23-25章 氢原子的量子力学处理方法(2011).
氢原子的量子力学理论讲义
DeBroglie Waves in Bohr's Model
（1）主量子数 n
En
mee42(4 0 )2 Nhomakorabea2
1 n2
,
n 1,
2,
3,
（2）角量子数 l
对于一个确定的 n 值，l = 0，1，2，…，n - 1，λ = l(l+1)
氢原子系统的轨道角动量 p l(l 1)
（3）磁量子数 m 对于一个确定的 l 值，m = l ， l - 1，…，0， … ，- l ，
径向函数 球谐函数
• 电子波函数的径向分布和角分布
电子的能量本征函数为径向函数和球谐 函数的乘积：
nlm (r) Rnl (r)Ylm ( ,)
电子的径向分布
Wnl
(r)
R2 nl
(r)r2
电子的角分布
Wlm ( ,) | Ylm ( ,) |2
设在空间（r,θ,φ）处体积元 dV 处发现电 子的几率为 Wnlm (r, ,)dV
m2
0
1
sin
d
d
sin
d
d
m2
sin2
0
1
r 2
d dr
r
2
dR dr
2me
2
E
e2
4 0 r
r2
R
0
式中m, 是常数
在能量E < 0的情况下，可解出方程满足标准条件
第九节氢原子的量子力学处理
2、角动量量子化与角量子数：
L l (l 1), l 0,1,2, n 1.
l叫角（动量）量子数，取值范围受到n的限制。
3、空间量子化与磁量子数：
Lz ml , ml l ,l 1,, l 1, l.
《大学物理》
教师：
胡炳全
三、斯特恩-盖拉赫实验，电子自旋
自旋磁量子数: s 1 / 2.
《大学物理》
教师：
胡炳全
第九节 氢原子的量子力学求解方法： 一、氢原子的薛定谔方程:
( r ) ( r ) ( r ) 2m e 2 [E ] (r ) 0 2 2 2 x y z 4 0 r
2 2 2 2
在极坐标下使用分离变量，即:
(r ) R(r )( )( )
电子自旋概念解释了斯特恩-盖拉赫实验的偶数条谱线的 结果，同时还解释了光谱精细结构等问题。
《大学物理》
教师：
胡炳全
氢原子中，电子的运动状态可以由四个量子数来确定：
主量子数 : n 1,2,3 角量子数 : l 0,1,2,n 1.
磁量子数 : ml 0,1,2, l.
2 l 2
二、量子数与氢原子相关物理量： 1、能量量子化与主量子数： 上述关于R的二阶微分方程有解的条件是：
me 4 1 1 En 2 13 .6 2 (eV ) 2 2(4 0 ) n n
n=1，2，3…叫氢原子的主量子数。它决定氢原子的能量。
《大学物理》
教师：
胡炳全
1、斯特恩-盖拉赫实验Leabharlann 《大学物理》教师：
胡炳全
测量结果：
•是分离谱线；说明空间量子化是确实的。 •但谱线条数是偶数。空间量子化的规律有新原因。 2、电子的自旋： 电子自旋角动量：
量子力学对氢原子的处理
(2)若 E<0, 即E=Ek+U<0 则 Ek＜U 根据其波函数必须满足的标准条件,解得
En
mee4
4
2 0
(2)2
1 n2
me4
8 02 h
2
1 n2
n=1,2,3,…
n 称为主量子数 n=1,2,3 ，…其决定着氢原子能量的取值。
5
n=1 ，称之为基态，代入有关数据,算得
E1 13.6eV
+
计算表明：
Lz ml ml 0,1,2...... l
Ml 称为磁量子数，其决定了电子角动量在空间的可能取向。 对于一个给定的 l ml=0， ± 1， ± 2，... ± l， 这时 L 在空间可以有 (2l+1) 个可能取向。
9
例：当 l=2 时， L 与轴的夹角可有如图的几种形式。 ml=0，± 1,± 2 ml=0 ，表示 L与 Z轴垂直 ,"±"表示 L 对 Z 轴正负向的投影,
l 0
2
对应于每一个能级有 n2 个简并态，
对应于每一个电子状态,需要三个量子数 n, l, ml 来描述。
11
3, … (n-1) 电子的状态 , 现仍沿用这些称号。 例如， n=2,l=0,1 就分别称之为 2 s态和 2 p 态，其对应关 系详见下节教材。 (3)简并现象，简并态,简并度
上面计算表明，对应于一个主量子数 n,可有 n 个不同的 l 值，也就是说，在同一能级，电子可取 n 个不同的角动量，电 子可取若干个不同的运动状态，这种现象称作 "简并" 现象。
d 2
d 2
ml
2
0
(1)
1
sin
氢原子的量子力学处理方法
2s
n=2
2p
4
2P 在 几率最大
3p
3s
n=3
3d
3d在
几率最大
9
比较:量子力学与玻尔理论的异同
玻尔理论
量子力学
异:
电子只允许出现在轨道上
r从 电子都可能出现
同:
轨道 r
几率最大处
6.电子的自旋角动量量子化
实验证明，电子存在自旋运动
自旋角动量
n=1,2,3........称为主量子数
当E>0时，R(r)总有解，即E是连续的
3.角动量的量子化
可以证明，当角动量为下式给出时，方程（2），（3）才有解
这说明角动量只能取由l 决定的一系列分立值，即角动量也是量子化的，称l 为副量子数，或角量子数 。
4.空间的量子化
角动量是矢量，其在空间的方位取向是不连续的，而且 L 在 Z 方向的投影值必须满足：
自旋量子数
Z方向投影
自旋磁量子数
总之，描述原子中的电子状态共有四个量
3. 磁量子数
决定电子绕核运动角动量的空间取向
4. 自旋量子数
决定电子自旋角动量的空间取向
1. 主量子数 n=1,2,3..... 决定电子在原子中的能量
2. 角量子数 l=1,2,3.....n-1 决定电子绕核运动的角动量
共 2l+1 个值
空间量子化示意图
0
1
2
3
2
3
1
0
1
2
2
1
0
1
1
l
.
0
l
=
0
l
=
1
l
=
2
l
氢原子的量子力学理论
角量子数
角量子数（l）：描述电子在核周围的角动量，取值范围为0 到n-1的正整数。
角量子数决定了电子的角动量，进而影响电子云的形状和 方向。
磁量子数
磁量子数（m）：描述电子在磁场中的取向，取值范围为-l到l的正整数。
磁量子数决定了电子在磁场中的自旋方向和状态，是描述电子自旋状态的量子数 之一。
波函数具有全同性，即对于任意实数a和b，若将波函数中的x替换为ax+b， 其概率幅不变。
波函数具有连续性，即它在整个空间中是连续的，没有跳跃或间断点。
波函数具有周期性，即对于某些特定的能级，波函数可能呈现出周期性振 动的模式。
03
氢原子的波函数
径向波函数
定义
径向波函数描述了电子在核周 围不同半径的分布概率。
氢原子光谱在实验室和天文观测中都有广泛应用。在实验室中，可以通过控制氢原子所处的环境，如 温度、压力等，来研究其光谱特性，进而了解物质的基本性质。在天文学领域，通过对氢原子光谱的 观测和分析，可以研究宇宙中氢气分布、星系演化等重要问题。
原子钟
原子钟是一种利用原子能级跃迁频率 作为计时基准的精密计时仪器。其中， 氢原子钟是其中一种较为精准的原子 钟。
自旋量子数
自旋量子数（s）：描述电子的自旋状 态，取值范围为±1/2。
自旋量子数决定了电子的自旋方向， 是描述电子自旋状态的唯一量子数。
能级与能级间距
能级
由主量子数、角量子数、磁量子数和自旋量子数共同决定，不同能级对应不同的能量状 态。
能级间距
相邻能级之间的能量差值，与主量子数和角量子数有关，随着主量子数的增加而减小。
量子力学是描述微观粒子运动规律的 物理学分支。
氢原子中的量子力学
氢原子中的量子力学量子力学是物理学中的基础理论之一，它在解释微观世界中的现象和规律方面发挥着重要作用。
氢原子作为量子力学研究的经典模型之一，对于理解量子力学的基本原理和应用具有重要意义。
本文将对氢原子中的量子力学进行探讨和分析。
1. 氢原子的结构在研究氢原子的量子力学前，我们需要了解氢原子的基本结构。
氢原子由一个质子和一个电子组成，其中质子带正电荷，电子带负电荷。
质子位于氢原子的中心，被一个电子绕着围绕。
氢原子的结构可以用量子力学的波函数来描述。
2. 薛定谔方程薛定谔方程是量子力学的核心方程，用于描述微观粒子的行为。
对于氢原子来说，薛定谔方程可以写为：HΨ = EΨ其中H是哈密顿算符，Ψ是波函数，E是能量。
通过求解薛定谔方程，可以得到氢原子各个能级的波函数和能量。
3. 氢原子的能级和波函数根据薛定谔方程的求解结果，氢原子具有一系列离散的能级。
每个能级对应着不同的能量和波函数。
能级的能量大小与主量子数n有关，主量子数n越大，能级越高。
波函数则用于描述电子在不同能级上的空间分布。
4. 轨道角动量和磁量子数与经典力学不同，量子力学引入了轨道角动量概念。
在氢原子中，电子围绕质子运动形成了各种可能的轨道。
轨道角动量的大小由量子数l决定，而轨道的形状由量子数l和磁量子数m决定。
具体来说，轨道角动量大小为√(l(l+1))ħ，其中ħ为普朗克常数除以2π。
5. 能级跃迁和光谱氢原子的能级之间存在跃迁现象，当电子从一个能级跃迁到另一个能级时，会吸收或辐射能量。
这种能级跃迁的现象在光谱研究中得到了广泛应用。
通过观察氢原子的光谱，我们可以了解到能级之间的能量差异和波长特性。
6. 精细结构与自旋在考虑相对论效应后，氢原子的能级结构发生了微小的变化，形成了精细结构。
精细结构与电子的自旋状态有关，自旋可以取两个值：向上和向下。
通过考虑自旋，我们可以得到更加精确的氢原子能级和波函数。
7. 氢原子的波函数叠加在量子力学中，波函数可以叠加，形成各种可能的状态。
量子力学中的氢原子结构分析
量子力学中的氢原子结构分析量子力学是一个让人感到神秘的学科，从微观角度研究原子和分子的行为和相互作用。
氢原子是量子力学中最简单的单电子原子，其结构对于研究其他多电子原子和分子具有重要意义。
本文将介绍氢原子结构的量子力学理论和现实应用。
1. 氢原子的波函数和能级量子力学中，波函数是用来描述粒子在空间中波动和存在的函数。
氢原子中电子的波函数可以用Schrodinger方程求解，得到如下公式：$\psi_{n,l,m}(r,\theta,\phi)=R_{n,l}(r)Y_{l,m}(\theta,\phi)$其中，$n$为主量子数，$l$为角量子数，$m$为磁量子数，$r$为离子半径，$Y_{l,m}$为球谐函数。
氢原子的能级也可以根据波函数求得。
具体方法是计算氢原子中电子的哈密顿算符在波函数上的期望值，得到：$E_n=-\frac{me^4}{8\epsilon_0^2h^2n^2}$其中，$m$为电子质量，$e$为电子电荷，$\epsilon_0$为真空介电常数，$h$为普朗克常数。
这个公式称为Bohr模型，与实验值相比，精度较高，但仍会有误差。
2. 氢原子的谱线和光谱学氢原子发射光线的频率可以通过与氢原子内部能级的差值相对应。
这些频率形成了光谱线，分为巴尔末系（Balmer series）、洪特姆系（Lyman series）、帕舍尼亚系（Paschen series）等。
巴尔末系中电子从$n\geq3$的能级跃迁到$n=2$的电子能级，所产生的光谱线包括Bα、Bβ等。
这些线可以被用来确定物质的组成和温度等特征。
除了发光谱线，氢原子还可以吸收谱线。
在光谱学中，通过测量吸收谱线的强度和波长，可以确定物质的成分和性质。
而通过对氢原子谱线的研究和分析，可以深入了解物质和电磁辐射之间的相互作用。
3. 氢原子的电离和激发氢原子被电离（即，从基态跃迁到自由电子状态）所需要的能量称为氢原子的电离能。
氢原子的电离能是一个常见的物理量，被用来描述和比较物质的化学性质。
氢原子的量子力学描述电子自旋
荷兰物理学家塞曼发现，在强磁场中，一些元素的光谱线会发生分裂，分裂后 的线距与磁场强度有关。这一现象证明了电子具有自旋特性。
斯特恩-盖拉赫实验
德国物理学家斯特恩和盖拉赫通过实验发现，原子在强磁场中会发生偏转，偏 转方向与电子自旋方向有关。这一实验进一步证实了电子自旋的存在。
电子自旋的数学描述
05 氢原子量子力学与经典物 理的区别与联系
波粒二象性
总结词
波粒二象性是指量子力学中的基本特性，即粒子可以同时表现为波和粒子。在氢原子中，电子的波粒二象性表现 为其运动状态的波动性和粒子性。
详细描述
在经典物理中，物体被视为具有确定位置和速度的粒子，其运动轨迹可以精确描述。然而，在量子力学中，电子 等微观粒子被视为波和粒子的结合体，其位置和动量不能同时确定，而是存在不确定性。这种不确定性是由测不 准原理所限制的。
氢原子的量子力学描述电子自旋
目录
• 引言 • 电子自旋的发现与理解 • 氢原子的量子力学描述 • 电子自旋在氢原子中的应用 • 氢原子量子力学与经典物理的区别与联系 • 氢原子量子力学描述的实验验证与实际应
用 • 总结与展望
01 引言
氢原子简介
01
02
03
原子核
由一个质子组成，带正电 荷。
电子
电子自旋的量子化是量子力学的基本特征之一，对于理解物质的本质和性质具有重要意义。通过研究 氢原子的电子自旋，我们可以进一步探索其他复杂原子的电子自旋行为，为深入理解物质结构和性质 奠定基础。
对氢原子量子力学描述的进一步研究
氢原子是最简单的原子，其量子力学 描述相对较为简单。然而，对于更复 杂的原子和分子，其量子力学描述会 更加复杂。通过对氢原子量子力学描 述的进一步研究，我们可以探索更复 杂系统的量子力学行为，为解决实际 问题提供理论支持。
氢原子的量子理论
1)
R
0
(1) (2)
(3)
其中 m 和 l 是引入的常数。
解此三个方程，并考虑到波函数应满足的
标准化条件，即可得到波函数 (r, , )
并且可得到： 能量量子化 角动量量子化 角动量空间量子化
三个量子数
1.能量量子化和主量子数
求解方程(3) ，并使 R ( r ) 满足标准化条件，求得 E必等于
32 2022
1 n2
L l(l 1)
Lz m
对于给定的 n ，l 可以有n 个值
对于给定的 l ，m 可以有 2l+1 个值
对于给定的 n ，可能的波函数(状态)数量
n1
N (2l 1) n2 简并度
l 0
n 1, 2 , 3 ,
K, L, M, N, …… 壳层
l 0,1, 2 , , n 1
26.5.2.原子的壳层结构
原子中的电子 n , l , m , ms
壳层 n 1, 2,3, K, L, M, N, …… 壳层
次壳层 l 0, 1, 2 , , n 1 s, p, d, f, g, …… 次壳层
如：n = 3, l = 0, 1, 2 分别称为3s态,3p态,3d态
电子在原子内的分布 多电子原子系统中，核外电子在不同的壳层上
r 2 r r r 2 sin
r 2 (sin )2 2
同乘 r 2/RY,并且移项
1 R
d dr
(r 2
dR ) dr
K 2r2
Y
1 sin
(sin
Y
)
Y
1 (sin
)2
2Y
2
1 R
d dr
(r 2
《氢原子的量子理论》课件
2 自旋标度符号
解释自旋标度符号和自旋 的相对性质，以及它们在 波函数描述中的作用。
3 自旋磁量子数
探索氢原子自旋磁量子数 和简并度，及其对态的能 量和性质的影响。
结论
1 氢原子量子理论的应用
总结氢原子量子理论在原子物理和量子力学研究中的重要应用和意义。
2 未来研究方向
探讨氢原子量子理论未来可能的发展方向和研究领域。
讨论氢原子能级的计算方法和能量本征值的物理意义。
2
能级简并
解释氢原子能级简并现象的原因和如何计算简并度。
3
能量本征函数
介绍氢原子的能量本征函数及其在波函数中的应用。
氢原子的辐射
发射光谱
吸收光谱
探索氢原子的发射光谱现象，解 释辐射能级跃迁和光谱线的产生。
讲解氢原子的吸收光谱，如何分 析和应用能级的吸收特性。
3 社会意义
思考氢原子量子理论对社会和技术的影响，以及潜在的实际应用。
氢原子的波函数
讨论氢原子的波函数表达和 意义，以及如何计算和解释 波函数。
氢原子的波函数
1 主量子数
介绍氢原子主量子数及其在波函数中的作用和意义。
2 角量子数
解释氢原子角量子数的概念和用途，以及与轨道形状的关系。
3 磁量子数
探讨氢原子磁量子数的含义和作用，以及在磁场中的行为。
氢原子的能级
1
能量本征值
等相球面模型
介绍氢原子的等相球面模型，解 释电子在不同能级之间的跃迁规 律。
氢原子的旋磁量子数
1定则和跃迁的概率。
2 符号约定
解释氢原子量子数的符号约定，如何表示和计算旋磁量子数。
3 柯塞特定理
介绍柯塞特定理和它在解析解中的应用，以及旋转对称性的影响。
氢原子与量子力学
氢原子与量子力学在自然界中，氢原子是最简单的原子之一，由一个质子和一个电子构成。
它的基本性质和行为可以通过量子力学来解释和理解。
量子力学是一种描述微观世界的物理学理论，它提供了解释原子和分子行为的理论框架。
量子力学告诉我们，原子的能量是离散的，即只能取具有特定数值的能量。
这个能量的分立性质可以通过考虑氢原子的波函数来解释。
波函数描述了一个粒子的性质，包括其位置和动量。
在氢原子中，电子围绕着质子运动，形成一个电子云。
根据量子力学的原理，电子不处于确定的轨道上，而是存在于一系列可能的状态中。
每个状态由一对整数（n，l）来描述，其中n代表主量子数，l代表角量子数。
主量子数定义了电子的能级，而角量子数定义了电子的轨道形状。
氢原子的波函数可以用数学方程式来描述，即薛定谔方程。
这个方程可以解出电子的波函数和相应的能级。
薛定谔方程给出了氢原子中电子分布的概率密度，即电子出现在各个位置的可能性。
根据薛定谔方程的解，氢原子的能级是离散的，即只能取特定的数值。
这些数值被称为能级，用整数表示。
能级从低到高依次排列，能级越高，电子的平均距离质子越远。
氢原子的能级之间的跃迁可以通过吸收或发射光子来观察到。
当电子从一个能级跃迁到另一个能级时，它会吸收或释放特定频率的光子。
这种现象被称为光谱。
根据氢原子的能级结构，可以预测和解释氢原子的光谱线。
除了能级结构和光谱之外，量子力学还可以解释氢原子的其他性质。
例如，根据波函数，可以计算出电子的平均位置和动量，以及其不确定性。
不确定性原理指出，无法同时准确知道一个粒子的位置和动量。
此外，量子力学还可以描述氢原子的自旋。
自旋是电子的一种内禀性质，类似于一个带电的旋转。
自旋有两个可能的方向，即上旋和下旋。
根据量子力学的规则，自旋不能够同时具有确定的值，只能有一个或另一个。
综上所述，氢原子作为最简单的原子之一，可以通过量子力学来解释和理解其行为。
量子力学的波函数和薛定谔方程提供了描述和预测氢原子的能级结构和光谱的工具。
23-25章 氢原子的量子力学处理方法(2011)
P
11
为了解释斯特恩——盖拉赫实验 1925年，乌仑贝克-----哥德斯密特提出电子自旋假说 认为电子不是一个简单的点电荷，电子绕 核运动的同时，还绕自身的轴自旋。就像 地球绕太阳转一样，有公转还有自转。
量子力学结论： 电子的自旋角动量是矢量 S
其大小为： S
L l (l 1) 决定电子绕核运动的角动量大小
（3）磁量子数 ml 0,1,2,... l 共有 2 l + 1 个值
Lz ml 决定电子绕核运动的角动量矢量在空间的取向 1 mS （4）自旋磁量子数 只有两个取值 2
Sz mS
决定电子自旋角动量矢量在空间的取向
(r , , ) R(r )( )( )
用分离变量法令
代入上式，薛定谔方程分离成三个微分方程
2013-12-2 量子5-yao
4
d2 ml2 0 2 d
①
ml2 1 d d (sin ) [l ( l 1) ] 0 ② 2 sin d d sin
1 1， ms 2
1 n = 3，l = 1，ml = 2 1 n = 3，l = 0，ml = 0， ms 2
-1，ms
其中可以描述原子中电子状态的是 (A) 只有(1)和(3)． (B) 只有(2)和(4)． (C) 只有(1)、(3)和(4)． (D) 只有(2)、(3)和(4)．
L 取值由 l 决定，l 取值个数由n决定， n定，L共取 n 个值 实验表明量子力学是正确的!
2013-12-2 量子5-yao
8
3、角动量空间取向量子化
L
l (l 1)
电子绕核运动的角动量 L 是矢量 求解方程①的过程中得到结论，在外磁场中， 角动量L在外磁场方向的投影LZ是量子化的
氢原子的量子力学描述
氢原子的量子力学描述氢原子是最简单的原子，也是量子力学的经典案例之一。
在量子力学的描述中，氢原子的性质可以通过薛定谔方程来研究。
本文将从波函数、能级、角动量等方面对氢原子的量子力学描述进行详细介绍。
我们来介绍氢原子的波函数。
波函数是描述粒子在空间中的概率幅的函数。
对于氢原子而言，其波函数可以通过求解薛定谔方程得到。
波函数的模的平方表示了粒子存在于某一位置的概率密度。
对于氢原子而言，其波函数有一些特殊的解，分别对应不同的能级。
这些能级由主量子数n来标记，其中n=1,2,3...。
每个能级对应的波函数都具有特定的空间分布，这些分布在球坐标系中可以用球谐函数来描述。
接下来，我们来介绍氢原子的能级。
根据量子力学的理论，氢原子的能级可以通过求解薛定谔方程得到。
能级的大小由主量子数n来决定，能级越高，主量子数n的值越大。
每个能级都具有固定的能量，能量越高，能级越远离原子核。
而能级之间的能量差是不连续的，这就是量子力学的离散性质。
除了能级外，氢原子还具有角动量。
角动量是描述粒子旋转运动的物理量，对于氢原子而言，其角动量由轨道角动量和自旋角动量两部分组成。
轨道角动量是由电子围绕原子核运动而产生的，而自旋角动量是电子自身的固有性质。
氢原子的轨道角动量由量子数l来标记，其取值范围为0到n-1，其中n为主量子数。
自旋角动量由量子数s来标记，其取值为1/2。
这些角动量的取值对应着不同的能级和波函数，它们在氢原子的能级结构中起到重要的作用。
总的来说，氢原子的量子力学描述涉及到波函数、能级和角动量等方面。
波函数可以描述粒子在空间中的分布情况，能级则决定了粒子的能量和空间分布，而角动量则描述了粒子的旋转运动。
这些描述对于理解氢原子的性质和行为具有重要的意义，也为量子力学的发展提供了重要的范例。
通过对氢原子的量子力学描述的研究，我们可以更好地理解量子世界的奥秘。
原子中的电子1氢原子的量子力学处理2电子自旋共99页
END
原子中的电子1氢原子的量子力学处理2 电子自旋
61、辍学如磨刀之石，不见其损，日 有所亏 。 62、奇文共欣赞，疑义相与析。
63、暧暧远人村，依依墟里烟，狗吠 深巷中 ，鸡鸣 桑树颠 。 64、一生复能几，倏如流电惊。 65、少无适俗韵，性本爱丘山。
16、业余生活要有意义，不要越轨。——华盛顿 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。——罗素·贝克 18、最大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。——马云 19、自己活着，就是为了使别人过得更美好。——雷锋 20、要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。——布尔沃
氢原子的量子力学描述
氢原子是最简单的原子，核外只有一个电子绕核运动，质子和电子之间存在库仑相互作用。
由于质子的质量是电子质量的大约2000倍，一般可以建立一个坐标系，把坐标原点取在质子上。
电子受原子核的库仑场作用，势能函数为：r e r U 024)(πε-=0222=-+∇)r ()]r (U E [m )r ( ψψ0)()4(2)(0222=++∇r r e E m r ψπεψ由于氢原子具有球对称性，可用球坐标系表示定态薛定谔方程：)(sin sin 1)(1222θψθθθψ∂∂∂∂+∂∂∂∂r r r r r 0)4(2sin 10222222=++∂∂+ψπεϕψθr e E m r 其解一般为的函数：ϕθ,,r ),,(ϕθψψr =定态薛定谔方程设波函数为)()()(),,(ϕθϕθψΦΘ=r R r 代入球坐标系的薛定谔方程，在求解波函数时，考虑到波函数应满足的单值、有限、连续以及归一化的标准化条件，可得到氢原子的量子化特征。
我们主要对一些重要的结论进行讨论。
()),3,2,1(12422204 =⋅-=n nme E n πε1. 能量量子化 主量子数求解薛定谔方程，得到氢原子的能量为n — 主量子数注意：⑴ 氢原子能量是一系列离散值 —— 反映能量量子化能级间隔随主量子的增大而减小，↓∆↑⇒E n ⑵ 最低能级对应1=n eV E 6.131-=基态能量eV nE n 26.13-=采用分离变量法，可得到三个常微分方程，分别求解出相应的函数和量子数。
n =1 基态能量eV 6.131-=E eV 6.131=-∞E E n = 2,3,… 对应的能量 称为激发态能量eV 40.32-=E eV 51.13-=E 当 n 很大时，能级间隔消失而变为连续值对应于电子被电离∞=n 当 ，0=∞E ∞=n 11E 232E 3E 454E ∞E ∞2. 角动量（动量矩）量子化 角量子数电子绕核运动 求解薛定谔方程结论：电子绕核运动的转动角动量是量子化的)1(+=l l L 角动量— l 副量子数（角量子数）氢原子的电子电离能为：eV n E n 26.13-=氢原子能量公式)1(,,2,1,0-=n l氢原子中电子的量子态n =1n =2n =3n =4n =5n =6l = 0l = 1l = 5l = 4l = 3l = 2( s )( p )( h )( g )( f )( d )1s 5f 5d 5p 5s 6s 6p 6d 6f 6g 6h 4s 3s 3p 4f 3d 4p 4d 5g 2p 2s )1(+=l l L 共有 n 个可能的取值用,,,,f d p s 分别代表 ,3,2,1,0=l 等各个量子态玻尔的旧量子论与量子力学描述电子运动的角动量量子化的区别注意：若 l = 0有 L = 0电子的概率分布具有球对称性角动量为零)1(,,2,1,0-=n l 角动量（动量矩）量子化3. 空间量子化（空间取向量子化） 磁量子数角动量空间取向是量子化的—— 电子运动具有角动量量子化波函数 电子运动相当于一圆电流圆电流具有一定磁矩 磁矩在外磁场作用下具有一定取向 电子运动的磁矩方向与其角动量方向相反 电子转动角动量方向有确定的空间取向ZB , LθμzL o 经典理论：空间取向连续θ可取π→0的任意值量子力学：空间取向不连续z L ，只取一系列的离散值 m L z =ll l l l m -----=),1(,,2,1, 角动量空间取向是量子化的 m —— 磁量子数对应一个角量子数 l ，角动量有 2 l +1个取值例 11=l 1,0±=m Z B , o -例 22=l 2,1,0±±=m Z B , o- 22- 6)1(=+=l l L 2=L 21=+=)l (l L 例 3 设氢原子处于2 p 态，试分析氢原子的能量、角动量大小及角动量的空间取向？解：2 p 态表示： n = 2, l = 1得eV 40.32-=E 角动量的大小为2)1(=+=l l L 当 l =1 时，磁量子数 m l 的可能值：-1, 0, +1，则角动量方向与外磁场的夹角的可能值为：⎪⎩⎪⎨⎧=+=4324)1(arccos πππθl l m l eV 6.132nE n -=4. 电子云 （Electron cloud ）—— 电子的概率分布电子在绕核运动中无固定点、无轨道概念，只能用各处出现的概率来描述电子运动的状态，故用电子云的密度形象地显示概率分布。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
0
L0
n 2时
l 0,1
l 0,1,2
量子5-yao
L 0, 2
L 0, 2 , 6
7
n 3时
2018/12/16
量子力学与玻尔理论角动量量子化公式的区别： 玻尔理论:
L n
n 1, 2, 3,
L 取值由 n 决定，n定，L定 量子力学： L
l (l 1)
2018/12/16
ml 0,1
量子5-yao
L 6
ml 0,1,2 LZ 0,,2
角动量空间取向量子化示意图：
Lz
Lz
ml 2
0
ml 1
ml 0
2
0
ml 1 ml 0 ml 1 ml 2
L 6
10
ml 1
1 m S 称自旋磁量子数，只有两个取值 m S 2
ms 的物理意义： 决定电子自旋角动量矢量在空间的取向 引入电子自旋概念后，用电子自旋角动量在空间取 向量子化使斯特恩——盖拉赫实验得到解释 而斯特恩——盖拉赫实验又证实了电子自旋的存在
2018/12/16 量子5-yao
---自旋角动量空间 取向量子化公式
2、能量最小原理 原子系统处于正常状态时，各电子总是优先地占据 能量最低的能级 对于多电子原子能量 E 由 n , l 决定 下面根据两个原理讨论电子在核外是怎么排列的
2018/12/16 量子5-yao
16
根据泡利不相容原理，电子在各壳层最多容纳的电子数:
对于： n 1
壳层符号为： K 各壳层分 l 0 为分壳层： s
(r , , ) R(r )( )( )
用分离变量法令
代入上式，薛定谔方程分离成三个微分方程
2018/12/16 量子5-yao
4
d2 2 m l0 2 d
①
ml2 1 d d (sin ) [l ( l 1) ] 0 ② 2 sin d d sin
2018/12/16
P ( r , , )
量子5-yao
x
y
3
1 1 2 (sin ) (r ) 2 2 r sin r r r
2m e 1 2 2 (E ) 0 2 2 r sin 40 r
2
2
式中：
( r , , )
2
l2
量子5-yao
l 1 L 2
L有五个可能的方向
4、自旋角动量空间取向量子化 先分析1921年斯特恩—盖拉赫实验，看电子有自旋吗？
l 0 态的原子射线束，
S
Ag
N
通过非均匀磁场
Z
实验结论：一束分裂为二束 理论解释：分裂的条束=角动量在空间取向的个数 l=0 时, ml 0 应该不分裂 这种分裂不能用角动量在空间取向量子化来解释
在多电子原子中，电子运动状态由几个量子数确定？ 核外电子怎么排列？ 多电子原子系统的结论： 核外电子的状态仍由四个量子数 n l
ml mS 确定
在多电子原子中，电子按壳层排列，排列时遵循 泡利不相容原理和能量最小原理 下面先讨论这两个原理
2018/12/16 量子5-yao
15
1、泡利不相容原理
在一个原子中,任何两个电子的四个量子数不能完全相同
1 d 2 dR 2m e2 2 l ( l 1) (r ) 2 [E ]R 0 ③ 2 2 r dr dr 4 0 r 2m r
式中的 l 和 ml 都是整数
求解氢原子波函数，化为求三个微分方程问题
求解过程中得到三个量子化公式 下面利用量子化公式讨论氢原子中电子是怎么运动的
ZL Z B
o
LZ ml
---角动量空间取向量子化公式 称磁量子数
共有( 2l 1 )个值
ml 0,1,2,... l
例:
l 0时
磁量子数的物理意义： 决定角动量矢量在空间的取向
L 0 ml 0
L 2
LZ 0
LZ 0,
9
l 1时
l 2时
| ( x , y , z ) | = 几率密度
2
2018/12/16 量子5-yao
2
第25章 氢原子的量子力学处理方法
一、氢原子中电子运动的薛定谔方程
原子核：M 、 e e 电子： m、
e r
求解的思路: 场具有球对称性，用球坐标求解方便 把电子的位置用变量 r , , 表示 M
1 1， m s 2
1 n = 3，l = 1，ml = 2 1 n = 3，l = 0，ml = 0， ms 2
-1，ms
其中可以描述原子中电子状态的是 (A) 只有(1)和(3)． (B) 只有(2)和(4)． (C) 只有(1)、(3)和(4)． (D) 只有(2)、(3)和(4)．
Lz ml 决定电子绕核运动的角动量矢量在空间的取向 1 mS （4）自旋磁量子数 只有两个取值 2
Sz mS
决定电子自旋角动量矢量在空间的取向
量子5-yao
2018/12/16
14
三、多电子原子系统
当原子核外有两个以上的电子时，除了考虑电子与核 的相互作用之外，还要考虑电子之间相互作用，求解 这样系统的薛定谔方程要相当复杂。
6
6 6 6 6 6 6
2
10 10 10 10 10
6
14 14 14 14
2
18 18 18
10 6
2 8 18 32 50
1s 2s 2 p 3s 3 p 4s 3d 4 p 5s
2018/12/16 量子5-yao
2
18
一、四个量子数
内容小结
E1 （1）主量子数 n 1,2,3,... 决定原子的能量 E n 2 n （2）角量子数 l 0,1,2,...,n 1 共有n个值
2018/12/16
量子5-yao
23
30、在氢原子的L壳层中，电子可能具有的量子数 (n，l，ml，ms)是
(A) (1，0，0， (C) (2，0，1，
卢瑟福实验--------------原子的有核模型； 戴维逊-革末实验-------电子的波动性； 斯特恩-盖拉赫实验----电子的自旋；
2018/12/16
量子5-yao
21
29、有下列四组量子数： 1 m (1) n = 3，l = 2，ml = 0， s 2 (2) n = 3，l = 3，ml = (3) (4)
内容回顾
1.描述微观粒子运动状态的物理量 波函数
( x , y , z , t )
2. 波函数的物理意义
波函数本身无实际的物理意义 用几率密度 | ( x, y, z , t ) |2 描述粒子运动状态
3.波函数的归一化条件 4. 波函数的标准化条件
2018/12/16
2 | | dV 1 V
s( s 1) ---自旋角动量公式
3 S 2
12
1 s 叫自旋量子数 只有一个值 s 2
2018/12/16 量子5-yao
为了解释实验，乌仑贝克-----哥德斯 密特又提出电子的自旋角动量在外 磁场中空间取向是量子化的假说， 用Sz表示S在外磁场方向的投影，则有
Sz
2
S z mS
L l (l 1) 决定电子绕核运动的角动量大小
（3）磁量子数 ml 0,1,2,... l 共有 2 l + 1 个值
Lz ml 决定电子绕核运动的角动量矢量在空间的取向 1 mS （4）自旋磁量子数 只有两个取值 2
Sz mS
决定电子自旋角动量矢量在空间的取向
有界、单值、连续
量子5-yao
1
5、量子力学处理微观粒子运动的基本方法（定态问题）
2m ( 2 2 ) 2 [ E U ] 0 2 x y z
2 2 2
① 建立薛定谔方程 把粒子的质量 m 及势能 U 的具体形式代入上式 ② 解薛定谔方程 薛定谔方程的解 ( x , y , z ) 即定态波函数 利用波函数的标准条件，归一化条件定波函数中系数 ③ 求波函数模的平方
1s 2 2 s 2 2 p6 3s 2 3 p6 4s 2 3d 10 4 p6 5 s 2 4d 10
2018/12/16 量子5-yao
20
8. 直接证实了电子自旋存在的最早实验之一是 （A）康普顿实验 （B）卢瑟福实验 （C）戴维逊一革求实验 （D）斯特恩一盖拉赫实验
康普顿实验--------------光的粒子性；
在 n 壳层上最多能容纳的电子数： Z n 2( 2l 1) 2n 2
l 0
2018/12/16 量子5-yao
l0
n 1
17
根据两个原理电子在核外填充的次序如图：
l
n 1 2 3 4 5 6 7
2
0
s
1
p
2
d
3
f
4 Z 2n2
g
K L M N O P Q
2
2 2 2 2 2 2 2
2 L 1 p 2 d
3 M 3 f
4 N
5 O 4 g 5 h
2 n 1 有 n 个取值 m 0 1 2 l 有 2l 1 个取值 n 给定时,则 l 1 有两个取值 ms 2 在 l 壳层上最多能容纳的电子数： Z l 2 ( 2l 1) 1
2018/12/16 量子5-yao
6
2、角动量量子化
在求解方程②时，得到电子绕核运动的角动量大小