福建省泉州市五校2015届高中毕业班“最后一卷”数学(文)试题及答案

2222侧视图正视图2222222015年南侨中学、荷山中学、永春侨中、南安三中、永春三中高中毕业班“最后一卷”联考文科数学学科试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 设集合{}{}065|,,5|2=+-=∈<=*xxxMNxxxU，则=MCUA．{1,4} B．{1,5} C．{2,3} D．{3,4}2．复数2＋i1－2i的共轭复数是A．－35i B.35i C．－i D．i3．为了了解所加工一批零件的长度，抽测了其中200个零件的长度，在这个问题中，200个零件的长度是A．总体B．个体是每一个零件 C．总体的一个样本D．样本容量4．“1c o s2α=”是“3πα=”的A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件5、根据如下样本数据得到的回归方程为abxy+=ˆ.若9.7=a，则x每增加1个单位，y就A．增加4.1个单位； B．减少4.1个单位；C．增加2.1个单位； D．减少2.1个单位.6．执行如图所示的程序框图，则输出的S值是A．－1 B.23 C.32D．47．将函数()sin6f x xπ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，所得图象的一条对称轴方程可能是A．12xπ=-B．12xπ=C．3xπ=D．23xπ=8则该锥体的俯视图可以是．．9．函数()()()f x x a x b=--（其中a b>）的图象如右图所示，则函数()x g x a b =+的大致图象是10．若直线3y x =上存在点(),x y 满足约束条件40,280,,x y x y x m ++≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩则实数m 的取值范围是A ． [)1,-+∞B ． ()1,-+∞C ． (],1-∞-D ． (),1-∞-11. 已知双曲线2222:1(,0)x y C a b a b-=>的左右焦点分别为12,F F ，过2F 作双曲线C 的一条渐近线的垂线，垂足为H ，若△21F HF 的面积为2a ，则双曲线的离心率为A.B. C.2 D.312．已知M 是ABC ∆内一点，且030AB AC BAC ⋅=∠=u u u r u u u r，若MBC MCA ∆∆，，MAB ∆的面积分别为1,,2x y 则xy 的最大值是 A. 114 B. 116C.118D.120二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分．13．如图的矩形长为5，宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，由此我们可以估计出阴影部分 的面积约为14．已知函数2,0,()1,0,x x f x x x ⎧<=⎨-≥⎩若()1f x ≤，则x 的取值范围是 .15．若点P 是椭圆1222=+y x 上的动点,则P 到直线1:+=x y l 的距离的最大值是 .16．数列{a n }的前n 项和为S n ，若数列{a n }的各项按如下规律排列：12，13，23，14，24，34，15，25，35，45，…，1n ，2n ，…，n －1n，…，有如下运算和结论：①a 24＝38；②数列a 1，a 2＋a 3，a 4＋a 5＋a 6，a 7＋a 8＋a 9＋a 10，…是等比数列；③数列a 1，a 2＋a 3，a 4＋a 5＋a 6，a 7＋a 8＋a 9＋a 10，…的前n 项和为T n ＝n 2＋n4；④若存在正整数k ，使110,10k k S S +<≥，则57k a =. 其中正确的结论有________．(将你认为正确的结论序号都填上)三．解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 17. （本题满分12分）已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，12a =，且1a ，3a ，11a 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若122nn n b a =--，求数列{}n b 的前n 项和n T . 18. （本题满分12分）某高校共有学生15 000人，其中男生10 500人，女生4500人．为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位：小时)． （Ⅰ）应收集多少位女生的样本数据？（Ⅱ）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图1­4所示)，其中样本数据的分组区间为：[0，2]，(2，4]，(4，6]，(6，8]，(8，10]，(10，12]．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率．图1­4(Ⅲ)在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．附：K 2＝（－）（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）19．（本题满分12分）已知向量()()2sin ,1,sin ,2m x n x x =-=-u r r，函数()()f x m n m t =-⋅+u r r u r ．D 1C 1B 1A 1DCBA（Ⅰ）若()f x 在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有三个零点，求t 的值； （Ⅱ）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ， 4a =，△ABC的面积S =若()2,f A =且0t =，求b c +的值．20．（本题满分12分）如图，四棱柱1111ABCD A BC D -中，1AA ⊥底面ABCD ，底面 ABCD 是梯形，//AB DC ，90BAD ∠=︒，11.2AB AD CD ===（Ⅰ）求证：平面1BCC ⊥平面1BDC ；（Ⅱ）在线段11C D 上是否存在一点P ，使//AP 平面1BDC . 若存在，请确定点P 的位置；若不存在，请说明理由.21．（本题满分12分）已知顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线Γ的焦点与双曲线221x y -=的右顶点重合。

（Ⅰ）求抛物线Γ的标准方程；（Ⅱ）过点)0,1(P 的动直线l 交抛物线Γ于,A B 两点，以线段AB 为直径作圆C ，试探究是否存在实数m ，使得直线x m =总是与圆C 相切，如果存在，求出直线方程，若不存在，请说明理由。

22．（本题满分14分）已知函数1ln ().xf x x+=（Ⅰ）求函数()1f x x =在处的切线斜率；（Ⅱ）若a 为实数，函数()(,1)f x a a +在区间上的有极值，求a 的取值范围；（Ⅲ）试问是否存在,k b N ∈，使得()x e kx b f x >+>恒成立？若存在，请写出,k b 的值，并证明你的结论；若不存在，请说明理由。

2015年南侨中学、荷山中学、永春侨中、南安三中、永春三中高中毕业班“最后一卷”联考文科数学学科试卷答案一．选择题：ACCBB DCDBA AB 二．填空题：4.6 ； []1,2-；262+； ①③④ 17.解： （Ⅰ）因为数列{}n a 是等差数列，设公差为d ，所以31222.a a d d =+=+ 11210.a d =+ …………………… 2分 因为1a ，3a ，11a 成等比数列，所以23111.a a a =⋅ …………………… 3分 即()()2222210.d d +=⨯+ 所以230.d d -=所以0d =，或 3.d = …………………… 4分 因为0d ≠，所以 3.d = …………………… 5分 所以()2313 1.n a n n =+-=- …………………… 6分 (Ⅱ) 因为122nn n b a =--， 所以332.2nn b n =-- …………………… 7分 所以12n n T b b b =+++2333326232222n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+--++-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()233632222n n n =+++-+++- …………………… 10分()213332222n n n n +⎛⎫+=--- ⎪⎝⎭2132 2.2n n +=-+ 所以数列{}n b 的前n 项和2132 2.2n n T n +=-+ …………………… 12分 18．解： (1)300×450015 000＝90，所以应收集90位女生的样本数据．(2)由频率分布直方图得每周平均体育运动超过4小时的频率为1－2×(0.100＋0.025)＝0.75，所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75.(3)由(2)知，300位学生中有300×0.75＝225(位)的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时．又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下：结合列联表可算得K 2＝300×（165×30－45×60）75×225×210×90＝10021≈4.762>3.841.所以有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．19.解：（Ⅰ）()()f x m n m t =-⋅+u r r u r(sin ,1)(2sin ,1)x x x =⋅-t +2cos 2sin 1x x x =+-t +2cos2x x -t +2sin(2)6x π=-t +……3分因为,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，所以752666x πππ-≤-≤ ………………………4分. 因为()f x 在区间[,]22ππ-上有三个零点，即()f x 在[,]22ππ-的图像与x 轴有三个不同的交点，所以1t =-， …………….6分（Ⅱ）根据题意()2,f A =且0t =，即sin(2)16A π-=，所以2262A k πππ-=+（k ∈Z ），因为0A π<<，所以3A π=．因为1sin 2S bc A ===4bc =， 根据余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得2216b c bc =+-，所以2()16328b c bc +=+=，所以b c += 12分20.证明：（Ⅰ）因为1AA ⊥底面ABCD ， 所以1CC ⊥底面ABCD ， 因为BD ⊂底面ABCD ，所以 BD ⊥ …………………… 2分 因为底面ABCD 是梯形， //AB DC ， 90BAD ∠=︒， 1.2AB AD CD == 因为1AB =，所以1AD =， 2.CD =所以BD =BC =所以在BCD ∆中，222.BD BC CD += 所以90.CBD ∠=︒所以.BD BC ⊥ …………………… 4分 又因为 BD ⊥ 所以BD ⊥平面1.BCC 因为BD ⊂平面1BDC ，所以平面1BCC ⊥平面1.BDC …………………… 6分 （Ⅱ）存在点P 是11C D 的中点，使//AP 平面1BDC ……………………8分证明如下：取线段11C D 的中点为点P ，连结AP , 所以//1C P CD ，且.112C P CD = 因为//AB DC ， 1.2AB CD =所以//1C P AB ，且.1C P AB =所以四边形1ABC P 是平行四边形. ……………………10分 所以//.1AP BC又因为1BC ⊂平面1BDC ，AP ⊄平面1BDC ，所以//AP 平面.1BDC …………………… 12分。