船舶航向控制线性二次高斯自校正调节器的设计

-1
( 4 ) 给出了 Q z + H T ( z - 1 ) H ( z ) 的谱因子分解 .
对于单输入 2 单输出 ( SISO) 系统 , 假设 Q 1
T = C C 及 Q 2 = ρ,令
相关随机变量序列 . 二次型性能指标为 t 1 2 2 J lq = E lim [ y ( k ) + ρu ( k ) ] ∑
Peterka 和 Ast rom 提出
[1 ]
1 L Q G 调节器的一般理论
线性二次高斯 ( L Q G) 问题的解可以由分离 定理给出 ,即最优控制策略可分解为两部分 : 第一 部分是状态估计器 , 它根据观测输出信号给出状 态的最佳估计值 ; 第二部分是由被估计状态得到 线性反馈律 . 后者可以通过解确定性线性二次 (L Q ) 最优控制问题来确定 . 在实际应用中 ,对 L Q 控制问题往往只求解 Riccati 方程的稳态解 ,它可 用数值方法迭代解出 . 假设系统方程为 x ( k + 1 ) = Φx ( k ) + Γu ( k ) y ( k ) = Cx ( k ) 二次型性能指标为
侯解民 ,周亦武 ,赵 涛
( 大连海事大学 自动化研究所 ,辽宁 大连 116026)
Ξ
摘要 :讨论线性二次高斯自校正调节器设计以及应用于船舶航向保持自适应控制的问题 . 介绍利用谱因子
分解理论和线形多项式方法求解线性二次高斯调节器的一般理论 ,并对具有重要实际意义的系统具有不能 控且不稳定成分时的线性二次高斯调节器设计作了较为深入的探讨 . 最后 ,给出了该调节器应用于船舶航向 保持的仿真结果 .
( 3) deg S 3 ( z ) < n (ρ > 0) . 多项式 P ( z ) 由下式给出 : P ( z ) = P1 ( z ) A 2 ( z )
( 17 )
其中 , P1 ( z ) 由式 ( 11) 的谱因子分解式给出 . 讨论 ( 1 ) 如果 A ( z ) 和 B ( z ) 有不稳定公因子 ( z ) ,那么 ,由上述定理知道 , A 2 - ( z ) 也一定
是 R ( z ) 的因子 ,这个提法叫做内模原理 . 它说明 调节一个不稳定干扰的系统时 , 干扰的动态特性 也必然出现在调节器的动态特性中 . ( 2 ) 该定理提供了一种求具有积分作用调节 l 器的方法 . 如果 R ( z ) 能被 ( z - 1) 整除 ,则调节 器具有积分作用 . 这样一种调节器不仅具有消除 稳态误差的能力 , 更重要的是它保证了系统在低 频段有较高的回路增益 ,从而消除低频干扰 ,并对 低频建模误差不敏感 . 这可以简单地令 A 2 ( z )
在代数学上方程 ( 10) 称为 Diophantine 方程 , 一 般说来 ,它有无穷多个解 . 可以证明 , 当 deg S ( z ) < n 及 deg R ( z ) = n 时 ,式 ( 10) 有惟一解 . 但该 特解使控制至少有一个采样周期的时延. 若希望 控制没有时延 ,则 R 、 S 必须同阶 . 这时 ,惟一解还 [5 ] 需用最优控制理论来解 . 讨论 ( 1 ) 如果 A 和 B 有一稳定公因式 A 2 ,假设 A
= A 1 A 2 , B = B 1 B 2 ,则谱因子分解问题就变为
-1 -1 ρ A 1 ( z ) A 1 ( z) + B1 ( z ) B1 ( z) =
如果 能 够 找 出 一 个 满 足 式 ( 6) 的 多 项 式 P ( z ) ,则无需解 Riccati 方程便可确定反馈控制 律 ,该控制律给出期望的闭环极点. 寻求满足式 ( 6 ) 的多项式 P ( z ) 的问题叫做谱因子分解 . 因此 式 ( 6) 也叫做谱因子分解式 . 本文主要讨论利用 谱因子分解理论求解 SISO 采样数据系统 L Q G 调 节器的问题 . 谱因子分解问题可以用 Wilson 的迭代法求 解 ,该算法能保证迭代每一步得到的 P 都是稳定 的 . 而用分离定理解 L Q G 问题的过程中 ,Riccati 方程的解需在线迭代求出 . 为保证计算在一个采 样周期内完成 ,迭代必须截尾 ,这样就不一定能保 证 P 的稳定性 . 显然在 L Q G 自校正调节器设计中 用谱因子分解方法具有一定的优越性. 在系统阶 次较低的情况下 , 可以用比较同幂次系数法来求 得谱因子分解问题的解析解 . 由谱因子分解问题 ( 6) 求出 P 以后 , 就可以
deg A = deg C = n A ( z ) , C ( z ) 是首一的 , { e ( k ) } 是一个独立 、 不
其中 , H ( z ) = C ( z I - Φ) Γ; -1 H1 ( z ) = L ( z I - Φ) Γ ;
I + H1 ( z ) 是 L Q 控制系统的返回差分 . 式
( I + H1 ( z ) ) ( 4)
进行调节器设计 . 问题的提法如下 . 系统模型为 A ( q) y ( k ) = B ( q) u ( k ) + C ( q) e ( k ) ( 7 ) 其中 , { y ( k ) } , { u ( k ) } 分别是系统的输出 、 输入 信号序列 ; A ( q) , B ( q) , C ( q) 为前移算子多项 式 ,且
t →∞
t
( 8)
k=1
H ( z ) = C ( z I - Φ)
-1
( ) Γ= B z A ( z) ( z) P′ A ( z)
其中 ,ρ为对控制的加权因子 . 极小化 J lq 可以得 到容许控制律 ( 9) u ( k ) R ( q) = - S ( q) y ( k ) 其中 ,多项式 R ( z ) 和 S ( z ) 是下述闭环特征方 程的解 A ( z) R ( z) + B ( z) S ( z) = P( z) C ( z)
P1 ( z
-1
) P1 ( z )
( 11 )
于是多项式 P 为 P1 A 2 .
( 2 ) 上述 L Q G问题的解与极点配置设计之间
有着紧密的联系 , 事实上 ,L Q G 问题可以解释为 闭环极点配置在 P ( z ) 和 C ( z ) 的零点上的极点 配置问题 . 因此 , 若不求谱因子分解问题 , 而直接 指定多项式 P ,就得到极点配置自校正调节器 . ( 3 ) 如果计算时间相对于采样周期较长 , 则 建议容许控制律延迟一拍 , 即令 deg S = n - 1 , deg R = n ,这样 Diophantine 方程 ( 10 ) 有惟一解 , 并能通过简单地比较同幂次系数得到 R 和 S . ( 4 ) Diophantine 方程 ( 10 ) 也可以用欧几里得 算法来解 . 该算法的优点是能同时给出 A 和 B 的 公因式 ,这对于后述 A 、 B 有不稳定公因式情况下 的 L Q G 调节器设计有一定的好处 .
N- 1
( 1)
, 其控制律取决于稳态
[ 2 ,3 ,4 ]
J = E{
k=0
[x ∑
T
( k) Q 1 x ( k) + u T ( k) Q 2 u ( k) ] +
x ( N ) Q0 x ( N ) }
T
Riccati 方程的一个迭代解 . 这个思想后来又得到
( 2)
了 Ast rom 、 Wittenmark 等人的进一步发展
.ห้องสมุดไป่ตู้
本文介绍利用谱因子分解与线形多项式方程的
L Q G 自校正调节器的设计及其在船舶航向控制
则稳态 L Q 状态反馈控制器可以通过解下述代数 Riccati 方程得到 : T T S = Φ SΦ + Q 1 - L RL
L = R Γ SΦ R = Γ SΓ + Q 2
T
中的应用 .
-1
T
( 3)
Ξ 收稿日期 :20022092121 作者简介 : 侯解民 ( 19552) ,男 ,上海人 ,副教授 ,主要从事计算机控制系统应用及计算机软件工程方面的研究 .
( 10 )
-1 1 + H1 ( z ) = 1 + L ( z I - Φ) Γ =
闭环系统传递函数定义为 H ( z) B ( z) H2 ( z ) = = ( ) ( z) 1 + H1 z P′
( z ) 为前移算子多项式 . 则 其中 , A ( z ) , B ( z ) , P′ 式 ( 4) 可以写成 -1 -1 ρ A ( z ) A ( z) + B ( z ) B ( z) = (z r P′
第 4 期 侯解民 ,等 : 船舶航向控制线性二次高斯自校正调节器的设计 19
2 系统具有不能控且不稳定成分 时的 L Q G 调节器设计
这一节讨论 A ( z ) 和 B ( z ) 有不稳定公因式 时 L Q G 调节器的设计问题 ,这在实际中有着重要 的意义 . A ( z ) 和 B ( z ) 有一公因式的模型具有这 样一种成分 ,该成分受干扰激励 ,并且不能由输入 控制 , 因此不受反馈影响 . 如果该公因式是稳定 的 ,则调节器设计问题可用上节结论来解 . 但上节 结论不适用于不稳定公因式的情况. 当 A ( z ) 和 B ( z ) 有一不稳定公因式时 , 必须用特殊的方法 进行调节器设计 . 如果当 A 和 B 有不稳定公因式时仍按上节 结论进行设计 ,那么 ,由式 ( 9) 和 ( 7) 可以知道 R ( q) C ( q) y ( k) = e ( k) A ( q ) R ( q ) + B ( q) S ( q )
大 连 海 事 大 学 学 报 第 28 卷 18 其中 , S 半正定 ; R 正定 . 控制策略由 u ( k ) = L x ( k ) 给出 . 由 Riccati 方程 ,可以给出闭环极点的表达式 T -1 -1 T Q 2 + H ( z ) H ( z ) = ( I + H1 ( z ) ) R ・