利息理论 第2章 等额年金 (上)

或：
m
sn m an (1 i )
m n
2)期初付延期年金

现值
n v m v m 1 v m n 1 a m
v (1 v v v
m 2
n 1
)
v an
m
或：m an am n am
。

终值
i 解二：迭代一：0
2(10 8) 0.045 8(10 1)
由公式：
1 (1 it ) it 1 A
n
i(0)=0.045 i(1)=0.0448583 i(2)=0.0443989 i(6)=0.0433879 i(7)=0.0432567 i(8)=0.0431539 ---i(42)=0.04277506 i(43)=0.0427750 i(44)=0.0427750
n (1 i ) (1 i ) 2 (1 i ) n s m (1 i ) n 1 d n s
或：
n m an (1 i ) s m
m n
例：3，000元的债务从第5年初开始，每年初偿还相 同的数额，共分15次还清，年利率为8%，求年还债 额。 解：
得：
1 (1 it ) it 1 A
n
缺点：收敛速度慢。即达到精确值的速度慢。
2）Newton-Raphson迭代公式
n 1 (1 it ) Ait it 1 it 1 ( n 1) [1 it (n 1)] 1 (1 it )
n
2）期初付年金

①现值
0 1 1 1 2 1 n-2 1 n-1 1 n
v
v2
Vn-1
an 1 v v v
2
n 1
。
1 v 1 v
n
1 v d
n
或： dan v 1
n
②终值

。
0
1
1
1
n-2
1
n-1
1
n
1+i (1+i)2
(1+i)n
(1 i ) n 1 i
n
每年末存入1元，第n年末可得
sn
③ an 与sn 的关系
sn an (1 i )
n
1 1 i 证明： an sn
1 i 证： i i n sn (1 i ) 1
i (1 i ) n (1 i ) 1 i 1 n 1 v an
5
14
四、年金的利率、时间问题求解
1、利率问题 1）迭代法一 2）Newton-Raphson迭代法

1）迭代法一

迭代公式
it 1 f (it )
步骤

第一步 ：确定i0，求i1； A、i0 可由线性插值法确定； B、泰勒级数前两项确定。 2
1 1 n 1 1 n 1 2 (1 i10 20000 1 v P 20000 d P 3485.25元
10
1 v10 P 20000 i
P
3985 .04元
2、延期m年的n年期年金
1）期末付延期年金 现值 0 m

Vm+1 m+1 1 m+n-1 1 m+n 1
vm+n-1 Vm+n
m
an v
2、时间问题

1）解析式
1 v an i
n ln v
n
ln(1 ian )
2）小额支付

当n为非整数时，有小额支付问题。
0 1 1 k-1 1 k 1 s w k+1
n=k+s
s<1
最后一次支付额w<1
W的计算
an ak wv
k s
W的提前支付

W在第k+1年初的现值。
m
4、其他时点上的年金

过期年金的终值
0 1 1 ------n 1 n+1 n+m
sn m sn (1 i ) m sm n sm
同理：
n m n (1 i ) m n m s s s s
m
.

年金的当前值
0 1 1 ------m 1 1 n 1
3000 P 4 a15 P(a19 a4 ) P(9.6036 3.3121)(1 0.08) P 441 .51元
3、永续年金

1）期末付年金现值
1 vn 1 a lim an lim n n i i 2）期初付年金现值
1 期初投资 i 元，
例：设某期初付年金共支付20年，其中：前6年的年金额为5元， 中间9年的年金额为7元，后5年的年金额为10元，请写出年金 现值和终值的表达式。 解：现值
5a6 7 6 a 9 1015 a5
终值
10 5 79 (1 i ) 56 (1 i ) s s s
其中：A an
t 0,1,2
2(n A) i0 A(n 1)
优点：速度快。
推导N-R近似公式

。
F (it 1 ) F (it ) F (it ) it 1 it
令：F (it 1 ) 0
F (it ) 得：it 1 it F (it )
1 (1 i) n 令：an A i

解法一：线性插值法。
8000 1000 a10 a10 8
令：
f (i ) a10 8
试算得：f(0.040)=0.1109=f(i2) f(0.045)=-0.0873=f(i1)
f (i1 ) i0 i1 (i2 i1 ) 0.04280 f (i2 ) f (i1 )
n
期初投资1元，每年末可获得利息i， 且第n年末可获得本金1元。
②年金终值

.
0 1 n-2 n-1 n
1
1
1
1
1+i (1+i）2 (1+i)n-1
sn 1 (1 i ) (1 i ) (1 i )
2
n 1
。
1 (1 i ) 1 (1 i )
m 1
v
m2
v
m n 1
v
mn
。
v m (v v 2 v n )
v an
m

或：
an amn am m
终值
sn 1 (1 i ) (1 i ) 2 (1 i ) n1 m (1 i ) n 1 sn i
n (1 i ) sn s
⑤其他
an an1 1 an an1 1 n sn1 1 s
例：王平从银行贷款20，000元，他想在今后的10年 内等额还清贷款，贷款年利率为15%。求： 1）每年末的还款额； 2）每年初的还款额。

解: Pa10 20000
第二章
等额年金（上）
主要内容
年金的定义 年金的类型 年金的现值与终值 年金的利率问题、时间问题求解

一、年金的定义
年金是指在相等的时间间隔内的一系列支付 或收款。 等额年金：每次的支付额相等。

二、年金的类型
确定性分类：确定型年金、不确定型年金。 每次的支付额分类：等额年金、变额年金。 支付时点分类：期初付年金、期末付年金。 支付期限分类：定期年金、永续年金。 连续性年金：离散型年金、连续型年金。
n 0
n
0
(1 i )t (1 i ) dt ln(1 i )
t

(1 i ) n 1

永续年金 a 1

例：某企业从银行获得一笔贷款，年利率为6%，假设企业每 年末向银行偿还20，000元，10年后还清，如果企业打算在5 年内一次还清，试求一次还清的额度。

解：
20000 a10 P(1 i )
解法三，N-R迭代法
2(n A) 2(10 8) i0 0.045 A(n 1) 8 11
得：
i0 0.045 i1 0.04545 i2 0.042748 i3 0.042775 i4 0.042775
i=0.042775
由N-R公式：
1 (1 it ) n Ait it 1 it 1 ( n1) 1 (1 it ) [1 it (n 1)] 其中：A an t 0,1,2
。
n (1 i ) (1 i ) 2 (1 i ) n s (1 i ) n 1 d
③ a 与 的关系 n sn
n an (1 i ) s
n
1 1 或： d n an s
④期初付年金与期末付年金
an (1 i )an
2(n A) i0 an (n 1) A(n 1)
2(n an )
第二步：由i1求i2，以此类推。

可得i0、i1、i2----，直到it+1≈it为止。 确定迭代公式：
1 (1 i ) n an A i
得：
1 (1 i ) i A
n
。

53 7 53 (1 i ) 7 25 .37 万元 s s

后3年投资在第10年末的终值为：
3s3 4 3s3 (1 i ) 12 .06万元
4