求解“不等式恒成立”问题所蕴含的数学思想
高中数学恒成立问题
高中数学恒成立问题高中数学中，不等式恒成立问题涉及参数和变量，常与函数、数列、方程、几何等有机结合，具有形式灵活、思维性强、不同知识交汇等特点。
考题通常有两种设计方式：一是证明某个不等式恒成立，二是已知某个不等式恒成立，求其中的参数的取值范围。
解决这类问题的方法关键是转化化归，通过等价转化可以把问题顺利解决。
一种最重要的思想方法是构造适当的函数，即构造函数法，然后利用相关函数的图象和性质解决问题。
在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更加面目更加清晰明了。
已知存在范围的量视为变量，而待求范围的量视为参数。
例如，对于已知不等式，可以设，从而推导出，进而证明不等式恒成立。
又如，对于不等式，可以转换为一次函数（或常数函数）的值在内恒为负的问题，再来求解参数应满足的条件。
另一种方法是分离参数法，当不等式中的参数（或关于参数的代数式）能够与其它变量完全分离出来，且分离后不等式其中一边的函数（或代数式）的最值或范围可求时，常用分离参数法。
例如，对于已知函数的问题，可以将待求的参数分离出来，单独放在不等式的一侧，将另一侧看成新函数，于是将问题转化成新函数的最值问题。
还有一种方法是数形结合法，当不等式中涉及的函数、代数式对应的图象、图形较易画出时，可通过图象、图形的位置关系建立不等式求得参数范围。
例如，对于已知函数的问题，可以在同一个平面直角坐标系中分别作出函数的图象，通过图象、图形的位置关系建立不等式求得参数范围。
总之，解决不等式恒成立问题的关键是转化化归，通过构造函数、分离参数、数形结合等方法，将问题转化为易于求解的形式，从而得到正确的解答。
本文介绍了解决不等式问题的三种方法：数学归纳法、数形结合法和最值法。
其中，数学归纳法适用于一些特殊的不等式问题，数形结合法需要结合函数图像来确定参数的范围，最值法则可以直接求出函数的最值来解决问题。
通过例题的讲解，读者可以更好地理解这三种方法的具体应用。
恒成立能成立问题总结(详细)
恒成立问题的类型和能成立问题及方法处理函数与不等式的恒成立、能成立、恰成立问题是高中数学中的一个重点、难点问题。
这类问题在各类考试以及高考中都屡见不鲜。
感觉题型变化无常，没有一个固定的思想方法去处理，一直困扰着学生，感到不知如何下手。
在此为了更好的准确地把握快速解决这类问题，本文通过举例说明这类问题的一些常规处理。
1、函数法（1）构造一次函数 利用一次函数的图象或单调性来解决 对于一次函数有：],[),0()(n m x k b kx x f ∈≠+=⎩⎨⎧<<⇔<⎩⎨⎧>>⇔⎩⎨⎧><⎩⎨⎧>>⇔>0)(0)(0)(;0)(0)(0)(00)(00)(n f m f x f n f m f n f k m f k x f 恒成立或恒成立 例1 若不等式对满足的所有都成立，求的范 围。
m mx x ->-21222≤≤-m m x解析：将不等式化为：，0)12()1(2<---x x m 构造一次型函数：)12()1()(2---=x m x m g 原命题等价于对满足的，使恒成立。
22≤≤-m m 0)(<m g由函数图象是一条线段，知应⎪⎩⎪⎨⎧<---<----⇔⎩⎨⎧<<-0)12()1(20)12()1(20)2(0)2(22x x x x g g 解得，所以的范围是。
231271+<<+-x x )231,271(++-∈x 小结：解题的关键是将看来是解关于的不等式问题转化为以为变量，为参数x m x 的一次函数恒成立问题，再利用一次函数的图象或单调性解题。
练习:(1)若不等式对恒成立，求实数的取值范围。
01<-ax []2,1∈x a （2）对于的一切实数，不等式恒成立，求40≤≤p 342-+>+p x px x 的取值范围。
（答案：或）x （二）构造二次函数 利用二次函数的图像与性质及二次方程根的分布来解决。
从一道赛题谈不等式证明的数学思想
广东省 兴宁市职业技术 学校 （ １５ ０ 何 斌 ５４０ ）
１９ ９ ２年第 ２ ６届 独联 体 数 学 奥林 匹 克 竞赛 题 中
有一 道不 等式 证 明题 ：
ｂ ；＋… ＋６） （ｌｌ ２２ ： 口６ ＋ａｂ ＋… ＋口６）， 当且仅
９ １ ７ ６ Ｘ ３
２ １ ． ０ １ ０ １ ０
偶 式 ， 过 对 它 们 之 』 的 灵 沽 处 埋 ， 刽 一 些 有 用 明 通 日 ＿ Ｊ 得
ｂ＝ １＋ｔ， 中 ｔ、 ２其 ２ｔ ２＞０
所 以 ２
十
＝
一
关 系式 ， 能促 进 问题 的有 效解 决． 证 法 ３： Ｍ ＝ 记
５ ｓ
３ ２ ＋ｒ （ Ｒ ＋ｒ ． （Ｒ ）４ ）
注 ： 弱 于熟 知 的不等 式 ｓ ４ ＋４ ｒ＋３ ⑤ ≤ Ｒ Ｒ ｒ
参 考 文 献
２ｓ／ ４ ＋３ 。＋６ （ ５ ［ｓ （ ） ６＋ｃ （ ） ｃ＋。 ］ ） 甘 ［ （ 一４ ｒ—ｒ）＋３ ｓ ２ Ｒ （ ＋４ ｒ＋ｒ） ／ ｓｓ Ｒ 。 ］２ （
＋２Ｒｒ＋ ｒ 、
［ ］汪长银． １ 一个分式不等式的证明［ ］ 中学数学教 学 ，０ ７ ５ ． Ｊ． ２０ （ ）
［ ］ ． ｏ ｅｍ等著． ２ ｏ Ｂｔａ ｔ 单增译． 何不等式 ［ ． 几 Ｍ］ 北京 ： 北京 大学 出版
社 出版 ，９ ｆ年 ． ｉ９
２ ｓ ［ｓ ５ ４ ＋６（ ＋２ ｒ＋ｒ） ／ ｓｓ Ｒ ］
８ ．
评注 ： 此题 也 可用柯 西 不等 式来证 ， 对任 意 的实
数口， （ ＝１２…，） （ ＋口 ＋… ＋ ：（ ＋ ｂ ｉ ，， ，ａ ； ０） ｂ
不等式恒成立问题
不等式恒成立问题【教学目标】（1）理解恒成立问题的充要条件，掌握解决此类问题的基本方法；（2）培养分析、解决问题的能力，体验函数思想、分类讨论的思想、数形结合与转化思想； （3）通过问题的探究，体验成功的喜悦【教学重点】理解解决恒成立问题的实质，有效掌握恒成立问题的基本技能 【教学难点】利用转化思想，通过函数性质和图像化归至最值问题来处理恒成立问题 【学情分析】经过一轮复习，学生较系统的复习了高中数学所有的基本知识点，对恒成立问题在不同的知识点都有所涉及，但缺乏系统的归纳整理，本节的重点即在学生已有的方法基础上，对高中数学解决此类问题进行梳理、归纳、整合、引申，形成方法的体系，并能对一些结论和规律适当拓展，扩大学生的知识面，达到训练的目的。
【教学设计】一．基础回顾，提炼方法【问题一】: 分析下列问题的区别,求相应参数的取值范围 (1)R x ∈∀,不等式0322≥-+-m x x 恒成立,求m 的取值范围 (2)不等式02)1()1(2>+-+-x m x m 的解集是R ,求m 的取值范围 (3) []2,1∈∀x ,不等式032≥+-mx x 恒成立,求m 的取值范围(4) []1,1-∈∀m ,不等式032≥+-m mx x 恒成立,求x 的取值范围【归纳总结一】对于二次不等式),0(0)(2R x a c bx ax x f ∈≠>++=有：0<a 且0<∆（1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00<∆>⇔且a ； （2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00<∆<⇔且a（3）二次不等式02>++c bx ax 的解集是0,0≤∆<⇔a φ （4）二次不等式02<++c bx ax 的解集是0,0≤∆>⇔a φ【归纳总结二】二次项系数分类【归纳总结三】解决不等式恒利问题的基本方法 （1）判别式法（二次不等式专用） （2）函数性质0)(≥x f 在[]b a ,恒成立0)(min ≥⇔x f 0)(≤x f 在[]b a ,恒成立0)(max ≤⇔x f（3）分离系数法)(,x f a M x ≥∈∀M x x f a ∈≥⇔....)(max )(,x f a M x ≤∈∀M x x f a ∈≤⇔....)(min（4）数形结合法 （5）变换主元法 二． 反馈练习，小试牛刀（1）不等式0422≥++ax ax 对一切R x ∈的值恒成立,求a 的取值范围（2）对⎥⎦⎤ ⎝⎛∈∀21,0x ，x a xlog 4<恒成立，求a 的取值范围A ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛1,22 B ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛22,0 C ．()2,1D ．()2,2（3）已知函数x ax x f ln )(-=，若1)(>x f 在()+∞,1上恒成立，求a 的取值范围 （4）若函数kxex x f ⋅=)()0(≠k 在区间()1,1-内为单调递增函数，求k 的取值范围三．归纳总结，积累经验1. 解决恒成立问题的基本方法有哪些？2. 本节学习体现了那些基本数学思想？（1）化归转化思想 （2）数形结合思想 （3）分类讨论思想专题——不等式恒成立问题学习要求：理解解决恒成立问题的实质，有效掌握恒成立问题的基本技能【问题一】: 分析下列问题的区别,求相应参数的取值范围 (1)R x ∈∀,不等式0322≥-+-m x x 恒成立,求m 的取值范围. (2)不等式02)1()1(2>+-+-x m x m 的解集是R ,求m 的取值范围. (3) []2,1∈∀x ,不等式032≥+-mx x 恒成立,求m 的取值范围.(4) []1,1-∈∀m ,不等式032≥+-m mx x 恒成立,求x 的取值范围.【问题二】选择恰当的方法解决下列问题，积累解题经验（1）不等式0422≥++ax ax 对一切R x ∈的值恒成立，求a 的取值范围.（2）对⎥⎦⎤ ⎝⎛∈∀21,0x ，x a xlog 4<恒成立，求a 的取值范围.A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1,22 B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22,0 C ．()2,1 D ．()2,2（3）已知函数x ax x f ln )(-=，若1)(>x f 在()+∞,1上恒成立，求a 的取值范围. （4）若函数kxe x xf ⋅=)()0(≠k 在区间()1,1-内为单调递增函数，求k 的取值范围.。
恒成立问题解题策略
恒成立问题解题策略
等式恒成立问题解题策略：
① 赋值法； ② 化为基本函数； ③ 分离变量；
不等式恒成立问题解题策略：
① 分离参数法； ② 转换主元法； ③ 数形结合型
赋值型—利用特殊值求解
• 例1：已知函数f(x)=sinx+acosx图像的一
条对称轴方程为x= 4 ,求实数a的值
解：f (0) f ( ) a 1 2
1
思路1：化简----乘积的形式常通过约分。 但本题难以完成。 思路2：回到基础-----利用函数单调性求最值。 求差法运算复杂，考虑用求商比较法（这是由 特点所至）
f (n 1) f ( n)
1 2n 3 (1 ) 2n 3 2n 5
2n 4 2n 5 2n 3
f (n 1) f ( n)
4n 2 16 n 16 4n 2 16 n 15
1
因此，f (n 1) f (n), f (n)为单调递增函数， 4 n 1时，f (n)最小值为 。 3 5 4 5 所以，a . 15
【解题后的反思】
1、不等式恒成立，确定参数取值范围——分离参数法。
变式：方程 22 x m2 x 1 0 恒有两个不同实数解， 求m的取值范围.
解1：令t 2 (0, )
x
原式为t 2 mt 1 0 转化为方程在(0, )有两个不同解 0 m2 4 0 x1 x2 m 0 x x 1 0 1 2
思考：已知函数f x 2sin(3x )(| | 的一条对称轴方程为x
2
)图像
4
求实数的值
高三专题复习不等式恒成立问题
高三数学 第一讲 不等式恒成立问题在近些年的数学高考题及高考模拟题中经常出现不等式恒成立问题，此类问题一般综合性强，既含参数又含变量，往往与函数、数列、方程、几何等有机结合起来，具有形式灵活、思维性强、不同知识交汇等特点.高考往往通过此类问题考查学生分析问题、解决问题、综合驾驭知识的能力。
此类问题常见解法：一、构造函数法在解决不等式恒成立问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，然后利用相关函数的图象和性质解决问题，同时注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题面目更加清晰明了，一般来说，已知存在范围的量视为变量，而待求范围的量视为参数.例1 已知不等式对任意的都成立，求的取值范围.例2：在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x(1－y) 若不等式(x －a)⊗(x ＋a)<1对任意实数x 成立，则 ( )(A)－1<a<1 (B)0<a<2 (C) 2321<<-a (D) 3122a -<< 例3：若不等式x 2-2mx+2m+1>0对满足0≤x ≤1的所有实数x 都成立，求m 的取值范围。
二、分离参数法在题目中分离出参数，化成a>f(x) （a<f(x)）型恒成立问题，再利用a>f max (x) （a<f min (x)）求出参数范围。
例4．（2012•杭州一模）不等式x 2﹣3＞ax ﹣a 对一切3≤x ≤4恒成立，则实数a 的取值范围是 ．例5：设a 0为常数，数列｛a n ｝的通项公式为a n ＝51[3n +(-1)n-1·2n ]+(-1)n ·2n ·a 0(n ∈N * )若对任意n ≥1，n ∈N *，不等式a n >a n-1恒成立，求a 0的取值范围。
例6．（2012•安徽模拟）若不等式x 2+ax+4≥0对一切x ∈（0，1]恒成立，则a 的取值范围是 ． 例7．（2011•深圳二模）如果对于任意的正实数x ，不等式恒成立，则a 的取值范围是 ．例8．（2013•闵行区一模）已知不等式|x ﹣a|＞x ﹣1对任意x ∈[0，2]恒成立，则实数a 的取值范围是 ．三、数型结合法例9：如果对任意实数x ，不等式kx 1x ≥+恒成立，则实数k 的取值范围是例10：已知a>0且a ≠1,当x ∈(-1，1)时，不等式x 2-a x <21恒成立，则a 的取值范围 例11、 已知函数若不等式恒成立，则实数的取值范围是 .例12、（2009•上海）当时，不等式sin πx ≥kx 恒成立．则实数k 的取值范围是 ．例13、若不等式log a x ＞sin2x （a ＞0，a ≠1）对任意都成立，则a 的取值范 B C D 四、利用函数的最值（或值域）求解（1）m x f ≥)(对任意x 都成立m x f ≥⇔min )(；（2）m x f ≤)(对任意x 都成立max )(x f m ≥⇔。
运用导数法证明不等式恒成立的基本思路
知识导航不等式恒成立问题是高中数学中常见的问题，而导数法是解答不等式恒成立问题的重要手段，尤其对于含有对数、指数的不等式问题，运用导数法来求解最为直接、有效.运用导数法证明不等式恒成立的基本思路是：1.将不等式变形为f(x)≥(≤)a，或f(x)-g(x)≥(≤)0的形式，构造新的函数；2.对新函数求导，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最值；3.使f(x)的最值≥(≤)a或f(x)-g(x)≥(≤)0，即可证明不等式恒成立.运用导数法证明不等式恒成立的关键是分离变量，将不等式合理变形，构造适当的函数，把不等式问题转化为函数的最值问题来求解.下面结合实例来进行说明.例1.证明当x∈R时，ln x≤x-1恒成立.证明：令g(x)=x-1-ln x x，g′(x)=x2-1+ln xx2，设h(x)=x2-1+ln x，则h(1)=0，且h′(x)=2x+1x>0，所以h(x)在(0,+∞)单调递增，故当x<x<1时，h(x)<0，则g′(x)<0，当x>1时，h(x)>0，则g′(x)>0.所以g(x)在（0,1）内单调递减，在(1,+∞)单调递增.故g(x)≥g(1)=0,因此ln x≤x-1.我们首先将不等式变形，然后构造新的函数g(x)、h(x)，通过分析g(x)、h(x)的导函数，求得g(x)的最值，进而证明已知不等式恒成立.例2.已知函数f(x)=x ln x(x>0).若对任意x∈(0,+∞),f(x)≥-x2+mx-32恒成立，求实数m的最大值．证明：由f(x)≥-x2+mx-32及f(x)=x ln x，得m≤2x ln x+x2+3x，则问题转化为m≤æèçöø÷2x ln x+x2+3xmin.令g(x)=2x ln x+x2+3x(x>0)，则g′(x)=2x+x2-3x2,由g′(x)>0可得x>1，由g′(x)<0得0<x<1.所以g(x)在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，所以g(x)min=g(1)=4，即m≤4，所以m的最大值是4.利用导数证明不等式f(x)>g(x)的基本思路是，(1)若f(x)与g(x)的最值容易求出，可将问题转化为证明f(x)min>g(x)max；(2)若f(x)与g(x)的最值不易求出，可构造函数h(x)=f(x)-g(x)，利用导数法确定函数h(x)的单调性或最值，证明h(x)>0.例3.已知f(x)=(x+1)(1-x-ln x)a x，证明f(x)<1+e-2恒成立.证明：由e x>x+1易得x<x+1e x<1，若x>1，则1-x-ln x≤0，则f(x)≤0<1+e-2，若x<1⇒1-x-ln x>0，则f(x)<1-x-ln x，令g(x)=1-x-ln x，则g′(x)=-ln x-2=0，则x=e-2，易得f(x)在(0,e-2)单调递增，在(e-2,+∞)单调递减，所以f(x)max=g(e-2)=1+e-2，因此f(x)<1+e-2.在证明本题的过程中，首先借助不等式中常见的结论e x≥x+1，得出0<x+1e x<1，进而将问题简化为证明当x<1时，f(x)<1-x-ln x恒成立，然后通过构造新函数g(x)，讨论g(x)的导函数，确定f(x)的单调性和最值，进而证明原不等式成立.我们要熟记一些常见的不等式结论，如e x≥x＋1，ln x<x<e x(x>0)，xx+1≤ln(x+1)≤x(x>-1).导数法是证明不等式问题的重要方法.同学们要熟练掌握运用导数法证明不等式恒成立问题的基本思路，同时要学会灵活运用数形结合思想、转化思想和分类讨论思想来辅助解题.（作者单位：甘肃省岷县第二中学）肖龙38Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。
高中数学恒成立问题常见类型及解法
当
x
=
4
时，
loga 4
sin(2 4 ) 1 loga a
,
又 0 a 1 ， 得
< a <1。 4
六、采用逆向思维，考虑使用反证法
【理论阐释】 恒成立问题有时候从正面很难入手，这时如果考虑
问题的反面，有时会有“柳暗花明又一村”的效果，所 谓“正难则反”就是这个道理。
【解析】令 f (m) ＝（ x2 1）m －2 x ＋1，则上述问题即可转化为关于 m 的
一次函数 y f (m) 在区间[-2，2]内函数值小于 0 恒成立的问题。考察区
间端点，只要
f f
(2)＜0，解得 (2)＜0
7 1＜x＜ 2
3 1, 2
即 x 的取值范围是（ 7 1 ， 3 1 ）.
这类问题求解的基本思路是：根据已知条件将恒成立问题向基本类型转化，正确选用函数法、最小值法、数形结合法等解题方法求解
。在高三复习则中经对常任遇到意不等实式恒数成立x ，问题有。 f (x) f [(x x0 ) x0 ] f (x x0 ) f (x0 ) 0 ，显然这与
题设“存在实数 a ，使 f (a) 0 ”矛盾。
高中数学恒成立问题常见类型及解法
在高三复习中经常遇到不等式恒成立问题。这类问 题求解的基本思路是：根据已知条件将恒成立问题向基 本类型转化，正确选用函数法、最小值法、数形结合法 等解题方法求解。解题过程本身渗透着换元、化归、数 形结合、函数与方程等思想方法，另外不等式恒成立问 题大多要利用到一次函数、二次函数的图象和性质。
x0
R
若函数y=f(x)的周期为T，则对一切定义域中的x,有f(x)=f(x+T)恒成立；
高中数学恒成立问题解题思路
高中数学恒成立问题解题思路数学学习中经常碰到不等式恒成立问题，这类问题涉及函数的性质和图象，渗透着换元、化归、数形结合等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力和培养学生思维的灵活性、创造性。
其方法大致有：判别式法，最值法，变换主元法，数形结合法。
一、判别式法：二次不等式在R上恒成立，只需研究开口方向和判别式Δ。
例1？摇关于x的不等式x2-ax+2a>0在R上恒成立，则a实数的取值范围是_______。
解：因为不等式恒成立，所以Δ二、最值法：不等式恒成立问题转化成求函数最值，分为两种：（1）直接构造函数；（2）分离参数后构造函数。
例2？摇（直接构造函数）已知函数f（x）=x2-2kx+2，当x≥-1时，f（x）≥k恒成立，求实数k的范围。
解：由题，x2-2kx+2-k≥0在x≥-1时恒成立。
令g（x）=x2-2kx+2-k（k≥-1），则[g（x）]min≥0.函数g（x）对称轴为x=k。
（1）k≤-1时，g（x）在[-1，+∞）上单调递增。
[g（x）]min=g（-1）=k+3≥0。
-3≤k≤-1。
（2））k>-1时，g（x）在[-1，k]上单调递减，（k，+∞）上单调递增。
[g（x）]min=g（k）=-k2-k+2≥0。
-1≤k≤1。
综上：k≤1。
例3？摇（分离参数后构造函数）已知函数f（x）=ax-■，当x∈（0，4]时，f（x）解：ax-■a令g（x）=■（0三、变换主元法：已知参数范围求x范围。
例4？摇对于满足|a|≤2的所有实数a，求使不等式x2+ax+1>2x+a恒成立的x的取值范围。
解：原不等式可转化为（x-1）a+x2-2x+1>0在|a|≤2时恒成立。
令f（a）=（x-1）a+x2-2x+1（-1≤a≤2），则f（a）>0恒成立。
f（-2）>0f（2）>0即：x2-4x+3>0x2-1>0 解得：x>3或x1或x x>-1或x四、数形结合法：可将不等式（或经过变形后的不等式）两端的式子分别看成两个函数，作出两函数的图象，通过观察两图象（特别是交点时）的位置关系，从而列出关于含参数的不等式。
巧思妙法,破解不等式“恒成立”问题
㊀㊀㊀巧思妙法,破解不等式 恒成立 问题◉甘肃省天水市张家川回族自治县第三高级中学㊀范㊀烯㊀㊀摘要:不等式 恒成立 问题综合考查函数㊁不等式等相关知识,以及相应的数学思想方法,一直备受命题者青睐,是各级各类考试中的热点问题之一．解决不等式 恒成立 问题,有技可循,有法可依,合理构造,巧妙转化,总结规律,引领并指导数学教学与复习备考．关键词:不等式;恒成立;判别式;数形结合;分离参数㊀㊀涉及不等式恒成立 的问题,是高中数学函数与不等式的一个重点与难点,往往以含参不等式的形式出现,是一类极具交汇性㊁综合性与创新性的复杂应用问题,难度较大,形式多样．不等式 恒成立 问题知识融合性强,解决时有一定的经验规律与技巧方法可循,能有效考查学生各方面的数学基础知识㊁数学思想方法与数学能力等,具有较好的选拔性与区分度,倍受各方关注．１利用判别式法解决不等式恒成立 问题判别式法是通过引入参数进行待定系数法转化,利用二次方程有根来合理构建判别式,进而结合不等式的求解来分析与解决．例１㊀对于任意的正数a ,b ,不等式(２a b ＋a ２)k ɤ４b ２＋４a b ＋３a ２恒成立,则实数k 的最大值为．分析:根据题目条件等价转化对应的 恒成立 不等式,构建涉及分式不等式的恒成立问题,转化为关于b 的二次方程,利用方程有根并结合判别式构建对应的不等式,通过不等式的求解来确定参数的最值,进而得以确定实数k 的最大值．解析:由不等式(２a b ＋a ２)k ɤ４b ２＋４a b ＋３a ２恒成立,可得不等式k ɤ４b ２＋４a b ＋３a ２２a b ＋a２恒成立,即k ɤ４b ２＋４a b ＋３a ２２a b ＋a ２æèçöø÷m i n．设４b ２＋４a b ＋３a ２２a b ＋a２＝λ(λ＞０)．整理可得４b ２＋(４－２λ)a b ＋(３－λ)a ２＝０,将其看作关于实数b 的二次方程．由判别式Δ＝(４－２λ)２a ２－１６a ２(３－λ)ȡ０,整理可得λ２ȡ８．又λ＞０,解得λȡ２㊀２．所以k ɤ４b ２＋４a b ＋３a ２２a b ＋a ２æèçöø÷m i n＝２㊀２,即k 的最大值为２㊀２,故填答案:２㊀２．点评:利用判别式法解决不等式 恒成立 问题,关键是通过不等式的恒等变换等进行处理,巧妙引入参数转化为涉及某一变元的一元二次方程,利用方程有实根所对应的判别式非负来构建不等式,进而确定参数的取值范围,从而得以解决相应的不等式 恒成立 问题．２利用数形结合法解决不等式恒成立 问题数形结合法的关键就是将 恒成立 不等式合理转化为一个常规函数或一个含参函数的问题,通过函数图象的 形 来直观分析与处理．例２㊀已知函数f (x )＝e x－m x ,当x ＞０时,(x －２)f (x )＋m x ２＋２＞０恒成立,则实数m 的取值范围为．分析:据题目条件对相应的不等式进行等价化归与转化,结合参变分离法进行处理,并通过构造两个函数,把对应的函数的 数 转化为两个函数图象的 形 的问题,进而数形结合,考察含有参数的动直线与定曲线的位置关系,从而建立相应的关系式来确定对应的参数值．解析:由(x －２)f (x )＋m x ２＋２＞０,得(x －２) e x＞－２m x －２,则问题等价于 当x ＞０时,(x －２)e x ＞－２m x －２恒成立 ．图１构造g (x )＝(x －２)e x ,h (x )＝－２m x －２．如图１所示,根据条件,只要考察当x ＞０时,曲线g (x )＝(x －２)e x 的图象恒在直线h (x )＝－２m x －２的上方即可．对g (x )求导,可得g ᶄ(x )＝(x －１)e x．当x ɪ(０,１)时,g ᶄ(x )＜０,g (x )单调递减;当x ɪ(１,＋ɕ)时,g ᶄ(x )＞０,g (x )单调递增．又当x ɪ(０,＋ɕ)时,g ᵡ(x)＝x e x＞０,所以g (x )在(０,＋ɕ)上是凹函数．９５２０２２年１０月上半月㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀学习交流复习备考Copyright ©博看网. All Rights Reserved.㊀㊀㊀而g(０)＝h(０)＝－２,所以只要满足直线h(x)＝－２m x－２的斜率不大于曲线g(x)＝(x－２)e x在x＝０处的切线的斜率即可．所以有－２mɤgᶄ(０)＝－１,解得mȡ１２．即实数m的取值范围为１２,＋ɕéëêêöø÷．故填答案:１２,＋ɕéëêêöø÷．点评:利用数形结合法解决不等式 恒成立 问题,关键是结合 恒成立 的不等式进行恒等变形与转化,构建与之对应的两个函数,通过一条定曲线与一动直线的位置关系,利用图形直观确定临界位置,这是数形结合处理此类问题的关键所在．３利用分离参数法解决不等式 恒成立 问题分离参数法是解决含参不等式 恒成立 问题最常用的一类技巧方法,结合不等式进行恒等变形,分离出相应的参数,再从另一边所对应的函数来切入与处理．例３㊀(清华大学２０２０年１月份中学生标准学术能力诊断性测试数学试卷文科 １２)已知不等式x＋a l n x＋１e xȡx a对xɪ(１,＋ɕ)恒成立,则实数a的最小值为(㊀㊀)．A．－㊀e㊀㊀B．－e２㊀㊀C．－e㊀㊀D．－２e分析:合理结合题目条件中不等式的等价变形与转化,再结合不等号两边的函数结构特征,利用函数的同构处理,通过函数求导确定函数的单调性,进而巧妙分离参数,最后利用函数的构建以及其单调性,进而确定相关参数的取值范围．解析:由x＋a l n x＋１e xȡx a,变形可得x＋e－xȡx a－a l n x,则有x＋e－xȡx a＋l n x－a．设函数f(x)＝x＋e－x(x＞１),可知f(l n x－a)＝l n x－a＋e－l n x＝l n x－a＋x a．那么x＋e－xȡx a＋l n x－aÛf(x)ȡf(l n x－a)．又当xɪ(１,＋ɕ)时fᶄ(x)＝１－e－x＞０,则由f(x)单调递增,可得xȡl n x－a＝－a l n x,即aȡ－x l n x．设g(x)＝－x l n x(x＞１)．求导有gᶄ(x)＝－l n x－１l n２x．由gᶄ(x)＝０,可得x＝e．所以函数g(x)在(１,e)上单调递增,在(e,＋ɕ)上单调递减．故g(x)ɤg(e)＝－e,从而aȡ－e．故选择:C．点评:利用分离参数法解决不等式 恒成立 问题,关键是对含参不等式进行合理恒等变形与转化,巧妙分离出参数,进而构建对应的函数,通过基本初等函数的单调性或借助函数求导处理来确定对应函数的单调性,进而确定对应函数的极值或最值,从而得以确定参数的取值范围．４利用主参变换法解决不等式 恒成立 问题主参变换法就是改变常规的主元与参数之间的关系与性质,转换思维角度,从 旁观者 的视角来切入,实现问题的化归与转化．例４㊀已知函数y＝m x２－m x－６＋m,若对于１ɤmɤ３,y＜０恒成立,则实数x的取值范围为．分析:根据题目条件,构建不等式恒成立所对应的不等式,借助主参变换处理,转化为涉及参数m的一次不等式,利用题目条件以及参数m的限制条件构建涉及参数x的不等式,进而利用题目条件转化相应的一元二次不等式,通过求解不等式来确定对应实数x的取值范围．解析:由y＜０,得m x２－m x－６＋m＜０．借助主参变换处理,整理可得(x２－x＋１)m－６＜０．又由１ɤmɤ３,可知不等式x２－x＋１＜６m恒成立,则x２－x＋１＜６３,即x２－x－１＜０,解得１－㊀５２＜x＜１＋㊀５２．所以,实数x的取值范围为(１－㊀５２,１＋㊀５２)．故填答案:(１－㊀５２,１＋㊀５２)．点评:利用主参变换法解决不等式 恒成立 问题,关键是利用题目中的不等式进行恒等变形与巧妙转化,合理转化主元与参数之间的关系,进行主参变换处理,结合不等式恒成立加以巧妙化归,进而转化为不等式㊁函数等其他相关问题加以分析与处理．涉及不等式 恒成立 的问题,解决的基本策略就是 含参 转化与 分参 处理两个基本思维角度．具体解决时,或通过 数 的视角,利用判别式法㊁分离参数法㊁主参变换法等处理;或通过 形 的视角,数形结合法等处理．综合不等式的性质以及函数的基本性质等,合理构造,巧妙转化为较为熟悉的数学模型,从而得以破解不等式 恒成立 问题,提升学生数学品质㊁数学能力,培养数学核心素养．Z０６复习备考学习交流㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀２０２２年１０月上半月Copyright©博看网. All Rights Reserved.。
不等式恒成立问题中的参数求解技巧
不等式恒成立问题中的参数求解技巧在不等式中，有一类问题是求参数在什么范围内不等式恒成立。
恒成立条件下不等式参数的取值范围问题，涉及的知识面广，综合性强，同时数学语言抽象，如何从题目中提取可借用的知识模块往往捉摸不定，难以寻觅，是同学们学习的一个难点，同时也是高考命题中的一个热点。
其方法大致有：①用一元二次方程根的判别式，②参数大于最大值或小于最小值，③变更主元利用函数与方程的思想求解。
本文通过实例，从不同角度用常规方法归纳，供大家参考。
一、用一元二次方程根的判别式有关含有参数的一元二次不等式问题，若能把不等式转化成二次函数或二次方程，通过根的判别式或数形结合思想，可使问题得到顺利解决。
例1 对于x∈R，不等式恒成立，求实数m的取值范围。
解：不妨设，其函数图象是开口向上的抛物线，为了使，只需，即，解得。
变形：若对于x∈R，不等式恒成立，求实数m的取值范围。
变形：此题需要对m的取值进行讨论，设。
①当m=0时，3>0，显然成立。
②当m>0时，则△<0。
③当m<0时，显然不等式不恒成立。
由①②③知。
关键点拨：对于有关二次不等式（或<0）的问题，可设函数，由a的符号确定其抛物线的开口方向，再根据图象与x轴的交点问题，由判别式进行解决。
例2 已知函数，在时恒有，求实数k的取值范围。
例2 解：令，则对一切恒成立，而是开口向上的抛物线。
①当图象与x轴无交点满足△<0，即，解得－2<k<1< span="">。
</k<1<>②当图象与x轴有交点，且在时，只需由①②知关键点拨：为了使在恒成立，构造一个新函数是解题的关键，再利用二次函数的图象性质进行分类讨论，使问题得到圆满解决。
二、参数大于最大值或小于最小值如果能够将参数分离出来，建立起明确的参数和变量x的关系，则可以利用函数的单调性求解。
恒成立，即大于时大于函数值域的上界。
高一数学函数和不等式中恒成立问题的教案
函数和不等式结的恒成立问题的解法“含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，其以覆盖知识点多，综合性强，解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐。
另一方面，在解决这类问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用恒成立问题的基本类型：一、判别式法若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。
一般地，对于二次函数,有),0()(2R x a c bx ax x f ∈≠++=1）对恒成立; 0)(>x f R x ∈⎩⎨⎧<∆>⇔00a 2）对恒成立 0)(<x f R x ∈.00⎩⎨⎧<∆<⇔a 例1：若不等式的解集是R ，求m 的范围。
02)1()1(2>+-+-x m x m 例2 设函数f(x)＝ mx 2-mx-1．(1)若对于一切实数x ，f(x)＜0恒成立，求m 的取值范围；(2)对于x∈[1,3]，f(x)＜－m ＋5恒成立，求m 的取值范围二、最值法将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有：1）恒成立a x f >)(min)(x f a <⇔2）恒成立a x f <)(max)(x f a >⇔例1、若时，不等式恒成立，求的取值范围。
[]2,2x ∈-23x ax a ++≥a 例2．设，当时，恒成立，求实数的取22)(2+-=mx x x f ),1[+∞-∈x m x f ≥)(m 值范围。
巩固．已知函数，若对任意，恒),1[,2)(2+∞∈++=x xa x x x f ),1[+∞∈x 0)(>x f 成立，求实数的取值范围。
a 练习2 已知，若恒成立，求a 的取值范围.a ax x x f -++=3)(22)(],2,2[≥-∈x f x 22210[0,1]x mx m x x m -++>∈练习1：若不等式对满足的所有实数都成立，求的取值范围。
专题四 恒成立问题
专题四恒成立问题在近几年的高考数学试题中，常常出现含参数的不等式成立的问题，这类问题与函数，导数，方程等知识综合在一起，演绎出一道道设问新颖，五光十色的题目，这些试题的思辨性很强，往往让人眼花缭乱，使解题者不知所措，这些题目从解题目标上看，基本上有三种，即求参数的取值范围，使含参数的不等式恒成立，能成立或恰成立.用函数思想作指导,解不等式的恒成立、能成立、恰成立问题的操作程序是这样的:1.恒成立问题若不等式()Af在区间D上的f>在区间D上恒成立,则等价于函数()xx最小值大于A,若不等式()Bf在区间D上的f<在区间D上恒成立,则等价于函数()xx最大值小于B.2. 能成立问题若在区间D上存在实数x使不等式()Axf>在区间D上f>成立,即()Ax能成立, ,则等价于函数()xf在区间D上的最大值大于A,若在区间D上存在实数x使不等式()Bxf<在区间D上f<成立,即()Bx能成立, ,则等价于函数()xf在区间D上的最小值小于B.3. 恰成立问题若不等式()Af>的解集xf>在区间D上恰成立, 则等价于不等式()Ax为D ,若不等式()B x f <在区间D 上恰成立, 则等价于不等式()B x f <的解集为D ,如果从解题模式看,好象问题很简单,但是,由于试题的结构千变万化,试题的设问方式各不相同,就使得题目变得十分灵活,如何对这类题目进行思辨和模式识别,把问题化归到常见的基本的题型,是高考复习的一个课题.【例1】若关于x 的不等式02>--a ax x 的解集为),(+∞-∞，则实数a 的取值范围是 ；若关于x 的不等式32-≤--a ax x 的解集不是空集，则实数a 的取值范围是 ．【分析及解】第一个填空是不等式恒成立的问题,设()a ax x x f --=2.则关于x 的不等式02>--a ax x 的解集为),(+∞-∞()0>⇔x f 在()+∞∞-,上恒成立()0min >⇔x f ,即(),0442min >+-=a a x f 解得04<<-a 第二个填空是不等式能成立的问题. 设()a ax x x f --=2.则关于x 的不等式32-≤--a ax x 的解集不是空集()3-≤⇔x f 在()+∞∞-,上能成立()3min -≤⇔x f ,即(),3442min -≤+-=a a x f 解得6a ≤-或2a ≥. 【例2】三个同学对问题“关于x 的不等式232255x x x ax ++-≥在[]1,12上恒成立，求实数a 的取值范围”提出各自的解题思路．甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”．乙说：“把不等式变形为左边含变量x 的函数，右边仅含常数，求函数的最值”．丙说：“把不等式两边看成关于x 的函数，作出函数图像”． 参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即a 的取值范围是 ．【分析及解】关键在于对甲，乙，丙的解题思路进行思辨，这一思辨实际上是函数思想的反映.设()()232255,f x x x x g x ax =++-=.甲的解题思路，实际上是针对两个函数的，即把已知不等式的两边看作两个函数，设()()232255,f x x x x g x ax =++-= 其解法相当于解下面的问题：对于[][]121,12,1,12x x ∈∈,若()()12f x g x ≥恒成立,求a 的取值范围. 所以，甲的解题思路与题目[]1,12x ∈,()()f x g x ≥恒成立,求a 的取值范围的要求不一致.因而, 甲的解题思路不能解决本题.按照丙的解题思路需作出函数()232255f x x x x =++-的图象和()g x ax =的图象,然而,函数()f x 的图象并不容易作出.由乙的解题思路,本题化为()f x a x≥在[]1,12x ∈上恒成立,等价于[]1,12x ∈时, ()minf x a x ⎡⎤≥⎢⎥⎣⎦成立.由()255f x x x x x x =++-在[]51,12x =∈时,有最小值10,于是,10a ≤. 【例3】已知向量2(,1),(1,),a x x b x t =+=-r r 若函数()b a x f ρρ⋅=在区间()1,1-上是增函数，求t 的取值范围.【分析及解】 依定义,)1()1()(232t tx x x x t x x x f +++-=++-=.23)(2t x x x f ++-='则()x f 在区间()1,1-上是增函数等价于()0>'x f 在区间()1,1-上恒成立;而()0>'x f 在区间()1,1-上恒成立又等价于x x t 232->在区间()1,1-上恒成立;设()()1,1,232-∈-=x x x x g进而()x g t >在区间()1,1-上恒成立等价于()()1,1,max -∈≥x x g t考虑到()()1,1,232-∈-=x x x x g 在⎪⎭⎫ ⎝⎛-31,1上是减函数,在⎪⎭⎫ ⎝⎛1,31上是增函数,则()()51max =-=g x g . 于是, t 的取值范围是5≥t .【例4】已知函数()()()331,5f x x ax g x f x ax '=+-=--，其中()'f x 是()f x 的导函数.（1）对满足11a -≤≤的一切a 的值，都有()0g x <，求实数x 的取值范围； （2）设2a m =-，当实数m 在什么范围内变化时，函数()y f x =的图象与直线3y =只有一个公共点.【分析及解】只考虑（Ⅰ）.解法1.由题意()2335g x x ax a =-+-，这一问表面上是一个给出参数a 的范围，解不等式()0g x <的问题，实际上，把以x 为变量的函数()g x ，改为以a 为变量的函数，就转化为不等式的恒成立的问题，即令()()2335a x a x ϕ=-+-，()11a -≤≤，则对11a -≤≤，恒有()0g x <，即()0a ϕ<，从而转化为对11a -≤≤，()0a ϕ<恒成立，又由()a ϕ是a 的一次函数，因而是一个单调函数，它的最值在定义域的端点得到.为此只需()()1010ϕϕ<⎧⎪⎨-<⎪⎩ 即22320,380.x x x x ⎧--<⎨+-<⎩解得213x -<<.故2,13x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，对满足11a -≤≤的一切a 的值，都有()0g x <. 解法2.考虑不等式()23350g x x ax a =-+-<. 由11a -≤≤知,236600a a ∆=-+>,于是,不等式的解为x <<.但是,这个结果是不正确的,因为没有考虑a 的条件,还应进一步完善.为此,设()()g a h a ==不等式化为()(),11g a x h a a <<-≤≤恒成立,即()()max min ,11g a x h a a <<-≤≤.由于()23660a a a g a --+=在11a -≤≤上是增函数,则()()max 213g a g ==-,()23660a a a h a +-+=在11a -≤≤上是减函数,则()()min 1 1.h a h ==所以,213x -<<. 故2,13x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，对满足11a -≤≤的一切a 的值，都有()0g x <.【例5】求与抛物线2:E y ax =相切于坐标原点的最大圆C 的方程.【分析及解】因为圆C 与抛物线2:E y ax =相切于坐标原点,所以,可设()222:C x y r r +-=.由题意, 抛物线E 上的点(),P x y 除坐标原点()0,0之外,都在圆C 的外边.设P 和圆心()0,C r 的距离为d ,则本题等价于()22d x y r r =+-≥ ①在0y ≥的条件下,恒成立.整理①式得 12y r a≥- ②于是,本题又等价于②式在0y ≥的条件下,恒成立.即min 12y r a≥-, 由min 0y =得 102r a≥-,即12r a≤. 所以,符合条件的最大圆的半径是12r a=,最大圆C 的方程为 2221122x y a a ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【例6】设a ∈R ，二次函数2()22.f x ax x a =--若()0f x >的解集为A ，{}|13,B x x A B =<<≠∅I ，求实数a 的取值范围.【分析及解】这是一个题目在不等式成立的前提下，求参数的范围的问题，这个题目的常规解法是：由题设,0a ≠.()0f x =的两个根为11x a=-21x a =+显然,120,0x x <>. (1) 当0a <时,{}12A x x x x =<<,21A B x ≠∅⇔>⇔I 1a +1> 2.a ⇒<- (2) 当0a >时, {}{}12A x x x x x x =<>U ,23A B x ≠∅⇔<⇔I 1a +637a <⇒>. 于是,实数a 的取值范围是()6,2,7⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭U .我们注意到,题目的要求与大部分见到的题并不相同.这类题目在试题中出现最多的是不等式恒成立的问题,而本题却是一个不等式能成立的问题,因为,题目的条件是只要集合,A B 的交集不是空集就可以,即只要不等式()0f x >在区间()1,3有解就可以,这等价于()()max 0,1,3f x x >∈成立.解法就简单些.解法如下:(1) 当0a <时,因为()f x 的图象的对称轴10a<，则对()1,3x ∈，()1f 最大，()()max 1220. 2.f x f a a a ==-->⇒<-(2) 当0a >时, ()()max ,1,3f x x ∈在()1f 或()3f 实现, 由()()120,376f a f a =--<=-,则()637607f a a =->⇒>于是,实数a 的取值范围是()6,2,7⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭U .这个解法的关键是用函数思想指导,学会用函数和变量来思考. 【例7】已知函数()x x f ln =，()bx ax x g +=221，0≠a .若2=b ，且()()()x g x f x h -=存在单调递减区间，求a 的取值范围； 【分析及解】只研究第（I ）问.x ax x x h b 221ln )(,22--==时，则.1221)(2xx ax ax x x h -+-=--=' 因为函数()h x 存在单调递减区间，所以()0h x '<有解. 由题设可知,()x h 的定义域是()+∞,0 ,而()0<'x h 在()+∞,0上有解,就等价于()0<'x h 在区间()+∞,0能成立, 即x xa 212->, ()+∞∈,0x 成立, 进而等价于()x u a min >成立,其中()xx x u 212-=. 由()x xx u 212-=1112-⎪⎭⎫⎝⎛-=x 得,()1min -=x u .于是,1->a ,由题设0≠a ,所以a 的取值范围是()()+∞-,00,1Y【例8】设3x =是函数23()()()x f x x ax b e x -=++∈R 的一个极值点. （Ⅰ）求a 与b 的关系式（用a 表示b ），并求()f x 的单调区间；（Ⅱ）设0a >，225()()4xg x a e =+,若存在12,[0,4]ξξ∈使得12()()1f g ξξ-<成立，求a 的取值范围.【分析及解】本题的第（Ⅱ） “若存在12,[0,4]ξξ∈使得12()()1f g ξξ-<成立，求a 的取值范围.”如何理解这一设问呢？如果函数()f x 在[]0,4x ∈的值域与()g x 在[]0,4x ∈的值域的交集非空，则一定存在12,[0,4]ξξ∈使得12()()1f g ξξ-<成立，如果函数()f x 在[]0,4x ∈的值域与()g x 在[]0,4x ∈的值域的交集是空集，只要这两个值域的距离的最小值小于1即可.由（Ⅰ）可得,函数()f x 在[]0,4x ∈的值域为()323,6a e a ⎡⎤-++⎣⎦,又()g x 在[]0,4x ∈的值域为2242525,44a a e ⎡⎤⎛⎫++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦, 存在12,[0,4]ξξ∈使得12()()1f g ξξ-<成立，等价于()()max min 1f x g x -<或()()max min 1g x f x -<，容易证明,2254a +6a >+. 于是, ()22561,30420.a a a a ⎧⎛⎫+-+<⎪ ⎪⇒<<⎝⎭⎨⎪>⎩.【例9】已知函数].1,0[,274)(2∈--=x xx x f （1）求)(x f 的单调区间和值域；（2）设1≥a ，函数()[]1,0,2323∈--=x a x a x x g ,若对于任意1x []1,0∈,总存x(a 2+254)e 4a 2+254a+6-(2a+3)e3g (x )f (x )在[]1,00∈x 使得)()(10x f x g =成立，求a 的取值范围. 【分析及解】（1）对函数)(x f 求导，得222)2()72)(12()2(7164)(x x x x x x x f ----=--+-=' 令0)(='x f 解得.2721==x x 或可以求得，当)21,0(∈x 时，)(x f 是减函数；当)1,21(∈x 时，)(x f 是增函数.当]1,0[∈x 时，)(x f 的值域为[]4,3--. （2）对函数)(x g 求导，得).(3)(22a x x g -=' 因为1≥a ，当)1,0(∈x 时，.0)1(3)(2≤-<'a x g 因此当)1,0(∈x 时，)(x g 为减函数， 从而当]1,0[∈x 时有)].0(),1([)(g g x g ∈ 又,2)0(,321)1(2a g a a g -=--=即]1,0[∈x 时有()g x 的值域为是2[123,2].a a a ---如何理解“任给]1,0[1∈x ，]3,4[)(1--∈x f ，存在]1,0[0∈x 使得)()(10x f x g =”， 实际上，这等价于)(x f 值域是()g x 值域的子集，即2[123,2][4,3].a a a ---⊃--这就变成一个恒成立问题，)(x f 的最小值不小于()g x 的最小值，)(x f 的最大值不大于()g x 的最大值即⎩⎨⎧-≥--≤--.32,43212a a a 解①式得 351-≤≥a a 或； 解②式得.23≤a又1≥a ，故a 的取值范围为.231≤≤a① ②以上几个例题主要探讨的是不等式的“恒成立”与“能成立”的问题，在历年高考中还出现过“恰成立”和“部分成立”的题目，例如：【例10】(1)已知(),22xa x x x f ++=对任意[)()0,,1≥+∞∈x f x 恒成立,试求实数a 的取值范围;(2)已知(),22xa x x x f ++=当[)()x f x ,,1+∞∈的值域是[)+∞,0,试求实数a 的值.【分析及解】 这两问给出的函数的表达式相同,x 的范围相同,()f x 的取值区间也相同,但是,由于设问的含义不相同,所以解题的目标也不相同.本题的第(1)问是一个恒成立问题,()022≥++=xa x x x f 对任意[)+∞∈,1x 恒成立 等价于()022≥++=a x x x ϕ对任意[)+∞∈,1x 恒成立,又等价于1≥x 时,()x ϕ的最小值0≥成立.由于()()112-++=a x x ϕ在[)+∞,1上为增函数,则()()31min +==a x ϕϕ,所以 3,03-≥≥+a a .第(2)问是一个恰成立问题,这相当于()022≥++=xa x x x f 的解集是[)+∞∈,1x . 当0≥a 时,由于1≥x 时,()3222≥++=++=xa x x a x x x f ,与其值域是[)+∞,0矛盾, 当0<a 时, ()222++=++=xa x x a x x x f 是[)+∞,1上的增函数, 所以,()x f 的最小值为()1f ,令()01=f ,即.3,021-==++a a【例11】已知0c >，设:P 函数x y c =在R 上单调递减；:Q 21x x c +->的解集为R .如果P 和Q 有且仅有一个正确，求c 的取值范围.【分析及解】函数x y c =在R 上单调递减01c ⇔<<，22,2,22,2.x c x c x x c c x c -≥⎧+-=⎨<⎩Q ()min 22x x c c ∴+-=. 21x x c +->的解集为R ⇔21x x c +->在R 上恒成立⇔()min 21x x c +->121.2c c ⇔>⇔> 如果P 正确,且Q 不正确,则102c <≤, 如果Q 正确,且P 不正确,则1c ≥.由以上, c 的取值范围是[)10,1,2⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦U 这是一个部分成立问题.【例12】已知：(),23r qx px x x f +++=且q p 32<，若对R x ∈都有 ()()x m f x m f cos 2sin 2+-≥-，求m 的取值范围. 【例13】设函数()3243af x x bx cx d =+++的图象关于原点对称，且()f x 的图象在点()1,p m 处的切线的斜率为－6，且当2x =时，()f x 有极值. （Ⅰ）求,,,a b c d 的值；（Ⅱ）若[]12,1,1x x ∈-时，求证()()12443f x f x -≤. 【分析及解】（Ⅰ） ()f x 的图象关于原点对称0b d ⇒==， ()/24f x ax c =+ . ()()//16,20f f =-=Q 462,20a c a c a c +=-⎧⇒⇒==-⎨+=⎩. （Ⅱ）()()3/228,283f x x x f x x =-=-,当[]1,1x ∈-时，()/0f x <, ()[]11f x ∴-在，上为减函数，若[]12,1,1x x ∈-时， ()()()()1244113f x f x f f -≤--=.。
一元二次不等式恒成立问题
⑵集合 A={x|10+3x-x2≥0}，B={x|m+1≤x≤2m+1}， 当 A∩B=φ时，m 的取值范围是________．
m＜0 或 m＞4
2022年12月11日4时52
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练习1：若y lg( x2 5x b) 的定义域为R,求
b范围。
b ( , 25 ) 4
练习2 ：若y lg( x2 5x b) 的值域为R,求b
范围。
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三、课堂小结
一、内容分析
已知不等式的解集，求参数的值或范围
1函数 不等式中的恒成立问题 2分离参数后用最值
3用图象
二、运用的数学思想
数形结合的思想
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作业：73页 第1、2题
思考题：
1、若方程x2 +mx+n=0无实数根，则不等式x2 +mx+n>0的
解集是 R
.
2、若不等式x2 ax (a 3) 0的解集是，则实数
a的取值范围是 -2≤a≤6 .
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一元二次不等式及其解法（4）
与一元二次不等式 有关恒成立的问题
1
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与一元二次不等式有关恒成立的问题
知识概要
（1）二次不等式a x2 +bx +c > 0恒成立
a 0
b2
4acΒιβλιοθήκη 0（2）二次不等式a x2 +bx +c < 0恒成立
不等式恒成问题
九招破解不等式恒成立问题绵阳东辰国际学校 冷世平不等式恒成立问题求解的基本思路是：根据已知条件将恒成立问题向基本类型转化，正确选用构造函数法、变量分离法、数形结合法等解题方法求解.解题过程本身渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了重要的作用，因此也成为历年各地高考的一个热点内容.解决恒成立问题主要有以下几种方法，供各位同行参考.一、反客为主法此方法又称为改变主元法.有一些数学题，题中涉及到若干个量，其中有常量，也有变量，学生在解答时，由于思维定势，不太习惯把其中的常量暂视为变量，把其中的变量暂视为常量的做法，结果导致求解过程异常复杂甚至难以解出.其实，常量与变量是相对的，是辩证统一的关系，根据需要可以将它们的地位调换，即“反客为主”，改变主元，常常使许多难题巧妙获解.例1 对于满足2p ≤的所有实数p ,求使不等式212x px p x ++>+恒成立的x 的取值范围.【分析】在不等式中出现了两个字母：x 及p ,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数.显然可将p 视作自变量，则上述问题即可转化为在[]2,2-内关于p 的一次函数大于0恒成立的问题.【解析】不等式即2(1)210x p x x -+-+>,设2()(1)21f p x p x x =-+-+,则()f p 在[]2,2-上恒大于0，故有(2)0(2)0f f ->⎧⎨>⎩，即2243010x x x ⎧-+>⎪⎨->⎪⎩，从而解得1x <-或3x >. 【点评】在不等式中出现了两个字母：x 及p ,而我们都习惯把x 看成是一个变量，p 作为常数.本题转换视角，可将p 视作自变量，则上述问题即可转化为在[]2,2-内关于p 的一次函数大于0恒成立的问题. 此类题本质上是利用了一次函数在闭区间上的图象是一条线段，故只需保证该线段两利用函数单调性解题是历年高考的重点和难点.如何攻克这个难点呢?一个词：去壳.利用函数单调性解不等式的关键就是：准确判断出函数单调性，成功去掉f 这层外壳，把关于因变量之间的不等关系转化为关于自变量之间的不等关系,然后解关于x 的简单不等式即可.例2 定义在R 上的函数()f x 既是奇函数，又是减函数，且当0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，有2(cos 2sin )(22)0f m f m θθ++-->恒成立，求实数m 的取值范围.【解析】由2(cos 2sin )(22)0f m f m θθ++-->得到2(cos 2sin )(22)f m f m θθ+>---，因为()f x 为奇函数，故有2(cos 2sin )(22)f m f m θθ+>+恒成立，又因为()f x 为R 减函数，从而有2cos 2sin 22m m θθ+<+对0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，设sin ,(0,1)t t θ=∈，则22210t mt m -++>对于(0,1)t ∈恒成立，再设函数2()221g t t mt m =-++,对称轴为t m =.①当0t m =<时，函数()y g t =在(0,1)t ∈上单调递增，min ()(0)210g t g m ==+≥，即12m ≥-，又10,02m m <∴-≤<；②当[]0,1t m =∈，即01m ≤≤时, 2min ()()210g t g t m m ==-++>，即2210,1212m m m --<∴-<<+,又[]0,1,01m m ∈∴≤≤；③当1t m =>时，函数()y g t =在(0,1)t ∈上单调递增，min()(1)122120g t g m m ==-++=>恒成立，1m ∴>.综上所述，实数m 的取值范围为12m ≥-. 【点评】此题属于含参数二次函数的轴动区间定的问题，对轴与区间的位置进行分类讨论.对于二次函数在R 上恒成立问题常采用判别式法，而对于二次函数在某一区间上恒成立问题往往转化为求函数在此区间上的最值问题.三、变量分离法若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解.例3 已知函数22(),[1,)x x a f x x x++=∈+∞，若对任意[1,),()0x f x ∈+∞>恒成立，试求实数a 的取值范围.【分析】此题可经过等价转化为在区间[1,)+∞上220x x a ++>恒成立，再将转化后的不等式分离参数得()()g a h x >恒成立，再求得()h x 得最大值max ()h x ，由max ()()g a h x >可得实数a 的取值范围.【解析】在区间[1,)+∞上，()0f x >恒成立220x x a ⇔++>在区间[1,)+∞上恒成立，要使220x x a ++>恒成立，只需222(1)1a x x x >--=-++恒成立，由二次函数的性质可得2(1)13x -++≤，故只需3a >-，故所示实数a 的取值范围为3a >-.例3 已知二次函数2()(,0)f x ax x a R a =+∈≠，若[0,1]x ∈时，总有()1f x ≤，试求实数a 的取值范围.【解析】①当0x =时，有(0)01f =<恒成立；② 当0x ≠时，21ax x +≤，即2211ax x ax x ⎧+≤⎪⎨+≥-⎪⎩，分离参数可得221111()a x x a x x ⎧≤-⎪⎪⎨⎪≥-+⎪⎩，令1,(0,1]t x x =∈Q ， (1,]t ∴∈+∞，即当(1,]t ∈+∞时恒有22,()a t t a t t ⎧≤-⎪⎨≥-+⎪⎩Q 当(1,]t ∈+∞时，22min max ()0,[()]2t t t t -=-+=-， 即02a a ≤⎧⎨≥-⎩，又因为0a ≠，故实数a 的取值范围为[2,0)-. 【点评】将所求变量与其他变量分离开，通过研究式中另外一个变量的已知范围来确定所求变量的范围.若所求变量为a ，则根据()a f x >恒成立max ()a f x ⇔>； ()a f x <恒成立min ()a f x ⇔<.此题一般性解法是利用根的分布对211ax x -≤+≤进行讨论，其解题过程复杂性显而易见，而将参数从恒成立不等式中分离出来，可以避免较为复杂的讨论.例4 已知当x R ∈时，不等式cos254sin a x x +<-+a 的取值范围.【分析】在不等式中含有两个变量a 及x ，其中x 的范围已知，另一变量a 的范围即为所求，故可考虑将a 及x 分离.【解析】原不等式等价于4sin cos25x x a +<-，要使上式恒成立，5a -大于4sin cos2x x +的最大值，故上述问题转化成求()4sin cos2f x x x =+的最值问题.224sin cos22sin 4sin 12(sin 1)33,53x x x x x a +=-++=--+≤->Q，即2a >+，上式等价于22054054(2)a a a a ⎧-≥⎪-≥⎨⎪->-⎩或20540a a -<⎧⎨-≥⎩，解得485a ≤<. 【点评】注意到题目中出现了sin x 及cos2x ，而2cos212sin x x =-,故若把sin x 换元成t ,则可某些含参不等式恒成立问题，我们在解题过程中，可以把不等式进行合理的变形后，将不等式两端的式子分别看作两个函数，且正确作出两个函数的图象，然后通过观察两图象（特别是交点时）的位置关系，列出关于参数的不等式，以达到求解的目的.例5 设[0,4]x ∈ax 恒成立，求a 的取值范围.【解析】设1(4)y x x =-，则2211(2)4(0x y y -+=≥），它表示的是以(2,0)为圆心，2为半径的上半圆（如图所示），设2y ax =，它的几何意义是一条经过原点，斜率为a 的直线，将两者图像画在同一坐标系下，根据不等式(4)x x ax -≥的几何意义，要使得半圆恒在直线l 的上方（包括相交），当且仅当0a ≤时才成立，所以a 的取值范围就是0a ≤.【点评】此题还可以利用变量分离法求解，略解如下：当0x =时，不等式显示恒成立；当(]0,4x ∈时，不等式(4)x x ax -≥恒成立等价于41a x -≥恒成立，令41y x =-，显然函数41y x =-在区间(]0,4上是单调递减函数，故min 4104y =-=，故a 的取值范围就是0a ≤. 例6 当(1,2)x ∈时，不等式2(1)log a x x -<恒成立，求a 的取值范围.【分析】若将不等号两边分别设成两个函数，则左边为二次函数，图象是抛物线，右边为常见的对数函数的图象，故可以通过图象求解.【解析】设212(1),log a y x y x =-=,则1y 的图象为如图所示的抛物线，要使对一切12(1,2),x y y ∈<恒成立，显然1a >,并且必须也只需当2x =时2y 的函数值大于等于1y 的函数值.故log 211a a >⎧⎨>⎩，从而可得12a <≤. 【点评】我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观,形少数时难 入微;数形结合百般好,隔离分家万事休”，作为一种数学思想方法，数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”.本题是数形结合思想中的“形”中觅“数”，“数”上构“形”的充分体现，由表达式结构特征，能让我们联系到用其几何意义去处理.五、构造向量法向量是数形结合的重要工具，对于形式、结构比较复杂的不等式恒成立问题，可以巧妙的构造向量，使数学问题增添新的活力且简单易解.例7 2252510x x x a +-+对于任意的x R ∈恒成立，求实数a 的取值范围. 【分析】由题目的结构形式可联想到平面向量，于是令(5),(55)m x n x ==u v v ，由向量的模之间的关系5m n m n +≥+=u v v u v v，求得实数a 的取值范围. 【解析】令2222525105(5)5,(5),(55)u x x x x x m x n x =+-+=+-+==u v v ，2222(5,25),5,(5)5,5,52510m n m x n x m n u x x x m n+=∴+=-++=∴=+-+=+u v v v v v u v v5m n ≥+=∴u v v 故实数a 的取值范围是5a ≤.【总结】本题还可以根据结构联想到两点间的距离公式，将不等式左边看作函数y =所求问题转化为平面上一个动点(,0)A x到两定点B C 的距离之和的最小值，易求出点B 关于原点对称的点'(0,B ，显然'5B C =即为所求，故实数a 的取值范围是5a ≤.六、构造函数法根据题目中所给的含参不等式的结构特征，构造适当的函数，并利用函数的性质来求参数的范围.例8若函数()f x =R ，求实数a 的取值范围. 【分析】该题就转化为被开方数222(1)(1)01a x a x a -+-+≥+在R 上恒成立问题，并且注意对二次项系数的讨论.【解析】依题意，当x R ∈时，222(1)(1)01a x a x a -+-+≥+恒成立， ①当210a -=时，有21010a a ⎧-=⎨+≠⎩，解得1a =，此时222(1)(1)10,11a x a x a a -+-+=≥∴=+ ②当210a -≠时，222102(1)4(1)01a a a a ⎧->⎪⎨∆=---≤⎪+⎩，即有2211090a a a ⎧>⎨-+≤⎩，解得19a <≤； 综上所述，()f x 的定义域为R 时，实数a 的取值范围为[1,9].七、集合思想法集合是高中数学的理论基础，贯穿于整个高中数学的始终，其中所包含的子集思想和补集思想在高中数学解题中应用十分广泛，在不等式恒成立问题中巧妙利用这两种解题思想，能达到意想不到的效果.例9 已知52x a -<时，不等式254x -<恒成立，求实数a 的取值范围. 【分析】若记a x <-25的解集是2,54A x -<的解集是B ，则a x <-25成立时254x -<成立，则应有A B ⊆，根据子集的知识可求得a 的取值范围. 【解析】由52x a -<，可得5522a x a -<<+，由254x -<，可得31x -<<-或13x <<.记55(,),(3,1)(1,3)22A a a B =-+=--⋃，则55,3122A B a a ⊆∴-≤-<+≤-或551322a a ≤-<+≤，从而解得102a <≤. 【点评】不等式在集合A 中恒成立等价于集合A 是不等式解集B 的子集，通过研究集合间的关系便可求出参数的取值范围.八、绝对值几何意义法在不等式中，常会遇到含有绝对值的不等式求解问题，处理这类问题的关键在于如何去掉绝对值符号，将问题转化为不含绝对值符号的常规问题来解决，这是解含绝对值不等式问题的一般解法，下面来探求这类问题的另一种解法-----利用实数绝对值的几何意义来求解.例10 x R ∈时，关于x 的不等式13x x a -++>恒成立，求实数a 的取值范围. 【分析】由13x x a -++>恒成立，即13x x -++的最小值大于a ，再由绝对值得几何意义知13x x -++的最小值是4，故可求得a 的取值范围.【解析】13x x a -++>恒成立，即13x x -++的最小值大于a ，又13x x -++表示数轴上点x 到两点1和3-的距离之和，当31x -≤≤时，这个距离和最小且等于4，故实数a 的取值范围是4a <.【点评】对于一些绝对值内为关于x 的一次式的不等式，我们常可以根据绝对值的基本性质，采用等价转化法或零点分段脱去绝对值符号，将问题转化为不含绝对值符号的常规问题来求解，另外也可以根据绝对值的几何意义用数形结合的方法直观、快速、准确地求解这类含有绝对值的不等式.九、三角代换法根据题目的特点，选取恰当的三角代换，能达到化难为易，化繁为简的目的，它是解不等式问题中常用的方法.例11 当(,)P m n 为圆22(1)1x y +-=上任意一点时，不等式0m n c ++≥恒成立，则c 的取值范围是（ ）.11A c -≤≤11B c ≤≤.1C c ≤.1D c ≥【解析】设cos ,1sin x y θθ==+，则)104x y c c πθ+++++≥恒成立，即)14c πθ≥+-，设())14f πθθ=+-，只要max ()c f θ≥，故得1c . 【点评】三角代换的特点是将原来两个变元,x y 问题转化为关于一个变元θ的问题，通过换元达到减元的目的，在使用三角代换时，一定要注意新变量与原变量间的取值范围是否一致.此题还可以利用数形结合方法求解，略解如下：由0m n c ++≥，可以看作是点(,)P m n 在直线0x y c ++=的右侧，而点(,)P m n 在圆22(1)1x y +-=上，实质相当于是22(1)1x y +-=在直线的右侧并与它相离或相切，01011c c ++>⎧⎪∴∴≥≥.不等式恒成立的题型和解法还有很多，只要我们充分利用所给定的函数的特点和性质，具体问题具体分析，选择恰当、简便的方法，但不管用哪种方法，其核心思想还是等价转化，抓住了这点，才能“以不变应万变”，才能使问题获得顺利解决，只有这样才能真正提高学生分析问题和解决问题的能力，当然这需要我们在实际工作中不断的去领悟、体会和，这样自己的业务能力才能声速得以提高.。
盘点不等式中的数学思想
盘点不等式中的数学思想山东沂源县徐家庄中心学校 256116 左效平不等式是中考舞台上的常青树，它所蕴含的数学思想往往是考点设置的主要源头，只有全面准确领略准这些数学思想，求解才会书到渠成，下面就一起走进不等式的世界，感受数学思想绽放的魅力.1.转化思想例1直线y=kx+3经过点A（2，1），则不等式kx+3≥0的解集是（）A．x≤3 B．x≥3 C．x≥﹣3 D．x≤0分析：解答时，我们的基本思路是：1.根据点与直线解析式的关系确定k的值把点A（2，1）代入y=kx+3中，转化成关于k的一元一次方程，解方程可得k的值；2.确定一元一次不等式：把k值代入不等式kx+3≥0，把抽象的不等式转化为具体的一元一次不等式；3.正确求解，可得解集.解：因为y=kx+3经过点A（2，1），所以1=2k+3，解得：k=﹣1，所以一次函数解析式为：y=﹣x+3，所以不等式kx+3≥0变形为﹣x+3≥0，解得：x≤3．所以选A．点评：熟练掌握转化的思想是解题的关键.2.数形结合思想例2如图1，直线y＝x＋b与直线y＝kx＋6交于点P(3，5)，则关于x的不等式x＋b＞kx ＋6的解集是_____________．分析：不等式的解集实质就是函数自变量的取值范围，当x＋b=kx＋6时，自变量的值就是交点坐标横坐标，然后根据解析式确定的不等式，确定自变量取值是从交点开始向右变化取值，还是向左变化取值，从而确定不等式的解集，这里数形结合的思想是要熟练掌握的. 解：因为交点坐标的横坐标为3，所以不等式x＋b＞kx＋6的解集是x＞3.点评：利用数形结合的思想，判断图形的位置，是确定解集的关键.例3如图2，将函数y＝2x＋b（b为常数）的图象位于x轴下方的部分沿x轴翻折至其上方后，所得的折线是函数y＝|2x＋b|（b为常数）的图象．若该图象在直线y＝2下方的点的横坐标x 满足0＜x ＜3，则b 的取值范围为_________．分析：解答时，把握问题的全面，找到所有的界点，确保所得到的范围全面准确. 首先要确保自变量的范围，令y=0即得到x=-2b ，根据x 满足0＜x ＜3，可建立不等式 0＜-2b ＜3； 其次要考虑到x=0和x=3时，所对应的函数值的要求，都必须满足大于等于2，这样才能保证图象在直线y ＝2下方的点的横坐标x 满足0＜x ＜3，这样有建立不等式组，求解不等式组即可.解：根据题意：列出不等式b 032=0=22=3=2+6+2x y x b b x y x b b ⎧⎪⎪≥⎨⎪≥⎪⎩＜-＜代入--满足：-代入满足： ，解得-4≤b≤-2. 所以b 的范围是-4≤b≤-2.点评：充分发挥数形结合思想的威力，结合题意建立不等式组是解题的关键.3.一般与特殊思想中，渗透方程思想例4任取不等式组30,250k k -⎧⎨+⎩≤＞的一个整数解，则能使关于x 的方程：2x ＋k=-1的解为非负数的概率为______．分析：不等式的特解问题，充分体现了数学中一般与特殊的思想，同时渗透了方程的思想，是问题显得更丰富多彩，展示了数学的魅力.解：不等式组30,250k k -⎧⎨+⎩≤＞的解集为－52＜k≤3，其整数解为k= -2，-1，0，1，2，3．其中，当k=-2，-1时，方程2x ＋k=-1的解为非负数．所以所求概率为P=26=13. 点评：利用数学思想确定不等式的特解是解题的一个关键点，其次利用方程的思想，确定符合题意的方程的解是解题的第二个关键点.4.建模思想中，渗透分类思想例5）某商店购买60件A商品和30件B商品共用了1080元，购买50件A商品和20件B商品共用了880元．（1）A、B两种商品的单价分别是多少元？（2）已知该商店购买B商品的件数比购买A商品的件数的2倍少4件，如果需要购买A 、B两种商品的总件数不少于32件，且该商店购买的A、B两种商品的总费用不超过296元，那么该商店有哪几种购买方案？分析：第一问：解答时，需要同学们利用方程组的建模思想来完成求解.设A种商品的单价为x元、B种商品的单价为y元，根据等量关系：①购买60件A商品的钱数+30件B商品的钱数=1080元，②购买50件A商品的钱数+20件B商品的钱数=880元分别列出方程，联立求解即可．第二问：解答时，需要利用不等式组的建模思想来求解，方案数量，取决于不等式组的整数解的个数.具体思路如下：设购买A商品的件数为m件，则购买B商品的件数为（2m﹣4）件，根据不等关系：①购买A、B两种商品的总件数不少于32件，②购买的A、B两种商品的总费用不超过296元可分别列出不等式，联立求解可得出m的取值范围，进而确定不等式组的整数解，借助分类讨论的方法，自然就确定方案．解：（1）设A种商品的单价为x元、B种商品的单价为y元，由题意得：603010805020880x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得164x y =⎧⎨=⎩． 答：A种商品的单价为16元、B种商品的单价为4元．（2）设购买A商品的件数为m件，则购买B商品的件数为（2m﹣4）件，由题意得：(24)m m m +-⎧⎨⎩≥3216+4(2m-4)≤296，解得：12≤m≤13， 因为m是整数，所以m=12或13，所以有如下两种方案：方案一：m=12，2m﹣4=20即购买A商品的件数为12件，则购买B商品的件数为20件；方案二：m=13，2m﹣4=22即购买A商品的件数为13件，则购买B商品的件数为22件．点评：对于方案问题，同学们可以牢固建立起这样的一个链接：方案 不等式组的整数解，在这种思想的指导下，建立不等式组模型将是解题的关键.。
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的方 程 为 —
＋ １ 代 入 ＋ ： ， ， ＝ 整理 得 ：１
“ ｃ ，
（ ｂ ｒ ＋ ２ ｎ ＋ ｌ ） ｌ ｂ ｍｙ＋ ｂ 一 口 ｂ 。 。一 ０ 所 以 ｌ ， ＋
２０ ｂｍ
一 一
—
ｂ ０一 日 ｂ
ａ
ｚ４ — ｍｅ Ｙ ｂ － ２ ’
说明 此 题将 不 等 式 的恒 成 立 问题 转 化 为 求 函数 Ｙ一一 （ ＋ １ ２ ）的最大 、 最小值 ， 这种 常见 的转化 方式须 心领 神会．
例 ２ （０ ８・ 建理 ２ ） 图 １ 椭 圆 ＋ ２０ 福 １如 ，
ｎ 一ｎ一 １＞ ０ 这 种将几 何 问题最终 转化 为解 一 ． 元二 次不 等式 的策 略和方 法 ， 现 出解 题 的智 慧 ， 展 思 维也在 不断 转化 、 迁移 中得到 升华 ．
・
３ ・ ６
中学数学 月刊
２ １ 第 ７ ０ ０年 期
求 解 “ 等 式恒 成 立 ” 不 问题 所蕴 含 的 数学 思想
赵 士元 张 国棣 （ 苏省 苏州 市苏苑 高级 中学 ２ ５ ２ ） 江 １ １ ８
“ 等式恒 成立 ” 类题 灵 活多 变 ， 及解 析 不 这 涉 几何 、 列 、 数 函数 、 导数 等 诸多 内容 ， 往往 拥有很 强 的思想 性． 本文 仅 就 高考 中 出现 的部 分 不 等式 恒 成 立 问题 ， 探索 其蕴 含 的数 学思 想方法 ， 以期 拓展 看 待问题 的角 度 ， 强认识 问题 的理性 ． 增
例 ３ （ ０ ８・江 苏 １ ） ｘ）一 船 。 ３ ２０ ４ ｆ（ 一 ｘ＋ １
（ ）略 ； ２ １ （ ）设 过 点
｛
Ｆ的直线 ｌ 椭 圆于Ａ ， 交 Ｂ 两点． 若直线 ｌ 点 Ｆ 任 绕 意转动 ， 恒有 Ｏ ＋ Ｏ Ａ Ｂ ＜ Ａ ， 口的 取 值 范 Ｂ。 求
围．
２ 分 类 讨 论 。 ’
分类 讨论 求解是 不等 式恒 成立 问题 中重 要 的
１ ＞ ｂ ０ 的一个 焦点是 Ｆ（ ，） ０为坐标 （ ＞ ） １Ｏ ， 原 点．
一
解题 思想 ． 过分类讨 论 ， 以将一 时无从下 手 的 通 可 复杂 问题 分解 成一些 具体 的小 问题 ． 有化 繁为简 ， 化 难 为易 的功效 ．
．
一
对于 ｚ Ｅ ［ １ １ 一 ，］总有 ＿ ｚ 厂 ）≥ ０成立 ， ｎ一 （ 则 解 当 一 ０时 ， 不论 口取何 值 ， （ ） 则 厂 ｚ ≥
０显 然 成 立 ；
‘
解 （ ） 设 Ａ（ ２ ｚ，
ｙ１ ， ｘ２ ｙ ） ） Ｂ（ ， ２ ．
图 １
当 ｚ＞ ０， ｚＥ （ ，］时 ， （ ） ａ 一３ 即 ０１ ， ｚ 一 ｘ。 ｘ
Ｙ ＜ ０恒成 立 ， 再转 化 为不等 式 口ｂ ＞ 日 一 ｎｂ ＋ ｂ 对 ｍ ∈ Ｒ恒 成 立 ， 后转化 为解不 等式 最
［ ，］ 所 以 一 （ ＋ ２ ）Ｅ ［ １ ， ５ ， １２ ， １ 一 ７ 一 ］ 故 的取值 范 围是［ ５ ＋ ｃ ） 一 ， ×． 。
ａ ＋— Ｚ — — ｂ— ‘ ２ ｍ２
因为 恒有 Ｏ Ａ ＋ Ｏ ＜ Ａ 故 由余 弦定 理 Ｂ。 Ｂ ，
知， 当且仅 当 Ａ Ｂ 为钝 角 ， ０ 即 ． 一 （ ｚ，
转 化思想 是不 等式恒 成立 中蕴含 的重要 的数 学思 想． 通过转 化 ， 不等式 恒成 立 问题 转化 为求 将
函数 的最 值 问题 ， 或进 行 不 同知识 系 统 的迁 移 等 等 ， 是 常见 的转化形 式 和途径 ． 都
例 １
２ 一 ．
Ｙ ）・ ２Ｙ ）： ｚ ｚ ＋ｙ ２ ０时恒 成立 一 Ⅱ ｂ 十 ｂ 对 ｍ ∈ Ｒ 恒 。 。
ｆ 一古１ ０ 即ｍ ２ ～１ ≥一（ 一１． 厶 ，≥ ， ２ （ ） ２ “ ） 、
因２ 一 １＞ ０ 故 ｍ ≥一 （ ＋ １ ， 因 ｔ ， ２ ）又 Ｅ 说明 本题 将 Ｏ ＋ Ｏ ＜ Ａ 恒成立 转 Ａ Ｂ。 Ｂ。
化为向量 ． 一 （ １ ・ ｚ ，２ 一 ＋ 碡 ｚ ， ） （ ｙ ） １２ ｙ
一
１４ －
—
（ ） ；２ 若 ２ ２） ｍ ｔ ≥ ０对于 ｔ １ 略 （） ｔ＋ ｒ（） 厂（ Ｅ
‘
［ ，］恒成立 ， 实数 ７ 的取值 范 围． １２ 求 Ｔ ／
综 合
（ｉ （． ， 的 取 值 范 围 为 ） ＿ 口 ）
解 （）当 ￡Ｅ ［ ， ２ １２ １时， ｆ 一壶 ＼ ｆ Ｚ 。 。 ２２ ＋ ＼ ＋。 １ ， ． 、 ／
（Ｉ 当直 线 ＡＢ 与 轴 重合 时 ， Ａ ） Ｏ ＋ Ｏ Ｂ。
￣，ａ ， Ｂ － 。Ａ 一 ４ 口 ＞ １ ， 此 ， 有 Ｏ Ｏ ２ ａ（。 ）因 恒 Ａ ＋ Ｂ
＜ Ａ Ｂ ．
＋≥ 可 为 ≥ ＿ ，ｇ） 一 ， １ｏ化 ｎ ≥ ７设 （一 １ ｚ ３
则 ） ｇ 一 ， 所 以 ） 在 区 间
成立 ． ｍ Ｅ Ｒ时 ， 。 最小 值为 ０ 所 以 ０ 一 当 ｎｂ ，
ｂ＋ｂ ＜ ０ 由 口 ～ ６ ． 。＝ １得 瞳 ＜ （ 。 １ ６ 。 ｎ 一 ）
一
（ ０ ８・ 海 文 １ ）已 知 函数 ． ） ＝ ２０ 上 ９ 厂 （ ＝ ＝
ｂ， 得 ｎ＜ ｂ ， 口 可 即 。一 日一 １＞ ｏ 得 口＞ ，
（１ ｉ ）当直线 Ａ Ｂ不 与 ｚ轴重合 时 ， 直线 Ａ 设 Ｂ
（丢上 调 增在 间号 ］单 递 ， 。 ］单 递 ，区 ［，上 调 减 ，