y y x x u u⋅⨯==⋅⨯=⨯=⋅==⨯=++⋅++++=++=⋅=⋅+=+=-+-+-==（马鞍面）双叶双曲面：单叶双曲面：、双曲面：同号）（、抛物面：、椭球面：二次曲面：参数方程：其中空间直线的方程：面的距离：平面外任意一点到该平、截距世方程：、一般方程：，其中、点法式：平面的方程：113,,22211};,,{,1302),,(},,,{0)()()(1222222222222222222220000002220000000000=+-=-+=+=++⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+===-=-=-+++++==++=+++==-+-+-cz b y a x c z b y a x q p z q y p x c z b y a x ptz z nty y mtx x p n m s t p z z n y y m x x C B A DCz By Ax d czb y a x D Cz By Ax z y x M C B A n z z C y y B x x A多元函数微分法及应用zy z x y x y x y x y x F F y zF F x z z y x F dx dy F F y F F x dx y d F F dx dy y x F dy y vdx x v dv dy y u dx x u du y x v v y x u u xvv z x u u z x z y x v y x u f z tvv z t u u z dt dz t v t u f z y y x f x y x f dz z dz zu dy y u dx x u du dy y z dx x z dz -=∂∂-=∂∂=⋅-∂∂-∂∂=-==∂∂+∂∂=∂∂+∂∂===∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂==∆+∆=≈∆∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=， ， 隐函数＋， ， 隐函数隐函数的求导公式： 时，，当 ：多元复合函数的求导法全微分的近似计算： 全微分：0),,()()(0),(),(),()],(),,([)](),([),(),(22),(),(1),(),(1),(),(1),(),(1),(),(0),,,(0),,,(y u G F J y v v y G F J y u x u G F J x v v x G F J x u G G F F vG uG v FuF v uG F J v u y x G v u y x F vu v u ∂∂⋅-=∂∂∂∂⋅-=∂∂∂∂⋅-=∂∂∂∂⋅-=∂∂=∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=⎩⎨⎧== 隐函数方程组：微分法在几何上的应用：),,(),,(),,(30))(,,())(,,())(,,(2)},,(),,,(),,,({1),,(0),,(},,{,0),,(0),,(0))(())(())(()()()(),,()()()(000000000000000000000000000000000000000000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z z z y x F y y z y x F x x z y x F z y x F z y x F z y x F n z y x M z y x F G G F F G G F F G G F F T z y x G z y x F z z t y y t x x t M t z z t y y t x x z y x M t z t y t x z y x z y x z y x yx y x x z x z z y z y -=-=-=-+-+-==⎪⎩⎪⎨⎧====-'+-'+-''-='-='-⎪⎩⎪⎨⎧===、过此点的法线方程：：、过此点的切平面方程、过此点的法向量：，则：上一点曲面则切向量若空间曲线方程为：处的法平面方程：在点处的切线方程：在点空间曲线ωψϕωψϕωψϕ方向导数与梯度：上的投影。
在是单位向量。
方向上的，为，其中：它与方向导数的关系是的梯度：在一点函数的转角。
轴到方向为其中的方向导数为：沿任一方向在一点函数l y x f lfl j i e e y x f lf jyf i x f y x f y x p y x f z l x y fx f l f l y x p y x f z ),(grad sin cos ),(grad ),(grad ),(),(sin cos ),(),(∂∂∴⋅+⋅=⋅=∂∂∂∂+∂∂==∂∂+∂∂=∂∂=ϕϕϕϕϕ多元函数的极值及其求法：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-<-⎩⎨⎧><>-===== 不确定时值时， 无极为极小值为极大值时，则： ，令：设,00),(,0),(,00),(,),(,),(0),(),(22000020000000000B AC B AC y x A y x A B AC C y x f B y x f A y x f y x f y x f yy xy xx y x重积分及其应用：⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰++-=++=++==>======⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+==='Dz Dy Dx z y x Dy Dx DDy DxDD Da y x xd y x fa F a y x yd y x f F a y x xd y x f F F F F F a a M z xoy d y x x I y d y x y I x d y x d y x y MM y d y x d y x x MM x dxdy y z x z A y x f z rdrd r r f dxdy y x f 23222232222322222D22)(),()(),()(),(},,{)0(),,0,0(),(,),(),(),(,),(),(1),()sin ,cos (),(σρσρσρσρσρσρσρσρσρθθθ， ， ，其中：的引力：轴上质点平面）对平面薄片（位于轴 对于轴对于平面薄片的转动惯量： 平面薄片的重心：的面积曲面柱面坐标和球面坐标：⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩ+=+=+=========⋅⋅⋅=⎪⎩⎪⎨⎧=====⎪⎩⎪⎨⎧===dvy x I dv z x I dv z y I dvx M dv z Mz dv y My dv x Mx dr r r F d d d drd r r F dxdydz z y x f d drd r dr d r rd dv r z r y r x z r r f z r F dz rdrd z r F dxdydz z y x f zz r y r x z y x r ρρρρρρρϕθϕϕθθϕϕθϕθϕϕθϕϕϕθϕθϕθθθθθθθππθϕ)()()(1,1,1sin ),,(sin ),,(),,(sin sin cos sin sin cos sin ),sin ,cos (),,(,),,(),,(,sin cos 22222220),(0222， ， 转动惯量：， 其中 重心：， 球面坐标：其中： 柱面坐标：曲线积分：⎩⎨⎧==<'+'=≤≤⎩⎨⎧==⎰⎰)()()()()](),([),(),(,)()(),(22t y t x dt t t t t f ds y x f t t y t x L L y x f Lϕβαψϕψϕβαψϕβα 特殊情况： 则： 的参数方程为：上连续，在设长的曲线积分）：第一类曲线积分（对弧。
，通常设的全微分，其中：才是二元函数时，＝在：二元函数的全微分求积注意方向相反！减去对此奇点的积分，，应。
注意奇点，如＝，且内具有一阶连续偏导数在，、是一个单连通区域；、无关的条件：平面上曲线积分与路径的面积：时，得到，即：当格林公式：格林公式：的方向角。
上积分起止点处切向量分别为和，其中系：两类曲线积分之间的关，则：的参数方程为设标的曲线积分）：第二类曲线积分（对坐0),(),(),(),(·)0,0(),(),(21·212,)()()cos cos ()}()](),([)()](),([{),(),()()(00),(),(00==+=+∂∂∂∂∂∂∂∂-===∂∂-∂∂=-=+=∂∂-∂∂+=∂∂-∂∂+=+'+'=+⎩⎨⎧==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰y xdy y x Q dx y x P y x u y x u Qdy Pdx yPx Q yPx Q G y x Q y x P G ydxxdy dxdy A D y P x Q x Q y P Qdy Pdx dxdy y Px Q Qdy Pdx dxdy y P x Q L ds Q P Qdy Pdx dtt t t Q t t t P dy y x Q dx y x P t y t x L y x y x D LD L D L LLLβαβαψψϕϕψϕψϕβα曲面积分：⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑∑∑∑∑++=++±=±=±=++++=dsR Q P Rdxdy Qdzdx Pdydz dzdx z x z y x Q dzdx z y x Q dydz z y z y x P dydz z y x P dxdy y x z y x R dxdy z y x R dxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P dxdy y x z y x z y x z y x f ds z y x f zxyzxyxyD D D D y x )cos cos cos (]),,(,[),,(],),,([),,()],(,,[),,(),,(),,(),,(),(),(1)],(,,[),,(22γβα系：两类曲面积分之间的关号。