寿险精算数学2012秋

北京师范大学珠海分校应用数学学院寿险精算数学教案10数学精算方向2012年秋周伟2012/9/1寿险精算教案周伟2012年秋应用数学学院10级数学与应用数学专业精算方向周一 5，6节周三 3，4节单周五 3，4节丽泽楼B203课程相关：（1）要记忆公式多，在理解的基础上记忆重点公式，在练习的过程中加深理解和记忆（2）计算量大，准备计算器，推荐casio fx95，考试不能用手机代替计算器（3）教材：寿险精算中国精算是协会组编中国财政经济出版社（4）参考书：寿险精算数学王燕中国人民大学出版社（5）预习看教材，上课认真听讲，复习看笔记，认真完成练习（6）概率基础很重要，注意温习课程考核：（1）平时30分，期中考试30分，期末考试40分。

（2）平时30分中包含考勤，作业，网上练习，思考题（问题探究）时间星期一星期二星期三星期四星期五上午1，2微积分继教2-A2043，4建模 A10310数学建模 B20210信息寿险精算 B20310数学精算微积分继教（6-11）C305寿险单B203下午5，6寿险精算B203建模综合B106 单10数学双10信息微积分继教2-C4037，8高数综合B103高数单综合B103微积分继教（6-11）C301绪论保险精算学的产生与相关概念为了准确地评估和控制风险，精算学得以产生和发展。

人类面临许多严重的风险事故，可能会使全家突然陷入经济困境。

个人通常无法预测和避免风险事故的发生，但是可以通过风险转移的方式将风险事故可能造成的财务后果降到可以接受的程度。

例10000人为了转移1年内死亡后家庭陷入经济困境的风险，每人出资100元，共计筹款100万，假设一年内有一人死亡，获得100万解决家庭经济问题。

风险转移的实质是将具有相同风险的个人聚合成一个团体，团体成员的损失共同分担，这就实现了个人风险向团体的转移。

作用原理类似与物理学中的压力与压强的关系。

另一方面，将风险聚合起来有利于风险的预测和控制。

方差变小。

保险是实现风险转移最为有效的方式。

自愿、自由、公平地进行风险转移是一件非常复杂的事情。

保险人首先对风险进行分类，识别可保风险；然后运用统计、经济、社会学、金融学、计算机、法律等一系列专业知识进行消费者行为分析、可行性分析、资金需求分析、未来投资收益分析等一系列综合考虑，并采用恰当的数学模型厘定公平的费率；最后还要保证有足够的偿付能力履行预定的损失赔付责任。

这一系列复杂的工作就催生了保险精算学这一专业学科的产生与发展。

保险分为财产保险和人身保险两大类。

财产保险是以财产及其相关利益为保险标的，保险事故是财产的损失。

广义上包括财产损失保险（有形损失）、责任保险、信用保险。

人身保险是以人的生命和身体为保险标的的保险，保险事故是人的生、老、病、死、残等。

广义上包括人寿保险、健康保险和人身意外伤害险等。

保险事故不同，风险特征会有很大的差别，相应的精算方法也有很大的差异，实践中形成了用于寿险，非寿险，养老金，投资，社会保障等不同领域的精算体系。

保险人身保险人寿保险（寿险精算）健康保险（健康险精算）人身意外保险（意外险精算）财产保险财产损失保险（财险精算）责任保险（责任险精算）信用保险（信用险精算）寿险精算学是以人的生存或死亡为风险保障基础，主要研究寿险风险厘定的原理和方法。

它不仅对寿险业务的稳健经营有着重要的意义，对其他金融风险的分析和控制也有思想上和方法上的双重借鉴作用。

寿险精算学的主要研究内容不同险种的精算方法根据不同的标准，人寿保险可以分成不同的类型：以保险事故的不同，可分为死亡保险，生存保险和两全保险。

以保险赔付金额是否恒定，可分为定额收益保险，变额收益保险。

以保障其是否有限，可分为定期寿险和终身寿险。

以生效时间不同，可分为非延期保险和延期保险。

以保单价值如何计算，可分为传统保险，分红保险，万能保险和投资连接保险等。

万能寿险之“万能”，在于在投保以后可根据人生不同阶段的保障需求和财力状况，调整保额、保费及缴费期，确定保障与投资的最佳比例，让有限的资金发挥最大的作用。

万能险是风险与保障并存，介于分红险与投连险间的一种投资型寿险。

概率模型的构造大数定理保证了由大量的被保险人构成的一个大数群体而言，他们的寿命分布是有统计规律性的。

这就意味着，保险公司可以依靠概率统计的原理预测将来的风险。

因此概率模型将是我们构造寿险精算模型的主要工具。

精算参数的合理假定寿险精算中，基本参数主要有：死亡率、利率、赔付金额、费用率、退保率。

第一章 生存分布与生命表学习目标：了解常用生命表函数的概率意义、函数表达式及相互关系 了解生存分布与生命表之间的关系了解寿险生命表的特点与构造原理，掌握分数年龄生命表函数的计算方法人寿保险是以人的生命为保险标的，已被保险人在指定时期的生存或死亡作为保险金的给付条件，因此，精确估计被保险人的生命规律对风险分析和控制来说至关重要。

1.1 引言寿命随机变量X 表示新生婴儿死亡时的年龄。

F X (x )表示X 的分布函数。

F X (x )=Pr (X ≤x ),x ≥0表示新生婴儿于x 岁之前死亡的概率。

f X (x )表示X 的密度函数。

f X (x )=F X ′(x )。

s X (x )=1−F X (x )=Pr (X >x ),x ≥0。

表示新生儿于x 岁之后死亡，即x 岁仍存活的概率。

称为生存函数。

有时简记为s(x )。

f X (x )=−s′(x )。

注：(1)s (0)=1;(2)0≤s(x)≤1,x ≥0;(3)s(x)严格减;(4)s(+∞)=0,s(ω)=0。

补例 假设某地区人群生存函数s (x )=1−x 100,0≤x ≤100. 求（1）一个新生婴儿活不到50岁的概率； （2）一个新生婴儿寿命超过80岁的概率；（3）一个新生婴儿会在60-70岁之间死亡的概率； （4）一个活到30岁的人活不到60岁的概率； 补例 已知s (x )=√100−x10,0≤x ≤100,求f(75).例1-1 假设某地区人群的寿命随机变量X 的概率密度函数为f X (x )={2(100−x)10000,0≤x ≤1000,其他求：（1）该地区人群的生存函数；（2）该地区新生婴儿将在（70,80）之间死亡的概率。

剩余寿命(x ) 表示x 岁的生命（活人），(0)即为新生婴儿。

随机变量T(x ) 表示(x )的剩余寿命，即余命。

T(x )=X- x , X ≥x 。

有时简记为T 。

注：考虑剩余寿命的时候有附加条件，首先要活着。

寿命X剩余寿命T(x) 0 x 死亡年龄剩余寿命T(x)的分布函数F T (t )=Pr (T ≤t ),t ≥0表示(x)在未来t 年内死亡的概率。

即一个活到x 岁的人，活不到x +t 岁的概率。

简记为q t x 。

q t x =F T (t )=Pr (T ≤t )=Pr (X ≤x +t |X >x )=Pr (x <X ≤x +t )Pr (X >x )=s (x )−s (x +t )s (x )剩余寿命T(x)的生存函数s T (t )=Pr (T >t ),t ≥0表示(x)在未来t 年后死亡的概率。

即一个活到x 岁的人能活到x +t 岁的概率。

简记为p t x 。

p t x =s T (t )=Pr (T >t )=Pr (X >x +t |X >x )=Pr (X >x +t )Pr (X >x )=s (x +t )s (x )注: (1) X =T (0) ,q t 0=F X (t ),p t 0=s (t );(2) q t x +t p x =1;(3) p 1x =p x ,q 1x =q x ;(4) q t|u x =Pr (t <T ≤t +u )=Pr (x +t <X ≤x +t +u |X >x )=Pr (x +t <X ≤x +t +u )Pr (X >x )=s (x +t )−s (x +t +u )s (x )=q t+u x −q t x =p t x −(t+u )p x =p t x q u x+t表示(x)活到x +t 岁且在之后的u 年内死亡的概率。

这里用t| 来表示延期t 年; (5) q t|1x =q t|x =p t x q x+t . 例1-2 已知s X (x )=1−x 110，求 10p 30和 10|5q 25.补例 设某人群的生存函数s (x )=√100−x10,0≤x ≤100 ,求：（1）19岁的人至少还能再活45年的概率；（2）36岁的人能活到51岁但活不过64岁的概率。

作业 P25 1，18 取整余命记K(x)为(x)的剩余寿命T(x)的整数部分，K (x )=[T(x)]，离散型随机变量。

简记为K 。

Pr (K (x )=k )=Pr (k ≤T (x )<k +1)=p k x −k+1p x =q k|x例1-3 假设生存函数s (x )=√120−x 120,0≤x ≤120，求：(x)未来生命时间长度的整数部分为30的概率。

死亡力μ(x )=lim ∆x→0Pr (x <X ≤x +∆x |X >x )∆x =f X (x )s (x )=−s ′(x )s (x )=−d(lns (x ))dx指一个人能活到x 岁，然后在x 岁瞬间死亡的速率，称之为死亡力。

记为μ(x )或μx 。

注：(1) s (x )=exp (−∫u (s )ds x0)(2) p t x =s (x+t )s (x )=exp (−∫u (s )ds x+tx)(3) f X (x )=s (x )μ(x )=μ(x )∙ exp (−∫u (s )ds x0) (4) f T (t )=d dtF T (t )=d dt [s (x )−s (x+t )s (x )]=p t x ∙ μx+t思考题：（1）四个函数F X (x ),f X (x ),s (x ),μx 间关系；（2）考察寿命X 与T(x)的矩。

例1-4 已知μ(45+t )=1270−3t ，求q 1045。

注意，μ(45+t )=μ45(t),例如课后第四题。

补例 已知μ(x )=x 100,0≤x ≤100，求q 20|1040。

补例 设死亡力μx =1100 ,x ≥0.试求： （1）随机变量X 的分布函数和密度函数； （2）随机变量T 的分布函数和密度函数； （3）Pr (10<X ≤30)； （4）q 5|520。

作业 P26 4，5，9，10，12，13，14，151.2 生命表前面讨论了随机变量X 或T(x)的概率分布函数、生存函数、概率密度函数及死亡力函数。