2020年高考数学仿真押题试卷(十二)(含解析)

专题12高考数学仿真押题试卷（十二）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{0A =，1}，{0B =，1，2}，则满足A C B =U 的集合C 的个数为( ) A ．4B ．3C ．2D ．1【解析】解：Q 集合{0A =，1}，{0B =，1，2}，∴满足A C B =U 的集合C 有：{2}，{0，2}，{1，2}，{0，1，2}，共4个．【答案】A ．2．已知i 为虚数单位，复数，则||(z = )A ．235+B ．202C ．5D ．25【解析】解：i 为虚数单位，复数，，【答案】C ．3．已知平面向量a r，b r 的夹角为3π，且||1a =r ，||2b =r ，则2a b +r r 与b r 的夹角是( )A ．56π B ．23π C ．3π D ．6π 【解析】解：Q 向量a r，b r 的夹角为3π，且||1a =r ，||2b =r ，∴，，，设2a b +rr 与b r 的夹角是θ，则，0θπ<Q …，∴6πθ=．【答案】D ．4．空气质量指数AQI 是一种反映和评价空气质量的方法，AQI 指数与空气质量对应如表所示：AQI0~50 51~100 101~150 151~200 201~300 300以上 空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染如图是某城市2020年12月全月的AQI 指数变化统计图：根据统计图判断，下列结论正确的是( ) A ．整体上看，这个月的空气质量越来越差B ．整体上看，前半月的空气质量好于后半个月的空气质量C ．从AQI 数据看，前半月的方差大于后半月的方差D ．从AQI 数据看，前半月的平均值小于后半月的平均值【解析】解：从整体上看，这个月AQI 数据越来越低，故空气质量越来越好；故A ，B 不正确； 从AQI 数据来看，前半个月数据波动较大，后半个月数据波动小，比较稳定，因此前半个月的方差大于后半个月的方差，所以C 正确；从AQI 数据来看，前半个月数据大于后半个月数据，因此前半个月平均值大于后半个月平均值，故D 不正确．【答案】C ． 5．622()x x -的展开式中，常数项为( ) A ．60- B ．15- C ．15 D ．60【解析】解：622()x x -的展开式的通项公式为，令630r -=，求得2r =，可得常数项26460C =g ， 【答案】D ．6．若数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，22a =，，则(n S = )A ．(1)2n n + B ．12n + C ．21n -D ．121n ++【解析】解：由题意，可知： 根据，可知：数列{1}n S +为等比数列． 又111S a ==Q ，．112S ∴+=， 214S +=．∴12n n S += ∴21n n S =-．【答案】C ．7．已知2a =，55b =，77c =，则( ) A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．c b a >>【解析】解：2a =，55b =，77c =， 则，，，b ac ∴>>， 【答案】C ．8．某商场通过转动如图所示的质地均匀的6等分的圆盘进行抽奖活动，当指针指向阴影区域时为中奖．规定每位顾客有3次抽奖机会，但中奖1次就停止抽奖．假设每次抽奖相互独立，则顾客中奖的概率是()A ．427 B ．13C ．59D ．1927【解析】解：由题意应用几何概型面积之比得一次中奖概率13，第一次就中奖的概率13，第二次中奖概率为212339⨯=，第三次中奖概率为，所以顾客中奖的概率问哦．【答案】D ．9．设椭圆E 的两焦点分别为1F ，2F ，以1F 为圆心，12||F F 为半径的圆与E 交于P ，Q 两点．若△12PF F 为直角三角形，则E 的离心率为( ) A ．21-B ．51- C ．2 D ．21+【解析】解：如图所示， Q △12PF F 为直角三角形，，1||2PF c ∴=，2|22PF c =，则，解得．【答案】A．10．如图，AB是圆锥SO的底面O的直径，D是圆O上异于A，B的任意一点，以AO为直径的圆与AD的另一个交点为C，P为SD的中点．现给出以下结论：①SAC∆为直角三角形；②平面SAD⊥平面SBD；③平面PAB必与圆锥SO的某条母线平行．其中正确结论的个数是()A．0 B．1 C．2 D．3【解析】解：①SO⊥Q底面圆O，∴⊥，SO ACC在以AO为直径的圆上，∴⊥，AC OC，∴⊥平面SOC，AC SC⊥，AC即①SAC∆为直角三角形正确，故①正确，②BD AD⊥Q，∴若平面SAD⊥平面SBD，则BD⊥平面SAD，AC OC⊥Q，OC SC∴⊥，在SOC∆中，SO OC⊥，在一个三角形内不可能有两个直角，故平面SAD⊥平面SBD不成立，故②错误，③连接DO并延长交圆于E，连接PO，SE，PQ为SD的中点，O为ED的中点，OP∴是SDE∆的中位线，//PO SE∴，即//SE平面APB，即平面PAB必与圆锥SO的母线SE平行．故③正确，故正确是①③，【答案】C．11．已知函数，且f（a）(1)2f a++>，则a的取值范围是()A．1(2-，)+∞B．1(1,)2--C．1(2-，0)D．1(2-，1)【解析】解：根据题意，函数，有11xx+>-，解可得11x-<<，即函数()f x的定义域为(1,1)-，设，则，则函数()g x为奇函数；分析易得：在(1,1)-上为增函数，f（a）（a）（a）（a），解可得：102a -<<，即a 的取值范围为1(2-，0)；【答案】C ．12．在ABC ∆中，30B =︒，3BC =，23AB =，点D 在边BC 上，点B ，C 关于直线AD 的对称点分别为B '，C '，则△BB C ''的面积的最大值为( )A ．933- B ．63C ．93D ．33【解析】解：由余弦定理可得，3AC ∴=，且，AC BC ∴⊥，以C 为原点，以CB ，CA 为坐标轴建立平面直角坐标系，如图所示： 设直线AD 的方程为3y kx =+，当D 与线段AB 的端点重合时，B ，B '，C '在同一条直线上，不符合题意，∴则3k <-，设(,)B m n '，显然0n <， 则，解得623k n +=，//CC BB ''Q ，，令，则，令()0f k '=可得3k =-或3k =（舍)， ∴当3k <-时，()0f k '>，当时，()0f k '<，∴当3k =-时，()f k 取得最大值．【答案】D ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知平面向量a r，b r 夹角为30︒，||3a =r ，||2b =r ，|2|a b +=r r 31 ；【解析】解：由题意，可知：．．【答案】31．14．设随机变量~(2,)X B p ，若5(1)9P X =…，则()D X = 49； 【解析】解：Q 随机变量~(2,)X B p ，5(1)9P X =…， ．13p ∴=，．【答案】49． 15．过平行六面体的任意两条棱的中点作直线，其中与平面11BCC B 平行的直线有 6 条；【解析】解：设AB 、11A B 、11C D 、CD 的中点分别为E 、F 、G 、H ，连接EF 、FG 、GH 、HE 、EG 、FH ，Q 平面//EFGH 平面11BCC B ，EF 、FG 、GH 、HE 、EG 、FH 都是平面EFGH 内的直线EF ∴、FG 、GH 、HE 、EG 、FH 都与平面11BCC B 平行，共6条直线，因此，满足条件：“与平面11BCC B 平行的直线平行”的直线一共有6条． 【答案】6．16．若存在正实数m ，使得关于x 方程有两个不同的实根，其中e 为自然对数的底数，则实数k 的取值范围是 1(,)e -∞-【解析】解：，，若方程存在两个不同解，则0k ≠，∴，令x mt x+=， 0m >Q ，1t ∴>， 设，则在(1,)+∞上单调递增，且g '（e ）0=，()g t ∴在(1,)e 上单调递增，(,)e +∞上单调递减， ()min g x g ∴=（e ）e =-，g （1）(2)0g e ==，()0g t ∴<在(1,2)e 上恒成立，∴若方程存在两个不同解，1(,0)e k∈-， 即1(,)k e∈-∞-．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且23a c =． （Ⅰ）若，求B ；（Ⅱ）若ABC ∆的面积为，求ABC ∆的周长．【解析】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）23a c =Q ，由正弦定理可得：，可得：，1⋯分由，可得：，两边同时加sin cos C B ，可得：，可得：，3⋯分由(0,)C π∈，可得：sin 0C ≠，可求1cos 2B =，4⋯分 由(0,)B π∈，可得：53B π=⋯分（Ⅱ）由tan 33A =，可得：7cos A =，321sin A =， 可得，解得：47bc =，9⋯分又由23a c =，，可得：，联立47bc =，解得：，10⋯分化简整理可得：，解得：22c =，14b =，32a =，11⋯分可得ABC ∆的周长为．12⋯分18．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA AD ⊥，底面四边形ABCD 为直角梯形，AD BC λ=，//AD BC ，90BCD ∠=︒，M 为线段PB 上一点．（Ⅰ）若13λ=，则在线段PB 上是否存在点M ，使得//AM 平面PCD ？若存在，请确定M 点的位置；若不存在，请说明理由；（Ⅱ）己知2PA =，1AD =，若异面直线PA 与CD 成90︒角，二而角B PC D --的余弦值为10-，求CD 的长．【解析】解：（Ⅰ）13λ=时，则在线段PB 上是存在点M ，且13PM PB =，使得//AM 平面PCD ．理由如下：如图取13CN CB =，连接AN ，MN ．可得//AD CN ，AD CN =，∴四边形ADCN 为平行四边形，//AN CD ∴，M Q ，N 分别为PB ，CN 的三等分点，//MN PC ∴．∴面//AMN 面PCD ，//AM ∴平面PCD ．（Ⅱ）如图，过A 作//AN DC 交BC 与N ，设CD a =．则(0A ，0，0)，(N a ，0，0)，(0P ，0，2)，(0D ，1，0)．(C a ，1，0)，(,0,0)DC a =u u u r，设面PDC 的法向量为(,,)m x y z =r．∴⇒(0,2,1)m =r．，．设面PNC 的法向量为111(,,)n x y z =r．⇒(2,0,)n a =r．．CD ∴的长为2．19．随着经济的发展，个人收入的提高．自2020年10月1日起，个人所得税起征点和税率的调整．调整如下：纳税人的工资、薪金所得，以每月全部收入额减除5000元后的余额为应纳税所得额．依照个人所得税税率表，调整前后的计算方法如表：个人所得税税率表（调整前）个人所得税税率表（调整后）免征额3500元免征额5000元 级数全月应纳税所得额税率(%)级数 全月应纳税所得额税率(%)1 不超过1500元的部分 3 1 不超过3000元的部3（1）假如小李某月的工资、薪金等所得税前收入总和不高于8000元，记x表示总收入，y表示应纳的税，试写出调整前后y关于x的函数表达式；（2）某税务部门在小李所在公司利用分层抽样方法抽取某月100个不同层次员工的税前收入，并制成下面的频数分布表：5000)7000)11000)13000)人数30 40 10 8 7 5①先从收入在[3000，5000)及[5000，7000)的人群中按分层抽样抽取7人，再从中选4人作为新纳税法知识宣讲员，用a表示抽到作为宣讲员的收人在[3000，5000)元的人数，b表示抽到作为宣讲员的收入在[5000，7000)元的人数，随机变量||Z a b=-，求Z的分布列与数学期望；②小李该月的工资、薪金等税前收入为7500元时，请你帮小李算一下调整后小李的实际收人比调整前增加了多少？【解析】解：（1）调整前y关于x的解析式为；调整后y关于x的解析式为；（2）①由频率分布表可知，从收入在[3000，5000)及[5000，7000)的人群中抽取7人，其中在[3000，5000)元的人数为3人，在[5000，7000)元的人数为4人，再从这7人中选4人，所以Z的取值可能为0，2，4；则，，，，，，，所以Z的分布列为，Z0 2 4P18351635135数学期望为；②由于小李的工资、薪金等税前收入为7500元，按调整前起征点应纳个税为（元)；按调整后起征点应纳个税为（元)，比较两个纳税方案可知，按照调整后起征点应纳个税少交（元)，即个人的实际收入增加了220元，所以小李的实际收人比调整前增加了220元．20．已知椭圆的左、右焦点分别为1(1,0)F -，2(1,0)F 且椭圆上存在一点M ，满足．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）已知A ，B 分别是椭圆C 的左、右顶点，过2F 的直线交椭圆C 于P ，Q 两点，记直线AP ，BQ 的交点为T ，是否存在一条定直线l ，使点T 恒在直线l 上？【解析】解：（Ⅰ）设1||F M x =，则△12MF F 中，由余弦定理得，化简得，解得65x =． 故，2a ∴=，得，因此，椭圆C 的标准方程为22143x y +=；（Ⅱ）如下图所示，已知(2,0)A -、(2,0)B ，设(,)T x y 、1(P x ，1)y 、2(Q x ，2)y ，由TA PA k k =，可得，①由TB QB k k =，可得，②上述两式相除得，又，所以，，故，③设直线PQ 的方程为1x my =+，代入椭圆C 的方程并整理得，△0>恒成立，由韦达定理得，，代入③得，得4x =，故点T 在定直线4x =上． 21．设函数．（Ⅰ）求函数()f x 的极值点个数；（Ⅱ）若．【解析】解：（Ⅰ）()f x Q 是奇函数，其图象关于原点对称， 故只需考虑(0,)x ∈+∞上的极值点的个数，，令，，故3(0,)x ∈时，()0h x '<，()h x 递减， 3(x ∈，)+∞时，()0h x '>，()h x 递增，故，取6x =，，故在3(，)+∞上存在唯一的0x 使得0()0h x =， 故()f x 在0(0,)x 递减，在0(x ，)+∞递增， 又()f x 是奇函数，故()f x 在0(,)x -∞-递增，在0(x -，0)x 递减，在0(x ，)+∞递增， 故()f x 的极值点共2个； （Ⅱ）由（Ⅰ）可知()f x 在区间3(0,)递减，且()0f x <恒成立， 故3(0,)x ∈时，，即得，又令，得，．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．（本小题满分10分[选修4-4：坐标系与参数方程]22．曲线1C 的参数方程为，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线关于1C 对称．（Ⅰ）求1C 极坐标方程，2C 直角坐标方程；（Ⅱ）将2C 向左平移4个单位长度，按照3x x y y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩变换得到3C ；3C 与两坐标轴交于A 、B 两点，P 为3C 上任一点，求ABP ∆的面积的最大值．【解析】解：（Ⅰ）1C 的参数方程为，消去参数t 得，4x y -=，又由公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，代入4x y -=，，即∴所以1C 极坐标方程是Q 曲线所以，即，即∴圆心坐标是(,0)a ，半径是a ，又曲线关于1C 对称 所以圆心在曲线1C 上，所以4a =，故（Ⅱ）将2C 向左平移4个单位长度，得到新曲线的方程是222x y a +=，再按照3x xy y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩变换得到3C ；，整理得2211612x y +=，即，又3C 与两坐标轴交于A 、B 两点，不妨令(4,0)A ，(0B ，23)，||27AB =，P 为3C 上任一点，设(4cos P θ，23sin )θ，可得，则P 到直线AB 的距离，即54πθ=时，d 取到最大值43(21)7+．ABP ∴∆的面积的最大值为．[选修4-5：不等式选讲] 23．已知．（Ⅰ）解关于x 的不等式()4f x >；（Ⅱ）对任意正数a 、b ，求使得不等式恒成立的x 的取值集合M ．【解析】解：（Ⅰ）()4f x >即为，当12x …时，214x x +->，解得53x >；当102x <<时，124x x +->，解得x ∈∅； 当0x „时，，解得1x <-，综上可得，()4f x >的解集为{|1x x <-或5}3x >；（Ⅱ）对任意正数a 、b ，不等式恒成立，可得()f x 小于的最小值，由，当2a b ==时取得等号，即有()3f x <，即为，当12x …时，213x x +-<，解得1423x <„；当102x <<时，123x x +-<，解得102x <<； 当0x „时，，解得203x -<„．综上可得，．。