11-12学年高二数学：2.3.1 双曲线及其标准方程 优化训练(人教A版选修2-1)(
人教A版高中数学选修1—1第二章2.3.1双曲线及其标准方程达标过关训练
2.3.1双曲线及其标准方程一、选择题1．椭圆x24＋y2a2＝1与双曲线x2a－y22＝1有相同的焦点，则a的值为()A．12B．1或－2C．1或12D．1解析：由双曲线方程x2a－y22＝1知，焦点在x轴上，∴4－a2＝a＋2，即a2＋a－2＝0，∴a＝－2或a＝1.当a＝－2时，不合题意，应舍去．∴a＝1.答案：D2．若θ为三角形的一个内角，且sin θ＋cos θ＝13，则曲线x2sin θ＋y2cos θ＝1是()A．焦点在x轴上的双曲线B．焦点在y轴上的双曲线C．焦点在x轴上的椭圆D．焦点在y轴上的椭圆解析：由sin θ＋cos θ＝13知，θ为钝角，∴sin θ>0，cos θ<0，∴曲线x2sin θ＋y2cos θ＝1表示焦点在x轴上的双曲线．答案：A3．(2019·晋中市高二期末调研)已知F1，F2是双曲线x216－y29＝1的左，右焦点，P是双曲线右支上一点，M是PF1的中点，若|OM|＝1，则|PF1|是() A．10B．8C．6D．4解析：因为M是PF1的中点，O是F1F2的中点，所以|OM|＝12|PF2|，因为|OM|＝1，所以|PF2|＝2，因为P 在右支上，故|PF 1|－|PF 2|＝2×4＝8，故|PF 1|＝8＋2＝10，故选A ． 答案：A4．已知△ABP 的顶点A ，B 分别为双曲线x 216－y 29＝1的左、右焦点，顶点P 在双曲线上，则|sin A －sin B |sin P的值等于( )A ．7B ．74C ．54D ．45解析：在△ABP 中，由正弦定理，知|sin A －sin B |sin P ＝||PB |－|P A |||AB |＝2a 2c ＝45.答案：D5．已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝( )A ．14B ．35C ．34D ．45解析：由双曲线的定义知，|PF 1|－|PF 2|＝22，又|PF 1|＝2|PF 2|， ∴|PF 2|＝22，|PF 1|＝4 2.又∵|F 1F 2|＝2c ＝4，∴cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝(42)2＋(22)2－422×42×22＝34.答案：C 二、填空题6．双曲线的一个焦点坐标是(0，－6)，经过点A (－5,6)，则双曲线的标准方程为________．解析：由双曲线的一个焦点为(0，－6)知，另一个焦点为(0,6)，又过点(－5,6)，∴2a ＝|(－5－0)2＋(6＋6)2－(－5－0)2＋(6－6)2|＝|13－5|＝8，∴a ＝4，c ＝6，∴b 2＝c 2－a 2＝36－16＝20.又焦点在y 轴上，∴双曲线方程为y 216－x 220＝1.16207．(2019·乐山高二期末)已知方程x 24－t ＋y 2t －1＝1表示的曲线为C .给出以下四个判断：①当1<t <4时，曲线C 表示椭圆；②当t >4或t <1时，曲线C 表示双曲线；③若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则1<t <52；④若曲线C 表示焦点在y 轴上的双曲线，则t >4.其中判断正确的是________(只填判断正确的序号)．解析：①错误，当t ＝52时，曲线C 表示圆；②正确，若C 为双曲线，则(4－t )(t －1)<0，∴t <1或t >4；③正确，若曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆，则4－t >t －1>0，∴1<t <52；④正确，若曲线C 为焦点在y 轴上的双曲线，则⎩⎪⎨⎪⎧4－t <0，t －1>0，∴t >4.答案：②③④8．(2019·辽阳高二期中测试)已知双曲线的两个焦点分别是F 1(－5，0)，F 2(5，0)，P 是双曲线上一点，且PF 1→·PF 2→＝0，|PF 1|·|PF 2|＝2，则双曲线的标准方程为____________．解析：双曲线的焦点在x 轴上，|F 1F 2|＝2c ＝2 5.由双曲线的定义||PF 1|－|PF 2||＝2a ，得|PF 1|2－2|PF 1|·|PF 2|＋|PF 2|2＝4a 2.① ∵PF 1→⊥PF 2→，|PF 1|·|PF 2|＝2，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝20.代入①式， 解得a 2＝4.又∵c ＝5，∴b 2＝c 2－a 2＝1， ∴双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.4三、解答题9．已知定点A (3,0)和定圆C ：(x ＋3)2＋y 2＝16，动圆P 和圆C 外切，并且过点A ，求动圆圆心P 的轨迹方程．解：设P 的坐标为(x ，y )， ∵圆P 与圆C 外切且过点A (3,0)， ∴|PC |－|P A |＝4.又∵|AC |＝|3－(－3)|＝6＞4，∴点P 的轨迹是以C ，A 为焦点，实轴长2a ＝4的双曲线的右支． ∵a ＝2，c ＝3，∴b 2＝c 2－a 2＝5.∴动圆圆心P 的轨迹方程为x 24－y 25＝1(x ≥2)．10．已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x 2＋9y 2＝36有相同的焦点． (1)求双曲线的标准方程；(2)若点M 在双曲线上，F 1，F 2为左、右两个焦点，且|MF 1|＋|MF 2|＝63，试判断△MF 1F 2的形状．解：(1)化椭圆方程为标准形式：x 29＋y 24＝1，焦点在x 轴上，且c 2＝9－4＝5.依题意可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝5，9a 2－4b2＝1.解得a 2＝3，b 2＝2.故双曲线方程为x 23－y 22＝1.(2)不妨设M 在双曲线的右支上，则有 |MF 1|－|MF 2|＝23，又|MF 1|＋|MF 2|＝63， ∴|MF 1|＝43，|MF 2|＝2 3.又∵|F 1F 2|＝25， ∴在△MF 1F 2中，|MF 1|是最长边．由余弦定理得cos ∠MF 2F 1＝|MF 2|2＋|F 1F 2|2－|MF 1|22|MF 2|·|F 1F 2|＝12＋20－482×23×25＝－215<0，∴∠MF 2F 1是钝角，故△MF 1F 2是钝角三角形．。
【同步测控 优化设计】高二人教A版数学选修2-1练习：2.3.1双曲线及其标准方程 Word版含答案[ 高考]
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2.3.1双曲线及其标准方程A组1.已知方程=1表示双曲线,则实数k的取值范围是()A.-4<k<4B.k>0C.k≥0D.k>4或k<-4解析:依题意应有(4+k)(4-k)>0,解得-4<k<4.答案:A2.双曲线=1的焦距是()A.3B.6C.8D.12解析:方程表示双曲线,且m2+12>0,所以4-m2>0,即方程表示焦点在x轴上的双曲线,从而a2=m2+12,b2=4-m2,因此c==4,故焦距2c=8.答案:C3.若点M在双曲线=1上,双曲线的焦点为F1,F2,且|MF1|=3|MF2|,则|MF2|等于()A.2B.4C.8D.12解析:双曲线中a2=16,a=4,2a=8,由双曲线定义知||MF1|-|MF2||=8,又|MF1|=3|MF2|,所以3|MF2|-|MF2|=8,解得|MF2|=4.答案:B4.已知双曲线C:=1的焦距为10,点P(2,1)在直线y=x上,则双曲线C的方程为()A.=1B.=1C.=1D.=1解析:若点P(2,1)在直线y=x上,则1=,∴a=2b.①∵双曲线的焦距为10,∴a2+b2=52.将①代入上式,得b2=5,从而a2=20,故双曲线C的方程为=1.答案:A5.已知动圆M过定点B(-4,0),且和定圆(x-4)2+y2=16相切,则动圆圆心M的轨迹方程为()A.=1(x>0)B.=1(x<0)C.=1D.=1解析:设动圆M的半径为r,依题意有|MB|=r,另设A(4,0),则有|MA|=r±4,即|MA|-|MB|=±4.亦即动圆圆心M到两定点A,B的距离之差的绝对值等于常数4,又4<|AB|,因此动点M的轨迹为双曲线,且c=4,2a=4,所以a=2,a2=4,b2=c2-a2=12.故轨迹方程是=1.答案:C6.已知P是双曲线x2-y2=16的左支上一点,F1,F2分别是左、右焦点,则|PF1|-|PF2|=.解析:双曲线方程可化为=1,所以a2=16,a=4.因为点P在左支上,所以|PF1|-|PF2|=-2a=-8.答案:-87.F1,F2是双曲线=1的两个焦点,点P在双曲线上且满足|PF1|·|PF2|=32,则∠F1PF2=.解析:设∠F1PF2=α,|PF1|=r1,|PF2|=r2(r1>0,r2>0),则r1r2=32,|r1-r2|=2a=6.在△F1PF2中,由余弦定理,得cos α====0.故α=90°.答案:90°8.对于曲线C:=1,给出下面四个命题:①曲线C不可能表示椭圆;②当1<k<4时,曲线C表示椭圆;③若曲线C表示双曲线,则k<1或k>4;④若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆,则1<k<.其中命题正确的序号为.解析:由解得1<k<<k<4,此时方程表示椭圆,且当1<k<时,方程表示焦点在x轴上的椭圆,所以①②错误,④正确;由(4-k)(k-1)<0,得k<1或k>4,此时方程表示双曲线,故③正确.所以应填③④.答案:③④9.设双曲线与椭圆=1有共同的焦点,且与椭圆相交,在第一象限的交点A的纵坐标为4,求此双曲线的方程.解:由椭圆方程=1,得椭圆的两个焦点为F1(0,-3),F2(0,3).因为椭圆与双曲线在第一象限的交点A的纵坐标为4,所以这个交点为A(,4).方法一:设双曲线方程为=1(a>0,b>0),由题意得解得故所求双曲线方程为=1.方法二:∵2a=||AF1|-|AF2||=||=4,∴a=2.又∵c=3,∴b2=c2-a2=5.∵双曲线的焦点在y轴上,∴双曲线的方程为=1.10.设P为双曲线=1上一点,F1,F2是该双曲线的两个焦点,若∠F1PF2=60°,求△PF1F2的面积.解:由方程=1,得a=4,b=3,故c==5,所以|F1F2|=2c=10.又由双曲线的定义,得||PF1|-|PF2||=8,两边平方,得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|=64.①在△PF1F2中,由余弦定理,得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos 60°,即|PF1|2+|PF2|2-|PF1||PF2|=100.②①-②,得|PF1||PF2|=36,所以|PF1||PF2|sin 60°=×36×=9.B组1.已知点P(x,y)的坐标满足=±4,则动点P的轨迹是()A.椭圆B.双曲线C.两条射线D.以上都不对解析:依题意,动点P到两定点(1,1)和(-3,-3)的距离之差的绝对值等于4,且两定点间距离为4,4<4,故动点P的轨迹是双曲线.答案:B2.椭圆=1与双曲线-x2=1有公共点P,则点P与双曲线两焦点连线构成的三角形的面积为()A.4B.5C.5D.3解析:由已知得椭圆与双曲线具有共同的焦点F1(0,4)和F2(0,-4),又由椭圆与双曲线的定义,得所以|PF1|=5+,|PF2|=5-,或|PF1|=5-,|PF2|=5+.在△PF1F2中,由余弦定理,得cos∠F1PF2==,所以sin ∠F1PF2=.因此△PF1F2的面积S=|PF1|·|PF2|sin ∠F1PF2=×(5+)×(5-)×=3.答案:D3.已知双曲线的两个焦点F1(-,0),F2(,0),P是双曲线上一点,且=0,|PF1|·|PF2|=2,则双曲线的标准方程为.解析:由题意可设双曲线的标准方程为=1(a>0,b>0).由=0,得PF1⊥PF2.根据勾股定理,得|PF1|2+|PF2|2=(2c)2,即|PF1|2+|PF2|2=20,又根据双曲线定义,得|PF1|-|PF2|=±2a,两边平方代入|PF1|·|PF2|=2,得20-2×2=4a2,解得a2=4,从而b2=5-4=1,所以双曲线方程为-y2=1.答案:-y2=14.已知双曲线过点(3,-2)且与椭圆4x2+9y2=36有相同的焦点.(1)求双曲线的标准方程;(2)若点M在双曲线上,F1,F2为左、右焦点,且|MF1|+|MF2|=6,试判别△MF1F2的形状.解:(1)椭圆方程可化为=1,焦点在x轴上,且c=,故设双曲线方程为=1,则有解得a2=3,b2=2,所以双曲线的标准方程为=1.(2)不妨设点M在右支上,则有|MF1|-|MF2|=2,又|MF1|+|MF2|=6,故解得|MF1|=4,|MF2|=2.又|F1F2|=2,因此在△MF1F2中,边MF1最长,因为cos∠MF2F1=<0,所以∠MF2F1为钝角,故△MF1F2为钝角三角形.5.双曲线=1的两个焦点为F1,F2,点P在双曲线上.若PF1⊥PF2,求点P到x轴的距离.解:设点P为(x0,y0),而F1(-5,0),F2(5,0),则=(-5-x0,-y0),=(5-x0,-y0).∵PF1⊥PF2,∴=0,即(-5-x0)(5-x0)+(-y0)·(-y0)=0,整理,得=25.①∵P(x0,y0)在双曲线上,∴=1.②联立①②,得,即|y0|=.因此点P到x轴的距离为.6.如图,某农场在M处有一堆肥料,现要把这堆肥料沿道路MA或MB送到四边形田地ABCD 中去,已知MA=60 m,MB=80 m,BC=30 m,∠AMB=90°,能否在田地ABCD中确定一条界线,使位于界线一侧的点沿MA送肥料较近,另一侧的点沿MB送肥料较近?若能,请指出界线是何曲线,并建立坐标系求出其方程.解:如图,以AB所在直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系.由|MA|=60,|MB|=80,∠AMB=90°,得|AB|=100.设点P(x,y)是界线上的点.由题意,得|P A|+|MA|=|PB|+|MB|,即|P A|-|PB|=|MB|-|MA|=20<|AB|.所以由双曲线定义可知,点P在以A,B为焦点,实轴长为20的双曲线的右支上.对应方程为=1(x≥10,0≤y≤30).。
【优化方案】2012高中数学 第2章2.3.1双曲线及其标准方程课件 新人教A版选修2-1
方程组就简化了． 方程组就简化了．
y2 x2 b>0) 【解】 (1)设所示标准方程为 2－ 2＝1(a>0， 设所示标准方程为 ， a b 且 c＝4， ＝ ， ，－6)， ∵曲线过点 P(2 2，－ ， ，－
36 8 2 － 2＝1， ， ∴有 a b 2 2 ， a ＋b ＝16，
a2＝12， ， ∴ 2 ， b ＝4，
y 2 x2 ∴双曲线的标准方程为 － ＝1. 12 4 y 2 x2 (2)设双曲线的标准方程为 2－ 2＝1(a>0， ． b>0)． 设双曲线的标准方程为 ， 因 a b 在双曲线上， 的坐标适合 为 P1，P2 在双曲线上，所以 P1，P2 的坐标适合
课堂互动讲练
知能优化训练
课前自主学案
温故夯基 已知椭圆方程为5x 已知椭圆方程为 2＋9y2＝45，a、b、e分别为椭 ， 、 、 分别为椭 圆的长半轴长、短半轴长、离心率， 圆的长半轴长、短半轴长、离心率，则a＝__，b ＝ 3， 2 5 ， ＝ 3 ＝____，e＝___.
知新益能 1．双曲线的定义 ． 平面内与两定点F 平面内与两定点 1，F2的距离的差的绝对值等于 常数(小于 小于|F 的点的轨迹叫做_______． 常数 小于 F |)的点的轨迹叫做 双曲线 ．这两 的点的轨迹叫做
定出方程；二是给出标准形式，要先判断出焦点 定出方程；二是给出标准形式， 的位置，如果焦点不确定要分类讨论， 的位置，如果焦点不确定要分类讨论，采用待定 系数法求方程或用形如mx 的形 系数法求方程或用形如 2＋ny2＝1(mn<0)的形 式求解． 式求解． 3．应用双曲线的定义解题，要分清是双曲线的 ．应用双曲线的定义解题， 哪一支，是否两支都符合要求， 哪一支，是否两支都符合要求，结合已知条件进 行判断． 行判断．
人教版数学高二 2.3.2 双曲线的简单几何性质 优化训练(人教A版选修2-1)
2.3.2 双曲线的简单几何性质 优化训练1．双曲线x 24－y 2＝1的离心率是( ) A.32 B.52 C.54 D.32 解析：选B.∵a 2＝4，b 2＝1，∴c 2＝5.∴e ＝c a ＝52. 2．双曲线x 24－y 212＝1的焦点到渐近线的距离为( ) A ．2 3 B ．2C. 3 D ．1解析：选A.双曲线x 24－y 212＝1的焦点为(4,0)、(－4,0)．渐近线方程为y ＝±3x .由双曲线的对称性可知，任一焦点到任一渐近线的距离相等．d ＝|43＋0|3＋1＝2 3.3．若双曲线x 24－y 2b 2＝1(b >0)的渐近线方程为y ＝±12x ，则b 等于________． 解析：双曲线x 24－y 2b 2＝1的渐近线方程为x 24－y 2b 2＝0，即y ＝±b 2x (b >0)，∴b ＝1. 答案：14．求中心在原点，对称轴为坐标轴，且满足下列条件的双曲线方程：(1)双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为(3，0)；(2)双曲线过点(3,92)，离心率e ＝103. 解：(1)设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)． 由已知得a ＝3，c ＝2，再由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1.故双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1. (2)e 2＝109，得c 2a 2＝109，设a 2＝9k (k >0)， 则c 2＝10k ，b 2＝c 2－a 2＝k .于是，设所求双曲线方程为x 29k －y 2k ＝1①或y 29k－x 2k ＝1② 把(3,92)代入①，得k ＝－161与k >0矛盾，无解；把(3,92)代入②，得k ＝9，故所求双曲线方程为y 281－x 29＝1.一、选择题1．下面双曲线中有相同离心率，相同渐近线的是( )A.x 23－y 2＝1，x 29－y 23＝1 B.x 23－y 2＝1，y 2－x 23＝1C ．y 2－x 23＝1，x 2－y 23＝1 D.x 23－y 2＝1，y 23－x 29＝1 解析：选A.B 中渐近线相同但e 不同；C 中e 相同，渐近线不同；D 中e 不同，渐近线相同．故选A.2．若双曲线x 2a 2－y 23＝1(a >0)的离心率为2，则a 等于( ) A ．2 B. 3C.32 D ．1 解析：选D.∵c ＝a 2＋3，∴c a ＝a 2＋3a ＝2，∴a ＝1.3．双曲线与椭圆4x 2＋y 2＝64有公共的焦点，它们的离心率互为倒数，则双曲线方程为( )A ．y 2－3x 2＝36B ．x 2－3y 2＝36C ．3y 2－x 2＝36D ．3x 2－y 2＝36解析：选A.椭圆4x 2＋y 2＝64即x 216＋y 264＝1，焦点为(0，±43)，离心率为32，所以双曲线的焦点在y 轴上，c ＝43，e ＝23，所以a ＝6，b 2＝12，所以双曲线方程为y 2－3x 2＝36.4．双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 的值为( )A ．－14B ．－4C ．4 D.14解析：选A.由双曲线方程mx 2＋y 2＝1，知m <0，则双曲线方程可化为y 2－x 2－1m＝1，则a 2＝1，a ＝1，又虚轴长是实轴长的2倍，∴b ＝2，∴－1m ＝b 2＝4，∴m ＝－14，故选A. 5．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为( )A.y 24－x 24＝1B.x 24－y 24＝1 C.y 24－x 29＝1 D.x 28－y 24＝1 解析：选A.2a ＋2b ＝2·2c ，即a ＋b ＝2c ，∴a 2＋2ab ＋b 2＝2(a 2＋b 2)，∴(a －b )2＝0，即a ＝b .∵一个顶点坐标为(0,2)，∴a 2＝b 2＝4，∴y 2－x 2＝4，即y 24－x 24＝1. 6．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则双曲线的离心率e 为( )A ．2B ．3C.43D.53解析：选D.依题意，2a ＋2c ＝2·2b ，∴a 2＋2ac ＋c 2＝4(c 2－a 2)，即3c 2－2ac －5a 2＝0，∴3e 2－2e －5＝0，∴e ＝53或e ＝－1(舍)．故选D. 二、填空题7．若双曲线x 24－y 2m ＝1的渐近线方程为y ＝±32x ，则双曲线的焦点坐标是________． 解析：由渐近线方程为y ＝±m 2x ＝±32x ， 得m ＝3，c ＝7，且焦点在x 轴上． 答案：(±7，0)8．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为2，焦点与椭圆x 225＋y 29＝1的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为________；渐近线方程为________．解析：∵双曲线的焦点与椭圆的焦点相同，∴c ＝4.∵e ＝c a ＝2，∴a ＝2，∴b 2＝12，∴b ＝2 3.∵焦点在x 轴上，∴焦点坐标为(±4,0)，渐近线方程为y ＝±b a x ，即y ＝±3x ，化为一般式为3x ±y ＝0.答案：(±4,0) 3x ±y ＝09．与双曲线x 2－y 24＝1有共同的渐近线，且过点(2,2)的双曲线的标准方程是________． 解析：依题意设双曲线的方程为x 2－y 24＝λ(λ≠0)， 将点(2,2)代入求得λ＝3，所以所求双曲线的标准方程为x 23－y 212＝1. 答案：x 23－y 212＝1 三、解答题10．求以椭圆x 216＋y 29＝1的两个顶点为焦点，以椭圆的焦点为顶点的双曲线方程，并求此双曲线的实轴长、虚轴长、离心率及渐近线方程．解：椭圆的焦点F 1(－7，0)，F 2(7，0)，即为双曲线的顶点．∵双曲线的顶点和焦点在同一直线上，∴双曲线的焦点应为椭圆长轴的端点A 1(－4,0)，A 2(4,0)，所以c ＝4，a ＝7， ∴b ＝c 2－a 2＝3，故所求双曲线的方程为x 27－y 29＝1. 实轴长为2a ＝27，虚轴长为2b ＝6，离心率e ＝c a ＝477，渐近线方程为y ＝±377x .11．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率e ＝233，过点A (0，－b )和点B (a,0)的直线与原点的距离为32，求此双曲线的方程． 解：∵e ＝233，∴c a ＝233， ∴a 2＋b 2a 2＝43，∴a 2＝3b 2. ① 又∵直线AB 的方程为bx －ay －ab ＝0，∵d ＝ab a 2＋b 2＝32，即4a 2b 2＝3(a 2＋b 2)． ② 解由①②组成方程组得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝3，b 2＝1， ∴双曲线方程为x 23－y 2＝1. 12．已知双曲线C ：2x 2－y 2＝2与点P (1,2)．(1)求过点P (1,2)的直线l 的斜率k 的取值范围，使l 与C 只有一个交点；(2)是否存在过点P 的弦AB ，使AB 的中点为P?解：(1)设直线l 的方程为y －2＝k (x －1)，代入双曲线C 的方程，整理得(2－k 2)x 2＋2(k 2－2k )x －k 2＋4k －6＝0(*)①当2－k 2＝0，即k ＝±2时，直线与双曲线的渐近线平行，此时只有一个交点．②当2－k 2≠0时，令Δ＝0，得k ＝32.此时只有一个公共点． 又点(1,2)与双曲线的右顶点(1,0)在直线x ＝1上，而x ＝1为双曲线的一条切线． ∴当k 不存在时，直线与双曲线只有一个公共点．综上所述，当k ＝±2或k ＝32或k 不存在时，l 与C 只有一个交点． (2)假设以P 为中点的弦AB 存在，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是方程(*)的两根，则由根与系数的关系，得2(k 2－2k )2(k 2－2)＝1，∴k ＝1. ∴这样的弦存在，方程为y ＝x ＋1(－1≤x ≤3)，即x －y ＋1＝0(－1≤x ≤3)．。
高中数学人教A版选修1-1优化练习2.32.3.1抛物线及其标准方程含解析
[课时作业] [A 组 基础巩固]1．经过点(2,4)的抛物线的标准方程为( ) A ．y 2＝8x B ．x 2＝y C ．y 2＝8x 或x 2＝yD ．无法确定解析：由题设知抛物线开口向右或开口向上，设其方程为y 2＝2px (p >0)或x 2＝2py (p >0)，将点(2,4)代入可得p ＝4或p ＝12，所以所求抛物线标准方程为y 2＝8x 或x 2＝y ，故选C.答案：C2．已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝54x 0，则x 0＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：由题意知抛物线的准线为x ＝－14.因为|AF |＝54x 0，根据抛物线的定义可得x 0＋14＝|AF |＝54x 0，解得x 0＝1，故选A. 答案：A3．若动点M (x ，y )到点F (4,0)的距离等于它到直线x ＋4＝0的距离，则M 点的轨迹方程是( ) A ．x ＋4＝0 B ．x －4＝0 C ．y 2＝8xD ．y 2＝16x解析：根据抛物线定义可知，M 点的轨迹是以F 为焦点，以直线x ＝－4为准线的抛物线，p ＝8，∴其轨迹方程为y 2＝16x ，故选D. 答案：D4．已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为( ) A ．x 2＝833yB ．x 2＝1633yC ．x 2＝8yD ．x 2＝16y解析：抛物线的焦点⎝⎛⎭⎫0，p 2，双曲线的渐近线为y ＝±b a x ，不妨取y ＝bax ，即bx －ay ＝0，焦点到渐近线的距离为|a ×p 2|a 2＋b 2＝2，即ap ＝4a 2＋b 2＝4c ，所以c a ＝p 4，双曲线的离心率为c a ＝2，所以c a ＝p4＝2，所以p ＝8，所以抛物线方程为x 2＝16y .故选D.答案：D5．(2015·高考浙江卷)如图，设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是( ) A.|BF |－1|AF |－1 B.|BF |2－1|AF |2－1 C.|BF |＋1|AF |＋1D.|BF |2＋1|AF |2＋1解析：由图形可知，△BCF 与△ACF 有公共的顶点F ，且A ，B ，C三点共线，易知△BCF 与△ACF 的面积之比就等于|BC ||AC |.由抛物线方程知焦点F (1,0)，作准线l ，则l 的方程为x ＝－1.∵点A ，B 在抛物线上，过A ，B 分别作AK ，BH 与准线垂直，垂足分别为点K ，H ，且与y 轴分别交于点N ，M .由抛物线定义，得|BM |＝|BF |－1，|AN |＝|AF |－1.在△CAN 中，BM ∥AN ，∴|BC ||AC |＝|BM ||AN |＝|BF |－1|AF |－1.答案：A6．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆x 2＋y 2－6x －7＝0相切，则p 的值为________． 解析：依题意得，直线x ＝－p 2与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，因此圆心(3,0)到直线x ＝－p2的距离等于半径4，于是有3＋p2＝4，即p ＝2.答案：27．设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，定点A (0,2)．若线段F A 的中点B 在抛物线上，则B 到该抛物线准线的距离为________． 解析：抛物线的焦点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0， 线段F A 的中点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫p 4，1， 代入抛物线方程得 1＝2p ×p 4，解得p ＝2，故点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫24，1，故点B 到该抛物线准线的距离为24＋22＝324.答案：3248．对于抛物线y 2＝4x 上任意一点Q ，点P (a,0)都满足|PQ |≥|a |，则a 的取值范围是________． 解析：设Q (x 0，±2x 0)(x 0≥0)，则|PQ |＝(x 0－a )2＋4x 0≥|a |对∀x 0≥0恒成立， 即(x 0－a )2＋4x 0≥a 2对∀x ≥0恒成立． 化简得x 20＋(4－2a )x 0≥0.当4－2a ≥0时，对∀x 0≥0，x 20＋(4－2a )x 0≥0恒成立，此时a ≤2； 当4－2a ＜0时，0＜x 0＜2a －4时不合题意． 答案：(－∞，2]9．已知圆A ：(x ＋2)2＋y 2＝1与定直线l ：x ＝1，且动圆P 和圆A 外切并与直线l 相切，求动圆的圆心P 的轨迹方程．解析：如图，作PK 垂直于直线x ＝1，垂足为K ，PQ 垂直于直线x ＝2，垂足为Q ，则|KQ |＝1，所以|PQ |＝r ＋1， 又|AP |＝r ＋1. 所以|AP |＝|PQ |.故点P 到圆心A (－2,0)的距离和到定直线x ＝2的距离相等． 所以点P 的轨迹为抛物线，A (－2,0)为焦点． 直线x ＝2为准线． ∴p2＝2.∴p ＝4. ∴点P 的轨迹方程为y 2＝－8x .10.如图所示，花坛水池中央有一喷泉，水管O ′P ＝1 m ，水从喷头P 喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下，若最高点距水面2 m ，P 距抛物线的对称轴1 m ，则水池的直径至少应设计为多少米？(精确到整数位)解析：如图所示，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，依题意有P (－1，－1)，在此抛物线上，代入得p ＝12，故得抛物线方程为x 2＝－y . 又因为B 点在抛物线上， 将B (x ，－2)代入抛物线方程 得x ＝2，即|AB |＝2，则水池半径应为|AB |＋1＝2＋1，因此所求水池的直径为2(1＋2)，约为5 m ， 即水池的直径至少应设计为5 m.[B 组 能力提升]1．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 3(x 3，y 3)在抛物线上，且2x 2＝x 1＋x 3，则有( ) A ．|FP 1|＋|FP 2|＝|FP 3| B ．|FP 1|2＋|FP 2|2＝|FP 3|2 C ．2|FP 2|＝|FP 1|＋|FP 3| D ．|FP 2|2＝|FP 1|·|FP 3|解析：|FP 1|＝x 1＋p 2，|FP 2|＝x 2＋p 2，|FP 3|＝x 3＋p 2，∵2x 2＝x 1＋x 3， ∴2|FP 2|＝|FP 1|＋|FP 3|. 答案：C2．已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点M (2，y 0)．若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则|OM |等于( )A ．2 2B ．2 3C ．4D ．2 5 解析：设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)， 则焦点坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0，准线方程为x ＝－p 2， ∵M 在抛物线上，∴M 到焦点的距离等于到准线的距离，即2＋p2＝3，p ＝2，抛物线方程为y 2＝4x ，∵M (2，y 0)在抛物线上，∴y 20＝8，∴|OM |＝22＋y 20＝22＋8＝2 3.答案：B3．已知抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M (1，m )(m >0)到其焦点的距离为5，双曲线x 2a－y 2＝1的左顶点为A .若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则实数a 等于________． 解析：由抛物线定义知1＋p2＝5，∴p ＝8，∴抛物线方程为y 2＝16x ，所以m 2＝16， ∴m ＝4，即M (1,4)，又因为A (－a ，0)，双曲线渐近线方程为y ＝±1a x ，由题意知41＋a ＝1a，∴a ＝19.答案：194．如图，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a ，b (a ＜b )，原点O 为AD 的中点，抛物线y 2＝2px (p ＞0)经过C ，F 两点，则ba ＝________.解析：∵正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a ，b ，O 为AD 的中点，∴C ⎝⎛⎭⎫a 2，－a ，F ⎝⎛⎭⎫a2＋b ，b . 又∵点C ，F 在抛物线y 2＝2px (p ＞0)上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝pa ，b 2＝2p ⎝⎛⎭⎫a 2＋b ，解得b a ＝2＋1. 答案：2＋15．已知抛物线y 2＝－x 与直线y ＝k (x ＋1)相交于A ，B 两点． (1)求证：OA ⊥OB ；(2)当△OAB 的面积等于10时，求k 的值．解析：(1)证明：设A (－y 21，y 1)，B (－y 22，y 2)． 则y 1＝k (－y 21＋1)，y 2＝k (－y 22＋1)， 消去k 得y 1(1－y 22)＝y 2(1－y 21)．∴(y 2－y 1)＝y 1y 2(y 1－y 2)， 又y 1≠y 2，∴y 1y 2＝－1，∴OA →·OB →＝y 1y 2＋y 21y 22＝y 1y 2(1＋y 1y 2)＝0， ∴OA ⊥OB .(2)S △OAB ＝12×1×|y 2－y 1|，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝－x ，y ＝k (x ＋1)，得ky 2＋y －k ＝0， ∴S △OAB ＝12×1×|y 2－y 1|＝121k 2＋4＝10， ∴k ＝±16.6．已知抛物线y 2＝2px (p >0)．试问：(1)在抛物线上是否存在点P ，使得点P 到焦点F 的距离与点P 到y 轴的距离相等？ (2)在抛物线上是否存在点P ，使得点P 到x 轴的距离与点P 到准线的距离相等？解析：(1)假设在抛物线上存在点P ，使得点P 到焦点F 的距离与点P 到y 轴的距离相等．那么根据抛物线定义，得点P到准线的距离与点P到y轴的距离相等，这显然是不可能的．所以在抛物线上不存在点P，使得点P到焦点F的距离与点P到y轴的距离相等．(2)假设在抛物线上存在点P，使得点P到x轴的距离与点P到准线的距离相等，则由抛物线定义，得点P到x轴的距离与点P到焦点的距离相等．这样的点是存在的，有两个，即当PF与x轴垂直时，满足条件.。
高中数学人教A版选修2-1课时作业：2.3.1 双曲线及其标准方程
课时作业10 双曲线及其标准方程 |基础巩固|(25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．已知F 1(－8,3)，F 2(2,3)，动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝10，则P 点的轨迹是( )A ．双曲线B ．双曲线的一支C ．直线D ．一条射线解析：F 1，F 2是定点，且|F 1F 2|＝10，所以满足条件|PF 1|－|PF 2|＝10的点P 的轨迹应为一条射线．答案：D 2．已知双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫62，0 D ．(3，0) 解析：将双曲线方程化为标准方程，即x 21－y 212＝1，∴a 2＝1，b 2＝12，∴c ＝a 2＋b 2＝62，∴右焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫62，0.答案：C3．焦点分别为(－2,0)，(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为( )A ．x 2－y 23＝1 B.x23－y 2＝1C ．y 2－x 23＝1 D.x 22－y 22＝1 解析：由双曲线定义知，2a ＝(2＋2)2＋32－(2－2)2＋32＝5－3＝2， ∴a ＝1.又c ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝4－1＝3，因此所求双曲线的标准方程为x 2－y23＝1.答案：A4．下面各选项中的双曲线，与x212－y224＝1共焦点的双曲线是()A.x212＋y214＝1 B.y224－x212＝1C.x210－y226＝1 D.x210＋y226＝1解析：方法一因为所求曲线为双曲线，所以可排除选项A，D；又双曲线x212－y224＝1的焦点在x轴上，所以排除选项B，综上可知，选C.方法二与x212－y224＝1共焦点的双曲线系方程为x212＋λ－y224－λ＝1，对比四个选项中的曲线方程，发现只有选项C中的方程符合条件(此时λ＝－2)．答案：C5．已知定点A，B且|AB|＝4，动点P满足|P A|－|PB|＝3，则|P A|的最小值为()A.12 B.32C.72D．5解析：如图所示，点P是以A，B为焦点的双曲线的右支上的点，当P在M处时，|P A|最小，最小值为a＋c＝32＋2＝72.答案：C二、填空题(每小题5分，共15分)6．设m是常数，若点F(0,5)是双曲线y2m－x29＝1的一个焦点，则m＝________.解析：由点F(0,5)可知该双曲线y2m－x29＝1的焦点落在y轴上，所以m>0，且m＋9＝52，解得m＝16.答案：167．已知P是双曲线x264－y236＝1上一点，F1，F2是双曲线的左、右焦点，且|PF1|＝17，求|PF2|＝________.解析：由双曲线方程x264－y236＝1可得a＝8，b＝6，c＝10，由双曲线的图象可得点P到右焦点F2的距离d≥c－a＝2.因为||PF1|－|PF2||＝16，|PF1|＝17，所以|PF2|＝1(舍去)或|PF2|＝33.答案：338．已知双曲线E：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)．若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|＝3|BC|，则E的标准方程是________．解析：如图，由题意不妨设|AB|＝3，则|BC|＝2.设AB，CD的中点分别为M，N，在Rt△BMN中，|MN|＝2c＝2，故|BN|＝|BM|2＋|MN|2＝⎝⎛⎭⎪⎫322＋22＝52.由双曲线的定义可得2a＝|BN|－|BM|＝52－32＝1，即a2＝14.而2c＝|MN|＝2，从而c＝1，b2＝34. 所以双曲线E的标准方程是x214－y234＝1.答案：x214－y234＝1三、解答题(每小题10分，共20分)9．已知x21－k－y2|k|－3＝－1，当k为何值时，(1)方程表示双曲线？|能力提升|(20分钟，40分)11．已知点M (－3,0)，N (3,0)，B (1,0)，动圆C 与直线MN 切于点B ，过M ，N 与圆C 相切的两直线相交于点P ，则点P 的轨迹方程是( )A ．x 2－y 28＝1(x >1)B ．x 2－y28＝1(x <－1)C ．x 2＋y 28＝1(x >0)D ．x 2－y 210＝1(x >1)解析：如图，设过M ，N 的直线与圆C 相切于R ，S ，则|PR |＝|PS |，|MR |＝|MB |，|SN |＝|NB |， 所以|PM |＝|PR |＋|RM | ＝|PR |＋|MB |， |PN |＝|PS |＋|SN | ＝|PS |＋|NB |，所以|PM |－|PN |＝|MB |－|NB | ＝2<|MN |，所以由双曲线定义知，P 点的轨迹是以M (－3,0)，N (3,0)为焦点的双曲线的右支，因为2a ＝2，所以a ＝1，c ＝3， 所以b 2＝c 2－a 2＝8，所以点P 的轨迹方程为x 2－y28＝1(x >1)． 故选A. 答案：A12．已知双曲线的两个焦点F 1(－5，0)，F 2(5，0)，P 是双曲线上一点，且PF 1→·PF 2→＝0，|PF 1|·|PF 2|＝2，则双曲线的标准方程为______________．解析：由题意可设双曲线方程为由Ruize收集整理。
高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3 双曲线 2.3.1 双曲线及其标准方程讲义 新人教A版选修
2．3.1 双曲线及其标准方程1．双曲线 (1)定义□01平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|且大于零)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． (2)双曲线的集合描述设点M 是双曲线上任意一点，点F 1，F 2是双曲线的焦点，则由双曲线的定义可知，双曲线就是集合□02P ＝{M |||MF 1|－|MF 2||＝2a,0<2a <|F 1F 2|}． 2．双曲线的标准方程1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到两定点的距离的差等于非零常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线．( )(2)在双曲线标准方程x 2a 2－y 2b2＝1中，a >0，b >0且a ≠b .( )(3)双曲线的标准方程可以统一为Ax 2＋By 2＝1(其中AB <0)．( ) 答案 (1)× (2)× (3)√2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)若双曲线x 24－y 216＝1上一点M 到左焦点的距离为8，则点M 到右焦点的距离为________．(2)双曲线x 2－4y 2＝1的焦距为________．(3)(教材改编P 55T 1)已知双曲线a ＝5，c ＝7，则该双曲线的标准方程为________． (4)下列方程表示焦点在y 轴上的双曲线的有________(把序号填在横线上)．①x 2－y 22＝1；②x 2a ＋y 22＝1(a <0)；③y 2－3x 2＝1；④x 2cos α＋y 2sin α＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫π2<α<π.答案 (1)4或12 (2) 5 (3)x 225－y 224＝1或y 225－x 224＝1(4)②③④解析 (3)∵a ＝5，c ＝7，∴b ＝c 2－a 2＝24＝2 6. 当焦点在x 轴上时，双曲线方程为x 225－y 224＝1； 当焦点在y 轴上时，双曲线方程为y 225－x 224＝1.探究1 双曲线标准方程的认识例1 若θ是第三象限角，则方程x 2＋y 2sin θ＝cos θ表示的曲线是( ) A ．焦点在y 轴上的双曲线 B ．焦点在x 轴上的双曲线 C ．焦点在y 轴上的椭圆 D ．焦点在x 轴上的椭圆[解析] 曲线方程可化为x 2cos θ＋y 2cos θsin θ＝1，θ是第三象限角，则cos θ<0，cos θsin θ>0，所以该曲线是焦点在y 轴上的双曲线．故选A.[答案] A 拓展提升双曲线方程的认识方法将双曲线的方程化为标准方程的形式，假如双曲线的方程为x 2m ＋y 2n＝1，则当mn <0时，方程表示双曲线．若⎩⎪⎨⎪⎧m >0，n <0，则方程表示焦点在x 轴上的双曲线；若⎩⎪⎨⎪⎧m <0，n >0，则方程表示焦点在y 轴上的双曲线．【跟踪训练1】 若k >1，则关于x ，y 的方程(1－k )x 2＋y 2＝k 2－1所表示的曲线是( ) A ．焦点在x 轴上的椭圆 B ．焦点在y 轴上的椭圆 C ．焦点在y 轴上的双曲线 D ．焦点在x 轴上的双曲线 答案 C 解析 原方程化为y 2k 2－1－x 2k ＋1＝1，∵k >1，∴k 2－1>0，k ＋1>0.∴方程所表示的曲线为焦点在y 轴上的双曲线．探究2 双曲线的标准方程例2 求满足下列条件的双曲线的标准方程．(1)焦点在坐标轴上，且过M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，352，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫473，4两点；(2)两焦点F 1(－5,0)，F 2(5,0)，且过P ⎝⎛⎭⎪⎫352，2. [解] (1)当双曲线的焦点在x 轴上时，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．∵M ，N 在双曲线上，∴⎩⎪⎨⎪⎧(－2)2a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫3522b 2＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫4732a 2－42b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＝－116，1b 2＝－19(不符合题意，舍去)．当双曲线的焦点在y 轴上时，设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)． ∵M ，N 在双曲线上，∴⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫3522a 2－4b 2＝1，42a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫4732b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＝19，1b 2＝116，即a 2＝9，b 2＝16.∴所求双曲线方程为y 29－x 216＝1.(2)由已知可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，代入点P ⎝⎛⎭⎪⎫352，2可得454a 2－4b 2＝1，①又a 2＋b 2＝25，②由①②联立可得a 2＝9，b 2＝16， ∴双曲线方程为x 29－y 216＝1. [解法探究] 例2(1)有没有其他解法呢？ 解 ∵双曲线的焦点位置不确定，∴设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)． ∵M ，N 在双曲线上，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧4m ＋454n ＝1，169×7m ＋16n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－116，n ＝19，∴所求双曲线方程为－x 216＋y 29＝1，即y 29－x 216＝1.拓展提升利用待定系数法求双曲线标准方程的步骤(1)定位置：根据条件确定双曲线的焦点在哪条坐标轴上，还是两种都有可能．(2)设方程：根据焦点位置，设方程为x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)，焦点不定时，亦可设为mx 2＋ny 2＝1(m ·n <0)．(3)寻关系：根据已知条件列出关于a ，b ，c (m ，n )的方程组． (4)得方程：解方程组，将a ，b ，c (m ，n )代入所设方程即为所求．【跟踪训练2】 根据下列条件，求双曲线的标准方程． (1)与椭圆x 227＋y 236＝1有共同的焦点，且过点(15，4)；(2)c ＝6，经过点(－5,2)，焦点在x 轴上． 解 (1)椭圆x 227＋y 236＝1的焦点坐标为F 1(0，－3)，F 2(0,3)，故可设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1.由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝9，42a2－(15)2b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝5.故双曲线的方程为y 24－x 25＝1.(2)∵焦点在x 轴上，c ＝6，∴设所求双曲线方程为x 2λ－y 26－λ＝1(其中0<λ<6)．∵双曲线经过点(－5,2)， ∴25λ－46－λ＝1，∴λ＝5或λ＝30(舍去)．∴所求双曲线方程是x 25－y 2＝1.探究3 双曲线定义的应用例3 如图，若F 1，F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点．(1)若双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，求点M 到另一个焦点的距离； (2)若P 是双曲线左支上的点，且|PF 1|·|PF 2|＝32，试求△F 1PF 2的面积． [解] 双曲线的标准方程为x 29－y 216＝1，故a ＝3，b ＝4，c ＝a 2＋b 2＝5.(1)由双曲线的定义得||MF 1|－|MF 2||＝2a ＝6，又双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，假设点M 到另一个焦点的距离等于x ，则|16－x |＝6，解得x ＝10或x ＝22.由于c －a ＝5－3＝2,10>2,22>2，故点M 到另一个焦点的距离为10或22. (2)将|PF 2|－|PF 1|＝2a ＝6，两边平方得 |PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝36，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝36＋2|PF 1|·|PF 2|＝36＋2×32＝100. 在△F 1PF 2中，由余弦定理得 cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝100－1002|PF 1|·|PF 2|＝0，∴∠F 1PF 2＝90°，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×32＝16.拓展提升双曲线定义的两种应用(1)求双曲线上一点到某一焦点的距离时，若已知该点的横、纵坐标，则根据两点间距离公式可求结果；若已知该点到另一焦点的距离，则根据||PF 1|－|PF 2||＝2a 求解，注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去，且所求距离应该不小于c －a )．(2)双曲线中的焦点三角形双曲线上的点P 与其两个焦点F 1，F 2连接而成的三角形PF 1F 2称为焦点三角形．令|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，∠F 1PF 2＝θ，因|F 1F 2|＝2c ，所以有①定义：|r 1－r 2|＝2a .②余弦公式：4c 2＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos θ. ③面积公式：S △PF 1F 2＝12r 1r 2sin θ.一般地，在△PF 1F 2中，通过以上三个等式，所求问题就会顺利解决．【跟踪训练3】 (1)已知P 是双曲线x 264－y 236＝1上一点，F 1，F 2是双曲线的左、右焦点，且|PF 1|＝17，求|PF 2|的值．解 由双曲线方程x 264－y 236＝1可得a ＝8，b ＝6，c ＝10，由双曲线的图象可得点P 到右焦点F 2的距离d ≥c －a ＝2，因为||PF 1|－|PF 2||＝16，|PF 1|＝17，所以|PF 2|＝1(舍去)或|PF 2|＝33.(2)已知双曲线x 29－y 216＝1的左、右焦点分别是F 1，F 2，若双曲线上一点P 使得∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积．解 由x 29－y 216＝1，得a ＝3，b ＝4，c ＝5.由定义和余弦定理得|PF 1|－|PF 2|＝±6，|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos60°， 所以102＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|， 所以|PF 1|·|PF 2|＝64，则S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|sin ∠F 1PF 2＝12×64×32＝16 3.探究4 与双曲线有关的轨迹问题例4 如图，在△ABC 中，已知|AB |＝42，且三内角A ，B ，C 满足2sin A ＋sin C ＝2sin B ，建立适当的坐标系，求顶点C 的轨迹方程．并指出表示什么曲线．[解] 如图，以AB 边所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (－22，0)，B (22，0)． 由正弦定理得sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R .∵2sin A ＋sin C ＝2sin B ， ∴2a ＋c ＝2b ，即b －a ＝c2.从而有|CA |－|CB |＝12|AB |＝22<AB .∴由双曲线的定义知，点C 的轨迹为双曲线的右支且不包括顶点． ∵a ＝2，c ＝22，∴b 2＝c 2－a 2＝6. ∴顶点C 的轨迹方程为x 22－y 26＝1(x >2)．故C 点的轨迹为双曲线右支且除去点(2，0)． 拓展提升用定义法求轨迹方程的一般步骤(1)根据已知条件及曲线定义确定曲线的位置及形状(定形，定位)． (2)根据已知条件确定参数a ，b 的值(定参)． (3)写出标准方程并下结论(定论)．【跟踪训练4】 如图所示，已知定圆F 1：x 2＋y 2＋10x ＋24＝0，定圆F 2：(x －5)2＋y 2＝42，动圆M 与定圆F 1，F 2都外切，求动圆圆心M 的轨迹方程．解 圆F 1：(x ＋5)2＋y 2＝1， ∴圆心为F 1(－5,0)，半径r 1＝1. 圆F 2：(x －5)2＋y 2＝42， ∴圆心为F 2(5,0)，半径r 2＝4.设动圆M 的半径为R ，则有|MF 1|＝R ＋1， |MF 2|＝R ＋4，∴|MF 2|－|MF 1|＝3<|F 1F 2|＝10， ∴点M 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线的左支， 且a ＝32，c ＝5，∴b ＝912，∴点M 的轨迹方程为49x 2－491y 2＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫x ≤－32.1.双曲线的定义中，一定要注意的几点(1)前提条件“平面内”不能丢掉，否则就成了空间曲面，不是平面曲线了；(2)不可漏掉定义中的常数小于|F 1F 2|，否则，当2a ＝|F 1F 2|时，||PF 1|－|PF 2||＝2a 表示两条射线；当||PF 1|－|PF 2||>2a 时，不表示任何图形；(3)不能丢掉绝对值符号，若丢掉绝对值符号，其余条件不变，则点的轨迹为双曲线的一支. 2.求双曲线的标准方程时，应注意的两个问题 (1)正确判断焦点的位置；(2)设出标准方程后，再运用待定系数法求解．求双曲线的标准方程也是从“定形”“定式”和“定量”三个方面去考虑．“定形”是指对称中心在原点，以坐标轴为对称轴的情况下，焦点在哪条坐标轴上；“定式”是根据“形”设双曲线标准方程的具体形式；“定量”是指用定义法或待定系数法确定a ，b 的值.1．若方程y 24－x 2m ＋1＝1表示双曲线，则实数m 的取值X 围是( )A ．(－1,3)B ．(－1，＋∞)C ．(3，＋∞) D．(－∞，－1) 答案 B解析 依题意，应有m ＋1>0，即m >－1.2．已知双曲线x 216－y 29＝1，则双曲线的焦点坐标为( )A ．(－7，0)，(7，0)B ．(－5,0)，(5,0)C ．(0，－5)，(0,5)D ．(0，－7)，(0，7) 答案 B解析 由双曲线的标准方程可知a 2＝16，b 2＝9，则c 2＝a 2＋b 2＝16＋9＝25，故c ＝5.又焦点在x 轴上，所以焦点坐标为(－5,0)，(5,0)．3．已知双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1，点A ，B 在双曲线的右支上，线段AB 经过双曲线的右焦点F 2，|AB |＝m ，F 1为另一焦点，则△ABF 1的周长为( )A ．2a ＋2mB ．4a ＋2mC ．a ＋mD ．2a ＋4m 答案 B解析 ∵A ，B 在双曲线的右支上， ∴|BF 1|－|BF 2|＝2a ，|AF 1|－|AF 2|＝2a ， ∴|BF 1|＋|AF 1|－(|BF 2|＋|AF 2|)＝4a . ∴|BF 1|＋|AF 1|＝4a ＋m .∴△ABF 1的周长为4a ＋m ＋m ＝4a ＋2m .4．焦点在y 轴上，a ＝3，c ＝5的双曲线方程为________． 答案y 29－x 216＝1 解析 ∵b 2＝c 2－a 2＝52－32＝16，又焦点在y 轴上， ∴双曲线方程为y 29－x 216＝1.5．已知双曲线的两个焦点F 1，F 2之间的距离为26，双曲线上一点到两焦点的距离之差的绝对值为24，求双曲线的方程．解 若以线段F 1F 2所在的直线为x 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系，则word- 11 - / 11 双曲线的方程为标准形式x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．由题意得2a ＝24，2c ＝26. ∴a ＝12，c ＝13，b 2＝132－122＝25. 双曲线的方程为x 2144－y 225＝1； 若以线段F 1F 2所在直线为y 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为x 轴，建立直角坐标系． 则双曲线的方程为y 2144－x 225＝1.。
高二数学人教A版习题练习2-3-1抛物线及其标准方程Word版含答案
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十五 抛物线及其标准方程基础全面练 (20分钟 35分)1．下列抛物线中，其方程形式为y 2＝2px(p>0)的是( )【解析】选A.根据方程形式为y 2＝2px(p>0)，可得其图象关于x 轴对称，且x≥0，故可得该抛物线对称轴为x 轴，开口朝右．【补偿训练】抛物线y ＝14 x 2的准线方程是( ) A ．y ＝－1B ．y ＝－2C ．x ＝－1D ．x ＝－2【解析】选A.因为y ＝14 x 2，所以x 2＝4y ，所以抛物线的准线方程是y ＝－1.2．抛物线y ＝2x 2的焦点到准线的距离为( )A ．18B ．12C ．14D ．4【解析】选C.根据题意，抛物线的方程为y ＝2x 2，其标准方程为x 2＝12 y ，其中p ＝14 ， 则抛物线的焦点到准线的距离p ＝14 .3．O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝4 2 x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF|＝4 2 ，则△POF 的面积为( )A ．2B ．2 2C ．2 3D ．4【解题指南】由|PF|＝4 2 及抛物线的定义求出点P 的坐标，进而求出面积．【解析】选C.抛物线C 的准线方程为x ＝－ 2 ，焦点F( 2 ，0)，由|PF|＝4 2 及抛物线的定义知，P 点的横坐标x P ＝3 2 ，从而y P ＝±2 6 ，所以S △POF ＝12 |OF|·|y P |＝12 × 2 ×2 6 ＝2 3 .4．已知抛物线的方程为x ＝136 y 2，则该抛物线的准线方程是________．【解析】x ＝136 y 2，焦点在x 轴上，且p 2 ＝9，所以抛物线的准线方程是x＝－9.答案：x＝－95．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上的一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为－ 3 ，那么|PF|＝________．【解析】如图，∠AFE＝60°，因为点F(2，0)，所以点E(－2，0)，则|AE||EF|＝tan 60°，即|AE|＝4 3 ，所以点P的坐标为(6，4 3 )，故|PF|＝|PA|＝6＋2＝8.答案：86．分别求满足下列条件的抛物线的标准方程．(1)准线方程为2y＋4＝0；(2)过点(3，－4)；(3)焦点在直线x＋3y＋15＝0上．【解析】(1)准线方程为2y＋4＝0，即y＝－2，故抛物线焦点在y轴的正半轴上，设其方程为x2＝2py(p>0)，又p2＝2，所以2p＝8，故抛物线方程为x2＝8y.(2)因为点(3，－4)在第四象限，所以设抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0)或x2＝－2p1y(p1＞0). 把点(3，－4)的坐标分别代入y2＝2px和x2＝－2p1y，得(－4)2＝2p·3，32＝－2p1·(－4)，即2p＝163，2p1＝9 4.所以所求抛物线的标准方程为y2＝163x或x2＝－94y.(3)令x＝0得y＝－5；令y＝0得x＝－15.所以抛物线的焦点为(0，－5)或(－15，0).所以所求抛物线的标准方程为x2＝－20y或y2＝－60x.综合突破练(30分钟60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2021·柳州高二检测)已知点A⎝⎛⎭⎫2，a为抛物线y2＝4x图象上一点，点F为抛物线的焦点，则||AF等于()A．3 B．2 2 C．2 D． 2【解析】选A.由抛物线方程知F⎝⎛⎭⎫1，0，所以||AF＝2＋1＝3.2．若点P到定点F(4，0)的距离比它到直线x＋5＝0的距离小1，则点P的轨迹方程是()A．y2＝－16xB．y2＝－32xC．y2＝16xD．y2＝16x或y＝0(x＜0)【解析】选C.因为点F(4，0)在直线x＋5＝0的右侧，且P点到点F(4，0)的距离比它到直线x＋5＝0的距离小1，所以点P到F(4，0)的距离与它到直线x＋4＝0的距离相等．故点P的轨迹为抛物线，且顶点在原点，开口向右，p＝8，故P点的轨迹方程为y2＝16x.3．已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点A(0，2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为()A．172B．3 C． 5 D．92【解析】选A.由抛物线的定义知，抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离，如图，所以点P 到准线x ＝－12 的距离d ＝|PF|，易知点A(0，2)在抛物线y 2＝2x 的外部，连接AF ，当A ，P ，F 三点共线时取最小值，又|PA|＋d ＝|PA|＋|PF|≥|AF|＝⎝⎛⎭⎪⎫0－122＋（2－0）2 ＝172 ，故最小值为172 .4．过点A(1，0)且与y 轴相切的圆的圆心的轨迹为( )A ．直线B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线【解析】选D.设P 为满足条件的点，则点P 到点A 的距离等于点P 到y 轴的距离，即点P 在以点A 为焦点，y 轴为准线的抛物线上，所以点P 的轨迹为抛物线．5．抛物线x 2＝2py(p>0)的焦点F ，其准线与双曲线x 23 －y 23 ＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝( )A ．3B ．4C ．6D ．8【解析】选C.如图，在正三角形ABF 中，DF ＝p ，BD ＝33 p ，所以B 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫33p ，－p 2 ， 又点B 在双曲线上，故13p 23 －p 243 ＝1，解得p ＝6.二、填空题(每小题5分，共15分)6．已知F 是抛物线y 2＝8x 的焦点，M 是抛物线上的点且||MF ＝3，N ⎝⎛⎭⎫－2，0 ，则直线MN 的斜率为________．【解析】设M(x ，y)，抛物线y 2＝8x 的准线方程为x ＝－2，由||MF ＝3，则x ＋2＝3，得x ＝1，y ＝±2 2 ，故MN 的斜率为±221－（－2） ＝±223 .答案：±2237．以椭圆x 216 ＋y 29 ＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为________．【解析】因为椭圆的方程为x 216 ＋y 29 ＝1，所以右顶点为(4，0).设抛物线的标准方程为y 2＝2px(p>0)，则p 2 ＝4，即p ＝8，所以抛物线的标准方程为y 2＝16x.答案：y2＝16x8．已知P为抛物线y2＝4x上的任意一点，记点P到y轴的距离为d，对于定点A(4，5)，|PA|＋d的最小值为________．【解析】抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线l：x＝－1.由题意得d＝|PF|－1，所以|PA|＋d≥|AF|－1＝（4－1）2＋52－1＝34 －1，当且仅当A，P，F三点共线时，|PA|＋d取得最小值34 －1.答案：34 －1三、解答题(每小题10分，共20分)9．已知抛物线y2＝2px经过点M(4，－4 2 )，双曲线x2a2－y2b2＝1的右焦点恰为抛物线的焦点，且双曲线的离心率为2，求抛物线与双曲线的方程．【解析】由抛物线y2＝2px经过点M(4，－4 2 )得，8p＝32，解得p ＝4，所以抛物线焦点为(2，0)，又因为双曲线x2a2－y2b2＝1的右焦点恰为抛物线的焦点，故c＝2，又由双曲线的离心率为2，可得a＝1，b＝c 2－a 2 ＝ 3 ，所以抛物线方程为：y 2＝8x ，双曲线方程为：x 2－y 23 ＝1.10．若位于y 轴右侧的动点M 到F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0 的距离比它到y 轴的距离大12 .求点M 的轨迹方程．【解题指南】把|MF|比M 到y 轴的距离大12 ，转化为|MF|与点M 到x ＝－12 的距离相等，从而利用抛物线定义求解．【解析】由于位于y 轴右侧的动点M 到F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0 的距离比它到y 轴的距离大12 ，所以动点M 到F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0 的距离与它到直线l ：x ＝－12 的距离相等．由抛物线的定义知动点M 的轨迹是以F 为焦点，l 为准线的抛物线，其方程应为y 2＝2px(p>0)的形式，而p 2 ＝12 ，所以p ＝1，2p ＝2，故点M 的轨迹方程为y 2＝2x(x≠0).创新迁移练1．已知曲线C 的方程为F(x ，y)＝0，集合T ＝{(x ，y)|F(x ，y)＝0}，若对于任意的(x 1，y 1)∈T ，都存在(x 2，y 2)∈T ，使得x 1x 2＋y 1y 2＝0成立，则称曲线C 为Σ曲线．下列方程所表示的曲线中，是Σ曲线的有________．(写出所有Σ曲线的序号)①x2＝1；②x2－y2＝1；③y2＝2x；2＋y2④|y|＝||x＋1.＝1的图象既关于x轴对称，也关于y轴对称，且【解析】①x22＋y2图象是封闭图形，所以对于任意的点P⎝⎛⎭⎫x2，y2x1，y1，存在着点Q⎝⎛⎭⎫使得OP⊥OQ，所以①满足；②x2－y2＝1的图象是双曲线，且双曲线的渐近线斜率为±1，所以渐近线将平面分为四个夹角为90°的区域，当P，Q在双曲线同一支上，此时∠POQ<90°，当P，Q不在双曲线同一支上，此时∠POQ>90°，所以∠POQ≠90°，OP⊥OQ不满足，故②不满足；③y2＝2x的图象是焦点在x轴上的抛物线，且关于x轴对称，连接OP，再过O点作OP的垂线，则垂线一定与抛物线交于Q点，所以∠POQ＝90°，所以OP⊥OQ，所以③满足；④取P⎝⎛⎭⎫0，1，若OP⊥OQ，则有y2＝0，显然不成立，所以此时OP⊥OQ 不成立，所以④不满足．答案：①③2．某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔，已知上部呈抛物线形，跨度为20 m，拱顶距水面6 m，桥墩高出水面4 m．现有一货船欲过此孔，该货船水下宽度不超过18 m，目前吃水线上部分中央船体高5 m，宽16 m，且该货船在现在状况下还可多装1 000 t货物，但每多装150 t货物，船体吃水线就要上升0.04 m，若不考虑水下深度，问：该货船在现在状况下能否直接或设法通过该桥孔？为什么？【解析】如图所示，以拱顶为原点，过拱顶的水平直线为x轴，竖直直线为y轴，建立平面直角坐标系．因为拱顶距水面6 m，桥墩高出水面4 m，所以A(10，－2).设桥孔上部抛物线方程是x2＝－2py(p>0)，则102＝－2p(－2)，所以p＝25，所以抛物线方程为x2＝－50y，即y＝－150x2.若货船沿正中央航行，船宽16 m，而当x＝8时，y＝－150×82＝－1.28 m，即船体在x＝±8之间通过，B(8，－1.28)，此时B点距水面6＋(－1.28)＝4.72(m)，而船体高为5 m，所以无法通行，又因为5－4.72＝0.28(m)，0.28÷0.04＝7，150×7＝1050(t)，即若船通过增加货物通过桥孔，则要增加1 050 t，而船最多还能装1 000 t货物，所以货船在现有状况下不能通过桥孔．关闭Word文档返回原板块。
数学人教A版选修2-1优化练习第二章 2.3 2.3.1 双曲线及其标准的方程 Word版含解析
[课时作业]
[组基础巩固]
．与椭圆＋＝共焦点且过点()的双曲线方程是( )
－＝－＝
－＝．－＝
解析：椭圆的焦点(－，)，(，)．与椭圆＋＝共焦点的只有、两项，
又因为点在－＝上．
故应选.
答案：
．已知双曲线中心在坐标原点且一个焦点为(－，)，点位于该双曲线上，线段的中点坐标为()，则该双曲线的方程是( )
－＝．－＝
－＝－＝
解析：由题意可设双曲线方程为
－＝，
又由中点坐标公式可得(，)，
∴－＝，解得＝.
答案：
．若双曲线：－
＝的左、右焦点分别为，，点在双曲线上，且＝，则等于( )
．．
．．
解析：由题意知＝，＝，＝，由双曲线定义知，＝－＝＝，∴＝
答案：
．已知、为双曲线：－＝的左、右焦点，点在上，＝，则∠等于( ) ．
解析：双曲线的方程为－＝，
所以＝＝，＝，
因为＝，
所以点在双曲线的右支上，
则有－＝＝，
所以解得＝，＝，
所以根据余弦定理得
∠＝＝.
答案：
．已知、为双曲线：－＝的左、右焦点，点在上，∠＝°，则到轴的距离为( )
解析：∵－＝，
∴－＋＝，
∴＋＝＋，
由余弦定理知
＋－＝°，
又∵＝，＝，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴＋－＝，
∴＝，
设到轴的距离为，
△＝°
＝，
∴××＝×，
∴＝＝.
故选.
答案：
．双曲线－＝的一个焦点为()，则实数的值为．
解析：方程化为标准形式是－＝，
所以－－＝，
即＝－.
答案：－。
高中数学 2.3.1 双曲线及其标准方程优化训练 新人教A版选修2-1
2.3.1 双曲线及其标准方程 优化训练1．双曲线的两焦点坐标是F 1(3,0)，F 2(－3,0)，2b ＝4，则双曲线的标准方程是( ) A.x 25－y 24＝1 B.y 25－x 24＝1 C.x 23－y 22＝1 D.x 29－y 216＝1 答案：A2．方程x ＝3y 2－1所表示的曲线是( ) A ．双曲线 B ．椭圆 C ．双曲线的一部分 D ．椭圆的一部分解析：选C.依题意：x ≥0，方程可化为：3y 2－x 2＝1，所以方程表示双曲线的一部分．故选C.3．已知双曲线的焦点在x 轴上，且a ＋c ＝9，b ＝3，则它的标准方程是________．答案：x 216－y 29＝14．根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，154，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－163，5且焦点在坐标轴上；(2)c ＝6，经过点(－5,2)，焦点在x 轴上．解：(1)设双曲线方程为x 2m ＋y 2n＝1(mn <0)．∵P ，Q 两点在双曲线上，∴⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋22516n ＝1，2569m ＋25n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－16，n ＝9，∴所求双曲线的方程为y 29－x 216＝1. (2)∵焦点在x 轴上，c ＝6，∴设所求双曲线的方程为x 2λ－y 26－λ＝1(0<λ<6)．∵双曲线过点(－5,2)， ∴25λ－46－λ＝1， 解得λ＝5或λ＝30(舍去)， ∴所求双曲线的方程为x 25－y 2＝1.一、选择题1．动点P 到点M (1,0)及点N (3,0)的距离之差为2，则点P 的轨迹是( ) A ．双曲线 B ．双曲线的一支 C ．两条射线 D ．一条射线解析：选D.由已知|PM |－|PN |＝2＝|MN |，所以点P 的轨迹是一条以N 为端点的射线． 2．设动点P 到A (－5,0)的距离与它到B (5,0)距离的差等于6，则P 点的轨迹方程是( ) A.x 29－y 216＝1 B.y 29－x 216＝1C.x 29－y 216＝1(x ≤－3)D.x 29－y 216＝1(x ≥3) 解析：选D.由题意c ＝5，a ＝3，∴b ＝4.∴点P 的轨迹方程是x 29－y 216＝1(x ≥3)．3．(2010年高考安徽卷)双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( )A ．(22，0)B ．(52，0)C ．(62，0) D ．(3，0)解析：选C.将双曲线方程化为标准形式x 2－y 212＝1，所以a 2＝1，b 2＝12，∴c ＝a 2＋b 2＝62，∴右焦点坐标为(62，0)．故选C. 4．椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22＝1有相同的焦点，则a 的值是( )A.12 B ．1或－2 C ．1或12D ．1解析：选D.依题意：⎩⎪⎨⎪⎧a >0，0<a 2<4，4－a 2＝a ＋2.解得a ＝1.故选D.5．k >9是方程x 29－k ＋y 2k －4＝1表示双曲线的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分又不必要条件解析：选B.当k >9时，9－k <0，k －4>0，方程表示双曲线．当k <4时，9－k >0，k －4<0，方程也表示双曲线．∴k >9是方程x 29－k ＋y 2k －4＝1表示双曲线的充分不必要条件．6．双曲线x 216－y 29＝1上一点P 到点(5,0)的距离为15，那么该点到点(－5,0)的距离为( )A ．7B ．23C ．5或25D ．7或23解析：选D.(－5,0)和(5,0)都是双曲线的焦点，||PF 1|－|PF 2||＝8，∴|PF 1|＝15＋8或15－8即7或23.二、填空题7．过点(1,1)且ba＝2的双曲线的标准方程为________． 答案：x 212－y 2＝1或y 212－x 2＝18．椭圆x 234＋y 2n 2＝1和双曲线x 2n 2－y 216＝1有相同的焦点，则实数n 的值是________．解析：因为双曲线x 2n 2－y216＝1的焦点在x 轴上，∴c 2＝n 2＋16，且椭圆x 234＋y 2n2＝1的焦点在x 轴上，∴c 2＝34－n 2，∴n 2＋16＝34－n 2，∴n 2＝9，∴n ＝±3.答案：±39．(2010年高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 24－y 212＝1上一点M 的横坐标是3，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为________．解析：∵x 24－y 212＝1，∴当x ＝3时，y ＝±15. 又∵F 2(4,0)，∴|AF 2|＝1，|MA |＝15， ∴|MF 2|＝1＋15＝4. 故填4. 答案：4 三、解答题10．已知方程x 22－k ＋y 2k －1＝1表示的图形是：(1)双曲线；(2)椭圆；(3)圆．试分别求出k 的取值范围．解：(1)方程表示双曲线需满足(2－k )(k －1)＜0， 解得k ＞2或k ＜1.即k 的取值范围是(－∞，1)∪(2，＋∞)．(2)方程表示椭圆需满足⎩⎪⎨⎪⎧2－k ＞0，k －1＞0，2－k ≠k －1.解得1＜k ＜2且k ≠32.即k 的取值范围是(1，32)∪(32，2)．(3)方程表示圆需有2－k ＝k －1＞0，即k ＝32.11．已知与双曲线x 216－y 29＝1共焦点的双曲线过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，－6，求该双曲线的标准方程．解：已知双曲线x 216－y 29＝1.据c 2＝a 2＋b 2，得c 2＝a 2＋b 2＝16＋9＝25，∴c ＝5.设所求双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．依题意，c ＝5，∴b 2＝c 2－a 2＝25－a 2，故双曲线方程可写为x 2a 2－y 225－a 2＝1，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，－6在双曲线上， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－522a 2－－6225－a2＝1. 化简得，4a 4－129a 2＋125＝0，解得a 2＝1或a 2＝1254.又当a 2＝1254时，b 2＝25－a 2＝25－1254＝－254<0，不合题意．∴所求双曲线标准方程是：x 2－y 224＝1.12．如图所示，在△ABC 中，已知|AB |＝42，且三内角A ，B ，C 满足2sin A ＋sin C ＝2sin B ，建立适当的坐标系，求顶点C 的轨迹方程．解：如图所示，以AB 边所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，则A (－22，0)，B (22，0)． 由正弦定理，得sin A ＝a 2R ，sin B ＝b2R，sin C ＝c2R(R 为△ABC 外接圆半径)． ∵2sin A ＋sin C ＝2sin B ， ∴2a ＋c ＝2b ， 即b －a ＝c2.从而有|CA |－|CB |＝12|AB |＝22<|AB |.由双曲线的定义知，点C 的轨迹为双曲线的右支． 且a ＝2，c ＝22，∴b 2＝c －a 2＝6.所以顶点C 的轨迹方程为x 22－y 26＝1(x >2)．。
高中数学第二章2.3双曲线2.3.1双曲线及其标准的方程优化练习新人教A版选修8
2.3.1 双曲线及其标准的方程[课时作业] [A 组 基础巩固]1．与椭圆x 24＋y 2＝1共焦点且过点Q (2,1)的双曲线方程是( )A.x 22－y 2＝1 B.x 24－y 2＝1 C.x 23－y 23＝1 D ．x 2－y 22＝1解析：椭圆的焦点F 1(－3，0)，F 2(3，0)．与椭圆x 24＋y 2＝1共焦点的只有A 、D 两项，又因为Q 点在x 22－y 2＝1上．故应选A. 答案：A2．已知双曲线中心在坐标原点且一个焦点为F 1(－5，0)，点P 位于该双曲线上，线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则该双曲线的方程是( ) A.x 24－y 2＝1 B ．x 2－y 24＝1C.x 22－y 23＝1 D.x 23－y 22＝1 解析：由题意可设双曲线方程为x 2a 2－y 25－a 2＝1， 又由中点坐标公式可得P (5，4)， ∴5a 2－165－a 2＝1，解得a 2＝1. 答案：B3．若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( ) A ．11 B ．9 C ．5D ．3解析：由题意知a ＝3，b ＝4，c ＝5，由双曲线定义知，|||PF 1|－|PF 2|＝|3－|PF 2||＝2a ＝6，∴|PF 2|＝9 答案：B4．已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2等于( )A.14 B ．35 C.34 D.45 解析：双曲线的方程为x 22－y 22＝1，所以a ＝b ＝2，c ＝2， 因为|PF 1|＝2|PF 2|， 所以点P 在双曲线的右支上， 则有|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22， 所以解得|PF 2|＝22，|PF 1|＝42， 所以根据余弦定理得 cos ∠F 1PF 2＝22＋22－162×22×42＝34. 答案：C5．已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则P 到x 轴的距离为( )A.32 B.62C. 3D. 6解析：∵||PF 1|－|PF 2||＝2， ∴|PF 1|2－2|PF 1||PF 2|＋|PF 2|2＝4， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝4＋2|PF 1||PF 2|， 由余弦定理知|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|2＝2|PF 1||PF 2|cos 60°， 又∵a ＝1，b ＝1， ∴c ＝a 2＋b 2＝2， ∴|F 1F 2|＝2c ＝22，∴4＋2|PF 1||PF 2|－8＝|PF 1||PF 2|， ∴|PF 1||PF 2|＝4， 设P 到x 轴的距离为|y 0|，S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|sin 60°＝12|F 1F 2||y 0|， ∴12×4×32＝12×22|y 0|， ∴y 0＝32＝62. 故选B. 答案：B6．双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦点为(0,3)，则实数k 的值为________． 解析：方程化为标准形式是y 2－8k－x 2－1k＝1， 所以－8k －1k＝9，即k ＝－1. 答案：－17．若方程x 25－m ＋y 2m 2－2m －3＝1表示焦点在y 轴上的双曲线，则实数m 的取值范围是________．解析：根据焦点在y 轴上的双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，得满足题意的m需满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧5－m ＜0，m 2－2m －3＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＞5，m ＞3或m ＜－1，∴m ＞5，∴m 的取值范围为(5，＋∞)． 答案：(5，＋∞)8．已知双曲线C ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为双曲线C 的右支上一点，且|PF 2|＝|F 1F 2|，则△PF 1F 2的面积等于________． 解析：由x 29－y 216＝1知c ＝5，∴|F 1F 2|＝2c ＝10， 由双曲线定义知， |PF 1|－|PF 2|＝6， ∴|PF 1|＝6＋|PF 2|＝16，cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝256＋100－1002×16×10＝45.∴sin ∠F 1PF 2＝35.∴S12PF F ＝12|PF 1||PF 2|sin ∠F 1PF 2＝12×16×10×35＝48. 答案：489．动圆M 与两定圆F 1：x 2＋y 2＋10x ＋24＝0，F 2：x 2＋y 2－10x －24＝0都外切，求动圆圆心M 的轨迹方程．解析：将圆的方程化成标准式：F 1：(x ＋5)2＋y 2＝1，圆心F 1(－5,0)，半径r 1＝1， F 2：(x －5)2＋y 2＝72，圆心F 2(5,0)，半径r 2＝7.由于动圆M 与定圆F 1，F 2都外切， 所以|MF 1|＝r ＋1，|MF 2|＝r ＋7， ∴|MF 2|－|MF 1|＝6，∴点M 的轨迹是双曲线的左支，且焦点F 1(－5,0)，F 2(5，0)， ∴c ＝5，且a ＝3，∴b 2＝c 2－a 2＝52－32＝16. ∴动圆圆心M 的轨迹方程为x 29－y 216＝1(x <0)．10．设双曲线x 24－y 29＝1，F 1，F 2是其两个焦点，点M 在双曲线上．(1)若∠F 1MF 2＝90°，求△F 1MF 2的面积； (2)若∠F 1MF 2＝60°时，△F 1MF 2的面积是多少？ 解析：(1)由双曲线方程知a ＝2，b ＝3，c ＝13. 设|MF 1|＝r 1， |MF 2|＝r 2(r 1>r 2)． 由双曲线定义， 有r 1－r 2＝2a ＝4，两边平方得r 21＋r 22－2r 1·r 2＝16， 即|F 1F 2|2－4S △F 1MF 2＝16， 也即52－16＝4S △F 1MF 2， 求得S △F 1MF 2＝9.(2)若∠F 1MF 2＝60°.在△MF 1F 2中，由余弦定理得|F 1F 2|2＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos 60°， |F 1F 2|2＝(r 1－r 2)2＋r 1r 2，解得r 1r 2＝36.求得S △F 1MF 2＝12r 1r 2sin 60°＝9 3.[B 组 能力提升]1．“mn <0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在x 轴上的双曲线”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由mn <0⇔m <0，n >0或m >0，n <0，所以mx 2＋ny 2＝1表示焦点可能在x 轴上也可能在y 轴上的双曲线； 而mx 2＋ny 2＝1表示焦点在x 轴的双曲线则有m >0，n <0， 故mn <0. 故应选B. 答案：B2．已知双曲线的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与双曲线的左支交于A ，B 两点，线段AB 的长为5，若2a ＝8，那么△ABF 2的周长是( ) A ．16 B ．18 C ．21D ．26解析：由题意结合双曲线定义得|AF 2|＝2a ＋|AF 1|，|BF 2|＝2a ＋|BF 1|. 又|AF 1|＋|BF 1|＝|AB |＝5,2a ＝8，∴△ABF 2的周长为|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝|AB |＋4a ＋|AB |＝16＋2|AB |＝26. 答案：D3．若椭圆x 2m ＋y 2n ＝1(m >n >0)和双曲线x 2a －y 2b＝1(a >0，b >0)有共同的焦点F 1，F 2，P 是椭圆和双曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|＝________. 解析：如图，由椭圆定义知，|PF 1|＋|PF 2|＝2m ， ∴(|PF 1|＋|PF 2|)2＝4m . ①由双曲线定义知， |PF 1|－|PF 2|＝2a ， ∴(|PF 1|－|PF 2|)2＝4a ， ②①－②得，|PF 1|·|PF 2|＝m －a . 答案：m －a4．已知双曲线x 216－y 24＝1的两焦点为F 1，F 2.(1)若点M 在双曲线上，且MF 1→·MF 2→＝0，求M 点到x 轴的距离；(2)若双曲线C 与已知双曲线有相同焦点，且过点(32，2)，求双曲线C 的方程． 解析：(1)不妨设M 在双曲线的右支上，M 点到x 轴的距离为h ，MF 1→·MF 2→＝0， 则MF 1⊥MF 2，设|MF 1|＝m ，|MF 2|＝n ， 由双曲线定义知，m －n ＝2a ＝8， ① 又m 2＋n 2＝(2c )2＝80，②由①②得m ·n ＝8， ∵12mn ＝4＝12|F 1F 2|·h ， ∴h ＝255.(2)设所求双曲线C 的方程为x 216－λ－y 24＋λ＝1(－4<λ<16)， 由于双曲线C 过点(32，2)， ∴1816－λ－44＋λ＝1， 解得λ＝4或λ＝－14(舍去)． ∴所求双曲线C 的方程为x 212－y 28＝1.5．在周长为48的Rt △MPN 中，∠MPN ＝90°，tan ∠PMN ＝34，求以M 、N 为焦点，且过点P的双曲线方程．解析：∵△MPN 的周长为48，且tan ∠PMN ＝34，∴设|PN |＝3k ，|PM |＝4k ， 则|MN |＝5k .由3k ＋4k ＋5k ＝48得k ＝4. ∴|PN |＝12，|PM |＝16，|MN |＝20.以MN 所在直线为x 轴，以MN 的中点为原点建立直角坐标系，如图所示． 设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)． 由|PM |－|PN |＝4得2a ＝4，a ＝2，a 2＝4.由|MN |＝20得2c ＝20，c ＝10，∴b 2＝c 2－a 2＝96. ∴所求双曲线方程为x 24－y 296＝1(x ≠±2).。
【高中数学】3.2.1 双曲线及其标准方程(分层练习)高二数学新教材配套练习(人教A版选择性必
3.2.1 双曲线及其标准方程基 础 练巩固新知 夯实基础1.若方程y 24－x 2m ＋1＝1表示双曲线，则实数m 的取值范围是( )A.－1<m <3B.m >－1C.m >3D.m <－12．已知平面内两定点A (－5,0)，B (5,0)，动点M 满足|MA |－|MB |＝6，则点M 的轨迹方程是( ) A ．x 216－y 29＝1B ．x 216－y 29＝1(x ≥4)C ．x 29－y 216＝1D ．x 29－y 216＝1(x ≥3)3．若ax 2＋by 2＝b (ab ＜0)，则这个曲线是( )A ．双曲线，焦点在x 轴上B ．双曲线，焦点在y 轴上C ．椭圆，焦点在x 轴上D ．椭圆，焦点在y 轴上 4.若k >1，则关于x ，y 的方程(1－k )x 2＋y 2＝k 2－1所表示的曲线是( ) A.焦点在x 轴上的椭圆 B.焦点在y 轴上的椭圆 C.焦点在y 轴上的双曲线D.焦点在x 轴上的双曲线5．已知双曲线的中心在原点，两个焦点F 1，F 2分别为(5，0)和(－5，0)，点P 在双曲线上，且PF 1⊥PF 2，⊥PF 1F 2的面积为1，则双曲线的方程为( ) A ．x 22－y 23＝1B ．x 23－y 22＝1C ．x 24－y 2＝1D ．x 2－y 24＝1 6．双曲线x 225－y 29＝1上的点P 到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为( )A ．22或2B ．7C ．22D ．27.双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦点坐标为(0，3)，则k 的值是________. 8.若双曲线x 216－y 2m＝1的焦距为10，则m ＝________.9．已知方程kx 2＋y 2＝4，其中k 为实数，对于不同范围的k 值，分别指出方程所表示的曲线类型．能 力 练综合应用 核心素养10．(多选题)设θ是三角形的一个内角，对于方程x 2sin θ＋y 2cos θ＝1的说法正确的是( )A ．当0＜θ＜π2时，方程表示椭圆B ．当θ＝π2时，方程不表示任何图形C ．当π2＜θ＜3π4时，方程表示焦点在x 轴上的双曲线D ．当3π4＜θ＜π时，方程表示焦点在y 轴上的双曲线11.设椭圆x 26＋y 22＝1和双曲线x 23－y 2＝1的公共焦点为F 1，F 2，P 是两曲线的一个公共点，则cos⊥F 1PF 2=( )A.14B.13C.19D.3512．(多选题)已知方程x 24－t ＋y 2t －1＝1表示的曲线为C .给出以下判断，正确的是( )A ．当1＜t ＜4时，曲线C 表示椭圆B ．当t ＞4或t ＜1时，曲线C 表示双曲线 C ．若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则1＜t ＜52D ．若曲线C 表示焦点在y 轴上的双曲线，则t ＞4 13．已知F 是双曲线C ：x 2－y 23＝1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3)，则⊥APF 的面积为( )A ．13B ．12C ．23D ．3214.已知双曲线x 225－y 29＝1的两个焦点分别为F 1，F 2，若双曲线上的点P 到点F 1的距离为12，则点P 到点F 2的距离为________.15.焦点在x 轴上的双曲线经过点P (42，－3)，且Q (0，5)与两焦点的连线互相垂直，则此双曲线的标准方程为______________.16.如图所示，已知双曲线以长方形ABCD 的顶点A ，B 为左、右焦点，且双曲线过C ，D 两顶点．若AB ＝4，BC ＝3，则此双曲线的标准方程为________．17.已知双曲线x2－y2＝1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，求|PF1|＋|PF2|的值.18.已知双曲线过点(3，－2)，且与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦点.(1)求双曲线的标准方程；(2)若点M在双曲线上，F1，F2为左、右焦点，且|MF1|＋|MF2|＝63，试判断⊥MF1F2的形状.【参考答案】1.B 解析 依题意应有m ＋1>0，即m >－1.2. D [由题意知，轨迹应为以A (－5,0)，B (5,0)为焦点的双曲线的右支．由c ＝5，a ＝3，知b 2＝16， ⊥M 点的轨迹方程为x 29－y 216＝1(x ≥3)．]3. B [因为ab ＜0，方程可化为x 2b a ＋y 2＝1，⊥ba ＜0，方程表示的曲线为焦点在y 轴上的双曲线，故选B.]4. C 解析 原方程可化为y 2k 2－1－x 21＋k＝1.⊥k >1，⊥k 2－1>0，1＋k >0.⊥已知方程表示的曲线为焦点在y 轴上的双曲线.5.C [由⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|·|PF 2|＝2，|PF 1|2＋|PF 2|2＝2r(52，)⊥(|PF 1|－|PF 2|)2＝16，即2a ＝4，解得a ＝2，又c＝5，所以b ＝1。
2021秋高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.1双曲线及其标准方程练习(含解析)新人教A版选修2_1
2.3.1 双曲线及其标准方程A 级 根底稳固一、选择题1．方程x 22sin θ＋4＋y 2sin θ－3＝1(θ∈R)所表示的曲线是( ) A ．焦点在x 轴上的椭圆B ．焦点在y 轴上的椭圆C ．焦点在x 轴上的双曲线D ．焦点在y 轴上的双曲线答案：C2．设点P 在双曲线x 29－y 216＝1上，假设F 1，F 2为双曲线的两个焦点，且|PF 1|∶|PF 2|＝1∶3，那么△F 1PF 2的周长等于( )A ．22B ．16C ．14D ．12 解析：由双曲线定义知|PF 2|－|PF 1|＝6，又|PF 1|∶|PF 2|＝1∶3，由两式得|PF 1|＝3，|PF 2|＝9，进而易得△F 1PF 2的周长为22.答案：A3．双曲线x 2m 2＋12－y 24－m 2＝1的焦距是( ) A ．16B ．4C ．8D ．22m 2－8 答案：C4．假设方程y 24－x 2m ＋1＝1表示双曲线，那么实数m 的取值范围是( ) A ．－1<m <3B ．m >－1C ．m >3D ．m <－1 解析：依题意应有m ＋1>0，即m >－1.答案：B5．假设椭圆x 2m ＋y 2n ＝1(m >n >0)和双曲线x 2a －y 2b＝1(a >0，b >0)有一样的焦点F 1，F 2，P 是两曲线的一个交点，那么|PF 1|·|PF 2|的值是( )A ．m －a B.12(m －a )C ．m 2－a 2 D.m －a解析：由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2m .①由双曲线的定义知||PF 1|－|PF 2||＝2a .②①2－②2得4|PF 1|·|PF 2|＝4(m －a )，所以|PF 1|·|PF 2|＝m －a .答案：A二、填空题6．双曲线两个焦点的坐标为F 1(0，－5)，F 2(0，5)，双曲线上一点P 到F 1，F 2的距离之差的绝对值等于6.那么双曲线的标准方程为________．解析：因为双曲线的焦点在y 轴上， 所以设它的标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)． 因为2a ＝6，2c ＝10，所以a ＝3，c ＝5.所以b 2＝52－32＝16.所以所求双曲线标准方程为y 29－x 216＝1. 答案：y 29－x 216＝1 7．P 是双曲线x 2－y 2＝16的左支上一点，F 1，F 2分别是左、右焦点，那么|PF 1|－|PF 2|＝________．解析：双曲线的标准方程为x 216－y 216＝1， 故a 2＝16，a ＝4，2a ＝8. P 在左支上，|PF 1|<|PF 2|，所以|PF 1|－|PF 2|＝－2a ＝－8.答案：－88．假设双曲线以椭圆x 216＋y 29＝1的两个顶点为焦点，且经过椭圆的两个焦点，那么双曲线的标准方程为________．解析：椭圆x 216＋y 29＝1的焦点在x 轴上，且a ＝4，b ＝3，c ＝7，所以焦点为(±7，0)，左右顶点为(±4，0)．于是双曲线经过点(±7，0)，焦点为(±4，0)，那么a ′＝7，c ′＝4，所以b ′2＝9，所以双曲线的标准方程为x 27－y 29＝1. 答案：x 27－y 29＝1三、解答题9．双曲线与椭圆x 227＋y 236＝1有一样的焦点，且与椭圆的一个交点的纵坐标为4，求双曲线的方程． 解：由题意可得，椭圆的焦点为F 1(0，－3)，F 2(0，3)，故可设双曲线方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)，且c ＝3，a 2＋b 2＝9.由条件知，双曲线与椭圆有一个交点的纵坐标为4，可得两交点的坐标为A (15，4)，B (－15，4)，由点A 在双曲线上知，16a 2－15b2＝1. 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝9，16a 2－15b2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝5. 所以所求双曲线的方程为y 24－x 25＝1. 10.如下图，定圆F 1：(x ＋5)2＋y 2＝1，定圆F 2：(x －5)2＋y 2＝42，动圆M 与定圆F 1，F 2都外切，求动圆圆心M 的轨迹方程．解：圆F 1：(x ＋5)2＋y 2＝1，圆心F 1(－5，0)，半径r 1＝1；圆F 2：(x －5)2＋y 2＝42，圆心F 2(5，0)，半径r 2＝4.设动圆M 的半径为R ，那么有|MF 1|＝R ＋1，|MF 2|＝R ＋4，所以|MF 2|－|MF 1|＝3<10＝|F 1F 2|.所以点M 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线的左支，且a ＝32，c ＝5，于是b 2＝c 2－a 2＝914. 所以动圆圆心M 的轨迹方程为x 294－y 2914＝1(x ≤－32)． B 级 能力提升1．方程(1＋k )x 2－(1－k )y 2＝1表示焦点在x 轴上的双曲线，那么k 的取值范围为( )A ．－1＜k ＜1B ．k ＞1C ．k ＜－1D ．k ＞1或k ＜－1答案：A2．双曲线x 2－y 2＝1的两个焦点分别为F 1，F 2，P 为双曲线上一点，且∠F 1PF 2＝60°，那么|PF 1|＋|PF 2|＝________．解析：由双曲线的定义知||PF 1|－|PF 2||＝2，所以|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|＝4.在△F 1PF 2中，由余弦定理得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos 60°即|PF 1|2＋|PF 2|2－|PF 1|·|PF 2|＝(22)2＝8，所以|PF 1|·|PF 2|＝4.所以(|PF 1|＋|PF 2|)2＝|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|＝(4＋2|PF 1|·|PF 2|)＋2|PF 1|·|PF 2|＝20.所以|PF 1|＋|PF 2|＝2 5.答案：2 53．双曲线的方程为x 2－y 24＝1，如图，点A 的坐标为(－5，0)，B 是圆x 2＋(y －5)2＝1上的点，点M 在双曲线的右支上，求|MA |＋|MB |的最小值．解：设点D 的坐标为(5，0)，那么点A ，D 是双曲线的焦点，由双曲线的定义，得|MA |－|MD |＝2a ＝2.所以|MA |＋|MB |＝2＋|MB |＋|MD |≥2＋|BD |，又B 是圆x 2＋(y －5)2＝1上的点，圆的圆心为C (0，5)，半径为1，故|BD |≥|CD |－1＝10－1，从而|MA |＋|MB |≥2＋|BD |≥10＋1，当点M ，B 在线段CD 上时不等式取等号，即|MA |＋|MB |的最小值为10＋1.。
11-12学年高中数学 2.1.1 曲线与方程优化训练 新人教A
2.1.1 曲线与方程 优化训练1．下列各对方程中，表示相同曲线的一对方程是( ) A ．y ＝x 与y 2＝x B ．y ＝x 与x y ＝1C ．y 2－x 2＝0与|y |＝|x | D ．y ＝lg x 2与y ＝2lg x答案：C2．如图中方程表示图中曲线的是( )A B C D 答案：C3．若P (2，－3)在曲线x 2－ay 2＝1上，则a 的值为________．答案：134．已知方程x 2＋(y －1)2＝10.(1)判断点P (1，－2)，Q (2，3)是否在此方程表示的曲线上； (2)若点M (m2，－m )在此方程表示的曲线上，求m 的值．解：(1)∵12＋(－2－1)2＝10，(2)2＋(3－1)2＝6≠10，∴点P (1，－2)在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上，点Q (2，3)不在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上．(2)∵点M (m2，－m )在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上，∴x ＝m2，y ＝－m 适合上述方程，即(m 2)2＋(－m －1)2＝10，解之得m ＝2或m ＝－185， ∴m 的值为2或－185.一、选择题1．直线x －y ＝0与曲线xy ＝1的交点是( ) A ．(1,1) B ．(－1，－1)C ．(1,1)、(－1，－1)D ．(0,0)解析：选C.由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，xy ＝1， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1.2．方程x ＋|y －1|＝0表示的曲线是( )解析：选B.∵x ＋|y －1|＝0，∴|y －1|＝－x ≥0， ∴x ≤0，∴图象在y 轴左侧．3．“以方程f (x ，y )＝0的解为坐标的点都是曲线C 上的点”是“曲线C 的方程是f (x ，y )＝0”的( ) A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件解析：选B.“曲线C 的方程是f (x ，y )＝0”⇒“以方程f (x ，y )＝0的解为坐标的点是曲线C 上的点”，但满足f (x ，y )＝0不能说明“f (x ，y )＝0”为曲线方程．4．方程(x 2－4)2＋(y 2－4)2＝0表示的图形是( ) A ．两个点 B ．四个点 C ．两条直线 D ．四条直线解析：选B.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4＝0，y 2－4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－2，故方程(x 2－4)2＋(y 2－4)2＝0表示的图形是四个点．5．已知0≤α<2π，点P (cos α，sin α)在曲线(x －2)2＋y 2＝3上，则α的值为( )A.π3B.5π3C.π3或5π3D.π3或π6解析：选C.由(cos α－2)2＋sin 2α＝3，得cos α＝12.又0≤α<2π，∴α＝π3或5π3.6．下列命题正确的是( )A ．方程xy －2＝1表示斜率为1，在y 轴上的截距是2的直线 B ．△ABC 的顶点坐标分别为A (0,3)，B (－2,0)，C (2,0)，则中线AO 的方程是x ＝0 C ．到x 轴距离为5的点的轨迹方程是y ＝5D ．曲线2x 2－3y 2－2x ＋m ＝0通过原点的充要条件是m ＝0解析：选D.对照曲线和方程的概念，A 中的方程需满足y ≠2；B 中“中线AO 的方程是x ＝0(0≤y ≤3)”；而C 中，动点的轨迹方程为|y |＝5，从而只有D 是正确的．二、填空题7．已知点A (a,2)既是曲线y ＝mx 2上的点，也是直线x －y ＝0上的一点，则m ＝________.解析：根据点A 在曲线y ＝mx 2上，也在直线x －y ＝0上，则⎩⎪⎨⎪⎧2＝ma 2a －2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2m ＝12.答案：128．若曲线y ＝x 2－x ＋2与直线y ＝x ＋m 有两个交点，则实数m 的取值范围是________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2－x ＋2，y ＝x ＋m ，得x 2－2x ＋2－m ＝0，由题意知，4－4(2－m )>0，∴m >1.答案：m >19．曲线y ＝|x |－1与x 轴围成的图形的面积是________．解析：在y ＝|x |－1中，令x ＝0得y ＝－1，令y ＝0得x ＝±1，所以曲线y ＝|x |－1与x 轴围成的图形的面积为12×2×1＝1.答案：1 三、解答题10．已知方程(x －a )2＋(y －b )2＝36的曲线经过点O (0,0)和点A (0，－12)，求a 、b 的值．解：∵点O 、A 都在方程(x －a )2＋(y －b )2＝36所表示的曲线上，∴点O 、A 的坐标都是方程(x－a )2＋(y －b )2＝36的解．∴⎩⎪⎨⎪⎧0－a 2＋0－b 2＝36，0－a 2＋－12－b 2＝36， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝－6，∴a ＝0，b ＝－6.11．已知曲线C 的方程为x ＝4－y 2，说明曲线C 是什么样的曲线，并求该曲线与y 轴围成的图形的面积．解：由x ＝4－y 2，得x 2＋y 2＝4.又x ≥0，∴方程x ＝4－y 2表示的曲线是以原点为圆心，2为半径的右半圆，从而该曲线C 与y 轴围成的图形是半圆，其面积S ＝12π·4＝2π.所以所求图形的面积为2π.12．判断方程y x＝－1的曲线是否是如图所示的直线l . 解：由图象可知直线是过原点，斜率为－1的直线．设(x 0，y 0)是方程y x ＝－1的任意一组解，则y 0x 0＝－1，即y 0＝－x 0，∴P (x 0，y 0)和原点连线的斜率是－1， 因此P 在直线l 上．反过来，直线上有一点O (0,0)的坐标不是方程y x ＝－1的解．∴直线l 不是方程yx＝－1的曲线．。
人教A版高中数学选修十二2.2.1双曲线及其标准方程精讲优练课型含答案
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课时提升作业十二双曲线及其标准方程一、选择题(每题5分,共25分)θ∈,那么关于x,y的方程-=1所表示的曲线是( )+=1,因为θ∈,所以sinθ>0,cosθ<0,且-cosθ>sinθ,故方程表示焦点在y轴上的椭圆.【补偿训练】在方程mx2-my2=n中,假设mn<0,那么方程的曲线是( )2-my2=n可化为:-=1,因为mn<0,所以->0,所以方程的曲线是焦点在y轴上的双曲线.2.(2016·枣庄高二检测)双曲线-=1上的点到一个焦点的间隔为12,那么到另一个焦点的间隔为( )2=25,所以a=5.由双曲线定义可得||PF1|-|PF2||=10,由题意知|PF1|=12,所以|PF1|-|PF2|=±10,所以|PF2|=22或2.3.设动点P到A(-5,0)的间隔与它到B(5,0)间隔的差等于6,那么P点的轨迹方程是( )A.-=1B.-=1C.-=1(x≤-3)D.-=1(x≥3)【解析】选D.由题意知,动点P的轨迹应为以A(-5,0),点B(5,0)为焦点的双曲线的右支. 由c=5,a=3,知b2=16,所以P点的轨迹方程为-=1(x≥3).【误区警示】容易无视x的取值范围而导致错选A.4.(2016·泉州高二检测)定点A,B且|AB|=4,动点P满足|PA|-|PB|=3,那么|PA|的最小值是( )A. B. C.【解析】选C.由题意知,动点P的轨迹是以定点A,B为焦点的双曲线的一支(如图),从图上不难发现,|PA|的最小值是图中AP′的长度,即a+c=.5.(2016·潍坊高二检测)双曲线-y2=1(n>1)的两焦点为F1,F2,P在双曲线上,且满足|PF1|+|PF2|=2,那么△PF1F2的面积为( )A.1,F2是双曲线的左、右焦点,P为右支上一点,|PF1|-|PF2|=2,①|PF1|+|PF2|=2,②由①②解得:|PF1|=+,|PF2|=-,得:|PF1|2+|PF2|2=4n+4=|F1F2|2,所以PF1⊥PF2,又由①②分别平方后作差得:|PF1||PF2|=2,所以=|PF1|·|PF2|=1.二、填空题(每题5分,共15分)6.(2016·唐山高二检测)P是双曲线-=1上一点,F1,F2是双曲线的两个焦点,假设|PF1|=17,那么|PF2|的值为.【解析】由条件知a2=64,即a=8,c2=b2+a2=100,c=10,所以双曲线右支上的点到左焦点F1的最短间隔 a+c=18>17,故点P在双曲线左支上.所以|PF2|-|PF1|=2a=16,即|PF2|=16+|PF1|=33.答案:33【误区警示】此题易直接利用定义求解,无视右支上的点到左焦点的最短间隔为a+c,而出现错误结论|PF2|=1或|PF2|=33.【补偿训练】在平面直角坐标系xOy中,△ABC的顶点A(-6,0)和C(6,0),假设顶点B在双曲线-=1的左支上,那么= .【解题指南】由正弦定理可将转化为边的比,而△ABC的顶点A,C,故边AC长可求,B在双曲线上,由定义可求|BC|-|BA|.【解析】由条件可知|BC|-|BA|=10,且|AC|=12,又在△ABC中,有===2R,从而==.答案:7.(2016·烟台高二检测)双曲线中心在坐标原点且一个焦点为F1(-,0),点P位于该双曲线上,线段PF1的中点坐标为(0,2),那么该双曲线的方程是.【解析】设双曲线方程为-=1,因为c=,c2=a2+b2,所以b2=5-a2,所以-1的中点坐标为(0,2),那么P点的坐标为(,4).代入双曲线方程得-=1,解得a2=1或a2=25(舍去),所以双曲线方程为x2-=1.答案:x2-=1-=1上一点M的横坐标为5,那么点M到左焦点的间隔是.【解题指南】利用双曲线的定义求解.【解析】由于双曲线-=1的右焦点为F(5,0),将x M=5代入双曲线方程可得|y M|=,即为点M到右焦点的间隔 ,由双曲线的定义知M到左焦点的间隔为+2×3=.答案:三、解答题(每题10分,共20分)+=1有一样的焦点,且与椭圆的一个交点的纵坐标为4,求双曲线的方程.【解析】椭圆的焦点为F1(0,-3),F2(0,3),故可设双曲线方程为-=1(a>0,b>0),且c=3,a2+b2=9.由条件知,双曲线与椭圆有一个交点的纵坐标为4,可得两交点的坐标为A(,4),B(-,4),由点A在双曲线上知,-=1.解方程组得所以所求双曲线的方程为-=1.10.如图,在△ABC中,|AB|=4,且三内角A,B,C满足2sinA+sinC=2sinB,建立适当的坐标系,求顶点C的轨迹方程.【解析】以AB边所在的直线为x轴,AB的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系如下列图,那么A(-2,0),B(2,0).由正弦定理,得sinA=,sinB=,sinC=(R为△ABC的外接圆半径).因为2sinA+sinC=2sinB,所以2a+c=2b,即b-a=,从而有|CA|-|CB|=|AB|=2<|AB|.由双曲线的定义知,点C的轨迹为双曲线的右支(除去与x轴的交点),因为a=,c=2,所以b2=c2-a2=6,即所求轨迹方程为-=1(x>)一、选择题(每题5分,共10分)1.(2016·合肥高二检测)双曲线-=1的焦点为F1,F2,点M在双曲线上,且MF1⊥x轴,那么F1到直线F2M的间隔为( )A. B. C. D.1到直线F2M的间隔为d,不妨设点F1(-3,0),容易计算得出|MF1|=,|MF2|-|MF1|=2.解得|MF2|=.而|F1F2|=6,在直角三角形MF1F2中,由|MF1|·|F1F2|=|MF2|·d,求得F1到直线F2M的间隔 d为.2.(2016·沈阳高二检测)点P在曲线C1:-=1上,点Q在曲线C2:(x-5)2+y2=1上,点R在曲线C3:(x+5)2+y2=1上,那么|PQ|-|PR|的最大值是( )【解析】选C.由双曲线的知识可知:C1:-=1的两个焦点分别是F1(-5,0)与F2(5,0),且|PF1|-|PF2|=8,而这两点正好是两圆(x+5)2+y2=1和(x-5)2+y2=1的圆心,两圆(x+5)2+y2=1和(x-5)2+y2=1的半径分别是r1=1,r2=1,所以|PQ|max=|PF1|+1,|PR|min=|PF2|-1,所以|PQ|-|PR|的最大值为:(|PF1|+1)-(|PF2|-1)=|PF1|-|PF2|+2=8+2=10.【补偿训练】(2016·太原高二检测)设F1,F2分别是双曲线x2-=1的左、右焦点.假设点P 在双曲线上,有·=0,那么|+|= ( )A. C.·=0,所以PF1⊥PF2,即△PF1F2为直角三角形,所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=(2)2=40,|+|====2.二、填空题(每题5分,共10分)3.(2016·黄冈高二检测)F是双曲线-=1的左焦点,A(1,4),点P是双曲线右支上的动点,那么|PF|+|PA|的最小值是.【解析】由双曲线-=1,得c=4,所以左焦点F(-4,0),右焦点F′(4,0),由双曲线的定义得:|PF|-|PF′|=2a=4,所以|PF|+|PA|=4+|PF′|+|PA|≥4+|AF′|=4+=9,此时P为AF′与双曲线的交点,即|PF|+|PA|的最小值为9.答案:94.(2016·杭州高二检测)双曲线的两个焦点为F1(-,0),F2(,0),M是此双曲线上一点,假设·=0,||·||=2,那么该双曲线的方程是.【解析】设双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),由题意得||MF1|-|MF2||=2a,|MF1|2+|MF2|2=(2)2=20,又因为||·||=2,所以|MF1|2+|MF2|2-2|MF1||MF2|=4a2,即20-2×2=4a2,所以a2=4,b2=c2-a2=5-4=1,所以双曲线的方程为-y2=1.答案:-y2=1三、解答题(每题10分,共20分)°≤α≤180°时,方程x2cosα+y2sinα=1表示的曲线怎样变化?【解析】(1)当α=0°时,方程为x2=1,它表示两条平行直线x=1和x=-1.(2)当0°<α<90°时,方程为+=1.①当0°<α<45°时,0<<,它表示焦点在y轴上的椭圆.②当α=45°时,它表示圆x2+y2=.③当45°<α<90°时,>>0,它表示焦点在x轴上的椭圆.(3)当α=90°时,方程为y2=1,它表示两条平行直线y=1和y=-1.(4)当90°<α<180°时,方程为-=1,它表示焦点在y轴上的双曲线.(5)当α=180°时,方程为x2=-1,它不表示任何曲线.【误区警示】解答此题时容易忽略α=90°的情况.6.(2016·济南高二检测)F1,F2为双曲线C:x2-y2=1的左、右焦点,点P在C上,∠F1PF2=60°,求P到x轴的间隔 .【解析】因为||PF1|-|PF2||=2,所以|PF1|2-2|PF1|·|PF2|+|PF2|2=4,所以|PF1|2+|PF2|2=4+2|PF1|·|PF2|,由余弦定理知|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2=2|PF1|·|PF2|cos60°,得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2+|PF1|·|PF2|,又a=1,b=1,所以c==,所以|F1F2|=2c=2,所以4+2|PF1||PF2|=|PF1|·|PF2|+8,所以|PF1|·|PF2|=4.设P到x轴的间隔为|y0|,=|PF1||PF2|sin60°=|F1F2|·|y0|,所以×4×=×2|y0|,所以|y0|==.即P点到x轴的间隔为.关闭Word文档返回原板块。
人教A版高中数学选修高二新课程双曲线及其标准方程评估训练新
双基达标 （限时20分钟）1．平面内有两个定点F 1(－5，0)和F 2(5，0)，动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝6，则动点P 的轨迹方程是( )． A.x 216－y 29＝1(x ≤－4) B.x 29－y 216＝1(x ≤－3) C.x 216－y 29＝1(x ≥4)D.x 29－y 216＝1(x ≥3)解析 根据双曲线的定义可得． 答案 D2．双曲线x 210－y 22＝1的焦距为( )．A ．3 2B ．4 2C ．3 3D ．4 3解析 由双曲线的标准方程可知，a 2＝10，b 2＝2.于是有c 2＝a 2＋b 2＝12，则2c ＝4 3.故选D. 答案 D3．已知双曲线的a ＝5，c ＝7，则该双曲线的标准方程为( )． A.x 225－y 224＝1 B.y 225－x 224＝1C.x 225－y 224＝1或y 225－x 224＝1 D.x 225－y 224＝0或y 225－x 224＝0解析 因为b 2＝c 2－a 2＝49－25＝24，且焦点位置不确定，所以所求双曲线的标准方程为x 225－y 224＝1或y 225－x 224＝1. 答案 C4．若双曲线8k x 2－k y 2＝8的一个焦点坐标是(0，3)，则实数k 的值为________． 解析 因为双曲线焦点在y 轴上，所以双曲线的标准方程为y 2－8k －x 2－1k＝1，所以k <0，又(0，3)是双曲线的一个焦点，则c ＝3，于是有－8k －1k ＝32＝9，解得k ＝－1. 答案 －15．已知P 是双曲线x 264－y 236＝1上一点，F 1，F 2是双曲线的两个焦点，若|PF 1|＝17，则|PF 2|的值为________．解析 由双曲线方程x 264－y 236＝1知，a ＝8，b ＝6，则c ＝a 2＋b 2＝10.∵P 是双曲线上一点，∴||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝16，又|PF 1|＝17，∴|PF 2|＝1或|PF 2|＝33.又|PF 2|≥c －a ＝2，∴|PF 2|＝33. 答案 336．(1)求经过点P (－3，27)和Q (－62，－7)的双曲线的标准方程；(2)已知双曲线与椭圆x 227＋y 236＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A 的纵坐标为4，求双曲线的方程．解 (1)设双曲线的标准方程为nx 2＋my 2＝1(m ·n <0)， 又双曲线经过点P (－3，27)和Q (－62，－7)， 所以⎩⎨⎧28m ＋9n ＝1，49m ＋72n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝125，n ＝－175，所以所求的双曲线的标准方程为y 225－x 275＝1.(2)因为椭圆x 227＋y 236＝1的焦点为(0，－3)，(0，3)，A 点的坐标为(±15，4)，设双曲线的标准方程为y 2a 2－x2b 2＝1(a >0，b >0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝9，16a 2－15b 2＝1，解得⎩⎨⎧a 2＝4，b 2＝5，所以所求的双曲线的标准方程为y 24－x 25＝1.综合提高 （限时25分钟）7．已知方程(1＋k )x 2－(1－k )y 2＝1表示焦点在x 轴上的双曲线，则k 的取值范围为( )． A ．－1<k <1B ．k >1C ．k <－1D ．k >1或k <－1解析 由题意得⎩⎨⎧1＋k >0，1－k >0，解得⎩⎨⎧k >－1，k <1，即－1<k <1.答案 A8．已知双曲线C ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为C 右支上的一点，且|PF 2|＝|F 1F 2|，则△PF 1F 2的面积等于( )．A ．24B ．36C ．48D ．96解析 依题意，得|PF 2|＝|F 1F 2|＝10，由双曲线的定义，得|PF 1|－|PF 2|＝6，∴|PF 1|＝16.∴S △PF 1F 2＝12×16× 102－⎝ ⎛⎭⎪⎫1622＝48.故选C.答案 C9．双曲线 x 2m －y 2m －5＝1的一个焦点到中心的距离为3，那么m ＝________.解析 (1)当焦点在x 轴上，有m >5， 则c 2＝m ＋m －5＝9，∴m ＝7；(2)当焦点在y 轴上，有m <0，则c 2＝－m ＋5－m ＝9， ∴m ＝－2；综上述，m ＝7或m ＝－2. 答案 7或－210．已知椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22＝1有相同的焦点，则实数a ＝________. 解析 由双曲线x 2a －y 22＝1可知a >0，且焦点在x 轴上．根据题意，知4－a 2＝a ＋2，即a 2＋a －2＝0，解得a ＝1或a ＝－2(舍去)，故实数a ＝1. 答案 111．已知方程k x 2＋y 2＝4，其中k ∈R ，试就k 的不同取值讨论方程所表示的曲线类型．解 (1)当k ＝0时，方程变为y ＝±2，表示两条与x 轴平行的直线； (2)当k ＝1时，方程变为x 2＋y 2＝4表示圆心在原点，半径为2的圆； (3)当k <0时，方程变为y 24－x 2－4k＝1，表示焦点在y 轴上的双曲线．(4)当0<k<1时，方程变为x24k＋y24＝1，表示焦点在x轴上的椭圆；(5)当k>1时，方程变为x24k＋y24＝1，表示焦点在y轴上的椭圆．12．(创新拓展)已知双曲线的方程为x2－y24＝1，如图，点A的坐标为(－5，0)，B是圆x2＋(y－5)2＝1上的点，点M在双曲线的右支上，求|MA|＋|MB|的最小值．解设点D的坐标为(5，0)，则点A，D是双曲线的焦点，由双曲线的定义，得|MA|－|MD|＝2a＝2.∴|MA|＋|MB|＝2＋|MB|＋|MD|≥2＋|BD|，又B是圆x2＋(y－5)2＝1上的点，圆的圆心为C(0，5)，半径为1，故|BD|≥|CD|－1＝10－1，从而|MA|＋|MB|≥2＋|BD|≥10＋1，当点M，B在线段CD上时取等号，即|MA|＋|MB|的最小值为10＋1.。
精品-新人教版高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3双曲线2.3.2双曲线的简单几何性质优化练习新人教A版选修2_1
2.3.2 双曲线的简单几何性质[课时作业] [A 组 基础巩固]1．设双曲线x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝± 2xB ．y ＝±2xC ．y ＝±22x D ．y ＝± 12x解析：由题意得b ＝1，c ＝ 3.∴a ＝ 2，∴双曲线的渐近线方程为y ＝± ba x ，即y ＝±22x . 答案：C2．双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( ) A ．2 B ．22C ．4 D ．4 2解析：将双曲线2x 2－y 2＝8化成标准方程x24－y28＝1，则a 2＝4，所以实轴长2a ＝4. 答案：C3．双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 等于( ) A ．－14B ．－4C ．4D.14解析：∵方程mx 2＋y 2＝1表示双曲线， ∴m <0.将方程化为标准方程为y 2－x2－1m ＝1.则a 2＝1，b 2＝－1m.∵双曲线的虚轴长是实轴长的2倍， ∴可知b ＝2a ，∴b 2＝4a 2，∴－1m ＝4，∴m ＝－14.答案：A4．中心在原点，实轴在x 轴上，一个焦点在直线3x －4y ＋12＝0上的等轴双曲线方程是( ) A ．x 2－y 2＝8 B ．x 2－y 2＝4 C ．y 2－x 2＝8D ．y 2－x 2＝4解析：令y ＝0，则x ＝－4，即c ＝4， 又c 2＝a 2＋b 2，a ＝b ，∴c 2＝2a 2，a 2＝8. 答案：A5．已知A ，B 为双曲线E 的左、右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为( ) A. 5 B ．2 C. 3D. 2解析：不妨取点M 在第一象限，如图所示，设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a＞0，b ＞0)，则|BM |＝|AB |＝2a ，∠MBx ＝180°－120°＝60°， ∴M 点的坐标为()2a ，3a .∵M 点在双曲线上，∴4a2a2－3a2b2＝1，a ＝b ，∴c ＝2a ，e ＝ca ＝ 2.故选D.答案：D6．已知双曲线x2a2－y 2＝1(a ＞0)的一条渐近线为3x ＋y ＝0，则a ＝________.解析：双曲线x2a2－y 2＝1的渐近线为y ＝±xa ，已知一条渐近线为3x ＋y ＝0，即y ＝－3x ，因为a ＞0，所以1a ＝3，所以a ＝33.答案：337．过双曲线x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M ，N 两点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率为________． 解析：由题意知，a ＋c ＝b2a，即a 2＋ac ＝c 2－a 2，∴c 2－ac －2a 2＝0，∴e 2－e －2＝0，解得e ＝2或e ＝－1(舍去)． 答案：28．已知双曲线C ：x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的离心率e ＝2，且它的一个顶点到较近焦点的距离为1，则双曲线C 的方程为________．解析：双曲线中，顶点与较近焦点距离为c －a ＝1，又e ＝ca＝2，两式联立得a ＝1，c ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝4－1＝3，∴方程为x 2－y23＝1.答案：x 2－y23＝19．已知椭圆x23m2＋y25n2＝1和双曲线x22m2－y23n2＝1有公共的焦点，求双曲线的渐近线方程及离心率．解析：由双曲线方程判断出公共焦点在x 轴上， 所以椭圆的右焦点坐标为(3m2－5n2，0)， 双曲线的右焦点坐标为(2m2＋3n2，0)， 所以3m 2－5n 2＝2m 2＋3n 2，所以m 2＝8n 2， 即|m |＝22|n |，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±6|n|2|m|x ，y ＝±34x . 离心率e ＝2m2＋3n22|m|＝194，e ＝194.10．设A ，B 分别为双曲线x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为 3. (1)求双曲线的方程； (2)已知直线y ＝33x －2与双曲线的右支交于M 、N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM →＋ON →＝t OD →，求t 的值及点D 的坐标． 解析：(1)由题意知a ＝23， ∴一条渐近线为y ＝b 23x ，即bx －23y ＝0，∴|bc|b2＋12＝3， ∴b 2＝3，∴双曲线的方程为x212－y23＝1. (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)， 则x 1＋x 2＝tx 0，y 1＋y 2＝ty 0，将直线方程代入双曲线方程得x 2－163x ＋84＝0，则x 1＋x 2＝163，y 1＋y 2＝12， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x0y0＝433，x2012－y203＝1，∴⎩⎨⎧x0＝43，y0＝3，∴t ＝4，点D 的坐标为(43，3)．[B 组 能力提升]1．(2016·高考全国Ⅰ卷)已知方程x2m2＋n －y23m2－n ＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( ) A ．(－1,3) B ．(－1，3) C ．(0,3) D ．(0，3)解析：根据双曲线的焦距，建立关于n 的不等式组求解．若双曲线的焦点在x 轴上，则⎩⎪⎨⎪⎧m2＋n>0，3m2－n>0.又∵(m 2＋n )＋(3m 2－n )＝4，∴m 2＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋n>0，3－n>0，∴－1<n <3.若双曲线的焦点在y 轴上，则双曲线的标准方程为y2n －3m2－x2－m2－n ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧n －3m2>0，－m2－n>0，即n >3m 2且n <－m 2，此时n 不存在．故选A. 答案：A2．已知F 1，F 2分别是双曲线x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 1作垂直于x 轴的直线交双曲线于A 、B 两点，若△ABF 2为锐角三角形，则双曲线的离心率的范围是( ) A ．(1,1＋2) B ．(1＋2，＋∞) C ．(1－2，1＋2)D ．(2，2＋1)解析：由△ABF 2为锐角三角形得， b2a 2c <tan π4＝1，即b 2<2ac ，∴c 2－a 2<2ac ，∴e 2－2e －1<0，解得1－2<e <1＋2， 又e >1，∴1<e <1＋ 2. 答案：A3．已知F 是双曲线C ：x 2－y28＝1的右焦点，P 是C 左支上一点，A ()0，66，当△APF 周长最小时，该三角形的面积为________．解析：由双曲线方程x 2－y28＝1可知，a ＝1，c ＝3，故F (3,0)，F 1(－3,0)．当点P 在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知|PF |－|PF 1|＝2，所以|PF |＝|PF 1|＋2，从而△APF 的周长＝|AP |＋|PF |＋|AF |＝|AP |＋|PF 1|＋2＋|AF |.因为|AF|＝32＋6＝15为定值，所以当(|AP |＋|PF 1|)最小时，△APF 的周长最小，由图象可知，此时点P 在线段AF 1与双曲线的交点处(如图所示)．由题意可知直线AF 1的方程为y ＝26x ＋66，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝26x ＋66，x2－y28＝1，得y 2＋66y －96＝0，解得y ＝26或y ＝－86(舍去)， 所以S △APF ＝S △AF 1F －S △PF 1F ＝12×6×66－12×6×26＝12 6. 答案：12 64．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点为F (2,0)，且双曲线的渐近线与圆(x －2)2＋y 2＝3相切，则双曲线的方程为________．解析：由双曲线的渐近线y ＝±b ax 与圆(x －2)2＋y 2＝3相切可知⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪±b a ×21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝3，c ＝2，a2＋b2＝c2，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝ 3.故所求双曲线的方程为x 2－y23＝1.答案：x 2－y23＝15．已知双曲线C ：x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，且a2c ＝33.(1)求双曲线C 的方程；(2)已知直线x －y ＋m ＝0与双曲线C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点在圆x 2＋y 2＝5上，求m 的值．解析：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a2c ＝33，c a ＝3，解得⎩⎨⎧a ＝1，c ＝ 3.所以b 2＝c 2－a 2＝2. 所以双曲线C 的方程为x 2－y22＝1. (2)设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段AB 的中点为M (x 0，y 0)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋m ＝0，x2－y22＝1，得x 2－2mx －m 2－2＝0(判别式Δ>0)． 所以x 0＝x1＋x22＝m ，y 0＝x 0＋m ＝2m .因为点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝5上， 所以m 2＋(2m )2＝5.故m ＝±1.6．已知双曲线C ：x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点是F 2(2, 0)，离心率e ＝2.(1)求双曲线C 的方程；(2)若斜率为1的直线l 与双曲线C 相交于两个不同的点M ，N ，线段MN 的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l 的方程． 解析：(1)由已知得c ＝2，e ＝2， ∴a ＝1，b ＝ 3.∴所求的双曲线方程为x 2－y23＝1. (2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m ，点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)的坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ， ①x2－y23＝1，②将①式代入②式，整理得2x 2－2mx －m 2－3＝0.(*) 设MN 的中点为(x 0，y 0)， 则x 0＝x1＋x22＝m 2，y 0＝x 0＋m ＝3m 2，所以线段MN 垂直平分线的方程为y －3m2＝－⎝⎛⎭⎪⎫x －m 2即x ＋y －2m ＝0，与坐标轴的交点分别为(0,2m )，(2m,0)， 可得12|2m |·|2m |＝4，得m 2＝2，m ＝± 2 此时(*)的判别式Δ>0， 故直线l 的方程为y ＝x ± 2.。
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2.3.1 双曲线及其标准方程优化训练
1．双曲线的两焦点坐标是F1(3,0)，F2(－3,0)，2b＝4，则双曲线的标准方程是()
A.
x2
5－
y2
4＝1 B.
y2
5－
x2
4＝1
C.
x2
3－
y2
2＝1 D.
x2
9－
y2
16＝1
2．方程x＝3y2－1所表示的曲线是()
A．双曲线B．椭圆
C．双曲线的一部分D．椭圆的一部分
3．已知双曲线的焦点在x轴上，且a＋c＝9，b＝3，则它的标准方程是________．
4．根据下列条件，求双曲线的标准方程．
(1)过点P⎝⎛⎭⎫
3，
15
4，Q⎝
⎛
⎭
⎫
－
16
3，5且焦点在坐标轴上；
(2)c＝6，经过点(－5,2)，焦点在x轴上．
一、选择题
1．动点P到点M(1,0)及点N(3,0)的距离之差为2，则点P的轨迹是()
A．双曲线B．双曲线的一支
C．两条射线D．一条射线
2．设动点P到A(－5,0)的距离与它到B(5,0)距离的差等于6，则P点的轨迹方程是()
A.
x2
9－
y2
16＝1 B.
y2
9－
x2
16＝1
C.
x2
9－
y2
16＝1(x≤－3) D.
x2
9－
y2
16＝1(x≥3)
3．(2010年高考安徽卷)双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为()
A．(
2
2，0) B．(
5
2，0)
C．(
6
2，0) D．(3，0)
4．椭圆
x2
4＋
y2
a2＝1与双曲线
x2
a－
y2
2＝1有相同的焦点，则a的值是()
A.
1
2B．1或－2
C．1或
1
2D．1
5．k>9是方程
x2
9－k
＋
y2
k－4
＝1表示双曲线的()
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件
6．双曲线
x2
16－
y2
9＝1上一点P到点(5,0)的距离为15，那么该点到点(－5,0)的距离为()
A．7 B．23
C．5或25 D．7或23
二、填空题
7．过点(1,1)且
b
a＝2的双曲线的标准方程为________．
8．椭圆
x2
34＋
y2
n2＝1和双曲线
x2
n2－
y2
16＝1有相同的焦点，则实数n的值是________．
9．(2010年高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线
x2
4－
y2
12＝1上一点M的横坐标是3，
则点M到此双曲线的右焦点的距离为________．
三、解答题
10．已知方程
x2
2－k
＋
y2
k－1
＝1表示的图形是：(1)双曲线；(2)椭圆；(3)圆．试分别求出k的取值范
围．
11．已知与双曲线x 216－y 29＝1共焦点的双曲线过点P ⎝⎛⎭
⎫－52，－6，求该双曲线的标准方程．
12．如图所示，在△ABC 中，已知|AB |＝42，且三内角A ，B ，C 满足2sin A ＋sin C
＝2sin B ，建立适当的坐标系，求顶点C 的轨迹方程．。