数学模型在军事上的应用
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乙方士兵不是向甲方士兵开火， 而是向这个隐蔽区域射击，并且 不知道杀伤情况。 这时甲方战斗减员率不仅与乙方兵力有关， 而且随着甲方兵力的 增加而增加。
f 可简单假设为 f ＝cxy 其中：c —乙方的战斗有效系数。
c ＝ ry py = ry Sry / Sx
其中： ry—乙方的射击率 py—乙方的命中率 Sx — 甲方士兵的隐蔽区域面积 Sry— 乙方一次射击的有效面积
（7）
同样忽略非战斗减员与增援，则模型进一步简化为
dx cxy dt dy dxy dt x(0) x0, y(0) y0
（8）
解得相轨线方程为
cy dx m cy0 dx0
乙方获胜条件： m > 0
y0 d rxsrxsx x0 c rysrysy
——Lanchester直线律模型
（1）
dy g(x, y) y v(t), 0 dt 下面针对不同的战争类型讨论战斗减员率f ( x, y ) 和 g( x, y ) 的具体表示形式，并分析影响战争结局的因素。
正规战模型
甲乙双方都用正规部队作战。我们只须分析甲方的战斗减员率f ( x, y ) .
f 可简单假设为 f ＝ay
——弗雷德里克·威廉·兰彻斯特
Lanchester 作战模型
只考虑双方兵力多少和战斗力强弱 兵力—因战斗及非战斗减员而减少，因增援而增加 战斗力—与射击率（单位时间的射击次数）、射击命中率 以及战争的类型 （正规战、游击战）等有关。
用x( t ) 和y( t ) 表示甲乙交战双方 t 时刻的兵力
The End !
Thanks !
（4）
ay2 bx2 k ay02 bx02
由(5)式确定的相轨线是一簇双曲线，如图
（5）
乙方获胜条件：
k >0
Βιβλιοθήκη Baidu
y0 x0
2
b a
rxpx rypy
——Lanchester平方律模型
图 1. 正规战模型的相轨线
游击战模型
甲乙双方都用游击部队作战。
甲方士兵在乙方士兵看不到的某个面积为Sx的隐蔽区域内活动，
假设 1. 每一方的战斗减员率取决于双方的兵力和战斗力，
用f ( x, y ) 和 g( x, y ) 表示。
2. 每一方的非战斗减员率（由疾病、逃跑等因素引起） 与本方的兵力成正比。
3. 每一方的增援率是给定的函数，用u( t ) 和 v( t ) 表示。
由此可以写出用微分方程表示的模型：
dx f (x, y) x u(t), 0 dt
其中：a —乙方平均每个士兵对甲方士兵的杀伤率（单位时间的杀伤数），
称为乙方的战斗有效系数。
a ＝ ry py 其中： ry—乙方的射击率（每个士兵单位时间的射击次数)
py—乙方的命中率
类似地，乙方的战斗减员率设为
g = bx
且甲方的战斗有效系数
b = rx px
rx和 px 是甲方的射击率和命中率。于是可以得到：
dx ay x u(t) dt
（2）
dy bx y v(t) dt
忽略非战斗减员与增援，则模型进一步简化为
dx ay dt dy bx dt x(0) x0, y(0) y0
（3）
不解方程，在平面上讨论相轨线的变化规律 。
dy bx dx ay
数学建模在军事上的应用
试讲人：赵顺
弗雷德里克·威廉·兰彻斯特（1868 - 1946 ）是 一位著名的理论与实践的汽车工程师和航空工程师。
他本来是个汽车工程师，由于天生具有强烈的 好奇心，无法满足于狭隘的专门技术领域，因而， 在他做为Benz汽车公司的顾问时，把兴趣的对象转 移到飞机上，终于成为一个伟大的航空工程师。他 对螺旋桨的研究，在历史上也享有盛名。
类似地，乙方的战斗减员率设为
g = dxy
且甲方的战斗有效系数
d = rx px = rx Srx / Sy rx和 px 是甲方的射击率和命中率，Sy是乙方士兵的隐蔽区域面积， Srx甲方一次射击的有效面积 。
于是，模型为：
dx cxy x u(t) dt dy dxy y v(t) dt
图 2. 游击战争模型的相轨线
混合战模型
甲方为游击部队，乙方为正规部队。 根据对正规战和游击战模型的分析和假设：
f ＝cxy , g = bx
同样在忽略非战斗减员与增援的假设下，模型为
dx cxy dt dy bx dt x(0) x0, y(0) y0
（9）
此时相轨线
cy2 2bx n cy02 2bx0 乙方获胜条件： n > 0
y2 0
2rxpxsx
x0
rysry
——Lanchester抛物线律模型
图 2. 混合战争模型的相轨线
以上模型没有考虑交战双方的政治、经济、 社会 等因素，而仅靠战场上 兵力的优劣是很难估计战争胜负的， 所以用这些模 型判断整个战争的结 局是不可能的，但是对于局部战役来说或许还有参 考价值。更重要的是， 建模的思路和方法为我们借助数学模型讨论社会科 学领域中的实际问题提供了可以借鉴的示例。
但是，这些还是无法满足兰彻斯特的好奇心。在 他研究螺旋桨的同时，又在酝酿着对其他事物的兴趣 。他开始对实际空战的数字发生兴趣，对于几架飞机 对几架飞机的战斗结果将如何，这个问题触动兰彻斯 特更进一步去收集各种地上战斗的资料，以探索兵力 的比率和损害量之间是否具有某种法则的存在。这即 是兰彻斯特作战模型的由来。
f 可简单假设为 f ＝cxy 其中：c —乙方的战斗有效系数。
c ＝ ry py = ry Sry / Sx
其中： ry—乙方的射击率 py—乙方的命中率 Sx — 甲方士兵的隐蔽区域面积 Sry— 乙方一次射击的有效面积
（7）
同样忽略非战斗减员与增援，则模型进一步简化为
dx cxy dt dy dxy dt x(0) x0, y(0) y0
（8）
解得相轨线方程为
cy dx m cy0 dx0
乙方获胜条件： m > 0
y0 d rxsrxsx x0 c rysrysy
——Lanchester直线律模型
（1）
dy g(x, y) y v(t), 0 dt 下面针对不同的战争类型讨论战斗减员率f ( x, y ) 和 g( x, y ) 的具体表示形式，并分析影响战争结局的因素。
正规战模型
甲乙双方都用正规部队作战。我们只须分析甲方的战斗减员率f ( x, y ) .
f 可简单假设为 f ＝ay
——弗雷德里克·威廉·兰彻斯特
Lanchester 作战模型
只考虑双方兵力多少和战斗力强弱 兵力—因战斗及非战斗减员而减少，因增援而增加 战斗力—与射击率（单位时间的射击次数）、射击命中率 以及战争的类型 （正规战、游击战）等有关。
用x( t ) 和y( t ) 表示甲乙交战双方 t 时刻的兵力
The End !
Thanks !
（4）
ay2 bx2 k ay02 bx02
由(5)式确定的相轨线是一簇双曲线，如图
（5）
乙方获胜条件：
k >0
Βιβλιοθήκη Baidu
y0 x0
2
b a
rxpx rypy
——Lanchester平方律模型
图 1. 正规战模型的相轨线
游击战模型
甲乙双方都用游击部队作战。
甲方士兵在乙方士兵看不到的某个面积为Sx的隐蔽区域内活动，
假设 1. 每一方的战斗减员率取决于双方的兵力和战斗力，
用f ( x, y ) 和 g( x, y ) 表示。
2. 每一方的非战斗减员率（由疾病、逃跑等因素引起） 与本方的兵力成正比。
3. 每一方的增援率是给定的函数，用u( t ) 和 v( t ) 表示。
由此可以写出用微分方程表示的模型：
dx f (x, y) x u(t), 0 dt
其中：a —乙方平均每个士兵对甲方士兵的杀伤率（单位时间的杀伤数），
称为乙方的战斗有效系数。
a ＝ ry py 其中： ry—乙方的射击率（每个士兵单位时间的射击次数)
py—乙方的命中率
类似地，乙方的战斗减员率设为
g = bx
且甲方的战斗有效系数
b = rx px
rx和 px 是甲方的射击率和命中率。于是可以得到：
dx ay x u(t) dt
（2）
dy bx y v(t) dt
忽略非战斗减员与增援，则模型进一步简化为
dx ay dt dy bx dt x(0) x0, y(0) y0
（3）
不解方程，在平面上讨论相轨线的变化规律 。
dy bx dx ay
数学建模在军事上的应用
试讲人：赵顺
弗雷德里克·威廉·兰彻斯特（1868 - 1946 ）是 一位著名的理论与实践的汽车工程师和航空工程师。
他本来是个汽车工程师，由于天生具有强烈的 好奇心，无法满足于狭隘的专门技术领域，因而， 在他做为Benz汽车公司的顾问时，把兴趣的对象转 移到飞机上，终于成为一个伟大的航空工程师。他 对螺旋桨的研究，在历史上也享有盛名。
类似地，乙方的战斗减员率设为
g = dxy
且甲方的战斗有效系数
d = rx px = rx Srx / Sy rx和 px 是甲方的射击率和命中率，Sy是乙方士兵的隐蔽区域面积， Srx甲方一次射击的有效面积 。
于是，模型为：
dx cxy x u(t) dt dy dxy y v(t) dt
图 2. 游击战争模型的相轨线
混合战模型
甲方为游击部队，乙方为正规部队。 根据对正规战和游击战模型的分析和假设：
f ＝cxy , g = bx
同样在忽略非战斗减员与增援的假设下，模型为
dx cxy dt dy bx dt x(0) x0, y(0) y0
（9）
此时相轨线
cy2 2bx n cy02 2bx0 乙方获胜条件： n > 0
y2 0
2rxpxsx
x0
rysry
——Lanchester抛物线律模型
图 2. 混合战争模型的相轨线
以上模型没有考虑交战双方的政治、经济、 社会 等因素，而仅靠战场上 兵力的优劣是很难估计战争胜负的， 所以用这些模 型判断整个战争的结 局是不可能的，但是对于局部战役来说或许还有参 考价值。更重要的是， 建模的思路和方法为我们借助数学模型讨论社会科 学领域中的实际问题提供了可以借鉴的示例。
但是，这些还是无法满足兰彻斯特的好奇心。在 他研究螺旋桨的同时，又在酝酿着对其他事物的兴趣 。他开始对实际空战的数字发生兴趣，对于几架飞机 对几架飞机的战斗结果将如何，这个问题触动兰彻斯 特更进一步去收集各种地上战斗的资料，以探索兵力 的比率和损害量之间是否具有某种法则的存在。这即 是兰彻斯特作战模型的由来。