2012二模文立体几何
2012年北京市各区二模试题分类解析【数学文】(14)：空间几何体.pdf
1．运用多种修辞方法，表达思想感情，增强气势。
2．品味语言，理解语言中所包含的深意。
教学时数：一课时。
教学过程 一、预习 1．给下列加点字注音。
（多媒体显示） 伫立(zhu4) 睥睨(pi4 ni4) 咆哮(xiao4) 波澜(lan2) 污秽(hui4) 犀利(xi1) 劈开(pi1) 稽首(qi3) 驰骋(cheng3)虐待(nüe4) 2．解释下列词语。
睥睨：眼睛斜着看，形容高傲的样子。
污秽：不干净。
犀利：(武器、言语等)锋利；锐利。
播弄：摆布。
虐待：用残暴狠毒的手段待人。
雷霆：雷暴；霹雳。
踌躇：犹豫。
鞭挞：鞭打。
比喻抨击。
祈祷：一种宗教仪式，信仰宗教的人向神默告自己的愿望。
忏悔：认识了过去的错误或罪过而感觉痛心。
罪孽：迷信的人认为应受到报应的罪恶。
拖泥带水：比喻说话、写文章不简洁或做事不干脆。
二、导入 介绍历史尉《屈原》写作的时代背景。
郭沫若历史剧《屈原》写于1942年1月。
当时是抗日战争后期，日本帝国主义侵占了中国的半壁河山。
1942年1月，时值“皖南事变，，以后，郭沫若在重庆创作了《屈原》，借古讽今，揭露国民党统治下的黑暗现实。
他借屈原的独自，鞭挞蒋介石的反动统治，抒发了人民的愤恨。
《雷电颂>出现在《屈原》第五幕第二场。
屈原被囚禁在东皇太一庙。
他手足带着刑具，颈上系着长链，散发披肩，独身徘徊。
这时，狂风咆哮，电闪雷鸣。
面对这黑暗的世界，他想到祖国就要沦亡，听着风吼、雷鸣，看着闪电劈空，他感到了大自然的伟大力量，他激愤的心情发展到极点，他的心像火一样燃烧起来，铸成了这大气磅礴，动人心魄的独自——《雷电颂》。
它是屈原斗争精神的最集中、最突出的表现。
是全剧高潮中最强力的一个音符。
三、朗读课文 课文在形式上并不押韵，但节奏分明，声调铿锵有力，要求学生反复朗读，品味文章语言，体会文章气势，并谈感受。
四、再读课文，理清思路 学生讨论、交流。
明确： 《雷电颂》这段独白，大致包含两方面的内容：一是对风、雷、电的期待与歌颂，一是对光明的渴望与追求。
2012年江苏省各地模考题立体几何汇编答案
2012年江苏省各地模考题立体几何汇编1、已知四边形ABCD为梯形,AB∥CD,l为空间一直线,则“l垂直于两腰AD,BC”是“l垂直于两底AB,DC”的条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中的一个)8. 充分不必要【解析】l垂直于两腰AD,BC,则l垂直于平面ABCD,所以l垂直于两底,反之不正确.2、已知直线l⊥平面α,直线m⊂平面β.给出下列命题:①α∥β⇒l⊥m;②α⊥β⇒l∥m;③l∥m⇒α⊥β;④l⊥m⇒α∥β,其中正确命题的序号是.11. ①③【解析】对于①,在平面β内任取直线m,因为α∥β,所以m∥α,又l⊥α,所以l⊥m,所以l⊥β,故①正确.②l⊥α,α⊥β,则l∥β或l⊂β,所以②错.③若l⊂β,则由l⊥α⇒α⊥β.若l⊄β,由l∥m,所以l∥β,由线面平行性质定理知,l可移到β内,所以α⊥β,故③正确.④若α∩β=m,则必有l⊥m,所以④错.故正确的命题为①③.3、对于直线m,n和平面α,β,γ,有如下四个命题:①若m∥α,m⊥n,则n⊥α;②若m⊥α,m⊥n,则n∥α;③若α⊥β,γ⊥β,则α∥γ;④若m⊥α,m∥n,n⊂β,则α⊥β.其中正确命题的序号是.7. ④【解析】①n与α可以是平行或相交,故①错.②由条件得n∥α或n⊂α,故②错.③α与r可以是相交,故③错.④因为m⊥α,m∥n,所以n⊥α,又n⊂β,所以α⊥β,故④正确.4、设l,m为两条不同的直线,α,β为两个不同的平面,下列命题中正确的是.(填序号)①若l⊥α,m∥β,α⊥β,则l⊥m;②若l∥m,m⊥α,l⊥β,则α∥β;③若l∥α,m∥β,且α∥β,则l∥m;④若α⊥β,α∩β=m,l⊂β,l⊥m,则l⊥α.7. ②④【解析】①l∥β或l⊂β,所以l与m不一定垂直.②⇒⇒α∥β,所以②正确.③l与m可以异面,所以③错误.④由面面垂直的性质定理可知④正确.5、设α,β,γ表示三个不同的平面,a,b,c表示三条不同的直线,给出下列四个命题:①若a∥α,b∥β,a∥b,则α∥β;②若a∥α,b∥α,β∩α=c,a⊂β,b⊂β,则a∥b;③若a⊥b,a⊥c,b⊂α,c⊂α,则a⊥α;④若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β或α⊥β.其中正确的命题是.(填序号)11. ②【解析】①α与β可以相交;②由线面平行性质定理易得;③若b∥c,则a∥α或a⊂α,故③错;④α与β可能相交,但不一定垂直,故④错.6、已知α,β是两个不同的平面,下列四个条件:①存在一条直线a,a⊥α,a⊥β;②存在一个平面γ,γ⊥α,γ⊥β;③存在两条平行直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α;④存在两条异面直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α.其中是平面α∥平面β的充分条件的为.(填序号)7. ①④【解析】①过直线a作平面γ与α, β分别交于m, n,则易证m∥n,所以m∥β,同理再作平面δ,与α, β分别交于m', n',则易证m'∥β.而m与m'交于直线a上一点,所以α∥β.②以长方体同一顶点处相邻的三个面为例可知②错误.③是错误的,不符合面面平行判定定理的条件.④可用反证法证明为正确的.7、设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,给出下列命题:①若α∥β,m⊂β,n⊂α,则m∥n;②若α∥β,m⊥β,n∥α,则m⊥n;③若α⊥β,m⊥α,n∥β,则m∥n;④若α⊥β,m⊥α,n⊥β,则m⊥n.上述命题中,所有真命题的序号为.11. ②④【解析】①中的m,n可能平行、或异面②因为α∥β,m⊥α,所以m⊥β.又n∥β,所以m⊥n.③m,n可能相交、平行或异面,所以③是错误的.④以正方形ABCD A'B'C'D'为模型,设平面ABCD为α,平面CC'D'D为β,则m=AA',n=A'D'.显然④为正确的.故正确的为②④.8、底面边长为2 m,高为1 m的正三棱锥的全面积为m2.7. 3【解析】底面正三角形的高为,则斜高为h'==.S全=×22+3××2×=+2=3.9、如图,在长方体ABCD A 1B1C1D1中,AB=AD=3 cm,AA1=2 cm,则四棱锥A BB1D1D的体积为cm3.7. 6 解析:因为AB=AD,所以ABCD为正方形,所以AC⊥BD,所以=·AC=×2×3×3=6.10、一块边长为10cm的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下,然后用余下的四个全等的等腰三角形做侧面,以它们的公共顶点P为顶点,加工成一个如图所示的正四棱锥型容器.当x=6cm时,该容器的容积为cm3.(第11题)11. 48 【解析】当x=6时,则四棱锥的高h==4.所以V=×62×4=48.11、已知棱长为3的正方体ABCD A 1B1C1D1中,P,M分别为线段BD1,B1C1上的点,若=,则三棱锥M PBC的体积为.6. 【解析】显然P到平面BCC1B1距离为C1D1=1.所以==×S △BCM×1=××3×3=.12、已知长方体的长、宽、高分别是5,4,3,若用一个平面将此长方体截成两个三棱柱,则这两个三棱柱表面积之和的最大值为.11. 144 【解析】表面积之和最大即截面矩形面积最大.不同截面面积有三种:3=3, 4=4, 5=25.故表面积之和S max=S表+2×25=144.16. (本小题满分14分)如图,在四棱锥P ABCD中,四边形ABCD是菱形,PA=PC,E为PB的中点.(1) 求证:PD∥平面AEC;(2) 求证:平面AEC⊥平面PDB.(第16题)16. (1) 设AC∩BD=O,连接EO,因为O,E分别是BD,PB的中点,所以PD∥EO,(4分)而PD⊄平面AEC,EO⊂平面AEC,所以PD∥平面AEC.(7分)(2) 连接PO,因为PA=PC,所以AC⊥PO,又四边形ABCD是菱形,所以AC⊥BD.(10分)而PO⊂平面PBD,BD⊂平面PBD,PO∩BD=O,所以AC⊥平面PBD.(13分)又AC⊂平面AEC,所以平面AEC⊥平面PBD.(14分)16. (本小题满分14分)如图,已知四棱锥P ABCD.(1) 若底面ABCD为菱形,∠DAB=60°,PA=PD,求证:PB⊥AD;(2) 若底面ABCD为平行四边形,E为PC的中点,在DE上取点F,过AP和点F的平面与平面BDE的交线为FG,求证:AP∥FG.(第16题)16. (1) 取AD的中点为H,连接BH,PH.因为PA=PD,所以PH⊥AD.(2分)在菱形ABCD中,∠DAB=60°,得BH⊥AD.(4分)又因为PH⊂平面PBH,BH⊂平面PBH,PH∩BH=H,所以AD⊥平面PBH.因为PB⊂平面PBH,所以PB⊥AD.(7分)(2) 连接AC,交BD于点O,连接OE.在▱ABCD中,O是AC的中点,点E是PC的中点,所以OE∥AP.(9分)因为AP⊄平面BDE,OE⊂平面BDE,所以AP∥平面BDE.(11分)因为AP⊂平面APFG,平面APFG∩平面BDE=PG,所以AP∥FG.(14分)16. (本小题满分14分)如图,在直三棱柱ABC A 1B1C1中,AB=AC=5,BB1=BC=6,D,E分别是AA1和B1C的中点.(1) 求证:DE∥平面ABC;(2) 求三棱锥E BCD的体积.(第16题)16. (1) 如图,取AC中点M,连接DM,EM.(第16题)因为D为AB的中点,所以DM∥BC.因为DM⊄平面BB1C1C,BC⊂平面BB1C1C,所以DM∥平面BB1C1C.(3分)同理可证EM∥平面BB1C1C.又DM∩EM=M,所以平面DEM∥平面BB1C1C.(5分)因为DE⊂平面DEM.所以DE∥平面BB1C1C.(7分)(2) 在△AA1B中,因为AB=2AA1,∠BAA1=60°,设AA1=1,则AB=2,由余弦定理得A1B=.故A+A1B2=AB2,所以AA1⊥A1B.(10分)同理可得AA1⊥A1C.又A1B∩A1C=A1,所以AA1⊥平面A1BC.(12分)因为AA1∥BB1,所以BB1⊥平面A1BC.(14分)16. (本小题满分14分)如图,在正方体ABCD A 1B1C1D1中,M,N,G分别为AA1,D1C,AD的中点.(1) 求证:MN∥平面ABCD;(2) 设α是过MN的任一平面,求证:α⊥平面B1BG.(第16题)16. (1) 取CD的中点E,连接NE,AE,(1分)因为N为CD1的中点,E为CD的中点,所以NE∥MA且NE=MA,(2分)所以MAEN为平行四边形,(3分)所以MN∥AE,(4分)因为MN∥AE,MN⊄平面ABCD,所以MN∥平面AE⊂平面ABCD所以MN∥平面ABCD.(6分)(2) 在正方形ABCD中,易证△BAG≌△ADE,(7分)所以∠DAE+∠AGB=∠ABG+∠AGB=90°,(8分)所以AE⊥BG.(9分)又B1B⊥平面ABCD,AE⊂平面ABCD所以B1B⊥AE,(10分)因为AE⊥BG,B1B⊥AE,BG∩B1B=B,所以AE⊥平面B1BG,(12分)又MN∥AE,所以MN⊥平面B1BG.(13分)MN⊥平面B1BG,MN⊂α所以α⊥平面B1BG.(14分)16. (本小题满分14分)如图,斜三棱柱A 1B1C1ABC中,侧面AA1C1C⊥底面ABC,侧面AA1C1C是菱形,∠A1AC=60°,E,F分别是A1C1,AB的中点.求证:(1) EF∥平面BB1C1C;(2) 平面CEF⊥平面ABC.(第16题)16. (1) 取BC中点M,连接FM,C1M.在△ABC中,因为F,M分别为BA,BC的中点,所以FM AC且FM=AC.(2分)因为E为A1C1的中点,AC A1C1,所以FM EC1.从而四边形EFMC1为平行四边形,所以EF∥C1M.(4分)又因为C1M⊂平面BB1C1C,EF⊄平面BB1C1C,所以EF∥平面BB1C1C.(6分)(第16题)(2) 在平面AA1C1C内,作A1O⊥AC,O为垂足.因为∠A1AC=60°,所以AO=AA1=AC,从而O为AC的中点.(8分)所以OC A1E,因而EC A1O.(10分)因为侧面AA1C1C⊥底面ABC,交线为AC,A1O⊥AC,所以A1O⊥底面ABC.所以EC⊥底面ABC.(12分)又因为EC⊂平面EFC,所以平面CEF⊥平面ABC.(14分)16. (本小题满分14分)如图,在三棱柱ABC A 1B1C1中,底面△ABC是等边三角形,D为AB的中点.(1) 求证:BC1∥平面A1CD;(2) 若四边形BCC 1B1是矩形,且CD⊥DA1,求证:三棱柱ABC A1B1C1是正三棱柱.(第16题)16. (1) 连接AC1,设AC1与A1C相交于点O,连接DO,则O为AC1的中点,因为D为AB的中点,所以DO∥BC1.(4分)因为BC1⊄平面A1CD,DO⊂平面A1CD,所以BC1∥平面A1CD.(7分)(2) 因为等边三角形ABC中,D为AB中点,所以CD⊥AB.因为CD⊥DA1,DA1∩AB=D,所以CD⊥平面ABB1A1因为BB1⊂平面ABB1A1,所以BB1⊥CD,在矩形BCC1B1中,BB1⊥BC.(11分)因为BC∩CD=C,所以BB1⊥平面ABC.因为底面△ABC是等边三角形,所以三棱柱ABC A 1B1C1是正三棱柱.(14分)15. (本小题满分14分)如图,在三棱锥A BCD中,BC=3,BD=4,CD=5,AD⊥BC,E,F分别是棱AB,CD的中点,连接CE,G为CE上一点.(1) 求证:平面CBD⊥平面ABD;(2) 若GF∥平面ABD,求的值.(第15题)15. (1) 在△BCD中,BC=3,BD=4,CD=5,所以BC⊥BD.又因为BC⊥AD,BD∩AD=D,所以BC⊥平面ABD.(4分)又因为BC⊂平面BCD,所以平面CBD⊥平面ABD.(7分)(2) 因为GF∥平面ABD, FG⊂平面CED,平面CED∩平面ABD=DE,所以GF∥ED,(10分)所以G为线段CE的中点,所以=1.(14分)16. (本小题满分14分)如图,在直三棱柱ABC A 1B1C1中,AB=AC=5,BB1=BC=6,D,E分别是AA1和B1C的中点.(1) 求证:DE∥平面ABC;(2) 求三棱锥E BCD的体积.(第16题)16. (1) 取BC中点G,连接AG,EG,因为E是B 1C的中点,所以EG∥BB1,且EG=BB1.(2分)由直棱柱知,AA1BB1,而D是AA1的中点,所以EG AD,(4分)所以四边形EGAD是平行四边形,所以ED∥AG,又DE⊄平面ABC,AG⊂平面ABC,(第16题)所以DE∥平面ABC.(7分)(2) 因为AD∥BB1,所以AD∥平面BCE,所以===,(10分)由(1)知,DE∥平面ABC,所以==AD·BC·AG=×3×6×4=12.(14分)16. (本小题满分14分)如图,四边形ABCD是矩形,平面ABCD⊥平面BCE,BE⊥EC.(第16题)(1) 求证:平面AEC⊥平面ABE;(2) 若点F在BE上,DE∥平面ACF,求的值.16. (1) 因为ABCD为矩形,所以AB⊥BC.因为平面ABCD⊥平面BCE,平面ABCD∩平面BCE=BC,AB⊂平面ABCD,所以AB⊥平面BCE.(3分)因为CE⊂平面BCE,所以CE⊥AB.因为CE⊥BE,AB⊂平面ABE,BE⊂平面ABE,AB∩BE=B,所以CE⊥平面ABE.(6分)因为CE⊂平面AEC,所以平面AEC⊥平面ABE.(8分)(2) 连接BD交AC于点O,连接OF.因为DE∥平面ACF,DE⊂平面BDE,平面ACF∩平面BDE=OF,所以DE∥OF.(12分)又因为矩形ABCD中,O为BD中点,所以F为BE中点,即=.(14分)16. (本小题满分14分)如图(1)所示,在Rt△ABC中,AC=6,BC=3,∠ABC=90°,CD为∠ACB的平分线,点E在线段AC上,CE=4.如图(2)所示,将△BCD沿CD折起,使得平面BCD⊥平面ACD,连接AB,设点F是AB的中点.(1) 求证:DE⊥平面BCD;(2) 若EF∥平面BDG,其中G为直线AC与平面BDG的交点,求三棱锥B DEG的体积.图(1)图(2)(第16题)16. (1) 在图(1)中,因为AC=6,BC=3,∠ABC=90°,所以∠ACB=60°.因为CD为∠ACB的平分线,所以∠BCD=∠ACD=30°.所以CD=2.(2分)因为CE=4,∠DCE=30°,所以DE=2.则CD2+DE2=EC2,所以∠CDE=90°,DE⊥DC.(4分)在图2中,又因为平面BCD⊥平面ACD,平面BCD∩平面ACD=CD,DE⊂平面ACD,所以DE⊥平面BCD.(7分)(2) 在图(2)中,因为EF∥平面BDG,EF⊂平面ABC,平面ABC∩平面BDG=BG,所以EF∥BG.(9分)因为点E在线段AC上,CE=4,点F是AB的中点,所以AE=EG=CG=2.作BH⊥CD交于H.因为平面BCD⊥平面ACD,所以BH⊥平面ACD.(11分)由条件得BH=.(12分)S△DEG=S△ACD=×AC·CD·sin30°=.(13分)三棱锥B DEG的体积V=S △DEG·BH=××=.(14分)16. (本小题满分14分)如图,在六面体ABCD A 1B1C1D1中,AA1∥CC1,A1B=A1D,AB=AD.求证:(第16题)(1) AA1⊥BD;(2) BB1∥DD1.16. (1) 取线段BD的中点M,连接AM,A1M,因为A1D=A1B,AD=AB,所以BD⊥AM,BD⊥A1M.(3分)又AM∩A1M=M,AM,A1M⊂平面A1AM,所以BD⊥平面A1AM.而AA1⊂平面A1AM,所以AA1⊥BD.(7分)(2) 因为AA1∥CC1,AA1⊄平面D1DCC1,CC1⊂平面D1DCC1,所以AA1∥平面D1DCC1.(9分)又AA1⊂平面A1ADD1,平面A1ADD1∩平面D1DCC1=DD1,(11分)所以AA1∥DD1.同理得AA1∥BB1,所以BB1∥DD1.(14分)16. (本小题满分14分)如图,已知正方形ABCD和直角梯形BDEF所在平面互相垂直,BF⊥BD,EF=BF=BD.(1) 求证:DE∥平面ACF;(2) 求证:BE⊥平面ACF.(第16题)(第16题)16. (1) 设AC∩BD=O,连接FO,EO. 因为ABCD是正方形,所以O是BD的中点,因为BD=2EF,所以DO EF,所以四边形DOFE是平行四边形,所以DE∥OF. (5分)因为DE⊄平面ACF, OF⊂平面AFC,所以DE∥平面ACF. (7分)(2) 因为ABCD是正方形,所以BD⊥AC,因为平面ABCD⊥平面BDEF,平面ABCD∩平面BDEF=BD,所以AC⊥平面BDEF,因为BE⊂平面BDEF,所以BE⊥AC.(10分)因为BF=BD,所以BF=BO,所以四边形BOEF是正方形,所以BE⊥OF. (12分)因为OF∩AC=O,OF,AC⊂平面ACF,所以BE⊥平面ACF.(14分)15. (本小题满分14分)在四棱锥P ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB∥CD,AB⊥BC,AB=BC=1,DC=2,点E在PB上.(1) 求证:平面AEC⊥平面PAD;(2) 当PD∥平面AEC时,求PE∶EB的值.(第15题)15. (1) 过A作AF⊥DC于F,则CF=DF=AF=1,(第15题)所以∠DAC=90°,即AC⊥DA,(2分)又PA⊥底面ABCD,AC⊂平面ABCD,所以AC⊥PA,(4分)因为PA,AD⊂平面PAD,且PA∩AD=A,所以AC⊥底面PAD,(6分)而AC⊂平面ABCD,所以平面AEC⊥平面PAD.(8分)(2) 连接BD交AC于点O,连接EO,因为PD∥平面AEC,PD⊂平面PBD,平面PBD∩平面AEC=EO,所以PD∥EO,(11分)则PE∶EB=DO∶OB,而DO∶OB=DC∶AB=2,所以PE∶EB=2.(14分)16. (本小题满分14分)在△ABC中,∠BAC=90°,∠B=60°,AB=1,D为线段BC的中点,E,F为线段AC的三等分点(如图(1)).将△ABD沿着AD折起到△AB'D的位置,连接B'C(如图(2)).(1) 若平面AB'D⊥平面ADC,求三棱锥B'ADC的体积;(2) 记线段B'C的中点为H,平面B'ED与平面HFD的交线为l,求证:HF∥l;(3) 求证:AD⊥B'E.图(1)图(2)(第16题)16. (1) 在直角△ABC中,D为BC的中点,所以AD=BD=CD.又∠B=60°,所以△ABD是等边三角形.取AD中点O,连接B'O,所以B'O⊥AD.因为平面AB'D⊥平面ADC,平面AB'D∩平面ADC=AD,B'O⊂平面AB'D,(第16题)所以B'O⊥平面ADC.(3分)在△ABC中,∠BAC=90°,∠B=60°,AB=1,D为BC的中点,所以AC=,B'O=.所以S△ADC=××1×=.所以三棱锥B'ADC的体积为V=·S △ADC·B'O=.(2) 因为H为B'C的中点,F为CE的中点,所以HF∥B'E.又HF⊄平面B'ED,B'E⊂平面B'ED,所以HF∥平面B'ED.(7分)因为HF⊂平面HFD,平面B'ED∩平面HFD=l,所以HF∥l.(3) 由(1)知,B'O⊥AD.因为AE=,AO=,∠DAC=30°,所以EO==.所以AO2+EO2=AE2.所以AD⊥EO.(12分)又B'O⊂平面B'EO,EO⊂平面B'EO,B'O∩EO=O,所以AD⊥平面B'EO.又B'E⊂平面B'EO,所以AD⊥B'E.(14分)16. (本小题满分14分)如图,在三棱锥S ABC中,平面EFGH分别与BC,CA,AS,SB交于点E,F,G,H,且SA⊥平面EFGH,SA⊥AB,EF⊥FG.求证:(1) AB∥平面EFGH;(2) GH∥EF;(3) GH⊥平面SAC.(第16题)16. (1) 因为SA⊥平面EFGH,GH⊂平面EFGH,所以SA⊥GH.又因为SA⊥AB,SA,AB,GH都在平面SAB内,所以AB∥GH.(4分)因为AB⊄平面EFGH,GH⊂平面EFGH,所以AB∥平面EFGH.(6分)(2) 因为AB∥平面EFGH,AB⊂平面ABC,平面ABC∩平面EFGH=EF,所以AB∥EF.(8分)又因为AB∥GH,所以GH∥EF.(10分)(3) 因为SA⊥平面EFGH,SA⊂平面SAC,所以平面EFGH⊥平面SAC,交线为FG.(12分)因为GH∥EF,EF⊥FG,所以GH⊥FG.又因为GH⊂平面EFGH,所以GH⊥平面SAC.(14分) 15. (本小题满分14分)如图,在直三棱柱ABC A 1B1C1中,已知∠ACB=90°,M为A1B与AB1的交点,N为棱B1C1的中点.(第15题)(1) 求证:MN∥平面AA1C1C;(2) 若AC=AA1,求证:MN⊥平面A1BC.15. (1) 连接AC1,因为M为A1B与AB1的交点,所以M是AB1的中点.又N为棱B1C1的中点,所以MN∥AC1.(4分)又因为AC1⊂平面AA1C1C,MN⊄平面AA1C1C,所以MN∥平面AA1C1C.(6分)(2) 因为AC=AA 1,所以四边形AA1C1C是正方形,所以AC1⊥A1C,又因为ABC A1B1C1是直三棱柱,所以CC1⊥平面ABC.因为BC⊂平面ABC,所以CC1⊥BC.又因为∠ACB=90°,所以AC⊥BC,因为CC1∩AC=C,所以BC⊥平面AA1C1C,所以BC⊥AC1,又AC1⊂平面AA1C1C,(8分)MN∥AC1,所以MN⊥A1C,MN⊥BC,(10分)又BC∩A1C=C,所以MN⊥平面A1BC.(14分)16. (本小题满分14分)如图,直三棱柱ABC A 1B1C1中,D,E分别是棱BC,AB的中点,点F在棱CC1上,已知AB=AC,AA1=3,BC=CF=2.(1) 求证:C1E∥平面ADF;(2) 若点M在棱BB1上,当BM为何值时,平面CAM⊥平面ADF?请说明理由.(第16题)(第16题)16. (1) 连接CE交AD于O,连接OF.因为CE,AD为△ABC中线,所以O为△ABC的重心,==.从而OF∥C1E.(3分)因为OF⊂平面ADF,C1E⊄平面ADF,所以C1E∥平面ADF.(6分)(2) 当BM=1时,平面CAM⊥平面ADF.理由如下:在直三棱柱ABC A 1B1C1中,由于B1B⊥平面ABC,BB1⊂平面B1BCC1,所以平面B1BCC1⊥平面ABC.由于AB=AC,D是BC中点,所以AD⊥BC.又平面B1BCC1∩平面ABC=BC,所以AD⊥平面B1BCC1.而CM⊂平面B1BCC1,于是AD⊥CM.(9分) 因为BM=CD=1,BC=CF=2,所以Rt△CBM≌Rt△FCD,所以∠BCM=∠CFD,∠CM1B=∠FDC,所以∠CFD+∠FCM=∠BCM+∠FCD=90°,所以CM⊥DF.(11分)又因为DF与AD相交,所以CM⊥平面ADF.因为CM⊂平面CAM,所以平面CAM⊥平面ADF.(13分)当BM=1时,平面CAM⊥平面ADF.(14分)。
2012北京中考二模立体图形分类
俯视图 主视图
左视图
延庆2012.6
5．如图1是一个几何休的实物图，则其主视图是
顺义2012.6
3．如图，下列选项中不是．．
正六棱柱三视图的是（ ）
A B C D
通州2012.6
4．如图是某个几何体的三视图，则该几何体是（ ）
A ．长方体
B ．三棱柱
C ．圆柱
D ．圆台 密云2012.6
3．若右图是某几何体的三视图，则这个几何体是
A ． 长方体
B ． 正方体
C ． 三棱柱
D ． 圆锥
朝阳2012.6
7. 下面由8个完全相同的小正方体组成的几何体的主视图是
A B C D
昌平2012.6
5．下列四个几何体中，主视图是三角形的是
正面
大兴2012.6
6.图1是一个底面为正方形的直棱柱金属块，因设计需要将它切去一角，如图2所示，则切去后金属块的俯视图是
燕山2012.6
6. 右图是一个台阶形的零件，两个台阶的高度和宽度都相等，
则它的三视图是
A. B. C. D.
东城2012.6
2. 如图，由几个小正方体组成的立体图形的俯视图是
A B C
D。
2012年高考数学二轮专题测试 立体几何 理
立体几何 专题测试一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
)1．(2011年某某)如下图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为12，则该几何体的俯视图可以是( )解析：解法一：∵体积为12，而高为1，故底面积为12，选C.解法二：选项A 得到的几何体为正方体，其体积为1，故排除A ；而选项B 、D 所得几何体的体积都与π有关，排除B 、D ；易知选项C 符合．答案：C2．(2011年某某某某模拟)已知水平放置的△ABC 的直观图△A ′B ′C ′(斜二测画法)是边长为2a 的正三角形，则原△ABC 的面积为( )A.2a 2B.32a 2C.62a 2D.6a 2 解析：斜二测画法中原图面积与直观图面积之比为1∶24，则易知24S ＝34(2a )2，∴S ＝6a 2.故选D.答案：D3．(2011年金考卷原创)一个正方体表面展开图中，五个正方形位置如图中阴影部分所示，第六个正方形在编号1到5的某个位置上，则第六个正方形所有可能位置的编号是( )A ．②③B ．②④C ．①③D ．③⑤解析：分别假设第6个正方形在各个位置上，再分别进行还原，可知在②或③位置上时可还原为正方体，在其他位置上时不能还原为正方体，故选A.答案：A4．(2011年某某某某市高三教学质检)某三棱锥的侧视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的体积为( )A ．43B ．8 3C ．123D ．24 3解析：该几何体的高h ＝42－22＝12＝23， ∴V ＝13×12×6×2×23＝4 3.故选A.答案：A5．(2011年东北三校联考)如图为一个几何体的三视图，正视图和侧视图均为矩形，俯视图为正三角形，尺寸如图，则该几何体的全面积为( )A ．143B ．6＋ 3C ．12＋23D ．16＋2 3解析：解此图形为正三棱柱，底面边长为2，高为2，S 全＝S 侧＋2S 底＝3×2×2＋2×12×2×2×32＝12＋23，故选C. 答案：C6．(2011年某某二诊)已知三棱锥P －ABC 的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形，且AB ＝2，PA ＝PB ＝PC ＝2，则该三棱锥的外接球的表面积为( )A.32π3B.16π3 C.8π3D.4π3解析：因为PA ＝PB ＝PC ＝2，所以该三棱锥外接球的球心落在PD 上，D 为AB 的中点，设球心为O ，则O 为△PAB 的外心∴R 2－(3－R )2＝1，R 2－3－R 2＋23R ＝1 23R ＝4，R ＝23 S 表＝4πR 2＝4π·43＝16π3，故选B. 答案：B7．(2011年某某八市3月调考)已知直线l 、m ，平面α、β，且l ⊥α，m ⊂β，给出下列四个命题①若α∥β，则l ⊥m ②若l ⊥m ，则α∥β ③若α∥β，则l ∥m ④若l ∥m ，则α⊥β 其中正确的命题个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：因为l ⊥α，α∥β，所以l ⊥β ∵m ⊂β，∴l ⊥m 所以①正确，③错误． 因为l ⊥α，l ∥m ，所以m ⊥α ∵m ⊂β，∴α⊥β，所以④正确． 若m ⊂α，l ⊥α，∴l ⊥β，m ⊂β 则α与β相交而不平行，故②错． 答案：B8．一个正方体的展开图如图所示，B ，C ，D 为原正方体的顶点，A 为原正方体一条棱的中点．在原来的正方体中，CD 与AB 所成角的余弦值为( )A.510B.105C.55D.1010解析：还原正方体如图所示，设AD ＝1，则AB ＝5，AF ＝1，BE ＝EF ＝22，AE ＝3，因为CD ∥BE ，所以CD 与AB 所成的角等于BE 与AB 所成的角，即为∠ABE ，在△ABE 中，由余弦定理得cos ∠ABE ＝5＋8－92×5×22＝1010，选D.答案：D9．已知三棱锥P －ABC 的四个顶点均在半径为3的球面上，且满足PA →·PB →＝0，PB →·PC →＝0，PC →·PA →＝0，则三棱锥P －ABC 的侧面积的最大值为( )A ．9B ．18C ．36D ．72解析：依题意PA 、PB 、PC 两两垂直，以PA 、PB 、PC 为棱构造长方体，则长方体的体对角线即为球的直径，∴PA 2＋PB 2＋PC 2＝4R 2＝36，S 侧＝12(PA ·PB ＋PB ·PC ＋PC ·PA )≤12(PA 2＋PB22＋PB 2＋PC 22＋PC 2＋PA 22)＝18.答案：B11．(2011年黄冈3月质检)已知平面α⊥平面β，α∩β＝l ，点A ∈α，A ∉l ，直线AB ∥l ，直线AC ⊥l ，直线m ∥α，m ∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是( )A ．AB ∥m B ．AC ⊥m C ．AB ∥βD ．AC ⊥β解析：AB ∥l ，AB ⊄β，∴AB ∥β，C 成立 ∵m ∥α，m ∥β，∴m 平行于α与β的交线l ∴AB ∥m 成立，AC ⊥m 成立 ∵AC 未必在α内，∴AC ⊥β不一定成立，故选D. 答案：D11．(2011年某某省某某市高三模拟)设m ，n 是平面α内的两条不同直线，l 1，l 2是平面β内两条相交直线，则α⊥β的一个充分不必要条件是( )A ．l 1⊥m ，l 2⊥nB ．m ⊥l 1，m ⊥l 2C ．m ⊥l 1，n ⊥l 2D ．m ∥n ，l 1⊥n解析：由m ⊥l 1，m ⊥l 2，l 1与l 2相交知α⊥β，但α⊥β时不一定有m ⊥l 1，m ⊥l 2.答案：B12．(2011年某某省潍坊市模拟)设m ，n 是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列四个命题：①若α∥β，m ⊂α，则m ∥β ②若m ∥α，n ⊂α，则m ∥n ③若α⊥β，m ∥α，则m ⊥β ④若m ⊥α，m ∥β，则α⊥β 其中正确的是( ) A ．①③B ．②③ C ．①④D ．②④解析：由面面平行的性质可知①正确，由面面垂直的判定知④正确． 答案：C二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分．把答案填在题中横线上．) 13．(2012年某某质检)四棱锥P －ABCD 的顶点P 在底面ABCD 中的投影恰好是A ，其三视图如下图所示，根据图中的信息，在四棱锥P －ABCD 的任两个顶点的连线中，互相垂直的异面直线对数为________．解析：互相垂直的异面直线有：PA 与BC ，PA 与CD ，AB 与PD ，AD 与PB ，BD 与PC ，BD 与PA ，共6对．答案：614．已知正三棱锥P －ABC 的底面是边长为1的正三角形，其三条侧棱与底面所成角相等且都等于45°，则这个正三棱锥的体积为________．解析：由于三条侧棱与底面所成角相等，且△ABC 是正三角形，所以点P 在△ABC 上的射影点O 是△ABC 的中心．如图，连接CO ，PO ，则PO ＝OC ＝23×32×1＝33，所以正三棱锥的体积为13×S △ABC ×PO ＝13×34×33＝112.答案：11215．(2011年某某省某某市高三模拟)如图是某几何体的三视图，其中正视图、侧视图的长均为4，宽分别为2与3，俯视图是等腰三角形，则该几何体的体积是________．解析：由三视图可知该几何体为三棱柱，V ＝12×3×2×4＝12.答案：1216．(2011年某某省“金太阳”百校大联考)关于直线m ，n 与平面α，β，有以下四个命题：①若m ∥α，n ∥β且α∥β，则m ∥n ②若m ⊥α，n ⊥β且α⊥β，则m ⊥n ； ③若m ⊥α，n ∥β且α∥β，则m ⊥n ； ④若m ∥α，n ⊥β且α⊥β，则m ∥n ； 其中真命题的序号是________． 解析：②③是真命题． 答案：②③三、解答题(本大题共6小题，共70分，17题11分，18～22题，每题12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)17．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E 为AB 的中点．(1)求证：AC ⊥平面BDD 1；(2)求异面直线BD 1与CE 所成角的余弦值；(3)求点B 到平面A 1EC 的距离．解：(1)证明：由已知有D 1D ⊥平面ABCD ，得AC ⊥D 1D ，又由ABCD 是正方形，得AC ⊥BD ， ∵D 1D 与BD 相交于点D ，∴AC ⊥平面BDD 1. (2)延长DC 至G ，使CG ＝EB ，连接BG 、D 1G ， ∵CG 綊EB ，∴四边形EBGC 是平行四边形． ∴BG ∥EC .∴∠D 1BG 就是异面直线BD 1与CE 所成角． 在△D 1BG 中，D 1B ＝23，BG ＝5，D 1G ＝22＋32＝13. ∴cos ∠D 1BG ＝D 1B 2＋BG 2－D 1G 22D 1B ·BG＝12＋5－132×23×5＝1515， 异面直线BD 1与CE 所成角的余弦值是1515. (3)∵△A 1AE ≌△CBE ，∴A 1E ＝CE ＝ 5.又∵A 1C ＝23，∴点E 到A 1C 的距离d ＝5－3＝ 2.∴S △A 1EC ＝12A 1C ·d ＝6，S △A 1EB ＝12EB ·A 1A ＝1.又由VB －A 1EC ＝VC －A 1EB ，设点B 到平面A 1EC 的距离为h ， 则13S △A 1EC ·h ＝13S △A 1EB ·CB ， ∴6·h ＝2，h ＝63. ∴点B 到平面A 1EC 的距离为63. 18．(2011年广雅中学、某某一中、某某金中联考)如图，已知三棱锥A －BPC 中，AP ⊥PC ，AC ⊥BC ，M 为AB 中点，D 为PB 中点，且△PMB 为正三角形．(1)求证：DM ∥平面APC ；(2)求证：平面ABC ⊥平面APC ；(3)若BC ＝4，AB ＝20，求三棱锥D －BCM 的体积． 解：(1)由已知得，MD 是△ABP 的中位线 ∴MD ∥AP ∵MD ⊄面APC ，AP ⊂面APC ∴MD ∥面APC(2)∵△PMB 为正三角形，D 为PB 的中点， ∴MD ⊥PB ，∴AP ⊥PB 又∵AP ⊥PC ，PB ∩PC ＝P ∴AP ⊥面PBC .∵BC ⊂面PBC ∴AP ⊥BC .又∵BC ⊥AC ，AC ∩AP ＝A ，∴BC ⊥面APC ∵BC ⊂面ABC ，∴平面ABC ⊥平面APC(3)∵MD ⊥面PBC ，∴MD 是三棱锥M －DBC 的高，且MD ＝5 3 又在直角三角形PCB 中，由PB ＝11，BC ＝4，可得PC ＝221于是S △BCD ＝12S △BCP ＝221，∴V D －BCM ＝V M －DBC ＝13Sh ＝117.19．(2011年某某省苏北四市模拟)如图①，E ，F 分别是直角三角形ABC 边AB 和AC 的中点，∠B ＝90°，沿EF 将三角形ABC 折成如图②所示的锐二面角A 1－EF －B ，若M 为线段A 1C 中点，求证：(1)直线FM ∥平面A 1EB ； (2)平面A 1FC ⊥平面A 1BC .证明：(1)取A 1B 中点N ，连接NE ，NM ， 则MN 綊12BC ，EF 綊12BC ，所以MN 綊FE ，所以四边形MNEF 为平行四边形，所以FM ∥EN ， 又因为FM ⊄平面A 1EB ，EN ⊂平面A 1EB ， 所以直线FM ∥平面A 1EB .(2)因为E ，F 分别是AB 和AC 的中点，所以A 1F ＝FC ，所以FM ⊥A 1C . 同理，EN ⊥A 1B .由(1)知，FM ∥EN ，所以FM ⊥A 1B . 又因为A 1C ∩A 1B ＝A 1，所以FM ⊥平面A 1BC . 又因为FM ⊂平面A 1FC ，所以平面A 1FC ⊥平面A 1BC .20．(2011年某某某某第一次调研)如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面是等腰直角三角形，AB ＝BC ＝2，BB 1＝3，D 为A 1C 1的中点，F 在线段AA 1上．(1)AF 为何值时，CF ⊥平面B 1DF?(2)设AF ＝1，求平面B 1CF 与平面ABC 所成的锐二面角的余弦值． 解：(1)因为直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，BB 1⊥面ABC ，∠ABC ＝π2，以B 点为原点，BA 、BC 、BB 1分别为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系． 因为AC ＝2，∠ABC ＝90°，所以AB ＝BC ＝ 2.从而B (0,0,0)，A (2，0,0)，C (0，2，0)，B 1(0,0,3)，A 1(2，0,3)，C 1(0，2，3)，D (22，22，3)， 所以CA 1→＝(2，－2，3)． 设AF ＝x ，则F (2，0，x )， CF →＝(2，－2，x )，B 1F →＝(2，0，x －3)，B 1D →＝(22，22，0)， CF →·B 1D →＝2·22＋(－2)·22＋x ·0＝0， 所以CF →⊥B 1D →.要使CF →⊥平面B 1DF ，只需CF ⊥B 1F .由CF →·B 1F →＝2＋x (x －3)＝0，得x ＝1或x ＝2， 故当AF ＝1或2时，CF ⊥平面B 1DF .(2)由(1)知平面ABC 的法向量为n 1＝(0,0,1)． 设平面B 1CF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则由⎩⎪⎨⎪⎧n ·CF →＝0，n ·B 1F →＝0，得⎩⎨⎧2x －2y ＋z ＝0，2x －2z ＝0，令z ＝1得n ＝(2，322，1)． 所以平面B 1CF 与平面ABC 所成的锐二面角的余弦值cos 〈n ，n 1〉＝11×2＋92＋1＝3015.21．如图所示，四边形ABCD 为矩形，AD ⊥平面ABE ，AE ＝EB ＝BC ＝2，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE .(1)求证：AE ⊥BE ；(2)求三棱锥D －AEC 的体积；(3)设M 在线段AB 上，且满足AM ＝2MB ，试在线段CE 上确定一点N ，使得MN ∥平面DAE .解：(1)证明：∵AD ⊥平面ABE ，AD ∥BC ， ∴BC ⊥平面ABE ，则AE ⊥BC . ∵BF ⊥平面ACE ，则AE ⊥BF . ∵BC ∩BF ＝B ，且BC 、BF ⊂平面BCE ， ∴AE ⊥平面BCE ，又BE ⊂平面BCE ，∴AE ⊥BE .(2)∵AE ⊥BE ，∴AB ＝AE 2＋BE 2＝22，S △ADC ＝12×AD ×DC ＝12×BC ×AB ＝12×2×22＝22，V D －AEC ＝V E －ADC ＝13×22×2＝43.(3)在三角形ABE 中过M 点作MG ∥AE 交BE 于G 点，在三角形BEC 中过G 点作GN ∥BC 交EC 于N 点，连MN ，则由比例关系易得＝13CE .∵MG ∥AE ，MG ⊄平面ADE ，AE ⊂平面ADE ，∴MG ∥平面ADE ，同理，GN ∥平面ADE ，∴平面word - 11 - / 11 MGN ∥平面ADE .又MN ⊂平面MGN ，∴MN ∥平面ADE .∴N 点为线段CE 上靠近C 点的一个三等分点．22．(2011年某某四校联考)如图，AB 为圆O 的直径，点E 、F 在圆O 上，AB ∥EF ，矩形ABCD 所在的平面和圆O 所在的平面互相垂直，且AB ＝2，AD ＝EF ＝1.(1)求证：AF ⊥平面CBF ；(2)设FC 的中点为M ，求证：OM ∥平面DAF ；(3)设平面CBF 将几何体EFABCD 分成的两个锥体的体积分别为V F －ABCD ，V F －CBE ，求V F －ABCD ∶V F －CBE .解：(1)证明：∵平面ABCD ⊥平面ABEF ，CB ⊥AB ，平面ABCD ∩平面ABEF ＝AB ， ∴CB ⊥平面ABEF ，∵AF ⊂平面ABEF ，∴AF ⊥CB ，又∵AB 为圆O 的直径，∴AF ⊥BF ，∴AF ⊥平面CBF .(2)设DF 的中点为N ，则MN 綊12CD ，又AO 綊12CD ， 则MN 綊AO ，MNAO 为平行四边形，∴OM ∥AN ，又AN ⊂平面DAF ，OM ⊄平面DAF ，∴OM ∥平面DAF . (3)过点F 作FG ⊥AB 于G ，∵平面ABCD ⊥平面ABEF ，∴FG ⊥平面ABCD ，∴V F －ABCD ＝13S ABCD ·FG ＝23FG ， ∵CB ⊥平面ABEF ，∴V F －CBE ＝V C －BFE ＝13S △BFE ·CB ＝13·12EF ·FG ·CB ＝16FG ， ∴V F －ABCD ∶V F －CBE ＝4∶1.。
全国各地市2012届高三模拟试题分类解析汇编：10：立体几何(1)z
全国各地市2012年模拟试题分类解析汇编：立体几何（1）【2012厦门市高三上学期期末质检文】已知直线m 、n 和平面α、β，若α⊥β，α∩β＝m ，n ⊂α，要使n ⊥β，则应增加的条件是A . m ∥nB . n ⊥mC . n ∥αD . n ⊥α 【答案】B【解析】本题主要考查空间直线与平面、平面与平面的位置关系 . 属于基础知识、基本运算的考查.已知直线m 、n 和平面α、β，若α⊥β，α∩β＝m ，n ⊂α，应增加的条件n ⊥m ，才能使得n ⊥β。
【2012厦门市高三上学期期末质检】已知体积为3的正三棱柱（底面是正三角形且侧棱垂直底面）的三视图如图所示，则此三棱柱的高为A .31 B .32 C .1 D . 34【答案】C【解析】本题主要考查正棱柱的体积、空间几何体的三视图. 属于基础知识、基本运算的考查.，故边长为2，设正三棱柱的高为h 1212h h =⨯⇒= 【2012金华十校高三上学期期末联考文】设α是空间中的一个平面，,,l m n 是三条不同 的直线，则下列命题中正确的是（ ）A ．若,,,,m n l m l n l ααα⊂⊂⊥⊥⊥则；B ．若,,,//m n l n l m αα⊂⊥⊥则；C ．若//,,l m m n αα⊥⊥，则//;l mD ．若,,//;l m l n n m ⊥⊥则【答案】 C【解析】本题主要考查空间直线与直线，直线与平面、平面与平面的有关知识. 属于基础知识、基本运算的考查.,,,,m n l m l n αα⊂⊂⊥⊥需要m n A =才有l α⊥，A 错误.若,,,m n l n αα⊂⊥⊥l 与m 可能平行、相交、也可能异面，B 错误. 若,,l m l n ⊥⊥l 与m 可能平行、相交、也可能异面，D 错误.【2012年西安市高三年级第一次质检文】 —个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A.48B.C.D. 80 【答案】C【解析】本题主要空间几何体的三视图和棱柱的表面积计算公式 . 属于基础知识、基本运算的考查.由三视图可知几何体是一个平放的直棱柱，底面是上底为2，下底为4，高为4的直角梯形，棱柱的高为4，因此梯形的周长为 6 该几何体的表面积为【2012宁德质检理5】若,,αβγ是三个互不重合的平面，l 是一条直线，则下列命题中正确的是 （ ）A ．若,,//l l αββα⊥⊥则B ．若,//,l l αβαβ⊥⊥则C ．若,l αβ与的所成角相等，则//αβD ．若l 上有两个点到α的距离相等，则//l α【答案】B【解析】若,//,l l αβαβ⊥⊥则，此推理符合平面与平面垂直的判定；【2012∙海南嘉积中学期末理6】正四棱锥S ABCD-，，E 为SA 中点，则异面直线BE 与SC 所成的角是（ ） A 、30° B 、45° C 、60° D 、90°【答案】C【解析】取AC 中点F,EF BF AE AEF ===∆中，由余弦定理得01cos ,602BEF BEF ∠=∠=.【2012∙黑龙江绥化市一模理8】如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，底面是边长为2的正三角形，侧棱长为3，则1BB 与平面11AB C 所成的角为（ ）ABC 1B 1A 1CA.6π B. 4π C. 3π D. 2π 【答案】A【解析】利用等积法求B 到平面11C AB 的距离d 。
吉林省各地市2012年高考数学最新联考试题分类大汇编(8)立体几何.pdf
吉林省各地市2012年高考数学最新联考试题分类大汇编（8）立体几何 一、选择题： 4. (2012年东北三省四市教研协作体第二次调研测试文科)如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为 A.B. 1 C.D. 4.A 由题意可知，该几何体为一个四棱锥，底面面积为，高为1，体积为.故选A. 8．一个几何体的三视图及尺寸如下图所示，其中正视图是直角三角形，侧视图是半圆，俯视图是等腰三角形，该几何体的表面积是（ ） A． B． C． D． 9．(东北四校2012届高三第一次高考模拟文科)一个几何体的三视图及尺寸如下图所示，其中正视图是直角三角形，侧视图是半圆，则该几何体的表面积是（ C ） A． B． C． D． 5．(吉林省吉林市普通高中2012届高三下学期期中教学质量检测理科)某几何体的三视图如右图所示，则其侧面积为( A ) A． B．C．D．的外接球的球心在上，且平面，,若四面体的体积为，则该球的体积为( D ) A．B．C．D．6．(吉林省吉林市普通高中2012届高三下学期期末教学质量检测文科)已知几何体的三视图如图所示，可得这个几何体的体积是A）4 （B）6 （C）12 （D）18 3．(吉林省延吉市2012年2月高三教学质量检测理科)设 、、是三个互不重合的平面，是两条不重合的直线，则下列命题中正确的是（ ） A． B． C． D． 已知正四棱锥中，，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为 A． B．C． D．36.(吉林省实验中学2012届高三第六次模拟理科)一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是 A． B． C． D．16. (2012年东北三省四市教研协作体第二次调研测试文科)如图所示，正方体的棱长为6，则以正方体的中心为顶点，以平面截正方体外接球所得的圆为底面的圆锥的全面积为__________. 16.为正方体外接球的球心，也是正方体的中心， 到平面的距离是体对角线的，即为， 又球的半径是正方体体对角线长的一半，即为， 由勾股定理可知，截面圆的半径为， 圆锥底面面积为； 圆锥的母线即为球的半径， 圆锥的侧面积为； 因此圆锥的表面积为. 16．，它的外接球的球心为，点是的中点，点是球的球面上任意一点，有以下判断：①该正方体外接球的体积是；②异面直线与所成角为；③长的最大值为；④过点的平面截球的截面面积的最小值为.其中所有正确判断的序号是. ①②③ 三、解答题： 19. (2012年东北三省四市教研协作体第二次调研测试文科)（本小题满分12分） 如图，正方形与直角梯形所在平面互相垂直，，，. ⑴求证：平面； ⑵求点到平面的距离. 19.(本小题满分12分) 【命题意图】本小题主要考查立体几何的相关知识，具体涉及到线面的平行关系、点到平面距离的求法等知识. 【试题解析】解：⑴证明：设，取中点，连结， 则∥且＝. ∵，，∴∥且＝， ∴四边形是平行四边形，∴. ∵平面,平面, ∴平面，即平面.(5分)△中，， 在△中，， 在直角梯形中，， 所以， ， 由于,即， ， 即点到平面的距离为. (12分)19．（本小题满分12分） 已知斜三棱柱ABC—A1B1C1的底面是正三角形，侧面ABB1A1是菱形，且，M是A1B1的中点， （1）求证：平面ABC； （2）求二面角A1—BB1—C的余弦值。
辽宁省大连市2012届高三第二次模拟考试数学文试题
辽宁省大连市2012年高三第二次模拟考试数学(文）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题)和第Ⅱ卷(非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22题～第24题为选考题，其它题为必考题．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．参考公式：锥体体积公式13V Sh =，其中S 为底面面积,h 为高．用最小二乘法求线性回归方程系数公式12211ˆ,.ni ii ni x ynx y ba y bx xnx==-==--∑∑第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U=Z ，集合A=｛x ∈U|(2)(1)0x x -+≥)，则C u A= A ．｛1，0} B ．｛0,1}C ．｛一1，0,1）D ．｛一1,0，1，2}2．复数z 满足1(z i i i ⋅=+是虚数单位），则|z ｜=A ．l BC ．2D ．43．若sin cos(0,),tan αααπα+=∈则=A ．-1B ．CD ．14．x ，y 的取值如右表，从散点图分析，y 与x 线性相关，且回归方程为 3.5 1.3y x =-,则m= A ．15B ．16C ．16．2D ．175．已知直线l 、m 平面α、β，且,l m αβ⊥⊂,给出下列四个命题，其中正确的命题是①若//,l m αβ⊥则 ②若,//l m αβ⊥则③若,//l m αβ⊥则 ④若//,l m αβ⊥则 A ．②③B ．①②C ．①④D ．③④6．已知圆222:(2)(2)(0)C x y r r -+-=>过抛物线22y =的焦点，则抛物线22y =的准线与圆C 的位置关系是A ．相切B ．相交 c ．相离 D ．无法确定 7．已知实数z 、y满足不等式组2303270,210x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩则x-y 的最小值为A ．-3B ．—2C ．—1D ．48．函数()f x 定义域为（a ，b ），则“()0f x '>在(a,b ）上恒成立”是“()f x 在（a ，b ）上为增函数”的A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 9．已知程序框图如右图所示，则输出的s 为 A ．22013—2 B ．22013—1 C ．22014 -2D ．22014—110．已知函数f(x ）定义域为R ，对于定义域内任意x 、y ， 都有()()().0f x f y f x y x +=+>且时,f （x ）〉0，则 A ．()f x 是偶函数且在(—∞，+∞）上单调递减 B ．()f x 是偶函数且在（—∞，+∞）上单调递增 C ．()f x 是奇函数且在（-∞，+∞）上单调递增 D ．()f x 是奇函数且在(-∞,+∞）上单调递减 11．已知△ABC 中，312sin ,cos ,22,513A B AB ===则△ABC 的面积为A ．154B ．1514C ．1515414或 D ．1515714或12．已知点P 、A 、B在双曲线22221(,0)x y a b a b-=>上，直线AB 过坐标原点，且直线PA 、PB 的斜率乘积为13，则双曲线的离心率为A 23B 15C ．2D 10第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分,第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分,满分20分．13．已知向量a,b 满足+｜a+b ｜一|a —b|,则<a ， b 〉= 。
【数学】2012高考模拟题分类汇编立体几何(K12教育文档)
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课标理数12。
G1[2011·福建卷］三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC,PA＝3，底面ABC是边长为2的正三角形，则三棱锥P－ABC的体积等于________．课标理数12.G1[2011·福建卷］【答案】错误!【解析】由已知,S△ABC＝错误!×22sin错误!＝错误!，∴V P－ABC＝13S△ABC·PA＝错误!×错误!×3＝错误!，即三棱锥P－ABC的体积等于错误!。
课标文数8。
G2[2011·安徽卷] 一个空间几何体的三视图如图1－1所示，则该几何体的表面积为（）图1－1A．48B．32＋8错误!C．48＋8错误!D．80课标文数8。
G2［2011·安徽卷] C 【解析】由三视图可知本题所给的是一个底面为等腰梯形的放倒的直四棱柱(如图所示）,所以该直四棱柱的表面积为S＝2×错误!×（2＋4)×4＋4×4＋2×4＋2×错误!×4＝48＋8错误!。
课标理数6.G2[2011·安徽卷］一个空间几何体的三视图如图1－1所示，则该几何体的表面积为( ）图1－1A．48 B．32＋817C．48＋8错误! D．80图1－3课标理数7.G2［2011·北京卷] 某四面体的三视图如图1－3所示，该四面体四个面的面积中最大的是（)A．8B．6 2C．10D．8错误!课标理数7.G2[2011·北京卷] C 【解析】由三视图可知,该四面体可以描述为SA⊥平面ABC，∠ABC＝90°,且SA＝AB＝4,BC＝3，所以四面体四个面的面积分别为10，8，6，6错误!,从而面积最大为10，故应选C。
2012年高考文科立体几何(无错版)
立体几何（一）1.（安徽12）某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是 9212(25)4(2544922S =⨯⨯+⨯++++⨯=2.(广东6) 某几何体的三视图如图1所示，它的体积为( C )()A 12π ()B 45π ()C π57 ()D π81221353573V πππ=⨯⨯+⨯=3.(湖北4)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( B )A ．8π3 B ．3π C ．10π3D ．6π 4.(福建)如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，11==AD AA ，E 为CD 中点。
（Ⅰ）求证：11AD E B ⊥；（Ⅱ）在棱1AA 上是否存在一点P ，使得//DP 平面AE B 1？若存在，求AP 的长；若不存在，说明理由。
（Ⅲ）若二面角11A E B A --的大小为030，求AB 的长。
解：Ⅰ）长方体1111D C B A ABCD -中，11==AD AA 得：1111111111,,AD A D AD A B A D A B A A D ⊥⊥=⇔⊥ 面11A B CD1B E ⊂面11A B CD 11B E AD ⇒⊥（Ⅱ）取1AA 的中点为P ，1AB 中点为Q ，连接PQ侧（左）视图 正（主）视图 45 俯视图42 俯视图侧视图正视图4在11AA B ∆中，111111//,////////22PQ A B DE A B PQ DE PD QE PD ⇒⇒⇒面AE B 1 此时11122AP AA == （Ⅲ）设11A D AD O = ，连接AO ，过点O 作1OH B E ⊥于点H ，连接AH1AO ⊥面11A B CD ，1O H B E ⊥1A H B E⇒⊥ 得：AHO ∠是二面角11A E B A --的平面角30AHO ο⇒∠=在Rt AOH ∆中，30,90,2AHO AOH AH OH οο∠=∠==⇒=在矩形11A B CD 中，1,CD x A D ==11112222222228B OE x xS x ∆=--⨯-⨯=122x =⇔= 得：2AB =5.（湖南3）某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是( D )6.（辽宁13）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 387.（辽宁16）已知正三棱锥-P ABC ，点,,,P A B C 的球面上，若,,PA PB PC 两两相互垂直，则球心到截面ABC 的距离为38.（江苏7）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，3cm AB AD ==，12cm AA =，则四棱锥11A BB D D -的体积为 6 cm 3。
2012年高考数学二轮复习精品资料-专题07-立体几何-文-(教师版)
2012年高考数学二轮精品复习资料 专题07 立体几何（文）（教师版）【考纲解读】1.掌握平面的基本性质(三个公理、三个推论)，理解确定平面的条件；会用字母、集合语言表示点、直线、平面间的关系.2.理解线线、线面平行的定义;熟练掌握线线、线面及面面平行的判定和性质;会运用线线、线面及面面平行的判定和性质进行推理和证明.3．能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等简易组合)的三视图,能识别上述三视图所表示的立体模型,会画它们的直观图.4．理解空间中线线、线面垂直定义及分类；理解空间中线线、线面、面面垂直的有关定理及性质；会运用线面平行与垂直的判定与性质定理进行证明和推理.5．认识柱、锥、台、球及简单几何体的结构特征,并运用这些特征描述简单物体的结构;了解柱、锥、台、球的表面积与体积的计算公式(不要求记忆).【考点预测】1.对于空间几何体中点、线、面的位置关系及平行与垂直的性质和判定，高考中常在选择题中加以考查.解答题主要考查空间几体的点、线、面的位置关系的证明及探索存在性问题，着重考查学生的空间想象能力、推理论证能力，运用图形语言进行交流的能力及几何直观能力，难度中等.明年高考将仍以平行与垂直关系的证明探究为重点,注意命题题型的多样化、新颖化，如开放性、探索存在性题型.2.三视图与直观图、空间几何体的表面积与体积，考查了学生通过直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等方法认识和探索几何图形及性质的基本能力，是每年高考必考内容，明年高考仍以三视图，空间几何体的表面积与体积为重点，在客观题中加以考查，其中表面积与体积也可能在解答题题后一问中出现。
【要点梳理】1.三视图：正俯视图长对正、正侧视图高平齐、俯侧视图宽相等.2.直观图:已知图形中平行于x 轴和z 轴的线段,在直观图中保持长度不变,平行于y 轴的线段平行性不变,但在直观图中其长度为原来的一半.3.体积与表面积公式: (1)柱体的体积公式:V =柱Sh ;锥体的体积公式: V =锥13Sh ;台体的体积公式: V =棱台1()3h S S '+;球的体积公式: V =球343r π. (2)球的表面积公式: 24S R π=球.4.有关球与正方体、长方体、圆柱、圆锥、圆台的结合体问题，要抓住球的直径与这些几何体的有关元素的关系.5.平行与垂直关系的证明,熟练判定与性质定理. 【考点在线】 考点一 三视图 例1.（2011年高考海南卷文科第8题）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图，则相应的侧视图可以为（ ） 【答案】D【解析】由主视图和府视图可知，原几何体是由后面是半个圆锥，前面是三棱锥的组合体，所以，左视图是D. 【名师点睛】本题考查三视图的基础知识.【备考提示】三视图是高考的热点之一,年年必考,所以必须熟练立体几何中的有关定理是解答好本题的关键. 练习1: （2011年高考江西卷文科9)将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如右图所示，则该几何体的左视图为（ ）【答案】D【解析】左视图即是从正左方看，找特殊位置的可视点，连起来就可以得到答案.考点二 表面积与体积例2..(2011年高考安徽卷文科8)一个空间几何体得三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )【解析】由三视图可知几何体是底面是等腰梯形的直棱柱.底面等腰梯形的上底为2，下底为4，高为4，两底面积和为()12244242⨯+⨯=，四个侧面的面积为(44224++=+48+故选C.【名师点睛】本题考查三视图的识别以及空间多面体表面积的求法.【备考提示】：表面积与体积的求解也是高考的热点之一，年年必考，大多以三视图为载体，在选择与填空题中考查，难度不大，也可能在解答题的一个问号上.练习2：（2011年高考湖南卷文科4)设图１是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( ) A ．942π+ Ｂ．3618π+ Ｃ．9122π+ Ｄ．9182π+ 【答案】D【解析】有三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体，其体积3439+332=18322V ππ=⨯⨯+（）. 考点三 球的组合体例3. （2011年高考辽宁卷文科10)己知球的直径SC=4，A ，B 是该球球面上的两点．AB=2,45ASC ∠=, 则棱锥S ABC -的体积为( )正视图侧视图俯视图图1(A)3 (B) 3 (C) 3 (D) 3【答案】C【解析】取SC 的中点D,则D 为球心，则AD=BD=DS=2。
2012年立体几何高考真题(文科)
2012年高考（文科）数学立体几何汇编1.(2012安徽)平面图形111A B B A C C 如图4所示，其中11BB C C 是矩形，12,4B C B B ==，2AB AC ==，11115A B AC ==。
现将该平面图形分别沿BC 和11B C 折叠，使ABC ∆与111A B C ∆所在平面都与平面11BB C C 垂直，再分别连接111,,AA BA CA ,得到如图2所示的空间图形，对此空间图形解答下列问题。
（Ⅰ）证明：1AA BC ⊥；（Ⅱ）求1AA 的长；（Ⅲ）求二面角1A BC A --的余弦值。
2.（2012江苏）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1111AB AC =，D E ，分别是棱1BC CC ，上的点（点D 不同于点C ），且AD DE F ⊥，为11B C 的中点． 求证：（1）平面ADE ⊥平面11BCC B ； （2）直线1//A F 平面ADE ．1A1CFDCAE1B3.（2012安徽）如图，长方体1111D C B A ABCD -中，底面1111D C B A 是正方形，O 是BD 的中点，E 是棱1AA 上任意一点。
（Ⅰ）证明：BD 1EC ⊥ ；（Ⅱ）如果AB =2，AE =2，1EC OE ⊥,，求1AA 的长。
4.（2012北京）如图1，在Rt ABC ∆中，90C ∠=，,D E 分别为,AC AB 的中点，点F 为线段CD 上的一点，将ADE ∆沿DE 折起到1A DE ∆的位置，使1A F CD ⊥，如图2。
（Ⅰ）求证：//DE 平面1ACB ；（Ⅱ）求证：1A F BE ⊥； （Ⅲ）线段1A B 上是否存在点Q ，使1AC ⊥平面DEQ ？5.（2012福建）如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，2,11===AA AD AB ，M 为棱1DD 上的一点。
（I ）求三棱锥1MCC A -的体积；（II ）当MC M A +1取得最小值时，求证：⊥M B 1平面MAC 。
2012高考文科数学立体几何_(答案详解)
选择题1.（12年四川卷）如图，半径为R 的半球O 的底面圆O 在平面α内，过点O 作平面α的垂线交半球面于点A ，过圆O 的直径CD 作平面α成45 角的平面与半球面相交，所得交线上到平面α的距离最大的点为B ，该交线上的 一点P 满足60BOP ∠= ，则A 、P 两点 间的球面距离为 （ ）A. arccos4R B. 4R πC. arccos 3RD. 3R π 2.（12年广东卷）某几何体的三视图如图1所示，它的体积为( )A. 72πB. 48πC. 30πD. 24π3.（12年重庆卷）设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1和a 且长为a的棱与长为的棱异面，则a 的取值范围是（ ）A.B.C.D.4.（12年浙江卷）已知某三棱锥的三视图（单位：cm ）如图所示，则该三棱锥的体积是（ ） A.1cm 3 B.2cm 3 C.3cm 3 D.6cm3图1C5.（12年浙江卷）设l 是直线，αβ，是两个不同的平面 （ ）A.若l ∥α，l ∥β，则α∥βB. 若l ∥α，l ⊥β，则α⊥βC. 若α⊥β，l ⊥α，则l ⊥βD. 若α⊥β， l ∥α，则l ⊥β6.（12年新课标卷）如图，网格上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则几何体的体积为（ ）A .6B .9C .12D .187. 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（ ）A．28+ B．30+ C．56+ D ．60+ 8.（12年福建卷）一个几何体的三视图形状都相同，大小均等，那么这个几何体不可以是（ ）A ．球B ．三棱锥C ．正方体D ．圆柱 9.（12年湖南卷）某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能．．．是（ ）10.（12年江西卷）若一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为 ( )A B C DA ．112B.5C.4D. 9211.（12年大纲卷）已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，2AB =，1CC =E 为1CC 的中点，则直线1AC 与平面BED 的距离为（ ）A ．2BCD ．1 12.（12年陕西卷）将正方体（如图1所示）截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的左视图为（ ）填空题1．（12年湖北卷）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 .左视图主视图俯视图侧视图正视图俯视图2.（12年四川卷）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别是CD ，1CC 的中点，则异面直线1A M 与DN 所成的角的大小是____________.3.（12年山东卷）如图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，E 为线段C B 1上的一点，则三棱锥1DED A -的体积为___________ .4.（12年安徽卷）某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是_____.5.（12年江苏卷）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，3cm AB AD ==，12cm AA =，则四棱锥11A BB D D -的体积为 cm 3．NA 1A B CC 1 A 1 侧（左）视图正（主）视图 4俯视图 5 4 26.（12年辽宁卷）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_______________.7.（12年辽宁卷）已知点P A B C D ，，，，是球O 表面上的点，PA ABCD ⊥平面，四边形ABCD是边长为.若PA =，则OAB ∆的面积为______________. 8.（12年大纲卷）已知正方形1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为1BB ，1CC 的中点，那么异面直线AE 与1D F 所成角的余弦值为 ．9.（12年上海卷）一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的表面积为 . 10.（12年天津卷）一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积 3m.2.（12年山东卷）(本小题满分12分)如图，几何体E ABCD -是四棱锥，△ABD 为正三角形，,CB CD EC BD =⊥. (Ⅰ)求证：BE DE =；(Ⅱ)若∠120BCD =︒，M 为线段AE 的中点， 求证：DM ∥平面BEC .3.（12年广东卷）(本小题满分13分)如图所示，在四棱锥P ABCD -中，AB ⊥平面PAD ，//,AB CD PD AD =，E 是PB 中点，F 是DC 上的点，且12DF AB =，PH 为PAD ∆中AD 边上的高. （1）证明：PH ⊥平面ABCD ； （2）若1,1PH AD FC ===，求三棱锥E BCF -的体积； （3）证明：EF ⊥平面PAB ． 6.（12年新课标卷）（本小题满分12分） 如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直底面，o 90ACB ∠=，112AC BC AA ==，D 是棱1AA 的 中点.(Ｉ) 证明：平面BDC ⊥平面1BDC（Ⅱ）平面1BDC 分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.选择题1.【答案】A【分析】由已知可知，AOP CBD ⊥面面，∴cos cos cos AOP AOB BOP = ∠∠∠，带入数据得1cos ==224AOP ∠，arccos4AP R ∴=. 2. 【答案】C【分析】几何体是半球与圆锥叠加而成它的体积为32141π3π330π233V =⨯⨯+⨯⨯= 3.【答案】：A【分析】：如图所示，取,E F 分别为,PC AB 的中点，依题意可得PB BC ⊥，所以GEAB FCPD HBE ==.在BEF ∆中，BF BE <，所以2AB BF =<4. 【答案】C【分析】由题意判断出，底面是一个直角三角形，两个直角边分别为1和2，整个棱锥的高由侧视图可得为3，所以三棱锥的体积为11123132⨯⨯⨯⨯=. 5.【答案】B【分析】利用排除法可得选项B 是正确的，∵l ∥α，l ⊥β，则α⊥β．如选项A ：l ∥α，l ∥β时，α⊥β或α∥β；选项C ：若α⊥β，l ⊥α时，l ∥β或l β⊂；选项D ：若α⊥β，l ∥α时，l ∥β或l ⊥β．6. 【答案】B【分析】由三视图知，其对应几何体为三棱锥，其底面为一边长为6，底边上高为3的等腰三角形，棱锥的高为3，故其体积为1163332⨯⨯⨯⨯=9，故选B. 7. 【答案】B 【分析】从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥，本题所求表面积为三棱锥四个面的面积之和.利用垂直关系和三角形面积公式，可得：=10=10=10S S S S 后右左底，，，因此该几何体表面积30S =+，故选B .8. 【答案】D【分析】圆的正视图（主视图）、侧视图（左视图）和俯视图均为圆；三棱锥的正视图（主视图）、侧视图（左视图）和俯视图可以为全等的三角形； 正方体的正视图（主视图）、侧视图（左视图）和俯视图均为正方形； 圆柱的正视图（主视图）、侧视图（左视图）为矩形，俯视图为圆.9. 【答案】D【分析】本题是组合体的三视图问题，由几何体的正视图和侧视图均相同，原图下面部分应为圆柱或直四棱柱，上面是圆柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱，A ，B ，C 都可能是该几何体的俯视图，D 不可能是该几何体的俯视图，因为它的正视图上面部分应为中间有条虚线的矩形..10. 【答案】C【分析】通过观察几何体的三视图可知，该几何体是一个底面为六边形（2条对边长为1，其余4，高为1的直棱柱.所以该几何体的体积为112122142V sh ⎛⎫==⨯+⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，故选D.11. 【答案】D【分析】因为底面的边长为2，高为,AC BD ，得到交点为O ，连接EO ，1//EO AC ，则点1C 到平面BDE 的距离等于C 到平面BDE 的距离，过点C 作CH OE ⊥，则CH 即为所求，在三角形OCE 中，利用等面积法，可得1CH =，故选答案D. 12.【答案】B【分析】显然从左边看到的是一个正方形，因为割线1AD 可见，所以用实线表示；而割线1B C 不可见，所以用虚线表示．故选B ．填空题1. 【答案】12π【分析】该几何体的左中右均为圆柱体，其中左右圆柱体全等，是底面半径为2，高为1的 圆柱体；中间部分是底面半径为1，高为4的圆柱体，所以所求的体积为：22π212π14=12πV =⨯⨯⨯+⨯⨯.2. 【答案】o 90【分析】方法一：连接D 1M ，易得DN ⊥A 1D 1 ，DN ⊥D 1M ，所以，DN ⊥平面A 1MD 1，又A 1M ⊂平面A 1MD 1，所以，DN ⊥A 1M ，故夹角为o 90 方法二：以D 为原点，分别以DA ， DC ， DD 1为x ， y ， z 轴，建立空间直角坐标系D —xyz .设正方体边长为2，则D （0，0，0），N （0，2，1），M （0，1，0），A 1（2，0，2）故1(0,2,1)(2,1,2)DN MA ==- ， 所以， 111cos ,0DN MA DN MA DN MA <>==，故DN ⊥A 1M ，所以夹角为o 90.3. 【答案】61 【分析】求1DED A -的体积，显然为定值，也就是说三棱锥的底面面积与三棱锥的高都为定值，因此，我们需要找一个底面为定值的三角形，三角形1ADD 的面积为21（为定值），而E 点到底面1ADD 的高恰为正方体的高为1（为定值），因此体积为61. 4. 【答案】56 【分析】该几何体是底面是直角梯形，高为4的直四棱柱，几何体的的体积是：()12544562V =⨯+⨯⨯=5. 【答案】6【分析】∵长方体底面A B C D 是正方形 ，∴△ABD 中BD cm ，BD 边上的高（它也是四棱锥11A BB D D -的高）∴四棱锥11A BB D D -的体积为123⨯6. 【答案】12π+【分析】由三视图可知该几何体为一个长方体和一个等高的圆柱的组合体，其中长方体的长、宽、高分别为4、3、1，圆柱的底面直径为2，高位1，所以该几何体的体积为3411112ππ⨯⨯+⨯⨯=+7.【答案】【分析】点P A B C D O 、、、、为球内接长方体的顶点，14O OAB ∴∆球心为该长方体对角线的中点，的面积是该长方体对角面面积的，164OAB AB PA S ∆===⨯=8. 【答案】35【分析】首先根据已知条件，连接DF ，则由//DF AE 可知1DFD ∠或其补角为异面直线AE 与1D F 所成的角，设正方体的棱长为2，则可以求解得到112DF D F DD ===，再由余弦定理可得22211115543cos 2255D F DF D D DFD D F DF +-+-∠===⋅⨯. 9. 【答案】π6【分析】根据该圆柱的底面周长得底面圆的半径为1=r ，所以该圆柱的表面积为：22π2π4π2π6πS rh r =+=+=.10. 【答案】30【分析】由三视图可知这是一个下面是个长方体，上面是个平躺着的底面为直角梯形的直四棱柱构成的组合体.长方体的体积为24243=⨯⨯，直四棱柱的体积是6412)21(=⨯⨯+，所以几何体的总体积为30.2. 【证明】(Ⅰ)设BD 的中点为O ，连接,OC OE , 则由BC CD CO BD =知垂直 又CE BD ⊥，所以BD OCE ⊥平面 所以BD OE ⊥，即OD 是BE 的垂直平分线BE DE =所以(Ⅱ)取AB 的中点为N ，连接MN ,DN 因为M 是AE 的中点，，所以//MN BEO NM因为ABD ∆是等边三角形，所以DN ⊥AB由o o 12030BCD CBD ∠=∠=知，所以o 90ABC ∠=，即BC ⊥AB 所以ND //BC所以平面MND //平面BEC ，故DM //平面BEC3. 【解】（1）AB ⊥平面PAD ，PH ⊂面PAD PH AB ⇒⊥ 又,PH AD AD AB A PH ⊥=⇒⊥ 面ABCD （2）E 是PB 中点⇒点E 到面BCF 的距离1122h PH ==三棱锥E BCF -的体积11111133262BCF V S h FC AD h ∆=⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯=（3）过D 作DG PA G ⊥于，连接EG ，易得EG PAD ⊥面 由AB ⊥平面PAD ⇒面PAD ⊥面PAB DG ⇒⊥面PAB E P B E GP A A B P是的中点，⊥，⊥ 11//,//////22EG AB DF AB EG DF DG EF ⇒⇒⇒ 得：EF ⊥平面PAB6. 【解】（Ⅰ）由题设知1BC CC ⊥，BC AC ⊥，1CC AC C =∩，∴BC ⊥面11ACC A又∵1DC ⊂面11ACC A ，∴1DC BC ⊥，由题设知01145A DC ADC ∠=∠=，∴1CDC ∠=090，即1DC DC ⊥， 又∵DC BC C =∩，∴1DC ⊥面BDC ， ∵1DC ⊂面1BDC ， ∴面BDC ⊥面1BDC ；（Ⅱ）设棱锥1B DACC -的体积为1V ，AC =1，由题意得，1V =1121132+⨯⨯⨯=12，由三棱柱111ABC A B C -的体积V =1，∴11():V V V -=1:1，∴平面1BDC 分此棱柱为两部分体积之比为1:1.。
2012年到2015年全国2卷立体几何专题分析(二轮专用)资料
近四年全国2卷立体几何专题分析银宗童一、2012年到2015年全国2卷高考立体几何真题重现2012年理科7文理同题、网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为 (A)6 (B)9 (C)12 (D)811、已知三棱锥ABC S -的所有顶点都在球O 的球面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，并且2=SC ，则此棱锥的体积为(A)62 (B)63 (C)32 (D)22 19、如图，直三棱柱111C B A ABC -中，121AA BC AC ==，D 是棱1AA 的中点，BD DC ⊥1 (I) 证明：BC DC ⊥1； 求二面角11C BD A --的大小。
2012年理科题图 2012年文科题图2012年文科(8文科)平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为（A ）6π （B ）43π （C ）46π （D ）63π19文科）（本小题满分12分）如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=12AA 1，D 是棱AA 1的中点(Ｉ)证明：平面BDC 1⊥平面BDC（Ⅱ）平面BDC 1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比。
2013年理科4．(2013课标全国Ⅱ，理4)已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，lα，lβ，则( )．A．α∥β且l∥α B．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于l D．α与β相交，且交线平行于l7．(2013课标全国Ⅱ，理7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O－xyz中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为( )．18．(2013课标全国Ⅱ，理18)(本小题满分12分)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1＝AC＝CB AB.(1)证明：BC1∥平面A1CD；(2)求二面角D－A1C－E的正弦值．2013年文科-中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，9、一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到正视图可以为（）(A) (B) (C) (D)【答案】A-的直观图，以zOx平面为投影面，则得到正视图(坐【解析】在空间直角坐标系中，先画出四面体O ABC标系中红色部分),所以选 A.（15）已知正四棱锥O ABCD -，则以O 为球心，OA 为半径的球的表面积为________。
2012年北京市各区二模试题汇编--立体几何
12012年北京市各区二模试题汇编--立体几何一填空选择（2012年东城二模文理科）（6）已知m 和n 是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m ⊥β 的是（A ）⊥αβ，且m ⊂α （B ）m ∥n ，且n ⊥β （C ）⊥αβ，且m ∥α （D ）m ⊥n ，且n ∥β（2012年东城二模文科）(14) 已知四棱柱1111ABC D A B C D -中，侧棱1AA ABCD ⊥底面,12AA =，底面A B C D 的边长均大于2，且45DAB ∠=，点P 在底面A B C D 内运动且在,AB AD 上的射影分别为M ，N ，若2PA =，则三棱锥1P D M N -体积的最大值为____.（2012年东城二模理科）（4）若一个三棱柱的底面是正三角形，其正（主）视图如图所示，则它的体积为（A（B ）（C ）（D）（2012年西城二模文科）4．设m ，n 是不同的直线，α，β则“α∥β”是“m ∥β且n ∥β”的（ ）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分又不必要条件（2012年西城二模文理科）13．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，该几何体 的体积是_____；若该几何体的所有顶点在同一球面 上，则球的表面积是_____．（2012年海淀二模文科）5、已知平面,αβ和直线m ，且m Ìα，则“α∥β”是“m ∥β”的（A ）充要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分不必要条件 （D ）既不充分也不必要条（2012年海淀二模文理科）7、某几何体的主视图与俯视图如图所示，左视图与主视图相同，且图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是24左俯视图主视图2（A ）203（B ）43（C ）6 （D ）4（2012年朝阳二模文科）6. 如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形，如果直 角三角形的直角边长都为1A．61 B ．23C．324+D ．322+（2012年朝阳二模理科）8.有一个棱长为1的正方体，按任意方向正投影, 其投影面积的最大值是A. 1B.2C.D. （2012年丰台二模文科）4．如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，P ，Q 分别是AA 1，A 1D 1，CC 1，BC 的中点，给出以下四个结论：①A 1C ⊥MN ；②A 1C ∥平面MNPQ ；③A 1C 与PM 相交；④NC 与PM 异面．其中不．正确的结论是 (A) ① (B) ② (C) ③(D) ④（2012年丰台二模理科）2．一个正四棱锥的所有棱长均为2，其俯视图如右图所示，则该正四棱锥的正视图的面积为(A) (B)(C) 2(D) 4（2012年顺义二模文理科）7.一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A.60 B.80 C.100 D.120正视图俯视图侧视图P1A 俯视图俯视图左视图正（主）视图82323443（2012年昌平二模文科）4. 已知空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 A.34 B. 38C. 4D. 8（2012年昌平二模文科）7. 四面体的四个面的面积分别为1S 、2S 、3S 、4S ，记其中最大的面积为S ，则SSi i341∑=的取值范围是A. ]231(, B. ]231[, C. (3432,] D. [3432,] （2012年昌平二模理科）5.已知空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的各侧面图形中，是直角三角形的有A. 0个B. 1个C. 2个D. 3 个（2012年昌平二模理科）7．如图，在棱长为a 的正方体1111D C B A ABCD -中，P 为11D A 的中点，Q 为11B A 上任意一点，F E 、为CD 上任意两点，且EF 的长为定值，则下面的四个值中不为定值的是 A. 点P 到平面QEF 的距离B . 直线PQ 与平面PEF 所成的角 C. 三棱锥QEF P -的体积 D.二面角Q EF P --的大小左视图左视图1A 1C4俯视图侧（左）视图主（正）视图 （2012年怀柔二模文理科）4．一个四棱锥的三视图如图所示，其中主视图是腰长为1的等腰直角三角形，则 这个几何体的体积是 A． B ． C ．D ．（2012年怀柔二模理科）7．将图中的正方体标上字母, 使其成为正方体, 不同的标字母方式共有A ．24种B ．48种C ．72种D ．144种（2012年房山二模文科）4. 一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正三角形，则该几何体的侧面积为（ ）（A ） （B ）24 （C ） （D ）（2012年房山二模理科）11．某几何体的三视图如图所示，根据图中标出的数据，可得这个几何体的表面积为 .2112321111ABC D A B C D -24+38主视图俯视图5二解答题（2012年东城二模文科）（17）（本小题共13分）如图，矩形A M N D 所在的平面与直角梯形M B C N 所在的平面互相垂直，M B ∥N C ,M N M B ⊥．（Ⅰ）求证：平面AM B ∥平面； （Ⅱ）若，求证B C A C ⊥. （17）（共13分）证明：（Ⅰ）因为M B //N C ，M B 平面D N C ，N C 平面D N C ，所以M B //平面D N C ． ……………2分 因为A M N D 是矩形，所以M A //D N ．又M A 平面D N C ，D N 平面D N C ， 所以M A //平面D N C ． ……………4分 又MA MB M = ，且M A ，M B ⊂平面AM B ， 所以平面AM B //平面D N C ． ……………6分（Ⅱ）因为A M N D 是矩形，所以A M M N ⊥.因为AMND MBCN ⊥平面平面， 且AMND MBCN =MN 平面平面，所以AM MBCN ⊥平面. 因为BC MBCN ⊂平面，所以A M B C ⊥. ………………10分 因为,MC BC MC AM M ⊥= ，所以BC AMC ⊥平面. ………………12分 因为AC AMC ⊂平面,所以B C A C ⊥. ………………13分（2012年东城二模理科）（17）（本小题共13分）如图,矩形所在的平面与直角梯形所在的平面互相垂直，∥,，且，，，．（Ⅰ）求证：平面；D N C M C C B ⊥⊄⊂⊄⊂A M N D M B C N M B N C M N M B ⊥M C C B ⊥2B C =4M B =3D N =//A B D N C6（Ⅱ）求二面角的余弦值.（17）（共13分）（Ⅰ）证明：因为//，平面，平面所以//平面． ……………2分 因为为矩形，所以//．又 平面，平面， 所以//平面． ……………4分 又，且，平面， 所以平面//平面． ……………5分 又平面，所以平面． ……………6分（Ⅱ）解：由已知平面平面，且平面平面，，所以平面，又，故以点为坐标原点，建立空间直角坐标系. ……………7分由已知得，易得，．则，，．，． ……………8分设平面的法向量，则 即令，则，．所以． …………10分又是平面的一个法向量， 所以．D B C N --M B N C M B ⊄D N C N C ⊂D N C M B D N C A M N D M A D N M A ⊄D N C D N ⊂D N C M A D N C MA MB M = M A M B ⊂AM B AM B D N C A B ⊂AM B //A B D N C AM N D ⊥M B C N AMND M B C N M N =D N M N⊥D N ⊥M B C N M N N C ⊥N N xyz-30M C M C N =∠=M N =3N C =(0,0,3)D (0,3,0)C 4,0)B (0,3,3)D C =- 0)C B =D B C 1(,,)x y z =n 110,0.D CC B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n 330,0.y z y -=⎧⎪+=1x =-y =z=1(=-n2n (0,0,1)=NBC 122112cos ,7⋅===n n n n n n7C故所求二面角的余弦值为． …13分（2012年西城二模文科）17．（本小题满分13分）如图，四棱锥ABCD E -中，EA EB =，A B ∥C D ，BC AB ⊥，CD AB 2=． （Ⅰ）求证：ED AB ⊥；（Ⅱ）线段EA 上是否存在点F ，使D F // 平面BC E ？若存在，求出E F E A；若不存在，说明理由．17．（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：取AB 中点O ，连结EO ，DO ．因为 EA EB =，所以 AB EO ⊥． ……………2分 因为 A B ∥C D ，CD AB 2=， 所以 BO ∥C D ，CD BO =．又因为 BC AB ⊥，所以四边形OBCD 为矩形，所以 DO AB ⊥． …………4分 因为 O DO EO = ，所以 ⊥AB 平面EOD ． ……5分所以 ED AB ⊥． ………………6分（Ⅱ）解：点F 满足12E F E A=，即F 为EA 中点时，有DF // 平面BCE ．……………7分证明如下：取EB 中点G ，连接CG ，FG ． ………………8分 因为F 为EA 中点，所以F G ∥A B ，AB FG 21=．因为A B ∥C D ，AB CD 21=，所以F G ∥C D ，CD FG =．所以四边形CDFG 是平行四边形，所以 D F ∥C G ． ………………11分 因为 ⊄DF 平面BCE ，⊂CG 平面BCE ， ………………12分所以 DF // 平面BCE ． ………………13分 1（2012年西城二模理科）6．（本小题满分14分）如图，直角梯形ABCD 与等腰直角三角形ABE 所在的平面互相垂直．A B ∥C D ，BC AB ⊥，BC CD AB 22==，EA EB ⊥．（Ⅰ）求证：AB D E ⊥；（Ⅱ）求直线EC 与平面A B E 所成角的正弦值；D B C N --78（Ⅲ）线段EA 上是否存在点F ，使EC // 平面FBD ？ 若存在，求出E F E A；若不存在，说明理由．16．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：取AB 中点O ，连结EO ，DO ．因为EA EB =，所以AB EO ⊥． ………………1分因为四边形ABCD 为直角梯形，BC CD AB 22==，BC AB ⊥， 所以四边形OBCD 为正方形，所以OD AB ⊥．……………2分 所以⊥AB 平面EOD ． ………………3分 所以 ED AB ⊥． ………………4分（Ⅱ）解：因为平面⊥ABE 平面ABCD ，且 AB EO ⊥，所以⊥EO 平面ABCD ，所以OD EO ⊥．由OE OD OB ,,两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系xyz O -． …………5分 因为三角形EAB 为等腰直角三角形，所以OE OD OB OA ===，设1=OB ，所以(0,0,0),(1,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(0,0,1)O A B C D E -．所以 )1,1,1(-=EC ，平面A B E 的一个法向量为(0,1,0)O D =． ………………7分设直线EC 与平面A B E 所成的角为θ，所以||sin |cos ,|3||||EC O D EC O D EC O D θ⋅=〈〉==，即直线EC 与平面A B E所成角的正弦值为3． ………………9分（Ⅲ）解：存在点F ，且13E F E A=时，有EC // 平面FBD ． ………………10分证明如下：由 )31,0,31(31--==EA EF ，)32,0,31(-F ，所以)32,0,34(-=FB ．设平面FBD 的法向量为v ),,(c b a =，则有0,0.B D F B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩v v 所以 0,420.33a b a z -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩ 取1=a ，得)2,1,1(=v ． ………………12分 因为 ⋅EC v 0)2,1,1()1,1,1(=⋅-=，且⊄EC 平面FBD ，所以 EC // 平面FBD ．9即点F 满足13E F E A=时，有EC // 平面FBD ． ………………14分（2012年海淀二模文科）17、（本小题满分14分）在正方体''''ABC D A B C D -中, 棱,','',''AB BB B C C D 的中点分别是,,,E F G H , 如图所示．（Ⅰ）求证：'AD ∥平面E F G ； （Ⅱ）求证：'A C ^平面E F G ；（Ⅲ）判断点,',,A D H F 是否共面? 并说明理由.17、（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：连接'BC .在正方体''''A B C D A B C D -中，''AB C D =，AB ∥'C D 所以 四边形''ABC D 是平行四边形.所以 'A D ∥'BC .因为 ,F G 分别是',''BB B C 的中点，所以 F G ∥'BC .所以 F G ∥'A D . ………2分 因为 ,'EF AD 是异面直线，所以 'AD Ë平面EFG .因为 F G Ì平面EFG ， 所以 'AD ∥平面E F G .………4分 （Ⅱ）证明：连接'B C .在正方体''''A B C D A B C D -中，''A B ^平面''B C C B ，'B C Ì平面''B C C B ， 所以 '''A B B C ⊥.在正方形''B C C B 中，''B C B C ⊥， 因为 ''A B Ì平面''A B C ，'B C Ì平面''A B C ，''''A B B C B = ，所以 'B C ⊥平面''A B C . …………………6分因为 'A C Ì平面''A B C ，所以 ''B C A C ⊥.…………7分 因为 F G ∥'BC ，所以 'A C F G ⊥. 同理可证：'A C E F ⊥.因为 E F Ì平面EFG ，F G Ì平面EFG ，EF FG F = ， 所以 'A C ^平面E F G . ……9分 （Ⅲ）点,',,A D H F 不共面. 理由如下： ………10分 假设,',,A D H F 共面. 连接',,C F AF HF . 由（Ⅰ）知，'A D ∥'BC ，因为 'B C Ì平面''B C C B ，'AD Ë平面''B C C B .C'CAHG FED'C'B'A'D C BAHG FED'C'B'A'DCB A10所以 'AD ∥平面''B C C B . …………12分因为 ''C D H Î，所以 平面'AD HF 平面'''B C C B C F =. 因为 'A D Ì平面'A D H F ，所以 'AD ∥'C F . 所以 'C F ∥'BC ，而'C F 与'BC 相交，矛盾.所以 点,',,A D H F 不共面. …………………14分 （2012年海淀二模理科）(16)（本小题满分14分）如图所示，PA ^平面ABC ，点C 在以AB 为直径的⊙O 上，30C B A? ，2PA AB ==，点E 为线段PB 的中点，点M 在 AB 上，且O M ∥A C ． （Ⅰ）求证：平面M O E ∥平面PAC ；（Ⅱ）求证：平面PAC ^平面P C B ；（Ⅲ）设二面角M B P C --的大小为θ，求cos θ的值．(16)（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为点E 为线段PB 的中点，点O 为线段A B 的中点，所以 O E ∥P A . ……………………………………1分 因为 P A Ì平面PAC ，OE Ë平面PAC ，所以 O E ∥平面PAC . ……………………………………2分因为 O M ∥A C ， 因为 A C Ì平面PAC ，OM Ë平面PAC ，所以 O M ∥平面PAC . ……………………………………3分因为 O E Ì平面M O E ，O M Ì平面M O E ，OE OM O = ，所以 平面M O E ∥平面PAC . ………………………………………5分（Ⅱ）证明：因为 点C 在以AB 为直径的⊙O 上，所以 90A C B? ，即B C A C ⊥.因为 PA ^平面ABC ，B C Ì平面ABC ， 所以 P A B C ⊥. ……………7分因为 A C Ì平面PAC ，P A Ì平面PAC ，PA AC A = ， 所以 B C ^平面PAC . 因为 B C Ì平面PBC ，所以 平面PAC ^平面P C B . …………………………9分（Ⅲ）解：如图，以C 为原点，C A 所在的直线为x 轴，C B 所在的直线为y 轴，建立空间直角坐标系C xyz -．ME BOCAP因为 30C B A ? ，2PA AB ==，所以2cos 30C B =?1A C =.延长M O 交C B 于点D . 因为 O M ∥A C ，所以131, 1,2222M D C B M D C D C B ^=+===.所以 (1,0,2)P ，(0,0,0)C，0)B，3(0)22M .所以 (1,0,2)C P =，0)C B =. 设平面P C B 的法向量(,,)=x y z m .因为 0,0.C P C B ìï?ïíï?ïîm m所以(,,)(1,0,2)0,(,,)0)0,x y z x y z ì?ïïíï?ïî即20,0.x z ì+=ïïíï=ïî令1z =，则2,0x y =-=.所以 (2,0,1)=-m . ……………………………………12分 同理可求平面P M B 的一个法向量n ()=.……………………………………13分 所以 1cos ,5⋅==-⋅m n m n m n.所以 1cos 5θ=. ………………………………………14分（2012年朝阳二模文科）17. （本小题满分13分）如图，四边形ABC D 为正方形，⊥EA 平面ABC D ，//EF AB ，=4,=2,=1A B A E E F . （Ⅰ）求证：⊥BC AF ；（Ⅱ）若点M 在线段A C 上，且满足14C M C A =,求证：//EM 平面F B C ；（Ⅲ）试判断直线A F 与平面E B C 是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由 17、（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为E F //A B ，所以EF 与AB 确定平面EABF ，因为⊥EA 平面ABC D ，所以⊥E A B C . ………2分B由已知得⊥AB BC 且= EA AB A ，所以⊥B C 平面EABF . ………3分 又AF ⊂平面EABF ,所以⊥BC AF . ………4分 （Ⅱ）过M 作M N B C ⊥,垂足为N ，连结F N ,则M N //A B . .………5分又14C M AC =,所以14M N A B =.又E F //A B 且14E F A B =,所以E F //M N .………6分且E F M N =,所以四边形E F N M 为平行四边形. ……7分 所以E M //F N .又F N ⊂平面FBC ,E M ⊄平面FBC , 所以//E M 平面FBC . ………9分（Ⅲ）直线A F 垂直于平面E B C . ………10分证明如下：由（Ⅰ）可知，AF BC ⊥.在四边形ABFE 中，=4,=2,=1A B A E E F ，90BAE AEF ∠=∠= ， 所以1tan tan 2E B AF A E ∠=∠=，则EBA FAE ∠=∠.设AF BE P = ,因为90PAE PAB ∠+∠= ,故90PBA PAB ∠+∠= 则90APB ∠= ,即⊥EB AF . ………12分 又因为= EB BC B ，所以⊥AF 平面E B C . ………13分 （2012年朝阳二模理科）17. （本小题满分14分）在如图所示的几何体中，四边形为正方形，平面，， .（Ⅰ）若点M 在线段A C 上，且满足14C M C A =, 求证：平面； （Ⅱ）求证：平面； （Ⅲ）求二面角的余弦值. 17. （本小题满分14分）证明：（Ⅰ）过M 作M N B C ⊥于N ，连结F N ，则M N //A B ，又14C M A C =，所以14M N A B =.又E F //A B 且14E F A B =，所以E F //M N ，且E F M N =，所以四边形E F N M 为平行四边形，ABC D ⊥EA ABC D //EF AB =4,=2,=1A B A E E F //EM F B C ⊥AF E B C --A FB DE CBDMA F E DCMAFNQPBACD所以E M //F N .又F N ⊂平面FBC ，E M ⊄平面FBC ，所以平面. ……4分（Ⅱ）因为平面，，故以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.由已知可得.显然.则，所以.即，故平面.（Ⅲ）因为E F //A B ，所以EF 与AB 确定平面EABF ，由已知得，，. ……9分因为平面，所以. 由已知可得且，所以平面ABF ，故是平面ABF 的一个法向量.设平面D FB 的一个法向量是()n =x,y,z .由0,0,n n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ BD FB 得440,320,-+=⎧⎨-=⎩x y x z 即32=⎧⎪⎨=⎪⎩y x,z x,令2=x ，则(2,2,n =.所以7c o s <17,n n n⋅>==⋅BC BC BC 由题意知二面角锐角，故二面角17. ……14分（2012年丰台二模文科）17.（本小题共14分）如图所示，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，Q 是棱上的动点．（Ⅰ）若Q 是PA 的中点，求证：PC //平面BDQ ； （Ⅱ）若PB =PD ，求证：BD ⊥CQ ；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若PA =PC ，PB =3，∠ABC =60º，求四棱锥P -ABCD 的体积．17．证明：（Ⅰ）连结AC ，交BD 于O ．因为 底面ABCD 为菱形，所以 O 为AC 中点． 因为 Q 是PA 的中点， 所以 OQ // PC ，//EM F B C ⊥EA ABC D ⊥AB AD A -A xyz (0,0,0),(4,0,0),(4,4,0),(0,4,0),A B C D (0,0,2),(1,0,2)E F =(1,0,2),=(0,4,0),=(4,0,-2)AF BC EB =0,=0⋅⋅ AF BC AF EB ,⊥⊥ AF BC AF EB ,⊥⊥A F B C A F E B ⊥AF E B C =(0,4,0),=(3,0,-2) BC FB =(4,4,0)-BD ⊥EA ABC D ⊥E A B C ⊥AB BC = EA AB A ⊥B CBC A -FB -D A -FB -D PAOQPBACD因为OQ ⊂平面BDQ ，PC ⊄平面BDQ ， 所以PC //平面BDQ ． ……………………5分 （Ⅱ）因为 底面ABCD 为菱形，所以 AC ⊥BD ，O 为BD 中点． 因为 PB =PD ，所以 PO ⊥BD ． 因为 PO ∩BD =O ，所以 BD ⊥平面PAC ．因为 CQ ⊂平面PAC ，所以 BD ⊥CQ ． ……………10分（Ⅲ）因为 PA =PC ，所以 △PAC 为等腰三角形 ． 因为 O 为AC 中点，所以 PO ⊥AC ．由（Ⅱ）知 PO ⊥BD ，且AC ∩BD =O ，所以 PO ⊥平面ABCD ，即PO 为四棱锥P -ABCD 的高． 因为四边形是边长为2的菱形，且∠ABC =60º， 所以所以所以13P A B C D V -=⨯=P ABCD V -= ………14分（2012年丰台二模理科）17.（本小题共14分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为矩形，平面ABEF ⊥平面ABCD ， EF // AB ，∠BAF =90º， AD = 2，AB =AF =2EF =1，点P 在棱DF 上．（Ⅰ）若P 是DF 的中点，(ⅰ) 求证：BF // 平面ACP ；(ⅱ) 求异面直线BE 与CP 所成角的余弦值； （Ⅱ）若二面角D -AP -C3，求PF 的长度．17．（Ⅰ）(ⅰ)证明：连接BD ，交AC 于点O ，连接OP ．因为P 是DF 中点，O 为矩形ABCD 对角线的交点， 所以OP 为三角形BDF 中位线，PFEDCABOBACDEFPx 所以BF // OP ，因为BF ⊄平面ACP ，OP ⊂平面ACP ，所以BF // 平面ACP ． ……………………4分 (ⅱ)因为∠BAF =90º， 所以AF ⊥AB ， 因为 平面ABEF ⊥平面ABCD ， 且平面ABEF ∩平面ABCD = AB ，所以AF ⊥平面ABCD ， 因为四边形ABCD 为矩形，所以以A 为坐标原点，AB ，AD ，AF 分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系O xyz -．所以 (1,0,0)B ，1(,0,1)2E ，1(0,1,)2P ，(1,C 所以 1(,0,1)2B E =-，1(1,1,)2C P =--，所以cos ,15||||BE C P BE C P BE C P ⋅<>==⋅，即异面直线BE 与CP 所成角的余弦值为15．……………………9分（Ⅱ）解：因为AB ⊥平面ADF ，所以平面APF 的法向量为1(1,0,0)n =．设P 点坐标为(0,22,)t t -，在平面APC 中，(0,22,)A P t t =- ，(1,2,0)A C =，所以 平面APC 的法向量为222(2,1,)t n t-=- ， 所以 121212||cos ,3||||n n n n n n ⋅<>===⋅，解得23t =，或2t =（舍）．此时||3PF =． ……………14分ADCFPB（2012年顺义二模文科）16. （本小题共13分）如图四棱锥P A B C D -中，底面A B C D 是平行四边形，090ACB ∠=，P A ⊥平面A B C D ，1P A B C ==，AB =，F 是B C 的中点.(Ⅰ)求证：D A ⊥平面PAC ；(Ⅱ)试在线段PD 上确定一点G ，使C G ∥平面P A F ，并求三棱锥A -C D G 的体积. 16. （本小题共13分）解：(Ⅰ)证明：Q 四边形是平行四边形，∴90ACB DAC ∠=∠=，Q P A ⊥平面A B C D ∴P A D A ⊥，又A C D A ⊥，AC PA A =I ，∴D A ⊥平面PAC . __________4分(Ⅱ)设PD 的中点为G ，在平面PAD 内作G H PA⊥于H ，则G H 平行且等于12A D ，连接F H ，则四边形F C G H 为平行四边形，__________8分∴G C ∥F H ，Q F H ⊂平面P A E ，C G ⊄平面P A E ，∴C G ∥平面P A E ，∴G 为PD 中点时，C G ∥平面P A E .__________10分 设S 为A D 的中点，连结G S ，则G S 平行且等于1122P A =，Q P A ⊥平面A B C D ，∴G S ⊥平面A B C D ，∴11312A C D G G A C D A C D V V S G S --===V .__________13分 （2012年顺义二模文理科）16. （本小题共13分）如图：四棱锥P A B C D -中，底面A B C D 是平行四边形，090ACB ∠=，P A ⊥平面A B C D ，1P A B C ==，AB =，F是B C 的中点.(Ⅰ) 求证：D A ⊥平面PAC ；(Ⅱ)试在线段PD 上确定一点G ，使C G ∥平面P A F ； （Ⅲ）求平面P A F 与平面PC D 所成锐二面角的余弦值16. （本小题共13分）解：分别以,,AC AD AP 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则1(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(1,,0),(0,0,1)2A CB D F P --.__________（建系正确，ADCFPBADCFPB坐标写对给3分）(Ⅰ) 证明方法一：：Q 四边形是平行四边形，∴090ACB DAC ∠=∠=， Q P A ⊥平面A B C D ∴P A D A ⊥，又AC D A ⊥，AC PA A =I ，∴D A ⊥平面PAC . __________4分方法二：易证DA uu u r是平面平面PAC 的一个法向量，∴D A ⊥平面PAC .______4分(Ⅱ)方法一：设PD 的中点为G ，在平面PAD 内作G H PA ⊥于H ， 则G H 平行且等于12A D ，连接F H ，则四边形F C G H 为平行四边形，_____6分∴G C ∥F H ，Q F H ⊂平面P A E ，C G ⊄平面P A E ，∴C G ∥平面P A E ，∴G 为PD 中点时，C G ∥平面P A E .__________8分方法二：设G 为P D 上一点，使C G ∥平面P A E ，令(0,,),(0PG PD λλλλ==-≤≤uuu r uuu r ，(1,,1)GC PC PG λλ=-=--+uuu r uuu r uuu r可求得平面P A E 法向量(1,2,0)m =u r，要C G ∥平面P A E ，∴0m G C ⋅=u r uuu r ，解得12λ=.∴G 为PD 中点时，C G ∥平面P A E .（Ⅲ）可求得平面PC D 法向量(1,1,1)n =r，__________10分||cos ,5||||m n m n m n ⋅<>==u r ru r r u r r∴5分（2012年昌平二模文科）17.（本小题满分13分）在正四棱柱1111ABC D A B C D -中，E 为A D 中点, F 为11B C 中点.（Ⅰ）求证:1//A F 平面1EC C ；（Ⅱ）在C D 上是否存在一点G ,使B G ⊥平面1EC C ?若存在，请确定点G 的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由. 17.（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：在正四棱柱1111ABC D A B C D -中，取B C 中点M ,连结F ED 1C 1B 1A 1DCBA,.AM FM11//B F BM B F BM ∴=且.∴四边形1B FM B 是平行四边形. 11//FM B B FM B B ∴=且.………2分 11//FM A A FM A A = 且，∴四边形1AA FM 是平行四边形. 1//FA AM ∴. E 为A D 中点，//AE M C AE M C ∴=且.∴四边形A M C E 是平行四边形. ………4分 //C E A M ∴.1//C E A F ∴.11ECC F A 平面⊄ ,1EC EC C ⊂平面，11//A F EC C ∴平面. ……… 6分（Ⅱ） 证明：在C D 上存在一点G ,使B G ⊥平面1EC C ，取C D 中点G ，连结B G ………7分在正方形A B C D 中, ,,,D E G C C D BC AD C BC D ==∠=∠C D E B C G ∴∆≅∆. E C D G B C ∴∠=∠. ………9分90C G B G B C ∠+∠=︒ . 90C G B D C E ∴∠+∠=︒.B G E C ∴⊥. ………11分ABCD CC 平面⊥1 ,ABCD BG 平面⊂ 1C C B G ∴⊥,1EC C C C = . B G ∴⊥平面1EC C . 故在CD 上存在中点G ,使得B G ⊥平面1EC C . ………13分（2012年昌平二模理科）17.（本小题满分14分）在正四棱柱1111ABC D A B C D -中, 122AA AB ==,E 为A D 中点,F 为1C C 中点.（Ⅰ）求证:1AD D F ⊥； （Ⅱ）求证://C E 平面1AD F ；(Ⅲ) 求平面1AD F 与底面A B C D 所成二面角的余弦值.GMF E D 1C 1B 1A 1DCBA17.（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：在正四棱柱1111ABC D A B C D -中四边形A B C D 是正方形, A D C D ∴⊥1D D ABC D AD ABC D ⊥⊂ 平面，平面1AD DD ∴⊥ 1D D C D D = 11AD CD D C ∴⊥平面 111D F C D D C ⊂ 平面 1A D D F ∴⊥……… 4分 （Ⅱ）证明：在正四棱柱1111ABC D A B C D -中,连结1A D ,交1AD 于点M ,连结,ME MF .M ∴为1AD 中点.E 为A D 中点，F 为1C C 中点. 111//2M E D D M E D D ∴=且……… 6分又1121DD CF DD //CF =且∴四边形CEMF 是平行四边形. MF //CE ∴ ……… 8分C E ⊄ 平面1AD F ,M F ⊂平面1AD F .//C E ∴平面1AD F . ………9分(Ⅲ)解：以D 为坐标原点，分别以1,,D A D C D D 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系如图. 则1(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(0,0,2),(0,1,1)D A B C D F ……… 10分 ∴平面A B C D 的法向量为1(0,0,2)DD =………11分设平面1AD F 的法向量为(,,)x y z =n . 1(1,1,1),(1,0,2)AF AD =-=-，分则有10,0.A F A D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 所以 0,20.x y z x z -++=⎧⎨-+=⎩取1z =，得(2,1,1)=n .111cos ,6D D D D D D ⋅〈〉==n n n . ………13分 平面F AD 1与平面所成二面角为锐角.所以平面1A D F 与底面A B C D 所成二面角的余弦6.……… 14分（2012年怀柔二模文科）16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥中，底面是正方形， 其他四个侧面都是等边三角形，与为侧棱上一点．（Ⅰ）当为侧棱的中点时，求证：∥平面；（Ⅱ）求证：平面平面． 16．（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）连接，由条件可得∥. 因为平面，平面，所以∥平面（Ⅱ）证明：由已知可得，,是中点，所以，又因为四边形是正方形，所以. 因为，所以.又因为，所以平面平面.-----------14分（2012年怀柔二模理科）16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥中，底面是正方形， 其他四个侧面都是等边三角形，与的交点为， 为侧棱上一点．（Ⅰ）当为侧棱的中点时，求证：∥平面；（Ⅱ）求证：平面平面； （Ⅲ）当二面角的大小为 时，试判断点在上的位置，并说明理由．S A B C D -A B C D A C BD E S C E S C S A BD E BD E ⊥SA C O E S A O E SA ËBD E O E ÌBD E S A BD E SB SD =O BD BD SO ^A B C D B D A C ^AC SO O = BD SAC ⊥面BD BDE ⊂面BD E ⊥SA C S A B C D -A B C D A C BD O E S C E S C S A BD E BD E ⊥SA C E B D C --45︒E S C16．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：连接，由条件可得∥. 因为平面，平面，所以∥平面.-----------------------------------------4分 （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，.建立如图所示的空间直角坐标系. 设四棱锥的底面边长为2， 则，，，，，.所以，.设（），由已知可求得.所以，.设平面法向量为，则 即 令，得.易知是平面的法向量.因为， 所以，所以平面平面.-------------------------------------9分（Ⅲ）解：设（），由（Ⅱ）可知，平面法向量为.因为，所以是平面的一个法向量.由已知二面角的大小为.所以，所以，解得.O E S A O E SA ËBD E O E ÌBD E S A BD E SO ABCD ⊥面A C B D ⊥S A B C D -(0, 0, 0)O (0, 0,S )0, 0A()0, 0B () 0, 0C()0, 0D-() 0, 0AC =-()0, 0BD =-C E a =02a <<45E C O ∠=︒(, 0,)22E a a(,)22BE a a =-B D E (, , )x y z =n 0,0B D B E ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ nn 0, ()0.22y a x az =⎧⎪⎨+-+=⎪⎩1z =(, 0, 1)2a a=-n ()0, 0BD =-SAC (, 0, 1)(0, 0)02aB D a⋅=⋅-=- n BD ⊥n BD E ⊥SA C C E a =02a <<B D E (, 0, 1)2a a=-n SO ABCD ⊥底面(0, 0, 2)O S =SA C E B DC --45︒cos , cos 452O S 〈〉=︒=n 2=1a =所以点是的中点.-----------------------------------------------------------------14分（2012年房山二模文科）17.如图，直四棱柱中，底面是菱形，且，为棱的中点.（Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求证：平面平面.17．证明：（Ⅰ）连接，交与,连接 由已知四边形是矩形，所以为的中点， 又为的中点. 所以为的中位线. 所以因为平面,平面，所以平面. ………………6分 （Ⅱ）由已知，又,平面 ，平面 ∴平面∵平面,∴ ………………10分∵底面是菱形，且，为棱的中点.∴又,平面 ，平面E S C 1111ABC D A B C D -A B C D o 60ABC ∠=E C D 1//A C 1AED 1AED ⊥1CDD 1A D 1ADF EF 11AD D A F 1AD E C D EF 1ΔAED 1//A C EF 1A C ⊄1AED E F ⊂1AED 1//A C 1AED 11,D D AD D D BD ⊥⊥AD BD D ⋂=AD ⊂A B C D C D ⊂A B C D 1D D ⊥A B C D A E ⊂A B C D 1AE D D ⊥A B C D o60ABC ∠=E C D AE C D ⊥1C D D D D ⋂=C D ⊂1CDD 1D D ⊂1CDD∴平面 ………………12分 ∵平面∴平面平面. ………………14分（2012年房山二模理科）17．如图，四边形为正方形，，∥，．（I ）证明：平面；（II ）求异面直线与所成角的余弦值; （III ）求直线与平面所成角的正弦值．17．(I)证明：∵四边形ABCD 为正方形， ∴∵，∥ ∴ ∵ ∴∵A E ⊥11C D D C A E ⊂1AED 1AED ⊥1CDD ABCD ABCD BE 平面⊥EB FA EB AB FA 21==B AF AFD 平面⊥ED CF EC BCFAB AD ⊥ABCD BE 平面⊥EB FA ABCD FA 平面⊥ABCD AD 平面⊂AD FA ⊥A FA AFB ，FB FA AB =⊂ 平面,∴ ∵∴平面 ……………………………………5分 （II ）以为原点，建立如]图所示的空间直角坐标系，设， 则，故，，，，∴直线的方向向量为，直线的方向向量为 设直线与所成的角为，则……………………………………10分（III ）直线的方向向量为，， 设平面的法向量为，则，故，， 设直线与平面所成的角为，则……………………………………14分集所能集，不足之处敬请见谅！AFB AD 平面⊥AFD AD 平面⊂B AF AFD 平面⊥B 2=EB 1==AB AF ()0,0,2E ()1,1,0D ()1,0,0C ()0,1,1F ()0,0,0B ED ()1,1,2-=ED CF ()1,1,1-=CF ED CFθ33cos ==θEC ()1,0,2-=EC ()01,0=BC ()0,1,1=BF BCF ()z y x n ,,=⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0n BF n BC ⎩⎨⎧=+=00y x z ⎪⎩⎪⎨⎧=-==011z y x ()0,1,1-=n EC BCFα510sin ==α。
2012.5二模分类汇编(立体)
( 2012 年二模文科)立体1(东城区2012.5)（17）（本小题共13分）如图，矩形AMND 所在的平面与直角梯形MBCN 所在的平面互相垂直， MB ∥NC ,MN MB ⊥． （Ⅰ）求证：平面AMB ∥平面DNC ；（Ⅱ）若MC CB ⊥，求证BC AC ⊥.（17）（共13分） 证明：（Ⅰ）因为MB //NC ，MB ⊄平面DNC ，NC ⊂平面DNC ，所以MB //平面DNC ． ……………2分 因为AMND 是矩形，所以MA //DN ．又MA ⊄平面DNC ，DN ⊂平面DNC ， 所以MA //平面DNC ． ……………4分又MA MB M =，且MA ，MB ⊂平面AMB ， 所以平面AMB //平面DNC ． ……………6分（Ⅱ）因为AMND 是矩形，所以AM MN ⊥.因为AMND MBCN ⊥平面平面，且AMND MBCN =MN 平面平面，所以AM MBCN ⊥平面. 因为BC MBCN ⊂平面，所以AM BC ⊥. ………………10分 因为,MC BC MCAM M ⊥=，所以BC AMC ⊥平面. ………………12分 因为AC AMC ⊂平面,所以BC AC ⊥. ………………13分2房山区2012.517.如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是菱形，且o60ABC ∠=，E 为棱CD 的中点.（Ⅰ）求证：1//AC 平面1AED ； （Ⅱ）求证：平面1AED ⊥平面1C DD .17．证明：（Ⅰ）连接1A D ，交1AD 与F ,连接EF 由已知四边形11ADD A 是矩形，所以F 为1AD 的中点， 又E 为CD 的中点. 所以EF 为1ΔAED 的中位线.所以1//AC EF 因为1AC ⊄平面1AED ,EF ⊂平面1AED ， 所以1//AC 平面1AED . ………………6分 （Ⅱ）由已知11,DD AD DD BD ⊥⊥，又AD BD D ⋂=,AD ⊂平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ∴1DD ⊥平面ABCD∵AE ⊂平面ABCD ,∴1AE DD ⊥ ………………10分 ∵底面ABCD 是菱形，且o60ABC ∠=，E 为棱CD 的中点.∴AE CD ⊥又1CD DD D ⋂=,CD ⊂平面1CDD ，1DD ⊂平面1CDD ∴AE ⊥平面11CDD C ………………12分 ∵AE ⊂平面1AED∴平面1AED ⊥平面1C DD . ………………14分3.(朝阳2012.5)17. （本小题满分13分）如图，四边形ABCD 为正方形，⊥EA 平面ABCD ，//EF AB ，=4,=2,=1AB AE EF .（Ⅰ）求证：⊥BC AF ； （Ⅱ）若点M 在线段AC 上，且满足14CM CA =, 求证：//EM 平面FBC ； （Ⅲ）试判断直线AF 与平面EBC 是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由.（17）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为EF//AB ，所以EF 与AB 确定平面EABF ，因为⊥EA 平面ABCD ，所以⊥EA BC . ………2分 由已知得⊥AB BC 且=EA AB A ， 所以⊥BC 平面EABF . ………3分 又AF ⊂平面EABF ,所以⊥BC AF . ………4分 （Ⅱ）过M 作MN BC ⊥,垂足为N ，连结FN ,则MN //AB . .………5分又14CM AC =,所以14MN AB =. 又EF //AB 且14EF AB =,所以EF //MN ..………6分且EF MN =,所以四边形EFNM 为平行四边形.………7分所以EM //FN .又FN ⊂平面FBC ,EM ⊄平面FBC ,所以//EM 平面FBC . ………9分 （Ⅲ）直线AF 垂直于平面EBC . ………10分证明如下：由（Ⅰ）可知，AF BC ⊥.在四边形ABFE 中，=4,=2,=1AB AE EF ，90BAE AEF ∠=∠=， 所以1tan tan 2EBA FAE ∠=∠=，则EBA FAE ∠=∠. 设AFBE P =,因为90PAE PAB ∠+∠=,故90PBA PAB ∠+∠=则90APB ∠=,即⊥EB AF . ………12分 又因为=EBBC B ，所以⊥AF 平面EBC . ………13分BQ PBACDOQPBACD4(丰台区2012.5 )17.（本小题共14分）如图所示，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，Q是棱PA上的动点．（Ⅰ）若Q是P A的中点，求证：PC//平面BDQ；（Ⅱ）若PB=PD，求证：BD⊥CQ；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若P A=PC，PB=3，∠ABC=60º，求四棱锥P-ABCD的体积．17．证明：（Ⅰ）连结AC，交BD于O．因为底面ABCD为菱形，所以O为AC中点．因为Q是P A的中点，所以OQ// PC，因为OQ⊂平面BDQ，PC⊄平面BDQ，所以PC//平面BDQ．……………………5分（Ⅱ）因为底面ABCD为菱形，所以AC⊥BD，O为BD中点．因为PB=PD，所以PO⊥BD．因为PO∩BD =O，所以BD ⊥平面P AC．因为CQ⊂平面P AC，所以BD⊥CQ．……10分（Ⅲ）因为P A=PC，所以△P AC为等腰三角形．因为O为AC中点，所以PO⊥AC．由（Ⅱ）知PO⊥BD，且AC∩BD =O，所以PO⊥平面ABCD，即PO为四棱锥P-ABCD的高．因为四边形是边长为2的菱形，且∠ABC=60º，所以，所以．所以13P ABCDV-=⨯=P ABCDV-=……………14分5(2012.5怀柔区)16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是正方形，其他四个侧面都是等边三角形，AC 与BD 的交点为O ，E 为侧棱SC 上一点．（Ⅰ）当E 为侧棱SC 的中点时，求证：SA ∥平面BDE ；（Ⅱ）求证：平面BDE ⊥平面SAC ．证明：（Ⅰ）连接OE ，由条件可得SA ∥OE . 因为SA Ë平面BDE ，OE Ì平面BDE ，所以SA ∥平面BDE（Ⅱ）证明：由已知可得，SB SD =,O 是BD 中点，所以BD SO ^，又因为四边形ABCD 是正方形，所以BD AC ^因为ACSO O =，所以BD SAC ⊥面.又因为BD BDE ⊂面，所以平面BDE ⊥平面6(顺义区2012.5) 16． （本小题共13分）如图四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，090ACB ∠=，PA ⊥平面ABCD ，1PA BC ==，AB =F 是BC 的中点．(Ⅰ)求证：DA ⊥平面PAC ；(Ⅱ)试在线段PD 上确定一点G ，使CG ∥平面PAF ，并求三棱锥A -CDG 的体积．ADCFPB。
2012届绍兴二模-数学(文)
绍兴市2012年高三教学质量调测数学（文）试题参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 棱柱的体积公式)()()(B P A P B A P +=+Sh V =如果事件A 、B 相互独立，那么其中S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高 )()()(B P A P B A P ⋅=⋅棱锥的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是 Sh V 31= P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高次的概率 棱台的体积公式k n k kn n P P C k P --=)1()(),,2,1,0(n k = )(312211S S S S h V ++=球的表面积公式 其中S 1，S 2分别表示棱台的上、下底面积，h 24R S π= 表示棱台的高球的体积公式334R V π=球其中R 表示球的半径第Ⅰ卷（共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若集合U={1,2,3,4,5}, A= {1,2,3},B= {2,3,4}，则()U C A B =A ．{1, 4,5}B ．{4,5}C ．{1,5}D ．{5}2．已知（2()2a i i -=-，其中i 是虚数单位，则实数a =A ．－2B ．－1C ．1D ．23．“3k >”是“函数()2,[0,]f x x x k =-∈存在零点的” A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件4．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的结果是 A ．4 B ．5 C ．6 D ．75．已知α，β是两个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，则下列正确的是 A ．若m //α,αβ= n ,则m //nB ．若m ⊥α,n ⊂β,m ⊥n ,则α⊥βC ．若α//β,m ⊥α，n //β,则m ⊥nD ．若α⊥β，αβ= m ，m //n ，则n //β6．已知向量2,||2,2,||a b a a a b a b ==⋅-满足则的最小值为A ．14B ．12C ．1D ．27．已知不等式组2,1,0y x y kx x ≤-+⎧⎪≥+⎨⎪≥⎩所表示的平面区域为面积等于1的三角形，则实数k 的值为．－1B ．12-C ．12D ．18．某几何体的正视图如图所示，则该几何体的俯视图不可能的是9．已知F 1,F 2是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆上，且122F PF π∠=记线段PF 1与轴的交点为Q ，O 为坐标原点，若△F 1OQ 与四边形OF 2PQ 的面积之比为1: 2，则该椭圆的离心率等于A ．2-B ．3-C ．4-D 110．集合M={a ,b ,c}⊆{—6，—5，—4，—2，1，4}．若关于x 的不等式20ax bx c ++<恒有实数解，则满足条件的集合M 的个数是 A ．6 B ．7C ．8D ．9第Ⅱ卷（共100分）二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11．某公益社团有中学生36 人，大学生24 人，研究生16 人，现用分层抽样的方法从中抽取容量为19 的样本，则抽取的中学生的人数是 ． 12．已知函数||3,0,()((2))4,0,x x f x f f x x +≤⎧=⎨->⎩则= 。
2012年二模考试试题分类几何综合学生版
2012年北京市中考数学二模分类汇编——几何综合与中点有关的问题1.(昌平24) 如图，D 是△ABC 中AB 边的中点，△BCE 和△ACF 都是等边三角形，M 、N 分别是CE 、CF 的中点.（1）求证：△DMN 是等边三角形；（2）连接EF ，Q 是EF 中点，CP ⊥EF 于点P . 求证：DP ＝DQ .同学们，如果你觉得解决本题有困难，可以阅读下面两位同学的解题思路作为参考：小聪同学发现此题条件中有较多的中点，因此考虑构造 三角形的中位线，添加出了一些辅助线；小慧同学想到要证明线段相等，可通过证明三角形全等，如何构造出相应的三角形呢？她考虑将△NCM 绕顶点旋转到要证的对应线段的位置，由此猜想到了所需构造的三角形的位置.2.（丰台24）在△ABC 中，D 为BC 边的中点，在三角形内部取一点P ，使得∠ABP =∠ACP ．过点P 作PE ⊥AC 于点E ，PF ⊥AB 于点F ．（1）如图1，当AB =AC 时，判断的DE 与DF 的数量关系，直接写出你的结论；（2）如图2，当AB AC ，其它条件不变时，（1）中的结论是否发生改变？请说明理由．图1 图23.(海淀25.)在矩形ABCD 中, 点F 在AD 延长线上，且DF = DC , M 为AB 边上一点, N 为MD 的中点, 点E 在直线CF 上（点E 、C 不重合）.（1）如图1, 若AB =BC , 点M 、A 重合, E 为CF 的中点，试探究BN 与NE 的位置关系及BMCE的值, 并证明你的结论;（2）如图2，且若AB =BC , 点M 、A 不重合, BN =NE ，你在（1）中得到的两个结论是否成立, 若成立,加以证明; 若不成立, 请说明理由;（3）如图3，若点M 、A 不重合，BN =NE ，你在（1）中得到的结论两个是否成立, 请直接写出你的结论.AEFPD CCE BAD F PF A ( M ) D N D A C E NM BFE C BF N M E C B3.（密云25）已知菱形ABCD 的边长为1，60ADC ∠=，等边△AEF 两边分别交DC 、CB 于点E 、F ．（1）特殊发现：如图1，若点E 、F 分别是边DC 、CB 的中点，求证：菱形ABCD 对角线AC 、BD 的交点O 即为等边△AEF 的外心；（2）若点E 、F 始终分别在边DC 、CB 上移动，记等边△AEF 的外心为P ． ①猜想验证：如图2，猜想△AEF 的外心P 落在哪一直线上，并加以证明；②拓展运用：如图3，当E 、F 分别是边DC 、CB 的中点时，过点P 任作一直线，分别交DA边于点M ，BC 边于点G ，DC 边的延长线于点N ，请你直接写出11DM DN+值．旋转变换在几何证明应用1.（延庆24）（1）如图1：在△ABC 中，AB =AC ，当∠ABD =∠ACD =60°时，猜想AB 与BD +CD数量关系，请直接写出结果 ；（2）如图2：在△ABC 中，AB =AC ，当∠ABD =∠ACD =45°时，猜想AB 与BD +CD 数量关系并证明你的结论； （3）如图3：在△ABC 中，AB =AC ，当∠ABD =∠ACD =β（20°≤β≤70°）时，直接写出AB 与BD +CD 数量关系(用含β的式子表示)。
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二模例题几何
1.某几何体的主视图与俯视图如图所示，左视图与主视图相同，且图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是
（A ）
203
（B ）
43
（C ）6 （D ）4
2．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图
是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，该几何体 的体积是_____；若该几何体的所有顶点在同一球面 上，则球的表面积是_____．
3.如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，P ，Q 分别是AA 1，
A 1D 1，CC 1，BC 的中点，给出以下四个结论：①A 1C ⊥MN ；②A 1C ∥平面MNPQ ；③A 1C 与PM 相交；④NC 与PM 异面．其中不．正确的结论是 (A) ① (B) ② (C) ③ (D) ④
4.已知m 和n 是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一
定能推出m ⊥β 的是
（A ）⊥αβ，且m ⊂α （B ）m ∥n ，且n ⊥β （C ）⊥αβ，且m ∥α （D ）m ⊥n ，且n ∥β 5.如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形，如果直 角三角形的直角边长都为1，那么这个几何体的表面积为 A ．
6
1 B ．
23
C
．32
4
+
D
．32
2
+
左
俯视图
主视图
P
M
1
A A
正视图 俯视图
侧视图
俯视图
侧（左）视图
主（正）视图
6.一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正三角形，则该几何体的侧面积为（
） （A ）24+（B ）24 （C ）3
8 （D ）
7.在正方体''''A B C D A B C D -中, 棱,','',''AB BB B C C D 的中点分别是,,,E F G H , 如图所示． （Ⅰ）求证：'AD ∥平面E F G ； （Ⅱ）求证：C A ’
⊥平面E F G ；
（Ⅲ）判断点,',,A D H F 是否共面? 并说明理由.
8.如图，四棱锥A B C D E -中，E A E B =，A B ∥C D ，
BC AB ⊥，CD AB 2=．
（Ⅰ）求证：ED AB ⊥；
（Ⅱ）线段EA 上是否存在点F ，使D F // 平面BC E ？若存在，求出
E F E A
；若不存在，说明理由．
C'
C
Q
P
B
A
C
D
9.如图所示，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，Q 是棱PA 上的动点． （Ⅰ）若Q 是PA 的中点，求证：PC //平面BDQ ； （Ⅱ）若PB =PD ，求证：BD ⊥CQ ；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若PA =PC ，PB =3， ∠ABC =60º，求四棱锥P -ABCD 的体积．
10如图，矩形A M N D 所在的平面与直角梯形M B C N 所在的平面互相垂直，M B ∥N C ,M N M B ⊥．
（Ⅰ）求证：平面AM B ∥平面D N C ； （Ⅱ）若M C C B ⊥，求证B C A C ⊥.
11.如图，四边形ABC D 为正方形，⊥EA 平面ABC D ，//EF AB ，=4,=2,=1A B A E E F .
（Ⅰ）求证：⊥BC AF ； （Ⅱ）若点M 在线段A C 上，且满足14C M C A =
,
求证：//EM 平面F B C ； （Ⅲ）试判断直线A F 与平面E B C 是否垂直？若垂
直，请给出证明；若不垂直，请说明理由.
12.如图，直四棱柱1111ABC D A B C D -中，底面A B C D 是菱形，且o
60ABC ∠=，E 为棱
C D 的中点.
（Ⅰ）求证：1//A C 平面1AED ； （Ⅱ）求证：平面1AED ⊥平面1C D D
.
B。