19-20版 第1章 1.2 1.2.4 第2课时 诱导公式(三)、(四)
5.3第1课时诱导公式二三四课件高一上学期数学人教A版
化.
变式训练2 已知tan 100°=k,则sin 80°的值等于(
A.
C.
1+ 2
1+ 2
B.D.-
)
B
1+ 2
1+ 2
解析 由题意tan 100°=k=tan(180°-80°)=-tan 80°,
∴tan
sin80 °
=
sin (180°+)cos
-tan (180°-)
=
=
sin (-cos )
=-cos
cos tan
α.
sin (2π+)cos (-π+)
(2)
.
cos (-)tan
解
sin (2π+)cos (-π+)
cos (-)tan
-sin cos
2
=-cos
=-tan(180°+60°)=-tan 60°=-
. 3
1 2 3 4 5 6
2.已知角 θ 的终边与单位圆交于点 P −
2 5
A.5
C.
5
5
B.-
5 2 5
,
5
5
,则 cos(π-θ)的值为( C )
5
5
2 5
D. 5
解析 依题意 cos θ=-
5
,所以
5
cos(π-θ)=-cos
5
θ= .
5
7π
11π
(1)sin ;(2)cos ;(3)tan(-1
6
4
解
完整版)三角函数诱导公式总结
完整版)三角函数诱导公式总结三角函数诱导公式与同角的三角函数知识点1】诱导公式及其应用诱导公式是指通过一些特定的公式，将三角函数中的某些角度转化为其他角度，从而简化计算。
以下是常用的诱导公式：公式一：sin(-α) = -sinα；cos(-α) = cosα；tan(-α) = -tanα公式二：sin(π+α) = -sinα；cos(π+α) = -cosα；tan(π+α) =tanα公式三：sin(π-α) = sinα；cos(π-α) = -cosα；tan(π-α) = -tanα公式四：sin(2π-α) = -sinα；cos(2π-α) = cosα；tan(2π-α) = -tanα公式五：sin(π/2-α) = cosα；cos(π/2-α) = sinα公式六：sin(π/2+α) = cosα；cos(π/2+α) = -sinα公式七：sin(-π/2-α) = -cosα；cos(-π/2-α) = -sinα公式八：sin(-π/2+α) = -cosα；cos(-π/2+α) = sinα公式九：sin(α+2kπ) = sinα；cos(α+2kπ) = cosα；tan(α+2kπ) = tanα（其中k∈Z）。
以上公式可以总结为两条规律：1.前四组诱导公式可以概括为：函数名不变，符号看象限。
2.公式五到公式八总结为一句话：函数名改变，符号看象限（原函数所在象限）。
另外，还有一个规律是：奇变偶不变，符号看象限。
也就是说，将三角函数的角度全部化成kπ/2+α或是kπ/2-α的形式，如果k是奇数，那么符号要改变；如果k是偶数，符号不变。
例1、求值：（1）cos(2916π)= ________；（2）tan(-855)= ________；（3）sin(-π)= ________。
例2、已知tan(π+α)=3，求：(2cos(-α)-3sin(π+α))/(4cos(-α)+sin(2π-α))的值。
高中数学必修第一册人教A版(2019) 《诱导公式》课标解读
《诱导公式》课标解读教材分析三角函数的诱导公式一共有六个，本节内容是公式二至公式六，它是圆的对称性的“代数表示”.利用对称性，探究角的终边分别关于原点或坐标轴或象限角的平分线对称的角的三角函数值之间的关系，体现“数形结合”的数学思想.诱导公式的主要用途是把任意角的三角函数值问题转化为求锐角的三角函数值，体现“转化”的数学思想.诱导公式的学习还反映了从特殊到一般的归纳思维形式，对培养学生的创新意识、发展学生的思维能力具有积极的作用.诱导公式的学习和推理过程体现了三角函数之间的内部联系，是定义的延伸与应用，是后面学习三角函数的图象及性质的基础，在本章中起着承上启下的作用.本节内容共分2课时，第1课时的教学内容为公式二、公式三、公式四，第2课时的教学内容为公式五、公式六.三角函数的诱导公式是考查的热点内容，有时候单独考查，但更多的时候是结合其他知识一起进行考查，好比顺利解题的“钥匙”，一定要熟练掌握.本节内容所涉及的主要核心素养有直观想象、逻辑推理与数学运算等.学情分析学生已经学习了三角函数的定义、各象限角的三角函数值的符号和公式一，这些内容是学生理解、归纳公式二至公式六的基础，推导公式的关键是明确单位圆上对称点的坐标关系，这一点对于学生来说可能存在问题.学生具有一定的分析问题和解决问题的能力，但还存在考虑不全面、作答不严谨的问题.从认知角度看，学生能够利用前面所学的方法与诱导公式一进行类比，但本节公式种类繁多，要求归纳总结的知识点多，对学生的思维是一个突破。
教学建议通过复习三角函数的定义先引入单位圆，引起学生对单位圆这一有效工具的注意，从总体上认识研究的目标与手段.教师多利用几何画板等多媒体技术演示，帮助学生直观感受角 的任意性，提升直观想象素养.通过小组内交流、组间相互补充，展现思维过程后师生共同归纳概括公式的记忆方法，帮助学生记忆公式，并进行相应的练习训练，提升学生逻辑推理与数学运算素养.第1课时诱导公式二～四学科核心素养目标与素养理解诱导公式二～四的推导过程，识记诱导公式，理解和掌握公式的内涵及结构特征，会初步运用诱导公式求三角函数的值，并进行简单三角函数式的化简，促进学生直观想象、逻辑推理与数学运算素养的发展，达到水平一的要求.情境与问题1.通过回顾利用单位圆定义三角函数和复习公式一，让学生思考角的终边落在其他位置的情况如何处理，引出本节课所学的诱导公式二～四.2.在回顾利用单位圆定义三角函数和复习公式一的基础上，给出如下问题：sin390?︒=sin570?︒=试着让学生解决，发现通过公式一无法求解sin 570︒，顺利引入本节课内容.内容与节点本课时内容是诱导公式中的公式二至公式四，是三角函数的主要性质，是研究公式五、公式六及以后的三角函数求值、化简的基础.过程与方法1.通过诱导公式二～四的推导过程，培养学生的观察能力、分析归纳能力，领会数学的化归思想方法，使学生体验和理解从特殊到一般的数学归纳推理思维方式，提升逻辑推理素养.2.通过对具体角度的求值和化简，强化对公式二～四的应用，提升数学运算素养.教学重点难点重点用联系的观点，发现并证明诱导公式，体会把未知问题化归为已知问题的思想方法.难点如何引导学生从单位圆的对称性与任意性中发现问题，提出研究方法.第2课时 诱导公式五、六学科核心素养目标与素养理解诱导公式五、六的推导过程并识记诱导公式，理解和掌握公式的内涵及结构特征，会初步运用诱导公式求三角函数的值，并进行简单三角函数式的化简，促进学生直观想象、逻辑推理与数学运算素养的发展，达到水平一的要求.情境与问题1.通过对之前学习的诱导公式一～四的复习，发现都是和π的整数倍有关的，那么2π的情况又是如何呢？由此引入本课所学. 2.在复习回顾了诱导公式二～四后，出示了一组求三角函数值的题，发现每组题中都是求某个角的正弦值与其余角的余弦值，求解后发现具有一定的规律，由此激发学生的探究兴趣，引入新课学习.内容与节点本课时内容是诱导公式中的公式五、公式六，同公式二至公式四一样，是三角函数的主要性质，是以后的三角函数求值、化简的基础.过程与方法通过诱导公式的推导与应用的过程，体会诱导公式的使用方法，提高学生分析问题和解决问题的实践能力，提升逻辑推理和数学运算素养.教学重点难点重点用联系的观点，发现并证明诱导公式，体会把未知问题化归为已知问题的思想方法.诱导公式五、公式六的推导，诱导公式的应用.难点发现终边与角α的终边关于直线y x =对称的角与α之间的数量关系.。
诱导公式(原卷版)
5．3 诱导公式【知识点梳理】 知识点一：诱导公式 诱导公式一： sin(2)sin k απα+=， cos(2)cos k απα+=，tan(2)tan k απα+=，其中k Z ∈诱导公式二： sin()sin αα-=-， cos()cos αα-=，tan()tan αα-=-，其中k Z ∈诱导公式三：sin[((21)]sin k απα++=-， cos[(21)]cos k απα++=-， tan[(21)]tan k απα++=，其中k Z ∈诱导公式四：sin cos 2παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭． sin cos 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，其中k Z ∈ 知识点诠释：（1）要化的角的形式为90k α⋅±（k 为常整数）； （2）记忆方法：“奇变偶不变，符号看象限”；（3）必须对一些特殊角的三角函数值熟记，做到“见角知值，见值知角”；（4）sin cos cos 444x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；cos sin 44x x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．知识点二：诱导公式的记忆诱导公式一～三可用口诀“函数名不变，符号看象限”记忆，其中“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名，“符号”是指等号右边是正号还是负号，“看象限”是指把α看成锐角时原三角函数值的符号．诱导公式四可用口诀“函数名改变，符号看象限”记忆，“函数名改变”是指正弦变余弦，余弦变正弦，为了记忆方便，我们称之为函数名变为原函数的余名三角函数．“符号看象限”同上．因为任意一个角都可以表示为90(||45)k αα︒︒⋅+<的形式，所以这六组诱导公式也可以统一用“口诀”：“奇变偶不变，符号看象限”，意思是说角90k α⋅±（k 为常整数）的三角函数值：当k 为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k 为偶数时，函数名不变，然后α的三角函数值前面加上当视α为锐角时原函数值的符号．用诱导公式进行化简时的注意点： （1）化简后项数尽可能的少； （2）函数的种类尽可能的少； （3）分母不含三角函数的符号； （4）能求值的一定要求值；（5）含有较高次数的三角函数式，多用因式分解、约分等．知识点三：利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，其一般方向是： ①化负角的三角函数为正角的三角函数； ②化为[0,2π]内的三角函数； ③化为锐角的三角函数．可概括为：“负化正，大化小，化到锐角为终了”（有时也直接化到锐角求值）． 【题型归纳目录】题型一：利用诱导公式求解给角求值问题 题型二：利用诱导公式求解给值求值问题 题型三：诱导公式在三角函数式化简中的应用 题型四：诱导公式在三角函数证明中的应用 题型五：诱导公式的综合应用 题型六：利用互余互补关系求值 【典型例题】题型一：利用诱导公式求解给角求值问题 例1．（2022·全国·高一专题练习）172053sin cos tan 636πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭______．例2．（2022·全国·高一）()8cos330sin 30tan cos903π︒+-︒++︒=______．例3．（2022·西藏拉萨·高一期末）11cos6π=（ ）A 2B 3C ．12D ．1变式1．（2022·全国·高一课时练习）设sin 25a ︒=，则sin65cos115tan 205︒︒︒=（ ） A 221a-B ．221a- C ．2a - D ．2a变式2．（2022·全国·高一课时练习）()sin 660-的值是（ ） A ．12B ．12-C 3D ．3变式3．（2022·广西桂林·高一期末）sin 405=（ ） A ．1 B ．12-C 3D 2变式4．（2022·云南昆明·高一期末）35πsin 6=（ ） A ．12B ．12-C 3D ．3【方法技巧与总结】利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 （1）“负化正”：用公式一或三来转化．（2）“大化小”：用公式一将角化为0︒到360︒间的角． （3）“小化锐”：用公式二或四将大于90︒的角转化为锐角． （4）“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值． 题型二：利用诱导公式求解给值求值问题 例4．（2022·安徽阜阳·高一期末）已知12cos 13θ=-，若θ是第二象限角，则()tan πθ+的值为（ ） A ．512B ．125C ．－512D ．－125例5．（2022·安徽省舒城中学高一开学考试）若()4sin ,5πα+=-且α是第二象限角，则cos α=（ ）A ．45-B ．35 C ．35D ．45例6．（2022·广东·饶平县第二中学高一阶段练习）设02πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，若3sin ,5α=则cos 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．35B ．45C ．35 D ．45-变式5．（2022·全国·高一课时练习）在ABC 中，()7sin sin 2213A A ππ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，则tan A 的值是（ ）A ．125- B ．125C ．512-D ．512变式6．（2022·全国·高一课时练习）若()4sin 5πα+=-，则3cos 2πα⎛⎫-=⎪⎝⎭（ ） A ．45-B ．35 C ．45D ．35变式7．（2022·江西上饶·高一阶段练习）已知5sin α=，则πcos 2α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A 5B ．5C ．25D 25变式8．（2022·辽宁·辽师大附中高一阶段练习）已知()113sin cos 2013cos 22ππαπαα⎛⎫⎛⎫-+-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则22sin sin cos ααα-=（ ）A ．2110 B ．32C 3D ．2变式9．（2022·河南南阳·高一期中）已知角,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，且22tan 3tan sin 4sin 0αααα--=，则()cos 2021απ+=（ ） A ．14-B ．15C ．14D 15【方法技巧与总结】 解决条件求值问题的方法（1）解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名及有关运算之间的差异及联系．（2）可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．题型三：诱导公式在三角函数式化简中的应用例7．（2022·陕西·蒲城县蒲城中学高一期末）（1）计算：203π13373cos πtan π1144tan π3⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭-⋅- ⎪⎝⎭； （2）已知4tan 3α=，求222sin 2sin cos 2cos sin ααααα+-的值.例8．（2022·西藏拉萨·高一期末）已知α为第三象限角，且sin cos()tan()2()cos()f πααπααπα⎛⎫--+ ⎪⎝⎭=-． (1)化简()f α； (2)若25()f α=，求cos α的值．例9．（2022·浙江·杭州高级中学高一期末）（1）化简()3sin()cos tan()2cos tan(2)2f ππααπααπαπα⎛⎫---- ⎪⎝⎭=⎛⎫--+ ⎪⎝⎭；（2）已知关于x 的方程21204x bx -+=的两根为sin θ和cos θ，,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.求实数b 以及sin cos θθ-的值.变式10．（2022·安徽省舒城中学高一开学考试）已知α是第三象限角，且sin(π)cos(2π)tan(2π)tan(π)sin(3π)()f αααααα---+-+-=.(1)化简()f α；(2)若3sin 5α=-，求()f α；(3)若1860α︒=-，求()f α.变式11．（2022·全国·高一课时练习）已知()1sin 1sin 1sin 1sin f ααααα+-=-+α为第二象限角.(1)若()3f α=，求224sin cos 3αα+的值；(2)若()21cos 2f αα=，求()3cos 2023cos 2ππαα⎛⎫+++⎪⎝⎭的值.变式12．（2022·全国·高一课时练习）已知()()()()()()sin cos 2tan tan sin f πβπββπββππβ--+=----.(1)若角β是第三象限角，且()1sin 5βπ-=，求()f β的值； (2)若2220β=︒，求()f β的值.变式13．（2022·全国·高一课时练习）已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过函数()33x f x a -=--（0a >且1a ≠）的定点M .(1)求sin 2cos αα-的值；(2)求()()()()πsin πcos 2tan 5πcos 2πsin ααααα⎛⎫+++ ⎪⎝⎭-+++-的值.【方法技巧与总结】 三角函数式化简的常用方法（1）合理转化：①将角化成2k πα±，πα±，k Z ∈的形式．②依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角α的三角函数． （2）切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数．（3）注意“1”的应用：221sin cos tan4παα=+=．（4）用诱导公式进行化简时，若遇到k πα±的形式，需对k 进行分类讨论，然后再运用诱导公式进行化简．题型四：诱导公式在三角函数证明中的应用例10．（2022·全国·高一课时练习）（1）求证：tan(2)sin(2)cos(6)tan 33sin()cos()22παπαπααππαα----=-++； （2）设8tan()7m πα+=，求证1513sin()3cos()37720221sin()cos()77m m ππααππαα++-+=+--+.例11．（2022·全国·高一专题练习）求证：3πtan(2π)cos cos(6π)2tan 3π3πsin cos 22a a a a a a ⎛⎫--- ⎪⎝⎭=-⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭例12．（2022·上海·高一课时练习）已知A 、B 、C 是ABC 的三个内角，求证； （1）cos(2)cos 0A B C A +++=； （2）3πtan tan 044A B C+++=.变式14．（2022·上海·高一）若k ∈Z ，求证：sin(π)cos(π)1sin[(1)π]cos[(1)π]k k k k αααα-+=-+++-.变式15．（2022·全国·高一课时练习）求证：()()()()()()()()()sin 3cos 4sin 4cos 2cos cos sin tan sin απαππαπααππααπαπαπ-+---=--++---.【方法技巧与总结】 三角恒等式的证明策略对于恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一、变更论证的方法．常用定义法、化弦法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法．题型五：诱导公式的综合应用例13．（2022·全国·高一课时练习）在①()3sin 2sin 2ππαα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，②()2tan 3πα-=-这两个条件中任选一个，补充在下面横线中，并解答.已知α为第一象限角，且___________，求sin α，cos α，tan α的值.例14．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()π5π10πcos 2cos 2tan 26334π4πtan 2sin 233x x x f x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. (1)化简()f x ； (2)若()0310f x =，求00π2πsin 2cos 263x x ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值.例15．（2022·江西上饶·高一阶段练习）在平面直角坐标系xOy 中，OAB 的顶点O 与坐标原点重合，点A 在x 轴的正半轴上，点B 在第二象限，且1OA OB ==，记AOB α=∠，满足4sin 5α=． (1)求点B 的坐标；(2)求()()()22cos 3cos 12sin cos παπααπα⎛⎫-+++ ⎪⎝⎭--的值．变式16．（2022·陕西渭南·高一期末）已知α为第二象限角，π4sin 25α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭．(1)求sin α的值；(2)若cos tan()cos(2)2()tan(19)sin(5)sin()f αααααααπ⎛⎫--π+π- ⎪⎝⎭=--π-π-π+，求()f α的值．变式17．（2022·陕西渭南·高一期末）已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点()3,4P -.(1)求cos()cos 2ππαα⎛⎫-++ ⎪⎝⎭的值；(2)求sin()cos sin()tan()2cos(2)sin cos()tan()2πααπαπαππααπαπα⎛⎫---+ ⎪⎝⎭⎛⎫-++- ⎪⎝⎭的值.变式18．（2022·陕西渭南·高一期末）已知角θ的终边经过点()(),220P m m m >. (1)求tan θ的值；(2)求()()()()()sin sin sin tan 2cos 2cos cos 2ππθθπθπθππθθπθ⎛⎫++-+ ⎪⎝⎭⎛⎫--+ ⎪⎝⎭的值.变式19．（2022·广西·桂林市奎光学校高一期末）已知点(,22P m 是角α终边上的一点，且1cos 3α=-．(1)求tan α的值；(2)求()()sin cos 3cos sin 22αππαππαα--+⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值．【方法技巧与总结】解决此类问题时，可先用诱导公式化简变形，将三角函数的角度统一后再用同角三角函数关系式，这样可避免公式交错使用时导致的混乱．题型六：利用互余互补关系求值例16．（2022·广西·桂林市奎光学校高一期末）已知2sin 33πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则2sin cos 36ππαα⎛⎫⎛⎫-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭________．例17．（2022·内蒙古大学满洲里学院附属中学高一期末）已知π3sin 65x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πcos 3x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是___________.例18．（2022·贵州·遵义四中高一期中）已知3sin 35πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则7cos 6πα⎛⎫-=⎪⎝⎭__________．变式20．（2022·江苏省灌南高级中学高一阶段练习）已知cos(45°＋α)＝513，则cos(135°－α)＝________.变式21．（2022·江西省万载中学高一期中）若3sin 6πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则2cos 3πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为_____.变式22．（2022·全国·高一课时练习）当0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，若51cos 62πθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则sin 6πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为_________．变式23．（2022·黑龙江·大庆实验中学高一期末）已知cos 6πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝a (|a |≤1)，则cos 56πθ⎛⎫+⎪⎝⎭＋sin 23πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值是________.【方法技巧与总结】巧用相关角的关系会简化解题过程．观察所求角与已知角是否具有互余、互补等特殊关系．在转化过程中可以由已知到未知，也可以由未知索已知．常见的互余关系有3πα-，6πα+；3πα+，6πα-；4πα+，4πα-等．常见的互补关系有3πθ+，23πθ-；4πθ+，34πθ-等． 【同步练习】一、单选题1．（2022·全国·高一课时练习）已知sin 37a =，则cos 593=（ ） A ．aB ．a -C 21a -D ．21a --2．（2022·全国·高一课时练习）设()()()sin πcos πx f x a b x αβ++=+，其中,,,a b αβ∈R ，若()20215f =，则()2022f =（ ） A ．4B ．3C ．－5D ．53．（2022·辽宁葫芦岛·高一期末）已知α为锐角，()2sin π3α-=，则cos α的值为（ ） A ．13B ．23-C 5D ．54．（2022·全国·高一专题练习）在ABC 中，下列等式一定成立的是（ ） A ．sin sin A B CB ．()cos cos A BC += C ．cossin 22B C A+= D ．sinsin 22B C A+= 5．（2022·全国·高一单元测试）在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆交于点734⎫-⎪⎪⎝⎭，则3πsin 2α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．34B ．34-C 7D ．76．（2022·全国·高一课时练习）已知()0,απ∈，()tan 3sin παα-=，则tan α=（ ） A ．22B 2C ．24-D ．22-7．（2022·陕西渭南·高一期末）若33sin 25πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且α是第三象限角，则2021cos 2πα⎛⎫+=⎪⎝⎭（ ） A ．35B ．35 C ．45D ．45-8．（2022·北京市第十九中学高一期中）若α为任意角，则满足cos cos 2k παα⎛⎫+⋅=- ⎪⎝⎭的一个k 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、多选题9．（2022·新疆·柯坪湖州国庆中学高一期末）下列与sin θ的值一定相等的是（ ）A ．πcos 2θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭B ．πsin 2θ⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．πcos 2θ⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．()sin πθ-10．（2022·全国·高一课时练习）在ABC 中，下列等式一定成立的是（ ） A ．sincos 22A B C+=- B ．()sin 22cos2A B C +=- C ．()tan tan A B C +=-D ．()sin sin A B C +=11．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()cos 2xf x =，则（ ）A ．()()f x f x -=B ．()()f x f x -=-C ．()()2f k x f x π+=，k ∈ZD ．()()()21kf k x f x π-=-，k ∈Z12．（2022·全国·高一课时练习）定义：角θ与ϕ都是任意角，若满足2πθϕ+=，则称θ与ϕ“广义互余”.已知()1sin 4πα+=-，则下列角β中，可能与角α“广义互余”的是（ ）A ．15sin β=B ．()1cos 4πβ+=C ．tan 15β=D ．15tan β=三、填空题13．（2022·天津·高一期末）已知1tan 2α=，则cos()3cos 23sin sin()2ππααπαα⎛⎫--+ ⎪⎝⎭=⎛⎫--- ⎪⎝⎭_________． 14．（2022·天津·高一期末）已知函数3()sin 2(0)f x ax b x ab =++≠，若(2019)f k =，则(2019)f -=_________．15．（2022·江苏·南京市第一中学高一阶段练习）若()()2sin πcos π2πsin 2ααα+-=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则22sin sin cos 1cos αααα+=+______． 16．（2022·北京·牛栏山一中高一阶段练习）已知角α的终边经过点()3,4，将角α的终边绕原点O 顺时针旋转2π得到角β的终边，则tan β=___________. 17．（2022·安徽·砀山中学高一期中）已知π3cos 64α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则5ππcos sin 63αα⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______．四、解答题18．（2022·江西省万载中学高一期中）（1）化简：222cos(4)cos ()sin (3)sin(4)sin(5)cos ()θπθπθπθππθθπ+++-+-- （2）已知()sin 3n f n π=（n ∈Z ），求(1)f ＋(2)f ＋(3)f ＋…＋(2012)f 的值.19．（2022·江西省万载中学高一阶段练习）已知3sin()cos()tan()22()tan()sin()f ππααπααπαπα-+-=---- (1)化简()f α (2)若31cos()25πα-=，α为第三象限角，求()f α的值.20．（2022·安徽省舒城中学高一开学考试）（1）已知3sin 5α=-，求tan cos αα+的值（2()2382cos225sin tan 204033π⎛⎫---- ⎪⎝⎭21．（2022·全国·高一课时练习）已知A 、B 、C 为ABC 的三个内角，求证：ππsin cos 2424A B C +⎛⎫⎛⎫+=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭22．（2022·全国·高一课时练习）如图，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A ，B 两点，且OA OB ⊥．(1)求()()πsinπcos23πcosπsin2αββα⎛⎫++⎪⎝⎭⎛⎫-+⎪⎝⎭的值；(2)若点A的横坐标为35，求2sin cosαβ的值．。
19-20版 第1章 1.4 1.4.3 正切函数的性质与图象
1.4.3 正切函数的性质与图象正切函数的图象与性质思考：正切函数图象的对称中心都在正切函数图象上吗？[提示] 不是，在⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0中，当k 为偶数时，在函数图象上，当k 为奇数时，不在函数图象上．1．函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的单调增区间为( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2，k ∈Z B ．()k π，k π＋π，k ∈ZC ．⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－3π4，k π＋π4，k ∈ZD ．⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π4，k π＋3π4，k ∈ZC [令k π－π2＜x ＋π4＜k π＋π2(k ∈Z )得k π－3π4＜x ＜k π＋π4(k ∈Z )，故单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－3π4，k π＋π4(k ∈Z )．]2．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的定义域为________．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2＋π3，k ∈Z[因为2x －π6≠k π＋π2，k ∈Z ，所以x ≠k π2＋π3，k ∈Z ，所以函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2＋π3，k ∈Z .]3．函数y ＝tan 3x 的最小正周期是________． π3 [函数y ＝tan 3x 的最小正周期是π3.] 4．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π5的对称中心是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2＋π5，0(k ∈Z ) [令x －π5＝k π2(k ∈Z )得x ＝k π2＋π5(k ∈Z )，∴对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2＋π5，0(k ∈Z )．]【例1】 (1)函数y ＝1tan x ⎝ ⎛⎭⎪－4＜x ＜4，且x ≠0的值域是( )A ．(－1，1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－1，＋∞)(2)求下列函数的定义域： ①y ＝11＋tan x；②y ＝lg(3－tan x )．思路点拨：(1)由x 范围求出tan x 的范围→求1tan x 的范围 (2)①中注意分母不为零且y ＝tan x 本身的定义域； ②中注意对数大于零⇒从而得到定义域．(1)B [当－π4＜x ＜0时，－1＜tan x ＜0，∴1tan x ＜－1； 当0＜x ＜π4时，0＜tan x ＜1，∴1tan x ＞1.即当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4时，函数y ＝1tan x 的值域是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．](2)[解] ①要使函数y ＝11＋tan x有意义，需使⎩⎨⎧1＋tan x ≠0，x ≠k π＋π2（k ∈Z ），所以函数的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫k ∈R 且x ≠k π－π4，x ≠k π＋π2，k ∈Z .②因为3－tan x ＞0，所以tan x ＜ 3. 又因为tan x ＝3时，x ＝π3＋k π(k ∈Z )，根据正切函数图象，得k π－π2＜x ＜k π＋π3(k ∈Z )，所以函数的定义域是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫k π－π2＜x ＜k π＋π3，k ∈Z .1．求正切函数定义域的方法(1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y ＝tan x 有意义，即x ≠π2＋k π，k ∈Z .(2)求正切型函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ≠0，ω＞0)的定义域时，要将“ωx ＋φ”视为一个“整体”．令ωx ＋φ≠k π＋π2，k ∈Z ，解得x .2．解形如tan x ＞a 的不等式的步骤提醒：求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件．1．求函数y ＝tan x ＋1＋lg(1－tan x )的定义域． [解] 要使函数y ＝tan x ＋1＋lg(1－tan x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧tan x ＋1≥0，1－tan x ＞0，即－1≤tan x ＜1.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上满足上述不等式的x 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π4，π4.又因为y ＝tan x 的周期为π，所以所求x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－π4＋k π≤x ＜π4＋k π，k ∈Z .【例2】 (1)函数f (x )＝tan⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的周期为________．(2)已知函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，则该函数图象的对称中心坐标为________．(3)判断下列函数的奇偶性：①y ＝3x tan 2x －2x 4；②y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＋tan x .思路点拨：(1)形如y ＝A tan(ωx ＋φ)(Aω≠0)的周期T ＝π|ω|，也可以用定义法求周期．(2)形如y ＝A tan(ωx ＋φ)(Aω≠0)的对称中心横坐标可由ωx ＋φ＝k π2，k ∈Z 求出．(3)先求定义域，看是否关于原点对称，若对称再判断f (－x )与f (x )的关系． (1)π2 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2＋π3，0(k ∈Z ) [(1)法一：(定义法)∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋π＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，即tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， ∴f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的周期是π2.法二：(公式法)f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的周期T ＝π2.(2)由x －π3＝k π2(k ∈Z )得x ＝k π2＋π3(k ∈Z )，所以图象的对称中心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2＋π3，0，k ∈Z .] (3)[解] ①定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2＋π4，k ∈Z ，关于原点对称，又f (－x )＝3(－x )tan 2(－x )－2(－x )4＝3x tan 2x －2x 4＝f (x )，所以它是偶函数．②定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z ，关于原点对称，y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＋tan x ＝sin x ＋tan x ，又f (－x )＝sin(－x )＋tan(－x )＝－sin x －tan x ＝－f (x )，所以它是奇函数．1．函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)周期的求解方法． (1)定义法．(2)公式法：对于函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)的最小正周期T ＝π|ω|.(3)观察法(或图象法)：观察函数的图象，看自变量间隔多少，函数值重复出现．2．判定与正切函数有关的函数奇偶性的方法．先求函数的定义域，看其定义域是否关于原点对称，若其不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数；若其关于原点对称，再看f (－x )与f (x )的关系．提醒：y ＝tan x ，x ≠k π＋π2(k ∈Z )的对称中心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0，k ∈Z .2．判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝tan 2x －tan xtan x －1；(2)f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4.[解](1)由⎩⎨⎧x ≠k π＋π2，k ∈Z ，tan x ≠1，得f (x )的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π＋π2且x ≠k π＋π4，k ∈Z ， 不关于原点对称，所以函数f (x )既不是偶函数，也不是奇函数．(2)函数定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π－π4且x ≠k π＋π4，k ∈Z ，关于原点对称，又f (－x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －π4＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋π4 ＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝－f (x )， 所以函数是奇函数.1．正切函数y ＝tan x 在其定义域内是否为增函数？提示：不是．正切函数的图象被直线x ＝k π＋π2(k ∈Z )隔开，所以它的单调区间只在⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )内，而不能说它在定义域内是增函数．假设x 1＝π4，x 2＝54π，x 1<x 2，但tan x 1＝tan x 2.2．如果让你比较tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π3与tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－11π5的大小，你应该怎样做？提示：先根据正切函数的周期性把两角化到同一单调区间内，再由正切函数的单调性进行比较．【例3】 (1)不通过求值，比较下列各组中两个三角函数值的大小： ①tan 13π4与tan 17π5； ②tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4与tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－16π5.(2)求函数y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x 的单调区间．思路点拨：(1)把角化成同一单调区间上 →根据正切函数单调性比较出大小(2)化为y ＝－3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4→解－π2＋k π＜2x －π4＜k π＋π2，k ∈Z →求出单调区间[解] (1)①因为tan 13π4＝tan π4，tan 17π5＝tan 2π5， 又0＜π4＜2π5＜π2，y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2内单调递增，所以tan π4＜tan 2π5，即tan 13π4＜tan 17π5. ②因为tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4＝－tan π4，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－16π5＝－tan π5， 又0＜π5＜π4＜π2，y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2内单调递增，所以tan π4＞tan π5， 所以－tan π4＜－tan π5， 即tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4＜tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－16π5.(2)y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x ＝－3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，由－π2＋k π＜2x －π4＜π2＋k π，k ∈Z 得，－π8＋k 2π＜x ＜3π8＋k2π，k ∈Z ，所以y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x 的减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8＋k2π，3π8＋k 2π，k ∈Z .1．将本例(2)中的函数改为“y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4”，结果又如何？[解] 由k π－π2<12x －π4<k π＋π2(k ∈Z )， 得2k π－π2<x <2k π＋32π(k ∈Z )，∴函数y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π2，2k π＋32π(k ∈Z )．2．将本例(2)中函数改为“y ＝lg tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4”结果又如何？[解] 因为函数y ＝lg x 在(0，＋∞)上为增函数，所以函数y ＝lg tan x 的单调递增区间就是函数y ＝tan x (tan x ＞0)的单调递增区间，令k π＜2x －π4＜k π＋π2(k ∈Z )，得k π2＋π8＜x ＜k π2＋3π8(k ∈Z )， 故y ＝lg tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2＋π8，k π2＋3π8，k ∈Z .1．求函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ＞0，ω≠0，且A ，ω，φ都是常数)的单调区间的方法．(1)若ω＞0，由于y ＝tan x 在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令k π－π2＜ωx ＋φ＜k π＋π2，k ∈Z ，解得x 的范围即可．(2)若ω＜0，可利用诱导公式先把y ＝A tan(ωx ＋φ)转化为y ＝A tan[－(－ωx －φ)]＝－A tan(－ωx －φ)，即把x 的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x 的范围即可．2．运用正切函数单调性比较大小的步骤．(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内． (2)运用单调性比较大小关系．提醒：y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)只有增区间；y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ＜0，ω＞0)只有减区间．1．正切函数在整个定义域上的图象叫正切曲线．正切曲线是由相互平行的直线x ＝k π＋π2(k ∈Z )所隔开的无穷多支曲线组成，每支曲线向上、向下无限接近相应的两条直线，且每支曲线都是单调递增的．2．正切函数的性质 (1)正切函数y ＝tan x的定义域是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π＋π2，k ∈Z ，值域是R .(2)正切函数y ＝tan x 的最小正周期是π，函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(Aω≠0)的周期为T ＝π|ω|.(3)正切函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )上递增，不能写成闭区间．正切函数无单调减区间.1．下列说法正确的是( ) A ．正切函数的定义域和值域都是R B ．正切函数在其定义域内是单调增函数 C ．函数y ＝|tan x |与y ＝tan x 的周期都是π D ．函数y ＝tan|x |的最小正周期是π2C [y ＝tan x 的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π＋π2（k ∈Z ），所以A 错；由正切函数图象可知B 错；画出y ＝tan x ，y ＝|tan x |和y ＝tan|x |的图象可知C 正确，D 错误，因为y ＝tan|x |不是周期函数．]2．在下列函数中同时满足：①在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上递增；②以2π为周期；③是奇函数的是( )A ．y ＝tan xB ．y ＝cos xC ．y ＝tan x 2D ．y ＝－tan xC [A ，D 的周期为π，B 中函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上递减，故选C.] 3．函数y ＝|tan x |在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，3π2上的单调减区间为________． ⎝ ⎛⎦⎥⎤－π2，0和⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π [如图，观察图象可知，y ＝|tan x |在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，3π2上的单调减区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤－π2，0和⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π.]4．求函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3的定义域、最小正周期、单调区间及其图象的对称中心．[解] ①由x 2－π3≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠2k π＋5π3，k ∈Z ，∴函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠2k π＋53π，k ∈Z . ②T ＝π12＝2π，∴函数的最小正周期为2π.③由k π－π2＜x 2－π3＜k π＋π2，k ∈Z ，得2k π－π3＜x ＜2k π＋5π3，k ∈Z ，∴函数的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π3，2k π＋5π3， k ∈Z . ④由x 2－π3＝k π2，k ∈Z ，得x ＝k π＋2π3，k ∈Z ，∴函数图象的对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋2π3，0，k ∈Z .。
诱导公式教案完整版
1.3 三角函数的诱导公式（第1课时）一、教学目标：1.知识与技能（1）借助单位圆，推导出诱导公式。
（2）理解和掌握公式的内涵及结构特征，能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，掌握有关三角函数求值问题，并进行简单三角函数式的化简和证明。
2.过程与方法（1）通过诱导公式的推导，培养学生的观察力、分析归纳能力，领会数学的归纳转化思想方法。
（2）通过诱导公式的推导、分析公式的结构特征，使学生体验和理解从特殊到一般的数学归纳推理思维方式。
（3）通过基础训练题组和能力训练题组的练习，提高学生分析问题和解决问题的实践能力。
3.情感、态度与价值观（1）通过诱导公式的推导，培养学生主动探索、勇于发现的科学精神，培养学生的创新意识和创新精神。
（2）通过归纳思维的训练，培养学生踏实细致、严谨科学的学习习惯，渗透从特殊到一般、把未知转化为已知的辨证唯物主义思想。
二、教学重点、难点:1、重点：诱导公式二、三、四的探究，运用诱导公式进行简单三角函数式的求值，提高对数学内部联系的认识。
2、难点：发现圆的对称性与任意角终边的坐标之间的联系；诱导公式的合理运用。
三、教学方法与手段：1、教学方法：讲解法、讨论法、探究法、演示法2、教学手段：多媒体、几何画板四、教学过程：（一）复习引入师：问题1：任意角α的正弦、余弦、正切是怎样定义的？生：学生口述三角函数的单位圆定义：sin =y,cos =x,tan =xy (x ≠0) 师：问题2：试写出诱导公式（一），并说出诱导公式的结构特征；生：诱导公式一：()∂=∙+sin 2sin παk ；απαcos )2cos(=∙+k ；απαtan )2tan(=∙+k ； （其中Z k ∈）结构特征：①终边相同的角的同一三角函数值相等②把求任意角的三角函数值问题转化为求0°～360°角的三角函数值。
师：这节课咱们继续学习三角函数的诱导公式，看看今天的诱导公式是解决什么问题的。
高中数学 第一单元 基本初等函数(Ⅱ)1.2.4 诱导公式(二)课件 新人教B版必修4.pptx
23 解答
(2)若角 A 是△ABC 的内角，且 f(A)＝35，求 tan A－sin A 的值. 解 因为 f(A)＝cos A＝35， 又A为△ABC的内角，
所以由平方关系，得 sin A＝ 1－cos2A＝45， 所以 tan A＝csoins AA＝43， 所以 tan A－sin A＝43－45＝185.
α＝－csoins
α α
＝－tan
α＝右边.
∴原等式成立.
16 证明
反思与感悟
利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用 方法： (1)从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简. (2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子. (3)凑合法：即针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消 除其差异，简言之，即化异为同.
8
知识点二 角α与－α＋π2 的三角函数间的关系
以－α替代公式(四)中的α，可得到诱导公式(四)的补充： cos(－α＋π2 )＝sin α， sin(－α＋π2 )＝cos α， tan(－α＋π2 )＝cot α， cot(－α＋π2 )＝tan α.
9
梳理
π2±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面 加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名改变， 符号看象限”或“正变余、余变正、符号象限定”.
14
跟踪训练 1 已知 sinπ6＋α＝ 33，求 cosπ3－α的值. 解 ∵π6＋α＋π3－α＝π2， ∴π3－α＝π2－π6＋α.
∴cosπ3－α＝cosπ2－π6＋α
＝sinπ6＋α＝
3 3.
15 解答
类型二 利用诱导公式证明三角恒等式
tan(2π－α)sin(－2π－α)cos(6π－α)
第一章 诱导公式二、三、四
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温馨提示：sin(α＋β)＝1，sin(α＋β)＝0，cos(α＋β)＝1， cos(α＋β)＝0，这些都是非常特殊的式子，里面隐含着α＋β在 π π [0，2]范围内是0或2.
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规律归纳 利用诱导公式证明恒等式的过程，实质上是等式左边或 右边化简的过程，需根据待证式确定是否需要化到最简．
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利用诱导公式证明三角恒等式 【例4】已知sin(α＋β)＝1，求证：tan(2α＋β)＋tanβ＝0.
思路分析：由sin(α＋β)＝1得到角α，β间的关系，用β表 示α，代入需证等式左边，化简可得．
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证明：∵sin(α＋β)＝1， π ∴α＋β＝2kπ＋2，k∈Z， π ∴α＝2kπ＋2－β，k∈Z， ∴tan(2α＋β)＋tanβ π ＝tan[2(2kπ＋2－β)＋β]＋tanβ ＝tan(4kπ＋π－2β＋β)＋tanβ ＝tan(π－β)＋tanβ＝－tanβ＋tanβ＝0.
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思悟升华
1．诱导公式(一)～(四)的作用 (1)公式(一)的作用在于把研究绝对值大于2π的任一角的 三角函数问题转化为研究绝对值小于2π的角的三角函数问 题． (2)公式(三)的作用在于把负角三角函数转化成正角三角 函数． (3)公式(二)、公式(四)的作用在于把钝角或大于180°的 角的三角函数转化为0°～90°之间的角的三角函数．
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2．诱导公式： 公式一：sin(2kπ＋α)＝sinα，cos(2kπ＋α)＝cosα， tan(2kπ＋α)＝tanα，k∈Z； 公式二：sin(π＋α)＝－sinα，cos(π＋α)＝－cosα，tan(π ＋α)＝tanα； 公式三：sin(－α)＝－sinα，cos(－α)＝cosα，tan(－α)＝ －tanα； 公式四：sin(π－α)＝sinα，cos(π－α)＝－cosα，tan(π－α) ＝－tanα.
19-20版 第1章 1.2 1.2.4 第2课时 诱导公式(三)、(四)
第2课时 诱导公式(三)、(四)1．诱导公式三(1)角α与α＋(2k ＋1)π(k ∈Z )的三角函数间的关系：⎭⎬⎫cos[α＋(2k ＋1)π]＝－cos αsin[α＋(2k ＋1)π]＝－sin αtan[α＋(2k ＋1)π]＝tan α (三)．(2)角α＋n π的三角函数值： sin(α＋n π)＝⎩⎨⎧ －sin α，n 为奇数，sin α，n 为偶数，cos(α＋n π)＝⎩⎨⎧－cos α，n 为奇数，cos α，n 为偶数，tan(α＋n π)＝tan_α，n ∈Z . 2．诱导公式四(1)α与α＋π2的三角函数间的关系：⎭⎪⎬⎪⎫cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－sin αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝cos α (四)．(2)以－α替代α可得另一组公式： cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋π2＝sin_α，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋π2＝cos_α. 思考：各组诱导公式虽然形式不同，但存在着一定的规律，有人把它概括为“奇变偶不变，符号看象限”，你理解这句话的含义吗？[提示] 诱导公式可以归纳为k ·π2＋α(k ∈Z )的三角函数值．当k 为偶数时，得α的同名三角函数值；当k 为奇数时，得α的异名三角函数值．然后，在前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，概括为“奇变偶不变，符号看象限”．值得注意的是，这里的奇和偶分别指的是π2的奇数倍或偶数倍；符号看象限指的是等式右边的正负号恰为把α看成锐角时，原函数值的符号．1．sin 585°的值为( ) A ．－22 B ．22 C ．－32D ．32A [sin 585°＝sin(360°＋180°＋45°) ＝－sin 45°＝－22.故选A.]2．已知sin 40°＝a ，则cos 130°＝( ) A ．a B ．－a C ．1－a 2D ．－1－a 2B [cos 130°＝cos(90°＋40°)＝－sin 40°＝－a .] 3．若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ>0，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ<0，则θ是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角C [由于cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝－sin θ>0，所以sin θ<0，又因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝cos θ<0，所以角θ的终边落在第三象限，故选C.]①sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－10π3；②cos 296π；(2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π＋2π3·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π＋4π3(n ∈Z )的值．[思路探究] (1)直接利用诱导公式求解，注意公式的灵活选择． (2)分n 为奇数、偶数两种情况讨论． [解] (1)①sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－10π3＝－sin 10π3＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋4π3＝－sin 4π3＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3＝sin π3＝32.②cos 296π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋5π6＝cos 5π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π6＝－cos π6＝－32. (2)①当n 为奇数时， 原式＝sin2π3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos 43π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π3· ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3＝sin π3·cos π3＝32×12＝34； ②当n 为偶数时，原式＝sin 23π·cos 43π ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π3·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3＝sin π3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos π3＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－34.1．已知角求值的问题主要是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值求解．一般是先利用公式二将负角化为正角，再利用公式一将任意角转化为0°～360°之间的角，然后利用公式三、公式四转化为0°～90°之间的角求解．2．凡涉及参数n 的三角函数求值问题．由于n 为奇数、偶数时，三角函数值有所不同，故考虑对n 进行分类讨论．其次，熟记诱导公式，熟悉各诱导公式的作用也是解题的关键．1．求下列各三角函数值． (1)tan(－855°)； (2)sin176π； (3)化简：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k －14π－α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k ＋14π－α(k ∈Z )． [解] (1)tan(－855°)＝－tan 855°＝－tan(2×360°＋135°)＝－tan 135°＝－tan(180°－45°)＝tan 45°＝1.(2)sin 176π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋56π＝sin 56π ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π3＝cos π3＝12.(3)原式＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α.当k 为奇数时，设k ＝2n ＋1(n ∈Z )，则原式＝ sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(2n ＋1)π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(2n ＋1)π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝0；当k 为偶数时，设k ＝2n (n ∈Z )，则 原式＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝0.综上所述，原式＝0.【例2】 已知cos(π＋α)＝－12，求cos ⎝ ⎛⎭⎪π2＋α的值．[思路探究] 由已知求cos α的值→ 讨论α所在的象限→根据诱导公式求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α的值 [解] ∵cos(π＋α)＝－cos α＝－12， ∴cos α＝12，∴α为第一或第四象限角． ①若α为第一象限角，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝－32. ②若α为第四象限角， 则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝32.1．已知一个角的某种三角函数值，求这个角的其他三角函数值，若给定具体数值，但未指定角α的取值范围，就要进行讨论．2．常见的互余关系有：π3－α与π6＋α；π3＋α与π6－α；π4＋α与π4－α等． 3．常见的互补关系有：π3＋θ与2π3－θ；π4＋θ与3π4－θ等．2．若cos 165°＝a ，则tan 195°＝( ) A.1－a 2B ．－1－a 2a C.1－a 2aD.1＋a 2aB [cos 165°＝cos(180°－15°)＝－cos 15°＝a ， 故cos 15°＝－a (a <0)，得sin 15°＝1－a 2， tan 195°＝tan(180°＋15°)＝tan 15°＝1－a 2－a.]1．利用诱导公式能否直接写出sin(k π＋α)的值？[提示] 不能．因为k 是奇数还是偶数不确定．当k 是奇数时，即k ＝2n ＋1(n ∈Z )，sin(k π＋α)＝sin(π＋α)＝－sin α； 当k 是偶数时，即k ＝2n (n ∈Z )，sin(k π＋α)＝sin α. 2．如何化简tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2π＋α呢？[提示] 当k 为奇数时，即k ＝2n ＋1(n ∈Z )， tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2＋α＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α－sin α＝1－tan α； 当k 为偶数时，即k ＝2n (n ∈Z )， tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2＋α＝tan α. 综上，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2＋α＝⎩⎪⎨⎪⎧1－tan α，k 为奇数，tan α，k 为偶数.【例3】 设k 为整数，化简：sin (k π－α)cos[(k －1)π－α]sin[(k ＋1)π＋α]cos (k π＋α).[思路探究] 分k 为奇数，k 为偶数两种情况分别求解或利用角的交换求解． [解] 当k 为偶数时， sin (k π－α)cos [(k －1)π－α]sin[(k ＋1)π＋α]cos (k π＋α)＝sin (－α)·(－cos α)－sin α·cos α＝－1. 当k 为奇数时sin (k π－α)cos[(k －1)π－α]sin[(k ＋1)π＋α]cos (k π＋α)＝sin α·cos αsin α·(－cos α)＝－1.综上可得sin (k π－α)cos[(k －1)π－α]sin[(k ＋1)π＋α]cos[k π＋α]＝－1.本题主要考查分类讨论的思想以及诱导公式.常用的解决方法有两种：①为了便于运用诱导公式，必须把k 分成偶数和奇数两种情况讨论；②观察式子结构，k π－α＋k π＋α＝2k π，(k ＋1)π＋α＋(k －1)π－α＝2k π，可使用配角法.3．化简sin (n π＋α)cos (n π－α)cos[(n ＋1)π－α](n ∈Z )的结果为________．(－1)n ＋1sin α [①当n ＝2k (k ∈Z )时， 原式＝sin (2k π＋α)cos (2k π－α)cos[(2k ＋1)π－α]＝sin αcos α－cos α＝－sin α.②当n ＝2k ＋1(k ∈Z )时，原式＝sin[(2k ＋1)π＋α]cos[(2k ＋1)π－α]cos[(2k ＋2)π－α]＝－sin α(－cos α)cos α＝sin α.所以化简所得的结果为(－1)n ＋1sin α.](教师用书独具)1．诱导公式分类归纳：(1)诱导公式一～三反映的是角π±α，2k π±α，－α与α的三角函数值之间的关系，可借用口诀“函数名不变，符号看象限”来记忆．(2)诱导公式四反映的是角π2±α与α的三角函数值之间的关系．可借用口诀“函数名改变，符号看象限”来记忆．2．诱导公式共同特征(1)诱导公式一～四揭示了终边具有某种对称关系的两个角的三角函数之间的关系．(2)这四组诱导公式可归纳为“k ·π2±α(k ∈Z )”的三角函数值与α的三角函数值之间的关系．当k 为偶数时得角α的同名三角函数值，当k 为奇数时得角α的异名三角函数值．然后在前面加上一个把角α看成锐角时原三角函数值的符号．可简记为“奇变偶不变，符号看象限”．(3)诱导公式是三角变换的基本公式，其中角可以是一个单角，也可以是一个复角，应用时要注意整体把握，灵活变通.1．下列各式不正确的是( ) A ．sin(α＋180°)＝－sin α B ．cos(－α＋β)＝－cos(α－β) C ．sin(－α－360°)＝－sin α D ．cos(－α－β)＝cos(α＋β)B [cos(－α＋β)＝cos[－(α－β)]＝cos(α－β)，故B 项错误．] 2．sin 600°的值为( ) A ．12 B ．－12 C ．32D ．－32D [sin 600°＝sin(720°－120°)＝－sin 120° ＝－sin(180°－60°)＝－sin 60°＝－32.故选D.] 3．cos 1 030°＝( ) A ．cos 50° B ．－cos 50° C ．sin 50°D ．－sin 50°A [cos 1 030°＝cos(3×360°－50°)＝cos(－50°)＝cos 50°.]4．已知sin φ＝611，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π2＋φ＋sin(3π－φ)的值．[解] ∵sin φ＝611，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π2＋φ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫6π－π2＋φ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋φ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－φ＝sin φ＝611， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π2＋φ＋sin(3π－φ)＝611＋sin(π－φ)＝611＋sin φ＝1211.。
人教版高中数学必修四：1.2.4 诱导公式 课件(共20张PPT)
三山东、省昌乐数及第学中学应用:求值
例 1 已 知 s i n 4 ,且 是 第 二 象 限 角 ， 求 c o s,t a n 的 值 . 5 解 ： Q sin2co s2 1 先定象限,后定值
cos21sin21(4)29
5 25
又 是 第 二 象 限 角 ， c o s 0
cos 3 ,
注：(1)注意方程思想的运用； (2)分类讨论的数学思想．
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山东省昌乐及第中学三、数学应用:求值
拓展延伸一
已知tan α=2,求:
化弦为切
(1) 2 sin 3 c o s 4 sin 9 cos
(2)
2 sin 2 4 sin 2
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简单应用
下列四个命题中可能成立的一个是（ B ）
A.sin 1 且 cos 1
2
2
B.sin 0且 cos 1
C. tan 1且 cos 1
D. 在 第 四 象 限 时, tan sin cos
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称为商数关系
角α 是否可以为任意角？ 可以证明吗？
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的终边
y
T
P(x,y)
1
A(1,0)
-1
o M1 x
-1
还可以用什么方法证明？
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2019_2020学年高中数学第1章基本初等函数(Ⅱ)1.2.4诱导公式第1课时诱导公式(一)、(二)课件新人教B版
＝4sin2α－s3insi2nα＋αccoossα2α－5cos2α
＝4tan2tαa－n2α3＋tan1α－5.
α－5cos2α＝
因为tan(2π－α)＝tan(－α)＝－tan α＝－2， 所以tan α＝2， 所以左边＝4×222－2＋3×1 2－5＝16－56－5＝1， 所以4sin2(4π－α)－3sin α·cos(－α)－5cos2α＝1.
利用诱导公式证明恒等式 [探究问题] 利用诱导公式证明恒等式有哪些方法？
[提示] 利用诱导公式证明恒等式问题，关键在于公式的灵活 应用，其证明的常用方法有：(1)从一边开始，使得它等于另一边， 一般由繁到简；(2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式 子；(3)凑合法：即针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变 形，以消除其差异，简言之，即化异为同．
的三角求值、化简与恒等式的证 生的数学运算和逻辑推理核心素
明．(重点、难点)
养.
自主预习 探新知
1．诱导公式一
cosα＋k·2π＝_c_o_s_α___
sinα＋k·2π＝__s_in__α__
tanα＋k·2π＝__ta_n__α__
(一)．
2．诱导公式二
cos－α＝__c_o_s_α___ sin－α＝__－__s_in__α__
第一章 基本初等函数（Ⅱ）
1.2 任意角的三角函数 1.2.4 诱导公式
第1课时 诱导公式(一)、(二)
学习目标
核心素养
1．掌握诱导公式一、二，并会用 1．通过诱导公式一和诱导公式二
公式求任意角的三角函数值．(重 的推导，培养学生的逻辑推理核
点)
心素养．
2．会用诱导公式一、二进行简单 2．借助诱导公式的应用，培养学
诱导公式一、二、三、四课件 高一上学期数学湘教版(2019)必修第一册
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)诱导公式中的角α一定是锐角．( × )
(2)口诀“符号看象限”指的是把角α看成锐角时变换后的三角函数
值的符号．( × )
(3)由公式三知cos [－(α－β)]＝－cos (α－β)．( × )
(4)在△ABC中，sin (A＋B)＝sin C．( √ )
1
答案：(1)－
4
(2)见解析
题型3 化简求值问题
π
例3 (1)计算：cos ＋cos
7
________．
2π
3π
4π
5π
6π
＋cos ＋cos ＋cos ＋cos ＝
7
7
7
7
7
cos π+α cos 3π−α tan π+α
(2)化简：
sin π+α cos −α−π
答案：(1)0 (2)1
方法归纳
(π＋α)＝________，
tan α
tan (π＋α)＝________
要点四
诱导公式四
终边关系
图示
角π－α与角α的终边关于
y轴
________对称
公式
sin α
sin (π－α)＝________，cos
(π－α)＝
－cos α
________，
－tan α
tan (π－α)＝________
第1课时 诱导公式一、二、三、四
新知初探 课前预习
题型探究 课堂解透
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最新课程标准
π
借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式(α± ，α±π的正弦、
2020年高中数学第1章基本初等函数(Ⅱ)1.2.4诱导公式(二)课件新人教B版必修4
4 ． 已 知 关 于 α 的 函 数 表 达 式 为 f(α) ＝ scinos2ππ－－ααcsions3ππ＋－ααcsoisnπ2－＋ααscions329π2π＋－αα .
(1)将 f(α)化为最简形式； (2)若 f(α)＝2，求 sin2α－sinαcosα－2cos2α 的值．
解：(1)f(α)＝－－csoinsααs－inαco－sαsin－αsi－nαcsoisnαα＝tanα. (2)若 f(α)＝2，则 tanα＝2， sin2α－sinαcosα－2cos2α＝sin2α－sisnin2αα＋cocsoαs－2α2cos2α ＝tan2tαa－n2αta＋nα1－2＝0.
知识点三 给条件求值 5．已知角 α 终边上一点 P(－4,3)，求ccooss1π212＋π－ααsinsin－92ππ－＋αα的 值． 解：由题可知 tanα＝－34＝－34， 则ccooss1π212＋π－ααsinsin－92ππ－＋αα＝－－ssiinnααcsoinsαα＝tanα＝－34.
第一章 基本初等函数(Ⅱ)
1.2 任意角的三角函数 1.2.4 诱导公式(二)
|学习目标| 1．掌握公式(四)(五)，能正确运用这些公式求任意角的三角 函数值； 2．能熟练运用诱导公式进行化简、求值.
基础知识点对点 课后拔高提能练
基础知识点对点
知识点一 角 α 与 α＋π2的三角函数间的关系
知识点二 利用诱导公式化简 3．化简：csoisnπ2－π＋ααsinco3sππ－＋ααscinos－π2－π＋ααcossin725π2π－＋αα .
解：原式＝－cosαssinin[α2π－＋coπs－ααsin]sαinco[－s2ππ＋－απ＋]siπ2n－2πα＋ π2＋α ＝sinπs－inααs[i－nαscionsππ－＋απ2]－sinαπ2＋α＝sinsαinsiαnα－－sicnoαscπ2o－sαα ＝s－inαsin－αscinoαsα ＝tanα.
高一上学期数学人教A版必修第一册诱导公式(2)PPT全文课件(共35ppt)
公式六：
sin
2
cos
,
cos
2
sin
.
例1 证明：
（1）sin
3 2
=
cos
；
（2）cos
3 2
=
sin
.
证明：
（1）sin
3 2
=sin
2
=
sin
2
=
cos
；
（2）cos
3 2
=cos
2
=
cos
2
=
sin
.
例2
化简求值
cos
2
cos
回顾：我们对对称前后的角都建立了那些联系？
对称前后角的关系
终边与单位圆交点 的坐标关系
y
P1(x,y)
+
O
x
P2 (-x,-y)
2020-2021学年高一上学期数学人教A 版必修 第一册 诱导公 式(2)PP T全文 课件（ 共35ppt ）【完 美课件 】
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回顾这三组诱导公式的推导过程，都是借助单位圆以 及角的终边关于原点，坐标轴的特殊对称而得到的.
2020-2021学年高一上学期数学人教A 版必修 第一册 诱导公 式(2)PP T全文 课件（ 共35ppt ）【完 美课件 】
y
P1(x,y)
O
x
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2019-2020学年新人教A版必修一 5.3 第1课时 诱导公式二、三、四 课件(25张)
210°+tan(180°-45°)
=sin 225°cos 210°+cos 30°sin 210°-tan 45°
=sin(180°+45°)cos(180°+30°)+cos 30°·sin(180°+30°)tan 45°
探究一
探究二
探究三 随堂演练
利用诱导公式解决证明问题
例 3 求证:tan(2πc-o���s���)(s������i-nπ(-)2siπn-(���5���)πc-o���s���)(6π-������)=-tan α.
分析:观察被证式两端,左繁右简,可以从左端入手,利用诱导公式
进行化简,逐步地推向右边.
=
-sin������ cos������
=-tan α=右边.故原式得证.
探究一
探究二
探究三 随堂演练
反思感悟 关于三角恒等式的证明,常用方法: (1)从一边开始,证得它等于另一边,一般由繁到简; (2)左右归一法,即证明左右两边都等于同一个式子.无论用哪种 方法都要针对题设与结论间的差异,有针对性地变形,以消除其差 异.
一二三
2.填空 (1)角π-α与角α的终边关于y轴对称(如图所示).
(2)诱导公式四:sin(π-α)=sin α,cos(π-α)=-cos α,tan(π-α)=-tan α.
一二三
3.做一做
(1)sin 150°=
;
(2)tan
-
3π 4
=
.
解析:(1)sin 150°=sin(180°-30°)=sin 30°=12.
2019-2020学年人教A版数学必修第一册课件：5.3 第1课时 诱导公式二、三、四
2．已知 cos(α－π)＝－153，且 α 是第四象限角，则 sin(－2π＋α)
等于( )
A．－1123
B．1123
C．±1123
D．152
解析：选 A.由 cos(α－π)＝－153，得 cos α＝153.又 α 为第四象限
角，所以 sin(－2π＋α)＝sin α＝－ 1－cos2α＝－1123.
第三十三页，编辑于星期六：二十三点 二十分。
3．计算 tan 690°＝________. 解析：tan 690°＝tan(2×360°－30°)＝tan(－30°) ＝－tan 30°＝－ 33.
答案：－
3 3
第三十四页，编辑于星期六：二十三点 二十分。
4．化简：sin（5t4a0n°（＋αα－）1·8co0s°（）－α）. 解：原式＝sin（－36t0a°n＋（118800°°＋－αα））·cos α ＝sin（180°＋α）·cos α
解：因为 cos56π＋α＝cosπ－π6－α
＝－cosπ6－α＝－
3， 3
sin2α－π6 ＝sin2－π6－α＝1－cos2π6－α＝1－
32＝2， 3 3
所以 cos56π＋α－sin2α－π6＝－ 33－23＝－2＋3
3 .
第二十七页，编辑于星期六：二十三点 二十分。
解决条件求值问题的策略 (1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、 函数名称及有关运算之间的差异及联系． (2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形 向已知式转化．
αtan（π＋α） sin α
＝cos α·tan sin α
α＝sin sin
αα＝1.
答案：1
第二十二页，编辑于星期六：二十三点 二十分。
2019_2020学年高中数学第1章1.2.4诱导公式第1课时诱导公式(一)、(二)教案(含解析)新人教B版必修4
第1课时 诱导公式(一)、(二)1．诱导公式一⎭⎪⎬⎪⎫cos (α＋k ·2π)＝cos αsin (α＋k ·2π)＝sin αtan (α＋k ·2π)＝tan α (一)． 2．诱导公式二⎭⎪⎬⎪⎫cos (－α)＝cos αsin (－α)＝－sin αtan (－α)＝－tan α (二)． 思考：公式一、二该如何记忆？[提示] α＋k ·2π(k ∈Z )，－α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．1．sin(－30°)的值是( ) A ．12 B ．－12C ．32D ．－32B [sin(－30°)＝－sin 30°＝－12.]2．cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－41π3的值为( ) A ．12 B ．－12C ．32D ．36A [cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－41π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14π＋π3＝cos π3＝12.]3．cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－174π－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－174π＝________.2 [cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－174π－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－174π＝cos 174π＋sin 174π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋π4＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋π4＝cos π4＋sin π4＝22＋22＝2]利用诱导公式求值计算：(1)3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－376πtan 136π－cos 73π·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－414π；(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－136π＋cos 125π·tan 4π；(3)cos 253π＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－174π； (4)cos 7π4sin 9π4＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－116πcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－136π. [思路探究] 先化负角为正角，再将大于360°的角化为0°到360°内的角，进而利用诱导公式求得结果．[解] (1)原式＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin 376π·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π6－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π3·tan ⎝⎛⎭⎪⎫－5×2π－π4＝－3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3×2π＋π6·tan π6－cos π3·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－3×12×33－12×(－1)＝0.(2)原式＝－sin 136π＋cos 125π·tan 0＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π6＋0＝－sin π6＝－12. (3)原式＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π＋π3－tan 174π＝cos π3－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋π4 ＝12－tan π4＝12－1＝－12. (4)原式＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π4＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π＋π6·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4sinπ4＋sin π6cos π6＝cos π4·sin π4＋sin π6cos π6＝22×22＋12×32＝12＋34.1．解决本类问题的一般规律是：先用公式二将负角的三角函数值化为正角的三角函数值，再用公式一将其转化为[0,2π)内角的三角函数值．2．求值问题要用到0～2π上特殊角的三角函数值来表达结果，一定要把特殊角的三角函数值记牢．1．计算：(1)sin(－1 320°)cos(1 110°)＋cos(－1 020°)·sin 750°； (2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－233π＋tan 17π4. [解] (1)原式＝sin(－4×360°＋120°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＝sin 120°cos 30°＋cos 60°sin 30° ＝32×32＋12×12＝1. (2)原式＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3＋(－4)×2π＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋2×2π＝cos π3＋tan π4＝12＋1＝32.【例2】化简：1＋2sin 290°cos 430°sin(－70°)＋cos 790°.[思路探究]应用诱导公式尽可能将角统一，去根号时注意三角函数的正负．[解] 原式＝1＋2sin(360°－70°)cos(360°＋70°)－sin 70°＋cos(720°＋70°)＝1－2sin 70°cos 70°－sin 70°＋cos 70°＝|cos 70°－sin 70°|cos 70°－sin 70°＝sin 70°－cos 70°cos 70°－sin 70°＝－1.1．三角函数式的化简常用诱导公式将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数．2．化简时要特别注意“1”的变形应用．2．化简：1＋2sin (－θ)cos (2π－θ)sin (－6π＋θ)－cos (－θ＋4π).[解] 原式＝1－2sin θcos θsin θ－cos θ＝(sin θ－cos θ)2sin θ－cos θ＝|sin θ－cos θ|sin θ－cos θ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，2k π＋π4＜θ＜2k π＋54π，k ∈Z ，－1，2k π－34π＜θ＜2k π＋π4，k ∈Z .利用诱导公式证明恒等式利用诱导公式证明恒等式有哪些方法？[提示] 利用诱导公式证明恒等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法有：(1)从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简；(2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子；(3)凑合法：即针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除其差异，简言之，即化异为同．【例3】 已知tan(2π－α)＝－2，求证：4sin 2(4π－α)－3sin α·cos(－α)－5cos 2α＝1.[思路探究] 可以先对所证明的等式的左边利用诱导公式化简，再根据条件求值即可． [解]左边＝4sin 2(－α)－3sin αcos α－5cos 2α＝4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α1＝4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2αsin 2α＋cos 2α ＝4tan 2α－3tan α－5tan 2α＋1. 因为tan(2π－α)＝tan(－α)＝－tan α＝－2， 所以tan α＝2，所以左边＝4×22－3×2－522＋1＝16－6－55＝1， 所以4sin 2(4π－α)－3sin α·cos(－α)－5cos 2α＝1.1．证明恒等式问题，实质上就是三角函数式的化简问题．2．证明三角恒等式的一般思路是：先分析角的特点及角之间的关系，再将角变形，然后利用诱导公式及同角三角函数的基本关系式来完成证明．3．求证：tan (2π－α)cos (－4π－α)cos (6π－α)sin (α－2π)cos (α－4π)＝－1.[证明] 左边＝tan (－α)cos (－α)cos (－α)sin αcos α＝－tan αcos αcos αsin αcos α＝－sin αcos α·cos αsin α＝－1＝右边，∴原等式成立．(教师用书独具)1．诱导公式的记忆诱导公式(一)、(二)的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”．其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号．α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角．2．利用诱导公式(一)和(二)，还可以得出如下公式sin(2π－α)＝－sin α，cos(2π－α)＝cos α，tan(2π－α)＝－tan α.1．sin 690°的值为( )A ．12B ．32C ．－12D ．－32C [sin 690°＝sin(720°－30°)＝－sin 30°＝－12.] 2．点P (cos 2 019°，sin 2 019°)落在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限C [2 019°＝6×360°－141°，∴cos 2 019°＝cos(－141°)＝cos 141°<0，sin 2 019°＝sin(－141°)＝－sin 141°<0，∴点P 在第三象限．]3.cos (360°＋α)·sin (360°－α)cos (－α)·sin (－α)的化简结果为________． 1 [原式＝cos α·sin (－α)cos α·sin (－α)＝1.] 4．求下列各式的值： (1)cos 253π＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－154π； (2)sin 810°＋tan 1 125°＋cos 420°.[解] (1)cos 253π＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－154π ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π＋π3＋tan ⎝⎛⎭⎪⎫－4π＋π4＝cos π3＋tan π4 ＝12＋1＝32. (2)原式＝sin(2×360°＋90°)＋tan(3×360°＋45°)＋cos(360°＋60°)＝sin 90°＋tan 45°＋co s 60°＝1＋1＋12＝52.。
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第2课时诱导公式(三)、(四)1．诱导公式三(1)角α与α＋(2k＋1)π(k∈Z)的三角函数间的关系：⎭⎬⎫cos[α＋(2k ＋1)π]＝－cos αsin[α＋(2k ＋1)π]＝－sin αtan[α＋(2k ＋1)π]＝tan α (三)．(2)角α＋n π的三角函数值： sin(α＋n π)＝⎩⎨⎧ －sin α，n 为奇数，sin α，n 为偶数，cos(α＋n π)＝⎩⎨⎧－cos α，n 为奇数，cos α，n 为偶数，tan(α＋n π)＝tan_α，n ∈Z . 2．诱导公式四(1)α与α＋π2的三角函数间的关系：⎭⎪⎬⎪⎫cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－sin αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝cos α (四)．(2)以－α替代α可得另一组公式： cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋π2＝sin_α， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋π2＝cos_α. 思考：各组诱导公式虽然形式不同，但存在着一定的规律，有人把它概括为“奇变偶不变，符号看象限”，你理解这句话的含义吗？[提示] 诱导公式可以归纳为k ·π2＋α(k ∈Z )的三角函数值．当k 为偶数时，得α的同名三角函数值；当k 为奇数时，得α的异名三角函数值．然后，在前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，概括为“奇变偶不变，符号看象限”．值得注意的是，这里的奇和偶分别指的是π2的奇数倍或偶数倍；符号看象限指的是等式右边的正负号恰为把α看成锐角时，原函数值的符号．1．sin 585°的值为( ) A ．－22 B ．22 C ．－32D ．32A [sin 585°＝sin(360°＋180°＋45°) ＝－sin 45°＝－22.故选A.]2．已知sin 40°＝a ，则cos 130°＝( ) A ．a B ．－a C ．1－a 2D ．－1－a 2B [cos 130°＝cos(90°＋40°)＝－sin 40°＝－a .] 3．若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ>0，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ<0，则θ是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角C [由于cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝－sin θ>0，所以sin θ<0，又因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝cos θ<0，所以角θ的终边落在第三象限，故选C.]①sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－10π3；②cos 296π；(2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π＋2π3·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π＋4π3(n ∈Z )的值．[思路探究] (1)直接利用诱导公式求解，注意公式的灵活选择． (2)分n 为奇数、偶数两种情况讨论． [解] (1)①sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－10π3＝－sin 10π3＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋4π3＝－sin 4π3＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3＝sin π3＝32.②cos 296π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋5π6＝cos 5π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π6＝－cos π6＝－32.(2)①当n 为奇数时，原式＝sin 2π3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos 43π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π3· ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3＝sin π3·cos π3＝32×12＝34； ②当n 为偶数时，原式＝sin 23π·cos 43π ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π3·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3＝sin π3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos π3 ＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－34.1．已知角求值的问题主要是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值求解．一般是先利用公式二将负角化为正角，再利用公式一将任意角转化为0°～360°之间的角，然后利用公式三、公式四转化为0°～90°之间的角求解．2．凡涉及参数n 的三角函数求值问题．由于n 为奇数、偶数时，三角函数值有所不同，故考虑对n 进行分类讨论．其次，熟记诱导公式，熟悉各诱导公式的作用也是解题的关键．1．求下列各三角函数值． (1)tan(－855°)； (2)sin 176π；(3)化简：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k －14π－α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k ＋14π－α(k ∈Z )． [解] (1)tan(－855°)＝－tan 855°＝－tan(2×360°＋135°)＝－tan 135°＝－tan(180°－45°)＝tan 45°＝1.(2)sin 176π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋56π＝sin 56π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π3＝cos π3＝12.(3)原式＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α.当k 为奇数时，设k ＝2n ＋1(n ∈Z )，则原式＝ sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(2n ＋1)π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(2n ＋1)π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝0；当k 为偶数时，设k ＝2n (n ∈Z )，则 原式＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝0.综上所述，原式＝0.【例2】 已知cos(π＋α)＝－12，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α的值．[思路探究] 由已知求cos α的值→讨论α所在的象限→根据诱导公式求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α的值 [解] ∵cos(π＋α)＝－cos α＝－12， ∴cos α＝12，∴α为第一或第四象限角． ①若α为第一象限角，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝－32. ②若α为第四象限角，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝32.1．已知一个角的某种三角函数值，求这个角的其他三角函数值，若给定具体数值，但未指定角α的取值范围，就要进行讨论．2．常见的互余关系有：π3－α与π6＋α；π3＋α与π6－α；π4＋α与π4－α等．3．常见的互补关系有：π3＋θ与2π3－θ；π4＋θ与3π4－θ等．2．若cos 165°＝a，则tan 195°＝()A.1－a2B．－1－a2 aC.1－a2a D.1＋a2aB[cos 165°＝cos(180°－15°)＝－cos 15°＝a，故cos 15°＝－a(a<0)，得sin 15°＝1－a2，tan 195°＝tan(180°＋15°)＝tan 15°＝1－a2－a.]1．利用诱导公式能否直接写出sin(kπ＋α)的值？[提示] 不能．因为k 是奇数还是偶数不确定．当k 是奇数时，即k ＝2n ＋1(n ∈Z )，sin(k π＋α)＝sin(π＋α)＝－sin α； 当k 是偶数时，即k ＝2n (n ∈Z )，sin(k π＋α)＝sin α. 2．如何化简tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2π＋α呢？[提示] 当k 为奇数时，即k ＝2n ＋1(n ∈Z )， tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2＋α＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α－sin α＝1－tan α； 当k 为偶数时，即k ＝2n (n ∈Z )， tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2＋α＝tan α. 综上，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2＋α＝⎩⎪⎨⎪⎧1－tan α，k 为奇数，tan α，k 为偶数.【例3】 设k 为整数，化简：sin (k π－α)cos[(k －1)π－α]sin[(k ＋1)π＋α]cos (k π＋α).[思路探究] 分k 为奇数，k 为偶数两种情况分别求解或利用角的交换求解． [解] 当k 为偶数时，sin (k π－α)cos [(k －1)π－α]sin[(k ＋1)π＋α]cos (k π＋α)＝sin (－α)·(－cos α)－sin α·cos α＝－1. 当k 为奇数时sin (k π－α)cos[(k －1)π－α]sin[(k ＋1)π＋α]cos (k π＋α)＝sin α·cos αsin α·(－cos α)＝－1.综上可得sin (k π－α)cos[(k －1)π－α]sin[(k ＋1)π＋α]cos[k π＋α]＝－1.本题主要考查分类讨论的思想以及诱导公式.常用的解决方法有两种：①为了便于运用诱导公式，必须把k分成偶数和奇数两种情况讨论；②观察式子结构，kπ－α＋kπ＋α＝2kπ，(k＋1)π＋α＋(k－1)π－α＝2kπ，可使用配角法.3．化简sin(nπ＋α)cos(nπ－α)cos[(n＋1)π－α](n∈Z)的结果为________．(－1)n＋1sin α[①当n＝2k(k∈Z)时，原式＝sin(2kπ＋α)cos(2kπ－α)cos[(2k＋1)π－α]＝sin αcos α－cos α＝－sin α.②当n＝2k＋1(k∈Z)时，原式＝sin[(2k＋1)π＋α]cos[(2k＋1)π－α] cos[(2k＋2)π－α]＝－sin α(－cos α)cos α＝sin α.所以化简所得的结果为(－1)n＋1sin α.](教师用书独具)1．诱导公式分类归纳：(1)诱导公式一～三反映的是角π±α，2k π±α，－α与α的三角函数值之间的关系，可借用口诀“函数名不变，符号看象限”来记忆．(2)诱导公式四反映的是角π2±α与α的三角函数值之间的关系．可借用口诀“函数名改变，符号看象限”来记忆．2．诱导公式共同特征(1)诱导公式一～四揭示了终边具有某种对称关系的两个角的三角函数之间的关系．(2)这四组诱导公式可归纳为“k ·π2±α(k ∈Z )”的三角函数值与α的三角函数值之间的关系．当k 为偶数时得角α的同名三角函数值，当k 为奇数时得角α的异名三角函数值．然后在前面加上一个把角α看成锐角时原三角函数值的符号．可简记为“奇变偶不变，符号看象限”．(3)诱导公式是三角变换的基本公式，其中角可以是一个单角，也可以是一个复角，应用时要注意整体把握，灵活变通.1．下列各式不正确的是( ) A ．sin(α＋180°)＝－sin α B ．cos(－α＋β)＝－cos(α－β) C ．sin(－α－360°)＝－sin αD ．cos(－α－β)＝cos(α＋β)B [cos(－α＋β)＝cos[－(α－β)]＝cos(α－β)，故B 项错误．] 2．sin 600°的值为( ) A ．12 B ．－12 C ．32D ．－32D [sin 600°＝sin(720°－120°)＝－sin 120° ＝－sin(180°－60°)＝－sin 60°＝－32.故选D.] 3．cos 1 030°＝( ) A ．cos 50° B ．－cos 50° C ．sin 50°D ．－sin 50°A [cos 1 030°＝cos(3×360°－50°) ＝cos(－50°)＝cos 50°.]4．已知sin φ＝611，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π2＋φ＋sin(3π－φ)的值．[解] ∵sin φ＝611，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π2＋φ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫6π－π2＋φ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋φ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－φ＝sin φ＝611，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π2＋φ＋sin(3π－φ)＝611＋sin(π－φ)＝611＋sin φ＝1211.课时分层作业(七) 诱导公式(三)、(四)(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ＝35，则sin x 的值为( )A.35 B ．－35 C.45D ．－45B [cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ＝－sin x ＝35，∴sin x ＝－35.]2．在△ABC 中，cos(A ＋B )的值等于( ) A ．cos C B ．－cos C C ．sin CD ．－sin CB [cos(A ＋B )＝cos(180°－C )＝－cos C ．]3．已知sin(θ＋π)<0，cos(θ－π)>0，则下列不等关系中必定成立的是( ) A ．sin θ<0，cos θ>0 B ．sin θ>0，cos θ<0 C ．sin θ>0，cos θ>0D ．sin θ<0，cos θ<0B [∵sin(θ＋π)＝－sin θ<0，∴sin θ>0. ∵cos(θ－π)＝－cos θ>0，∴cos θ<0.] 4．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝( )A ．－13 B.13 C.223D ．－223A [cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＋π2＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－13.故选A.]5．设tan(5π＋α)＝m ，则sin (α－3π)＋cos (π－α)sin (－α)－cos (π＋α)的值为( )A.m ＋1m －1B.m －1m ＋1 C ．－1D ．1 A [由tan(5π＋α)＝m ，得tan α＝m ， 所以sin (α－3π)＋cos (π－α)sin (－α)－cos (π＋α)＝－sin α－cos α－sin α＋cos α＝－tan α－1－tan α＋1＝－m －1－m ＋1＝m ＋1m －1.]二、填空题6．若sin(π－α)＝log 8 14，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝________.23 [由已知得sin(π－α)＝sin α＝log 32 2－2＝－23. ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π2＋α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α＝23.]7．若a ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－134π，b ＝tan 113π，则a ，b 的大小关系是 ________.a >b [a ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－134π＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π＋34π＝tan 34π＝－tan π4，b ＝tan 113π＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π＋23π＝tan 23π ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π3＝－tan π3，∵0<π4<π3<π2， ∴tan π4<tan π3， ∴a >b .]8．已知tan(3π＋α)＝2，则sin (α－3π)＋cos (π－α)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－sin (－α)＋cos (π＋α)＝________.2 [由tan(3π＋α)＝2，得tan α＝2， 则原式＝sin (α－π)－cos α＋cos α＋2sin αsin α－cos α＝－sin α＋2sin αsin α－cos α＝sin αsin α－cos α＝tan αtan α－1＝22－1＝2.]三、解答题9．求sin(－1 200°)·cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＋tan 945°的值． [解] 原式＝－sin(3×360°＋120°)·cos(3×360°＋210°)－cos(2×360°＋300°)·sin(2×360°＋330°)＋tan(2×360°＋225°)＝－sin(180°－60°)·cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)·sin(360°－30°)＋tan(180°＋45°)＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°＋tan 45° ＝32×32＋12×12＋1＝2.10．已知f (α)＝tan (π－α)·cos (2π－α)·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αcos (－α－π).(1)化简f (α)；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝－35，且α是第二象限角，求tan α.[解] (1)f (α)＝tan (π－α)·cos (2π－α)·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αcos (－α－π)＝－tan α·cos α·cos α－cos α＝sin α.(2)由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝－35，得cos α＝－35， 又α是第二象限角，所以sin α＝1－cos 2 α＝45， 则tan α＝sin αcos α＝－43.[等级过关练]1．若sin(π＋α)＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－m ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＋2sin(6π－α)的值为( )A ．－23mB ．－32mC.23mD.32mB [∵sin(π＋α)＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－m ，即－sin α－sin α＝－2sin α＝－m ， 从而sin α＝m2，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＋2sin(6π－α)＝－sin α－2sin α＝－3sin α ＝－32m .]2．计算：sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 289°＝( ) A ．89 B ．90 C.892D ．45C [原式＝sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 244°＋sin 245°＋sin 2(90°－44°)＋…＋sin 2(90°－3°)＋sin 2(90°－2°)＋sin 2(90°－1°)＝sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 244°＋sin 245°＋cos 244°＋…＋cos 23°＋cos 22°＋cos 21°＝(sin 21°＋cos 21°)＋(sin 22°＋cos 22°)＋(sin 23°＋cos 23°)＋…＋(sin 244°＋cos 244°)＋sin 245°＝44＋12＝892.]3．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝12，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋α＝________. 14 [cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·sin⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋α ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α·sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝12×12＝14.]4．已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α的值是________．31010 [由条件知⎩⎨⎧－2tan α＋3sin β＝－5，tan α－6sin β＝1，解得tan α＝3，又α为锐角，tan α＝sin αcos α＝sin α1－sin 2α＝3，解得sin α＝31010.]5．已知sin(π－α)－cos(π＋α)＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＜α＜π，求下列各式的值：(1)sin α－cos α； (2)sin 3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＋cos 3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α.[解] 由sin(π－α)－cos(π＋α)＝23， 得sin α＋cos α＝23，①将①两边平方，得1＋2sin αcos α＝29，故2sin αcos α＝－79. 又π2＜α＜π， ∴sin α＞0，cos α＜0.(1)(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－79＝169，∴sin α－cos α＝43. (2)sin 3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＋cos 3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos 3α－sin 3α＝(cos α－sin α)(cos 2α＋cos α·sin α＋sin 2α) ＝－43×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－718＝－2227.。