理科拓展 专题4 4.3.1 随机变量和数学期望(含答案) (2)
高二数学随机变量的期望与方差试题答案及解析
高二数学随机变量的期望与方差试题答案及解析1.已知某一随机变量X的分布列如下：且，则a＝__________；b＝__________。
【答案】，【解析】由得，又由得。
【考点】随机变量的期望2.某市公租房房屋位于A、B、C三个地区，设每位申请人只申请其中一个片区的房屋，且申请其中任一个片区的房屋是等可能的，求该市的任4位申请人中：(1)若有2人申请A片区房屋的概率；(2)申请的房屋在片区的个数的X分布列与期望．【答案】（1）（2）X的分布列为：X123【解析】解:(1)所有可能的申请方式有34种，恰有2人申请A片区房源的申请方式有C·22种，从而恰有2人申请A片区房源的概率为＝.(2)X的所有可能值为1,2,3.又p(X＝1)＝＝，p(X＝2)＝＝，p(X＝3)＝＝，综上知，X的分布列为：从而有E(X)＝1×＋2×＋3×＝.3.本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租不超过两小时免费，超过两小时的收费标准为2元(不足1小时的部分按1小时计算)．有人独立来该租车点则车骑游．各租一车一次．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间都不会超过四小时．(1)求出甲、乙所付租车费用相同的概率；(2)求甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量X，求X的分布列与数学期望E(X)．【答案】(1) (2) 分布列X02468【解析】解：(1)所付费用相同即为0,2,4元．设付0元为P1＝×＝，付2元为P2＝×＝，付4元为P3＝×＝，则所付费用相同的概率为P＝P1＋P2＋P3＝.(2)设甲，乙两个所付的费用之和为X, X可为0,2,4,6,8.P(X＝0)＝P(X＝2)＝×＋×＝P(X＝4)＝×＋×＋×＝P(X＝6)＝×＋×＝P(X＝8)＝×＝.分布列E(X)＝＋＋＋＝.4.已知离散型随机变量X的分布列如表，若E(X)＝0，D(X)＝1，则a＝________，b＝________.【答案】【解析】由题意知解得5.设一随机试验的结果只有A和，且P(A)＝p令随机变量X＝，则X的方差V(X)等于________．【答案】p(1－p)【解析】X服从两点分布，∴V(X)＝p(1－p)．6.甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为.(1)求乙至多击中目标2次的概率；(2)记甲击中目标的次数为Z，求Z的分布列、数学期望和标准差．【答案】(1) (2) Z的分布列如下表：【解析】解：(1)甲、乙两人射击命中的次数服从二项分布，故乙至多击中目标2次的概率为1－33＝.C303＝；(2)P(Z＝0)＝C313＝；P(Z＝1)＝C323＝；P(Z＝2)＝C333＝.P(Z＝3)＝C3Z的分布列如下表：Z0123E(Z)＝0×＋1×＋2×＋3×＝，D(Z)＝2×＋2×＋2×＋2×＝，∴＝.7.样本4，2，1，0，－2的标准差是：（）A．1B．2C．4D．【答案】D【解析】，样本4，2，1，0，－2的标准差是：=，选D。
2021新高考数学专题23 期望、方差及正态分布的实际应用附参考答案3
二、期望与方差的实际应用1、离散型随机变量的期望：（1）若离散型随机变量的概率分布为ξξ1x 2x --- n x --- P1p 2p ---np ---则称为的数学期望（平均值、均值）简称为期望。
++++=n n p x p x p x E 2211ξξ1）求）现从甲、乙两盒各随机抽取的分布列；是服从正态分布名学生的成绩统计如表，规定分以下为一般，大于等于2 718 C ．3 413 D 附：若X~N )(0.682 6,2X P μσμ<≤+=-】每个国家身高正常的标准是不一样的，不同年龄、不同种族、不同地区身高都是有差异的，我的生产过程进行检查？剔除之外的数据，用剩下的数据估计为了了解某地区高三男生的身体发育状况抽查结果表明他们的体重3.某车间在三天内，每天生产10件某产品，其中第一天，第二天分别生产出了1件、2件次品，而质检部每天要从生产的10件产品中随意抽取4件进行检查，若发现有次品，则当天的产品不能通过. （I ）求第一天通过检查的概率； （II ）求前两天全部通过检查的概率；（III ）若厂内对车间生产的产品采用记分制：两天全不通过检查得0分，通过1天、2天分别得1分、2分.求该车间在这两天内得分的数学期望.4.两个排球队进行比赛采用五局三胜的规则，即先胜三局的队获胜，比赛到此也就结束，假设按原定队员 组合，较强队每局取胜的概率为0.6，若前四局出现2比2的平局情况，较强队就换人重新组合队员，则其在决赛局中获胜的概率为0.7，设比赛结束时的局数为. ξ （Ⅰ）求的概率分布； ξ （Ⅱ）求E . ξ5.某大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生是否选修哪门课互不影响. 已知某学生只选修甲的概率为0.08，只选修甲和乙的概率是0.12，至少选修一门的概率是0.88，用表示该学生选修的课程门数和没有选修ξ的课程门数的乘积.（Ⅰ）记“函数为上的偶函数”为事件，求事件的概率；x x x f ξ+=2)(R A A（Ⅱ）求的分布列和数学期望.ξ6.某小组有7个同学，其中4个同学从来没有参加过天文研究性学习活动，3个同学曾经参加过天文研究性学习活动.（1）现从该小组中随机选2个同学参加天文研究性学习活动，求恰好选到1个曾经参加过天文研究性学习活动的同学的概率；（2）若从该小组随机选2个同学参加天文研究性学习活动，则活动结束后，该小组没有参加过天文ξξξ研究性学习活动的同学个数是一个随机变量，求随机变量的分布列及数学期望E.7.旅游公司为3个旅游团提供4条旅游线路，每个旅游团任选其中一条.（1）求3个旅游团选择3条不同的线路的概率（2）求恰有2条线路没有被选择的概率.（3）求选择甲线路旅游团数的期望.8.一个口袋中装有大小相同的2个白球和4个黑球。
(压轴题)高中数学选修三第二单元《随机变量及其分布》测试(有答案解析)(2)
一、选择题1．将3个球（形状相同，编号不同）随机地投入编号为1、2、3、4的4个盒子，以ξ表示其中至少有一个球的盒子的最小号码（3ξ=表示第1号，第2号盒子是空的，第3个盒子至少1个球），则()E ξ、(21)E ξ+分别等于（ ） A ．2516、258B ．2516、338 C ．32、3 D ．32、4 2．在市高二下学期期中考试中，理科学生的数学成绩()2~90,X N σ，已知(7090)0.35P X <=，则从全市理科生中任选一名学生，他的数学成绩小于110分的概率为（ ） A ．0.15B ．0.50C ．0.70D ．0.853．红外线自动测温门能有效避免测温者与被测温者的近距离接触，降低潜在的病毒感染风险.为防控新冠肺炎，某厂生产的红外线自动测温门，其测量体温误差服从正态分布()20.1,0.3N ，从已经生产出的测温门中随机取出一件，则其测量体温误差在区间()0.4,0.7内的概率为（ ）（附：若随机变量ξ服从正态分布()2,Nμσ，则()68.27%P μσξμσ-<<+=，()2295.45%P μσξμσ-<<+=）A ．31.74%B ．27.18%C ．13.59%D ．4.56%4．某人射击一发子弹的命中率为0.8，现他射击19发子弹，理论和实践都表明，这19发子弹中命中目标的子弹数n 的概率()f n 如下表，那么在他射击完19发子弹后，其中击中目标的子弹数最大可能是（ ）A ．14发B ．15发C ．16发D ．15或16发5．已知随机变量X 的分布列：若()1E X =，(21)2D X +=，则p =（ ） A ．13B ．14C ．15D ．166．从一个装有3个白球，3个红球和3个蓝球的袋中随机抓取3个球，记事件A 为“抓取的球中存在两个球同色”，事件B 为“抓取的球中有红色但不全是红色”，则在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率()|P B A =（ ） A ．37B ．1237C ．1219D ．16217．已知随机变量ξ的取值为()0,1,2i i =.若()105P ξ==，()1E ξ=，则( ) A ．()()1P D ξξ=< B ．()()1P D ξξ== C ．()()1P D ξξ=>D ．()()115P D ξξ==8．某校从6名学生干部（其中女生4人，男生2人）中选3人参加学校的汇演活动，在女生甲被选中的情况下，男生乙也被选中的概率为（ ） A ．12B ．25C ．35D ．459．在一个袋子中装有6个除颜色外完全相同的球，设有1个红球，2个黄球，3个黑球，从中依次不放回地抽取2个球，则在第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球的概率为（ ） A ．15B ．25C ．35D ．4510．某班组织由甲、乙、丙等5名同学参加的演讲比赛，现采用抽签法决定演讲顺序，在“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”的前提下，学生丙第一个出场的概率为（ ） A ．313 B ．413C ．14D ．1511．已知ξ是离散型随机变量，则下列结论错误的是( ) A ．21133P P ξξ⎛⎫⎛⎫≤≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B ．()()()22E E ξξ≤C ．()()1D D ξξ=-D ．()()()221D D ξξ=-12．已知甲在上班途中要经过两个路口，在第一个路口遇到红灯的概率为0.5，两个路口连续遇到红灯的概率为0.4，则甲在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到红灯的概率为（ ） A ．0.2B ．0.6C ．0.8D ．0.9第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明参考答案二、填空题13．加工某种零件需要两道工序，第一道工序出废品的概率为0.4，两道工序都出废品的概率为0.2，则在第一道工序出废品的条件下，第二道工序又出废品的概率为__________． 14．随机变量X 的概率分布为2()(1,2,3)aP X n n n n===+，其中a 是常数，则()D aX =__________．15．有10张纸币，其中有4张假币，从中取出两张，已知其中一张是假币，则另一张也是假币的概率为____．16．袋中有三个白球，两个黑球，现每次摸出一个球，不放回地摸取两次，则在第一次摸到黑球的条件下，第二次摸到白球的概率为__________． 17．给出如下四个结论：①若随机变量ξ服从正态分布N (1，σ2)且P (ξ≤4)＝0.84，则P (ξ≤－2)＝0.16；②∃a ∈R ＋，使得f (x )＝21xx x e--+－a 有三个零点； ③设线性回归方程为y ＝3－2x ，则变量x 每增加一个单位时，y 平均减少2个单位； ④若命题p ：∀x ∈R ，e x >x ＋1，则¬p 为真命题；以上四个结论正确的是________．(把你认为正确的结论都填上) 18．下列说法正确的有________(填序号)．①离散型随机变量ξ的期望E (ξ)反映了ξ取值的概率的平均值； ②离散型随机变量ξ的方差D (ξ)反映了ξ取值的平均水平； ③离散型随机变量ξ的期望E (ξ)反映了ξ取值的波动水平； ④离散型随机变量ξ的方差D (ξ)反映了ξ取值的波动水平．三、解答题19．李雷、韩梅梅两人进行象棋比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满4局时停止．设李雷在每局中获胜的概率为12P P ⎛⎫> ⎪⎝⎭，且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为58． （1）求P 的值；（2）设ξ表示比赛停止时李雷的总得分，求随机变量ξ的分布列和数学期望()E ξ． 20．学校趣味运动会上增加了一项射击比赛，比赛规则如下：向A 、B 两个靶子进行射击，先向A 靶射击一次，命中得1分，没有命中得0分；再向B 靶连续射击两次，如果只命中一次得2分，一次也没有命中得0分，如果连续命中两次则得5分．甲同学准备参赛，经过一定的训练，甲同学的射击水平显著提高，目前的水平是：向A 靶射击，命中的概率是23；向B 靶射击，命中的概率为34．假设甲同学每次射击结果相互独立． （1）求甲同学恰好命中一次的概率；（2）求甲同学获得的总分X 的分布列及数学期望．21．我市某大学组建了A 、B 、C 、D 、E 五个不同的社团组织，为培养学生的兴趣爱好，要求每个学生必须且只能参加一个社团，假定某寝室的甲、乙、丙三名学生对这五个社团的选择是等可能的．（1）求甲、乙、丙三名学生中至少有两人参加同一社团的概率；（2）设随机变量ξ为甲、乙、丙这三个学生参加A 或B 社团的人数，求ξ的分布列、数学期望及方差．22．教育是阻断贫困代际传递的根本之策.补齐贫困地区义务教育发展的短板，让贫困家庭子女都能接受公平而有质量的教育，是夯实脱贫攻坚根基之所在.治贫先治愚﹐扶贫先扶智.为了解决某贫困地区教师资源匮乏的问题，郑州市教育局拟从5名优秀教师中抽选人员分批次参与支教活动.支教活动共3分批次进行，每次支教需要同时派送2名教师，且每次派送人员均从5人中随机抽选.已知这5名优秀教师中，2人有支教经验，3人没有支教经验. （1）求5名优秀教师中的“甲”，在这3批次活动中有且只有一次被抽选到的概率﹔ （2）求第二次抽选时，选到没有支教经验的教师的人数最有可能是几人﹖请说明理由； （3）现在需要2名支教教师完成某项特殊教学任务，每次只能派一个人，且每个人只派一次，如果前一位教师一定时间内不能完成教学任务，则再派另一位教师.若有A B 、两个教师可派，他们各自完成任务的概率分别为12p p 、，假设121p p >>，且假定各人能否完成任务的事件相互独立.若按某种指定顺序派人，这两个人各自能完成任务的概率依次为12,q q ，其中12,q q 是12p p 、的一个排列，试分析以怎样的顺序派出教师，可使所需派出教师的人员数目的数学期望达到最小.23．国家发展改革委、住房城乡建设部于2017年发布了《生活垃圾分类制度实施方案》，规定46个城市在2020年底实施生活垃圾强制分类，垃圾回收、利用率要达35％以上.截至2019年底，这46个重点城市生活垃圾分类的居民小区覆盖率已经接近70％.武汉市在实施垃圾分类之前，从本市人口数量在两万人左右的320个社区中随机抽取50个社区，对这50个社区某天产生的垃圾量（单位：吨）进行了调查，得到如下频数分布表，并将人口数量在两万人左右的社区垃圾数量超过28吨/天的确定为“超标”社区：（1）通过频数分布表估算出这50个社区这一天垃圾量的平均值x （精确到0.1）； （2）若该市人口数量在两万人左右的社区这一天的垃圾量大致服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为（1）中的样本平均值x ，2σ近似为样本方差2s ，经计算得 5.2s =.请利用正态分布知识估计这320个社区中“超标”社区的个数.（3）通过研究样本原始数据发现，抽取的50个社区中这一天共有8个“超标”社区，市政府决定对这8个“超标”社区的垃圾来源进行跟踪调查.现计划在这8个“超标”社区中任取5个先进行跟踪调查，设Y 为抽到的这一天的垃圾量至少为30.5吨的社区个数，求Y 的分布列与数学期望.（参考数据：()0.6827P X μσμσ-<≤+≈；()220.9545P X μσμσ-<≤+≈；()330.9974P X μσμσ-<≤+≈）24．高尔顿(钉)板是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行､水平间隔相等的圆柱形铁钉(如图)，并且每一排铁钉数目都比上一排多一个，一排中各个铁钉恰好对准上面一排两相邻铁钉的正中央.从入口处放入一个直径略小于两颗铁钉间隔的小球，当小球从两钉之间的间隙下落时，由于碰到下一排铁钉，它将以相等的可能性向左或向右落下，接着小球再通过两铁钉的间隙，又碰到下一排铁钉.如此继续下去，在最底层的5个出口处各放置一个容器接住小球.（1）理论上，小球落入4号容器的概率是多少？（2）一数学兴趣小组取3个小球进行试验，设其中落入4号容器的小球的个数为X ，求X 的分布列.25．某单位招聘员工时，要求参加笔试的考生从5道A 类题和3道B 类题共8道题中任选3道作答.（1）求考生甲至少抽到2道B 类题的概率；（2）若答对A 类题每道计1分，答对B 类题每道计2分，若不答或答错，则该题计0分.考生乙抽取的是1道A 类题，2道B 类题，且他答对每道A 类题的概率为23，答对每道B 类题的概率是12，各题答对与否相互独立，用X 表示考生乙的得分，求X 的分布列和数学期望.26．出于“健康､养生”的生活理念.某地的M 炊具有限公司的传统手工泥模工艺铸造的平底铁锅一直受到全国各地消费者的青睐.M 炊具有限公司下辖甲､乙两个车间，甲车间利用传统手工泥模工艺铸造T 型双耳平底锅，乙车间利用传统手工泥模工艺铸造L 型双耳平底锅，每一口双耳平底锅按照综合质量指标值(取值范围为[50,100])划分为：综合质量指标值不低于70为合格品，低于70为不合格品.质检部门随机抽取这两种平底锅各100口，对它们的综合质量指标值进行测量，由测量结果得到如下的频率分布直方图：将此样本的频率估计为总体的概率.生产一口T 型双耳平底锅，若是合格品可盈利40元，若是不合格品则亏损10元；生产一口L 型双耳平底锅，若是合格品可盈利50元，若是不合格品则亏损20元.（1）记X 为生产一口T 型双耳平底锅和一口L 型双耳平底锅所得的总利润，求随机变量X 的数学期望；（2）M 炊具有限公司生产的T 和L 型双耳平底锅共计1000口，并且两种型号获得的利润相等，若将两种型号的合格品再按质量综合指标值分成3个等级，其中[70,80)为三级品，[80,90)为二级品，[90,100]为一级品，试判断生产的这1000口两种型号的双耳平底锅中哪种型号的一级品多？请说明理由.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】由题意可知，随机变量的可能取值有1、2、3、4，计算出随机变量ξ在不同取值下的概率，可求得()E ξ，利用数学期望的性质可求得(21)E ξ+. 【详解】由题意可知，随机变量的可能取值有1、2、3、4，()1223333333371464C C C P ξ⨯+⨯+===，()1223333322192464C C C P ξ⨯+⨯+===， ()123333373464C C C P ξ++===，()3114464P ξ===， 所以，()3719712512346464646416E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=，因此，()()2533212121168E E ξξ+=+=⨯+=. 故选：B. 【点睛】方法点睛：求随机变量的期望和方差的基本方法如下：（1）已知随机变量的分布列，直接利用期望和方差公式直接求解；（2）已知随机变量X 的期望、方差，求(),aX b a b R +∈的期望与方差，利用期望和方差的性质（()()E aX b aE X b +=+，()()2D aX b a D X +=）进行计算；（3）若能分析出所给的随机变量服从常用的分布（如：两点分布、二项分布等），可直接利用常用分布列的期望和方差公式进行计算.2．D解析：D 【分析】根据正态密度曲线的对称性得出()()()110700.57090P X P X P X ≥=≤=-<≤，于是可计算出()()1101110P X P X <=-≥，于此可得出结果． 【详解】 由于()2~90,X N σ，由正态密度曲线的对称性可得()()()110700.570900.15P X P X P X ≥=≤=-<≤=，因此，()()110111010.150.85P X P X <=-≥=-=，故选D. 【点睛】本题考查正态分布在指定区间上的概率的计算，解题的关键在于利用正态密度曲线的对称性将所求概率转化为已知区间概率进行计算，属于基础题．3．C解析：C 【分析】由题意可知0.1,0.3μσ==，结合题意得出(0.20.4)68.27%P ξ-<<=，(0.50.7)95.45%P ξ-<<=，再由()(0.50.7)(0.20.4)0.40.72P P P ξξξ-<<--<<<<=，即可得出答案.【详解】由题意可知0.1,0.3μσ==则(0.20.4)68.27%P ξ-<<=，(0.50.7)95.45%P ξ-<<= 即()(0.50.7)(0.20.4)95.45%68.27%0.40.713.59%22P P P ξξξ-<<--<<-<<===故选：C【点睛】本题主要考查了利用正态分布对称性求概率，属于中档题.4．D解析：D 【分析】设第k 发子弹击中目标的概率最大，根据题意，可以表示第1k -、k 、1k +发子弹击中目标的概率，进而可得()()1f k f k ≥+且()()1f k f k ≥-，即可得关于k 的不等式组，求解可得答案． 【详解】根据题意，设第k 发子弹击中目标的概率最大，而19发子弹中命中目标的子弹数n 的概率()19190.80.2k k k P n k C -⋅⋅==（0k =，1，2，，19），则有()()1f k f k ≥+且()()1f k f k ≥-，即191118191919112019190.80.20.80.20.80.20.80.2k k k k k kkk k k k kC C C C -++-----⎧⋅⋅≥⋅⋅⎨⋅⋅≥⋅⋅⎩ ，解可得1516k ≤≤ ， 即第15或16发子弹击中目标的可能性最大，则他射完19发子弹后，击中目标的子弹最可能是第15或16发. 故选：D ． 【点睛】本题考查n 次独立重复试验中发生k 次的概率问题，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题．5．B解析：B 【分析】由(21)4()D X D X +=，可得1()2D X =，由随机变量分布列的期望、方差公式，联立即得解. 【详解】由题意，11()0()2121222aE X p a p p =⨯-+⨯+⨯=∴+= 且(21)2D X +=，又1(21)4()()2D X D X D X +=∴=22211()(01)()(1)(21)222D X p a p ∴=-⨯-+-⨯+-⨯=联立可得：11,4a p == 故选：B 【点睛】本题考查了随机变量分布列的期望和方差，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于中档题.6．C解析：C 【分析】根据题意，求出()P A 和()P AB ，由公式()()()|P AB P B A P A =即可求出解答.【详解】解：因为事件A 为“抓取的球中存在两个球同色”包括两个同色和三个同色，所以()213363393357198428C C C P A C +=== 事件A 发生且事件B 发生概率为：()12213336392363847C C C C P AB C +=== 故()()()3127|191928P AB P B A P A ===. 故选：C. 【点睛】本题考查条件概率求法，属于中档题.7．C解析：C 【分析】设()1P x ξ==，根据()f x ，()1E ξ=列方程求出x ，进而求出()D ξ，即可比较大小. 【详解】 设()1P x ξ==， 则()425P x ξ==-，则()1480121555x x E x ξ⎛⎫=⨯+⨯+-⨯=-= ⎪⎝⎭，解得()315P ξ==，()125P ξ==， 则()()()()22213120111215555D ξ=⨯-+⨯-+⨯-=， 故()()1P D ξξ=>， 故选：C. 【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.8．B解析：B 【分析】先求出女生甲被选中的情况下的基本事件总数1215C C n =，再求出在女生甲被选中的情况下，男生乙也被选中包含的基本事件个数为2124C C m =，结合条件概率的计算方法，可得m P n=. 【详解】女生甲被选中的情况下，基本事件总数1215C C 10n ==，在女生甲被选中的情况下，男生乙也被选中包含的基本事件个数为2124C C 4m ==，则在女生甲被选中的情况下，男生乙也被选中的概率为42105m P n ===. 故选B. 【点睛】本题考查了条件概率的求法，考查了学生的计算求解能力，属于基础题.9．B解析：B 【分析】设抽取第一个球是红球的事件为A ，第二个球是黄球的事件为B ，所求概率为()()()|P AB P B A P A =，求解即可.【详解】设抽取第一个球是红球的事件为A ，第二个球是黄球的事件为B ，则()16P A =，()1216515P AB =⨯=，则所求概率为()()()25P AB P B A P A |==. 故选B. 【点睛】本题考查了条件概率的计算，考查了学生对条件概率知识的掌握，属于基础题.10．A解析：A 【分析】根据条件概率的计算公式，分别求解公式各个部分的概率，从而求得结果. 【详解】设事件A 为“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”；事件B 为“学生丙第一个出场”则()41134333555578A C C A P A A A +==，()1333555518C A P AB A A == 则()()()1837813P AB P B A P A === 本题正确选项：A 【点睛】本题考查条件概率的求解，关键是能够利用排列组合的知识求解出公式各个构成部分的概率.11．D解析：D 【分析】利用概率、数学期望、方差的性质直接求解． 【详解】 在A中，211113333P P P P ξξξξ⎛⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤=-≤≤≤≤=≤≤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故A 正确；在B 中，由数学期望的性质得()()()22E E ξξ≤，故B 正确；在C 中，由方差的性质得()()1D D ξξ=-，故C 正确； 在D 中，()()()()()22214D D D D ξξξξ≠-=+，故D 错误．故选D. 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查概率、数学期望、方差的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12．C解析：C 【解析】分析：由题意可知()()0.5,0.4P A P AB ==，利用条件概率公式可求得()|P B A 的值. 详解： 设第一个路口遇到红灯的事件为A ， 第二个路口遇到红灯的事件为B ， 则()()0.5,0.4P A P AB ==， 则()()()|0.8P AB P B A P A ==，故选C.点睛：本题考查条件概率公式()()()/=P AB P B A P A ，属于基础题.计算条件概率时一定要注意区分条件概率与独立事件同时发生的概率的区别与联系.二、填空题13．05【解析】分析：利用条件概率求解详解：设第一道工序出废品为事件则第二道工序出废品为事件则根据题意可得故在第一道工序出废品的条件下第二道工序又出废品的概率即答案为05点睛：本题考查条件概率的求法属基解析：0.5 【解析】分析：利用条件概率求解.详解：设第一道工序出废品为事件,A 则()0.4P A = ，第二道工序出废品为事件B ，则根据题意可得()0.2P AB =，故在第一道工序出废品的条件下，第二道工序又出废品的概率()()()1.2P AB P B A P A == 即答案为0.5点睛：本题考查条件概率的求法，属基础题.14．【分析】根据随机变量分布列概率和为1求出求出再由方差性质即可求解【详解】由题意得则∴则∴故答案为:【点睛】本题考查离散型随机变量分布列性质期望方差以及方差的性质考查计算求解能力属于中档题 解析：608729【分析】根据随机变量分布列概率和为1求出a ，求出(),()E X D X ，再由方差性质，即可求解. 【详解】 由题意得11111311122334223344a a a a a ⎛⎫++=-+-+-== ⎪⨯⨯⨯⎝⎭， 则43a =，∴()213P X ==，()229P X ==，()139P X ==，则24113()3939E X =++=，222132********()12393999981D X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+-⨯=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴2608()()729D aX a D X ==. 故答案为:608729【点睛】本题考查离散型随机变量分布列性质、期望、方差以及方差的性质，考查计算求解能力，属于中档题.15．【解析】分析：记抽出的两张有一张是假币为事件A 抽出的两张都是假币为事件B 利用条件概率计算公式能求出其中1张放到验钞机上检验发现是假钞则另一张也是假钞的概率详解：记抽出的两张有一张是假币为事件A 抽出的解析：15【解析】分析：记“抽出的两张有一张是假币”为事件A ，“抽出的两张都是假币”为事件B ，利用条件概率计算公式能求出其中1张放到验钞机上检验发现是假钞，则另一张也是假钞的概率． 详解：记“抽出的两张有一张是假币”为事件A ，“抽出的两张都是假币”为事件B ， 则将其中1张放到验钞机上检验发现是假钞，则另一张也是假钞的概率为：24210211446210()1(|)()5C C P AB P B A C C C P A C ===+. 点睛：本题主要考查了条件的求解以及组合数的应用，正确理解条件概率的计算公式是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，以及转化与化归思想的应用，试题比较基础，属于基础题．16．【解析】记事件为第一次取到黑球事件为第二次取到白球则事件为第一次取到黑球第二次取到白球根据题意知∴在第一次取到黑球的条件下第二次取到白球的概率是故答案为解析：34【解析】记事件A 为“第一次取到黑球”，事件B 为“第二次取到白球”，则事件AB 为“第一次取到黑球、第二次取到白球”，根据题意知，2()5P A =，23()54P AB =⨯，∴在第一次取到黑球的条件下，第二次取到白球的概率是()3(|)()4P AB P B A P A ==，故答案为34． 17．①③④【解析】由正态分布曲线得①正确；令得当时单调递增当时单调递减当时单调递增得且时的图象如图所示函数有两个零点故②错误；由回归直线方程的定义知③正确；④中当时错误故为假命题为真命题④正确故答案为①解析：①③④ 【解析】由正态分布曲线得()()()24140.16P P P ξξξ≤-=≥=-≤=，①正确；令()21x x x g x e --+=，得()22'xx x g x e--=，当(),1x ∈-∞-时，()()'0,g x g x >单调递增，当()1,2x ∈-时，()()'0,g x g x <单调递减，当()2,x ∈+∞时，()()'0,g x g x >单调递增，得()()21,25g e g e --==-，且150,22g x ⎛⎫-±=→+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，()()'0,g x g x <∴的图象如图所示函数有两个零点，故②错误；由回归直线方程的定义知③正确；④中当0x =时，01e >错误，故p 为假命题，p ⌝为真命题，④正确，故答案为①③④．18．4【解析】①错误因为离散型随机变量ξ的期望反映了ξ取值的平均水平②错误因为离散型随机变量ξ的方差反映了随机变量偏离于期望的平均程度③错误因为离散型随机变量的方差反映了ξ取值的波动水平而随机变量的期望解析：4 【解析】①错误．因为离散型随机变量ξ的期望()E ξ反映了ξ取值的平均水平．②错误．因为离散型随机变量ξ的方差()D ξ反映了随机变量偏离于期望的平均程度． ③错误．因为离散型随机变量的方差()D ξ反映了ξ取值的波动水平，而随机变量的期望()E ξ反映了ξ取值的平均水平．④正确．由方差的意义可知正确．三、解答题19．（1）34p =；（2）分布列见解析，3316. 【分析】（1）第二局比赛结束时比赛停止等价于李雷连胜2局或韩梅梅连胜2局，由此列式可解得结果；（2）ξ的所有可能值为0，1，2，3，求出ξ的每个取值的概率可得分布列，根据期望公式可得所求期望值. 【详解】（1）依题意，当李雷连胜2局或韩梅梅连胜2局时，第二局比赛结束时比赛结束， ∴有225(1)8p p +-=，解得34p =或14p =，∵12p >，∴34p =（2）依题意知，ξ的所有可能值为0，1，2，3，∴111(0)4416P ξ==⨯= ∴1213116(1)4444256P C ξ==⨯⨯⨯⨯=∴112233131345(2)44444464P C C ξ==⨯+⨯⨯⨯⨯⨯=∴12133354(3)4444256P C ξ==⨯⨯⨯⨯=∴随机变量ξ的分布列为：故232566425616E ξ=+⨯+⨯=． 【点睛】关键点点睛：求出随机变量ξ的所有可能取值的概率是解题关键.20．（1）16；（2）分布列见解析；期望为20348． 【分析】（1）记“甲同学恰好命中一次”为事件C ，“甲射击命中A 靶”为事件D ，“甲第一次射击B 靶命中”为事件E ，“甲第二次射击B 靶命中”为事件F ，然后利用互斥事件概率的求解方法求解即可.（2）随机变量X 的可能取值为：0，1，2，3，5，6，求出概率，列出分布列，然后求解期望. 【详解】（1）记“甲同学恰好命中一次”为事件C ，“甲射击命中A 靶”为事件D ，“甲第一次射击B 靶命中”为事件E ，“甲第二次射击B 靶命中”为事件F ，由题意可知()23P D =，()()34P E P F ==．由于C DEF DEF DEF =++，()()21111313134434413446P C P DEF DEF DEF =++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=．（2）随机变量X 的可能取值为：0，1，2，3，5，6．()1111034448P X ==⨯⨯=()2111134424P X ==⨯⨯=()12113123448P X C ==⨯⨯⨯=()12231334144P X C ==⨯⨯⨯=()1333534416P X ==⨯⨯=()233363448P X ==⨯⨯=()48E X =． 【点睛】 关键点点睛：古典概型及其概率计算公式的应用，求离散型随机变量的分布列及其期望的求法，解题的关键为正确求出X =0，1，2，3，5，6，所对应的概率. 21．（1）1325；（2）分布列见解析；期望为1.2；方差0.72． 【分析】（1）先求出甲、乙、丙三名学生参加社团的总的方法数为35，再求出三名学生选择不同社团35A种，求出三名学生选择不同社团概率为35312525A =，然后由12125-得出答案. （2）由题意得ξ的可能值为0、1、2、3，每个学生参加A 或B 社团的概率都是20.45=，且相互独立，符合二项分布~(30.4)B ξ，，由二项分布可得答案. 【详解】（1）甲、乙、丙三名学生每人选择五个社团的方法是5种，故共有35125=种可能，甲、乙、丙三名学生选择不同社团概率为35312525A =，则至少有两人参加同一社团概率为121312525-=； （2）由题意得ξ的可能值为0、1、2、3， 甲、乙、丙三个学生每人参加A 或B 社团的概率都是20.45=， 且相互独立，符合二项分布~(30.4)B ξ，，3(0)0.60.216P ξ===，1123(1)0.40.60.432P C ξ==⨯⨯=， 2213(2)0.40.60.288P C ξ==⨯⨯=，3(3)0.40.064P ξ===，ξ的分布列为：()(1)30.40.60.72D np p ξ=-=⨯⨯=． 【点睛】关键点睛：本题考查古典概率和对立事件的概率以及二项分布的期望和方程，解答本题的关键是将问题化为二项分布问题，即根据甲、乙、丙三个学生每人参加A 或B 社团的概率都是20.45=， 且相互独立，符合二项分布~(30.4)B ξ，，从而根据二项分布求解，属于中档题. 22．（1）54125；（2）第二次抽取到的无支教经验的教师人数最有可能是1人，理由见解析；（3）按照先A 后B 的顺序所需人数期望最小. 【分析】（1）在每轮抽取中，甲被抽中的概率为25，则三次抽取中，“甲”恰有一次被抽取到的概率为2132355P C ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）设ξ表示第二次抽取到的无支教经验的教师人数，可能的取值有0,1,2，分别求出各种情况的概率，从而得出答案.（3）设X 表示先A 后B 完成任务所需人员数目，求出的X 期望，设Y 表示B 先后A 完成任务所需人员数目，求出的Y 期望，从而得出结论. 【详解】（1）5名优秀教师中的“甲”在每轮抽取中，被抽取到概率为142525C C =，则三次抽取中，“甲”恰有一次被抽取到的概率为213235455125P C ⎛⎫== ⎪⎝⎭(2)第二次抽取到的没有支教经验的教师人数最有可能是1人.设ξ表示第二次抽取到的无支教经验的教师人数，可能的取值有0,1,2，则有:()11222222332222222222555555370,100C C C C C C C P C C C C C C ξ==⋅+⋅+⋅=()11111122112323233241222222555555541,100C C C C C C C C C C P C C C C C C ξ==⋅+⋅+⋅=()2112223233322222255555920,100C C C C C C P C C C C C ξ==⋅+⋅+⋅=因为()()()102P P P ξξξ=>=>=，故第二次抽取到的无支教经验的教师人数最有可能是1人. （3）按照先A 后B 的顺序所需人数期望最小. 设X 表示先A 后B 完成任务所需人员数目，则111212E X p p p =+-=-设Y 表示B 先后A 完成任务所需人员数目，则22212212,0()E Y p p p E Y E X p p =+-=-=->-.故按照先A 后B 的顺序所需人数期望最小. 【点睛】关键点睛：本题考查求概率和求离散型随机变量的数学期望，解答本题的关键是设X 表示先A 后B 完成任务所需人员数目，得出()()111212E X p p p =+-=-，设Y 表示B 先后A 完成任务所需人员数目，则()()111212E X p p p =+-=-，相减得出大小，属于中档题.23．（1）22.8吨；（2）51；（3）分布列见解析，52. 【分析】（1）直接利用平均数公式求解；（2）由（1）知22.8μ=， 由题意可知()()28P X P X μσ>=>+，利用3σ原则求解；（3）Y 的可能取值为1，2，3，4，利用超几何分布求概率，列出分布列，并求数学期望. 【详解】（1）由频数分布表得：1451762092312268296322.7622.8542x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=+≈⨯⨯=+，所以这50个社区这一天垃圾量的平均值为22.8吨.（2）由（1）知22.8μ=， 5.2s =， 5.2s σ∴==， ()()10.6827280.158652P X P X μσ-∴>=>+==， 3200.1586550.76851⨯=≈，。
高考数学离散型随机变量的期望及方差解答题
高考数学离散型随机变量的期望与方差解答题考点预测和题型解析在高考中，离散型随机变量的期望与方差试题的出题背景大多数源于课本上，有时也依赖于历年的高考真题、资料中的典型题例为背景，涉及主要问题有：产品检验问题、射击、投篮问题选题、选课，做题，考试问题、试验，游戏，竞赛，研究性问题、旅游，交通问题、摸球球问题、取卡片，数字和入座问题、信息，投资，路线等问题。
属于基础题或中档题的层面。
高考中一定要尽量拿满分。
● 考题预测离散型随机变量的期望与方差涉及到的试题背景有：产品检验问题、射击、投篮问题选题、选课，做题，考试问题、试验，游戏，竞赛，研究性问题、旅游，交通问题、摸球球问题、取卡片，数字和入座问题、信息，投资，路线等问题。
从近几年高考试题看，离散型随机变量的期望与方差问题还综合函数、方程、数列、不等式、导数、线性规划等知识主要考查能力。
● 复习建议1．学习概率与统计的关键是弄清分布列,期望和方差在统计中的作用. 离散型随机变量的分布列的作用是：（1）可以了解随机变量的所有可能取值； （2）可以了解随机变量的所有取值的概率；（3）可以计算随机变量在某一范围内取值的概率。
2．离散型随机变量的分布列从整体上全面描述了随机变量的统计规律。
3．离散型随机变量的数学期望刻画的是离散型随机变量所取的平均值，是描述随机变量集中趋势的一个特征数。
4．离散型随机变量的方差表示了离散型随机变量所取的值相对于期望的集中与分散程度。
● 知识点回顾1．离散型随机变量的期望：（1）若离散型随机变量ξ的概率分布为则称 ++++=n n p x p x p x E 2211ξ为ξ的数学期望（平均值、均值） 简称为期望。
① 期望反映了离散型随机变量的平均水平。
② ξE 是一个实数，由ξ的分布列唯一确定。
③ 随机变量ξ是可变的，可取不同值。
④ ξE 是不变的，它描述ξ取值的平均状态。
（2）期望的性质：① C C E =)(为常数）C ( ② b aE b a E +=+ξξ)( 为常数）b a ,(③ 若),(~p n B ξ，则np E =ξ （二项分布）④ 若),(~p k g ξ，则pE 1=ξ （几何分布） 2．离散型随机变量的方差（1）离散型随机变量的方差：设离散型随机变量ξ可能取的值为,,,,,21 n x x x 且这些值的概率分别为 ,,,,,321n p p p p则称 +-+-=222121)()(p E x p E x D εεε…+-+n n p E x 2)(ε…；为ξ 的方差。
高考数学基础题训练：随机变量的期望与方差含详解
高考数学基础题训练：随机变量的期望与方差一、单选题 1．已知()1,4N η，若()()21P a P a ηη>=<-，则=a （ ）A ．1-B ．0C ．1D ．22．天气预报，在假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3，假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为 A ．0.2B ．0.3C ．0.38D ．0.563．随机变量X 的分布列如下表，其中2b a c =+，且1c ab =，则(2)P X ==（ ）A ．47B ．45C ．14D ．2214．从某地区的儿童中挑选体操学员，已知儿童体型合格的概率为15，身体关节构造合格的概率为14．从中任挑一儿童，这两项至少有一项合格的概率是（假定体型与身体关节构造合格与否相互之间没有影响）（ ） A ．1320B ．25C ．14D ．155．某市为弘扬我国优秀的传统文化，组织全市10万中小学生参加网络古诗词知识答题比赛，总分100分，经过分析比赛成绩，发现成绩X 服从正态分布()82,16N ，请估计比赛成绩不小于90分的学生人数约为（ ）〖参考数据〗：()0.683P X μσμσ-<≤+=，()220.954P X μσμσ-<≤+=，()330.997P X μσμσ-<≤+=A ．2300B ．3170C ．3415D ．4606．小明参加某项测试，该测试一共3道试题，每道试题做对得5分，做错得0分，没有中间分，小明答对第1，2题的概率都是12，答对第3题的概率是13，则小明答完这3道题的得分期望为（ ） A ．2512B ．6512C ．203D ．2537．A 同学和B 同学参加某市青少年围棋比赛并进入决赛，决赛采取“3局2胜”制，若A 同学每局获胜的概率均为23，且每局比赛相互独立，则在A 先胜一局的条件下，A 最终能获胜的概率是（ ）A ．34B ．89C ．79D ．568．从区间()0,3和()1,5内分别选取一个实数x ，y ，得到一个实数对(),x y ，称为完成一次试验．若独立重复做3次试验，则x y <的次数T 的数学期望为（ ） A ．12B ．13C ．53D ．52二、多选题9．设离散型随机变量X 的分布列如下表：若离散型随机变量23Y X =-+，且() 3.2E X =，则正确的是（ ）.A ．0.2m =B ．0.2n =C ．() 3.4E Y =-D ．()()33P X P X ≤=>10．“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给作出了杰出贡献.某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高ξ（单位：cm ）近似服从正态分布()2100,10N .已知()2~,X N μσ时，有(||)0.6827P X μσ-≤≈，(||2)0.9545P X μσ-≤≈，(||3)0.9973P X μσ-≤≈.下列说法正确的是（ ） A ．该地水稻的平均株高约为100cmB ．该地水稻株高的方差约为100C ．该地株高超过110cm 的水稻约占68.27％D ．该地株高低于130cm 的水稻约占99.87％11．如图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为1，2，3，…，6，用X 表示小球落入格子的号码，则（ ）A ．1(1)(0)64P X P X ==== B ．5(2)(5)32P X P X ==== C ．5(3)(4)16P X P X ==== D ．3()2D X =12．一口袋中有大小和质地相同的5个红球和2个白球，则下列结论正确的是（ ）A ．从中任取3球，恰有一个红球的概率是17B ．从中有放回的取球3次，每次任取一球，恰好有两个白球的概率为20343C ．从中不放回的取球2次，每次任取1球，若第一次已取到了红球，则第二次再次取1到红球的概率为13D ．从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到白球的概率为218343第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 三、填空题13．已知随机变量2~(0,)X N σ，且(),0P X a m a >=>，则()P a X a -<<=___________.14．已知某种疾病的患病率为0.5%，在患该种疾病的条件下血检呈阳性的概率为99%，则患该种疾病且血检呈阳性的概率为______.15．一项过关游戏规则规定:在第n 关要抛掷一颗质地均匀的骰子n 次，如果这n 次抛掷所出现的点数之和大于2n ，则算过关.甲同学参加了该游戏，他连过前二关的概率是_____．四、双空题16．在是否接种疫苗的调查中调查了7人，7人中有4人未接种疫苗，3人接种了疫苗，从这7人中随机抽取3人进行身体检查，用X 表示抽取的3人中未接种疫苗的人数，则随机变量X 的数学期望为______；设A 为事件“抽取的3人中，既有接种疫苗的人，也有未接种疫苗的人”，则事件A 发生的概率为______. 17．某地区气象台统计，该地区下雨的概率是415，刮风的概率是215，既刮风又下雨的概率是110．设事件A 为“该地区刮风”，事件B 为“该地区下雨”，则()P B A =______，()P A B =______．18．随机变量X 的分布列为()()1,2,3,,15kP X k k k N *===∈，则正整数k的最大值为__________，1522P X ⎛⎫<< ⎪⎝⎭的值为__________．19．立德中学开展学生数学素养测评活动，高一年级测评分值（满分100分）X 近似服从正态分布，正态曲线如图①所示.为了调查参加测评的学生数学学习的方法与习惯差异，决定在分数段[),m n 内抽取学生，并确定m ＝67，且()0.8186P m X n <<=.在某班随机抽样得到20名学生的分值分布茎叶图如图①所示.若该班抽取学生分数在分数段[),m n 内的人数为k ，则k 等于______；这k 名学生的人均分为______.（附：()0.6827P X μσμσ-<<+=，()220.9545P X μσμσ-<<+=，()330.9973P X μσμσ-<<+=）五、解答题20．在某校开展的知识竞赛活动中，共有A B C ､､三道题，答对A B C ､､分别得2分､2分､4分，答错不得分.已知甲同学答对问题A B C ､､的概率分别为422,,535，乙同学答对问题A B C ､､的概率均为35，甲､乙两位同学都需回答这三道题，且各题回答正确与否相互独立.(1)求甲同学至少有一道题不能答对的概率；(2)运用你学过的统计学知识判断，谁的得分能力更强.21．第24届冬季奥运会将于2022年2月在北京和张家口举办，为了普及冬奥知识，京西某校组织全体学生进行了冬奥知识答题比赛，从全校众多学生中随机选取了20名学生作为样本，得到他们的分数统计如下：我们规定60分以下为不及格；60分及以上至70分以下为及格；70分及以上至80分以下为良好；80分及以上为优秀.（I）从这20名学生中随机抽取2名学生，恰好2名学生都是优秀的概率是多少？（II）将上述样本统计中的频率视为概率，从全校学生中随机抽取2人，以X表示这2人中优秀人数，求X的分布列与期望.22．某校高一年级组织“知识竞答”活动．每位参赛者第一关需回答三个问题，第一个问题回答正确得10分，回答错误得0分；第二个问题回答正确得20分，回答错误得10-分；第三个问题回答正确得30分，回答错误得20-分．规定，每位参赛者回答这三个问题的总得分不低于30分就算闯关成功．若某位参赛者回答前两个问题正确的概率都是23，回答第三个问题正确的概率是12，且各题回答正确与否相互之间没有影响．（1）求这位参赛者仅回答正确两个问题的概率；（2）求这位参赛者回答这三个问题的总得分ξ的分布列和期望；（3）求这位参赛者闯关成功的概率．参考答案：1．C 【解析】 【分析】首先可通过题意求出正态分布曲线的对称轴，然后根据()()21P a P a ηη>=<-得出2112a a +-=，最后通过计算即可得出结果. 【详解】 因为()1,4N η，所以对称轴方程为1x η==，因为()()21P a P a ηη>=<-， 所以2112a a +-=，解得1a =， 故选：C. 【点睛】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，主要考查正态分布曲线的对称性，考查计算能力，是简单题. 2．C 【解析】两地中恰有一个地方降雨分为两种情况：甲地降雨乙地不降雨，乙地降雨甲地不降雨，分别求解然后求和可得结果. 【详解】因为甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3，所以这两地中恰有一个地方降雨的概率为0.2(10.3)(10.2)0.30.38⨯-+-⨯=. 故选：C. 【点睛】本题主要考查事件的独立性，把事件分解为独立事件的积、互斥事件的和，是求解的关键，侧重考查数学建模的核心素养. 3．A 【解析】由概率的性质可得1a b c ++=，结合已知条件求出a 的值，即可求解.【详解】由概率的性质可得1a b c ++=， 由2,1,21b a c c ab a b c =+⎧⎪⎪=⎨⎪++=⎪⎩得4,71,32,21a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩则4(2)7P X ==，故选：A 4．B 【解析】先写出事件“从中任挑一儿童，这两项至少有一项合格”的对立事件，然后再根据相互独立事件同时发生的概率公式求出其概率，最后根据对立事件的概率公式即可算出． 【详解】设事件A ：“从中任挑一儿童，这两项至少有一项合格”，则其对立事件B ：“从中任挑一儿童，这两项都不合格”，由题可知，儿童体型不合格的概率为45，身体关节构造不合格的概率为34，所以()433545P B =⨯=，故()()321155P A P B =-=-=．故选：B ． 【点睛】本题主要考查对立事件的概率公式和相互独立事件同时发生的概率公式的应用，属于基础题． 5．A 【解析】根据正态分布定义，求得比赛成绩不小于90分的学生人数所占比例，即可得结果. 【详解】依题意知，82,4μδ==所以()74900.954P x <≤= 则()()19010.9540.0232P x ≥=-⨯=，所以比赛成绩不小于90分的学生人数约为 1000000.0232300⨯=故选：A6．C 【解析】 【分析】设小明的得分为ξ，则ξ的可能取值为0、5、10、15，求出所对应的概率，即可得到得分ξ的分布列，从而求出数学期望；【详解】解：设小明的得分为ξ，则ξ的可能取值为0、5、10、15， 所以()111101112236P ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-⨯-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()21211111551112232312P C ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-⨯-+-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()2121111111011232233P C ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯-+⨯⨯-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()2111152312P ξ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭；所以小明得分ξ的分布列为：所以小明答完这3道题的得分期望为1511200510156123123⨯+⨯+⨯+⨯=，故选：C. 7．B 【解析】 【分析】先分析A 最终能获胜有两种情况，分别计算概率，再相加即得结果. 【详解】在A 先胜一局的条件下，A 最终能获胜有两种情况： （1）第二局甲再次取胜，概率为23；（2）第二局甲败，第三局甲胜，概率为122339⨯=，故A 最终能获胜的概率为228399+=.故选：B. 【点睛】 方法点睛:计算条件概率通常有两种方法; (1)利用条件概率公式()()()P AB P A B P B =；(2)在事件B 已经发生的前提下，相当于缩小了总事件的空间容量，再计算()()()n AB P A B n B =，或利用独立关系直接计算事件B 发生后的概率情况. 8．D 【解析】 【分析】先根据几何概型求出一次试验中x y <发生的概率，再由二项分布的期望公式即可求数学期望． 【详解】从区间()0,3和()1,5内分别选取一个实数x ，y ，则03,15x y <<⎧⎨<<⎩表示的可行域为矩形ABCD 区域（不含边界），如图所示，0315x y x y <<⎧⎪<<⎨⎪<⎩表示的可行域为图中的阴影部分（不含边界）．因为BEF 的面积为12222⨯⨯=，矩形ABCD 的面积为12，所以由几何概型可知，每次试验x y <发生的概率251126P =-=， 由题意知，53,6TB ⎛⎫ ⎪⎝⎭, 所以x y <的次数T 的数学期望为55362⨯=． 故选：D ． 9．AC 【解析】 【分析】先由() 3.2E X =可得40.6m n +=，再由概率和为1得0.3m n +=，从而可求出,m n 的值，再利用期望公式求()E Y 即可，从而可得答案. 【详解】()120.130.3450.3 3.2E X m n =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，所以40.6m n +=，又因为0.10.30.31m n ++++=，所以0.3m n +=，从而得0.2m =，0.1n =，故A 选项正确，B 选项错误；()()23 3.4E Y E X =-+=-，故C 选项正确；()()()()3=3=2=++=0.3+0.1+0.2=01.6P X P X P X P X ≤=， ()()()=+3=4=0.4=5P X P X P X >，故D 选项不正确. 故选：AC. 10．ABD 【解析】 【分析】根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解. 【详解】由题意可知，100μ=，2100σ=，故A ，B 正确； 由题意得110μσ+=，3130μσ+=所以()()()()1110.317315.87%22P X P X μσμσμσ>+=--<<+≈⨯=⎡⎤⎣⎦，故C 错误； 所以()()()()13113310.0013599.87%2P X P X μσμσμσ<+=---<<+≈-=⎡⎤⎣⎦，故D 正确； 故选：ABD. 11．BC 【解析】 【分析】结合独立重复试验概率计算公式，计算出概率并求得方差，从而确定正确选项. 【详解】已知X 表示小球落入格子的号码，则X 的所有取值范围为1，2，3，4，5，6， 则()5111()232P X ===，由对称性可知()()16132P X P X ====，而()()14511525()2232P X P X C ====⋅⋅=，()()232511534()()2216P X P X C ====⋅⋅=，所以()()()()15571625343232162E X =+⨯++⨯++⨯=， ()22222271717575757551625342322322322322162164D X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，综上得选项BC 正确． 故选：BC 12．AD 【解析】 【分析】利用超几何分布的概率公式可判断A 选项；利用独立重复试验的概率公式可判断B 选项；利用条件概率公式可判断C 选项；利用对立事件的概率公式可判断D 选项. 【详解】对于A 选项，从中任取3球，恰有一个红球的概率是125237C C 1C 7=，A 对；对于B 选项，从中有放回的取球3次，每次任取一球，每次抽到白球的概率为27，则3次取球中恰好有两个白球的概率为2232560C 77343⎛⎫⋅⋅= ⎪⎝⎭，B错；对于C 选项，从中不放回的取球2次，每次任取1球， 记事件:A 第一次取到红球，记事件:B 第二次取到红球，则()()()2527C C 2537P AB P B A P A ===，C 错；对于D 选项，从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到白球的概率3521817343⎛⎫-=⎪⎝⎭，D 对. 故选：AD. 13．12m - 【解析】 【分析】根据正态分布区间的对称性直接计算即可. 【详解】由2~(0,)X N σ，且(),0P X a m a >=> 则()P X a m <-=，所以()12P a X a m -<<=- 故答案为：12m - 14．0.495% 【解析】 【分析】根据条件概率公式计算． 【详解】设事件A 表示“血检呈阳性”，事件B 表示“患该种疾病”.依题意知()0.005P B =，()0.99P A B =，由条件概率公式()()()P AB P A B P B =，得()()()0.0050.990.004950.495%P AB P B P A B ==⨯==.故答案为：0.495%． 15．59【解析】 【分析】由题可求过第一、二关的概率，再利用独立事件的概率公式即求. 【详解】由于骰子是均匀正方体，所以，抛掷后各点数出现的可能性是相等的.设事件An ，为“第n 次过关失败”，则对立事件n B 为“第n 次过关成功”，第n 次游戏中，基本事件总数为6n .第1关：事件1A 所含基本事件数为2（即出现点数1和2两种情况）. 所以，过此关的概率为 11221163B A P P =-=-=. 第2关：事件2A 所含基本事件数为方程x y a +=当a 分别取2、3、4时的正整数解组数之和，即6个.所以，过此关的概率为 222651166B A P P =-=-=. 故连过两关的概率为1259B B P P ⨯=.故答案为：59.16．12767【解析】 【分析】分别求出，0,1,2,3X =的概率，进一步求出所以()E X 和()P A . 【详解】由题意可知，随机变量X 的取值范围为{0，1，2，3}，()33371035C P X C ===，()12433712135C C P X C ===， ()21433718235C C P X C ===，()34374335C P X C ===，所以()112184120123353535357E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 由已知条件可得()()()121861235357P A P X P X ==+==+=. 故答案为：127；67. 17．3438【解析】 【分析】根据条件概率公式即求. 【详解】()215P A =，()415P B =，()110P AB =，()()()34P BA P B A P A ∴==，()()()38P AB P A B P B ==． 故答案为：34；38.18． 5 15【解析】 【分析】由概率和为1，可求出k 的值，由()()1,2,3,,15kP X k k k N *===∈可得15(1)(2)22P X P X P X ⎛⎫<<==+= ⎪⎝⎭【详解】 解：由题意得121151515k++⋅⋅⋅+=，得12315k +++⋅⋅⋅+=，解得5k =， 因为()()1,2,3,,15kP X k k k N *===∈，所以15121(1)(2)2215155P X P X P X ⎛⎫<<==+==+= ⎪⎝⎭，故答案为：5，1519． 10 74分 【解析】 【分析】由已知，测评分值X 服从正态分布2(,)N μσ，根据图像，分别求解出μ，σ，根据给的参考数据，结合给定的范围，即可确定n 的值，然后根据区间[),m n 的范围，在图①输出满足条件的数据，即可确定k 的值，并根据k 的取值再去计算平均数即可. 【详解】有图像可知，X 服从正态分布2(,)N μσ，其中72μ=，5σ=，所以随机变量X ~(7225)N ，，()67770.6827P X <<=，()62820.9545P X <<=，由0.95450.6827(67)0.81860.95452P X n -<<==-，可得82n =.由图①可知，该班在[)67,82内抽取了10人； 所以，人均分为687073757271767876817410+++++++++=分.故答案为：10，74分. 20．(1)5975(2)乙 【解析】 【分析】（1）先求其对立事件的概率即可.（2）分别求甲乙两同学得分的概率分布及均值，比较甲乙两同学得分的均值的大小即可. (1)设甲同学三道题都答对的事件为A ,则()4221653575P A =⨯⨯=， 所以甲同学至少有一道题不能答对的概率为()1659117575P P A =-=-=. (2)设甲同学本次竞赛中得分为X ，则X 的可能取值为0,2,4,6,8分，则()1133053575P X ==⨯⨯=, ()41312318253553575P X ==⨯⨯+⨯⨯=,()42311226453553575P X ==⨯⨯+⨯⨯=,()41212212653553575P X ==⨯⨯+⨯⨯=,()42216853575P X ==⨯⨯=,所以X 的概率分布列为：所以()318261216340680246875757575757515E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯== 设乙同学本次竞赛中得分为Y ，由Y 的可能取值为0,2,4,6,8分 ()32805125P Y ⎛⎫===⎪⎝⎭, ()2123224255125P Y C ⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭, ()2232323045555125P Y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯+⨯=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, ()2122336655125P Y C ⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ()332785125P Y ⎛⎫===⎪⎝⎭, 所以Y 的概率分布列为：所以()82430362724024681251251251251255E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=, 所以6824155<，所以乙的得分能力更强. 21．（1）395；（2）分布列见详解；()25E X =.【解析】 【分析】（1）利用组合数以及古典概型的概率计算公式即可求解.（2）由题意可得0,1,2x =，再利用二项分布的概率计算公式列出分布列，从而求出数学期望. 【详解】（1）记恰好2名学生都是优秀的事件为A ，则()242206319095C P A C ===. （2）抽到一名优秀学生的概率为41205p ==， X 的取值为0,1,2，()20024********P X C ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ()111241815525P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, ()022241125525P X C ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 故X 的分布列为：()168120122525255E X =⨯+⨯+⨯=22．（1）49；（2）分布列见解析，195()9E ξ=；（3）49.【解析】（1）设事件i A 这位参赛者回答对第i 个问题()1,2,3i =，则这位参赛者仅回答正确两个问题的情况有123A A A ，123A A A ，123A A A ，然后利用互斥事件的概率和公式求解即可； （2）由题意可得30,20,0,10,20,30,50,60ξ=--，然后依次求出各个的概率，列出分布列即可，从而可求出数学期望；（3）由（2）可得这位参赛者闯关成功的概率为(30)(50)(60)P P P P ξξξ==+=+= 【详解】（1）设事件i A 这位参赛者回答对第i 个问题()1,2,3i =， ①()()()123123123P P A A A P A A A P A A A =++ 22121112143323323329=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅= （2）30,20,0,10,20,30,50,60ξ=-- ()1231(30)18P P A A A ξ=-==，()1231(20)9P P A A A ξ=-==，()1231(0)9P P A A A ξ===，()1232(10)9P P A A A ξ===，()1231(20)18P P A A A ξ===，()1231(30)9P P A A A ξ===， ()1231(50)9P P A A A ξ===，()1232(60)9P P A A A ξ===， ①ξ的分布列为：11121112195()30200102030506018999189999E ξ=-⨯-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． （3）由（2）得这位参赛者闯关成功的概率为4(30)(50)(60)9P P P P ξξξ==+=+==． 【点睛】关键点点睛：此题考查互斥事件和独立事件的概率的求法，考查离散型随机变量的分布列，考查运算求解能力，解题的关键是正确理解题意，正确利用互斥事件和独立事件的概率公式，属于中档题。
高中理科数学各类型 概率统计、分布列解答题
高中理科数学概率统计、各类分布列解答题类型以随机事件概率为背景离散型随机变量的分布列、均值【背一背重点知识】1．随机变量所取的值分别对应的事件是两两互斥的，各事件概率之和为1．2．求随机事件概率为背景的离散型随机变量的均值与方差公式3．注意事件中所包含关键词，如至少，至多，恰好，都是，不都是，都不是等的含义．【讲一讲提高技能】1、必备技能：分类讨论要保证不重不漏，且相互互斥．灵活运用排列组合相应方法进行计数．等可能性是正确解题的关键，在计数及求概率过程中严格保证事件的等可能性．【练一练提升能力】1．某中学高一年级共8个班，现从高一年级选10名同学组成社区服务小组，其中高一（1）班选取3名同学，其它各班各选取1名同学．现从这10名同学中随机选取3名同学，到社区老年中心参加“尊老爱老”活动（每位同学被选到的可能性相同）．（1）求选出的3名同学来自不同班级的概率；（2）设X为选出同学中高一（1）班同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．2．一种抛硬币游戏的规则是：抛掷一枚硬币，每次正面向上得1分，反面向上得2分．（1）设抛掷5次的得分为，求的分布列和数学期望；（2）求恰好得到分的概率．3、某厂有台大型机器，在一个月中，一台机器至多出现次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需名工人进行维修．每台机器出现故障需要维修的概率为．(1)问该厂至少有多少名工人才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于？(2)已知一名工人每月只有维修台机器的能力，每月需支付给每位工人万元的工资．每台机器不出现故障或出现故障能及时维修，就使该厂产生万元的利润，否则将不产生利润．若该厂现有名工人．求该厂每月获利的均值．以二项分布为背景离散型随机变量的分布列、均值【背一背重点知识】1．若随机变量服从二项分布，则对应的事件是两两独立重复的，概率为事件成功的概率．2．求二项分布为背景的离散型随机变量的均值与方差公式:若，则【讲一讲提高技能】1．必备技能：利用离散型随机变量的均值与方差的定义，也可求出二项分布为背景的离散型随机变量的均值与方差，但计算较繁．因此判断随机变量是否服从二项分布是解决问题的关键．判断方法有两个，一是从字面上理解是否符合独立重复条件，二是通过计算，归纳其概率规律是否满足二项分布．【练一练提升能力】1.为贯彻“激情工作，快乐生活”的理念，某单位在工作之余举行趣味知识有奖竞赛，比赛分初赛和决赛两部分，为了增加节目的趣味性，初赛采用选手选一题答一题的方式进行，每位选手最多有5次选答题的机会，选手累计答对3题或答错3题即终止其初赛的比赛，答对3题者直接进入决赛，答错3题者则被淘汰，已知选手甲答题的正确率为23 .(1)求选手甲答题次数不超过4次可进入决赛的概率；(2)设选手甲在初赛中答题的个数ξ，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望．2.近年来，我国电子商务蓬勃发展．2016年“618”期间，某网购平台的销售业绩高达516亿元人民币，与此同时，相关管理部门推出了针对该网购平台的商品和服务的评价系统．从该评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，网购者对商品的满意率为0．6，对服务的满意率为0．75，其中对商品和服务都满意的交易为80次． (Ⅰ) 根据已知条件完成下面的并回答能否有99%的把握认为“网购者对商品满意与对服务满意之间有关系”？(Ⅱ) 若将频率视为概率，某人在该网购平台上进行的3次购物中，设对商品和服务都满意的次数为随机变量 ，求 的分布列和数学期望 ． 附：（其中为样本容量）3.(12分)某网站用“10分制”调查一社区人们的幸福度． 现从调查人群中随机抽取16名，以下茎叶图记录了他们的幸福度 分数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)： (1)指出这组数据的众数和中位数；(2)若幸福度不低于9，则称该人的幸福度为“极幸福”．求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；(3)以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区(人数很多)任选3人，记ξ表示抽到“极幸福”的人数，求ξ的分布列及数学期望．以正态分布为背景离散型随机变量的分布列、均值1、正态分布概念：若连续型随机变量的概率密度函数为，其中为常数，且，则称服从正态分布，简记为～。
高二数学随机变量的期望与方差试题答案及解析
高二数学随机变量的期望与方差试题答案及解析1.已知某一随机变量X的分布列如下：且，则a＝__________；b＝__________。
【答案】，【解析】由得，又由得。
【考点】随机变量的期望2.马老师从课本上抄录一个随机变量X的概率分布律如下表x123请小牛同学计算ε的数学期望，尽管“！”处无法完全看清，且两个“？”处字迹模糊，但能肯定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案E(ε)＝________.【答案】2【解析】令“？”为a，“！”为b，则2a＋b＝1，又E(X)＝a＋2b＋3a＝2(2a＋b)＝2.3.一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数是一个随机变量，其分布列为，则的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，当盒中旧球的个数为时，相当于旧球的个数在原来3个的基础上增加了一个，所以取出的3个球中只有一个新球即取出的3个球中有2个是旧球1个新球，所以，故选C.【考点】离散型随机变量及其分布列.4.一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率为0.6，现有4颗子弹，射击停止后尚余子弹的数目X的数学期望值为________．【答案】2.376【解析】X的所有可能取值为3,2,1,0，其分布列为5.已知离散型随机变量X的分布列如表，若E(X)＝0，D(X)＝1，则a＝________，b＝________.【答案】【解析】由题意知解得6.若X是离散型随机变量，P(X＝x1)＝，P(X＝x2)＝，且x1＜x2，又已知E(X)＝，V(X)＝，则x1＋x2的值为________．【答案】3【解析】由题意知，X的所有可能取值为x1，x2，则有解得或 (舍去)，∴x1＋x2＝3.7.A、B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2，根据市场分析，X1和X2的分布列分别为12A和B所获得的利润，求方差V(Y1)、V(Y2)；(2)将x(0≤x≤100)万元投资A项目，100－x万元投资B项目，f(x)表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和．求f(x)的最小值，并指出x为何值时，f(x)取到最小值．【答案】(1)4 12 (2) x＝75时，f(x)＝3为最小值【解析】解：(1)由题设可知Y1和Y2的分布列分别为E(Y1)＝5×0.8＋10×0.2＝6，V(Y1)＝(5－6)2×0.8＋(10－6)2×0.2＝4；E(Y2)＝2×0.2＋8×0.5＋12×0.3＝8，V(Y2)＝(2－8)2×0.2＋(8－8)2×0.5＋(12－8)2×0.3＝12.(2)f(x)＝V＋V＝2V(Y1)＋2V(Y2)＝[x2＋3(100－x)2]＝(4x2－600x＋3×1002)，当x＝＝75时，f(x)＝3为最小值.8.已知某离散型随机变量服从的分布列如图，则随机变量的方差等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由分布列可知【考点】分布列期望方差点评：分布列中各随机变量概率和为1，求期望方差只需将数据代入相应的公式即可，需要学生熟记公式9.设在12个同类型的零件中有2个次品，抽取3次进行检验，每次抽取一个，并且取出不再放回，若以表示取出次品的个数,则的期望值=．【答案】【解析】由题意，相当于从有2个次品的12个同类型的零件中取3个，取出次品的个数可能为0、1、2．套公式即可． , ，则根据期望公式可知其值的期望值=，故答案为。
高三数学随机变量的期望与方差试题答案及解析
高三数学随机变量的期望与方差试题答案及解析1.已知随机变量X的分布列为则E(6X＋8)＝()A．13.2 B．21.2 C．20.2 D．22.2【答案】B【解析】由题意知，E(X)＝1×0.2＋2×0.4＋3×0.4＝2.2，∴E(6X＋8)＝6E(X)＋8＝6×2.2＋8＝21.2.2.小王参加一次比赛，比赛共设三关，第一、二关各有两个必答题，如果每关两个问题都答对，可进入下一关，第三关有三个问题，只要答对其中两个问题，则闯关成功．每过一关可一次性获得价值分别为1000元，3000元，6000元的奖品(不重复得奖)，小王对三关中每个问题回答正确的概率依次为，，，且每个问题回答正确与否相互独立．(1)求小王过第一关但未过第二关的概率；(2)用X表示小王所获得奖品的价值，写出X的概率分布列，并求X的数学期望．【答案】（1）（2）X的分布列为X0100030006000∴X的数学期望E(X)＝2160，【解析】(1)设小王过第一关但未过第二关的概率为P1＝()2×(＋×)＝．则P1(2)X的所有可能取值为0,1000,3000,6000，则P(X＝0)＝＋×＝，P(X＝1000)＝()2×(＋×)＝，P(X＝3000)＝()2×()2×[()2＋×()2×2]＝，P(X＝6000)＝()2×()2×[()2＋ ()2×]＝，∴X的分布列为∴X的数学期望E(X)＝0×＋1000×＋3000×＋6000×＝2160．3.甲乙两人分别独立参加某高校自主招生面试，若甲、乙能通过面试的概率都是，则面试结束后通过的人数X的数学期望是()A．B．C．1D．【答案】A【解析】依题意，X的取值为0,1,2，且P(X＝0)＝(1－)×(1－)＝，P(X＝1)＝×(1－)＋(1－)×＝，P(X＝2)＝×＝．故X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝＝，故选A．4.某学生在参加政、史、地三门课程的学业水平考试中，取得A等级的概率分别为、、，且三门课程的成绩是否取得A等级相互独立．记ξ为该生取得A等级的课程数，其分布列如表所示，则数学期望E(ξ)的值为________．0123【答案】【解析】∵a＝××＋××＋××＝，b＝××＋××＋××＝，∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝．5.某学校为了解高三年级学生寒假期间的学习情况，抽取甲、乙两班，调查这两个班的学生在寒假期间每天平均学习的时间（单位：小时），统计结果绘成频率分布直方图（如图）．已知甲、乙两班学生人数相同，甲班学生每天平均学习时间在区间的有8人．（1）求直方图中的值及甲班学生每天平均学习时间在区间的人数；（2）从甲、乙两个班每天平均学习时间大于10个小时的学生中任取4人参加测试，设4人中甲班学生的人数为，求的分布列和数学期望．【答案】（1）；3（2）详见解析【解析】（1）频率分布直方图中每个小矩形的面积表示概率，概率和为1，则可求得。
高三数学随机变量的期望与方差试题答案及解析
高三数学随机变量的期望与方差试题答案及解析1.某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．从样本成绩不低于80分的学生中随机选取2人，这2人中成绩在90分以上(含90分)的人数为ξ，则ξ的数学期望为()A．B．C．D．【答案】B【解析】由频率分布直方图知，3×0.006×10＋0.01×10＋0.054×10＋10x＝1，解得x＝0.018，∴成绩不低于80分的学生有(0.018＋0.006)×10×50＝12人，成绩在90分以上(含90分)的学生有0.006×10×50＝3人．ξ的可能取值为0,1,2，P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，∴ξ的分布列为ξ012∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.选B.2.某游戏的得分为1,2,3,4,5，随机变量表示小白玩游戏的得分.若=4.2，则小白得5分的概率至少为 .【答案】【解析】设＝1,2,3,4,5的概率分别为，则由题意有，，对于，当越大时，其值越大，又，因此，所以，解得．【考点】随机变量的均值（数学期望），排序不等式．3.（2011•浙江）某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙公司面试的概率均为P，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X为该毕业生得到面试的公司个数．若P（X=0）=，则随机变量X的数学期望E（X）=_________．【答案】【解析】由题意知X为该毕业生得到面试的公司个数，则X的可能取值是0，1，2，3，∵P（X=0）=，∴，∴p=，P（X=1）=+=P（X=2）==，P（X=3）=1﹣=，∴E（X）==，故答案为：4.已知离散型随机变量ξ1的概率分布为离散型随机变量ξ2的概率分布为求这两个随机变量数学期望、方差与标准差．【答案】4；4；0.2.【解析】E(ξ1)＝1×＋2×＋…＋7×＝4；V(ξ1)＝(1－4)2×＋(2－4)2×＋…＋(7－4)2×＝4，σ1＝＝2.E(ξ2)＝3.7×＋3.8×＋…＋4.3×＝4；V(ξ2)＝0.04，σ2＝)＝0.2.5.如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割成125个同样大小的小正方体．经过搅拌后，从中随机取出一个小正方体，记它的涂油漆面数为X，则X的均值为E(X)＝________．【答案】【解析】用分布列解决这个问题，根据题意易知X＝0，1，2，3.列表如下：X0123所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝＝.6.为防止山体滑坡，某地决定建设既美化又防护的绿化带，种植松树、柳树等植物．某人一次种植了n株柳树，各株柳树成活与否是相互独立的，成活率为p，设ξ为成活柳树的株数，数学期望E(ξ)＝3，标准差σ(ξ)为.(1)求n、p的值并写出ξ的分布列；(2)若有3株或3株以上的柳树未成活，则需要补种，求需要补种柳树的概率．【答案】（1）n＝6，p＝，（2）【解析】(1)由E(ξ)＝np＝3，(σ(ξ))2＝np(1－p)＝，得1－p＝，从而n＝6，p＝，ξ的分布列为(2)记“需要补种柳树”为事件A,则P(A)＝P(ξ≤3)，得P(A)＝.7.甲向靶子A射击两次，乙向靶子射击一次.甲每次射击命中靶子的概率为0.8，命中得5分；乙命中靶子的概率为0.5，命中得10分.（1）求甲、乙二人共命中一次目标的概率；（2）设X为二人得分之和，求X的分布列和期望.【答案】（1）0.18；（2）详见解析.【解析】本题主要考查二项分布、独立事件、随机变量的分布列和数学期望等基础知识，考查学生分析问题解决问题的能力和计算能力.第一问，由题意分析，“甲乙二人共命中”共有2种情况：一种是甲射击2次中一次、乙没中，一种情况是甲射击2次都没中、乙中一次；第二问，由题意分析：甲乙射击是否命中有以下几种情况：1.甲2次都没中、乙没中，2.甲2次都没中、乙中一次，3.甲2次中一次、乙没中，4.甲2次中1次、乙中1次，5.甲2次都中、乙没中，6.甲2次都中、乙中一次，共6种情况，所以得分情况分别为0分、5分、10分、15分、20分，共5种情况，分别与上述情况相对应，求出每一种情况的概率，列出分布列，再利用计算数学期望.试题解析：（1）记事件“甲、乙二人共命中一次”为A，则P(A)＝0.8×0.2×0.5＋0.22×0.5＝0.18． 4分（2）X的可能取值为0，5，10，15，20．P(X＝0)＝0.22×0.5＝0.02，P(X＝5)＝0.8×0.2×0.5＝0.16，P(X＝10)＝0.82×0.5＋0.22×0.5＝0.34，P(X＝15)＝0.8×0.2×0.5＝0.16，P(X＝20)＝0.82×0.5＝0.32．X的分布列为X05101520X的期望为E(X)＝0×0.02＋5×0.16＋10×0.34＋15×0.16＋20×0.32＝13． 12分【考点】二项分布、独立事件、随机变量的分布列和数学期望.8.现有甲、乙、丙三人参加某电视台的应聘节目《非你莫属》，若甲应聘成功的概率为，乙、丙应聘成功的概率均为，（0<t<2），且三个人是否应聘成功是相互独立的.（1）若乙、丙有且只有一个人应聘成功的概率等于甲应聘成功的概率，求t的值；（2）记应聘成功的人数为，若当且仅当为=2时概率最大，求E（）的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】（1）乙、丙有且只有一个人应聘成功分为乙成功且丙不成功和乙不成功且丙成功两种情况，根据相互独立事件有一个发生的概率公式列出关于t的方程，解之即可.（2）写出随机变量的所有可能取值，然后计算出相应的概率，列出分布列，求出E（）的表达式，由于=2时概率最大，可得，，，而0<t<2，解得，即得E（）的取值范围..试题解析：（1）由题意得，解得. 3分（2）的所有可能取值为0，1，2，3；；；.故的分布列为：7分. 8分由题意得：，，，又因为所以解得的取值范围是. 11分. 12分【考点】1.相互独立事件的概率；2.随机变量的分布列和数学期望.9.甲、乙两人将参加某项测试，他们能达标的概率都是0.8，设随机变量为两人中能达标的人数，则的数学期望为．【答案】1.6【解析】甲、乙两人将参加某项测试，他们能达标的概率都是0.8.所以相当与他们是独立性重复的实验，所以=，即=.【考点】1.独立性重复试验.2.数学期望的公式.10.生产A，B两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品，现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下：81240328（Ⅰ）试分别估计元件A、元件B为正品的概率；（Ⅱ）生产一件元件A，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元；生产一件元件B，若是正品可盈利100元，若是次品则亏损20元，在（Ⅰ）的前提下；（i）求生产5件元件B所获得的利润不少于300元的概率；（ii）记X为生产1件元件A和1件元件B所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望．【答案】（Ⅰ）元件A为正品的概率为，元件B为正品的概率为（Ⅱ）（i）（ii）所以的分布列为：1509030-30【解析】（Ⅰ）用频率估计概率值;（Ⅱ）设出随机变量,确定随机变量的所有可能取值,求出各个取值的概率,列出概率分布表,从而得出答案.试题解析：（Ⅰ）由题可知元件A为正品的概率为，元件B为正品的概率为。
新人教版高中数学选修三第二单元《随机变量及其分布》测试(有答案解析)(2)
一、选择题1．赵先生朝九晚五上班，上班通常乘坐公交加步行或乘坐地铁加步行．赵先生从家到公交站或地铁站都要步行5分钟．公交车多且路程近一些，但乘坐公交路上经常拥堵，所需时间（单位：分钟）服从正态分布(33N ，24)，下车后从公交站步行到单位要12分钟；乘坐地铁畅通，但路线长且乘客多，所需时间（单位：分钟）服从正态分布(44N ，22)，下地铁后从地铁站步行到单位要5分钟．给出下列说法：从统计的角度认为所有合理的说法的序号是（ ）（1）若8:00出门，则乘坐公交上班不会迟到；（2）若8:02出门，则乘坐地铁上班不迟到的可能性更大； （3）若8:06出门，则乘坐公交上班不迟到的可能性更大； （4）若8:12出门．则乘坐地铁上班几乎不可能不迟到．参考数据：2~(,)Z N μσ，则()0.6827P Z μσμσ-<+≈，(22)0.9545P Z μσμσ-<+≈，(33)0.9973P Z μσμσ-<+≈A ．（1）（2）（3）（4）B ．（2）（4）C ．（3）（4）D ．（4）2．已知随机变量X 的分布列表如下表，且随机变量23Y X =+，则Y 的期望是（ ）A ．73B ．53C ．13D ．163．已知随机变量()2~0,X N σ，若()10.2P X>=，则()01P X <<的值为( )A ．0.1B ．0.3C ．0.6D ．0.44．某地区气象台统计，该地区下雨的概率是415，刮风的概率为215，既刮风又下雨的概率为110，则在下雨天里，刮风的概率为（ ） A ．8225B ．12C ．38D ．345．已知甲、乙、丙三名同学同时独立地解答一道导数试题，每人均有23的概率解答正确，且三个人解答正确与否相互独立，在三人中至少有两人解答正确的条件下，甲解答不正确的概率（）A．1320B ．920C．15D．1206．已知三个正态分布密度函数()()2221e2iixiixμσϕπσ--=（, 1,2,3i=）的图象如图所示则（）A．123123==μμμσσσ<>，B．123123==μμμσσσ><，C．123123μμμσσσ=<<=，D．123123==μμμσσσ<<，7．下列四个结论中正确的个数是（1）对于命题0:p x R∃∈使得210x-≤，则:p x R⌝∃∈都有210x->；（2）已知2(2,)X Nσ，则(2)0.5P X>=（3）已知回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为（4,5），则回归直线方程为ˆ23y x=-；（4）“1≥x”是“12xx+≥”的充分不必要条件.A．1 B．2 C．3 D．48．已知ξ是离散型随机变量，则下列结论错误的是( )A．21133P Pξξ⎛⎫⎛⎫≤≤≤⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B．()()()22E Eξξ≤C．()()1D Dξξ=-D．()()()221D Dξξ=-9．如图所示,EFGH是以O为圆心,半径为1的圆的内接正方形,将一颗豆子随机地扔到该圆内,事件A表示“豆子落在正方形EFGH内”,事件B表示“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”,则P(B|A)等于()A ．18B ．14C ．12D ．3810．随机变量()~1,4X N ，若()20.2p x ≥=，则()01p x ≤≤为（ ） A ．0.2B ．0.3C ．0.4D ．0.611．甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，其命中率分别为0.8,0.5，现已知目标被击中，则它是被甲击中的概率是（ ） A ．0.8B ．0.9C ．58D ．8912．已知随机变量ξ服从正态分布()21,N σ，若()20.66P ξ≤=，则()0P ξ≤=（ ）A ．0.84B ．0.68C ．0.34D ．0.16二、填空题13．在一个不透明的摸奖箱中有五个分别标有1，2，3，4，5号码的大小相同的小球，现甲､乙､丙三个人依次参加摸奖活动，规定：每个人连续有放回地摸三次，若得到的三个球编号之和恰为4的倍数，则算作获奖，记获奖的人数为X ，则X 的数学期望为___________.14．下列说法正确的是________①设回归方程为ˆ33yx =-，则变量x 增加一个单位时，y 平均增加3个单位； ②两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r 的绝对越接近于1； ③随机变量X 服从二项分布16,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()3316P X ==； ④若()03f x '=-，则()()000lim6x f x x f x x x∆→+∆--∆=-∆；⑤()()2323E X E X +=+，()()232D X D X +=15．袋中装有10个形状大小均相同的小球，其中有6个红球和4个白球.从中不放回地依次摸出2个球，记事件A =“第一次摸出的是红球”，事件B =“第二次摸出的是白球”，则()|P B A =______.16．某个游戏中，一个珠子按如图所示的通道，由上至下的滑下，从最下面的六个出口出来，规定猜中者为胜，如果你在该游戏中，猜得珠子从出口3出来，那么你取胜的概率为_______．17．记A,B 为两个事件,若事件A 和B 同时发生的概率为310,在事件A 发生的条件下,事件B 发生的概率为12,则事件A 发生的概率为_____. 18．10张奖券中有3张是有奖的，某人从中依次抽两张．则在第一次抽到中奖券的条件下，第二次也抽到中奖券的概率为_________ ．三、解答题19．2020年8月，教育部发布《关于深化体教融合，促进青少年健康发展的意见》，要求体育纳入高中学业水平考试范围.《国家学生体质健康标准》规定高三男生投掷实心球6.9米达标，高三女生6.2米达标.某地初步拟定投掷实心球的考试方案为每生可以投掷3次，一旦通过无需再投，为研究该方案的合理性，到某校任选4名学生进行测试，如果有2人不达标的概率超过0.1，该方案需要调整；否则就定为考试方案.已知该校男生投掷实心球的距离1ξ服从()6.9,0.25N ，女生投掷实心球的距离2ξ服从()6.2,0.16N （1ξ，2ξ的单位：米）.（1）请你通过计算，说明该方案是否需要调整；（2）为提高学生考试达标率，该校决定加强训练.以女生为例，假设所有女生经训练后，投掷距离的增加值相同.问：女生投掷实心球的距离至少增加多少米，可使达标率不低于99%.附：①310 2.15=；②若()~ 6.516,0.16X N ，则()6.8320.785P X ≤=.20．为了解学生寒假期间学习情况，学校对某班男、女学生学习时间进行调查，学习时间按整小时统计，调查结果绘制成折线图如下:(1)已知该校有400名学生，试估计全校学生中，每天学习不足4小时的人数； (2)若从学习时间不少于4小时的学生中选取4人，设选取的男生人数为X ，求随机变量X 的分布列及均值E (X );(3)试比较男生学习时间的方差21s 与女生学习时间的方差22s 的大小.(只需写出结论) 21．“工资条里显红利，个税新政人民心”，随着2021年新年钟声的敲响，我国自1980年以来，力度最大的一次个人所得税（简称个税）改革至2019年实施以来发挥巨大作用.个税新政主要内容包括：（1）个税起征点为5000元；（2）每月应纳税所得额（含税）=收入-个税起征点-专项附加扣除；（3）专项附加扣除包括住房、子女教育和赡养老人等. 新旧个税政策下每月应纳税所得额（含税）计算方法及其对应的税率表如下：旧个税税率表（税起征点3500元） 新个税税率表（个税起征点5000元） 缴税级数 每月应纳税所得额（含税）=收入-个税起征点 税率（%） 每月应纳税所得额（含税）=收入-个税起征点-专项附加扣除 税率（%） 1 不超过1500元部分 3 不超过3000元部分 3 2超过1500元至4500元部分10超过3000元至12000元部分103 超过4500元至9000元的部分20 超过12000元至25000元的部分 204 超过9000元至35000元的部分25 超过25000元至35000元的部分 255超过35000元至55000元部分30超过35000元至55000元部分30……………年的人均月收入24000元.统计资料还表明，他们均符合住房专项扣除；同时，他们每人至多只有一个符合子女教育扣除的孩子，并且他们之中既不符合子女教育扣除又不符合赡养老人扣除、只符合子女教育扣除但不符合赡养老人扣除、只符合赡养老人扣除但不符合子女教育扣除、既符合子女教育扣除又符合赡养老人扣除的人数之比是2:1:1:1；此外，他们均不符合其他专项附加扣除.新个税政策下该市的专项附加扣除标准为：住房1000元/月，子女教育每孩1000元/月，赡养老人2000元/月等.假设该市该收入层级的IT从业者都独自享受专项附加扣除，将预估的该市该收入层级的IT 从业者的人均月收入视为其个人月收入.根据样本估计总体的思想，解决如下问题：（1）求该市该收入层级的IT从业者2021年月缴个税的所有可能及其概率.（2）根据新旧个税方案，估计从2021年1月开始，经过多少个月，该市该收入层级的IT 从业者各月少缴交的个税之和就超过2021年的月收入？22．为检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，某药物研究所科研人员随机选取100只小白鼠，并将该疫苗首次注射到这些小白鼠体内．独立环境下试验一段时间后检测这些小白鼠的某项医学指标值并制成如下的频率分布直方图（以小白鼠医学指标值在各个区间上的频率代替其概率）：（1）根据频率分布直方图，估计100只小白鼠该项医学指标平均值x（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）；（2）若认为小白鼠的该项医学指标值X服从正态分布()2,Nμσ，且首次注射疫苗的小白鼠该项医学指标值不低于14.77时，则认定其体内已经产生抗体；进一步研究还发现，对第一次注射疫苗的100只小白鼠中没有产生抗体的那一部分群体进行第二次注射疫苗，约有10只小白鼠又产生了抗体．这里μ近似为小白鼠医学指标平均值x，2σ近似为样本方差2s．经计算得2 6.92s=，假设两次注射疫苗相互独立，求一只小白鼠注射疫苗后产生抗体的概率p（精确到0.01）．附：参考数据与公式6.92 2.63≈，若()2~,X N μσ，则①()0.6827P X μσμσ-<≤+=；②()220.9545P X μσμσ-<≤+=；③()330.9973P X μσμσ-<≤+=． 23．某学校工会积极组织学校教职工参与“日行万步”健身活动，规定每日行走不足8千步的人为“不健康生活方式者”，不少于14千步的人为“超健康生活方式者”，其他为“一般健康生活方式者”.某日，学校工会随机抽取了该校300名教职工的“日行万步”健身活动数据，统计出他们的日行步数(单位：千步，且均在[4,20]内)，按步数分组，得到频率分布直方图如图所示.（1）求被抽取的300名教职工日行步数的平均数(每组数据以区间的中点值为代表，结果四舍五入保留整数).（2）由直方图可以认为该校教职工的日行步数ξ服从正态分布()2,N μσ，其中，μ为（1）中求得的平均数标准差σ的近似值为2，求该校被抽取的300名教职工中日行步数(14,18)ξ∈的人数(结果四舍五入保留整数).（3）用样本估计总体，将频率视为概率.若工会从该校教职工中随机抽取2人作为“日行万步”活动的慰问奖励对象，规定：“不健康生活方式者”给予精神鼓励，奖励金额每人0元；“一般健康生活方式者”奖励金额每人100元；“超健康生活方式者”奖励金额每人200元，求工会慰问奖励金额X 的分布列和数学期望. 附：若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827P μσξμσ-<+≈，(22)0.9545P μσξμσ-<+≈，(33)0.9973P μσξμσ-<+≈.24．教育是阻断贫困代际传递的根本之策.补齐贫困地区义务教育发展的短板，让贫困家庭子女都能接受公平而有质量的教育，是夯实脱贫攻坚根基之所在.治贫先治愚﹐扶贫先扶智.为了解决某贫困地区教师资源匮乏的问题，郑州市教育局拟从5名优秀教师中抽选人员分批次参与支教活动.支教活动共3分批次进行，每次支教需要同时派送2名教师，且每次派送人员均从5人中随机抽选.已知这5名优秀教师中，2人有支教经验，3人没有支教经验. （1）求5名优秀教师中的“甲”，在这3批次活动中有且只有一次被抽选到的概率﹔ （2）求第二次抽选时，选到没有支教经验的教师的人数最有可能是几人﹖请说明理由； （3）现在需要2名支教教师完成某项特殊教学任务，每次只能派一个人，且每个人只派一次，如果前一位教师一定时间内不能完成教学任务，则再派另一位教师.若有A B 、两个教师可派，他们各自完成任务的概率分别为12p p 、，假设121p p >>，且假定各人能否完成任务的事件相互独立.若按某种指定顺序派人，这两个人各自能完成任务的概率依次为12,q q ，其中12,q q 是12p p 、的一个排列，试分析以怎样的顺序派出教师，可使所需派出教师的人员数目的数学期望达到最小.25．某学校用“10分制”调查本校学生对教师教学的满意度，现从学生中随机抽取16名，以茎叶图记录了他们对该校教师教学满意度的分数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)：（1）若教学满意度不低于9.5分，则称该生对教师的教学满意度为“极满意”．求从这16人中随机选取3人，至少有1人是“极满意”的概率；（2）以这16人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校所有学生中(学生人数很多)任选3人，记X 表示抽到“极满意”的人数，求X 的分布列及数学期望．26．某种子公司培育了一个豌豆的新品种，新品种豌豆豆荚的长度比原来有所增加，培育人员在一块田地(超过1亩)种植新品种，采摘后去掉残次品，将剩下的豆荚随机按每20个一袋装袋密封.现从中随机抽取5袋，测量豌豆豆荚的长度(单位：dm )，将测量结果按)0.6,0.8⎡⎣，)0.8,1.0⎡⎣，)1.0,1.2⎡⎣，)1.2,1.4⎡⎣，[]1.41.6,分为5组，整理得到如图所示的频率分布直方图.（1）求a 的值并估计这批新品种豌豆豆荚长度的平均数x -(不含残次品，同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；（2）假设这批新品种豌豆豆荚的长度X 服从正态分布()2,N μσ，其中μ的近似值为豌豆豆荚长度的平均数x -，0.23σ=，试估计采摘的100袋新品种豌豆豆荚中，长度位于区间()0.88,1.57内的豆荚个数；（3）如果将这批新品种豌豆中豆荚长度超过1.4dm 的豆荚称为特等豆荚，以频率作为概率，随机打开一袋新品种豌豆豆荚，记其中特等豆荚的个数为ξ，求1ξ≤的概率和ξ的数学期望.附：19170.04620⎛⎫≈ ⎪⎝⎭，若随机变量()2,X N μσ，则()0.6827P X μσμσ-<<+=，(22)0.9545P X μσμσ-<<+=.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】结合正态分布的性质对每种情况分别求解概率，即可进行判断． 【详解】对于（1）赵先生乘坐公交车的时间不大于43分钟才不会迟到，因为(43)(45)p Z p Z <<且(33123312)0.9973p z -<<+≈，所以(43)(45)0.50.50.99730.9987P Z p Z <≈+⨯≈， 所以赵先生上班迟到还是有可能发生的，（1）不合理；（2）赵先生乘坐地铁上班，则其乘坐地铁的时间不大于48分钟，才不会迟到， 因为(444444)0.9545p Z -<<+≈， 所以(48)0.50.95450.50.9773P Z ≈+⨯≈，所以若8:02出门，则乘坐地铁上班不迟到的可能性为0.9773， 若乘坐公交，则乘坐时间不大于41分钟才不会迟到，因为(338338)0.9545P z -<<+≈，所以(41)0.50.50.95450.9773P Z ≈+⨯≈， 故二者的可能性一样，（2）不合理；（3）赵先生乘坐公交车的时间不大于37分钟才不会迟到，因为(334334)0.6827p z -<<+≈，所以(37)(45)0.50.50.68270.8414P Z p Z <≈+⨯≈，赵先生乘坐地铁的时间不大于44分钟才不会迟到，因为(44)0.50.8414p z ≈<，（3）的说法合理；（4）赵先生乘坐地铁的时间不大于38分钟才不会迟到，因为(446446)0.9973p z -<<+≈，所以(38)(10.9973)0.50.0014P Z ≈-⨯≈，即可能性非常小，（4）的说法合理． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了正态分布，考查了考生的数据处理的能力，分析及解决问题的能力，考查了核心素养是数据分析，数学运算．2．A解析：A 【分析】由随机变量X 的分布列求出m ，求出()E X ，由23Y X =+，得()()23E Y E X =+，由此能求出结果． 【详解】由随机变量X 的分布列得：11123m ++=， 解得16m =， ()11111012363E X ∴=-⨯+⨯+⨯=-，23Y X =+，()()2723333E Y E X ∴=+=-+=．故选：A ． 【点睛】本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．3．D解析：D 【分析】根据题意随机变量()2~0,X N σ可知其正态分布曲线的对称轴，再根据正态分布曲线的对称性求解，即可得出答案． 【详解】根据正态分布可知()()20|111P X P X >+<<=，故()010.4P X <<=．故答案选D ． 【点睛】本题主要考查了根据正态分布曲线的性质求指定区间的概率．4．C解析：C 【分析】利用条件概率公式，即可求得结论． 【详解】该地区下雨的概率是415，刮风的概率为215，既刮风又下雨的概率为110，∵设A 事件为下雨，B 事件为刮风，由题意得，P （A ）415=，P （AB ）110=， 则P （B |A ）()()13104815P AB P A ===， 故选C ． 【点睛】本题考查概率的计算，考查条件概率，考查学生的计算能力，属于基础题．5．C解析：C 【分析】记“三人中至少有两人解答正确”为事件A ；“甲解答不正确”为事件B ，利用二项分布的知识计算出()P A ，再计算出()P AB ，结合条件概率公式求得结果. 【详解】记“三人中至少有两人解答正确”为事件A ；“甲解答不正确”为事件B则()2323332122033327P A C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；()122433327P AB =⨯⨯= ()()()15P AB P B A P A ∴==本题正确选项：C 【点睛】本题考查条件概率的求解问题，涉及到利用二项分布公式求解概率的问题.6．D解析：D 【分析】正态曲线关于x ＝μ对称，且μ越大图象越靠近右边，第一个曲线的均值比第二和第三和图象的均值小，且二，三两个的均值相等，又有σ越小图象越瘦长，得到正确的结果． 【详解】根据课本中对正太分布密度函数的介绍知道：当正态分布密度函数为()()2221ei i x i ix μσϕ--=，则对应的函数的图像的对称轴为：i μ，∵正态曲线关于x ＝μ对称，且μ越大图象越靠近右边，∴第一个曲线的均值比第二和第三和图象的均值小，且二，三两个的均值相等， 只能从A ，D 两个答案中选一个， ∵σ越小图象越瘦长，得到第二个图象的σ比第三个的σ要小，第一个和第二个的σ相等 故选D ． 【点睛】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查密度函数中两个特征数均值和标准差对曲线的位置和形状的影响，是一个基础题．7．C解析：C 【分析】由题意，（1）中，根据全称命题与存在性命题的关系，即可判定是正确的；（2）中，根据正态分布曲线的性质，即可判定是正确的；（3）中，由回归直线方程的性质和直线的点斜式方程，即可判定是正确；（4）中，基本不等式和充要条件的判定方法，即可判定． 【详解】由题意，（1）中，根据全称命题与存在性命题的关系，可知命题0:p x R ∃∈使得2010x -≤，则:p x R ⌝∀∈都有210x ->，是错误的；（2）中，已知()22,X N σ~，正态分布曲线的性质，可知其对称轴的方程为2x =，所以 (2)0.5P X >=是正确的；（3）中，回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为（4,5），由回归直线方程的性质和直线的点斜式方程，可得回归直线方程为ˆ23yx =-是正确；（4）中，当1x ≥时，可得12x x +≥=成立，当12x x +≥时，只需满足0x >，所以“1x ≥”是“12x x+≥”成立的充分不必要条件． 【点睛】本题主要考查了命题的真假判定及应用，其中解答中熟记含有量词的否定、正态分布曲线的性质、回归直线方程的性质，以及基本不等式的应用等知识点的应用，逐项判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．8．D解析：D 【分析】利用概率、数学期望、方差的性质直接求解． 【详解】在A 中，21111333333P P P P ξξξξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤=-≤≤≤≤=-≤≤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故A 正确；在B 中，由数学期望的性质得()()()22E E ξξ≤，故B 正确；在C 中，由方差的性质得()()1D D ξξ=-，故C 正确； 在D 中，()()()()()22214D D D D ξξξξ≠-=+，故D 错误．故选D. 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查概率、数学期望、方差的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9．B解析：B 【分析】由几何概型概率计算公式可得P(A)=2π，再根据条件概率的计算公式，即可求解. 【详解】由几何概型概率计算公式可得P(A)=S 2S π=正圆；事件AB 表示“豆子落在△EOH 内”, 则P(AB)=2EOH11S12.S π2π圆⨯==由条件概率的计算公式可得P(B|A)=1P(AB)12π2P(A)4π==，故选B. 【点睛】本题主要考查了几何概型及其概率的计算，以及条件概率的计算问题，其中解答中正确理解题意，合理利用几何概型及其概率的计算公式和条件概率的计算公式，合理、准确求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.10．B解析：B 【解析】分析：根据正态分布的整体对称性计算即可得结果. 详解：(0)(2)0.2,P X P X ≤=≥=10.22(01)0.3,2P X -⨯∴≤≤== 故选B.点睛：该题考查的是有关正态分布的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有正态分布曲线的对称性，从而求得结果.11．D解析：D 【解析】分析：根据题意，记甲击中目标为事件A ，乙击中目标为事件B ，目标被击中为事件C ，由相互独立事件的概率公式，计算可得目标被击中的概率，进而由条件概率的公式，计算可得答案．详解：根据题意，记甲击中目标为事件A ，乙击中目标为事件B ，目标被击中为事件C ， 则P （C ）=1﹣P （A ）P （B ）=1﹣（1﹣0.8）（1﹣0.5）=0.9； 则目标是被甲击中的概率为P=0.880.99=. 故答案为D.点睛：（1）本题主要考查独立事件的概率和条件概率，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 条件概率的公式:()(|)()P AB P B A P A =，(|)P B A =()()n AB n A .条件概率一般有“在A 已发生的条件下”这样的关键词，表明这个条件已经发生， 发生了才能称为条件概率.但是有时也没有，要靠自己利用条件概率的定义识别.12．C解析：C 【解析】分析：先根据正态分布得(12)0.16,P ξ≤≤=再求(01)0.16,P ξ≤≤=最后求得() 0P ξ≤=0.34.详解：由正态分布曲线得(12)0.660.50.16,P ξ≤≤=-= 所以(01)0.16,P ξ≤≤=所以()0P ξ≤=0.5-0.16=0.34. 故答案为C.点睛：（1）本题主要考查正态分布曲线的性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合思想和方法.（2）解答本题的关键是数形结合，要结合正态分布曲线的图像和性质解答，不要死记硬背.二、填空题13．【分析】由题意可知抽得三球编号和为4812三种情况的基本事件有31种而总事件有125种即三个球编号之和恰为4的倍数的概率为则有根据二项分布的期望公式求期望即可【详解】三个球编号之和恰为4的倍数的基本 解析：93125【分析】由题意可知抽得三球编号和为4,8,12三种情况的基本事件有31种，而总事件有125种，即三个球编号之和恰为4的倍数的概率为31125，则有31~(3,)125X B ，根据二项分布的期望公式求期望即可.【详解】三个球编号之和恰为4的倍数的基本事件：(1,1,2)有3种、(1,2,5)有6种、(1,3,4)有6种、(2,2,4)有3种、(2,3,3)有3种、(2,5,5)有3种、(3,4,5)有6种、(4,4,4)有1种，而总共有555125⨯⨯=， ∴三个球编号之和恰为4的倍数的概率为31125，由题意31~(3,)125X B ， ∴X 的数学期望：3193()3125125E X =⨯=. 故答案为：93125. 【点睛】关键点点睛：根据编号和分组得到三个球编号之和恰为4的倍数的基本事件数，进而确定其概率，由人数为X 服从31(3,)125B 的二项分布，求期望. 14．（2）（4）【分析】对各个命题分别判断【详解】①回归方程为则变量增加一个单位时平均减少3个单位；②两个随机变量的线性相关性越强则相关系数的绝对值越接近于1；③随机变量服从二项分布则；④若则；⑤综上所解析：（2）（4） 【分析】对各个命题分别判断. 【详解】①回归方程为ˆ33yx =-，则变量x 增加一个单位时，y 平均减少3个单位； ②两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r 的绝对值越接近于1； ③随机变量X 服从二项分布16,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()366153()216P X C ===； ④若()03f x '=-，则()()()()()()0000000limlimlimx x x f x x f x x f x x f x f x f x x xx x∆→∆→∆→+∆--∆+∆---∆=+∆∆∆()()()()0000000limlim()()6x x f x x f x f x x f x f x f x xx∆→∆→+∆-∆-''=+=+=-∆-∆-；⑤()()2323E X E X +=+，()()234D X D X +=.. 综上所述，只有②④正确． 故答案为：②④． 【点睛】本题考查命题的真假判断，需要掌握的知识较多，如线性回归直线方程的意义，线性相关系数r 与相关强弱的关系，二项分布的概率公式，导数的定义以及数据变换后的均值与方差的关系．本题属于中档题．15．【分析】首先第一次摸出红球为事件第二次摸出白球为事件分别求出利用条件概率公式即可求解【详解】由题意事件A 第一次摸到红球的概率为：又由第一次摸到红球且第二次摸到白球的概率为根据条件概率公式可得故答案为解析：49【分析】首先第一次摸出红球为事件A ，第二次摸出白球为事件B ，分别求出(),()P A P B ，利用条件概率公式，即可求解． 【详解】由题意，事件A“第一次摸到红球”的概率为：6()10P A =， 又由“第一次摸到红球且第二次摸到白球”的概率为6424()10990P A B =⨯=， 根据条件概率公式，可得()()24104|()9069P A B P B A P A ==⨯=，故答案为49． 【点睛】本题主要考查了概率的计算方法，主要是考查了条件概率与独立事件的理解，属于中档题．看准确事件之间的联系，正确运用公式，是解决本题的关键，着重考查了推理与运算能力．16．【分析】从顶点到3总共有5个岔口共有10种走法每一岔口走法的概率都是二项分布的概率计算公式即可求解【详解】由题意从顶点到3的路线图单独画出来如图所示可得从顶点到3总共有种走法其中每一岔口走法的概率都 解析：516【分析】从顶点到3总共有5个岔口，共有10种走法，每一岔口走法的概率都是12，二项分布的概率计算公式，即可求解. 【详解】由题意，从顶点到3的路线图单独画出来，如图所示，可得从顶点到3总共有2510C =种走法，其中每一岔口走法的概率都是12， 所以珠子从出口3出来的概率为25515()216P C =⋅=.【点睛】本题主要考查了二项分布的一个模型，其中解答中认真审题，合理利用二项分布的概率计算公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.17．【分析】由题意可得且由此求得事件发生的概率的值【详解】设事件发生的概率为事件发生的概率为则由题意可得且解得故答案为【点睛】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式条件概率公式属于中档题解析：35【分析】由题意可得()()()310P AB P A P B ==，且()1/2P B A =，由此求得事件A 发生的概率()P A 的值．【详解】设事件A 发生的概率为()P A ，事件B 发生的概率为()P B ，则由题意可得()()()310P AB P A P B ==，且()()()()3110/=2P AB P B A P A P A ==， 解得()35P A =，故答案为35. 【点睛】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式、条件概率公式，属于中档题．18．【分析】设事件A 表示第一次抽到中奖券事件B 表示第二次也抽到中奖券则P （A ）=P （AB ）=由此利用条件概率计算公式能求出在第一次抽到中奖券的条件下第二次也抽到中奖券的概率【详解】10张奖券中有3张是有 解析：29【分析】设事件A 表示“第一次抽到中奖券”，事件B 表示“第二次也抽到中奖券”，则P （A ）=310，P （AB ）=32109⨯，由此利用条件概率计算公式能求出在第一次抽到中奖券的条件下，第二次也抽到中奖券的概率． 【详解】10张奖券中有3张是有奖的，某人从中依次抽两张，。
高二数学随机变量的期望与方差试题答案及解析
高二数学随机变量的期望与方差试题答案及解析1.设X为随机变量，X～B ，若随机变量X的数学期望E(X)＝2，则P(X＝2)等于( ) A．B．C．D．【答案】A【解析】由二项分布X～B 的数学期望E(X)=,知，得，即X～B ，那么P(X＝2)=.【考点】服从二项分布的离散型随机变量的均值与方差.2.一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个，则其中含红球个数的数学期望是________．【答案】【解析】法一同时取出的2个球中含红球数X的概率分布为P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝.E(X)＝0×＋1×＋2×＝.法二同时取出的2个球中含红球数X服从参数N＝5，M＝3，n＝2的超几何分布，所以E(X)＝＝.3.马老师从课本上抄录一个随机变量X的概率分布律如下表请小牛同学计算ε的数学期望，尽管“！”处无法完全看清，且两个“？”处字迹模糊，但能肯定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案E(ε)＝________.【答案】2【解析】令“？”为a，“！”为b，则2a＋b＝1，又E(X)＝a＋2b＋3a＝2(2a＋b)＝2.4.若X是离散型随机变量，，且，又已知，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】本题考查期望与方差的公式，利用期望及方差的公式，建立方程，即可求得结论．【考点】离散型随机变量的期望方差.5.在个同样型号的产品中，有个是正品，个是次品，从中任取个，求（1）其中所含次品数的期望、方差；（2）事件“含有次品”的概率。
【答案】(1)E(x)=，D（x）=；（2）P(A)=.【解析】（1）依题意可知随机变量ξ的一切可取值为0，1，2，求出相应的概率，可求所含次品数ξ的期望、方差；（2）事件“含有次品”，则随机变量ξ取1，2，从而可求概率．试题解析：（1）依题意可知随机变量的一切可取值为，则，（2）设集合A为抽取的3件产品中含有次品则.【考点】离散型随机变量的期望与方差．6.某项考试按科目A、科目B依次进行，只有当科目A成绩合格时，才可继续参加科目B的考试.已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书.现某人参加这项考试，科目A每次考试成绩合格的概率均为，科目B每次考试成绩合格的概率均为.假设各次考试成绩合格与否均互不影响.（1）求他不需要补考就可获得证书的概率；（2）在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为，求的分布列及数学期望E.【答案】(1) ;(2) E=【解析】（1）不需要补考就获得证书的事件表示科目第一次考试合格且科目第一次考试合格，这两次考试合格是相互独立的，根据相互独立事件同时发生的概率，得到结果．（2）参加考试的次数为，由已知得，注意到各事件之间的独立性与互斥性，根据相互独立事件同时发生的概率写出概率，得到的分布列并求出期望．试题解析：解:设“科目A第一次考试合格”为事件A1，“科目A补考合格”为事件A2；“科目B第一次考试合格”为事件B1，“科目B补考合格”为事件B2..............1分(1)不需要补考就获得证书的事件为A1·B1,注意到A1与B1相互独立，则.该考生不需要补考就获得证书的概率为..............4分(2)由已知得，＝2，3，4，注意到各事件之间的独立性与互斥性，可得.............6分8分10分234故答：该考生参加考试次数的数学期望为 12分【考点】1、互相独立事件的概率乘法公式；2、离散型随机变量的分布列与数学期望.7.2012年3月2日，江苏卫视推出全新益智答题类节目《一站到底》，甲、乙两人报名参加《一站到底》面试的初试选拔，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题．规定每次抢答都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题初试才能通过．（Ⅰ）求甲答对试题数ξ的概率分布及数学期望；（Ⅱ）求甲、乙两人至少有一人初试通过的概率．【答案】（Ⅰ）分布列如下：0123甲答对试题数ξ的数学期望Eξ=．（Ⅱ）甲、乙两人至少有一人通过的概率为。
随机变量的数学期望例题和知识点总结
随机变量的数学期望例题和知识点总结在概率论与数理统计中，随机变量的数学期望是一个非常重要的概念。
它反映了随机变量取值的平均水平，在实际问题中有着广泛的应用。
下面我们将通过一些具体的例题来深入理解随机变量的数学期望，并对相关知识点进行总结。
一、数学期望的定义对于离散型随机变量 X，其概率分布为 P(X ＝ xk) ＝ pk，k ＝ 1, 2, 3, ，则数学期望 E(X) 定义为：E(X) ＝∑（xk pk)。
对于连续型随机变量 X，其概率密度函数为 f(x)，则数学期望 E(X) 定义为：E(X) ＝∫xf(x)dx（积分区间为整个实数轴）。
二、离散型随机变量的数学期望例题例 1：抛掷一枚质地均匀的骰子，设随机变量 X 表示骰子的点数，求 X 的数学期望。
解：骰子的点数可能为 1、2、3、4、5、6，且每个点数出现的概率均为 1/6。
E(X) ＝ 1×（1/6) ＋ 2×（1/6) ＋ 3×（1/6) ＋ 4×（1/6) ＋ 5×（1/6) ＋6×（1/6) ＝ 35例 2：某射手射击目标，击中目标得 1 分，未击中目标得 0 分。
已知他击中目标的概率为 07，设随机变量 X 表示他射击一次的得分，求X 的数学期望。
解：P(X ＝ 1) ＝ 07，P(X ＝ 0) ＝ 03E(X) ＝ 1×07 ＋ 0×03 ＝ 07三、连续型随机变量的数学期望例题例 3：设随机变量 X 服从区间0, 2上的均匀分布，求 X 的数学期望。
解：因为 X 服从区间0, 2上的均匀分布，所以其概率密度函数为f(x) ＝ 1/2，0 ≤ x ≤ 2。
E(X) ＝∫x(1/2)dx（积分区间为 0 到 2）＝ 1例 4：已知随机变量 X 的概率密度函数为 f(x) ＝ 2x，0 ＜ x ＜ 1，求 X 的数学期望。
解：E(X) ＝∫x(2x)dx（积分区间为 0 到 1）＝ 2/3四、数学期望的性质1、设 C 为常数，则 E(C) ＝ C。
高考复习(数学)专项练习：概率、随机变量及其分布【含答案及解析】
专题突破练18 概率、随机变量及其分布一、单项选择题1.(2021·湖南师大附中月考)电视机的使用寿命与显像管开关的次数有关.某品牌的电视机的显像管开关了10 000次还能继续使用的概率是0.8,开关了15 000次后还能继续使用的概率是0.6,则已经开关了10 000次的电视机显像管还能继续使用到15 000次的概率是( )A.0.20B.0.48C.0.60D.0.752.(2021·江苏泰州考前模拟)马林·梅森(Marin Mersenne,1588—1648)是17世纪法国数学家.他在欧几里得、费马等人研究的基础上深入地研究了2p -1型的数.人们为纪念梅森在数论方面的这一贡献,将形如2p -1(其中p 是素数)的素数,称为梅森素数.在不超过20的素数中,随机选取两个不同的数,至少有一个为梅森素数的概率是( )A.37B.512C.1328D.19553.(2021·新高考Ⅰ,8)有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回的随机取两次,每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”,则( )A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立二、填空题4.为研究如何提高大气污染监控预警能力,某学校兴趣小组的成员设计了一套大气污染检测预警系统.该系统设置了三个控制元件,三个元件T 1,T 2,T 3正常工作的概率分别为12,34,34,将T 2,T 3两个元件并联后再和T 1串联接入电路,如图所示,则该预警系统的可靠性是 .5.(2021·河北衡水模拟)已知甲、乙、丙三位选手参加某次射击比赛,比赛规则如下:①每场比赛有两位选手参加,并决出胜负;②每场比赛获胜的选手与未参加此场比赛的选手进行下一场的比赛;③在比赛中,若有一位选手首先获胜两场,则本次比赛结束,该选手获得此次射击比赛第一名.若在每场比赛中,甲胜乙的概率为13,甲胜丙的概率为34,乙胜丙的概率为12,且甲与乙先参加比赛,则甲获得第一名的概率为 . 三、解答题6.(2021·江苏新高考基地学校联考)阳澄湖大闸蟹又名金爪蟹,产于江苏苏州,蟹身青壳白肚,体大膘肥,肉质膏腻,营养丰富,深受消费者喜爱.某水产品超市购进一批重量为100千克的阳澄湖大闸蟹,随机抽取了50只统计其重量,得到的结果如下表所示:(1)试用组中值来估计该批大闸蟹有多少只?(所得结果四舍五入保留整数)(2)某顾客从抽取的10只特大蟹中随机购买了4只,记重量在区间[260,280]内的大闸蟹数量为X,求X 的概率分布列和数学期望.7.(2021·福建漳州模拟)随着5G通信技术的发展成熟,移动互联网短视频变得越来越普及,人们也越来越热衷于通过短视频获取资讯和学习成长.某短视频创作平台,为了鼓励短视频创作者生产出更多高质量的短视频,会对创作者上传的短视频进行审核,通过审核后的短视频,会对用户进行重点的分发推荐.短视频创作者上传一条短视频后,先由短视频创作平台的智能机器人进行第一阶段审核,短视频审核通过的概率为35,通过智能机器人审核后,进入第二阶段的人工审核,人工审核部门会随机分配3名员工对该条短视频进行审核,同一条短视频每名员工审核通过的概率均为12,若该视频获得2名或者2名以上员工审核通过,则该短视频获得重点分发推荐.(1)某创作者上传一条短视频,求该短视频获得重点分发推荐的概率;(2)若某创作者一次性上传3条短视频作品,求其获得重点分发推荐的短视频个数的分布列与数学期望.专题突破练18概率、随机变量及其分布1.D解析记事件A:电视机的显像管开关了10 000次还能继续使用,记事件B:电视机的显像管开关了15 000次后还能继续使用,则P(AB)=0.6,P(A)=0.8,所以,已经开关了10 000次的电视机显像管还能继续使用到15 000次的概率为P(B|A)=P(AB)P(A)=0.60.8=0.75.2.C 解析 可知不超过20的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,共8个,其中梅森素数有3,7,共2个,则在不超过20的素数中,随机选取两个不同的数共有C 82=28种,其中至少有一个为梅森素数有C 21C 61+C 22=13种,所以至少有一个为梅森素数的概率是P=1328. 3.B 解析 由已知得P (甲)=16,P (乙)=16,P (丙)=56×6=536,P (丁)=66×6=16,P (甲丙)=0,P (甲丁)=16×6=136,P (乙丙)=16×6=136,P (丙丁)=0.由于P (甲丁)=P (甲)·P (丁)=136,根据相互独立事件的性质,知事件甲与丁相互独立,故选B . 4.1532 解析 T 2,T 3并联电路正常工作概率为1-1-34×(1-34)=1516,故电路不发生故障的概率为12×1516=1532.5.2572 解析 因为每场比赛中,甲胜乙的概率为13,甲胜丙的概率为34,乙胜丙的概率为12,所以甲选手获胜的概率是P (A )=13×34+13×(1-34)×12×13+(1-13)×(1-12)×34×13=2572.6.解 (1)50只大闸蟹的平均重量为150×(170×3+190×2+210×15+230×20+250×7+270×3)=224,所以水产品超市购进的100千克大闸蟹只数约为100 000÷224≈446.(2)X 的可能取值为0,1,2,3,概率分别为:P (X=0)=C 30C 74C 104=16,P (X=1)=C 31C 73C 104=12, P (X=2)=C 32C 72C 104=310,P (X=3)=C 33C 71C 104=130.分布列为:所以E (X )=0×16+1×12+2×310+3×130=65.7.解 (1)设“该短视频获得重点分发推荐”为事件A ,则P (A )=35×C 32×(12)2×(1-12)1+C 33×(12)3×(1-12)0=310. (2)设其获得重点分发推荐的短视频个数为随机变量X ,X 可取0,1,2,3.则X~B (3,310),P (X=0)=C 30×(310)0×(1-310)3=3431 000, P (X=1)=C 31×(310)1×(1-310)2=4411 000, P (X=2)=C 32×(310)2×(1-310)1=1891 000, P (X=3)=C 33×(310)3×(1-310)0=271 000, 随机变量X 的分布列如下:E (X )=0×3431 000+1×4411 000+2×1891 000+3×271 000=910.[或E (X )=3×310=910]。
第二章随机变量及其分布作业册习题解答
§1 随机变量 一、单项选择题
§2 随机变量的分布函数
§3 离散性随机变量及其分布律
（1）解应选（B）。
方法一由于在选项（A）中， F(+) = 0 1，在选项（C）中， F (+) = 1 1，在选项（D） 2
−1, 中，取 f (x) = 2,
0,
1 x 2
+
3 x 4 ，则 f (x)dx = 1，但当1 x 2 时， F(x) =1− x 0 ，因此选 −
~19~
此所求的概率为
P
1 2
X
2
=
2
f (x)dx =
1 2
21
5
xdx =
6 1
2
16
（3）当 x 0 时， F(x) = 0 ；当 0 x 2
3 时， F(x) =
x
f (t)dt =
x 1 xdx = x2 ；当
−
06
12
x 2 3 时， F(x) = 1，即 X 的分布函数为
= P( −4) + P( 4) = + 2e−2xdx = e−8 4
故填 e−8 。
三、解（1）由
+
f (x)dx = 1 ，得1 =
2
3
3Cxdx = 18C ，故 C =
1
。
−
0
18
（2）由（1）知
X
的概率密度为
f
(x)
=
1 6
x,
0 x2
3 ，由于 X 是连续型随机变量，因
0, 其他
a
+
+
a
F(−a) = − (−t)dt = (t)dt = (t)dt − (t)dt
最新人教版高中数学选修三第二单元《随机变量及其分布》测试(有答案解析)(2)
一、选择题1．2020年12月4日，中国科学技术大学宣布该校潘建伟等科学家成功构建76光子的量子计算原型机“九章”，求解数学算法“高斯玻色取样”只需要200秒，而目前世界最快的超级计算机要用6亿年，这一突破使我国成为全球第二个实现“量子优越性”的国家.“九章”求得的问题名叫“高斯玻色取样”，通俗的可以理解为量子版本的高尔顿钉板，但其实际情况非常复杂.高尔顿钉板是英国生物学家高尔顿设计的，如图，每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子，上一层的每个钉子水平位置恰好位于下一层的两颗钉子的正中间，从入口处放进一个直径略小于两颗钉子之间距离的白色圆玻璃球，白球向下降落的过程中，首先碰到最上面的钉子，碰到钉子后皆以二分之一的概率向左或向右滚下，于是又碰到下一层钉子.如此继续下去，直到滚到底板的一个格子内为止.现从入口放进一个白球，则其落在第③个格子的概率为（ ）A ．1128B ．7128C ．21128D ．351282．某校一次高三年级数学检测，经抽样分析，成绩ξ占近似服从正态分布()295,N σ，且(9195)0.25P ξ<≤=．若该校有700人参加此次检测，估计该校此次检测数学成绩不低于99分的人数为（ ） A ．100B ．125C ．150D ．1753．长春气象台统计，7月15日净月区下雨的概率为415，刮风的概率为215，既刮风又下雨的概率为110，设事件A 为下雨，事件B 为刮风，那么()|P A B =（ ） A ．12B ．34C ．25D ．384．《山东省高考改革试点方案》规定：2020年高考总成绩由语文、数学、外语三门统考科目和思想政治、历史、地理、物理、化学、生物六门选考科目组成，将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A 、B +，B 、C +、C 、D +、D 、E 共8个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%，7%，16%，24%，24%、16%、7%、3%，选考科目成绩计入考生总成绩时，将A 至E 等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到[]91,100，[81,90]，[]71,80、[]61,70、[]51,60、[]41,50、[]31,40、[]21,30、八个分数区间，得到考生的等级成绩，如果山东省某次高考模拟考试物理科目的原始成绩X ～()50,256N ，那么D 等级的原始分最高大约为（ ）附：①若X ～()2,Nμσ，X Y μσ-=，则Y ～()0,1N ；②当Y ～()0,1N 时，()1.30.9P Y ≤≈.A ．23B ．29C ．36D ．435．已知随机变量X 的分布列表如下表，且随机变量23Y X =+，则Y 的期望是（ ）A ．73B ．53C ．13D ．166．已知随机变量~X N ()22,σ，(0)0.84P X=，则(04)P X <<=（ ）A ．0.16B ．0.32C ．0.66D ．0.687．甲、乙、丙三人每人准备在3个旅游景点中各选一处去游玩，则在“至少有1个景点未被选择”的条件下，恰有2个景点未被选择的概率是（ ） A ．17B ．18C ．114D ．3148．一个盒子装有4件产品，其中有3件一等品，1件二等品.从中不放回的取两次，每次取出一件.设事件A 为“第一次取到的是一等品”，事件B 为“第二次取到的是一等品”.则()|P B A =（ ）A ．34B ．13C ．23D ．129．已知甲、乙、丙三名同学同时独立地解答一道导数试题，每人均有23的概率解答正确，且三个人解答正确与否相互独立，在三人中至少有两人解答正确的条件下，甲解答不正确的概率（ ） A ．1320B ．920C ．15D ．12010．如图所示,EFGH 是以O 为圆心,半径为1的圆的内接正方形,将一颗豆子随机地扔到该圆内,事件A 表示“豆子落在正方形EFGH 内”,事件B 表示“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”,则P(B|A)等于( )A ．18B ．14C ．12D ．3811．吸烟有害健康，远离烟草，珍惜生命．据统计一小时内吸烟5支诱发脑血管病的概率为0.02，一小时内吸烟10支诱发脑血管病的概率为0.16.已知某公司职员在某一小时内吸烟5支未诱发脑血管病，则他在这一小时内还能继吸烟5支不诱发脑血管病的概率为（ ） A ．67B ．2125C ．4950D ．不确定12．已知离散型随机变量X 的分布列如下：X1 2Px4x5x由此可以得到期望()E X 与方差()D X 分别为（ ） A ．() 1.4E X =，()0.2D X = B ．()0.44E X =，() 1.4D X = C ．() 1.4E X =，()0.44D X =D ．()0.44E X =，()0.2D X =二、填空题13．随机变量X 的取值为0、1、2，()00.2P X ==，0.4DX =，则EX =______. 14．一个家庭有两个小孩，假设生男生女是等可能的，已知这个家庭有一个是女孩的条件下，这时另一个也是女孩的概率是________.15．将三枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件A =“三个点数之和等于15”，B =“至少出现一个5点”，则概率(A |B)P 等于______.16．某校高二学生一次数学诊断考试成绩（单位：分）X 服从正态分布()2110,10N ，从中抽取一个同学的数学成绩ξ，记该同学的成绩90110ξ<≤为事件A ，记该同学的成绩80100ξ<≤为事件B ，则在A 事件发生的条件下B 事件发生的概率()P B A =______．（结果用分数表示）附参考数据：()0.68P X μσμσ-<≤+=；()220.95P X μσμσ-<≤+=；()330.99P X μσμσ-<≤+=．17．某地市高三理科学生有15000名，在一次调研测试中，数学成绩ξ服从正态分布N （100，σ2），已知P （80<ξ<120）=0.70，若按成绩分层抽样的方式取100份试卷进行分析．则应从120分以上的试卷中抽取________份．18．有10张纸币，其中有4张假币，从中取出两张，已知其中一张是假币，则另一张也是假币的概率为____．三、解答题19．某高校为了加快打造一流名校步伐，生源质量不断改善.据统计，该校2014年到2020年所招的学生高考成绩不低于600分的人数y 与对应年份代号x 的数据如下：（1）若关于具有较强的线性相关关系，求关于的线性回归方程y bx a =+，并预测2021年该校所招的学生高考成绩不低于600分的人数；（2）今有A 、B 、C 、D 四位同学报考该校，已知A 、B 、C 被录取的概率均为13，D 被录取的概率为12，且每位同学是否被录取相互不受影响，用X 表示此4人中被录取的人数，求X 的分布列与数学期望.参考公式：()()()121niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，ˆa y bx=-.参考数据：71301ii y==∑，()()71140iii x x y y =--=∑.20．为迎接2020年国庆节的到来，某电视台举办爱国知识问答竞赛，每个人随机抽取五个问题依次回答，回答每个问题相互独立.若答对一题可以上升两个等级，回答错误可以上升一个等级，最后看哪位选手的等级高即可获胜.甲答对每个问题的概率为13，答错的概率为23. （1）若甲回答完5个问题后，甲上的台阶等级数为X ，求X 的分布列及数学期望； （2）若甲在回答过程中出现在第()2i i ≥个等级的概率为i P ，证明：{}1i i P P --为等比数列.21．在某运动会上，有甲队女排与乙队女排以“五局三胜”制进行比赛，其中甲队是“慢热”型队伍，根据以往的经验，首场比赛甲队获胜的概率为P ，决胜局（第五局）甲队获胜的概率为23，其余各局甲队获胜的概率均为12.（1）求甲队以3:2获胜的概率；（2）现已知甲队以3:0获胜的概率是112，若比赛结果为3:0或3:1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3:2，则胜利方得2分，对方得1分，求甲队得分的分布列及数学期望.22．某不透明纸箱中共有4个小球，其中1个白球，3个红球，它们除了颜色外均相同. （1）一次从纸箱中摸出两个小球，求恰好摸出2个红球的概率；（2）每次从纸箱中摸出一个小球，记录颜色后放回纸箱，这样摸取4次，记取到红球的次数为ξ，求ξ的分布列；（3）每次从纸箱中摸取一个小球，记录颜色后放回纸箱，这样摸取20次，取得几次红球的概率最大？（只需写出结论）23．某企业为了解职工A 款APP 和B 款APP 的用户量情况，对本单位职工进行简单随机抽样，获得数据如下表：（1）分别估计该企业男职工使用A 款APP 的概率､该企业女职工使用A 款APP 的概率； （2）从该企业男，女职工中各随机抽取1人，记这2人中使用A 款APP 的人数为X ，求X 的分布列及数学期望；（3）据电商行业发布的市场分析报告显示，A 款APP 的用户中男性占52.04%､女性占47.96%；B 款APP 的用户中男性占38.92%､女性占61.08%.试分析该企业职工使用A 款APP 的男､女用户占比情况和使用B 款APP 的男､女用户占比情况哪一个与市场分析报告中的男､女用户占比情况更相符.24．某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随即抽取该流水线上40件产品作为样本算出他们的重量(单位：克)重量的分组区间为(490495]，，(495500]，，…，(510515]，，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示.（1）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量.（2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设X 为重量超过505克的产品数量，求X 的分布列及期望.（3）在上述抽取的40件产品中任取5件产品，求恰有2件产品的重量超过505克的概率. 25．已知一个袋中装有3个白球和3个红球，这些球除颜色外完全相同.（1）每次从袋中取一个球，取出后不放回，直到取到一个红球为止，求取球次数ξ的分布列和数学期望()E ξ；（2）每次从袋中取一个球，取出后放回接着再取一个球，这样取3次，求取出红球次数η的分布列、数学期望()E η和方差()D η.26．面对环境污染，党和政府高度重视，各级环保部门制定了严格措施治理污染，同时宣传部门加大保护环境的宣传力度，因此绿色低碳出行越来越成为市民的共识，为此某市在八里湖新区建立了公共自行车服务系统，市民凭本人二代身份证到公共自行车服务中心办理诚信借车卡，初次办卡时卡内预先赠送20分，当诚信积分为0时，借车卡自动锁定，限制借车，用户应持卡到公共自行车服务中心以1元购1个积分的形式再次激活该卡，为了鼓励市民租用公共自行车出行，同时督促市民尽快还车，方便更多的市民使用，公共自行车按每车每次的租用时间进行扣分缴费，具体扣分标准如下： ①租用时间不超过1小时，免费；②租用时间为1小时以上且不超过2小时，扣1分； ③租用时间为2小时以上且不超过3小时，扣2分； ④租用时间为3小时以上且不超过4小时，扣3分；⑤租车时间超过4小时除扣3分外，超出时间按每小时扣2分收费（不足1小时的部分按1小时计算）甲、乙两人独立出行，各租用公共自行车一次，且两人租车时间都不会超过4小时，设甲、乙租用时间不超过一小时的概率分别是0.4，0.5；租用时间为1小时以上且不超过2小时的概率分别是0.3，0.3；租用时间为2小时以上且不超过3小时的概率分别是0.2，0.1．（1）求甲、乙两人所扣积分相同的概率；（2）设甲、乙两人所扣积分之和为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望．参考答案【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】小球从起点到第③个格子一共跳了7次，其中要向右边跳动2次，由二项分布概率即可求解. 【详解】小球从起点到第③个格子一共跳了7次，其中要向左边跳动5次，向右边跳动2次，而向左或向右的概率均为12，则向右的次数服从二项分布，所以所求的概率为2527112122128P C ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 故答案为：C. 【点睛】本题的解题关键是判断小球向右边跳动的次数服从二项分布.2．D解析：D 【分析】由题意，成绩X 近似服从正态分布()295,N σ，则正态分布曲线的对称轴为95X =，根据正态分布曲线的对称性，求得()199[12(9195)]2P X P X ≥=⨯-⨯<≤，进而可求解，得到答案. 【详解】由题意，成绩X 近似服从正态分布()295,N σ，则正态分布曲线的对称轴为95X =， 又由(9195)0.25P ξ<≤=， 根据正态分布曲线的对称性，可得()()1199[12(9195)]120.250.2522P X P X ≥=⨯-⨯<≤=-⨯=，所以该市某校有700人中，估计该校数学成绩不低于99分的人数为7000.25175⨯=人，故选：D. 【点睛】关键点点睛：该题主要考查了正态分布曲线的性质的应用，其中解答中熟练应用正态分布曲线的对称性，求得成绩不低于99分的概率是解答的关键.3．B解析：B 【分析】 确定421(),(),()151510P A P B P AB ===，再利用条件概率的计算公式，即可求解. 【详解】由题意，可知421(),(),()151510P A P B P AB ===， 利用条件概率的计算公式，可得1()310(|)2()415P AB P A B P B ===，故选B. 【点睛】本题主要考查了条件概率的计算，其中解答中认真审题，熟记条件概率的计算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4．B解析：B 【分析】由于原始分与对应等级分的分布情况是相同的，由(P 等级分≥40)0.9=即有(P 原始分≥5016x -)0.9=，结合原始分满足X ～()50,256N 的正态分布即可得均值和标准差，而X Y μσ-=且()1.30.9P Y ≤≈知( 1.3)0.9P Y ≥-≈，即有5016x - 1.3=-求解即可 【详解】由题意知：X ～()50,256N 则有50μ=，16σ=设D 等级的原始分最高大约为x ，对应的等级分为40 ，而(P 等级分≥40)1(7%3%)0.9=-+=∴有(P 原始分≥5016x -)0.9= 而()1.30.9P Y ≤≈，由对称性知( 1.3)0.9P Y ≥-≈∴有5016x - 1.3=-，即29.229x =≈ 故选：B 【点睛】本题考查了正态分布的应用，根据两个有相同分布情况的数据集概率相等，由已知数据集上某点上的概率找到另一个数据集上有相等概率的点，即可找到等量关系，进而求点的位置。
随机变量数学期望.ppt
方法二 ξ1的概率分布列为
1 1.2 1.18 1.17
P
1
1
1
6
2
3
E(1)
1.2
1 6
1.18
1 2
1.17
1 3
1.18.
设Ai表示事件“第i次调整,价格下降”(i=1,2),则
P( 0) P( A1)P( A2 ) (1 p)2 ,
P( 1) P( A1)P( A2 ) P( A1)P( A2 ) 2 p(1 p), P( 2) P( A1)P( A2 ) p2.
解析 ξ 的可能取值为0,1,2,
P(
0)
C52 C72
10 , P(
21
1)
C15C12 C72
10 , 21
P(
2)
C
2 2
C72
1, 21
E( ) 10 0 10 1 1 2 4 .
21 21 21 7
三、解答题 10.袋中有相同的5个球,其中3个红球,2个黄球,现从 中随机且不放回地摸球,每次摸1个，当两种颜色的 球都被摸到时,即停止摸球,记随机变量ξ 为此时已 摸球的次数,求: (1)随机变量ξ 的概率分布列； (2)随机变量ξ 的数学期望与方差.
1
P
5 10
10
(2)随机变量ξ 的数学期望
E( ) 2 3 3 3 4 1 5 ;
5 10 10 2 随机变量ξ 的方差
D( ) (2 5 )2 3 (3 5 )2 3 (4 5 )2 1
25
2 10
高二理科数学期末专题复习――随机变量及其分布(答案)
高二理科数学期末专题复习――随机变量及其分布(答案)高二理科数学期末专题复习――随机变量及其分布考点一:离散型随机变量及其分布列题型1: 离散型随机变量分布列的计算[例1]旅游公司为3个旅游团提供4条旅游线路，每个旅游团任选其中一条.求选择甲线路旅游团数的分布列.解析： 设选择甲线路旅游团数为ξ，则ξ=0，1，2，3 P （ξ=0）=64274333=，P （ξ=1）=6427433213=⋅C ，P （ξ=2）=64943313=⋅C ，P （ξ=3）=6414333=C∴ξ的分布列为：【名师指引】 求离散型随机变量分布列时，应明确随机变量可能取哪些值，然后计算其相应的概率填入相应的表中即可。
【练习】．老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格．某同学只能背诵其中的6篇，试求：（1）抽到他能背诵的课文的数量的分ξ 0 1 2 3P6427 6427 649 641布列； （2）他能及格的概率．题型2: 离散型随机变量分布列的性质的应用 [例2]某一随机变量ξ的概率分布如下表，且2m n + 1.2=，则2n m -的值为（ ） A.－0.2； B.0.2； C.0.1； D.－0.1解析：由0.2m n ++1=，又2m n + 1.2=，可得2n m -0.2= 答案：B【练习】．设ξ是一个离散型随机变量，其分布列如下表，求q 的值解：因为随机变量的概率非负且随机变量取遍所有可能值时相应的概率之和等于1， 所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-≤=+-+112101212122q q q q 解得221-=q 。
ξ－1 0 1P 211－2qq 2ξ 01 2 3 P 0.1 m n 0.1考点二: 二项分布与超几何分布题型1: 条件概率例1一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可从0～9中任选一个．某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字．求：（1）任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率；（2）如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率．解析：设事件(12)iA i =，表示第i 次按对密码 ⑴211()9P AA =⑵事件12A A 表示恰好按两次按对密码，则12121911()()()10910P A A P A P A A ==⨯= ⑶设事件B 表示最后一位按偶数，事件112A A A A =+表示不超过2次按对密码，因为事件1A 与事件12A A 为互斥事件，由概率的加法公式得：1121412()()()5545P A B P AB P A A B ⨯===+=⨯变式：任意按最后一位数字，第3次就按对的概率？【练习】．1.设 100 件产品中有 70 件一等品，25 件二等品，规定一、二等品为合格品．从中任取1 件，求 (1) 取得一等品的概率；(2) 已知取得的是合格品，求它是一等品的概率．解: 设B 表示取得一等品，A 表示取得合格品，则（1）因为100 件产品中有 70 件一等品， 70()0.7100P B ==(2)方法一: 因为95 件合格品中有 70 件一等品，所以B A AB B ⊂∴=Q 70()0.736895P B A == 方法二:()()()P ABP B A P A =701000.736895100=≈ 2．某地区气象台统计，该地区下雨的概率是154，刮三级以上风的概率为52，既刮风又下雨的概率为101，设A 为下雨，B 为刮风，求： （1）)(B A P ； （2）)(A B P ．题型2: 两点分布与超几何分布的应用[例3] 高二（十）班共50名同学，其中35名男生，15名女生，随机从中取出5名同学参加学生代表大会，所取出的5名学生代表中，女生人数X 的频率分布如何？ 解析：从50名学生中随机取5人共有550C 种方法，没有女生的取法是051535CC ，恰有1名女生的取法是141535CC ，恰有2名女生的取法是231535CC ，恰有3名女生的取法是321535CC ，恰有4名女生的取法是411535C C ，恰有5名女生的取法是501535CC ，因此取出的5名学生代表中，女生人数X 的频率分布为：X 01 2 3 4 5 P051535550C C C141535550C C C231535550C C C321535550C C C411535550C C C501535550C C C[例4] 若随机事件A 在1次试验中发生的概率是p ，用随机变量ξ表示A 在1次实验中发生的次数。
高考数学理科必考题型：第42练-随机变量及其分布列(含答案)
第42练 随机变量及其分布列[内容精要] 随机变量及其分布列是新课标高考的一个必考热点、主要包括离散型随机变量及其分布列、期望与方差、二项分布及其应用和正态分布、对本部分知识的考查、一是以实际生活为背景求解离散型随机变量的分布列和期望；二是独立事件概率的求解；三是考查二项分布、题型一 离散型随机变量的期望和方差例1 2014年男足世界杯在巴西举行、为了争夺最后一个小组赛参赛名额、甲、乙、丙三支国家队要进行比赛、根据规则：每支队伍比赛两场、共赛三场、每场比赛胜者得3分、负者得0分、没有平局、获得第一名的队伍将夺得这个参赛名额、已知乙队胜丙队的概率为15、甲队获得第一名的概率为16、乙队获得第一名的概率为115.(1)求甲队分别战胜乙队和丙队的概率P 1、P 2；(2)设在该次比赛中、甲队得分为ξ、求ξ的分布列和数学期望、破题切入点 (1)利用相互独立事件同时发生的概率公式、结合甲队获得第一名与乙队获得第一名的条件列出方程、从而求出P 1、P 2；(2)先根据比赛得分的规则确定甲队得分ξ的可能取值、然后利用相互独立事件的概率计算公式分别求解对应的概率值、列出分布列求其期望、解 (1)根据题意、甲队获得第一名、则甲队胜乙队且甲队胜丙队、 所以甲队获第一名的概率为P 1×P 2＝16.①乙队获得第一名、则乙队胜甲队且乙队胜丙队、 所以乙队获第一名的概率为(1－P 1)×15＝115.②解②、得P 1＝23、代入①、得P 2＝14、所以甲队战胜乙队的概率为23、甲队战胜丙队的概率为14.(2)ξ可能取的值为0,3,6、当ξ＝0时、甲队两场比赛皆输、其概率为P (ξ＝0)＝(1－23)×(1－14)＝14；当ξ＝3时、甲队两场只胜一场、其概率为P (ξ＝3)＝23×(1－14)＋14×(1－23)＝712；当ξ＝6时、甲队两场皆胜、其概率为P (ξ＝6)＝23×14＝16.所以ξ的分布列为所以E (ξ)＝0×14＋3×712＋6×16＝114.题型二 相互独立事件的概率例2 红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A 、B 、C 进行围棋比赛、甲对A 、乙对B 、丙对C 各一盘、已知甲胜A 、乙胜B 、丙胜C 的概率分别为0.6、0.5、0.5.假设各盘比赛结果相互独立、 (1)求红队至少两名队员获胜的概率；(2)用ξ表示红队队员获胜的总盘数、求ξ的分布列和数学期望E (ξ)、破题切入点 设“甲胜A ”为事件D 、“乙胜B ”为事件E 、“丙胜C ”为事件F 、则第(1)问就是求事件DE F ＋D E F ＋D EF ＋DEF 的概率、根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式进行计算、第(2)问中的ξ可取0,1,2,3、分别对应事件D E F 、D E F ＋D E F ＋D E F 、DE F ＋D E F ＋D EF 、DEF 、求出其概率就得到了ξ的分布列、然后按照数学期望的计算公式求数学期望、解 (1)设“甲胜A ”为事件D 、“乙胜B ”为事件E 、“丙胜C ”为事件F 、则D 、E 、F 分别表示甲不胜A 、乙不胜B 、丙不胜C 的事件、因为P (D )＝0.6、P (E )＝0.5、P (F )＝0.5、由对立事件的概率公式、知P (D )＝0.4、P (E )＝0.5、P (F )＝0.5.红队至少两人获胜的事件有DE F 、D E F 、D EF 、DEF .由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立、因此红队至少两人获胜的概率为P ＝P (DE F )＋P (D E F )＋P (D EF )＋P (DEF )＝0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55.(2)由题意、知ξ的可能取值为0,1,2,3.因此P (ξ＝0)＝P (D E F )＝0.4×0.5×0.5＝0.1、P (ξ＝1)＝P (D E F )＋P (D E F )＋P (D E F )＝0.4×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.35、P (ξ＝3)＝P (DEF )＝0.6×0.5×0.5＝0.15.由对立事件的概率公式、得P (ξ＝2)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝1)－P (ξ＝3)＝0.4. 所以ξ的分布列为因此E (ξ)＝0×0.1＋1×0.35题型三 二项分布问题例3 (2013·山东)甲、乙两支排球队进行比赛、约定先胜3局者获得比赛的胜利、比赛随即结束、除第五局甲队获胜的概率是12外、其余每局比赛甲队获胜的概率都是23.假设各局比赛结果相互独立、(1)分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率；(2)若比赛结果为3∶0或3∶1、则胜利方得3分、对方得0分；若比赛结果为3∶2、则胜利方得2分、对方得1分、求乙队得分X 的分布列及数学期望、破题切入点 理解相互独立事件、二项分布的概念、掌握离散型随机变量的分布列与数学期望的计算、解 (1)记“甲队以3∶0胜利”为事件A 1、“甲队以3∶1胜利”为事件A 2、“甲队以3∶2胜利”为事件A 3、由题意、知各局比赛结果相互独立、 故P (A 1)＝(23)3＝827、P (A 2)＝C 23(23)2(1－23)×23＝827、 P (A 3)＝C 24(23)2(1－23)2×12＝427. 所以甲队以3∶0胜利、3∶1胜利的概率都为827、以3∶2胜利的概率为427.(2)设“乙队以3∶2胜利”为事件A 4、 由题意、知各局比赛结果相互独立、 所以P (A 4)＝C 24(1－23)2(23)2×(1－12)＝427. 由题意、知随机变量X 的所有可能的取值为0,1,2,3、 根据事件的互斥性、得P (X ＝0)＝P (A 1＋A 2)＝P (A 1)＋P (A 2)＝1627、又P (X ＝1)＝P (A 3)＝427、P (X ＝2)＝P (A 4)＝427、P (X ＝3)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝1)－P (X ＝2)＝327＝19、故X 的分布列为P162742742719所以E (X )＝0×1627＋1×427＋2×427＋3×19＝79.总结提高 (1)离散型随机变量的期望和方差的求解、一般分两步：一是定型、即先判断随机变量的分布是特殊类型、还是一般类型、如两点分布、二项分布、超几何分布等属于特殊类型；二是定性、对于特殊类型的期望和方差可以直接代入相应公式求解、而对于一般类型的随机变量、应先求其分布列然后代入相应公式计算、注意离散型随机变量的取值与概率间的对应、(2)两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件的发生与否没有关系、在一些问题中我们可以根据问题的实际意义来判断两个事件是否相互独立、 (3)对于能够判断为服从二项分布的随机变量、可直接代入公式、1、从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个、其个位数为0的概率是( ) A.49 B.13 C.29 D.19 答案 D解析 个位数与十位数之和为奇数、则个位数与十位数中必有一个奇数一个偶数、所以可以分两类、(1)当个位为奇数时、有5×4＝20(个)符合条件的两位数、 (2)当个位为偶数时、有5×5＝25(个)符合条件的两位数、因此共有20＋25＝45(个)符合条件的两位数、其中个位数为0的两位数有5个、所以所求概率为P ＝545＝19.2、(2013·广东)已知离散型随机变量X 的分布列为X 1 2 3 P35310110则X 的数学期望E (X )等于( A.32 B 、2 C.52 D 、3 答案 A解析 E (X )＝1×35＋2×310＋3×110＝32.3、甲射击命中目标的概率是12、乙命中目标的概率是13、丙命中目标的概率是14.现在三人同时射击目标、则目标被击中的概率为( ) A.34 B.23 C.45 D.710 答案 A解析 设甲命中目标为事件A 、乙命中目标为事件B 、丙命中目标为事件C 、则目标被击中的事件可以表示为A ∪B ∪C 、即击中目标表示事件A 、B 、C 中至少有一个发生、 ∴P (A ·B ·C )＝P (A )·P (B )·P (C ) ＝[1－P (A )]·[1－P (B )]·[1－P (C )] ＝⎝⎛⎭⎫1－12⎝⎛⎭⎫1－13⎝⎛⎭⎫1－14＝14. 故目标被击中的概率为1－P (A ·B ·C )＝1－14＝34.4、一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a 、得2分的概率为b 、不得分的概率为c (a 、b 、c ∈(0,1))、已知他投篮一次得分的数学期望为1(不计其他得分的情况)、则ab 的最大值为( ) A.148 B.124 C.112 D.16 答案 B解析 由已知得3a ＋2b ＋0×c ＝1、即3a ＋2b ＝1、 ∴ab ＝16·3a ·2b ≤16⎝⎛⎭⎫3a ＋2b 22＝16×⎝⎛⎭⎫122＝124、当且仅当3a ＝2b ＝12时取等号、即ab 的最大值为124.5、盒子中装有形状、大小完全相同的3个红球和2个白球、从中随机取出一个记下颜色后放回、当红球取到2次时停止取球、那么取球次数恰为3次的概率是( ) A.18125 B.36125 C.44125 D.81125 答案 B解析 从5个球中随机取出一个球放回、连续取3次的所有取法有5×5×5＝125种、有两次取红球的所有取法有3A 12·A 23＝36种、 所以概率为36125.6、设10≤x 1<x 2<x 3<x 4≤104、x 5＝105.随机变量ξ1取值x 1、x 2、x 3、x 4、x 5的概率均为0.2、随机变量ξ2取值x 1＋x 22、x 2＋x 32、x 3＋x 42、x 4＋x 52、x 5＋x 12的概率也均为0.2.若记D (ξ1)、D (ξ2)分别为ξ1、ξ2的方差、则( ) A 、D (ξ1)>D (ξ2) B 、D (ξ1)＝D (ξ2) C 、D (ξ1)<D (ξ2)D 、D (ξ1)与D (ξ2)的大小关系与x 1、x 2、x 3、x 4的取值有关 答案 A7、将一枚均匀的硬币抛掷6次、则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为________、 答案1132解析 正面出现的次数比反面出现的次数多、则正面可以出现4次、5次或6次、所求概率P＝C 46⎝⎛⎭⎫126＋C 56⎝⎛⎭⎫126＋C 66⎝⎛⎭⎫126＝1132. 8、某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中、选手若能连续正确回答出两个问题、即停止答题、晋级下一轮、假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8、且每个问题的回答结果相互独立、则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为________、 答案 0.128解析 由题设、分两类情况：①第1个正确、第2个错误、第3、4个正确、 由乘法公式得P 1＝0.8×0.2×0.8×0.8＝0.102 4； ②第1、2个错误、第3、4个正确、 此时概率P 2＝0.2×0.2×0.8×0.8＝0.025 6. 由互斥事件概率公式得P ＝P 1＋P 2＝0.102 4＋0.025 6＝0.128.9、小王参加了2014年春季招聘会、分别向A 、B 两个公司投递个人简历、假定小王得到A 公司面试的概率为13、得到B 公司面试的概率为p 、且两个公司是否让其面试是独立的、记ξ为小王得到面试的公司个数、若ξ＝0时的概率P (ξ＝0)＝12、则随机变量ξ的数学期望E (ξ)＝________. 答案712解析 由题意、得P (ξ＝2)＝13p 、P (ξ＝1)＝13(1－p )＋23p ＝1＋p3、ξ的分布列为由12＋1＋p 3＋13p ＝1、得p ＝14.所以E (ξ)＝0×12＋1×1＋p 3＋2×13p ＝712.10、某工厂生产甲、乙两种芯片、其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为合格品、小于82为次品、现随机抽取这两种芯片各100件进行检测、检测结果统计如下：(1)(2)生产一件芯片甲、若是合格品可盈利40元、若是次品则亏损5元；生产一件芯片乙、若是合格品可盈利50元、若是次品则亏损10元、在(1)的前提下、①记X 为生产1件芯片甲和1件芯片乙所得的总利润、求随机变量X 的分布列和数学期望；②求生产5件芯片乙所获得的利润不少于140元的概率、解 (1)芯片甲为合格品的概率约为40＋32＋8100＝45、芯片乙为合格品的概率约为40＋29＋6100＝34. (2)①随机变量X 的所有可能取值为90,45,30、－15. P (X ＝90)＝45×34＝35、P (X ＝45)＝15×34＝320、P (X ＝30)＝45×14＝15、P (X ＝－15)＝15×14＝120、所以、随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望E (X )＝90×35＋45×320＋30×15－15×120＝66.②设生产的5件芯片乙中合格品有n 件、则次品有(5－n )件、 依题意、得50n －10(5－n )≥140、解得n ≥196.所以n ＝4或n ＝5.设“生产5件芯片乙所获得的利润不少于140元”为事件A 、 则P (A )＝C 45(34)4×14＋(34)5＝81128.11、在体育课上、甲、乙、丙三位同学进行篮球投篮练习、甲、乙、丙投中的概率分别为p 1、p 2、25、且p 1＋p 2＝1、现各自投篮一次、三人投篮相互独立、(1)求三人都没有投进的概率的最大值、并求此时甲、乙投篮命中的概率； (2)在(1)的条件下、求三人投中次数之和X 的分布列和数学期望、 解 (1)记甲、乙、丙投篮一次命中分别为事件A 、B 、C 、 则P (A )＝p 1、P (B )＝p 2、P (C )＝25.各自投篮一次都没有投进为事件D 、则D ＝A B C 、 故P (D )＝P (A B C )＝P (A )P (B )P (C ) ＝[1－P (A )][1－P (B )][1－P (C )] ＝35(1－p 1)(1－p 2)≤35(1－p 1＋1－p 22)2 ＝320、 当且仅当p 1＝p 2＝12时等号成立、即各自投篮一次三人都没有投进的概率的最大值是320、此时甲、乙投篮命中的概率都是12.(2)X ＝0,1,2,3.根据(1)知P (X ＝0)＝320；P (X ＝1)＝P (A B C ＋A B C ＋A B C ) ＝12×12×35＋12×12×35＋12×12×25 ＝25； P (X ＝2)＝P (AB C ＋A B C ＋A BC ) ＝12×12×35＋12×12×25＋12×12×25 ＝720； P (X ＝3)＝P (ABC )＝12×12×25＝110.所以X 的分布列为X 的数学期望E (X )＝0×320＋1×25＋2×720＋3×110＝75.12、(2013·重庆)某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中、摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球、再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球、根据摸出4个球中红球与蓝球的个数、设一、二、三等奖如下：(1)求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；(2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X 的分布列与期望E (X )、解 设A i (i ＝0,1,2,3)表示摸到i 个红球、B j (j ＝0,1)表示摸到j 个蓝球、则A i 与B j 独立、(1)恰好摸到1个红球的概率为P (A 1)＝C 13C 24C 37＝1835.(2)X 的所有可能值为：0,10,50,200、且 P (X ＝200)＝P (A 3B 1)＝P (A 3)P (B 1)＝C 33C 37·13＝1105、P (X ＝50)＝P (A 3B 0)＝P (A 3)P (B 0)＝C 33C 37·23＝2105、P (X ＝10)＝P (A 2B 1)＝P (A 2)P (B 1)＝C 23C 14C 37·13＝12105＝435、P (X ＝0)＝1－1105－2105－435＝67.综上可知、获奖金额X 的分布列为从而有E (X )＝0×67＋10×435＋50×2105＋200×1105＝4(元)、。
课时作业7：2.3.1 离散型随机变量的数学期望
2．3 随机变量的数字特征 2．3.1 离散型随机变量的数学期望一、基础达标1．已知离散型随机变量X 的分布列为则X 的数学期望E (X )等于( A.32 B ．2 C.52 D ．3 答案 A解析 E (X )＝1×35＋2×310＋3×110＝1510＝32，故选A.2．篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球的命中率是0.7，则他罚球6次的总得分的均值是( ) A ．0.7 B ．6 C ．4.2 D ．0.42 答案 C解析 总得分X ～B (6,0.7)，E (X )＝6×0.7＝4.2.3．已知ξ～B (n ，12)，η～B (n ，13)，且E (ξ)＝15，则E (η)等于( )A ．5B ．10C ．15D ．20 答案 B解析 ∵E (ξ)＝12n ＝15，∴n ＝30，∴η～B (30，13)，∴E (η)＝30×13＝10.4．口袋中有编号分别为1,2,3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，则取出的球的最大编号X 的期望为( ) A.13 B.23 C ．2 D.83 答案 D解析 X ＝2,3.P (X ＝2)＝1C 23＝13，P (X ＝3)＝C 12C 23＝23.故E (X )＝2×13＋3×23＝83.5．某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%.在一次考试中，男、女生平均分数分别是75,80，则这次考试该年级学生平均分数为________． 答案 78解析 平均成绩为：40100×75＋60100×80＝78.6．今有两台独立工作在两地的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，设发现目标的雷达台数为X ，则E (X )等于________． 答案 1.75解析 P (X ＝0)＝(1－0.9)×(1－0.85)＝0.1×0.15＝0.015； P (X ＝1)＝0.9×(1－0.85)＋0.85×(1－0.9)＝0.22； P (X ＝2)＝0.9×0.85＝0.765.∴E (X )＝0×0.015＋1×0.22＋2×0.765＝1.75.7．已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X 为取出此3球所得分数之和． (1)求X 的分布列； (2)求X 的数学期望E (X )．解 (1)X ＝3,4,5,6，P (X ＝3)＝C 35C 39＝542，P (X ＝4)＝C 25C 14C 39＝1021，P (X ＝5)＝C 15C 24C 39＝514，P (X ＝6)＝C 34C 39＝121，所以X 的分布列为(2)X 的数学期望E (X )＝3×542＋4×1021＋5×514＋6×121＝9121.二、能力提升8．某人进行一项试验，若试验成功，则停止试验，若试验失败，再重新试验一次，若试验3次均失败，则放弃试验．若此人每次试验成功的概率为23，则此人试验次数ξ的期望是( )A.43B.139C.53D.137答案 B解析 试验次数ξ的可能取值为1,2,3， 则P (ξ＝1)＝23，P (ξ＝2)＝13×23＝29，P (ξ＝3)＝13×13＝19.所以ξ的分布列为∴E (ξ)＝1×23＋2×29＋3×19＝139.9．如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割成125个同样大小的小正方体．经过搅拌后，从中随机取出一个小正方体，记它的涂油漆面数为X ，则X 的均值E (X )等于( )A.126125B.65C.168125D.75答案 B解析 根据题意易知X ＝0,1,2,3.分布列如下所以E (X )＝0×27125＋1×54125＋2×36125＋3×8125＝150125＝65.故选B.10．马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的分布列如下表：请小牛同学计算ξ能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案E (ξ)等于( ) A ．0 B ．2 C ．4 D ．6答案 B解析 设“？”处的数值为x ，则“！”处的数值为1－2x ，则 E (ξ)＝1·x ＋2×(1－2x )＋3x ＝x ＋2－4x ＋3x ＝2.11．春节期间，小王用私家车送4位朋友到三个旅游景点去游玩，每位朋友在每一个景点下车的概率均为13，用ξ表示4位朋友在第三个景点下车的人数，求：(1)随机变量ξ的分布列； (2)随机变量ξ的期望．解 方法一 (1)ξ的所有可能值为0,1,2,3,4. 由等可能性事件的概率公式得P (ξ＝0)＝2434＝1681，P (ξ＝1)＝C 14·2334＝3281，P (ξ＝2)＝C 24·2234＝827，P (ξ＝3)＝C 34·234＝881，P (ξ＝4)＝134＝181.从而ξ的分布列为(2)由(1)得ξ的均值为E (ξ)＝0×1681＋1×3281＋2×827＋3×881＋4×181＝43.方法二 (1)考察一位朋友是否在第三个景点下车为一次试验，这是4次独立重复试验． 故ξ～B (4，13)，即有P (ξ＝k )＝C k 4(13)k (23)4－k，k ＝0,1,2,3,4.ξ的分布列如法一． (2)E (ξ)＝4×13＝43.12．乒乓球台面被球网分隔成甲、乙两部分，如图，甲上有两个不相交的区域A ，B ，乙被划分为两个不相交的区域C ，D .某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球．规定：回球一次，落点在C 上记3分，在D 上记1分，其他情况记0分．对落点在A 上的来球，队员小明回球的落点在C 上的概率为12，在D 上的概率为13；对落点在B 上的来球，小明回球的落点在C 上的概率为15，在D 上的概率为35.假设共有两次来球且落在A ，B 上各一次，小明的两次回球互不影响．求：(1)小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率； (2)两次回球结束后，小明得分之和ξ的分布列与数学期望．解 (1)记A i 为事件“小明对落点在A 上的来球回球的得分为i 分”(i ＝0,1,3)， 则P (A 3)＝12，P (A 1)＝13，P (A 0)＝1－12－13＝16.记B j 为事件“小明对落点在B 上的来球回球的得分为j 分”(j ＝0,1,3)， 则P (B 3)＝15，P (B 1)＝35，P (B 0)＝1－15－35＝15.记D 为事件“小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上”． 由题意，D ＝A 3B 0＋A 1B 0＋A 0B 1＋A 0B 3， 由事件的独立性和互斥性，得 P (D )＝P (A 3B 0＋A 1B 0＋A 0B 1＋A 0B 3) ＝P (A 3B 0)＋P (A 1B 0)＋P (A 0B 1)＋P (A 0B 3)＝P (A 3)P (B 0)＋P (A 1)P (B 0)＋P (A 0)P (B 1)＋P (A 0)P (B 3) ＝12×15＋13×15＋16×35＋16×15＝310， 所以小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上的概率为310.(2)由题意，随机变量ξ可能的取值为0,1,2,3,4,6， 由事件的独立性和互斥性，得 P (ξ＝0)＝P (A 0B 0)＝16×15＝130，P (ξ＝1)＝P (A 1B 0＋A 0B 1)＝P (A 1B 0)＋P (A 0B 1) ＝13×15＋16×35＝16， P (ξ＝2)＝P (A 1B 1)＝13×35＝15，P (ξ＝3)＝P (A 3B 0＋A 0B 3)＝P (A 3B 0)＋P (A 0B 3)＝12×15＋16×15＝215，P (ξ＝4)＝P (A 3B 1＋A 1B 3)＝P (A 3B 1)＋P (A 1B 3)＝12×35＋13×15＝1130，P (ξ＝6)＝P (A 3B 3)＝12×15＝110.可得随机变量ξ的分布列为所以数学期望E (ξ)＝0×130＋1×16＋2×15＋3×215＋4×1130＋6×110＝9130.三、探究与创新13. 某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为23，中将可以获得2分；方案乙的中奖率为25，中将可以得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中将与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．(1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X ，求X ≤3的概率； (2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计的得分的数学期望较大？解 (1)由已知得：小明中奖的概率为23，小红中奖的概率为25，两人中奖与否互不影响，记“这2人的累计得分X ≤3”的事件为A ，则A 事件的对立事件为“X ＝5”， ∵P (X ＝5)＝23×25＝415，∴P (A )＝1－P (X ＝5)＝1115，所以这两人的累计得分X ≤3的概率为1115.(2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖的次数为X 1，都选择方案乙抽奖中奖的次数为X 2，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E (2X 1)，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E (3X 2)由已知：X 1～B (2，23)，X 2～B (2，25)∴E (X 1)＝2×23＝43，E (X 2)＝2×25＝45，∴E (2X 1)＝2E (X 1)＝83，E (3X 2)＝3E (X 2)＝125.∵E (2X 1)>E (3X 2)，他们都在选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望最大．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
【课堂例题】
例1.投掷一枚均匀硬币3次，令随机变量ξ表示正面出现的次数，试求随机变量ξ可能的取值.
例2.10个大小相同的球中有5个白球，3个绿球和2个红球.随机摸一个球，摸到白球计1分，摸到绿球计2分，摸到红球计4分，用随机变量X 表示随机摸得一个球的得分，求随机变量X 的取值及其概率分布律.
例3.已知随机变量ξ的分布律：
分别求随机变量sin ξ和cos ξ的概率分布律.
课堂练习
1.(1)用ξ表示掷一颗公正骰子出现的点数，求ξ的取值及其概率分布律；
(2)用X 表示掷两颗公正骰子出现的点数差的绝对值，求X 的取值及其概率分布律. 2.已知随机变量ξ的分布律：
分别求随机变量2
,arccos ξξ的概率分布律
【知识再现】
1.样本空间中每一个样本点(试验结果)如果对应着一个特定的数，那么这种试验结果与数的对应关系形成一个 ,试验结果所对应的数称为它的取值.
2.下表通常用来表示 .
显然01,1,2,
,i p i n ≤≤=且 .
【基础训练】
1~2题目：写出下列随机变量可能的取值.
1.从5个被涂上1～5号的彩球中任取一球，随机变量X 表示被取出的球的号数： .
2.甲、乙二人猜拳5次(每次都分出胜负)，随机变量ξ表示甲赢乙的次数： .
3.下表为随机变量的概率分布律，请补完表格：
点数大于4，1X =；否则0X =.
6.投掷2颗公平骰子各一次，已知随机变量ξ表示两颗骰子点数之和. (1)ξ的分布律如何？(2)根据分布律，求(26)P ξ<<的值.
x ()P X x =1x 2x i x n
x 1
p 2p i p n p
7.一袋装有大小相同的10颗球，其编号分别为2，3，3，2，2，3，1，4，5，4.现从袋中任取一球，假设随机变量X 表示取出球的编号，试求随机变量X 的概率分布律.
【巩固提高】
8.设随机变量的分布律如下表所示：
23,=+=的分布律.
9.已知100件产品中有5件不合格品，随机抽取10件产品，研究不合格品数X 的概率分布律：(保留组合数，不用计算)
(选做)10.随机变量有不同的概率分布律，人们把随机变量服从的分布律分为了若干类： “01-分布”或称为“两点分布”例第4小题；“超几何分布”例第9小题；下面来简单了解一个重要的分布——二项分布
射击3次，每次射中目标的概率都为0p >.每次射击是否命中相互独立，设随机变量X 是射中目标的次数，填写随机变量X 的概率分布律：
一般地，在n 次独立重复试验中，每次试验事件A 发生的概率均为(01)p p <<，设随机变量X 是事件A 发生的次数，则A 恰好发生k 次的概率()P X k == . 满足这个条件的随机变量的分布律称为二项分布.
【温故知新】
11.计算：0
100
1
99
2
98
2
1000100
1001001001000.80.20.80.20.80.20.80.2
+++
+=C C C C .
【课堂例题答案】 例1.0,1,2,3 例2.
例3.
【课堂练习答案】
1.(1)
(2)
2.
【知识再现答案】 1.随机变量
2.随机变量的概率分布律,121n p p p +++=
【习题答案】 1.1,2,3,4,5 2.0,1,2,3,4,5
3.13
4.21,33
5.(1)0.3a =;(2)(0)0.7P X ≥=
(1)n C p p -
11.1。