高三数学纠错练习(12)

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高三数学纠错练习(7)

数学纠错练习（7）1．我们知道若一个边长为a ，面积为S 的正三角形的内切圆半径23Sr a =，由此类比，若一个正四面体的一个面的面积为S ,体积为V ,则其内切球的半径r = . 34VS2.如图，有一广告气球，直径为6m ，放在公司大楼的上空，当行人仰望气球的中心的仰角∠BAC ＝30°时，测得气球的视角θ＝2°，若θ的弧度数很小时，可取sinθ＝θ，由此可估计该气球的高BC 约为______．863.设f (x )奇函数，当x ≥0时， f (x )＝2x －x 2，若函数f (x )(x ∈[a ，b ])的值域为[1b ，1a]，则b 的最小值为 .–14.若不等式2210843≥kx y xy+对于任意正实数x ，y 总成立的必要不充分条件是[),k m ∈+∞，则正整数m 只能取_______ ． 1或25．设2()|4|,0,()(),f x x m n f m f n m n =-<<=+若且则的取值范围是_____ .（22，4）6．在平面直角坐标系xOy 中，已知平面区域{}()100A x y x y x y =+，≤，且≥，≥，则平面区域{}()()B x y x y x y A =+-∈，，的面积为 . 17．设实数,x y 满足2025020x y x y y --⎧⎪+-⎨⎪-⎩≤，≥，≤，则22y x u xy -=的取值范围是．83,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 8．设函数()y f x =在(),-∞+∞上满足()(4),(4)(10)f x f x f x f x -=+-=+，且在闭区间[]0,7上，()0f x =仅有两个根1x =和3x =，则方程()0f x =在闭区间[]2011,2011-上根的个数有 805 .9．函数f (x )＝sin(ωx ＋3π)（ω＞0）在[0，2]上恰有一个最大值和一个最小值，则ω的取值范围是．713[,)1212ππ 10．已知22()|1|f x x x kx =-++．（I ）若2k =，求方程()0f x =的解；（II ）若关于x 的方程()0f x =在(02)，上有两个解12x x ，，求k 的取值范围，并证明12114x x +<．（Ⅰ）解：（1）当k ＝2时， 22()|1|20f x x x x =-++=① 当210x -≥时，x ≥1或x ≤－1时，方程化为22210x x +-=解得132x -±=13012-+<<，舍去，所以132x --=．②当210x -<时，－1＜x ＜1时，方程化为210x +=，解得12x =-，由①②得当k ＝2时，方程()0f x =的解所以132x --=12x =-． (II)解：不妨设0＜x 1＜x 2＜2，因为22 1 ||1() 1 ||1x kx x f x kx x ⎧+->=⎨+≤⎩所以()f x 在（0,1］是单调函数，故()f x ＝0在（0,1］上至多一个解，若1＜x 1＜x 2＜2，则x 1x 2＝－12＜0，故不符题意，因此0＜x 1≤1＜x 2＜2．由1()0f x =得11k x =-，所以1k ≤-；由2()0f x =得2212k x x =-，所以712k -<<-；故当712k -<<-时，方程()0f x =在(0，2)上有两个解．因为0＜x 1≤1＜x 2＜2，所以11k x =-，22221x kx +-＝0 消去k 得 2121220x x x x --=即212112x x x +=，因为x 2＜2，所以12114x x +<． 11．已知椭圆E ：22184x y +=的左焦点为F ，左准线l 与x 轴的交点是圆C 的圆心，圆C 恰好经过坐标原点O ，设G 是圆C 上任意一点. （1）求圆C 的方程；（2）若直线FG 与直线l 交于点T ，且G 为线段FT 的中点，求直线FG 被圆C 所截得的弦长；（3）在平面上是否存在一点P ，使得12GF GP =？若存在，求出点P 坐标；若不存在，请说明理由.解．（1）由椭圆E ：22184x y +=，得l ：4x =-，(4,0)C -，(2,0)F -，又圆C 过原点，所以圆C 的方程为22(4)16x y ++=．………………………………4分（2）由题意，得(3,)G G y -，代入22(4)16x y ++=，得15G y =±所以FG 的斜率为15k =FG 的方程为15(2)y x =+， …………………8分（注意：若点G 或FG 方程只写一种情况扣1分）所以(4,0)C -到FG 的距离为15d =，直线FG 被圆C 截得弦长为215216()72-=．故直线FG 被圆C 截得弦长为7．…………………………………………………………10分（3）设(,)P s t ，00(,)G x y ，则由12GF GP =22002200(2)12()()x y x s y t ++=-+-，整理得222200003()(162)2160x y s x ty s t +++++--=①，…………………………12分又00(,)G x y 在圆C ：22(4)16x y ++=上，所以2200080x y x ++=②，②代入①得2200(28)2160s x ty s t -++--=， …………………………14分又由00(,)G x y 为圆C 上任意一点可知，22280,20,160,s t s t -=⎧⎪=⎨⎪--=⎩解得4,0s t ==．所以在平面上存在一点P ，其坐标为(4,0)．。

高三数学纠错练习(6)

（2011年高考必备）湖北省黄冈中学高考数学压轴题精编精解六51．已知二次函数满足：对任意实数x，都有，且当（1，3）时，有成立。

（1）证明：。

（2）若的表达式。

（3）设，若图上的点都位于直线的上方，求实数m的取值范围。

52．（1）数列{a n}和{b n}满足（n=1，2，3…），求证{b n}为等差数列的充要条件是{a n}为等差数列。

（8分）（2）数列{a n}和{c n}满足，探究为等差数列的充分必要}为条件，需说明理由。

[提示：设数列{bn53．某次象棋比赛的决赛在甲乙两名棋手之间举行，比赛采用积分制，比赛规则规定赢一局得2分，平一局得1分，输一局得0分；比赛共进行五局，积分有超过5分者比赛结束，否则继续进行. 根据以往经验，每局甲赢的概率为，乙赢的概率为，且每局比赛输赢互不受影响. 若甲第n局赢、平、输的得分分别记为、、令 .(Ⅰ)求的概率；（Ⅱ）若随机变量满足（表示局数），求的分布列和数学期望.54．如图，已知直线与抛物线相切于点P(2, 1)，且与轴交于点A，定点B的坐标为(2, 0) .（I）若动点M满足，求点M的轨迹C；（II）若过点B的直线（斜率不等于零）与（I）中的轨迹C交于不同的两点E、F（E 在B、F之间），试求OBE与OBF面积之比的取值范围.55.已知A、B是椭圆的一条弦，M(2，1)是AB中点，以M为焦点，以椭圆的右准线为相应准线的双曲线与直线AB交于N(4，—1).(1)设双曲线的离心率e，试将e表示为椭圆的半长轴长的函数.(2)当椭圆的离心率是双曲线的离心率的倒数时，求椭圆的方程.(3)求出椭圆长轴长的取值范围.56已知：在曲线（1）求数列{a n}的通项公式；（2）数列{b n}的前n项和为T n，且满足，设定b1的值，使得数列{b n}是等差数列；（3）求证：57、已知数列{an }的前n项和为Sn，并且满足a1＝2,nan＋1＝Sn＋n(n＋1).（1）求数列；（2）设58、已知向量的图象按向量m平移后得到函数的图象。

2020海淀区高三数学查漏补缺题含答案

高三数学查漏补缺题2020.6说明：1.提供的题目并非一组试卷，小题（选、填）主要针对以前没有考到的知识点，或者在试题的呈现形式上没有用过的试题.2.教师要根据自己学校的学生情况，有针对性地选择使用，也可以不用.3.试题按照中心组教师的建议和一些教师的建议匆匆赶制而成，难免出错，希望老师们及时指出问题，以便及时改正.【集合与简易逻辑】1. 已知集合A ＝{x |ln(1)1x +≤}，B ＝{－2,－1,0,1,2}，则A ∩B ＝ A ．{0,1} B ．{－1,0,1} C ．{－2, －1,0,1} D ．{－1,0,1,2}答案：A2. 在ABC ∆中，“cos cos A B <”是“sin sin "A B >的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案：C3.设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是 A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线 D ．α，β垂直于同一平面答案：B【复数】1. 如果复数 222(32)i z a a a a =+-+-+为纯虚数，那么实数a 的值为A. 2B. 1C. −2D. 1 或 −2答案：C2.设32i z =-+，则在复平面内z 对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：C 3. 若ii 1im n +=+，则实数m =_________，实数n =_________.答案：1,1m n =-=.【不等式】1.设0a b <<，则下列不等式中正确的是A ．2a b a b +<B ．2a ba b +<<<C ．2a b a b +<D 2a b a b +<<< 答案：B [解答]（方法一）已知a b <2a b+<，比较a ，因为22()0a a a b -=-<，所以a <22()0b b b a -=->b <；作差法：022a b b ab +--=>，所以2a b b +<，综上可得2a ba b +<<<；故选B ．（方法二）取2a =，8b =，4=，52a b +=，所以2a ba b +<<<． 2. 设R m ∈且0m ≠，“4+4m m>”的一个必要不充分条件是（） A ．2m ≠ B ．0m >且2m ≠ C ．2m > D ．2m ≥ 答案：A3. 已知(0,1)m ∈，令log 2m a =，2b m =，2m c =，那么,,a b c 之间的大小关系为（）A ．b c a <<B ．b a c <<C ．a b c <<D ．c a b <<答案：C4. 设0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，则A ．0a b ab +<<B ．0ab a b <+<C ．0a b ab +<<D ．0ab a b <<+答案：B [解答]由0.2log 0.3a =得0.31log 0.2a =，由2log 0.3b =得0.31log 2b=，所以0.30.30.311log 0.2log 2log 0.4a b +=+=，所以1101a b <+<，得01a bab+<<．又0a >，0b <，所以0ab <，所以0ab a b <+<．故选B ．【数列】1. 设{}n a 是等差数列，下列结论中正确的是（）.A.若120a a +>，则230a a +>B.若130a a +<，则120a a +<C.若120a a <<，则2a >D.若10a <，则()()21230a a a a -->答案：C2. 若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，则当n =________时，{}n a 的前n 项和最大. 答案：83. 已知数列{}n a ,22a =,*13,n n a a n n N ++=∈,则24681012a a a a a a +++++=______ 答案：57[解答]法一: 通过具体罗列各项34a =,45a =,57a =,68a =,710a =,811a =,913a =,1014a =,1116a =,1217a =,所以24681012a a a a a a +++++=57法二: 由递推关系进一步可得相邻几项之间的关系13,n n a a n ++=1233,n n a a n +++=+两式相减可得23,n n a a +-=所以数列{}n a 隔项成等差数列，所以24681012,,,,,a a a a a a 是以2为首项，以3为公差，共有6项的等差数列，用求和公式得24681012a a a a a a +++++=65623572⨯⨯+⨯= 4. 数列{}n a 是等差数列，{}n b 是各项均为正数的等比数列，公比1q >，且55a b =，则A ．3746a a b b +>+B ．3746a a b b +≥+C ．3746a a b b +<+D ．3746a a b b +=+ 答案：C【平面向量】1．设向量a,b 不平行，向量+λa b 与+2a b 平行，则实数λ= ．答案：122. 设π02θ<<，向量()()sin 2,cos ,cos ,1θθθ==a b ，若//a b ，则=θtan _______. 答案：123. 设向量()3,3=a ，()1,1=-b ，若()()λλ+⊥-a b a b ，则实数λ=________.答案：±34. 设a ，b 均为单位向量，则“33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案：C [解答]∵33-=+a b a b ，∴22(3)(3)-=+a b a b ，∴2269-⋅+=a a b b 2296+⋅+a a b b ，又||||1==a b ，∴0⋅=a b ，∴⊥a b ；反之也成立，故选C ．【三角函数】1.若角α的终边过点(1,2)-，则sin 2_____α=答案：45- [解答]1,2,x y r ==-==sinαα∴==4sin22sin cos2(5ααα∴==⨯=-2. 函数()()cosf x xωϕ=+的部分图象如图所示，则()f x的单调递减区间为A．13,44k k⎛⎫π-π+⎪⎝⎭，k∈ZB．132,244k k⎛⎫π-π+⎪⎝⎭，k∈ZC．13,44k k⎛⎫-+⎪⎝⎭，k∈ZD．132,244k k⎛⎫-+⎪⎝⎭，k∈Z答案：D3.函数()sinf x x=的图象向左平移3π个单位得到函数()g x的图象，则下列关于函数()()y f x g x=+的结论：①一条对称轴方程为76xπ=; ②点5,06π⎛⎫⎪⎝⎭是对称中心;③在区间0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上为单调增函数; ④最大值为32.其中所有正确的结论为__________.（写出正确结论的序号）答案：②③4. 设函数()f x=sin（5xωπ+）(ω＞0)，已知()f x在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论：①()f x在（0,2π）有且仅有3个极大值点;②()f x在（0,2π）有且仅有2个极小值点③()f x在（0,10π）单调递增④ω的取值范围是[1229510，)其中所有正确结论的编号是A ． ①④B ． ②③C ． ①②③D ． ①③④ 答案：D [解答]当[0,2]x ∈π时，,2555x ωωπππ⎡⎤+∈π+⎢⎥⎣⎦，因为()f x 在[0,2]π有且仅有5个零点，所以5265ωπππ+<π…，所以1229510ω<…，故④正确，因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案，下面判断③是否正确，当(0,)10x π∈时，(2),5510x ωωππ+π⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，若()f x 在0,10π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，则(2)102ω+ππ<，即3ω<，因为1229510ω<…，故③正确． 5.已知函数()(1tan )sin 2f x x x =-⋅．（Ⅰ）求()f x 的定义域及单调递减区间；（Ⅰ）比较()16f π，3()16f π，9()16f π的大小，并说明理由.[解答]（Ⅰ）函数()f x 的定义域为{|,}2x x k k π≠π+∈Zsin ()(1)2sin cos cos xf x x x x=-⋅ 22sin cos 2sin x x x =- sin 2cos21x x =+-)14x π=+-，()f x 的单调递减区间为5[,),(,),8228k k k k k πππππ+π+π+π+∈Z （Ⅰ）()16f π=3()016f π>,9()016f π< 所以()16f π=3()16f π9()16f π>5. 已知函数()sin f x a x x =-的一条对称轴为π6x =-，12()()0f x f x +=，且函数()f x 在12(,)x x 上具有单调性，则12||x x +的最小值为A.π6B.π3C.2π3D.4π3答案：C【解三角形】1.在△ABC 中，3A π∠=, 2BC =，则2AB =是△ABC 的面积为3的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件答案：C2. 在平面直角坐标系xOy 中，锐角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边与单位圆交于(,)M x y 11，将α的终边按逆时针方向旋转π3，交单位圆于(,)N x y 22，记()f y y α=+12.（Ⅰ）求函数()f α的值域；（Ⅰ）在△ABC 中，若(),,sin sin f C c A B ==+=1333714，求△ABC 的面积. [解答]（Ⅰ）sin ,sin ,y y παα⎛⎫==+ ⎪⎝⎭123()sin sin sin f y y ππαααα⎛⎫⎛⎫∴=+=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12336,ππππαα<<∴<+<202663Q ∴sin πα⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭3336，函数()f α的值域是,⎛⎤ ⎥ ⎝332. （Ⅰ）()sin f C C π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭336,sin C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭16,C C ππππ<<∴<+<70666Q C ππ∴+=62,C π=3,由sin sin sin a b c A B C ===7sin sin A B +得a b +=13由余弦定理()cos c a b ab C a b ab =+-=+-222223，得ab =40，sin ABC a S b C ∴==12V3.在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，其中=2b ，从①1cos 3A =，②1cos -3A =，③=3a ，④3=2a 四个条件中选出两个条件，使得该三角形能够唯一确定. 求边c ，sin B 及三角形面积 [解答] 选①③由余弦定理2222cos a b c bc A =+- 解得3c = 由1cos 3A =得sin 3A =由正弦定理sin sin b aB A=得sin B 9= 1=sin 2ABC S bc A V=选②③由余弦定理2222cos a b c bc A =+- 解得53c =由1cos 3A =-得sin A =由正弦定理sin sin b aB A=得sin B =1=sin 2ABC S bc A V=9. 【二项式定理】1. 若52345012345(12)x a a x a x a x a x a x -=+++++，则3a =________（用数字作答）答案： -802.在二项式9)x 的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是_______. 答案：162 5【概率统计】1．对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的中位数、众数、极差分别是A ．46，45，56B ．46，45，53C ．47，45，56D ．45，47，53 答案：A [解答]由概念知中位数是中间两数的平均数，即众数是45，极差为68-12=56. 所以选A.2.为了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查.他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图（如图所示），记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为1s ，2s ，3s ，则它们的大小关系为 . （用“ ”连接）答案：1s ＞2s ＞3s3. 第24届冬季奥林匹克运动会，将于2022年2月在北京市和张家口市联合举行.某校寒假期间组织部分滑雪爱好者参加冬令营集训.训练期间，冬令营的同学们都参加了“单板滑雪”这个项目相同次数的训练测试，成绩分别为E D C B A ,,,,五个等级，分别对应的分数为1,2,3,4,5.6 17 85 0 0 1 1 4 7 94 5 5 5 7 7 8 8 93 1 2 4 4 8 92 0 23 31 2 545+47=462，O元频率组距0.00020.00040.00080.0006乙100015002000250030003500O元频率组距0.00020.00040.00080.0006丙100015002000250030003500O 元频率组距0.00020.00040.00080.0006甲100015002000250030003500甲乙两位同学在这个项目的测试成绩统计结果如图所示.（Ⅰ）根据上图判断，甲乙两位同学哪位同学的单板滑雪成绩更稳定？（结论不需要证明）（Ⅰ）求甲单板滑雪项目各次测试分数的众数和平均数；（Ⅰ）若甲、乙再同时参加两次测试，设甲的成绩为4分并且乙的成绩为3分或4分的次数为X ，求X 的分布列.（频率当作概率使用） [解答]（Ⅰ）乙比甲的单板滑雪成绩更稳定；（Ⅰ）因为甲单板滑雪项目测试中4分和5分成绩的频率之和为325.0，3分成绩的频率为375.0，所以甲单板滑雪项目各次测试分数的众数为3分；测试成绩为2分的频率为1.0075.0250.0375.0200.01=----，所以甲单板滑雪项目各次测试分数的平均数为（Ⅰ）由题意可知，在每次测试中，甲的成绩为4分并且乙的成绩为3分或4分的概率为163)375.0375.0(25.0=+⨯. X 的取值可能为2,1,0.2561691631)0(2=⎪⎭⎫ ⎝⎛-==X P ； 256781631163)1(12=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛==C X P ； 2569163)2(2=⎪⎭⎫⎝⎛==X P . 则的分布列如下表所示：X0 1 2)(X P25616916993．某汽车品牌为了了解客户对于其旗下的五种型号汽车的满意情况，随机抽取了一些客户进行回访，调查结果如下表：汽车型号IIIIII IV V25678满意率是指：某种型号汽车的回访客户中，满意人数与总人数的比值.假设客户是否满意互相独立，且每种型号汽车客户对于此型号汽车满意的概率与表格中该型号汽车的满意率相等.(Ⅰ)从所有的回访客户中随机抽取1人，求这个客户满意的概率；(Ⅰ)从I 型号和V 型号汽车的所有客户中各随机抽取1人，设其中满意的人数为ξ，求ξ的分布列和期望；(Ⅰ)用 “11η=”, “21η=”, “31η=”, “41η=”, “51η=”分别表示I, II, III, IV, V 型号汽车让客户满意， “10η=”, “20η=”, “30η=”, “40η=”, “50η=” 分别表示I, II, III, IV , V 型号汽车让客户不满意.写出方差12345,,,,D D D D D ηηηηη的大小关系. [解答]（Ⅰ）由题意知，样本中的回访客户的总数是2501002007003501600++++=，满意的客户人数2500.51000.32000.67000.33500.2555⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，故所求概率为5551111600320=．（Ⅰ）0,1,2ξ=.设事件A 为“从I 型号汽车所有客户中随机抽取的人满意”，事件B 为“从V 型号汽车所有客户中随机抽取的人满意”，且A 、B 为独立事件. 根据题意，()P A 估计为0.5，()P B 估计为0.2 . 则(0)()(1())(1())0.50.80.4P P AB P A P B ξ===--=⨯=;(1)()()()()(1())(1())()P P AB AB P AB P AB P A P B P A P B ξ==+=+=-+-0.50.80.50.20.5=⨯+⨯=; (2)()()()0.50.20.1P P AB P A P B ξ====⨯= .ξ的分布列为ξ的期望()00.410.520.10.7E ξ=⨯+⨯+⨯= .z yGP FEDA（Ⅰ）13245D D D D D ηηηηη>>=>．【立体几何】1. 如图，在四棱锥P –ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AD ⊥CD ，AD ∥BC ，PA =AD =CD =2，BC =3．E 为PD 的中点，点F 在PC 上，且13PF PC =．（Ⅰ）求证：CD ⊥平面PAD ；（Ⅱ）求二面角F –AE –P 的余弦值；（Ⅲ）设点G 在PB 上，且23PG PB =．求证：点G 在平面AEF 内．[解答]（I ）因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA CD ⊥.又因为AD ⊥CD ，且PA AD A =I 所以CD ⊥平面PAD .（II ）过A 作AD 的垂线交BC 于点M ，因为PA ⊥平面ABCD ，所以,PA AM ⊥PA AD ⊥，如图建立空间直角坐标系A -xyz ，则A （0，0，0），B （2，-1，0），C （2，2，0）， D （0，2，0），P （0，0，2），因为E 为PD 的中点，所以E （0，1，1）.所以()0,1,1AE =uu u r ，()2,2,2PC =-uu u r , ()0,0,2AP =uu u r. 所以1222,,3333PF PC ⎛⎫==- ⎪⎝⎭uu u r uu u r ，224,,333AF AP PF ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭uu u r uu u r uu u r设平面AEF 的法向量为(),,x y z =n ，则00AE AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uu u v uu u v n n ，即02240333y z x y z +=⎧⎪⎨++=⎪⎩.令z =1,则y =-1,x =-1.于是()1,1,1=--n .又因为平面PAD 的法向量为()1,0,0=p，所以cos 3⋅==⋅n p <n,p >n p . 因为二面角F-AE-P为锐角，所以其余弦值为3（III ）直线AG 在平面AEF 内，因为点G 在PB 上，且2,3PG PB =()2,1,2,PB =--uu r所以2424,,3333PG PB ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭uu u r uu r ，422,,333AG AP PG ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭uuu r uu u r uuu r .由（II ）知，平面AEF 的法向量为()1,1,1=--n ，所以4220333AG ⋅++=uuu r n =-，所以直线AG 在平面AEF 内.所以点G 在平面AEF 内.2. 如图，2AC ED =，//AC 平面EDB ，AC ⊥平面BCD ，平面ACDE ⊥平面ABC . （Ⅰ）求证：//AC ED ；（Ⅰ）求证：DC BC ⊥；（Ⅰ）当1BC CD DE ===时，求二面角A BE D --的余弦值；（Ⅰ）在棱AB 上是否存在点P 满足//EP 平面BDC ；（Ⅰ）设CDk DE=，是否存在k 满足平面ABE ⊥平面CBE ？若存在求出k 值，若不存在说明理由. [解答]（Ⅰ）因为//AC 平面EDB ，平面ACDE I 平面EDB =ED ，且AC ⊂平面ACDE ，所以//AC ED .（Ⅰ）法1：因为AC ⊥平面BCD ，所以AC ⊥CD ，因为平面ACDE ⊥平面ABC ，且平面ACDE I 平面=ABC AC ，CD ⊂平面ACDE ，所以CD ⊥平面ABC ，所以CD CB ⊥.（Ⅰ）法2：因为AC ⊥平面BCD ，所以AC ⊥CD ，AC ⊥CB ，因为平面ACDE I 平面=ABC AC ，所以DCB ∠为二面角D AC B --的平面角，又因为平面ACDE ⊥平面ABC ，ACDE所以90DCB ∠=o ，即CD CB ⊥.（Ⅰ）由（Ⅰ）证明可知AC ⊥CD ，AC ⊥CB ，CD CB ⊥,所以如图建立空间直角坐标系，因为1BC CD DE ===，所以(2,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,0,1)A B D E ，所以(1,0,0),(0,1,1),(1,0,1),(2,1,0)DE BD AE AB ==-=-=-u u u ru u u ru u u ru u u r设平面BDE 的法向量为(,,)x y z =m ，则由0,0,DE BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m u u u r u u u r 可得(0,1,1)=m . 设平面ABE 的法向量为(',',')x y z =n ，则由0,0,AE AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n u u u r u u u r 可得(1,2,1)=n .所以cos ,|⋅<>==⋅m n m n |m |n | 所以，依据题意可得二面角A BE D --的余弦值为. （Ⅰ）法1：取AC 中点F ，连接EF ，过点F 作//FP BC 交AB 于点P ，所以P 为AB 中点.因为2,//AC ED AC ED =，所以//ED FC ，所以//EF CD . 又EF FP F =I ，所以平面//EFP 平面BCD ，所以//EP 平面BCD .法2：设AP AB λ=u u u r u u u r ，则(12,,1)EP EA AP λλ=+=--u u u r u u u r u u u r，由（Ⅰ）证明可知平面BCD 的一个法向量为(1,0,0)=k ，由0EP ⋅=u u u r k 可得1=2λ，所以当P 为AB 中点时，EP 与平面BCD 成角为0o ，所以当P 为AB 中点时，//EP 平面BCD . （Ⅰ）设2AC a =，则(2,0,0),(,0,),(0,,0)A a E a ka B b ，则(,0,),(2,,0)AE a ka AB a b =-=-u u u r u u u r，设平面CBE 的法向量为111(,,)x y z =m'，由0,0,CE CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m'm'u u u r u u u r 可得一个法向量(,0,1)k =-m'，设平面ABE 的法向量222(,,)x y z =n'，由0,0,AE AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n u u u r u u u r可得一个法向量2(,,1)ak k b =n'，由0⋅=m'n'可得1k =.所以当1k =时，平面ABE ⊥平面CBE .【函数与导数】1. 设函数⎩⎨⎧>-≤=-1,log 11,2)(21x x x x f x ，则满足2)(≤x f 的x 的取值范围是A ．1[-，2]B ．[0，2]C ．[1，+∞）D ．[0，+∞）答案：D2. 给出下列四个函数：①sin y x x =⋅；②cos y x x =⋅；③cos y x x =⋅；④2x y x =⋅.这四个函数的部分图象如下，但顺序被打乱，则按照从左到右的顺序将图象对应的函数序号安排正确的一组是A. ①④②③B. ①④③②C. ④①②③D. ③④②①答案：A 3．已知函数2ln 0,()210.xx f x x x x ⎧>⎪=⎨+-≤⎪⎩若()f x 的图象与直线1y ax =-有且只有三个公共点，则实数a 的取值范围是______. 答案 (0,2)4. 设函数321()()3f x ax bx cx a b c =++<<，其图象在点(1,(1)),(,())A f B m f m 处的切线的斜率分别为0,a -．（Ⅰ）求证：01ba<≤；（Ⅰ）若函数()f x 的递增区间为[,]s t ，求||s t -的取值范围． [解答]（Ⅰ）证明：2()2f x ax bx c '=++，由题意及导数的几何意义得(1)20f a b c '=++=，（1）2()2f m am bm c a '=++=-，（2）又a b c <<，可得424a a b c c <++<，即404a c <<，故0,0,a c <> 由（1）得2c a b =--，代入a b c <<，再由0a <，得113ba-<<，（3）将2c a b =--代入（2）得2220am bm b +-=，即方程2220ax bx b +-=有实根．故其判别式2480b ab ∆=+≥得 2b a -≤，或ba≥0，（4）由（3），（4）得01ba<≤；（Ⅰ）由2()2f x ax bx c '=++的判别式2440b ac '∆=->，知方程2()20()f x ax bx c '=++=*有两个不等实根，设为12,x x ，又由(1)20f a b c '=++=知，11x =为方程（*）的一个实根，则由根与系数的关系得122122,10b bx x x x a a+=-=--<<，当2x x <或1x x >时，()0f x '<，当21x x x <<时，()0f x '>，故函数()f x 的递增区间为21[,]x x ，由题设知21[,][,]x x s t =，因此122||||2b s t x x a -=-=+，由（Ⅰ）知01ba<≤得 ||s t -的取值范围为[2,4).5.已知函数()(1)e x f x x a =--：（Ⅰ）若函数的最小值为-1，求实数a 的值；（Ⅰ）若12x x >，且有12+2x x a =，求证：12()()f x f x >.[解答]（Ⅰ）定义域为 R ，因为'()()e x f x x a =-，令()0='x f ，得a x = 当x 变化时，()x f '，()x f 变化如下表：所以a x =是函数()x f 极小值点，也是最小值点，所以()e 1a f a =-=-，解得0=a ；（Ⅰ）由题可知a x >1，并且有122x a x -=，1121211e ()()(1)e (1)e ax x f x f x x a a x -=-----，记2e ()(1)e (1)eaxx g x x a a x =-----⋅,a x >，2e '()()(e )eaxx g x x a =--，当a x >时，2e e eaxx >，即()0>'x g ，所以()x g 在区间()∞+，a 上单调递增，()()0=>a g x g . 所以有()()21x f x f >，结论成立.【解析几何】1. 直线023cos =++y x α的倾斜角的取值范围是 . 答案:50,,66πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭U 2. 已知直线与直线平行，则的值为（）A.0或3或B.0或3C.3或D.0或答案：D062=++y a x 023)2(=++-a ay x a a 1-1-1-3. 已知直线420mx y +-=与250x y n -+=互相垂直，垂足为()1,P p ，则m n p -+的值是（）A ．24B ．20C ．0D ．－4答案：B4.已知点()0,2A ,()2,0B . 若点C 在函数2y x =的图象上，则使得ABC △的面积为2的点C的个数为答案；45. 已知直线1l ：0mx y m -+=与直线2l ：10x my +-=的交点为Q ，椭圆2214x y +=的焦点为1F , 2F ，则12QF QF +的取值范围是 A ．[2,)+∞B ．)+∞C ．[2,4]D ．4]答案：D6. 直线10x y --=与圆C :222(1)(1)x y r -+-=相交于两点M 、N ，若||MN =，则圆C 的半径=r ________. 答案：17.已知直线()021:=+++y a ax l 与圆22:16C x y +=相交于A ，B 两点，则AB 的取值范围是________. 答案：)⎡⎣8. 卵圆是常见的一类曲线，已知一个卵圆C 的方程为：22124x y x +=+，O 为坐标原点，点(1,0)A ，点P 为卵圆上任意一点，则下列说法中不正确的是A ．卵圆C 关于x 轴对称B ．卵圆上不存在两点关于直线12x =对 C ．线段PO 长度的取值范围是[1,2] D ．OAP ∆的面积最大值为1 答案：B [解答]卵圆C 与y 轴交点为(0,2)-、(0,2)，与x 轴交点为(1,0)-、(2,0)（恰好关于12x =对称）（选项B 错误，也可通过方程求解，设点(,P m n22124m n m +=+.若存在卵圆C 上点Q 与(,)P m n 关于12x =对称，则(1,)Q m n -在卵圆C 上，满足方程，22(1)1124m n m -+=-+,22222||4(1)2m PO m n m m =+=+-+（12m -≤≤），可借助导数求最值.1||2OAPS n ∆==12m -≤≤），可求最大值. 9. 已知椭圆C 的标准方程为2214x y +=，梯形ABCD 的顶点在椭圆上.（Ⅰ）已知梯形ABCD 的两腰AC=BD ，且两个底边AB 和DC 与坐标轴平行或在坐标轴上.若梯形一底边AB =2，求梯形ABCD 的面积；(Ⅰ)若梯形ABCD 的两底AB 和DC 与坐标轴不平行且不在坐标轴上，判断该梯形是否可以为等腰梯形并说明理由. [解答]（Ⅰ）若两底AB 和DC 与y 轴平行，由椭圆方程得A ，B 为该椭圆的上下顶点，不妨设DC在y 轴右侧，设)C y，)D y -，代入椭圆方程解得1)2C，1)2D -，所以梯形另外一底1CD =，因此面积2S =；若两底AB 和DC 与x 轴平行，因为AB =2，不妨设AB 在x 轴上方，且(1,(1,)22A B -，可得(1,2C -，(1,2D --，但此时四边形ABCD 为矩形，故舍去. (Ⅰ)该梯形不可能为等腰梯形，理由如下：由题意可知梯形两底所在直线的斜率存在且不为零，设直线AB 方程为1,y kx m =+直线CD 方程为2,y kx m =+其中120,,k m m ≠≠联立方程22114,x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，，整理得22211(14)8440k x km x m +++-=，0)44)(41(4)8(21221>-+-=∆m k km 整理得014222>+-m k ①设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则,4122)(,41821121212121k m m x x k y y k km x x +=++=++-=+故AB 中点M 坐标为)41,414(2121km k km M ++-；同理可得CD 中点N 坐标为)41,414(2222k m k km N ++-；若梯形ABCD 为等腰梯形，则有AB ⊥MN ，即1-=⋅MN k k ，但k k kkm k km k m k m k MN 141414414414121222122-≠-=+++-+-+=，所以梯形ABCD 不可能为等腰梯形. 10.已知椭圆W ：22221x y a b+=(0)a b >>的上下顶点分别为,A B ，且点B (0,1)-．12,F F 分别为椭圆W 的左、右焦点，且12120F BF ∠=o．（Ⅰ）求椭圆W 的标准方程；（Ⅰ）点M 是椭圆上异于A ，B 的任意一点，过点M 作MN y ⊥轴于N ，E 为线段MN的中点．直线AE 与直线1y =-交于点C ，G 为线段BC 的中点，O 为坐标原点．求OEG ∠的大小．[解答](Ⅰ)依题意，得1b =．又12120F BF ∠=︒，在1Rt BF O ∆中，160F BO ∠=︒，所以2a =．所以椭圆W 的标准方程为2214x y +=． (Ⅰ)设M 00(,)x y ，00x ≠，则N 0(0,)y ，E 00(,)2x y ．因为点M 在椭圆W 上，所以220014x y +=．即220044x y =-．又A (0,1)，所以直线AE 的方程为002(1)1y y x x --=．令1y =-，得C 0(,1)1x y --．又B (0,1)-，G 为线段BC 的中点，所以G 00(,1)2(1)x y --．所以00(,)2x OE y =u u u r ，0000(,1)22(1)x x GE y y =-+-u u u r ．因为000000()(1)222(1)x x x OE GE y y y ⋅=-++-u u u r u u u r 2220000044(1)x x y y y =-++- 20004414(1)y y y -=-+- 0011y y =--+0=，所以OE GE ⊥u u u r u u u r ．90OEG ∠=︒．11. 已知椭圆222:14x y C b +=的焦点在x 轴，且右焦点到左顶点的距离为3. （Ⅰ）求椭圆C 的方程和焦点的坐标；（Ⅰ）与x 轴不垂直且不重合的直线l 与椭圆C 相交于不同的,A B 两点，直线l 与x 轴的交点为M ，点M 关于y 轴的对称点为N .(i) 求ABN ∆面积的最大值；（ii ）当ABN ∆||AB <.[解答]（Ⅰ）因为234a c a +=⎧⎨=⎩, 所以2,1a c ==.又222a b c =+, 所以23b =. 所以椭圆方程为221,43x y +=焦点坐标分别为12(1,0),(1,0)F F -. （Ⅰ）(i) 方法一：设1122(,),(,),:AB A x y B x y l y kx t =+, 所以(,0),(,0)tt M N k k-. 联立22,3412.y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(43)84120k x ktx t +++-=.2221212228412,,48(43)04343kt t x x x x k t k k -+=-=∆=-+>++，即2243t k <+.AB = 点N 到直线AB的距离为d =.所以1243ABN S k ∆=+=2243k ≤+=当且仅当22243k t t -+=即22243t k =+时等号成立.(ii)因为AB ===. 而,3342>+k 所以121)34(4102<+<k ，所以226<<AB . 法二：（i ）设直线(0)x my t m =+≠,所以(,0),(,0)M t N t -. 联立方程2234=12,.x y x my t ⎧+⎨=+⎩化简得222(34)63120m y mty t +++-=.所以 2248(34)0m t ∆=-+>.12221226,34312.34mt y y m t y y m -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩所以||AB ==点N 到AB的距离为：d =1||2ABN S AB d ∆===≤=.当且仅当||t =，即2223+4t m =等号成立.（ii）||AB ===因为2344m +>,所以||AB ∈.。

高三数学纠错3

数学纠错练习（3）1. 函数y ＝sin x 和y ＝tan x 的图象在[－2π，2π]上交点的个数为 .52. 已知f (x )是定义在(－3,3)上的奇函数，当0＜x ＜3时，f (x )的图象如图所示，那么不等式f (x )·cos x ＜0的解集为 .(－π2，－1)∪(0,1)∪(π2，3)3. 已知函数f (x )＝x －33x ＋1，设f 1(x )＝f (x )，f n ＋1(x )＝f [f n (x )](n ∈N *)，若集合M ＝{x ∈R |f 2009(x )＝2x ＋3}，则集合M 中的元素个数为 . 1个4. 在单位正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的面对角线A 1B 上存在一点P 使得AP ＋D 1P 取得最小值，则此最小值为 .2＋ 25. 已知向量OB ＝(2，0)， OC ＝(2，2)， CA ＝(cos α，sin α)( α∈R)，则OA 与OB 夹角的取值范围是 [15°,75°]6. 将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再折起，做成一个无盖的正六棱柱容器，当这个正六棱柱容器底面边长为时，其容积最大。

327. 动点(,)P a b 在不等式2000x y x y y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩表示的平面区域内部及其边界上运动，则31a b w a +-=-的取值范围是。

(－∞,－1]∪[3,＋∞)8．设函数32()2ln f x x ex mx x =-+-，记()()f x g x x=，若函数()g x 至少存在一个零点，则实数m 的取值范围是． 21(,]e e-∞+9. 已知,a b 是不相等的两个正数，在,a b 之间插入两组数：12,,,n x x x 和12,,,n y y y ，（ n N *∈，且2)n ≥，使得,a 12,,,,n x x x b 成等差数列，12,,,,n a y y y b ,成等比数列．老师给出下列四个式子：①1()2nkk n a b x=+=∑；②2112nkk x n=>∑；<=>．其中一定成立的是▲ ①② ．（只需填序号）10.已知关于x 的函数158)532()(--+-+-=b a x b a x f .如果[]1,1-∈x 时,其图象恒在x 轴的上方,则ab 的取值范围是 ),3()23,(+∞-∞ _11.当θ取遍所有值时，直线cos sin )4x y πθθθ⋅+⋅=++4所围成的图形面积为。

2024届高考数学易错题专项(平面向量) 练习(附答案)

2024届高考数学易错题专项（平面向量）练习易错点一：注意零向量书写及三角形与平行四边形适用前提（平面向量线性运算）1．已知a 、b为不共线的向量，5AB a b =+ ，28BC a b =-+ ，()3CD a b =-uu u r r r ，则（）A ．1233AB AD -+C ．15AB AD -A ．43a ＋23b C ．23a 43-b1．在梯形ABCD 中，//AB CD ，2AB CD =，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，AC 与BD 交于M ，设AB a =，，则下列结论正确的是（）A ．1233AE AB AC =+ B ．若0AB AC ⋅= ，则易错点三：忽视数量积不满足结合律（平面向量的数量积及其应用）1．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，M ，N 分别是1A B ，11B C 上的点，且12BM A M =，112C N B N =．设AB a=，AC b = ，1AA c = ，若90BAC ∠= ，1160BAA CAA ∠=∠=，11AB AC AA ===，则（）A ．112333MN a b c =++C ．11AB BC ⊥A ．1AC BD ⊥ C ．185BD =10．(多选)下列说法中正确的是（参考答案易错点一：注意零向量书写及三角形与平行四边形适用前提（平面向量线性运算）1．已知a 、b为不共线的向量，5AB a b =+ ，28BC a b =-+ ，()3CD a b =-uu u r r r ，则（） A ．1233AB AD -+C ．15AB AD -A．43a＋23bC．23a43 -b故选：B.y= 10．已知抛物线C：24∵3FA FB = ，由ABH 与△AFM ∵||2MF =，∴2||23BH =⨯=由抛物线定义得||||BF BH =，∴即4AF = ，3AF BH =，故故选：BC ．易错点二：忽略基底选取原则（平面向量的基本定理及坐标表示）【答案详解】由题意可得，12AC AD DC b a=+=+，故A112对于A ，12||||||OF OF OA ==，因此对于B ，直线2:1AF y x =-，由⎧⎨⎩A ．1233AE AB AC =+ B ．若0AB AC ⋅= ，则易错点三：忽视数量积不满足结合律（平面向量的数量积及其应用）1．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，M ，N 分别是1A B ，11B C 上的点，且12BM A M =，112C N B N =．设AB a=，AC b = ，1AA c = ，若90BAC ∠= ，1160BAA CAA ∠=∠=，11AB AC AA ===，则（）A ．112333MN a b c =++C ．11AB BC ⊥7．已知向量()()2,11,,,1a b c ==-=A ．a 与b的夹角为钝角B ．向量a 在b 方向上的投影为C ．24m n +=对于C ，由PA PB PB PC ⋅=⋅ ，得(PA - 所以点P 是ABC 的垂心，故C 正确；A ．1AC BD ⊥ C ．185BD =【答案】AB由题意得，2216AB AD == ，1AA cos 4AB AD AB AD BAD ⋅=⋅∠=⨯111cos 4AB AA AB AA BAA ⋅=⋅∠=，其中四边形ABDC 为平行四边形，因为又|OA |=|CA|=|OC |，所以所以∠ACB=60°，且BC。

错题重组卷(适合新课标)2019冲刺高考用好卷之高三理数含答题卡及解析

第1页共26页 ◎ 第2页共26页…………○…………装学校：___________姓名…………○…………装【4月优质错题重组卷】高三数学文科新课标版第一套一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U R =，集合M ()(){}{}120,12x x x N x x =-+≥=-≤≤，则()U C M N ⋂= （） A ．[]2,1-- B ．[]1,2- C ．[)1,1- D ．[]1,2 2．已知复数z 满足()1+234i z i =-+，则z =（）A B ．5 C D 3．若角α的终边经过点(1-，则tan 3πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（） A ． B ．- C D 4．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中的圆的半径为2，则该几何体的体积为A ．512−96πB ．296C ．512−24πD ．512 （）5．我国三国时期的数学家赵爽为了证明勾股定理创制了一幅“勾股圆方图”，该图是由四个全等的直角三角形组成，它们共同围成了一个如图所示的大正方形和一个小正方形．设直角三角形中一个锐角的正切值为3．在大正方形内随机取一点，则此点取自小正方形内的概率是（）A ．110 B ．15 C ．310 D ．256．执行如图所示的程序框图，则输出的n 为（）A ．5B ．6C ．7D ．87．已知命题p ：对x R ∀∈，总有22x x >；:1q ab >是1a >且1b >的必要不充分条件条件，则下列命题为真命题的是（）A ．p q ∧B ．p q ⌝∧C ．p q ∧⌝D ．()()p q ⌝∧⌝8．数列{}n a 满足()11nn n a a n ++=-⋅，则数列{}n a 的前20项的和为（）A ．100-B ．100C ．110-D ．1109．已知函数()f x 在区间[]2,2-上单调递增，若()()()24log log 2f m f m <+成立，则实数m 的取值范围是（）A ．1,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．1,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．(]1,4D ．[]2,410．已知1F ，2F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的两个焦点，过原点的直线l 交E 于第3页共26页 ◎ 第4页共26页○…………外…………○※※请○…………内…………○,A B 两点，220AF BF ⋅=，且2234||AF BF =，则E 的离心率为（） A ．12 B ．34 C ．27 D ．5711．如图，在底面为矩形的四棱锥E −ABCD 中，DE ⊥平面ABCD ，F ，G 分别为棱DE ，AB 上一点，已知CD =DE =3，BC =4，DF =1，且FG ∥平面BCE ，四面体ADFG 的每个顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为（）A ．12πB ．16πC ．18πD ．20π12．若曲线21:C y x =与曲线()2:0xe C y a a=>存在公共切线，则a 的取值范围为（） A ．()01， B ．214e ⎛⎤ ⎥⎝⎦， C ．2,24e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．2,4e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知实数x ，y 满足条件23{ 00x y x y x y -≥+≤≥≥，则3x y +的最大值为__________．14．函数()2cos 2f x x x =- 0,2x π⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的最大值是__________． 15．在ABC ∆中，226,AB AC BA BC BA ==⋅=，点P 是ABC ∆所在平面内一点，则当222PA PB PC ++取得最小值时，AP BC ⋅=__________．16．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，()f x '是()f x 的导函数，当0x <时，()()+0f x xf x '<，若()()22log log 1a f a f ⋅>，则实数a 的取值范围是．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（本小题满分10分）已知数列{}n a 满足132n n a a +=+，且12a =．（Ⅰ）求证：数列{}1n a +是等比数列；（Ⅱ）数列{}n b 满足()3log 1n n b a =+，判断数列2211n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和nT 与12的大小关系，并说明理由．18．（本小题满分12分）如图，四棱锥F ABCD -中，底面ABCD 为边长是2的正方形，E ，G 分别是CD ，AF 的中点，4AF =，FAE BAE ∠=∠，且二面角F AE B --的大小为90︒．（1）求证：AE BG ⊥；（2）求四面体B AGE -的体积．第5页共26页 ◎ 第6页共26页○…………线______○…………线19．（本小题满分12分）某地区积极发展电商，通过近些年工作的开展在新农村建设和扶贫过程中起到了非常重要的作用，促进了农民生活富裕，为了更好地了解本地区某一特色产品的宣传费x (千元)对销量y (千件)的影响，统计了近六年的数据如下：（1）若近6年的宣传费x 与销量y 呈线性分布，由前5年数据求线性回归直线方程，并写出y 的预测值；（2）若利润与宣传费的比值不低于20的年份称为“吉祥年”，在这6个年份中任意选2个年份，求这2个年份均为“吉祥年”的概率附：回归方程ˆˆˆybx a =+的斜率与截距的最小二乘法估计分别为111221ˆni ni i x y nx y bx nx==-=-∑∑，ˆˆa y bx =-，其中x ，y 为i x ，iy 的平均数．20．（本小题满分12分）设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为l ．已知点A 在抛物线C 上，点B 在l 上，ABF ∆是边长为4的等边三角形．（1）求p 的值；（2）在x 轴上是否存在一点N ，当过点N 的直线l '与抛物线C 交于Q 、R 两点时，2211||||NQ NR +为定值？若存在，求出点N 的坐标，若不存在，请说明理由．21．（本小题满分12分）设函数()21ln 2a f x x ax x -=+-（a R ∈）．（1）当1a =时，求函数()f x 的极值；（2）若对任意()3,4a ∈及任意1x ，[]21,2x ，恒有()()()2121ln22am f x f x -+>-成立，求实数m 的取值范围．第7页共26页（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．【选修44：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）已知直线2:{4x tcos l y tsin αα=+=+，(t 为参数，α为倾斜角)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的直角坐标方程为2240x y y +-=．（Ⅰ）将曲线C 的直角坐标方程化为极坐标方程；（Ⅱ）设点M 的直角坐标为()2,4，直线l 与曲线C 的交点为A 、B ，求MA MB +的取值范围．4第9页共26页 ◎ 第10页共26页19．第13页共26页 ◎ 第14页共26页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………1．【答案】C 【解析】因为全集U R =，集合()(){}120,M x x x =-+≥所以{}21U C M x x =-<<，又{}12x x -≤≤，所以()[)1,1U C M N ⋂=-，故选C ．2．【答案】C 【解析】()()()()34i 12i 510i 12i,12i 512i 12i 5z -+-+===++=+-，故选C ． 3．【答案】B 【解析】由题意可得：23tan 231α==--，则：()tan tan 2333tan 312331tan tan 3παπαπα+-+⎛⎫+==⎪⎝⎭--⨯- 37=-．本题选择B 选项． 4．【答案】C 【解析】由三视图可知，该几何体是一个正方体挖去一个圆柱所得的组合体，其中正方体的棱长为8，圆柱的底面半径为2，高为6，则该几何体的体积为：．本题选择C 选项．【名师点睛】(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查．先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项．7．【答案】B 【解析】命题p ：对x R ∀∈，总有22x x >是假命题，当2x =-时不成立；:q 命题由1a >，11b ab >⇒>，反之不成立，例如当10a =，12b =时，51ab =>，1b <，命题为真命题．故选B ，p q ⌝∧是真命题．8．【答案】A 【解析】由()11nn n a a n ++=-，得2134561,3,5a a a a a a +=-+=-+=-，1920...,19a a +=-，na ∴的前20项的和为121920119...13 (19102)a a a a +++++=----=-⨯ 100=-，故选A ． 9．【答案】A 【解析】不等式即为()()()244log log 2f m f m <+，∵函数()f x 在区间[]2,2-上单调递增，∴()()24424log log 2{2log 2 2log 22m m m m <+-≤≤-≤+≤，即第15页共26页 ◎ 第16页共26页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………221{4 41244m m m m <+≤≤≤+≤，解得124m ≤<．∴实数m 的取值范围是1,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭．选A ．【方法点睛】本题主要考查双曲线的定义及离心率，属于难题．离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,a c ，从而求出；②构造,a c 的齐次式，求出；③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解；④根据圆锥曲线的统一定义求解．本题是利用双曲线的几何性质以及双曲线的定义根据方法①求解的．11．【答案】C 【解析】在棱CD 上取一点H ，使得HD=1，平面BCE ，又平面BCE ，平面平面BCE ，又平面平面ABCD=GH ，平面平面ABCD=BC ，= HD=1，故四面体可以补成一个长方体，且长，宽，高分别为4，1，1，所以球的表面积为【名师点睛】本题考查了球与几何体的问题，一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点），这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球．【名师点睛】本小题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，过曲线上某点出的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是中档题．要求曲线上某点的切线方程，需要到两个量，一个是切点，一个是切线的斜率，分别求得切点和斜率，然后根据点斜式可写出切线方程．13．【答案】8【解析】画出可行域如图所示，则当目标函数z 3x =+y 经过点51,22A ⎛⎫⎪⎝⎭时取代最大值，max 51z 3422=+⨯=，即答案为4．第17页共26页 ◎ 第18页共26页○…………订…_班级：___________考○…………订…14．【答案】14-【解析】()221sin 2sin 1f x x x x x =-+-=--=21sin 4x ⎛-- ⎝⎭，所以当sin 2x =时，有最大值14-．故答案为：14-． 15．【答案】-9【解析】∵2BA BC BA⋅=，∴()20BA BC BA BA BC BA BA AC ⋅-=⋅-=⋅=，∴BA AC ⊥，即BA AC ⊥．以点A 为原点建立如图所示的平面直角坐标系，则B(6，0)，C(0，3)，设(),P x y ，所以()()22222222263PA PB PC x y x y x y ++=++-+++-223123645x x y y =-+-+()()2232110x y ⎡⎤=-+-+⎣⎦．所以当2,1x y ==时222PA PB PC ++有最小值，此时()()2,16,39AP BC ⋅=⋅-=-．【名师点睛】数量积的计算有两种不同的方式，一是根据定义计算，二是用向量的坐标计算，其中用坐标进行运算可使得数量积的计算变得简单易行．在本题的解法中通过建立坐标系将数量积的最小值问题转化为函数的最值问题处理，体现了转化方法在数学解题中的应用．17．【答案】（I ）证明见解析；（II ）12n T <．【解析】试题分析：（Ⅰ）由132n n a a +=+可得()()1131n n a a ++=+，所以数列{}1n a +是以3为首项，3为公比的等比数列；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知13n n a +=，即()33log 1log 3n n n b a n=+==．故()()()221111111221212122121n n b b n n n n n n +⎛⎫=<=- ⎪⋅+-⋅+-+⎝⎭，根据裂项相消法结合放缩法可得12n T <．试题解析：（Ⅰ）由题意可得()113331n n n a a a ++=+=+，即()()1131n n a a ++=+，又1130a +=≠，故数列{}1n a +是以3为首项，3为公比的等比数列．18．【答案】(1)见解析；(2)。

2013年高三数学(理科)易错题平行性训练

2013年高三数学（理科）易错题平行性训练(][)(][)2,1.|log 1},{|0.0}.0,11,0,22,<=<<>+∞+∞ ={ . . . 2.A x x B x x c c AUB =B c A B C D A p p q q B 一、选择题（每小题5分计35分）已知集合其中若,则的取值范围是（）. 下列说法的是（）.如果命题与命题或都是真命题，那么命题一定是真命题； .错误220222212122,1:,11sin 302,(,)(0),:0,//,≠≠∃∈+<∀∈+≥=+=≠++== 3.a ab a ab C p x R x x p x R x x D x y r P a b ab O P O l l ax by r A l l l O θθ命题若=0则=0的否命题是若0则0； .若命题:-0则-0.是的充分不必要条件已知圆O:点是圆内一点，过点的圆的最短弦所在的直线为直线那么( ) .且与圆相122122122,//,,,,0.5,⊥⊥ 14.515.515B l l l O l l l O D l l l O cm cm cm A.B C πππ离 .且与圆相切 C.且与圆相交 .且与圆相离4.铜芯电线绕在盘上，空盘时盘芯直径为10满盘时盘芯直径为20 铜芯电线的直径为铜芯电线绕在盘上时每层绕10圈，这盘铜芯电线长( )米. .∆D S -ABC ABC SC SC .以上都不对5.已知三棱锥的所有顶点都在球O 的球面上，是边长为1的正三角形，为球O 的直径，且=2，则此三棱锥的体积为( )7.0|}4213..1.22⋅≥⋅⎛⎫∈∈ ⎪⎝⎭=||||>0,{ a b a b n a b a b b a n Z a b A B C αβαβαβββπθ对于任意的两个非零平面向量和，定义，若平面向量和满足与夹角，，且和都在集合中，则等于( )1223211225.2,8.333385,,|||1|2____________,10.()(21)(1),,---+++++=∃∈-++≤⎧-≤*==-*-⎨->⎩n n n n n =____________9.n n n nD C C C C C n x R x a x a a ab a ba b a b f x x x b ab a b二、填空题(每小题5分计20分)若则已知命题：是假命题，则实数的取值范围是对于实数和定义：,设且关于123123_____________11.∈ (R)Proofs Without Words x f(x)=mm x x x x x x ________________________________.的方程恰有三个互不相等的实数根、、则的取值范围是无字证明（)就是将数字命题用简单、有创意，而且易于理解的几何图形来呈现.请利用图甲、图乙中阴影部分的面积关系，写出该图所验证的一个三角恒等变换公式图甲图乙{}{}11,,();3(1)2,,,cos -+=+-⋅⋅∈∆∆ 3332n n 12n nn n n n n +n n n a n S a +a ++a =S I a a II b t b >b n N t ABC A B C a,b,c,C A cI ABC aII (共3小题每小题12分计36分)12.正项数列中，前项和为,且满足求数列的通项（）若,对任意的恒成立，求实数的取值范围.13.在中，已知角的对边分别为且=2.()若是锐角三角形，求的取值范围.（）若三、解答题03,20,4,2().=∠====⊥---A a +c b P ABC BAC PA PB PC BC AB I PBC ABC II B AP C =求值.14.在三棱锥中，=90求证：平面平面()求二面角的余弦值.参考答案一、选择题（5×7=35分）二、填空题：（4×5=20分）18.49.31,016⎛⎫-=<-> ⎪ ⎪⎝⎭10. 11.sin(+)=sin cos +cos sin 或n a a αβαβαβ三、解答题：（3×12=36分）111111112111121)()12.)()()++++++++-⎧⎨⎩⇒+-=+⎫⇒=+⎪⇒+=+⎬⇒=+⎪⎭++++ =-=(S S (S S S 333212n n333212n n 322n n n n n n n n n n n n n n n n+1n n n n n n a +a ++a =S a +a ++a =S a S S S S a S a S a a a -a a a a S 解：(I)1111110,11{}13(1)23(1)233()22-+++->=⇒⇒=+-⋅⋅⇒=+-⋅⋅>-⇒>-= = (II) n n+1n n n n n n n n n n n n n+1n a a -a a a a n b t b t b >b n t t 又从而，是以为首项、公差为1的等差数列又，从而当为偶数时13()12312-⇒<-<< n n t <t t 当为奇数时综上可得sin13.C2sin sin22sin cos2cossin3226642224=⇒==⇒==⎫∆⇒⇒>⇒>⎪⎪⇒<<⎬⎪⇒<⇒<⇒<⎪⎭⇒ABC C+A>解：(I)为锐角三角形C cA C A A A AA aA AAC A Acaππππππππ220832cos14424cos6431222+=⎧=⎧⎪=⇒⇒⇒+-=⎨⎨==⎩⎪⎩⇒⇒2(II)(I)=b-18b+80=0b=10b=8(由知或舍)(此时三角形为等腰非直角三角形）综上，a cacA b b Accaab=1014.I∆∆≅∆≅∆⊥⎫⎫⇒⊥⎬⎪⊥⇒⊥⎬⎭⎪⊆⎭PO OBPO OAPO PBCBC O AO,PO,ABCOA=OB=OC PA=PB=PC POA POB POCPO ABCPBC PAB解:（）取中点，连接由已知为直角三角形得,又则平面平面平面平面111,0),(010),(010),P(02231,0),(0122(,,),⊥--===(II)O OD BC AC D,A((PABB CBABPn x y zn过作交与如图建系，则有，，，，，，，，设平面的一个法向量为则有11212(1,365,65⎧⋅⎪⇒=⎨⋅⎪⎩=>===PACcos<B-AP-CBAnn BPnn n同理可求平面的一个法向量（）综上二面角y。

高三数学纠错练习(2) 试题

心尺引州丑巴孔市中潭学校数学纠错练习〔2〕1. 不等式(x －1)02≥+x 的解集为 [1,＋∞) 或{}2-2. 函数)3||(log )(31+-=x x f 定义域是],[b a ),(z b a ∈，值域是]0,1[-，那么满足条件的整数数对),(b a 有 5 对3. 观察以下各式9－1=8，16－4=12，25－9=16，36－16=20…，这些等式反映了正整数间的某种规律，设n表示正整数，用关于n 的等式表示为 .∈22*(n+2)-n =4(n+1)(n N )4. 设,,x y z 是空间的不同直线或不同平面，以下条件中能保证“假设x z ⊥，且y z ⊥，那么//x y 〞▲ .〔填所正确条件的代号〕③①,,x y z 为直线； ②,,x y z 为平面； ③,x y 为直线，z 为平面； ④x 为直线，,y z 为平面.5.设首项不为零的等差数列{}n a 前n 项之和是n S ，假设不等式22212n n S a a nλ+≥对任意{}n a 和正整数n恒成立，那么实数λ的最大值为 ▲ . 156.图为函数()1)f x x =<<的图象，其在点(())M t f t ，l l y 处的切线为，与轴和直线1=y 分别交于点P 、Q ，点N 〔0，1〕，假设△PQN 的面积为b时的点M 恰好有两个，那么b 的取值范围为 ▲ . 18,427⎛⎫⎪⎝⎭7. 过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,B C ．假设BC AB 21=，那么双曲线的离心率是； 8．如图，在长方形ABCD 中，2AB =，1BC =，E 为DC 的中点，F 为线段EC 〔端点除外〕上一动点．现将AFD ∆沿AF折起，使平面ABD ⊥平面ABC ．在平面ABD 内过点D 作DK AB ⊥，K 为垂足．设AK t =，那么t 的取值范围是．答案：1,12⎛⎫⎪⎝⎭9. 如果执行下面的程序框图，那么输出的S值为 .2046204710. .定义：关于x 的两个不等式()0<x f 和()0<x g 的解集分别为()b a ,和⎪⎭⎫⎝⎛a b 11，，那么称这两个不等式为对偶不等式.如果不等式022cos 342<+-θx x 与不等式012sin 422<++θx x 为对偶不等式，且,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，那么=θ .56π 11. 函数bx ax x x f -+=2331)(〔R b a ∈,〕，假设)(x f y =在区间[]2,1-上是单调减函数，那么b a +的最小值为 . 2312. 连续*21()n n N +∈个正整数总和为a 后n 个数的平方和与前n 个数的平方和之差为b ．假设1160a b =，那么n 的值为．5 13．设抛物线2y =2x 的焦点为F ，过点M 〔3，0〕的直线与抛物线相交于A ，B 两点，与抛物线的准线相交于C ，BF=2，那么∆BCF 与∆ACF 的面积之比BCF ACFS S ∆∆=4514. 定义在R 上的函数()f x 满足()12f =，()1f x '<，那么不等式()221f x x <+的解集为_ __；()(),11,-∞-+∞15. 函数()()22ln 0f x x a xx x=++>，()f x 的导函数是()'f x ，对任意两个不相等的正数12,x x ，证明：〔Ⅰ〕当0a ≤时，()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭〔Ⅱ〕当4a ≤时，()()''1212f x f x x x ->- 证明：〔Ⅰ〕由()22ln f x x a x x=++ 得()()()()1222121212111ln ln 222f x f x ax x x x x x +⎛⎫=+++++ ⎪⎝⎭而()()22222212121212112242x x x x x x x x +⎛⎫⎡⎤+>++= ⎪⎣⎦⎝⎭① 又()()2221212121224x x x x x x x x +=++>∴1212124x x x x x x +>+ ②122x x +<∴12ln2x x +< ∵0a ≤∴12ln2x x a a +< ③ 由①、②、③得即()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭〔Ⅱ〕证法一：由()22ln f x x a x x =++，得()'222af x x x x=-+ ∴()()''12122211222222a a fx f x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=-+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()121222121222x x a x x x x x x +=-⋅+- 下面证明对任意两个不相等的正数12,x x ,有()12221212221x x ax x x x ++->恒成立即证()1212122x x a x x x x +<+成立∵()121212122x x x x x x x x ++>设()()240tu x t t==+>，那么()'242u x t =-令()'0ux =得t =，列表如下：()4u t a ≥=>≥ ∴()1212122x x x x a x x ++>∴对任意两个不相等的正数12,x x ，恒有()()''1212f x f x x x ->-。

江苏省建陵高级中学2013—2014高三数学纠错练习

高三数学纠错练习7
1.已知全集},3,2,1,0{=U 集合},3,2,1{},1,0{==B A 则=B A C U )(__ ___.
2. 已知向量(12,2)a x =-,()2,1b -=,若→
→b a //,则实数x =__ ____.
3.当且仅当n r m ≤≤时,两圆4922=+y x 与()002586222>=-+--+r r y x y x 有公共点,则m n -的值为 .
4.将函数()y f x =的图象上的每一点的纵坐标变为原来的4倍，横坐标变为原来的2倍，然后把所得的图象上的所有点沿x 轴向左平移π2
个单位，这样得到的曲线和函数 2sin y x =的图象相同，则函数()y f x =的解析式为．
5.已知函数221,0,()2,x x f x x x x ⎧->⎪=⎨--⎪⎩
≤0.若实数m )1,0(∈，则函数()()g x f x m =-有个零点.
6.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，11233,4,2,a a a a =且成等差数列，则32
S S -
等于 . 7.设)(x f 是定义在R 上的偶函数,当0<x 时,x e x x f +=)( (e 为自然对数的底数), 则)2(ln f 的值为 . 8.已知O 为△ABC 的外心，,120,2,20=∠=
=BAC a
AC a AB 若AC AB AO βα+=，则βα+的最小值为．。

高三数学易错数列多选题易错题同步练习试卷

高三数学易错数列多选题易错题同步练习试卷一、数列多选题1．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,则下列说法正确的是（）A ．若21,n S n =-则{}n a 是等差数列B ．若21,nn S =-则{}n a 是等比数列C ．若{}n a 是等差数列，则995099S a =D ．若{}n a 是等比数列，且10,0,a q >>则221212n n n S S S -+⋅>【答案】BC 【分析】由n S 求n a ，根据通项公式可判断AB 是否正确，由等差数列的性质可判断C ，取1n =时，结合等比数列求和公式作差比较13S S ⋅与22S 大小即可判断D. 【详解】对于A 选项，若21n S n =-，当2n ≥时，21n a n =-，10a =不满足21n a n =-，故A错误；对于B 选项，若21nn S =-，则1112,21,1n n n n S S n a S n --⎧-=≥=⎨==⎩，由于11a =满足12n n a -=，所以{}n a 是等比数列，故B 正确；对于C 选项，若{}n a 是等差数列，则()199995099992a a S a +==，故C 正确. 对于D 选项，当1n =时，()()222222132111110S S S a q qa q a q ⋅-=++-+=-<，故当1n =时不等式不等式，故221212n n n S S S -+⋅>不成立，所以D 错误.故选：BC 【点睛】本题考查数列的前n 项和为n S 与n a 之间的关系，等差数列的性质，等比数列的前n 项和为n S 的公式等，考查运算求解能力.本题D 选项解题的关键将问题特殊化，讨论1n =时，13S S ⋅与22S 大小情况.此外还需注意一下公式：11,2,1n n n S S n a S n --≥⎧=⎨=⎩；若{}n a 是等差数列，则()2121n n S n a -=-.2．已知数列{}n a ，{}n b 满足1n n n a a +-=，21n n n b a nb ⋅+=，且11a =，n S 是数列{}n b 的前n 项和，则下列结论正确的有（）A ．m +∃∈N ，55m m a a a +=+B ．n +∀∈N ，33314n a n +≥ C ．m +∃∈N ，16m b = D ．n +∀∈N ，113n S ≤<【答案】BD 【分析】用累加法得到222n n n a -+=，代入21n n n b a nb ⋅+=，得11212n b n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，代入5m a +5m a a =+求出m 可判断A ；代入33n a n+求最值可判断B ；令1121612m b m m ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭解出m 可判断C ；裂项相消后可求出n S 的范围可判断D. 【详解】因为1n n n a a +-=，所以211a a -= 322a a -=11(2)n n n a a n -=-≥-以上各式累加得1121(1)2n a a n n n =+++-=--，所以(1)12n n n a -=+，当1n =时，11a =成立，所以2(1)2122n n n n a n --+=+=，由21n n n b a nb ⋅+=，得112112(1)1222(1)(2)12n n b a n n n n n n n n ⎛⎫====- ⎪+++++⎝-+⎭+，对于A ，()()5254922122m a m m m m ++++++==，25(1)5(51)2411222m a a m m m m -⨯--+=+++=+ ，当55m m a a a +=+时，222492222m m m m -+++=，得15m +=∉N ，A 错误；对于B，(1)1(13333343411)22222n n n n a n n n n n ++==+=+-≥--+，当且仅当268n =取等号，因为n +∀∈N ，所以8n =时，8333184a +=，所以B 正确；对于C，令1121612mbm m⎛⎫=-=⎪++⎝⎭得，215308m m++=，解得m+=N，所以C错误；对于D，n+∀∈N，1231111112233412nS b b bn n⎛⎫=+++=-+-++-⎪++⎝⎭112211222n n⎛⎫=-=-<⎪++⎝⎭，可以看出n S是关于n递增的，所以1n=时有最小值13，所以113nS≤<，D正确.故选：BD.【点睛】本题考查了由递推数列求通项公式、裂项相消求数列和，关键点是用累加法求出n a，然后代入求出n b，考查了学生的推理能力、计算能力.3．已知数列{}n a的前n项和为2n33S n n=-，则下列说法正确的是（）A．342na n=-B．16S为nS的最小值C ．1216272a a a+++=D．1230450a a a+++=【答案】AC【分析】利用和与项的关系，分1n=和2n≥分别求得数列的通项公式，检验合并即可判定A;根据数列的项的正负情况可以否定B;根据前16项都是正值可计算判定C;注意到121617193300()a a a S a a a+++=+----16302S S=-可计算后否定D.【详解】1133132a S==-=,()()()2213333113422n n na S S n n n n n n-=-=---+-=-≥,对于1n=也成立，所以342na n=-，故A正确；当17n<时，0na>,当n=17时na0=,当17n>时，n a0<,nS∴只有最大值，没有最小值，故B错误；因为当17n<时，0na>,∴21216163316161716272a a a S+++==⨯-=⨯=，故C正确；121617193300()a a a S a a a+++=+----2163022272(333030S S =-=⨯-⨯-）54490454=-=，故D 错误. 故选：AC. 【点睛】本题考查数列的和与项的关系，数列的和的最值性质，绝对值数列的求和问题，属小综合题.和与项的关系()()1112n nn S n a S S n -⎧=⎪=⎨-≥⎪⎩,若数列{}n a 的前 k 项为正值，往后都是小于等于零，则当n k ≥时有122n k n a a a S S ++⋯+=-，若数列{}n a 的前 k 项为负值，往后都是大于或等于零，则当n k ≥时有122n k n a a a S S ++⋯+=-+.若数列的前面一些项是非负，后面的项为负值，则前n 项和只有最大值，没有最小值，若数列的前面一些项是非正，后面的项为正值，则前n 项和只有最小值，没有最大值.4．将()23nn ≥个数排成n 行n 列的一个数阵，如图：11a 12a 13a ……1n a21a 22a 23a ……2n a 31a 32a 33a ……3n a……1n a 2n a 3n a ……nn a该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列（其中0m >）.已知113a =，61131a a =+，记这2n 个数的和为S .下列结论正确的有（）A ．2m =B ．767132a =⨯C ．()1212j ij a i -=+⨯D ．()()221nS n n =+-【答案】ACD 【分析】由题中条件113a =，61131a a =+，得23531m m +=+解得m 的值可判断A ；根据第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列可判断BC ；由等差数列、等比数列的前n 项和公式可判断D. 【详解】由113a =，61131a a =+，得23531m m +=+，所以2m =或13m =-（舍去），A 正确；()6635132a m m =+=⨯，B 错误；()()112132212j j ij a i i --=-+⨯=+⨯⎡⎤⎣⎦，C 正确；()()()111212122212n n n n nn S a a a a a a a a a =++++++++++++1121(12)(12)(12)121212n n n nn a a a ---=+++--- ()()()11211332(1)21212n nn n a a a n ++-⎛⎫=+++-=⨯- ⎪⎝⎭()()221n n n =+-，D 正确.故选：ACD. 【点睛】方法点睛：本题考查了分析问题、解决问题的能力，解答的关键是利用等比数列、等差数列的通项公式、求和公式求解，考查了学生的推理能力、计算能力.5．将2n 个数排成n 行n 列的一个数阵，如图：该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列(其中0m >).已知112a =，13611a a =+，记这2n 个数的和为S .下列结论正确的有（）A ．3m =B ．18181103354kk i a =⨯+=∑C ．(31)3ij ja i =-⨯ D ．()1(31)314n S n n =+- 【答案】ABD 【分析】根据第一列成等差，第一行成等比可求出1361,a a ，列式即可求出m ，从而求出通项ij a ，进而可得ii a ，根据错位相减法可求得181kki a=∑，再按照分组求和法，每一行求和可得S ，由此可以判断各选项的真假．【详解】∵a 11＝2，a 13＝a 61+1，∴2m 2＝2+5m +1，解得m ＝3或m 12=-（舍去），A 正确； ∴()()11113213313j j j ij i a a i m i ---⎡⎤=⋅=+-⨯⋅=-⋅⎣⎦，C 错误；∴()1313i a i -=-⋅，0171811223318182353533S a a a a =+++⋯+=⨯+⨯+⋯+⨯① 12181832353533S =⨯+⨯+⋯+⨯②,①-②化简计算可得：1818103354S ⨯+=,B 正确；S ＝(a 11+a 12+a 13+……+a 1n )+(a 21+a 22+a 23+……+a 2n )+……+(a n 1＋a n2＋a n 3＋……＋a nn )()()()11211131313131313nnnn a a a ---=+++---()()231131.22nn n +-=- ()1=(31)314n n n +-，D 正确；故选：ABD. 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；（2）对于{}n n a b 型数列，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，利用错位相减法求和；（3）对于{}n n a b +型数列，利用分组求和法；（4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭型数列，其中{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列，利用裂项相消法求和.6．已知数列{}n a ，下列结论正确的有（） A ．若12a ＝，11n n a a n +++＝，则20211a ＝.B ．若11132n n a a a ++＝，＝，则71457a =C ．若12nn S =3+，则数列{}n a 是等比数列 D ．若11212n n n a a a a ++＝，＝()*n N ∈，则15215a ＝【答案】AB 【分析】直接利用叠加法可判断选项A ，从而判断，利用构造新数列可求出B,D 中数列的通项公式，可判断，选项C 求出数列的前3项从而可判断. 【详解】选项A. 由11n n a a n +=++，即11n n a a n +-=+则()()()()19191818120207121a a a a a a a a a a =-+-+-++-+20191822211=+++++=故A 正确.选项B. 由132n n a a +=+，得()1311n n a a +=++，所以数列{}1n a +是以112a +=为首项，3为公比的等比数列.则1123n n a -+=⨯，即1231n n a -=⨯-，所以672311457a =⨯-=，故B 正确.选项C. 由12nn S =3+，可得当1n =时，11722a =+=3 当2n =时，得2211193622a S S ⎛⎫⎛⎫=-=+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当3n =时，得332112791822a S S ⎛⎫⎛⎫=-=+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，显然2213a a a ≠，所以数列{}n a 不是等比数列，故C 错误.选项D. 由122nn n a a a +=+，可得11112n n a a +-= 所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，12为公差的等差数列. 所以()1111122n n n a +=+-=，则1511826a ==，即1518a =，故D 错误. 故选：AB 【点睛】关键点睛：本题考查利用递推关系求数列的通项公式，解答的关键是掌握求数列通项公式的常见方法，由叠加法可得()()()()19191818120207121a a a a a a a a a a =-+-+-++-+，利用构造新数列()1311n n a a +=++，11112n n a a +-=解决问题，属于中档题.7．在n n n A B C （1,2,3,n =）中，内角,,n n n A B C 的对边分别为,,n n n a b c ，n n n A B C 的面积为n S ，若5n a =，14b =，13c =，且222124n n n a c b ++=，222124n n n a b c ++=，则（） A ．n n n A B C 一定是直角三角形 B ．{}n S 为递增数列 C ．{}n S 有最大值 D ．{}n S 有最小值【答案】ABD 【分析】先结合已知条件得到()222211125=252n n n n b c b c +++-+-，进而得到22225=n n n b c a +=，得A 正确，再利用面积公式得到递推关系1221875=644n n S S ++，通过作差法判定数列单调性和最值即可. 【详解】由222124n n n a c b ++=，222124n n n a b c ++=得，222222112244n n n n n n a c a b bc+++++=+()2221122n n n a b c =++()2225122n n b c =++，故()222211125=252n n n n b c b c +++-+-，又221125=0b c +-，22250n n b c ∴+-=，22225=n n n b c a ∴+=，故n n n A B C 一定是直角三角形，A 正确；n n n A B C 的面积为12n n n S b c =，而()4222222222221124224416n n n n n n n n n n n n a b c a b c a c a b bc+++++++=⨯=，故()42222222222111241875161875==1616641n n n n n n n n n n n a b c a b bS S c c S +++++++==+，故22212218751875==6446434n n n n n S S SS S +-+--，又22125=244n n n n n b c b c S +=≤（当且仅当=n n b c 22121875=06344n n n S SS +∴--≥，又由14b =，13c =知n n b c ≠不是恒成立，即212n n S S +>，故1n n S S +>，故{}n S 为递增数列，{}n S 有最小值16=S ，无最大值，故BD 正确，C 错误. 故选：ABD. 【点睛】本题解题关键是利用递推关系得到()222211125=252n n n n b c b c +++-+-，进而得到22225=n n n b c a +=，再逐步突破.数列单调性常用作差法判定，也可以借助于函数单调性判断.8．下面是关于公差0d >的等差数列{}n a 的几个命题，其中正确的有（） A ．数列{}n a 递增B ．n S 为{}n a 的前n 项和,则数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增的等差数列 C ．若n a n =，n S 为{}n a 的前n 项和，且n S n c ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭为等差数列，则0cD ．若70a =，n S 为{}n a 的前n 项和，则方程0n S =有唯一的根13n = 【答案】ABD 【分析】选项A. 由题意10n n a a d +-=>可判断；选项B.先求出112n S n a d n -=+⨯，根据1012n n S S dn n +-=>+可判断；选项C. 若n a n =,则()12n n n S +=，则0c 或1c =时n S n c ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭为等差数列可判断；选项D.由1602n n S dn -⎛⎫=--= ⎪⎝⎭可判断. 【详解】选项A. 由题意10n n a a d +-=>，则1n n a a +>，所以数列{}n a 递增，故A 正确. 选项B. ()112n n n S na d -=+⨯,则112n S n a d n -=+⨯ 所以1012n n S S d n n +-=>+，则11n n S S n n +>+，所以数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增的等差数列. 故B 正确. 选项C. 若n a n =,则()12n n n S +=，则()()12n n n S n c n c =+++当0c时，12+n S n c n =+为等差数列. 当1c =时，2n S n c n=+为等差数列.所以选项C 不正确.选项D. 70a =,即7160a a d =+=，则16a d =- 又()()1111660222n n n n n n S na d dn d dn ---⎛⎫=+⨯=-+⨯=--= ⎪⎝⎭由0,0d n >>，所以1602n --=，得13n =，故选项D 正确. 故选：ABD 【点睛】关键点睛：本题考查等差数列的判定和单调性的单调，解答本题的关键是利用等差数列的定义和前n 项和公式进行判断，求出162n n S dn -⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，从而判断，属于中档题.二、平面向量多选题9．已知向量(4,3)a k =，(4,3)b k =，则（） A ．若a b ⊥，则0k = B ．若//a b ，则1k =C ．若a b >，则1k <D ．若a b a b +=-，则a b ⊥【答案】AD 【分析】先根据a b ⊥建立方程44330k k ⨯+⨯=解得0k =，判断选项A 正确；再根据//a b ，建立方程(4,3)(4,3)k k λ=解得1k =±，判断选项B 错误；接着根据a b >建立不等式4(3)(4)3k k +>+解得11k -<<，判断选项C 错误；最后根据a b a b +=-，化简整理得到a b ⊥，判断选项D 正确.【详解】解：因为(4,3)a k =，(4,3)b k =，a b ⊥，则44330k k ⨯+⨯=，解得0k =，故选项A 正确；因为(4,3)a k =，(4,3)b k =，//a b ，则λa b ，即(4,3)(4,3)k k λ=，解得1k =±，故选项B 错误；因为(4,3)a k =，(4,3)b k =，a b >，则>，解得11k -<<，故选项C 错误；因为(4,3)a k =，(4,3)b k =，a b a b +=-，则0a b ⋅=，0a ≠，0b ≠，所以a b ⊥，故选项D 正确. 故答案为：AD. 【点睛】本题考查利用向量垂直求参数、利用向量共线求参数、根据向量的模的大小关系求参数的范围、利用向量的运算判断向量垂直，是中档题.10．ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a 、b 满足AB a =、AC a b =+，则下列结论正确的是（） A ．2b = B ．a b ⊥C ．2a b ⋅=D ．(2)a b BC +⊥【答案】AD 【分析】本题首先可以根据向量的减法得出BC b =，然后根据ABC 是边长为2的等边三角形得出A 正确以及B 错误，再然后根据向量a 、b 之间的夹角为120计算出2a b ⋅=-，C 错误，最后通过计算得出(2)0a b BC +⋅=，D 正确. 【详解】因为AB a =，AC a b =+，所以BC AC AB a b a b =-=+-=，因为ABC 是边长为2的等边三角形，所以2b BC ==，A 正确，因为AB a =，BC b =，所以向量a 、b 之间的夹角为120，B 错误，所以1cos1202222a b a b ⎛⎫⋅=⋅⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭，C 错误，因为()22(2)(2)22220a b BC a b b a b b +⋅=+⋅=⋅+=⨯-+=，所以(2)a b BC +⊥，D 正确，故选：AD.【点睛】本题考查向量的减法运算以及向量的数量积，若向量a 、b 之间的夹角为θ，则cos a b a b θ⋅=⋅⋅，若0a b ⋅=，则a b ⊥，考查推理能力与计算能力，是中档题.。

[高三数学]南通中学届高三纠错训练1数学-精品文档

江苏省南通中学高三数学纠错训练11 已知集合2{(,)|1,||2,}A x y y x x x Z ==-≤∈,用列举法表示集合A 是__________ 。

2 设 {0,1},{|A B X X ==φ⊆⊆A},用列举法表示集合B 应是__________ 。

3已知集合,{|21,},A Z B x x n n Z C R ===+∈=，且从A 到B 的映射是21x x →-，从B 到C 的映射是131x x →+ ，则从A 到C 的映射是 __________ 。

4函数y ＝)432(log )12(x x -+的定义域是___________ 。

5已知函数(21)y f x =+的定义域是[1,4]，则函数(3)x y f =的定义域是__________ 。

6 函数()f x =______。

{0}[1,)⋃+∞7已知函数()y f a x =-与()y f x b =-的图象关于直线l 对称，则直线l 的方程为______。

8（1）已知{|131}A x m x m =+≤≤-，{|110}B x x =≤≤，且A B ⊆,则实数m 的范围为___________.（2）已知[1,31]A m m =+-，[1,10]B =，且A B ⊆,则实数m 的范围为_______.9函数1y x x =+的定义域是 1{|0}x x x->，则此函数的值域为__________ 。

10 设2{|(2)10,}A x x p x x R =+++=∈,若(0,)A ϕ⋂+∞=,求实数p 的取值范围为__________ 。

11 方程20log sin x x =的实根个数是__________ 。

12 定义在R 上的偶函数()f x 在(,0]-∞上是增函数，若(31)(25)f a f a ->-，则a 的取值范围是______________ 。

13若函数()f x 在定义域(1,1)-上导数存在且满足 '()0f x <又当,(1,1)a b ∈-且0a b +=时，()()0f a f b +=，则不等式2(1)(1)0f m f m -+->的解集为__________ 。

高三新课标纠错卷8数学

高三新课标纠错卷8数学在高三新课标纠错卷8数学中，我们重点关注学生在数学学习过程中常犯的错误，并提供相应的纠正方法。

以下是一些常见的错误类型及其纠正策略：1. 理解概念错误：学生可能对某些数学概念理解不准确，例如混淆了函数的奇偶性、连续性等概念。

纠正策略是重新讲解这些概念，并提供清晰的实例和反例。

2. 计算错误：在进行数学运算时，学生可能会犯一些基本的计算错误，如加减乘除运算错误。

纠正策略是通过大量的练习来提高计算准确性，并教授检查和验证结果的方法。

3. 公式应用错误：学生可能在应用数学公式时出现错误，如错误地应用了三角函数公式或积分公式。

纠正策略是强调公式的适用范围和条件，并通过例题来加深理解。

4. 逻辑推理错误：在解决证明题时，学生可能会在逻辑推理上出现漏洞。

纠正策略是教授逻辑推理的基本方法，如归纳法、演绎法，并强调证明过程中的每一步都要有充分的依据。

5. 解题方法选择错误：面对复杂问题时，学生可能会选择不恰当的解题方法，导致解题效率低下。

纠正策略是教授多种解题策略，并训练学生根据问题的特点选择合适的方法。

6. 审题不清：学生在阅读题目时可能会忽略关键信息，导致解题方向错误。

纠正策略是训练学生仔细阅读题目，标记关键信息，并在解题前复述题目要求。

7. 时间管理不当：在考试中，学生可能会因为时间管理不当而无法完成所有题目。

纠正策略是教授时间管理技巧，如合理分配时间、先易后难等。

8. 答题不规范：学生在答题时可能会因为书写不规范或表达不清晰而失分。

纠正策略是强调答题的规范性，包括清晰的书写、准确的数学符号使用和逻辑清晰的表达。

为了帮助学生纠正这些错误，教师可以设计针对性的练习题，提供及时的反馈，并鼓励学生在解题过程中进行自我检查和反思。

通过这些方法，学生可以逐步提高数学解题能力，减少错误，从而在高考中取得更好的成绩。

高三数学易错题重做(12)

n
10
an
Ak 1Ak , i (1,0) , 设 n 为 a n 与 i 的夹角 , 则 tan k
.
k1
k1
n(n N * ) 的点 , 向量 2056
14．已知： M={a| 函数 y 2sin ax 在 [
, ] 上是增函数 } ，N={b| 方程 3 |x 1| b 1 0 有实数解 } ，设
是
． [ 2, )
8．定长为 2 的线段 AB 的两端点在抛物线 y2 = x 上移动，求线段 AB 的中点 M 的横坐标的取值范围
是
． [1, )
9．记等差数列 { an} 的前 n 项和为 Sn，且 bn Sn ，若 { bn } 是公差为 d 的等差数列，则 d=
.
1
an
或1 2
10．已知数列 an 的前 n 项和为 Sn ，对任意 n∈ N* 都有 Sn 2 an 1 ，则 S4
∴ cosB
0
∴
2
tan
B
tan B
2
0
∴ tan B 2 或 tan B 1
而 tan B 1使 cos2 B sin 2 B 0 ，舍去 ∴ tan B 2
∴ tan C tan
AB
tan A B
tan A tan B 1 tan A tan B
2 3 8 53
1 23
11
3 ，求 tan B
解：（Ⅰ）∵ m n 1 ∴ 1, 3 cos A,sin A
1 即 3 sin A cos A 1
3
1
2 sin A
cos A
1,
sin A
1
2
2
62

蒋王数学高三数学练习5.26纠错练习

高三数学练习5.261、在ABC ∆中，已知内角3A π=，边BC =设内角B x =,面积为y .周长为l(1) 求函数()y f x =的解析式和定义域；(2) 求y 的最大值；（3）求l 的取值范围。

2、在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对边分别为,,a b c ，且1cos 3A =． (1)求2sin cos 22B C A ++的值； (2)若a =bc 的最大值．3、设锐角三角形ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，；2sin a b A =．（Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）求cos sin A C +的取值范围．4、ABC ∆的三边a 、b 、c 和面积满足22()S c a b =--，且a + b=2,求面积S 的最大值5、如图，两座建筑物AB 、CD 的高度分别是m 9和m 15，从建筑物AB 的顶部A 看建筑物CD 的张角︒=∠45CAD ，求建筑物AB 和CD 的底部之间的距离BD 。

A B C DE6、如图，半圆O 的直径为2，A 为直径延长线上的一点，2=OA ，B 为半圆上任意一点，以AB 为一边作等边ABC ∆，问点B 在什么位置时，四边形OACB 的面积最大？7、已知函数)6cos()2sin(x x y -+=ππ，（1）求函数的最小正周期；（2）求函数的最大值。

（3）求函数的单调减区间；（4）求函数在区间]6,6[ππ-的值域8、如图，在四棱锥P ABCD -中，AB ∥DC ，2DC AB =，AP AD =，PB ⊥AC ，BD ⊥AC ，E 为PD 的中点．求证：（1）AE ∥平面PBC ；（2）PD ⊥平面ACE ．9、如图，等腰梯形ABEF 中，//AB EF ，AB =2，1AD AF ==，AF BF ⊥，O 为AB 的中点，矩形ABCD 所在的平面和平面ABEF 互相垂直. （Ⅰ）求证：AF ⊥平面CBF ；（Ⅱ）设FC 的中点为M ，求证：//OM 平面DAF ；（Ⅲ）求三棱锥C BEF -的体积.D C B A EP（第8题图）第9题 A B C D EF M O10、如图，点A 为圆形纸片内不同于圆心C 的定点，动点M 在圆周上，将纸片折起，使点M 与点A 重合，设折痕m 交线段CM 于点N .现将圆形纸片放在平面直角坐标系xoy 中，设圆C ：()()()222141,1,0x y a a A ++=>,记点N 的轨迹为曲线E . ⑴证明曲线E 是椭圆，并写出当2a =时该椭圆的标准方程；⑵设直线l 过点C 和椭圆E 的上顶点B ，点A 关于直线l 的对称点为点Q ，若椭圆E 的离心率12e ⎡∈⎢⎣⎦，求点Q 的纵坐标的取值范围.11、如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆的焦距为2，且过点．（1）求椭圆E 的方程；（2）若点A ，B 分别是椭圆E 的左、右顶点，直线l 经过点B 且垂直于x 轴，点P 是椭圆上异于A ，B 的任意一点，直线AP 交l 于点M ．（ⅰ）设直线OM 的斜率为k 1，直线BP 的斜率为k 2，求证：k 1k 2为定值；（ⅱ）设过点M 垂直于PB 的直线为m ．求证：直线m 过定点，并求出定点的坐标．12、自极点O 作射线与直线cos 3ρθ=相交于点M ，在OM 上取一点P ，使得12OM OP ⋅=，求点P 的轨迹方程，并判断点P 的轨迹与直线221x t l y t =+⎧⎨=+⎩:（t 是参数）的位置关系．13、（Ⅰ）设()(1)()n f x x f x =+，展开式中2x 的系数是10，求n 的值；（Ⅱ）利用二项式定理证明：11(1)C 0nk k nk k +=-=∑．。

高中数学纠错练习数列

纠错练习——数列1．(2020·山东卷)设{}a n 是首项大于零的等比数列，则“a 1<a 2”是“数列{}a n 是递增数列”的 ( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．已知等比数列{}a n 的公比为正数，且a 3·a 9＝2a 25，a 2＝1，则a 1＝ ( )A.12B.22C. 2 D ．2 3．(2020·广东卷)已知数列{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和．若a 2a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5＝ ( )A ．35B ．33C ．31D ．294．已知等差数列{}a n 中，3a 8＝5a 13，且a 1>0，S n 为其前n 项和，则S n 中的最大项是( )A ．S 10B ．S 11C ．S 20D ．S 215．若数列{x n }满足：log 2x n ＋1＝1＋log 2x n (n ∈N *)，x 1＋x 2＋x 3＝32，则log 12(x 4＋x 5＋x 6)的值为 ( )A ．－8B ．8C ．－4D ．46．在等差数列{}a n 中，满足3a 4＝7a 7，且a 1>0，S n 是数列{}a n 的前n 项和，若S n 取得最大值，则n ＝________.7．已知数列{}a n 对于任意p ，q ∈N *，有a p ＋a q ＝a p ＋q ，若a 1＝19，则a 36＝________.8．设y ＝f (x )是一次函数，f (0)＝1，且f (1)，f (4)，f (13)成等比数列，则f (2)＋f (4)＋…＋f (2n )＝________.9．(2020·北京宣武)如图所示，由若干个点组成形如三角形的图形，每条边(包括两个端点)有n (n >1，n ∈N )个点，每个图形总的点数记为a n ，则a 6＝________； 9a 2a 3＋9a 3a 4＋9a 4a 5＋…＋9a 2 011a 2 012＝________.10．(2020·潍坊一模)已知数列{}a n 的首项a 1＝a ，a n ＝12a n －1＋1()n ∈N *，n ≥2，若b n ＝a n －2(n ∈N *)(Ⅰ)问数列{}b n 是否构成等比数列，并说明理由；(Ⅱ)若已知a 1＝1，设数列{}a n ·b n 的前n 项和为S n ，求S n .11．(2020·烟台一模)已知点(1,2)是函数f (x )＝a x(a >0且a ≠1)的图象上一点，数列{}a n 的前n 项和S n ＝f (n )－1.(1)求数列{}a n 的通项公式；(2)若b n ＝log a a n ＋1，求数列{}a n b n 的前n 项和T n .12．(2020·山东师大附中模拟)已知数列{}a n 的前n 项和为S n ，若a 1＝3，点(S n ，S n ＋1) 在直线y ＝n ＋1n x ＋n ＋1(n ∈N *)上．(Ⅰ)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列； (Ⅱ)若数列{}b n 满足b n ＝a n ·22n ＋1，求数列{}b n 的前n 项和T n ；(Ⅲ)设C n ＝T n 22n ＋3，求证：C 1＋C 2＋…＋C n >2027.1解析：设数列{}a n 的公比为q ，因为a 1<a 2，所以有a 1<a 1q ，因为a 1>0，解得q >1，所以数列{}a n 是递增数列；反之，若数列{}a n 是递增数列，又∵a 1>0，∴公比q >1，所以a 1<a 1q ，即a 1<a 2.所以a 1<a 2是数列{}a n 是递增数列的充分必要条件．答案：C2解析：设公比为q ，由已知得a 1q 2·a 1q 8＝2(a 1q 4)2，即q 2＝2，又因为等比数列{}a n 的公比为正数，所以q ＝2，故a 1＝a 2q＝12＝22，选B. 答案：B3解析：由a 2a 3＝a 1a 4 ，a 2a 3＝2a 1得a 1a 4＝2a 1，又a 1≠0，∴a 4＝2，由已知a 4＋2a 7＝2×54∴a 7＝14，∴q 3＝a 7a 4＝18，∴q ＝12.∴a 1＝a 4q 3＝218＝16. ∴S 5＝a 11－q 51－q＝16×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1251－12＝31.答案：C4解析：由3a 8＝5a 13得3(a 1＋7d )＝5(a 1＋12d )．即2a 1＋39d ＝0， ∴a 1＋19d ＝－(a 1＋20d )，即a 20＝－a 21，∵a 1＝－39d2>0，∴d <0.∴a 1>a 2>…>a 20>0>a 21>…，∴S 20最大．故选C. 答案：C5解析：由log 2x n ＋1＝1＋log 2x n (n ∈N *)得log 2x n ＋1x n ＝1，x n ＋1x n＝2，∴{x n }是公比为2的等比数列∴x 4＋x 5＋x 6＝(x 1＋x 2＋x 3)×23＝28∴log 12(x 4＋x 5＋x 6)＝log 1228＝－8.答案：A6解析：由3a 4＝7a 7，得a 1＝－334d ，∴S n ＝d 2n 2－35d 4n ，∵a 1>0，∴d <0，∴S n ＝d2⎝ ⎛⎭⎪⎫n －3542－1 22532d ，∴当n ＝9时，S n最大．答案：97解析：a 36＝a 1＋a 35＝2a 1＋a 34＝…＝36a 1＝4. 答案：48解析：根据已知条件，可设函数f (x )＝ax ＋1(a ≠0)，因为f (1)，f (4)，f (13)成等比数列，所以(4a ＋1)2＝(a ＋1)·(13a ＋1)，解得a ＝2，即f (x )＝2x ＋1，所以f (2)＋f (4)＋…＋f (2n )＝4(1＋2＋…＋n )＋n ＝n (2n ＋3)．答案：n (2n ＋3)9解析：由图可知a n ＝3n －3(n ≥2)，故a 6＝3×6－3＝15.又因为9a n ·a n ＋1＝9×13n －3·3n＝1n －1n ＝1n －1－1n (n ≥2)，所以9a 2a 3＋9a 3a 4＋…＋9a 2 011a 2 012＝1－12＋12－13＋…＋12 010－12 011＝1－12 011＝2 0102 011.答案：15 2 0102 01110. 解：(Ⅰ)b 1＝a 1－2＝a －2，b n ＋1＝a n ＋1－2＝12a n －1.若a ≠2，由b n ＋1b n ＝12a n －1a n －2＝12，得数列{}b n 构成等比数列．若a ＝2，b 1＝0，数列{}b n 不构成等比数列．(Ⅱ)由a 1＝1，得b n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.a n ＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，a nb n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1－2⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.S n ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＝(1－2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14－2·12＋…＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1－2⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1－2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋12＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫14n 1－14－2×1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n1－12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2－13·⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1－83.11解：(1)把点(1,2)代入函数f (x )＝a x得a ＝2所以数列{}a n 的前n 项和为S n ＝f (n )－1＝2n－1 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －2n －1＝2n －1对n ＝1时也适合∴a n ＝2n －1.(2)由a ＝2，b n ＝log a a n ＋1得b n ＝n ，所以a n b n ＝n ·2n －1T n ＝1·20＋2·21＋3·22＋…＋n ·2n －1①2T n ＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋(n －1)·2n －1＋n ·2n②由①－②得：－T n ＝20＋21＋22＋…＋2n －1－n ·2n所以T n ＝(n －1)2n＋1.12(1)证明：∵点(S n ，S n ＋1)在直线y ＝n ＋1nx ＋n ＋1(n ∈N *)上． ∴S n ＋1＝n ＋1nS n ＋n ＋1 两边同除以n ＋1，得S n ＋1n ＋1－S n n ＝1又∵S 11＝31＝3，于是⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以3为首项，1为公差的等差数列． (2)解：由(1)知，S n n＝3＋(n －1)×1＝n ＋2，即S n ＝n 2＋2n (n ∈N *)，∴当n ＝1时，a 1＝3，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1 经检验，当n ＝1时，a 1也成立， ∴a n ＝2n ＋1(n ∈N *)于是b n ＝a n ·22n ＋1＝(2n ＋1)·22n ＋1∵T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n －1＋b n ＝3·23＋5·25＋…＋(2n －1)·22n －1＋(2n ＋1)·22n＋1∴4T n ＝3·25＋…＋(2n －3)·22n －1＋(2n －1)·22n ＋1＋(2n ＋1)·22n ＋3两式相减得：T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ＋19·22n ＋3－89.(3)证明：∵C n ＝T n 22n ＋3＝2n 3＋19－19·⎝ ⎛⎭⎪⎫14n∴C 1＋C 2＋…＋C n ＝23·n n ＋12＋19·n －19·14⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫14n 1－14＝3n 2＋4n 9－127＋127·⎝ ⎛⎭⎪⎫14n >3n 2＋4n 9－127≥79－127＝2027.。

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高考数学纠错练习（12）
1．设0ω>，函数)3
sin(π
ω+
=x y 的图像向右平移
45
π
个单位后与原图关于x 轴对称，则ω的最小值是．
4
5 2．记数列{}n a 是首项1a a =，公差为2的等差数列；数列{}n b 满足2(1)n n b n a =+，若对任意*
n N ∈都有5n b b ≥成立，则实数a 的取值范围为 .[22,18]--
3．定义域为[a,b]的函数()y f x =图像的两个端点为A 、B ，M （x,y ）是()f x 图象上任意一点，其中(1)[,]x b a b λαλ=++∈,已知
向量(1)ON OA OB λλ=+- ，若不等式||MN k ≤
恒成立，则
称函数()[,]f x a b 在上“k 阶线性近似”。

若函数1
y x x
=-在
[1，2]上“k 阶线性近似”，则实数k 的取值范围为
_______________.3
[)2
+∞ 4.对正整数n ，设曲线(1)2n y x x x =-=在处的切线与y 轴交点的纵坐标为,{}1
n
n a a n +则数列的前n 项和是___________. 1
22n +-
5.已知2()2f x x x =
-，则满足条件⎩⎨
⎧≥-≤0
)()(0
)(y f x f y f 的点(,)x y 所形成区域的面积为．2
6. 已知点P 在直线210x y +-=上,点Q 在直线230x y ++=上，PQ 的中点为00(,)M x y ,且002y x >+,则00
y 的取值范围是________.()
1125
--，
7. 在区间]5,1[-上，3y kx k =+的图像恒在函数|54|)(2
--=x x x f 图像的上方，则实数k 的取值范
围是．),2(+∞
8．定长为2的线段AB 的两端点在抛物线2
y x =上移动，求线段AB 的中点M 到y 轴的最短距离
为．
4
3 9．记数列{}n a 的前n 项和为S n ，若{}n
n
S a 是公差为d 的等差数列，则{}n a 为等差数列的充要条件是d= .1或
12
10．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意n ∈*
N 都有21
33
n n S a =
-，若1<k S <9（k ∈*N ），则k 的值为____________．4
11.已知x 、y 满足约束条件y x z k y x x y x 42,03
,
05+=⎪⎩
⎪
⎨⎧≥++≤≥+-且的最小值为－6，则常数k = .0 12．已知函数()sin (0)f x x ωω=>在[0,1]内至少有5个最小值点,则正整数ω的最小值为___ ___.30
13．设函数()2x f x x x =⋅+,0A 为坐标原点,n A 为函数()y f x =图像上横坐标为*()n n N ∈的点,向量
11
n n k k k A A -==∑
a ,(1,0)=i ,设n θ为n a 与i 的夹角,
则
1
tan n
k
k θ
=∑= .1
2
2n n ++-
14．设函数()(),f g x x 的定义域分别为,f g D D ，且f g D D Ü。

若对于任意f x D ∈，都有()()g f x x =，则称函数()g x 为()f x 在g D 上的一个延拓函数。

设()()20x f x x =≤，()g x 为()f x 在R 上的一个延拓函数，且()g x 是偶函数，则()g x = .||
2
x -
15.在锐角．．△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足(2)cos cos a c B b C -=. （Ⅰ）求角B 的大小；
（Ⅱ）设(sin ,1),(3,cos2)m A n A ==
,试求m n ⋅ 的取值范围.
解: (Ⅰ) 因为(2a －c ）cosB=bcosC,所以(2sinA －sinC ）cosB=sinBcosC,………(3分) 即2sinA cosB=sinCcosB ＋sinBcosC= sin(C ＋B)= sinA.而sinA>0,所以cosB=
1
2
(6分) 又∵
1800<<B ，故B=60°……………………………………………………… (7分)
(Ⅱ) 因为(sin ,1),(3,cos2)m A n A ==
,所以m n ⋅ =3sinA ＋cos2A……………… (8分)
=3sinA ＋1－2sin 2
A=－2(sinA －
34)2＋17
8
……………………………………… (10分) 由00
0009060090A B C ⎧<<⎪=⎨⎪<<⎩
得00000
090012090
A A ⎧<<⎨<-<⎩,所以003090A <<,从而1sin ,12A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭…(12分)故m n ⋅ 的取值范围是172,
8⎛⎤
⎥⎝⎦
.…………………… (14分)。